ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΛΙΟ ΠΑΝΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΑΣ ΤΗΛΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΡΓΑΣΙΑ ΚΟΣΜΑΣ Λ. ΤΣΑΚΜΑΚΙΗΣ Η ΣΥΧΝΟΤΙΚΑ ΞΑΡΤΗΜΝΗ ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ. ΤΧΝΙΚΣ ΠΚΤΑΣΗΣ Σ ΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ ΠΙΒΛΠΩΝ : ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΘΟΩΡΟΣ. ΤΣΙΜΠΟΥΚΗΣ ΘΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, ΙΟΥΛΙΟΣ 00

ΙΣΑΓΩΓΗ Η παρύσα διπλµατική ργασία ί αντικίµν τη µλέτη τν διαφόρν µθόδν πυ, στα πλαίσια της µθόδυ τν ππρασµένν διαφρών στ πδί τυ ρόνυ FT, µντλπιύν τα υλικά πυ µφανίζυν ξάρτηση από τη συνότητα µέσα µ διασπρά. Ως γνστό, η ηλκτρική διασπρά πρέρται από τη µταβλή της διηλκτρικής σταθράς τυ µέσυ συναρτήσι της συνότητας τυ πρσπίπτντς ηλκτρ- µαγνητικύ παλµύ, και αρακτηρίζι µια σιρά από, υρές ρησιµπιύµνα στα σύγρνα τηλπικιννιακά συστήµατα, µέσα, όπς ίναι ι φρίττς, τ γυαλί στις πτικές ίνς κτλ. Σ όλα τα κφάλαια της ν λόγ διπλµατικής ργασίας, δόθηκ ιδιαίτρη έµφαση στ να ξηγηθύν µ, όσ γίνται πι απλό και αναλυτικό τρόπ, αυτά πυ κάθ φρά παρυσιάζνταν. Ιδιαίτρη πρσή δόθηκ, πίσης, στη σστή και ακριβή από πλυράς πράξν παράθση τόσ τν τλικών αναδρµικών σέσν για κάθ µία από τις υπό µλέτη µθόδυς, όσ και τν νδιάµσν απδίξν. Στ πρώτ κφάλαι πιιρίται µια σύντµη ισαγγή στις υπλγιστικές τνικές πυ ρησιµπιύνται υρύτατα πλέν σήµρα στν ηλκτρµαγνητισµό και παρατίθνται µρικί λόγι πυ ξηγύν την, πράγµατι, υρία αυτή τυς διάδση. Στ δύτρ κφάλαι γίνται µια σύντµη αναφρά στη µέθδ τν ππρασµένν διαφρών στ πδί τυ ρόνυ FT Mhd. Παρυσιάζται αλγόριθµς τυ Y, καθώς πίσης και ρισµένα, µίζνς σηµασίας, «ιδικά θέµατα» πυ αφρύν τν αλγόριθµ της παραπάν µθόδυ, όπς ίναι η αριθµητική διασπρά, η αριθµητική αστάθια, ι απρρφητικές συνθήκς κτλ. Στ τρίτ κφάλαι γίνται µια ιδιαίτρη αναφρά στα µέσα µ διασπρά, δίννται ι ξισώσις πυ πριγράφυν τη διάδση νός ηλκτρµαγνητικύ κύµατς µέσα σ αυτά και αναφέρνται ρισµένς αρακτηριστικές τυς ιδιότητς. Πριγράφνται ακό- µη, τα υλικά µ διασπρά πυ µλτήθηκαν στην παρύσα διπλµατική, και τα πία ίναι τα υλικά by, rud, και Lr. Μ τν τρόπ αυτό, διυκλύνται η µτάβαση στ κφάλαι 4, όπυ πριγράφνται αναλυτικά τρις µέθδι πρκτάσις της FT για την µντλπίηση τν παραπάν υλικών. Οι µέθδι αυτές ίναι η µέθδς της παναληπτικής συνέλιξης Rcursv Cvlu Mhd, RC, η µέθδς της βηθητικής διαφρικής ξίσσης Auxlary ffral Mhd, AE όπς πίσης και η µέθδς τυ µτασηµατισµύ Ζ Z Trasfr. Τ τλυταί 5 κφάλαι ίναι αφιρµέν σ µια κτνή παράθση τν αριθµη-

τικών απτλσµάτν πυ πρέκυψαν κατά την πρσµίση της διάδσης ηλκτρ- µαγνητικών παλµών, Γκαυσιανής µρφής, µ κάθ µία από τις 3 πραναφρθίσς µθόδυς, και για κάθ ένα από τα υλικά by, rud, και Lr. Τλιώνντας την ργασία αυτή, θρώ υπρέσή µυ να κφράσ τις υαριστίς µυ στν πιβλέπντά της, καθηγητή Θόδρ. Τσιµπύκη, για την νθάρρυνση πυ µυ παρί, όπς πίσης και στν διδάκτρα τυ τµήµατός µας Νικόλα Κανταρτζή για τις παρατηρήσις τυ και τη βήθιά τυ γνικά στην ανάπτυξη τυ παρύσας ργασίας. Θα ήθλα ακόµη να κφράσ τις πι θρµές µυ υαριστίς στν διδάκτρα από φέτς τυ τµήµατός µας, Θώδρ Κσµάνη, για τη διαρκή πίβλψη σ όλς της φάσης της διπλµατικής, την άψγη συνργασία, την σλαστική και ακύραστη διόρθση τν αρικών κιµένν και, τέλς, για τις πλύτιµς όσ και καλόγνµς συµβυλές τυ. Τέλς, θα ήταν παράληψή µυ να µην υαριστήσ και την υπψήφια διδάκτρα τυ τµήµατός µας, λισσάβτ Κσµίδυ, για τις πλλές και ρήσιµς συζητήσις και υπδίξις πυ µυ έκαν πάν στ βασικό κφάλαι αυτής της διπλµατικής ργασίας, πυ ίναι τ κφάλαι 4. Θσσαλνίκη, Ιύνις 00 Κσµάς Λ. Τσακµακίδης

ΚΦΑΛΑΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΣ ΤΧΝΙΚΣ ΣΤΟΝ ΗΛΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟ Οι υπλγιστικές τνικές έυν δώ και αρκτά ρόνια δηµιυργήσι έναν νέ, πιτακτικό και παναστατικό τρόπ για την πρσέγγιση, ανάλυση και πίλυση τν ηλκτρµαγνητικών πρβληµάτν. Η σδίαση και κατασκυή νέν τύπν πτικών ινών, φτνικών κρυστάλλν, ψηφιακών κυκλµάτν, κραιών, ραντάρ κάθ ίδυς και µικρκυµατικών συσκυών στηρίζνται σήµρα σδόν απκλιστικά σ καθαρά υπλγιστικές/πρσµιτικές τνικές. Παρά, λιπόν, τ γγνός ότι τα πρισσότρα ηλκτρµαγνητικά πρβλήµατα, τλικά, καταλήγυν στην πίλυση νός στικά απλύ συστήµατς µρικών διαφρικών ξισώσν, υπβαλλόµνν σ ριακές συνθήκς/πριρισµύς, λάιστα πρακτικά πρβλήµατα µπρύν να πιλυθύν ρίς τη ρήση νός υπλγιστή. Οι µέθδι για την ανάλυση τν πρβληµάτν στν ηλκτρµαγνητισµό µπρύν, γνικά, να διαιρθύν σ τρις κατηγρίς: αναλυτικές τνικές aalycal chqus, υπλγιστικές αριθµητικές τνικές urcal chqus και πιραµατικές µέθδι xpral/xpr syss. Απ αυτές, ι αναλυτικές τνικές ρησιµπιύν συνήθς απλπιητικές υπθέσις σ ότι αφρά τη γµτρία τυ υπό µλέτη πρβλήµατς, µ σκπό να φαρµόσυν µια κλιστής µρφής λύση ή µια λύση αναγόµνη σ στικύς βηθητικύς πίνακς abl lk up slus. Οι αναλυτικές τνικές µπρί να απτλέσυν ένα πλύ ρήσιµ ργαλί όταν η βασική ηλκτρµαγνητική απόκριση και αλληλπίδραση µιας γµτρικής διάταξης µ ένα ηλκτρµαγνητικό κύµα µπρί να πρβλφθί ή ίναι µ κάπι τρόπ αναµνόµνη. Ωστόσ τα πρισσότρα ηλκτρµαγνητικά πρβλήµατα πρακτικύ νδιαφέρντς ίναι, απλά, πλύ απρόβλπτα και ξαιρτικά δύσκλ συνά δ αδύνατ να µντλπιηθύν µ την πρσέγγιση αυτή. Από την άλλη πλυρά, ι πιραµατικές µέθδι δν υπλγίζυν τ συνλικό πδί άµσα, παρά πραγµατπιύν πρσδιρισµό τν παραµέτρν πυ νδιαφέρυν, βασισµέν σ µια µγάλη συλλγή µτρήσν, ανάλγν µ τη ρησιµπιύµνη πι-

ΚΦΑΛΑΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΣ ΤΧΝΙΚΣ ΣΤΟΝ ΗΛΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟ ραµατική µθδλγία ruls daabas. Καθώς, λιπόν, η βιµηανία σδίασης ψηφιακών ή λκληρµένν πλακτών/κυκλµάτν γίνται λένα και πι αυτµατπιηµένη, τ λγισµικό τν πιραµατικών µπιρικών µθόδν, θα διαδραµατίσι σίγυρα έναν σηµαντικό ρόλ. Πάρα ταύτα, ι τυππιηµένς µπιρικές µέθδι για την ξαγγή τν απτλσµάτν πυ µας νδιαφέρυν, δν έυν τη δυνατότητα να παράσυν απτλέσµατα πι ακριβή από αυτά πυ καθρίζι η συλλγή τν πιραµατικών µτρήσν στην πία στηρίζνται και, πλύ πρισσότρ, ίναι, µάλλν, απίθαν να ρησιµπιηθύν πτέ για να µντλπιήσυν ή να µας βηθήσυν να καταλάβυµ τις πλύπλκς ηλκτρµαγνητικές αλληλπιδράσις και φαινόµνα. Η πι νέα και ταύτρα αναπτυσσόµνη κατηγρία µθόδν για την πίλυση τν ηλκτρµαγνητικών πρβληµάτν πυ µας νδιαφέρυν στην πράξη, ίναι η υπλγιστική αριθµητική. Οι αριθµητικές τνικές πιιρύν να πιλύσυν τις θµλιώδις πδιακές ξισώσις άµσα µ κατυθίαν φαρµγή πλλών υπλγιστικών πράξν, σύµφνα µ κάπι αλγόριθµ, λαµβάνντας, φυσικά, υπόψη τυς συνριακύς πριρισµύς πυ πιβάλλνται από τη γµτρία τυ πρβλήµατς. Αν και, γνικά, α- παιτύν πρισσότρυς υπλγισµύς απ ότι ι αναλυτικές τνικές, ι αριθµητικές µέθδι απτλύν ένα πλύ ισυρό, αξιόπιστ και υέλικτ ργαλί ηλκτρµαγνητικής ανάλυσης. Χρίς να κάνυν κ τν πρτέρν a prr υπθέσις στικά µ τ πις πδιακές αλληλπιδράσις fld racs ίναι πι σηµαντικές, ι αριθµητικές τνικές αναλύυν τη συνλική γµτρία, η πία παρέται σαν ίσδς. Υπλγίζυν έτσι την πιθυµητή λύση στ πρόβληµα, βασιζόµνς σ µια πλήρς κυµατική full wav ανάλυση. Η πιτυγανόµνη ακρίβια και υλιξία πυ πρσφέρυν ι τνικές αυτές, ακόµα και σ πριπτώσις πλύπλκν γµτριών πυ ιδάλλς, όπς ίπαµ, θα ήταν αδύνατ να πρσγγιστύν, τις καθιστύν ένα ιδιαίτρα ρήσιµ «ργαλί» για την πίλυση νός υρές φάσµατς πδιακών πρβληµάτν. Η ρήση τυς, και κυρίς τν φαρµζόµνν στ πδί τυ ρόνυ παραπάν τνικών, ίναι σδόν αναντικατάστατη στην, απαραίτητη για τυς σδιαστές, αναπαράσταση µ κλίµακα µικρότρη τυ pcscd ps 0 s τν ηλκτρµαγνητικών φαινµένν σ διάφρς διατάξις, καθότι η ανάλγη πιραµατική µτρητική διαδικασία θα ήταν υ- πρβλικά δύσκλη και δαπανηρή. Μια από τις πι υρές ρησιµπιύµνς αριθµητικές τνικές, κυρίς για πρβλήµατα υψηλών συντήτν, ίναι η µέθδς τν ππρασµένν διαφρών στ πδί τυ ρόνυ F ffrc T a Mhd, FT, τις βασικές αρές της πίας θα παρυσιάσυµ συνπτικά στ πόµν κφάλαι.

ΚΦΑΛΑΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΣ ΤΧΝΙΚΣ ΣΤΟΝ ΗΛΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟ Μ τα όσα κθέσαµ σ αυτό τ κφάλαι σκπό ίαµ να κάνυµ µια σύντµη, γνική ισαγγή στις υπλγιστικές τνικές πυ ρησιµπιύνται στν ηλκτρµαγνητισµό, στυς λόγυς της κτνύς µλέτης και ρήσης τυς από την πιστηµνική κινότητα και στην πλύτιµη βήθια πυ αυτές µας πρσφέρυν σ ότι αφρά την πίλυση πδιακών πρβληµάτν. Στα πόµνα κφάλαια, η αναφρά µας στις µθόδυς αυτές πρδυτικά θα ξιδικύται: Στ κφάλαι θα αναφρθύµ στα βασικά αρακτηριστικά της FT, πυ ίναι η µέθδς στην πία αναφέρται η παρύσα διπλµατική ργασία. Στ κφάλαι 3 θα δώσυµ ρισµένς γνικές πληρφρίς για τα µέσα πυ παρυσιάζυν διασπρά, ι πίς θα µας βηθήσυν ιδιαίτρα στ να µταβύµ πι µαλά και φυσικά σ αυτά πυ θα πύµ στ κφάλαι 4. κί, θα µιλήσυµ διξδικά για τις πλέν γνστές και νδιαφέρυσς µθόδυς µντλπίησης υλικών µ διασπρά, στα πλαίσια της FT. Τέλς, στ κφάλαι 5 θα παραθέσυµ και θα συγκρίνυµ τα απτλέσµατα τν αριθµητικών πρσµιώσν µ βάση αυτές τις µθόδυς. ώστ να διαφανύν ι δυνατότητς αλλά και ι αδυναµίς της κάθ µιας. 3

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ. ισαγγή Στ κφάλαι αυτό θα κάνυµ µία, όσ γίνται πι σύντµη και πρικτική, ανάλυση της µθόδυ τν ππρασµένν διαφρών στ πδί τυ ρόνυ, µ σκπό να διαφανί µ τρόπ καθαρό η φιλσφία της, η λγική µ βάση την πία πρώτς Ka Y, την υλπίησ µ τη συγκκριµένη µρφή, ι διαφρές της µθόδυ αυτής σ σέση µ τις υπόλιπς υπλγιστικές αριθµητικές µθόδυς στ ηλκτρµαγνητικό πδί και, τέλς, ι λόγι για τυς πίυς η διθνής πιστηµνική κινότητα την υιθέτησ και τη ρησιµπιί σ τόσ µγάλ βαθµό.. Οι ξισώσις τυ Maxwll στις 3 διαστάσις σ ρθγώνι σύστηµα συντταγµένν Θα ξκινήσυµ την ανάλυση µας µ αφτηρία τις 4 ξισώσις τυ Maxwll στις 3 διαστάσις, από τις πίς µόν ι δύ πρώτς νδιαφέρυν και ρησιµπιύνται στην µέθδ FT. Οι ξισώσις τυ Maxwll σ διαφρική µρφή, ι πίς πρβλέπυν την συνύπαρξη ηλκτρικύ και µαγνητικύ πδίυ στην πρίπτση ρνικώς µταβαλλόµνν πδίν, ίναι ι ξής : Νόµς τυ Faraday : ιαφρική µρφή : r r Β r J. 4

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Νόµς τυ Ap` r : ιαφρική µρφή : r r r Η J. Νόµς τυ Gauss για τ ηλκτρικό πδί : ιαφρική µρφή : r ρ.3 Νόµς τυ Gauss για τ µαγνητικό πδί : ιαφρική µρφή : Β v 0.4 Στις παραπάν σέσις, r ίναι τ διάνυσµα της έντασης τυ ηλκτρικύ πδίυ [V/], Η r ίναι τ διάνυσµα της έντασης τυ µαγνητικύ πδίυ [A/ ], r ίναι τ διάνυσµα της διηλκτρικής µτατόπισης [Cb/ ], Β r ίναι τ διάνυσµα της µαγνητικής παγγής [Wb/ ή Tsla], J v ίναι η ισδύναµη µαγνητική πυκνότητα ρύµατς [V/ ], J r ίναι η ηλκτρική πυκνότητα ρύµατς [Α/ ], ρ ίναι η πυκνότητα τν ρικών φρτίν, νώ S ίναι µια τυαία πιφάνια. Σ ένα µέσ µγνές, ισότρπ, γραµµικό και ρίς διασπρά, δηλαδή σ ένα µέσ τυ πίυ ι ηλκτρµαγνητικές ιδιότητς ίναι ανξάρτητς της θέσης και της διύθυνσης και, πιπλέν, η διηλκτρική τυ σταθρά και η µαγνητική τυ διαπρατότητα µ, δν µταβάλλνται µ την ένταση ή τη συνότητα τυ ηλκτρµαγνητικύ κύµατς, µπρύµ, πλύ ύκλα, να συστίσυµ τ διάνυσµα Β r µ τ διάνυσµα Η r, καθώς και τ διάνυσµα r µ τ αντίστι E r, ρησιµπιώντας τις καταστατικές ξισώσις : r r Β µ Η. 5 Αν τ µέσ παρυσιάζι διασπρά ή µη γραµµικότητα, τότ ι σέσις.5 &.6, µ τη µρφή ακριβώς πυ έυν πλλαπλασιασµός στ β µέλς, παύυν να ισύυν στ πδί τυ ρόνυ και ισύυν µόν στ πδί της συνότητας. Αυτό, θα ξταστί αναλυτικά στ πόµν κφάλαι. 5

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ και : r r,.6 όπυ η µαγνητική διαπρατότητα τυ µέσυ µ, [Η/], και η διηλκτρική τυ σταθρά, [F/], ίναι σταθρί αριθµί. Στη γνική πρίπτση ύπαρξης µαγνητικών απλιών, ρίζται, όπς ίπαµ, η µαγνητική πυκνότητα ρύµατς J v, για την πία ισύι η σέση: r r J ρ Η,.7 όπυ ρ ίναι η ιδική µαγνητική αντίσταση τυ µέσυ [Ω/], νώ, αντίστια, για τις ηλκτρικές απώλις, ισύι ότι: r r J σ,.8 όπυ σ ίναι η ιδική αγγιµότητα τυ µέσυ [ S / ]. Έτσι, λιπόν, ξέρντας ότι, γνικά, για ένα διάνυσµα r Α ˆx r r r Α όπυ, δώ, ίναι : Α ή Η, ισύι : ẑ 0 Α x 0 Α y ŷ 0 r r r Α curlα rα xˆ x Α x yˆ 0 y Α y 0 Α 0 ˆ,.9 ι. και., µ βάση και τις.5 και.6, δίνυν τ ακόλυθ σύστηµα έξι συζυγµένν βαθµτών ξισώσν : x Η y Η y σ x.0 y Η x Η x σ y. Η x y Η x y σ. 6

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Η x E µ y E y ρ Η x.3 Η y E µ x E x ρ Η y.4 Η E µ y x E y x ρ Η.5 Οι ξισώσις.0 ές.5 απτλύν τη βάση στην πία στηρίζται αλγόριθµς της µθόδυ FT. Οι ξισώσις αυτές ισύυν για ένα µέσ πυ ίναι µγνές, ισότρπ, γραµµικό και ρίς διασπρά, ακριβώς πιδή πρκύπτυν µ βάση τις σέσις.5 και.6, και, πιπλέν, για σύστηµα ρθγνίν συντταγµένν Οxy, αφρύν δ, τ πραγµατικό συνές ηλκτρµαγνητικό κύµα, δηλαδή τ κύµα τυ - πίυ τη διάδση πιδιώκυµ να πρσµιώσυµ µ τη µέθδ αυτή. Τ κύµα τ - πί πρκύπτι µ τη µέθδ της πρσµίσής µας, δηλαδή τ κύµα πυ βλέπυµ να διαδίδται στ ώρ πυ έυµ ρίσι στη µνήµη τυ υπλγιστή µας, δν ίναι συνές, αλλά πρκύπτι, όπς θα δύµ στην πόµνη παράγραφ, από διγµατληψία τυ πραγµατικύ, συνύς κύµατς, τόσ ρνική, όσ και ρική..3 Ο αλγόριθµς τυ Y Η βάση της µθόδυ τν ππρασµένν διαφρών στ πδί τυ ρόνυ ίναι αλγόριθµς τυ Y, πυ πρώτη φρά διατυπώθηκ από τν ίδι τ 966 και ρησιµπιίται µέρι και σήµρα. Ο αλγόριθµς αυτός ίναι ιδιαίτρα απλός και µπρί να ρησιµπιηθί σ ένα πλύ υρύ φάσµα πδιακών πρβληµάτν. Πι συγκκριµένα :. Γίνται ταυτόρνη πίλυση και πρσδιρισµός και τν δύ πδιακών ντάσν, κάνντας ρήση τν συζυγµένν ξισώσν στρφής τυ Maxwll. Μ τν τρόπ αυτό στις αναδρµικές ξισώσις πυ µας δίνυν τις νές τιµές της ηλκτρικής και της µαγνητικής πδιακής έντασης πριέται πρισσότρη πληρφρία, πυ σηµαίνι ότι µπρύν να δηγήσυν σ πι ακριβίς λύσις. πιπλέν, ι ξισώσις πυ πρκύπτυν µ τν αλγόριθµ τυ Y πιτρέπυν την µντλπίηση τν ηλκτρικών και µαγνητικών ιδιτήτν νός υλικύ µ έναν υθύ και ύκλ τρόπ, πυ διαφρτικά, αν στην ξίσση πυ δίνι τ r δν υπήρ σαν πληρφρία και τ Η r, θα ήταν αδύνατ ή 7

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ σηµαντικά πι δύσκλ.. Στός τυ Y ήταν να πρσγγίσι τις ρνικές και ρικές µρικές παραγώγυς τν ξισώσν.0.5 µ τη βήθια ππρασµένν διαφρών, θέλντας, όµς, ταυτόρνα, να πτύι και ακρίβια δύτρης τάξης. Για να πρσγγιστύν ι µρικές ρικές παράγγι µ ππρασµένς διαφρές, σύµφνα µ τν αλγόριθµ τυ Y, ι 6 πδιακές συνιστώσς x,,, Η, Η, Η τπθτύνται σ συγκκριµένς θέσις κάθ κλιύ, πυ ίναι γνστό ς «κλί τυ Y» Y cll και απικνίζται στ σήµα.. Πι αναλυτικά: α Οι συνιστώσς τυ ηλκτρικύ και τυ µαγνητικύ πδίυ ίναι όλς τπθτηµένς ίτ στα κέντρα τν πλυρών ίτ στα µέσα τν ακµών νός κύβυ, µ διύθυνση και φρά αυτήν τυ άξνα πυ υπδηλώνι δίκτης τυς. πιπλέν, κάθ συνιστώσα τυ ηλκτρικύ πδίυ έι πριβάλλται από 4 συνιστώσς τυ µαγνητικύ πδίυ και, α- ντίστια, κάθ συνιστώσα τυ µαγνητικύ πδίυ πρικλίται από 4 συνιστώσς τυ ηλκτρικύ πδίυ. Μ τν τρόπ αυτό αλγόριθµς τυ Y λαµβάνι υπόψη τυ τις ξισώσις τυ Maxwll.-.4, φόσν τπθτί τις πδιακές συνιστώσς σ συγκκριµένα σηµία και µριµνά, όπς θα δύµ παρακάτ, για την πρσέγγιση τν µρικών διαφρικών παραγώγν µ ππρασµένς διαφρές. β Μπρί πλύ ύκλα, µ βάση τη ρική διάταξη τν πδιακών συνιστσών τυ σήµατς., να απδιθί ότι ι νόµι τυ Gauss ξ..3 και.4, µ έµµσ τρόπ πιβάλλνται και νυπάρυν στν τρόπ µ τν πί ίναι κατασκυασµέν τ ρικό πλέγµα ή, ισδύναµα, στν τρόπ µ τν πί ίναι τπθτηµένς ι πδιακές συνιστώσς σ κάθ «κλί» στν τρισδιάστατ ώρ. Αυτό ίναι ένα πλύ κρίσιµ ση- µί για κάθ αριθµητική µέθδ πίλυσης τν ξισώσν τυ Maxwll πυ βασίζται σ ρική διακριτπίηση, και τρόπς τπθέτησης τν συνιστσών στ Σ.., πράγµατι, τ λαµβάνι υπόψη τυ. πιπλέν, συγκκριµένς τρόπς τπθέτησης τν συνιστσών τυ r και τυ Η r έι και τ ξής σηµαντικό πλνέκτηµα: Η συνέια τν φαπτµνικών συνιστσών τυ r και τυ Η r ξασφαλίζται µ τρόπ φυσικό, ρίς να απαιτίται η πιβλή κάπιας πιπρόσθτης συνθήκης πάν στην ριακή πιφάνια δύ διαφρτικών µέσν. y x y 8

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σήµα. Οι θέσις και τρόπς µ τν πί τπθτύνται ρικά ι συνιστώσς τυ ηλκτρικύ και τυ µαγνητικύ πδίυ στ «κλί τυ Y». 9

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ γ Ας δύµ τώρα πώς, µ βάση τη ρική διάταξη τν πδιακών συνιστσών στ κλί τυ Y, πρσγγίζνται ι µρικές ρικές παράγγι τν ξισώσν.0.5 µ ακρίβια δύτρης τάξης. Έστ ότι θέλυµ να υπλγίσυµ τη µρική ρική παράγγ τυ Η ς πρς y ξ..4 γύρ από τ σηµί x,j/ y, k/ όπυ, όπς βλέπυµ από τ σήµα., ίναι τπθτηµένη η x συνιστώσα. Η πρσέγγισή της µ ππρασµένς διαφρές θα γίνι µ βάση την ανάπτυξη σ σιρά Taylr τυ Η γύρ από τ σηµί x,j/ y, k/ δύ, j /, k / φρές, µία πρς τα µπρός και µία πρς τα πίσ, µ βήµα y/ και y/. Μ αφαίρση της µίας ξίσσης από την άλλη, πρκύπτι η πρσέγγιση της παραγώγυ ς ξής: Η, j, k /, j, k / y, j /, k / Η y Η Ο [ y ].6 ή :, j, k /, j, k / Η y, j /, k / Η y Η,.7 [ ] όπυ η πρσέγγιση στ β µέλς της.7 ίναι ης τάξης ννίται ς πρς y, καθότι η.7 πρέκυψ από την.6 µ απαλιφή τυ όρυ y βλέπυµ, ίναι ανάλγς τυ y. Ο πίς, όπς Αυτή ίναι και η γνική µθδλγία µ την πία, σύµφνα µ τν αλγόριθµ τυ Y, πρσγγίζνται και ι υπόλιπς µρικές ρικές παράγγι τν ξισώσν.0-.5. 3. ίδαµ πρηγυµένς ότι Y, πρκιµένυ να πρσγγίσι τις µρικές ρικές παραγώγυς µ ππρασµένς διαφρές, τπθέτησ τις συνιστώσς τυ r και τυ Η r σ διαφρτικά σηµία, για να πτύι δ ακρίβια ης τάξης ι συνιστώσς αυτές απέυν, ριζντίς ή καθέτς πί τν πλυρών τυ κύβυ τυ Σ.., απόσταση /, όπυ x y. Κάτι ανάλγ συµβαίνι και για την πρσέγγιση τν µρικών ρνικών παραγώγν τν ξισώσν.4 -.9. Κι δώ, ι συνιστώσς τυ r και Η r δν ίναι τπθτηµένς ρνικά στ ίδι σηµί, αλλά απέυν στ ρόν κατά 0

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ /, όπυ ίναι τ ρνικό διάστηµα πυ πιλέγυµ να υπλγίζυµ πριδικά δηλαδή κάθ τις νές τιµές τν συνιστσών τυ r και τυ Η r, όπς φαίνται στ σήµα.. Παρατηρίται, ότι όλς ι συνιστώσς τυ r τπθτύνται ρνικά στα ση- µία κ, κ Ν, όπς και όλς ι συνιστώσς τυ Η r τπθτύνται στ ρόν στα σηµία κ, κ Ν.Μ τν τρόπ αυτό υπλγίζνται αναδρµικά, κάθ ρνική στιγµή κ, κ Ν *, σ όλα τα ρικά σηµία τυ καρτσιανύ πλέγµατς, ι τιµές τν συνιστσών τυ r, µ βάση τις τιµές τν συνιστσών τυ r και τυ Η r πυ απκτήθηκαν την αµέσς πρηγύµνη ρνική στιγµή, δηλαδή τη στιγµή κ- για τ r r και κ - για τ Η. Μ παρόµι τρόπ γίνται και υπλγισµός τν καινύργιν ρνικών τιµών τυ Η r. Η πρσέγγιση τν µρικών ρνικών παραγώγν γίνται κι δώ, όπς και στην πρίπτση τν ρικών, µ ππρασµένς διαφρές. Συγκκριµένα µ βάση τ ανάπτυγµα σ σιρά Taylr κάπιας πδιακής συνιστώσας u x,j y,k, γύρ από τ ρνικό σηµί, και µ ακριβώς παρόµια διαδικασία όπς στ γ, καταλήγυµ σ µία σέση της µρφής : / / [ ] u u u, j, k, j, k x, j y, k, Ο.8 ή : / / u u u, j, k, j, k x, j y, k,,.9 όπυ κι δώ, όπς ίναι φανρό, η πρσέγγιση ς πρς ίναι ης τάξης.

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Η r Η r Η r r r r r Η r Η r Η r r r r r Σήµα. Τρόπς τπθέτησης τν συνιστσών τυ ηλκτρικύ και τυ µαγνητικύ πδίυ στ ώρ και τ ρόν κατά τη µντλπίηση της διάδσης µνδιάστατυ κύµατς, σύµφνα µ τν αλγόριθµ τυ Y.

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ.4 ιδικά θέµατα στν αλγόριθµ της µθόδυ FT Στην παράγραφ αυτή θα αναφρθύµ σ µρικά, βασικά θέµατα πυ αφρύν τν αλγόριθµ της µθόδυ FT και παρυσιάζυν ιδιαίτρ θρητικό αλλά και πρακτικό νδιαφέρν, φόσν µ βάση αυτά καθρίζνται µρικές, κρίσιµς για τν ν λόγ αλγόριθµ παράµτρι. ιδικότρα, σ ξριστές, σύντµς νότητς θα αναφρθύµ στην αριθµητική διασπρά urcal dsprs, στην αστάθια sably πυ όπς θα δύµ στίζται µ την κλγή τυ ρνικύ βήµατς, στν τρόπ µ τν πί ισάγυµ την πηγή και θα κλίσυµ την παράγραφ αυτή µ µια σύντµη αναφρά στις απρρφητικές συνθήκς πυ φαρµόζυµ στα όρια τυ υπλγιστικύ ώρυ, για την πρσµίση τυ άπιρυ ώρυ..4. Αριθµητική ιασπρά Nurcal sprs Μια από τις ανπιθύµητς παρνέργις πυ έι αλγόριθµς µ τν πί πρσ- µιώνται η διάδση νός ηλκτρµαγνητικύ κύµατς µ την µέθδ FT, ίναι η µφάνιση µιας µη φυσικής διασπράς στ υπό µντλπίηση κύµα, ακόµα και κατά τη διάδσή τυ στν λύθρ ώρ, πυ καννικά δν θα έπρπ να υπάρι. Η µη φυσική αυτή διασπρά ξαρτάται από την αζιµυθιακή διύθυνση διάδσης δηλαδή από τη γνία φ στ πίπδ xοy, από τ µήκς x τυ κλιύ ρικής διακριτπίησης αλλά και από τ µήκς κύµατς της κπµπόµνης ακτινβλίας και έι άµση πίδραση στην ταύτητα αλλά και τη µρφή τυ κύµατς πυ µλτάµ. Στην παράγραφ αυτή, ρίς να πιµίνυµ στην καθαρά µαθηµατική ανάλυση, θα πρσπαθήσυµ να αναδίξυµ τα βασικά συµπράσµατα πυ πρκύπτυν από την ανάλυση τυ φαινµένυ της αριθµητικής διασπράς και τυς, τυόν, πριρισµύς πυ αυτά συνπάγνται κατά τη δικπραίση τυ αλγρίθµυ µας. Η µαθηµατική ανάλυση, µ την πία βρίσκται και αναλύται η σέση πυ συνδέι τις συνιστώσς ~ ~ ~ k, k, k x y τυ αριθµητικύ κυµατικύ διανύσµατς k ~r µ την κυκλική συνότητα τυ αντίστιυ πραγµατικύ κύµατς, απδικνύι ότι τ αριθµητικό κύ- µα, έτσι όπς αυτό πρσγγίζται από τν αλγόριθµ τυ Y, µφανίζι µια µη φυσική διασπρά, ακόµα και σ τέλια διηλκτρικά, όπς ίναι, για παράδιγµα, κνός ώρς. Αυτή η µφάνιση διασπράς στ αριθµητικό κύµα, τ πηράζι, διαφρπιώντας τ από τ πραγµατικό κύµα και άρα µιώνντας την ακρίβια και αξιπιστία της µθόδυ 3

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ µας στην ξαγγή συµπρασµάτν κατά δύ τρόπυς: Πρώτν, πηράζι την ταύτητα µ την πία διαδίδται τ αριθµητικό κύµα στις διάφρς διυθύνσις και, δύτρν, έι πίπτση και στη µρφή/σήµα δηλαδή, στ φάκλ της αριθµητικής κυµατ- µρφής. Γνικότρα, κρατώντας κάθ φρά τ ρνικό βήµα σταθρό, µπρί ύκλα να διθί [5],[6] ότι η ταύτητα φάσης στην πρίπτση νός διδιάστατυ αριθµητικύ κύµατς, ξαρτάται από παράγντς: Τη γνία α ς πρς τν άξνα x µ την πία γίνται η διάδση τυ κύµατς 0 a 90, διότι για τις υπόλιπς γνίς, ανά 90, τα απτλέσµατα παναλαµβάννται κυκλικά και Τ µήκς x της ττραγνικής κυψέλης ή, ισδύναµα, από τν αριθµό τν ρικών διγµάτν πυ παίρνυµ ανά λ, όπυ λ τ µήκς κύµατς τυ φτός στ κνό. Συγκκριµένα, από τη γραφική παράσταση της µταβλής της ταύτητας φάσης τυ αριθµητικύ κύµατς συναρτήσι της γνίας α, µπρί ύκλα να φανί ότι υπάρι µια, στικά µικρή αλλά σαφής, µταβλή της ν λόγ ταύτητας ς πρς την πρανα- λ φρθίσα γνία. Η µταβλή αυτή ίναι, για κάθ τιµή τυ λόγυ Λ όπυ λ, τ x µήκς κύµατς τυ φτός στ κνό, συµµτρική ς πρς τη γνία π/ 90, δηλαδή για κάθ Λ, η ταύτητα φάσης ξκινά από µια λάιστη τιµή για α 0, αυξάνι πρδυτικά µέρι τη µέγιστη τιµή της για α 45, και ν συνία µιώνται πρδυτικά συµµτρικά ς πρς τν τρόπ µ τν πί αυξάννταν µέρι την, ίδια όπς και για α 0, λάιστη τιµή, για α 90. Για γνίς α 90 τα απτλέσµατα παναλαµβάννται, ανά 90, µ ακριβώς τν ίδι τρόπ. Άµση συνέπια τν παραπάν ίναι η ξής: Τ ρικό πλέγµα, έτσι όπς ίναι κατασκυασµέν µ βάση τν αλγόριθµ τυ Y, α- ντιστιί σ ένα ανισότρπ µέσ, σ ένα µέσ, δηλαδή, στ πί η ταύτητα φάσης τυ διαδιδόµνυ αριθµητικύ κύµατς ξαρτάται από τη διύθυνση διάδσης. πιπλέν, τ ύρς µταβλής της ταύτητας φάσης, ξαρτάται άµσα από τν α- ριθµό τν ρικών διγµάτν ανά λ. Συγκκριµένα, όσ πι πυκνή ίναι η ρική διγµατληψία τόσ πι µικρό ίναι τ ύρς µταβλής της ταύτητας φάσης, αλλά και τόσ πι κντά αυτή βρίσκται στην ταύτητα c τυ φτός στν κνό ώρ. Συµπραίνυµ, λιπόν, ότι αυξάνντας τ λόγ Λ και κρατώντας τ σταθρό µπρύµ να πτύυµ ακρίβια πιασδήπτ τάξης, ανάλγα µ τις απαιτήσις πυ έι η φαρµγή µας. Τ µινέκτηµα ίναι ότι η αύξηση τυ λόγυ Λ συνπάγται και ανάλγη αύξηση της απαίτησης σ µνήµη, καθότι µιώνται τ µήκς x, και, άρα, απαιτύνται πρισσότρα κλιά για τη µντλπίηση τυ µέσυ πυ µλτάµ. 4

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σ ότι αφρά τν τρόπ µ τν πί η κλγή τυ ρνικύ βήµατς µπρί να πηράσι την ταύτητα και τη µρφή τυ διαδιδόµνυ αριθµητικύ κύµατς, µπρύν να πρκύψυν τα ξής: α Η πιλγή τυ ρνικύ βήµατς έι πλύ µικρή πίδραση στη διατήρηση ή µη της µρφής/σήµατς τυ φακέλυ τυ, ιδικά όταν η ρική διγµατληψία ίναι πυκνή, δηλαδή για Λ > 0. β Τα λάθη αριθµητικής διασπράς πυ στίζνται µόν µ τη ρνική διακριτπίηση όταν δηλαδή όλς ι υπόλιπς παράµτρι ίναι σταθρές και µταβάλυµ µόν τ δν ξαρτώνται από τη γνία α, ίναι δηλαδή ισότρπα σ ότι αφρά τη διύθυνση διάδσης τυ αριθµητικύ κύµατς. γ Η πιλγή τυ έι πίδραση µικρή αλλά υπαρκτή στην ταύτητα µ την πία διαδίδται τ αριθµητικό κύµα σ κάθ διύθυνση, αν και όπς ίπαµ στ α δν πηράζι τη µρφή τυ φακέλυ τυ. Αξίζι, τέλς, να αναφέρυµ ότι στην πρίπτση διάδσης πιπέδυ κύµατς κατά µήκς τν κυρίν διαγνίν τυ κλιύ ρικής διακριτπίησης, µ πιλγή τυ ίσυ µ τ άν όρι Cura παρ..3. πτυαίνυµ ακριβή πρσµίση, ρίς καθόλυ διασπρά για τν λύθρ ώρ, στις δ πριπτώσις πηγών πυ πριλαµβάνυν απότµς µταβλές συνιστάται πάλι, όπς και πρηγυµένς, τ ρνικό βήµα να βρίσκται όσ γίνται πι κντά στην τιµή πυ καθρίζται από τ άν όρι τυ Cura, µ: τ µήκς της ακµής τυ ρικύ κλιύ και ή ή 3, c ανάλγα µ τη διάσταση πυ βρισκόµαστ..4. Αριθµητική υστάθια Nurcal Sably Έντας καθρίσι τ µ βάση την πιθυµητή ακρίβια, τ πόµνό µας µέληµα, ό- πς θα δύµ σ αυτήν την υπνότητα, ίναι να καθρίσυµ τ βήµα ώστ να ξασφαλίζται η υστάθια τυ αλγρίθµυ µας. Κάθ άµση xplc αριθµητική µέθδς πίλυσης τν ξισώσν τυ Maxwll, όπς ίναι αλγόριθµς τυ Y, ίναι υσταθής αν τα απτέλσµα πυ δίνι ίναι φραγ- µένα ππρασµένα, για ππρασµένη ίσδ. Η αριθµητική λύση ίναι, αντίθτα, ασταθής όταν παράγι µη φραγµέν µη ππρασµέν απτέλσµα για ππρασµένη ίσδ. Η έννια της υστάθιας και τυ κριτηρίυ πυ αυτή συνπάγται δν ίναι, γνικά, κάτι πυ µπρί αµέσς, µ τρόπ φυσικό και αυτνόητ να γίνι αντιληπτό ή να πρ- 5

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ κύψι µ ιδιαίτρη υκλία. Μ διάφρυς τρόπυς, πυ πριλαµβάνυν ίτ φασµατικές τνικές [5], [6] ίτ τη ρήση µιγαδικών αριθµών [], απδικνύται ότι για τ ρνικό βήµα, στις τρις διαστάσις, θα πρέπι να ισύι η σέση:,.0 c x y όπυ x, y, ι διαστάσις τυ τρισδιάστατυ κλιύ και c η ταύτητα τυ φτός στν κνό ώρ. Η σέση.0 νµάζται συνθήκη υστάθιας τυ Cura και σηµαίνι ότι κατά τη διάρκια νός ρνικύ βήµατς τ αριθµητικό κύµα δν θα πρέπι να διανύι απόσταση µγαλύτρη από αυτή µταξύ δύ γιτνικών σηµίν υπλγισµύ τν πδιακών µγθών. Όταν η.0 παραβιάζται τότ µπρί να διθί [] ότι τ πλάτς τυ αριθµητικύ κύµατς αυξάνι, σ κάθ ρνικό βήµα, ανάλγα µ έναν «παράγντα αύξησης» grwh facr, πίς δίνται απ τη σέση: q grwh ξ ξ,. όπυ: ~ ~ ~ k k y x x y k ξ c s s s,. x y ~ ~ ~ µ k x, k y, k τις συνιστώσς στυς τρις καρτσιανύς άξνς τυ κυµατικύ αριθµύ k ~ τυ ασταθύς αριθµητικύ κύµατς. Αστάθια µφανίζται µόν στην πρίπτση πυ τ ξ ίναι µγαλύτρ της µνάδας. Τ απτέλσµα της µφάνισής της ίναι η αύξηση τυ πλάτυς τυ αριθµητικύ κύµατς, η πία, µάλιστα, από κάπι ρνικό ση- µί και µτά, συντλίται µ ραγδαί τρόπ, δηγώντας στν απιρισµό τυ!. Τα 6

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ απτλέσµατα πυ απκτάµ, λιπόν, σ αυτές τις πριπτώσις για τα µτρύµνα δυναµικά ίναι, πρφανώς, µη ακριβή γι αυτό και πρέπι πάντα, κατά την πρσµίσή µας, να παίρνυµ τ µικρότρ ή ίσ από τ άν όρι τυ Cura της σέσης.3..4.3 ισαγγή της διέγρσης στν υπλγιστικό ώρ της FT Αφότυ, µ τα όσα αναφέραµ παραπάν, καθρίσυµ τ µήκς x της ακµής τυ ρικύ κλιύ καθώς και τ ρνικό βήµα, η πόµνή µας νέργια ίναι να ισάγυµ τη διέγρση στν υπλγιστικό ώρ τυ πρβλήµατός µας. Αυτό, γίνται πλύ απλά, δίνντας για κάθ ρνικό βήµα την τιµή µιας συνάρτησης συνήθς ηµιτνιδύς ή Γκαυσιανής µρφής σ µια από τις πδιακές συνιστώσς πυ βρίσκται σ ένα συγκκριµέν σηµί κλί, s, τυ υπλγιστικύ ώρυ, ς ξής: s s π f,.3 στην πρίπτση ηµιτνιδύς διέγρσης συνότητας f, νώ στην πρίπτση πυ η διέγρση ίναι ένας Γκαυσιανός παλµός, έυµ: s [ / dcay ]..4 Στην πρίπτση τυ παλµύ της σέσης.4, η µέγιστη τιµή τυ µφανίζται στ ρνικό βήµα, τ δ dcay καθρίζι τ πλήθς τν ρνικών βηµάτν πυ α- παιτύνται ώστ τ πλάτς τυ παλµύ, από τη µέγιστη τιµή τυ, να µιθί κατά /. Τ απτέλσµα της ισαγγής τν παραπάν διγέρσν ίναι η παραγγή νός κύµατς πυ διαδίδται και πρς τις δύ κατυθύνσις, απµακρυνόµν από την πηγή. Τ µινέκτηµα πυ έι παραπάν τρόπς ισαγγής της πηγής ίναι ότι στ σηµί όπυ την πιβάλλυµ, η τιµή τυ πλάτυς της διγιρόµνης πδιακής συνιστώσας, πρφανώς, δν υπλγίζται µ βάση τυς κανόνς τυ αλγρίθµυ µας. Συνπώς, καθώς ι πηγές τίνυν στ µηδέν µτά τ πέρασµα αρκτών ρνικών βηµάτν, ισδυναµύν µ αγώγιµα σηµία, από τα πία τ αριθµητικό κύµα δν µπρί να διέλθι και ανακλάται πλήρς. Για να ξπραστί τ πρόβληµα αυτό πρέπι µόλις ι πηγές µιθύν 7

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ σηµαντικά µηδνιστύν, να τις απνργπιήσυµ και να φαρµόσυµ καννικά, και στα σηµία όπυ αυτές βρίσκνταν, τν αλγόριθµ τυ Y, πυ φαρµόζται και σ όλ τν υπόλιπ ώρ τυ πρβλήµατς..4.4 Απρρφητικές συνθήκς Μια µγάλη κατηγρία πδιακών πρβληµάτν, απ αυτά πυ µντλπιύνται µ τη µέθδ FT, πριλαµβάνι διάδση ηλκτρµαγνητικών κυµάτν σ «ανιτύς» ώρυς π.. στν λύθρ, κνό ώρ, δηλαδή σ ώρυς πυ δν πριρίζνται από κάπι υπαρκτό, ξτρικό όρι τ πί υπάρι στην πρίπτση για παράδιγµα, πυ ένα ηλκτρµαγνητικό κύµα διαδίδται µέσα σ έναν κυµατδηγό. Γνρίζυµ πίσης ότι για να µπρέσυµ µ την FT να πρσµιώσυµ τη διάδση νός κύ- µατς πυ διαδίδται σ ένα µέσ, πρέπι να διακριτπιήσυµ τ ώρ αυτό, δηλαδή να θρήσυµ ότι απτλίται από ένα πλέγµα ρικών κλιών, σ κάθ ένα από τα πία ζητάµ να υπλγίσυµ τις τιµές τν πδιακών συνιστσών. Οι τιµές αυτές, για κάθ πδιακή συνιστώσα και για κάθ κλί, απθηκύνται, σ κάθ ρνικό βήµα, στη µνήµη τυ υπλγιστή. Στην πρίπτση, όµς, τυ «ανιτύ» ώρυ πυ αναφέραµ παραπάν, ακριβώς πιδή η έκταση πυ καταλαµβάνι ίναι απριόριστη ubudd, ίναι φανρό ότι δν µπρύµ να τν ρίσυµ λόκληρ σ ρικά κλιά και να βρύµ τις τιµές τν ζητύµνν πδιακών συνιστσών σ κάθ ένα απ αυτά, αφύ κανένας υπλγιστής δν µπρί να απθηκύσι στη µνήµη τυ απριόριστ αριθµό υπλγιζόµνν τιµών. Έτσι, στις πριπτώσις αυτές, αναγκαζόµαστ να κάνυµ τ ξής: Θρύµ µια ππρασµένη πριή, πυ ίναι αυτή η πία µας νδιαφέρι από τν υπό µλέτη ώρ, και τη ρίζυµ σ έναν καθρισµέν από µάς, ππρασµέν πια, αριθµό ρικών κλιών. Αυτό σηµαίνι, ότι υπλγιστικός ώρς µ τν πί µντλπιύµ τη διάδση νός κύµατς σ έναν «ανιτό», άπιρης έκτασης ώρ, ίναι ππρασµένς, έι δηλαδή κάπι ξτρικό όρι. Τ ξτρικό αυτό όρι τυ υπλγιστικύ µας ώρυ πρκύπτι, όπς ίπαµ, από την πρφανή αδυναµία µας να πρσµιώσυµ τη διάδση νός ηλκτρµαγνητικύ κύµατς µέρι τ άπιρ ξαιτίας της ππρασµένης υπλγιστικής µνήµης πυ διαθέτυµ, και ίναι φανρό ότι δν υπάρι στην πραγµατικότητα για την πρίπτση, πάντα, τυ «ανιτύ» ώρυ. Η ισαγγή τυ, πµένς, συνιστά µια απόκλιση από την πραγµατικότητα πυ έι την ξής πλύ σηµαντική πίπτση σ ότι αφρά την µαλή ξέλιξη τυ αλγρίθµυ µας: Όταν τ αριθµητικό κύµα φτάσι στ ξτρικό όρι τυ 8

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ υπλγιστικύ ώρυ, ανακλάται πρς τα πίσ, πρς τ στρικό τυ κέντρ, ακριβώς πιδή πι πέρα από τ ν λόγ ξτρικό όρι δν έυµ ρίσι κάπιν υπλγιστικό ώρ. Κατά συνέπια, τ αριθµητικό κύµα «θρί» ότι κί τρµατίζται ώρς και ανακλάται πρς τα πίσ, κινύµν πρς τ στρικό τυ υπλγιστικύ ώρυ απ όπυ ξκίνησ. Όλα αυτά µπρύν να φανύν µ τρόπ καθαρό και ύληπτ µ τη βήθια τν παρακάτ σηµάτν Σ..3, α στ, όπυ ικνίζνται ι διαδικές φάσις της: δη- µιυργίας διάδσης και πρς τις δύ κατυθύνσις ανάκλασης στ τέλς τυ υπλγιστικύ ώρυ, νός ηλκτρµαγνητικύ παλµύ Γκαυσιανής µρφής, πίς πρσµιώνι τη διάδση νός πραγµατικύ, αντίστιυ, παλµύ στν λύθρ ώρ. Ο υπλγιστικός ώρς πυ µντλπιί τν κνό πραγµατικό ώρ δν µπρί, - πς πραναφέραµ, να ίναι άπιρς να έι δηλαδή άπιρ αριθµό κλιών γι αυτό και θρύµ ότι απτλίται από 00, έστ, κλιά, η δ πηγή διέγρση πυ δηµιυργί τν παλµό τίθται στ 00ό κλί, στ µέσ δηλαδή τυ υπλγιστικύ ώρυ. Στα Σ..3 α δ, φαίννται ι διαδικές φάσις της δηµιυργίας και της διάδσης τυ ν λόγ παλµύ: Στ 30ό ρνικό βήµα α Γκαυσιανός παλµός δν έι ακόµα σηµατιστί λκληρτικά, στ 40ό βήµα λκληρώνται σηµατισµός τυ παλµύ πότ αυτός φαίνται καθαρά Σ. β να απκτά την Γκαυσιανή µρφή πυ έι ριστί να πάρι, στ 76 ρνικό βήµα λκληρώνται ρισµός τυ αρικύ παλµύ σ παλµύς παρ..3.3, πίσης Γκαυσιανής µρφής, πυ διαδίδνται αντίθτα ένας πρς τ κάτ, και άλλς πρς τ πάν όρι τυ υπλγιστικύ ώρυ και ι πίι ακριβώς στ 00ό ρνικό βήµα φτάνυν στα δύ άκρα τυ υπλγιστικύ ώρυ Σ. δ. Μέρι δώ δν υπάρι κανένα πρόβληµα, πράγµα τ πί σηµαίνι ότι «αριθµητικός» παλµός τυ παραδίγµατός µας πρσµιώνι µ τρόπ ακριβή τη διάδση τυ αντίστιυ πραγµατικύ κύµατς. Από τ 00ό, όµς, ρνικό βήµα και µτά ι πραγµατικί Γκαυσιανί παλµί, φόσν διαδίδνται στν λύθρ ώρ, θα συνίσυν καννικά την πρία τυς πρς τ άπιρ και πµένς θα έπρπ, για να ίναι ακριβής αλγόριθµός µας, να συµβαίνι τ ίδι και µ τ αριθµητικό κύµα. Ωστόσ, για τ λόγ πυ ξηγήσαµ στη σλίδα 9 και όπς φαίνται και από τα Σ..3 στ, ι δύ Γκαυσιανί παλµί τυ αριθµητικύ κύµατς δν συνίζυν να διαδίδνται κι άλλ, αλλά ανακλώνται πλήρς από τις δύ ριακές πιφάνις τυ υπλγιστικύ ώρυ. Μάλιστα, όπς φαίνται από τ Σ..3 στ, µτά την ανάκλαση τυς ι δύ παλµί τυ αριθµητικύ κύµατς συνίζυν να διαδίδνται κατά την αντίθτη φρά απ αυτήν πυ διαδίδνταν στην αρή, δηλαδή διαδίδνται πλέν πρς τα πίσ, πρς 9

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ α β γ δ στ Σήµα.3 ιαδικές φάσις α - στ της διάδσης νός ηλκτρµαγνητικύ παλ- µύ Γκαυσιανής µρφής, σ έναν µνδιάστατ αριθµητικό ώρ 00 κλιών όταν τλυταίς δν έι κάπια απρρφητική συνθήκη στα άκρα τυ. 0

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ τ στρικό κέντρ τυ υπλγιστικύ ώρυ. Οι δύ ριακές πιφάνις τυ υπλγιστικύ ώρυ συµπριφέρθηκαν, δηλαδή, όπς ακριβώς ένα τλίς αγώγιµ µέσ, αναγκάζντας τυς πρσπίπτντς παλµύς να ανακλαστύν πλήρς και να αρίσυν πλέν να διαδίδνται κατά την αντίθτη κατύθυνση. Τ γγνός αυτό, όπς ίναι φανρό, συνιστά µια σηµαντική απόκλιση από την πραγµατικότητα τυ αλγρίθµυ της FT και ίναι πρφανές ότι πρέπι µ κάπι τρόπ να αντιµτπιστί, δηλαδή πρέπι να βρύµ έναν τρόπ µ τν πί θα µπρύµ να πρσµιώνυµ τη διάδση νός πραγµατικύ κύµατς µέρι τ άπιρ. Αυτό ακριβώς καταφέρνυµ να κάνυµ µ την φαρµγή κάπιας «απρρφητικής συνθήκης» στις ριακές πιφάνις, γνικά, νός υπλγιστικύ ώρυ. Οι «απρρφητικές» αυτές συνθήκς δν ίναι απαραίτητ να φαρµστύν ακριβώς πάν στις ριακές πιφάνις στα ριακά, δηλαδή, µόν πίπδα, για την πρίπτση τν τριών διαστάσν αλλά, γνικότρα, σ ένα στνό, ξτρικό ρί πυ θα πριβάλλι τν υπλγιστικό µας ώρ. Μ την φαρµγή, λιπόν, κάπιας απρρφητικής συνθήκης, σκπός µας ίναι να ξαλίψυµ, όσ γίνται πρισσότρ, τη δηµιυργία τν ανπιθύµητν, ψυδώς ανακλώµνν κυµάτν spurusly rflcd wavs πυ µφανίζνται στις ριακές πιφάνις τυ υπλγιστικύ µας ώρυ, και να πιτρέψυµ µόν την πρς τα έξ ξτρική διάδση τυ αριθµητικύ κύµατς. Στ παράδιγµά µας, αν µ κάπια τνική απρρφητική συνθήκη τ πιτύυµ αυτό, τότ αυτό πυ θα πρκύψι φαίνται στα Σ..4 α & β. Παρατηρύµ ότι, σ αντίθση µ την πρίπτση πυ δν ίαµ φαρµόσι κάπια απρρφητική συνθήκη τα αντίστια σήµατα ίναι τα: Σ..3 & ζ, ι Γκαυσιανί παλµί συνίζυν να διαδίδνται καννικά πρς τα έξ Σ..4 α, και µτά από λίγ στ 30 ρνικό βήµα έυν πλέν αθί τλίς από τν υπλγιστικό µας ώρ και θρίται ότι συνίζυν καννικά τη διάδσή τυς µέρι τ άπιρ. Πρισσότρα για τν ακριβή τρόπ ισαγγής τν απρρφητικών συνθηκών, θα αναφέρυµ στ κφάλαι 5. κί, θα ασληθύµ µ την απρρφητική συνθήκη πρώτης τάξης τυ Mur, η πία ρησιµπιήθηκ στις φαρµγές τυ ν λόγ κφαλαίυ.

ΚΦΑΛΑΙΟ Η ΜΘΟΟΣ ΤΩΝ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ α β Σήµα.4 Οι δύ τλυταίς φάσις διάδσης τυ παλµύ τυ Σ..3, όταν πλέν έ- υµ φαρµόσι κάπια απρρφητική συνθήκη στα δύ όρια άκρα τυ υπλγιστικύ ώρυ.

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ 3. ισαγγή Όπς ίδαµ στα πρηγύµνα δύ κφάλαια η µέθδς τν ππρασµένν διαφρών στ πδί τυ ρόνυ FT έι αναδιθί σ ένα ιδιαίτρα ρήσιµ ργαλί για τη µλέτη νός υρές φάσµατς ηλκτρµαγνητικών πρβληµάτν και πρακτικών πδιακών φαρµγών. Αυτές ξκινύν από στρατιτικές φαρµγές, όπυ νδιαφέρι η µλέτη της αλληλπίδρασης τυ ηλκτρµαγνητικύ κύµατς µ µταλλικά αντικίµνα και φθάνυν µέρι τις κάθ ίδυς βιϊατρικές φαρµγές, όπς ίναι υπλγισµός της ηλκτρµαγνητικής ακτινβλίας πυ διαπρνά τυς ανθρώπινυς ιστύς από κντινά ή µακρινά πδία, µ σκπό την πρφύλαξη από τυόν κινδύνυς πυ γκυµνί η έκθση σ αυτήν. Υπάρυν ακόµη πριπτώσις βιϊατρικών φαρµγών όπυ µλτάται η ρήση της ηλκτρµαγνητικής ακτινβλίας για θραπυτικύς σκπύς, καθώς µέσ της θρµότητας πυ αυτή αναπτύσσι στυς ανθρώπινυς ιστύς µπρύν να πρκύψυν ακόµα και θραπυτικά φέλη θραπία µρφών καρκίνυ κτλ. Ωστόσ, πιδή όπς φανρώνι και η νµασία της η FT ίναι µια µέθδς πυ φαρµόζται στ πδί τυ ρόνυ, για αρκτά ρόνια ρησιµπιύνταν κυρίς για την πρσµίση της αλληλπίδρασης νός συγκκριµένυ, συνήθς ηµιτνιδύς µρφής, κύµατς µ κάπι υλικό πυ νδιέφρ. Η νσµάτση στη µθδλγία της FT, αλγρίθµν πυ ρησιµπιύν τν µτασηµατισµό Furr [],[5]/[6] διυκόλυν σηµαντικά την απόκτηση πληρφρίας για µγάλα ύρη συντήτν ή ανάλγα µ την φαρµγή και για µµνµένς συνότητς, µ ένα µόν «τρέξιµ» τυ πργράµµατς. Παρόλα αυτά η FT αδυνατύσ να φαρµστί απτλσµατικά σ βιϊατρικές ή άλλυ ίδυς φαρµγές πυ πριλαµβάνυν συντική ξάρτηση τν ηλκτρµαγνητικών «σταθρών»,µ,σ τυ υπό ξέταση υλικύ, ακριβώς πιδή η αρική της µθδλγία πρϋπέθτ τ ότι τα,µ,σ ίναι σταθρί αριθµί ρίς καµία απλύτς ξάρτηση από τη συνότητα. 3

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Υπάρυν στόσ υλικά, όπς ίναι τ πλάσµα, ι φρίττς, τ νρό ή τ γυαλί στις πτικές ίνς, για τα πία η παραπάν θώρηση δν ισύι για µγάλς ζώνς συντήτν. Τα συντικώς ξαρτώµνα αυτά µέσα νµάζνται µέσα µ διασπρά. Η διασπρά, δώ, έι την έννια της ξάρτησης από τη συνότητα της διηλκτρικής σταθράς ή/και της µαγνητικής διαπρατότητας µ τυ υπό ξέταση υλικύ, για αµηλές ντάσις της πρσπίπτυσας ηλκτρµαγνητικής ακτινβλίας πότ δ λαµβάνυµ υπόψη µας και την, τυόν, µη γραµµικότητα τυ υλικύ. Τ απτέλσµα της µφάνισής της ίναι η αλλίση της µρφής τυ φακέλυ τυ παλµύ, πυ φίλται στη διαφρτική ταύτητα µ την πία διαδίδνται ι διάφρς «συνιστώσς κύµατα» από τα - πία αυτός απτλίται. Οι διάφρς τρππιήσις της FT για την αντιµτώπιση και αυτών τν υλικών ίναι τ θέµα µ τ πί θα ασληθύµ κτνώς στ πόµν κφάλαι. δώ, θα α- ναφρθύµ σύντµα στις ξισώσις πυ ισύυν στα υλικά µ διασπρά, στις αρακτηριστικές τυς ιδιότητς καθώς και σ ρισµένα παραδίγµατα τέτιν υλικών πυ συναντώνται συνά, και τν πίν η µντλπίηση θα µας απασλήσι κτνώς στ κφάλαι 4. Η όλη ανάλυση, λιπόν, πυ θα γίνι στ παρόν κφάλαι, στό έι να βηθήσι στην πι µαλή και φυσική µτάβαση στα όσα θα κθέσυµ στ 4 κφάλαι, όπυ πριγράφνται ι µέθδι-πέκτασης της FT για την µντλπίηση τν υλικών µ διασπρά. 3. ύ παραδίγµατα για τις ξισώσις τυ Maxwll σ µέσα µ διασπρά Στ πρώτ από τα δύ αυτά παραδίγµατα σκπός µας ίναι να αναδίξυµ και να τνίσυµ κάτι τ πί ίναι πλύ σηµαντικό για τα όσα θα ακλυθήσυν στις πό- µνς παραγράφυς: Σ ένα µέσ µ διασπρά, η σέση.0 τυ πρηγύµνυ κφαλαίυ E, µ τη µρφή, δηλαδή, πλλαπλασιασµύ στ β µέλς, ισύι µό- r r ν στ πδί της συνότητας και όι και στ πδί τυ ρόνυ. Στ πδί τυ ρόνυ η σέση πυ συνδέι τ διάνυσµα της διηλκτρικής µτατόπισης r µ τ διάνυσµα της ηλκτρικής πδιακής έντασης E r, για τα µέσα µ διασπρά, έι τη µρφή συνέλιξης και όι πλλαπλασιασµύ. Ας ξτάσυµ, σύντµα, την πρίπτση νός διηλκτρικύ µ απώλις. Ένα διηλκτρικό µ ηλκτρικές απώλις συµπριφέρται, όπς θα διαπιστώσυ- 4

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ µ αµέσς παρακάτ, ακριβώς όπς ένα µέσ µ διασπρά, αν και για τ ν λόγ υλικό η διηλκτρική σταθρά ίναι ένας σταθρός αριθµός, ανξάρτητς της συνότητας. Για τ µέσ αυτό ισύυν ι ξισώσις.,.6 και.8, τις πίς παναλαµβάνυµ ξανά κι δώ για λόγυς ύκλης αναφράς: r r r Η J 3. r r ισύι στ πδί τυ ρόνυ, φόσν τ ίναι σταθρό 3. r r J σ. 3.3 ξάλλυ, αν θρήσυµ ότι ξτάζυµ ένα πδί πυ µταβάλλται ηµιτνιδώς µ µια κυκλική συνότητα, ι παραπάν σέσις, στ πδί της συνότητας γράφνται: &r &r &r Η j 3.4 J &r &r 3.5 &r &r J σ, 3.6 όπυ η τλία πάν από τα διανύσµατα τν πδιακών µγθών δηλώνι µιγαδικά µγέθη. Η 3.4, µ βάση τις 3.5 και 3.6, γράφται ισδύναµα ς: &r &r σ &r &r &r Η σ j j j j j r r Η, 3.7 µ : &r &r, 3.8 και : σ. 3.9 j Παρατηρύµ ότι η σέση 3.7 έι παρόµια µρφή µ την., µ µόνη διαφρά την 5

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ απυσία τυ όρυ J r, η ύπαρξη τυ πίυ έι νσµατθί στην έκφραση πυ δίνι την ισδύναµη µιγαδική διηλκτρική σταθρά για τ διηλκτρικό µ απώλις ξ. 3.9. Έτσι, η σέση 3.7, µας θυµίζι τη διαφρική µρφή τυ νόµυ τυ Apr για τν λύθρ ώρ. πιδή, τώρα, η πραναφρθίσα ισδύναµη διηλκτρική σταθρά ξαρτάται, όπς φαίνται από την 3.9, από τη συνότητα, ίναι πρφανές ότι τ µη τέλι διηλκτρικό θα παρυσιάζι κι αυτό διασπρά, δηλαδή διαφρτικές συντικές συνιστώσς της πρσπίπτυσας ακτινβλίας θα διαδίδνται µέσα στ µέσ µ διαφρτικές ταύτητς. Πρσέυµ ακόµη ότι η σέση 3.8, ισύι στ πδί της συνότητας, φόσν αναφέρται στα µιγαδικά διανύσµατα ζνται µόν για τ πδί αυτό. &r και &r, τα πία, ς γνστό, έυν νόηµα ρί- Στ δύτρ παράδιγµά µας θα αναφρθύµ στις ξισώσις πυ πριγράφυν τη διασπρά σ µια πτική ίνα. Στην πρίπτση αυτή θρύµ ότι δν υπάρυν απώλις ηλκτρικής ή µαγνητικής µρφής, µ την έννια της παρυσίας τν J r και J r στις ξισώσις. και., πότ αυτές παίρνυν την απλή µρφή: r r Β, 3.0 r r Η. 3. Ωστόσ, λόγ τν πλύ υψηλών πτικών συντήτν, στην ξίσση.6 πυ συνδέι τ διάνυσµα r µ τ διάνυσµα r, ισάγται και τ διάνυσµα P r της παγόµνης η- λκτρικής πόλσης, πότ η παραπάν σέση γράφται ς: r r r P. 3. Ο αρακτηρισµός «ισδύναµη» έι να κάνι µ τ ότι τ συνδέι τα &r και &r ξ. 3.8 µ τν ίδι ακριβώς τρόπ πυ συνδέι τ διηλκτρική σταθρά τα r και r ξ..6, δηλαδή µ τη µρφή πλλαπλασιασµύ στ β µέλς τν ξισώσν. Συνπώς, µπρί να θρηθί σα µια «ισδύναµη» µιγαδική διηλκτρική σταθρά. Για τις πτικές ίνς η παγόµνη µαγνητική πόλση ίναι µηδέν M r 0, λόγ της µη µαγνητικής φύσης τυ γυαλιύ από πυρίτι, και συνπώς η καταστατική ξίσση.5 ξακλυθί να έι τη µρφή: Β µ Η ίναι: µ r r. r 6

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Η κτίµηση της ηλκτρικής πόλσης P r απαιτί µια µικρσκπική/κβαντµηανική πρσέγγιση. Παρόλ πυ µια τέτια πρσέγγιση ίναι υσιαστική όταν η πτική συνότητα πλησιάζι τ συντνισµό τυ µέσυ, µία µακρσκπική/φαινµνλγική phlgcal σέση µταξύ τυ P r και τυ r µπρί να ρησιµπιηθί πέρα από τν συντνισµό τυ µέσυ. Έτσι συµβαίνι µ τις πτικές ίνς σ µήκς κύµατς 0,5 µ, µβέλια πυ καλύπτι την πριή αµηλής απώλιας τν πτικών ινών, πυ µας νδιαφέρι για πικιννία συστηµάτν πτικών ινών. Γνικά, η σέση µταξύ P r και r, µπρί να µην ίναι γραµµική. Παρόλ πυ τα µη γραµµικά φαινόµνα στις - πτικές ίνς ίναι ιδιαίτρα νδιαφέρντα µπρύµ, πρς τ παρόν, να τα αγνήσυµ στν σλιασµό τν διαφόρν τρόπν µτάδσης στις πτικές ίνς. Τότ τ P r στίζται µ τ r, στ πδί τυ ρόνυ, µέσ της ξής πλύ βασικής σέσης: r r r r r P,, τ, τ dτ, 3.3 όπυ η ηλκτρική πιδκτικότητα τυ υλικύ γυαλί από τ πί ίναι κατασκυασµένς πυρήνας της πτικής ίνας. Η γραµµική πιδκτικότητα απτλί, συνήθς, τανυστή δύτρης τάξης, αλλά υπβιβάζται σ βαθµτό µέγθς για ένα ιστρπικό µέσ, όπς τ γυαλί πυριτίυ. Παίρνντας, τώρα, τη στρφή της ξίσσης στη σέση 3.0 και, µ βάση τις παραδές πυ έυµ κάνι ς τώρα, M r, µ και τις σέσις 3., 3. και.5 υπσηµίση, παίρνυµ την ξίσση κύµατς µέσα σ µια πτική ίνα: r r c r r P µ, 3.4 όπυ c ταύτητα τυ φτός στν κνό ώρ. ισάγντας τ µτασηµατισµό Furr r τυ r, 3 µέσ της σέσης: ~ r r r r r, r, d, 3.5 r 3 Παίρνντας τ µτασηµατισµό Furr τυ r,, υιθτύµ, έµµσα, και όλς τις παραδές πυ αυτός συνπάγται για τη γραµµικότητα και συνέια τν συναρτήσν. 7

