ΡΑΡΑΝΙΚΟΛΑΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ) Nα μελετιςετε ωσ προσ τθ μονοτονία τισ ςυναρτιςεισ: β) f ( ) α) f ( ) γ) f ( ) δ) Αf=R-{ }=(-,-)U(-,)U(,+ ) ( 4) ( 4) ( 4) fϋ()= ( 4) f ( ) δ) f ( ) ε) f ( ) 4 ςτ) f ( ) θ) f ( ) ln η) f ( ) ln θ) f ( ) = = fϋ()> ( 4) -> γιατί (-4)> για < κάκε Αf fϋ()< > - - + f () + + f() ι) f ( ), ( /, / ) Επομζνωσ θ f είναι ςτo διάςτθμα (-,] α) Αf=R-{-}=(-,-)U(-,+ ) ε) Αf=R- =(-,- )U(-, )U(,+ ) ( ) f ( ) Επομζνωσ θ ( ) ( ) και ςτo διάςτθμα *,+ ) f ( ) f είναι ςτα διαςτιματα (-,-) και (-,+ ) β) Αf=R-{-}=(-,-)U(-,+ ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Επομζνωσ θ f είναι ςτα ( ) f ( ) διαςτιματα (-,-) και (-,+ ) γ) Αf=R ( ) ( ) ( ) fϋ()= ( ) f ( ) = = fϋ()> ( ) -> γιατί (+)> για < κάκε Αf fϋ()< > - + f () + f() Επομζνωσ θ f είναι ςτo διάςτθμα (-,] και ςτo διάςτθμα *,+ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 9 4 ( ) 4 9 ( ) ( 9) ( ) ( )( ) ( ) fϋ()= ( )( ) ( ) = (διπλι ρίηα) ι =- ι = = - - - + f () + + f() Παρατήρηςη για το πρόςημο: Επειδι ο παρονομαςτισ είναι κετικόσ, το πρόςθμο τθσ fϋ ειναι ίδιο με το πρόςθμο του αρικμθτι 4-9 Ξεκινάμε από το δεξί κουτάκι με το πρόςθμο του μεγιςτοβάκμιου όρου 4, δθλαδι + (γιατί ( 4 ) = ( 4 ) άρα 4-9> κοντά ςτο + ) και προχωράμε προσ τα αριςτερά αλλάηοντασ το πρόςθμο όταν ςυναντάμε ρίηεσ περιττισ τάξθσ (όπωσ το - και το που είναι ρίηεσ θσ τάξθσ) και μθ αλλάηοντασ το πρόςθμο
όταν ςυναντάμε ρίηεσ άρτιασ τάξθσ (όπωσ το που είναι ρίηα θσ τάξθσ ςτ) Α f =R ( ) f ( ) = αςδα fϋ()= = -= γιατί = fϋ()> > για κάκε R -> γιατί < fϋ()< > - + f () + - f() > για κάκε R Επομζνωσ θ f είναι ςτo διάςτθμα (-,] και ςτo διάςτθμα *,+) η) Α f = R * =(,+) f ( ) ln (ln ) ln = ln fϋ()= = ln= ln= ln=ln = ln fϋ()> > ln> γιατί > ln> ln>ln > fϋ()< < + f () - + f() Επομζνωσ θ f είναι ςτo διάςτθμα (,+ και ςτo διάςτθμα *,+) θ) Α f = R * =(,+) f ( ) ln fϋ()= ln+= ln=- ln=ln - = - = fϋ()> ln+> ln>- ln>ln - > - > fϋ()< < / + f () - + f() Επομζνωσ θ f είναι ςτo διάςτθμα (, / ] και ςτo διάςτθμα * /,+) θ) Α f =R f ( ) για κάκε R με fϋ()= μόνο για =κπ, κη Επειδι είναι ςυνεχισ, κα είναι ςτο R ι) A ( /, / ) f f ( ) ( ) = ( ) = ( ) fϋ()= = -εφ= εφ= = π / 4 ( ) fϋ()> > -εφ> εφ< εφ<εφ( π / 4 ) < π / 4 fϋ()< > π / 4 -π / π /4 π / f () + - f()
