INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

Transcript

1 INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5

2 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna mala zbirka koja sadrжi 7 zadatka koji su se bar jednom pojavili na drugom kolokvijumu iz predmeta Matematika u periodu od 995. do. godine. Zadaci su razvrstani po temama iz kojih se daju zadaci za drugi kolokvijum, a u okviru svake teme razvrstani su i po godinama.

3 Neodređeni integral Kolokvijum,....4 ln(x + 4) (x + ) arctan x (x ) ln(x + 9) (x ) arctan x (x + ) Kolokvijum, ln x + 5 ln x + x(ln x )(ln x + 4 ln x + 8) (9 cos x cos x) sin x (cos x + )(cos x 4 cos x + 8) ( sin x + sin x + ) cos x (sin x )(sin x + sin x + 5) e x e x + 4e x (e x + )(e x e x + 5) Kolokvijum, 8 sin x.9 sin x + ln x. x(ln x )... sin x cos x + e x e x sin x + cos x (e x + e x ) e 4x cos x + cos x ( + ln x) x(ln 4 )

4 Kolokvijum, x x x + 8 4x + x + x 8 x x (x )(x x + ) x + x (x + )(x + x + ) x + 5x (x )(x + x + 5) x 4x + (x + )(x x + 5) x + 5x + (x + )(x + x + 5) x 4 (x )(x x + 5) Kolokvijum, 6.5 (9 sin x + ) cos x sin x + 6 sin x (7 cos x ) sin x cos x + 4 cos x I = (5e x + )e x e x 8e x (e x 4)e x e x e x I = (9e x + )e x e x + 6e x I = (sin x 5) cos x sin x + 8 sin x + 97 Kolokvijum, 5 Nemam zadatke. Kolokvijum, 4.. sin x cos x sin x + ln( + cos x) sin x 4

5 . x arcsin x.4 sin x cos x + cos x + cos x Kolokvijum, ( + sin x) cos x.5 ( + cos x) sin x.6 sin x sin x + cos x cos x.7 sin x cos x Kolokvijum, lnx + (xlnx) (tgx ).4 Odrediti vezu između I n i I n, (n N, n > ) ako je I n = arcsin n x tgx + 4ctgx Kolokvijum,.4 arcsin x arccos x.4.44 xe x / ( e x + ) x x + 4x.45 sin x( cos x) cos x( + cos x) Kolokvijum,.46 Izraqunati.47 π/ sin 4 x + cos 4 x + sin x arctan(cos x)..48 x ln(x + x + ) x + 5

6 π/ sin x + sin x.49 Izraqunati sin x + cos x +. Kolokvijum, 999 Kolokvijum nije odrжan zbog bombardovanja Jugoslavije od strane NATO pakta. Kolokvijum, sin 4 x + cos 4 x.5 x sin x Kolokvijum, 997 x ln x.5 (x ) /.5 Izraqunati Kolokvijum, 996 sin x.54 cos x 5e x.55 e 4x e x 4 Kolokvijum, 995 arctan x.56 x ( + x ) f(x), gde je f C[, ] i f(x) > za x [, ]. f(x) + f( x).57 x arctan x + x Određeni integral Kolokvijum,. Izraqunati duжinu luka krive y = 8 (4ex + e x ), x.. Izraqunati duжinu luka krive date sa x(t) = t sin t, y(t) = t cos t za t 6.. Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene linijama y = arcsin, y =, x = i x =. x.4 Izraqunati povrxinu povrxi nastale rotacijom oko x-ose krive y = e x + 4 ex za x. Kolokvijum, 9.5 Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene linijama y = x sin x, y = za x π /4. 6

7 .6 Izraqunati povrxinu povrxi nastale rotacijom oko x-ose krive y = ln x x 8 za e x e..7 Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene linijama y = x e x, y = za x..8 Izraqunati povrxinu povrxi nastale rotacijom oko x-ose krive y = x ln x 8 za e x e. Kolokvijum, 8.9 Izraqunati povrxinu figure ograniqene krivom y = x =. x + x + i pravama y = i. Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene krivom y = x cos x i pravama y =, x = π/4 i x = π/4.. Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene krivom y = ln(x + x + i pravama y =, x = i x =.. Izraqunati povrxinu figure ograniqene krivom y = x x + i pravama y = i x =. ( ) y. Izraqunati povrxinu povrxi nastale rotacijom oko x-ose krive x = + za y..4 Izraqunati duжinu luka krive zadate sa x = t sin t, y = t cos t za t 5..5 Izraqunati duжinu luka krive y = ln(x + x 4) za 5 x. ( ) x.6 Izraqunati povrxinu povrxi nastale rotacijom oko y-ose krive y = + za x. Kolokvijum, 7.7 Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene krivom y = (cot x tan x) i pravama y =, x = π/6 i x = π/4..8 Izraqunati povrxinu povrxi nastale rotacijom oko x-ose krive y = (ex + e x ) za x..9 Izraqunati duжinu luka krive y = ln( x ) za / x /.. Izraqunati duжinu luka krive zadate sa x = a cos t, y = a sin t za t π/ i a >.. Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene krivom y = ln x i pravama y =, x = i x = 5.. Izraqunati povrxinu povrxi nastale rotacijom oko x-ose krive y = 4 + x za 4 x.. Izraqunati duжinu luka krive y = ln x za x 8. 7

