Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Transcript

1 Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB u razmeri AS : SB = : 7, zbir njenih koordinata A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 6. EF, MF, FiF, FH 001 Trougao ABC je zadat koordinatama svojih temena: A ( 1,1), (,) h = CC, C AB c B, 7 C 0,. Dužina visine A) B) 1 C) 8 D) E) 7. MF 00 Date su tačke P(0,0), Q(1,1), R(,), S(,), T (, ). Koju od tačaka treba odbaciti da bi preostale četiri bile temena paralelograma. A) P B) R C) Q D)T E) S. TMF 00 Stranice trougla pripadaju pravama x + y = 0, x y + = 0, x y 8 = 0. Površina tog trougla jednaka A) 16 B) C) 8 D) 7 E) 16. GF 00 Tačke D(, ), E ( 1, ) i (,) F su središta stranica BC, CA i AB trougla ABC. Zbir koordinata tačke A jednak A)- B)0 C)1 D) E)11. Prava 6. EF 001 Jednačina prave koja prolazi kroz tačke A( 1, 1) i B (,) A) x y = 0 B) x + y + = 0 C) y = x ETF FiF Rastojanje tačke ( 1, 1) od prave x + y = 0 iznosi: A) B) C) D) E) FF 1

2 Rastojanje tačke ( ), od prave y + x + = 0 Analitička geometrija ( A) B) C) D) E) FF Rastojanje tačke ( ) 1,1 od prave y + x + 1 = 0 A) B) C) 0 D) E) MF Rastojanje koordinatnog početka O pravouglog koordinatnog sistema xoy od prave zadate jednačinom y = x + A) B) 10 C) D) E) SF 001 Ako je P presečna tačka pravih x + y 1 = 0 i x y + = 0, onda je njeno rastojanje od prave x + y = 0 jednako: A) B) 10 C) D) E) 1. SF 000 Ako tačka (, ) B (,6), tada je proizvod xy : M x y pripada pravoj x y = i ako je jednako udaljena od tačaka (,) A) 0 B) 0 C) 1 D) 1 E) 7 1. GF 001 Tačka prave x y 1 0 A), + = koja je jedako udaljena od tačaka A( 1, ) i B ( 1, ) B), C) ( 0, ) D) (, ) E) (,0 ) A i 1. TMF 00 Zbir kvadrata koordinata tačke prave p :x + y 6 = 0 koja je jednako udaljena od tačaka A( 1, ) i B (,1) A) 70 B) 7 C) 0 D) 60 E) 1. SF 006 Ako je tačka (, ) B ( 1, ), onda je a b : M a b koja pripada pravoj x y =, podjednako udaljena od tačaka ( 6,) A) 0 B) C) D) 1 E) MF A i Ako tačka M ( xo, yo ) pripada pravoj 8x + y 1 = 0 i ako je jednako udaljena od tačaka A( 8, ) B (, ), tada je proizvod x0 y0 jednak: A) 9 B) 0 C) 6 D) 9 E) EF, FiF 006 Jednačin prave koja je normalna na pravu x + y + = 0 ima koeficijent pravca: i

3 A) B) C) D) E) SF 00 Date su tačke M (,) i ( 1, ) duž MN N. Jednačina prave koja sadrži tačku N, a koja je normalna na A) x y + 1 = 0 B) y x + 1 = 0 C) x + y + 1 = 0 D) x + y = 0 E) x + y 1 = FON Zbir koordinata normalne projekcije tačke M ( 1, ) na pravu određenu tačkama (, 1) B (,) jednak A) B) 1 C) 0 D) E) 0. SF, FON 00 Prava sadrži tačku ( 8, 1) A i A i seče pravu y = 7x + 9 u tački B pod pravim uglom. Zbir koordinata tačke B A)9 B)17 C)17,8 D) -7 E) 0 1. RGF 000 Tačka simetrična tački A( 1,) u odnosu na pravu koja je određena tačkame B ( 8, ) i (, 7) A) A1 ( 7, ) B) A1 ( 7, ) C) A 1 (, ) D) A ( 8, ) 1. MaF 00 Tačka simetrična tački (, ) A u odnosu na pravu x y + 1 = 0 A) ( 1, ) B) ( 1,6 ) C) ( 1, ) D) (, ) E) ( 1, ). FON 00 Ako je B ( x, y ) simetrična tački A(,1) u odnosu na pravu x = y +, onda je zbir x y jednak: A) B)11 C) -11 D) - E) 0. MF 006 Koeficijent pravca simetrale duži čije su krajnje tačke A(, 1) i B (, ) A) 1 B). FON 000 C) D) Dva naspramna temena kavadrata ABCD su tačke ( 1, ) A i C (,1) jednak E) C. Jednačina prave određena dijagonalom BD A) x + y 8 = 0 B) x + y 1 = 0 C) x y = 0 D) x y + 7 = 0 E) x y = FON Tačke A( 7,1) i B ( 1,) su temena osnovice jednakokrakog trougla ABC, pri čemu teme C pripada pravoj x y = 0. Proizvod koordinata tačke C A) B) C) 6 D) 6 E) MF