Επομζνωσ θ f είναι ςτo διάςτθμα ( -π /, π / 4 ] και ςτo διάςτθμα * π / 4, π / ) ) Nα μελετιςετε ωσ προσ τθ μονοτονία τθ ςυνάρτθςθ f ( ) ln Α f =(,+) f ( ) ln f ( ) γιατί > Άρα θ fϋ είναι γνθςίωσ αφξουςα Θ εξίςωςθ fϋ()= ζχει προφανι ρίηα = γιατί fϋ()=-+ln= και επειδι είναι είναι μοναδικι για < (,] για > f fϋ()<fϋ() fϋ()< άρα f ςτο f fϋ()>fϋ() fϋ()> άρα f ςτο [,+) ) Nα μελετιςετε ωσ προσ τθ μονοτονία τθ ςυνάρτθςθ, f ( ), Επειδι f ( ) = ( ) και f ( ) = ( ) δεν υπάρχει το f ( ) και επομζνωσ δεν είναι ςυνεχισ ςτο = άρα οφτε παραγωγίςιμθ ςε αυτό, Άρα f ( ), - - / + - - - - + + - + + + f () - + - + f() Επειδι f ( ) =f()= είναι ςυνεχισ ςτο = από δεξιά, ενϊ f ( ) ==f() δεν είναι ςυνεχισ ςτο = από αριςτερά Επομζνωσ θ f είναι ςτo διάςτθμα (-,-], ςτo διάςτθμα *-,) γιατί δεν είναι ςυνεχισ από αριςτερά ςτο, διάςτθμα ςτo *, / + γιατί είναι ςυνεχισ από δεξιά ςτο και ςτo διάςτθμα * /,+) 4) Να μελετιςετε ωσ προσ τθ μονοτονία τθ ςυνάρτθςθ f()=( -4)ln+ - Α f =(,+) fϋ()=(-4)ln+( -4) +- =(-4)ln+-4+- =(-)ln+-6 =(-)ln+(-) =(-)(ln+) fϋ()= (-)(ln+)= -= ι ln+= = ι ln= = ι + - - - + ln+ - + + (- )(ln+) + - + f () + - + f() Επομζνωσ θ f είναι ςτo διάςτθμα (, ], ςτo διάςτθμα *,] και ςτο *,+) 5) Εάν f ςυνάρτθςθ δυο φορζσ παραγωγίςιμθ ςτο *,+, fϋϋ()> για κάκε *,+ και fϋ()= =f()=, να δείξετε ότι f() για κάκε [,] Επειδι fϋϋ()> για κάκε [,] θ fϋ είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο *,+ Άρα fϋ()fϋ()fϋ() fϋ() Άρα θ f είναι ςτο *,+ και επομζνωσ f()f()f() f() 6) Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f ( ) i) Να δείξετε ότι θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο R, ii) να δείξετε ότι f ( ) ln με (-,) ( ) ( ) i) f ( ) f ςτο R ln+> ln>-/ ln+< Ln<-/
ii) Αφοφ θ f είναι είναι «-» άρα αντιςτρζφεται Αφοφ θ f είναι ςυνεχισ και γνθςίωσ αφξουςα, το ςφνολο τιμϊν τθσ f είναι f(r)=( f ( ), f ( ) )=(-,) γιατί f ( ) =- και f ( ) = Άρα y(-,) y y +y= - -y =y+ (-y)=y+ Επειδι y(-,) y και επομζνωσ y y ln y y y f ( y) ln y f ( ) ln με (-,) 7) Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ α =+, <α<, ζχει μοναδικι ρίηα ςτο R Θεωρϊ τθν ςυνάρτθςθ f()=α --, R fϋ()=α lnα-< για κάκε R, γιατί a lna a lna ln α lnα-<-< Άρα f και επειδι είναι ςυνεχισ, το ςφνολο τιμϊν τθσ είναι f(r)=( f ( ), f ( ) ) =(-,+) γιατί f ( ) ( ) =-- (<α<) =- και f ( ) ( ) =+++ (<α<) =+ Επειδι f(r), θ εξίςωςθ f()= α =+ ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο R και επειδι είνα είναι μοναδικι 8) Να δείξετε ότι οι γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων f()=- και g()=ln(-) ζχουν μοναδικό κοινό ςθμείο Θ τετμθμζνθ των κοινϊν ςθμείων των γραφικϊν παραςτάςεων, βρίςκεται λφνοντασ τθν εξίςωςθ f()=g() -=ln(-) ln(-)+-= Θεωρϊ τθν ςυνάρτθςθ p()=ln(-)+- με (,+) pϋ()= +> γιατί > Άρα θ ςυνάρτθςθ p είναι ςτο (,+) Θ εξίςωςθ p()= ln(-)+-= f()=g() ζχει προφανι ρίηα το, γιατί p()=ln+-= και επειδι είναι θ ρίηα είναι μοναδικι ln 9) Ζςτω f ( ), > i) Να μελετθκεί ωσ προσ τθ μονοτονία, ii) να αποδείξετε ότι, iii) να ςυγκρίνετε τα π και π Λφςθ: ln i) f ( ) ln fϋ()= -ln= ln= ln=ln = ln fϋ()> -ln> ln< ln<ln < fϋ()< >
+ f () + - f() Επομζνωσ θ f είναι ςτo διάςτθμα (,] και ςτo διάςτθμα *,+) ii) Στο = παρουςιάηει Ο Μ το f()= Άρα για κάκε >: f()f() ln ln< ln<ln ln <ln < iii) Από το (ii) ερϊτθμα ζχουμε ln < π < π ) i) Να δείξετε ότι ln για κάκε > ii) θ ςυνάρτθςθ φκίνουςα ςτο (,+), ln f ( ) είναι γνθςίωσ iii) αν α>, β> και (α-)lnβ=(β-)lnα, τότε α=β i) Θεωρϊ τθν ςυνάρτθςθ g( ) ln, gϋ()= = = < γιατί > ii) Άρα g ςτο *,+) και για > g()<g() ln ln ln f ( ) ( ) ( ) του (i) ερωτιματοσ Άρα f ςτο (,+) iii) (α-)lnβ=(β-)lnα lna ln a f(α)=f(β) α=β λόγω γιατί αφοφ f κα είναι και «-» ) i) Να μελετθκεί ωσ προσ τθν μονοτονία θ ςυνάρτθςθ f()=α -, <α<, ii) να λυκεί θ εξίςωςθ 4, <α< i) fϋ()=α lnα-< για κάκε R, γιατί a lna a lna ln α lnα-<-< Άρα f ςτο R 4 ii) 4 ( 4) f ( 4) f ( ) ( ) λ -4=λ- γιατί f άρα «-» λ -λ-= λ=- ι λ= ) Να δείξετε ότι, > Θεωροφμε τθν ςυνάρτθςθ f()=, > fϋ()= -- fϋϋ()= -> γιατί > > = Άρα fϋ ςτο (,+) και για > fϋ()>fϋ() fϋ()> Επομζνωσ f ςτο (,+) και για > f()>f() > ) i) Να μελετθκεί ωσ προσ τθν μονοτονία θ 4ln ςυνάρτθςθ f ( ), ii) Να δείξετε ότι υπάρχει αr, τζτοιο ϊςτε f()f(α), για κάκε > (4 ln 4)( ) 4 ln i) f ( ) ( ) 4 ln 4 ln 4 4 4 ln ( ) 4 ln 4 4 ( ) 4(ln ) ( ) Θζτω g()=ln++, > gϋ()= +> άρα g ςτο (,+) και επειδι είναι ςυνεχισ, το ςφνολο τιμϊν τθσ είναι
g((,+))=( g( ), g( ) g( ) g( ) ) =(-,+) γιατί (ln ) =-++=- και (ln ) =+++=+ Επειδι g((,+)), θ εξίςωςθ g()= ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα α(,+) θ οποία είναι μοναδικι γιατί g 4(ln ) fϋ()= ( ) ln++= g()= =α 4(ln ) fϋ()> ( ) ln++> g()> g()>g(α) >α γιατί g και fϋ()< <α α + f () - + f() Επομζνωσ θ f είναι ςτo διάςτθμα (,α+ και ςτo διάςτθμα *α,+) ii) Στο =α θ f παρουςιάηει ΤΕ το f(α) Επομζνωσ για κάκε (,+): f()f(α) 4) Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f()= 4 +α +β + Να βρείτε τα α, β ϊςτε για = θ f να παρουςιάηει ακρότατο με τιμι f()=4 Στθν ςυνζχεια να βρείτε τι ακρότατο είναι αυτό και να βρείτε τα άλλα ακρότατα fϋ()=4 +6α +β Επειδι ςτο = παρουςιάηει ακρότατο και παραγωγίηεται ωσ πολυωνυμικι, λόγω κ Frmat fϋ()= α+β=- () f()=4 α+β= () Λφνοντασ το ςφςτθμα των () και () βρίςκουμε α=- και β=4 Άρα f()= 4-4 +4 + fϋ()=4 - +8 =4( -+) fϋ()= 4( -+)= = ι = ι = - + f () - + - + f() Άρα ςτο = παρουςιάηει ΤΜ, ςτο = παρουςιάηει ΤΕ το f()= και ςτο = παρουςιάηει ΤΕ το f()= 5) i) Να μελετθκεί ωσ προσ τθν μονοτονία θ ςυνάρτθςθ f()= ln- +5-, ii) Να δείξετε ότι θ f()= ζχει μοναδικι ρίηα = A f =(,+) i) fϋ()=ln+ -4+5 =ln+-4+5 =ln-+5 fϋϋ()=ln+ - =ln+- =ln- fϋϋ()= ln-= ln= ln= ln = fϋϋ()> ln-> ln> ln> ln > fϋϋ()< < + f () - + f () Επομζνωσ θ f είναι ςτo διάςτθμα (, ] και ςτo διάςτθμα * Άρα ςτο =,+) παρουςιάηει ΤΕ επομζνωσ fϋ()fϋ( ) fϋ() ln - +5 fϋ() ln- +5 fϋ() - +5>
fϋ() - +5> γιατί,78 Άρα θ f είναι ςτο διάςτθμα (,+) Θ εξίςωςθ f()= ζχει προφανι ρίηα = γιατί f()= ln-+5-=5-5= και επειδι είναι θ ρίηα είναι μοναδικι 6) (EME) Θεωροφμε τθν ςυνάρτθςθ a f ( ) ln a, με > και α ςτακερό πραγματικό αρικμό Αν f(), για κάκε >, i) αποδείξτε ότι α=-, ii) να μελετιςετε τθ ςυνάρτθςθ f ωσ προσ τθ μονοτονία και τα ακρότατα, iii) να λυκεί θ εξίςωςθ f()=, iv) να λυκεί θ ανίςωςθ ln( ) ln( ) i) Επειδι f ( ) ln a, θ ςχζςθ f() γίνεται f()f(), για κάκε > Άρα θ f παρουςιάηει τοπικό ελάχιςτο ςτο = Άρα από το κ Frmat, fϋ()= () a f ( ) f()=α+ () α+= α=- ii) Για α=- ζχουμε f ( ) ln f ( ) + f () - + f() Μονοτονία: Θ ςυνάρτθςθ f είναι ςτo διάςτθμα (,] και ςτo διάςτθμα *,+) Ακρότατα: Στο = θ ςυνάρτθςθ f παρουςιάηει ΤΕ το f()= Επειδι θ εξίςωςθ f()= ζχει προφανι ρίηα το =, και είναι ςτο (,+ θ ρίηα είναι μοναδικι Ομοίωσ επειδι θ εξίςωςθ f()= ζχει προφανι ρίηα το =, και είναι ςτο *,+) θ ρίηα είναι μοναδικι Άρα θ εξίςωςθ f()= ζχει μοναδικι ρίηα το = iii) ln( ) ln( ) ln( ) ln( ) f( +)>f( +) () Επειδι +>>, +>>, κα είναι +[,+) και +[,+) και επειδι θ f είναι ςτο *,+), θ ςχζςθ () δίνει +> + > > <- ι > 7) Θ τιμι μιασ μετοχισ ςτο χρθματιςτιριο t μινεσ από ςιμερα και για το επόμενο εξάμθνο δίνεται από τθν ςυνάρτθςθ f(t)=(-t +9t -5t)+c i) Εάν θ ςθμερινι τθσ τιμι είναι 5 να βρεκεί πότε πρζπει να τθν αγοράςουμε και πότε πρζπει να τθν πουλιςουμε για να ζχουμε μζγιςτο κζρδοσ, ii) να βρεκεί το ποςοςτό κζρδουσ και να το ςυγκρίνετε με κζρδοσ που κα προζκυπτε αν κατακζταμε τα χριματα ςτθν τράπεηα με επιτόκιο % i f()=5 c=5 Άρα f(t)=(-t +9t -5t)+5 fϋ(t)=(-t +8t-5) =-(t -6t+5) fϋ(t)= t -6t+5= t= ι t=5 t 5 6 f (t) - + - f(t) ii Άρα πρζπει να τθν αγοράςουμε τον ο μινα γιατί ζχει τθν χαμθλότερθ τιμι (f()=46 ) και να τθν πουλιςουμε τον 5 ο μινα γιατί ζχει τθν υψθλότερθ τιμι (f(5)=78 ) Το ποςοςτό κζρδουσ είναι: 78 46 69,56% 46 Εάν κατακζταμε ςτθν τράπεηα 5 για 6 μινεσ με επιτόκιο %, κα παίρναμε 5, τόκο 8 και το ποςοςτό 8 κζρδουσ είναι 6% <<69,56% 5