8 .4 Izraqunati duжinu luka krive zadate sa x = (t ) sin t+t cos t, y = (t ) cos t t sin t za t π. Kolokvijum, 6.5 Izraqunati duжinu luka krive y = x ln(x + x 48) za 7 x 8..6 Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene krivom y = x ln + x i pravama y =, x = i x = /. x.7 Izraqunati povrxinu figure ograniqene linijama y = ex + e x, x =, x = ln i y =. +.8 Izraqunati povrxinu figure ograniqene linijama y = y =. Kolokvijum, 5 Nemam zadatke. Kolokvijum, 4 sin x ln(cos x) (cos x + ), x =, x = π i.9 Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko y-ose konveksne figure ograniqene linijama x + y = x i x + y = y.. Izraqunati duжinu luka krive y = x ln(x + x 4) za 5 x 7.. Izraqunati povrxinu figure ograniqene krivom y = x = 6, y =. Kolokvijum, x x i pravama x = 4,. Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene krivom y = x sqrtarccos x i pravom y =.. Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene krivom y = x cos x i pravama x = π i y =..4 Izraqunati duжinu luka krive y = x ln(x + x 48) za 7 x 8. Kolokvijum,.5 Izraqunati duжinu luka krive date sa x(t) = t, y(t) = t t za t..6 Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene krivom y = ln(x + x + ) i pravama y = i x =. π/ sin x.7 sin x + cos x Kolokvijum,.8 Izraqunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograniqene krivom y = x x i pravama y =, x = i x =. 8

9 .9 e x (e x + )(x + ).4 Neka je I n = x ln n x. Odrediti najpre vezu između I n i I n, a zatim izraqunati I n. Kolokvijum,.4 Izraqunati duжinu luka krive zadane parametarski: x = t, y = ln t, t. Kolokvijum, 999 Kolokvijum nije odrжan zbog bombardovanja Jugoslavije od strane NATO pakta. Kolokvijum, Izraqunati povrxinu figure ograniqene linijama y =, x = x, x =, y = arcsin + x..4 Izraqunati duжinu luka krive y = ln(cos x) za x [, π/]. Kolokvijum, 997 Nije bilo zadataka iz ove teme. Kolokvijum, Figura ograniqena krivom y = x x i pravama y = i x = rotira oko y - ose. Izraqunati zapreminu tako nastalog tela. Kolokvijum, 995 Nije bilo zadataka na ovu temu. Nesvojstveni integral Kolokvijum, Izraqunati dati integral ili ustanoviti njegovu divergenciju ln(x + 4) (x + ) arctan x (x ) ln(x + 9) (x ) arctan x (x + ) 9

10 Kolokvijum, 4.5 Izraqunati povrxinu krivolinijskog trapeza određenog grafikom funkcije f : x e x cos x za x +. Kolokvijum,.6 Izraqunati Kolokvijum,.7 Neka je I(a) = + + x ln x ( + x ). e ax sin ax.. Odrediti skup A svih vrednosti parametra a za koje integral I(a) konvergira.. Za a A izraqunati I(a). Kolokvijum,.8 Ispitati konvergenciju integrala + x + + x + x..9 Odrediti sve vrednosti realnog parametra α za koje integral konvergira. sin 4 x e x + + x x α. Ispitati konvergenciju integrala Kolokvijum, 997. Neka je I(a, b) = x a (ln x) b. + x sinh x.. Odrediti skup vrednosti parametara a i b za koje I(a, b) postoji.. Izraqunati I( /, ).. Neka je I(a) = + x a ln x ( + x).. Odrediti skup vrednosti parametra a za koje I(a) postoji.. Izraqunati I(/). Kolokvijum, 996. Neka je I(a) = + a + x, a R. (a) Odrediti skup A svih vrednosti a za koje integral I(a) konvergira. (b) Za a A izraqunati I(a).

11 Kolokvijum, Izraqunati povrxinu koju ograniqavaju pozitivan deo x - ose i grafici funkcija f : x 8 4x x, g : x + 4 x Izraqunati povrxinu koju ograniqavaju x - osa, prava x = i grafik funkcije f : x ln x (x ) /. 4 vojni integral Kolokvijum, 4. x sin(x + y 4y + 4) / dy, = {(x, y) x + (y ) π /, x } y cos(x + y + 4x + 4) / dy, = {(x, y) (x + ) + y (π/) /, } (x xy + y )e y x dy, - paralelogram ograniqen pravama: y = x +, y = x +, y = x, y = x sin(y + x)e y x dy, - paralelogram ograniqen pravama: y = x, y = (x + ), y = x/, y = x/ + π/4. Kolokvijum, ye x/ x +y dy, = {(x, y) x + y 6, x, y } 4.6 (x + y) cos(π(x y))dy, - paralelogram ograniqen pravama: y = x +, y = x +, y = x, y = x. y 4.7 arcsin x + y dy, = {(x, y) : x + y 6, y x y} 4.8 (x y) sin(π(x+y))dy, - paralelogram ograniqen pravama: y = x +, y = x +, y = x, y = x +. Kolokvijum, (x y xy)dy, = {(x, y) : x + y 4, x, y, x y} 4. x, y = x +. xe y/ x dy, - paralelogram ograniqen pravama: y = x, y = x +, y =