4 Prava l seče pravu y = x u tački A, a pravu y = x + 1u tački. duži AB, onda je jednačina prave l : Analitička geometrija ( B Ako je tačka M ( 1,1) A) y = x B) y = x 1 C) y = 1 D) y = x E) x = FF Jednačine pravih koje prolaze kroz koordinatni početak i imaju odsečak između pravih x y + = 0 i x y + 10 = 0 jednak 10 su: središte A) x + y = 0, x y = 0 B) x y = 0, x y = 0 C) x + y = 0, x + y = 0 D) x + y = 0, x y = 0 E) x + y = 0, x + y = 0 9. FF 00 Geometrijsko mesto tačaka M ( x, y) = koje su četiri puta bliže pravoj 1 16,0 x = nego tački ( ) A) 1x + y = 0 B) 1x y = 0 C) x y = 1 D) 1y x = 0 E) x + y = 1 0. TMF 001 Date su tačke A( 0, a ) i ( 0, ) B b, 0 a b maksimalnim uglom, tada je x jednako: A) ab B) a + b < <. Ako se iz tačke ( ) C) a ( b a) D) b( b a) C x,0, x > 0, duž AB vidi pod E) ab. Kružnica 1. MF 000 Najmanje rastojanje tačke M kruga ( x ) + ( y + ) = i tačke N kruga ( x ) ( y ) A) 0 B) C) D) 10 E) 1. TMF 000 Jednačina prave kojoj pripada tetiva kruga + + = = 0, čije je središte tačka A (,0), glasi: A) y = 0 B) y = + x C) y = x 6 D) x = E) x + y = 0. GF 000 Prava x y 1 = 0 i kružna linija x y x + 1 = 0 seku se pod oštrim uglom od: A) 0 o B) o C) 60 o D) 7 o E) 90 o. EF, MF, FiF, FH 001 Rastojanje presečnih taki pravih x y = i x y 0 = od centra krug ( x ) ( y ) A) 7 B) 6 C) D) E) 6 + = 9. TMF 001 Najkraće rastojanje između krive A) = 0 i prave x y + = 0 B) ( 1) C) 1 D) E) 6. GF 001