8) Δίνονται οι ςυναρτιςεισ f,g:rr με f()+ g()+α, για κάκε R, όπου α ςτακερόσ πραγματικόσ, τζτοιοσ ϊςτε f(α)=g(α) Αν f,g παραγωγίςιμεσ ςτο α, να δείξετε ότι fϋ(α)-gϋ(α)=-α Θεωρϊ τθν ςυνάρτθςθ: h()=f()+ -g()-α, R hϋ()=fϋ()+ -gϋ() και h( ) h( a) h( a) a g( a) a h()h(α) Άρα θ ςυνάρτθςθ h παρουςιάηει ςτο =α ΤΜ και επειδι είναι παραγωγίςιμθ ςτο α, ωσ διαφορά παραγωγίςιμων ςυναρτιςεων, λόγω του κ Frmat, κα είναι hϋ(α)= fϋ(α)+α -gϋ(α)= fϋ(α)-gϋ(α)=-α 9) Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f:rr με f ()+f()= = -+ για κάκε R Να βρείτε τα ακρότατα τθσ f Θ δοκείςα για = δίνει f ()+f()= f ()+f()-= () Θζτω f()=ω () οπότε θ τελευταία γίνεται ω +ω-= () - Άρα () (ω-)(ω +ω+)= ω= ι ω +ω+= θ οποία είναι αδφνατθ γιατί Δ=-7< () Άρα ω= f()= f ()+f()= -+ παραγωγίηουμε f ()fϋ()+fϋ()= - fϋ()(f ()+)= - f ( ) f ( ) fϋ()= f ( ) -= == = ( ) fϋ()> f -> γιατί f ()+> >= > fϋ()< < - + f () - + f() Άρα ςτο = παρουςιάηει ΤΜ το f()= ) Εάν αln- για κάκε (,+), με α ςτακερό πραγματικό, να δείξετε ότι α= αln- αln-+ () Ορίηω τθν ςυνάρτθςθ g()=αln-+, > g()=αln-+= gϋ()= a - H () g() g()g() Άρα θ g παρουςιάηει ΤΜ ςτο = και επειδι είναι παραγωγίςιμθ, από το κ Frmat gϋ()= α-= α= ) Να δείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f:rr, παραγωγίςιμθ ςτο R, με f ()+ =+f(), για κάκε R, δεν ζχει ακρότατα Ραραγωγίηουμε τθν δοκείςα ςχζςθ: f()fϋ()+=f()+fϋ() () Εάν είχε ακρότατο ςτο, τότε επειδι είναι παραγωγίςιμθ κα είναι fϋ( )= (κ Frmat) () f( )fϋ( )+ =f( )+ fϋ( ) =f( ) f( )= () Τότε θ δοκείςα ςχζςθ για = γίνεται f ( )+ =+ f( ) και λόγω τθσ () + =+ =+ = άτοπο Άρα δεν ζχει ακρότατα ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΡΑΝΕΛΛΘΝΙΕΣ ) (Θζμα 4 ο ) Τθ χρονικι ςτιγμι t= χορθγείται ς ζναν αςκενι ζνα φάρμακο Θ ςυγκζντρωςθ του φαρμάκου ςτο αίμα του αςκενοφσ δίνεται από τθν ςυνάρτθςθ at f ( t), t όπου α και β είναι t ςτακεροί κετικοί πραγματικοί αρικμοί και ο χρόνοσ t μετράται ςε ϊρεσ Θ μζγιςτθ τιμι τθσ ςυγκζντρωςθσ είναι ίςθ με 5 μονάδεσ και επιτυγχάνεται 6 ϊρεσ μετά τθν χοριγθςθ του φαρμάκου i) Να βρείτε τισ τιμζσ α και β Μονάδεσ 5 ii) Με δεδομζνο ότι θ δράςθ του φαρμάκου είναι αποτελεςματικι όταν θ τιμι τθσ ςυγκζντρωςθσ ςτο αίμα είναι τουλάχιςτον ίςθ με μονάδεσ, να βρείτε το χρονικό διάςτθμα που το φάρμακο δρα αποτελεςματικά Μονάδεσ
t t a at i ( ) f t t t a ( ) f t, t t 6a 5 6 f (6) 5 f (6) 6 54 6 5 5 6 6 γιατί β> 5t 8t Επομζνωσ f ( t) t 6 t 6 8t ii f(t) 6 t t -8t+4 t -5t+6 () t + t -5t+6 + - + Θ () t Άρα το φάρμακο δρα αποτελεςματικά από ωσ ϊρεσ μετά τθν χοριγθςι του ) (Θζμα ο ) Για μια ςυνάρτθςθ f που είναι παραγωγίςιμθ ςτο R, ιςχφει: f ()+βf ()+γf()= - +6-, για κάκε R, όπου β,γ πραγματικοί αρικμοί με γ> και β <γ i) Να δείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f δεν ζχει α- κρότατα Μονάδεσ ii) Να δείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα Μονάδεσ 8 iii) Να δείξετε ότι θ εξίςωςθ f()= ζχει μοναδικι ρίηα ςτο διάςτθμα (,) Μονάδεσ 7 i Ραραγωγίηουμε τθν δοκείςα ςχζςθ: f ()fϋ()+βf()fϋ()+γfϋ()= -4+6 fϋ()(f ()+βf()+γ)= -4+6 () Θ παράςταςθ f ()+βf()+γ είναι ου βακμοφ ωσ προσ f() και ζχει διακρίνουςα Δ=4β -γ=4(β -γ)< γιατί β <γ Άρα είναι παντοφ ομόςθμο του α, δθλαδι f ()+βf()+γ>, για κάκε R Το ίδιο ιςχφει και για το -4+6, δθλαδι -4+6> για κάκε R, αφοφ Δ=-56< Άρα () fϋ()> για κάκε R () Από τθν () fϋ() άρα δεν ζχει ακρότατα (κ Frmat) ii Αφοφ fϋ()> για κάκε R, θ ςυνάρτθςθ f είναι γνθςίωσ αφξουςα iii Στθν δοκείςα ςχζςθ κζτω: =: f ()+βf ()+γf()=- f()(f ()+βf()+γ)=- Θ παράςταςθ f ()+βf()+γ είναι ου βακμοφ ωσ προσ f() και ζχει διακρίνουςα Δ=β -4γ< γιατί β <γ Άρα f ()+βf()+γ>, οπότε f()< =: f ()+βf ()+γf()=4 f()(f ()+βf()+γ)=4 Θ παράςταςθ f ()+βf()+γ είναι ου βακμοφ ωσ προσ f() και ζχει διακρίνουςα Δ=β -4γ< γιατί β <γ Άρα f ()+βf()+γ>, οπότε f()> Άρα f()f()< και από το κ Bolzano κα ζχουμε ότι θ εξίςωςθ f()= ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο διάςτθμα (,) και επειδι είναι θ ρίηα είναι μοναδικι 4) (Θζμα ο ) Ζςτω θ ςυνάρτθςθ f()= = 5 + + i) Να μελετιςετε τθν f ωσ προσ τθν μονοτονία και να αποδείξετε ότι θ f ζχει αντίςτροφθ ςυνάρτθςθ Μονάδεσ ii) Να αποδείξετε ότι f( ) f(+) για κάκε IR Μονάδεσ 6 iii) Να αποδείξετε ότι θ εφαπτομζνθ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ f ςτο ςθμείο (,) είναι ο άξονασ ςυμμετρίασ των γραφικϊν παραςτάςεων τθσ f και τθσ f Μονάδεσ 5 i fϋ()=5 4 + +> για κάκε R Άρα είναι και επομζνωσ «-» άρα αντιςτρζφεται ii Επειδι θ f είναι γνθςίωσ αφξουςα, αρκεί να δείξουμε ότι + για κάκε R Αυτό είναι άςκθςθ του ςχολικοφ βιβλίου οπότε τθν απόδειξθ μπορείτε να τθν δείτε εκεί Επειδι όμωσ αυτόσ ο ιςχυριςμόσ δεν μπορεί να χρθςιμοποιθκεί ςτισ πανελλινιεσ, παρακζτουμε τθν απόδειξι του: Ζςτω g()= --, R
gϋ()= - gϋ()= -= == = gϋ()> > και gϋ()< < - + g () - + g() Άρα ςτο = παρουςιάηει ΤΕ Επομζνωσ g()g() -- + iii f()= και fϋ()= Θ εξίςωςθ τθσ εφαπτομζνθσ είναι y-f()=fϋ()(-) y= που είναι θ διχοτόμοσ ου - ου τεταρτθμορίου, άρα ο άξονασ ςυμμετρίασ των γραφικϊν παραςτάςεων τθσ f και τθσ f 5) (Θζμα ο 9) Δίνεται θ ςυνάρτθςθ: f()=α -ln(+), >- όπου α ςτακερόσ πραγματικόσ με <α A) Αν ιςχφει f() για κάκε >-, να απόδείξετε ότι α= Μονάδεσ 8 B) Για