12 4. x sin(x y)dy, - paralelogram ograniqen pravama: y = x, y = x π, y = x, y = x (x y + xy)dy, = {(x, y) : x + y 9, x, y, x y} 4. (x + y) e x y dy, - paralelogram ograniqen pravama: y = x, y = x +, y = x, y = x +. x y 4.4 x + y dy, = {(x, y) : x + y 4, ; x, y } xy x + y dy, = {(x, y) : 4 x + y 9, x, y } (y x) cos(x y )dy, - paralelogram ograniqen pravama: y = x, y = x + π, y = x, y = x +. Kolokvijum, (x y) sin(x + y)dy, - paralelogram ograniqen pravama: y = x, y = x + π, y = x +, y = x sin x + y dy, = {(x, y) : 4 x + y π, x, y } 4 (x + y )dy, - paralelogram sa temenima A(, ), B(, ), C(, ) i (, 4). x + y dy, = {(x, y) : x + y y} (y x )dy, - paralelogram sa temenima A(, ), B(, ), C(, ) i (, ). cos x + y dy, = {(x, y) : x + y π, x, y } 4 (x + y) cos(x y)dy, - paralelogram ograniqen pravama: y = x, y = x + π, y = x +, y = x x + y dy, = {(x, y) : x + y 4x} Kolokvijum, ln x + y dy, = {(x, y) : e x + y e 4 } 5xdy 4.6, - paralelogram ograniqen pravama: y = x + 5, y = (y + x )(y x 4) x + 4, y = x + 9, y = x arctan x + y x + y dy, = {(x, y) : x + y }

13 64xdy 4.8, - paralelogram ograniqen pravama: y = x +, y = (y + x )(y x 4) 5x + 5, y = x + 5, y = 5x + 8. Kolokvijum, 5 Nemam zadatke. Kolokvijum, Izraqunati y = x +, y = x + i y = x 4. (x y )e x+y dy ako je paralelogram određen pravama y = x, 4. Izraqunati zapreminu tela ograniqenog paraboloidom z = 4 x y, ravni z = i cilindrom x + y x = (unutar cilindra). 4. Izraqunati zapreminu tela ograniqenog paraboloidom x + y = z i konusom 4(x + y ) = (z + ). dy 4. Izraqunati (x + y ) ako je oblast ograniqena krivim linijama x + y = 4x, x + y = 8x, y = i y = x. Kolokvijum, 4. Izraqunati y = x + i y = x +. xydy ako je paralelogram određen pravama y = x, y = x +, 4.4 Izraqunati zapreminu tela ograniqenog povrxima: x + y = x, z = x + y i z = za y. 4.5 Izraqunati zapreminu tela ograniqenog povrxima: x + y = y, z = x + y i z = za x. Kolokvijum, 4.6 Izraqunati zapreminu tela ograniqenog sferom x +y +z = r i cilindrom x +y = rx (z, r > ). 4.7 x sin y x dy, π = {(x, y) : x, y π} 4.8 (x + y + y)dy, = {(x, y) : x + y, x y } 4.9 Izraqunati zapreminu tela ograniqenog povrxima: x + y = (x + y), z = x + y i z =. Kolokvijum, xdy 4.4 x + y, - oblast ograniqena linijama x = y i x + y = 8 za x i y. 4.4 Izraqunati zapreminu tela ograniqenog povrxima: x + y x =, z = x + y i z =.

14 4.4 Izraqunati povrxinu figure ograniqene linijama xy = a, xy = a, y = x a >. i y = x za 4.4 Izraqunati zapreminu tela ograniqenog povrxima: x + y x =, z = 4 x y i z = (unutar cilindra). Kolokvijum, { } xy dy x + 4y, = (x, y) : x 4 + y =, x, y Izraqunati povrxinu ograniqenu linijama x + y = ax, x + y = bx, y = x, y =, ( < a < b) Izraqunati zapreminu tela ograniqenog povrxima z = x y, z = x + y +, x + y = Izraqunati zapreminu tela ograniqenog povrxima x + y = x, x + y = y, z =, z = x + y. Kolokvijum, 999 Kolokvijum nije odrжan zbog bombardovanja Jugoslavije od strane NATO pakta. Kolokvijum, Izraqunati zapreminu tela ograniqenog povrxima ( 4.49 Izraqunati z = x + y, x + y = 6x, x y =, z +, y = x + 4, y = x + i y = x. Kolokvijum, 997 y (x y ) sin π(x y) dy, gde je figura ograniqena pravama: y = 4.5 Izraqunati zapreminu tela ograniqenog povrxima z =, az = x + y, x + y = ax (a > ). ( y ) 4.5 Izraqunati dy ako je = {(x, y) : x + y x}. x Kolokvijum, Izraqunati = y dy ako je { (x, y) : x + y, y 6 x }, x, y. ). 4

15 4.5 Izraqunati zapreminu tela ograniqenog povrxima: z = 9 x y, x + y xy =, z =. Kolokvijum, Izraqunati (x + y dy gde je oblast ograniqena krivama ) x + y = 4x, x + y = 8x, y = x, y = x Izraqunati xy dy gde je oblast ograniqena krivama x y =, x y =, y + x =, x + y =. 5 Redovi Kolokvijum, 8 5. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju reda n= ( ) n x n /. 5. Ispitati konvergenciju reda n( n + n) α, gde je α R. 5

