Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike Inverzija. Milivoje Luki
|
|
- Νικηφόρος Ηλιόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike Inverzija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com Inverzija sa centrom O i polupreqnikom r je preslikavanje ψ O,r : E 2 \{O} E 2 \{O} koje taqki X O pridruжuje taqku X takvu da: X pripada polupravoj OX, i OX OX =. Inverzija je involucija, to jest ψ O,r ψ O,r je identiqko preslikavanje. Fiksne taqke pri inverziji su taqke kruga k(o, r), dok se taqke u unutraxnjosti kruga slikaju u taqke izvan kruga, a taqke iz spoljaxnjosti u taqke u unutraxnjosti kruga. Neka su A i B slike taqaka A i B pri inverziji ψ O,r. Poxto je AOB = B OA i OA OB = OB OA, trouglovi AOB i B OA su sliqni, dakle A B = OA OB AB, odnosno A B = Iz iste sliqnosti dobijamo i formulu OA OB AB = OA OB AB. (1) OA B = OBA. (2) Prave i krugovi se pri inverziji slikaju u prave i krugove, i to: prava se slika u pravu ako i samo ako sadrжi centar inverzije, inaqe se slika u krug; krug se slika u pravu ako i samo ako sadrжi centar inverzije, inaqe se slika u krug. Napomena: Ako se krug k pri inverziji ψ preslikava u krug k, to ne znaqi da se njegov centar pri istoj inverziji preslikava u centar kruga k! Krug l se pri inverziji ψ O,r preslikava u sebe ako i samo ako je normalan na krug k(o, r) u odnosu na koji se vrxi inverzija, ili ako je l = k(o, r). Inverzija je konformno preslikavanje - quva uglove između pravih ili krugova (i opxtije, između bilo koje dve krive linije). Ako se krug k pri inverziji ψ sa centrom u O preslikava u krug k, onda postoji homotetija sa centrom u O koja preslikava krug k u krug k. 1. Data su qetiri kruga tako da svaki dodiruje taqno dva data kruga. Dokazati da se qetiri dodirne taqke nalaze na jednoj pravoj ili krugu. 2. Dati su krugovi k 1, k 2, k 3, k 4. Neka se k 1 i k 2 seku u A 1 i A 2, k 2 i k 3 u B 1 i B 2, k 3 i k 4 u C 1 i C 2, k 4 i k 1 u D 1 i D 2. Dokazati da, ako taqke A 1, B 1, C 1, D 1 leжe na jednom krugu ili pravoj, onda i taqke A 2, B 2, C 2, D 2 leжe na jednom krugu ili pravoj. 3. Odrediti geometrijsko mesto taqaka dodira parova krugova koji dodiruju strane datog ugla u datim taqkama A i B. 4. Dva kruga, Γ 1 i Γ 2, koji se seku u taqki A, dodiruju krug (ili pravu) S 1 u taqkama B 1 i C 1,a krug (ili pravu) S 2 u taqkama B 2 i C 2, pri qemu je dodir u B 2 i C 2 isti kao u B 1 i C 1. Dokazati da se krugovi opisani oko trouglova AB 1 C 1 i AB 2 C 2 dodiruju. 5. Taqke A, B, C leжe na jednoj pravoj, a taqka P ne pripada toj pravoj. Dokazati da taqka P i centri kruжnica opisanih oko trouglova ABP, BCP i CAP leжe na jednoj kruжnici. 6. Dokazati da Ojlerov krug trougla ABC dodiruje upisani i pripisane krugove ovog trougla. 1
2 7. (Ptolomejeva nejednakost) Dokazati da za proizvoljne taqke A, B, C, D u ravni vaжi AB CD + AD BC AC BD. Dokazati da jednakost vaжi ako i samo ako taqke A, B, C, D sve pripadaju istom krugu ili pravoj, pri qemu par taqaka A, C deli par B, D. 8. Neka je ABC trougao sa poluobimom s. Odaberimo taqke D i E na pravoj AB za koje je CD = CE = s. Dokazati da krug opisan oko CDE dodiruje spolja pripisan krug kod strane AB trougla ABC. 9. Na duжi AC data je taqka B i nad duжima AB, AC, BC kao preqnicima konstruisani su polukrugovi ω, ω 1, ω 2 sa iste strane prave AB. Konstruiximo niz krugova na slede i naqin: krug k 1 dodiruje ω, ω 1, ω 2, a krug k n, za n 2, dodiruje krugove ω, ω 1, k n 1. Ako je r n polupreqnik kruga k n, a d n rastojanje centra kruga k n od prave AB, dokazati da za svako n vaжi d n = 2nr n. 10. Dat je trougao ABC i u njegovoj unutraxnjosti taqka M takva da je Dokazati da je BM/MC = BA/AC. AMC ABC = AMB ACB. 11. (IMO1997.predlog) Neka je A 1 A 2 A 3 nejednakokraki trougao sa centrom upisanog kruga u I. Neka je C i, i = 1, 2, 3, manji krug kroz I tangentan na A i A i+1 i A i A i+2 (sabiranje indeksa se vrxi po modulu 3). Neka je B i, i = 1, 2, 3, druga taqka preseka C i+1 i C i+2. Dokazati da su centri opisanih krugova trouglova A 1 B 1 I, A 2 B 2 I, A 3 B 3 I kolinearni. 12. U trouglu ABC koji nije jednakostraniqan, upisani krug dodiruje BC, CA, AB u taqkama M, N, P. Dokazati da su centri opisanog i upisanog kruga trougla ABC i ortocentar trougla M N P kolinearni. 13. Na duжi AB uzeta je taqka C. Nad AB i AC su konstruisani polukrugovi k, l sa iste strane prave AB, i krug ω koji dodiruje krug l u taqki T, krug k i normalu povuqenu u C na AB. Dokazati da je BT tangenta na l. 2
3 Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava iz matematike Inverzija - Rexenja Milivoje Luki 1. Oznaqimo date krugove sa k 1, k 2, k 3, k 4, a njihove dodirne taqke sa A = k 1 k 2, B = k 2 k 3, C = k 3 k 4, D = k 4 k 1. Inverzijom sa centrom u A, krugovi k 1 i k 2 se slikaju u prave k 1 i k 2. Poxto k 1 i k 2 nemaju drugu preseqnu taqku osim A, prave k 1 i k 2 su disjunktne, odnosno paralelne. Krugovi k 3 i k 4 se dodiruju u taqki C. Ako sa S 3 i S 4 oznaqimo centre krugova k 3 i k 4, vidimo da je D S 4C = B S 3C i D S 4 = C S 4, B S 3 = C S 3, dakle trouglovi C D S 4 i C B S 3 su sliqni, odakle lako zakljuqujemo da su B, C, D kolinearne taqke, odnosno (ponovnom primenom inverzije) A, B, C, D leжe na istom krugu/pravoj, zavisno od toga da li taqka A pripada pravoj na kojoj leжe B, C, D. 2. Primenimo inverziju sa centrom u A. Krugovi k 1 i k 4 se slikaju u prave k 1 i k 4, koje se seku u taqki A 1 = k 1 k 4. Krugovi k 2 i k 3 se slikaju u krugove k 2 i k 3. prava k 1 i krug k 2 se seku u taqkama B i B 1, krug k 2 i krug k 3 u taqkama C i C 1, a krug k 3 i prava k 4 u taqkama D i D 1. Tvrđenje zadatka, iskazano u inverzivnoj slici, glasi da su taqke B, C, D kolinearne ako i samo ako su taqke A 1, B 1, C 1, D 1 na istom krugu. Taqke B, C, D su kolinearne ako i samo ako je B C C 1 + D C C 1 = 180, a A 1, B 1, C 1, D 1 su na istom krugu ako i samo ako je A 1B 1C 1 + A 1D 1C 1 = 180. Ali B C C 1 = 180 B B 1C 1 = A 1B 1C 1, i analogno D C C 1 = C 1 D 1A 1, pa su gornji uslovi međusobno ekvivalentni. 3. Traжeno geometrijsko mesto taqaka je unija dva kruga, k(a, B, M) i k(a, B, N), gde su M i N taqke prave BS takve da MS = NS = AS, a S je teme ugla. Dokaz: Primenom inverzije sa centrom u A, dobijamo slede i zadatak: Date su tri nekolinearne taqke A, B i S. Krug određen tim trima taqkama oznaqimo sa b, a pravu A S oznaqimo sa a. Odrediti geometrijsko mesto taqaka dobijenih u preseku krugova l i pravih k, ako je k a i k je tangenta kruga l. Sada direktno vidimo da je ovo geometrijsko mesto taqaka unija pravih B M i B N, gde su M i N taqke kruga b koje se nalaze na jednakoj udaljenosti od A i S. 4. Primenimo inverziju sa centrom u A: krugovi Γ 1 i Γ 2 se preslikavaju u prave Γ 1 i Γ 2 koje se seku u taqki A 2 (gde je A 2 druga taqka preseka krugova Γ 1 i Γ 2 ). Poxto krugovi S1, S2 dodiruju prave Γ 1, Γ 2, i iz uslova datih o dodirima krugova Γ i i S j, zakljuqujemo da su krugovi S1, S2 upisani u isti ugao određen pravama Γ 1 i Γ 2. Zato su homotetiqni u odnosu na A 2, pa je i B1C 1 B2C 2. Sada vidimo da se krugovi AB 1 C 1 i AB 2 C 2 dodiruju u taqki A, jer kada bi imali jox jednu preseqnu taqku M, prave B1C 1 i B2C 2 bi se sekle u taqki M. 5. Neka su C 1, A 1, B 1 taqke dijametralno suprotne taqki P u krugovima P AB, P BC, P CA. Homotetijom sa centrom u P i koeficijentom 2 uoqavamo da je dovoljno da dokaжemo da su taqke P, A 1, B 1, C 1 kocikliqne. Inverzijom sa centrom u P, taqke A, B, C se preslikavaju u taqke A, B, C, takve da su P, A, B, C kocikliqne. Poxto je B A 1P = A 1 BP = 90, taqka A 1 je podnoжje normale iz P na pravu B C. Analogno, taqke B1, C1 su podnoжja normala iz P na prave C A, A B. Treba dokazati da su A 1, B1, C1 kolinearne. Ali one upravo određuju Simsonovu pravu taqke P u odnosu na trougao A B C, jer P pripada krugu opisanom oko trougla A B C! 3
4 6. Dokaжimo da Ojlerov krug dodiruje upisani krug k i pripisani krug k a pripisan naspram temena A. Oznaqimo sa A 1, B 1, C 1 sredixta stranica BC, CA, AB. Neka su B 2 i C 2 taqke simetriqne taqkama B i C u odnosu na unutraxnju simetralu ugla BAC (dakle, prava B 2 C 2 je druga zajedniqka unutraxnja tangenta krugova k i k a ), P i Q dodirne taqke krugova k i k a sa duжi BC, a D i E preseqne taqke pravih A 1 B 1 i A 1 C 1 sa pravom B 2 C 2. Prema velikom zadatku, A 1 je sredixte duжi P Q, i A 1 P = A 1 Q = b c /2. Pri inverziji sa centrom u A 1 i polupreqnikom A 1 P, krugovi k i k a e se preslikati u sebe. Ojlerov krug sadrжi taqku A 1 koja je centar inverzije, pa e se preslikati u pravu, i preostaje da dokaжemo da je ta prava zajedniqka tangenta krugova k i k a. Dokaza emo da se pri navedenoj inverziji taqke B 1 i C 1 preslikavaju u D i E. Uoqimo taqku K, sredixte duжi CC 2. Taqka K pripada pravoj A 1 B 1, i A 1 K = BC 2 /2 = b c /2 = A 1 P. Zatim, A 1 D : A 1 K = BC 2 : BA = A 1 K : A 1 B 1, to jest A 1 D A 1 B 1 = A 1 K 2 = A 1 P 2. Analogno se dokazuje da je A 1 E A 1 C 1 = A 1 P Primenimo inverziju sa centrom u A. Pomo u formule (1) Ptolomejeva nejednakost se transformixe u nejednakost AB AC AD C D + odnosno, posle sređivanja, u r2 AD AB AC B C B C + C D B D. r2 AC AB AD B D, Ovo je nejednakost trougla, te preostaje samo da razmotrimo sluqajeve jednakosti. Jednakost vaжi ako i samo ako su B, C, D kolinearne taqke takve da je C između B i D. Iskazuju i taj uslov u terminima polaznih taqaka A, B, C, D, dobijamo upravo uslov koji je naveden u tvrđenju zadatka. 8. Inverzija ψ C,s ostavlja fiksiranim taqke D i E, pa je slika kruga CDE prava DE. Oznaqimo sa P i Q dodirne taqke pravih AC i BC sa pripisanim krugom k C trougla ABC naspram temena C. Prema velikom zadatku, CP = CQ = s, pa su i taqke P i Q fiksne, odnosno pripisani krug naspram temena C je ortogonalan na krug inverzije, pa i on ostaje nepokretan. Ostaje da se primeti da prava DE dodiruje krug k C, pa se i njihove slike u inverziji dodiruju, qime je dokazano tvrđenje zadatka. 9. Primenimo inverziju sa centrom u A: taqke B i C se preslikavaju u B i C, polukrugovi ω i ω 1 se preslikavaju u poluprave ω i ω 1 normalne na pravu B C, a ω 2 se preslikava u polukrug ω 2 nad preqnikom B C. Krugovi k n dodiruju međusobno paralelne poluprave ω i ω 1, pa su svi istog polupreqnika r jednakog polupreqniku polukruga ω 2. Vidimo i da je rastojanje centra kruga d n od prave B C jednako d n = 2nr. Sada primenimo tvrđenje navedeno u teorijskom uvodu, po kome postoji homotetija sa centrom u A koja preslikava krug k n u krug k n. Ako je koeficijent te homotetije κ, onda je d n = κd n i r n = κr, pa je d n /r n = d n/r = 2n, xto je trebalo dokazati. 10. Inverzijom sa centrom u A, taqke B, C i M se preslikavaju u taqke B, C i M. Pomo u formule (2), uslov zadatka transformixemo u AC M AC B = AB M AB C, odnosno M C B = M B C. Dakle, trougao B C M je jednakokraki, i B M = C M. Sada, izjednaqavanjem formula (1) za duжi B M i C M, dobijamo AB AM BM = AC AM CM, odnosno BM/AB = CM/AC, xto je trebalo dokazati. 4
5 11. Primenimo inverziju sa centrom u I. Ostavljamo qitaocu da konstruixe inverzivnu sliku. Primetimo samo da se uslov da je I centar upisanog kruga transformixe u uslov da su krugovi A i A i+1i istih polupreqnika. (Zaxto? Ukoliko je rastojanje taqke I od prave XY jednako r, a polupreqnik inverzije je R, onda je preqnik kruga IX Y jednak R 2 /r) Sada iskoristimo slede e jednostavno tvrđenje, koje qitalac moжe sam dokazati: Ako su k 1, k 2, k 3 tri kruga koji sadrжe istu taqku I, takvi da se nikoja dva od njih ne dodiruju, onda su njihovi centri kolinearni ako i samo ako postoji jox jedna zajedniqka taqka J I preseka ova tri kruga. U inverzivnoj slici, ovo znaqi da je nax zadatak da dokaжemo da se prave A 1B1, A 2B2, A 3B3 seku u jednoj taqki. Da bi ovo vaжilo, dovoljno je da trouglovi A 1A 2A 3 i B1B 2B 3 budu homotetiqni, to jest da njihove odgovaraju e stranice budu paralelne. Oznaqimo sa Pi centar kruga A i+1 A i+2 I, a sa Q i podnoжje normale iz I na stranicu P i+1 P i+2. Lako se dokazuje da A 1A 2 = 2 Q 1Q 2 = P 1 P 2. Takođe, poxto su krugovi A i A i+1 I istih polupreqnika, P 1 P 2 B 1B 2, pa i A 1A 2 B 1B Primenimo inverziju u odnosu na upisani krug k trougla ABC. Taqke M, N, P su nepokretne pri ovoj inverziji. Taqke A, B, C su sredixta duжi NP, P M, MN. Zato se opisani krug l trougla ABC preslikava u l, Ojlerov krug trougla M N P. Oznaqimo centar upisanog kruga trougla ABC sa I, centar kruga l sa O, centar kruga l sa S, a ortocentar trougla MNP sa H. Iako se centar O kruga l pri inverziji ne preslikava u centar S kruga l, ipak znamo da prava OS prolazi kroz taqku I, centar inverzije. Dakle, O SI. Posmatrajmo sada trougao MNP : u njemu je H ortocentar, I centar opisanog kruga, a S centar Ojlerovog kruga, pa H, I, S leжe na Ojlerovoj pravoj trougla MNP, odnosno H SI. Iz do sada dokazanog sledi da su taqke O, I, H kolinearne, xto je trebalo dokazati. 13. Primenimo inverziju sa centrom u A. Polukrugovi k i l se preslikavaju u poluprave k, l normalne na pravu B C. Normala m kroz C na pravu AB se preslikava u krug m nad preqnikom AC, a prava BT u krug AB T. Tvrđenje zadatka, iskazano u inverzivnoj slici, glasi: poluprava l je tangenta kruga AB T. Taj uslov je ispunjen ako i samo ako je C T 2 = C B C A (ovaj uslov smo dobili izraqunavanjem potencije taqke C u odnosu na krug AB T ). Ako oznaqimo polupreqnik kruga m sa R, a polupreqnik kruga ω sa r, direktno izraqunavamo C A = 2R, C B = 2r. Da bismo izraqunali duжinu C T, obeleжimo centar kruga m sa U, centar kruga ω sa V, i podnoжje normale iz V na B C sa W. U pravouglom trouglu UV W je UV = R + r i UW = SC UC = R r. Zato je C T 2 = UV 2 UW 2 = (R + r) 2 (R r) 2 = 4Rr = C A C B. 5
Potencija taqke. Duxan uki
Potencija taqke Duxan uki Neka su dati krug k i taqka u ravni. Posmatrajmo proizvoljnu pravu l kroz i njene preseqne taqke B i sa krugom k. Proizvod B ne zavisi od izbora prave l. Zaista, ako sa D oznaqimo
Διαβάστε περισσότεραPaskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:
askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija Milivoje Luki
odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su
Διαβάστε περισσότεραMatematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki
Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.
09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB
Διαβάστε περισσότεραi l 2, paralelne pravim l 1 i l 2, respektivno (sl. 1). Uoqimo ravan ϕ paralelnu ravni π, i neka ona seqe prave l 1 i l 2 u taqkama
NASTAVA MATEMATIKE U SREDNjIM XKOLAMA Sinixa Gavrilovi GEOMETRIJSKA MESTA TAQAKA U PROSTORU Po I. F. Xariginu, geometrija je mo no sredstvo u razvitku liqnosti u najxirem pogledu. Ona razvija osobine liqnosti
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραSli cnost trouglova i Talesova teorema
Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.
Διαβάστε περισσότεραDruxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. imaju istu vrednost.
00200 Prvi razred A kategorija Neka su a 1 < a 2 < < a n dati realni brojevi. Na i sve realne brojeve x za koje je izraz x a 1 + x a 2 + + x a n najmanji. Na i sve trojke međusobno razliqitih dekadnih cifara
Διαβάστε περισσότεραO trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš
O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija
18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija
18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi
Διαβάστε περισσότεραEUKLIDSKA GEOMETRIJA
EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz Euklidske geometrije II
Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραI Pismeni ispit iz matematike 1 I
I Pismeni ispit iz matematike I 27 januar 2 I grupa (25 poena) str: Neka je A {(x, y, z): x, y, z R, x, x y, z > } i ako je operacija definisana sa (x, y, z) (u, v, w) (xu + vy, xv + uy, wz) Ispitati da
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA
8.201 Prvi razred A kategorija Aca, Branka, Vera i Goran su od nastavnika matematike dobili zadatak da izraqunaju koliqnik dva pozitivna realna broja, i to: Aca da izraquna a 1 : a 2, Branka da izraquna
Διαβάστε περισσότεραProjektivna geometrija
Projektivna geometrija Autor: Vladica Andreji Zbirka zadataka baziranih na veжbama drжanih sezone 2004/05 Analitiqki pristup. Osnovna teorema, dvorazmera 27. mart 2005. Zadatak. Taqke 0, i afinog sistema
Διαβάστε περισσότεραAksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije
Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako
Διαβάστε περισσότεραKombinatorna geometrija verzija 1.7.1:
Kombinatorna geometrija verzija 1.7.1: 16.10.016. Duxan uki Granica između kombinatorne geometrije i geometrije, odnosno kombinatorike, qesto je zamrljana. Pod kombinatornom geometrijom obiqno podrazumevamo
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog
Διαβάστε περισσότεραAko dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.
Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1
Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραOKRUЖNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDNjIH XKOLA, 19.0201 Prvi razred, A kategorija Da li postoje prirodni brojevi a, b, c takvi da je 2010 = (a + b) (b + c) (c + a)? U ravni su date kruжnice k 1 i k 2 i prava p koja seqe k 1 u
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 5. mart 2016.
Prvi razred A kategorija 1. Neka je operacija,, na skupu G = {1, 2, 3,..., 2016} zadata donjom tablicom. 1 2 3 4 2016 1 5 5 5 5 5 2 1 2 5 5 5 3 4 3 5 5 5 4 5 5 5 5 5......... 2016 5 5 5 5 5 (Unutar tablice
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
Prvi razred A kategorija 1. Neka su A, B i C konaqni skupovi za koje vaжi Dokazati da tada vaжi A C + B C = A B. A B C A B. (Za skupove X i Y oznaqili smo X Y = (X \Y ) (Y \X), xto se naziva simetriqna
Διαβάστε περισσότερα1. APSOLUTNA GEOMETRIJA
1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραAksiome podudarnosti
Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Topologije A
Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραAko prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:
Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραDRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQEƫA SREDƫOXKOLACA 2005/2006.
DRUXTVO MATEMATIQARA SRBIJE MATEMATIQKA TAKMIQEƫA SREDƫOXKOLACA 005/006. Beograd VrƬaqka BaƬa 006 Organizaciju takmiqeƭa su pomogli: ORGANIZACIONI ODBOR 48. REPUBLIQKOG TAKMIQEƫA IZ MATEMATIKE.. 3. 4.
Διαβάστε περισσότεραREXENjA ZADATAKA OKRUЖNOG TAKMIQENjENjA IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA, Prvi razred, A kategorija
REXENj ZDTK OKRUЖNOG TKIQENjENj IZ TETIKE UQENIK SREDNjIH XKOL, 8.0.009. Prvi razred, kategorija. naliza. Kakoje N 90, sledi da kruжnica nad kao preqnikom sadrжi i N. Konstrukcija. ko su i N simetriqne u odnosu
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Trigonometrija
Glava 1 Trigonometrija 1.1 Teorijski uvod Neka su u ravni Oxy dati krug k = {x, y) R R : x +y = 1} i prava p = {x, y) R R : x = 1}. Predstavimo skup realnih brojeva na pravoj p, kao brojevnoj pravoj, tako
Διαβάστε περισσότεραKonstruktivni zadaci. Uvod
Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραMOJ QAS. Ljubixa Dini. POVRXINA LOPTE (SFERE) Qas obrade novog gradiva u OX,, ele kula u Nixu
MOJ QAS Ljubixa Dini POVRXINA LOPTE (SFERE) Qas obrade novog gradiva u OX,, ele kula u Nixu Uvodni deo qasa Podsetimo se da smo u sedmom razredu obrađivali obim i povrxinu kruga, kao i obim i povrxinu pravilnih
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)
Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραElementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1
Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu
Διαβάστε περισσότεραZbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje
Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred A kategorija
20201 Prvi razred A kategorija Na krakovima AC i BC jednakokrakog trougla ABC date su taqke M i N, redom, tako da je CM + CN = AC. Dokazati da sredixte duжi M N pripada sredƭoj liniji tog trougla koja
Διαβάστε περισσότεραPolinomske jednaqine
Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim
Διαβάστε περισσότεραDvostruko prebrojavanje prva-4 verzija:
Dvostruko prebrojavanje prva- verzija: 0 Duxan uki Pod dvostrukim prebrojavanjem podrazumevamo prebrojavanje neke veliqine na dva naqina u cilju dobijanja neke relacije (ili kontradikcije) Evo jednog banalnog
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.
Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost
Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραGeometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije
Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα1 Pojam funkcije. f(x)
Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Rexenja zadataka
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnolokog razvoja Drutvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA Reenja zadataka Prvi razred A kategorija. Od poqetnog broja mogu e je
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDƫIH XKOLA, 10201 Prvi razred, A kategorija Neka je K taqka simetriqna ortocentru H trougla ABC u odnosu na sredixte stranice BC. Dokazati da je AK preqnik opisane kruжnice trougla ABC. Dati
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραMatematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak
Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x
Διαβάστε περισσότεραVektori Koordinate Proizvodi Centar masa Transformacije UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET. Geometrija I{smer.
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 1: Vektori i transformacije koordinata Tijana Xukilovi 2. oktobar 2017 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije
Διαβάστε περισσότεραKružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu MASTER RAD Kružni snopovi i transformacije u euklidskom modelu inverzivnog prostora Tomović Siniša Beograd, Januar 2013. Mentor: Dr Zoran Lučić Članovi komisije:
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE GEOMETRIJE sa primenama u raqunarskoj grafici
SR AN VUKMIROVI ZORAN STANI ZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE GEOMETRIJE sa primenama u raqunarskoj grafici Matematiqki fakultet, Beograd, 2003 Autori: dr Srđan Vukmirovi, Zoran Stani ZBIRKA ZADATAKA IZ PROJEKTIVNE
Διαβάστε περισσότεραALGEBRA 1. Grupe. Konaqno generisane Abelove grupe. Zoran Petrovi 11. i 18. decembar ρ = 0. nρ = 0
ALGEBRA 1 Grupe Konaqno generisane Abelove grupe Zoran Petrovi 11 i 18 decembar 2012 Podsetimo se diedarske grupe: Njena abelizacija zadata je sa: D n = σ, ρ σ 2 = ε, ρ n = ε, σρ = ρ n 1 σ D Ab n = σ, ρ,
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότεραPID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo
Διαβάστε περισσότεραMinistarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA
20201 Prvi razred A kategorija Za realne brojeve a, b, c vaжe nejednakosti b c a, c a b, a b c. Dokazati da je jedan od brojeva a, b, c jednak zbiru preostala dva. U trougao ABC sa stranicama BC = a, CA
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραPrvi razred, A kategorija
UQENIKA SREDƫIH XKOLA, 20201 Prvi razred, A kategorija Neka je E sredixte stranice CD kvadrata ABCD. Ako normala u taqki D na dijagonalu BD seqe pravu AE u taqki F, dokazati da su taqke B, C i F kolinearne.
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραPROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP
PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma
INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα