ZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE GEOMETRIJE sa primenama u raqunarskoj grafici
|
|
- Αελλα Ἡρωδιάς Παπανδρέου
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 SR AN VUKMIROVI ZORAN STANI ZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE GEOMETRIJE sa primenama u raqunarskoj grafici Matematiqki fakultet, Beograd, 2003
2 Autori: dr Srđan Vukmirovi, Zoran Stani ZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE GEOMETRIJE Prvo izdanje. Izdavaq: Matematiqki fakultet, Studentski trg 16, Beograd Za izdavaqa: dr Aleksandar Lipkovski Recenzenti: dr Predrag Janiqi, docent Matematiqkog fakulteta u Beogradu mr Aleksandar Samar i, asistent Matematiqkog fakulteta u Beogradu Priprema za xtampu, crteжi i korice: dr Srđan Vukmirovi, Zoran Stani Xtampa: VESTA Company, Ljexka 33, Beograd Tiraж: 400. CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd (075.8)(076) VUKMIROVI, Srđan Zbirka zadataka iz projektivne geometrije: sa primenama u raqunarskoj grafici / Srđan Vukmirovi, Zoran Stani. 1. izd. Beograd : Matematiqki fakultet, 2003 (Beograd : Vesta Company). III, 100 str. : graf. prikazi ; 24 cm Tiraж 400. Bibliografija: str ISBN Stani, Zoran a) Projektivna geometrija Zadaci b) Afina geometrija Zadaci COBISS.SR-ID c Matematiqki fakultet u Beogradu. Sva prava zadrжana. Nijedan deo ove publikacije ne moжe biti reprodukovan niti smexten u sistem za pretraжivanje ili transmitovanje u bilo kom obliku, elektronski, mehaniqki, fotokopiranjem, smanjenjem ili na drugi naqin, bez prethodne pismene dozvole izdavaqa. ISBN
3 Sadrжaj Uvod 1 1 Osnovne definicije i teoreme 3 2 Projektivna prava Homogene koordinate i dvorazmera Transformacije projektivne prave Projektivna ravan Koordinate u projektivnoj ravni Transformacije projektivne ravni Kolineacije Korelacije Krive drugog reda Pol i polara Krive drugog reda u afinoj ravni Primena na probleme afine ravni Projektivni prostor Koordinate u projektivnom prostoru Transformacije projektivnog prostora Povrxi drugog reda Afine transformacije sa projektivne taqke gledixta Afine transformacije prostora R n Afine transformacije ravni Afine transformacije prostora iii
4 iv Sadrжaj 6 Projekcije 85 7 Kvaternioni Ukratko o kvaternionima Kvaternioni i izometrije prostora R Literatura 99
5 Uvod Ova zbirka zadataka nastala je na osnovu dela veжbi iz kursa Nacrtna geometrija koje su autori drжali na Matematiqkom fakultetu u Beogradu od 1997/8. godine. Zbirka se oslanja na teorijske osnove koje se mogu na i u skripti [10] ili u beniku [15]. Жeleli smo da pokrijemo onaj deo nastavnog sadrжaja za koji ne postoji literatura na naxem jeziku. Takođe, svesni znaqaja koji homogene koordinate imaju u raqunarskoj grafici, odluqili smo da, o- staju i u okvirima geometrije, jedan deo zbirke posvetimo i toj temi. Deo zadataka iz ove zbirke je originalan, a ostatak je preuzet iz razne geometrijske literature. Nekoliko reqi o sadrжaju zbirke. Deo koji se radi na veжbama je sadrжan u prve tri glave. Na poqetku, u Glavi 1, navodimo teorijske osnove kako bismo obezbedili relativnu zatvorenost sadrжaja zbirke i uveli oznake. U Glavi 2 obrađujemo realnu projektivnu pravu. Posebna paжnja je posve ena razumevanju homogenih koordinata i vezi između afine i projektivne geometrije. Projektivna ravan je obrađena u Glavi 3. Kao vaжna, istaknuta je dualnost projektivnih prostora taqaka i pravih koja se najbolje razumeva prouqavanjem korelacija. Mixljenja smo, da qitalac koji ima određenu geometrijsku intuiciju i poznaje linearnu algebru moжe nakon razumevanja prve dve glave bez ve ih problema raqunati u projektivnom prostoru bilo koje dimenzije. Zato je u Glavi 4 nemnogo obrađen i projektivni prostor. Ostatak zbirke, mada qisto geometrijski, je namenjen eventualnim
6 2 Uvod primenama u raqunarskoj grafici. Afine i izometrijske transformacije diskutovane su u Glavi 5, a projekcije u Glavi 6. Glava 7 je kompletan uvod u kvaternione i njihovu vezu sa geometrijom. Recimo, rotacije oko prave u trodimenzionom prostoru, objaxnjene su na dva naqina: matriqno u Poglavlju 5.3 i pomo u kvaterniona u Poglavlju 7.2. Zasluga je prof. dr. Nede Bokan u prepoznavanju znaqaja homogenih koordinata u informatici i njihovom uvođenju u sadrжaj kursa Nacrtna geometrija. Njoj se zahvaljujemo i na podrxci i pomo i u pisanju ove zbirke. Dr Predrag Janiqi i mr Aleksandar Samar i, kao recenzenti, su nizom sugestija i ideja uticali na sadrжaj zbirke, te se i njima zahvaljujemo. Beograd, oktobar Autori
7 Glava 1 Osnovne definicije i teoreme Definicija 1.1 Realni n dimenzioni projektivni prostor RP n je skup klasa ekvivalencije relacije prostora R n+1 \{0} definisane sa (x 1, x 2,..., x n+1 ) λ(x 1, x 2,..., x n+1 ), λ R\{0}. Klasa ekvivalencije X je taqka projektivnog prostora RP n, (x 1 : x 2 :... : x n+1 ) su njene homogene (projektivne) koordinate, dok je X(x 1, x 2,..., x n+1 ) njen vektor predstavnik. 1 Primer projektivnog prostora RP n je afini prostor R n dopunjen beskonaqno dalekim taqkama. Naime, konaqnim taqkama (x 1, x 2,..., x n ) prostora R n odgovaraju taqke (x 1 : x 2 :... : x n : 1) prostora RP n. Taqke oblika (x 1 : x 2 :... : x n : 0) zovemo beskonaqno dalekim taqkama. Tada vaжi RP n = {(x 1 : x 2 :... : x n+1 )} = = {(x 1 : x 2 :... : x n+1 ) x n+1 0} {(x 1 : x 2 :... : x n : 0)} = {( x1 x )} 2 = : :... : 1 {x n+1 = 0} = x n+1 x n+1 = R n taqke beskonaqno daleke hiperravni. 1 Teoreme i notacija su uglavnom preuzeti iz skripte [10] gde se mogu prona i i dokazi teorema.
8 4 Osnovne definicije i teoreme Napomena 1.1 Jednodimenzioni projektivni prostor RP 1 zovemo projektivna prava. Primetimo da na njoj postoji jedna beskonaqno daleka taqka sa koordinatama (1 : 0). Dvodimenzioni projektivni prostor RP 2 zovemo projektivna ravan i na njoj su sve taqke oblika (x 1 : x 2 : 0), x x 2 2 > 0, beskonaqno daleke i sve one qine beskonaqno daleku pravu. Ukoliko kaжemo projektivni prostor, ne navode i njegovu dimenziju, podrazumeva emo da je u pitanju prostor RP 3. U njemu beskonaqno daleka ravan sadrжi sve beskonaqno daleke taqke. Drugi primer prostora RP n je potprostor hiperravni u (n + 1) dimenzionom vektorskom prostoru R n+1. Homogene koordinate hiperravni a 1 x 1 + a 2 x a n+1 x n+1 = 0 oznaqavamo sa [a 1 : a 2 :... : a n+1 ]. Definicija 1.2 Neka su X(x 1 : x 2 :... : x n+1 ) koordinate proizvoljne taqke prostora RP n u jednom (starom) koordinatnom sistemu, a X (x 1 : x 2 :... : x n+1) koordinate iste taqke u drugom (novom) projektivnom koordinatnom sistemu, tada je promena koordinata data slede im formulama λx 1 = t 11 x 1 + t 12 x t 1,n+1 x n+1, λx 2 = t 21 x 1 + t 22 x t 2,n+1 x n+1,.. λx n+1 = t n+1,1 x 1 + t n+1,2 x t n+1,n+1 x n+1, λ R\{0}, xto kra e zapisujemo λx = TX, gde su X i X vektori predstavnici redom taqaka X i X, a T = (t ij ) regularna matrica formata (n +1) (n +1) koju jox zovemo i matrica promene koordinata (matrica prelaska). Svakih (k + 1) taqaka prostora RP n (k < n) qiji su vektori predstavnici linearno nezavisni određuju jedinstvenu k-dimenzionu projektivnu ravan prostora RP n. Ta ravan je sama za sebe projektivni prostor dimenzije k. Ona je zadata sa n k nezavisnih homogenih linearnih jednaqina po promenljivima x 1,..., x n+1. Taqke koje pripadaju jednodimenizonoj projektivnoj ravni (projektivnoj pravoj) zovemo kolinearnim.
9 5 Definicija 1.3 Za (n + 2) taqke projektivnog prostora kaжemo da se nalaze u opxtem poloжaju ako su vektori predstavnici svakih (n + 1) od njih linearno nezavisni. Teorema 1.1 (Osnovna teorema projektivne geometrije) Postoji jedinstven homogeni koordinatni sistem prostora RP n u kojem date (n+ 2) taqke u opxtem poloжaju imaju koordinate A 1 (1 : 0 : 0 :... : 0), A 2 (0 : 1 : 0 :... : 0),.. A n+1 (0 : 0 :... : 0 : 1), B (1 : 1 :... : 1 : 1). Napomena 1.2 Taqke A i, i = 1, 2,..., n + 1, iz prethodne teoreme zovemo bazne taqke, dok je B taqka jedinice. Definicija 1.4 Ako su A, B, C i D razliqite kolinearne taqke n dimenzionog projektivnog prostora, takve da za neke vrednosti α, β, γ, δ R i vektore predstavnike tih taqaka vaжi C = αa + βb, D = γa + δb, tada dvorazmeru (A, B; C, D) taqaka A, B, C i D definixemo na slede- i naqin (A, B; C, D) = β α : δ γ. Ukoliko vaжi (A, B; C, D) = 1, kaжemo da su taqke A, B, C i D harmonijski konjugovane (spregnute) i to oznaqavamo sa H(A, B; C, D). Napomena 1.3 Ukoliko su za taqke prostora RP n uzete hiperravni, prethodna definicija se jednako primenjuje. Iz qinjenice da se vektori C i D mogu izraziti preko vektora A i B sledi da su odgovaraju e taqke kolinearne, a u sluqaju hiperravni, da se odgovaraju- e hiperravni seku po ravni dimenzije (n 2). Primetimo i da dvorazmera razliqitih taqaka ne moжe biti jednaka nuli, niti jedinici. Teorema 1.2 (Osobine dvorazmere) Dvorazmera kolinearnih taqaka A, B, C i D prostora RP n ne zavisi od izbora njihovih vektora predstavnika i vaжe jednakosti
10 6 Osnovne definicije i teoreme a ) (A, B; C, D) = (C, D; A, B); b ) (A, B; C, D) = (B, A; C, D) 1. Definicija 1.5 Za razliqite kolinearne taqke n dimenzionog projektivnog prostora A, B, C i D kaжemo da par taqaka A, B razdvaja par taqaka C, D (xto oznaqavamo sa A, B C, D), ako vaжi (A, B; C, D) < 0. Sliqno, par taqaka A, B ne razdvaja par taqaka C, D (xto o- znaqavamo sa A, B.. C, D), ukoliko je ispunjeno (A, B; C, D) > 0. Napomena 1.4 Primetimo da ako za neke qetiri taqke vaжi H(A, B; C, D), onda vaжi A, B C, D. Tom prilikom kaжemo da taqke A i B harmonijski razdvajaju taqke C i D. Definicija 1.6 Projektivno preslikavanje n dimenzionog projektivnog prostora dato je formulama λx 1 = p 11 x 1 + p 12 x p 1,n+1 x n+1, λx 2 = p 21 x 1 + p 22 x p 2,n+1 x n+1,. λx n+1 = p n+1,1 x 1 + p n+1,2 x p n+1,n+1 x n+1, λ R\{0}, xto matriqno zapisujemo λx = PX, gde je P = (p ij ) matrica preslikavanja. Ukoliko vaжi det(p) 0, tada gornje formule nazivamo projektivnom transformacijom. Preslikavanja qija je matrica singularna nazivamo degenerativnim. 2 Napomena 1.5 Domen i kodomen projektivnog preslikavanja ne moraju biti projektivni prostori istog tipa. Tako se, na primer, u Poglavlju bavimo preslikavanjima skupa taqaka projektivne ravni na skup pravih i obratno. Teorema 1.3 (Osobine projektivne transformacije) Transformacija projektivnog prostora RP n je jednoznaqno određena sa (n + 2) taqke u opxtem poloжaju i ima slede e osobine a ) bijekcija je; 2 Ovom vrstom preslikavanja emo se posebno baviti u Glavi 6.
11 7 b ) quva dvorazmeru, pa time i relaciju razdvojenosti parova taqaka; v ) k dimenzione ravni prostora RP n preslikava u k dimenzione ravni. Teorema 1.4 Projektivni prostori parne dimenzije nisu orijentabilni, a prostori neparne dimenzije jesu i u njima je orijentacija definisana zadavanjem homogenih koordinata. Definicija 1.7 Kaжemo da transformacija λx = PX projektivnog prostora neparne dimenzije quva orijentaciju, ukoliko vaжi det(p) > 0. U suprotnom, kaжemo da transformacija ne quva orijentaciju projektivnog prostora. Definicija 1.8 Hiperpovrx drugog reda prostora RP n je skup rexenja kvadratne jednaqine X T GX = 0, gde je G = (g ij ) simetriqna matrica hiperpovrxi, formata (n + 1) (n + 1). Ukoliko vaжi det(g) = 0, kaжemo da je hiperpovrx degenerisana. Teorema 1.5 Za svaku hiperpovrx drugog reda postoji koordinatni sistem takav da u njemu ona ima svoj kanonski oblik, to jest, da je matrica hiperpovrxi oblika diag(1,..., 1, 1,..., 1, 0,... 0).
12
13 Glava 2 Projektivna prava 2.1 Homogene koordinate i dvorazmera Zadatak 2.1 Taqke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date koordinatama (x 1 : x 2 ) odabrane su, redom, za bazne taqke (1 : 0), (0 : 1) i taqku jedinice (1 : 1) novog sistema homogenih koordinata (x 1 : x 2). Odrediti vezu između starog i novog sistema homogenih koordinata. Rexenje: Neka su X(x 1 : x 2 ) i X (x 1 : x 2) koordinate proizvoljne taqke u starom, odnosno, novom koordinatnom sistemu. Tada, na osnovu Definicije 1.2, za λ R\{0} vaжi jednakost λx = TX, gde su X(x 1, x 2 ) i X (x 1, x 2) vektori predstavnici taqaka X i X, a T = (t ij ) matrica promene koordinata. U razvijenoj formi, ta jednakost je λx 1 = t 11 x 1 + t 12 x 2, λx 2 = t 21 x 1 + t 22 x 2. Ovo daje sistem od xest jednaqina sa sedam nepoznatih: λ 1 2 = t t 12 0, λ 2 3 = t t 12 1, λ 3 4 = t t 12 1,
14 10 Projektivna prava λ 1 1 = t t 22 0, λ 2 1 = t t 22 1, λ 3 1 = t t Odatle je t 11 = 2λ 1, t 12 = 6λ 1, t 21 = λ 1 i t 22 = 2λ 1. Moжemo uzeti, na primer, da je λ 1 = 1, pa je traжena matrica promene koordinata ( ) 2 6 T =. 1 2 Zadatak 2.2 Ako su koordinate baznih taqaka i taqke jedinice novog koordinatnog sistema (x 1 : x 2) u starom sistemu (x 1 : x 2 ) redom A 1(a 11 : a 21 ), A 2(a 12 : a 22 ) i B (b 1 : b 2 ), odrediti: a ) koordinate (x 1 : x 2) u funkciji od koordinata (x 1 : x 2 ); b ) koordinate (x 1 : x 2 ) u funkciji od koordinata (x 1 : x 2). Zadatak 2.3 Odrediti afine koordinate baznih taqaka i taqke jedinice projektivnog sistema koordinata projektivne prave. Zadatak 2.4 Na projektivnoj pravoj su date taqke A(0 : 1), B(1 : 0), C(1 : 1) i D(3 : 2). Koriste i Definiciju 1.4, odrediti dvorazmeru (A, B; C, D). Zadatak 2.5 Na projektivnoj pravoj date su razliqite taqke A, B i C. Dokazati da, za proizvoljnu vrednost α R\{0, 1}, postoji jedinstvena taqka D, takva da vaжi (A, B; C, D) = α. Specijalno, dokazati da postoji jedinstvena taqka D, takva da vaжi H(A, B; C, D). Zadatak 2.6 Na projektivnoj pravoj date su taqke A(1 : 0), B(2 : 1) i C(4 : 1). Odrediti koordinate taqke X za koju vaжi H(A, X; B, C). Rexenje: Vaжi (vidi Teoremu 1.2) H(A, X; B, C) (A, X; B, C) = 1 (B, C; A, X) = 1. Neka je Tada vaжi A = αb + βc, X = γb + δc. 1 = 2α + 4β, 0 = α + β,