16 Uputstva i rezultati. ati integral se lako rexava parcijalnom integracijom. Ako je tada je pa je Kako je to je I = u = arctan x, dv = (x ), du = arctan x x (x ) = arctan x (x )(x + 4) = 8 I = arctan x x.5 Smenom ln x = t imamo I = t + 5t + (t )(t + 4t + 8) = A t + I = t + = ln t x + 4, v = x, + J, J = x 8 x x (x )(x + 4). x + 4, x ln x arctan x + C = F (x) + C. t + 5t + (t )(t + 4t + 8) Bt + C t + 4t + 8 = t + + t + t + 4t + 8 t + + t + 4t + 8 d(t + 4t + 8) t + 4t (t + ) + = ln t + ln(t + 4t + 8) + arctan t + + C = ln ln x + ln(ln x + 4 ln x + 8) + arctan ( ln x +.6 Smenom cos x = t dobijamo I = t 9t + (t + )(t 4t + 8) t 9t + (t + )(t 4t + 8) = A t + + Bt + C t 4t + 8 = t + + t t 4t + 8 I = t + + = ln t + + t t 4t + 8 d(t 4t + 8) t 4t + 8 (t ) + = ln t + + ln(t 4t + 8) arctan t + C = ln cos x + + ln(cos x 4 cos x + 8) arctan ( cos x.7 Smenom sin x = t imamo I = t + t + (t )(t + t + 5) t + t + (t )(t + t + 5) = A t + Bt + C t + t + 5 = t + t t + t + 5 ) + C ) + C 6

17 I = t + t + t + t + 5 = ln t + d(t + t + 5) t + t + 5 (t + ) + = ln t + ln(t + t + 5) arctan t + + C = ln sin x + ( sin x + ln(sin x + sin x + 5) arctan.8 Smenom e x t t + 4 = t dobijamo I = (t + )(t t + 5) t t + 4 (t + )(t t + 5) = A t + + Bt + C t t + 5 = t + + t t t + 5 I = ln t + + ln(t t + 5) + arctan t + C I = ln(e x + ) + ln(e x e x + 5) + arctan ex. Smenom cos x = t imamo I = 6 Iz jednakosti sledi sin x cos x cos = 6 x + t t + = Za t = je = A, pa je A = /. Za t = je = A + C, pa je C = /. A t C t t + = 6J. Bt + C t t + t = A(t t + ) + (Bt + C)(t + ). Za t = je = / + (B + /), pa je B = /. Prema tome, J = t + + t + t t + = ln t + + t t t + + t t + = ln t ln(t t + ) + (t /) + ( /) = ln t ln(t t + ) + arctan t / / + C. ) + C I = ln cos x + ln(cos x cos x + ) 6 arctan cos x + C = ln (cos x + ) cos x cos x + arctan cos x + C. t. Ako je tan x = t, tada je sin x =, cos x =, = + t + t t izraza u datom integralu dobijamo I = (t + )(t + ). 7. Zamenom ovih + t

18 Iz jednakosti sledi t (t + )(t + ) = At + B t + + Ct + t + t = (At + B)(t + ) + (Ct + )(t + ). Za t = i je = (Ai + B), pa je A = i B = /. Za t = i je = (C i + ) ( ), pa je C = i = /. Prema tome,.8 Iz jednakosti I = t + + t + = arctan t + arctan t + C = arctan(tan x) + arctan tan x = = x + arctan tan x + C. 4x + x + x 8 dobijamo A = B = i C =. I = x +.4 Smenom cos x = t imamo I = = A x + Bx + C x + x + 4 x + x + x C x + x + 4 = ln x + ln(x + x + 4) + arctan x + + C. t + t + t t( + t + t ) = A t + Bt + C + t + t = t t + + t + t I = t + t + t + t + = ln t + d(t + t + ) t + t + + (t + /) + ( /) = ln t + ln(t + t + ) + arctan t + / / + C = ln cos x + ln(cos x + cos x + ) + arctan cos x + + C..6 Smenom cot x = t imamo sin x I = sin x + cos x = + cot x sin x = + t. + t = A + t + Bt + C t t + = + t + t t t + 8

19 I = + t + t t t + = ln + t + t 4 6 t t + = ln t + + t 6 t t + 6 t t + = ln t ln(t t + ) t t + = ln t ln(t t + ) (t /) + ( /) = ln t ln(t t + ) arctan t / + C / = ln t ln(t t + ) arctan t + C = ln cot x ln(cot x cot x + ) arctan cot x + C t Napomena. Ako se uvede smena tan x = t, onda je I = + t i t + t = A + t + Bt + C t t +, A =, B = C =..8 Smenom x ln x = t imamo da je I = + t..4 Parcijalnom integracijom sa u = arcsin n x i = dv dobijamo x arcsin I n = x arcsin n n x x n = x arcsin n x n J. x Ako na integral J takođe primenimo parcijalnu integraciju sa u = arcsin n x i dv = x dobijamo x I n = x arcsin n x + n x arcsin n x n(n )I n..4 Neka je I dati integral. Ako je u = arcsin x i dv = arccos x, tada je du = v = arccos x = x arccos x + = x arccos x x x d( x ) x = x arccos x x, x i pa je gde je akle, I = x arccos x arcsin x x arcsin x J + x, J = x arccos x x = x arccos x x + C. I = x arccos x arcsin x + x (arccos x arcsin x) + x + C. 9

20 .45 Smenom cos x = t imamo t I = t( + t ) = t + t t( + t ) t t( + t ). akle, I = + t t + t + t = arctan t ln t + ln( + t ) + C = arctan(cos x) ln cos x + ln( + cos x) + C..46 ati integral se smenom t = cos x svodi na integral I = arctan t. alje se parcijalnom integracijom dobija I = t arctan t t + t = π 4 ln( + t ) = π 4 ln..47 Koriste i identitete sin 4 α + cos 4 α = sin α cos α i 4 sin α cos α = sin α, podintegralna funkcija se transformixe u, pa je ( sin x)( + sin x) I = ( sin x)( + sin x). Ako je t = tan x, onda je sin x = t, =, pa je + t + t I = (t + ) (t + t + )(t t + ). Iz razlaganja t + (t + t + )(t t + ) = At + B t + t + + Ct + t t + dobijamo da je B = =, A = C =, pa je I = 4 (I + I ), gde je I = t + t +, I = t t +. alje je I = (t + /) + /4 = arctan t + + C, I = arctan t + C, pa je gde je t = tan x. I = ( arctan t + + arctan t ) + C = t arctan t + C, Primedba: U sređivanju rezultata korix ena je formula arctan x + arctan y = arctan x + y xy.

21 .48 Primenom metode parcijalne integracije, za u = ln(x + x + ), dv = x x +, dobija se I = x + ln(x + x + ) = x + ln(x + x + ) x + C..49 Ako je I dati integral, onda smenom x = π/ t dobijamo I = π/ sin (π/ t) + sin(π/ t) π/ sin(π/ t) + cos(π/ t) ( ) = cos t + cos t cos t + sin t +, pa je I = = π/. Prema tome, I = π/4. rugo rexenje. Smenom tan(x/) = t dobijamo I = t + t ( + t ) = + t + t (t + ) = π π 4 = π 4..5 ati integral se smenom x = t svodi na integral t sin t. Posle jedne parcijalne integracije, uzimaju i da je u = t, dv = sin t, dobija se I = t cos t + 6I, gde je I = t cos t Posle dve parcijalne integracije se dobija I = t sin t + t cos t sin t, pa je I = t cos t + 6t sin t + t cos t sin t + C, gde je t = x..54 Ako je t = sin x (x [, π/)), onda je I = sin x cos x = t, t [, ], + t pa je I = ln + sin x sin x arctan sin x + C, x [, π/)..55 Ako je e x = t, (x (, ln ) ili x (ln, + )), onda je 5e x e 4x e x 4 = 5 (t 4)(t, t (, + ) ili t (, ). + ) Kako je to je odnosno 5 (t 4)(t + ) = t 4 t +, 5e x e 4x e x 4 = 4 ln ex e x + arctan ex + C za x > ln, 5e x e 4x e x 4 = ex ln 4 e x + arctan ex + C za x < ln.

22 .56 Ako je arctan x arctan x I = x, a J = + x, onda je dati integral jednak I J. Parcijalnom integracijom dobijamo da je I = x arctan x + x( + x ) = x arctan x + ln x + C, + x a smenom t = arctan x dobijamo da je J = arctan x/ + C. Prema tome, arctan x x ( + x ) = x arctan x x arctan x + ln + C. + x.57 Ako je arctan x I = arctan x, a J = + x, onda je dati integral jednak I J. Parcijalnom integracijom dobijamo da je a smenom t = arctan x dobijamo da je Prema tome, I = x arctan x ln( + x ) + C, J = arctan x + C. x arctan x + x = x arctan x + arctan x ln( + x ) + C.. Figura ograniqena datim linijama je krivolinijski trapez (Slika ). asin(/x) / x Sl : Figura koja rotira oko x-ose Na osnovu formule za zapreminu rotacionog tela imamo V = π arcsin = π I. x Integral I nalazimo parcijalnom integracijom: u = arcsin, = dv, pri qemu je x du = /x x = x x, v = x. I = x arcsin + x x = arcsin arcsin + ln(x + x ) = π 6 π + ln( + ) ln = π 6 + ln( + ).

23 Prema tome, V = π 6 + π ln( + )..8 Uoqimo najpre da je + y = ( x + ). 8x e P = π y + y e e ( = π x + x e 8 4 x ln x 64 ln x ) x ( x 4 = π e + x e e 6 e 4 J ) 64 K gde je J = e e x ln x = x ln x x 4 e, K = e Zamenom granica i sređivanjem dobijamo ( P = e 4 e 8 e ) π. 56. V = π e ln x e x = ln x e. e ln(x+ x + ) = πi. Ako na integral I primenimo parcijalnu integraciju sa u = ln(x + x + ) i dv =, dobijamo pa je x x + du = + x + x + x = I = x ln(x + x + ) x +, v = x, x x + = x ln(x + x + ) d(x + ) x + = x ln(x + x + ) x + = ln( + 5) 5 ( ) = ln( + 5) Iz date veze x i y imamo da je y = ± x. Kako je P = πi, gde je I = 5/4 ( x x ) = x treba izraqunati integrale I i I. Za I smenom x = t dobijamo I = J = t + t / 5 odnosno J = 4 + ln /4 / x x 5/4 + t = J, gde je t = 5 J + ln(t + + t ) + t 4 x = I I,, /

24 Zamenom I i I = 5 5 u I dobijamo ( P = π 7 + ) ln Kako je + y = (ex + e x ) = y, to je P = π y = π (e x + e x ) = π (e4 e 4 + 8).. Kako je y = 4 + x, to je y = 4 + x, + y = + 4(4 + x), + y 4x + 7 = 4 + x, pa je.5 Videti isti zadatak. godine..4 Kako je to je y = π P π 4x + 7 = 4 6 (4x + 7)/ = 6 4 π. x x x 48 = x 4 6 x 48, + y = 8 d(x 48) l = 7 x x (4 ) = x ln(x + x 48) 7 = + 4 ln..5 Kako je x (t) = t i t y (t) = t t t, to je 8 7 x + 6 x 48, x + y = (t + ) t, x + y = t + t. Prema formuli za duжinu luka krive koja je data parametarski imamo da je gde je I = l = t = t + = t π/ Prema tome, l = π 4 + π = π. cos udu = t + arcsin t = I + π, π/ + cos u du = u π/ + 4 sin u π/ = π 4. 4

25 .9 Ako je I = f(x) dati integral, tada je I = Smenom x = t u integralu I dobijamo f(x) + f(x) = I + I. I = = = = = π/4. e t (e t + )(t + ) + I ( + e t )(t + ) + + e t + e t t + t + e t (e t + )(t + ).4 Ako je u = ln n x i dv = x, tada je du = n ln n x x i v = x, pa je I n = x lnn x n x ln n x = n I n. Kako je I = x =, to je.4 Prema formuli za duжinu luka je l = I n = ( ) n n! n I = ( ) n n! n+. Uvođenjem smene t 4 + = u dobija se t.4 Obzirom da je arcsin Imaju i u vidu da je 7 x t + y t = = udu t 4 l = u du u = 7 ( + ) u du = ( u + ) ln u 7 u + ( arcsin + t 4. t, odnosno t = = ( 7 + ln ln( 7 + ) + ln( + )). [ ] x + x > za x,, to je ) x + x = P = / arcsin ( x ) x ( + x ) = 5 x + x. udu u, pa je, za x < + x, + x, za x >

26 dati integral predstavljamo u obliku zbira I + I, gde je I = / arcsin Parcijalnom integracijom se dobija x + x, I = arcsin x + x. I = π arcsin 4 5 ln + ln 5 4, I = arcsin 4 5 π + ln 5 ln, pa je P = I + I = arcsin ln Ako je V F zapremina tela koje nastaje rotacijom date figure (F ) oko y ose, onda je V F = π x (y)dy = π ( y) dy = π 6. rugo rexenje. Ako je V G zapremina tela koje nastaje rotacijom oko y ose figure ograniqene datom krivom i pravama x = i y =, onda je V F = π V G = π π (x x ) = π 6.. Izraqunavanjem odgovaraju eg neodređenog itegrala I dobijamo da je Iz imamo I = arctan x x + 4 x ln x arctan x + C = F (x) + C. lim (ln x ln x x + 4 = lim ln x x x + 4 = ln = F ( ) = lim F (x) = + x 4 4 π = π 8. Prema tome, dati integral postoji (konvergira), arctan x (x ) = F () F ( ) = π 8 = π 8. Apsolutna vrednost ovog integrala predstavlja povrxinu između grafika integranda i x-ose na intervalu (, ] (Slika ). atan(x/)/(x ) x Sl : Grafik integranda 6

27 .5 P = + e x cos x. Parcijalnom integracijom (u = cos x, dv = e x ) dobijamo P = e x cos x + + e x sin x = J. Primenom parcijalne integracija na integral J imamo da je J = e x sin x = + + e x cos x = e x cos x = J, pa je J = /4. Prema tome, P = / e x cos x e x sin x.7 Za a = je I(a) =. Naka je za a J = e ax sin ax, K = e ax cos ax. Primenom parcijalne integracije dobijamo J = a e ax cos ax K, K = a e ax sin ax + J. Iz ovih jednakosti sledi da je J = a e ax (cos ax + sin ax).. Kako J(+ ) postoji za a <, odnosno a <, to znaqi da integral I(a) konvergira za a >.. I(a) = J(+ ) J() = a..8 Na osnovu niza nejednakosti x + x + x + x + x + x < x x = x, / koje vaжe za x zakljuqujemo da dati integral konvergira..9 Ako x +, onda je Integral x α α integral divergira. sin x e x + + x x α x x + + x x α = x α. konvergira ako i samo ako je α <, tj. ako i samo ako je α <. Za. Neka je f(x) = x/ sinh x, g(x) = xe x i neka je G primitivna funkcija funkcije g. Kako f(x) /, (x +) i f(x), (x + ), to je f ograniqena funkcija na (, + ). Iz f(x) g(x), (x + ) sledi da dati integral konvergira ako i samo ako konvergira + g(x). Međutim, G(x) = xe x e x, odakle sledi da G(x), (x + ), xto znaqi da je + g(x) konvergentan. Prema tome, konvergentan je i dati integral. 7

