liberi 1 liberi 2 3 4
Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia dreptei determinate se numeşte direcţia segmentului (A, B). Segmentele (A, B) şi (B, A) se numesc opuse. Lungimea unui vector este numarul real şi pozitiv, care reprezintă distanţa dintre A şi B. Notăm d(ab). Două segmente (A, B) şi (C, D) se numesc egale dacă A = C şi B = D.
liberi Relaţia de echipolenţă Segmentele (A, B) şi (C, D) se numesc echipolente dacă segmentele orientate (A, D) şi (B, C) au acelaşi mijloc. Notăm (A, B) (C, D). Observaţii. 1. (A, A) (B, B). 2. Dacă A B atunci (A, B) (C, D) dacă şi numai dacă -d(a, B) = d(c, D) -AB CD -B şi D sunt de aceeaşi parte a dreptei AC.
liberi Relaţia de echipolenţă Segmentele (A, B) şi (C, D) se numesc echipolente dacă segmentele orientate (A, D) şi (B, C) au acelaşi mijloc. Notăm (A, B) (C, D). Observaţii. 1. (A, A) (B, B). 2. Dacă A B atunci (A, B) (C, D) dacă şi numai dacă -d(a, B) = d(c, D) -AB CD -B şi D sunt de aceeaşi parte a dreptei AC.
Vector liber liberi Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă, adică au loc: - (A, B) (A, B) - (A, B) (C, D) (C, D) (A, B) - dacă (A, B) (C, D) şi (C, D) (E, F) atunci (A, B) (E, F). O relaţie de echivalenţă împarte mulţimea segmentelor orientate în clase de echivalenţă, a căror mulţime o notăm V 3. O clasă de echivalenţă se numeşte vector liber şi se notează AB sau v. Vectorul liber AB este mulţimea tuturor segementelor orientate echipolenţi cu (A, B).
Vector liber liberi Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă, adică au loc: - (A, B) (A, B) - (A, B) (C, D) (C, D) (A, B) - dacă (A, B) (C, D) şi (C, D) (E, F) atunci (A, B) (E, F). O relaţie de echivalenţă împarte mulţimea segmentelor orientate în clase de echivalenţă, a căror mulţime o notăm V 3. O clasă de echivalenţă se numeşte vector liber şi se notează AB sau v. Vectorul liber AB este mulţimea tuturor segementelor orientate echipolenţi cu (A, B).
Vector liber liberi Relaţia de echipolenţă este o relaţie de echivalenţă, adică au loc: - (A, B) (A, B) - (A, B) (C, D) (C, D) (A, B) - dacă (A, B) (C, D) şi (C, D) (E, F) atunci (A, B) (E, F). O relaţie de echivalenţă împarte mulţimea segmentelor orientate în clase de echivalenţă, a căror mulţime o notăm V 3. O clasă de echivalenţă se numeşte vector liber şi se notează AB sau v. Vectorul liber AB este mulţimea tuturor segementelor orientate echipolenţi cu (A, B).
liberi Adunarea vectorilor liberi Definim adunarea a doi vectori liberi + : V 3 V 3 V 3 astfel: daţi vectorii liberi AB şi CD, vectorul suma AB + CD este clasa de echivalenţă a diagonalei paralelogramului determinat de cei doi vectori. Adunarea nu depinde de alegerea reprezentanţilor.
liberi Adunarea vectorilor liberi Definim adunarea a doi vectori liberi + : V 3 V 3 V 3 astfel: daţi vectorii liberi AB şi CD, vectorul suma AB + CD este clasa de echivalenţă a diagonalei paralelogramului determinat de cei doi vectori. Adunarea nu depinde de alegerea reprezentanţilor.
liberi Înmulţirea cu scalari Definim operaţia de înmulţire a unui vector liber cu un scalar astfel: : R V 3 V 3 astfel: pentru λ R şi AB vector liber prin înmulţirea lor înţelegem vectorul liber : AC dacă λ > 0, A, B, C coliniare, AB şi AC au aceeaşi orientare şi d(a, C) = λd(a, B). dacă λ = 0 AD dacă λ < 0, A, B, D coliniare, AD şi AB au orientări diferite şi d(d, A) = λd(a, B).