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ r καθώς και µία παρόµια σέση για τ P r,, και δδµένυ ότι: ~ r r ~ r ~ r r P,,,, 3.6 όπς πρκύπτι απ τη σέση 3.3 αν την µταφέρυµ στ πδί της συνότητας, η 3.4 µπρί, στ πδί της συνότητας, να γραφί ς: ~ r ~ r r, / c, 3.7 όπυ η διηλκτρική σταθρά όι: «ισδύναµη», όπς στ πρηγύµν παράδιγµα πυ ξαρτάται από τη συνότητα, ρίζται ς: r ~ r,,, 3.8 και ~ r, ίναι µτασηµατισµός Furr της r,. Γνικά, η r, ίναι µιγαδική. Τόσ τ πραγµατικό όσ και τ φανταστικό µέρς της στίζνται µ τν δίκτη διάθλασης και µ τν συντλστή απρρόφησης α 4, µ τν τύπ: α c /. 3.9 Χρησιµπιώντας τις ξισώσις 3.8 και 3.9, ι και α στίζνται µ τ ~, ς ξής: ~ / R, 3.0 α / c I ~, 3. όπυ R και I συµβλίζυν τ πραγµατικό και τ φανταστικό µέρς τυ ~, αντίστια. Και ι δύ αυτές παράµτρι, και α, ξαρτώνται, όπς πρκύπτι απ τις σέσις 3.0 και 3., από τη συνότητα. Η ξάρτηση αυτή τυ δίκτη διάθλασης, α- ναφέρται σαν ρµατική διασπρά ή απλώς σαν διασπρά υλικύ, και πριρίζι τη 4 Ο συντλστής αυτός, στίζται µ την απρρόφηση τυ µταδιδόµνυ φτός από τ υλικό της ίνας. 8

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ λιτυργικότητα τν συστηµάτν πικιννίας πτικών ινών µ τρόπ καταλυτικό πριρισµί τυ ρυθµύ µτάδσης b κτλ. 3.3 Τα υλικά by, rud και Lr Μ τα δύ πρηγύµνα παραδίγµατα κάναµ µια πρώτη πρσέγγιση τυ φαινµένυ της διασπράς, πυ µφανίζται σ διάφρα µέσα καθώς και τν ξισώσν πυ την πριγράφυν, ι πίς, όπς θα δύµ, θα µας φανύν ρήσιµς και για τα όσα θα αναφέρυµ στη συνέια. Στην παρύσα διπλµατική ργασία τα υλικά πυ ξτάζνται ανήκυν σ τρις πλύ συνήθις, µγάλς κατηγρίς υλικών πυ παρυσιάζυν διασπρά. Η πρώτη αναφέρται στα υλικά by, η δύτρη στα υλικά rud και η τρίτη στα υλικά Lr. Στην παράγραφ αυτή θα αναφέρυµ µρικά στιία για την κάθ µία και θα σλιάσυµ ρισµένα νδιαφέρντα αρακτηριστικά τν υλικών πυ ανήκυν σ αυτές, ώστ να διυκλύνυµ και την ανάλυση πυ θα ακλυθήσι αργότρα. Υλικά by Η πρώτη και πι απλή κατηγρία πυ θα µλτήσυµ ίναι αυτή πυ πριλαµβάνι υλικά µ διασπρά, για τα πία η µιγαδική διηλκτρική σταθρά πριγράφται, στ πδί της συνότητας, από µια ξίσση µ ένα µόν πόλ, πρώτης τάξης. Τα υλικά αυτά ίναι γνστά ς «υλικά by» και η σέση πυ δίνι την ξάρτηση της στικής µιγαδικής διηλκτρικής σταθράς τυς από τη συνότητα ίναι η ξής: s r j, 3. όπυ: s, 3.3 j ίναι η ηλκτρική πιδκτικότητα τυ υλικύ στ πδί της συνότητας. Παρατηρύµ 9

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ότι η σέση 3. ίναι όµια µ τη σέση 3.8, η πία ίναι γνική και ισύι, όπς θα δύµ παρακάτ, και για τις άλλς δύ κατηγρίς υλικών. Η µιότητα αυτή φίλται στ ότι στη σέση πυ δίνι τ r έυµ, µµέσς, συµπριλάβι και τη πίδραση της ηλκτρικής πόλσης P r, για τυς ίδιυς λόγυς πυ αναφέραµ και στ παράδιγµα µ την πτική ίνα. Στη σέση 3., µ συµβλίζται η στική διηλκτρική σταθρά για, νώ s ίναι συµβλισµός για τη στατική sac στική διηλκτρική σταθρά στη µηδνική συνότητα 0, dc και ίναι ρόνς αλάρσης τυ υλικύ σταθρά ρνικής αλάρσης by. Ένα σύνηθς υλικό αυτής της κατηγρίας ίναι τ νρό, µ τιµές πυ αλλάζυν ανάλγα µ την πίση και τη θρµκρασία για τις τρις παραπάν παραµέτρυς:,8, s 8 και 9,4 psc. Μ αυτές τις τιµές, τ πραγµατικό και τ φανταστικό µέρς της r φαίνται στ παρακάτ σήµα: Σήµα 3. Γραφική παράσταση της µιγαδικής στικής διηλκτρικής σταθράς τυ νρύ πραγµατικό/φανταστικό µέρς συναρτήσι της κυκλικής συνότητας. Όπς φαίνται από τ παραπάν σήµα, υπάρι µία σαφής µταβλή τόσ τυ πραγ- µατικύ όσ και τυ φανταστικύ µέρυς της r καθώς η συνότητα µταβάλλται για µγάλς τιµές της, και συνπώς δν θα ήταν ακριβές στα πρβλήµατα πυ µλτάµ να θρύµ ότι τ r ίναι σταθρό για την παραπάν ζώνη συντήτν 0-80 GH. Λαµβάνντας, τώρα, υπόψη µας ότι, γνικά, ισύι τ παρακάτ ζύγς 30

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ µτασηµατισµύ Furr: a FT u, 3.4 j a η σέση 3.4, γράφται στ πδί τυ ρόνυ ς: s u 5, 3.5 όπυ u η µναδιαία βηµατική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση της για τις τυπικές τιµές τν παραµέτρν, s και, φαίνται παρακάτ: Σήµα 3. Γραφική παράσταση της ηλκτρικής πιδκτικότητας τυ νρύ συναρτήσι τυ ρόνυ, sc Όπς παρατηρύµ από τ Σ. 3., η ηλκτρική πιδκτικότητα τυ νρύ φθίνι ταές κθτικά µ τ ρόν και µηδνίζται µτά από πρίπυ 55 psc. Η µρφή της γραφικής αυτής παράστασης υσιαστικά κφράζι την απόκριση τυ νρύ σ µια απότµη, στιγµιαία µταβλή τυ ηλκτρικύ πδίυ ώση, δηλαδή, µ βάση και τις σέ- 5 πιδή, ς γνστό, η συνάρτηση u ρίζται για > 0 για 0 δν ρίζται, η ρίζται µόν για θτικύς ρόνυς, ίναι δηλαδή αιτιατή. Γι αυτό και στ Σ. 3. η γραφική παράσταση της δν ξκινά ακριβώς από τ 0, αλλά λίγ αργότρα συγκκριµένα, δώ, από τ: 0, 0 - sc ή psc, και µτά. 3

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ σις 3. και 3.3, δίνι ότι η τιµή της διηλκτρικής µτατόπισης r σ ένα τέτι µέσ κα για την παραπάν διέγρση ώση, ακαριαία απκτά τη µέγιστη τιµή της και ν συνία φθίνι κθτικά µέρι τη τιµή µηδέν. Αξίζι, τέλς, να τνίσυµ και κάτι ακόµα τ πί θα συναντήσυµ και στην πριγραφή τν υλικών rud: Όπς πρκύπτι από τη σέση 3.5 και από τ Σ. 3., η συνάρτηση ίναι αιτιατή causal, δηλαδή ισύται µ µηδέν για αρνητικύς ρόνυς, τ πί σηµαίνι ότι τ υλικό δν ανταπκρίνται σ µια διέγρση πρτύ αυτή συµβί, πρτύ, δηλαδή, τ ηλκτρµαγνητικό κύµα ισαθί µέσα στ υλικό µ διασπρά. Αυτός ίναι ένας θ- µλιώδης πριρισµός πυ ισύι για τ, τ πί, σύµφνα µ αυτόν, θα πρέπι να έι αντίστρφ µτασηµατισµό Furr πυ να ίναι αιτιατή συνάρτηση. Υλικά rud Τα υλικά rud ίναι λαφρώς πι πλύπλκα απ τα υλικά by πυ ίδαµ στην πρηγύµνη παράγραφ. Αυτό φαίνται και από τη σέση πυ δίνι τη µιγαδική στική διηλκτρική τυς σταθρά στ πδί της συνότητας: r jv c p, 3.6 όπυ p η κυκλική συνότητα πλάσµατς και v c η συνότητα κρύσης. Μ βάση την 3.8, ίναι πρφανές ότι για την ηλκτρική πιδκτικότητα, θα ισύι: jv c p, 3.7 όπυ, πρφανώς, θρίται ότι. Σ πλλά βιβλία [6] η συνάρτηση πιδκτικό- τητας στ πδί τυ ρόνυ θρίται ότι δίνται από την παρακάτ σέση: p vc u, 3.8 v c µ την πία, τα δυναµικά πυ υπλγίζνται µ τις µθόδυς-πρκτάσις της FT 3

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ πυ θα δύµ παρακάτ, ίναι ικανπητικά ακριβή δηλαδή συµφνύν µ τα πιρα- µατικά δδµένα [6]. Παρόλα αυτά, λαµβάνντας υπόψη µας ότι ισύυν τα ζύγη µτασηµατισµύ Furr: u π δ, 3.9 j FT και 3.4, ύκλα µπρί να διτί ότι στ πδί της συνότητας η 3.8 γράφται ς: 3.6 π v c p δ jv c p. 3.30 Παρατηρύµ, δηλαδή, ότι µτασηµατισµός Furr της έτσι όπς 3.8 αυτή δίνται από τη σέση 3.8 διαφέρι από την πραγµατική συνάρτηση πιδκτικότητας τυ υλικύ, ξ. 3.7 στη συνότητα 0, κατά τν όρ: π v c p δ. Ένας άλλς ξίσυ δηµφιλής τρόπς, µ τν πί απφύγται αυτή η µικρή απόκλιση/ανακρίβια, και ταυτόρνα µας δίνι την υέρια να µην µταβάλυµ σηµαντικά τις ξισώσις πυ µντλπιύν µ τη µέθδ της παναληπτικής συνέλιξης πυ θα δύµ στην παράγραφ 4. τυ πόµνυ κφαλαίυ τα µέσα µ διασπρά by, ίναι, κατ αρήν, να αναπτύξυµ την r µρικών κλασµάτν, δηλαδή: ξ. 3.6 σαν άθρισµα r p / vc p / vc. 3.3 j j v c Στη συνέια, απ την ισδύναµη µιγαδική στική διηλκτρική σταθρά τν «διηλκτρικών µ απώλις» ξ. 3.9, µ τ α και β µέλς διαιρµένα µ τ διηλ- κτρική σταθρά τυ κνύ, µπρύµ να κρατήσυµ µόν τν όρ σ j, - πίς δηλώνι την ύπαρξη αγγιµότητας και στη µηδνική συνότητα 0, και να 33

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ τν πρσθέσυµ στην ξίσση πυ δίνι τ r στα µέσα µ διασπρά by, θρώντας έτσι ότι ένα µέσ µ διασπρά rud ίναι στην υσία ένα µέσ µ διασπρά by, στ πί όµς η αγγιµότητα σ δν ίναι µηδνική. Έτσι, λιπόν, µπρύµ να γράψυµ ότι: σ r by j r rud by σ j s σ r rud. 3.3 j j Συγκρίνντας την τλυταία αυτή ξίσση µ την 3.3, πρκύπτι ότι υπάρι αντιστιία όταν: p p, s, και : σ v. 3.33 c vc vc Οι ξισώσις 3.3-3.33 θα µας φανύν, όπς ήδη πραναφέραµ, ιδιαίτρα ρήσιµς στην πριγραφή της µθόδυ της παναληπτικής συνέλιξης Rcursv Cvlu Mhd στα υλικά rud. Θα κλίσυµ την παράγραφ αυτή, αναφρόµνι στ πι αρακτηριστικό παράδιγµα υλικύ αυτής της κατηγρίας, πυ ίναι τ πλάσµα. Τ πλάσµα ίναι ένα ξαιρτικά νδιαφέρν υλικό καθότι για διαφρτικές συνότητς µφανίζται σαν ένα τλίς διαφρτικό µέσ. Για αµηλές συνότητς δηλαδή για συνότητς πλύ µικρότρς από τη «συνότητα πλάσµατς» f p µιάζι µ τλίς αγώγιµ µέσ, νώ για συνότητς πλύ πι πάν από την f p µιάζι µ τν λύθρ ώρ. Ακριβώς στη συνότητα πλάσµατς, µια κατάσταση πυ ίναι γνστή ς «ηλκτρνιακός συντνισµός» lcr rsac ή «συντνισµός πλάσµατς» Plasa rsac, η διηλκτρική τυ σταθρά πέφτι πρίπυ στ µηδέν. Τα παραπάν ικνίζνται συνπτικά στν πίνακα πυ ακλυθί, όπυ για p 000 ΤΗ και v c 57 TH, και για 3 διαφρτικές συνότητς δίννται ι τιµές της διηλκτρικής σταθρά τυ πλάσµατς [4] και η συ- µπριφρά πυ αυτό έι: 34

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Συνότητα ιηλκτρική σταθρά µφανίζται σαν: 00 TH - 98-4,5 Τλίς αγώγιµ µέσ 000 TH -0,000454 "Συντνισµός Πλάσµατς" 4000 TH 0,75-0,00057 λύθρς ώρς Πίνακας 3. Η µιγαδική διηλκτρική σταθρά τυ πλάσµατς ρησιµπιώντας τα αρακτηριστικά τυ αργύρυ p 000 ΤΗ, v c 57 TH. Οι παραπάν τρις διαφρτικές συνότητς αντιστιύν σ πλύ διαφρτικές τιµές της διηλκτρικής σταθράς, ι πίς κάνυν τ πλάσµα να µιάζι µ ένα τλίς διαφρτικό υλικό για καθµιά απ τις συνότητς. Μια φαινµνλγική ξήγηση για την παράξνη αυτή συµπριφρά τυ πλάσµατς µπρί, ς ένα σηµί, να δθί µ τη βήθια της γραφικής παράστασης πυ ικνίζται στ παρακάτ σήµα. Στ σήµα αυτό παριστάνται τ πραγµατικό και τ φανταστικό µέρς της µιγαδικής στικής διηλκτρικής σταθράς τυ πλάσµατς ξ. 3.3 & 3.33 συναρτήσι της κυκλικής συνότητας 0-80 GH, για πιλγή της συνότητας πλάσµατς: p 8,7 GH και της συνότητας κρύσης: v c 0, 0 0 H. Όπς βλέπυµ, κντά στη συνότητα p, τ πραγµατικό µέρς της διηλκτρικής σταθράς αλλάζι πρόσηµ. Κάτ, λιπόν, απ αυτή τη συνότητα τ πλάσµα συµπριφέρται υπό µία έννια σαν «κυµατδηγός», κάτ απ τη συνότητα απκπής τυ πίυ δ διαδίδται κανένα ηλκτρµαγνητικό κύµα 6. Πάν από τη συνότητα πλάσµατς «συνότητα απκπής» για τ πλάσµα τα ηλκτρµαγνητικά κύµατα αρίζυν να διαδίδνται σιγά-σιγά, µ απώλις πυ βαθµιαία µιώννται όσ η συνότητα µγαλώνι και έτσι τ πλάσµα τίνι να µιάσι µ τν λύθρ ώρ. 6 Αυτό, ισδύναµα, σ ότι αφρά τ πλάσµα, σηµαίνι ότι µέσα τυ δν µπρί να διαδθί κανένα ηλκτρµαγνητικό κύµα, και πµένς αυτό µιάζι µ µέταλλ Πινακας 3.. 35

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Σήµα 3.3 Γραφική παράσταση της µιγαδικής στικής διηλκτρικής σταθράς τυ πλάσµατς πραγµατικό/φανταστικό µέρς συναρτήσι της κυκλικής συνότητας. Υλικά Lr Θα κλίσυµ τ κφάλαι αυτό αναφρόµνι στην τρίτη κατηγρία υλικών µ διασπρά πυ θα µας απασλήσυν, τα υλικά Lr. Στις δύ πρηγύµνς κατηγρίς υλικών πυ ίδαµ ι πόλι της συνάρτησης της µιγαδικής στικής διηλκτρικής σταθράς r ήταν απλί πόλι, πρώτης τάξης ίτ στ: 0, ίτ αλλύ. Υπάρυν, στόσ, αρκτά υλικά τν πίν η r, για να πριγραφί µ ακρίβια, πρέπι να δίνται από µια συνάρτηση πυ πριέι έναν ή πρισσότρυς πόλυς δύτρης ή και ανώτρης τάξης. Η απλύστρη πρίπτση υλικών αυτής της κατηγρίας ίναι τα υλικά Lr, στα πία η µιγαδική στική διηλκτρική σταθρά στ πδί της συνότητας πριέι έναν µόν πόλ, δύτρης τάξης, και δίνται από τη σέση: s r, 3.34 j δ και, συνπώς, η ηλκτρική πιδκτικότητα αυτών τν υλικών, στ πδί της συνότητας, θα δίνται από τη σέση: 36

ΚΦΑΛΑΙΟ 3 ΥΛΙΚΑ Μ ΞΑΡΤΗΣΗ ΑΠΟ ΤΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ s j δ, 3.35 όπυ η κυκλική συνότητα συντνισµύ rad/sc και δ η σταθρά απόσβσης rad/sc. Λαµβάνντας υπόψη µας ότι ισύι τ ζύγς µτασηµατισµύ Furr: a s u FT a j, 3.36 ύκλα µπρί να πρκύψι ότι η 3.35 στ πδί τυ ρόνυ γράφται ς: s δ δ s δ u. 3.37 Μ τα όσα ίδαµ σ αυτό τ κφάλαι κάναµ µια ισαγγή στα µέσα µ διασπρά, δώσαµ τις ξισώσις πυ ισύυν για τη µιγαδική στική διηλκτρική σταθρά και την ηλκτρική πιδκτικότητα r, τν υλικών πυ ανήκυν σ καθµιά από τις τρις παραπάν κατηγρίς by, rud, Lr και αναφρθήκαµ σ ρισµένα νδιαφέρντα αρακτηριστικά µρικών, αντιπρσπυτικών για κάθ κατηγρία, υλικών. Μπρύµ, τώρα, να πράσυµ στ πόµν κφάλαι όπυ θα δύµ πώς, µ τις διάφρς µθόδυς-πρκτάσις της FT, µπρύµ να πρσµιώσυµ τη διάδση νός ηλκτρµαγνητικύ κύµατς παλµύ σ κάθ µία από τις πραναφρθίσς κατηγρίς υλικών. 37

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑ ΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 4. ισαγγή Όπς ίδαµ στ κφάλαι, η µέθδς τν ππρασµένν διαφρών στ πδί τυ ρόνυ, στη συνήθη της κδή, µπρί να φαρµστί µ ιδιαίτρη πιτυία για την µντλπίηση τέλιν διηλκτρικών ή διηλκτρικών µ απώλις, µταλλικών - πιφανιών κτλ, δηλαδή µέσν τν πίν ι αρακτηριστικές παράµτρι,µ,σ ίναι σταθρί αριθµί, ανξάρτητι της συνότητας. Στα µέσα, όµς, πυ παρυσιάζυν διασπρά, όπς ξηγήσαµ αναλυτικά στ κφάλαι 3, µια τέτια θώρηση δν ίναι δυνατή. Αυτό σηµαίνι ότι στις πριπτώσις πυ υπό µλέτη ώρς πριλαµβάνι υλικά µ διασπρά και ι διγέρσις δν ίναι µνρµατικές, αλγόριθµς της FT πρέπι να αλλάξι ριζικά, ώστ να λάβι υπόψη τυ τη µταβλή τν αρακτηριστικών παραµέτρν τυ υλικύ µ διασπρά στην πριή συντήτν πυ τ µλτάµ. Στ κφάλαι αυτό θα ξτάσυµ τρις, ιδιαίτρα δηµφιλίς, µθόδυςπρκτάσις της FT, µ τις πίς καταφέρνυµ να µντλπιήσυµ την αλληλπίδραση τν παραπάν υλικών µ έναν πρσπίπτντα ηλκτρµαγνητικό παλµό: ίναι, η µέθδς της παναληπτικής συνέλιξης Rcursv Cvlu Mhd, RC, η µέθδς της βηθητικής διαφρικής ξίσσης Auxlary ffral Mhd, AE και, τέλς, η µέθδς τυ µτασηµατισµύ Ζ Z Trasfr Mhd. Για κάθ µία µέθδ, πρώτα θα δίνυµ τη γνική πριγραφή της και στη συνέια θα βλέπυµ πώς αυτή φαρµόζται, µµνµένα, για κάθ µία απ τις τρις κατηγρίς υλικών πυ ξτάσαµ στ κφάλαι 3 by, rud, Lr. 38