28 . (a) Poxto je f : x a + x + integrala a + x. () Ako je a =, onda je f(x) = /x, pa je parna funkcija, dovoljno je ispitati konvergenciju () Ako je a >, onda je f(x) /x (x + ), pa je f(x) divergentan. + f(x) konvergentan, a time i I(a). () Ako je a <, onda je f(x) b x b (x b), gde je a = b, pa je divergentan. Prema tome, A = (, ). (b) Za a A je I(a) = + a + x = + d(x/ a) a + (x/ a) = π. a.4 Preseqna taqka A(, ) datih krivih dobija se rexavanjem sistema Za < x < je 4x x + 4 < 8 x + 4 P = y = 8 x + 4, y = 4x x + 4, x >., a za x > je 4x 4x + x x + 4 > 8 x, pa je x = ln + π. + 4 b+ b f(x).5 Traжena povrxina se moжe izraqunati integraljenjem date funkcije u granicama od do +. Smenom x = t, a zatim parcijalnom integracijom dobija se ln x ln( + t (x ) = ) / t = ln x + 4 arctan x = F (x), x pa je P = lim F (b) lim F (a) = π. b + a + 4. Transformacijom u = y x, v = y + x oblast integracije (Slika, crveni paralelogram) preslikava se u pravougaonik G : [, ] [, ], pri qemu je Jakobijan jednak /4. x x Sl : Oblast integracije 8

29 Prema tome, (x xy + y )e x+y dy = 4 = 4 G = 4 u u e v dudv u du = 7 (e ). e v e v dv 4.8 Transformacijom u = x + y, v = x y oblast integracije preslikava se u pravougaonik G : [, /] [ 6, 4], pri qemu je Jakobijan jednak /5. Prema tome, I = v sin(uπ) 5 dudv = 4 / vdv sin(uπ)du = 5 5 ( ) π = π. G 6 4. Transformacijom u = y x, v = x + y oblast integracije preslikava se u pravougaonik G : [ π/, ] [, ], pri qemu je x = 4 u + 4 v, y = 4 u + 4 v, J = /4 /4 /4 /4 = 4. Ako je I dati integral, tada je I = 4 = 6 π/ π/ ( 4 u + 4 v ) sin( u)dudv sin udu (u v)dv = u sin udu dv 6 π/ 6 = 6 v v ( ) 6 π/ sin udu vdv = 4. Transformacijom u = y x, v = x+y oblast integracije preslikava se u pravougaonik G : [, ] [, ], pri qemu je Jakobijan jednak /. Prema tome, I = v e uv dudv = du v e uv dv = G J, gde je akle, I = /e. J = [ v dv ] v e uv = ve v dv + vdv = e. 4.8 Transformacijom u polarne koordinate (x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ) oblast integracije preslikava se u pravougaonik G : [ π/, ] [, π/], pri qemu je Jakobijan jednak ρ. sin x + y dy = ρ sin ρdρdϕ = G π/ = ϕ = π. π/ ϕ π/ ρ sin ρdρ 9

30 4. Transformacijom u polarne koordinate (x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ) oblast integracije preslikava se u oblastg = {(ϕ, ρ) : ρ sin ϕ, ϕ π}, pri qemu je Jakobijan jednak ρ. x + y dy = ρ dρdϕ = = 9 = 9 G π =. ϕ π π sin ϕ sin ϕdϕ ρ dρ (cos ϕ )d(cos ϕ) 4. Transformacijom u polarne koordinate (x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ) oblast integracije preslikava se u pravougaonik G : [π/, π] [, π/], pri qemu je Jakobijan jednak ρ. cos x + y dy = ρ cos ρdρdϕ = G π π/ = π ϕ π/ ( π ). ρ cos ρdρ 4.4 Transformacijom u polarne koordinate (x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ) oblast integracije preslikava se u oblast G = {(ϕ, ρ) : ρ 4 cos ϕ, π/ ϕ π/}, pri qemu je Jakobijan jednak ρ. x + y dy = ρ ρ dρdϕ = = 64 = 64 = 6 G π/ = 4π. ϕ π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ 4 cos ϕ cos 4 ϕdϕ ρ dρ ( ) + cos ϕ dϕ ( + cos ϕ + cos ϕ)dϕ 4. Transformacijom u polarne koordinate (x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ) oblast integracije preslikava se u oblast G = {(ϕ, ρ) : 4 cos ϕ ρ 8 cos ϕ, ϕ π/4},

31 pri qemu je Jakobijan jednak ρ. dy (x + y ) = = G π/4 = = ρdρdϕ ρ 4 8 cos ϕ dϕ π/4 π/4 4 cos ϕ ( ( 64 6 = = 8 tan ϕ π/4 = 8. dρ ρ ρ 8 cos ϕ 4 cos ϕ ) dϕ ( 64 cos ϕ 6 cos ϕ ) π/4 dϕ cos ϕ ) dϕ 4.4 Koriste i polarne koordinate (x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ) imamo da je V = π/ = 6 ( cos ϕ + sin ϕ)dϕ π/ cos 4 ϕdϕ 8 = 6 π = π + /. cos ϕ π/ rugo rexenje. Ako je x = + r cos θ i y = r sin θ, tada je V = 4.7 Neka je =, gde je = {(x, y) : x = π π = π + /. ρ dρ cos ϕd(cos ϕ) dθ ( + r cos θ + r sin θ)rdr ( + cos θ + ) sin θ dθ π, y x }, = {(x, y) : x π, x y π}. Kako je to je gde je y x = { { y x, y x x y, y < x = y x, (x, y) x y, (x, y) I = f(x, y)dy + f(x, y)dy = I + I, π/ I = π x sin(y x )dy = x π/ x(cos x + ) = sin x + x π/ = + π 4

32 π/ I = x x sin(x y)dy = akle, I = I + I = + π 4 + π 4 = π. 4.4 V = π/ x( cos x ) = x π/ sin x = π 4. (x + y )dy, gde je unutraxnjost kruga x + y x =. Koriste i polarne koordinate imamo da je V = = 8 = = π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ dϕ = π + + = 4 π. cos ϕ ( cos ϕ) 4 dϕ ρ dρ ( ) + cos ϕ dϕ dϕ + π/ π/ π/ π/ cos ϕdϕ + + cos 4ϕ dϕ π/ π/ cos ϕdϕ 4.44 Uvođenjem uopxtenih polarnih koordinata x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, oblast se preslikava u oblast = {(ϕ, ϱ) : ϕ π }, ϱ, pa je 4.45 Imamo da je P = I = = π/ dϕ π/ 6ϱ cos ϕ sin ϕ 6ϱdϱ 6ϱ sin ϕdϕ ϱ = cos ϕ π/ =. dy, gde je oblast ograniqena datim linijama. Prelaskom na polarne koordinate x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ dobija se P = π/4 dϕ = (b a ) b cos ϕ a cos ϕ π/4 ϱdϱ cos ϕdϕ = (b a ) (ϕ + ) π/4 sin ϕ = (b a )(π + ). 4

33 4.46 Traжena zapremina se moжe izraqunati pomo u dvojnog integrala. V = [ + x + y ( x y )]dy = (x + y )dy, gde je = {(x, y) : x + y }. Uvođenjem polarnih koordinata x = ϱ cos ϕ, y = ϱ sin ϕ, dobija se V = π dϕ ϱ ϱdϱ = π Ako je presek krugova (x ) + y i x + (y ), onda je π/4 sin ϕ V = (x + y)dy = (cos ϕ + sin ϕ)dϕ ϱ dϱ = 6 (I + J), gde je Prema tome, J = π/4 I = 4.48 Traжena zapremina je π/4 sin 4 ϕdϕ = cos ϕ sin ϕdϕ = π/4 V = 6 V = π/4 sin ϕd sin ϕ) = 6, ( cos 4ϕ cos ϕ ( 8 π 4 ) = π 6. (x + y )dy, ) dϕ = 8 π 4 4. gde je oblast ograniqena linijama x + y = 6x i y = x, y /. Prelaskom na polarne koordinate x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, oblast se preslikava u oblast = {(ϕ, ρ) : π ϕ π }, ρ 6 cos ϕ, pa je V = = 8 = 7 = 7 π/ dϕ π/ π/ π/ π/ π/ π/ π/ 6 cos ϕ cos 4 ϕdϕ = 7(4π 7 ) Ako je I dati integral, onda je I = π/6 dφ ρ ρdρ ( + cos ϕ) dϕ ( + cos ϕ + ρ sin φ dφ + ) + cos 4ϕ dϕ (6 x)/ x/ ydy = 8. rugi naqin. Ako pravom x = podelimo datu oblast na dva dela, onda je I = x/+ ydy + x ydy = 8.

34 4.5 Postoje dva tela ograniqena datim povrxima. Jedno telo (T ) je deo valjka između z = i z = 9 x y, a drugo (T ) je deo paraboloida (P ) bez T. Prema tome, V T = π dφ ρ(9 ρ ) dρ = 5π, i V T = V P V T = π. Napomena. Moжe i V P = 4 V T π/ = V P + dφ π/ ρ(9 ρ ) dρ = 8π dφ (9 ρ )ρdρ. sin φ 4.54 Smenom x = ρ cos φ, y = ρ sin φ dobijamo da je 4.55 Smenom gde je (x + y dy = ) { u = x y v = x + y J = x u y u odnosno 8 cos φ dφ dφ 4 cos φ ρ = π/ dφ 64 π/4 cos φ =. 64 { x = (u + v)/ dobija se da je y = (v u)/ π/ π/4 xy dy = (u + v)(v u) J du dv, x v y v, = {(u, v), u, v }. Svođenjem na dvostruki integral dobija se da je dati integral jednak /8. 5. Za dati stepeni red je a n = n, pa je polupreqnik konvergencije reda R = lim a n n a n+ = lim n + =. n n Prema tome, ako je x <, tj. ako x (, 4) red konvergira apsolutno. Za x = ( ) n red postaje i divergentan je. Za x = red postaje n= n i konvergira po n= n Lajbnicovom kriterijumu, ali ne i apsolutno. Oblast apsolutne konvergencije reda je, dakle, interval (, 4), a uslovne [, 4). 4