liberi Spaţiul vectorilor liberi Teoremă Mulţimea V 3 înzestrată cu cele două legi formează un spaţiu liniar peste R. Reper cartezian (ortogonal). Considerăm în S un triedru ortogonal Oxyz, format din 3 semidrepte Ox, Oy, Oz, astfel ca cele 3 drepte sunt ortogonale doua câte două. Fie pe cele 3 drepte punctele U 1, U 2, U 3 şi vectorii i = OU1, j = OU 2, k = OU 3 astfel ca d(ou 1 ) = d(ou 2 ) = d(ou 3 ) = 1.,
liberi Spaţiul vectorilor liberi Teoremă Mulţimea V 3 înzestrată cu cele două legi formează un spaţiu liniar peste R. Reper cartezian (ortogonal). Considerăm în S un triedru ortogonal Oxyz, format din 3 semidrepte Ox, Oy, Oz, astfel ca cele 3 drepte sunt ortogonale doua câte două. Fie pe cele 3 drepte punctele U 1, U 2, U 3 şi vectorii i = OU1, j = OU 2, k = OU 3 astfel ca d(ou 1 ) = d(ou 2 ) = d(ou 3 ) = 1.,
liberi Dimensiunea spaţiului V 3 Fie v V 3 un vector liber. Există un unic punct M astfel ca v = OM şi care se numeşte vector de poziţie. Proiectăm punctul M pe axele Ox, Oy, Oz în punctele M 1, M 2, M 3 respectiv. Avem OM 1 = x i, OM 2 = y j, OM 3 = z k. Are loc v = x i + y j + z k (1) Teoremă Mulţimea B = { i, j, k } este o bază în spaţiul V 3. Deci V 3 are dimensiunea 3.
Demonstraţie liberi Se arată că vectorii i, j, k sunt liniar independenţi. Fie λ 1 i + λ2 j + λ3 k = 0 şi presupunem că λ3 0 atunci are loc: λ 1 λ 2 k = i j λ 3 λ 3 ceea ce înseamnă că în particular segmentul OU 3 este paralel cu planul xoy, absurd. Dacă λ 2 = 0 atunci ar rezulta k = λ 1 λ 3 i deci OU3 ar fi paralel cu Ox, absurd. Din relaţia (1), orice sistem de forma { v, i, j, k } este liniar dependent. Notăm d(om) = OM = v şi o numim lungime sau norma vectorului.
Demonstraţie liberi Se arată că vectorii i, j, k sunt liniar independenţi. Fie λ 1 i + λ2 j + λ3 k = 0 şi presupunem că λ3 0 atunci are loc: λ 1 λ 2 k = i j λ 3 λ 3 ceea ce înseamnă că în particular segmentul OU 3 este paralel cu planul xoy, absurd. Dacă λ 2 = 0 atunci ar rezulta k = λ 1 λ 3 i deci OU3 ar fi paralel cu Ox, absurd. Din relaţia (1), orice sistem de forma { v, i, j, k } este liniar dependent. Notăm d(om) = OM = v şi o numim lungime sau norma vectorului.
Direcţie în spaţiu liberi Fie D mulţimea tuturor dreptelor din spaţiul S. Două drepte d, d sunt paralele în sens larg dacă sunt paralele sau coincid. Numim direcţie mulţimea tuturor dreptelor paralele în sens larg cu o dreaptă d.. Numim vector director al unei direcţii orice vector nenul având un reprezentant paralel cu d. Fie doi vectori directori ai aceleiaşi directţii: v = l i + m j + n k, v 1 = l 1 i + m1 j + n1 k. Atunci v 1 = α v vectorii sunt liniar dependenţi ceea ce este echivalent cu l 1 = m 1 l m = n 1 n = α.
Direcţie în spaţiu liberi Fie D mulţimea tuturor dreptelor din spaţiul S. Două drepte d, d sunt paralele în sens larg dacă sunt paralele sau coincid. Numim direcţie mulţimea tuturor dreptelor paralele în sens larg cu o dreaptă d.. Numim vector director al unei direcţii orice vector nenul având un reprezentant paralel cu d. Fie doi vectori directori ai aceleiaşi directţii: v = l i + m j + n k, v 1 = l 1 i + m1 j + n1 k. Atunci v 1 = α v vectorii sunt liniar dependenţi ceea ce este echivalent cu l 1 = m 1 l m = n 1 n = α.
Direcţie în spaţiu liberi Fie D mulţimea tuturor dreptelor din spaţiul S. Două drepte d, d sunt paralele în sens larg dacă sunt paralele sau coincid. Numim direcţie mulţimea tuturor dreptelor paralele în sens larg cu o dreaptă d.. Numim vector director al unei direcţii orice vector nenul având un reprezentant paralel cu d. Fie doi vectori directori ai aceleiaşi directţii: v = l i + m j + n k, v 1 = l 1 i + m1 j + n1 k. Atunci v 1 = α v vectorii sunt liniar dependenţi ceea ce este echivalent cu l 1 = m 1 l m = n 1 n = α.
liberi Fie v, w V 3 doi vectori liberi şi θ [0, π] unghiul dintre doi reprezentanţi. Definiţie Numim produs scalar numărul real dat de v w = v w cos θ. (2) Dacă unul dintre vectori este 0, atunci produsul este 0. Produsul scalar are proprietăţile produsului scalar din definiţia spaţiilor euclidiene.
