TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)"

Δαίδαλος Ευταξίας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli d( A, B) ( x x ) + ( y y ) Primer. Odrediti dužine stranica trougla čija su temena A(,), B(4,) i C(,5) C(,5) d(a,c) d(b,c) A(,) d(a,b) B(4,) Da vas ne zbuni, nema veze da li ćete obeležiti d(a,b) ili d(b,a) jer je rešenje isto. d( A, B) ( x x ) + ( y y ) d A B (, ) (4 ) + ( ) 9+ 0 d A C (, ) ( ) + (5 ) dbc (, ) ( 4) + (5 ) Deljenje duži u datoj razmeri Ako je tačka M ( xλ, yλ ) unutrašnja tačka duži AB, gde je Ax (, y ) i B( x, y ) i ako je data razmera AM AM : MB λ to jest ( λ), u kojoj tačka M deli duž AB, onda se koordinate tačke M računaju po MB obrascima x + λx y + λ y M( x, y ) x i y + λ + λ λ λ λ λ M( x, y ) Ax (, y) Bx (, y) λ λ

2 . Sredina duži Ako je tačka M ( xs, y s ) sredina duži AB ( Ax (, y ) i B( x, y ) ) onda se njene koordinate računaju po formuli Primer. Izvesti formule za koordinate težišta trougla! x + x y + y M( x, y ) x i y s s s s M( x, y ) s Ax (, y) Bx (, y) Da se podsetimo, težište se nalazi u preseku težišnih duži i težište deli težišnu duž u odnosu :. Cx (, y) s A*( x*, y*) Ax (, y) Bx (, y) Najpre ćemo naći koordinate tačke A*( x*, y *) kao sredinu duži BC. x + x y + y A*( x*, y*) x* i y* Cx (, y) T( x, ) T yt A x + x y + y *(, ) Ax (, y) Bx (, y) Dalje ćemo iskoristiti formulu za deljenje duži u datoj razmeri, gde je AT : TA* : x + x y + y x + ( ) y + ( ) T( x, y ) x i y + + x+ x + x y+ y + y T T T T

3 4. Površina trougla preko koordinata temena Neka su Ax (, y ), B( x, y ) i Cx (, y ) temena datog trougla ABC određena pomoću naznačenih koordinata u odnosu na pravougli koordinatni sistem xoy, tada je površina trougla data obrascem P x( y y) + x( y y) + x( y y) može i preko determinante( naravno, ko je upoznat sa njihovim izračunavanjem) x y P x y x y Apsolutna vrednost je tu da nam obezbedi da rešenje ne bude negativno, jer površina ne može biti negativan broj. Primer. Izračunati površinu trougla ABC ako je A(-,) ; B(8,-) i C(,8) P x( y y) + x( y y) + x( y y) P ( 8) + 8(8 ) + ( ( )) P ( 0) ( + ) P P 75 P 7,5

4 PRAVA i) opšti ( implicitni oblik) je ax + by + c 0 ii) eksplicitni oblik je y kx + n Ovaj oblik nam je najbitniji jer se koristi u mnogim formulama. U njemu je : k- koeficijent pravca ( k, gde je α ugao koji prava gradi sa pozitivnim smerom x ose) n - je odsečak na y - osi Kako preći iz opšteg u eksplicitni oblik? ax + by + c 0 sve sa y ostavimo levo a ostale prebacimo desno by ax c sad sve podelimo sa b a c y x b b a c Odavde je k i n b b Primer 4. Pravu 7x+y + 0 prebaciti u eksplicitni oblik i naći k i n 7x + y + 0 sve sa y ostavimo levo a ostale prebacimo desno y 7x sad sve podelimo sa 7 y x 7 Odavde je k i n x y iii) + je segmentni oblik m n m je odsečak na x osi n je odsečak na y osi y n O m x 4

5 Primer 5. U jednačini px + ( p + ) y 8 0 odrediti parametar p, tako da prava gradi dva puta veći odsečak na apscisnoj osi nego na ordinatnoj osi. Prava gradi dva puta veći odsečak na apscisnoj osi nego na ordinatnoj osi, znači m Sredimo datu jednačinu prave da bi iz nje mogli da pročitamo m i n. px + ( p + ) y 8 0 px + ( p + ) y 8 sve podelimo sa 8 px ( p + ) y + oslobodimo x i y 8 8 x y odavde je m i n 8 8 p p + p p+ Sad ovo zamenimo u m n m n 8 8 p p+ 8 6 p p+ 6 p 8( p+ ) 6 p 8 p+ 8 6 p 8 p 8 8p 8 p iv) x cosϕ + ysinϕ p je normalni oblik jednačine prave y n O p ϕ x U ovoj jednačini je : p je normalno rastojanje od koordinatnog početka (0,0) do naše prave ϕ je ugao koji rastojanje p gradi sa pozitivnim smerom x ose 5

6 Formula za prelazak iz opšteg u normalni oblik je : ax + by + c ax + by + c 0 0 ± a + b ali pazimo, ispred korena uzimamo znak suprotan od znaka broja c. Primer 6. Svedi jednačinu 4x y +5 0 na normalni oblik. 4x y+ 5 4x y ( minus ispred korena jer je c5) 4 + 4x y+ 5 4x y x+ y 0 a odavde je : p, cos ϕ, sin ϕ 5 5 v) Prava kroz tačku Ax (, y ) sa koeficijentom pravca k je : y y k( x x) y y vi) Prava kroz tačke Ax (, y ) i B( x, y ) je : y y ( x x) x x y y Primećujete da je onda k x x Kakav može biti međusoban položaj dve prave u ravni? ) Mogu da se seku Tačku preseka nalazimo rešavajući sistem od te dve jednačine! Ako posmatramo prave y kx + n i y kx + n onda je ugao pod kojim se seku dat formulom: k k + k k Ako se te dve prave seku pod pravim uglom, onda je k k ( uslov normalnosti) ) Mogu da budu paralelne Prave y kx + n i y kx + n su paralelne ako je k k ( uslov paralelnosti) 6

7 Primer 7. Data su temena trougla A(-5,-), B(7,6), C(5,4). Odrediti: a) jednačinu stranice AB b) jednačinu visine h c c) ugao kod temena A a) Upotrebićemo formulu za jednačinu prave kroz dve tačke( A i B) C(5,4) A(-5,) B(7,6) y y y y ( x x ) x x 6 ( ) y ( ) ( x ( 5)) 7 ( 5) 6+ y+ ( x+ 5) y+ ( x+ 5) y+ ( x+ 5) y x y x+ 4 y x+ b) C(5,4) h c A(-5,) B(7,6) 7

8 Jednačinu visine h c ćemo naći kao jednačinu prave kroz jednu tačku C( 5,4) a njen koeficijent pravca mora da zadovoljava uslov normalnosti sa pravom AB. Koeficijent pravca prave AB : 4 y x+ je k. Naša prava je normalna na AB, pa je : k k k k y y k( x x ) y 4 ( x 5) 5 y x+ + 4 y x+ c) Ugao kod temena A je ustvari ugao između pravih AB i AC. Čim nam traže neki ugao koristimo obrazac k k + k k C(5,4) α A(-5,) B(7,6) Iz prave AB već imamo koeficijent pravca k. Ne moramo tražiti celu jednačinu prave AC već samo njen koeficijent pravca. y y A(-5,-), C(5,4) menjamo u k x x y y k x x 4 ( ) k 5 ( 5) 6 k 0 k 5 8

9 k k + k k α arctg Pramen pravih Ako su Ax + By + C 0 i Ax + By + C 0 jednačine dveju pravih koje se seku u tački O, tada je : Ax+ By+ C + λ( Ax+ B y+ C ) 0 jednačina pramena pravih sa centrom u tački O. Ax + By + C 0 Ax + By + C 0 O Znači, da bi opisali pramen pravih, potrebne su nam dve prave iz tog pramena. 9

10 Odstojanje tačke Ax (, y ) od prave ax + by + c 0 dato je formulom: d ax + by + c a + b Primer 8. U pramenu pravih x+ y+ 4 + λ( x y ) 0 odrediti pravu čije odstojanje od tačke P(,-) iznosi 0. Najpre prepakujemo jednačinu pramena: x+ y+ 4 + λ( x y ) 0 x+ y+ 4 + λx λy λ 0 upakujemo one uz x, pa uz y, pa slobodne... ( + λ) x+ ( λ) y+ 4 λ 0 Odavde možemo videti da je a + λ, b λ Sad uzimamo formulu za rastojanje tačke od prave d ax + by + c a + b d 0 0 ( + λ) + ( λ) ( ) + 4 λ ( + λ) + ( λ) λ + 6λ+ 4 λ 4+ 4λ+ λ + 4λ+ 4λ 5λ + 5 λ + Odavde sredjivanjem dobijamo dva rešenja: λ 9 λ 0 Kad ova rešenja vratimo u pramen x+ y+ 4 + λ( x y ) 0 dobijamo tražene prave: x y + 0 x + 8 y

Σχετικά έγγραφα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo