Dvostruko prebrojavanje prva-4 verzija:

Transcript

1 Dvostruko prebrojavanje prva- verzija: 0 Duxan uki Pod dvostrukim prebrojavanjem podrazumevamo prebrojavanje neke veliqine na dva naqina u cilju dobijanja neke relacije (ili kontradikcije) Evo jednog banalnog primera Zadatak U nekom druxtvu, tre ina svih penzionera su xahisti, a qetvrtina svih xahista su penzioneri Da li u tom druxtvu ima vixe xahista ili penzionera? Rexenje Neka ima p penzionera i c xahista Odredimo broj penzionera-xahista S jedne strane, on je jednak tre ini broja penzionera, tj p, a s druge strane, jednak je qetvrtini broja xahista, tj c Odavde je p = c, tj c = p > p: vixe ima xahista Qesto je korisna matrica incidencije - binarna tablica koja pokazuje relacije između dve klase objekata Tako npr jedinice u matrici incidencije moжemo prebrojati na dva naqina: po vrstama ili po kolonama; rezultat e naravno biti isti Zadatak Interval (0, 0) je pokriven sa otvorenih podintervala, tako da nijedan nije podskup unije ostalih Dokazati da bar jedan od ovih podintervala ima duжinu ne ve u od Rexenje Pretpostavimo da su svi podintervali duжine ve e od Oznaqimo podintervale sa I,, I Napravimo tablicu 9 u kojoj vrste odgovaraju brojevima,,, 9, a kolone podintervalima I,, I ; u preseku i-te vrste i j-te kolone upisujemo ako i I j, i 0 u suprotnom Ako neka tri podintervala imaju zajedniqku taqku, onda je jedan od njih podskup unije druga dva (proverite!), protivno uslovu zadatka Prema tome, svaka celobrojna taqka je u najvixe dva podintervala, tj u svakoj vrsti se nalaze najvixe dve jedinice Sledi da u tablici ima najvixe 8 jedinica S druge strane, po pretpostavci, svaki podinterval sadrжi bar celobrojne taqke, tj u svakoj koloni su bar tri jedinice, pa tako u tablici ima bar = 9 jedinica, kontradikcija Dok je repertoar zadataka koji se rexavaju jednostavnim brojanjem jedinica po vrstama i kolonama relativno ograniqen, brojanje parova (ili k-torki) je priliqno rasprostranjena ideja Slede i primer je karakteristiqan Zadatak Posmatrajmo sve familije F troqlanih podskupova skupa {,,, n} među kojima nikoja dva nemaju vixe od jednog zajedniqkog elementa Ako sa f(n) oznaqimo najve u mogu u kardinalnost F, dokazati da je n n f(n) n n Rexenje Parova (x, y) elemenata skupa {,, n} ima n n ; svaki podskup u F sadrжi tri para, i nijedan par nije sadrжan u dva podskupa, odakle sledi f(n) n n S druge strane, familija F = {{a, b, c} : n a + b + c, a b c a} zadovoljava uslov zadatka i ima n n+ elemenata

2 Zadaci Dato je n taqaka unutar trougla T, među kojima nema kolinearnih Ove taqke i temena trougla T su povezane međusobno nepresecaju im duжima, i dele T na trouglove Odrediti broj ovih trouglova Oznaqimo sa p k broj permutacija skupa {,,, n} sa taqno k fiksnih taqaka Dokazati da je p + p + + np n = n! (MMO 987) Na takmiqenju je 00 uqenika rexavalo zadataka Svaki zadatak je rexilo bar 0 uqenika Dokazati da postoje dva uqenika takva da je svaki zadatak rexio bar jedan od njih Na takmiqenju uqestvuje a takmiqara i b sudija, pri qemu je b neparan prirodan broj Svaki sudija ocenjuje svakog takmiqara ili sa,,proxao ili sa,,pao Neka je k broj takav da se za svaku dvojicu sudija njihove ocene poklapaju kod najvixe k takmiqara Dokazati da je k b a b (MMO98) U pravougaonoj tablici n n, bar n( n + ) polja je obojeno Dokazati da postoje qetiri obojena polja qiji centri su temena pravougaonika Skup S koji se sastoji od n taqaka u ravni zadovoljava uslove: (i) nikoje tri taqke u S nisu na istoj pravoj; (ii) za svaku taqku P S postoji bar k taqaka u S koje su na istom rastojanju od P Dokazati da je k < + n (MMO 989) 7 Na univerzitetu ima 000 studenata Neki od njih su uqlanjeni u neke klubove Takođe, neki od klubova pripadaju nekim udruжenjima Udruжenja ima k Koliko moжe biti k, ako vaжi: (i) svaka dva studenta su u taqno jednom klubu; (ii) svaki student je qlan taqno jednog kluba unutar datog udruжenja; (iii) svaki klub ima neparan broj qlanova, i pri tom se klub sa m + qlanova nalazi u taqno m druxtava? 8 Neka je F = {A, A,, A n } familija podskupova skupa S = {,,, n} koji zadovoljavaju slede e uslove: (i) svaka dva razliqita skupa iz F imaju taqno jedan zajedniqki element; (ii) svaki element S je sadrжan u taqno k skupova iz F Moжe li n da bude jednako 99? 9 Neka je n paran broj Polja table n n obojena su sa n / boja, po dva svakom bojom Dokazati da se moжe postaviti n topova na polja u n razliqitih boja tako da se nikoja dva ne napadaju 0 U jednom razredu xkole ima 90 uqenika, od kojih se svaki druжi sa bar 0 drugih uqenika Dokazati da se oni mogu podeliti u tri odeljenja od po 0 uqenika tako da svako ima bar jednog druga u svom odeljenju Sve strane poliedra su trouglovi Temena poliedra obojena su jednom od tri boje Dokazati da je broj strana na kojima se pojavljuju sve tri boje paran U ravni je dato n jediniqnih trouglova koji obrazuju povezan skup Dokazati da preseqnih taqaka ovih krugova (tj taqaka koje leжe na bar dva kruga) ima bar n Podskupovi A, A,, A k {,,, n} su takvi da je A i A j = za sve i j Dokazati da je k n

3 U grupi od n ljudi svaki poznaje taqno k drugih Svaka dva qoveka koji se poznaju imaju taqno l zajedniqkih poznanika, a svaka dva koji se ne poznaju imaju taqno m zajedniqkih poznanika Odrediti vezu između k, l, m, n Dati su r-elementni podskupovi S, S,, S k skupa {,,, n} Dokazati da postoje i, j takvi da je A i A j r nk (k ) Neka je n prirodan broj i S skup svih taqaka (x, y) sa x, y {,,, n} Neka je T skup svih kvadrata qija temena pripadaju skupu S Oznaqimo sa a k (k 0) broj parova taqaka iz S koje su temena taqno k kvadrata iz T Dokazati da je a 0 = a +a 7 Dati su prirodni brojevi r n Posmatrajmo sve n-torke (k, k,, k n ) nenegativnih celih brojeva za koje je k + k + + k n = r i k + k + + nk n = n Za svaku takvu n-torku izraqunajmo koliqnik Dokazati da je suma svih ovih koliqnika jednaka (n )! (n r)!r!(r )! k!k! k n! 8 Neka je n prirodan broj Na konferenciji uqestvuje n osoba koje komuniciraju na jezika Ispostavilo se da svakim parom razliqitih jezika moжe razgovarati taqno n uqesnika, a da svakom trojkom razliqitih jezika moжe razgovarati taqno n uqesnika Dokazati da se svaka dva uqesnika mogu sporazumeti na nekom od ovih jezika, kao i da postoji jezik kojim govori bar 0n uqesnika 9 Na matematiqkom takmiqenju uqenicima je dato zadataka Pokazalo se da je svaki par zadataka rexilo vixe od uqesnika i da niko nije rexio svih zadataka Dokazati da postoje bar dva uqenika takva da je svako od njih rexio taqno zadataka (MMO 00) 0 Pravilan xestougao stranice je podeljen na jednakostraniqna trougla stranice Dobijenih 7 temena trouglova oznaqeni su brojevima,,, 7 proizvoljnim redom Jediniqni trougao se zove satni ako su njegova tri broja u rastu em poretku raspoređena u smeru kazaljke na satu Dokazati da ima bar 9 satnih trouglova [ ] Za dati ceo broj n, svako polje tablice n n je obojeno jednom od (n+) boja, pri qemu je svaka boja upotrebljena bar jednom Dokazati da postoji pravougaonik ili koji se sastoji od tri polja međusobno razliqitih boja Pretpostavimo da za prirodan broj n postoji preslikavanje f : {0, } n {,,, n} sa slede im svojstvom: kad god se nizovi x, y {0, } n razlikuju na taqno dva mesta, vaжi f(x) f(y) Dokazati da je n = k za neko k Za skup pravih u ravni kaжemo da su u opxtem poloжaju ako nikoje dve nisu paralelne i nikoje tri ne prolaze kroz istu taqku Skup pravih u opxtem poloжaju deli ravan na oblasti; ograniqenim oblastima u podeli zovemo one koje imaju konaqnu povrxinu Dokazati da je, za svako dovoljno veliko n, u svakom skupu n pravih u opxtem poloжaju mogu e obojiti u plavo bar n/ pravih tako da nijedna od ograniqenih oblasti u podeli nema potpuno plavu granicu (MMO 0 ) Rexenja Oznaqimo broj trouglova sa t Zbir uglova u svih t trouglova je t 80 S druge strane, u svakoj od n unutraxnjih taqaka zbir uglova je 0, a u temenima T ukupno 80 Sledi da je 80t = 0n + 80, pa je t = n +

4 Zbir p +p + +np n predstavlja broj parova (π, i), gde je π permutacija {,,, n} i i njena fiksna taqka S druge strane, broj permutacija π koje fiksiraju taqku i jednak je (n )! Sledi da je broj parova (π, i) jednak n(n )! = n!, xto dokazuje tvrđenje Pretpostavimo suprotno, da za svaka dva uqenika postoji zadatak koji nijedan od njih nije rexio Brojimo trojke (u, u, z) uqenika u, u koji nisu rexili zadatak z S jedne strane, ovakvih trojki ima bar onoliko koliko ima parova uqenika, dakle = 9800 S druge, za svaki zadatak z, postoji najvixe 80 uqenika koji ga nisu rexili, dakle najvixe trojki To ukupno daje najvixe = 790 trojki, i to je kontradikcija Neka je b = r+ Poxto se svaki od ( b ) parova sudija slaжe kod najvixe k takmiqara, ukupan broj poklapanja nije ve i od k ( b ) S druge strane, ako za i-tog takmiqara x i sudija glasa za prolaz, a b x i za pad, broj poklapanja na ovom takmiqaru iznosi ( ) ( ) xi n xi + = x i + (b x i) b r + (b r) n (b ) = Prema tome, ukupno ima bar a(b ) poklapanja, odakle sledi k ( ) b a(b ), xto se svodi na k b a b Pretpostavimo da takva polja ne postoje Nađimo broj N parova obojenih polja koji se nalaze u istoj vrsti Za svaki par kolona K, K postoji najvixe jedna vrsta u qijim se presecima sa obe kolone nalaze obojena polja (ako postoje dve takve vrste, njihovi preseci sa K i K određuju pravougaonik) Parova kolona ima ( n ), dakle N ( n ) Sada brojimo po vrstama Neka u i-toj vrsti ima a i obojenih polja: a +a + +a n = M = n( n + ) U i-toj vrsti ima ( a i ) ( parova obojenih polja, dakle N = ai ) i Koriste i nejednakost između aritmetiqke i kvadratne sredine dobijamo ( ) ( n n a i N = a i n ) a i n a i = M ( ) nm n(n ) n = >, n n 8 i= xto je kontradikcija i= Pretpostavimo da je k + n Za svaku taqku P S postoji bar k taqaka u S na istom rastojanju od P, xto daje bar k(k ) parova taqaka A, B sa AP = BP To ukupno daje bar nk(k ) n(n 8 ) trojki taqaka (A, B, P ) sa AP = BP S druge strane, za svaki od n(n ) parova taqaka A, B S postoje najvixe dve taqke P sa AP = BP, jer se sve takve taqke P nalaze na simetrali duжi AB Dakle, ukupno moжe biti najvixe n(n ) < n(n 8 ) trojki (A, B, P ), i to je kontradikcija 7 Pisa emo n = 000 Prebrojmo trojke (a, C, S) na dva naqina, gde je a student, C klub i S udruжenje tako da a C S Neka je T skup takvh trojki Za svakog studenta a i udruжenje S, po (ii), postoji taqno jedan klub C sa (a, C, S) T Parova (a, S) ima nk, dakle T = nk Sada fiksirajmo klub C Po (iii), C je u taqno C udruжenja, xto daje C ( C ) trojki iz T koje ukljuquju C Odavde je T = C ( C ) C (suma po svim klubovima) Na osnovu (i) je C ( C ) C = n(n ), pa dobijamo n(n ) = nk, tj k = n = 000 Za k = (n )/, sistem sa samo jednim klubom C u kome su svi studenti i k istih udruжenja sa klubom C kao jedinim qlanom zadovoljava uslove 8 Prebroja emo na dva naqina uređene trojke (x, A i, A j ) gde je x element podskupova A i i A j (i j) Svaki element x je sadrжan u k podskupova, pa podskupove A i i A j moжemo da izaberemo na k(k ) naqina Sledi da trojki (x, A i, A j ) ima nk(k ) i=

5 S druge strane, za svaka dva podskupa A i i A j element x je jednoznaqno određen, pa ovakvih trojki ima n(n ) Prema tome, n(n ) = nk(k ), odakle dobijamo n = k k + Kako za n = 99 ovakvo k ne postoji, odgovor je ne 9 Ukupan broj postavljanja n (razliqitih) topova tako da se nikoja dva ne napadaju je n! (prvi moжe da se postavi na n naqina, drugi na (n ) itd) Za svaku boju B, broj naqina na koje se topovi mogu postaviti bez međusobnog napadanja tako da su dva topa na poljima boje B jednak je n(n ) (n )!, xto ukupno daje n n(n ) (n )! nedozvoljenih naqina, xto je manje od n! Zato ostaje bar jedan dozvoljen naqin 0 Oznaqimo odeljenja sa A, B i C Odeljenje A se moжe formirati na ( 90 0) naqina, a potom odeljenje B na ( ) ( 0 0 naqina, xto daje ukupno M = 90 )( 0 0 0) naqina da se formiraju sva tri odeljenja Odredimo sada broj naqina da se to uqini tako da neki uqenik nema nijednog druga u svom odeljenju Za svakog uqenika X, broj naqina pri kojim X nema drugova u svom odeljenju je ( )( 9 0 ) ( 9 0 To ukupno daje najvixe N = 90 9 )( 0 9 0) neodgovaraju ih naqina Pri tom je N < M jer je M N = 90 ( ) > 90 ( )0 > Prema tome, bar jedan naqin formiranja odeljenja je odgovaraju i Ivicu poliedra zovemo xarenom ako su njeni krajevi razliqitih boja Neka je a i broj trouglova u kojima se pojavljuje taqno i boja: takav trougao sadrжi taqno k i raznobojnih stranica, gde je k = 0, k = i k = Kako svaka raznobojna stranica leжi u dva trougla, ukupan broj raznobojnih stranica pomnoжen sa je k a + k a + k a a (mod ) Sledi da je broj a paran Neka su A,, A k sve preseqne taqke Za taqku A i i krug k j A i, paru (A i, k j ) dodelimo a ij = n i, gde je n i broj krugova koji sadrжe A i Posmatrajmo zbir svih brojeva a ij Za svaku taqku A i, zbir j a ij je jednak n i n i =, dakle i,j a ij = k S druge strane, neka na krugu k j leжi m j taqaka i neka je A i k j Svaki od n i krugova kroz A i razliqitih od k j ponovo seqe k j u nekoj taqki, pri qemu su sve te taqke razliqite; sledi da na k j leжi bar n i taqaka, tj m j n i Odavde je a ij m j, pa je i a ij m j m j =, xto sabiranjem po svim j daje k = i,j a ij n Pretpostavimo da je k > n Paru (i, j) za i n i j k dodeljujemo a ij = 0 ako i A j i a ij = Aj n A j u suprotnom Za fiksirano j je i a ij = A i, pa je i,j a ij = j A j Neka je sada n i broj podskupova koji sadrжe i Ako i A j, onda svaki od tih n i skupova seqe A j u taqno jednoj taqki razliqitoj od i, pri qemu su sve te taqke razliqite Dakle, A j sadrжi bar n i elemenata, tj n i A j, odakle po pretpostavci k > n dobijamo n i k n i < A j n A j Zato za fiksirano i u sumi j a ij ima k n i nenula sabiraka koji su svi ve i od n i k n i, pa je j a ij > n i Odatle je i,j a ij > i n i = j A j, kontradikcija Prebroja emo na dva naqina trojke temena (a, b, c) u kojima a poznaje b i c, ali b ne poznaje c Osoba a se moжe odabrati na n naqina, a osoba b na k naqina Među poznanicima osobe a, jedna je b, l njih poznaje b, a preostalih k l osoba ne poznaje b, tj za c ima k l mogu nosti Tako je ukupan broj trojki (a, b, c) jednak nk(k l ) S druge strane, b se moжe odabrati na n naqina, c na n k naqina (toliko ima nepoznanika osobe b), a a kao zajedniqki poznanik ljudi b i c na m naqina Odavde je ukupan broj trojki (a, b, c) jednak nm(n k ) Sledi da je k(k l ) = m(n k )

6 Dovoljno je pokazati da postoje i, j takvi da je S i \ S j nk (k ) Pretpostavimo suprotno Tada za svaki od k(k ) uređenih parova i, j (i j) postoji vixe od nk (k ) trojki (x, S i, S j ) u kojima x S i i x S j Ukupno, ovakvih trojki (x, S i, S j ) ima nk vixe od k(k ) (k ) = nk S druge strane, za dato x, ako se x nalazi u taqno k x podskupova, S i i S j se redom mogu odabrati na k x i k k x naqina, xto daje k x (k k x ) k trojki Sledi da ukupan broj trojki ne prelazi nk, xto je kontradikcija Broj parova razliqitih taqaka iz S je a 0 + a + a + a = ( ) n Prebrojmo kvadrate iz T Oko svakog kvadrata t T moжe se opisati taqno jedan kvadrat t sa stranicama paralelnim koordinatnim osama Za i =,, n, kvadrata t stranice i ima taqno (n i) Za svaki takav kvadrat t, kvadrat t ima temena na stranicama t i moжe se odabrati na taqno i naqina Prema tome, ukupan broj kvadrata t je n i= i(n i) = n i i n i i + i i = n (n ) Svaki kvadrat iz T određuje parova taqaka, xto daje n (n ) = ( ) n parova U ovaj broj se, međutim, svaki od a k parova taqaka koje su temena taqno k kvadrata raquna taqno k puta Dakle, a + a + a = ( ) n = a0 + a + a + a, odakle sledi a 0 = a + a 7 Ukupan broj razlaganja broja n na r prirodnih sabiraka je ( ) n r = (n )! (r )!(n r)! S druge strane, ako u takvom razlaganju ima taqno k i sabiraka jednakih i, onda je upravo k i = r i r! ik i = n Za date k i takvih razlaganja ima taqno, pa je ukupan broj razlaganja takođe jednak r! (n )! k!k! k r! ; dakle, to je jednako k!k! k r! (r )!(n r)! 8 Oznaqimo sa a i broj uqesnika konferencije koji govore i od pomenutih jezika (0 i ) Tada je a 0 + a + + a = n Kako osoba koja govori i jezika zna ( i ) parova jezika, imamo ( ) a + ( ) a + ( ) a + ( ) a = ( ) n, tj a +a +a +0a = 0n Sliqno, posmatraju i trojke jezika, dobijamo a + a + 0a = 0n Eliminacijom a i a u ove tri jednaqine dobijamo a 0 + a + a + a = 0, odakle je a 0 = a = a = a = 0, i dalje a = 0n i a = n Odavde sledi prvo tvrđenje Takođe, ako sa b i broj uqesnika koji znaju i-ti jezik, imamo b + b + b + b + b = a + a + a + a + a = 0n, pa je b i 0n za neko i 9 Neka je bilo n takmiqara, od kojih je a i rexilo taqno i zadataka: tada je a 0 + +a = n Odredimo broj N parova (C, P ), gde je C takmiqar koji je rexio par zadataka P Svaki od parova zadataka je rexilo bar n+ takmiqara, odakle je N n+ = n + S druge strane, a i takmiqara je rexilo i(i ) parova, pa je n + N a + a + a + 0a = n + a (a + a + a + a 0 ) Prema tome, a Pretpostavimo da je a = Tada mora biti N = n +, xto je mogu e samo ako je parova zadataka rexilo taqno n+ takmiqara, a preostali par n+ + takmiqara, pri qemu su svi osim pobednika rexili taqno zadatka Zadatak t koji pobednik nije rexio zva emo xexkim, a par zadataka koji je rexilo n+ + takmiqara īosebnim Sada nađimo broj M p parova (C, P ) u kojima P sadrжi dati zadatak p Neka je b p broj takmiqara koji su rexili p Tada je M t = b t (svaki od b t takmiqara je rexio tri para zadataka koji sadrжe t) i M p = b p + za p t (pobednik je rexio qetiri takva para) S druge strane, svaki od pet parova koji ukljuquju p je rexilo n+ ili n+ + takmiqara, pa je M p = n + ako posebni par sadrжi p, odnosno M p = n + u suprotnom Ovako je M t = b t = n + ili n +, znaqi n + 0 ili (mod ) Ali ako je p t zadatak koji nije u posebnom paru, imamo M p = b p + = n +, pa je n + (mod ), xto je kontradikcija 0 Na dobijenoj slici ima 90 stranica malih trouglova, od qega 8 na obimu xestougla i 7 unutar njega Posmatrajmo parove (T, a), gde je T trougao i a jedna od njegovih

7 stranica: tih parova ima Par (T, a) zovemo dobrim ako kretanje duж a od manjeg broja ka ve em znaqi kretanje u smeru kazaljke na satu u T ; u suprotnom, par je lox Ako je stranica a unutraxnja i pripada trouglovima T, T, taqno jedan od parova (T, a) i (T, a) je dobar, xto daje 7 dobra para Jox bar jedan od parova (T, a) sa a na obimu xestougla je dobar, dakle ukupno ima bar 7 dobra para Ako je trougao satni, on određuje taqno dva dobra para; u suprotnom određuje taqno jedan Tako, ako ima a satnih trouglova, broj dobrih parova je a+( a) = +a 7; dakle, a 9 U tablici ima n(n ) pravougaonika ili Prebroja emo one u kojima se ista boja pojavljuje bar dvaput Oznaqimo sa t B broj polja boje B, a sa p B broj pravougaonika ili koji sadrжe bar dva polja boje B Lako se pokazuje indukcijom (dokaжite!) da u koloni ili vrsti koja sadrжi s > 0 polja boje B, takvih pravougaonika ima najvixe s Sabiranjem po svim vrstama i kolonama u kojima se pojavljuje B dobijamo p B t B u v, gde su u i v redom brojevi vrsta i kolona koje sadrжe B Za u + v je p B (t B ), a ovo vaжi i za u + v = jer je tada t B = i p B = 0 Ako su B, B,, B r date boje (r = [ (n+) ]), imamo t B + + t Br = n, pa je na osnovu prethodnog p B + + p Br (t B ) + + (t Br ) = n r n (n + ) + = n n < n(n ) Dakle, postoji pravougaonik u kome se nijedna boja ne pojavljuje dvaput Odredimo broj parova (x, y) nizova iz {0, } n takvih da se x i y razlikuju na taqno jednom mestu i f(y) = Kako se za svako y sa f(y) = niz x moжe odabrati na n naqina, broj parova (x, y) je deljiv sa n S druge strane, za svako x i i =,,, n, posmatrajmo niz x i koji se od x razlikuje samo na i-tom mestu Po uslovu zadatka, svi f(x i ) su razliqiti za i =,,, n, pa je f(x i ) = za taqno jedno i Prema tome, za svako x, niz y se moжe odabrati na taqno jedan naqin, pa sledi da je broj parova (x, y) jednak n Odavde n n, xto znaqi da je n = k za neko k Nazovimo preseqnu taqku dve plave prave plavom Pretpostavimo da smo obojili k pravih i da vixe nijedna prava ne moжe da se oboji bez naruxavanja uslova zadatka To znaqi da za svaku neobojenu pravu l postoji ograniqena oblast R l qija jedina neobojena strana leжi na l Dodelimo pravoj l ma koje plavo teme oblasti R l Svakoj plavoj taqki odgovaraju najvixe prave Kako plavih taqaka ima ( k ), a neobojenih pravih n k, sledi da je n k ( k ), tj k (n + k)/ > n/ Beograd, 0-0 7