Consecinţe liberi 1. v = v v 2. Are loc inegalitatea Cauchy Schwarz v w v w. 3. Au loc i j = 0, i k = 0, j k = 0 şi i i = 1, j j = 1, k k = 1 4. Dacă v = x i + y j + z k şi v = x i + y j + z k atunci v v = xx + yy + zz.
Aplicaţii liberi 1. Lungimea unui vector v = x 2 + y 2 + z 2 2. Unghiul a doi vectori cos θ = xx + yy + zz x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2. 3. Cosinuşii directori ai unei direcţii. Fie v = l i + m j + n k un vector director. Acestui vector i se asociază doi versori v i + m j + n k u = ± v = ±l l 2 + m 2 + n 2
liberi Cosinuşii directori Se numesc cosinuşi directori numerele l a = ± l 2 + m 2 + n, b = ± m 2 l 2 + m 2 + n, c = ± n 2 l 2 + m 2 + n. 2 Au loc i u = cos α, j u = cos β, k u = cos γ, unde α, β, γ sunt unghiurile pe care direcţia le face cu Ox, Oy, Oz. Deci un versor are expresia u = cos α i + cos β j + cos γ k
liberi 4. Teorema cosinusului. Fie triunghiul ABC şi u = AB, v = AC. Atunci BC = v u deci BC 2 = ( v u ) ( v u ) = u 2 + v 2 2 u v cos θ 5. Proiecţii. Fie v, w V 3. Proiecţia scalară a lui w pe v este prin notată pr v w. Are loc v w = v pr v w
liberi 4. Teorema cosinusului. Fie triunghiul ABC şi u = AB, v = AC. Atunci BC = v u deci BC 2 = ( v u ) ( v u ) = u 2 + v 2 2 u v cos θ 5. Proiecţii. Fie v, w V 3. Proiecţia scalară a lui w pe v este prin notată pr v w. Are loc v w = v pr v w
liberi Definiţie Fie v, w V 3. Numim produs vectorial, vectorul notat v w V3 astfel: Dacă v, w sunt coliniari, atunci v w = 0. Dacă nu sunt coliniari atunci v w are direcţia este perpendiculară pe planul celor doi vectori lungimea este aria paralelogramului construit pe cei doi vectori, adică v w sin θ sensul este dat de "regula burghiului"
Regula burghiului liberi Matematic regula burghiului exprimă alegerea unuia dintre cele două sensuri posibile ale vectorilor, perpendiculari pe planul paralelogramului, astfel ca determinantul matricei de trecere de la baza B = { i, j, k } la baza B = { v, w, v w } să fie pozitiv.
Proprietăţi liberi Au loc 1. v w = w v, v, w V 3 2. v w = 0 dacă şi numai dacă v, w sunt coliniari (liniar independenţi). 3. v ( w 1 + w 2 ) = v w 1 + v w 2 4. v (λ w ) = λ( v w ). 5. i i = 0, j j = 0, k k = 0 i j = k, j k = i, k i = j
liberi 6. Dacă v = x i + y j + z k şi v = x i + y j + z k atunci v v = i j k x y z x y z
Aplicaţii liberi 1. Aria triunghiului ABC este 2. Identitatea lui Lagrange 1 2 AB AC. ( v w ) 2 + ( v w ) 2 = v 2 w 2. 3. Momentul unei forţe. Fie A un punct în spaţiu şi F = PQ o forţă cu momentul de aplicaţie P. Se numeşte momentul în A al forţei F, produsul vectorial AP F.
liberi Definiţie Fie a, b, c V 3. Se numeşte produs mixt numărul real ( a, b, c ) = a ( b c ). Dacă a = x 1 i + y1 j + z1 k, b = x2 i + y2 j + z2 k, c = x 3 i + y3 j + z3 k atunci ( a, b, x 1 y 1 z 1 c ) = x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3.
Proprietăţi liberi 1. ( a, b, c ) = 0 dacă şi numai dacă vectorii sunt coplanari (liniar dependenţi). 2. ( a, b, c ) = ± volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori. 3. ( a, b, c ) = ( b, c, a ) = ( c, a, b ) 4. ( a, b, c ) = ( b, a, c ).
liberi Dublul produs vectorial Definiţie Fie a, b, c V 3. Se numeşte dublul produs vectorial, vectorul a ( b c ). Are loc formula a ( b c ) = ( a c ) b ( a b ) c = = b a b c a c.