5 Prava x = 1 seče kružnu liniju tačkama T 1 i T određuju trougao T 1 T P. Površina trougla A) 7. EF 001 Analitička geometrija ( x + y = u tačkama T 1 i T. Data prava i tangente kružne linije u π B) C) D) E) Kružnica x + y + y = 0 ima centar C i poluprečnik R : A) C ( 0, ), R = 1 B) ( ) 8. EF 001 C 0,, R = C) C(0, ), R = Jednačina kružnice čiji je centar tačka ( 1,1) C i koja dodiruje pravu x + y + 11 = 0 A) ( x 1) + ( y + 1) = B) ( x + 1) + ( y 1) = C) ( x ) ( y ) 9. ETF, MF, FiF, FH = Najviše jedna od pravih p1 : y = x + 7; p : y = x + ; p : y = x + 6; p : y = x + je tangenta kruga + = 6. Koja? x x y y A) p 1 B) p C) p D) p 0. TMF 00 Jednačina kružnice čiji je centar tačka (, 1) dužine 6 E) Nijedna C koja na pravoj p :x y + 18 = 0 odseca tetivu A) ( x ) + ( y + 1) = 8 B) ( x ) + ( y + 1) = 8 C) ( x ) ( y ) D) ( x ) + ( y + 1) = 18 E) ( x ) ( y ) 1. GF = 0 Najkraće rastojanje od tačke T ( 7, ) do tačke kružne linije = = 0 jednako A) 10 B) C) 7 D) + E). EF 00 Jednačina kružnice sa centrom u tački ( 1,) koja dodiruje y-osu glasi: A) ( x + 1) + ( y ) = 1 B) ( x + 1) + ( y ) = 9 C) ( x ) ( y ). FF 00 Jednačine tangente kruga A) y x = 0 y x 10 = 0. TMF 00 Data je jednačina kružnice B) y + x = 0 y + x + 10 = = = 0 koje su normalne na pravu x y = 0 su: Jednačina prave koja sadrži tetivu PQ C) y + x = 0 y + x 10 = 0 D) y x = 0 y x + 10 = 0 E) y x = 0 y x + = = 0 i tačka A (,0), središte njene tetive PQ. A) x y = 0 B) x + y + = 0 C) x + y 6 = 0 D) x y 6 = 0 E) x y = 0. MF 00 Tangenta konstruisana iz tačke A( 7, ) na kružnu liniju Površina trougla AOT ( gde jeo koordinatni početak) iznosi: x + y = dodiruje tu liniju u tački T.

6 A) 10 B) 10 C) 00 D) 0 E) MF 00 Ukupan broj zajedničkih tačaka prave x y 0 ( x ) ( y ) + = + + = 1 i + = i kružnih linija ( ) x y A) 0 B) 1 C) D) E) 7. MF 00 Zbir koeficijenata pravaca tangenti kružnica x y 1 = 0 i x + y + = 0 x + y = koje sadrže presečnu tačku pravih A) B) 6 C) - D) 6 E) 6 8. FON 00 Od svih tačaka krive izraza α β je jednaka: = 0 najbliža pravoj x y = je tačka (, ) A) 8 B) - C) -8 D) 0 E) A α β. Vrednsot 9. FON 006 Ako je prava kx y + 16 = 0 tangenta kruga = 0, tada je parametar k jednak: A) - B) C) - D) E) MF Koeficijent pravca tangente na krug x y A) MF B) Prava koja sadrži tačku P ( a, a) i centar O kruga O i P. Tada je odnos OP : OA jednak: + = u njegovoj tački A(, ) C) 1 D) E) x + y = a seče taj krug u tački A između tačaka A) 1 B) C) D) E) MF Jednačina kruga simetričnog grugu ( x + ) + ( y 1) = u odnosu na tačku ( ) 1, A) x 8x + y 6y + 1 = 0 B) x x + y + y = 0 C) x + x + y y + 1 = 0 D) x x + y + y + 1 = 0 E) x + 8x + y + 6y + 1 = FON Ako je M ( x, y ) tačka kružnice x y jednak: = 0 koja je najbliža tački A(, ), onda je zbir A) 1 B) C) D) E) FON 6

7 Prava p sadrži centar kružnice x + y x + 6y 6 = 0 i paralelna je pravoj x y + = 0. Površina trougla koga prava p obrazuje sa koordinatnim osama A) 9 B) C) 6 D) 8 E) FF Poluprečnik kruga koji dodiruje dve paralelne prave x + y + = 0 i x + y 18 = 0 A) B) C) D) E) ETF FiF FH Poluprečnik kruga koji sadrži tačke (,0) i ( 1, ) a centar mu pripada pravoj x + y = 0, jeste: A) 1 B) 1 C) 1 D) 1 E) ETF FiF FH Zbir koeficijenata pravca tangenti kružnice x x y 1 = 0 i x + y = 0 + y = koje sadrže presečnu tačku pravih A) B) 6 C) D) 6 E) ETF Jednačina kruga čiji je centar presečna tačka pravih x + y = 0, x + y + = 0 i koji dodiruje pravu x + 1y 1 = 0, jeste: A) ( x ) ( y ) + + = 1 1 D) ( x ) ( y ) B) ( x ) ( y ) + + = + + = E) x + y x + y + = MF Prava y = k ( x + ) i krug x A) k B) C) ( x ) ( y ) + y = 9 imaju zajednaičkih tačaka ako i samo ako + + = 1 k C) 0 k D) 0 k E) 1 k 1. Elipsa, hiperbola i parabola 60. TMF 000 Na paraboli y = x odrediti tačku koja je najbliža pravoj y = x. A) ( 1, 1 ) B) ( 1, 1) C) (, ) D) ( 0,0 ) E) ( 1, ) 61. RGF 000 Jednačina tangente parabole P : y = x + x +, koja je paralelna pravoj p : y = x, glasi: A) y = x + B) y = x + 1 C) y = x D) y = x + 6. FON 001 Prava y kx n intervalu: = + sadrži tačku ( 0, 10) A i tangenta je hiperbole x y 0 =. Tada k pripda 7

8 A) ( 0, 6 ] B) ( 6,1 ] C) (,6 ] D) ( 1, 18 ] E) ( 18, ] 6. MaF 001 Dužina tetive elipse x sistema Oxy, + y = 18, koja pripada simetrali prvog i trećeg kvadranta koordinatnog A) B) C) 6 D) E) 8 6. FF 00 Jednačina parabole koja sadrži tačke preseka prave x y = 0 i kruga je u odnosu na x-osu A) y 6. MF 00 = x B) x = y C) x Data je parabola y = x x + i tačke (,0) površin trougla ABC minimaln ima koordinate: = y D) y A i B ( 1,0 ) + = 0 i simetrična x y y = x E) y = x. TačkaC na datoj paraboli za koju je A) ( 0,1 ) B) ( 1,1 ) C) (, 7) D) (, ) E) ( 0, ) 66. EF, FiF, FH 00 Ako je prava y = kx + n zajednička tangenta kruga k + n jednako: x + y = i elipse x + y = 10, tada je A) 7 B)1 C)6 D) E) 67. MF 00 Rastojanje između žiža elipse x 9y 6 + = A) B) C) 6 D) 1 E) 68. MF 006 Prava x + y = je tangenta elipse α x + y = α ako i samo ako je pozitivan parametarα jednak: A) B) C) 6 D) 7 E) 69. GF 001 Među tačkama parabole date prave A) 11 B) = tačka T je najbliža pravoj y = x 9. Rastojanje tačke T od y x x C) D) E) MF U koordinatnoj ravni Oxy, jednačinom x = 1 y je određena: A) prava B) parabola C) kružnica D) elipsa E) hiperbola FF Zajedničke tangente elipsi x x - ose su: + 8y = 8 i 8x + y = 8 koje zaklapaju oštar ugao sa pozitivnim delom A) y x + = 0, y x = 0 B) y + x + 1 = 0, y + x 1 = 0 C) y x + = 0, y x = 0 D) y + x + = 0, y + x = 0 E) y x + = 0, y x = FF 8

9 Jednačina geometrijskog mesta tačaka M ( x, y) (,0) A) x y = 1 B) x FF Hiperbola Analitička geometrija ( = koje su dvostriko bliže pravoj x 1 = 0 nego tački y = 1 C) x + y = 1 D) x + y = 1 E) x y = 1 b x a y = a b ima asimptote y ± x = 0 i tangentu x y = 16. Jednačina kruga koji prolazi kroz tačku (, ) i kroz obe žiže hiperbole A) x + ( y 1) = 18 B) ( ) x y D) ( x 1) + ( y 1) = E)( x ) ( y ) = 0 C) x = 9 + y = FF Jednačina parabole y A) y = 9x B) y = px, kojoj je prava x + y + = 0 tangenta, = x C) y 9 = x D) y = x E) 9 y = 9x FF U krug x + y = upisana je elipsa b x + a y = a b (zajedničke tačke nalaze se na x - osi). Elipsa polovi poluprečnik kruga koji prolazi kroz tačku (, ). Jednačina elipse A) x + y = 7 B) 8x + y = 7 C) x + y = 7 D) x + 8y = 7 E) x + 8y = FF Rastojanje tangenti hiperbole x y = 16 paralelnih sa pravom x + y = 0 A) 6 B) C) D) E) ETF Ako sa ϕ označimo oštar ugao koji grade tangente povučenje iz tačke (,1) na parabolu y = x, tada je ugao ϕ jednak: A) π B) π 6 C) arctg D) arctg E) arctg