i l 2, paralelne pravim l 1 i l 2, respektivno (sl. 1). Uoqimo ravan ϕ paralelnu ravni π, i neka ona seqe prave l 1 i l 2 u taqkama

NASTAVA MATEMATIKE U SREDNjIM XKOLAMA Sinixa Gavrilovi GEOMETRIJSKA MESTA TAQAKA U PROSTORU Po I. F. Xariginu, geometrija je mo no sredstvo u razvitku liqnosti u najxirem pogledu. Ona razvija osobine liqnosti (stvaralaqki razvoj, moralno vaspitanje, nezavisnost u mixljenju, sudovima, ponaxanju). Geometrija kao predmet nudi mnogo raznovrsnih sadrжaja o kojima pojedinci mogu kritiqki razmixljati i o kojima mogu donositi zakljuqke oslobođeni uticaja sopstvenih ose anja. Samim tim nastava geometrije iznedrava i svoj najznaqajniji cilj razvijanje samostalnog, jasnog i briжljivog logiqkog mixljenja uqenika, koji je ujedno i najbitniji cilj nastave matematike. Konstruktivni zadatak u ravni se rexava pomo u lenjira i xestara. U principu, geometrijske konstrukcije u prostoru efektivno ne izvodimo, ve analiziramo i opisujemo. U ovom radu obradi emo grupu zadataka vezanih za određivanje geometrijskih mesta taqaka (GMT) u prostoru. Zadatak 1. Odrediti GM sredixta duжi, paralelnih datoj ravni i qiji krajevi leжe na dvema datim mimoilaznim pravim. Rexenje. Neka date prave l 1 i l 2 seku datu ravan π u taqkama P i Q (ako l 1 π ili l 2 π, onda nema traжenih duжi). Povucimo kroz sredixte M duжi P Q prave l 1 i l 2, paralelne pravim l 1 i l 2, respektivno (sl. 1). Uoqimo ravan ϕ paralelnu ravni π, i neka ona seqe prave l 1 i l 2 u taqkama A 1 i A 2, a prave l 1 i l 2 u taqkama M 1 i M 1. Kako su qetvorouglovi M 1 A 1 P M i M 1A 2 QM parelelogrami, sledi da je qetvorougao M 1 A 1 M 1A 2 paralelogram. Prema tome, sredixte duжi A 1 A 2 poklapa se sa sredixtem duжi M 1 M 1, tako da se rexenje problema za date mimoilazne prave l 1 i l 2 poklapa sa rexenjem istog problema za prave l 1 i l 2 koje se seku. Sl. 1 Neka je S 1 sredixte duжi M 1 M 1, S 2 sredixte duжi M 2 M 2, S 3 sredixte duжi M 3 M 3,..., gde su taqke M i, M i (i N) taqke preseka ravni, paralelnih

Geometrijska mesta taqaka u prostoru 41 ravni π, sa pravim l 1 i l 2. Neka je prava p određena taqkama M i S 1 (sl. 2). Iz osobina sliqnosti trouglova sledi da taqke S 2, S 3, S 4,... pripadaju pravoj p koja predstavlja traжeno geometrijsko mesto taqaka. Obratno, lako se vidi da svaka taqka prave p predstavlja sredixte duжi koja je paralelna datoj ravni a qiji krajevi leжe na dvema datim mimoilaznim pravim. Zadatak 2. Odrediti GM taqaka koje u datom odnosu x : y dele duжi, paralelne datoj ravni i qiji krajevi leжe na dvema datim mimoilaznim pravim. Sl. 2 Rexenje. Neka date prave l 1 i l 2 seku datu ravan π u taqkama P i Q (ako l 1 π ili l 2 π, onda nema traжenih duжi). Povucimo kroz taqku M, koja deli duж P Q u odnosu x : y, prave l 1 i l 2 paralelne pravim l 