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 4. Η µέθδς της παναληπτικής συνέλιξης Η µέθδς της παναληπτικής συνέλιξης Rcursv Cvlu hd, RC ίναι, όπς έι διαπιστθί και πιραµατικά, µια µέθδς πυ καταφέρνι να µντλπιήσι µ µγάλη ακρίβια τη συµπριφρά υλικών πυ παρυσιάζυν διασπρά. Η µέθδς αυτή, σ αντίθση µ τις άλλς δύ πυ θα ξτάσυµ αργότρα, φαρµόζται, από τ πρώτ µέρι τ τλυταί της βήµα, στ πδί τυ ρόνυ, γίνται δηλαδή ρήση της ηλκτρικής πιδκτικότητας µ τη µρφή πυ αυτή, κάθ φρά, έι συναρτήσι τυ ρόνυ. Συγκκριµένα, αλγόριθµς ξκινά από την ξίσση 3.0 πυ, όπς βλέπυµ, αναφέρται στ πδί τυ ρόνυ, και στη συνέια αντικαθιστύµ τ διάνυσµα P r της ηλκτρικής πόλσης µ τ συνλικτικό λκλήρµα της σέσης 3.. Η λγική της µθόδυ αυτής µπρί να διαφανί καθαρά, µ τη µλέτη τυ τρόπυ µ τν - πί φαρµόζται στην πρίπτση της διάδσης νός µνδιάστατυ ΤΜ κύµατς E, H y, διαδιδόµνα κατά τν άξνα x µέσα σ ένα µέσ µ διασπρά. Ξκινάµ µ τις σέσις 3.7, 3.8 και., τις πίς γράφυµ κι δώ για λόγυς ύκλης αναφράς: r r Η, 4. &r &r, 4. r Η r. 4.3 µ Μ: r ˆ, ẑ r και Η r Η y ŷ, από τις ξ. 4. και 4.3, µπρί µτά από απλές αλγβρικές πράξις να πρκύψι ότι για τ ΤΜ κύµα στ υλικό µ διασπρά, θα ισύι: και: Η y x, 4.4 Από τις 3.7 και 3.8 φύγι αστρίσκς * από τα &r και, φόσν πλέν δν αναφρόµαστ σ διηλκτρικά µ απώλις αλλά, γνικότρα, σ ένα µέσ µ διασπρά. πίσης, στην., όρς J r πυ αναφέρται στην µαγνητική πυκνότητα ρύµατς, θρίται ίσς µ µηδέν J r 0. 39

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ Η y µ x. 4.5 Οι ξισώσις 4.4 και 4.5, µ βάση τν αλγόριθµ τυ Y πυ ίδαµ στην νότητα., παίρνυν ύκλα την απαιτύµνη για τν ν λόγ αλγόριθ µρφή: / / Η Η y / y, 4.6 x / και: / / Η y Η / y / µ x. 4.7 Από την 4.6 βλέπυµ ότι για να πρσδιριστύν ι τρέυσς ρνικά τιµές τυ απαιτύνται ι τιµές τν δύ πι γιτνικών Η y στ αµέσς πρηγύµν ρνικό βήµα, νώ από την 4.7 πρκύπτι ότι για τν πρσδιρισµό της τρέυσας ρνικά τιµής τυ Η y ριάζνται ι τιµές τν δύ πι γιτνικών πρς αυτό / στ τρέν ρνικό βήµα. Οι τιµές αυτές τν σ κάθ ρνικό βήµα πρσδιρίζνται µ βάση τη σέση 4., πυ ίναι στην υσία η βασική σέση από την πία ξκινύν όλς ι µέθδι-πρκτάσις της FT την µντλπίηση τν υλικών µ διασπρά. Λαµβάνντας υπόψη µας ότι: r και, η ξ. 4., για τ ΤΜ κύµα πυ ξτάζυµ, γράφται στ πδί τυ r ρόνυ ς: τ τ dτ 0 0 τ τ dτ πιδή η συνάρτηση ηλκτρικής πιδκτικότητας αναφέρται σ κάθ κλί τυ ρικύ πλέγµατς µέσα στ υλικό µ διασπρά r,, καννικά µέσα στ λκλήρµα έπρπ να γράψυµ τ. Ωστόσ για λόγυς απλότητας, τ γράψαµ απλά σαν τ τ µ τ πί τ τ ίναι πλλαπλασιασµέν., και δίκτης πρκύπτι απ 40

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 4 d 0 τ τ. 4.8 Στη συνέια, σκφτόµαστ να δηµιυργήσυµ, µ τη βήθια και της 4.8, τη διαφρά:, πιδή αυτή θα υπάρι στην ξίσση στρφής τυ Η. Κατ αρήν, λιπόν, µ βάση την 4.8, έυµ: d 0 τ τ, 4.9 πότ τώρα, αν από την 4.9 αφαιρέσυµ την 4.8, πρκύπτι ότι: d d 0 0 τ τ τ τ. 4.0 Θέτντας στ πρώτ απ τα τλυταία αθρίσµατα όπυ, τ, θα έυµ για τ άθρισµα αυτό: d d d 0 0, τ τ τ τ τ τ πότ τώρα, η 4.0 δίνι: 0 0 d d τ τ τ τ ή: 0 0, 4.

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 4 όπυ, στην 4., άριν απλότητας και συντµίας θρίται ότι: d τ τ. 4. Μ µαδπίηση τν όµιν όρν, η 4. γράφται: 0 0, ή, ρίζντας:, 4.3 έυµ: 0 0. 4.4 Η παραπάν διαφρά τν ρνικών τιµών τυ α µέλς θα ρησιµπιηθί στην ξίσση στρφής τυ µαγνητικύ πδίυ. Για την ξίσση αυτή, θα µπρύσ να ρησιµπιηθί η ξ. 4. η πία όµς, αν και έι παρόµια µρφή µ την ξίσση 3.4 πυ ισύι για διηλκτρικά µ απώλις, αναφέρται στη σέση πυ συνδέι τ r µ τ Η r στα µέσα µ διασπρά ρίς να συµπριλαµβάνι και τ νδόµν τα µέσα αυτά αντίθτα µ τ «ιδανικό» νρό να παρυσιάζυν αγγιµότητα στη µηδνική συνότητα 0. Για τ λόγ αυτό, για να συµπριλάβυν δηλαδή την, νδόµνη, ύπαρξη αγγιµότητας σ ένα µέσ µ διασπρά και στη µηδνική συνότητα, ι Lubbrs al [] στυς πίυς ανήκι η ιδέα της µθόδυ RC θώρησαν σκόπιµ να συµπριλάβυν στην ξίσση 4. κι έναν όρ ηλκτρικής αγγιµότητας J r. Έτσι, στην ξίσση 4. ισάγται στ β µέλς, όπς θα δύµ αµέσς παρακάτ, κι ένας συντλστής αγγιµότητας σ, πίς, στην πρίπτση πυ θρύµ ότι τ υλικό µ διασπρά παρυσιάζι και αγγιµότητα όπς π.. τα υλικά rud, πρστίθται και στη σέση

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 43 πυ δίνι τη µιγαδική στική διηλκτρική σταθρά τυ, όπς όρς: σ j 3 υλικά rud ξ. 3.30. Μτά από όλα αυτά, λιπόν, η ξίσση 4. γράφται στην πρίπτσή µας: Η Η ΗΗ y y x J y σ σ ˆ, ˆ, ˆ r r r r r r r r y x Η σ. 4.5 Χριάζται, τώρα, ιδιαίτρη πρσή στν τρόπ µ τν πί θα πρσγγιστί τ µ ππρασµένς διαφρές. Πρκιµένυ να διατηρηθί η ακρίβιας ης τάξης τυ αλγρίθµυ, πρτιµάται να πρσγγιστί τ στη ξ. 4.5 µ τη s-plc µέθδ, ς ξής: / / / / y y x Η Η σ. 4.6 Αντικαθιστώντας την 4.4 στην 4.6 και, ν συνία, λύνντας ς πρς, πρκύπτι η παρακάτ, κρίσιµη για τν αλγόριθµό µας, σέση: / / / / 0 0 0 0 Η Η y y x σ σ σ σ. 4.7 Μ βάση την παραπάν ξίσση, πρσδιρίζνται σ κάθ ρνικό βήµα ι τιµές τν 3 Βλέπυµ καθαρά ότι, πιδή όρς αυτός έι πόλ στ µηδέν 0, αναφέρται στην ύπαρξη αγγιµότητας στη µηδνική συνότητα.

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ πυ, όπς έυµ ήδη πι σ αυτή την νότητα, ίναι απαραίτητς για την ξαγγή της τρέυσας ρνικής τιµής τν Η y συνιστσών βλ. ξ. 4.7, ώστ να µπρί / να κτλστί να λκληρθί αλγόριθµός µας. Ωστόσ, παρατηρύµ από τ ά- θρισµα πυ υπάρι στ β µέλς της 4.7, ότι για να πρσδιριστύν στ ρνικό βήµα ι τιµές τν ριάζται να απθηκυτύν στη µνήµη τυ υπλγιστή, ώστ να ίναι γνστές, ι πρηγύµνς τιµές τυ κάθ, δηλαδή τυ σ κάθ κλί τυ ρικύ πλέγµατς. Κάτι τέτι ίναι πρφανές ότι θα αύξαν κατά πλύ τις απαιτήσις τόσ σ µνήµη όσ και σ υπλγιστικό ρόν της µθόδυ αυτής RC, καθιστώντας την υσιαστικά ασύµφρη για τη µντλπίηση πρακτικών πδιακών πρβληµάτν πυ πριλαµβάνυν µέσα µ διασπρά. υτυώς, η παραπάν δυσκλία ξπράστηκ, άρη στην παρατήρηση τυ Lubbrs ότι η κθτική µρφή πυ συνήθς έι ή µπρί να πάρι η συνάρτηση ηλκτρικής πιδκτικότητας στ πδί τυ ρόνυ µας πιτρέπι να αντικαταστήσυµ τ παραπάν άθρισµα µ µια αναδρµική υ- πλγιστική διαδικασία πυ φαρµόζται σ κάθ ρνικό βήµα, απφύγντας έτσι την ανάγκη για απθήκυση πρηγύµνν τιµών τυ σ κάθ κλί. Ας δύµ πώς γίνται αυτό για κάθ µία από τις κατηγρίς υλικών µ διασπρά πυ ξτάσαµ στ κφάλαι 3. Η RC στα υλικά by Κατ αρήν, κάνυµ την παρακάτ αντικατάσταση για τ συνλικτικό άθρισµα: 0 ψ. 4.8 πιδή, τώρα, για τα υλικά by, η συνάρτηση ηλκτρικής πιδκτικότητας στ πδί τυ ρόνυ δίνται απ τη σέση παράγραφς 3.3/Υλικά by: s u, 4.9 η ξίσση 4. δίνι: 44

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 45 ] [ s, 4.0 και, άρα, από την 4.3 παίρνυµ: ] [ s. 4. Από την τλυταία αυτή σέση ύκλα πρκύπτι ότι:, 4. και έτσι, µπρύµ πλέν να γράψυµ: 0 3.57 0 0 0 : k k k k k k k ψ κ αι ψ 0 ψ ψ. 4.3 Έτσι, µ βάση τν αναδρµικό τύπ 4.3 ίναι δυνατόν σ κάθ ρνικό βήµα να υπλγίζυµ τ συνλικτικό άθρισµα της ξ. 4.7, ρίς να αυξάννται ι απαιτήσις σ µνήµη. Ο πλήρης λιπόν αλγόριθµς µ τη βήθια τυ πίυ πρσµιώνται η διάδση - νός ηλκτρµαγνητικύ κύµατς µέσα σ ένα υλικό by, ίναι ξής:

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 46 ] [ / / / / 0 0 0 / / / / 0 0 0 y y s s y y x x Η Η Η Η µ ψ ψ σ ψ σ σ σ όπυ στν παραπάν αλγόριθµ ίναι: σ 0, αφύ τα υλικά by δν παρυσιάζυν αγγιµότητα στη µηδνική συνότητα όρς της αγγιµότητας έι, όπς ίπαµ, συ- µπριληφθί για λόγυς γνικότητας και θα µας βηθήσι στην µντλπίηση της - πόµνης κατηγρίας υλικών. Η RC στα υλικά rud Έντας πρσδιρίσι τν αλγόριθµ της µθόδυ RC στα υλικά by, ανάλγς αλγόριθµς για τα υλικά rud πρκύπτι αβίαστα αν λάβυµ υπόψη µας τη σέση 3.3 και τα όσα ίπαµ για τη στική διηλκτρική σταθρά τν υλικών αυτών στην παράγραφ 3.3:

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 47 ] [ / / / / 0 0 0 / / / / 0 0 0 y y v c p v v c p y y c p c p c p c p x v v v x v v v c c c Η Η Η Η µ ψ ψ ψ Η RC στα υλικά Lr Στα υλικά Lr η συνάρτηση ηλκτρικής πιδκτικότητας δν ίναι αµιγώς κθτικής µρφής ξ. 3.35, µπρύµ όµς να θρήσυµ ότι ίναι ίση µ τ πραγµατικό µέρς µιας µιγαδικής συνάρτησης ηλκτρικής πιδκτικότητας πυ ίναι κθτικής µρφής. Αυτό, γίνται πλύ απλά ς ξής: Κατ αρήν, για απλότητα στις πράξις, θέτυµ: β γ κ αι δ β δ :, s a, 4.4 πότ η ξ. 3.35 γράφται: s u a β γ, 4.5

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 48 και ρίζντας την µιγαδική συνάρτηση ηλκτρικής πιδκτικότητας ˆ : ˆ u j j a β γ, 4.6 ίναι φανρό ότι ισύι: { } ˆ R. Έτσι, λιπόν, στις ξισώσις µας από δώ και πέρα θα δυλύυµ µ την µιγαδική πιδκτικότητα ˆ και, όπυ ριάζται, θα παίρνυµ τ πραγµατικό µέρς τν µταβλητών πυ θα πρκύπτυν. Μ βάση αυτά, η ξ. 4.0, δίνι: ] [ ˆ j a j a j a j β β β γ, 4.7 νώ, αντίστια, η ξ. 4., παίρνι τη µρφή: ] [ ˆ j a j a j a j β β β γ, 4.8 όπυ κι δώ, όπς και µ τις δύ πρηγύµνς κατηγρίς υλικών, ισύι η, ανάλγη της 4., σέση: ˆ ˆ j a β. 4.9 Η σέση 4.4 στην πρκιµένη πρίπτση γράφται: 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ, 4.30 πότ αν, όπς και στην πρίπτση τν υλικών by και rud, θέσυµ κι δώ: 0 ˆ ˆ ψ, 4.3

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 49 τότ µ ακριβώς την ίδια διαδικασία πυ ακλυθήσαµ και στην πρίπτση τν υλικών by, µπρί ύκλα να διτί ότι ισύι η παρόµια της 4.3 σέση: 0 ˆ ˆ ˆ j a ψ ψ β. 4.3 Αντικαθιστώντας την τλυταία σέση στην 4.30 και παίρνντας τα πραγµατικά µέρη και στα δύ µέλη, πρκύπτι: ψ 0, 4.33 όπυ: ˆ R, ˆ R και: { } ψ ψ ˆ R. Την 4.33, την α- ντικαθιστύµ στη ξ. 4.6, και έτσι, τλικά, πρκύπτι αλγόριθµς πυ παραθέτυ- µ στην πόµνη σλίδα:

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 50 { } { } ˆ R ] [ ˆ ˆ R ] [ ˆ ˆ ˆ ˆ / / / / 0 0 0 0 0 / / / / 0 0 0 y y j a j a j a y y x j a j j a j x Η Η Η Η µ β γ ψ ψ β γ ψ ψ σ ψ σ σ σ β β β όπυ τα α, β, γ δίννται απ τη σέση 4.4. 4.3 Η µέθδς της βηθητικής διαφρικής ξίσσης Η µέθδς της βηθητικής διαφρικής ξίσσης Auxlary ffral Mhd, AE ίναι µια, ξίσυ µ την RC, διαδδµένη και δκιµασµένη µέθδς στα πδιακά πρβλήµατα πυ πριλαµβάνυν υλικά µ διασπρά. Η µέθδς αυτή, ίναι σαφώς λιγότρ πρίπλκη απ την αντίστιη της παναληπτικής συνέλιξης, στόσ αυτό δ σηµαίνι ότι τα απτλέσµατα πυ δίνι ίναι λιγότρ ακριβή συγκριτικά µ την RC. Στη διαφρική µέθδ ξκινάµ απ την καταστατική ξίσση πυ συνδέι τ r µ

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ τ r στ πδί της συνότητας ξ. 4., και έπιτα από κατάλληλη πξργασία µταφρόµαστ στ πδί τυ ρόνυ µ τη βήθια τν παρακάτ ζυγών τλστών: d j d d j d j Μ d d M M. 4.34 Στ τλυταί βήµα, πρσγγίζυµ τις παραγώγυς Μ τάξης 4 µ τη βήθια ππρασµένν διαφρών σύµφνα µ τα όσα πιβάλλι αλγόριθµς της FT. Μ τν τρόπ αυτό καταλήγυµ, για τν πρσδιρισµό π.. τν συνιστσών σ ένα µνδιάστατ πρόβληµα, σ µία σέση της µρφής: M M f, K, ;, K,. Απ την παραπάν σέση ίναι φανρό ότι η µέθδς αυτή, σ κάθ ρνικό βήµα και για κάθ κλί τυ ρικύ πλέγµατς, ριάζται Μ πρηγύµνς τιµές τυ και Μ- πρηγύµνς τιµές τυ E. Όλα αυτά θα διυκρινιστύν από τ παρακάτ παράδιγµα πυ αφρά τη διάδση νός ΤΜ κύµατς στις τρις κατηγρίς υλικών µ διασπρά πυ έυµ αναφέρι στην παράγραφ 3.3, όπς και στη µέθδ RC. Πριν στόσ πρρήσυµ στ παράδιγ- µα αυτό, αξίζι να κάνυµ δύ σύντµς, γνικές παρατηρήσις: Η µέθδς αυτή, πρκιµένυ να πρσδιρίσι τις τρέυσς τιµές τν E ρησι- µπιί την πυκνότητα ηλκτρικής ρής και συνπώς στν αλγόριθµό της πρέπι να συµπριληφθί, αµιγώς, και η ξίσση 4.6, κάτι τ πί απφύγι η µέθδς RC. Η πιπρόσθτη αυτή «ανάγκη» της µθόδυ της διαφρικής ξίσσης, όπς ίναι πρφανές, αυξάνι και τις απαιτήσις πυ έι η µέθδς αυτή σ µνήµη. Πρισσότρα, όµς, γι αυτό θα πύµ στην παράγραφ 4.5, όπυ συγκρίννται όλς ι µέθδι πυ µλ- 4 Ο αριθµός Μ ίναι η τάξη της διασπράς τυ υπό ξέταση υλικύ, δηλαδή τ άθρισµα τν τάξν τν πόλν πυ µφανίζνται στη συνάρτηση της ηλκτρικής πιδκτικότητας. 5

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ τάµ στα υλικά µ διασπρά. Σ ότι αφρά, τώρα, τ ρώτηµα γιατί ρησιµπιύµ την 4.6 και όι την 4.5 πυ πριλαµβάνι και τν όρ αγγιµότητας, ιδιαίτρη πρσή πρέπι να δθί στ ξής: Στη µέθδ AE γίνται ρήση της και έτσι, τυόν ύπαρξη αγγιµότητας και στη µηδνική συνότητα, θα νυπάρι µέσα στην έκφραση πυ δίνι τ. Συνπώς, δν ριάζται να πρσθέσυµ και τν όρ J r στην ξίσση στρφής τυ H. Αυτό, τ κάναµ στην µέθδ RC πιδή κί, στις ξισώσις πυ έδιναν τ δν υπήρ όρς της αγγιµότητας σ. Ακόµη και στα υλικά rud όπυ υπάρι αγγιµότητα στη µηδνική συνότητα ίδαµ απλά, µ τη σύγκριση τν σέσν 3.9 & 3.30, πι ίναι τ σ πυ ισάγαµ απ την ξίσση στρφής τυ Η ξ. 4.5, και τ πί δν ρησιµπιήθηκ πυθνά, σ όλη τη διάρκια τυ αλγρίθµυ, σαν όρς µέσα στην έκφραση πυ δίνι τ. Χριάζται, πίσης, ιδιαίτρη πρσή στν τρόπ µ τν πί θα πρσγγιστύν ι ρνικές παράγγι Μ τάξης τόσ τυ, όσ και τυ µ ππρασµένς διαφρές. Η πρσέγγισή τυς πρέπι να γίνται γύρ από τ ρνικό βήµα ½, αφύ σ αυτό τ σηµί ίναι κντραρισµένη και η ρνική παράγγς τυ πυ υπάρι στις ξισώσις 4.4/4.6. Αυτό, δν γίνται, όπς θα δύµ, κατά την φαρµγή της µθόδυ AE στα υλικά rud και Lr, γι αυτό και ίναι δυνατόν να υπάρξυν πρβλήµατα σ ότι αφρά την υστάθιά της, σ αυτή την πρίπτση. Πρισσότρα, όµς, και γι αυτό θα πύµ στην παράγραφ 4.5. Ας δύµ, τώρα, πώς φαρµόζται η µέθδς AE στα υλικά by, rud και Lr στην πρίπτση της διάδσης σ αυτά νός ΤΜ κύµατς. Η µέθδς AE στα υλικά by Η φαρµγή της µθόδυ AE στα υλικά by ίναι πλύ απλή και σύντµη. Κατ αρήν, η σέση 4., µ βάση την 3.0, παίρνι τη µρφή: s by j, 4.35 από την πία, µτά την κτέλση απλών αλγβρικών πράξν, πρκύπτι για τις συνιστώσς και πδί της συνότητας, ότι: 5

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 53 s s j j, 4.36 πότ, λαµβάνντας υπόψη µας και την ξ. 4.34, η 4.36 γράφται στ πδί τυ ρόνυ ς ξής: d d d d s s. 4.37 ιακριτπιώντας, τώρα, την παραπάν ξίσση στ ρόν στ ρνικό σηµί ½, έυµ π.. για την E για την ισύυν ακριβώς τα ίδια: d d / /, 4.38 όπυ στην πρώτη απ τις παραπάν δύ σέσις ρησιµπιήθηκ η γνστή splc µέθδς για την πρσέγγιση τυ /. Αντικαθιστώντας την 4.38 καθώς και την ανάλγη για τ σέση, στην 4.37 πρκύπτι ότι: s s s s, 4.39 πότ πλήρης αλγόριθµς για τη µντλπίηση τν υλικών by µ τη µέθδ αυτή, θα ίναι ξής:

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 54 / / / / / / / / y y s s s s y y x x Η Η Η Η µ Η µέθδς AE στα υλικά rud Τ ίδι απλή µ πρηγυµένς ίναι η φαρµγή της µθόδυ AE και στα υλικά rud. πιδή η τάξη Μ της διασπράς, δώ, ίναι: Μ, στην αντίστιη της 4.37 σέση θα µφανίζται και µια δύτρης τάξης ρνική παράγγς για τα,. κι- µάζντας κάπις να κάνι πράξις µ βάση τις σιρές Taylr για την πρσέγγιση της δύτρης τάξης παραγώγυ, διαπιστώνι ότι αυτή, ίναι αρκτά πλύπλκ και πρίτν να κντραριστί γύρ από πιδήπτ άλλ ρνικό σηµί, πέρα από τ στό. Συνπώς, θα πρέπι και ι απλές συνιστώσς καθώς και ι παράγγι πρώτης τάξης αυτών, να κντραριστύν γύρ από τ ίδι στό ρνικό σηµί. Έτσι, η αντίστιη της σέσης 4.38, δώ, ίναι η: d d d d. 4.40 Η σέση, τώρα, πυ συνδέι τα και στ πδί της συνότητας στην πρίπτση τν υλικών αυτών, σύµφνα µ τις σέσις 4. & 3.4, ίναι: c p rud jv, 4.4

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ και, συνπώς, µ βάση και την 4.34 η αντίστιη διαφρική ξίσση στ πδί τυ ρόνυ, θα ίναι η: d d d d p vc v c. 4.4 d d d d Αν αντικαταστήσυµ την 4.40 στην 4.4 και, στη συνέια, λύσυµ την ξίσση πυ θα πρκύψι ς πρς, πρκύπτι η ακόλυθη αναδρµική σέση για τν πρσδιρισµό της καινύργιας τιµής τν : vc rud 4 rud vc rud, 4.43 4 rud p vc rud όπυ στην παραπάν σέση, για λόγυς απλότητας και συντµίας, τέθηκ: rud p vc. 4.44 Οι σέσις 4.43-4.44, µαζί µ τις 4.6 & 4.7, απτλύν τν πλήρη αλγόριθµ µ τν πί, µ τη µέθδ AE, πρσµιώνται η διάδση νός ηλκτρµαγνητικύ κύ- µατς µέσα σ ένα υλικό rud. Όπς παρατηρύµ απ τη σέση 4.43, για τ πρσδιρισµό της νέας τιµής τυ ριάζται να γίνι απθήκυση τν τιµών τυ στα ρνικά βήµατα και - καθώς και της τιµής τυ στ ρνικό βήµα -. Απναντίας, στη µέθδ RC για τα υλικά αυτά υπήρ η ανάγκη για την απθήκυση τν τιµών µιας µόν πιπλέν πραγµατικής µταβλητής, της ψ τ αντίστιό της δώ, ίναι τ. Η συγκριτική αυτή «αδυναµία» της µθόδυ AE σ σέση µ την RC, φίλται στν τρόπ µ τν πί γίννται ι πρσγγίσις της ξίσσης 4.40: πιδή η πρσέγγιση γίνται γύρ από τ ρνικό σηµί, ίµαστ αναγκασµένι να πάρυµ τιµές και από τ ρνικό βήµα -, τόσ για τ όσ και για τ, και έτσι στην τλική αναδρµική ξίσ- 55

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ ση για τν υπλγισµό της συνιστώσας ξ. 4.43 µφανίζνται και ι όρι και E. Από την άλλη, παρατηρύµ ότι στν αλγόριθµ της πυ αφρά τη µέθδ RC στα υλικά rud, στην αναδρµική ξίσση τυ και / Η y /, µφανίζνται ι όρι / Η y /, ι πίι, στόσ, δν υπάρυν στην ξίσση 4.43, πυ αφρά τη µέθδ AE στην ίδια κατηγρία υλικών rud. Αυτό, όµς, δ συνιστά πρισσότρη κατάληψη µνήµης για τη µέθδ RC, αφύ ι όρι / Η / y και / Η / y υπλγίζνται και στη µέθδ AE. Συνλικά πµένς, η µέθδς της βηθητικής διαφρικής ξίσσης για τα υλικά rud, απαιτί µνήµη για τρις πιπλέν µταβλητές, και E απ ότι η µέθδς της συνέλιξης για την ίδια κατηγρία υλικών. Η µέθδς AE στα υλικά Lr Την ίδια ακριβώς διαδικασία, όπς και µ τις δύ πρηγύµνς πριπτώσις υλικών, φαρµόζυµ κι δώ, για τη µντλπίηση τν υλικών Lr µ τη µέθδ AE. Στην παρύσα πρίπτση, η καταστατική ξίσση µταξύ τυ και τυ στ πδί της συνότητας, ίναι η ξής: Lr s,4.45 j δ από την πία, µτά από απλές αλγβρικές πράξις, µ βάση και τη σέση 4.34, πρκύπτι η αντίστιη διαφρική ξίσση: de d E d d s E δ δ. 4.46 d d d d Από την ξίσση 4.46, λαµβάνντας υπόψη µας κι δώ όπς και στα υλικά rud τις πρσγγίσις της σέσης 4.40, πρκύπτι η παρακάτ αναδρµική σέση για τν υπλγισµό της συνιστώσας σ υλικά µ διασπρά Lr: 56

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ δ Lr 4 Lr δ Lr 4 Lr, 4.47 s δ s Lr όπυ για λόγυς απλότητας, έυµ θέσι: δ Lr s. 4,48 Η σέση 4.47, µαζί και µ τις 4.6 & 4.7, απτλύν τν πλήρη αλγόριθµ µ τν πί, στα πλαίσια της FT, µντλπιίται η διάδση νός ηλκτρµαγνητικύ κύ- µατς µέσα σ ένα υλικό πυ παρυσιάζι διασπρά τύπυ Lr. Σ ότι αφρά τη σύγκριση µ τη µέθδ RC στα υλικά Lr, ισύυν κι δώ τα όσα ίπαµ για τη σύγκριση τν πραναφρθέντν µθόδν στα υλικά rud. Υπάρι µόν µία διαφρά: Η βηθητική µταβλητή ψ πυ ρησιµπιύµ στη µέθδ RC για τα υλικά Lr ίναι, όπς φαίνται από την ξίσση 4.3, µιγαδική και όι πραγ- µατική, όπς συµβαίνι µ την ψ για την λόγ µέθδ RC στα υλικά rud. Κατά συνέπια, η µιγαδική αυτή µταβλητή ψ ισδυναµί, από πλυράς απαιτήσν σ µνήµη, µ δύ πραγµατικές µταβλητές µία για τ πραγµατικό και µία για τ φανταστικό µέρς της ψ. Έτσι νώ στην πρίπτση τν υλικών rud η µέθδς RC υπρτρί, σ ότι αφρά τις απαιτήσις σ µνήµη, της µθόδυ AE κατά 3 όρυς, δώ, στην πρίπτση τν υλικών Lr, η RC υπρτρί της AE κατά όρυς. Για όλα τα άλλα πιµέρυς θέµατα, ισύυν κι δώ τα όσα ακριβώς ίπαµ για τη µέθδ AE στα υλικά rud παρ. 4.3. 4.4 Η µέθδς τυ µτασηµατισµύ Ζ Η µέθδς µντλπίησης, στα πλαίσια της FT, υλικών µ διασπρά µ τη βήθια τυ µτασηµατισµύ Ζ ίναι ξαιρτικά νδιαφέρυσα. ισάγι ένα κατξήν «ργαλί» της ψηφιακής πξργασίας σηµάτν, µέσα στν αλγόριθµ της FT έστ και για τη συγκκριµένη µόν κατηγρία πρβληµάτν 5. Κάθ πρσπάθια ισα- 5 Όπς και για την πρίπτση τν µη γραµµικών υλικών, όπυ κι κί µπρί να φαρµστί µ πιτυία. 57

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ γγής τνικών από τυς παραπάν ώρυς στν αλγόριθµ της FT, η πία πίσης ίναι µια µέθδς διακριτπίησης, ίναι λγικό να συγκντρώνι τ νδιαφέρν της πιστηµνικής κινότητας λόγ τν πρφανών φλιών πυ µπρύν να πρκύψυν από έναν τέτι «συγκρασµό» τν δύ θριών FT ψηφιακή πξργασία. Στη συνέια θα πρρήσυµ στην ανάλυση αυτής της µθόδυ και στην παράθση τυ τρόπυ φαρµγής της στις τρις κατηγρίς υλικών πυ ξτάζυµ δώ by, rud, Lr. Ορισµένς βασικές και ρήσιµς για τη µλέτη µας ιδιότητς τυ µτασηµατισµύ Ζ αναφέρνται στ Παράρτηµα Α, όπυ γίνται πίσης µια σύντµη αναφρά στν ρισµό τυ µτασηµατισµύ Ζ, σ ρισµένα παραδίγµατα - φαρµγής τυ και, τέλς, στν τρόπ πυ αυτός ρησιµπιίται κατά την κατασκυή νός ψηφιακύ φίλτρυ. Η µέθδς τυ µτασηµατισµύ Ζ στα υλικά by Η λγική µ την πία σκφτόµαστ όταν απφασίζυµ να µντλπιήσυµ, στα πλαίσια της FT, την ηλκτρµαγνητική συµπριφρά υλικών µ διασπρά, µ τη µέθδ τυ µτασηµατισµύ Ζ ίναι η ξής: Όπς ίδαµ η µέθδς RC πιτυγάνι αυτή την µντλπίηση, δυλύντας από τ πρώτ µέρι τ τλυταί βήµα της µθδλγίας της στ πδί τυ ρόνυ. Η µθδλγία αυτή φαρµόζται, όπς ίδαµ, για τ αριθµητικό κύµα, δηλαδή στις διγµατληπτύµνς πδιακές πσότητς τυ πραγµατικύ κύµατς y, E, H. φόσν, λιπόν, στην RC δυλύυµ µ διγµατληπτύµνς κβαντισµένς πσότητς, σκφτόµαστ ότι µπρύµ, κατ αρήν, να δυλέψυµ και κάνντας ρήση τυ µτασηµατισµύ Ζ, ανάγντας τ πρόβληµα από τ πδί τυ διακριτύ ρόνυ στ πδί τυ Ζ. φτάνι, όµς, µόν αυτό για να α- πφασίσυµ να κάνυµ µια τέτια αναγγή, διότι µ κβαντισµένς πσότητς δυλύυµ και σ όλ τν υπόλιπ αλγόριθµ της FT, όπυ, φυσικά, πυθνά δ ρησιµπιίται µτασηµατισµός Ζ. δώ, όµς, στα πρβλήµατα πυ πριλαµβάνυν µέσα µ διασπρά, έυµ ένα ισυρό κίνητρ για να τ κάνυµ: πιδή η σέση πυ συνδέι τ µ τ E, στ πδί της συνότητας, και άρα και στ πδί τυ Ζ, έι απλά τη µρφή πλλαπλασιασµύ στ β µέλς σ. 3.7, αν απφασίσυµ να λύσυµ τ πρόβληµα στ πδί τυ Ζ θα απφύγυµ όλς τις πλύπλκς πράξις µ τ συνλικτικό άθρισµα πυ, αναγκαστικά, µπριέι η ανάλυση τυ ν λόγ πρβλήµατς στ πδί τυ ρόνυ. πίσης θα απφύγυµ και τν πριρισµό πυ θέτι αλγόριθµς της RC, και έι να κάνι µ την κθτική µρφή πυ πρέπι να έι ή να ίναι δυνατόν να πάρι η συνάρτηση της ηλκτρικής πιδκτικότητας στ πδί τυ ρόνυ. Έτσι, 58

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ ίναι πρφανές ότι καταλήγυµ σ αναδρµικές ξισώσις για τν υπλγισµό τυ, πυ ίναι υπλγιστικά ισδύναµς µ αυτές πυ πρκύπτυν µ τη µέθδ RC 6. Ταυτόρνα, πιδή η βασική σέση µ την πία δυλύυµ E έι παρόµια µρφή µ την σέση 7. Υ h X, τ όλ πρόβληµα ανάγται, στην υσία, στη µλέτη νός διακριτύ συστήµατς ψηφιακύ φίλτρυ, στ πί ίσδς ίναι τ E, κρυστική απόκριση ή συνάρτηση µταφράς ίναι τ και έξδς τ, όπς φαίνται στ Σήµα 4.: Σήµα 4. Τ ισδύναµ ψηφιακό σύστηµα µ τ πί πριγράφται η µλέτη της συµπριφράς νός µέσυ µ διασπρά, µ τη µέθδ τυ µτασηµατισµύ Ζ στα πλαίσια της FT. Η µόνη διαφρά ίναι ότι δώ, ξέρυµ την έξδ ίναι γνστή από τη σέση 4. και ψάνυµ την ίσδ E. Μ τν τρόπ αυτό, λιπόν, δυλύυµ µ - ξισώσις ι πίς ίναι ανάλγς κίνν πυ πρκύπτυν κατά την κατασκυή νός φηφιακύ φίλτρυ, σαν κι αυτό πυ αναφέρυµ στ Παράρτηµα Α. Ας δύµ, λιπόν, πώς φαρµόζνται όλα αυτά στην πρίπτση τν υλικών by. Η διηλκτρική σταθρά τν παραπάν υλικών δίνται από τη σέση: s s /, 4.49 j j πότ, µ βάση τν πίνακα I τυ Παραρτήµατς Α, πρκύπτι αµέσς ότι: s /, 4.50 όπυ πρσέυµ ότι η σταθρή πσότητα µτασηµατίστηκ, σύµφνα τ πα- 6 Αυτό ισύι διότι, ίτ πίλύυµ ένα ψηφιακό πρόβληµα από την αρή ς τ τέλς τυ, στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ, ίτ δυλύυµ µ τ µτασηµατισµό Ζ και γυρνάµ µτά στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ, ίναι τ ίδι υπλγιστικά, σ ότι αφρά δηλαδή τα απτλέσµατα. 59

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 60 ράρτηµα «Παράδιγµα κατασκυής ψηφιακύ αµηλπρατύ φίλτρυ», σ:, και όι σ:. Στη συνέια πρνάµ στη βασική σέση πυ συνδέι τ µ τ E στ πδί τυ Ζ, και η πία ίναι η ξής: E. 4.5 Από τη σέση 4.5, µ βάση και την 4.50, έυµ διαδικά όπυ, βάζυµ, για λόγυς απλότητας, από δ και πέρα απλά: : E s /, 4.5 πότ λύνντας ς πρς E, µιας και αυτό ζητάµ να υπλγίσυµ αναδρµικά, πρκύπτι: s a s a a a E / / / / / / 4.53 και πλλαπλασιάζντας ιαστί, όπς κάναµ και στην πρίπτση τυ ψηφιακύ φίλτρυ στ παράρτηµα, παίρνυµ: / / E E a 3 c c E c E, 4.54 πότ, τώρα, γυρνώντας στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ πρκύπτι κατυθίαν ότι: c c E c E 3, 4.55 όπυ:

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ c / a, c, c a a s 3 / a κ αι :. 4.56 Η σέση 4.55 µαζί µ την 4.56 πυ τη συνδύι απτλί τη ζητύµνη αναδρ- µική ξίσση για τν υπλγισµό της συνιστώσας E, για την πρίπτση της διάδσης νός µνδιάστατυ ΤΜ κύµατς µέσα σ ένα υλικό πυ παρυσιάζι διασπρά τύπυ by. Σ ότι την αφρά, λιπόν, έυµ να κάνυµ τις ξής διαπιστώσις: α Παρατηρύµ ότι η 4.56, όπς αναµέναµ, πρέκυψ πλύ ύκλα, µ απλές αλγβρικές πράξις στ πδί τυ Ζ, γυρνώντας στ τλυταί βήµα στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ. Απφύγαµ, έτσι, τις πλλές και αρκτά πρίπλκς πράξις πυ πριλάµβαν η µντλπίηση της συγκκριµένης κατηγρίας υλικών µ τη µέθδ RC, καταλήγντας παρόλα αυτά στη σέση 4.55 πυ ίναι, όπς απδικνύται στην πράξη, ισδύναµη υπλγιστικά µ την αντίστιη σέση της µθόδυ RC. πίσης, βλέπυµ ότι δώ, σ αντίθση µ τη µέθδ AE, στ τλυταί βήµα, όπυ γυρνάµ από τ πδί τυ Ζ στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ, δν υπάρι απλύτς καµία πρσέγγιση. Αντίθτα, στη µέθδ AE, ακριβώς πιδή κί δυλύαµ µ τν τλστή j και όι µ τν όπς δώ, στ τλυταί βήµα πρσγγίζαµ τις ρνικές παραγώγυς µ ππρασµένς διαφρές. Στ τλυταί κίν βήµα βρίσκνταν και η πρσέγγιση απόκλιση απ τ πραγµατικό κύµα πυ ισήγαγ η µέθδς AE, αφύ σ όλα τα πρηγύµνα βήµατα δύλυ µ τ πραγµατικό κύµα. δώ, στη µέθδ τυ µτασηµατισµύ Ζ, η µναδική πρσέγγιση πυ γίνται κατά τη µτάβαση από τ πραγµατικό στ αριθµητικό κύµα, υπάρι µµέσς στ πρώτ-πρώτ βήµα ξ. 4.5 και πυθνά αλλύ σ όλη τη διάρκια τυ αλγρίθµυ. Αυτό φίλται στ ότι η µέθδς τυ µτασηµατισµύ Ζ ίναι πι καλά «πρσαρµσµένη» στην ψηφιακή φύση πυ έι τρόπς µντλπίησης τν υλικών µ διασπρά στα πλαίσια της FT, αφύ δυλύι από τη αρή µ τ αριθµητικό κύµα, και άρα, στ πδί τυ Ζ, µ τν τλστή, µ απτέλσµα όταν γυρνάµ στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ πυ, πάλι, αφρά τ αριθµητικό κύµα να µη ριάζται να κάνυµ καµία απλύτς πρσέγγιση. β Οι µέθδι RC και Z Trasfr µπρί όπς ίπαµ να ίναι υπλγιστικά ισδύναµς στόσ, όπς παρατηρύµ απ τη σέση 4.55, η µέθδς τυ µτασηµατισµύ Ζ δ διατηρί τ πλνέκτηµα πυ αρακτηρίζι τη µέθδ της συνέλιξης, πυ ίναι η απυσία τυ απ 6

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ τν αλγόριθµ της σλίδας 53, πράγµα πυ όπς ίαµ τνίσι συνπάγνταν λιγότρη υπλγιστικό κόστς. κί, η απαλιφή τυ ί πιτυθί δηµιυργώντας τη διαφρά ξ. 4.4, πυ στη συνέια αντικαταστήσαµ στη σέση 3.6. Τ «τίµηµα» ήταν ότι µ τν τρόπ αυτό δηµιυργήθηκ η ανάγκη για την ισαγγή µιας πιπλέν µταβλητής, της ψ, πυ έπρπ να υπλγίζται αναδρµικά σ κάθ ρνικό βήµα και µάλιστα, αυτό ήταν δυνατό, µόν για την πρίπτση πυ η ηλκτρική πιδκτικότητα τυ υλικύ, στ πδί τυ ρόνυ, ί ή µπρύσ να πάρι κθτική µρφή. δώ, στη µέθδ τυ µτασηµατισµύ Ζ, δν δηµιυργύµ αυτή τη διαφρά, για τν ξής λόγ: Η διαφρά αναφέρται, όπς βλέπυµ, στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ, νώ µίς, στη µέθδ τυ µτασηµατισµύ Ζ, δυλύυµ για τυς λόγυς πυ ξηγήσαµ στ α στ πδί τυ Ζ. Συνπώς, δ µπρύµ και δ συµφέρι να δηµιυργήσυµ την παραπάν διαφρά. Αν πάλι, αντικαταστήσυµ τη ρνική παράγγ τυ στ α µέλς της 4.6 µ τν τλστή: 7, µταφέρντας στην υσία την 4.6 στ πδί τυ Ζ, και στη συνέια κάνυµ τ ίδι και για τ από τη σέση 4.5, θα µφανιστύν τλικά λόγ της παρυσίας τυ στν παρνµαστή στ β µέλς της 4.5 πιπλέν όρι, πρηγύµνν ρνικών βηµάτν, τόσ για την E όσ και για την H y συνιστώσα, και πµένς θα αντισταθµιστί τ πλνέκτηµα της απαλιφής τυ απ την πρκύπτυσα αναδρµική ξίσση. γ Τέλς, όπς παρατηρύµ, η ξίσση 4.55 παρυσιάζι µγάλη µιότητα µ τη ξίσση Α.36 η πία, παράρτηµα Α, πριγράφι την κατασκυή νός αµηλπρατύ φίλτρυ, µ µνό πόλ α τάξης. Αν, κατά τη µντλπίηση τν υλικών by µ τη µέθδ τυ µτασηµατισµύ Ζ, σαν ίσδ τυ ισδύναµυ ψηφιακύ συστήµατς Σ. 4. θρήσυµ τ και σαν έξδ τ E, τότ η µόνη διαφρά τν ξισώσν 4.55 & Α.36 ίναι η ύπαρξη τυ, πιπλέν, όρυ: c E πυ υπάρι στην ξίσση 4.55, και φίλται στ ότι στη σέση πυ δίνι τ ξ. 4.50 υπάρι και σταθρός όρς:, πέρα από τν όρ s /, πίς αντιστιί ακριβώς στ ψηφιακό αµηλπρατό φίλτρ πυ πριγράφται απ τη σέση Α.6. πµένς, τα υλικά by συµπριφέρνται όπς ένα αµηλπρατό φίλτρ, δηλαδή «κύµα- 7 Ο τλστής αυτός ίναι, όπς θα αναφέρυµ στην παράγραφ 3.7, η ισδύναµη έκφραση της ρνικής παραγώγυ στ πδί τυ Ζ. 6

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 63 τα - συνιστώσς» τυ πρσπίπτντς ηλκτρµαγνητικύ παλµύ πυ αντιστιύν σ συνότητς µγαλύτρς απ τη συνότητα απκπής, δ θα διαδίδνται µέσα στα υλικά αυτά. Αυτό, άλλστ, φαίνται και από τ Σ. 3., όπυ ικνίζται η µταβλή συναρτήσι της κυκλικής συνότητας της µιγαδικής στικής διηλκτρικής σταθράς τυ νρύ, τ πί απτλί αρακτηριστικό παράδιγµα υλικύ µ διασπρά by. Όπς παρατηρύµ απ τ ν λόγ σήµα, τόσ τ πραγµατικό όσ και τ φανταστικό µέρς της r φθίνυν ταές µ την αύξηση τυ, γγνός πυ παληθύι τα όσα αναφέραµ πρηγυµένς. Η µέθδς τυ µτασηµατισµύ Ζ στα υλικά rud Μ παρόµι τρόπ φαρµόζται η µέθδς τυ µτασηµατισµύ Ζ και στα υλικά πυ παρυσιάζυν διασπρά τύπυ rud. δώ, η σέση πυ δίνι τη διηλκτρική σταθρά στ πδί της συνότητας, θυµίζυµ ότι ίναι η: j j v jv c p c p. 4.57 Ο δύτρς όρς στ β µέλς της 4.57, αναπτύσσται πλύ απλά σ άθρισµα µρικών κλασµάτν, ς ξής: j v v j v j v j c c p c p c p / /, 4.58 πότ, µ βάση την 4.58 και τν πίνακα I τυ Παραρτήµατς Α, η σέση 4.57 γράφται στ πδί τυ Ζ ς ξής: v c p c p c v v / /. 4.59 Έτσι, η σέση 4.5, δώ, παίρνι τη µρφή: / / E v v v c p c p c. 4.60

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 64 Η παραπέρα ανάλυση διυκλύνται σηµαντικά, αν θρήσυµ βηθητικές παραµέ- τρυς V και V : / : / E v V E v V v c p c p c κ αι. 4.6 Έτσι, η 4.60 γράφται: V V. 4.6 Υπνθυµίζυµ ότι σκπός µας ίναι να λύσυµ την ξίσση ς πρς E. Αυτό, όµς, δν µπρί να γίνι απυθίας από την ξίσση 4.6 µταφέρντας τα V, V στ α µέλς και λύνντας ς πρς E, διότι πλύ απλά τα V, V πριλαµβάνυν και τα ίδια τ E ξ. 4.6. Η πρκύπτυσα αυτή δυσκλία, απφύγται ς ξής: / / E v V V E v V E v V V E v V c p v v c p c p c p c c, πότ η σέση 4.6, γράφται: E v V E v V E c p v c p c V V E v c. 4.63 Παρατηρύµ ότι, αφνός η απλπίηση τυ όρυ: E v c p διυκόλυν τις πράξις αφύ, τώρα, λύνντας ς πρς E, θα διαιρέσυµ απλά µ τ και όι