α=, i) να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f είναι ςτο διάςτθμα (-,+ και ςτο διάςτθμα [,+) Μονάδεσ 6 ii) αν β,γ(-,)u(,+) να αποδείξετε f ( ) f ( ) ότι θ εξίςωςθ ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο διάςτθμα (,) Μονάδεσ 6 i fϋ()=α lnα f() f()f() Επομζνωσ παρουςιάηει ΤΕ ςτο = και επειδι είναι παραγωγίςιμθ, από το κ Frmat κα ζχουμε fϋ()= lnα-= lnα= lnα=ln α= ii Για α=, i f()= -ln(+) fϋ()= - fϋϋ()= + > Άρα θ fϋ είναι Θ εξίςωςθ fϋ()= ζχει προφανι ρίηα το f Για < fϋ()<fϋ() Για > f fϋ()< άρα θ f είναι ςτο (-,] fϋ()>fϋ() fϋ()> άρα θ f είναι ςτο *,+) ii Για (,) ζχουμε: f ( ) f ( ) (f(β)-)(-)+(f(γ)-)(-)= Εφαρμόηουμε για τθν ςυνάρτθςθ g()=(f(β)-)(-)+(f(γ)-)(-) το κ Bolzano ςτο διάςτθμα *,+ g ςυνεχισ ςτο *,+ ωσ πολυωνυμικι g()=-f(β)+< γιατί f() για κάκε >- g()=f(γ)-> γιατί f() για κάκε >- με f()= μόνο για =*,+ λόγω του (i) ερωτιματοσ g()g()< Άρα εφαρμόηεται το κ Bolzano και θ εξίςωςθ g()= (f(β)-)(-)+(f(γ)-)(-)= f ( ) f ( ) ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο διάςτθμα (,) 6) (Θζμα Γ ) Δίνεται θ ςυνάρτθςθ: f()=+ln( +), R Γ Να μελετιςετε ωσ προσ τθν μονοτονία τθν ςυνάρτθςθ f Μονάδεσ 5 Γ Να λφςετε τθν εξίςωςθ: ( ) ln Μονάδεσ 7 4 Γ f ( ) = γιατί το τριϊνυμο ++> αφοφ Δ=-< Άρα f ςτο R Γ ( ) ln 4-6+4=ln[(-) +]-ln( 4 +) + ln( 4 +)=6-4+ln[(-) +] + ln( 4 +)=(-)+ln[(-) +]
f( )=f(-) f f " " =- -+= = ι = 7) (Θζμα Γ ) Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f:rr, δυο φορζσ παραγωγίςιμθ ςτο R, με fϋ()= f()= θ οποία ικανοποιεί τθ ςχζςθ: (fϋ()+fϋϋ()-)=fϋ()+fϋϋ() για κάκε R i Να δείξετε ότι f()=ln( -), R Μονάδεσ 8 ii Να μελετιςετε τθν f ωσ προσ τθν μονοτονία και τα ακρότατα Μονάδεσ iii iv Να αποδείξετε ότι θ εξίςωςθ ln( -)=ςυν ζχει ακριβϊσ μια λφςθ ςτο διάςτθμα, i (fϋ()+fϋϋ()-)=fϋ()+fϋϋ() fϋ()+ fϋϋ()- =fϋ()+fϋϋ() fϋ()+ fϋϋ()-fϋ()-fϋϋ()= fϋ()( -)+fϋϋ()( -)= fϋ()( -)ϋ+fϋϋ()( -)= [fϋ()( -)]ϋ=( )ϋ Μονάδεσ 7 fϋ()( -)= +c () () c=- Άρα fϋ()( -)= - f ( ) f ( ) f ( ) ln f ) ln k ( () () k= Άρα f ) ln ( γιατί - δικ/ςθ ςτο τζλοσ Θζτω g()= -, R Τότε gϋ()= - gϋ()= gϋ()> > -= gϋ()< < == = - + g () - + g() Άρα θ g παρουςιάηει ΤΕ ςτο = επομζνωσ g()g() - Άρα - ii f ( ) και επειδι -> οι ρίηεσ και το πρόςθμο τθσ fϋ είναι ίδια με τισ ρίηεσ και το πρόςθμο του - που το ζχουμε εξετάςει ςτο ζνκετο προθγουμζνωσ - + f () - + f() Άρα θ ςυνάρτθςθ f είναι ςτο (-,+ και ςτο *,+) Στο = ζχει ΤΕ το f()= iii iv ln( -)=ςυν ln( -)-ςυν= f()-ςυν= Ζςτω h()=f()-ςυν ςυνεχισ ςτο *,π/+ ωσ διαφορά ςυνεχϊν ςυναρτιςεων h()=-ςυν=- h(π/)=-ςυν(π/)=-(-)=> h()h(π/)< και από το κ Bolzano θ εξίςωςθ h()= ln( -)=ςυν ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο (,π/) και επειδι hϋ()=fϋ()+θμ> ςτο (,π/) είναι μοναδικι γιατί θμ> ςτο (,π/) και f ()> όταν > 8) (Θζμα Γ ) Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f()=(-)ln-, > i Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ είναι ςτο διάςτθμα Δ =(,+ και ςτο διάςτθμα Δ =[,+) Στθν ςυνζχεια να βρείτε το ςφνολο τιμϊν τθσ Μονάδεσ 6 ii Να αποδείξετε ότι θ εξίςωςθ - =, > ζχει ακριβϊσ δυο κετικζσ ρίηεσ Μονάδεσ 6 iii Αν, με < είναι οι ρίηεσ τθσ εξίςωςθσ του προθγουμζνου ερωτιματοσ, να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τζτοιο ϊςτε fϋ ( )+f ( )= Μονάδεσ 6 Θ f είναι ςυνεχισ ςτο (,+) Άρα
i fϋ()=ln+ = ln+-, > Πταν (,) τότε -< < και < ln<ln ln< fϋ()=ln+ < άρα ςτο (,] Πταν (,+) τότε -> > και > ln>ln ln> fϋ()=ln+ > άρα ςτο [,+) f f(δ ) [ f(), f ( ) ) =(-,+) γιατί f(δ ) f ( ) f f ( ) = ( )ln =-(-)- =+ [ f(), f ( = ( )ln =+(+)- =+ Άρα f(a f )=f(δ )U f(δ ) =(-,+)U(-,+) =(-,+) ii - = ln - = (-)ln= (-)ln-= ) = (-,+) γιατί f()= () Επειδι f(δ )=(-,+) και θ f είναι ςυνεχισ, θ εξίςωςθ f()= - = ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο Δ και επειδι είναι ςτο Δ, μοναδικι Επειδι f(δ )=(-,+) και θ f είναι ςυνεχισ, θ εξίςωςθ f()= - = ζχει μια τουλάχιςτον ρίηα ςτο Δ και επειδι είναι ςτο Δ, μοναδικι Άρα ζχει ακριβϊσ δυο κετικζσ ρίηεσ (,) και (,+) iii Εφαρμόηουμε το κ Bolzano για τθν g()= =fϋ()+f ( )- ςτο διάςτθμα (, ) g ςυνεχισ ςτο (, ) ωσ διαφορά ςυνεχϊν g( )=fϋ( )+f( )- =fϋ( )+- γιατι ρίηα τθσ () =fϋ( )< γιατι από το (i) ερώτθμα f ()< ςτο (,) g( )=fϋ( )+f( )- =fϋ( )+- γιατι ρίηα τθσ () =fϋ( )> γιατι από το (i) ερώτθμα f ()> ςτο (,+) Άρα g( )g( )< και επομζνωσ υπάρχει (, ) τζτοιο ϊςτε g( )= fϋ ( )+f ( )-= fϋ ( )+f ( )= Παρατήρηση: Το ερϊτθμα μπορεί να επιλυκεί και με το κ Roll για τθν ςυνάρτθςθ h()= f()- ςτο διάςτθμα (, ) 9) (Θζμα Γ 5) Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f()=, R Γ Να μελετιςετε τθν f ωσ προσ τθν μονοτονία και να αποδείξετε ότι το ςφνολο τιμϊν τθσ είναι το διάςτθμα (,+) Μονάδεσ 6 Γ Να αποδείξετε ότι θ εξίςωςθ f 5 ζχει ςτο ςφνολο των πραγματικϊν αρικμϊν μια ακριβϊσ ρίηα Μονάδεσ 8 Γ fϋ()= = για κάκε R, με fϋ()= μόνο για = Επειδι είναι ςυνεχισ, κα είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο R f f(r) ( f ( ), f ( ) ) =(,+) γιατί f ( ) = = == και f ( ) =
DLH DLH = = Γ f 5 f f () f f " " f ( ) () Επειδι f(r)=(,+), θ εξίςωςθ () άρα και θ δοκείςα, ζχει μία τουλάχιςτον ρίηα ςτο R και επειδι είναι μοναδικι ) Δςφςφ ) Ηδφηφ ) ηφφηφη