15 Homogene koordinate i dvorazmera 11 odakle dobijamo α = β, to jest, β = 1. Dalje je α 1 = (B, C; A, X) = β α : δ γ = 1 : δ γ, odakle sledi δ = γ, xto znaqi da je X = γb + γc = (6γ, 2γ). Izaberemo li, recimo, γ = 1, dobijamo X(3 : 1). 2 Napomena 2.1 Uoqimo da su afine koordinate taqaka iz prethodnog zadatka A( ) 1, B(2) i C(4), pa je u afinom smislu, taqka X(3) sredixte duжi BC. Ovo vaжi u opxtem sluqaju, o qemu govori Zadatak 2.7. Da je dvorazmera odnos dve afine razmere (otuda i naziv) objaxnjeno je u Zadatku 2.8. Zadatak 2.7 Na dopunjenoj afinoj pravoj date su taqke A( ) = (1 : 0), B(b) = (b : 1) i C(c) = (c : 1). Dokazati da je taqka X, za koju vaжi H(A, X; B, C), sredixte duжi BC. Zadatak 2.8 Na afinoj pravoj uvedene su projektivne koordinate. Odrediti afini smisao dvorazmere (A, B; C, D) taqaka A(x 1 ) = A(x 1 : 1), B(x 2 ) = B(x 2 : 1), C(x 3 ) = C(x 3 : 1) i D(x 4 ) = D(x 4 : 1). Rexenje: Treba, dakle, vektore koji odgovaraju taqkama C i D izraziti u zavisnosti od vektora predstavnika taqaka A i B: odnosno xto daje C = αa + βb, (x 3, 1) = α(x 1, 1) + β(x 2, 1), x 3 = αx 1 + βx 2, 1 = α + β, 1 Taqkom ( ) je afina prava dopunjena do projektivne prave, to jest, RP 1 =R {( )}
16 12 Projektivna prava odakle dobijamo Sliqno je odakle dobijamo α = x 3 x 2 x 1 x 2, β = x 3 x 1 x 2 x 1. D = γa + δb, γ = x 4 x 2, δ = x 4 x 1, x 1 x 2 x 2 x 1 pa za dvorazmeru vaжi: (A, B; C, D) = β α : δ γ = x 3 x 1 x 2 x 3 : x 4 x 1 x 2 x 4, xto znaqi da je u afinom smislu dvorazmera odnos AC CB : AD DB. Zadatak 2.9 Dokazati da za razliqite taqke A, B, C, D i E projektivne prave vaжi (A, B; C, D)(A, B; D, E)(A, B; E, C) = 1. Zadatak 2.10 Na projektivnoj pravoj date su razliqite taqke A, B, C i D. Dokazati da na njoj postoje taqke P i Q koje harmonijski razdvajaju i par A, B i par C, D ako i samo ako par C, D ne razdvaja par A, B. Uputstvo: Neka je (x 1 : x 2 ) projektivni koordinatni sistem, takav da u njemu date taqke imaju koordinate A(1 : 0), B(0 : 1), C(1 : 1), D(d : 1), P (p : 1), Q(q : 1), gde su d, p i q razliqiti od nule i međusobno razliqiti brojevi. Tada je: Sa druge strane, dobijamo C, D.. A, B (A, B; C, D) > 0 d > 0. (A, B; P, Q) = (C, D; P, Q) = 1 q = p = d. Ovo znaqi da je uslov postojanja taqaka P i Q koje harmonijski razdvajaju date parove taqaka ekvivalentan uslovu d > 0, odakle sledi tvrđenje.
17 Transformacije projektivne prave Transformacije projektivne prave Zadatak 2.11 Odrediti formule projektivne transformacije koja taqke A(0 : 1), B(1 : 0) i C(1 : 1) prevodi redom u taqke A (1 : 1), B (1 : 1) i C (1 : 3). Uputstvo: U skladu sa Definicijom 1.6, zakljuqujemo da je transformacija oblika λx = PX, gde je P = (p ij ) nedegenerisana matrica, a λ 0. Sliqno kao u Zadatku 2.1, dolazimo do sistema od 6 jednaqina sa 7 nepoznatih, qijim rexavanjem dobijamo matricu traжene transformacije: P = ( Drugi naqin za rexavanje ovog zadatka je dat u Zadatku Zadatak 2.12 Na projektivnoj pravoj date su taqke A(1 : 0), B(1 : 1) i C(0 : 1). Odrediti koordinate taqke D, takve da vaжi H(A, B; C, D), a zatim odrediti formule transformacije koja taqke A, B i C prevodi redom u taqke A, B i D. Zadatak 2.13 Odrediti formule inverzne transformacije, transformacije λx 1 = 3x 1 + 4x 2, λx 2 = 2x 1 + 3x 2. Zadatak 2.14 Odrediti invarijantne taqke transformacije ). a ) b ) v ) λx 1 = 2x 1 x 2, λx 2 = x 1 + 4x 2 ; λx 1 = 2x 1 + 3x 2, λx 2 = 3x 1 + 2x 2 ; λx 1 = 2x 1 x 2, λx 2 = 2x 1 + x 2.
18 14 Projektivna prava Rexenje: a) Traжimo taqke za qije koordinate vaжi X = (x 1 : x 2 ) = (x 1 : x 2), to jest, rexavamo sistem On se kra e zapisuje sa odakle je λx 1 = 2x 1 x 2, λx 2 = x 1 + 4x 2. λx = PX, (P λe)x = 0. Trivijalno rexenje (0 : 0) nije taqka projektivne prave! Invarijantna taqka je predstavljena sopstvenim vektorima matrice P. Karakteristiqni polinom χ P (λ), matrice P je χ P (λ) = 2 λ λ = (λ 3)2. Dakle, dvostruka sopstvena vrednost je λ 1 = λ 2 = 3. Njoj odgovara sopstveni vektor (1, 1), a njemu jedina invarijantna taqka A(1 : 1). b ) Sliqno kao u prethodnom sluqaju, dobijaju se invarijantne taqke A 1 (1 : 1) i A 2 (1 : 1). v ) U ovom sluqaju nema invarijantnih taqaka. Zadatak 2.15 Zapisati transformaciju u afinim koordinatama. λx 1 = 2x 1 x 2, λx 2 = x 1 + 4x 2. Rexenje: Data transformacija u afinim koordinatama ima oblik x = x 1 x = 2x 1 x 2 = 2 x 1 + 4x 2 2x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 + 4x = 2 x 2 x 2 2x 1 x + 4.
19 Transformacije projektivne prave 15 Napomena 2.2 Svaka projektivna transformacija u afinim koordinatama ima oblik x = ax + b, ad bc 0. cx + d Zadatak 2.16 Odrediti formule transformacije projektivne prave koja taqke A(1 : 1), B(1 : 0) i C(2 : 1) prevodi redom u taqke A (0 : 1), B (1 : 1) i C (1 : 2). Rexenje: Afine koordinate koje odgovaraju datim homogenim koordinatama su A( 1), C(2), A (0), B (1), C ( 1 ),B( ). Sada, transformaciju 2 potraжimo u obliku Iz datih uslova dobijamo: x = ax + b cx + d. A A : 0 = a + b c + d, B B : 1 = lim x C C : 1 2 = 2a + b 2c + d. Odavde je b = c = a i d = 8a, to jest, za a = 1 x = x + 1 x 8. ax + b cx + d, Ovo je traжena transformacija, ali u afinim koordinatama. Povratkom na projektivne, dobijamo λx 1 = x 1 + x 2, λx 2 = x 1 8x 2. Zadatak 2.17 Zapisati transformaciju iz Zadatka 2.15 u novim homogenim koordinatama (a 1 : a 2 ) u kojima invarijantna taqka A( 1 : 1) ima koordinate (1 : 0) i u njima odgovaraju im afinim koordinatama.
20 16 Projektivna prava Rexenje: Oznaqimo sa P x = ( ) matricu transformacije u koordinatnom sistemu (x 1 : x 2 ). Njena jedina invarijantna taqka je A(1 : 1). Koordinatnih sistema (a 1 : a 2 ) u kojima taqka A(1 : 1) ima koordinate (1 : 0) ima beskonaqno mnogo. Odredimo matricu prelaska T između starih koordinata (x 1 : x 2 ) i nekih novih koordinata (a 1 : a 2 ). Taqka A odgovara prvom novom baznom vektoru (jer su joj nove koordinate (1 : 0)), pa zato njene stare koordinate qine prvu kolonu matrice T. Druga kolona matrice T je proizvoljna do na uslov det(t) 0 (u tome se i ogleda proizvoljnost sistema (a 1 : a 2 )). Recimo, T = ( Matrica P a transformacije u koordinatama (a 1 : a 2 ) je ( ) ( ) ( ) ( P a = T P x T = = Dakle, ista transformacija projektivne prave u novim koordinatama je data sa ). λa 1 = 3a 1 a 2, λa 2 = 3a 2. Prelaskom na odgovaraju e afine koordinate dobijamo a = a 1 a = 3a 1 a 2 = 2 3a 2 3a 1 a 2 a 2 a 2 3a 2 a 2 = a 1 3. ). Napomena 2.3 Transformacija u koordinatama (a 1 : a 2 ) je afina jer su te koordinate izabrane tako da je u njima invarijantna taqka A beskonaqno daleka. Taqnije, transformacija je u tim koordinatama
21 Transformacije projektivne prave 17 translacija koja pomera sve (konaqne) taqke tako da (i odatle) zakljuqujemo da je A jedina invarijantna taqka. Primetimo da u projektivnoj geometriji pojam konaqnosti, kao i pojam afinosti neke transformacije, zavisi od izbora koordinata, to jest, ne postoji. Definicija 2.1 Transformaciju projektivne prave koja ima nula, jednu, odnosno dve invarijantne taqke nazivamo redom eliptiqka, paraboliqka, odnosno hiperboliqka. Zadatak 2.18 Koji su neophodni i dovoljni uslovi da transformacija projektivne prave bude eliptiqka, paraboliqka, odnosno hiperboliqka? Zadatak 2.19 Dokazati da skup A M, transformacija projektivne prave sa jednom zajedniqkom invarijantnom taqkom M, qini podgrupu grupe projektivnih transformacija izomorfnu grupi afinih transformacija. Uputstvo: Izabrati koordinatni sistem (x 1 : x 2 ) u kome taqka M ima koordinate M(1 : 0). Lako se proverava da su matrice tranformacija pri kojima je taqka M(1 : 0) invarijantna oblika f av : ( a v 0 1 ), a 0. (2.1) Nije texko proveriti da takve transformacije qine podgrupu grupe projektivnih transformacija. Oznaqimo sa (a, v) afinu transformaciju x ax + v, a 0. Direktno se proverava da je transformacija (a, v) ( a v 0 1 izomorfizam afine grupe i podgrupe A M u odnosu na kompoziciju transformacija (odnosno mnoжenje matrica). ), Zadatak 2.20 Dokazati da skup H MN, transformacija projektivne prave sa dvema zajedniqkim invarijantnim taqkama M i N, qini komutativnu podgrupu grupe projektivnih transformacija.
22 18 Projektivna prava Rexenje: Sve aksiome Abelove grupe (izuzev komutativnosti) se trivijalno proveravaju (primetimo da vaжi Id H MN ). Neka je (x 1 : x 2 ) projektivni koordinatni sistem takav da u njemu invarijantne taqke imaju koordinate M(1 : 0) i N(0 : 1). Odredimo opxti oblik transformacije koja pripada H MN : M M : λ 1 = p 11, 0 = p 21, N N : 0 = p 12, λ 2 = p 22. Odavde dobijamo opxti oblik matrice transformacije: h a : Za h a, h b H MN, vaжi h a h b = ( a ( ) ( p11 0 a 0 0 p ) ( b ) = ( ab ) = ), a = p 11 p ( b ) ( a ) = h b h a, odakle sledi komutativnost. Zadatak 2.21 Dokazati da je skup P M, koji se sastoji od svih paraboliqkih transformacija sa zajedniqkom inavarijantnom taqkom M i identiqkog preslikavanja, Abelova podgrupa grupe projektivnih transformacija prave. Uputstvo: Izborom koordinatnog sistema u kom invarijantna taqka M ima koordinate (1 : 0), dobijaju se transformacije qija je matrica oblika (2.1). Uslov paraboliqnosti (to jest, da je M jedina invarijantna taqka) daje matrice koje reprezentuju transformacije skupa P M u obliku ( ) 1 v τ v :, v R. (2.2) 0 1 Da je podgrupa komutativna, proverava se direktno, to jest, kao u Zadatku 2.20.
23 Transformacije projektivne prave 19 Napomena 2.4 Jasno je da su grupe P M i H MN podgrupe grupe A M (vidi Zadatke 2.19, 2.20 i 2.21). Preciznije, one redom predstavljaju podgrupu translacija i podgrupu homotetija afine grupe. Zadatak 2.22 Odrediti afini zapis transformacija f av, h a, τ v iz Zadataka 2.19, 2.20 i Zadatak 2.23 Date su taqke M, A i A projektivne prave. Dokazati da postoji jedinstvena paraboliqka transformacija f pri kojoj je taqka M invarijantna i koja taqku A prevodi u A. Neka je A = f(a ). Dokazati da vaжi H(A, A; A, M). Uputstvo: Odabrati projektivni koordinatni sistem u kome date taqke imaju koordinate M(1 : 0), A(0 : 1) i A (1 : 1). Poxto je taqka M(1 : 0) invarijantna, zakljuqujemo da paraboliqka transformacija ima oblik (2.2). Napomena 2.5 Na osnovu prethodnog zadatka, svaka paraboliqka transformacija je jednoznaqno određena ako je zadata njena invarijantna taqka M i jedan par taqaka A i A = f(a). Zadatak 2.24 Odrediti formule paraboliqke transformacije f dopunjene afine prave koja ostavlja taqku M( 2) invarijantnom, a taqku A( 5) prevodi u taqku A (5). Odrediti sliku beskonaqno daleke taqke X( ). Odrediti taqku B, takvu da vaжi (A, A ; B, X) = 2. Rexenje: Projektivne koordinate koje odgovaraju datim afinim su: M( 2 : 1), A( 5 : 1), A (5 : 1) i X(1 : 0). Najpre odredimo taqku A, takvu da vaжi H(M, A ; A, A ). Dobijamo A ( 5 : 13). Na osnovu Primedbe 2.5, transformacija f je određena sa: f : M, A, A M, A, A. Posle rexavanja sistema dobijamo njenu matricu ( ) 1 40 P = Dalje, jednostavno dobijamo sliku X (1 : 10) taqke X, kao i da taqka B ima koordinate ( 5 : 3). Zadatak 2.25 Dokazati da je transformacija projektivne prave koja razliqite taqke A, B i C prevodi redom u taqke B, C i A eliptiqka.
24 20 Projektivna prava Rexenje: Pretpostavimo da data transformacija ima invarijantnu taqku M. Ona je tada razliqita od taqaka A, B i C, pa vaжi neki raspored, recimo, M, A B, C. Kako projektivna transformacija quva razdvojenost parova taqaka (vidi Teoremu 1.3), kada je primenimo vaжi e M, B C, A. Kontradikcija! Analogno se razmatraju i drugi mogu i rasporedi. Napomena 2.6 O razdvojenosti parova taqaka na projektivnoj pravoj moжemo razmixljati kao o razdvojenosti parova taqaka na krugu. Razlog je qinjenica da su projektivna prava i krug topoloxki ekvivalentni. Zadatak 2.26 Odrediti neophodan i dovoljan uslov da transformacija projektivne prave koje taqke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i B(1 : 1) prevodi redom u taqke A 1(a 11 : a 12), A 2(a 21 : a 22) i B (b 1 : b 2) quva orijentaciju? Uputstvo: Najpre odrediti matricu P date transformacije, a zatim pokazati da je uslov det(p) > 0 (vidi Definiciju 1.7) ekvivalentan uslovu a 21 b 1 a 22 b b 1 a 11 2 b 2 a a 11 a a 12 a > Zadatak 2.27 Dokazati da eliptiqka i paraboliqka transformacija ne menjaju orijentaciju. Rexenje: Neka je transformacija data sa λx = PX. Karakteristiqni polinom matrice P je to jest, χ P (λ) = λ 2 (p 11 + p 22 )λ + p 11 p 22 p 12 p 21, χ P (λ) = λ 2 Tr(P)λ + det(p). Iz uslova eliptiqnosti ili paraboliqnosti transformacije sledi da diskriminanta gornje kvadratne jednaqine nije pozitivna. Odatle je
25 Transformacije projektivne prave 21 Tr(P) 2 4 det(p) 0 4 det(p) Tr(P) 2 0 det(p) 0. Kako je determinanta matrice proizvoljne projektivne transformacije razliqita od nule, ovim je tvrđenje dokazano. Definicija 2.2 Transformaciju f, prostora RP n, nazivamo cikliqkom, ukoliko za neko n N\{1} vaжi f n = Id. U tom sluqaju, najmanje n za koje je ispunjena data jednakost zovemo ciklusom te transformacije. Specijalno, transformaciju f za koju vaжi f 2 = Id, f Id nazivamo involucija. Zadatak 2.28 Dokazati da transformacija projektivne prave nije cikliqka. λx 1 = x 1 + x 2, λx 2 = + x 2, Rexenje: Ako bi data transformacija bila cikliqka onda bi, na osnovu Definicije 2.2, postojao prirodan broj n 1, takav da vaжi: P n = λe, λ R\{0}, gde je P = ( ), njena matrica. Međutim, kako je ( P n 1 n = 0 1 vaжi P n λe, n N. ), Zadatak 2.29 Dokazati da je transformacija ciklusa 3 eliptiqka i odrediti bar jednu takvu transformaciju. Rexenje: Da je transformacija ciklusa 3 eliptiqka dokazuje se kao u Zadatku Primer takve transformacije je transformacija iz tog
26 22 Projektivna prava istog zadatka. Ako odaberemo projektivni koordinatni sistem takav da u njemu vaжi A(1 : 0), B(0 : 1) i C(1 : 1), dobijamo njene formule λx 1 = x 2, λx 2 = x 1 + x 2. Zadatak 2.30 Dokazati da ako za transformaciju f projektivne prave postoji par taqaka A i A takav da vaжi A = f(a) i A = f(a ), tada je f involucija. Uputstvo: Odabrati A(1 : 0) i A (0 : 1), zatim odrediti opxti oblik matrice P transformacije f i, naposletku, pokazati da vaжi P 2 = λe, λ R\{0}. Zadatak 2.31 Involucija projektivne prave zadata je parovima odgovaraju ih taqaka A(1 : 2) i A (1 : 0), odnosno B(2 : 3) i B (8 : 1). Odrediti tu involuciju, njene invarijantne taqke i ispitati quva li orijentaciju. Zadatak 2.32 Dokazati da je projektivna transformacija prave koja taqke A, B i C prevodi redom u taqke A, B i C, involucija ako i samo ako vaжi (A, B; C, C ) = (B, A ; C, C ). Rexenje: Neka je f involucija. Poxto f quva dvorazmeru, na osnovu Teoreme 1.2 vaжi: (A, B; C, C ) = (f(a), f(b); f(c), f(c )) = (A, B ; C, C) = (B, A ; C, C ). Obratno, neka vaжi (A, B; C, C ) = (B, A ; C, C ). Sliqno prethodnom: (B, A ; C, C ) = (A, B; C, C ) = (f(a), f(b); f(c), f(c )) = = (A, B ; C, C ) = (B, A ; C, C ). Zbog jedinstvenosti qetvrte harmonijski konjugovane taqke, sledi C = C, to jest, f(c ) = C. Odatle i na osnovu Zadatka 2.30, zakljuqujemo da je transformacija f involucija.
27 Transformacije projektivne prave 23 Zadatak 2.33 Ako su A, A i B, B dva para odgovaraju ih taqaka hiperboliqke (eliptiqke) involucije, dokazati da vaжi A, A.. B, B (A, A B, B ). Rexenje: Neka je (x 1 : x 2 ) projektivni koordinatni sistem, takav da u njemu date taqke imaju slede e koordinate: A(1 : 0), A (0 : 1), B(1 : 1) i B (b : 1), b R\{0, 1}. Iz datih uslova dobijamo matricu transformacije P = ( 0 b 1 0 Njen karakteristiqni polinom, χ P (λ) = λ 2 b, ima dve razliqite realne nule za b > 0 (i u tom sluqaju je transformacija hiperboliqka), odnosno nema realnih nula za b < 0 (kada je transformacija eliptiqka). Na osnovu Definicije 1.5, par taqaka A i A razdvaja par taqaka B i B, ako vaжi (A, A ; B, B ) < 0. U ovom sluqaju je: } B = A + A B = ba + A (A, A ; B, B ) = 1 1 : 1 b = b, odakle sledi tvrđenje. Napomena 2.7 Primetimo da karakteristiqni polinom iz prethodnog zadatka ne moжe imati jednu (dvostruku) realnu nulu zbog uslova b 0, xto znaqi da na projektivnoj pravoj ne postoje paraboliqke involucije. Zadatak 2.34 Odrediti opxti oblik involucije projektivne prave. Odrediti neophodan i dovoljan uslov pri kom je ta involucija hiperboliqka, odnosno eliptiqka? ). Rexenje: Razmotrimo projektivna transformaciju: λx 1 = p 11 x 1 + p 12 x 2, λx 2 = p 21 x 1 + p 22 x 2. Iz jednakosti ( p11 p 12 p 21 p 22 ) 2 ( p 2 = 11 + p 12 p 21 p 12 (p 11 + p 22 ) p 21 (p 11 + p 22 ) p p 12 p 21 ),
28 24 Projektivna prava sledi da je ona involucija ako vaжi p 11 = p 22. Dakle, involucija na projektivnoj pravoj je reprezentovana matricom ( ) p11 p P = 12. p 21 p 11 Lako se proverava da je ova involucija hiperboliqka ako vaжi p p 12 p 21 > 0, odnosno eliptiqka ukoliko je ispunjeno p p 12 p 21 < 0. Zadatak 2.35 Odrediti sve involutivne transformacije projektivne prave koje taqku A(1 : 0) prevode u taqku A (0 : 1). Koje od njih su eliptiqke, a koje hiperboliqke? Zadatak 2.36 Na projektivnoj pravoj date su dve involucije: ω e eliptiqka i ω h hiperboliqka, takve da se invarijantne taqke M i N hiperboliqke involucije transformixu jedna u drugu pri eliptiqkoj involuciji. Dokazati da je transformacija ω = ω h ω e hiperboliqka involucija i objasniti xta su joj invarijantne taqke. Uputstvo: Izborom pogodnog koordinatnog sistema određuju se involucije ω e i ω h, a zatim i transformacija ω h ω e, za koju se proverava da je hiperboliqka involucija. Za njene invarijantne taqke A i B vaжi ω h (A) = B i ω e (A) = B. Zadatak 2.37 Dokazati da ako su M i N invarijantne taqke hiperboliqke involucije f, onda svaki par taqaka A i A = f(a) harmonijski razdvaja par M, N. Obratno, ako dve taqke projektivne prave M i N harmonijski razdvajaju svaki par taqaka pri nekoj involuciji f, tada je ta involucija hiperboliqka sa invarijantnim taqkama M i N. Zadatak 2.38 Dokazati da se svaka transformacija f projektivne prave moжe predstaviti kao proizvod dve involucije od kojih je bar jedna hiperboliqka. Uputstvo: Neka vaжi A = f(a) i A = f(a ). Razmotrimo involuciju i 1 pri kojoj je taqka A invarijantna, a taqka A prelazi u taqku A. Tada transformacija i 2 = i 1 f preslikava taqku A u A i obratno, taqku A u A. Dakle, i i 2 je involucija, pa vaжi f = i 1 i 1 f = i 1 i 2. Involucija i 1 je hiperboliqka jer joj je A invarijantna taqka, a paraboliqke involucije ne postoje (Zadatak 2.33).
29 Transformacije projektivne prave 25 Zadatak 2.39 U afinoj ravni date su prave a : y = 0, b : y = x i taqka S(1, 2). Na pravoj a uveden je novi projektivni koordinatni sistem (x 1 : x 2 ) qije bazne taqke imaju afine koordinate A 1 (0, 0), A 2 (2, 0), a taqka jedinice B(3, 0), a na pravoj b sistem (x 1 : x 2) qije bazne taqke i taqka jedinice imaju afine koordinate C 1 (1, 1), C 2 (0, 0) i D(2, 2). U datim homogenim koordinatama odrediti formule perspektivne transformacije ϕ : a S b. y y = x S D Y C 2 A 1 C 1 X A 2 B x y = 0 Zadatak 2.39 Rexenje: Da bi odredili formule transformacije potrebna su nam bilo koja tri para taqaka (to jest, tri taqke sa prave a i njihove slike sa b). Odredimo, na primer, koje se taqke transformixu u C 1, C 2 i D. Oqigledno se sa centrom perspektive S, u taqke C 1 (1, 1), C 2 (0, 0) i D(2, 2) transformixu redom taqke X(1, 0), A 1 (0, 0) i Y (koja je beskonaqno daleka taqka prave a). Radi preglednosti dajemo tabelu: afine koordinate na a homogene (a 1 : a 2 ) (x 1 : x 2 ) ϕ (x 1 : x 2) X(1) X(1 : 1) X(? :?) C 1 (1 : 0) A 1 (0) A 1 (0 : 1) A 1 (1 : 0) C 2 (0 : 1) Y ( ) Y (1 : 0) Y (? :?) D(1 : 1) U tabeli su sa (a 1 : a 2 ) oznaqene homogene koordinate koje odgovaraju afinim koordinatama na pravoj y = 0. Najpre treba prona i (x 1 : x 2 ) koordinate taqaka X i Y. Za to nam je neophodna matrica T transformacije koordinata (a 1 : a 2 ) u (x 1 : x 2 ) koja se dobija na osnovu
30 26 Projektivna prava koordinata taqaka A 1, A 2 i B. Sliqno kao u Zadatku 2.1, dobijamo ( ) 3 6 T =. 1 0 Koriste i relaciju λx = TA, dobijamo taqke X( 3 : 1), Y (3 : 1) u koordinatnom sistemu (x 1 : x 2 ). Preostaje nam da odredimo transformaciju ϕ koja taqke X( 3 : 1), A 1 (1 : 0), Y (3 : 1) prevodi redom u taqke C 1 (1 : 0), C 2 (0 : 1), D(1 : 1). Dobijamo da je ona data sa λx 1 = 6x 2, λx 2 = x 1 + 3x 2. Zadatak 2.40 U afinoj ravni date su prave a : y = 0, b : y = 2x i taqke S 1 (0, 1) i S 2 ( 1, 2). U homogenim koordinatama prave a odrediti jednaqine kompozicije ϕ = ϕ 2 ϕ 1 perspektivnih transformacija ϕ 1 : a S1 b i ϕ 2 : b S 2 a. Odrediti invarijantne taqke dobijene transformacije.
31 Glava 3 Projektivna ravan 3.1 Koordinate u projektivnoj ravni Zadatak 3.1 U odnosu na koordinatni sistem (x 1 : x 2 : x 3 ), date su koordinate novih baznih taqaka A 1(4 : 1 : 1), A 2(4 : 4 : 1), A 3(0 : 4 : 1) i taqke jedinice B (2 : 1 : 1) novog koordinatnog sistema (x 1 : x 2 : x 3). Odrediti formule transformacije starih koordinata u nove. Uputstvo: Zadatak se rexava istim postupkom kao Zadatak 2.1, s tim xto se ovde rexava sistem od 12 jednaqina sa 13 nepoznatih. Zadatak 3.2 Odrediti jednaqinu prave koja sadrжi taqke A(2 : 5 : 2) i B(8 : 1 : 1). Rexenje: 1. naqin (ukoliko su obe taqke konaqne): Deljenjem poslednjom koordinatom dobijamo afine koordinate datih taqaka: A(1, 5 2 ) i B( 8, 1). Afina jednaqina prave koja ih sadrжi je AB : 7x 18y+38 = 0. Povratkom na homogene koordinate dobijamo jednaqinu prave AB 7 x 1 x 3 18 x 2 x = 0,
32 28 Projektivna ravan xto nakon mnoжenja sa x 3 postaje 7x 1 18x x 3 = 0. Koordinate prave AB zapisujemo u obliku AB[7 : 18 : 38]. 2. naqin: Neka je jednaqina traжene prave: u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 x 3 = 0, (3.1) gde su u 1, u 2 i u 3 nepoznati koeficijenti. Dalje, dobijamo sistem: odakle sledi 2u 1 + 5u 2 + 2u 3 = 0, 8u 1 + u 2 u 3 = 0, [u 1 : u 2 : u 3 ] = [ 7 : 18 : 38] = AB. (3.2) 3. naqin: Traжena prava je u vektorskom prostoru predstavljena jednaqinom ravni (3.1). Kako vektori A i B pripadaju toj ravni, normalni vektor (u 1, u 2, u 3 ) ravni je vektorski proizvod ( (u 1, u 2, u 3 ) = A B = , , 2 5 ) 8 1 = ( 7, 18, 38), odakle sledi rezulat. Zadatak 3.3 Dokazati da taqka C( 4 : 9 : 5) pripada pravoj AB iz prethodnog zadatka i odrediti taqku D, takvu da vaжi (A, B; C, D). Rexenje: 7 ( 4) = 0, odakle sledi C AB. Traжimo dvorazmeru: to jest, C = αa + βb, 4 = 2α + 8β, 9 = 5α + β, 5 = 2α β,
33 Koordinate u projektivnoj ravni 29 odakle dobijamo α = 2 i β = 1. Dalje je 1 = (A, B; C, D) = β α : δ γ = 1 2 : δ γ, odakle sledi 2δ = γ, xto znaqi da vaжi D = 2δA + δb, pa, na primer, za δ = 1 dobijamo D(12 : 11 : 3). Zadatak 3.4 Odrediti presek P pravih a : 2x 1 + 3x 2 5x 3 = 0 i b : x 1 x 2 = 0. Rexenje: Preseqna taqka P (1 : 1 : 1) ovih pravih lako se dobija rexavanjem datog sistema jednaqina. Ipak, primetimo da je taj sistem istog oblika kao i sistem (3.2) kojim se određuje prava koja sadrжi dve taqke. Dakle, presek pravih a i b takođe nalazimo koriste i vektorski proizvod, to jest, (1, 1, 1) = P = a b = (2, 3, 5) (1, 1, 0). Napomena 3.1 U projektivnoj ravni vaжi princip dualnosti taqaka i pravih: ukoliko u nekoj teoremi reqi taqka, prava, pripada, sadrжi zamenimo reqima prava, taqka, sadrжi, pripada dobijeni iskaz je takođe teorema projektivne ravni. Definicija 3.1 Ravansku projektivnu konfiguraciju koja se sastoji od n taqaka među kojima nikoje tri nisu kolinearne i pravih koje sadrжe svake dve od njih nazivamo potpuni n totemenik. Navedene taqke su temena, a prave stranice n totemenika. Ako dve stranice imaju zajedniqko teme, tada su one susedne, a u suprotnom nesusedne. Preseqne taqke parova nesusednih stranica su dijagonalne taqke, a prave određene parovima dijagonalnih taqaka (koje ne pripadaju istoj stranici) su dijagonale. Definicija 3.2 Ravansku projektivnu konfiguraciju koja se sastoji od uređene n torke taqaka A 1,..., A n među kojima nikoje tri susedne 1 1 Taqke A 1 i A n su, takođe, susedne.
34 30 Projektivna ravan nisu kolinearne i n pravih A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n A 1 nazivamo prost n totemenik, gde su date taqke i prave njegova temena, odnosno stranice. Prave određene nesusednim temenima su dijagonale, a taqke u kojima se seku parovi dijagonala (koje ne sadrжe isto teme) su dijagonalne taqke. Napomena 3.2 Dualno se definixu potpuni i prost n tostranik. Primetimo da potpuni i prost trotemenik, kao i potpuni i prost trostranik predstavljaju jednu istu projektivnu konfiguraciju. Zadatak 3.5 Dokazati da za taqke A, B, C i D vaжi H(A, B; C, D) ako i samo ako postoji potpuni qetvorotemenik P QRS, takav da vaжi A = P S QR, B = SR P Q, C = SQ AB, D = P R AB. Rexenje: Neka postoji potpuni qetvorotemenik P QRS, takav da vaжe navedene relacije i neka je (x 1 : x 2 : x 3 ) koordinatni sistem, takav da njegova temena imaju koordinate P (1 : 0 : 0), Q(0 : 1 : 0), R(0 : 0 : 1), S(1 : 1 : 1). P S R Q A D B C Zadatak 3.5 Kao u 3. naqinu rexenja Zadatka 3.2 dobijamo jednaqine pravih P Q[0 : 0 : 1], RS[1 : 1 : 0], P S[0 : 1 : 1], QR[1 : 0 : 0]. Preseke pravih određujemo kao u Zadatku 3.4 i dobijamo A(0 : 1 : 1), B(1 : 1 : 0). Zatim se određuju prava AB[1 : 1 : 1] i taqke C(1 : 2 : 1) i D( 1 : 0 : 1) i proverava da su one harmonijski konjugovane sa A i B.
35 Koordinate u projektivnoj ravni 31 Obratno, pretpostavimo da vaжi H(A, B; C, D). Neka su m i n prave koje sadrжe taqku A i k prava koja sadrжi taqku D. Neka je, dalje, R = k m, P = k n, S = n BR, Q = m BP. Za taqku C = SQ AB, na osnovu prethodnog smera, vaжi H(A, B; C, D). Zbog jedinstvenosti qetvrte harmonijski konjugovane taqke vaжi C = C, pa je P QRS traжeni qetvorotemnik. Zadatak 3.6 Neka su a, b, c i d konkurentne prave projektivne ravni i neka je p proizvoljna prava koja ih seqe redom u raznim taqkama A, B, C i D. Dokazati da vaжi (A, B; C, D) = (a, b; c, d). Uputstvo: Neka se prave a, b, c i d seku u taqki P i neka je (x 1 : x 2 : x 3 ) koordinatni sistem, takav da vaжi P (0 : 0 : 1), A(1 : 0 : 0) i B(0 : 1 : 0). Sledi, p = AB[0 : 0 : 1], pa je C(c : 1 : 0), c 0 i D(d : 1 : 0), c d 0. Sada se tvrđenje proverava direktnim raqunom. Zadatak 3.7 Qetiri konkurentne prave a, b, c i d projektivne ravni su harmonijski konjugovane ako i samo ako postoji potpuni qetvorostranik pqrs takav da vaжi a = (p s)(q r), b = (s r)(p q), c = (s q)(a b), d = (p r)(a b). Ovaj zadatak je dualan Zadatku 3.5. Zadatak 3.8 (Dezargova teorema ravanski sluqaj) Dati su trotemenici ABC i A B C koji pripadaju istoj ravni. Dokazati da se prave AA, BB i CC seku u jednoj taqki S ako i samo ako preseci AB A B, AC A C i BC B C pripadaju jednoj pravoj s. Uputstvo: Neka se prave AA, BB i CC seku u taqki S(1 : 1 : 1) i neka je A(1 : 0 : 0), B(0 : 1 : 0), C(0 : 0 : 1). Tada vaжi A 1 (λ 1 : 1 : 1), B 1 (1 : λ 2 : 1), C 1 (1 : 1 : λ 3 ). Stranice oba trotemenika se jednostavno dobijaju i pokazuje se da se odgovaraju i parovi seku na jednoj pravoj. Drugi smer se moжe razmatrati dualno ako se odabere koordinatni sistem u kome stranice jednog trotemenika imaju koordinate [1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0] i [0 : 0 : 1], a osa s koordinate [1 : 1 : 1].
36 32 Projektivna ravan s A 1 S A B B 1 C C 1 Zadatak 3.8 Zadatak 3.9 Koje koordinate imaju temena potpunog qetvorotemenika ako za bazne taqke uzmemo njegove dijagonalne taqke, a za jediniqnu jedno njegovo teme? Dualizovati. Uputstvo: Oznaqimo temena qetvorotemenika sa A 1, A 2, A 3 (1 : 1 : 1) i A 4. Tada su njegove dijagonalne taqke D 1 (1 : 0 : 0) = A 1 A 4 A 2 A 3, D 2 (0 : 1 : 0) = A 2 A 4 A 1 A 3 i D 3 (0 : 0 : 1) = A 3 A 4 A 1 A 2. Prava D 1 D 2 je data jednaqinom x 3 = 0, pa lako dobijamo koordinate taqke D 3 A 3 D 1 D 2 = M(1 : 1 : 0). Na osnovu Zadatka 3.5, parovi D 1, D 2 i M, N = A 1 A 2 D 1 D 2 su harmonijski konjugovani. Odatle dobijamo N(1 : 1 : 0). Temena qije se koordinate traжe su preseci poznatih pravih D 2 A 3 ND 3 = A 1, D 1 A 3 ND 3 = A 2 i D 1 A 1 A 3 D 3 = A 4. Direktnim raqunom se dobija da su njihove koordinate ( 1 : 1 : 1), (1 : 1 : 1) i (1 : 1 : 1). Dualno, ako dijagonale potpunog qetvorostranika imaju koordinate [1 : 0 : 0], [0 : 1 : 0] i [0 : 0 : 1], a jedna njegova stranica [1 : 1 : 1], tada su koordinate njegovih preostalih stranica [ 1 : 1 : 1], [1 : 1 : 1] i [1 : 1 : 1].
37 Transformacije projektivne ravni Transformacije projektivne ravni Kolineacije Definicija 3.3 Transformaciju projektivne ravni koja taqke prevodi u taqke, a prave u prave nazivamo kolineacija. Zadatak 3.10 Odrediti kolineaciju koja taqke A(1 : 0 : 1), B(1 : 2 : 2), C(1 : 1 : 1) i D( 2 : 1 : 0) prevodi redom u taqke A (1 : 3 : 1), B (3 : 2 : 4), C (1 : 1 : 1) i D (3 : 3 : 1). Zadatak 3.11 Odrediti afini zapis kolineacije λx 1 = x 2 + x 3, λx 2 = x 1 + x 3, λx 3 = x 1 + x 2. Rexenje: Data kolineacija u afinim koordinatama je x = x 1 x = x 2 + x 3 = 3 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 x 3 x 1 + x = 2 x 3 x 3 y + 1 x + y, y = x 2 x = x 1 + x 3 = 3 x 1 + x 2 x 1 + x 3 x 3 x 3 x 1 + x = 2 x 3 x 3 x + 1 x + y. Zadatak 3.12 Ako se koordinate taqaka projektivne ravni transformixu pravilom λx = PX tada se koordinate pravih transformixu po pravilu 1 λ U = (P 1 ) T U. Dokazati. Rexenje: Primetimo da je odnos između taqaka i pravih, sa algebarske taqke gledixta, odnos vektorskog prostora i njemu dualnog prostora.
38 34 Projektivna ravan Pravu u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 x 3 = 0 moжemo zapisati u obliku U T X = 0, a njenu sliku kao (U ) T X = 0. Relacija vaжi za svako X pa je 0 = U T X = (λu T P 1 )X = (U ) T X, (U ) T = λu T P 1, odakle dobijamo traжeni zakon transformacije pravih 1 λ U = (P 1 ) T U. Zadatak 3.13 Odrediti invarijantne taqke i invarijantne prave kolineacije λx 1 = 4x 1 x 2, λx 2 = 6x 1 3x 2, λx 3 = x 1 x 2 x 3. Rexenje: Sliqno kao kod projektivne prave, invarijantne taqke određujemo kao sopstvene vektore matrice kolineacije 0 = det(p λe) = 4 λ λ λ = (λ + 1)(λ + 2)(λ 3), pa sopstvenim vrednostima λ 1 = 1, λ 2 = 2 i λ 3 = 3 odgovaraju sopstveni vektori (0, 0, 1), (1, 1, 0) i (1, 6, 5), a njima invarijantne taqke A(0 : 0 : 1), B(1 : 1 : 0) i C(1 : 6 : 5). Odredimo sada invarijantne prave: 1. naqin (ukoliko postoje taqno tri invarijantne taqke): Invarijantne prave e biti AB, AC i BC. Nije texko zakljuqiti da osim njih vixe nema invarijantnih pravih (jer ako bi postojala jox neka, onda bi taqke koje se nalaze u njenom preseku sa AB, AC i BC bile takođe invarijantne xto je nemogu e).
39 Transformacije projektivne ravni naqin (opxti): Na osnovu Zadatka 3.12, prava U je invarijantna ako i samo ako vaжi U = U = λ(p 1 ) T U, to jest, P T U = λu. Dakle, invarijantne prave su sopstveni vektori matrice P T. Podsetimo se da matrice P i P T imaju iste karakteristiqne polinome, samim tim i sopstvene vrednosti. Njima odgovaraju i sopstveni vektori su ( 1, 1, 1), ( 6, 1, 0) i (1, 1, 0), pa su invarijantne prave [ 1 : 1 : 1], [ 6 : 1 : 0] i [1 : 1 : 0]. Neposrednom proverom moжe se utvrditi da su to redom prave BC, AC i AB. Zadatak 3.14 Dokazati da svaka kolineacija ima bar jednu invarijantnu pravu i invarijantnu taqku. Rexenje: Kako je karakeristiqni polinom χ P (λ) matrice P kolineacije stepena tri, on ima bar jednu realnu nulu, to jest, sopstvenu vrednost. Odgovaraju i sopstveni vektor predstavlja invarijantnu taqku. Matrica transformacije pravih (P 1 ) T takođe ima bar jednu realnu sopstvenu vrednost kojoj odgovara invarijantna prava. Zadatak 3.15 Odrediti bar jednu kolineaciju f, dopunjene afine ravni, kojom se oblast U = {(x, y) x > 0, y < 0, y x+2 > 0} transformixe u oblast V = {(x, y) y > x > 0}. f B C D A B A D C Zadatak 3.15
40 36 Projektivna ravan Uputstvo: Iz perspektive projektivne geometrije, granice obe oblasti su stranice trotemenika, pa je, za poqetak, neophodno da se tri prave koje ograniqavaju oblast U transformixu u prave koje ograniqavaju V. To je ekvivalentno sa tim da se temena jednog trotemenika transformixu u temena drugog. Dalje, neka se proizvoljna taqka D( 1 2, 1 2 ) oblasti U, transformixe u proizvoljnu taqku D (1, 2) oblasti V. Tada je kolineacija f određena sa f : A, B, C, D A, B, C, D. Preostaje da se da se odrede projektivne koordinate temena i zatim formule transformacije. Zadatak 3.16 Odrediti bar jednu kolineaciju f dopunjene afine ravni koja unutraxnjost kvadrata qija su temena A(1, 1), B( 1, 1), C( 1, 1) i D(1, 1) prevodi u oblast V = {(x, y) x > 0, y > 0, 3x + y 3 > 0}. Zadatak 3.17 Koordinatno opisati sve kolineacije koje ostavljaju invarijantnim dati trotemenik ABC. Da li je grupa tih kolineacija komutativna? Diskutovati broj invarijantnih taqaka i pravih za svaku od njih. Zadatak 3.18 Dokazati da je grupa kolineacija projektivne ravni kod kojih je data prava invarijantna izomorfna grupi afinih transformacija ravni. Rexenje: Neka je koordinatni sistem takav da invarijantna prava ima jednaqinu b : x 3 = 0, to jest, njena slika je ista prava x 3 = 0. Uvrxtavanjem formula transformacije u tu jednaqinu dobijamo da je Zato je 0 = x 3 = p 31 x 1 + p 32 x 2 + p 33 x 3 ista prava kao 0 = x 3. p 31 = 0 = p 32, p Dakle, traжene kolineacije su oblika P A,v = a 11 a 12 v 1 a 21 a 22 v , (3.3) gde smo oznaqili p ij = a ij, i, j 2, p 13 = v 1, p 23 = v 2, i izabrali p 33 = 1. Oznaqimo sa (A, v) afinu transformaciju X AX + v, X R 2, sa
41 Transformacije projektivne ravni 37 matricom A = (a ij ) i vektorom translacije v = (v 1, v 2 ) T. Direktno se proverava da je preslikavanje (A, v) P A,v izomorfizam grupe afinih transformacija ravni i ove podgrupe projektivnih kolineacija. Napomena 3.3 Ako je u proxirenoj afinoj ravni pri nekoj projektivnoj transformaciji beskonaqno daleka prava x 3 = 0 invarijantna, tada je ona, na osnovu Zadatka 3.18, data matricom (3.3). U afinim koordinatama zapisujemo je formulama x = a 11 x + a 12 y + v 1, y = a 21 x + a 22 y + v 2, i zovemo afinom transformacijom. Afinim transformacijama emo se posebno baviti u okviru Glave 5 (videti Definiciju 5.1). Da je svaka projektivna transformacija ravni afina u nekim (pogodno odabranim) homogenim koordinatama sledi iz Zadatka Definicija 3.4 Osa kolineacije je prava s qija je svaka taqka invarijantna. Centar kolineacije je taqka S, takva da je svaka prava koja je sadrжi invarijantna. Kolineaciju koja ima osu (a zato i centar vidi Zadatak 3.19) zovemo homologija. Homologija je paraboliqka ako centar kolineacije pripada osi, odnosno hiperboliqka ako centar kolineacije ne pripada osi. Zadatak 3.19 Dokazati da kolineacija ima osu ako i samo ako ima centar. Uputstvo: Neka je transformacija data sa λx = AX. Ako je taqka S centar te transformacije, jednostavno je pokazati da je prava prestavljena vektorom (A 1 ) T S osa transformacije (ovo je motivisano Zadatkom 3.12). Obratno, primetimo da su pojmovi ose i centra dualni. Zato je ovaj smer posledica dokazanog smera. Zadatak 3.20 Razmatra se transformacija iz Zadatka 3.11.