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 65 µ κάπια άλλη πι πλύπλκη παράσταση, αφτέρυ τ E θα υπλγίζται από πρηγύµνς ρνικές τιµές τν V, V αυτό φαίνται από την ύπαρξη τυ τλστή µπρστά από τα V, V, δηλαδή από πρηγύµνς ρνικά τιµές τυ, πότ δν υπισέρται πλέν πρόβληµα σ ότι αφρά τν καθρισµό της νέας τυ ρνικής τιµής. Έτσι, λιπόν, από την 4.63 έυµ: V V E v c. 4.64 Ο πλήρης, λιπν, αλγόριθµς µ τν πί θα πρσδιρίζται η νέα τιµή τυ E, θα ίναι ξής: c p v c p v E v V V E v V V V V E c c. 4.65 Η µέθδς τυ µτασηµατισµύ Ζ στα υλικά Lr Μ την ίδια φιλσφία/διαδικασία πυ πριγράψαµ στις δύ πρηγύµνς κατηγρίς υλικών, φαρµόζται η µέθδς τυ µτασηµατισµύ Ζ και στα υλικά Lr. Και δώ, ξκινάµ από τη σέση πυ δίνι τ, και µ βάση τν πίνακα I τυ παραρτήµατς βρίσκυµ τ. Έυµ, λιπόν:,, 0 0 0 α β α β β γ δ γ δ β δ α j j s s

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ 66 cs s E a a a β β β γ, 4.66 πότ, δώ, η σέση 4.5 γράφται: cs s E a a a β β β γ. 4.67 ισάγντας τη βηθητική παράµτρ V: cs s E V a a a β β β γ, 4.68 ή: s cs E V V V a a a β β γ β. 4.69 η σέση 4.67 µτατρέπται: V E, 4.70 ή, λύνντας ς πρς E : V E. 4.7 πµένς, πλήρης αλγόριθµς µ τν πί θα πρσδιρίζται η νέα ρνική τιµή τυ E, θα ίναι ξής:

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ V a γ β cs β V a a s β E V. 4.7 E V 4.5 Ανασκόπηση - σύγκριση τν µθόδν RC, AE και Z Trasfr Στην παράγραφ αυτή, αφότυ κάνυµ µια σύντµη υπνθύµιση της γνικής λγικής και φιλσφίας της κάθ µθόδυ, θα αναφρθύµ στα θτικά αρακτηριστικά καθώς και στις αδυναµίς πυ η κάθ µία έι. Γνικά, αναγνώστης πρέπι να έι υπόψη τυ τ ξής: Καµία µέθδς δ µπρί να αρακτηριστί «καλύτρη» ή «ανώτρη» από τις υπόλιπς δύ για κάθ φαρµγή. κλέγντας πρστικά τις συνήθις παραµέτρυς της FT µήκς ρικύ κλιύ x, ρνικό βήµα µπρύµ, συνήθς, να πτύυµ αξιόπιστα και ακριβή απτλέσµατα και µ τις τρις µθόδυς. Ανάλγα δ µ την φαρµγή και µ την κλγή τν πραναφρθέντν παραµέτρν, η κάθ µέθδς µπρί να δώσι απτλέσµατα πυ να ίναι έστ και λάιστα πρισσότρ ή λιγότρ ακριβή από τα αντίστια τν άλλν δύ µθόδν. ίναι, πµένς, ρήσιµ να γνρίζυµ τα γνικά αρακτηριστικά πλνκτήµατα/µινκτήµατα της κάθ µθόδυ συγκριτικά µ τις υπόλιπς δύ ώστ να µπρύµ πι ύκλα, ανάλγα µ τις απαιτήσις και τα αρακτηριστικά της φαρµγής µας, να καθρίσυµ πια µέθδς θα µας ξυπηρτύσ καλύτρα για τη συγκκριµένη κάθ φρά φαρµγή. Ξκινώντας από τη µέθδ RC, έυµ να πύµ τα ξής: α Μντλπιί τη συµπριφρά υλικών πυ παρυσιάζυν διασπρά, δυλύντας, από την αρή µέρι τ τέλς, στ πδί τυ ρόνυ ή, καλύτρα, τυ διακριτύ ρόνυ όλα δ τα στάδια τν πράξν/υπλγισµών πυ γίννται αναφέρνται στ αριθµητικό κύµα. Ξκινάµ, όπς και µ όλς τις µθόδυς, από τη σέση πυ συνδέι τ µ τ στ πδί της συνότητας ξ. 4., µταβαίνυµ στ πδί τυ ρόνυ πότ, η σέση τυ µ τ, από πλλαπλασιασµός στ πδί της συνότητας, γίνται συνέλιξη και, τλικά, αναγόµαστ στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ πρσγγίζντας τ λκλήρµα της συνέλιξης µ τ συνλικτικό άθρισµα της σέσης 4.89. Στ τλυταί αυτό βήµα βρίσκται και η πρσέγγιση πυ ισάγι η µέθδς αυτή. πίσης, φόσν 67

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ κατά τη διάρκια τυ αλγρίθµυ γίνται ρήση τυ νόµυ τυ Apr ξ. 4. & 4.5 και της πρσέγγισης αυτύ µ ππρασµένς διαφρές ξ.4.6, και στ βήµα αυτό υπάρι πρσέγγιση. β Μια αδυναµία της µθόδυ αυτής πρκύπτι, ακριβώς, απ τν τρόπ µ τν πί πρσγγίζται τ λκλήρµα της συνέλιξης τυ µ τ : τ πρκύπτν συνλικτικό άθρισµα θα πρέπι να υπλγίζται αναδρµικά, σ κάθ ρνικό βήµα, διαφρτικά, όπς ξηγήσαµ στην παράγραφ 4., θα αυξάννταν υπρβλικά ι απαιτήσις σ µνήµη πυ θα ί η ν λόγ µέθδς. Ο αναδρµικός, όµς, υπλγισµός τυ συνλικτικύ αθρίσµατς δν µπρί να γίνι, παρά µόν άν η συνάρτηση ηλκτρικής πιδκτικότητας τυ υπό µλέτη υλικύ έι ή µπρί να πάρι κθτική µρφή. ίναι πρφανές ότι στην γνική πρίπτση νός υλικύ πυ παρυσιάζι διασπρά και δν ανήκι σ κάπια από τις τρις κατηγρίς υλικών πυ µίς ξτάσαµ 8 by, rud, Lr δν ίναι σίγυρ ότι η θα έι ή θα µπρί να απκτήσι κθτική µρφή και πµένς δν ίναι βέβαι ότι η RC σ αυτές τις πριπτώσις µπρί να φαρµστί. γ Μια δύτρη, πι σηµαντική απ την πρηγύµνη, αδυναµία της µθόδυ RC έι να κάνι µ την τάξη της ακρίβιάς της. Συγκκριµένα, αν στη σέση 4.5 αντικαταστήσυµ όπς γινόταν στ αρικό άρθρ µ τ πί για πρώτη φρά ισήθη η ν E E λόγ µέθδς, [] τ E µ: E και όι µ:, όπς θα ήταν τ πι σστό, τότ η ακρίβια της RC γίνται πρώτης τάξης, σ αντίθση µ την δύτρης τάξης ακρίβια πυ έι υπόλιπς αλγόριθµς της FT. Ακόµα, όµς, κι αν γίνι σστά αυτή η αντικατάσταση, έι απδιτί τόσ πρακτικά [5] όσ και θρητικά [0] ότι η ακρίβια της µθόδυ αυτής ξακλυθί να µην ίναι δύτρης τάξης πάλι, ίναι πρίπυ πρώτης τάξης πιδή, όπς φαίνται από τη σέση 4.8, τ E θρίται σταθρό κατά τη διάρκια της λκλήρσης από τ στ, γι αυτό και βγήκ έξ από τ λκλήρµα στην ξ. 4.8. Παρόλ πυ τ E ίναι, όπς γνρίζυµ από τν υπόλιπ αλγόριθµ της µθόδυ FT, σταθρό σ κάθ ρνικό βήµα, ντύτις µγαλύτρη ακρίβια µπρί να πιτυθί [6] αν, για τν υπλγισµό τυ λκληρώµατς πυ υπάρι στ συνληκτικό άθρισµα της σέσης 4.8, παρµβάλλυµ γραµµικά τις τιµές τυ ], ς ξής: E στην αρή και στ τέλς τυ διαστήµατς [, 8 Όπς ίναι για παράδιγµα τα διάφρα µέλη τυ ανθρώπινυ σώµατς: µύς, στά, φαιά υσία γκέφαλς, λίπς κτλ. 68

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ E E E E, 4.73 : θρώντας δηλαδή ότι τ E δν ίναι σταθρό στ διάστηµα [, ], αλλά µταβάλλται γραµµικά µ τ ρόν. Νότρς αναφρές [6] απέδιξαν ότι µ τν τρόπ αυτό µπρί να βλτιθί σηµαντικά η ακρίβια της µθόδυ RC, κάτι τ πί µέρι πρότινς ήταν ένα από τα πι αδύνατά της σηµία αν όι τ πι αδύνατ. δ Κάτι άλλ τ πί αξίζι να σηµιθί, και απτλί αρακτηριστικό και τν υ- πόλιπν µθόδν όπς θα δύµ παρακάτ, ίναι ότι η στική διηλκτρική σταθρά κάθ κατηγρίας υλικών, πρκύπτι [9] ότι πηράζται από τν αλγόριθµ της µθόδυ RC, δηλαδή για κάθ κατηγρία υλικών τ r πυ «βλέπι» τ αριθµητικό κύµα r urcal ίναι διαφρτικό απ αυτό πυ δίνται απ τις σέσις 3./3.6/3.34 για κάθ µια από τις κατηγρίς υλικών πυ ξτάσαµ. Απδικνύται πίσης ότι η πίδραση αυτή πυ έι όλς αλγόριθµς της RC στην στική διηλκτρική σταθρά τυ «αριθµητικύ» υλικύ µ τ πί αλληλπιδρά τ αριθµητικό κύµα, γίνται ριακά ανπαίσθητη στην πρίπτση πυ τ ρνικό βήµα 0. Μια τρίτη, υτυώς όι τόσ µγάλης έκτασης, αδυναµία της µθόδυ RC ίναι ότι ξαιτίας της παραπάν απόκλισης από τ πραγµατικό r της στικής διηλκτρικής σταθράς πυ «βλέπι» τ αριθµητικό κύµα, απδικνύται [9] ότι ισάγνται από τν αλγόριθµ της RC σφάλµατα σ ότι αφρά τη φάση και τ πλάτς τυ αριθµητικύ κύµατς. ηλαδή, για µγάλα ύρη συντήτν π..: 7 0-3 0 rad/sc τόσ η φάση όσ και τ πλάτς τυ αριθµητικύ κύµατς απκλίνυν από την ακριβή φάση και τ ακριβές πλάτς τυ πραγµατικύ κύµατς. Τα σφάλµατα σ ότι αφρά τ πλάτς τυ αριθ- µητικύ κύµατς ίναι πι αισθητά απ αυτά πυ αφρύν τη φάση τυ, και µπρύν, ανάλγα µ την φαρµγή, να δηγήσυν σ αρκτά σηµαντικές απκλίσις π.. 6,4% από τις ακριβίς τιµές τυ πλάτυς τυ πραγµατικύ κύµατς πυ υπλγίζνται αναλυτικά. στ Ένας ακόµη σηµαντικός πριρισµός πυ αρακτηρίζι τη µέθδ RC ίναι ότι, σ αντίθση µ τις υπόλιπς δύ µθόδυς, δν µπρί να φαρµστί και για την µντλπίηση µη γραµµικών υλικών, φόσν η πρσέγγιση τν µφανιζόµνν συνλικτικών αθρισµάτν στηρίζται στη γραµµική παλληλία τν αντίστιν συνλικτικών λκληρµάτν ξ. 4.8 και, συνπώς, δν µπρί να γίνι φαρµγή της και στην πρίπτση τν µη γραµµικών υλικών, όπυ κί τα συνλικτικά λκληρώµατα έυν δια- 69

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ φρτική, πι πλύπλκη µρφή η σέση της συνέλιξης πριλαµβάνι πρισσότρυς όρυς - σ αντίθση µ τυς δύ µόν όρυς πυ υπάρυν στη σέση 4.8 - και ι - πίι δν ίναι δυνατόν να πρσγγιστύν µ ένα ανάλγ, γραµµικό άθρισµα σαν κι αυτό της 4.8. ζ Τέλς, τ πι θτικό αρακτηριστικό της µθόδυ RC ίναι ι πλύ µικρές, συγκριτικά µ τις άλλς δύ µθόδυς, απαιτήσις σ µνήµη πυ έι. Πράγµατι, στη γνική M π.. πρίπτση νός υλικύ πυ παρυσιάζι διασπρά τύπυ Lr µ δύτρης τάξης πόλυς Lr 9, για τη µντλπίηση τυ µ τη µέθδ RC απαιτύνται, όπς M ίναι πρφανές, πιπλέν απ ότι στν γνστό αλγόριθµ της FT µιγαδικές µταβλητές ψ, ι πίς ισδυναµύν µ Μ πραγµατικές µταβλητές ένας πραγµατικός αριθµός για τ πραγµατικό µέρς της ψ και ένας πραγµατικός αριθµός για τ φανταστικό µέρς της ψ. Αντίθτα, όπς θα δύµ παρακάτ, ι αντίστις απαιτήσις της µθόδυ AE για την ίδια πρίπτση υλικύ ίναι Μ-, δηλαδή, για µγάλα Μ πρίπυ διπλάσις. Για τη µέθδ της βηθητικής διαφρικής ξίσσης AE, σ ότι αφρά τη γνική λγική της καθώς και τα θτικά/αρνητικά αρακτηριστικά της έυµ να πύµ τα ξής: α Στη µέθδ αυτή ξκινάµ απ την καταστατική ξίσση πυ συνδέι τ και τ, τυ πραγµατικύ κύµατς, στ πδί της συνότητας, υλύυµ, δηλαδή, από την αρή µέρι τ πρτλυταί βήµα µ τ πραγµατικό κύµα, ς ξής: Κάνυµ αλγβρικές πράξις στ πδί της συνότητας µ βάση τ γνστό δυλύντας µ τν τλστή j και στη συνέια, µ όπια δύναµη τυ j ίναι πλλαπλασιασµένς κάπις όρς στ πδί της συνότητας, µ αυτήν την τάξης ρνική παράγγ γυρνάι, όρς αυτός, στ πδί τυ συνύς ρόνυ. Στ τλυταί βήµα, πρνάµ από τ συνές/πραγµατικό κύµα στ κβαντισµέν αριθµητικό κύµα, πρσγγίζντας τις ρνικές παραγώγυς τν διαφόρν τάξν µ ππρασµένς διαφρές. β Η πι σηµαντική αδυναµία πυ έι η µέθδς αυτή ίναι ι υψηλές, συγκριτικά µ 9 Η στική διηλκτρική σταθρά νός τέτιυ υλικύ, θα δίνται πλύ απλά από τη σέση: M / p p r, όπυ τ p δηλώνι τν αριθµό κάθ φρά τυ ζύγυς p p j δ p πόλν Lr, p s, p, p ίναι η αλλαγή στη στική διηλκτρική σταθρά ξαιτίας τυ p ζύγυς πόλν, p ίναι η «µη απσβένυσα» udapd συνότητα τυ p ζύγυς πόλν, και δ p ίναι παράγντας απόσβσης τυ πραναφρθέντς ζύγυς. 70

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ τις άλλς δύ µθόδυς, απαιτήσις πυ έι σ υπλγιστική µνήµη. Όπς φαίνται από τη παράγραφ 4.3, για να µντλπιήσι η µέθδς αυτή ένα υλικό πυ παρυσιάζι διασπρά Μ- τάξης, ριάζται να απθηκυτύν στη µνήµη τυ υπλγιστή Μ πρηγύµνς τιµές τυ και Μ- πρηγύµνς τιµές τυ, δηλαδή συνλικά Μ- πραγµατικές µταβλητές, σ αντίθση µ τις, µόν, Μ πραγµατικές µταβλητές πυ απαιτί η µέθδς AE για τ ίδι πρόβληµα. Ωστόσ, πρέπι να τνιστί τ ξής: Οι σηµαντικές απαιτήσις πυ έι η διαφρική µέθδς σ ότι αφρά την κατάληψη υπλγιστικής µνήµης, µπρύν να αντισταθµιστύν από τη καλύτρη ακρίβια πυ παρέι. Συγκκριµένα, έι απδιτί [5] από τη παρατήρηση απτλσµάτν, ότι τ µέσ ττραγνικό σφάλµα ξαρτάται από την πσότητα R στη µέθδ της συνέλιξης RC και από τ R στη µέθδ της βηθητικής διαφρικής ξίσσης AE, όπυ R ίναι αριθµός τν κλιών στα πία κτίνται παλµός της διέγρσης. Έτσι, µπρί µν η µέθδς RC να έι λιγότρς απαιτήσις σ µνήµη σ ότι αφρά την απθήκυση τν µταβλητών και, στόσ όµς για να πτύι τ ίδι ακριβή απτλέσµατα µ την AE θα πρέπι να αυξήσι τν αριθµό στα πία κτίνται η διέγρση, και άρα τν αριθµό τν κλιών τυ πλέγµατς ρικής διακριτπίησης της FT. Κάτι τέτι, πρφανώς, ισδυναµί µ αύξηση τν απαιτήσν σ µνήµη για την ν λόγ µέθδ, αντισταθµίζντας έτσι τ αρικό πλνέκτηµα πυ ί σ σέση µ την AE. Μάλιστα, έι διθί ότι για τρισδιάστατς φαρµγές πυ πριλαµβάνυν µλέτη υλικών µ διασπρά και απαιτύν λόγς R πυ αναφέραµ παραπάν να ίναι µγαλύτρς από 64, η µέθδς AE ίναι, τλικά, πι συµφέρυσα από πλυράς µνήµης συγκριτικά µ τη µέθδ RC. γ Όπς και µ τη µέθδ RC, έτσι κι δώ, µπρί να απδιθί [0] ότι για τις πριπτώσις τν υλικών by, και Lr 0 ι σταθρές αλάρσής τυς, έτσι όπς αυτά µντλπιύνται από τν αριθµητικό αλγόριθµ της RC, ίναι µγαλύτρς απ ότι στην πραγµατικότητα. Αυτή η απόκλιση απ την πραγµατικότητα, µπρί στην πρίπτση τν υλικών by να δηγήσι σ ικνική µίση τν πλατών τν διαδιδόµνν συνιστσών, δίνντας ντλώς ανακριβή απτλέσµατα. Συγκκριµένα, για τα υλικά by, απδικνύται ότι όταν τ ρνικό βήµα ίναι µγαλύτρ ή ίσ από 0,0τ όπυ τ η ρνική σταθρά αλάρσης τυ υλικύ, «παράγντας αύξησης» ξ, πυ ίαµ αναφέρι στην παράγραφ για την αριθµητική αστάθια στ κφάλαι, νώ καννικά θα 0 Η πρίπτση τν υλικών rud δν ί ξταστί στ άρθρ στ πί αναφρόµαστ δώ [0]. 7

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ πρέπι να ίναι συνώς ίσς µ τη µνάδα ax ξ, µπρί να γίνι µικρότρς από 0,8, ισάγντας έτσι µία µίση τν πλατών τν διαδιδόµνν συνιστσών πυ, καννικά, δν θα έπρπ να υπάρι. Από την άλλη, τα ισαγόµνα σφάλµατα φάσης γίννται, για την ίδια κατηγρία υλικών, αισθητά για: 0,00τ. Έτσι, λιπόν, συνλικά, για να απφύγυµ τόσ την ικνική µίση τν πλατών τν διαδιδόµνν συνιστσών όσ και τα ισαγόµνα σφάλµατα φάσης, θα πρέπι κατά την µντλπίηση τν υλικών by µ τη µέθδ AE, να κλέγυµ τ ρνικό βήµα µικρότρ από τ ένα ιλιστό της σταθράς αλάρσης τ ή, γνικότρα, µικρότρ από τ ένα ιλιστό της µικρότρης ρνικής σταθράς πυ αρακτηρίζι τ υλικό σταθρά αλάρσης, σταθρά συντνισµύ κτλ. Η πιπλκή πυ ισάγι µια τέτια απαίτηση ίναι ότι, στην πρίπτση πυ θέλυµ να πρσµιώσυµ τη διάδση νός παλµύ πυ έι ρνική διάρκια µγαλύτρη απ την σταθρά τ αν υπθέσυµ ότι αυτή ίναι η µικρότρη ρνική σταθρά, θα ίµαστ αναγκασµένι να διακριτπιήσυµ ρνικά τ πρόβληµά µας µ 000 φρές πι µγάλη ανάλυση απ ότι στην πρίπτση πυ δν υπήρ πριρισµός 0,00τ. Κάτι τέτι ίναι πρφανές ότι αυξάνι κατά πλύ τις απαιτήσις σ υπλγιστικό ρόν πυ θα έι αλγόριθµός µας. Σ ότι αφρά, τώρα, τα υλικά Lr, απδικνύται ότι για 0,τ, λόγ τυ µη ακριβύς κντραρίσµατς τν ρνικών παραγώγν, µπρί να υπάρξυν κάπια «κύ- µατα-συνιστώσς» τυ αριθµητικύ κύµατς για τα πία θα µφανίζται αστάθια ax ξ >. Τα κύµατα αυτά, αντιστιύν στα «κύµατα-συνιστώσς» τυ πραγµατικύ κύµατς για τα πία θα ισύι N λ < 4τ N λ θυµίζυµ ότι αναφέρται στ πραγ- µατικό κύµα. Η παρυσία αυτών τν «κυµάτν συνιστσών» τυ αριθµητικύ κύµατς, µπρί µν να µην ίναι αισθητή λόγ της πλύ µικρής νέργιας πυ µπριέυν στα πρώτα βήµατα τυ αλγρίθµυ, ίναι όµς πιθανό να γίνι αισθητή λόγ της διαρκύς αύξησης τυ πλάτυς τυς ξαιτίας της αστάθιας, αφύ τα ρνικά βήµατα πυ απαιτύν ι αλγόριθµι στην πρίπτση τν µέσν µ διασπρά ίναι δκάδς ή και κατντάδς ιλιάδς. Από κάπι ρνικό σηµί και µτά, λιπόν, αυτά τα ασταθή «κύµατα-συνιστώσς» µπρί να απκτήσυν ένα µη αµλητέ πλάτς, τ πί λόγ της αστάθιας συνώς θα αυξάνι, και σαν συνέπια θα «µλύνυν» µ αστάθια, συνλικά, όλ τν αλγόριθµό µας. πίσης, µπρί να διθί ότι για την πρίπτση τν υλικών Lr, τα σφάλµατα φάσης πυ ισάγι αλγόριθµς της AE µπρύν να θρηθύν αµλητέα µόν για πιλγή τυ ρνικύ βήµατς: 0,0τ. Έτσι, λιπόν, για να δίνι αλγόριθµς της AE ικανπιητικά απτλέσµατα, θα πρέπι τ να κλγί έτσι ώστ να ίναι µι- 7

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ κρότρ ή ίσ απ τ ένα κατστό της µικρότρης ρνικής σταθράς τυ υλικύ Lr, κάτι τ πί έι ανάλγς αρνητικές πιπτώσις µ αυτές πυ αναφέραµ και για την πρίπτση τν υλικών by. Τέλς, σ ότι αφρά τη µέθδ τυ µτασηµατισµύ Ζ για τη µντλπίηση υλικών µ διασπρά, πρέπι να σηµιθύν τα ξής: α ίναι µια µέθδς πυ, αντί όπς η RC, δυλέψι µ τ αριθµητικό κύµα στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ, δυλύι µ τ αριθµητικό, κβαντισµέν κύµα στ πδί τυ Ζ, απλπιώντας έτσι κατά πλύ τη στική ανάλυση, αφύ στ πδί τυ Ζ η σέση µταξύ τυ και τυ E έι τη µρφή πλλαπλασιασµύ στ β µέλς, µ τη µρφή «πρίπυ ισότητας» µταξύ τν δύ µλών. Μ τν τρόπ αυτό τ πρόβληµα ανάγται, υσιαστικά, στην κατασκυή νός ψηφιακύ φίλτρυ, τυ πίυ τα αρακτηριστικά αν ίναι αµηλπρατό, υψιπρατό κτλ ή πόσυς και τι µρφής πόλυς πριέι ξαρτώνται από τη µρφή πυ έι η διηλκτρική σταθρά στ πδί τυ Ζ. Τ, δηλαδή, παίζι τ ρόλ της ισδύναµης συνάρτησης µταφράς τυ υπό κατασκυή ψηφιακύ φίλτρυ. Η µόνη διαφρά µ τη συνήθη πρίπτση κατασκυής ψηφιακών φίλτρν πυ συναντάµ στην ψηφιακή πξργασία σηµάτν, ίναι ότι, δώ, στην FT, ξέρυµ την έξδ τυ συστήµατς και ψάνυµ τη συνάρτηση ισόδυ. πιδή, τώρα, ίναι πρφανές ότι ίτ µλτάµ ένα ψηφιακό πρόβληµα από την αρή ς τ τέλς τυ στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ, ίτ δυλύυµ στην αρή στ πδί τυ Ζ και, στ τλυταί βήµα, γυρνάµ στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ, θα πάρυµ τα ίδια ακριβώς απτλέσµατα, φαίνται καθαρά ότι για τη µέθδ τυ µταση- µατισµύ Ζ ισύυν τα όσα ίπαµ και για τη µέθδ RC. Έι, όµς, τις ξής πλύ σηµαντικές διαφρπιήσις από την RC: Απφύγι τν πριρισµό πυ θέτι η RC για ηλκτρική πιδκτικότητα κθτικής µρφής στ πδί τυ ρόνυ. δώ, στην µέθδ τυ µτασηµατισµύ Ζ, δν µφανίζται πυθνά, κανένα συνλικτικό άθρισµα αφύ δ δυλύυµ στ πδί τυ διακριτύ ρόνυ, και συνπώς απφύγται παραπάν πριρισµός. ίναι µια µέθδς πυ µπρί µ την ίδια ακριβώς φιλσφία και διαδικασία πυ πριγράψαµ στην πρίπτση τν υλικών µ διασπρά, να φαρµστί και για την πρίπτση τν µη γραµµικών υλικών. ίναι, πµένς, µια ιδιαίτρα υέλικτη και ύρηστη µέθδς µντλπίησης νός µγάλυ ύρυς υλικών. Μπρί να µντλπιήσι και υλικά µ διασπρά στα πία η συνάρτηση ηλκτρικής πιδκτικότητας στ πδί της συνότητας έι µια πιαδήπτ έκφραση πυ πριλαµβάνι τ j ή ακέραις δυνάµις αυτύ. Η µντλπίηση αυτών τν υλικών µ την RC 73

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ ίναι δύσκλ πιθανότατα, αδύνατ να γίνι, αφύ η στ πδί τυ ρόνυ ίναι πλύ πιθανό να έι µια πλύπλκη και, κυρίς, µη κθτική µρφή. Απναντίας, η µέθδς Z rasfr µπρί να µντλπιήσι και αυτά τα υλικά, θέτντας όπυ j και πρρώντας στη συνέια καννικά µ τη µθδλγία πυ ίδαµ µέρι τώρα. Μάλιστα, για πι καλή πρσέγγιση, µπρί να γίνι η αντικατάσταση: j ίναι λγόµνς: «ιγραµµικός Μτασηµατισµός»/ Blar Trasfra, πίς µάλιστα ρησιµπιίται πλύ συνά στην κατασκυή ψηφιακών φίλτρν, και να συνίσυµ, πάλι, καννικά µ τν αλγόριθµ όπς τν έυµ δι µέρι τώρα. γ Αν και η µέθδς τυ µτασηµατισµύ Ζ απφύγι τα παραπάν αρνητικά αρακτηριστικά της RC, ντύτις δν καταφέρνι να κρατήσι τ σηµαντικότρ πλνέκτηµα της RC, πυ ίναι ι µικρές απαιτήσις πυ έι σ ότι αφρά την υπλγιστική µνήµη. Τυς λόγυς για τυς πίυς συµβαίνι αυτό, τυς έυµ ξηγήσι στην παράγραφ 4.4, µτά τα υλικά by. Παρόλα αυτά, ι απαιτήσις σ µνήµη µη τη µέθδ Z Trasfr, ίναι σαφώς λιγότρς απ αυτές τις µθόδυ AE. Συγκκριµένα, για τα υλικά by ι απαιτήσις σ µνήµη και τν τριών µθόδν ίναι ι ίδις: Μία µόν πιπλέν µταβλητή συγκριτικά µ τν καννικό αλγόριθµ της FT η ψ για την RC, η για την AE/ξ. 4.39 και η για την Z Trasfr/ξ. 4.55. Για τα υλικά rud, η µέθδς RC απαιτί πιπλέν πραγµατική µταβλητή, την ψ, η AE απαιτί 3 πιπλέν µταβλητές πυ ίναι ι,, E /ξ. 4.43, νώ η Z Trasfr απαιτί πιπλέν µταβλητές, τις V,V /ξ. 4.65. Τέλς, στην πρίπτση τν υλικών Lr, ι υπλγιστικές απαιτήσις σ µνήµη της RC ίναι πραγµατικές µταβλητές µία µιγαδική, η ψ, της AE ίναι 3 πιπλέν µταβλητές, ι,, E /ξ. 4.47, νώ της Z Trasfr ίναι µόλις µία, η πιπλέν µταβλητή V/ξ. 4.7. Για υλικά πυ Αυτή η αντικατάσταση, απτλί µια από τις ιδιότητς τυ µτασηµτισµύ Ζ, πυ στην υσία λέι ότι d τλστής στ πδί τυ ρόνυ, µπρί να αντικατασταθί µ τν τλστή στ πδί τυ d Ζ, όπς φαίνται συνπτικά παρακάτ: df d f [ ] f [ ] f [ ] f [ ZT F F F 74

ΚΦΑΛΑΙΟ 4 ΤΧΝΙΚΣ ΠΠΡΑΣΜΝΩΝ ΙΑΦΟΡΩΝ ΣΤΟ ΠΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΓΙΑΥΛΙΚΑ Μ ΙΑΣΠΟΡΑ παρυσιάζυν διασπρά µγαλύτρης τάξης η διαφρά µταξύ τν µθόδν RC και AE, σ ότι αφρά τις απαιτήσις σ µνήµη, θα ίναι λένα και µγαλύτρς, νώ η µέθδς Z Trasfr θα βρίσκται κάπυ στ νδιάµσ µταξύ τν δύ µθόδν αν και για τα υλικά Lr, «έτυ» η Z Trasfr να έι λιγότρς υπλγιστικές απαιτήσις και από τις δύ άλλς µθόδυς. γ Τέλς, σ ότι αφρά τη σύγκριση τν συντλστών τν αναδρµικών ξισώσν για τ, για τις µθόδυς AE και Z Trasfr, αξίζι να σηµιθί τ ξής: Μ βάση την ταυτότητα: /, 4.74 µπρί να απδιτί [4], [3] ότι ι συντλστές τν αναδρµικών ξισώσν πυ πρκύπτυν από τις δύ πραναφρθέντς µθόδυς, ταυτίζνται σδόν απόλυτα όταν 0, πράγµα πυ σηµαίνι ότι σ αυτήν την πρίπτση ι δύ µέθδι ίναι στην υσία υπλγιστικά ισδύναµς σ ότι αφρά τα απτλέσµατα πυ δίνυν. πιδή δ, στα πρβλήµατα πυ πριλαµβάνυν µέσα µ διασπρά, πράγµατι, τ ρνικό βήµα τ παίρνυµ πάντα να ίναι πάρα πλύ µικρό υπσηµίση 7 η παραπάν απαίτηση 0 ικανπιίται και, έτσι, ι δύ µέθδι γίννται, στην υσία, ισδύναµς υ- πλγιστικά. 75

ΚΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΛΣΜΑΤΑ Στ κφάλαι αυτό θα παραθέσυµ τα αριθµητικά απτλέσµατα πυ πρέκυψαν από την πρσµίση της διάδσης ηλκτρµαγνητικών παλµών Γκαυσιανής µρφής σ κάθ ένα από τα υλικά πυ ξτάσαµ στ κφάλαι 3 by, rud, Lr. Η πρσµιτική µλέτη τν ν λόγ υλικών, έγιν και µ τις τρις µθόδυς πυ αναλύσαµ διξδικά στ κφάλαι 4 RC, AE, Z Trasfr, ώστ η ξέταση τν µθόδν πυ µντλπιύν τα υλικά µ διασπρά να ίναι, όσ τ δυνατόν, πι πλήρης. Η κάθ κατηγρία υλικών ξτάζται ξριστά, και µ τις τρις µθόδυς, και η διαδικασία πυ ακλυθίται σ κάθ πρίπτση ίναι η ξής: Κατ αρήν, παραθέτυµ τη γραφική παράσταση τυ Γκαυσιανύ παλµύ συναρτήσι τυ ρόνυ καθώς πίσης και τη γραφική παράσταση τυ πλάτυς τυ µτασηµατισµύ Furr τυ ν λόγ παλµύ συναρτήσι της κυκλικής συνότητας rad/sc. Μ τν τρόπ αυτό, πρσδιρίζται η ρνική και φασµατική έκταση τυ παλµύ, πίς ρησιµπιίται σ κάθ µία από τις πρσµιώσις. Ακλυθί η ξήγηση τυ τρόπυ πιλγής τυ ρικύ και τυ ρνικύ βήµατς, µ βάση τα αρακτηριστικά τυ παλµύ πυ αναφέρθηκαν πρηγυµένς. Στη συνέια, για κάθ κατηγρία υλικύ: Πριγράφται σύντµα ώρς τυ πρβλήµατς και δίνται τ ανάλγ σήµα, Παρατίθνται ι στικές ικόνς µ τις διαδικές φάσις της δηµιυργίας διάδσης σκέδασης τυ υπό µλέτη παλµύ από την ριακή πιφάνια τυ υλικύ µ διασπρά, έτσι όπς αυτές πρκύπτυν µ βάση την κάθ µέθδ, πιδή ι διαφρές στα απτλέσµατα µταξύ τν τριών µθόδν ίναι αµλητές, αµέσς µτά τις ικόνς, παρατίθνται και αντίστιι για κάθ ικόνα πίνακς µ τις απόλυτς τιµές τν µγίστν διαφρών µταξύ τν 3 µθόδν ανά δύ ξταζόµνς σ όλ τν υπλγιστικό ώρ, µαζί µ τα κλιά όπυ µφανίζνται ι µέγιστς αυτές διαφρές και v Σλιάζνται τα απτλέσµατα πυ φαίννται στα σήµατα και στυς αντίστιυς πίνακς, για κάθ κατηγρία υλικών. Η απρρφητική συνθήκη πυ ρησιµπιίται σ κάθ φαρµγή, ίναι η απρρφητική συνθήκη τυ Mur πρώτης τάξης, και φαρµόζται και στις δύ ριακές πιφάνις άκρα τυ υπλγιστικύ ώρυ. 76

ΚΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΛΣΜΑΤΑ Χαρακτηριστικά της διέγρσης Γκαυσιανός παλµός Όπς ήδη αναφέραµ, η διέγρση πυ ρησιµπιίται σ όλς τις παρακάτ πρσ- µιώσις, ίναι ένας Γκαυσιανός παλµός ΤΜ µνδιάστατ κύµα,, H y η ρνική διάρκια τυ πίυ καθώς και τ φάσµα τυ, ικνίζνται στ παρακάτ σήµα: Όπς φαίνται, η ρνική διάρκια τυ παλµύ ίναι πρίπυ 0, fsc, τ δ φάσµα Η, και, συν- τυ κτίνται µέρι πρίπυ τη συνότητα: f π πώς, τ λάιστ µήκς κύµατς τυ πραγµατικύ κύµατς ίναι: 8,350, ax 6 ax,30 λ 3,5. Τ µήκς τυ µνδιάστατυ κλιύ, ίναι: x, 0 0 ή: 0,, δηλαδή έι πιλγί να ίναι, πρίπυ, φρές µικρότρ από τ λ, ακριβώς ώστ να διγµατληπτύνται ικανπιητικά ακόµα και τα πλύ µικρά µήκη κύµατς τν συνιστσών από τα πία συντίθται παλµός. Σύµφνα µ τα όσα αναφέραµ στην παράγραφ.3., αυτό σηµαίνι ότι µιώνται στ λάιστ η ανπιθύµητη αριθµητική διασπρά πυ ισάγται από τ ρικό πλέγµα. Τ ρνικό βήµα, έι πιλγί να ίναι 6 φρές µικρότρ απ την τιµή πυ καθρίζι τ όρι τυ Cura, δηλαδή, ίναι: x 6 c 0,5 0 0 sc, ώστ να απκτάµ πρισσότ- 77

ΚΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΛΣΜΑΤΑ ρη πληρφρία σ ότι αφρά τις τιµές τν µτρύµνν µγθών υπλγίζυµ τις τι- µές σ πλλά ρνικά βήµατα. ύκλα πρκύπτι, ότι παλµός παίρνι τη µέγιστη τι- µή τυ στ 4000στό ρνικό βήµα, η δ διάρκιά τυ, ίναι πρίπυ 8000 ρνικά βή- µατα, νώ για να φτάσι την ριακή/διαριστική πιφάνια τν δύ µέσν, απαιτύνται 800 ρνικά βήµατα. ΥΛΙΚΑ EBYE Ο υπλγιστικός ώρς απτλίται από 5000 κλιά, µ τα 500 πρώτα να καταλαµβάννται από τν κνό ώρ, νώ στα άλλα 500 κλιά κτίνται τ υλικό by 6 80, 30,,8, έτσι όπς φαίνται στ παρακάτ σήµα: 0 s Η πηγή διέγρση, έι τπθτηθί στ 800στό κλί, και ίναι Γκαυσιανός παλµός πυ αναφέραµ παραπάν. Μ αυτά τα δδµένα, ι διαδικές φάσις µαζί µ τα αντίστια ρνικά βήµατα της δηµιυργίας - διάδσης σκέδασης τυ ν λόγ παλµύ, ικνίζνται στα Σήµατα πυ ακλυθύν: 78

ΚΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΛΣΜΑΤΑ Σήµα Σήµα Σήµα 3 79

ΚΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΛΣΜΑΤΑ Σήµα 4 Σήµα 5 Σήµα 6 80

ΚΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΛΣΜΑΤΑ Σήµα 7 Σήµα 8 Σήµα 9 8

ΚΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΛΣΜΑΤΑ Σήµα 0 Σήµα Σήµα 8

ΚΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΛΣΜΑΤΑ Παρατηρύµ ότι, µτά την πρόσπτσή τυ στ υλικό by, παλµός διυρύνται λόγ, ακριβώς, της διασπράς, της διαφρτικής ταύτητας δηλαδή µ την πία διαδίδται τ κύµα, διατηρί στόσ αν και βαθµιαία µιύµν τη µρφή τυ. Σ ότι αφρά τις αναλυτικά µτρύµνς διαφρές µταξύ τν τριών µθόδν, για κάθ ένα από τα παραπάν σήµατα, παραθέτυµ τυς παρακάτ πίνακς, όπυ φαίννται ι απόλυτς τιµές τν µγίστν διαφρών, σ όλ τν υπλγιστικό ώρ, τν µτρύµνν E πυ δίνι η κάθ µία µέθδς. Ο αύξν αριθµός πυ αντιστιί σ κάθ πίνακα, υπδηλώνι την ικόνα στην πία πίνακας αυτός αναφέρται: RC, AE RC,ZT AE, ZT ax 8,888 0-6 8,888 0-6 0 Κλί / ιά 773, 87 773, 87 RC, AE RC,ZT AE, ZT ax,8866 0-5,8866 0-5 0 Κλί / ιά 784, 794, 806, 86 784, 794, 806, 86 3 RC, AE RC,ZT AE, ZT ax 5,995 0-5 5,995 0-5 0 Κλί / ιά 77, 89 77, 89 4 RC, AE RC,ZT AE, ZT ax,003 0-4,003 0-4 0 Κλί / ιά 559, 04 559, 04 5 RC, AE RC,ZT AE, ZT ax 9,9365 0-5 9,9365 0-4 0 Κλί / ιά 360, 40 360, 40 83

ΚΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΛΣΜΑΤΑ 6 RC, AE RC,ZT AE, ZT ax 4,377 0-9 5,847 0-4,387 0-9 Κλί / ιά 50 50 7 RC, AE RC,ZT AE, ZT ax 5,9540 0-5,85 0-6 6,0996 0-5 Κλί / ιά 55 56 55 8 RC, AE RC,ZT AE, ZT ax 9,9 0-5 4,765 0-6 9,3855 0-5 Κλί / ιά 676 636 676 9 RC, AE RC,ZT AE, ZT ax 8,965 0-5 3,649 0-6 8,75 0-5 Κλί /ιά 84 857 84 0 RC, AE RC,ZT AE, ZT ax 3,548 0-5,008 0-6 3,636 0-5 Κλί / ιά 49 568 493 RC, AE RC,ZT AE, ZT ax 3,547 0-5,008 0-6 3,636 0-5 Κλί / ιά 367 443 368 RC, AE RC,ZT AE, ZT ax 3,547 0-5,008 0-6 3,639 0-5 Κλί / ιά 79 56 80 Παρατηρύµ ότι ι απκλίσις µταξύ τν τριών µθόδν ίναι ασήµαντς ιδικά για τν κνό ώρ, γγνός πυ πιστπιί την ικανότητά τυς να µντλπιύν µ 84

ΚΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΛΣΜΑΤΑ ικανπιητική ακρίβια τη συγκκριµένη κατηγρία υλικών. Πι συγκκριµένα, όπς πρκύπτι από την ξέταση τν στικών πινάκν, στα 5 πρώτα σήµατα, όσ δηλαδή έυµ ακόµα διάδση στν λύθρ ώρ, ι µέθδι AE και ZT, δίνυν ακριβώς τα ίδια απτλέσµατα. Στ 700στό ρνικό βήµα Σ. 6, Πίν. 6 δξιός παλµός φτάνι στη διαριστική πιφάνια τν δύ µέσν κνό/υλικό by, και από κίνη τη στιγµή και µτά αρίζι να µφανίζται µια ασήµαντη διαφρά µταξύ τν µθόδν AE και ZT 4,387 0-9, η πία όµς µέρι τ τλυταί ρνικό βήµα, δν γίνται πτέ µγαλύτρη από 0-5. Η σηµαντική αυτή συµφνία µταξύ τν µθόδν AE και ZT, φίλται όπς αναφέραµ στην παράγραφ 4.5 στ πλύ µικρό ρνικό βήµα πυ έυµ πιλέξι,5 0 0 sc. Τ ίδι καλή, ίναι και η συµφνία της µθόδυ RC µ τις δύ πρηγύµνς. Μπρί να µην υπάρι πλήρης ταύτιση µ τις AE, ZT στα µτρύµνα µγέθη για τη διάδση στν κνό ώρ, στόσ η απόκλιση αυτής της µθόδυ από τις δύ πραναφρθίσς, δν ξπρνά σ όλη τη διάρκια της πρσµίσης τ 0-5, σ όλη την έκταση τυ υπλγιστικύ ώρυ. Από τ Σ. 6 και µτά, βλέπυµ µόν τν έναν παλµό, αφύ αριστρός παλµός έι απρρφηθί πλήρς από την απρρφητική συνθήκη Mur α τάξης πυ έυµ θέσι στα όρια τυ υπλγιστικύ ώρυ. Μ τη συνθήκη αυτή, υπλγίζται, για κάθ ρνική στιγµή, τ στα δύ όρια τυ υπλγιστικύ ώρυ, µ βάση τιµές στην πρηγύµνη ρνική στιγµή και στ πρώτ γιτνικό σηµί ντός τυ ρίυ. Για παράδιγµα, για τν υπλγισµό τυ στη θέση 0 κλί, η συνθήκη Mur πρώτης τάξης γράφται: c x c x [ ] 0 0. Μ τν ίδι τρόπ γίνται και υπλγισµός τυ και στ άλλ άκρ τλυταί κλί τυ υπλγιστικύ ώρυ. Τέλς, παρατηρύµ ότι στ Σ., λόγ τυ σστύ τρµατισµύ της πηγής, παλ- µός συνίζι να διαδίδται πρς τα αριστρά και δν ανακλάται. 85

ΚΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΛΣΜΑΤΑ ΥΛΙΚΑ RUE δώ, η διέγρση έι ακριβώς τα ίδια αρακτηριστικά όπς και στην πρίπτση τν υλικών by, νώ, σ ότι αφρά τν υπλγιστικό ώρ, η µόνη διαφρά µ την πρηγύµνη πρίπτση ίναι ότι τη θέση τυ υλικύ by καταλαµβάνι. τώρα, ένα υλικό rud, όπς φαίνται στ σήµα: Η συνότητα κρύσης τυ υλικύ έι τιµή p 8,48 0 5 0 0 H, η δ συνότητα πλάσµατς ίναι, και φόσν τ µγαλύτρ µέρς τυ φάσµατς τυ παλµύ καταλαµβάνι συνότητς µικρότρς από p, αναµένυµ σύµφνα µ τη θρία παλµός να υφίσταται διασπρά, σ µγαλύτρ βαθµό απ ότι στην πρίπτση τυ υλικύ by. πιδή, τα απτλέσµατα, µ βάση και τις τρις µθόδυς, για τν κνό ώρ πρέκυψαν όπς και πρηγυµένς, σδόν, ταυτόσηµα, στην πρίπτση αυτή, ικνίζνται ι διαδικές φάσις της διάδσης τυ ηλκτρµαγνητικύ παλµύ, από τη ρνική στιγµή πυ αυτός φτάνι στη διαριστική πιφάνια τν δύ µέσν και µτά. Αυτές, φαίννται στα Σ. 3 8, πυ παρατίθνται παρακάτ: 86