1 i l 2, respektivno. Uoqimo ravan paralelnu ravni π, i neka ona seqe prave l 1 i l 2 u taqkama A 1 i A 2, a prave l 1 i l 2 u taqkama M 1 i M 1. Kako su qetvorouglovi M 1 A 1 P M i M 1A 2 QM paralelogrami, sledi da je qetvorougao M 1 A 1 M 1A 2 trapez, pri qemu je M 1 A 1 : M 1A 2 = x : y. Neka je taqka S 1 presek dijagonala posmatranog trapeza. Kako su trouglovi M 1 A 1 S 1 i M 1A 2 S 1 sliqni, onda je S 1 A 1 : S 2 A 2 = x : y = M 1 S 1 : M 1S 1. Na taj naqin smo rexavanje problema za date mimoilazne prave l 1 i l 2 sveli na rexavanje istog problema za prave l 1 i l 2 koje se seku. Traжeno geometrijsko mesto taqaka je prava određena taqkama M i S 1. Zadatak 3. Date su tri prave od kojih su svake dve mimoilazne. Odrediti GM teжixta trouglova, paralelnih datoj ravni i qija temena pripadaju datim pravim. Rexenje. GM sredixta stranica AB posmatranih trouglova je prava l (videti zadatak 1). Traжeno GMT qine taqke koje dele duжi u odnosu 1 : 2, koje su paralelne datoj ravni i qiji krajevi pripadaju pravoj l i tre oj datoj pravoj (sl. 3). Na osnovu zadatka 2 je traжeno GMT takođe prava. Sl. 3 Zadatak 4. U prostoru su date dve mimoilazne prave i taqka A na jednoj od njih. Kroz date prave postavljene su dve normalne ravni, obrazuju i prav diedar. Odrediti GM projekcija taqke A na strane takvih diedara. Rexenje. Neka su π 1 i π 2 normalne ravni koje sadrжe prave l 1 i l 2. Neka je l prava njihovog preseka, X projekcija taqke A na pravu l koja pripada pravoj l 1. Postavimo kroz taqku A ravan π normalnu na pravu l 2 (sl. 4). Kako je π l 2, to

42 S. Gavrilovi je π π 2. Zato prava AX pripada ravni π. Dakle, ako je B taqka preseka ravni π i prave l 2, onda je BXA = 90, tj. taqka X pripada kruжnici preqnika AB konstruisanoj u ravni π. Sl. 4 Sl. 5 Zadatak 5. Prave l 1 i l 2 dodiruju sferu. Duж MN qiji krajevi pripadaju tim pravim dodiruje sferu u taqki C (sl. 5). Odrediti GMT taqaka C. Sl. 6 Rexenje. Neka prava l 1, koja sadrжi taqku M, dodiruje sferu u taqki A, a prava l 2 u taqki B. Postavimo kroz pravu l 1 ravan paralelnu sa l 2, i posmatrajmo projekciju na tu ravan u pravcu prave AB (sl. 6). Neka su N i C slike taqaka N i C pri toj projekciji. Kako je AM = AC i BN = NC, onda je AM : AN = AM : BN = CM : CN, a na osnovu Talesove teoreme je CM : CN = C M : C N, pa je AM : AN = C M : C N, tj. AC je simetrala MAN. Odatle sledi da ravan ABCC obrazuje jednake uglove sa pravim MA i AN, tj. l 1 i l 2 (inaqe, takvih ravni ima dve). Traжeno GMT su dve kruжnice po kojima te ravni seku datu sferu; taqke A i B pri tome treba iskljuqiti u sluqaju kada se prave l 1 i l 2 ne seku. Zadatak 6. Taqke A i B leжe sa iste strane ravni π, pri qemu prava AB nije paralelna sa ravni π. Odrediti GMT centara sfera koje sadrжe date taqke i dodiruju datu ravan.

Geometrijska mesta taqaka u prostoru 43 Rexenje. Neka je C taqka preseka prave AB sa datom ravni, i neka je taqka M taqka dodira jedne od traжenih sfera sa ravni π (sl. 7). Kako je CM 2 = CA CB, to taqka M pripada kruжnici polupreqnika CA CB sa centrom u taqki C. Sledi da centar O sfere pripada omotaqu pravog valjka qija je osnova ta kruжnica. Osim toga, centar sfere pripada ravni koja prolazi kroz sredixte duжi AB i koja je na nju normalna. Sl. 7 Posmatrajmo sada taqku O omotaqa valjka koja je jednako udaljena od taqaka A i B. Tada je rastojanje od taqke C do projekcije M taqke O na ravan π jednako CA CB. Neka je CM1 tangenta sfere polupreqnika OA sa centrom u taqki O, pa je CM1 2 = CA CB. Tada je CM = CM 1, pa je OM 2 = CO 2 CM 2 = CO 2 CM1 2 = OM1 2, tj. taqka M pripada posmatranoj sferi. Kako je OM π, onda je M taqka dodira te sfere i ravni π. Dakle, traжeno GMT je presek omotaqa valjka i ravni. Zadatak 7. Dve ravni paralelne datoj ravni π seku ivice triedra u taqkama A, B, C i A 1, B 1, C 1 (taqke oznaqene istim slovom pripadaju istoj ivici). Odrediti GMT preseka ravni ABC 1, AB 1 C i A 1 BC. Rexenje. Presek ravni ABC 1 i AB 1 C je prava AM, gde je M taqka preseka dijagonala BC 1 i B 1 C trapeza BCC 1 B 1 (sl. 8). Neka su S 1 i S 2 sredixta duжi, redom, B 1 C 1 i BC. Homotetijom sa centrom u taqki S duж B 1 C 1 se preslikava u duж BC, pa su taqke S, S 1, S 2 kolinearne. Dokaжimo da taqka M pripada pravoj p(s, S 1, S 2 ). Neka je M taqka preseka pravih p(b, C 1 ) i p(s 1, S 2 ), i B 1 taqka preseka pravih p(m, C) i p(b 1, C 1 ). S obzirom da vaжi sliqnost trouglova: S 1 C 1 M S 2 BM i S 1 B 1M S 2 CM, sledi da je S 1 C 1 : S 2 B = S 1 M : M S 2 i B 1S 1 : CS 2 = S 1 M : M S 2. Odatle je S 1 C 1 : S 2 B = B 1S 1 : CS 2, a kako je S 2 B = CS 2, zakljuqujemo da je S 1 C 1 = B 1S 1, pa je B 1 B 1, xto znaqi da se taqke M i M poklapaju. Dakle, taqka M pripada pravoj l = p(s, S 1, S 2 ). Sl. 8 Prava l je jednoznaqno određena sa ravni π, jer prava l prolazi kroz sredixta svih duжi paralelnih ravni π, a qiji se krajevi nalaze na ivicama S B i S C triedra, pa moжemo posmatrati bax duж DE u ravni π qiji se krajevi

44 S. Gavrilovi nalaze na ivicama S B i S C triedra, potom na i njeno sredixte P, spojiti sa taqkom S i na taj naqin konstruisati pravu l. Odatle sledi da je i ravan π a jednoznaqno određena, jer sadrжi pravu l i ivicu S A triedra. Taqka preseka prave AM i ravni A 1 BC pripada ravni π a, jer toj ravni pripada cela prava AM. Analogno ravni π a konstruixemo ravan π b. Neka je m prava preseka tih ravni (ravan π c takođe sadrжi pravu m). Traжeno GMT su taqke te prave koje pripadaju unutraxnjosti datog triedra. Zadatak 8. Dat je ravan qetvorougao ABCD. Odrediti GM takvih taqaka M da se omotaq piramide MABCD moжe prese i sa ravni tako da se u preseku dobije: a) pravougaonik; b) romb. Rexenje. Neka su P i Q taqke preseka, redom, produжetaka naspramnih stranica CD i AB, AD i BC qetvorougla ABCD. Tada su MP i MQ prave preseka ravni naspramnih strana piramide M ABCD (sl. 9). Pretpostavimo da su taqke R, S, T, F, redom, na pravim MA, MB, MC, MD takve da je qetvorougao RST F paralelogram. Pokaжimo da je prava MQ paralelna ravni RST F. Pretpostavimo suprotno, i neka je H taqka preseka prave MQ i ravni RST F. Kako je prava ST presek ravni MCQ i RST F, a taqka H pripada obema ravnima, sledi da prava ST sadrжi taqku H. Analogno se pokazuje da prava RF sadrжi taqku H. Dakle, prave RF i ST se seku u taqki H, xto je kontradikcija sa pretpostavkom da je qetvorougao RST F paralelogram. Odatle sledi da je prava MQ paralelna ravni RST F. Analogno se pokazuje da je prava MP paralelna ravni RST F. Zato je presek piramide M ABCD paralelogram sako ako je ravan preseka paralelna sa ravni MP Q, i pri tome su stranice paralelograma paralelne sa MP i MQ. Sl. 9 a) U preseku moжemo dobiti pravougaonik samo ako je P MQ = 90, tj. taqka M pripada sferi preqnika P Q. Taqke te sfere koje pripadaju ravni datog qetvorougla treba iskljuqiti. b) Neka su K i L taqke preseka produжetaka dijagonala AC i BD sa pravom P Q. Poxto su dijagonale paralelograma, koji se dobija u preseku piramide MABCD, paralelne pravim MK i ML, onda je presek romb samo ako je KML = 90, tj. taqka M pripada sferi preqnika KL. Taqke te sfere koje pripadaju ravni datog qetvorougla treba iskljuqiti.

Geometrijska mesta taqaka u prostoru 45 Zadaci za veжbu Zadatak 1. Odrediti GM sredixta duжi date duжine d, qiji krajevi leжe na dvema datim mimoilaznim pravim. Zadatak 2. Date su tri prave l 1, l 2 i l 3, od kojih su svake dve mimoilazne. Prave l 1, l 2 i l 3 su normalne na jednu pravu i seku je redom u taqkama A 1, A 2 i A 3. Neka su M i N taqke pravih l 1 i l 2 takve da se prave l 3 i MN seku. Odrediti GM sredixta duжi MN. Zadatak 3. Odrediti GMT qiji je zbir rastojanja do ravni koje sadrжe strane datog triedra konstantan. Zadatak 4. U ravni je dat oxtgrougli trougao ABC. Odrediti GM projekcija na tu ravan svih taqaka M za koje su trouglovi ABM, BCM i CAM oxtrougli. Kako ne postoje univerzalni obrasci ili precizna uputstva, qijom bi primenom jednostavno i sigurno uqenik u bilo kom zadatku otkrio rexenje, on mora da vrxi određena istraжivanja i proveravanja, kako bi otkrio pravi put ka rexenju problema. Na tom putu on se sluжi misaonim postupcima i metodama koje usmeravaju traganje i omogu avaju da brжe pronađe rexenje zadatog geometrijskog ili nekog drugog matematiqkog problema. Zakljuqujemo da bi trebalo uqenike upoznati sa geometrijskim problemima u prostoru jer se tako podstiqu na razmixljanje i pronalaze razne pristupe u rexavanju jednog te istog problema. Rexavanjem tih zadataka, kod uqenika se budi interesovanje i pokre e dosetljivost produkuju i doжivljaje napetosti samoangaжovanja. Ovakvi doжivljaji mogu stvoriti sklonost za umni rad, ostavljaju i neizbrisiv trag na duh i karakter mladog qoveka. Zahvaljujem se dr Ratku Toxi u koji mi je nesebiqno pomogao prilikom izbora teme i realizacije ovog rada. LITERATURA 1. V. V. Prosolov, I. F. Xarygin, Zadaqi po stereometrii, «Nauka», Moskva, 1989. 2. R. Courant, H. Robbins, What is Mathematics?, Oxford Univ. Press, 1996. 3. R. Tošić, V. Petrović, Zbirka zadataka iz osnova geometrije, PMF Novi Sad, 1990. 4. Struqno-metodiqki qasopis Matematika, Zavod za u benike i nastavna sredstva Srbije, Beograd, 1973. 5. M. Boжi, Pregled istorije i filozofije matematike, Beograd, 2002. 6.. G. Markovi, Geometrijski poliformizam, Podgorica, 2006. OX,,Janko Veselinovi, Xabac E-mail: ssggavra@ptt.rs