42 38 Projektivna ravan a ) Dokazati da je ona hiperboliqka homologija i odrediti joj osu i centar. b ) Odrediti bar jedan novi homogeni koordinatni sistem u kome je osa beskonaqno daleka prava i afini zapis transformacije u tom koordinatnom sistemu. Rexenje: a) Matrica kolineacije i njen karakteristiqni polinom su P = , χ P (λ) = (2 λ)(λ + 1) Sopstvenoj vrednosti λ 1 = 2 odgovara invarijantna taqka S(1 : 1 : 1), dok dvostrukoj sopstvenoj vrednosti λ 2 = λ 3 = 1 odgovaraju invarijantne taqke oblika ( x 2 x 3 : x 2 : x 3 ), to jest, sve taqke prave s[1 : 1 : 1], odakle sledi da je kolineacija homologija (qija je osa prava s). Jednostavno se proverava da vaжi S / s i da je svaka prava koja sadrжi taqku S invarijantna (sadrжi dve invarijantne taqke: S i svoj presek sa s), pa je homologija hiperboliqka. b) U skladu sa Zadatkom 2.17, potrebno je odrediti homogeni koordinatni sistem u kom je prava s data sa x 3 = 0. Ako dve proizvoljne taqke prave s, A(1 : 0 : 1), i B(1 : 1 : 0) odaberemo za prve dve bazne taqke novog koordinatnog sistema (to jest, da im nove koordinate budu A(1 : 0 : 0), odnosno B(0 : 1 : 0)) onda e one postati beskonaqno daleke, a samim tim i prava koja ih sadrжi. Dakle, matrica prelaska sa stare baze na novu je T = gde se u prvim dvema kolonama nalaze stare koordinate taqaka A i B, dok je tre a kolona proizvoljna uz uslov det(t) 0 (ipak, ovde smo izabrali S(1 : 1 : 1) kao tre u kolonu kako bi u novim koordinatama S(0 : 0 : 1) bio novi koordinatni poqetak). Matrica kolineacije u novoj bazi je T 1 PT, a kako se nova baza sastoji od dobijenih sopstvenih vektora, to je T 1 PT = diag( 1, 1, 2). Prelaskom na (nove) afine koordinate dobijamo x = 1 2 x,,
43 Transformacije projektivne ravni 39 y = 1 2 y. Dakle, u novim koordinatama, transformacija je afina, preciznije, homotetija sa centrom u koordinatnom poqetku. Napomena 3.4 Primetimo da je matrica kolineacije u novim koordinatama dijagonalna matrica sa sopstvenim vrednostima matrice P na glavnoj dijagonali. Takav koordinatni sistem se moжe odrediti, ako se prethodno dobiju tri nekolinearne invarijantne taqke. Zadatak 3.21 Odrediti invarijantne taqke i invarijantne prave kolineacije λx 1 = x 1 3x 2 + 4x 3, λx 2 = 4x 1 7x 2 + 8x 3, λx 3 = 6x 1 7x 2 + 7x 3. Odrediti zatim neki projektivni koordinatni sistem u qijim je afinim koordinatama data transformacija afina. Zadatak 3.22 Paraboliqka homologija proxirene afine ravni kojoj je osa beskonaqno daleka prava je translacija. Dokazati. Rexenje: Neka je A slika taqke A pri ovoj homologiji. Time je ova homologija određena. Dokaжimo da je ona translacija τ AA za vektor AA. Taqka S = AA s je centar homologije. Neka je B slika neke taqke B. Tada vaжi AA BB = S s (jer je S centar) i AB A B s (jer je taqka AB s invarijantna). Odnosno, vaжi AA BB i AB A B, pa je qetvorougao ABB A paralelogram. Dakle, vaжi BB = AA za proizvoljnu taqku B, pa je ova homologija translacija τ AA. Zadatak 3.23 Data je hiperboliqka homologija proxirene afine ravni sa centrom S i osom s koja je beskonaqno daleka prava. Dokazati da je ona homotetija qiji je centar taqka S, a koeficijent λ 1 λ 3, gde je λ 1 dvostruka, a λ 3 jednostruka sopstvena vrednost matrice te homologije. Zadatak 3.24 Dokazati da dve razliqite homologije sa zajedniqkom osom komutiraju ako i samo ako su obe paraboliqke.
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija
Projektivna geometrija Autor: Vladica Andreji Zbirka zadataka baziranih na veжbama drжanih sezone 2004/05 Analitiqki pristup. Osnovna teorema, dvorazmera 27. mart 2005. Zadatak. Taqke 0, i afinog sistema
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραPaskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραGeometrija 4. Srdjan Vukmirovi. februar Matemati ki fakultet, Beograd
Geometrija 4 Srdjan Vukmirovi Matemati ki fakultet, Beograd februar 2015. Sadrºaj 1 Ana geometrija (ponavljanje) 2 Projektivna ravan Realna projektivna ravan RP 2 Realna projektivna prava RP 1 Trotemenik
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραx + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.
Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Διαβάστε περισσότεραVektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije
Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0
ALGEBRA 1 Grupe Konaqno generisane Abelove grupe Zoran Petrovi 11 i 18 decembar 2012 Podsetimo se diedarske grupe: Njena abelizacija zadata je sa: D n = σ, ρ σ 2 = ε, ρ n = ε, σρ = ρ n 1 σ D Ab n = σ, ρ,
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Topologije A
Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραPotencija taqke. Duxan uki
Potencija taqke Duxan uki Neka su dati krug k i taqka u ravni. Posmatrajmo proizvoljnu pravu l kroz i njene preseqne taqke B i sa krugom k. Proizvod B ne zavisi od izbora prave l. Zaista, ako sa D oznaqimo
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPOLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti
POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za
Διαβάστε περισσότεραi l 2, paralelne pravim l 1 i l 2, respektivno (sl. 1). Uoqimo ravan ϕ paralelnu ravni π, i neka ona seqe prave l 1 i l 2 u taqkama
NASTAVA MATEMATIKE U SREDNjIM XKOLAMA Sinixa Gavrilovi GEOMETRIJSKA MESTA TAQAKA U PROSTORU Po I. F. Xariginu, geometrija je mo no sredstvo u razvitku liqnosti u najxirem pogledu. Ona razvija osobine liqnosti
Διαβάστε περισσότεραPolinomske jednaqine
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike Inverzija. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike 10.12.2005. Inverzija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com Inverzija sa centrom O i polupreqnikom r je preslikavanje ψ O,r : E 2 \{O} E 2
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija Milivoje Luki
odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
Prvi razred A kategorija 1. Neka su A, B i C konaqni skupovi za koje vaжi Dokazati da tada vaжi A C + B C = A B. A B C A B. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραDvostruko prebrojavanje prva-4 verzija:
Dvostruko prebrojavanje prva- verzija: 0 Duxan uki Pod dvostrukim prebrojavanjem podrazumevamo prebrojavanje neke veliqine na dva naqina u cilju dobijanja neke relacije (ili kontradikcije) Evo jednog banalnog
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα10 Afina preslikavanja ravni
0 Afina preslikavanja ravni 0 Definicija i osobinea afinih preslikavanja Reč afini označava da se pojam odnosi na prostor tačaka koji je vezan za odgovarajući vektorski prostor Intuitivno, afino preslikavanja
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Geometrije 4
Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Linearne algebre (2003/4)
Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori. Vektorski prostor
Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Trigonometrija
Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA 1 ZORAN PETROVI. Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu
ALGEBRA 1 ZORAN PETROVI Predavanja za xkolsku 2014/15 godinu Grupe Osnovni pojmovi i primeri Grupe su jedan od centralnih objekata u ovom kursu i nekoliko nedelja e biti posveeno upravo njima. Pojam grupe
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih zadataka iz Matematike I
UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA Tatjana Grbić Silvia Likavec Tibor Lukić Jovanka Pantović Nataša Sladoje Ljiljana Teofanov Zbirka rešenih zadataka iz Matematike I Novi Sad, 009. god.
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότερα