Cornel Marin REZISTENŢA MATERIALELOR ŞI ELEMENTE DE TEORIA ELASTICITĂŢII

Cornl Mrin REZISTENŢ MTERILELOR ŞI ELEMENTE DE TEORI ELSTICITĂŢII

CORNEL MRIN REZISTENŢ MTERILELOR ŞI ELEMENTE DE TEORI ELSTICITĂŢII Editur Biliothc Târgovişt,

CUPRINS PREŢ INTRODUCERE ÎN REZISTENŢ MTERILELOR Prolml Ristnţi mtrillor 5 Mtod d clcul Modl d clcul 7 Ipot d ă în Ristnţ mtrillor 8 5 Clsificr srcinilor trior 9 Modlr lgăturilor 7 orţ intrior, tnsiuni şi forturi scţionl 8 Digrm d forturi scţionl şi convnţii d smn 9 Dformţii spcific şi dplsări 8 Cur crctristică mtrilului 9 Coficinţi d sigurnţă şi ristnţ dmisiil DIGRME DE EORTURI Introducr 5 Digrm d forturi il Digrm d forturi tăitor şi încovoitor 9 Digrm d forturi torsionl 5 Mtod funcţii trptă Φ 5 Digrm d forturi în r cotit pln 5 7 Digrm d forturi în r cotit spţil 57 8 Prolm propus INTINDERE ŞI COMPRESIUNE BRELOR DREPT Introducr 9 Tnsiuni norml l întindr-comprsiun 7 Dformţii şi dplsări 7 Enrgi potnţilă d dformţi lstică 7 5 Prolm sttic ndtrmint d întindr şi comprsiun 7 5 Diltr împidictă fără joc 7 5 Diltr împidictă cu joc 75 5 Br rticultă l cpt 75 5 Br nomogn montt cu joc 7 55 Sistm sttic ndtrmint pln formt din r prll 78 55 Sistm sttic ndtrmint spţil formt din r prll 8 Prolm propus 8

TORSIUNE BRELOR Introducr 87 Torsiun rlor d scţiun circulră şi inlră 89 Tnsiuni şi dformţii 89 Enrgi potnţilă d dformţi lstică 9 Torsiun rlor d scţiun ncirculră 9 Torsiun rlor d scţiun liptică 9 Torsiun rlor d scţiun drptunghiulră 9 Torsiun rlor din profil suţiri dschis 98 Torsiun rlor din profil suţiri închis Prolm propus 5 INCOVOIERE BRELOR DREPTE 5 Introducr 9 5 Crctristici gomtric l suprfţlor 5 Dfiniţii 5 Rlţiil lui STEINER pntru clculul momntlor d inrţi 5 Rlţiil pntru clculul momntlor d inrţi l rotir lor 5 Momnt d inrţi il principl 55 Crctristici gomtric l unor suprfţ simpl 5 Crctristici gomtric l suprfţlor compus 5 5 Rlţi lui NVIER pntru clculul tnsiunilor l încovoir pură simtrică 8 5 Clcul d ristnţă l solicitr d încovoir 5 Clcul d vrificr 5 Clcul d dimnsionr 5 Clculul srcinii cpil 55 Rlţi lui JURVSKI pntru clculul tnsiunilor l încovoir simplă 5 5 Luncr longitudinlă l încovoir simplă 5 Clculul l forfcr l îminărilor sudt 5 Clculul l forfcr l îminărilor cu nituri 5 Crificr scţiunilor înlt l luncr longitudinlă 5 57 Încovoir olică 58 Încovoir spţilă 9 58 Clculul folosind momntl d inrţi principl 9 58 Clculul folosind momntl d inrţi fţă d l sistmului dt 5 59 Încovoir rlor din profil suţiri Cntrul d forfcr-încovoir 5 59 Încovoir profillor suţiri rctngulr 5 59 Încovoir profillor suţiri circulr 5 5 Influnţ forfcării supr rlor supus l încovoir simplă 59 5 Prolm propus

ORECRE BRELOR Introducr 7 Clculul l forfcr l îminărilor cu nituri 7 Clculul l forfcr l îminărilor sudt 75 Clculul sudurii cp l cp 75 Clculul sudurii frontl 7 Clculul sudurii ltrl 77 Prolmă propusă 78 7 DEORMŢIILE BRELOR DREPTE SUPUSE L ÎNCOVOIERE 7 Ecuţi difrnţilă firi mdii dformt 8 7 Dformţiil ri în cul încovoirii simtric 8 7 Dformţiil ri în cul încovoirii olic 8 7 Dformţiil ri în cul încovoirii spţil 85 7 Mtod d clcul săgţilor şi rotirilor l încovoir 87 7 Mtod grfo-nlitică MOHR 87 7 Mtod funcţii d încărcr Ψ 9 7 Mtod funcţii d tip trptă Φ 98 7 Influnţ forfcării supr dformţiilor ri supus l încovoir simplă 7 Prolm propus 8 8 METODE ENERGETICE PENTRU CLCULUL DEPLSĂRILOR 8 Introducr 5 8 Principiul lucrului mcnic virtul în cul corpurilor dformil 8 Principiul minimului nrgii potnţil totl 8 Mtod RYLEIGH- RITZ 7 85 Mtod MOHR-MXWELL 8 85 Lucrul mcnic l forţlor trior pntru o ră drptă 8 85 Torm lucrului mcnic rciproc (BETTI) 9 85 Torm dplsărilor rciproc (MXWELL) 85 Mtod MOHR-MXWELL pntru solicitr întindr-comprsiun 855 Mtod MOHR-MXWELL pntru solicitr d încovoir pură simtrică rlor drpt 85 Mtod MOHR-MXWELL pntru solicitr d încovoir olică rlor drpt 857 ormul VEREŞCEGHIN pntru clculul intgrli 7 858 ormul / SIMPSON 8 Mtod CSTIGLINO 8 Prim tormă lui CSTIGLINO 8 dou tormă lui CSTIGLINO 87 Prolm propus 7

9 BRE CURBE CU X CIRCULRĂ 9 Introducr 5 9 Br cur încărct cu srcini rdil uniform distriuit în plnul lor 5 9 Br cur încărct cu srcini vrticl uniform distriuit în plnul lor 5 9 Br cur încărct cu srcini oriontl uniform distriuit în plnul lor 5 95 Br cur încărct cu srcini tngnţil uniform distriuit în plnul lor 5 9 Br cur încărct cu srcini vrticl uniform distriuit prpndiculr p 58 plnul lor 97 Tnsiuni norml l încovoir rlor cur 98 Clculul dplsărilor şi rotirilor l r cur 99 Prolm propus 7 GINZI CONTINUE Introducr 77 Ecuţi clor tri momnt (CLPEYRON) 78 Ecuţi clor tri săgţi (folosind funcţi d încărcr Ψ) 8 Grini continu cu rm punctul rigid l clşi nivl cu ri 8 Grind continuă cu tri rm punctul rigid (R) 8 Grind continuă cu ptru rm punctul rigid (R) 87 Grind continuă cu culisă coilă d cpăt şi un rm punctul rigid 9 l clşi nivl cu ri (IR) Grind continuă cu culisă coilă d cpăt şi două rm punctul 9 rigid l clşi nivl cu ri (IR) 5 Grind continuă cu culis coil l cpt, fără rm (I) 9 Grind continuă cu culis coil l cpt şi un rm intrmdir 97 situt l clşi nivl cu ri (IR) 5 Grini continu cu rm punctul rigid dnivlt su culis ncoil 5 Grind continuă cu tri rm punctul rigid dnivlt (Rd) 5 Grind continuă cu culisă d cpăt şi un rm punctul rigid dnivlt fţă d ri (IRd) 5 Grind continuă cu culisă d cpăt şi două rm rigid dnivlt fţă d ri (IRd) 5 Grind continuă cu culis coil l cpt şi un rm punctul rigid 5 dnivlt fţă d ri (IRd) Grini continu cu rm punctul rigid şi lstic 7 Grind continuă cu două rm punctul rigid şi un rm 7 intrmdir lstic (R) Grind continuă cu culisă d cpăt şi un rm lstic (IR) 9 Grind continuă cu culis coil l cpt şi un rm intrmdir lstic (IR) 7 Prolmă propusă

SISTEME PLNE DE BRE RTICULTE ÎN NODURI Introducr 5 Mtod forturilor pntru sistm sttic ndtrmint Mtod dplsărilor pntru sistm pln din r rticult Prolm propus SISTEME PLNE DE BRE CU NODURI RIGIDE Introducr 9 Mtod forturilor pntru sistm sttic ndtrmint Etpl mtodi forturilor Simtrii în sistm sttic ndtrmint Clculul dplsărilor în sistm sttic ndtrmint Mtod dplsărilor pntru sistm pln formt din r cu noduri rigid Mtric d rigiditt în coordont locl Mtric d rigiditt în coordont glol 8 lgoritmul mtodi dplsărilor 5 Prolm propus STRE PLNĂ DE TENSIUNI ŞI DEORMŢII Str plnă d tnsiuni 7 Tnsorul tnsiunilor 7 Vriţi tnsiunilor σ şi τ cu unghiul α l normli plnului cu O 8 Dircţii şi tnsiuni principl 7 Tnsiuni tngnţil mim şi minim 7 Crcul lui MOHR 7 Crcul lui LND 75 Curi prticulr l stării pln d tnsiuni 7 Întindr su comprsiun monoilă 7 Întindr su comprsiun iilă 77 Întindr şi comprsiun iilă 78 orfcr pură 79 5 Încovoir simplă simtrică 8 Încovoir pură simtrică 8 5 Str plnă d dformţii 87 5 Dformţii spcific linir şi unghiulr 87 5 Vriţi dformţiilor spcific l rotir sistmului d 89 5 Dformţii spcific principl 9 5 Luncări spcific mim şi minim 9 55 Rot tnsomtrică 9 Lg lui HOOKE pntru str plnă d tnsiuni 9 7 Prolm propus 9

STRE SPŢILĂ DE TENSIUNI ŞI DEORMŢII Str spţilă d tnsiuni 99 Tnsorul tnsiunilor 99 Tnsorul dformţiilor Ecuţiil d chiliru l tnsiunilor Ecuţiil d chiliru p frontiră 5 5 Ecuţiil gomtric într dformţii şi dplsări (CUCHY) Ecuţiil d continuitt SINT VENNT 7 7 Lg lui HOOKE gnrlită 8 8 Dircţii şi tnsiuni principl 9 Tnsiuni tngnţil mim şi minim Elipsoidul tnsiunilor Tnsiuni octdric 7 Dformţi spcifică volumică Ecuţi lui POISSON 8 Crcuiril lui MOHR pntru str spţilă d tnsiuni 9 Enrgi potnţilă d dformţi lstică Str spţilă d dformţii Vriţi dformţiilor într-un corp lstic Dircţii şi dformţii spcific principl Rlţi dintr constntl E, G şi v Tnsorul dformţiilor 5 Prolm propus 5 TEORII DE REZISTENŢĂ 5 Stări limită d tnsiuni şi dformţii 9 5 Torii clsic d ristnţă 5 Tori I, tnsiunii norml mim (G Glili) 5 Tori II-, dformţii spcific mim ( Mriott) 5 Tori III-, tnsiunii tngnţil mim (ChCoulom, Trsc) 5 5 Tori IV-, nrgii potnţil spcific totl (Bltrmi) 55 Tori V-, nrgii potnţil spcific d vriţi formi (von Misss) 5 Tori stărilor limită lui MOHR 8 BIBLIOGRIE

PREŢĂ Lucrr rprintă prim prt cursului d Ristnţ mtrillor prdt studnţilor d l profilul thnic l univrsităţilor cst curs îmină noţiunil prdt l cursuril Studiul şi Thnologi mtrillor, Mcnic tortică, cu noţiuni spcific Ristnţi mtrillor, l Torii lsticităţii şi plsticităţii, în scopul crării uni ştiinţific solid pntru proictr şi nli structurilor mcnic C oric curs prdt studnţilor d l spciliăril thnic, cst curs s crctriă printr-un limj thnic spcific ir conţinutul şi form d punr (rprntări grfic, dmonstrţii, tc) st prticulră rspctând ctitt şi curtţ mtmtică crut rolvării prolmlor d lsticitt cu jutorul modllor clsic d clcul Prnt lucrr studiă solicităril simpl l pislor d mşini pntru modlul simplu d ră drptă şi d ră cură cu circulră, dr şi pntru sistml pln formt din r drpt su cur rticult în noduri su cu noduri rigid (r cotit) din punct d vdr l tnsiunilor, dformţiilor şi dplsărilor spcific corpurilor dformil Solicităril studit corspund clor ptru tipuri d forturi din rl drpt prntt în primul cpitol: întindr su comprsiun, răsucir, încovoir şi forfcr Pntru ficr tip d solicitr s- prntt un modl d clcul şi un su mi mult plicţii rolvt cu rolul d dmonstr şi fi modlul d clcul prntt În cl ptru cpitoll loct solicitărilor simpl rlor drpt (III-VI) s-u prntt digrml d forturi scţionl, rlţiil pntru clculul tnsiunilor şi dformţiilor spcific, nrgii potnţil d dformţi lstică, dplsărilor prin mtod nlitic clsic şi modrn spcific Ristnţi mtrillor D smn, un cpitol spcil (VIII) fost loct mtodlor nrgtic pntru clculul dformţiilor şi dplsărilor (MOHR-MXWELL şi CSTIGLINO) stfl încât studntul să potă vrific rulttl oţinut prin mtodl clsic prntt în cpitolul VII d clcul l dplsărilor Clcull d ristnţă l ri cur cu gomtrică circulră sunt prntt în cpitolul IX pntru câtv curi prticulr d încărcr cu srcini concntrt su srcini uniform distriuit p lungim ri: rdil, vrticl, oriontl şi tngnţil Pntru clculul grinilor continu din cpitolul X s printă p lângă mtod clor tri momnt (CLPEYRON) şi o mtodă originlă pntru clculul rcţiunilor şi forturilor numită mtod funcţii d încărcr Ψ Pntru clculul sistmlor pln formt din r rticult în noduri (cpitolul XI) su cu noduri rigid (cpitolul XII) s printă p lângă mtod forturilor pntru clculul rcţiunilor şi forturilor şi o mtodă modrnă, mtriclă : mtod dplsărilor plicţiil prntt rtă vntjl şi dvntjl utiliării clor două mtod Cl două cpitol d Elmnt d tori lsticităţii prntt (cpitoll XIII şi XIV) prmit înţlgr şi plicr Toriilor d ristnţă pntru clculul tnsiunilor chivlnt în cul solicitărilor simpl şi compus Sunt prntt Elmnt d tori

lsticităţii tât pntru str plnă d tnsiuni şi dformţii cât şi pntru str spţilă d tnsiuni şi dformţii, cuţiil gomtric, fiic şi d chiliru l tnsiunilor nli structurlă modrnă s stărilor d tnsiuni şi dformţii pntru pis c nu pot fi modlt printr-o ră drptă su cură s rliă în prnt numric prin utilir unor pcht d progrm profsionl d nliă cu lmnt finit Îmi prim rcunoştinţ colgilor prof dr ing nton HDR şi prof dr ing Hori GHEORGHIU d l Ctdr d Ristnţ Mtrillor Univrsităţii Polithnic din Bucurşti pntru rădr d prcurg cstă lucrr cu oci rcnii ştiinţific şi pntru osrvţiil fort util, cr u prmis priţi lucrării su cstă formă D smn dorsc să mulţumsc colgilor din cdrul Ctdri Echipmnt d Procs şi Mctronică Univrsităţii Vlhi din Târgovişt pntru sugstiil şi jutorul cordt l priţi csti lucrări şi nu în ultimul rând, să mulţumsc studnţilor cr, prin lucrăril rlit în cdrul crcurilor ştiinţific, u vut o numită contriuţi l priţi csti lucrări, dstintă în primul rând studnţilor Îmi prim sprnţ că cstă lucrr v fi p viitor utilă tât studnţilor cât şi inginrilor, proictnţilor, prcum şi tuturor clor intrsţi d îmogăţir cunoştinţlor d Ristnţ mtrillor şi Tori lsticităţii Sunt dschis oricări discuţii şi colorări p tml prntt în cstă lucrr, drs m d contct mil fiind: mrin_cor@hoocom Târgovişt, mi utorul

INTRODUCERE

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Prolml Ristnţi mtrillor Ristnţ mtrillor st o ştiinţă în cdrul Mcnicii thnic cr studiă cu jutorul numitor mtod şi modl d clcul, corpuril dformil, rspctiv tnsiunil şi dformţiil cr s produc în intriorul lor su cţiun srcinilor su câmpurilor trior cstă disciplină fc lgătur într disciplinl fundmntl fiico-mtmtic şi cl inginrşti d spcilitt Modlul d clcul r l ă o sri d ipot simplifictor cr rţin spctl snţil l fnomnului fiic d dformţi pisi rl su cţiun srcinilor trior, rspctiv: gomtri şi dimnsiunil pisi, tipul d srcini trior şi distiriuţi lor, tipul lgăturilor cu clllt pis su cu mdiul considrt fi, proprităţil fiico-mcnic l mtrilului corpului (modulul d lsticitt, coficintul contrcţii trnsvrsl, limit d curr, ristnţ d rupr, tc) Vlidr modlului d clcul, ipotlor simplifictor şi mtodlor d clcul utilit s fc d cl mi mult ori prin primnt şi încrcăril mcnic Proictr unui produs s rliă p unor schm d funcţionr, lgr judiciosă mtrillor pislor componnt, dtrminr dimnsiunilor optim p clcullor d ristnţă, întocmir dsnului d nsmlu şi dsnlor d cuţi şi stilir thnologii d cuţi Critriil cr stu l lgrii soluţii constructiv şi funcţionl optim sunt: sigurnţ în funcţionr, consumul d mtril şi nrgi şi thnologi d fricţi L proictr uni pis, trui să s ţină sm în primul rând d fptul că cst trui să îndplinscă un numit rol funcţionl în nsmlul din cr fc prt, pis trui rlită cu un consum cât mi rdus d mtril şi nrgi şi o thnologi d fricţi cr sigur un rport clitt/prţ fort un În timpul funcţionării unui nsmlu mcnic (mşină, chipmnt mcnic, instlţi, structură d ristnţă, tc) orgnl d mşini su pisl componnt sufră numit dformţii su cţiun srcinilor su câmpurilor d forţ trior Spunm că o pisă st într-o str d ună funcţionr dcă rspctă un su mi mult din condiţiil: condiţi d ristnţă: vlor mimă tnsiunilor din onl cl mi solicitt l pisi nu trui să dpăşscă un numit nivl, considrt priculos pntru funcţionr i în nsmlul din cr fc prt cst dpind d distriuţi şi vloril srcinilor trior şi d lgătură, d gomtri pisi, modul d lgătură, proprităţil mtrilului condiţi d rigiditt : vlor mimă dformţiilor pisi cr nu trui să dpăşscă un numit nivl, considrt priculos pntru funcţionr i în nsmlul din cr fc prt Vlor mimă dformţiilor dpind d distriuţi şi vloril srcinilor trior şi d lgătură, d gomtri pisi, modul d lgătură, proprităţil mtrilului condiţi d stilitt: vloril srcinilor trior nu trui să dpăşscă numit vlori (critic) pntru cr cr structuril mcnic îşi mnţin form d chiliru lstic Dşi, pntru o numită str d încărcr pisi, condiţiiil d ristnţă şi rigiditt sunt stisfăcut, dcă vloril srcinilor trior sunt mi 5

Cornl MRIN mri dcât cl critic, s produc rusc dformţii fort mri (d mplu pntru încărcr d comprsiun ilă uni r drpt s produc flmjul) În funcţi d mărimil cunoscut, pntru ficr din cl tri condiţii d mi sus, s întâlnsc tri tipuri d prolm l Ristnţi mtrillor Mărimil crctristic l Ristnţi mtrillor pot fi grupt stfl: mărimi gomtric cr crctriă form gomtrică şi dimnsiunil structurii mcnic şi rultă din dsnul d nsmlu şi dsnl d cuţi; B srcini trior cr crctriă distriuţi, intnsitt şi vriţi în timp srcinilor trior dirct plict su d lgătură (rcţiunil) şi rultă din schm d încărcr; C crctristicil fiico-mcnic l mtrilului structurii mcnic: mărimi nturl: limit d proporţionlitt, limit d lsicitt, limit d curgr, ristnţ l rupr, coficintul contrcţii trnsvrsl, modulul d lsticitt longitudinlă l întindr şi comprsiun, coficintul d diltr trmică, tc; mărimi convnţionl: ristnţ dmisiilă, dformţi dmisiilă, coficintul d sigurnţă, coficintul d sigurnţă l flmj, coficintul d sigurnţă l ooslă, uur dmisiilă, tc Cl tri tipuri d prolm l Ristnţi mtrillor sunt: prolml d dimnsionr când s dtrmină form şi dimnsiunil structurii mcnic dcă s cunosc: distriuţi şi intnsitt srcinilor trior dirct plict şi d lgătură, crctristicil fiico-mcnic l mtrilului; prolm d vrificr în cr s dtrmină tnsiunil su dformţiil spcific mim, când s cunosc: form şi dimnsiunil pisi, distriuţi şi intnsitt srcinilor trior dirct plict şi d lgătură, crctristicil fiico-mcnic l mtrilului şi s compră cst tnsiuni su dformţii spcific cu cl dmisiil; prolm d dtrminr srcinii cpil când s dtrmină vlor mimă încărcărilor trior dcă s cunosc: form şi dimnsiunil structurii mcnic, distriuţi srcinilor trior dirct plict şi d lgătură, crctristicil mcnic l mtrilului Mtod d clcul Mtodl d clcul folosit pntru rolvr unor prolm spcific în Ristnţ mtrillor sunt: mtodl primntl folossc un modl rl (prototip) su o mchtă d lortor pntru vrificr soluţii constructiv din punct d vdr l ristnţi, rigidităţii şi stilităţii su vlidr modlului d clcul; mtodl nlitic folossc modl d clcul, lgoritmi su progrm d clcul şi u l ă cuţiil mtmtic l fnomnului Vlidr modlului d clcul şi rulttlor tortic oţinut s fc prin mtod primntl su numric; mtodl numric folossc modl virtul su modl d simulr numrică Pntru crr modllor virtul s folossc progrm profsionl d modlr cum r fi: SOLID WORKS, CTI, PROENGINEERING, SOLID EDGE, tc

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Pntru nli stării d tnsiuni şi dformţii s folossc progrm profsionl d nliă cu lmnt finit cum r fi NSYS, COSMOS M, NSTRN, PTRN tc Clculul inginrsc s- dvoltt p mtodlor primntl Complitt sistmlor thnologic din ultimul scol limitt mult ri mtodlor primntl şi nlitic şi condus l priţi şi dvoltr mtodlor numric d nliă şi simulr p modl virtul D smn, dscopriril din domniul ştiinţlor ct şi progrsul înrgistrt d ştiinţl thnic u condus l priţi şi dvoltr cstor noi mtod numric d nliă şi simulr Modl d clcul Modll d clcul folosit în Ristnţ mtrillor sunt schmtiări l gomtrii lmntului mcnic, l srcinilor trior şi lgăturilor, p unor ipot d schmtir Prcii rulttlor oţinut st lgtă dirct d schmtir dopttă Un lmnt mcnic (pisă rlă) r tri dimnsiuni principl: două cr crctriă form şi mărim uni scţiuni trnsvrsl ir c d- tri dimnsiun crctriă lungim pisi În funcţi d rportul dintr cl tri dimnsiuni principl, modll d clcul folosit din Ristnţ mtrillor s împrt în tri grup: modlul d tip ră s folosşt tunci când un dintr dimnsiunil structurii mcnic st mult mi mr în rport cu clllt două Elmntl spcific modlului d tip ră sunt: longitudinlă ( cntrlor d grutt l scţiunilor trnsvrsl) şi scţiun trnsvrslă (normlă l longitudinlă c în figur ) În cl mi mult curi, scţiun trnsvrslă st compctă, dr sunt şi curi d scţiuni compus, cum r fi în cul pislor sudt su lipit, mtrillor compoit, firlor strtifict, tc În funcţi d form i longitudinl s dossc: r drpt, cur, cotit, tc O ctgori spcilă o formă rl cu scţiun su form profillor suţiri Brl solicitt l încovoir s numsc grini, cl solicitt l întindr - tirnţi, l comprsiun - colon su stâlpi ir cl solicitt l întindr şi comprsiun s numsc tij, ărl su contrfiş rorii sunt cl r solicitt l răsucir şi încovoir, ir firl sunt r suţiri, fliil cr nu pot prlu dcât forturi il d întindr c ig 7

Cornl MRIN modlul d tip plcă su învliş s folosşt tunci când un dintr dimnsiunil lmntului mcnic (grosim) st mult mi mică în rport cu clllt două Elmntl spcific l cstui modl sunt: suprfţ mdină plăcii şi grosim i (fig) În funcţi d form suprfţi mdin s dossc: plăci pln şi plăci cur (suprfţ d rvoluţi, riglt, tc) În funcţi d grosim lor s dossc: plăci d grosim uniformă şi nuniformă, plăci suţiri şi plăci gros O ctgori spcilă st modlul d tip învliş su mmrn cr st o plcă suţir d grosim uniformă mică încărctă cu prsiun intrioră, cr nu pot prlu dcât srcini d întindr Plăcil gros s mi numsc: plnş (plăci oriontl), pnouri (plăci vrticl), prţi, tc c modlul d tip loc s folosşt tunci când dimnsiunil după cl tri dircţii l lmntului mcnic sunt cm d clşi ordin d mărim (figc) Empl: lmntl d rulr l unui rulmnt (il, rol conic, cilindric, utoi), plc ctivă uni mtriţ, o rotă dinţtă, un ror su pinion scurt, un tiu d mşină, fundţi uni construcţii, tc Ipot d ă în Ristnţ mtrillor Ipotl d ă din Ristnţ mtrillor s folossc fi pntru modlr proprităţilor fiic l corpurilor dformil, fi pntru modlr comportării su cţiun srcinilor trior: ipot mdiului continuu, prin cr s dmit că tot volumul corpului st ocupt d mtril; ipot mdiului omogn în cări proprităţil fiico-mcnic (d mplu dnsitt) sunt constnt în oric punct l corpului; ipot mdiului iotrop: proprităţil fiico-mcnic nu dpind d dircţi d măsurr (d mplu modulul d lsticitt, coficintul contrcţii trnsvrsl); ipot mdiului lstic: mtrilul corpului st considrt un mdiu prfct lstic: su cţiun uni srcini trior corpul s dformă instntnu, ir după îndpărtr csti rvin instntnu l form şi dimnsiunil iniţil; 5 ipot linirităţii rlţiilor într tnsiuni şi dformţii (lg lui HOOKE): s dmit o rlţi liniră înt forţl plict şi dformţii rspctiv într tnsiuni şi dformţii spcific O conscinţă csti ipot st principiul suprpunrii fctlor conform cărui fctul uni srcini supr uni pis (tnsiunil şi dformţiil) st indpndnt d cţiunil ltor srcini supr s, şi principiul indpndnţi cţiunii forţlor conform cărui ordin plicării srcinilor trior nu influnţă str finlă d tnsiuni şi dformţii, fctul finl oţinându-s prin însumr fctlor corspunător ficări srcini c cţionă sprt supr corpului; ipot dformţiilor mici conform cări mărim dformţiilor c s produc su cţiun srcinilor trior sunt mici în rport cu dimnsiunil lor Ipot clud nlinirităţil gomtric (lgt d form corpurilor) şi fiic (lg liniră într tnsiuni şi dformţii) şi dmit c vlil pntru corpul dformil cuţiil d chiliru c s scriu pntru solidul rigid; 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 7 principiul lui SINT VENNT: fctul produs supr uni pis d două srcini chivlnt din punct d vdr sttic într-o onă sitută l o distnţă suficint d mr d on d cţiun srcinilor, st clşi Conform csti ipot, o srcină distriuită cr cţionă l cpătul uni r încstrt produc în încstrr clşi fct cu cl l uni forţ concntrt chivlnt; 8 ipot scţiunii pln (BERNOULLI) o scţiun plnă prpndiculră p longitudinlă uni r supusă l încovoir, rămân tot plnă şi prpndiculră şi după plicr srcinilor trior; pntru o plcă suţir supusă l încovoir s dmit ipot prpndiculri rctilinii l suprfţ mdină (KIRKHO) conform cări o lini drptă normlă l suprfţ mdină ndformtă rămân drptă şi prpndiculră l suprfţ mdină şi după dformr; În fră d ipotl d ă d mi sus, pntru numit curi d solicitr s mi folossc următorl ipot: 9 ipot solicitărilor nglijil: d mplu în cul uni r supusă l încovoir simplă tnsiunil tngnţil dtort solicitării d forfcr s nglijă în rport cu tnsiunil norml dtort solicitării d încovoir; ipot constnţi scţiunii trnsvrsl conform cări după dformţi form şi dimnsiunil scţiunii trnsvrsl rămân constnt p totă lungim i Ristnţ mtrillor s ocupă cu studiul solicitărilor simpl l rlor drpt, l sistmlor d r drpt su cur vând longitudinlă un rc d crc S studiă solicităril simpl l rlor drpt (întindr-comprsiun, torsiun, încovoir şi forfcr) pntru numit form l scţiunilor trnsvrsl Studiul tuurilor şi structurilor il simtric cu prţi groşi, l discurilor în mişcr d rotţi, l mmrnlor şi rlor cu prţi suţiri, flmjul il d comprsiun, solicitărilor compus şi solicitărilor ciclic l ooslă, fc oictul Torii plict lsticităţii 5 Clsificr srcinilor trior Un lmnt mcnic st considrt corp lstic dformil dcă su cţiun srcinilor trior cst îşi modifică form şi dimnsiunil iniţil (s pot considr că îşi păstră totuşi form iniţilă, conform ipoti micilor dformţii) ir după îndpărtr cstor srcini l rvin l form şi dimnsiunil iniţil Srcinil trior rprintă rulttul cţiunii unor câmpuri su corpuri şi s clsifică după mi mult critrii stfl: după fctul p cr îl produc supr pisi pot fi: forţ cr u c fct dformţii su dplsări linir şi cupluri d forţ vând c fct dformţii su dplsări unghiulr l plnului în cr cst cţionă; după modul d plicr pot fi: srcini ctiv su dirct plict şi srcini psiv su forţ d lgătură (rcţiuni); după modul d distriuţi în spţiu pot fi: srcini concntrt - cr cţionă p o suprfţă fort mică c pot fi modltă cu un punct tortic, srcini distriuit linir - cr cţionă p o suprfţă lungă şi fort îngustă c pot fi similtă 9

Cornl MRIN cu o lini, srcini distriuit p o suprfţă - cr cţionă p o suprfţă trioră su intrioră corpului şi în cul câmpurilor d forţ srcini distriuit volumic - cr cţionă în tot volumul corpului (d mplu: forţ d grutt, d inrţi, forţ lctromgntică, tc); după modul d vriţi în timp pot fi: srcini constnt su srcini vriil în timp, srcini sttic su srcini dinmic; după modul d vriţi în spţiu pot fi: srcini fi su srcini moil; după ntur lor pot fi: srcini fundmntl (srcini prmnnt, util, controlt) şi srcini ccidntl (srcini întâmplător, ltor, ncontrolt, suprsrcini) Modlr lgăturilor Pntru rlir lgăturilor corpului cu mdiul fi su cu clllt lmnt s foloscs următorl tipuri d lgături în pln su în spţiu: rmul rigid simplu st lgătur cr prmit dplsr şi rotir corpului p suprfţ d rmr, dr o împidică după o dircţi prpndiculră p cstă suprfţă; conform iomi lgăturilor rmul rigid simplu s înlocuişt cu o rcţiun normlă N (fig); rmul lstic simplu st lgătur cr prmit dplsr şi rotir corpului p suprfţ d rmr, ir dplsr după dircţi prpndiculră p suprfţ d rmr st în funcţi d rcţiun din lmntul intrmdir În cul unui lmnt linir lstic rcţiun normlă st dirct proporţionlă cu dplsr conform rlţii: Vkw (fig); rticulţi rigidă st lgătur cr prmit rotir corpului în jurul uni în pln (rticulţi cilindrică în pln) su în jurul clor tri în spţiu (rticulţi sfrică în spţiu), însă nu prmit dplsări l punctului tortic corspunător cntrului rticulţii: conform iomi lgăturilor rticulţi rigidă plnă s înlocuişt rcţiunil H şi V (figc); încstrr rigidă fiă st lgătur cr nulă tot posiilităţil d dplsr şi rotir l corpului (figd); conform iomi lgăturilor cst s înlocuişt în pln cu tri rcţiuni: H, V şi M ; 5 încstrr rigidă moilă su culis ilă st lgătur cr nulă posiilităţil d rotir l corpului, prmiţând numi dplsr după dircţi ilă: conform iomi lgăturilor culis ilă în pln s înlocuişt cu o rcţiun normlă N şi un cuplu M (fig); încstrr lstică plnă st lgătur c nulă posiilităţil d dplsr l corpului prmiţând numi rotir în jurul uni prpndiculr p pln, unghiul d rotir fiind proporţionl cu cuplul din lmntul lstic intrmdir; conform iomi lgăturilor încstrr lstică plnă s înlocuişt cu două rcţiuni H, V şi un cuplu proporţionl cu unghiul d rotir: Mkϕ (figf)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii V Rmul simplu rigid Vkw Rmul simplu lstic V V H M H c rticulţi rigidă d Încstrr rigidă fiă M Mkϕ H V Încstrr rigidă moilă (culis ilă) ig V f Încstrr lstică 7 orţ intrior, tnsiuni şi forturi scţionl Su cţiun srcinilor trior în intriorul corpurilor dformil s produc forţ intrior, tnsiuni su forturi unitr Tnsiun su fortul unitr într-un punct l uni scţiuni imginr dintr-un corp rprintă rportul dintr forţ intrioră lmntră d şi ri lmntră d p cr cţionă: p d / d Distriuţi tnsiunilor c pr într-un corp dformil su cţiun srcinilor trior dpind d gomtri pisi, mărim şi configurţi încărcării cu srcini trior, proprităţil fiic l mtrilului

Cornl MRIN Est vidnt fptul că tnsiun p dpind tât d orintr normli suprfţi scţiunii pln cât şi d orintr forţi lmntr d S considră un corp cr s scţionă cu un pln imginr Pntru s păstr chilirul forţlor trior cr cţionă supr ficări din cl două pis oţinut după scţionr, s introduc forţl intrior lmntr d corspunător riilor lmntr d Conform tormi d chivlnţă tnsiunilor, forturil scţionl rprintă torsorul d rducr l forţlor intrior lmntr dintr-o scţiun unui corp, în cntrul d grutt l csti Un mplu îl rprintă forturil il din rl grinilor cu ărl, cr s oţin prin mtod scţiunilor (RITTER): în punctl d intrscţi l rlor grinii cu ărl cu plnul imginr s introduc forturil il poitiv N ij, după dircţiil lor rlor (fig) Conform tormi chilirului părţilor forţl trior dirct plict i şi d lgătură H, V, N s flă în chiliru cu forturil il N ij pntru ficr din cl două părţi l grinii rultt în urm scţionării: prt din stâng: s ; s ; M Os prt din drpt: d ; d ; M Od () Pntru grind cu ărl din figur forturil il ncunoscut N 7 şi N 5 s dtrmină scriind cuţiil d momnt pntru ficr din cl două părţi l grinii cu ărl rultt în urm scţionării cu un pln imginr: prt din stâng: M 5 N7 prt din drpt: M 7 N5 Efortul il ncunoscut N 57 s dtrmină scriind cuţiil d chiliru p dircţi O şi num, pntru un din cl două părţi : Eforturi scţionl N ij N α 7 N 7 5 8 H 9 V 7 7 N 75 N 57 5 5 N 5 O ig N 5 N

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S considră în continur o ră prismtică în chiliru su cţiun unui sistm d forţ trior dirct plict i şi forţlor d lgătură Li (fig) Prin scţionr i cu un pln imginr prpndiculr p ri s oţin două părţi c în figur 5 L Pln imginr d scţiun L ig Pntru s păstr chilirul forţlor trior pntru ficr din cl două părţi, s introduc forţl intrior lmntr d, p cl două fţ l scţiunii, corspunător clor două părţi oţinut: fţ poitivă pntru prt din stâng şi fţ ngtivă pntru prt din drpt (fig5) orţl intrior lmntr d rprintă d fpt forţl d lgătură intrtomic l rţli cristlin cr fost scţiontă cu plnul imginr, fiind gl şi opus p cl două fţ l scţiunii: d s d d ţ poitivă ţ ngtivă C C d d s d d L L ig 5

Cornl MRIN Dcă s rduc forţl lmntr d s şi d d corspunător clor două fţ l scţiunii în cntrul d grutt l scţiunii C, s oţin torsorii d rducr l forţlor intrior (fig): pntru fţ poitivă torsorul (τ int int int ) formt din ( R ) şi cuplul ( M ) ; pntru fţ ngtivă torsorul (-τ int int int ) formt din (- R ) şi un cuplu (- M ); i stg ţ poitivă ţ ngtivă i dr ig Dcă s rduc forţl în punctul C şi srcinil trior s oţin torsorl d rducr l forţlor trior (fig): pntru prt din stâng torsorul forţlor trior ( τ ) formt din rultnt t R stg t M stg C t R stg şi cuplul rultnt int M t M stg ; pntru prt din drpt torsorul forţlor trior ( τ ) st formt din t t rultnt R dr şi cuplul rultnt M dr (fig) Pntru ficr dintr cl două părţi s scriu cuţiil d chiliru: pntru prt din stâng: int t int t τ τ stg τ τ stg () su p compont l torsorului: t int R R ; t int M M ; () t stg stg stg int int R t int R R Rstg ; M M stg ; () pntru prt din drpt: int t int t τ τ dr τ τ dr (5) su p componnt l torsorului: t int R R ; t int M M ; () int M int t dr dr int t int t Rdr ; M M dr R (7) C t M dr t dr t R dr

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Osrvţi: lmntl torsorului forţlor intrior corspunător fţi ngtiv (-τ int ) sunt gl cu lmntl corspunător l torsorului forţlor trior c t stg cţionă supr părţii din stâng ( τ ); lmntl torsorului forţlor intrior corspunător fţi din poitiv (τ int ) sunt gl cu lmntl corspunător l torsorului forţlor trior c cţionă supr părţii din drpt ( τ ); t dr Conform rlţiilor d chivlnţă l trosorului d rducr, dcă s dscompun torsorul forţlor intrior p fţ poitivă (su ngtivă) scţiunii după cl tri dircţii l sistmului triortogonl drpt O s oţin şs componnt (fig 7), numit forturi scţionl nott cu: N, T, T, M t, M i, M i : int R N T T (8) int M M i M i M t În funcţi d fctul p cr îl produc ficr din cl şs forturi scţionl supr corpului s dossc ptru tipuri: N - forturil il cr produc solicitări d întindr su comprsiun ri după dircţi ilă O; T, T - forturil tăitor cr produc solicitări d forfcr ri după cl două dircţii O şi O situt în plnul scţiunii; M i, M i - forturil încovoitor cr produc solicitări d încovoir ri după cl două dircţii O şi O situt în plnul scţiunii; M t - forturil d răsucir cr produc solicitări d răsucir su d torsiun după dircţi ilă O; T C N M i C T int R ) ) M i int M M t ig 7 5

Cornl MRIN 8 Digrm d forturi scţionl şi convnţii d smn Digrml d forturi scţionl sunt rprntări l vriţii forturilor scţionl p lungim ri Pntru trsr cstor digrm d forturi s considră următorl convnţii d smn: pntru fţ poitivă forturil scţionl sunt poitiv dcă u clşi sns cu snsul lor corspunător l sistmului triortogonl drpt O şi ngtiv dcă u snsuri opus (fig8); p fţ ngtivă forturil sunt poitiv dcă u snsuri opus lor corspunător l sistmului triortogonl drpt O şi ngtiv dcă u clşi sns (fig8) ţ poitivă ţ ngtivă M t M i T M i T N N T M i M i M t T ig 8 P convnţiilor d smn d mi sus s pot firm că: un fortul il N poitiv produc totdun o solicitr d întindr ir unul ngtiv o solicitr d comprsiun; forturil încovoitor M i şi M i poitiv produc totdun lungir firi infrior şi comprimr cli suprior (dircţi d osrvr fiind c corspunător i, ir snsul invrs i); forturil tăitor T şi T poitiv produc totdun rotir în sns orr clor două scţiuni l cptl unui tronson d ră (dircţi d osrvr fiind c corspunător i, ir snsul invrs i) În cul unui sistm d forţ coplnr situt în plnul O convnţi d smn pntru forturil poitiv N, M i şi T p cl două fţ l scţiunii ri st prnttă în figur 9 Eforturil d p fţ ngtivă corspund snsului d prcurgr l ri d l stâng l drpt ir cl d p fţ poitivă corspund snsului d prcurgr d l drpt l stâng l ri

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii ţ ngtivă ţ poitivă N M i M i N T Rgul corspund snsului d prcurgr d l stâng l drpt T Rgul corspund snsului d prcurgr d l drpt l stâng ig 9 Pntru clculul forturilor scţionl s plică rulttul dt d rlţiil () pntru fţ ngtivă, rspctiv (7) pntru fţ poitivă: forturil p fţ ngtivă s clculă c sum forţlor trior, rspctiv momntlor forţlor cr cţionă supr porţiunii d ră din stâng scţiunii; forturil p fţ poitivă s clculă c sum forţlor trior, rspctiv momntlor forţlor cr cţionă supr porţiunii d ră din drpt scţiunii Digrml d forturi s rprintă stfl: pntru forturil il N, forturil tăitor T şi T vloril poitiv s rprintă dsupr i digrmi (fig); pntru forturil încovoitor M i şi M i vloril poitiv s rprintă su digrmi (fig); pntru forturil torsionl M t nu istă o numită convnţi l rprntr digrmi - - ig 7

Cornl MRIN 9 Dformţii spcific şi dplsări Pntru pun în vidnţă dformţiil spcific linir s considră o pisă cilindrică d lungim L şi dimtru d, solicittă l întindr cu o forţă ilă (fig ) Br sufră o dformţi longitudinlă numită lungir longitudinlă (ΔLL - L ) şi o dformţi trnsvrslă numită contrcţi trnsvrslă (Δd d - d ) Cu jutorul clor două dformţii s dfinsc: dformţi spcifică longitudinlă su lungir: ε l ΔL / L () dformţi spcifică trnsvrslă : ε t Δd / d () Într cl două dformţii spcific istă rlţi d lgătură: εt ν ε l () în cr ν st coficintul contrcţii trnsvrsl su coficintul lui POISSON Pntru pun în vidnţă dformţiil unghiulr s considră o pisă cilindrică d dimtru d solicittă d momntul d răsucir M t (fig ) Dcă s studiă un lmnt prllipipdic drpt d volum dv flt în vcinătt conturului s osrvă că în urm plicării momntului d răsucir cst sufră dformţii unghiulr γ (în rdini) l unghiurilor drpt (π/) dintr muchiil prllipipdului cst dformţii s numsc dformţii unghiulr spcific su luncări spcific Dplsăril rprintă distnţl prcurs d un punct M în rport cu un sistm d rfrinţă fi O cst s primă prin dplsăril u, v, w, după cl tri dircţii O, O şi rspctiv O d -Δd L L ΔL d M t dv dv γ M t ig 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii În figur fost rprntt un lmnt d volum dv înint şi după dformr Sunt rprntt tât dplsăril (d corp solid) cât şi dformţiil spcific longitudinl şi luncăril spcific din cl tri pln l lmntului d volum v d w M d u d d(ε ) π/-γ π/-γ M π/-γ d(ε ) d(ε ) ig Cur crctristică mtrilului Încrcr l trcţiun s fc conform STS SR EN -/995 în scopul trsării curi crctristic mtrilului şi dtrminării crctristicilor mcnic: - limit d curgr convnţionlă (R p ); - ristnţ l rupr (R r ) - lungir procntulă l rupr (); - gâtuir l rupr (Z) D S B D S B m u m u H L t p Lungir l rupr ΔL,%L,5%L Lungir l rupr ΔL ig 9

Cornl MRIN Încrcr l trcţiun constă în plicr progrsivă uni forţ d întindr p dircţi longitudinlă uni pis cilindric numită pruvtă Su cţiun csti forţ pruvt sufră tât lungir longitudinlă cât şi contrcţi trnsvrslă Dcă s primă lungir longitudinlă în funcţi d forţ d trcţiun s oţin digrm forţă-dformţii Pntru mtrill tnc (oţluri cron, lit, tc) s oţin o digrmă c în figur Pntru mtrill cu un comportmnt nlinir (ronuri, lm, lij nfros, tc) s oţin o digrmă c în figur Conform STS SR EN -/995, notţiil din figur u următorl smnificţii: H forţ d trcţiun în momntul când s înrgistră prim scădr srcinii mrchă încputul curgrii plstic mtrilului; L forţ d trcţiun c mi mică înrgistrtă în timpul curgrii plstic mtrilului; m forţ d trcţiun mimă înrgistrtă după cruisr mtrilului, înint d rupr; u forţ d trcţiun înrgistrtă în momntul ruprii pruvti, su ultim vlor înrgistrtă d prt înint d rupr, mi mică dcât m ; t forţ d trcţiun corspunător uni lungiri totl prscris ΔL,5% L P forţ d trcţiun corspunător uni lungiri rmnnt prscris ΔL,% L, und L st lungim iniţilă pruvti σ D S R m R c σ r C E P B σ p ig εr % ε % lungir l rupr n P digrmi forţ-dformţii s pot rprnt digrm tnsiuni - dformţii spcific su cur crctristică mtrilului (fig ) în cr: ΔL πd σ ; ε ; S () S L

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii în cr: -S st ri scţiunii iniţil pruvti; -d dimtrul pruvti; -L lungim părţii clirt iniţil pruvti; -ΔL lungir părţii clirt pruvti Conform STS SR EN -/995, p cur crctristică mtrilului sunt mrct unl punct c corspund următorlor crctristici importnt: punctul P corspund limiti d proporţionlitt σ p (R p ) c rprintă vlor mimă tnsiunii din mtril pntru cr istă o rlţi liniră într tnsiuni şi dformţiil spcific (st vlilă lg lui Hook): σ E ε (5) în cr: E st modulul d lsticitt longitudinl Limit d proporţionlitt convnţionlă σ P st vlor tnsiunii cr corspund unui modul d lsticitt E P cr nu dpăşşt % din vlor mdi E, dtrmintă pntru prim porţiun curi crctristic conform rlţii: E E p % < % ) E punctul E corspund limiti d lsticitt σ c rprintă vlor mimă tnsiunii din mtril pntru cr comportr mtrilului s pot considr prfct lstică (după nulr forţi d întindr pruvt rvin l form şi dimnsiunil iniţil) În rlitt, cu câtv cpţii, mtrill nu u un comportmnt prfct lstic S dfinşt limit d lsticitt thnică σ, c fiind vlor tnsiunii c corspund uni dformţii spcific rmnnt l dscărcr pruvti: ε r,% punctul C corspund limiti d curgr prntă σ c (R c ) c rprintă vlor tnsiunii din mtril pntru cr s produc dformţii plstic su cţiun uni forţ prctic constntă După tingr limiti d curgr prntă, cur crctristică r un trsu sinuos, numit plir d curgr S dfinşt limit d curgr rmnntă σ c, (R c, ) c fiind vlor tnsiunii c corspund uni dformţii spcific rmnnt l dscărcr pruvti: ε r,% ; punctul D corspund ristnţi l rupr σ r (R m ) c rprintă vlor tnsiunii din pruvtă pntru cr srcin ting vlor mimă: Rm m / S (7) und S st ri scţiunii iniţil pruvti 5 punctul S corspund ruprii pruvti pntru cr s dfinsc următorl crctristici: lungir l rupr n st rportul dintr crştr lungimii pruvti măsurtă după rupr (dformţi rmnntă l rupr) şi lungim iniţilă primtă în procnt: Lu L n [% ] (8) L

Cornl MRIN în cr: -L st lungim părţii clirt iniţil pruvti; - L u lungim oni clirt pruvti, măsurtă după dformţi rmnntă l rupr Indicl n st un fctor dimnsionl cr, pntru pruvt d scţiun circulră, rprintă rportul dintr lungim şi dimtrul pruvti: n L / d (9) Gâtuir l rupr Z st rportul într vriţi rii scţiunii trnsvrsl pruvti ΔS S - S u şi ri suprfţi scţiunii iniţil primt procntul: S S Z u [% ] () S und S u st ri scţiunii trnsvrsl minim pruvti după încrcr; S ri scţiunii iniţil pruvti Coficinţi d sigurnţă şi ristnţ dmisiil Pntru rli rolul funcţionl în nsmlul din cr fc prt o pisă su un orgn d mşină trui să îndplinscă: ) Condiţii d ristnţă dcă tnsiun chivlntă mimă nu dpăşşt o numită vlor convnţionlă numită tnsiun dmisiilă σ : σ ch < σ () Tnsiun chivlntă mimă s clculă cu jutorul uni din cl cinci torii clsic d ristnţă su în cul mtrillor cu comportmnt difrit l întindrcomprsiun cu jutorul torii lui Mohr Tnsiun dmisiilă σ s dtrmină cu jutorul uni dintr crctristicil mcnic nturl l mtrilului cum r fi limit d curgr σ c su ristnţ d rupr σ r şi folosind rlţiil: σ c σ r σ su σ () cc cr c c st coficintul d sigurnţă fţă d limit d curgr (mtril tnc); c r - coficintul d sigurnţă fţă d limit d rupr (pntru mtril frgil) Coficintul d sigurnţă st o mărim c ţin sm d o sri d prmtri cum r fi: tipul d mtril, thnologi d oţinr smifrictului, trtmntl trmic plict, durt d utilir, mărim şi tipul srcinilor plict, rgimul d funcţionr, modlul d clcul ls, condiţiil şi mdiul d lucru; ) Condiţii d rigiditt dcă dformţi chivlntă mimă nu dpăşşt o numită vlor dmisiilă, în c contrr pis pirându-şi rolului funcţionl su distrugându-s c) Condiţii d stilitt dcă su cţiun srcinilor trior, dşi cst srcini nu dpăşsc numit vlori critic crut d condiţiil d ristnţă şi rigiditt, funcţionr nu st compromisă dtorită pirdrii chilirului lstic Emplul clsic st flmjul d comprsiun ilă rlor drpt: forţ mimă d comprsiun ri nu trui să dpăşscă vlor forţi critic d flmj cr corspund pirdrii chilirului lstic

DIGRME DE EORTURI

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Introducr Digrml d forturi pntru cl ptru tipuri d solicitări corspunător forturilor scţionl il, tăitor, încovoitor şi torsionl, sunt rprntări l vriţii cstor forturi p lungim rlor ş cum s- prntt şi în primul cpitol, pntru o ră drptă solicittă d un sistm d forţ şi cupluri cuprins în plnul il O şi un sistm d cupluri torsionl din plnul scţiunii O, cl ptru forturi corspunător fţi ngtiv scţiunii ri rprintă torsorul d rducr l srcinilor trior dirct plict şi d lgătură cr cţionă supr părţii din stâng scţiunii (fig ) Convnţi d smn din figur corspund snsului d prcurgr d l stâng l drpt M t N M i ţ ngtivă T C Snsul d prcurgr ri ig Eforturil scţionl p fţ poitivă rprintă torsorul d rducr l srcinilor trior dirct plict şi d lgătură cr cţionă supr părţii din drpt scţiunii (fig ) Convnţi d smn din figur corspund snsului d prcurgr l ri d l drpt l stâng M i N M t C T ţ poitivă Snsul d prcurgr ri ig 5

Cornl MRIN Digrm d forturi il S considră o ră drptă supusă cţiunii unor srcini il concntrt su distriuit, vând scţiun constntă p lungim i i un lmnt d lungim d din cstă ră dlimitt d două scţiuni trnsvrsl, flt l distnţ d cpătul din stâng (fig) P cl două scţiuni trnsvrsl l lmntului d ră cţionă forturil il poitiv N rspctiv N dn (fig ) N q N dn d Rlţiil difrnţil dintr forturil il N şi srcinil trior q s oţin din cuţi d chiliru după dircţi O forţlor cr cţionă supr lmntului d ră d lungim d: N qd N dn () Rultă: dn q d () su: dn q d ( ) Dcă s intgră prim rlţi difrnţilă () s oţin rlţi pntru clculul forturilor il: N d () Osrvţii: dcă supr ri nu cţionă srcini distriuit il (q ), din rlţi () rultă forturi il N () constnt; dcă srcinil il sunt uniform distriuit: q q, tunci funcţi N () st liniră: N q d N q C dcă srcinil il sunt distriuit linir: q q s, tunci funcţi N () st d grdul l doil: N ( q s) d N q s / C dcă în scţiun sitută l distnţ cţionă o forţă ilă conctrtă P, digrm r un slt, cl două vlori l fortului il s dtrmină c limit l stâng, rspctiv l drpt scţiunii (fig): N lim N( ) H ; N lim N( ) H P () H st < ig P dr > P ig

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii plicţi Să s trs digrm d forturi il pntru o ră drptă încărctă cu două srcini il uniform distriuit: q P/, q P/ şi tri forţ il concntrt P P, P P şi P P, c în figur 5 q P/ P P q P/ P ig 5 Rolvr Digrm d forturi il s v trs prcurgând r d l stâng l drpt după dtrminr rcţiunii H din încstrr (fig) Ecuţi d chiliru s scri stfl: H q P P q P (5) S oţin: H P H q P/ P P q P/ P ig S numrotă tât scţiunil în cr cţionă forţl il concntrt cât şi cl cr dlimită onl d cţiun srcinilor uniform distriuit (fig) Digrm d forturi il s oţin folosind mtod originii moil şi intgrând pntru ficr tronson d ră: P tronsonul (-) vm q P/: P N( ) q d C () Constnt d intgrr C s dtrmină din condiţi l limită: : N()H C P 7

Cornl MRIN Rultă: N ( ) P (7) Efortul il din scţiun () st: N N - ()P P tronsonul (-) vm q : N ( ) C (8) Constnt C s dtrmină din condiţi l limită tronsonului: : N()N P C P Rultă: N - ()P (9) P tronsonul (-) vm q : N ( ) C () Constnt d intgrr C s dtrmină din condiţi l limită tronsonului: : N() N dr N st - P C -P Rultă: N - () - P () P tronsonul - vm q -P/: P N( ) q d C () Constnt d intgrr C s dtrmină din condiţi l limită tronsonului: : N()N dr N st P C Rultă: N ( ) P () Digrm d forturi il oţinută nlitic prin mtod originii moil r form din figur 7 Mtod grfică constă în clculul forturilor il în ficr scţiun, limitlor l stâng şi drpt pntru scţiunil în cr cţionă forţl il concntrt şi unir punctlor rspctiv cu linii drpt su cur în funcţi d tipul srcinilor il distriuit: constnt, linir, prolic, tc P q P/ P q P/ P P P Digrm N P P ig 7 -P - 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Digrm d forturi tăitor şi încovoitor S considră o ră drptă d scţiun constntă p lungim i, supusă cţiunii unor forţ trnsvrsl concntrt su distriuit, cupluri d forţ cuprins în plnul il O i un lmnt d lungim d dlimitt d două scţiuni trnsvrsl, flt l distnţ d cpătul din stâng ri (fig8) P fţ din stâng lmntului d ră cţionă forturil tăitor T şi încovoitor M i, ir p c din drpt forturil tăitor T dt, rspctiv forturil încovoitor M i dm i, poitiv c în figur 8 q M i T d ig 8 T dt Rlţiil difrnţil dintr forturil tăitor T, încovoitor M i şi srcinil trior q s oţin cu jutorul cuţiilor d chiliru: T qd T dt dt qd q ( d) () MO Mi Td Mi dmi dmi Td Dcă în rlţiil (), s nglijă infiniţii d ordinul II (d ) în rport cu ci d ordinul I (d), s oţin următorl rlţii difrnţil dintr forturil tăitor T, încovoitor M i şi srcinil trior: dt dm i q ; T (5) d d Dcă s intgră rlţiil difrnţil () s oţin prsiil forturilor tăitor şi încovoitor în funcţi d forţl trior: T( ) qd () M i( ) Td Osrvţii: Din rlţiil (), pntru un tronson d ră rultă că: dcă T fortul încovoitor st constnt; dcă q fortul tăitor st constnt ir fortul încovoitor o funcţi liniră d (d grdul I); dcă srcinil q sunt uniform distriuit (q q ) tunci T st o funcţi liniră d : T qd T q C ir fortul încovoitor o funcţi d grdul l doil d : M i Td M i q / C C ; constntl C şi C s dtrmină din condiţiil l limită () l tronsonului; O M i dm i 9

Cornl MRIN dcă srcinil q sunt distriuit linir (q q s) tunci fortul T st o funcţi d grdul l doil: T q s / C ir fortul încovoitor o funcţi d grdul l tril: M i q / s / C C ; constntl C şi C s dtrmină din condiţiil l limită () l tronsonului, şmd ; dcă într-o scţiun sitută l distnţ d cpătul ri, cţionă o forţă concntrtă P su un cuplu d forţ N, tunci în scţiun rspctivă digrm d forturi tăitor su încovoitor printă un slt, cl două vlori l forturilor s dtrmină cu jutorul limitlor l stâng, rspctiv l drpt scţiunii: T lim T ( ); T lim T ( ) (7) st M i st < dr > lim M ( ); M lim M ( ) (7 ) < i i dr > dcă T () tunci digrm d momnt M i () printă un mim su minim, dorc într cl două funcţii T () şi M i () istă rlţi difrnţilă (5) plicţi Să s trs digrml d forturi tăitor şi încovoitor pntru r drptă în consolă, încărctă cu un sistm d srcini trior formt din forţl uniform distriuit q q, q q, forţl concntrt P q, P 5q şi cupluril d forţ N q, N 8q, c în figur 9 i q P N N P q ig 9 Rolvr Pntru trs digrml d forturi tăitor şi încovoitor s clculă rcţiunil V şi M din încstrr cu jutorul cuţiilor d chiliru (fig ): : V q P P q V q; M O : M M q q P N ; P 5 q 7 N (8)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii M q q P 5q N q N 8q V P q q q ig S numrotă scţiunil în cr cţionă forţl şi cupluril concntrt şi cl cr dlimită tronsonl p cr cţionă srcinil distriuit (fig) Digrml d forturi tăitor şi încovoitor s trsă prcurgând r d l stâng l drpt, plicând mtod originii moil şi intgrând pntru ficr tronson conform rlţiilor () : P tronsonul (-) vm q - q: Eforturil tăitor s scriu: T ( ) q d q C (9) Constnt d intgrr C s dtrmină din condiţi l limită: : T()V C q Rultă: T ( ) q q () În scţiun () vom v fortul tăitor: T T - () - q Eforturil încovoitor s scriu: M ( ) Td q q C () Constnt d intgrr C s dtrmină din condiţi l limită: : M()M, C q Rultă: M ( ) q q q () În scţiun () vom v fortul încovoitor: M M - () - q P tronsonul (-) vm q - : Eforturil tăitor s scriu: T ( ) q d C () Constnt d intgrr C s dtrmină din condiţi l limită: : T()T -q C -q Rultă: T ( ) q () În scţiun () vom v fortul tăitor: T st T - () - q Eforturil încovoitor s scriu: M ( ) Td q C (5)

Cornl MRIN Constnt d intgrr C s dtrmină din condiţi l limită: : M()M C - q Rultă: M ( ) q q () În scţiun () vom v fortul încovoitor: M st M - () - q P tronsonul (-) vm q - : Eforturil tăitor s scriu: T ( ) q d C5 (7) Constnt d intgrr C 5 s dtrmină din condiţi l limită: : T()T dr T st q q C 5 q Rultă: T ( ) q (8) În scţiun () vom v fortul tăitor: T st T - ()q Eforturil încovoitor s scriu: M ( ) Td q C (9) Constnt d intgrr C s dtrmină din condiţi l limită: : M()M dr M st q -q C - q Rultă: M ( ) q q () În scţiun () vom v fortul încovoitor: M M - () P tronsonul (-) vm q - - q: Eforturil tăitor s scriu: T ( ) q d q C7 () Constnt d intgrr C 7 s dtrmină din condiţi l limită: : T() T dr T st -5q-q C 7 -q Rultă: T ( ) q q () În scţiun () vom v fortul tăitor: T T - () Eforturil încovoitor s scriu: q M ( ) Td q C8 () Constnt d intgrr C 8 s dtrmină din condiţi l limită: : M()M C 8 q Rultă: M ( ) q () În scţiun () vom v fortul încovoitor: M M - () - 8q Digrml d forturi tăitor T şi încovoitor M i oţinut nlitic prin mtod originii moil conform rlţiilor d mi sus, sunt dt în figur Mtod grfică constă în clculul forturilor tăitor şi încovoitor în ficr scţiun, limitlor stâng-drpt pntru scţiunil în cr cţionă forţ concntrt su cupluri d forţ şi unir punctlor rspctiv cu linii drpt su cur conform osrvţiilor d mi sus: d mplu, dcă srcinil trnsvrsl q sunt uniform distriuit, fortul tăitor T st o funcţi liniră ir cl încovoitor M i st o funcţi d grdul l II l, şmd

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii M q q q M 5q q M 8q V q q q q Digrm T q q / -q - -q - -8q -q -q - -q - q,5q Digrm M ig Osrvţii: istă o lgătură dintr concvitt digrmi M i şi dircţi srcinilor distriuit în snsul că cst rţin srcin distriuită (fig ); p tronsonl ri (-) şi (-) und nu cţionă srcini trnsvrsl distriuit, forturil tăitor T sunt constnt ir cl încovoitor M i vriă linir; p tronsonl (-) şi (-) und cţionă srcini trnsvrsl uniform distriuit forturil tăitor T vriă linir ir forturil încovoitor M i vriă după o funcţi d grdul l doil; în scţiun d cpăt () vloril forturilor tăitor şi încovoitor sunt gl cu cl l srcinilor trior corspunător ţinând sm d convnţi smnlor din figur : T şi M -8q Spunm că digrml s închid

Cornl MRIN Digrm d forturi torsionl S considră r drptă supusă cţiunii unor momnt torsionr (după dircţi ilă) şi un tronson lmntr dlimitt d două scţiuni trnsvrsl, d lungim d, flt l distnţ d cpătul din stâng l ri (fig) P cl două scţiuni l lmntului d ră cţionă forturil torsionl il M t rspctiv M t dm t poitiv (fig) M t m t M t dm t d Rlţiil difrnţil dintr forturil torsionl M t şi cupluril trior m t s oţin din cuţi d chiliru: M t mtd M t dm t (5) Rultă: dm m d () t t dm t su mt (7) d Dcă s intgră rlţi difrnţilă () s oţin rlţi d clcul forturilor torsionl în funcţi d momntl torsionl distriuit: M t ( ) m d (8) Osrvţii: dcă supr tronsonului d ră nu cţionă momnt torsionl (m t ), din rlţi (8) rultă că forturil torsionl sunt constnt: M t constnt; dcă momnt torsionl sunt distriuit uniform (m t m ), tunci M t st o funcţi liniră: M t mtd M t m C (9) dcă într-o scţiun ri cţionă un cuplu torsionl concntrt N, tunci în scţiun rspctivă digrm printă un slt, cl două vlori l fortului torsionl din stâng, rspctiv drpt scţiunii, s dtrmină cu jutorul limitlor: M lim M ( ); M st dr < ig lim M > t t ( ) ()

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Mtod funcţii trptă Φ Mtodl nlitic şi grfic prntt mi sus pntru trsr digrmlor d forturi, s ă p intgrr cuţiilor difrnţil l forturilor pntru ficr tronson (ficr tronson fiind dlimitt d srcini trior plict şi d lgătură), dtrminr constntlor d intgrr din condiţiil l limită pntru ficr tronson, clculul limitlor l stâng, rspctiv l drpt scţiunii în cr cţionă forţl su cupluril concntrt Din cst motiv s mi numsc şi mtod cu origin moilă Mtod funcţii trptă st o mtodă cunoscută cu origin fiă c folosşt funcţi d tip trptă Φ(-), cr prmit scrir unitră prsiilor forturilor şi trsr digrmlor folosind pchtul d progrm MTCD uncţi Φ(-) st prnttă în figur r prsi nlitică: dc < Φ( ) () dc : Φ ( ) 5 ig uncţi d tip trptă Φ(-) Întrucât prsiil nlitic l forturilor: il N(), torsionl M t () şi tăitor T() u l ă cuţii difrnţil similr (vi rlţiil,, ), în continur s printă dor prsiil nlitic l forturilor tăitor T() şi încovoitor M i () S considră o ră drptă d lungim L şi rigiditt l încovoir constntă p lungim s, supusă l încovoir simplă su cţiun ptru tipuri d srcini prntt în figur : momntul încovoitor N, l distnţ d cpătul din stâng l ri; forţ concntrtă P, l distnţ d cpătul din stâng l ri; srcin uniform distriuită q, cr cţionă p lungim unui tronson d ră dlimitt d distnţl şi f d cpătul din stâng l ri; g srcin linir distriuită distriuită q( ) q, [ g,h] cr cţionă p h g lungim unui tronson dlimitt d distnţl g şi h d cpătul din stâng l ri 5

Cornl MRIN N P q q O f g h L ig Pntru ficr din cl ptru tipuri d srcini s rprintă prsiil nlitic şi digrml d vriţi forturilor T() şi M() p lungim ri, stfl: în cul încărcării ri cu un cuplu d forţ N l distnţ fţă d cpătul din stâng l ri, fortul tăitor T() st nul ir fortul încovoitor M() r prsi nlitică: M i ( ) N Φ( ) () Digrm d forturi încovoitor M i () s- rprntt din figur 5 O N L N : 5 : L : ( ) : Mi ( ) : N Φ ( ) 9 8 7 ( ) Mi ( ) 5 5 7 8 9 ig 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii în cul încărcării ri cu o forţă concntrtă P l distnţ fţă d cpătul din stâng l ri, prsiil nlitic l forturilor T() şi M i () sunt: T( ) P Φ( ) ; () M i( ) P Φ( ) ( ) Digrml d forturi tăitor T() şi încovoitor -M i () s-u rprntt în figur S osrvă că l stâng scţiunii în cr cţionă forţ P forturil T() şi M i () sunt nul ir în drpt, fortul T() st constnt ir fortul M i () vriă linir O P L P : : L : ( ) : T( ) : P Φ( ) Mi ( ) : P Φ( ) ( ) 7 5 ( ) T( ) Mi ( ) 9 7 5 5 7 8 9 ig în cul încărcării ri cu o srcină uniform distriuită q cr cţionă p un tronson dlimitt d distnţl şi f fţă d cpătul din stâng l ri, s dugă şi s scd srcin uniform distriuită q pntru tronsonul d cpăt ( f, L) cst lucru nu modifică cu nimic str d încărcr ri Eprsiil nlitic l forturilor T() şi M i () sunt: T( ) q Φ( ) ( ) q Φ( f ) ( f ); q q () M i( ) Φ( ) ( ) Φ( f ) ( f ) ; Digrml d forturi T() şi -M i () sunt rprntt în figur 7 7

Cornl MRIN O q f L q ( ) T ( ) Mi ( ) 8 5 7 8 9 ig 7 S osrvă că p tronsonul din stâng scţiunii corspunător lui, forturil T() şi M i () sunt nul P tronsonul (, f ) p cr cţionă srcin uniform distriuită fortul T() vriă linir ir M i () st o funcţi d grdul l II l P ultimul tronson corspunător lui ( f, L) fortul T() st constnt ir M i () st o funcţi d grdul I în cul în cr r st încărctă cu o srcină distriuită linir cr cţionă p tronsonul dlimitt d distnţl g şi h fţă d cpătul din stâng: g q( ) q, [ g,h], s dugă şi s scd srcin distriuită linir h g h q( ) q q, [ h,l], cst lucru nu modifică cu nimic str d h g încărcr ri Eprsiil nlitic l forturilor T() şi M i () sunt în cst c: q q T() Φ( g) (g) q Φ( h) (h) Φ( h) (h) ; ( hg) ( hg) (5) q q q M i() Φ( g) (g) Φ( h) (h) Φ( h) (h) ; ( hg) ( hg) Digrml d forturi T() şi -M i () sunt rprntt în figur 8 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii O q g h L q 8 ( ) T( ) Mi ( ) 8 5 7 8 9 ig 8 S osrvă că p tronsonul din stâng scţiunii din cr cţionă srcin distriuită linir g, forturil T() şi M i () sunt nul P porţiun p cr cţionă srcin distriuită linir ( g, h), fortul T() st o funcţi d grdul l doil şi M i () o funcţi d grdul l tril, ir p ultimul tronson ( h, L) fortul T() st constnt şi fortul M i () st o funcţi d grdul I Pntru cul gnrl când supr ri cţionă mi mult srcini d clşi fl su difrit tipuri d srcini din cl prntt mi sus, s folossc prsiil nlitic corspunător şi s plică principiul suprpunrii fctlor 9

Cornl MRIN 5 plicţi olosind mtod funcţii trptă Φ să s trs digrml d forturi tăitor şi încovoitor pntru r în consolă din figur 9 şi pntru cul prticulr: qkn, m Rolvr: Rcţiunil V şi M din încstrr s-u clcult l plicţi : V q; M q După înlocuir vlorilor m şi qkn/m rultă: V kn; M knm Utiliând prsiil nlitic l forturilor pntru ficr tip d srcină prntt mi sus şi plicând principiul suprpunrii fctlor pntru cl 8 srcini trior şi forţ d lgătură s oţin următorl prsii l forturilor tăitor şi încovoitor: ; ) ( ) ( q ) ( ) ( q ) ( ) ( q ) ( q ) ( ) ( P ) ( ) ( P ) ( V ) ( N ) ( N ) ( M ) M ( ); ( ) ( q ) ( ) ( q ) ( ) ( q ) ( q ) ( P ) ( P ) ( V ) T( i 9 9 5 5 5 5 9 9 9 5 5 5 Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ () ig 9 q q q q P 5q P q N q N 8q M V 5 7 8 9 5 T ( ) ( ) ig

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Digrml d forturi tăitor T() şi încovoitor -M i () s-u trst în figuril şi 8 7 5 M( ) ( ) 5 7 8 9 ig plicţi olosind mtod funcţii trptă Φ să s trs digrml d forturi tăitor şi încovoitor pntru r drptă simplu rmtă, încărctă cu tri srcini distruit c în figur, pntru cul prticulr: qkn, m q q q q q q Rcţiunil V şi V din cl două ig rm s dtrmină din cuţiil d momnt fţă d O pntru forţl chivlnt din figur : MO V q 5 q q V q (7) 7 MO V q q 5 q 7 V q Rlţi d vrificr rcţiunilor clcult V şi V st : : q q q V V (8) 5

Cornl MRIN q q q q q q q q V q V ig Utiliând prsiil nlitic l cl tri tipuri d srcini: concntrt V şi V, uniform distriuit q şi linir distriuită -q şi plicând principiul suprpunrii fctlor s oţin următorl prsii nlitic l forturilor T() şi M i (): T() V Φ( ) V Φ( 8) q Φ() q Φ( ) () q Φ( ) () q q q Φ( ) () Φ( 5) (5) q Φ( 8) (8) Φ( 8) (8) (9) q q M i ( ) V Φ( )( ) V Φ( 8 )( 8 ) Φ( ) Φ( ) ( ) q q Φ( ) ( ) Φ( ) ( ) q q q Φ( 5 ) ( 5 ) Φ( 8 ) ( 8 ) Φ( 8 ) ( 8 ) (5) Introducând vloril numric m şi qkn/m în rlţiil (9) s oţin digrml d forturi tăitor T() şi încovoitor -M i () prntt în figur Osrvţii: pntru (, ) şi (, ) fortul T() vriă linir ir M() după o funcţi d grdul l doil; pntru (, 5 ) fortul T() st constnt ir M() vriă linir; pntru ( 5, 8 ) fortul T() vriă după o funcţi d grdul l doil ir M() după o funcţi d grdul l tril; pntru ( 8, 9 ) forturil T() şi M() sunt nul 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii T () ( ) M() 5 5 5 5 5 5 7 8 9 ig Digrml d forturi T şi M i Digrm d forturi pntru r cotit pln Brl cotit pln sunt sistm d r conţinut în clşi pln, sudt în noduri (su vând noduri rigid), încărct cu forţ su cupluri d forţ conţinut în plnul lor supus l solicitări il d întindr-comprsiun, tăitor şi încovoitor Pntru trs digrml d forturi s prcurg următorl tp: s clculă rcţiunil din cl tri cuţii d chiliru l sistmlor pln; s lg pntru ficr tronson sistmul d O stfl încât O să fi orinttă după dircţi i tronsonului d ră ir snsul d prcurgr să fi clşi (d prfrinţă d l stâng l drpt); s rduc forţl şi cupluril d forţ cr cţionă supr porţiunii din r cotit din stâng scţiunii pntru snsul d prcurgr l tronsonului d l stâng l drpt, su form torsorului d rducr : R i k (5) M O M O j s trsă digrml d forturil scţionl pntru ficr tronson d ră folosind clşi convnţii d smn stilit l r drptă; 5 s vrifică rulttl oţinut Osrvţi În cul rlor cotit vând unghiuri drpt într două tronson lăturt, forturil il s schimă în tăitor şi invrs, ir forturil încovoitor îşi păstră tât vlor cât şi smnul 5

Cornl MRIN plicţi 5 Să d trs digrml d forturi il N, tăitor T şi încovoitor M i pntru r cotită plnă (sistmul formt din cinci r cu noduri rigid) din figur 5 S prcurg tpl d mi sus: Dtrminr rcţiunilor V, H şi M din încstrr : M q q V H N q q O ig 5 Ecuţiil d chiliru s scriu: : H M : V : M q N q; H V q M (5) S lg pntru ficr tronson d ră un sistm d O locl stfl încât O să fi orinttă după dircţi i tronsonului d ră în snsul d prcurgr l tronsonului d ră (d prfrinţă d l stâng l drpt) (fig) 5 ig 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S rduc forţl şi cupluril d forţ cr cţionă supr ri cotit, situt l stâng scţiunii tronsonului (snsul d prcurgr fiind d l stâng l drpt), su form torsorului d rducr, c în figur 7 5 -q H q M -q q M V 5 M q -q -q q M q -q ig 7 S trsă digrml d forturi scţionl pntru ficr tronson folosind clşi convnţii d smn d l r drptă S oţin digrml d forturi il N tăitor T şi încovoitor M i din figuril 8, 9, 55

Cornl MRIN q q q Digrm N ig 8 q q q - -q - -q Digrm T ig 9 q - -q q -q Digrm M i ig 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5Vrificr rulttlor oţinut După trsr digrmlor d forturi scţionl s vrifică rulttl pntru ultimul tronson d ră (-) : stfl vloril forturilor oţinut în scţiun () pntru srcinil cr cţionă l stâng scţiunii trui să fi gl cu vloril rcţiunilor rspctând convnţi d smn pntru snsul d prcurgr d l drpt l stâng: N H ; T V ; M i M (5) S osrvă că rulttl oţinut s vrifică şi digrml s închid: N q; T q; M i (5) 7 Digrm d forturi pntru r cotit spţil Brl cotit spţil sunt sistm formt din r drpt cu noduri rigid, încărct cu forţ su cupluri d forţ spţil C şi în cul rlor cotit pln pntru trsr digrmlor d forturi s folosşt mtod torsorului d rducr forţlor şi cuplurilor d forţ şi s prcurg următorl tp: s lg pntru r cotită spţilă un sistm d triortogonl drpt O şi s clculă rcţiunil folosind cl şs cuţii d chiliru din Mcnic solidului pntru sistml spţil d forţ; s lg pntru ficr tronson cât un sistm d locl O stfl încât O să fi orinttă după dircţi i ri ir snsul d prcurgr să fi clşi, d prfrinţă d l stâng l drpt; s rduc forţl şi cupluril d forţ cr cţionă supr ri cotit în scţiun sitută în cpătul tronsonului, su form torsorului d rducr : R i j k (55) M O M Oi M O j M Ok s trsă digrml d forturi scţionl pntru ficr tronson d ră folosind convnţiil d smn stilit l r drptă ; 5 s vrifică rulttl oţinut Osrvţi : l trsr digrmlor d forturi în rl cotit spţil s ţin sm că forturil il şi cl d răsucir corspund i O sistmului locl d, ir forturil tăitor şi încovoitor cu cât două componnt ficr, corspund lor O şi O l sistmului locl d plicţi Să d trs digrml d forturi il N, tăitor T încovoitor M i şi d răsucir M t pntru sistmul formt din ptru r cu noduri rigid şi unghiuri drpt într tronson din figur Rolvr S dtrmină rcţiunil din încstrr (5) cu jutorul clor şs cuţii d chiliru din Mcnică pntru sistmul d forţ cr cţionă supr cdrului dică forţl trior,, srcin uniform distriuită q rspctiv forţl şi cupluril d lgătură din încstrr, în rport cu sistmul d O din figur : 57

Cornl MRIN 58 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 q N N : M q M q M : M q L q L : M q Z q Z : q Y Y : q; X X : O O O (5) S lg pntru ficr tronson d ră cât un sistm locl d drpt O stfl încât O să fi orinttă după dircţi i tronsonului d ră, ir snsul d prcurgr să fi clşi pntru tot tronsonl (fig) S rduc forţl cr cţionă supr ri cotit, situt l stâng scţiunii ficărui tronson, su form torsorului d rducr sistmului d forţ S trsă digrml d forturi scţionl pntru ficr tronson l ri cotit spţil folosind convnţi d smn stilită pntru r drptă oţinându-s digrml d forturi il N, torsionl M t, tăitor T şi încovoitor M i din figuril, 5, rspctiv 7 ig 5 ig q Z 5 O q Y 5 X 5 5 N 5 M 5 L 5 q

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii q Tronsonul - q M t N Eforturil il N şi d răsucir M t sunt nul T T -q -q / -q -q M i Digrml d forturi tăitor T, T ig M i Digrml d forturi încovoitor M i, M i Tronsonul - q -q -q q q / M t q N ig 5 Digrml d forturi il N şi d răsucir M t 59

Cornl MRIN -q / q -q M i -q / M i T T Digrml d forturi tăitor T şi T ig 5 Digrml d forturi încovoitor M i şi M i Tronsonul - -q / -q q -q M t q / q -q N q Digrml d forturi il N şi d răsucir M t T -q q q T -q q q M i M i Digrml d forturi tăitor T şi T ig Digrml d forturi încovoitor M i şi M i

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Tronsonul -5 q q q -q -q q / 5 M t q N -q T -q T -q Digrml d forturi tăitor T şi T ig 7 q Digrml d forturi il N şi d răsucir M t -q / M i 5q M i Digrml d forturi încovoitor M i şi M i M -q / 5 Vrificr rulttlor oţinut După trsr digrmlor d forturi scţionl s vrifică rulttl pntru ultimul tronson d ră (-5) : conform convnţii d smn, pntru snsul d prcurgr d l drpt l stâng, în scţiun (5) vloril forturilor oţinut în cst c pntru srcinil cr cţionă l stâng scţiunii trui să fi gl c mărim cu rcţiunil şi să iă următorl smn (fig8): N X 5 M t L5 T Y5 M i M 5 (57) T Z5 M i N5 S osrvă că rulttl oţinut s vrifică şi digrml s închid (fig9): N q M t q T q M i q (58) T q M i 5q

Cornl MRIN N 5 L 5 X 5 5 Z 5 Y 5 M 5 q 5 -q q q -q 5q -q -q / q ig 8 q q q ig 9 8 Prolm propus 8 S considră grind vând încărcr şi rmr din figur, und m şi qkn/m S cr să s trs digrml d forturi tăitor şi încovoitor (Concursul d Ristnţ mtrillor, Ploişti 988) q q / q / q / ig

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 8 S dă grind mtlică rmtă şi încărctă c în figur S cr să s trs digrml d forturi tăitor şi încovoitor (Concursul d Ristnţ mtrillor, Cluj-Npoc 987) q q q / ig 8 S considră grind mtlică rmtă şi încărctă c în figur und,5m şi qkn/m S cr să s trs digrml d forturi tăitor şi încovoitor (Concursul d Ristnţ mtrillor, Cluj-Npoc 99),5q q q ig 8 O grind drptă rmtă în punctl () şi () r form, dimnsiunil şi încărcr din figur, und,8m şi kn S cr să s dtrmin cotl stfl încât forturil încovoitor din rmul () şi scţiun (B) să fi gl în vlor solută; să s trs digrml d forturi tăitor şi încovoitor pntru m (Concursul d Ristnţ mtrillor, Bucurşti ) q/ 8 B ig

Cornl MRIN 85 O ră d scţiun circulră vând dimtrul d st încstrtă l un cpăt şi încărctă c în figur, und d mm şi kn S cr să s trs digrml d forturi il, tăitor, încovoitor şi d răsucir (Concursul d Ristnţ mtrillor, Bucurşti ) /d d d d ig 8 S dă grind spţilă cotită vând tot unghiuril dintr tronson drpt, lcătuită din tri r omogn, d scţiun inlră d dimtr Dmm şi d9mm, încstrtă l un cpăt şi încărctă c în figur 5, und,5m şi qkn/m S cr să s trs digrml d forturi il, tăitor, încovoitor şi d răsucir (Concursul d Ristnţ mtrillor, Ploişti 988) O q q q ig 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 87 S dă grind spţilă cotită vând unghiuril dintr tronson drpt, formtă din cinci r d scţiun circulră cu dimtrul d, cr st încstrtă l un cpăt şi încărctă c în figur, und PkN, d Să s trs digrml d forturi il, tăitor, încovoitor şi d răsucir (Concursul d Ristnţ mtrillor, Cluj- Npoc 987) O ig 88 S dă r spţilă cotită cu tot unghiuril dintr tronson drpt, lcătuită din tri r d scţiun circulră d dimtru d, cr st încstrtă l un cpăt şi încărctă c în figur 7 cu forţ PkN/m; s dă: d Să s trs digrml d forturi il, tăitor, încovoitor şi d răsucir (Concursul Nţionl d Ristnţ mtrillor CCTodorscu, profil mcnic, Bucurşti ) P P/ P ig 7 5

Cornl MRIN 89 S dă r spţilă cotită cu tot unghiuril dintr tronson drpt, lcătuită din tri r d scţiun circulră cu dimtrul d, cr st încstrtă l un cpăt şi încărctă c în figur 8, und qkn/m, m Să s trs digrml d forturi il, tăitor, încovoitor şi d răsucir (Concursul d Ristnţ mtrillor, Cluj-Npoc 988) q q q ig 8 8 S dă r spţilă cotită vând tot unghiuril dintr tronson drpt, lcătuită din tri r d scţiun circulră d dimtru d, cr st încstrtă l un cpăt, rmtă p dircţi vrticlă în punctul () şi încărctă c în figur 9, und qkn/m,,m Să s trs digrml d forturi il, tăitor, încovoitor şi d răsucir (Concursul d Ristnţ mtrillor, Cluj-Npoc 99) q q ig 9

ÎNTINDERE ŞI COMPRESIUNE BRELOR DREPTE

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Introducr O ră drptă supusă cţiunii unor forţ il st solicittă l întindr su comprsiun: dcă forturil il într-o scţiun s sunt poitiv, r st supusă l întindr (fig), ir dcă sunt ngtiv st supusă l comprsiun (fig) N N N N întindr ig comprsiun Pntru trs digrml d forturi il s prcurg r d l stâng l drpt plicând convnţi d smn pntru fţ ngtivă su d l drpt l stâng plicând convnţi corspunător fţi poitiv În cul ri din figur încărctă cu forţl il P, P, P şi P, digrm d forturi il N st rprnttă în figur H P P P P,5 P -P -P - Digrm N ig -P P tronsonul (-) fortul il st poitiv (N>), dci r st solicittă l întindr, ir p clllt tronson forturil il sunt ngtiv (N<) dci r st solicittă l comprsiun 9

Cornl MRIN Tnsiuni norml l întindr-comprsiun S considră o ră drptă solicittă l întindr su comprsiun şi un lmnt d lungim d din cstă ră, flt l distnţ d cpătul i (fig ) Dcă s dmit vlilă lg lui HOOKE şi s plică principiul suprpunrii fctlor, su cţiun srcinilor trior, tot firl lmntului d lungim d sufră dformţi Δ(d) (fig ) N N σ σ d Δ(d) d ig Conform lgii lui HOOKE într tnsiunil norml σ d p suprfţ scţiunii şi dformţiil spcific ε l firlor corspunător istă o rlţi liniră: σ E ε () Ţinând sm d fptul că dformţiil spcific ε sunt constnt pntru tot firl lmntului, rultă că tnsiunil norml σ sunt constnt p suprft scţiunii (fig ): σconstnt () orţ lmntră corspunător tnsiunii norml σ într-un punct orcr l scţiunii r prsi: dnσ d () Conform tormi d chivlnţă tnsiunilor, fortul il N s scri: N σ d σ () Rlţi () dintr tnsiun normlă şi fortul il stă l clcullor d ristnţă pntru solicitr d întindr-comprsiun şi s mi scri: N σ (5) Pntru cl tri tipuri d clcul d ristnţă rlţi (5) dvin: N pntru clcul d vrificr: σ m σ () und N st fortul il mim ir σ st ristnţ dmisiilă mtrilului; N pntru clcul d dimnsionr: nc (7) σ und: N st fortul il mim, nc ri ncsră scţiunii priculos; 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii pntru clculul srcinii cpil: Nm σ (8) Pntru mplul din figur vloril forturilor il, riil scţiunilor şi tnsiunil corspunător pntru ficr tronson sunt prntt în tlul Tlul Tronsonul - - - - Efortul N P -P -P -P ri scţiunii Tnsiun σ P/ -P/ -P/ -P/ Tipul d solicitr întindr comprsiun comprsiun comprsiun Vlor mimă tnsiunii corspund tronsonului -: σ m P / P / (9) Cl tri tipuri d clcul d d ristnţă dvin: P clculul d vrificr: σ () P clculul d dimnsionr l rii ncsr: nc σ () clculul srcinii cpil: σ Pm () Dformţii şi dplsări Su cţiun forţlor il şi r drptă din figur st solicittă l întindr şi sufră dformţii longitudinl ΔL şi dformţii trnsvrsl -Δd (fig) Un lmnt d lungim d sufră d smn dformţi longitudinlă Δ(d) şi trnsvrslă Δd N Δ(d) N d-δd d L ΔL ig Dformţi Δ(d) lmntului d lungim d s scri în funcţi d dformţi spcifică ε stfl: Δ( d ) ε d () Ţinând sm d lg lui Hook ε σ / E şi d rlţi (5) dformţi N d longitudinlă Δ(d) s scri: Δ ( d) () E 7

Cornl MRIN Dformţi totlă ri ΔL s oţin cu jutorul intgrli: Nd ΔL Δ( d ) ΔL E l l (5) und: N st fortul il p lungim ri; E modulul d lsticitt longitudinl l mtrilului; ri scţiunii ri; E rigiditt l întindr-comprsiun ri Pntru mplul din figur, fortul il şi ri ficărui tronson sunt constnt, stfl încât dformţi totlă s oţin cu jutorul rlţii: Ni l i Δl i Ei () În tlul sunt dt prsiil dformţiilor ficărui tronson şi l dformţii totl Tlul Tronson - - - - Efortul N P -P -P -P Rigiditt E E E E Dformţi P/E -P/E -P/E -P/E Dformţi totlă 8P E S osrvă că dformţiil p cl tri tronson (-), (-) şi (-) sunt ngtiv şi corspund unor tnsiuni ngtiv ir dformţi corspunător tronsonului (-) st poitivă şi corspund uni tnsiuni poitiv Dplsr ilă uni scţiuni ri dpind d lgăturil i cu mdiul fi şi d dformţiil cr iu nştr su cţiun srcinilor trior Dplsăril scţiunilor,, şi sunt dt în tlul Tlul Scţiun Dformţi P/E -P/E -7P/E -8P/E Enrgi potnţilă d dformţi lstică S considră o ră drptă d scţiun constntă fită l un cpăt şi solicittă l clăllt d o forţă ilă cr s plică progrsiv, cări vlor crşt d l l P (fig 5) Br sufră dformţii linir progrsiv c crsc d l ro l vlor mimă Δl În figur 5 st prnttă digrm d vriţi (u) N d ig 5 N u 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii P Lucrul mcnic totl l forţi progrsiv p dplsr totlă Δ l s scri: L du (7) Dcă s dmit o vriţi liniră d l l P forţi progrsiv (fig5) d form: P ( u ) u (8) Δ l O Δl u lucrul mcnic totl l forţi progrsiv p u du dplsr totlă Δ l st: Δl Δl P PΔl ig 5 L du Δl udu (9) Din figur 5 rultă că lucrul mcnic totl l forţi progrsiv st ri suprfţi mărginită d digrm d vriţi (u), Ou şi vrticl u Δl Dcă în locul ri d lungim l s considră lmntul d ră d lungim d, ir în locul forţi P s considră fortul il N, tunci lucrul mcnic lmntr corspunător fortului il N p dplsr totlă Δ(d) s scri: Δ ( d ) NΔ ( d dl du ) () Ţinând sm d prsi dformţii Δ(d) (), lucrul mcnic lmntr totl N d () dvin : dl () E Lucrul mcnic totl l forţlor il pntru o ră drptă d rigiditt l întindr su comprsiun E s scri cu jutorul intgrli: l N L d () E S fc ipot că lucrul mcnic totl l forţlor il s trnsformă intgrl în nrgi potnţilă d dformţi lstică Rlţi pntru clculul nrgii potnţil d dformţi lstică l întindr-comprsiun st: l N d U () E Enrgi potnţilă spcifică U st rportul dintr nrgi potnţilă d dformţi lstică corspunător lmntului d ră du şi volumul lmntr du N dvd: U ; U () dv E Su ţinând sm d rlţiil tnsiunii σ şi dformţi spcific ε: E U σ ; U σ ε ; U ε (5) E Δl 7

Cornl MRIN Pntru mplul din figur nrgi potnţilă d dformţi lstică totlă s clculă conform rlţii (): l N P, 5 P 9P P 7 P U d () E E E E E E 5 Prolm sttic ndtrmint d întindr-comprsiun 5 Diltr împidictă fără joc S considră o ră d lungim L şi scţiun constntă fită într doi prţi rigii (fig5) Br st încălită uniform stfl încât tmprtur i crşt d l t l t Să s dtrmin forţ ilă cr i nştr în ră dtorită fnomnului d diltr trmică împidictă S cunosc modulul d lsticitt E şi coficintul d diltr trmică α pntru mtrilul ri L P L ΔL ig 5 Diltr împidictă pot fi studită c fiind formtă din două f: o primă fă în cr r s diltă lir dtorită încălirii cu Δt căpătând dformţi: ΔL α L Δt (7) dou fă în cr r st comprimtă il cu forţ P oţinându-s dformţi ΔL (fig5) Conform rlţii (5), su cţiun forţi P r s dformă cu : PL Δ L (8) E Eglând cl două prsii (7) şi (8) s oţin forţ P cr i nştr l diltr împidictă: P E α Δt (9) S osrvă că forţ ilă oţinută l diltr împidictă nu dpind d lungim ri, ci numi d rigiditt l comprsiun E, coficintul d diltr trmică α şi difrnţ d tmprtură (Δt t - t ) 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Diltr împidictă cu joc S considră cşi prolmă diltării împidict cu difrnţ istnţi unui joc δ într cpătul lir l ri şi prtl rigid (fig) L L ig δ ΔL-δ P δ S utiliă clşi rţionmnt c în cul prcdnt: în prim fă r s diltă cu vlor: ΔL α L Δt ; () dou fă r s comprimă il cu cu o forţă ilă P oţinându-s dformţi ΔL δ (fig): PL ΔL δ () E Înlocuind prsi () lui ΔL în () s oţin forţ P cr i nştr l diltr împidictă: δ P Eα Δt () L Conform rlţii () dcă δ > αl Δt rultă forţ il P< în ră, c c nu st posiil, dorc în cst c diltr ri st liră şi P 5 Br rticultă l cpt S considră o ră drptă d lungim L şi scţiun constntă rticultă l cpt şi solicittă d o forţă ilă P c cţionă într-o scţiun sitută l distnţ fţă d cpătul din stâng, c în figur 7 S cr rcţiunil H şi H H P H L ig 7 75

Cornl MRIN cst st o prolmă sttic ndtrmintă întru-cât numărul d ncunoscut () st mi mr dcât numărul d cuţii d chiliru indpndnt cr s pot scri () S pot scri o singură cuţi d chiliru: H H - P () C d- dou cuţi s oţin din condiţi d dformţii: N d Nd ΔL E E l l () Eforturil il N şi N pntru cl două tronson (fig7) sunt: N - H ; N - H P (5) Înlocuind în rlţi () s oţin: H H P ( L ) E E () Rolvând sistmul () şi () s oţin prsiil rcţiunilor H şi H : H P ; H P L L (7) 5 Br nomogn montt cu joc S considră tri r nomogn (un şi două ucş coil) montt cu joc într două plăci rigid Brl u cşi dimnsiun nominlă L : ul din oţl r lungim Lδ, ucş din luminiu lungim L şi ucş din cupru lungim L-δ Cl tri r sunt solicitt l comprsiun cu o forţă ilă P stfl încât l s comprimă jungând în finl l cşi lungim (fig 8) Să s dtrmin vloril forturilor il prlut d ficr din cl tri r Pntru rolv cstă prolmă s notă cu N, N şi rspctiv N forturil il cr iu nştr în cl tri r (fig 9) şi s scriu cuţiil d chiliru şi dformţii Ecuţi d chiliru forţlor s scri: N N N - P (8) P δ Cupru: E δ luminiu: E L Oţl: E ig 8 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 77 Ecuţiil d dformţii pntru cl tri r sunt: δ δ Δ Δ Δ Δ L L ; L L (9) Dformţiil clor tri r s primă în funcţi d forturil N, N, şi N : ( ) ( ) E L N L ; E L N L ; E L N L Δ Δ Δ δ δ () Introducând cst rlţii în cuţiil (9) s oţin sistmul: ( ) ( ) δ δ δ δ E L N E L N E L N E L N P N N N () Dcă s nglijă vloril jocurilor δ şi δ în rport cu lungim L s oţin: L E N E N L E N E N P N N N δ δ () Rolvând sistmul () s oţin: N N P N ; L E N E E N ; E E E E E L L E E E P N δ δ δ δ δ () ig 9 L E E ΔL E ΔL ΔL N N / N / N / N / N / N / N / N / N

Cornl MRIN 55 Sistm sttic ndtrmint pln formt din r prll S considră un sistm sttic ndtrmint pln formt din ptru r prll vând cşi lungim L şi rigidităţil l întindr-comprsiun dt (E, E, E, rspctiv E ) Cl ptru r prll sunt situt într l l distnţ şi fit l un cpăt d mdiul fi ir l clăllt d o ră rigidă O d lungim 5 (fig ) Br O st fită l un cpăt d mdiul fi printr-o rticulţi ir l clăllt cpăt st solicittă d o forţă P Să s dtrmin forturil il din cl ptru r E E E E P O S plică iom lgăturilor, iolând r rigidă O şi introducând forţl d lgătură din rticulţi V, H şi cl ptru forţ N, N, N şi N în punctl d lgătură cu rl vrticl, c în figur Cl şs cuţii s scriu stfl: tri cuţii d chiliru forţlor şi momntlor: H V N N N N - P () N N N N - P 5 tri cuţii d dformţii l clor ptru r s scriu ţinând sm d smănr triunghiurilor dformţiilor ş cum rultă din figur : ΔL ΔL ΔL ΔL (5) Dformţiil clor ptru r s scriu în funcţi d forturil N, N, N şi N : NL NL ΔL ; ΔL ; E E () NL NL ΔL ; ΔL E E 78 ig

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 79 Înlocuind cst dformţii în rlţiil (9) s oţin: E N E N E N E N (7) Eliminând prim cuţi () rultă un sistm d cinci cuţii cu cinci ncunoscut: rcţiun V şi forturil il din rl prll N, N, N şi N Su formă mtriclă sistmul d cuţii s pot scri stfl: 5 P P N N N N V E E E E E E (8) ig O E L P L L L E E E B C ig ΔL ΔL ΔL ΔL V P N N N N H

Cornl MRIN 5 Sistm sttic ndtrmint spţil formt din r prll S considră un sistm formt din ptru r prll vând cşi lungim L şi rigiditt l întindr E, fit l unul din cpt d un prt fi ir l clăllt în vârfuril uni plăci drptunghiulr rigid vând dimnsiunil c în figur Într-un punct d coordont şi fţă d un sistm d rfrinţă O, cţionă o forţă prpndiculră p plcă P Să s dtrmin forturil il din cl ptru r Dcă s plică iom lgăturilor s introduc forţl d lgătură N, N, N şi N în punct d lgătură l plăcii cu rl vrticl, c în figur N O P N C N ΔL N ΔL ΔL S pot scri următorl cuţii: tri cuţii d chiliru din Mcnică: : N N M M O O (ΔL ΔL )/ (ΔL ΔL )/ ig : N : N N N N P B ΔL P N P (9) o cuţi din condiţi d dformţii l rlor, ţinând sm d ipot că plc st rigidă (nu s dplnă su cţiun forţi P) s pot scri o rlţi gomtrică într dformţiil clor ptru r cr rultă din glitt liniilor mijlocii l clor două trp vând dformţiil ΔL, ΔL rspctiv ΔL, ΔL (fig): ΔL ΔL ΔL ΔL (5) Dformţiil clor ptru r s primă în funcţi d forturil N, N, N şi N : NL NL ΔL ; ΔL ; E E (5) NL NL ΔL ; ΔL E E 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Ţinând sm d rlţiil (5) rlţi (5) dvin: N N N N (5) Rultă un sistm d ptru cuţii cu ptru ncunoscut: forturil il din cl r Rolvând cst sistm s oţin: N P ; N P (5) N P ; N P Osrvţi: Rulttl (5) sunt vlil pntru (,), (,), mi puţin punctl din cptl intrvllor S pot vrific dcă pntru poiţi cntrlă forţi P ( /, / ) s oţin vlori gl pntru cl ptru tnsiuni din r: N N N N P (5) / Prolm propus S considră sistmul formt dintr-un cdru rigid şi două tij rticult vând modull d lsticitt E 5 MP şi riil şi Cdrul rigid st încărct cu o srcină uniform distriuită qkn/m şi r lgăturil din figur, und,5m Tij dou st monttă forţt d cdrul rigid p distnţ δ, mm Să s clcul tnsiunil din tij după montjul forţt, înint şi după plicr srcinii uniform distriuit q (Concursul Nţionl d Ristnţ mtrillor CCTodorscu, profil mcnic, Bucurşti ) 5 E, q δ ig 8

Cornl MRIN S dă sistmul formt din tri tij rticult vând rigidităţil l întindrcomprsiun constnt E, 7 N Sistmul st încărct în nodul su un unghi α cu forţ, c în figur 5 Tij B st monttă forţt pntru limin ror d cuţi δ mm Să s dtrmin forturil din r c pr c urmr montjului forţt, tunci când nu cţionă forţ ; s cr vlor forţi, după montr forţtă rlor, stfl încât fortul il din r C să fi nul (Concursul d Ristnţ mtrillor Glţi, 98) α D α δ B C B ig 5 / C / D α α δ β ig S dă sistmul formt din tri r rticult vând riil scţiunilor trnsvrsl mm, mm şi modulul d lsticitt E, 5 N/mm Sistmul st încărct în nodul su un unghi β, cu forţ 8kN, c în figur Tij C st monttă forţt pntru liminr rorii d cuţi δ,5 mm Să s dtrmin forturil din r părut c urmr montjului forţt, tunci când nu cţionă forţ ; După montr forţtă rlor, să s dtrmin vlor forţi stfl încât fortul il din r C să fi nul (Concursul d Ristnţ mtrillor Glţi, 98) 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S dă sistmul d r rticult din figur 7 vând: E, 5 N/mm 8 mm, E,7 5 N/mm 8mm şi,5 m S cr: Să s clcul tnsiunil din r nomognă indpndntă O -, produs d o forţă ilă kn; Să s clcul vlor forţi pntru cr r nomognă O - s lungşt cu Δ, mm; Să s dtrmin forturil şi poi tnsiunil din rl sistmului după rlir montjului forţt cu cu Δ, mm (Concursul d Ristnţ mtrillor, Ploişti, 988) E E α5 α5 Δ O O B-B B B E E ig 7 8

Cornl MRIN 5 Br rigidă OD st rticultă în O şi susţinută în B şi C d doi tirnţi din oţl, c în figur 8 S cunosc: m, E, 5 MP S cr: clculul forturilor din tirnţi pntru,5 ; clculul forţi P cpil dcă cm şi cm, σ dmisiil MP; clculul dplsării vrticl cpătului lir D în cul în cr cm (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, Târgu-Murş, mi 5) O B α C D P ig 8 O grutt G st suspndtă prin intrmdiul unui fir cu dimtrul d8 mm c în figur 9 irul luncă fără frcr pst scriptl E Să s dtrmin rigiditt rsortului din scţiun C stfl încât grutt G să rămână în contct cu grind, fără să ps p cst Grind infinit rigidă BCD st rticultă în B Dt numric: 5 GN, l m; α, 5; β ; E, MP (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, UTCB, f locl, ) E B β C D α l l k αl ig 9 8

TORSIUNE BRELOR DREPTE

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Introducr Solicitr d torsiun su răsucir rlor st spcifică unor pis şi orgn d mşini cum r fi: r d torsiun, rorii cutiilor d vit, rcuril, tc S considră un motor lctric ME d putr P c trnsmit mişcr d rotţi prin intrmdiul unui rductor d turţi l o mşină d lucru c în figur Rductorul r turţi l intrr n i glă cu turţi motorului lctric şi turţi d işir ni n <n i glă cu turţi mşinii d lucru, rportul d trnsmitr fiind : i Ci doi n rori i rductorului sunt solicitţi l torsiun d cupluril M ti şi M t ME CE n i R ML ig n Dcă s nglijă putr consumtă prin frcr în ngrnjl şi lgărl rductorului, putr consumtă d mşin d lucru ML st glă cu putr motorului lctric ME Rlţiil cr s pot scri într cuplul d torsiun l rorlui d intrr M ti, rspctiv cuplul d torsiun l rorlui d işir M t, turţiil corspunător n i, n şi putr P sunt următorl: P M ti ; π ni () P M t π n Întru-cât n <n i din rlţiil () rultă: M t >M ti În Sistmul Intrnţionl d unităţi d măsură (SI), unităţil pntru mărimil din rlţi () sunt : [M t SI ] Nm; [P] SI W su Nm/s; [ω] SI rot/s; () Ţinând sm d unităţil d măsură folosit în mod curnt şi num: [M t ]Nm, [P]kW şi [n]rot/min rlţi într cuplul d torsiun, putr şi turţi s scri: P M t () π n Pntru trs digrml d forturi torsionl M t () s doptă cşi convnţi d smn pntru forturil p fţ poitivă şi ngtivă scţiunii Digrml d forturi torsionl în cul doi rori vând ficr cât ptru roţi dinţt, sunt prntt mi jos: 87

Cornl MRIN pntru un ror c primşt fluul d putr prin rot dinţtă () şi îl trnsmit prin roţil dinţt (), () şi (), l tri mşini d lucru (fig) s oţin cupluril corspunător pntru cr st vlilă rlţi: M t M t M t M t () Digrm d forturi torsionl r form din figur M t M t M t M t M t Digrm M t - M t ig M t M t pntru un ror c primşt fluul d putr prin rot dinţtă () şi îl trnsmit prin roţil dinţt (), () şi (), l tri mşini d lucru (fig) s oţin cupluril corspunător pntru cr st vlilă cşi rlţi (), dr digrm r form din figur M t M t M t M t Digrm M t - M t M t M t M t M t M t M t ig 88

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Torsiun rlor d scţiun circulră şi inlră Tnsiuni şi dformţii S considră o ră drptă d scţiun circulră su inlră d lungim L fită l un cpăt şi încărctă cu un cuplu d torsiun M t (fig) Pntru studiul tnsiunilor şi dformţiilor l răsucir s considră vlil: ipot lui Brnoulli: o scţiun plnă şi normlă p ri, după dformr rămân tot plnă şi normlă p ri; ipot lgii lui Hook: într tnsiunil tngnţil τ şi dformţiil unghiulr γ (luncr spcifică) istă o rlţi liniră: τ G γ (5) Dcă s trsă p suprfţ cilindrică trioră un croij formt din crcuri şi gnrtor, după dformr prin torsiun croijul dvin o rţ d romuri (fig), şi gnrtorl s înclină cu unghiul γ fţă d ri Vriţi γ ungiului drpt (π/), în rdini, s numşt luncr spcifică (fig ) S considră un lmnt cilindric d lungim d dlimitt d două scţiuni trnsvrsl cr trc prin O şi O i două gnrtor CD şi B situt p suprfţl cilindrilor d r r rspctiv R, prll cu cilindrului (fig c) După dformr, cl două scţiuni prll s rotsc într l cu unghiul dϕ, ir gnrtorl CD şi B s rotsc cu unghiuril γ rspctiv γ m L M t dv d C O γ r R O D M t M t γ M t γ m d D B B dϕ dv c ig 89

Cornl MRIN Într unghiul γ (luncr spcifică) şi rotir dϕ s pot scri rlţi: r dϕ γ tg γ γ r θ () d dϕ în cr s- nott cu θ răsucir spcifică (7) d Ţinând sm d rlţi (), prsi tnsiunilor tngnţil în funcţi d răsucir spcifică θ s scri: τ G θ r (8) Efortul torsionl M t într-o scţiun ri s oţin folosind torm d chivlnţă tnsiunilor tngnţil τ prin însumr momntlor forţlor lmntr d τ d corspunător tnsiunilor τ, în rport cu longitudinlă O (fig ): M t r d; M t Gθ r d (9) d D τ m τ m τ min τ m τ d d r d τ d M t ig M t 9 Mărim I p r d st momntul d inrţi polr l scţiunii S oţin stfl o rlţi liniră într momntul torsionl şi răsucir spcifică: M t GI p θ () Din rlţi () rultă prsi răsucirii spcific θ : M t θ () GI p Din rlţi () s osrvă că răsucir spcifică θ st invrs proporţionlă cu rigiditt l răsucir ri GI p Înlocuind în rlţi (8) s oţin prsi tnsiunii tngnţil l răsucir rlor d scţiun circulră şi inlră: M τ t r () I p

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S osrvă din rlţi () că tnsiun tngnţilă τ vriă linir cu r r, vlor mimă oţinându-s pntru rr: M t M t τ m R su τ m I p Wp () I p und W p st modulul d ristnţă polr: Wp R () Pntru o scţiun circulră vând dimtrul D, momntul d inrţi polr I p şi modulul d ristnţă polr W p s clculă cu jutorul rlţiilor: πd πd I p ; Wp (5) Pntru o scţiun inlră d dimtru trior D şi dimtru intrior d, momntul d inrţi I p şi modulul d ristnţă polr W p s clculă cu jutorul rlţiilor: π( D d ) π( D d ) I p ; Wp D () Conform rlţii (), rotir spcifică dϕ s scri: M t dϕ d GI p (7) Intgrând p lungim ri L s oţin dformţi unghiulră totlă su rotir rltivă clor două scţiuni situt l cptl ri (fig ): M t ϕ GI d (8) L p Enrgi potnţilă d dformţi lstică Dcă supr uni r d scţiun circulră su inlră fită l clăllt s plică progrsiv un cuplu M t (fig 5), r sufră dformţi unghiulră Δϕ Vriţi liniră cuplului M t cu unghiul ϕ s pot prim stfl (fig 5): M t M t( ϕ ) ϕ (9) Δϕ M t M t Δϕ M t M t L d M t ig 5 O dϕ Δϕ ϕ 9

9 Cornl MRIN Lucrul mcnic totl fctut d cuplul d torsiun M t p dformţi unghiulră Δϕ M tδϕ Δϕ r prsi: L M t ( ϕ) dϕ; L () Pntru un lmnt din ră d lungim d cr sufră dformţi unghiulră dϕ, lucrul mcnic lmntr fctut d cuplul d torsiun M t () r prsi: dl M t dϕ / () Ţinând sm d rlţi (7) lucrul mcnic totl fctut d cuplul d torsiun M t () pntru întrg ră s scri: M t L d () GI L p Dcă s fc ipot că lucrul mcnic totl s cumulă intgrl su formă d nrgi potnţilă d dformţi lstică ri, tunci cst r prsi: M t U d () GI L p Enrgi potnţilă spcifică rprintă rportul dintr nrgi potnţilă corspunător lmntului d ră d M t du şi volumul corspunător l GI p lmntului S oţin: M t d U πgd πd d () M t τ m U su U GW G p Ţinînd sm rlţi (5) într tnsiun tngnţilă mimă şi luncr spcifică mimă corspunător, prsiil nrgii potnţil spcific d dformţi în funcţi d tnsiunil şi luncăril spcific mim sunt : U τ mγ m ; U Gγ m ( ) plicţi Să s clcul săgt f şi tnsiun tngnţilă mimă τ m din scţiun unui rc cilindric licoidl d comprsiun su cţiun forţi il P (fig ) rcul licoidl cilindric st o ră cură în spţiu d scţiun circulră d dimtru d, vând gomtrică d o lic cilindrică d ră R În figur s-u făcut următorl notţii: R r d înfăşurr spiri cilindric; d dimtrul spiri; α unghiul d înclinr l spirlor su cţiun forţi il P; n numărul d spir ctiv; L lungim totlă ri cur în spţiu: L πrn;

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii P R MPR M t PR cosα d M i PR sinα Psinα α Pcosα P MPR P P ig P Rducând forţ ilă P într-o scţiun orcr rcului s oţin torsorul d rducr din figur : P (5) M PR Dcă s dscompun lmntl torsorului d rducr după cl două dircţii: tngnt l spiri şi prpndiculră p cst (fig ) s oţin: fortul il: NPsinα; fortul tăitor: TPcosα; momntul încovoitor: M i PRsin α; momntul torsionl: M t PR cosα Pntru unghiuri d înclinr spiri mici (α <5 ) s fc proimăril: sin α şi cosα, stfl încât fortul il N Psinα şi momntul încovoitor M i PRsin α s pot nglij în rport cu fortul d răsucir M t PR cosα şi fortul tăitor T Pcosα Tnsiun tngnţilă mimă s oţin prin suprpunr clor două tnsiuni tngnţil d l solicitr d răsucir şi forfcr: PR P τ m () Wp Nglijând tnsiunil d forfcr dtort fortului T Pcosα în rport cu tnsiunil dtort fortului M t PR cosα, s oţin tnsiun tngnţilă mimă: 9

9 Cornl MRIN PR τ m τ (7) πd Rlţi (7) stă l clculului d dimnsionr l rcurilor Pntru clcul săgt f s fc ipot că lucrul mcnic fctut d forţ P p săgt f s cumulă intgrl su formă d nrgi potnţilă d dformţi lstică Ţinând sm d rlţi () s oţin: t L f p Pf M PR n (8) GI Gd S notă cu k constnt lstică su rigiditt rcului: Gd k (8 ) R n Digrm d vriţi P( f ) k f st numită crctristic liniră rcului licoidl cilindric d comprsiun Torsiun rlor d scţiun ncirculră Torsiun rlor d scţiun liptică Studiul torsiunii rlor vând scţiun ncirculră s ă p tori lui Brr d Sint Vnnt (855) Ipot scţiunii pln lui Brnoulli d l torsiun rlor d scţiun circulră şi inlră nu mi st vlilă dorc s- consttt primntl că suprfţ plnă uni scţiuni ncirculr s dplnă în urm torsiunii În cst c s fc ipot că în scţiun trnsvrslă ri nu pr tnsiuni norml ci numi tnsiuni tngnţil vând o distriuţi nliniră cu vlori mim p conturul trior l scţiunii P rulttlor oţinut, Brr d Sint Vnnt propus pntru clculul tnsiunilor o funcţi ψ(,) constntă su nulă p conturul scţiunii, l cări drivt prţil sunt componntl tnsiunilor tngnţil orintt după cl două : ψ ψ τ ; τ (9) stfl pntru o scţiun liptică (fig7) s considră funcţi tnsiunilor ψ(,), nulă p conturul scţiunii vând form: ψ (, ) m () Pntru clcul constnt m din rlţi () s considră că intgrl funcţii ψ(,) p suprfţ scţiunii st jumătt din vlor momntului torsionl M t : M t ψ (, )d () Efctuând intgrl () s oţin: ψ (, )d m dd m π ()

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii τ m τ m O M t τ m τ m τ d τ τ m ig 7 M t Rultă : m şi funcţi tnsiunilor () s scri : π M t ψ (, ) () π Eprsiil tnsiunilor tngnţil τ şi τ s oţin cu jutorul rlţiilor (9): M t M t τ ; τ () I I în cr I şi I sunt momntl d inrţi fţă d cl două vând prsiil: π π I d ; I d (5) Din prsiil () s osrvă că pntru un cuplu M t poitiv, tnsiun τ st ngtivă (c c rtă fptul că r snsul opus i O) ir tnsiun τ st poitivă (c c rtă fptul că r snsul i O, vi fig7) Tnsiun tngnţilă τ st sum vctorilă clor două tnsini τ şi τ, vând snsul momntului torsionl M t şi dircţi prllă cu tngnt l conturul scţiunii liptic, conform rlţiilor: τ τ τ M t τ π τ I τ I () 95

9 Cornl MRIN Vloril mim l tnsiunii tngnţil τ s oţin p conturul scţiunii, dircţi lor fiind tngntă l contur (fig 7) şi u prsiil: M t M t τ m ; τ m ( ) π π Pntru >, s oţin τ m < τ m (fig 7) În cul prticulr l scţiunii circulr (R) s oţin rlţi tnsiunii tngnţil d l răsucir rlor: M t M t τ ; τ ; πr πr (7) M t τ r πr Răsucir spcifică θ s oţin cu jutorul rlţii: ψ ψ θ (8) G Înlocuind drivtl prţil d ordinul doi s oţin: M t θ (9) G π M t Rlţi (9) s mi pot scri su form: θ (9 ) GId în cr GI d st rigiditt l răsucir scţiunii liptic : G GI d π () În cul prticulr l scţiunii circulr (R) s oţin rlţi () d l M t răsucir scţiunii circulr: θ () GI p Torsiun rlor d scţiun drptunghiulră S considră o ră d scţiun drptunghiulră h supusă l torsiun su cţiun momntului M t Dcă s trsă p suprfţ trioră o rţ d pătrt c în figur 8, în urm dformţiilor prin torsiun ri s pot constt că rţu s dformă mi ccntut în on mdină suprfţlor trior, ir suprfţ cpătului ri s dplnă su cţiun momntului d torsiun M t P cstor osrvţii Brr d Sint Vnnt trs următorl concluii: d- lungul lor d simtri l scţiunii, tnsiunil tngnţil vriă prop linir, fiind nul în on mdină şi mim p contur (fig8); d- lungul lturilor scţiunii, tnsiunil tngnţil vriă după o lg proimtiv prolică, fiind nul în on colţurilor şi mim l mijloc (fig8), oţinându-s cu jutorul rlţiilor ddus primntl: M t τ m ; τ m k τ m () k h

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Coficintii k şi k u vloril din tlul Tlul h/,,5,75,,5 8 k,8,,9,,58,7,8,99,7, k,,9,,9,9,,8,99,7, k,,859,8,795,7,75,75,7,7,7 τ m M t τ m O d τ m τ τ τ m ig 8 unghiul d răsucir spcifică s oţin cu jutorul rlţii primntl: M t θ kg h () pntru profil drptunghiulr suţiri vând h > s folossc vloril: k k/ şi rlţiil pntru clculul tnsiunii tngnţil mim şi unghiului d răsucir spcifică sunt: M τ t m ; h () M θ t G h (5) 97

Cornl MRIN Torsiun rlor din profil suţiri dschis În cul răsucirii profillor suţiri dschis vând scţiun formtă din suprfţ drptunghiulr (d lungim h i şi lăţim t i ), p grosim lor tnsiunil tngnţil vriă după o lg liniră, sunt nul p lini mdină şi u vlori mim p porţiunil d grosim mimă Rlţiil d clcul l tnsiunii tngnţil mim şi l răsucirii spcific în cst c sunt: M ttm τ m ; ti hi (7) M t θ G t h i i Dcă nu s ţin sm d dformţiil profilului, s dfinşt d răsucir c ă în jurul cări s produc rotir scţiunii supusă l torsiun: în cul profillor suţiri cu două d simtri (mplu profilul I, fig9) d răsucir coincid cu cntrlor d grutt l scţiunii trnsvrsl ; în cul profillor suţiri cu o singură ă d simtri (profil U, T) d răsucir s flă în plnul d simtri şi nu trc prin cntrul d grutt l scţiunii trnsvrsl ; în cul profillor fără d simtri, d răsucir nu trc prin cntrul d grutt l scţiunii trnsvrsl În cul profillor suţiri vând lini mdină un rc d crc, cu unghiul l cntru α, r r şi lăţim constntă t (fig ) rlţiil d clcul l tnsiunii mim şi răsucirii spcific sunt: M t M t τ m ; θ (8) α rt G αrt t M t t m τ m C O r τ m M t ig9 ig 98

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii plicţi Să s clcul tnsiun mimă şi unghiul d răsucir spcifică l ri vând profilul dschis c în figur Profilul r lini mdină un drptunghi şi dmit o singură ă d simtri, c oriontlă S cunosc lăţimil profilului t t, t t şi t t, înălţim h şi lăţim linii mdin profilului Rolvr Conform rlţii (7) tnsiun mimă s produc în on d lăţim mimă şi r prsi: M t t τ m t h t t h (9) M t τ m t ( h ) Unghiul d rotir spcifică s clculă conform rlţii (7): M t θ G( t h t th ) (5) M t θ Gt ( h ) t t h M t C t t r M t τ t ig ig plicţi Să s dtrmin tnsiun mimă şi unghiul d răsucir spcifică l ri vând profilul dschis d formă circulră c în figur Profilul r lini mdină un crc d ră r şi lăţim profilului st constntă t Rolvr Conform rlţii (8) tnsiun mimă r prsi: M t M t τ m (5) α r π r t Unghiul d rotir spcifică s clculă conform rlţii (7): M θ t (5) π G r t 99

Cornl MRIN Torsiun rlor din profil suţiri închis S considră o ră tuulră cu prţi suţiri supusă l torsiun cu momntul M t Dcă s considră cul prticulr l uni scţiuni vând lini mdină un crc d lăţim t mică (o coronă circulră c în figur ), conform rlţii () d clcul tnsiunilor tngnţil d răsucir, tnsiun tngnţilă st: M t M t t / r τ r (5) I p π r t ( t / r) t τ r O M t t dτds dω ρ h O M t M t τ ig ig t / r Pntru lăţimi mici t << r s pot fc proimr : ( t / r) oţinându-s rlţi d clcul tnsiunilor: τ M t M t π r t Ωt (5) în cr: Ω πr st ri suprfţi mărginită d lini mdină, crcul d ră r ; t lăţim suprfţi scţiunii S pot gnrli rulttul d mi sus în cul unui profil suţir închis orcr d lăţim t (fig ) dcă s fc următorl ipot d clcul: mtrilul st omogn şi iotrop, rspctă lg lui Hook proporţionlităţii dintr tnsiuni şi dformţii; scţiun st constntă p lungim ri, longitudinlă O st cntrlor d grutt; într-o scţiun trnsvrslă ri tuulr nu cţionă dcât tnsiuni tngnţil d răsucir; scţiun ri tuulr r grosim t constntă su vriilă măsurtă norml l lini mdină

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S notă cu : ds lungim rcului d p fir mdi scţiunii ; dω h ds / ri lmntră triunghiului vând vârful în punctul fi O şi ds, ir Ω ri suprfţi mărginit d lini mdină scţiunii ρ h r corspunător rcului lmntr ds (fig ) Cu cst notţii, s considră un lmnt prismtic din cstă ră tuulră, vând dimnsiunil i ds, t, t şi gnrtor d lungim d c în figur 5 Ţinând sm d lg dulităţii tnsiunilor tngnţil, p fţl ltrl l cstui lmnt prismtic cţionă tnsiunil tngnţil τ şi τ cr sunt gl două cât două şi prpndiculr p muchiil comun c în figur 5 d τ t τ ds τ τ t ig 5 Ecuţi d chiliru forţlor lmntr dtort tnsiunilor tngnţil τ şi τ după dircţi O s scri: τ t d τ t d (55) Rultă o rlţi numită ipot BREDT fluului d tnsiuni: τ t τ t τ t const (5) Din rlţi (5) rultă că tnsiunil mim în cst c s oţin pntru lăţimil d prt minim Rlţi (5) stă l clculului l răsucir rlor tuulr cu prţi suţiri su rlor cu profil suţiri închis Momntul forţi lmntr dτds fţă d O, forţă corspunător tnsiunii tngnţil c cţionă p ri lmntră dh ds/ (fig), s scri: dm t ρ τ t ds (57) Intgrând rlţi (57) p lungim linii mdin scţiunii S s oţin momntul d torsiun chivlnt: M ρ τ t ds (58) t S Ţinând sm d ipot BREDT (5), d invrinţă fluului d tnsiuni tngnţil, rlţi (58) dvin: M t τ t ρ ds τ t dω M t τ t Ω (59) S Ω

Cornl MRIN Rultă din rlţi (59) că tnsiun tngnţilă dpind numi d lăţim t profilului şi d ri Ω figurii dlimittă d fir mdi scţiunii: M τ t () t Ω Tnsiun tngnţilă mimă s oţin pntru lăţim minimă : M t τ m () tmin Ω Pntru dtrmin unghiul d răsucir dϕ su cţiun cuplului M t pntru lmntul d lungim d, s fc ipot că lucrul mcnic l cuplului d torsiun M t c cţionă supr lmntului s cumulă intgrl su formă d nrgi potnţilă d dformţi lstică: τ M t dϕ dv () G V Ţinând sm d rlţi tnsiunilor () şi înlocuind dv t ds d în rlţi M t M t () s oţin: dϕ t ds d () G t V Ω D und rultă răsucir spcifică θ su dou formulă lui BREDT: dϕ M t ds θ () d GΩ t S În cul prticulr l uni r vând profilul suţir d lăţim constntă s oţin răsucir spcifică: M S θ t (5) GΩ t plicţi Să s dtrmin tnsiun mimă şi unghiul d răsucir spcifică l ri cu profil închis suţir vând form din figur S cunosc lăţimil d profil t t, t t şi t t, înălţim h şi lăţim linii mdin profilului Rolvr Conform rlţii () tnsiun mimă s produc în on profilului d lăţim minimă t şi r prsi: τ M t M t m tmin Ω t h () Unghiul d răsucir spcifică conform rlţii () st: M t h h θ G h t t t (7) M t ( 9h ) θ G h t Comprând prsiil tnsiunii mim şi unghiului d răsucir cu cl oţinut pntru profilul dschis (plicţi ) s osrvă că vloril cstor mărimi sunt mi

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii mri în cul profilului dschis, c c rtă că cst profil u o ristnţă l răsucir scăută Pntru cul prticulr ht, t s oţin următorl vlori: M t M t pntru profilul dschis : τ m ; θ (8) 8t Gt M t M t pntru profilul închis : τ m ; θ (9) t 8Gt În cul profilului închis tnsiun mimă st d 5 ori mi mică ir răsucir spcifică d 8 ori mi mică dcât în cul profilului dschis t t h M t C t t r M t t ig ig 7 τ plicţi 5 Să s dtrmin tnsiun mimă şi unghiul d răsucir spcifică l ri vând profilul închis d formă circulră c în figur 7 Profilul r mdină un crc d ră r şi lăţim profilului st t Conform rlţii () tnsiun mimă r în cst c prsi: M t M t τ m (7) tmin Ω π t r Unghiul d răsucir spcifică conform rlţii (5) st: M ts M t θ (7) GΩ t πgr t Comprând prsiil tnsiunii mim şi unghiului d răsucir cu cl oţinut pntru profilul dschis (plicţi ) s osrvă că vloril cstor mărimi sunt mi mri în cul profilului dschis Pntru cul prticulr rt s oţin : M t M t pntru profilul dschis: τ m ; θ (7) π t πg t M t M t pntru profilul închis : τ m ; θ (7) πt πgt

Cornl MRIN Prolm propus Să s dtrmin tnsiun mimă şi unghiul d răsucir spcifică l ri vând profilul dschis d formă smituulră c în figur 8 solicittă d momntul d torsiun M t Nm Profilul r lăţim tmm, şi mdină un crc d ră r5mm Mtrilul ri r modulul d lsticitt trnsvrsl : G8,5 MP t t M t r M t ig 9 ig 8 Să s dtrmin tnsiun mimă şi unghiul d răsucir spcifică l ri vând profilul dschis d formă tuulră c în figur 9 solicittă d momntul d torsiun M t Nm Profilul r lăţim t5mm, şi mdină o lipsă d smi: mm şi mm Mtrilul ri r modulul d lsticitt trnsvrsl : G8,5 MP i r - cu scţiun chsontă, solicittă l torsiun d momntl M t (în scţiun ), M t (în scţiun ) şi M t (în scţiun ) Ştiind că p intrvlul - prtl vrticl l ri r o fntă p mijloc (fig), s cr: să s trs digrm d momnt ştiind că ϕ - π/9 rd; să s clcul tnsiun τ m din ră S du:,m ; M t knm ; G8,5 MP (Concursul Profsionl d Ristnţ Mt CC TEODORESCU, Timişor, mi ) M t M t 8 7 M t ig

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Pntru r din figur supusă l torsiun liră s cr: vlor momntlor d torsiun M t şi M t din codiţi c unghiul d răsucir ϕ - π/9 rd, G8, MP digrml tnsiunilor tngnţil τ pntru cl două scţiuni, cu vlori; pntru scţiun - să s clcul poiţi cntrului d încovoir-răsucir (tăir) C Dt numric: m; m; t8mm (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, Târgu-Murş, mi 5) Scţiun - M t M Scţiun - M t Scţiun - Scţiun - t t t t t t t t t t t ig 5 O ră din oţl vând scţiun trnsvrslă în formă d U d grosim constntă δ st supusă răsucirii lir d cătr un momnt d torsiun dt M t, c în figur Să s nli fctul p cr îl r supr tnsiunii tngnţil d l mijlocul ripii profilului mărir grosimii ripii suprior l,δ dmiţând că h (Ristnţ mtrillor Prolm ls, p7, profdring ugustin Crţu, UT ClujNpoc, 99) 5

Cornl MRIN,δ δ h δ h δ δ δ δ h δ ig ig S dă o ră drptă din oţl cu prţi suţiri, vând profilul închis (simplu con), d grosim constntă δ cu h, supusă răsucirii lir d cătr un momnt d torsiun M t c în figur Să s nli fctul p cr îl r dăugr pntru consolidr unui nou prt d cşi grosim δ l distnţ h d scţiunii supr tnsiunilor tngnţil din prţii profilului (Ristnţ mtrillor Prolm ls, profdring ugustin Crţu, UT ClujNpoc, 99)

5 ÎNCOVOIERE BRELOR DREPTE

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Introducr O ră st solicittă l încovoir dcă forţl trior şi cupluril d forţ cr cţionă supr i produc într-o scţiun forturi scţionl d încovoir M i şi/su M i Conform tormi d chivlnţă tnsiunilor, forturil M i şi M i din scţiun trnsvrslă ri rprintă lmntl torsorului d rducr l forţlor intrior lmntr d dtort tnsiunilor norml d încovoir: proicţiil momntului M O p l O şi O su momntl forţlor lmntr d clcult fţă d l O su O c trc prin cntrul d grutt l scţiunii În cul solicitării l încovoir istă totdun în scţiun trnsvrslă o lini d- lungul cări tnsiunil norml sunt nul, numită nutră scţiunii Încovoir rlor drpt s clsifică după următorl două critrii: în funcţi d poiţi forţlor şi cuplurilor trior în spţiu: încovoir plnă (simtrică) - când forţl şi cupluril d forţ sunt situt într-un pln cr conţin tât longitudinlă ri cât şi o ă cntrlă şi principlă d inrţi scţiunii În mplul din figur 5 plnul forţlor conţin cntrlă şi principlă d inrţi O; su cţiun forţlor şi în scţiun i pr numi forturil încovoitor M i şi tăitor T nutră scţiunii coincid în cst c cu forturilor încovoitor O încovoir olică - când tot forţl şi sunt situt într-un pln cr conţin ri dr nu şi principlă d inrţi c în cul prcdnt În mplul din figur 5 plnul forţlor conţin longitudinlă ri, nu şi o ă principlă d inrţi Dşi forturil încovoitor sunt după O, nutră difră în cst c cu forturilor încovoitor O dr trc prin C; încovoir spţilă st cul gnrl l încovoirii în cr forţl intrsctă longitudinlă ri dr nu sunt cuprins în clşi pln şi produc forturi încovoitor după ml O şi O În mplul în figur 5 forţl, şi intrsctă longitudinlă ri şi produc forturi încovoitor M i, M i şi tăitor T, T nutră scţiunii nu coincid în cst c cu forturilor încovoitor rultnt M i dr trc prin C B În funcţi d tipul forturilor cr pr în scţiun ri: încovoir pură - când în scţiun ri s dvoltă numi forturi încovoitor M i su M i ; încovoir simplă - când în scţiun ri s dvoltă tât forturi încovoitor M i, M i cât şi forturi şi tăitor T, T ; încovoir compusă - când în scţiun trnsvrslă pr p lângă forturil încovoitor M i, M i şi lt tipuri d forturi: il, tăitor su torsionl 9

Cornl MRIN C M i C O T O, O: dircţii principl ig 5 Încovoir plnă (simtrică) M i C O T O, O : dircţii principl ig 5 Încovoir olică M i C O T T M i O, O : dircţii principl ig 5 Încovoir spţilă

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Crctristici gomtric l suprfţlor 5 Dfiniţii În clculul tnsiunilor norml σ l încovoir ri drpt intrvin numit mărimi lgt d gomtri suprfţi scţiunii trnsvrsl, numit crctristici gomtric l scţiunii: momntl d inrţi il şi cntrifugl cst crctriă modul în cr st rprtită suprfţ în rport cu un sistm d cr trc prin cntrul d grutt l scţiunii Pntru dfini crctristicil gomtric l uni scţiuni s considră un sistm orcr d O, un lmnt infinitiml d ri d şi un punct M p suprfţ scţiunii, d coordontl şi, c în figur 5 O r C C O - d d * C d C ig 5 ţă d sistmul d O s dfinsc următorl crctristici gomtric: Momntl sttic l scţiunii în rport cu O rspctiv cu O prin intgrll: S d; S d (5) Dcă s ţin sm d rlţiil cntrului d grutt scţiunii în rport cu sistmul d O: d d C ; C (5) rultă că momntl sttic l scţiunii s pot scri c produsul dintr ri scţiunii şi distnţ d l cntrul d grutt l rspctivă: S C ; S C ; (5) Dcă un din l O su O trc prin cntrul d grutt l scţiunii (distnţ d l cntrul d grutt l rspctivă st nulă) momntul sttic în rport cu cstă ă st nul Unitt d măsură pntru momntul sttic S în Sistmul Intrnţionl d Unităţi d Măsură (SI) st m

Cornl MRIN Momntl d inrţi il în rport cu O rspctiv cu O s clculă cu jutorul intgrllor: I d ; I d (5) Unitt d măsură momntlor d inrţi il în Sistmul Intrnţionl d Unităţi d Măsură (SI) st m Momntul d inrţi polr în rport cu un punct numit şi pol, d mplu origin sistmului d O s clculă cu jutorul intgrli: IO r d ( ) d (55) Din rlţi (5) rultă că momntul d inrţi polr st gl cu sum momntlor d inrţi il fţă d cl două O şi O cr trc prin polul O: I O I I (5) Unitt d măsură momntului d inrţi polr în Sistmul Intrnţionl d Unităţi d Măsură (SI) st m Momntul d inrţi cntrifugl în rport cu l O şi O s clculă cu jutorul intgrli: I d (57) Spr dosir d momntl d inrţi il şi momntul d inrţi polr cr sunt mărimi strict poitiv, momntul d inrţi cntrifugl pot fi poitiv, ngtiv su nul Dcă un dintr l sistmului O st o ă d simtri pntru suprfţ dtă, momntul d inrţi cntrifugl st nul Într-dvăr pntru o scţiun cr dmit O c ă d simtri scţiun st formtă din prchi d rii lmntr d şi d * simtric fţă d O, pntru cr s pot scri rlţi (fig5): d d (58) Dcă s intgră rlţi (58) p totă suprfţ scţiunii s oţin : I Unitt d măsură momntului d inrţi cntrifugl în Sistmul Intrnţionl d Unităţi d Măsură (SI) st m 5 Rl d inrţi il în rport cu cl două O şi O sunt dfinit stfl: I I i ; i (59) ormull (59) s mi pot scri: I i ; I i (59 ) Dci rl d inrţi il rprintă distnţ fictivă d l rspctivă până l un punct în cr s considră concntrtă întrg ri scţiunii

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii R d inrţi polră fţă d polul O s dfinşt stfl: IO io (5) Rlţi (5) s mi pot scri: IO i O Rultă că r d inrţi polră rprintă distnţ fictivă d l polul O până l un punct în cr s considră concntrtă întrg ri scţiunii 7 Modull d ristnţă il rprintă rportul dintr momntul d inrţi il corspunător şi distnţ până l punctul cl mi îndpărtt l suprfţi scţiunii: I I W ; W (5) m 8 Modulul d ristnţă polr pntru scţiuni circulr su inlr st rportul dintr momntul d inrţi polr corspunător csti scţiuni şi distnţ până l punctul cl mi îndpărtt l scţiunii su r trioră: IO WO R (5) m 5 Rlţiil lui STEINER pntru clculul momntlor d inrţi l trnslţi lor S considră suprfţ uni scţiuni şi un sistm d cntrl O cu origin în cntrul d grutt (O C) S pun prolm găsirii unor rlţii pntru clcul momntlor d inrţi il, polr şi cntrifugl în rport cu un sistm orcr d O prll cu sistmul cntrl O, dfinit prin distnţl: într l O şi O şi într l O şi O c în figur 55 O ' C O ' d ' M ' ig 55

Cornl MRIN i un lmnt d ri d în jurul punctului M d coordont (, ) fţă d sistmul d O şi d coordont (, ) fţă d sistmul d O Într cl două prchi d coordont istă rlţiil gomtric (fig55): ' ; (5) ' Ţinând sm d rlţiil (5), momntl d inrţi il fţă d l sistmului O s pot scri: ( ' ) d ( ) ( ' ) d ( ) I ' d (5) I ' d Ţinând sm d rlţiil pntru clculul momntlor sttic şi d rlţiil pntru clculul momntlor d inrţi il fţă d l O şi O rlţiil (5) dvin: I ' I S (55) I ' I S Ţinând sm că sistmul O st cntrl (O C), momntl sttic S şi S fţă d l O şi O sunt nul şi rlţiil (55) dvin: I ' I I ' I (5) Însumând mmru cu mmru rlţiil (5) şi ţinând sm d (5), s oţin rlţi pntru clculul momntului d inrţi polr fţă d polul O : IO' IO ( ) (57) Rlţi (57) pntru clculul momntului d inrţi cntrifugl fţă d l sistmului prll O s scri: I ' ( )( ) d ( ) d (58) I ' ' I S S (59) Întrucât sistmul O st un sistm d cntrl (O C), rlţi (59) dvin: I I (5) ' ' Rlţiil (5), (57) şi (5) sunt rlţiil lui STEINER pntru clculul momntlor d inrţi l trnslţi lor 5 Rlţii pntru clculul momntlor d inrţi l rotir lor S pun prolm găsirii unor rlţii pntru clcul l momntlor d inrţi il, polr şi cntrifugl în rport cu un sistm d O vând cşi origin cu un sistm cntrl d dt O (O C) dr rotit fţă d cst în sns poitiv cu unghiul α (fig 5) S considră un lmnt d ri d în jurul punctului M d coordontl (, ) fţă d sistmul d O şi d coordontl (, ) fţă d sistmul O rotit fţă d O cu unghiul α

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii O O C O O C ' d α α ' M ' α ' ' ig 5 M ' Conform figurii 5, într cl două prchi d coordont istă rlţiil gomtric: ' sinα cosα (5) ' cosα sinα olosind rlţiil (5) pntru clculul momntlor d inrţi il, fţă d sistmul d O cst s scriu: I ' ( ' ) d I cos α I sin α I sinα cosα ( ' ) d I sin α I cos α I sinα cosα (5) I' Rlţiil (5) s mi pot scri în funcţi d unghiul α stfl: I I I I I ' cos α I sin α (5) I I I I I ' cos α I sin α Însumând mmru cu mmru rlţiil (5) s oţin momntul d inrţi polr (5) cr nu dpind d unghiulα D smn, rultă din rlţiil (5) că în cul uni scţiuni cu vând momntl d inrţi il gl (I I ) şi momntul d inrţi cntrifugl nul (I ), (d mplu: o scţiun pătrtă, hgonlă, octogonlă, tc) momntl d inrţi il nu s modifică l rotir lor Pntru dducr rlţii d clcul momntului d inrţi cntrifugl fţă d sistmul O s utiliă rlţi (57) oţinându-s: ( ' ' ) d ( I I ) sinα cosα I ( cos α sin α ) I ' ' (5) I I su: I ' ' sin α I cos α (55) 5

Cornl MRIN 5 Momnt d inrţi il principl S osrvă din rlţiil (5) că momntl d inrţi il fţă d sistmul d O sunt funcţii trigonomtric d unghiul α Pntru dtrmin vloril trm l cstor funcţii s nulă drivtl lor în rport cu unghiul α: di ' I I sin α I cos α I ' ' d( α ) (5) di I ' I sin α I cos α I ' d( α ) ' Din rlţi (5) s osrvă că drivtl momntlor d inrţi il în rport cu ungiul α sunt gl în vlor solută cu momntul d inrţi cntrifugl: vloril mim su minim l momntlor d inrţi il corspund unor momnt d inrţi cntrifugl sunt nul Prin nulr drivtlor (5) s oţin unghiuril corspunător dircţiilor fţă d cr momntl d inrţi il sunt mim su minim: di ' I I ' ' α rctg d( α ) I I (57) α α π α α π / Din rlţiil (57) rultă că dircţiil corspunător clor două momntl d inrţi sunt prpndiculr cst s mi numsc dircţii principl Înlocuind vloril unghiurilor α şi α în (5) rultă prsiil momntlor d inrţi il mim rspctiv minim, numit şi momnt d inrţi principl: I I m I I I I I I I Imin I Pntru scţiuni vând o ă d simtri (I ) s oţin: α, α π / I I, I I I I I (58) (59) 55 Crctristici gomtric l unor suprfţ simpl Sunt prntt în continur rlţiil d clcul l momntlor d inrţi il şi cntrifugl pntru următorl suprfţl simpl: suprfţ rctngulr prticulr: drptunghi, triunghi, rom, hgon rgult; suprfţ mărginit d cur prticulr: crc (smicrc), coronă circulră su inlră (coronă smiinlră), lipsă (smilipsă) şi coronă liptică (coronă smiliptică)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Suprfţ drptunghiulră S considră suprfţ drptunghiulră vând lturil, h şi un sistm d cntrl idntic cu cl două d simtri, c în figur 57 O h C c C d c d ig 57 ig 58 Pntru cstă suprfţă s dfinsc: momntul d inrţi il în rport cu O c s scri considrând ri lmntră d d d lungim şi lăţim d, sitută l distnţ d O c : h / h c d d h / I (5) În mod nlog s oţin momntul d inrţi il în rport cu O c / h I c d h d (5) / momntul d inrţi polr s oţin c sum clor două momnt il: ( h ) IC I I (5) în cr : h st ri suprfţi drptunghiului dtorită simtrii scţiunii în rport cu l O şi O momntul d inrţi cntrifugl I st nul: I (5) momntl d inrţi fţă d un sistm d O rotit cu unghiul α fţă d sistmul d O c c, conform rlţiilor (5) sunt: I I I I I ' cosα (5) I I I I I ' cosα 7

Cornl MRIN Scţiun pătrtă S considră suprfţ pătrtă d ltură şi un sistm d cntrl cr conţin cl două d simtri, c în figur 58 momntl d inrţi il şi polr s dtrmină cu jutorul rlţiilor d mi sus în cr h: I c I c, I C (55) momntl d inrţi fţă d un sistm d O rotit cu unghiul α fţă d sistmul d O c c, conform rlţiilor (5) sunt constnt: I I I I (5) ' ' c Suprfţ triunghiulră S considră suprfţ triungiulră şi un sistm d stfl ls încât O să coincidă cu triunghiului, ir O să trcă prin cntrul d grutt C, c în figur 59 h ' O C d h/ C ig 59 ig 5 Pntru dtrmin momntl d inrţi fţă d sistmul d O s considră un lmnt d ri d d form uni fâşii îngust cu şi înălţim d, prllă cu O şi sitută l distnţ fţă d triunghilui P smănării triunghiurilor vând l şi s scri rlţi: 8 ' h h ' ( h ) h (57) d ' d h h d (58) ri suprfţi lmntr s scri: ( ) ;

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii momntul d inrţi il fţă d O st: h h I d ( h ) d; I (59) h momntul d inrţi il în rport cntrlă C c s dtrmină cu jutorul rlţii lui STEINER: I h I C I c (5) C d Suprfţ romică S considră suprfţ romică d digonl şi şi un sistm d cntrl O cr conţin cl două d simtri, c în figur 5 momntul d inrţi il fţă d O st d două ori momntul d inrţi l suprfţi triunghiului vând c ă digonl d lungim : ( / ) I I (5) 8 În mod nlog s oţin momntul d inrţi il în rport cu O: ( / ) I I (5) 8 dtorită simtrii scţiunii în rport cu l O şi O momntul d inrţi cntrifugl I st nul: I (5) Suprfţ hgonlă S considră suprfţ hgonlă şi un sistm d stfl ls încât origin lui să trcă prin cntrul d grutt C şi să coincidă cu l d simtri l hgonului c în figur 5 Pntru dtrmin momntl d inrţi fţă d sistmul d O s plică formul lui STEINER pntru figuril simpl c formă hgonul Pntru clcul momntul d inrţi fţă d O s dscompun hgonul într-un drptunghi d lturi şi şi un rom d digonl şi (fig5): ( ) ( ) 5 I I (5) 8 Pntru clcul momntul d inrţi fţă d O s O s trg dintr-un rom d digonl şi un rom d digonl şi (fig5) olosind rlţiil d clcul momntului d inrţi pntru rom (5) s oţin: ( ) 5 I I 8 8 (55) S osrvă că cl două momnt d inrţi I şi I sunt gl C şi în cul suprfţi pătrt, momntl d inrţi rămân constnt l rotir sistmului d O, cl două momnt d inrţi I şi I fiind gl 9

Cornl MRIN C / / ig 5 C ig 5 f Suprfţ circulră şi smicirculră S considră suprfţ circulră d dimtru d şi un sistm cntrl d O (fig5) d d O r dr O C C ig 5 ig 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S considră lmntul d ri d d form uni coron circulr d ră intrioră r şi lăţim dr: d πr dr olosind rlţi (55) s oţin momntul d inrţi polr: πd IO r d (5) Dtorită simtrii suprfţi în rport cu oric ă c trc prin O, momntul d inrţi cntrifugl st nul I ir momntl d inrţi il sunt gl: I I I I I (57) O πd Rultă: I I (58) Pntru suprfţ smicirculră din figur 5, conform rlţii d clcul momntlor d inrţi il (5), momntl d inrţi il I şi I rprintă jumătt din momntl d inrţi l întrgii scţiuni circulr: πd πd I' I ; I' I ; (59) 8 8 Momntul d inrţi il fţă d O C cr trc prin cntrul d grutt l suprfţi smicirculr situt l distnţ d O (fig5): d π sin d (55) π π s dtrmină cu jutorul rlţii lui STEINER: * πd πd d πd I' C I' I' C (55) 8 8 π 8 9π g Suprfţ inlră şi smiinlră circulră S considră suprfţ inlră d dimtru intrior d şi trior D şi un sistm cntrl d O (fig5) D d d O O D ' C C ig 55 ig 5

Cornl MRIN Pntru cstă suprfţă momntul d inrţi s clculă stfl: π ( D d ) I I (55) Pntru suprfţ smiinlră circulră din figur 5 momntl d inrţi il I şi I rprintă jumătt din momntl d inrţi l scţiunii inlr (55): π ( D d ) I' I ; 8 (55) π ( D d ) I' I ; 8 Momntul d inrţi il fţă d o O C cr trc prin cntrul d grutt l suprfţi smicirculr situt l distnţ d O (fig5): * * D d ' ' (55) * * 8π D d * * în cr:, sunt riil clor două smicrcuri d dimtr D şi d D d,, distnţl d l O l cntrl d grutt π π Momntul d inrţi il fţă d O C cr trc prin cntrul d grutt l suprfţi smiinlr circulr situt l distnţ d O s dtrmină cu jutorul rlţii lui STEINER: I' C I' * π ( D d ) ( D d ) ' 8 8π D d (555) h Suprfţ liptică şi smiliptică S considră suprfţ liptică d smi şi şi un sistm cntrl principl d O (fig5) O r dr dθ θ O C C ig 57 ig 58

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S considră lmntul d suprfţă d form unui sgmnt d ri liptic: d dr rdθ r (, ); θ (, π ) Cu jutorul coordontlor por r, θ s pot prim coordontl,: r sinθ r cosθ ri suprfţi liptic s oţin cu jutorul rlţii: d r dr dθ π π Momntl d inrţi il s dtrmină cu jutorul rlţiilor (5): I I d π d π r r cos θ r drdθ sin θ r drdθ I I π π (55) (557) (558) (559) Pntru suprfţ smiliptică din figur 58, conform rlţii d clcul momntlor d inrţi il (5), momntl d inrţi il I şi I rprintă jumătt din momntl d inrţi l întrgii scţiuni liptic: π π I' I ; I' I ; (5) 8 8 Momntul d inrţi il l suprfţi smiliptic fţă d o O C cr trc prin cntrul d grutt C s dtrmină stfl: s dtrmină distnţ d O l O c (fig58): * π S * * ; S θ θ r cos r dr d S * (5) * π π s dtrmină momntul d inrţi il fţă d o O C cu jutorul rlţii lui STEINER: * π π π I' C I' I' C (5) 8 π 8 9π În mod nlog s dtrmină şi momntul d inrţi pntru smilips d smiă fţă d O: π I' C (5) 8 9π

Cornl MRIN k Suprfţ inlră şi smiinlră liptică Pntru o suprfţă inlră liptică (coronă liptică) momntul d inrţi s clculă scăând momntl d inrţi il corspunător clor două suprfţ liptic d smi, şi, ş cum rultă din rlţi d clcul (5) şi figur 59: π( ) I (5) π( ) I O ' O C C ig 59 ig 5 Pntru suprfţ smiinlră liptică din figur 5 momntl d inrţi il I şi I rprintă jumătt din momntl d inrţi l scţiunii inlr: π( ) I' 8 (55) π( ) I' 8 Momntul d inrţi il fţă d o O C cr trc prin cntrul d grutt l suprfţi smiinlr C situt l distnţ d O (fig5): în cr: * *,, * * sunt riil clor două smilips; * * ' (5), distnţl d l O l cntrl lor d grutt π π Momntul d inrţi il fţă d O C cr trc prin cntrul d grutt l suprfţi smiinlr circulr situt l distnţ d O s dtrmină cu jutorul rlţii lui STEINER: I' c * I' ( ' ) I' c π( ) ) 8 ( 8 9π (57)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Crctristici gomtric l suprfţlor compus Pntru clculul crctristicilor gomtric l uni suprfţ compus s prcurg următorl tp: s dscompun suprfţ în suprfţ simpl; s dtrmină cntrul d grutt l suprfţi compus; s clculă momntl d inrţi l suprfţlor simpl în rport cu l cr trc prin cntrl lor d grutt; s dtrmină momntl d inrţi în rport cu sistmul d c trc prin cntrul d grutt l scţiunii compus pntru ficr suprfţă simplă şi s însumă rulttl oţinut plicţi 5 Pntru suprfţ compusă din figur 5 s cr să s dtrmin: momntl d inrţi il, polr şi cntrifugl fţă d sistmul d cntrl prll cu sistmul d dt O; dircţiil şi momntl d inrţi principl Rolvr igur compusă pot fi dscompusă în două suprfţ drptunghiulr simpl vând cntrl d grutt C şi C ţă d sistmul d O s dtrmină: poiţi cntrului d grutt C l suprfţi compus ; momntl d inrţi il şi cntrifugl ; ţă d sistmul d cntrl C c c s dtrmină: momntl d inrţi il şi cntrifugl; dircţiil principl; 5 momntl d inrţi principl O C d c C C C d c C ig 5 5

Cornl MRIN Poiţi cntrului d grutt l suprfţi compus S notă cu: C şi rspctiv C cntrl d grutt l clor două suprfţ drptunghiulr simpl (fig 5); d, d, d, d, d c şi d c distnţl dintr l prll corspunător: O şi C, O şi C, O şi C, O şi C, O şi C c, rspctiv O şi C c ; şi riil clor două drptunghiuri Poiţi cntrului d grutt l suprfţi s clculă cu jutorul rlţiilor: d d, 5 d d C C (58) d d, 5 d d, C 5 C Momntul d inrţi il l suprfţi compus fţă d O Momntl d inrţi sunt nott cu doi indici: cl suprior s rfră l numărul suprfţi simpl ir cl infrior l în rport cu cr s clculă: Momntul d inrţi l suprfţi drptunghiulr fţă d C cr trc prin cntrul său d grutt st: ( ) I c (59) Momntul d inrţi fţă d O s dtrmină utiliând rlţi lui STEINER pntru trnslţi lor, distnţ fiind d : ( ) ( ) ( ) 5 I I d ( ) I (57) c Momntul d inrţi l suprfţi drptunghiulr fţă d C cr trc prin cntrul său d grutt st : ( ) ( ) I I ; c c (57) Momntul d inrţi fţă d O s dtrmină utiliând rlţi lui STEINER distnţ fiind d / : ( ) ( ) ( ) 8 I I d I c (57) Momntul d inrţi l suprfţi compus în rport cu O s oţin stfl: ( ) ( ) I I I (57) Momntul d inrţi il l suprfţi compus fţă d O: Momntul d inrţi l suprfţi drptunghiulr, fţă d O st: ( ) ( ) ( ) I I (57) c c

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii ( ) ( ) ( ) I I d (, 5) I c (575) Momntul d inrţi l suprfţi drptunghiulr, fţă d O st: ( ) ( ) ( ) 8 I I ; c (57) ( ) ( ) 8 ( ) I I d ( ) I c (577) Momntul d inrţi l suprfţi compus fţă d O s oţin prin însumr vlorilor oţinut pntru cl două suprfţ simpl: I ( ) ( ) I I (578) Momntl d inrţi cntrifugl l suprfţi compus: Momntl d inrţi cntrifugl l suprfţi drptunghiulr fţă d l cntrl C şi C sunt nul dorc cst sunt d simtri Momntul d inrţi cntrifugl l suprfţi drptunghiulr fţă d l O şi O, s dtrmină utiliând rlţi lui STEINER pntru trnslţi lor: ( ) ( ) I I d d c (579) Momntul d inrţi cntrifugl l suprfţi drptunghiulr, fţă d l O şi ( ) ( ) O: I I d d c (58) Momntul d inrţi cntrifugl l suprfţi compus fţă d l O şi O s oţin prin însumr vlorilor oţinut mi sus: ( ) ( ) I I I (58) c c Crctristicil suprfţi compus fţă d l cntrl C c şi C c Pntru dtrminr momntlor d inrţi il şi cntrifugl s utiliă rlţiil lui STEINER în cr s introduc distnţl: d ; d, C C 5 (58) Momntl d inrţi il l suprfţi compus fţă d l C c şi C c : I ( ) I I d C C C (58) ( 5, ) I 8, 5 I d C C C I (58) Momntul d inrţi cntrifugl l suprfţi compus fţă d l cntrl C c şi C c : I I d d ( )( 5, ) I (585) C C C C 7

Cornl MRIN Dircţiil principl Pntru dtrminr dircţiilor principl s dtrmină unghiul α cu jutorul rlţii (57): I C tgα, α, 55 I I C (58) C α, 55 În figur 5 sunt rprntt cl două dircţii principl O C α C α C ig 5 5 Momntl d inrţi principl Momntl d inrţi principl s dtrmină fţă d dircţiil principl C şi C utiliând rlţi (58): I, I C I C I ± ; ( I I ) I C C, 5 I C, 5 7, 5 ± (587) 5 Rlţi lui NVIER pntru clculul tnsiunilor l încovoir pură simtrică S considră o ră drptă solicittă l încovoir vând scţiun constntă p totă lungim i Ipotl d lucru pntru studiul încovoirii pur sunt: mtrilul ri st omogn şi iotrop şi rspctă lg lui Hook (proporţionlitt într tnsiuni şi dformţii); ipot încovoirii simtric: r st solicittă d cupluri d forţ situt într-un pln principl d simtri (cr conţin longitudinlă şi o ă principlă d inrţi c în figur 5) şi într-o scţiun orcr pr numi forturi încovoitor; 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii ipot lui Brnoulli su scţiunii trnsvrsl pln şi norml l ri înint şi după dformţi; ipot dformţiilor mici în rport cu dimnsiunil ri; ipot stării pln d tnsiuni: firl longitudinl l ri sunt supus unor tnsiuni norml d întindr şi comprsiun şi sufră dformţii spcific longitudinl, ir tnsiunil şi dformţiil măsurt p dircţii prpndiculr p cst fir s nglijă S considră o ră drptă supusă l încovoir pură stfl încât în două scţiuni flt l distnţ d cţionă forturil încovoitor M i rspctiv M i dm i i un lmnt d ră d lungim d flt l distnţ d cpătul ri, d formă prismtică, c în figur 5 dϕ M i ρ M i dm i C C M M M N C d ig 5 S- rprntt cu lini întrruptă firl trm şi scţiunil lmntului înint d dformr S proimă porţiun CC din longitudinlă ri cu un rc d crc d ră ρ S fc notţiil: MN fir sitută l distnţ fţă d longitudinlă CC ri înint d dformr; M N fir sitută l distnţ fţă d longitudinlă CC după dformr; ρ r d curură firi mdii dformt Lungim firi mdii dformt CC s proimă cu c rcului d crc d ră ρ: d ρdϕ ; ω rotir spcifică su rotir rltivă clor două scţiuni flt l distnţ d: dϕ ω ; ρ d Ţinând sm notţiil şi ipotl d mi sus, dformţi spcifică s scri: Δ( MN ) ( ρ )dϕ ρdϕ ε ε (588) MN ρdϕ ρ 9

Cornl MRIN Considrând form firi mdii dformt o funcţi w() d două ori drivilă, r d curură ρ () s scri cu jutorul rlţii din gomtri difrnţilă: w (589) ρ w olosind ipot dformţiilor mici s nglijă trmnul w ϕ (unghiul d rotir l scţiunii în rdini) în rport cu : w şi rlţi (589) dvin: d w ω (589 ) ρ d Ţinând sm d ipot lgii lui Hook, tnsiun normlă σ corspunător dformţii spcific firi MN dtă d rlţi (588) s scri: σ Eω (59) B B M i > σ B σ < C M i < σ B σ > C σ > σ < σ m σ σ m σ ig 5 Pntru un momnt poitiv M i > distriuţi tnsiunilor norml σ dtă d rlţi 59 st liniră în rport cu şi sunt poitiv pntru on scţiunii corspunător lui > şi ngtiv pntru on scţiunii < (fig5) Pntru M i < distriuţi s invrsă (fig 5) Conform tormi d chivlnţă tnsiunilor, forturil scţionl sunt rulttul rducrii forţlor lmntr în cntrul d grutt C l scţiunii În cul încovoirii pur, întrucât forturil N şi M i sunt nul ir fortul M i st nnul, s pot scri rlţiil: N σ d ; M i σ d ; M i σ d (59)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Din prim rlţi (59) rultă: E ω d E ω d S (59) Rlţi (59) rtă că O trc prin cntrul d grutt C l scţiunii, ir rlţi (59) rtă că tnsiunil norml d încovoir σ sunt nul în punctl situt p O (), d c O s mi numşt şi nutră dou rlţi (59) s mi scri su form: M i E ω d M i E ω I M i ω E I (59) Rlţi (59) rtă că rotir spcifică ω st dirct proporţionlă cu momntul încovoitor M i şi invrs proporţionlă cu rigiditt l încovoir EI Înlocuind în rlţi (59) s oţin rlţi lui NVIER pntru clculul tnsiunilor norml l încovoir pură simtrică: M σ i I (59) Tnsiun normlă l încovoir pură în oric punct l scţiunii st dirct proporţionlă cu momntul încovoitor şi cu distnţ fţă d nutră şi invrs proporţionlă cu momntul d inrţi il I Din tri rlţi (59) rultă momntul cntrifugl I, c c confirmă ipot că l O şi O sunt dircţii principl d inrţi l scţiunii trnsvrsl (prin ipotă s- stilit O c ă d simtri scţiunii) Tnsiunil mim dintr-o scţiun ri s oţin în punctl cl mi dpărtt fţă d nutră (fig5): M i M i σ m m su σ m I W (595) în cr m st distnţ mimă d l nutră l punctul cl mi dpărtt şi W st modul d ristnţă l încovoir : I W (59) 5 Clcul d ristnţă l solicitr d încovoir S considră o ră drptă supusă l încovoir vând o numită lungim şi dimnsiuni l scţiunii trnsvrsl, încărctă cu un sistm d forţ şi cu numit lgături l mdiul fi În funcţi d dtl şi crinţl prolmi (dtl d intrr şi d işir) s dfinsc următorl clculul d ristnţă: clculul d vrificr, clculul d dimnsionr şi clculul forţi cpil 5 Clcul d vrificr Pntru clcull d vrificr, dtl d intrr sunt: crctristicil fiic l mtrilului, lungim şi dimnsiunil scţiunii ri, modul d lgătură cu mdiul fi, schm d încărcr şi mărim srcinilor trior Dtl d işir sunt: tnsiun m

Cornl MRIN mimă din scţiun priculosă cr trui să fi mi mică dcât tnsiun dmisiilă, conform orgnigrmi din figur 55 Crctristicil fiic l mtrilului (ristnţ l rupr σ r,limit d curgr σ c, coficintul d sigurnţă dmis c ) Stilir schmi d încărcr şi dtrminr forţlor d lgătură Trsr digrmlor d forturi T şi M i, stilir scţiunii priculos şi momntului mim M im Dtrminr modulului d ristnţă l scţiunii W şi vlorii tnsiunii mim: σ m M i m W σ m σ NU D STOP ig 55 Orgnigrm pntru clculul d vrificr l încovoir

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Clcul d dimnsionr Pntru clcull d dimnsionr, dtl d intrr sunt: crctristicil fiic l mtrilului, lungim şi form scţiunii trnsvrsl ri, modul d lgătură cu mdiul fi, schm d încărcr şi mărim srcinilor trior Dtl d işir sunt: vlor prmtrului scţiunii (s) c rultă din condiţi c tnsiun mimă din scţiun priculosă să fi mi mică dcât tnsiun dmisiilă (fig5) Crctristicil fiic l mtrilului (σ c, σ r ) coficintul d sigurnţă c şi ristnţ dmisiilă σ σ c /c Stilir schmi d încărcr şi dtrminr forţlor d lgătură Trsr digrmlor d forturi T şi M i, stilir scţiunii priculos şi momntului mim M im Dtrminr modulului d ristnţă l scţiunii W în funcţi d prmtrul scţiunii: β s W Dtrminr prmtrului scţiunii din condiţi d ristnţă M i m M : i m σ m σ s W β σ lgr uni vlori întrgi pntru prmtrul scţiunii (s ) şi clculul modulului d ristnţă fctiv: W f β s Clculul tnsiunii mim fctiv: σ M / W m i m f σ m σ NU D STOP ig 5 Orgnigrm clculului d dimnsionr l încovoir

Cornl MRIN 5 Clculul srcinii cpil Pntru clculul srcinii cpil dtl d intrr sunt: crctristicil fiic l mtrilului, lungim, form şi dimnsiunil scţiunii ri, modul d lgătură cu mdiul fi, schm d încărcr cu srcini trior Dtl d işir sunt: vlor mimă srcinii su srcin cpilă P cp c rultă din condiţi c tnsiun mimă din scţiun priculosă să fi mi mică dcât tnsiun dmisiilă conform orgnigrmi din figur 57 Crctristicil fiic l mtrilului (σ c, σ r ), coficintul d sigurnţă c şi ristnţ dmisiilă σ Modlr forţlor d încărcr şi dtrminr forţlor d lgătură în funcţi d prmtrul P cp Trsr digrmlor d forturi T şi M i, stilir scţiunii priculos şi momntului mim în funcţi d prmtrul P cp : M im αp cp Dtrminr modulului d ristnţă l scţiunii W Dtrminr srcinii cpil P cp din condiţi: M W σ i m σ m σ Pcp W α Dtrminr tnsiunii mim fctiv: αpcp σ m W σ m σ NU D STOP ig 57 Orgnigrm pntru clculul forţi cpil l încovoir

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 55 Rlţi lui JURVSKI pntru clculul tnsiunilor tngnţil l încovoir simplă O ră st supusă l încovoir simplă dcă într-o scţiun s s dvoltă tât forturi încovoitor cât şi forturi tăitor S considră un lmnt d ră d lungim d flt l distnţ d cpătul i şi o scţiun longitudinlă BB d lăţim B prllă cu plnul O, sitută l distnţ fţă d O, c în figur 58 i un punct M situt p lini B şi ri lmntră d în jurul punctului M fltă p suprfţ scţiunii trnsvrsl În cul încovoirii simpl p cstă suprfţă cţionă tât tnsiun normlă σ cât şi tnsiun tngnţilă τ (fig 58) Conform tormi dulităţii tnsiunilor tngnţil, p suprfţ scţiunii longitudinl BB cţionă tnsiun tngnţilă τ glă în vlor solută cu tnsiun tngnţilă τ : τ τ (597) C M i d M i σ M i M D τ T C τ d E T d T B D E B d D σ E ig 58 τ τ B σ dσ Conform tormi d chivlnţă tnsiunilor, forturil scţionl M i şi T rprintă lmntl torsorului d rducr forţlor lmntr corspunător tnsiunilor σ şi τ în cntrul d grutt C l scţiunii: T τ d ; M σ d (598) i 5

Cornl MRIN Întrucât forturil il sunt nul în scţiun ri, vm rlţi: σ d ; (599) Ecuţi d chiliru forţlor cr cţionă supr lmntului d ră infrior d lungim d dlimitt d plnul longitudinl BB s scri (fig58): σ d τ d σ dσ d * * M I i d τ dm τ d I ( ) * d i * * d M i dm I i d (5) în cr * st ri scţiunii infrior dlimittă d plnul longitudinl BB Ţinând sm că prsi momntului sttic l suprfţi scţiunii BED fţă d nutră C s scri : * S d (5) * şi că într forturil T şi M i istă rlţi difrnţilă: dm i T (5) d rultă formul lui JURVSKI pntru clculul tnsiunilor tngnţil l încovoir simplă: * T S τ (5) I Osrvţii: Tnsiunil tngnţil τ d- lungul linii DE suprfţi scţiunii trnsvrsl * din figur 58 sunt nul dorc momntul sttic S l rii sitută su lini DE st nul; tnsiunil tngnţil d- lungul i nutr scţiunii (C) sunt mim întrucât momntul sttic l scţiunii sitută su nutră st mim: momntul sttic l scţiunii fţă d nutră C st nul fiind formt din sum momntlor sttic l clor două jumătăţi l scţiunii: S S S S S * * * *

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii plicţi 5 Să s dtrmin lg d vriţi tnsiunilor tngnţil τ p o scţiun trnsvrslă drptunghiulră, circulră şi pătrtă, fţă d l principl d inrţi în funcţi d distnţ până l nutră scţiun drptunghiulră (fig59) Tnsiunil tngnţil p lini B sitută l distnţ d nutră C s * dtrmină cu jutorul rlţii lui JURVSKI (5), în cr momntul sttic S l scţiunii sitută su lini B (fig 59) r prsi: * h h S * ' h C (5) h * C C B C τ m τ() ig 59 S * * C Înlocuind în rlţi tnsiunii tngnţil (5) s oţin lg d vriţi tnsiunii funcţi d coordont : * S T τ T (55) I h h Lg d vriţi (55) st o funcţi d grdul l II l vând vlor mimă pntru : T τ m (5) 7

Cornl MRIN scţiun circulră (fig5) Tnsiunil tngnţil p lini B sitută l distnţ d nutră C s dtrmină cu jutorul rlţii lui JURVSKI (5), în cr momntul sttic S * l scţiunii sitută su lini B r prsi (fig 5): * * S (57) C' d C ϕ * C C C B τ m τ() ig 5 ri scţiunii sitută su lini B şi distnţ până l cntrul i d grutt s scriu în funcţi d unghiul ϕ stfl: d ( ϕ sinϕ cosϕ) d sinϕ( cos ϕ ) C' ( ϕ sinϕ cosϕ ) Înlocuind în rlţi (57) s oţin: * (58) d S * ϕ sin ; (59) Lungim linii B st: d sinϕ (5) Înlocuind în rlţi (5) s oţin tnsiun tngnţilă în funcţi d unghiul ϕ: T τ sin ϕ (5) πd Lg d vriţi tnsiunilor tngnţil τ în funcţi d unghiul ϕ st rprnttă în fig 5 şi dmit un mim pntru ϕπ/: τ T T m πd (5) 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii c scţiun pătrtă vând l după dircţi digonllor Pntru o scţiun pătrtă vând l după dircţi digonllor, tnsiunil tngnţil p lini B sitută l distnţ d nutră C s dtrmină cu jutorul rlţii (5) în cr momntul sttic S r prsi (fig 5): S * C * ' S * * * C' (5) C C * B C τ m τ C τ m S * * C ig 5 Înlocuind în prsi tnsiunii tngnţil (5) s oţin lg d vriţi p suprfţ scţiunii în funcţi d distnţ : * S T τ T (5) I în cr I st momntul d inrţi fţă d O (conform rlţii 5) Lg d vriţi (5) st o funcţi d grdul l II l vând vlor mimă dτ pntru, dică pntru: ± (55) d 8 9 T Înlocuind în (5) s oţin vlor mimă: τ m (5) în cr : st ri scţiunii pătrt T P nutră tnsiunil tngnţil u vlor : τ C (57) Pntru cstă scţiun s osrvă o mi ună distriuţi tnsiunilor tngnţil, c mimă fiind un sfrt din vlor tnsiunii d forfcr mdii 9

Cornl MRIN plicţi 5 Să s dtrmin lg d vriţi tnsiunilor tngnţil τ p suprfţ scţiunii compus vând form şi dimnsiunil din figur 5 C D * D C B B B D τ τ τ m * ig 5 Pntru dtrmin momntul d inrţi I c l scţiunii compus s dtrmină mi întâi poiţi cntrului d grutt (distnţ C din figur 5):, 5, 5 C, 5 (58) ( ) ( ) I 8, 5 (59) Momntul sttic S l scţiunii sitută su lini BB l distnţ B (fig 5) s * clculă stfl: * * S C ( C B ) (5) Tnsiunil tngnţil corspunător u prsi: * T S T τ 5, (5) I 7 Pntru s oţin mimul locl:, 5T T τ m, 8 (5) 7 Tnsiunil tngnţil corspunător linii ( -,5) sunt: T T τ, 5 (5) 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Momntul sttic S * l scţiunii sitută dsupr linii DD l distnţ D (fig 5) s clculă stfl: * * S C (, 5 ) (5) Tnsiunil tngnţil corspunător csti on sunt: * S T τ 5 T, (55) I 7 Tnsiunil tngnţil corspunător linii ( -,5) sunt: T T τ 7, (5) ' 7 În figur 5 s osrvă un slt d tri ori l tnsiunilor tngnţil în punctul corspunător linii : -,5 cst slt s dtoră fptului că lăţim scţiunii crşt d l l 5 Luncr longitudinlă l încovoir simplă S considră o ră drptă solicittă l încovoir simplă Br st compusă din două pltnd d scţiun drptunghiulră c în figur 5 Momntl d inrţi pntru cl două pltnd st sum momntlor d inrţi clcult fţă d cntrl lor d grutt: ( ) ( ) I, 5 ( ) ( ) I I I, 5 (57) ( ) ( ) I, 5 C C C C ig 5 ig 5

Cornl MRIN Modulul d ristnţă st sum modullor d ristnţă pntru cl două scţiuni: ( ) I, 5 ( ) W 5, m 5, ( ) ( ) W W W (58) ( ) I, 5 W ( ), 5 m, 5 În cul în cr cl două r sunt sudt su rigidit într l prin nituir (fig 5) momntul d inrţi şi modulul d ristnţă u cşi prsi c în cul scţiunii compct su formă d T vând vloril clcult l plicţi 5: I 8, 5 ; W, (59) S osrvă că momntul d inrţi st d, ori mi mr ir modulul d ristnţă d,7 ori mi mr în cul scţiunii compct fţă d scţiun compusă Prin rigidir clor două ucăţi l ri st împidict fnomnul d luncr longitudinlă, ir lmntl d rigidir (cordonl d sudură) sunt supus unor solicitări d forfcr 5 Clculul l forfcr l îminărilor sudt S considră o ră în consolă, d lungim L, formtă din două ucăţi îmint într l cu cordon d sudură intrmitnt p ml părţi, vând lungim c şi psul c în figur 55 Br st încărctă l cpătul i cu o forţă concntrtă P Dtorită cordonlor d sudură st împidict fnomnul d luncr longitudinlă, cst fiind supus unor tnsiuni tngnţil d forfcr importnt P c g C C L Digrm T P ig 55

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii orţ d luncr longitudinlă st chivlntă cu sum forţlor lmntr dtort tnsiunilor tngnţil d luncr longitudinlă τ oţinut conform rlţii lui JURVSKI pntru încovoir simplă: * * TS TS long τ d d d (5) I I orţ d luncr longitudinlă p unitt d lungim f long s scri stfl: * long TS f long (5) d I Vrificr l ristnţă cordonlor d sudură l solicitr forfcr s fc ţinând sm că cst cordon sunt p ml părţi, grosim cordonului d sudură st g, ir luncr longitudinlă s produc într-un pln isctor vând lăţim g: * flong TS τ f τ f (5) g( c g) g( c g) I und τ f st ristnţ dmisiilă l forfcr mtrilului cordonului d sudură Pntru un cordon d sudură continuu vm rlţi d vrificr: * flong TS τ f τ f (5) g gi 5 Clculul l forfcr l îminărilor cu nituri În cul în cr rigidir s rliă prin nituir clculul l forfcr l niturilor s fc în mod smănător S considră r formtă din tri ucăţi: o pltndă d grosim t şi două profil L d grosim t îmint cu nituri c în figur 5 C d t t ig 5

Cornl MRIN Nituril d îminr într cl două profil L şi pltndă sunt solicitt l forfcr ir cl d îminr într cl două profil L u numi rol d fir, nfiind solicitt l forfcr Dimtrul niturilor d s lg în funcţi d grosim pislor îmint orţ d luncr longitudinlă p unitt d lungim s scri: * * TS L TS f long (5) I L I * în cr S st momntul sttic l scţiunii plăcii suprior fţă d O Nituril s vrifică tât l forfcr cât şi l strivir: Vrificr l forfcr s fc cu jutorul rlţii: f long L πd τ f τ f, (55) n în cr: n st numărul d prchi d nituri supus l forfcr în cşi dircţi; st ri d forfcr nitului; τ f st ristnţ dmisiilă l forfcr mtrilului nitului Din condiţi d ristnţă l forfcr (55) s dtrmină distnţ dintr nituri, πd ţinând sm că cstă distnţă st L / n : (5) flong Vrificr l strivir niturilor s fc cu jutorul rlţii: flong L σ f σ s n (57) d tmin, tmin min( t,t ) în cr: n st numărul d prchi d nituri şi st ri d strivir nitului σ s st ristnţ dmisiilă l strivir mtrilului nitului Din condiţi d ristnţă (57) s pot dtrmin distnţ dintr nituri ţinând τ f sm că cstă distnţă st L / n : d tmin σ s (58) f long,5 C d d d d ig 57 L

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Vrificr scţiunilor înlt l luncr longitudinlă În cul grinilor supus l solicitări importnt d încovoir s utiliă grini cu scţiuni înlt, vând momnt d inrţi şi modul d ristnţă l încovoir mri În scopul micşorării grutăţii proprii cstor grini, inim scţiunii r fi grosim mică fi găuri d uşurr c în figur 57 Dtorită fnomnului d luncr longitudinlă s pot produc dplnr putrnică su forfcr inimii scţiunii Conform rlţii lui JURVSKI tnsiunil tngnţil l încovoir simplă u vlori mim în on i nutr Pntru scţiun din figur 57, dr fără găuri d uşurr în on mdină, forţ d luncr longitudinlă p unitt d lungim st: * f long TS / I (59) * în cr: S st momntul sttic jumătăţii suprior în rport cu cntrul d grutt C l scţiunii (mim): S * 77, 5 (5) I st momntul d inrţi il l scţiunii plin: ( ) 5, 5 ( 8) I 7 (5) orţ d luncr longitudinlă p unitt d lungim r prsi : T f long, 58 (5) Condiţi d ristnţă l forfcr s scri: flong T τ f, 58 τ f (5) în cr:,5 st lăţim suprfţi longitudinl d luncr τ f st ristnţ dmisiilă l forfcr mtrilului Rlţi d dimnsionr din condiţi (5) d ristnţă l forfcr inimii scţiunii s scri:, 7 T / τ f (5) În cul în cr inim scţiunii st prvăută cu găuri vând dimtrul d situt într l l distnţ, condiţi d ristnţă l forfcr (5) dvin: f long τ f τ f (55) d orţ d luncr longitudinlă p unitt d lungim în cst c st: * TS flong (5) I * în cr: S st momntul sttic jumătăţii suprior scţiunii: S * 77, 5 I st momntul d inrţi il l scţiunii găurit: Din rlţi (55) rultă: f d τ long f 7, d I (57) 5

Cornl MRIN 57 Încovoir olică ormul NVIER pntru clculul tnsiunilor norml l încovoir pură simtrică şi formul JURVSKI pntru tnsiunil tngnţil l încovoir simplă simtrică, u fost ddus în ipot că sistmul d forţ şi cupluri d forţ cţionă într-un pln principl c conţin longitudinlă ri şi un din l principl d inrţi l scţiunii ( d simtri O în cul figurilor 5 şi 58) În cul în cr sistmul d forţ şi cupluri d forţ cţionă într-un pln difrit d plnul principl spunm că vm încovoir olică ir nutră în cst c difră d momntului încovoitor O S considră o ră în consolă d lungim L vând o scţiun nsimtrică (d mplu în figur 58 d form unui profil cornir cu ripi ngl) supusă cţiunii uni forţ P cuprinsă în plnul vrticl O L P C O T M i ig 58 Într-o scţiun sitută l distnţ d cpătul lir l ri, forţ P produc forturil poitiv: T P şi M i P Dircţiil principl l scţiunii O şi O sunt dt d unghiuril α şiα conform rlţii (57): I π α rctg ; α α (58) I I Dscompunând fortul încovoitor M i după dircţiil principl O şi O, s oţin componntl (fig59) : M i M i cosα (59) M M sinα i i

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Dircţi principlă B B B M i β nutră σ min C O α - M i M i Dircţi principlă σ m ig 59 Din figur 59 s osrvă că în primul cdrn l sistmului O ( >, >), un fort încovoitor poitiv M i produc totdun tnsiuni poitiv (d întindr) ir un fort poitiv M i, produc totdun tnsiuni ngtiv (d comprsiun) Conform formuli NVIER, într-un punct din primul cdrn tnsiunil s clculă stfl: M i M i cosα σ I I (55) M M sin i i α σ I I Tnsiun normlă l încovoir olică st sum lgrică clor două tnsiuni: cosα sinα σ σ σ M i (55) I I Ecuţi i nutr scţiunii s oţin punând în rlţi (55) condiţi σ: cosα sinα I tgα (55) I I I Dci nutră trc prin origin sistmului O şi r pnt: I m tgβ tgα (55) I 7

Cornl MRIN Tnsiun mimă (poitivă) s oţin în punctul l scţiunii dorc ( >, <) ir tnsiun minimă (ngtivă), în punctul B l scţiunii ( B >, B <): cosα sinα cosα sinα σ m M i ; σ min M i B B (55) I I I I În cul prticulr l profilului c dmit o d simtri din figur 5 dorc I I dircţiil principl dt d rlţi (58) sunt: I π π π α rctg α, α (555) I I Dscompunând fortul încovoitor M i după cl două dircţii principl O şi O s oţin (fig5): M i M i M i (55) Conform rlţii (55) tnsiun normlă st dtă d rlţi: σ M i (557) I I nutră scţiunii s oţin din condiţi σ şi r coficintul unghiulr: I tg β (558) I Tnsiun mimă s oţin în punctul l scţiunii dorc >, < ir c minimă (ngtivă) în punctul B dorc B, B <: B m M i ; σ σ min M i (559) I I I B M i B β nutră α 5 σ min - C O M i M i Dircţi principlă 8 σ m ig 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 58 Încovoir spţilă 58 Clculul folosind momntl d inrţi principl Încovoir spţilă rlor st cul gnrl s produc tunci când forţl şi cupluril d forţ cţionă în două pln O şi O c conţin longitudinlă ri dr nici un dintr l principl d inrţi C şi în cul încovoirii olic, în cul încovoirii spţil, nutră d difră d fortului încovoitor M i S considră r în consolă din figur 5, d lungim L, vând scţiun su form unui cornir cu ripi ngl, supusă cţiunii uni forţ P cuprinsă în plnul vrticl O şi uni forţ P cuprinsă în plnul oriontl O l O şi O nu sunt principl d inrţi l scţiunii Într-o scţiun sitută l distnţ d cpătul lir l ri, s produc forturil tăitor, rspctiv forturil încovoitor: T P ; T P (5) M i P ; M i P (5) L P C O T M i T P M i ig 5 Dircţiil principl l scţiunii O şi O dt d unghiuril α şi α sunt : I π α rctg ; α α (5) I I Dcă s dscompun forturil încovoitor M i şi M i după cl două dircţii principl O şi O s oţin componntl (fig5): M i M i cosα M i sinα (5) M i M i sinα M i cosα 9

Cornl MRIN Dircţi principlă B B B M i β nutră σ min C O α - M i M i M i Dircţi principlă σ m ig 5 S osrvă că în primul cdrn l sistmului O ( >, >), un fort încovoitor poitiv M i produc tnsiuni poitiv (d întindr) ir un fort poitiv M i produc tnsiuni ngtiv (d comprsiun)(fig5) Conform formuli lui NVIER, într-un punct din primul cdrn s oţin tnsiunil: M i M i cosα M i sinα σ I I (5) M M sin M cos i i α i α σ I I Tnsiun normlă st sum lgrică clor două tnsiuni (5): M i cosα M i sinα M i sinα M i cosα σ (55) I I Ecuţi i nutr scţiunii s oţin din condiţi σ: M i cosα M i sinα M i sinα M i cosα (5) I I 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii nutră trc prin origin O şi r coficintul unghiulr: M i sinα M i cosα I tgβ (57) M i cosα M i sinα I Rlţi (55) prmit clculul tnsiunii mim şi minim Pntru r din figur 5 şi pntru cl două momnt încovoitor M i şi M i vlorr mimă tnsiunii (poitivă) s ting în punctul ( <, >) ir vlor minimă (ngtivă) în punctul B l scţiunii ( B >, B <): M i cosα M i sinα M i sinα M i cosα σ m I I (58) M i cosα M i sinα M i sinα M i cosα σ min B B I I 85 Clculul folosind momntl d inrţi fţă d l sistmului dt Clculul l încovoir olică şi spţilă folosind rlţiil d mi sus st dstul d dificil S printă în continur o mtodă d clcul tnsiunilor şi poiţii i nutr fţă d l O şi O l sistmului dt O conscinţă ipoti scţiunii pln lui BERNOULLI şi ipoti dformţiilor mici st c că dplsr p dircţi O unui punct din suprfţ scţiunii B(, ) situt p fţ ngtivă (fig5) st o funcţi liniră în rport cu coordontl scţiunii şi ţ poitivă C O M i B(,) ig 5 M i Mirc Rdş Ristnţ mtrillor I, Ed PRINTECH,, pg- 5

5 Cornl MRIN cstă funcţi st d form: u u ϕ ϕ (59) în cr: u st dplsr punctului O l scţiunii; ϕ - unghiul d rotir l suprfţi fţă d O; ϕ - unghiul d rotir l suprfţi fţă d O L încovoir pură rlor s- nott cu ω ϕ rotir spcifică suprfţi scţiunii după O Smnul plus şi smnul minus din rlţi (59) s-u introdus dorc un momnt M i poitiv produc totdun o dplsr poitivă (după dircţi i O) punctului ir un momnt M i poitiv produc totdun o dplsr ngtivă punctului, ş cum rultă din figur 5 lungir spcifică firi c trc prin punctul B(, ) s pot scri cu jutorul rlţiilor difrnţil dintr dformţii şi dplsări: u u ϕ ϕ ε ε (57) Dcă s notă cu ω ϕ rotir spcifică suprfţi scţiunii după O u şi cu ε dformţi spcifică firi mdii, rlţi (57) s scri: ε ε ω ω (57) olosind lg lui HOOKE într tnsiunil norml şi dformţiil spcific, tnsiunil l încovoir spţilă s scriu stfl: σ E( ε ω ω ) (57) Ecuţiil d chivlnţă dintr tnsiuni şi forturil scţionl s scriu: N σ d Eε d Eω d Eω d M M i i σ d σ d M M i i Eε Eε d Eω d Eω d Eω d Eω d d (57) Întrucât sistmul d st cntrl, momntl sttic sunt nul: E ω d ; Eω d şi prim rlţi (57) conduc l: ε (57) Cllt două rlţii (57) s mi scriu: M i EI ω EI ω (575) M i EI ω EI ω Rolvând sistmul d cuţii (575) s oţin rotiril spcific ncunoscut: I M i I M i I M i I M i ω ; ω (57) E I I I E I I I ( ) ( )

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Înlocuind în rlţi pntru clculul tnsiunilor (57) s oţin: I M i I M i I M i I M i σ (577) I I I I I I Ecuţi i nutr s dduc din condiţi σ: I M i I M i I M i I M i I I I I I I (578) I M i I M i I M I M i i Încovoir olică st un c prticulr l încovoirii spţil cu M i şi M i Înlocuind în rlţi (577) s oţin: I I σ M i (579) I I I Ecuţi i cntrl în cst c s dduc din condiţi σ: I I I (58) I I I I Încovoir simtrică st un c prticulr l încovoirii olic: dcă O st o ă d simtri: I şi s oţin formul lui NVIER şi cuţi i nutr În cul prticulr l încovoirii olic cu M i şi uni scţiuni cu o ă d simtri, înlocuind în (577) M i, I I şi I s oţin: I I σ M i (58) I I Ecuţi i cntrl în cst c s dduc din condiţi σ: I (58 ) I 59 Încovoir rlor din profil suţiri dschis Cntrul d forfcr-încovoir ş cum s- prcit l cpitolul d răsucir, în cul încovoirii rlor pr dformţii suplimntr cr s nglijă în cul scţiunilor compct, cum r fi profill suţiri închis, dr nu s mi pot nglij c în cul profillor suţiri dschis 59 Încovoir profillor suţiri rctngulr Pntru profilul suţir dschis rctngulr din figur 55, su cţiun forţlor şi din plnul principl O r sufră dformţii d încovoir dr şi d răsucir după O, dtorită tnsiunilor tngnţil mri în on inimii şi tălpilor Tnsiunil tngnţil s dtrmină cu jutorul rlţii lui JURVSKI: * TS τ ti 5

Cornl MRIN C C C M i T C ig 5 Pntru profilul rctngulr din figur 55 s fc următorl ipot: dtorită lăţimii mici t profilului tnsiunil tngnţil s considră constnt p lăţim profilului (lăţim t s măsoră prpndiculr p lini mdină) şi tngnt l contur şi l lini mdină profilului; distriuţi tnsiunilor d- lungul linii mdin scţiunii st liniră p cl două tălpi l scţiunii (fig55) întrucât momntul sttic S * st o funcţi d grdul întâi d vriil : h S * t (58) τ m h τ m h T t t τ m h C T h T C T M C τ m t T t τ m 5 ig 55 ig 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Tnsiun mimă s oţin pntru h und momntul sttic st mim: S * m t h h (58) T h h şi r prsi: τ m (58) I distriuţi tnsiunilor d- lungul linii mdin scţiunii st prolic în on * inimii scţiunii, dorc momntul sttic S st o funcţi d grdul l doil: h t h S * th (585) tnsiun mimă s oţin pntru und momntul sttic st mim: * S ( m t h h h ) (58) 8 T h ( h h ) şi r prsi: τ m (587) 8I Ţinând sm d ipot tnsiunilor tngnţil constnt p lăţim profilului, forţl lmntr corspunător lmntului d ri d sunt orintt după dircţi linii mdin profilului şi u prsi: d τ d (588) Rducând cst forţ lmntr în cntrul d grutt C l scţiunii rultă un torsor formt din următorl componnt (fig5): fortul tăitor T T, rulttul însumării forţlor lmntr p inimă după dircţi O: Th hh t T τ d d T I I (589) forturil tăitor T T T, rulttul însumării forţlor lmntr p cl două tălpi după dircţi O: T T h h T t h h h d τ d I 8 (59) ( h h ) t T I momntul M C fţă d C cr rprintă un fort d răsucir: M C T T h (59) S pot lg un punct situt p O l distnţ d cntrul d grutt (fig5) pntru cr sistmul d forţ lmntr, rspctiv forţ T corspunător inimii şi forţl T corspunător clor două tălpi, s rduc numi l fortul T, momntul d răsucir fiind nul: M T T h (59) h / ( ) 55

Cornl MRIN Din rlţi (59) rultă distnţ fţă d cntrul d grutt l scţiunii: T h (59) T Înlocuind rlţiil (589) şi (59) în rlţi (59) s oţin: ( h h ) h (59) h Prin urmr, pntru c profilul să nu fi supus l răsucir, forţl plict şi trui să trcă prin cntrul d forfcr, cărui poiţi dpind dor d gomtri scţiunii Clculul l răsucir s pot fc numi după dtrminr cntrului d forfcr l scţiunii Tnsiunil tngnţil provin din forfcr şi nu din răsucir, fctul cstor tnsiuni conducând în cst c l un cuplu d răsucir M c Din punctul d vdr l încovoirii ri cu scţiun nsimtrică din profil suţiri, chir dcă plnul forţlor conţin ri, în fră d încovoir şi forfcr s produc şi răsucir Pntru s produc numi încovoir şi forfcr, fără răsucir, plnul forţlor trui să trcă prin cntrul d forfcr: în cst c l s numşt şi cntru d încovoir 59 Încovoir profillor suţiri circulr În figur 57 st prnttă scţiun uni r tuulr dschis, vând un profil circulr d lăţim t, lini mdină fiind un rc d crc d ră r şi unghi l cntru α S cr să s dtrmin cntrul d forfcr în cul gnrl şi pntru cul prticulr l unui profil smicirculr απ (rd) Dcă sistmul d forţ trior cţionă în plnul principl O (c conţin cntrlor d grutt), în scţiun ri pr un fort tăitor T şi tnsiunil tngnţil τ (fig57) constnt p lăţim profilului şi tngnt l lini mdină profilului (crc) orţ lmntră corspunător tnsiunii tngnţil τ st: d τd τ t rdϕ (595) ' d τ r α α T O C M t T 5 ig 57

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Coordontl cntrului d grutt fţă d sistmul d O s dtrmină cu jutorul rlţii: C α C ' t rdϕ α α α trdϕ α t rdϕ α α α trdϕ α α r sinϕ t rdϕ trα α α ; r cosϕ t rdϕ r sinα ; trα α (59) Pntru profil suţiri tnsiun tngnţilă pot fi considrtă constntă p lăţim scţiunii şi s clculă conform rlţii lui JURVSKI: * TS τ (597) ti * în cr: S st momntul sttic l scţiunii pst lini corspunător unghiului ϕ: S * α ϕ α t rdθ r sinθ t rdθ r t ϕ ( cosϕ cosα ) I momntul d inrţi l scţiunii fţă d O şi s dtrmină stfl: α α (598) r t I trdθ r sin θ trdθ ( α sin α ) (599) α α Înlocuind în prsi (597) s oţin: T cosϕ cosα τ (5) rt α sin α În figur 58 s- rprntt vriţi tnsiunilor tngnţil cu jutorul funcţii T tu( ) τ / dtă d rlţi (5) cu unghiul ϕ pntru απ rt Conform tormi d chivlnţă tnsiunilor, în scţiun ri v pr un fort torsionl cărui prsi s dtrmină fţă d O stfl: α sinα α cosα M to r τ trdθ Tr (5) α sin α α ţă d C fortul torsionl s oţin din rlţi torsorului d rducr: M to M tc T M tc M to T (5) Rducând torsorul din punctul C în punctul şi impunând condiţi pntru fortul torsionl: M t, s oţin: sinα α cosα M t M tc T r (5) α sin α 57

Cornl MRIN 7 tu( ) 7 5 5 57 9 În figur 59 s- rprntt vriţi distnţi în funcţi d unghiul α, cu jutorul funcţii ( ) dtă d rlţi (5) r 5 ig 58 () 8 9 5 5 5 57 9 ig 59 Pntru cul prticulr l profilului smicirculr απ şi rultă, 5 şi din r rlţi (59) rultă, dci cntrul d încovoir st situt l distnţ r 58

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Influnţ forfcării supr rlor supus l încovoir simplă Conform rlţii lui JURVSKI, tnsiunil tngnţil l încovoir simplă rlor drpt vriă nlinir (vi prgrful 55, plicţi 5) Dtorită cstor tnsiuni vriil, în scţiun ri pr dformţii spcific unghiulr (luncări spcific) vriil, mim în on i cntrl şi nul în firl trm (fig55) Pntru studiul forfcării l încovoir simplă rlor drpt s folosşt ipot scţiunii pln modifict lui TIMOSHENKO: o scţiun plnă prpndiculră p longitudinlă ri înint d dformr, rămân tot plnă, dr nu mi st prpndiculră p fir mdi dformtă ri, fiind înclintă cu un unghi γ md c corspund uni tnsiuni d forfcr constnt: τ md (fig55) γ γ md γ m h τ m γ τ md ig 55 Tnsiun tngnţilă mdi s clculă cu jutorul rlţii: T τ md (5) f în cr: f k f st ri d forfcr şi k f - fctorul d forfcr cr ţin sm d distriuţi nuniformă tnsiunilor p suprfţ scţiunii T st fortul tăitor din scţiun cărui prsi, conform tormi d chivlnţă tnsiunilor s scri: T τ d (55) Pntru dtrmin fctorul d forfcr k f s glă nrgiil potnţil p unitt d lungim scris pntru tnsiunil tngnţil rl şi pntru tnsiun tngnţilă mdi şi ri d forfcr : τ τ md d df md G τ G f τ d k f (5) 59

Cornl MRIN Ţinând sm d rlţiil (5) şi (55) s oţin fctorul d forfcr: d τ k f (57) τ d În cul scţiunii drptunghiulr din figur 55 prsi tnsiunilor tngnţil p înălţim scţiunii, ddusă l plicţi 5 st: T τ (58) h Efctuând intgrll din rlţi (57) s oţin: k f,8 (59) 5 Prolm propus 5 S dă grind cu încărcr, rmr din figur 55, und m şi qkn/m S cr: să s trs digrml d forturi tăitor şi încovoitor să s dimnsion grind ştiind că σ MP; c să s trs digrml d vriţi l tnsiunilor σ şi τ p înălţim scţiunii trnsvrsl ri fltă l distnţ d rmul din stâng; d să s dtrmin tnsiunil norml principl şi dircţiil lor în punctl scţiunii K, K şi Kc din figur 55 (Concursul d Ristnţ mtrillor, Ploişti 988) q q / q / q / t t t K t K C K C t ig 55

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 S dă grind din oţl, cu scţiun constntă, rmtă în (), () şi () şi rticultă în (), încărctă c în figur 55, und,5m şi dmm S cr: să s trs digrml d forturi tăitor şi încovoitor să s dtrmin intnsitt mimă srcinii distriuit p stfl încât să nu s dpăşscă tnsiun dmisiilă mtrilului σ 5 MP; c să s dtrmin tnsiunil norml σ K şi tngnţil τ K în punctul K l scţiunii trnsvrslă () ri (fig 55) (Concursul d Ristnţ mtrillor, Ptroşni 989) p/ p p d K d ig 55 d 5 S dă grind mtlică, cu scţiun constntă în formă d T, rmtă în (), () şi () şi rticultă în (), încărctă c în figur 55, und m şi q kn/m Br r scţiun din figur 55 S cr: să s trs digrml d forturi tăitor şi încovoitor; să s vrific grind ştiind că: σ MP şi mm; c să s trs digrml d vriţi l tnsiunilor σ şi τ p înălţim scţiunii trnsvrsl corspunător forturilor mim M m şi T m ; (Concursul d Ristnţ mtrillor, Cluj-Npoc 988) q q C / q ig55

Cornl MRIN 5 S considră o ră drptă vând form gnrlă c în figur 55, cu două consol d lungimi şi c şi distnţ într rm şi scţiun constntă p lungim i d form din figur 55, solicittă l încovoir simplă prin cţiun următorlor srcini trior: o forţă concntrtă P c cţionă l distnţ d, o srcină uniform distriuită q c cţionă într distnţl şi f şi un cuplu concntrt N c cţionă l distnţ g fţă d cpătul ri Rcţiunil V şi V u dircţiil prpndiculr p ră şi snsuril din fig 55 S cr: să s dtrmin vloril rcţiunilor V şi V ; să s trs digrml forturilor tăitor T şi încovoitor M, să s dtrmin vlor forturilor mim: încovoitor M m şi tăitor T m ; să s dtrmin momntul d inrţi I şi modulul d ristnţă W în funcţi d prmtrul s l scţiunii; 5 să s dimnsion r l încovoir ştiind că: σ 5 MP ; să s trs digrm d vriţi tnsiunilor σ şi τ p înălţim scţiunii trnsvrsl corspunător forturilor mim M m şi T m (Prolmă mn modl, Univrsitt VLHI Trgovist, ) f q d P N V g V c s,9s C C C C C C DTE DE INTRRE (m) (m) c (m) d (m) (m) f (m) g (m) 5 λs C C λ P q N kn kn/m knm - -5 s s s ig 55

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 55 S dă grind mtlică cu încărcr, rmr şi scţiun trnsvrslă din figur 555, und m, c,5m, q kn/m, q kn/m şi M knm S cr: clculul şi trsr digrmlor d forturi tăitor şi încovoitor; dimnsionr grinii ştiind că σ 5 MP; c să s trs digrml d vriţi l tnsiunilor σ şi τ p înălţim scţiunii trnsvrsl (); d să s dtrmin tnsiunil norml principl şi dircţiil principl în punctul K l scţiunii trnsvrsl vând form din figur 555 (Concursul d Ristnţ mtrillor, Cluj-Npoc, 99) M q q c t 5t K t C t t ig 555 5 S dă grind mtlică formtă dintr-un profil I (STS 55: hmm, 9mm, d7,5mm,,5cm, I 5cm, I 7cm ), vând cu încărcr şi rmr c în figur 55 S cunosc vloril: m, qkn/m şi M knm S cr: clculul şi trsr digrmlor d forturi tăitor şi încovoitor; vrificr grinii, ştiind că σ MP; c să s trs digrml d vriţi l tnsiunilor σ şi τ p înălţim scţiunii trnsvrsl priculos (corspunător momntului mim);

Cornl MRIN q q q q M q q ig 55 57 S dă grind mtlică formtă din două profil indpndnt vând form din figur 557 şi c Br st încărctă şi rmtă c în figur 557 S cunosc vloril: m, qkn/m şi M knm S cr: clculul şi trsr digrmlor d forturi tăitor şi încovoitor; dimnsionr grinii, ştiind că σ MP; c cr st vlor mimă tnsiunii dcă cl două profil s smlă şi sudă p muchiil şi B? p/ p h d C I p t B 5t t t C t t t t ig557 c C t B t t

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 58 S dă grind mtlică formtă dintr-un profil I (STS 55: hmm, mm, d8,7mm,,cm, I 5cm, I cm )(fig558) şi două profil U (STS 5: hmm, 5mm, dmm,,55mm,,5cm, I 5cm, I 9,cm ) (fig558c), sudt într l (fig558d,,f), cu încărcr şi rmr din figur 558 S cunosc: m qkn/m S cr: clculul şi trsr digrmlor d forturi tăitor şi încovoitor; vrificr grinii, ştiind că σ MP; c să s trs digrml d vriţi l tnsiunilor σ şi τ p înălţim scţiunii trnsvrsl priculos q q q q h d C h d C I c U U U U C I C I C I U d ig 558 f U 5

Cornl MRIN 59 S dă grind mtlică, cu scţiun constntă, rmtă în şi B, încărctă cu o forţă uniform distriuită q în pln vrticl şi o forţă concntrtă Pq în plnul oriontl trcând prin cntrul d încovoir-torsiun C, c în figur 559, und m şi q kn/m Br r scţiun din figur 559 und t mm Modulul d lsticitt st E, 5 MP S cr: să s trs digrml d forturi; vrificr ri pntru σ dmisiil MP; în scţiunil l mi solicitt s v trs nutră şi digrm tnsiunilor norml σ cu vlori; dplsr totlă în punctul D (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, Târgu-Murş, mi 5) q B D t C t Pq t t t ig 559 t 5 S considră grind d oţl cu rigiditt EIconstntă vând încărcr şi rmr din figur 5, und m şi q8 N/mm Scţiun ri r form din figur 5 S cr: digrml d forturi T, M (litrl); dimnsionr scţiunii, dcă s cunosc: σ MP; c digrm σ în scţiun priculosă; vlor mimă tnsiunii tngnţil τ m (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, Târgu-Murş, mi 5) q q / q B q ig5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii dt t 8t C t t 5t t Lini forţlor P, P t t 9t ig5 5t t ig5 5 Pntru consol încărctă c în figur 5 şi vând scţiun din figur 5, s du:,5m, tmm S cr: să s dtrmin vlor încărcării p ştiind că în scţiun () σ m 8MP să s trs digrm tnsiunilor norml în scţiun (); să s dtrmin poiţi cntrului d încovoir-torsiun (modul d plicr l forţlor p, P şi P nu conduc l torsiun ri) (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, Timişor, mi ) P p q P p ig 5 7

Cornl MRIN 5 Pntru consol din figur 5, cu scţiun simtrică sudtă, încărctă cu o forţă uniform distriuită q şi două forţ concntrt q şi q, considrând B,5m; BC,5m şi σ dm MP S cr: să s clcul vlor q cp şi să s trs digrml tnsiunilor σ în scţiun c mi solicittă ; să s dtrmin M cp ştiind că τ dm 8 MP şi digrml tnsiunilor tngnţil τ în vrint în cr sudur din punctul i cdă (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, UTCB, mi ) q q i 8,5m B,5m C 8 8 q 8 ig 5 8

ORECRE BRELOR

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Introducr Solicitr d forfcr rlor s dtoră istnţi în scţiun ri forturilor tăitor T, ş cum s- rătt şi l încovoir simplă rlor S considră o ră drptă d scţiun drptunghiulră h rmtă l cpt şi supusă l forfcr su cţiun două forţ P prpndiculr p ri, situt l o distnţă fort mică (muchiil tăitor l uni ghilotin) Într-o scţiun sitută l mijlocul distnţi dintr cl două forţ P r st supusă l forfcr pură, ş cum rultă din digrml forturilor T şi M din figur Q P h Q Q Digrm T P L ig Q - Q-P Digrm M i -Q(L-/) - ig Q(L-/) Cu cât distnţ dintr cl două forţ P st mi mică cu tât forţl Q din rml ri sunt mi mici, conform cuţii d momnt: P QL Q P () L S osrvă din digrml d forturi din figur că r st supusă l forfcr şi încovoir p totă lungim s, ir p distnţ prpondrnt l forfcr În scţiun sitută l mijlocul distnţi dintr cl două forţ P istă numi forturi tăitor Q-P, cl încovoitor fiind nul 7

Cornl MRIN S considră un lmnt d volum dvddd din on scţiunii supusă l forfcr pură P fţl cstui lmnt cţionă tnsiunil tngnţil τ şi τ c în figur d τ d τ d τ τ Dcă s scriu cuţiil d chiliru pntru forţl lmntr d p cl ptru fţ l lmntului s oţin: : τ dd τ dd 7 : M : ig τ dd τ dd τ dd d τ dd d () Priml două rlţii sunt idntităţi ir tri conduc l lg dulităţii tnsiunilor tngnţil: τ τ () Lg dulităţii tnsiunilor tngnţil firmă că tnsiunil tngnţil c cţionă p fţl unui lmnt d volum supus l forfcr pură sunt rciproc prpndiculr p muchi comună şi gl În cul forfcării pur rlor drpt s fc ipot c tnsiunil tngnţil sunt constnt p suprfţ scţiunii: τ cons tn t () Dcă s intgră forţl lmntr dtort cstor tnsiuni tngnţil s oţin fortul tăitor T : T τ d τ d (5) T τ Rlţi (5) s utiliă în clcull d forfcr l rlor suţiri Rlţiil d clcul pntru cl tri tipuri d clcul sunt : pntru clculul d vrificr l forfcr: T τ τ () în cr τ st ristnţ dmisiilă l forfcr mtrilului pntru clculul d dimnsionr l forfcr s scri: T nc τ (7)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii pntru clculul forţi cpil l forfcr s scri: Tcp τ (8) Rlţiil d clcul d mi sus s plică pntru clculul : îminărilor ndmontil cu nituri şi sudt (lipit); îminărilor cu pn şi cnluri; filtului şuruurilor; şilor, ucşlor, tc Clculul l forfcr l îminărilor cu nituri Îminăril cu nituri sunt îminări ndmontil în cr lmntl d îminr (nituril) sunt supus l solicităril d forfcr şi prsiun d contct Dimtrul nitului st cu,5 mm mi mic dcât dimtrul găurii d nit pntru prmit introducr cu joc nitului c urmă fi ătut clisă P t t d d P t pltndă clisă P P ig În figur st prnttă o îminr cu nituri două pltnd cu clis Btr niturilor st oprţi d dformr plstică l cld su l rc cpătului cilindric l nitului în vdr oţinrii cpului smisfric şi liminării jocului într nit şi gură Dimtrul niturilor s lg în funcţi d grosim minimă pltndi su clislor conform rlţii: d 5 t min (9) în cr st o vlor în funcţi d tipul îminării: d ristnţă su d tnşr 7

Cornl MRIN P pltndă t clisă P/ t t clisă P/ d P d P/ f f ig Clculul niturilor s fc l forfcr şi l strivir: T P l forfcr τ τ f () f π d n i în cr n rprintă numărul d nituri p o pltndă (pntru fig : n) i numărul d scţiuni d forfcr (pntru fig : i) P P l strivir ps ps s n hmind () în cr h min rprintă grosim minimă pltndi rspctiv clislor (în fig : t min min (t,t ) ) Clcului tllor (pltndă şi clis) s fc l trcţiun rspctiv l forfcr: P P l trcţiun σ t t ( ) hmin σ t () T P l forfcr τ n h f τ () f min min 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii în cr n rprintă numărul d nituri p o pltndă (în fig : n) f min rprintă lăţim minimă pltndi rspctiv clislor supusă l forfcr (în fig : f min min (f,f ) ) Clculul l forfcr l îminărilor sudt Îminăril sudt sunt îminări ndmontil vând c lmnt d îminr cordon d sudură supus în principl l solicitr d d forfcr Pntru clculul îminărilor sudt s fc următorl ipot: tnsiun dmisiilă pntru mtrilul cordonului d sudură s lg în funcţi d tipul solicitării : - pntru sudur solicittă l trcţiun: σ s,8 σ ; - pntru sudur solicittă l comprsiun: σ s σ ; - pntru sudur solicittă l forfcr: σ s,5 σ în cr σ st tnsiun dmisiilă tllor d îminr tnsiunil d forfcr s distriui uniform p totă suprfţ d clcul cordonului d sudură; c convitt cordonului d sudură nu s i în clcul şi nici dpăşir grosimii cordonului d sudură su cptl cordonului d sudură: lungim d clcul cordonului d sudură s considră: L c L- und cu s notă înălţim cordonului d sudură (fig5) P h P P L P Clculul sudurii cp l cp S considră că cst tip d sudură st supus l întindr su comprsiun şi grosim cordonului d sudură s considră glă cu jumătt din grosim tllor sudt h (fig5) Rlţi d clcul în cst c s scri: P P σ t σ s () ( L ) h t ig 5 75

Cornl MRIN Clculul sudurii frontl Cordonl d sudură sunt supus în cst c unor solicitări compus d întindr şi forfcr (fig) Dcă s considră că cl două tl u cşi lăţim şi cşi grosim t t h tunci într grosim cordonului d sudură şi grosim h istă rlţi:, 7 h (5) orţ corspunător ficărui cordon d sudură st : P T N cos 5, 5P () Pntru solicitr d întindr rultă tnsiun:, 5P, 5P σ t σ s (7) t ( L ) Pntru solicitr d forfcr rultă tnsiun:, 5P, 5P τ f, 5σ s (8) f ( L ) S osrvă că c d dou rlţi st mi rstrictivă, solicitr d forfcr fiind în cst c prdominntă P t P N T h t P P L P ig În clcull cordonlor d sudură frontl s folosşt o rlţi cr ţin sm d ml solicitări:, 5P τ f, 5 s ;, 7h ( L ) σ (8) 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Clculul sudurii ltrl Cordonl d sudură ltrl su d flnc sunt supus numi solicitărilor d forfcr Dcă s considră că cl două tl u grosimil t şi t tunci într grosim cordonului d sudură şi grosim t (fig7), istă rlţi:, 7 t (9) orţl corspunător clor două cordon d sudură s dtrmină din cuţiil d momnt fţă d forţlor P: c T P; T P; () c c Condiţi d ristnţă l forfcr pntru ficr din cl două cordon s scri stfl: Pntru cordonul : T f c P τ, 5 σ s () f c ( L ) Pntru cordonul : T f P τ, 5 σ s () c ( L ) f L T P P T t t c L ig 7 77

Cornl MRIN Prolmă propusă În vdr încrcării sttic l forfcr pură mtrillor s- propus o schmă principilă vând form din figur 8, în cr pruvt d lungim Lc st simplu rmtă şi încărctă simtric, l mijlocul dschidrii şi l cptl clor două consol, cu tri forţ concntrt Rotind cstă schmă cu 8 şi notând cu L L/c, s oţin schm sttic ndtrmintă din figur 8 S cr: dtrminr vlorii rportului kc/l, rspctiv c/l, pntru cr cl două grini sunt chivlnt din punct d vdr l încărcărilor; clculul săgţilor din punctl (), () şi () l grinii din figur 8 (prof dr ing ugustin CREŢU, Prolm ls din Ristnţ mtrillor, UT Cluj-Npoc 99),5,5 c L/ L/ c -c Digrm M -c - - c -c,5l,5,5 c L L c Digrm M c - c ig 8 c 78

7 DEORMŢIILE L ÎNCOVOIERE LE BRELOR

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 7 Ecuţi difrnţilă firi mdii dformt 7 Dformţiil ri în cul încovoirii simtric S considră o ră drptă d lungim L şi rigiditt l încovoir EI constntă şi un sistm d drpt O Br st supusă l încovoir simtrică d un sistm d forţ şi cupluri d forţ cr cţionă într-un pln c conţin longitudinlă ri şi d simtri scţiunii trnsvrsl (O) (fig7) În urm dformţiilor longitudinlă ri - iniţil o lin drptă - dvin o cură plnă numită fir mdi dformtă su lini lstică ri În cul încovoirii simtric după O, form firi mdii dformt ri st dfinită d săgt w() su dplsr după dircţi i O şi pnt w () l lini lstică su rotir scţiunii ϕ () după dircţi i O w ϕ ϕ() w() L ig 7 Într-o scţiun sitută l distnţ d cpătul ri solicittă d un momnt încovoitor M i M poitiv, săgt w() şi pnt w () sunt poitiv, ir rotir scţiunii ϕ () st ngtivă, ş cum rultă din figur 7: dw ϕ (7) d M ρ w() ig 7 dw d ϕ B M 8

Cornl MRIN Ţinând sm d rlţi (7) şi d rlţi (59) dintr curur / ρ şi rotir spcifică ω s oţin: dϕ d w ω (7) ρ d d Ţinând sm d rlţi pntru rotir spcifică (59) şi rlţi (7) rultă cuţi difrnţilă firi mdii dformt pntru încovoir simtrică după O: d w M i (7) d EI Din figur 7 s osrvă că fţă d un sistm drpt O, un momnt încovoitor M i poitiv produc săgţi w() poitiv, lini lstică st concvă cu drivt dou ngtivă w <, c c confirmă smnul minus din rlţi (7) În cul încovoirii simtric după O fir mdi dformtă ri st dfinită d dplsr după dircţi i O su săgt v() şi pnt v () l lini lstică su rotir scţiunii ϕ () după dircţi i O Într-o scţiun sitută l distnţ d cpătul ri solicittă d un momnt încovoitor M i N poitiv, tât săgt v() şi pnt v () sunt poitiv, cât şi rotir scţiunii ϕ () ş cm rultă din figur 7: dv ϕ (7) d N ρ v() dv d ϕ B N ig 7 În mod smănător s scri curur su rotir spcifică ω după O: ρ dϕ d v ω (75) ρ d d Ecuţi difrnţilă firi mdii dformt l încovoir simtrică după O: d v M d EI i (7) 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 7 Dformţiil ri în cul încovoirii olic S considră o ră drptă d lungim L şi un sistm drpt O, cu O orcr - nu st o ă d simtri şi nici ă principlă d inrţi Su cţiun forţi P din plnul O (fig7) r st supusă l încovoir olică întrucât fortul încovoitor M i s dscompun după cl două dircţii principl l scţiunii, cst componnt dând dplsări şi rotiri indpndnt conform clor prntt l încovoir olică (prgrful 57) Lini lstică st o cură în spţiu crctrită d ptru prmtri: săgt w() după dircţi i O, săgt v() după dircţi i O, rotir scţiunii ϕ () după dircţi O şi rotir scţiunii ϕ () după dircţi O (fig7) L w() P v() w v ig 7 Ecuţi difrnţilă firi mdii dformt, în proicţii p cl două pln O şi O s oţin cu jutorul prsiilor rotirilor spcific după cl două O şi O din rlţi (57), înlocuind p M i : I M i ω ; E( I I I ) (77) I M i ω E I I I ( ) Pntru consol din figur 7 forţ P produc în scţiun sitută l distnţ d încstrr un momnt încovoitor M i ngtiv şi săgţi w() şi v() poitiv 8

Cornl MRIN ş cum rultă din figur 7 şi 7 rotir spcifică după dircţi i O dw corspund uni pnt ngtiv: ϕ, ir rotir spcifică după dircţi i O d corspund uni pnt poitiv: ϕ dv d (78) Înlocuind în rlţiil (77) şi ţinând sm d rlţi (7) s oţin cuţiil difrnţil l dformţiilor ri l încovoir olică din cl două pln O şi O, fără mi fi ncsră dtrminr dircţiilor şi plnlor principl: d w I M i d E( I I I ) (79) d v I M i d E I I I 8 ( ) Prin intgrr cuţiilor difrnţil (79) şi introducr condiţiilor l limită corspunător, s oţin funcţiil: ϕ () ϕ () şi rspctiv w(), v() Eprsi fortului încovoitor pntru r din figur 7 s scri: M i ( ) P( L ) (7) Condiţiil l limită sunt: w( ) ; v( ) ; w' ( ) ; v' ( ) (7) Dcă scţiun r form din figur 7 şi dimnsiunil din figur 5, momntl d inrţi il şi cntrifugl fţă d l O şi O c trc prin cntrul d grutt l scţiunii u fost clcult l plicţi 5: I 8, 5 ; I ; I (7) Intgrând cuţiil difrnţil (78) şi introducând condiţiil l limită pntru rotiri (7) şi prsiil momntlor (7) s oţin: dw I P ( ) M i( s )ds L d E I I I 5 E (7) dv I M i P ( ) M ( s )ds L i d E I I I 5 E Rotiril corspunător după dircţi lor O şi O sunt: dw P ϕ ( ) L d 5E (7) dv P ϕ ( ) L d 5E Din rlţiil (7) s osrvă că rotir după O st poitivă, ir rotir după O ngtivă

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Intgrând încă o dtă rlţiil (7) şi introducând condiţiil l limită (7) s oţin: P w( ) L ; 5E (75) P v( ) L 5E Din rlţiil (75) s osrvă că săgţil după dircţiil O şi O sunt poitiv pntru oric vlor lui [,L] Eprsiil rotirilor şi săgţilor scţiunii din cpătul ri (L) sunt: PL PL PL PL ϕ ; ϕ w ; v (7) 5E 5E 75E 75E 7 Dformţiil ri în cul încovoirii spţil S considră o ră drptă d lungim L şi un sistm drpt O, cu O orcr - cr nu st o ă d simtri şi nici ă principlă d inrţi Br st supusă l încovoir spţilă su cţiun forţi trnsvrsl P c cţionă în plnul O şi forţi trnsvrsl P c cţionă în plnul O (fig75) Eforturil încovoitor într-o scţiun orcr sitută l distnţ s scriu: M i( ) P ( L ); M i( ) P ( L ) (77) L w() M i P v() P M i w v ig 75 85

Cornl MRIN C şi în cul încovoirii olic, lini lstică ri în cst c st o cură în spţiu crctrită d ptru prmtri: săgt w() după dircţi i O, săgt v() după dircţi i O, rotir scţiunii ϕ () după dircţi O şi rotir scţiunii ϕ () după dircţi O Ecuţi difrnţilă firi mdii dformt, în proicţii p cl două pln O şi O s oţin cu jutorul prsiilor rotirilor spcific după dircţiil clor două O şi O dt d rlţiil (57): I M i I M i I M i I M i ω ; ω (78) E( I I I ) E( I I I ) ş cum rultă din figur 7 şi 7 rotir spcifică după O corspund uni pnt ngtiv, ir după O corspund uni pnt poitiv Înlocuind în rlţiil (78) şi ţinând sm d rlţi (78) s oţin cuţiil difrnţil l dplsărilor l încovoir spţilă: d w I M i I M i ; d E( I I I ) (79) d v I M i I M i d E( I I I ) Prin intgrr cuţiilor difrnţil (79) şi introducr condiţiilor l limită: w ( ) ; v( ) ; w' ( ) ; v' ( ) (7) s oţin funcţiil c crctriă dformţi în cul încovoirii spţil Dcă scţiun r dimnsiunil din figur 5, momntl d inrţi il şi cntrifugl fţă d l O şi O c trc prin cntrul d grutt l scţiunii clcult l plicţi 5 sunt: I 8, 5 ; I ; I (7) Intgrând cuţiil difrnţil (79) s oţin: dw I ( ) M ( s )ds I M ( s )ds i i d E I I I (7) dv ( ) I M i( s )ds I M i( s )ds d E I I I Introducând condiţiil l limită (7) şi ţinând sm d prsiil (7) l funcţiilor momnt M i şi M i s oţin rotiril corspunător după O şi O: dw P P ϕ ( ) L d 5E (7) 8 5 dv P, P ϕ ( ) L d 5E S osrvă din (7) că rotir ϕ () st poitivă, ir rotir ϕ () st ngtivă,l pntru oric vlor [ ] 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Intgrând din nou rlţiil (7) şi introducând condiţiil l limită (7) s oţin dplsăril după l O şi O: P P w( ) L 5E (7) 8 5 P, P v( ) L 5E S osrvă din (7) că săgţil sunt poitiv pntru oric vlor [,L] Eprsiil rotirilor şi săgţilor scţiunii din cpătul ri (L) sunt: ( P P ) L ( P 8, 5P ) L ϕ ; ϕ 5E 5E (75) ( P P ) L ( P 8, 5P ) L w ; v 75E 75E 7 Mtod d clcul săgţilor şi rotirilor l încovoir 7 Mtod grfo-nlitică MOHR S considră în continur cul încovoirii simtric după O Dcă s intgră cuţi difrnţilă (7) pntru un tronson d ră d lungim (fig7) s oţin rotir scţiunii flt l distnţ d origin: dw M i tgϕ ds tgϕ d (7) EI su : und : Ω tgϕ tgϕ (7 ) EI ϕ st rotir scţiunii corspunător originii tronsonului d ră; Ω ri digrmi momntlor încovoitor pntru tronsonul d ră d lungim (fig 7): Ω M ds i M ϕ,w O M d Digrm M i ig7 d 87

Cornl MRIN Ţinând sm d ipot dformţiilor mici, s pot proim tngnt unghiului d rotir, cu unghiul în rdini În cst condiţii rlţi (7 ) dvin : Ω ϕ ϕ (77) EI Rlţi (77) st cuţi lui MOHR pntru clculul rotirilor uni scţiuni sitută l distnţ fţă d origin în funcţi d doi prmtri: rotir ϕ şi ri Ω digrmi momntlor încovoitor corspunător Dcă s intgră din nou rlţi (77) s oţin: EI ( w tgϕ ) Ωds C (78) Rolvând prin părţi intgrl (78) s oţin: Ω ds Ω dω ( d ) Ω S (79) în cr S Ω d st momntul sttic l digrmi d momnt încovoitor tronsonului d ră, fţă d vrticlă sitută l distnţ (fig7) Ţinând sm d (79) rlţi (78) s scri: EI ( w tgϕ ) S C (7) Constnt d intgrr C s oţin introducând în rlţi (7) condiţi l limită din origin w()w : EI ( w tgϕ ) C C EI w (7) Înlocuind în rlţi (7) s oţin funcţi dplsărilor: S ϕ (7) w( ) w tg EI plicând ipot dformţiilor mici, s proimă tngnt unghiului d rotir scţiunii cu unghiul primt în rdini În cst condiţii rlţi (7) dvin cuţi lui Mohr pntru clculul săgţilor: S w( ) w ϕ (7) EI În tlul 7 sunt prntt rlţiil d clcul l rii digrmi d momnt Ω şi momntului sttic l digrmi d momnt S fţă d o ă cr trc prin scţiun sitută l distnţ, pntru cl ptru tipuri d srcini din figur 77 O N P q q f g h 88 ig 77

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Tipul d srcină şi digrm d momnt N ri digrmi Ω Tlul 7 Momntul sttic l digrmi S c O N C d c/ c Ω c N S N P c -P c c Ω P S P O d c/ q c d q c d c d Ω q S q -q c / O - q d / d c/ d' d/ 89

Cornl MRIN Tipul d srcină şi digrm d momnt ri digrmi Ω Momntul sttic l digrmi S q q c d -q c / O - d c/5 d' d/5 q d / q d / d d/ Ω d q c q d q S d q c q d q plicţi 7 S considră o ră drptă p două rm punctul rigid, cu o consolă în stâng d lungim c,5m şi distnţ într rm,m Br st încărctă cu următorl srcini: o forţă concntrtă P9, kn l jumătt distnţi într rm, o srcină uniform distriuită q,kn/m p totă lungim consoli şi un cuplu NkNm în rmul din stâng (fig78) Br r scţiun constntă şi form din figur 78 S cunoşt: σ 5 MP şi E, 5 MP S cr: rcţiunil V şi V digrml d forţ tăitor T şi momnt încovoitor M; dimnsionr scţiunii ri (vlor prmtrului ); dplsăril şi rotiril scţiunilor corspunător cpătului din stâng () şi mijlocului distnţi într rm () q N P 9 V c / / ig 78 V

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Rolvr Rcţiunil V şi V Rcţiunil s dtrmină utiliând cl două cuţii d chiliru l momntlor srcinilor trior şi forţlor d lgătură fţă d O c trc prin rmul (), rspctiv prin rmul C (): 5, M : V, P, Nq 5,, V 7, kn 5, M : V, P, N q 5, ig 78 V 8, kn (7) Vrificr s fc utiliând cuţi d chiliru forţlor trior şi d lgătură p dircţi O (vrticlă): V V P q 5, 7, 8, 9,, 5 (75), Digrml d forturi tăitor T şi momnt încovoitor M Digrml d forturi scţionl T şi M s trsă utiliând mtod funcţii trptă Φ(-) şi plicând principiul suprpunrii fctlor S oţin următorl prsii l forturilor tăitor T() şi încovoitor M i (): T( ) q Φ( ) q Φ( c ) ( c ) V Φ( c ) P Φ( c / ) V Φ( c ) q q M( ) Φ( ) Φ( c ) ( c ) N Φ( c ) (7) V P Φ( c ) ( c ) Φ( c / )( c / ) V Φ( c ) ( c ) Digrml d forturi T() şi M i () sunt prntt în figur 79 Dimnsionr scţiunii ri S osrvă că scţiun priculosă st în drpt rmului () und momntul r vlor M m,8knm (limit l drpt) Rlţi d dimnsionr rultă din M m condiţi d ristnţă : σ (77) W în cr W st modulul d ristnţă l încovoir Momntul d inrţi şi modulul d ristnţă pntru scţiun din figur 78 fost clcult l plicţi 5 : I I 8, 5 W (78) m 9

Cornl MRIN 5 T( ) M( ) ( ) 5 5 9 5 5 5 5 lim 5 M () 8 ig 79 Digrml d forturi T şi M Înlocuind în prsi (77) şi folosind sistmul cornt d unităţi d măsură: N, mm, MP s oţin: mm M m 8, 5 mm σ 5 (79) I 88 mm Clculul săgţilor şi rotirilor Clculul săgţilor şi rotirilor s fc cu jutorul cuţiilor lui MOHR: S Ω w w ϕ, ϕ ϕ (7) EI EI în cr: w st săgt şi ϕ rotir scţiunii corspunător originii tronsonului; Ω ri digrmi d momnt încovoitor; S momntul sttic l digrmi d momnt încovoitor fţă d o ă prpndiculră p O cr trc prin scţiun curntă sitută l distnţ Pntru dtrminr prmtrilor din origin w şi ϕ s scriu cuţiil lui MOHR pntru tronsonl dlimitt d rml (-) şi (-): S w w c ϕ EI (7) S w w ( c ) ϕ EI

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Rolvând sistmul (7) s oţin prsiil prmtrilor din origin w şi ϕ : S c c S w EI EI (7) S S ϕ EI und S şi S s dtrmină conform rlţiilor din tlul 7 şi figurii 7: c S q 5, knm ; (7) ( c ) ( / ) S q N V P, 5 knm ; q N P V c / / V ig 7 Înlocuind în rlţi (78) s oţin vloril săgţii şi rotirii în scţiun (): w, 59 mm; ϕ, 8 rd (7) Pntru dtrmin dplsr şi rotir scţiunii corspunător mijlocului distnţi într rm (scţiun ) s scriu cuţiil lui MOHR pntru tronsonul -: S w w c ϕ ; EI (75) Ω ϕ ϕ EI în cr Ω şi S s dtrmină conform rlţiilor din tlul 7 şi figur 7 Ω S ( c / ) ( / ) ( / ) q ( / )N V Ω, 97 knm ; (7) ( c / ) ( / ) ( / ) ( / ) q N V S 5, 79 knm Înlocuind vloril în rlţi (7) şi E, MP, I 88 mm s oţin vloril săgţii (în mm) şi rotirii (în rdini) l scţiunii (): w, mm ϕ, 79 rd (77) 9

Cornl MRIN 7 Mtod funcţii d încărcr Ψ Mtod funcţii d încărcr st o mtodă nlitică nouă cr utiliă funcţi d încărcr Ψ vând o prsi nlitică prticulră c rultă din intgrr d două ori cuţii difrnţil (7) După prim intgrr s oţin rotir ϕ() în funcţi d drivt funcţii d încărcrψ : dw M i Ψ ( ) ϕ ( ) ds d ϕ (78) EI EI und: ϕ st rotir scţiunii flt l cpătul din stâng l ri; Ψ () st drivt funcţii d încărcr : Ψ ( ) M i ds (79) Intgrând rlţi (78) s oţin săgt w(): Ψ( ) w( ) w ϕ (75) EI und: w st dplsr scţiunii din cpătul din stâng l ri; Ψ() st funcţi d încărcr: Ψ ( ) Ψ ( s ) ds (75) Constntl d intgrr ϕ şi w sunt prmtrii din origin, în gnrl ncunoscuţi Pntru dtrminr lor sunt suficint două cuţii d dformţii, cum r fi d mplu dplsăril nul corspunător l scţiunilor din rm, tc Eprsiil nlitic l funcţii d încărcr Ψ() şi drivti Ψ () pntru o ră drptă vând rigiditt l încovoir EI constntă, s scriu pntru cl ptru tipuri d srcini trior din figur 7: un cuplu concntrt N l distnţ d cpătul ri; forţă concntrtă P l distnţ d cpătul ri; srcină uniform distriuită q c cţionă p un tronson dlimitt d distnţl şi f d cpătul ri; srcină linir distriuită d vlori ( - q ) c cţionă p un tronson d ră dlimitt d distnţl g şi h d cpătul ri O N P f q g ig 7 h q Mihil C TNSIU, Gril G JIG - Mtod nlitic noi în Ristnţ mtrillor, Mtod funcţii d încărcr, Ed UPBucurşti 99 9

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 95 Eprsiil fortului încovoitor pntru cl ptru tipuri d srcini sunt: pntru cuplul concntrt N: ( ) > < pntru N pntru ) ( N ) ( M i (75) pntru srcin concntrtă P: ( ) > pntru ) P( pntru P ) ( M i (75) pntru srcin uniform distriuită q cr st chivlntă cu două srcini distriuit c în figur 7: ( ) ( ) d d ) d ( q c c c ) ( q ) ( M i (75) pntru srcin linir distriuită ( - q ) cr st chivlntă cu două srcini linir distriuit c în figur 7, s scri: ( ) ( ) ( ) h h h q h h g h h q g g g h g q M i ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (755) Efctuând intgrl ds M i pntru cl ptru tipuri d srcini s oţin următor prsi gnrlă pntru drivt funcţii d încărcr : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h! h ) ( q h h! h ) ( g g! g ) ( g h q d d! d ) ( q c c! c ) ( q! ) P( N ) ( Ψ (75) f q q ig7 h q g q

Cornl MRIN 9 Efctuând intgrl drivti funcţii d încărcr Ψ () (75) s oţin prsi gnrlă funcţii d încărcr Ψ() : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h! h ) ( q h h! h ) ( g g! g ) ( g h q d d! d ) ( q c c! c ) ( q! ) P(! ) N( ) ( Ψ 5 5 (757) Tlul 7 Tipul d srcină plictă Ψ k Ψ k plicţi 7 olosind mtod funcţii d încărcr Ψ să s dtrmin rotiril şi săgţil scţiunii corspunător cpătului din stâng l ri () şi mijlocului distnţi într rm () pntru r vând rmr şi încărcr din figur 7 Br st încărctă cu următorl srcini: P9, kn l jumătt distnţi într rm, q,kn/m p totă lungim consoli şi un cuplu NkNm în rmul din stâng (fig7) S cunosc: 5 88 mm I MP,, E, c,5m;,m ) r R ( q k Ψ ) r R ( q k Ψ k q R r P k r P Ψ P k r P N k r N Ψ N k r N Ψ k N r N 5 5 r q r R r R q k Ψ k q R r P k r P Ψ r q r R r R q k Ψ

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii q N P V c / / V ig 7 Rolvr: Rlţiil d clcul l rotirii şi săgţii folosind funcţi d încărcr Ψ sunt: EI ϕ( ) EI ϕ Ψ ( ) (758) EI w( ) EI w EI ϕ Ψ( ) Pntru oţin prsiil prmtrilor din origin w şi ϕ s introduc în cuţi săgţilor (758) condiţiil d săgţi nul din rml () şi (): EI w EI ϕ c Ψ( c ) (759) EI w EI ϕ ( c ) Ψ( c ) Rolvând sistmul (759) s oţin prsiil prmtrilor din origin: Ψ( c ) Ψ( c ) EI ϕ (7) c c EI w Ψ ( c ) Ψ( c ) S clculă vloril funcţii d încărcr în rml () şi () : c Ψ( c ) q 5, knm ; (7) ( c ) ( / ) Ψ( c ) q N V P, 5 knm ; Înlocuind vloril funcţii d încărcr în rlţiil (7) s oţin: Ψ( c ) Ψ( c ) EI ϕ, 9 knm (7 ) c c Ψ EI w ( c ) Ψ( c ), 9 knm Săgt şi rotir scţiunii () s oţin înlocuind vloril lui E şi I : w, 59 mm; (7) ϕ, 8 rd Pntru dtrmin săgt şi rotir scţiunii corspunător mijlocului distnţi într rm () s scriu cuţiil d săgţi şi rotiri (758) : 97

Cornl MRIN în cr: EI ϕ EI EI w EI ϕ Ψ c w EI ϕ c Ψ c ( c / ) ( / ) ( / ) ( / ) Ψ c q N V 97, knm ; ) (c / ) ( / ( / ) ( / ) Ψ c q N V 5, 79 knm ; Înlocuind vloril dt d rlţiil (75) în rlţi (7) s oţin: EI ϕ, 9, 97, 8 knm EI w, 9, 9, 7 5, 79 8, 88 knm Săgt şi rotir scţiunii () s oţin înlocuind vloril lui E şi I : ϕ, 79 w, mm rd (7) (75) (7) (77) S osrvă că s-u oţinut clşi vlori pntru rotiri şi săgţi c cl oţinut folosind mtod grfo-nlitică lui MOHR 7 Mtod funcţii trptă Φ Mtod funcţii trptă st o mtodă nlitică c utiliă funcţi trptă din MTCD Φ(-) Dcă s s intgră cuţi difrnţilă (7) şi s scri prsi momntului M() cu jutorul funcţii trptă Φ(-), s oţin: dw M i ϕ( ) ϕ ds d EI (78) r M i w( ) w ϕ ds dr EI Pntru ficr din cl ptru tipuri d srcini cr cţionă supr ri s scriu prsiil momntului M i () cu jutorul funcţii trptă Φ(-), poi prin intgrr s oţin prsiil rotirii şi săgţii scţiunii sitută l distnţ : pntru un cuplu d forţ N cr cţionă l distnţ fţă d cpătul ri (fig 7), fortul încovoitor M i () r prsi: ( ) N Φ (79) M i ( ) 98 O N ig 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 99 Intgrând s oţin prsi rotirii şi săgţii: [ ] Φ Φ ) ( ) ( N EI w ) w( ) ( ) ( N EI ) ( ϕ ϕ ϕ (77) În cul uni forţ concntrt P cr cţionă l distnţ fţă d cpătul din stâng l ri (fig75), fortul încovoitor M i () r prsi: ( ) ) ( P ) ( M i Φ (77) Intgrând s oţin prsi rotirii şi săgţii: Φ Φ ) ( ) ( P EI w ) w( ) ( ) ( P EI ) ( ϕ ϕ ϕ (77) În cul uni srcini uniform distriuit q cr cţionă p un tronson d ră dlimitt d distnţl: d încput şi f d sfârşit fţă d cpătul din stâng l ri, s dugă şi s scd pntru tronsonul d cpăt srcin q (fig7) Eprsi nlitică fortului M i () st: ( ) ( ) ) f ( f q ) ( q ) ( M i Φ Φ (77) Intgrând s oţin prsi rotirii şi săgţii: Φ Φ Φ Φ ) f ( ) f ( q ) ( ) ( q EI w ) w( ) f ( ) f ( q ) ( ) ( q EI ) ( ϕ ϕ ϕ (77) O P ig 75 O f q ig 7 q

Cornl MRIN în cul în cr r st încărctă cu o srcină distriuită linir cr cţionă p tronsonul dlimitt d distnţl g şi h fţă d cpătul din stâng l ri: g q( ) q, [ g,h] s dugă şi s scd srcin distriuită linir h g q( ) h q q (fig77) h g O q g q h ig 77 Eprsi nlitică fortului M i () s scri: q q q M i () Φ( g) (g) Φ( h) (h) Φ( h) (h) ; (775) hg hg ( ) ( ) Intgrând s oţin prsi rotirii şi săgţii: q Φ( g ) q Φ( h ) ϕ( ) ϕ ( g ) ( h ) EI h g h g q [ Φ( h ) ( h ) ] EI q Φ( g ) 5 q Φ( h ) 5 w( ) w ϕ ( g ) ( h ) EI h g h g q [ Φ( h ) ( h ) ] EI (77) Pntru cul gnrl când supr ri cţionă mi mult srcini d clşi fl su difrit tipuri d srcini din cl prntt mi sus, s folossc prsiil nlitic corspunător şi s plică principiul suprpunrii fctlor

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii plicţi 7 Să s dtrmin folosind mtod funcţii trptă Φ(-) rotiril şi săgţil scţiunii corspunător cpătului din stâng l ri şi mijlocului distnţi într rm pntru r d l plicţi 7 (fig78) q,kn/m NkNm P9, kn V c / / V ig 78 Rolvr: Eprsiil nlitic l rotirii şi săgţii folosind funcţi trptă Φ(-) sunt: EI ϕ( ) EI ϕ D( ) q q D( ) Φ( ) Φ( c ) ( c ) N Φ( c )( c ) V P Φ( c )( c ) Φ( c / )( c / ) V Φ( c )( c ) EI w( ) EI w EI ϕ W( ) (777) q q W( ) Φ( ) Φ( c ) ( c ) N V (778) Φ( c )(c ) Φ( c )( c ) P V Φ( c / )(c / ) Φ( c )(c ) Pntru oţin prmtrii din origin w şi ϕ s introduc condiţiil d dplsări nul în rml () şi () : w( c ) (779) w( c ) S oţin: EI w EI ϕ c W( c ) 5, knm (78) EI w EI ϕ ( c ) W( c ), 5 knm Rolvând sistmul s oţin:

Cornl MRIN W ( c ) W ( c ) EI ϕ,9 knm (78) c c EI w W ( c ) W ( c ),9 knm Dplsr şi rotir scţiunii d cpăt s oţin înlocuind vloril lui E şi I : w, 59 mm; (78) ϕ, 8 rd Înlocuind rlţiil (78) pntru EIϕ şi EIw în (777) şi (778) s oţin prsiil nlitic l funcţiilor rotir EIϕ() şi dplsr EIw() : W( c ) W( c ) EI ϕ( ) D( ) (78) c c W( c ) W( c ) EI w( ) W( c ) W( c ) W( ) Rotir şi dplsr scţiunii d l mijlocului distnţi într rm (scţiun ) s dtrmină înlocuind în prsiil (78) c /: W(c ) W(c ) EIϕ D(c / ) 8, knm (78) c c W(c ) W(c ) EIw W(c ) W(c ) W(c / ) 88, knm Vloril numric l dplsării şi rotirii scţiunii () s oţin introducând vloril pntru c,5m;,m; E, MP, I 88 mm : ϕ, 79 rd w, mm (785) Digrml d vriţi funcţiilor rotir EIϕ() şi dplsr EIw() sunt prntt în figur 79 5 8 EI( ) 7 EIW() ( ) 5 7 8 5 5 5 5 5 ig 79 Digrml d vriţi l funcţiilor rotir EIw() şi săgtă EIϕ()

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii plicţi 7 olosind mtod funcţii trptă Φ să s trs vriţi rotirilor şi săgţilor pntru grind în consolă d l plicţi (fig7) Rolvr: olosind funcţi trptă Φ s scriu prsiil nlitic l rotirii: ); 9 ( ) 9 ( ) 9 ( ) 9 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( N q q P P N q q V M D D EI EI Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ϕ ϕ (78) olosind funcţi trptă Φ s scriu prsiil nlitic l săgţii: ; ) 9 ( ) 9 ( ) 9 ( ) 9 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 5 5 5 N q q P P N q q V M W W EI w EI w EI Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ϕ (787) Prmtrii din origin w şi ϕ sunt nuli întrucât r st încstrtă Dplsr şi rotir cpătului din drpt l ri s dtrmină înlocuind 9, în prsiil d mi sus: 7, ) (9 9 ) (9,5 ) (9 ) (9 q W EI EI w EI q D EI EI ϕ ϕ ϕ ϕ (788) În figur 7 s-u rprntt funcţiil rotir EIw() şi săgtă EIϕ(), und: m, qkn/m ig 7 q q q q P 5q P q N q N 8q M V

Cornl MRIN EI() EIW() () 5 5 7 8 9 ig 7 Digrml d vriţi l funcţiilor rotir EIw() şi săgtă EIϕ() plicţi 75 Să s trs vriţi rotirilor şi săgţilor p lungim ri folosind mtod funcţii trptă Φ pntru grind p două rm d l plicţi (fig7) q q q V 7q/ q V q/ ig 7 Rolvr: olosind funcţi trptă Φ s scriu prsiil nlitic l rotirii: EI ϕ( ) EI ϕ D( ) ( ) ( 8 ) D( ) V Φ( ) V Φ( 8 ) q Φ( ) ( ) ( ) ( ) q Φ( ) q Φ( ) q Φ( ) q ( 5 ) q ( 8 ) ( 8 ) Φ( 5 ) Φ( 8 ) q Φ( 8 ) (789)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 olosind funcţi trptă Φ s scriu prsiil nlitic l săgţii: ) 8 ( ) 8 ( ) 8 ( ) 8 ( ) 5 ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 5 q q q q q q q V V W W EI w EI w EI Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ ϕ (79) În figur 7 s-u rprntt funcţiil rotir EIw() şi săgtă EIϕ() în cr s- considrt m, qkn/m Dplsr şi rotir scţiunii corspunător mijlocului ri s dtrmină înlocuind 5, în prsiil d mi sus:,59 ) (5 5 ) (5, ) (5 ) (5 q W EI EI w EI q D EI EI ϕ ϕ ϕ ϕ (79) ig 7 Digrml d vriţi l rotirii EIw() şi săgţii EIϕ() 5 7 8 9 9 8 7 5 5 EIi ( ) () EIW ()

Cornl MRIN 7 Influnţ forfcării supr dformţiilor ri supusă l încovoir simplă Pntru studiul dformţiilor l încovoir pură rlor drpt s- utilit ipot scţiunii pln lui BERNOULLI olosind ipot scţiunii pln modifict lui TIMOSHENKO s pot studi influnţ forfcării supr dformţiilor ri l încovoir simplă P csti ipot s- introdus l prgrful 5 luncr spcifică mdi γ md, constntă p înălţim scţiunii, c corspund uni tnsiuni d forfcr mdii τ md cr cţionă p ri d forfcr f k f (fig7) τ md γ m γ h f τ m ig 7 Su cţiun forturilor T şi M i s produc rotiril γ rspctiv -ϕ Sum clor două unghiuri rprintă pnt l lini lstică ri (vi figur 75): dw γ ϕ (79) d dw În cul în cr s nglijă fctul forfcării s oţin rlţi: ϕ d T T M i M i γ -ϕ dw d γ ϕ dv d ig 75

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii În mod nlog, su cţiun forturilor T şi M i s produc rotiril γ rspctiv ϕ Sum clor două unghiuri rprintă pnt l lini lstică ri, ş cum rultă din figur 75: dv γ ϕ (79) d În cul în cr s nglijă fctul forfcării s oţin rlţi: ϕ dv d Pntru găsi cuţiil difrnţil l săgţii şi rotirii în primul c s primă fortul tăitor T şi încovoitor M i în funcţi d rotiril γ şi rspctiv ϕ : M i dϕ dϕ ω M i EI ; EI d d (79) T G γ f olosind rlţiil difrnţil dintr forturi şi srcinil trior: dm i dt T ; p (795) d d dw şi liminând luncr spcifică dtă d rlţi (79) : γ ϕ s oţin cuţiil d difrnţil l l săgţii şi rotirii: ϕ d dw EI Gf ϕ ; d d (79) d w dϕ G f p d d În mod smănător s dduc şi cuţiil difrnţil l săgţii şi rotirii în l doil c când vm fortul tăitor T şi încovoitor M i d ϕ dv EI G f ϕ ; d d (797) d v dϕ G f p d d În cul în cr s nglijă fctul forfcării s oţin rlţiil cunoscut: dw d w dϕ d w M i ϕ ; d d d d EI (798) dv d v dϕ d v M i ϕ d d d d EI S osrvă că cl două prchi d funcţii w, ϕ şi rspctiv v, ϕ sunt cinmtic indpndnt 7

Cornl MRIN 7 Prolm propus 7 S dă grind cu încărcr şi rmr din figur 7, und m şi qkn/m Scţiun ri r form din figur 7, und t mm S cr să s dtrmin săgt şi rotir scţiunii () situt l mijlocul distnţi într rm Modulul d lsticitt st E, 5 MP (Concursul d Ristnţ Mtrillor, Ploişti 988) q q / q / q / t ig 7 t t t d d t C ig 7 ig77 7 S dă grind din oţl, cu scţiun constntă c în figur 77, rmtă în (), () şi (), rticultă în () şi încărctă c în figur 77, und,5m, p, kn/m şi dmm S cr să s dtrmin săgt şi rotiril scţiunii corspunător rticulţii () Modulul d lsticitt st E, 5 MP (Concurs d Ristnţ Mtrillor, Ptroşni 989) d p p/ p ig77 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 7 S dă grind mtlică, cu scţiun constntă, rmtă în (), () şi (), rticultă în () şi încărctă c în figur 78, und m şi q kn/m Br r scţiun din figur 78 und t mm Modulul d lsticitt st E, 5 MP S cr să s dtrmin săgt şi rotiril scţiunii corspunător rticulţii () (Concursul d Ristnţ Mtrillor, Cluj-Npoc 988) q 5 q t C t q t / ig 78 t 7 S dă grind mtlică rticultă în (), rmtă în (), () şi () şi încărctă c în figur 79, und m ; c,5m ; q kn/m, q kn/m şi M knm Br r scţiun din figur 79, und t mm Modulul d lsticitt st E, 5 MP S cr să s dtrmin săgt şi rotiril corspunător rticulţii () (Concursul d Ristnţ Mtrillor, Cluj-Npoc, 99) M q q c t t C t t ig 79 9

Cornl MRIN 75 S dă grind mtlică încstrtă în (), vând încărcr din figur 7, und m, qkn/m Br r scţiun din figur 7, und t mm Modulul d lsticitt st E, 5 MP S cr să s dtrmin săgţil şi rotiril scţiunii din cpătul lir l ri q Pq q t ig 7 t t C t t t t C t t t t t ig 7 ig 7 t t 7 S dă grind din oţl, cu scţiun constntă din figur 7 cu tmm, rmtă l cpt şi încărctă c în figur 7, und,5m şi pkn/m Modulul d lsticitt st E, 5 MP S cr să s dtrmin săgţil şi rotiril scţiunii () d l mijlocul ri p/ p p ig7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 77 S dă grind mtlică, cu scţiun constntă, rmtă în şi B, încărctă cu o forţă uniform distriuită q în pln vrticl şi o forţă concntrtă Pq în plnul oriontl trcând prin cntrul d încovoir-torsiun C, c în figur 7, und m şi q kn/m Br r scţiun din figur 7 und t mm Modulul d lsticitt st E, 5 MP S cr: să s trs digrml d forturi; să s vrific r pntru σ dmisiil MP; în scţiunil l mi solicitt s v trs nutră şi digrm tnsiunilor norml σ cu vlori; să s clcul dplsr totlă în punctul D (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, Târgu-Murş, mi 5) q B D Pq t t C t t t ig 7 t 78 S dă r BCD rticultă în şi lgtă în C cu un tirnt CE vrticl, vând scţiun din figur 7 şi încărcr c în figur 7 Grind BCD şi tirntul CE sunt din oţl S du: tirnt cm, m şi E, 5 MP S cr: să s dtrmin vlor q cp din condiţi c dplsr vrticlă în scţiun d întrgului nsmlu, să fi: δ cm să s clcul σ m din grindă şi din tirnt; să s rprint digrml d tnsiuni σ şi τ în scţiun C dr E, prciând vloril crctristic (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, Timişor, mi ) q B C q D q ig 7

Cornl MRIN 9 8 9 ig 7 ig 7 79 S dă r rmtă în şi B, vând scţiun trnsvrslă constntă din figur 7 şi încărcr din figur 7 S cr: considrând α; q5kn/m;,5m, să s vrific condiţi d ristnţă: σ m MP ; să s trs digrml d tnsiuni σ şi τ în scţiun dr ; c vlor trui să iă prmtrul α stfl încât rotir scţiunii B să fi nulă? M tcp Pntru scţiun d mi sus să s clcul rportul η în cr: M tcp M tcp rprintă momntul d torsiun liră l scţiunii ir tcp M rprintă momntul d torsiun liră l scţiunii în cul în cr un dintr suduri fisurt (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, prili, ) q αq C D B ig 7

8 METODE ENERGETICE PENTRU CLCULUL DEPLSĂRILOR

Cornl MRIN 8 Introducr orţl şi cupluril trior cr produc dformţii lstic supr uni r drpt fctuă un lucru mcnic cr s cumulă su formă d nrgi potnţilă d dformţi lstică Mtodl nrgtic s ă p principiul lucrului mcnic virtul şi minimului nrgii potnţil totl unui corp dformil cst sunt : Mtod RYLEIGH-RITZ Mtod MOHR- MXWELL Mtod CSTIGLINO Eprsiil nrgii potnţil d dformţi lstică în cul unor solicitări simpl l ri drpt sunt: pntru o solicitr d întindr-comprsiun, în funcţi d fortul N: N U d (8) E L ir în funcţi d tnsiuni, dformţii spcific şi dplsări cst sunt: du U dv E dv ; U E d σ ε ε (8) d V V L pntru o solicitr d încovoir pură după O în funcţi d fortul M i : M id U (8) EI L ir în funcţi d rotiri şi dplsări prsiil nrgii potnţil sunt: d ϕ d w U EI d ; U EI d d L L d (8) c pntru o solicitr d încovoir simplă l cr s ţin sm şi d fctul forfcării, prsi nrgii în funcţi d forturil M i şi T st : M id T U d (85) EI G L L f ir în funcţi d rotiri şi dplsări prsi nrgii potnţil dvin: dϕ dw U EI d Gf d d ϕ (8) d L L d pntru solicitr d torsiun în funcţi d fortul M t : M t U d (87) GI L p ir în funcţi d tnsiuni, dformţii spcific şi rotiri, prsiil nrgii potnţil sunt: dϕ U dv G dv GI p d τ γ γ (88) d V V L 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 8 Principiul lucrului mcnic virtul în cul corpurilor dformil În conformitt cu principiul lucrului mcnic virtul l forţlor trior şi intrior în cul corpurilor dformil, condiţi ncsră şi suficintă c un corp dformil să rămână în chiliru sttic su cţiun srcinilor trior şi forţlor intrior, st c lucrul mcnic virtul l forţlor trior să fi gl cu lucrul mcnic virtul l forţlor intrior pntru oric dplsări virtul comptiil cu lgăturil corpului: δ Lt δlint (88) în cr: δ L δu st lucrul mcnic virtul l forţlor trior, t i i δu i rprintă dplsăril virtul comptiil cu lgăturil corpului, δl int st lucrul mcnic virtul l forţlor intrior cst principiu pr să fi în contrdicţi cu principiul lucrului mcnic virtul din cul corpurilor ndformil (BERNOULLI) Dcă s considră corpul dformil formt dintr-un sistm d punct mtril lgt într l prin lmnt lstic, conform principiului lucrului mcnic virtul pntru corpuri ndformil condiţi ncsră şi suficintă c un solid ndformil să rămână în chiliru sttic su cţiun srcinilor trior şi forţlor intrior st c lucrul mcnic virtul l forţlor trior şi intrior c cţionă supr sistmului d punct mtril să fi nul: δ L δl t δlint (89) În cst c δl int st lucrul mcnic virtul l forţlor intrior cr cţionă supr sistmului ndformil d punctlor mtril şi cr sunt gl şi opus forţlor cr cţionă supr lmntlor lstic din primul c, conform principiului cţiunii şi rcţiunii În conscinţă st vlilă rlţi : δ L int δl int (8) Vriţi virtulă nrgii potnţil d dformţi lstică δu st glă cu lucrul mcnic virtul l forţlor intrior cu smn schimt (KIRKHO) : δ U δl δu δ (8) int L t 8 Principiul minimului nrgii potnţil totl S dfinşt nrgi potnţilă totlă unui corp dformil c fiind sum dintr nrgi potnţilă d dformţi lstică U şi potnţilul forţlor trior U p : Π U U p (8) C şi nrgi potnţilă d dformţi lstică, potnţilul forţlor trior U p rprintă lucrul mcnic l forţlor trior lut cu smn schimt, întrucât forţl trior cr cţionă supr corpului dformil îşi pird din cpcitt lor d fctu lucru mcnic tunci când punctul lor d plicţi s dplsă: U p L t (8) Dci nrgi potnţilă totlă unui corp lstic st difrnţ dintr nrgi potnţilă d dformţi lstică U şi lucrul mcnic l forţlor trior L t : Π U L t (8)

Cornl MRIN Conform rlţii (8) vriţi virtulă nrgii potnţil totl st nulă: δ Π δu δlt (85) Rlţi (85) rprintă prsi mtmtică principiului minimului nrgii potnţil totl : vriţi nrgii potnţil totl unui corp dformil st nulă l tingr chilirului sttic su nrgi potnţilă totlă unui corp dformil st minimă în cul chilirului sttic su cţiun forţlor trior şi rcţiunilor Rciproc st d smn dvărtă: dcă nrgi potnţilă totlă unui corp dformil st minimă su cţiun forţlor trior şi rcţiunilor, tunci s- tins str d chiliru sttic O ltă formulr chivlntă principiului minimului nrgii potnţil totl pntru o configurţi d chiliru stil st următor: dplsăril virtul cr stisfc condiţiil d chiliru sunt cl dplsări cinmtic dmisiil cr minimiă nrgi potnţilă totlă 8 Mtod RYLEIGH-RITZ Mtod RYLEIGH-RITZ proimă funcţi linii lstic uni r cu jutorul uni dvoltări în sri finită cu jutorul unui st d funcţii d proimr indpndnt ϕ i () cr stisfc condiţiil l limită gomtric şi cinmtic impus soluţii ct w() şi w (): w( ) n i ϕ (8) i i( ) în cr: i sunt coficinţii RITZ su coordontl gnrlit, cr s dtrmină din condiţi d minimir nrgii potnţil totl δπ Întrucât i sunt coordont gnrlit indpndnt, vriill nrgii potnţil totl Π, condiţi d minimum nrgii potnţil totl (85) δπ s n mi scri : δ Π Π Π i i δ i (87) i stfl pntru o ră supusă l încovoir după O su cţiun unor srcini trior q, P i şi N j prsi nrgii potnţil totl Π, în cul în cr s nglijă fctul forfcării, ţinând sm d rlţi (8) s scri stfl: Π L d w EI d d l q( ) w( ) d P w( ) N ϕ ( ) i i j j (88) în cr: d w U EI d L d st nrgi potnţilă d dformţi lstică, Lt q( ) w( ) d Pi w( i ) N j ϕ ( j ) st lucrul mcnic l srcinilor l trior cr cţionă supr ri 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 85 Mtod MOHR-MXWELL 85 Lucrul mcnic l forţlor trior pntru o ră drptă Solicitr d întindr su comprsiun S considră o ră drptă fită l un cpăt şi cţiontă l clăllt cu o forţă ilă d întindr cr crşt progrsiv până l vlor mimă P (fig8) Lucrul mcnic l forţi p dplsăril proprii s scri: Δl P P Δl Δl Δl P L du u du udu (89) Δl Δl P P Δl ig 8 O du Δ l u Solicitr d încovoir pură S considră o ră drptă sitută p două rm punctul rigid cţiontă l cpt d două momnt încovoitor M i cr crsc progrsiv d l ro l vlor mimă M i Lucrul mcnic l momntlor încovoitor M i p dplsr unghiulră propri Δϕ s scri: M iδϕ L (8) M i Δϕ M i ig 8 c Solicitr d torsiun Dcă l cpătul uni r drpt vând scţiun circulră su inlră fită l un cpăt, cţionă un momnt d torsiun M t cr crşt progrsiv d l ro l vlor mimă M t, lucrul mcnic l cstui momnt p dplsr unghiulră propri Δ ψ s scri : L, 5 M Δψ (8) 8 t

Cornl MRIN Δψ M t Dcă supr ri cţionă o srcină trioră (su un sistm d srcini) şi s plică o ltă srcină, indpndntă d prim, tunci prim srcină produc un lucru mcnic dtorită dformţiilor ri produs d c d- dou srcină cst s numşt lucru mcnic rciproc S dmit că dformţiil produs d c d- dou srcină u vloril: Δ l pntru solicitr d întindr-comprsiun, Δ ϕ solicitr d pntru încovoir şi Δ ψ solicitr d pntru răsucir Lucrul mcnic rciproc v v prsiil: L P Δl l întindr (8) L M Δϕ l încovoir (8) L M Δψ l răsucir (8) t ig 8 85 Torm lucrului mcnic rciproc (BETTI) S considră o ră drptă p două rm punctul rigid (fig8) supr cări s plică două stări d încărcr formt din cât o forţă trnsvrslă : forţ plictă în scţiun forţ plictă în scţiun B Lucrul mcnic totl produs d cl două stări d încărcr st indpndnt d ordin plicării clor două forţ S considră cl două succsiuni d forţ: forţ plictă în scţiun urmtă d forţ plictă în scţiun B (fig 8) Lucrul mcnic totl st: L L L L (85) în cr: L - lucrul mcnic produs d forţ p dplsăril proprii: L, 5 w ; (8) L - lucrul mcnic rciproc produs d forţ p dplsăril produs d forţ : L w ; (87) L - lucrul mcnic produs d forţ p dplsăril proprii: L, 5 wb ; (88) forţ plictă în scţiun B urmtă d forţ plictă în scţiun (fig 8) Lucrul mcnic totl în cst c st: L L L L (89) în cr: L, L u cşi smnificţi ; L - lucrul mcnic rciproc produs d forţ p dplsăril produs d forţ : L wb ; (8) 9

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii B w w w B B w ig 8 w B w B Est vidnt fptul că nrgi potnţilă nu dpind d succsiun plicării clor două forţ şi s pot scri: L L L L (8) Rlţi (8) st prsi mtmtică tormi lucrului mcnic rciproc (BETTI): dcă supr unui corp lstic s plică două stări succsiv d încărcr, lucrul mcnic fctut d forţl din prim str p dplsăril produs d c d- dou str d încărcr, st gl cu lucrul mcnic fctut d forţl din dou str p dplsăril produs d prim str d încărcr su lucrul mcnic rciproc nu dpind d ordin plicării srcinilor 85 Torm dplsărilor rciproc (MXWELL) În cul în cr cl două forţ ( ) şi ( ) corspunător clor două stări d încărcr din figur 8 sunt gl c intnsitt ( P) tunci torm lucrului mcnic rciproc dvin: L L w wb (8) dorc: lucrul mcnic rciproc pntru prim succsiun d încărcr st: L Pw (8) ir lucrul mcnic rciproc pntru dou succsiun d încărcr st: L PwB (8) Rlţi (8) st prsi mtmtică tormi dplsărilor rciproc (MXWELL): dplsr dintr-o scţiun uni r produsă o forţă c s plică într-o scţiun B st glă cu dplsr scţiunii B când cşi forţă s plică în scţiun, cl două dplsări s măsoră p dircţi forţi

Cornl MRIN 85 Mtod MOHR-MXWELL pntru solicitr d întindr comprsiun rlor drpt S considră o ră drptă d lungim L supusă l două stări succsiv d încărcr: prim st str rlă d încărcr ilă ri (fig85) ir c d- dou st o forţă ilă unitră f plictă în scţiun în cr s dorşt clculul dplsării (d mplu în cpătului ri, figur 85) Torm lucrului mcnic rciproc s scri: L L, în cr : L - lucrul mcnic l forţlor din prim str p dplsăril produs d c d- dou str d încărcr s scri: Nnd Nnd dl N Δ( d) L E (85) E L und Δ(d) st dformţi lmntului d su cţiun forţlor din dou str d nd încărcr: Δ ( d ) (8) E L - lucrul mcnic l forţlor din dou str p dplsăril produs d prim str s scri: L δ (87) prim str d încărcr dou str d încărcr H P P P h f δ N N n n d Δ(d) ig 85 d δ(d) S oţin rlţi pntru clculul dplsării scţiunii : Nn δ d (88) E Rlţi (88) st prsi mtmtică mtodi MOHR MXWELL pntru clculul dplsărilor l solicitr d întindr-comprsiun Pntru r din figur 85 forturil il N() şi n() pntru ficr tronson u următorl vlori: H P; n ; N P; N 5P; N P şi s oţin : Nn Nn Nn δ Nn P 9 d d d d E E E E E (89)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 855 Mtod MOHR-MXWELL pntru solicitr d încovoir pură simtrică rlor drpt În cul solicitării d încovoir pură uni r drpt cu scţiun simtrică, cl două stări d încărcr sunt: str rlă d încărcr ri (fig8); dou str d încărcr st: - pntru clculul săgţii w - o forţă unitră f plictă după O în scţiun (fig8) - pntru clculul rotirii ϕ - un momnt unitr m plict după O în scţiun (fig 8c) prim str d încărcr P q ϕ N M i dϕ M i w d dou str d încărcr pntru clculul săgţii f m' i dϕ d m' i c dou str d încărcr pntru clculul rotirii n m'' i dϕ m'' i d ig 8

Cornl MRIN Clculul săgţii Torm lucrului mcnic rciproc s scri în cst c : L L, în cr : L - lucrul mcnic l forţlor din prim str p dplsăril produs d dou str d încărcr s scri: m id M imid dl M i dϕ M L EI (8) EI mi d und: dϕ st rotir fţlor lmntului d su cţiun forţlor din dou EI str (fig8) L - lucrul mcnic l forţlor din dou str d încărcr p dplsăril produs d prim str s scri: L w (8) Eglând cl două prsii l lucrului mcnic rciproc corspunător clor două succsiuni plicării forţlor (8) şi (8) s oţin: w M imi d EI (8) Rlţi (8) rprintă rlţi MOHR MXWELL pntru clculul săgţilor l solicitr d încovoir pură simtrică Clculul rotirii Torm lucrului mcnic rciproc s scri în cst c : L L, în cr : L - lucrul mcnic l forţlor şi cuplurilor din prim str p dplsăril produs cuplul n din dou str d încărcr r prsi: m id M imid dl M i dϕ M L EI (8) EI und d ψ st rotir fţlor lmntului d su cţiun cuplului n din dou str: mi d dϕ (8) EI L - lucrul mcnic l cuplului n din dou str p dplsăril produs d prim str r prsi: L ϕ (85) Eglând cl două prsii l lucrului mcnic rciproc corspunător clor două succsiuni plicării cuplurilor (85) şi (87) s oţin: M imi d ϕ (8) EI Rlţi (8) rprintă rlţi MOHR MXWELL pntru clculul rotirilor l solicitr d încovoir pură

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 85 Mtod MOHR-MXWELL pntru solicitr d încovoir olică rlor drpt Rotiril spcific pntru l încovoir olică rlor drpt, vând l scţiunii trnsvrsl ri O şi O orcr şi forturi încovoitor după O, conform rlţiilor (77) u prsiil: dϕ I M i dϕ I M i ω ; ω d E( I I I ) d E( I I I ) (87) Pntru clculul săgţilor w şi v s plică forţ unitră în scţiun în cr s dorşt să s clcul săgt, tât după O cât şi după O, cl două stări d încărcr fiind indpndnt S oţin: Când forţ unitră s plică după dircţi O: L - lucrul mcnic l forţlor din prim str p dplsăril produs forţ unitră când cst s plică după O: I M imi I M imi d dl M i dϕ L (88) E I I I E I I I ( ) ( ) I mi und: dϕ E( I I I ) d st rotir fţlor lmntului d după O su cţiun forţi unitr (fig8) Înlocuind în rlţi L L s oţin dplsr după O: I δ w, δ ( ) M imi d (89) E I I I l Când forţ unitră s plică după dircţi O: L - lucrul mcnic l forţlor din prim str p dplsăril produs forţ unitră când s plică după O st: I M imi I M imi d dl M i dϕ L ( ) (85) E I I I l E( I I I ) Înlocuind în rlţi L L s oţin dplsr după O: I δ v, δ ( ) M imi d (85) E I I I l În cul încovoirii olic după O, rotiril spcific conform rlţiilor (79) u prsiil: I δ I δ w, v, δ ( ) ( ) M imi d (85) E I I I E I I I l Pntru cul gnrl l încovoirii spţil cu momnt după O şi O plicând principiul suprpunrii fctlor s oţin: I δ I δ I δ I δ w, v (85) E I I I E I I I ( ) ( ) l

Cornl MRIN plicţi 8 olosind mtod MOHR MXWELL să s dtrmin săgt şi rotir scţiunii () uni r cu scţiun simtrică sitută p două rm punctul rigid, încărctă cu o forţă P l jumătt distnţi într rm, c în figur 87 Br r lungim,5 şi rigiditt l încovoir constntă EI ϕ P w V / / V / ig 87 Clculul săgţii Pntru clcul săgt w folosind mtod MOHR MXWELL s considră pntru c d- dou str d încărcr o forţă unitră f c cţionă în scţiun după dircţi i O (fig88) Prim str d încărcr st str rlă (fig88) Considrând origin l cpătul ficărui troson d ră, prsiil momntului M i () corspunător primi stări d încărcr pntru ficr din cl tri tronson l ri sunt (fig 88): P M ; [, / ] P P M P ; [, / ] (85) M, / [ ] Eprsiil momntului m i corspunător cli d- dou stări pntru ficr din cl tri tronson l ri sunt (fig 88): m ; [, / ] m ; [, / ] (855) m ( ) ; [, / ] Înlocuind în rlţi (8) s oţin săgt: / / P P P w d d EI EI (85) 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii prim str d încărcr: str rlă ϕ P O P/ / / P/ / w dou str d încărcr pntru clculul săgţii w -/ / / / / c dou str d încărcr pntru clculul rotirii ϕ n / / / -/ / ig 88 Clculul rotirii Pntru clcul rotir ϕ folosind mtod MOHR MXWELL s considră pntru c d- dou str d încărcr un cuplu unitr n c cţionă în scţiun () după dircţi i O (fig88) Eprsiil momntului m sunt (fig 88c): m ; [, / ] m ; [, / ] (857) m ( ) ; [, / ] Înlocuind în (8) s oţin rotir: / / P P P ϕ d d EI EI (858) i

Cornl MRIN 857 ormul d intgrr VEREŞCEGHIN Pntru clculul intgrli M i m i d d l mtod MOHR MXWELL s folosşt formul d intgrr grfo-nlitică lui VEREŞCEGHIN uncţi m i () st totdun o funcţi liniră ir funcţi M i () st liniră su prolică în funcţi d srcinil trior (pntru srcini uniform distriuit st o funcţi d grdul l II-l ir pntru srcini distriuit linir st d grdul l III-l) În figur 89 st prnttă funcţi M i () ir în figur 89 funcţi liniră m i () S osrvă că un lmntul d ri corspunător uni fâşii d lăţim d din digrm M(), situt l distnţ d cpătul ri r prsi: d M i () d (859) Eprsi momntului din digrm m i () (fig 89) s pot scri: m i () tgα (8) Digrm M i () dm i ()d M() C C d B Digrm m i () α C C B ig 89 B olosind rlţiil (859) şi (8), intgrl M i m i d s pot scri: B B M i( )m i( )d tgα d tgα d tgα S c tgα (8) und : S st momntul sttic l digrmi M i () fţă d ordontlor: S c ; c c tgα rprintă vlor din digrm m i () corspunător lui C su scis cntrului d grutt l suprfţi digrmi M i () (fig 89); st ri su digrm M i () cuprinsă într şi B (fig 89) 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S oţin formul lui VEREŞCEGHIN pntru clculul intgrli: B M i( )m i ( )d c (8) ormull pntru clculul distnţi până l cntrul d grutt şi rii în cul unor suprfţ prticulr d digrm M i () sunt dt în tlul 8 Tlul 8 C h C h C C Prol d grdul II : M ( ) h Prol d grdul II : M ( ) C /; h C h h C C /; h/ h C C C /; h/ C /8; h/ Prol d grdul III : M ( ) h Prol d grdul III : C h h C M ( ) h C C C /5; h/ C /5; h/ 8

Cornl MRIN plicţi 8 olosind mtod MOHR-MXWELL şi formul lui VEREŞCEGHIN să s dtrmin săgt şi rotir scţiunii () pntru r cu scţiun simtrică sitută p două rm punctul rigid, încărctă cu o forţă P l jumătt distnţi într rm în figur 8 Br r rigiditt l încovoir EI constntă p totă lungim i P P/ / / P/ / Digrm M i () Digrm m i () P/ / / - / / P / / Digrm / / / / n / ig 8 Pntru clculul dplsării şi rotirii scţiunii () s plică formul lui VEREŞCEGHIN şi s oţin: P P P w EI EI (8) P P P ϕ EI EI S-u oţinut clşi vlori cu cl dtrmint ntrior prin intgrr dirctă 9

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 858 ormul / SIMPSON Pntru clculul intgrllor d form M i m i d, în cr m() M i () st o funcţi d grdul l III-l, s folosşt mtod cudrturii NEWTON COTES cu tri punct d diviiun, cunoscută şi su dnumir d formul / SIMPSON: und: B M i ( )m i( )d ( hk hk hk ) (8) B st lungim intrvlului d intgrr; h, h, h ordontl digrmi M i () corspunător lui,, B ; k, k, k ordontl digrmi m i () pntru,, B (fig8) Digrm M i () h h h B Digrm m() k k k B ig 8 plicţi 8 olosind mtod MOHR MXWELL şi formul lui VEREŞCEGHIN să s dtrmin săgt şi rotir scţiunii () pntru r cu scţiun simtrică din figur 8 sitută p două rm punctul rigid, încărctă cu o forţă P l jumătt distnţi într rm Br r rigiditt l încovoir EI constntă P P/ / / P/ / ig 8

Cornl MRIN P P/ / / P/ / Digrm M i () Digrm m i () P/ / / - / / P / / Digrm m i () / / / / n ig 8 plicând formul / SIMPSON s oţin clşi rultt cu cl dtrmint prin mtod intgrării dirct su formul lui VEREŞCEGHIN: P P P P EIw 8 8 8 8 P w EI P P P P EIϕ () 8 8 P ϕ EI / (85)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii plicţi 8 olosind mtod MOHR MXWELL să s dtrmin săgt w şi v scţiunii () pntru r d scţiun constntă nsimtrică, încărctă cu forţ P c în figur 8 L P w ig 8 v Momntl d inrţi il şi cntrifugl fţă d l O şi O c trc prin cntrul d grutt l scţiunii u fost clcult l plicţi 5: I 8, 5 ; I ; I (8) plicând rlţiil pntru clculul dplsărilor (89) şi (85) s oţin: I δ I δ w, v, δ M imid (87) E I I I E I I I ( ) ( ) Pntru clcul δ s construisc digrml M i şi m i din figur 85 şi s folosşt formul lui VEREŞCEGHIN: L PL δ L ( PL ) (88) Înlocuind în rlţiil (87) s oţin: PL PL w ; v (89) 75 E 75 E S osrvă din rlţiil (89) că ml săgţi sunt poitiv l

Cornl MRIN P -PL L Digrm M i () - -L L Digrm m i () - L c Digrm m i () L ig 85

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 8 Mtod CSTIGLINO 8 Prim tormă lui CSTIGLINO Conform principiului lucrului mcnic virtul, vriţi nrgii potnţil d dformţi lstică unui corp dformil st glă cu lucrul mcnic virtul l forţlor trior, cărui prsi s scri: n δ U δl P δu (87) t S pot prim vriţi nrgii potnţil d dformţi lstică U în funcţi d dplsăril virtul δui su form: n U δ U i δui (87) ui Prin idntificr clor două rlţii (87) şi (87) s oţin : U Pi (87) u i S- oţinut prim tormă lui CSTIGLINO: o forţă trioră P i c cţionă supr unui corp dformil st glă cu drivt prţilă nrgii potnţil d dformţi lstică corpului în rport cu dplsr virtulă u i, cstă dplsr fiind măsurtă p dircţi forţi P i 8 dou tormă lui CSTIGLINO dou tormă lui CSTIGLINO prmit clculul dplsărilor linir şi/su unghiulr su cţiun forţlor su cuplurilor trior plict S considră un sistm d forţ indpndnt P, P, P n cr cţionă supr corpului dformil (fig87) cst fctuă un lucru mcnic cr s cumulă su formă d nrgi potnţilă d dformţi lstică U i i i dp i P i δu i i i u i P n P P ig 87

Cornl MRIN Dcă s plică poi o forţă lmntră δp i p dircţi forţi P i cr cţionă în punctul i, nrgi potnţilă d dformţi lstică totlă cumultă d corp su cţiun clor două stări d încărcr dvin : U U δu U δpi (87) Pi Cl două sistm d forţ trior cţionă în ordin invrsă: mi întâi s plică forţ lmntră δp i poi sistmul d forţ P, P, P n şi s notă: δu i - dplsr punctului i su cţiun forţi δp i, p dircţi forţi P i ; u i - dplsr punctului i su cţiun sistmului d forţ P, P, P n măsurtă p dircţi forţi P i Enrgi potnţilă d dformţi lstică totlă cumultă în cst c v fi: în cr: ( ) L δp i U δ U U L ( δp ) L ( δp ) (87) st lucrul mcnic fctut d forţ δp i p dplsr propri δu i : δpi L ( δpi ) δui (875) L ( δp i ), lucrul mcnic fctut d forţ δp i p dplsr u i : L ( δ Pi ) δpi ui (87) Înlocuind în prsi (87) s oţin nrgi potnţilă d dformţi lstică totlă în cst c: U δ U U δpi δui δpi ui (877) Întrucât nrgi potnţilă d dformţi lstică totlă nu dpind d succsiun plicării clor două stări d încărcr, st vlilă glitt: U U δ Pi U δpi δui δpu i i (878) Pi Dcă s nglijă în rlţi (878) infinitul d ordinul doi ( δ Pδ ) s oţin: U ui (879) Pi C d- dou tormă lui CSTIGLINO r nunţul: dplsr liniră u i p dircţi uni forţ trior P i st glă cu drivt prţilă nrgii potnţil lstic corpului în rport cu forţ P i Dcă în locul forţi P i cţionă un momnt M k s oţin dplsr unghiulră ϕ k plnului în cr cţionă cuplul M k : U ϕ k (88) M k Dcă însă în punctul în cr s cr dplsr nu cţionă nici o forţă, tunci s introduc în punctul rspctiv, p dircţi dplsării o forţă fictivă P cu jutorul cări s s dtrmină drivt prţilă nrgii potnţil d dformţi: U u (88) P i i i ui 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii plicţi 85 olosind dou tormă lui CSTIGLINO să s dtrmin săgt şi rotir scţiunii d cpăt () pntru r d scţiun constntă încărctă cu forţ P c în figur 88 P P P/-P / / / P/P / / P M P/M / / / P/-M / / ig 88 Eprsi nrgii d dformţi pntru forturil d încovoir s scri: U L i M d EI (88) Pntru clcul săgt şi rotir s introduc în scţiun () o forţă fictivă P (fig 88) şi rspctiv un cuplu fictiv M (fig 88) S oţin : U M i M i w d; P (88) P EI l U M i M i ϕ d (88) M M EI l M i P Pntru clcul drivtl prţil s scriu prsiil momntului M i (P ) pntru cl tri tronson în primul c d încărcr: P P P P M ; M P; (885) P P P P M ( ) P Drivtl prţil corspunător sunt:

Cornl MRIN M M M ; ; ( ) P P P (88) Eprsiil lui M() s oţin înlocuind în rlţiil (885) P : P P P M ; M P ; M (887) Înlocuind în rlţi (88) s dtrmină săgt : / / P P P w d EI EI (888) M Pntru clcul drivtl prţil i M s scriu prsiil momntului M i (M ) pntru cl tri tronson în l doil c d încărcr: P M P M M ; M P; M (889) Drivtl prţil corspunător sunt: M M M ; ; M M M (89) Eprsiil lui M() s oţin înlocuind în rlţi (889) M : P P M ; M P; M (89) Înlocuind în rlţi (88) s dtrmină rotir : / / P P ϕ d P d EI (89) EI 87 Prolm propus 87 S dă grind din oţl, cu scţiun constntă din figur 8 cu tmm, rmtă l cpt şi încărctă c în figur 8, und,5m şi qkn/m Modulul d lsticitt st E, MP olosind mtod MOHR MXWELL să s dtrmin săgt şi rotir scţiunii situt l mijlocul ri q t q ig 8 C t t t t t t 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 87 S dă grind mtlică încstrtă, vând încărcr din figur 87, und m, qkn/m Br r scţiun din figur 87, und t mm Modulul d lsticitt st E, MP olosind mtod MOHR MXWELL să s dtrmin săgţil şi rotiril scţiunii din cpătul lir l ri q t t C t t t ig 87 87 S dă grind mtlică rticultă în (), vând încărcr şi rmr din figur 88, und m ; c,5m ; qkn/m şi M knm Br r scţiun din figur 88, und t mm Modulul d lsticitt st E, MP olosind mtod MOHR MXWELL să s dtrmin săgt şi rotiril corspunător rticulţii () t t q M M c t C t ig88 t t 8

Cornl MRIN 87 S dă grind mtlică încstrtă, vând încărcr din figur 89, und m, qkn/m Br r scţiun din figur 89, und t mm Modulul d lsticitt st E, MP olosind mtod MOHR MXWELL să s dtrmin săgţil şi rotiril scţiunii din cpătul lir l ri q q t t t t ig 89 t C t 875 S dă grind mtlică rticultă în (), vând încărcr şi rmr din figur 8, und m ; c,5m ; qkn/m şi PkN Br r scţiun din figur 8, und t mm Modulul d lsticitt st E, MP olosind mtod MOHR MXWELL să s dtrmin săgt şi rotiril corspunător rticulţii () P q P c t C t t t ig8 9

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 87 S dă grind mtlică, cu scţiun constntă, rmtă în şi B, încărctă cu o forţă uniform distriuită q în pln vrticl şi o forţă concntrtă Pq în plnul oriontl trcând prin cntrul d încovoir-torsiun C, c în figur 8, und m şi q kn/m Br r scţiun din figur 5 und t mm Modulul d lsticitt st E, 5 MP S cr: să s trs digrml d forturi; vrificr ri pntru σ dmisiil MP; în scţiunil l mi solicitt s v trs nutră şi digrm tnsiunilor norml σ cu vlori; dplsr totlă în punctul D (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, Târgu-Murş, mi 5) B D q ig8 t q t M t t t ig8 ig8 t 877 S dă grind rmtă şi încărctă c în figur 8, und,m şi q kn/m, cu scţiun trnsvrslă din figur 8 Modulul d lsticitt st E, 5 MP şi tnsiun dmisiilă mtrilului σ MP S cr: digrml d forturi; vrificr l tnsiun normlă σ m cu trsr digrmi; vrificr l tnsiun d forfcr τ m cu trsr digrmi; tnsiuni şi dircţii principl în punctul M l scţiunii B stg ; 5 dplsr punctului D (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor, UTCB, )

Cornl MRIN q q q D E B C ig8 878 Pntru r cotită rmtă şi încărctă c în figur 8, und m şi p kn/m, cu scţiun trnsvrslă lcătuită din pltnd sudt c în figur 8, s cr: să s trs digrml d forturi T, M i, N; să s vrific scţiun priculosă ri şi să s trs digrm tnsiunii σ în cstă scţiun (tnsiun dmisiilă mtrilului: σ 8 MP); să s clcul tnsiun tngnţilă mimă τ m ; să s clcul tnsiunil şi dircţii principl în punctul L l scţiunii dr ; să s clcul dplsr p vrticlă scţiunii D Modulul d lsticitt st E, 5 MP (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor, UTCB, ) C 8p p 8p E p D B p L ig8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 879 Pntru grind BCDE, cu scţiun simtrică lăturtă, încărctă cu o forţă uniform distriuită q kn/m şi o forţă concntrtă Pq, c în figur 8, und m şi E, 5 MP, s cr: vrificr grinii în scţiun c mi solicittă şi digrm σ (σ dm MP); să s trs digrml tnsiunilor tngnţil τ în scţiun D st ; c tnsiunil principl σ I,II şi dircţiil principl α I,II în punctul L l scţiunii D st ; d să s clcul dplsr p vrticlă scţiunii d cpăt E (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, UTCB, mi ) Pq q B C D E 5 8 5 8 5 L ig 8

9 BRE CURBE CU X CIRCULRĂ

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 9 Introducr Brl cur cu gomtrică circulră sunt un c prticulr l rlor cur pln vând un rc d crc d ră R cst r pot fi supus l cl ptru tipuri d solicitări: il, tăitor, încovoitor şi torsionl stfl, în figur 9 st prnttă o ră cură cu circulră supusă l solicitări il, tăitor şi încovoitor su cţiun uni forţ vrticl concntrt P şi uni srcini uniform distriuit vrticl p, ml cuprins în plnul ri În figur 9 st prnttă o ră cură cu circulră supusă l solicitări încovoitor, tăitor şi torsionl su cţiun uni forţ vrticl concntrt P şi uni srcini uniform distriuit vrticl p, ml fiind prpndiculr p plnul ri p P O B p P B ig 9 În funcţi d tipul srcinilor trior şi dircţi lor d cţiun s studiă: r cur încărct cu srcini uniform distriuit (rdil, tngnţil, vrticl şi oriontl) şi srcini concntrt cuprins în plnul i ri; r cur încărct cu srcini uniform distriuit şi srcini concntrt prpndiculr p plnul ri 9 Br cur încărct cu srcini rdil uniform distriuit în plnul lor S considră r cură cu gomtrică circulră, liră l cpătul din stâng şi încstrtă în cl din drpt, încărctă cu srcini rdil uniform distriuit p cuprins în plnul ri, c în figur 9 Pntru dduc prsiil forturilor scţionl il N şi tăitor T s proictă forţ lmntră dpds după cl două dircţii: normlă On rspctiv 5

Cornl MRIN tngnţilă tt şi s intgră p lungim rcului d crc vând unghiul l cntru θ Pntru dduc prsi fortului încovoitor M i s clculă momntul forţi lmntr dpds în rport cu normlă On şi s intgră p lungim rcului d crc (fig9) Ţinând sm d rgul smnlor forturilor scţionl d l rl drpt, s oţin prsiil nlitic: N( θ ) T( θ ) θ M( θ ) ( prdα ) sin( θ α) pr( cosθ ) θ ( prdα ) cos( θ α) θ prsinθ ; ( prdα ) Rsin( θ α) pr ( cosθ ) ; (9) n θ -α p t' θ/ n p t' d t α dα θ O R M i T N t θ θ/ O R ig 9 clşi prsii s oţin pntru forturil il, tăitor şi încovoitor, proictând forţ chivlntă corspunător srcinii uniform distriuită p rcul d unghi θ, vând dircţi isctori rcului d crc şi punctul d plicţi în cntrul crcului (fig 9) orţ chivlntă r prsi: θ θ θ p cos α ds pr sin (9) Dcă s proictă forţ chivlntă după cl două dircţii: normlă On rspctiv tngnţilă tt dus în punctul d p ri corspunător scţiunii

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii curnt şi s clculă momntul forţi chivlntă în rport fţă d normlă On s oţin prsiil nlitic : θ N sin pr( cosθ ); θ T cos pr sinθ; (9) θ M i R sin pr ( cosθ ) Într forturil scţionl N, T şi M i şi srcinil trior p s pot scri numit rlţii difrnţil i lmntul d lungim dsrdθ corspunător unghiului θ p fţl cărui cţionă forturil il N, NdN, tăitor T, TdT şi încovoitor M i, M i dm i, c în figur 9 p Qpds M i M i dm i dθ/ NdN dθ/ N T R TdT dθ/ dθ/ θ ig 9 Scriind cuţiil d chiliru într srcinil trior şi forturil corspunător clor două fţ l lmntului s oţin cuţiil: dθ dθ : ( N N dn )cos (T T dt )sin (9) dθ dθ : ( N N dn )sin ( T T dt )cos pds dθ dθ MO : (T T dt)rsin ( N N dn)r cos dmi O 7

Cornl MRIN Pntru unghiuri fort mici s pot fc următorl proimări: dθ dθ dθ dθ sin ; cos ; (95) şi rlţiil (9) dvin: dn Tdθ ; Ndθ dt qds ; dmi Tds (9) Rlţiil difrnţil (9) dintr forturil scţionl şi forţl trior s mi pot scri su form: dn dt dm T ; N pr; TR dθ dθ dθ (97) su dcă s înlocuişt ds Rdθ s oţin rlţiil: dn T dt N dm ; p; T ds R ds R ds (98) Osrvţii Rlţiil (97) stu l construcţii digrmlor d forturi scţionl pntru rl cur în mod similr c l rl drpt: cst digrm s construisc în coordont polr d o prt şi d lt i gomtric ri rspctând clşi rguli l smnlor c în cul rlor drpt: N şi T poitiv în triorul i ri, ir M i poitiv spr intriorul i ri În drptul srcinilor concntrt s dtrmină limitl l stâng şi l drpt scţiunii ; Din rlţiil difrnţil (97) rultă că vloril trm locl l forturilor N şi M s oţin pntru T, ir vloril trm locl l forturilor T s oţin pntru q şi N ; Pntru R rlţiil (98) dvin rlţiil difrnţil l ri drpt într forturil scţionl şi srcinil trior plicţi 9 Să s dtrmin rcţiunil şi prsiil forturilor N, T şi M i pntru r cură vând un smicrc d ră R, încărctă cu srcin rdilă uniform distriuită p, fiind lgtă l mdiul fi prin rticulţi şi rmul B, c în figur 9 p dprdα p dα B O R ig 9 α R O H V B V 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Rolvr plicând iom lgăturilor s introduc rcţiunil V B, H şi V în rmul B şi rticulţi (fig95) şi s scriu cuţiil d chiliru: : : H V V ( prdα ) ( prdα ) M : VB R ( prdα ) π B π π cosα sinα R sinα (99) Efctuând clcull în rlţiil (99) s oţin : H ; V VB pr (9) Eprsiil forturilor scţionl s oţin prin suprpunr fctului srcinii uniform distriuit conform rlţiilor (9) şi fctului srcinii concntrt V B : N( θ ) VB cosθ pr( cosθ ) pr T( θ ) V sinθ prsinθ (9) B ( cosθ ) pr ( cosθ ) M( θ ) VB Din prsiil (9) s osrvă o propritt fort importntă pntru cst c d încărcr: forturil tăitor şi încovoitor sunt nul p totă lungim ri, fiind supusă l comprsiun în oric scţiun s, fortul il fiind constnt plicţi 9 Să s dducă prsiil forturilor N, T şi M i pntru r cură vând un crc d ră R, încărctă cu srcin rdilă uniform distriuită p, c în figur 95 şi să s dtrmin dformţi rdilă ΔR su cţiun csti srcini p p C O R M X V pr pr O B M B X V B pr ig 95 9

Cornl MRIN Rolvr Sistmul st sttic ndtrmint simtric, încărct simtric Pntru stfl d sistm forturil ntisimtric (tăitor) sunt nul în plnul d simtri Sistmul d ă s oţin prin scţionr cdrului şi introducr forturilor sttic ndtrmint în rmul şi rticulţi B (fig95) Dtorită simtrii ri smicirculr cl două forturi sttic ndtrmint (il N şi încovoitor M i ) sunt gl în cl două scţiuni, prin urmr şi rcţiunil corspunător V şi V B sunt gl, ir din cuţi d chiliru forţlor p dircţi vrticlă s oţin : V VB pr (9) Rotiril scţiunilor şi B sunt dtort dformţiilor produs d forturil il şi încovoitor S nglijă dformţiil dtort forturilor tăitor Mtod forturilor r l ă un st d cuţii cnonic cr primă fptul că dplsăril/rotiril din sistmul d ă trui să fi idntic cu dplsăril/rotiril din sistmul rl Rotir din sistmul d ă s scri în cst c prin suprpunr fctului srcinii trior p şi fctului fortului sttic ndtrmint X : δ δ X δ (9) în cr: δ st dplsr în sistmul d ă dtorită srcinii p ; δ st dplsr în sistmul d ă dtorită unui cuplu unitr m π π M m Nn δ i i Rdθ Rdθ EI E (9) π π m n δ i Rdθ Rdθ EI E Momntul încovoitor şi fortul il din rlţiil (9) u prsiil : M i ( θ) (95) N( θ) pr ir momntul încovoitor şi fortul il m i şi n corspunător cuplului unitr m u prsiil: m i ( θ) (9) n( θ) Înlocuind în prsiil (9) s oţin : πr δ ; δ (97) EI S oţin fortul sttic ndtrmint : X (98) S osrvă şi în cst c propritt d l prolm ntrioră : forturil tăitor şi încovoitor sunt nul p totă lungim ri, fiind supusă l comprsiun în oric scţiun s, fortul il fiind constnt Pntru dtrmin dformţi rdilă ri s considră în sistmul d ă o forţă unitră p dircţi rdilă f c în figur 9 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii f B h B- Dplsr p dircţi forţi unitr oriontl s scri: π Nn δh Rdθ (99) E în cr prsiil forturilor il sunt : N( θ) pr (9) n( θ) sinθ Înlocuind în rlţi (99) s oţin : π pr pr δh sin θdθ (9) E E Dformţi rdilă ri st : pr Δ R δh (9) E 9 Br cur încărct cu srcini vrticl uniform distriuit în plnul lor Pntru dduc prsiil forturilor scţionl il N şi tăitor T s proictă forţ lmntră dp ds după cl două dircţii : normlă On rspctiv tngnţilă tt şi s intgră p lungim rcului d crc vând unghiul l cntru θ ir pntru dduc prsi fortului încovoitor M i s clculă momntul forţi lmntr dpds în rport cu normlă On şi s intgră p lungim rcului d crc (fig97) Dcă s ţin sm d rgul smnlor forturilor scţionl stilită pntru rl drpt, s oţin prsiil : N( θ ) T( θ ) θ M( θ ) ( prdα ) θ ( prdα ) θ cosθ prθ cosθ ; sinθ prθ sinθ ; ( prdα )( Rcosα Rcosθ ) pr ( θ cosθ sinθ ) O ig 9 (9) 5

Cornl MRIN 9 -θ n t' p 9 -θ n t' p t dα θ α d O R t M i N C θ/ T θ O R ig 97 clşi prsii s oţin pntru forturil il, tăitor şi încovoitor proictând forţ chivlntă corspunător srcinii uniform distriuită p rcul d unghiθ, vând dircţi vrticlă şi punctul d plicţi în cntrul C d grutt l R θ rcului d crc flt p isctor l distnţ: OC θ sin (fig97) orţ chivlntă r prsi: θ pds prθ (9) Dcă s proictă forţ chivlntă după cl două dircţii: normlă On rspctiv tngnţilă tt dus în punctul d p ri corspunător scţiunii curnt şi s clculă momntul forţi chivlntă în rport fţă d normlă On s oţin : N sin( 9 θ) prθ cos θ; T cos( 9 θ) prθ sinθ; (95) R θ θ Mi R cos θ sin cos pr ( θ cos θ sin θ); θ 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii plicţi 9 Să s dtrmin rcţiunil şi prsiil forturilor N, T şi M i pntru r cură cu circulră d ră R încărctă cu srcin vrticlă uniform distriuită p şi lgtă l mdiul fi prin rticulţi şi rmul B, c în figur 99 plicând iom lgăturilor s introduc rcţiunil V B, H şi V în locul rmului B şi l rticulţii (fig98) S introduc în cntrul forţlor prll C forţ chivlntă: π prdα πpr (9) Pntru clcul cst rcţiuni s scriu cuţiil d chiliru l forţlor trior şi d lgătură: : H : M : V V B V B R R (97) Efctuând clcull s oţin : π H ; V VB pr (98) p πpr C B O R ig 98 R O H V B V Eprsiil forturilor scţionl s scriu prin suprpunr fctlor pntru srcin distriuită conform rlţiilor (9) şi pntru srcin concntrtă V B : π N( θ ) VB cosθ prθ cosθ pr θ cosθ π T( θ ) VB sinθ prθ sinθ pr θ sinθ (99) π π ( ) ( ) θ θ M( ) V cos pr θ cosθ sinθ B pr θ cosθ sinθ 5

Cornl MRIN Din prsiil (99) s osrvă că în scţiun corspunător plnului d simtri forturil il şi tăitor sunt nul ir momntul încovoitor st mim: N( π / ) T ( π / ) ; π (9) M ( π / ) pr 9 Br cur încărct cu srcini oriontl uniform distriuit în plnul lor S considră r cură vând gomtrică circulră liră l cpătul din stâng şi încstrtă în cl din drpt, încărctă cu srcini oriontl uniform distriuit p cuprins în plnul ri, c în figur 99 Pntru dduc prsiil forturilor scţionl il N şi tăitor T s proictă forţ lmntră dpds după două dircţii : normlă On rspctiv tngnţilă tt şi s intgră p lungim rcului d crc vând unghiul l cntru θ, ir pntru dduc prsi fortului încovoitor M i s clculă momntul forţi lmntr dpds în rport cu normlă On şi s intgră p lungim rcului d crc (fig99) Ţinând sm d rgul smnlor forturilor scţionl d l rl drpt, s oţin prsiil : N( θ ) T( θ ) θ M( θ ) ( prdα ) θ ( prdα ) θ sinθ prθ sinθ ; cosθ prθ cosθ ; ( )( ) prdα R sinθ R sinα pr ( θ sinθ cosθ ) (9) t d θ n dα α θ t' O p R t θ n M i N C θ/ T θ t' O R p ig 99 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii clşi prsii s oţin pntru forturil il, tăitor şi încovoitor, proictând forţ chivlntă corspunător srcinii uniform distriuită p rcul d unghiθ, vând dircţi oriontlă şi punctul d plicţi în cntrul C d grutt l R θ rcului d crc flt p isctor l distnţ: OC θ sin (fig99) orţ chivlntă r prsi: θ pds prθ (9) Dcă s proictă forţ chivlntă după cl două dircţii: normlă On rspctiv tngnţilă tt dus în punctul d p ri corspunător scţiunii curnt şi s clculă momntul forţi chivlnt în rport fţă d normlă On s oţin : N sinθ prθ sinθ ; T cosθ prθ cosθ ; R M Rsin θ θ i θ sin sin pr ( cos sin ); θ θ θ θ (9) plicţi 9 Să s dtrmin rcţiunil şi prsiil forturilor N, T şi M i pntru r cură smicirculră d ră R încărctă cu srcin vrticlă uniform distriuită p şi lgtă l mdiul fi prin rticulţi şi rmul B, c în figur 9 p R πpr C B O V O H B V R ig 9 S introduc forţ chivlntă în cntrul forţlor prll C: π prdα πpr ; OC R (9) π plicând iom lgăturilor s introduc rcţiunil V B, H şi V în rmul B şi rticulţi (fig9) şi s scriu cuţiil d chiliru: 55

: : H V Cornl MRIN V B (95) R M : VB R π Efctuând clcull în rlţiil (95) s oţin : H π pr; VB pr; V pr (9) Eprsiil forturilor scţionl s scriu prin suprpunr fctlor pntru srcin distriuită conform rlţiilor (9) şi pntru srcin concntrtă V B : N( θ ) V B cosθ prθ sinθ pr( cosθ θ sinθ ) T( θ ) V sinθ prθ cosθ pr sinθ θ cosθ (97) B ( ) ( cosθ ) pr ( cosθ θ sinθ ) pr sinθ M( θ ) VB S osrvă că fortul încovoitor st mim în plnul d simtri: π M pr (98) 95 Br cur încărct cu srcini tngnţil uniform distriuit în plnul lor S considră r cură vând gomtrică circulră liră l cpătul din stâng şi încstrtă în cl din drpt, încărctă cu srcini tngnţil uniform distriuit p cuprins în plnul ri, c în figur 9 Pntru dduc prsiil forturilor scţionl il N şi tăitor T s proictă forţ lmntră dpds după cl două dircţii : normlă On rspctiv tngnţilă tt şi s intgră p lungim rcului d crc vând unghiul l cntru θ ir pntru dduc prsi fortului încovoitor M i s clculă momntul forţi lmntr dpds în rport cu normlă On şi s intgră p lungim rcului d crc (fig9) d dα θ α θ-α p R O ig 9 d α dα R O α M O p R 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Dcă s ţin sm d rgul smnlor forturilor scţionl stilită pntru rl drpt, s oţin prsiil : N( θ ) T( θ ) θ θ M( θ ) ( prdα ) cos( θ α) prsinθ ; ( prdα ) sin( θ α) pr( cosθ ) θ ( prdα )( R Rcos( θ α) ) pr ( θ sinθ ) ; (99) Prin rducr srcinilor uniform distriuit p lungim rcului d crc d unghi θ în cntrul crcului O s oţin torsorul d rducr (fig9): R ( θ ) R ( θ ) M O θ ( θ ) ( prdα ) sinα pr( cosθ ) θ ( prdα ) θ ( prdα ) cosα prsinθ ; R pr θ ; (9) Cu jutorul torsorului d rducr vând componntl (9) s dtrmină rcţiunil, poi cu jutorul prsiilor forturilor (99) prin suprpunr fctlor s scriu prsiil forturilor pntru ficr c prticulr d solicitr plicţi 95 Să s dtrmin rcţiunil şi să s dducă prsiil forturilor N, T şi M i pntru r cură cu circulră d ră R încărctă cu srcin tngnţilă uniform distriuită p şi lgtă l mdiul fi prin rticulţi şi rmul B, c în figur 9 p p B R O ig 9 α R R O H V B V M O 57

Cornl MRIN plicând iom lgăturilor, s introduc rcţiunil V B, H şi V în rmul B şi rticulţi (fig9) şi s scriu cuţiil d chiliru dintr lmntl torsorului forţlor trior şi rcţiuni: : H R : M : V V V B B R R V R M O în cr lmntl torsorului srcinii uniform distriuit r prsi : R pr cosπ pr R ( ) prsinπ (9) (9) MO πpr Introducând în cuţiil (9) s oţin rcţiunil : π π H pr; VB pr; V pr (9) Eprsiil forturilor scţionl s scriu prin suprpunr fctului srcinii tngnţil uniform distriuită conform rlţiilor (99) şi fctului srcinii V B : π N( θ ) V B cosθ prsinθ pr cosθ sinθ π T( θ ) VB sinθ pr( cosθ ) pr sinθ cosθ (9) π π M( θ ) VB ( cosθ ) pr ( θ sinθ ) pr cosθ θ sinθ 9 Br cur încărct cu srcini vrticl uniform distriuit prpndiculr p plnul lor S considră r cură vând gomtrică circulră încărctă cu srcini uniform distriuit vrticl prpndiculr p plnul ri, liră l cpătul din stâng şi încstrtă în cl din drpt, c în figur 9 p t' n n p t' M i t α d dα θ O R t C M t θ/ T θ O R 58 ig 9

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Pntru dduc prsiil forturilor încovoitor M i şi d torsiun M t s clculă momntul forţi lmntr dpds în rport cu normlă On rspctiv în rport cu tngnţilă tt şi s intgră p lungim rcului d crc (fig9) Dcă s ţin sm d rgul smnlor forturilor scţionl stilită pntru rl drpt, s oţin prsiil : θ T( θ ) M ( θ ) ( prdα ) θ prθ ; ( prdα ) Rsin( θ α) pr ( cosθ ) M i ( θ ) ; (95) i θ ( prdα ) R[ cos( θ α) ] pr ( θ sinθ ) Snsul poitiv l forturilor scţionl st opus snsului lor d coordont O conform rgulii urghiului drpt (fig 9) şi st vlil şi pntru cl două dircţii normlă şi tngnţilă l scţiunii curnt clşi prsii s oţin pntru forturil încovoitor şi torsionl proictând forţ chivlntă corspunător srcinii uniform distriuită p rcul d unghi θ vând dircţi vrticlă şi punctul d plicţi în cntrul C d grutt l rcului d crc R θ flt p isctor l distnţ: OC θ sin (fig9) orţ chivlntă r prsi: θ pds prθ (9) Dcă s proictă forţ chivlntă după cl două dircţii: normlă On rspctiv tngnţilă tt dus în punctul d p ri corspunător scţiunii curnt şi s clculă momntul forţi chivlnt în rport fţă d normlă On s oţin clşi prsii l forturilor : T prθ ; R θ θ M i sin sin pr θ M t ( cosθ ) R θ θ R sin cos pr ( θ sinθ ) θ ; (97) 59

Cornl MRIN plicţi 9 Să s dtrmin rcţiunil şi prsiil forturilor T, M i şi M t pntru r cură cu circulră d ră R şi scţiun circulră d dimtru d, încărctă cu srcin uniform distriuită vrticlă p prpndiculră p plnul i, lgtă l mdiul fi prin încstrr şi rmul simplu B, c în figur 9 p p B θ R C R O V B O ig 9 M M V plicând iom lgăturilor s introduc rcţiunil V B, V, M şi M în locul rmului B şi l încstrării Rcţiunil M, M şi V u sns opus snsului lor O, O şi rspctiv O (fig9) Ecuţiil d chiliru l forţlor trior şi d lgătură s scriu: : V V B M : M VB R R (98) π M : M V R R B π π în cr forţ chivlntă r prsi : pr (99) S osrvă din rlţiil (98) că numărul ncunoscutlor st mi mr dcât numărul d cuţii indpndnt, dci sistmul st sttic ndtrmint şi s rolvă prin mtod forturilor S lg sistmul d ă sistmul sttic dtrmint oţinut prin liminr rmului B şi introducr ncunoscuti sttic ndtrmint X c în figur 95 Mtod forturilor r l ă un st d cuţii cnonic cr primă fptul că dplsăril din sistmul d ă trui să fi idntic cu dplsăril din sistmul rl Dplsr p dircţi vrticlă scţiunii B din sistmul d ă st dtortă în principl dformţilor produs d forturil d încovoir şi răsucir S nglijă dformţiil dtort forturilor tăitor

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii cstă dplsr trui să fi idntică cu c din sistmul rl, dică nulă şi s scri prin suprpunr fctului srcinii trior p şi fctului fortului sttic ndtrmint X : δ δ X δ (95) în cr: δ st dplsr în sistmul d ă dtorită srcinii p (fig95) ; δ st dplsr în sistmul d ă dtorită uni forţ unitr f (fig9) ; δ δ π / π / M imi Rdα EI mi Rdα EI π / π / mt GI M tmt Rdα GI p p Rdα (95) p X θ R O f θ R O ig 95 ig 9 Momntl încovoitor şi d răsucir din rlţiil (95) u prsiil : ( θ ) pr ( cosθ ) ( θ ) pr ( θ sinθ ) M i (95) M t ir momntl încovoitor m i, m t corspunător srcinii f u prsiil: mi ( θ ) R sinθ (95) mt ( θ ) R( cosθ ) Înlocuind în rlţiil (95) şi ţinând sm că pntru o scţiun circulră vm rlţi: GI p EI (95), s oţin: δ δ π / π / M imi Rdθ EI mi Rdθ EI π / π / M tmt pr Rdθ 7, GI EI p (955) mt R Rdθ 5, GI p EI

Cornl MRIN Înlocuind în rlţi (95) rultă ncunoscut sttic ndtrmintă : X, 55 pr (95) Ţinând sm că: V B X, 55 pr, din rlţiil (98) rultă rcţiunil: V V 77, pr B M VB R R, 55 pr (957) π M VB R R 77, pr π Eprsiil nlitic l forturilor scţionl s scriu prin suprpunr fctului srcinii uniform distriuit p şi srcinii V B : T V prθ 55, θ pr; M V Rsin i M V R t B B B ( ) θ pr ( cosθ ) pr ( 55, sinθ cosθ ) ; ( cosθ ) pr ( θ sinθ ) pr ( 55, 55, cosθ θ sinθ ) (958) Vloril forturilor tăitor, încovoitor şi torsionl în scţiun d cpăt s π oţin din rlţiil (958) în cr θ : T 55, θ pr 77, pr M M i t ( ) pr ( 55, sinθ cosθ ), 55pR ( ) pr 55, 55, cosθ θ sinθ 77, pr (959) Din rlţiil (959) s osrvă că forturil din încstrr sunt gl cu rcţiunil cu smn schimt cu cpţi fortului torsionl: T 77, pr V M M i t, 55pR 77, pr M M (9) 97 Tnsiuni norml l încovoir rlor cur Eforturil scţionl N, T şi M i produc în rl cur circulr clşi tipuri d tnsiuni c şi l r drptă stfl: forturil il N produc tnsiuni norml: σ N / (9) forturil tăitor T produc tnsiuni tngnţil (JURVKI): * T S τ (9) I forturil încovoitor M i produc tnsiuni norml (NVIER) pntru cul srcinilor prpndiculr p plnul i ri : M i σ (9) I

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Pntru curil în cr srcinil sunt cuprins în plnul i ri forturil încovoitor M i produc tnsiuni norml cr nu s mi pot dtrmin cu formul lui NVIER Pntru dducr cstor prsii s fc următorl ipot simplifictor: mtrilul rspctă lg lui HOOKE; ipot scţiunii pln BERNOULLI; plnul i gomtric l ri conţin o ă d simtri scţiunii ri su st un pln cntrl principl şi forţl/cupluril d forţ cţionă în cst pln dformţiil ri sunt mici în rport cu dimnsiunil i S considră un lmnt din cstă ră d lungim dsrdθ dlimitt d două pln prpndiculr p gomtrică ri cr trc prin punctl C şi C corspunător unghiurilor θ şi θ dθ P fţl cstui lmnt cţionă numi forturil încovoitor M i c în figur 99, r fiind supusă l încovoir pură M i C N B C N M i R R C N σ m - σ min r dθ Δ(dθ) r R O dθ -Δ(dθ) O ig 99 S notă: R r i gomtric corspunător cntrlor d grutt l scţiunilor; r r crcului i nutr scţiunii ri corspunător unor tnsiuni nul, difrită d gomtrică ri; R - r cntricitt su distnţ d l cntrul d grutt scţiunii l nutră suprfţi; R R d / ; R R d / ; rl intrioră rspctiv trioră scţiunii; B o firă circulră lmntului d ră sitută l distnţ fţă d nutră ri

Cornl MRIN Su cţiun momntului încovoitor M i, lmntul d ră s dformă stfl încât fir B s lungşt dvnind B, unghiul dθ micşorându-s cu Δ(dθ) c în figur 97 Lungim firi ndformt B s scri: B(r-) dθ (9) Dformţi firi B scri: Δ(B) B B Δ(dθ) (95) Dformţi spcifică lmntului B s scri: Δ( ds ) Δ( dθ ) ε (9) ds r dθ Conform lgii lui HOOKE în fir B i nştr o tnsiun normlă σ proporţionlă cu dformţi spcifică ε : Δ( ds ) E Δ( dθ ) σ Eε EΩ (97) ds dθ r r Δ( dθ ) und Ω rprintă rotir spcifică clor două scţiuni dθ Din prsi (97) s osrvă că tnsiunil norml l încovoir u o lg hiprolică d vriţi p suprfţ scţiunii Întrucât prin ipotă fortul il N st nul s pot scri rlţi: Ω Ω N σ d E d E d (98) r r Dorc EΩ, din rlţi (98) rultă: d (99) r Rlţi (99) s utiliă pntru dtrminr i nutr Efortul încovoitor M i st rulttul însumării momntlor forţlor lmntr dσd în rport cu nutră N: M i σ d EΩ d (97) r Rlţi (97) s mi scri: * M i EΩ d r d EΩ d E S N r Ω (97) în cr: st momntul sttic l scţiunii în rport cu N ; S * N - distnţ d l N l cntrul d grutt C l scţiunii; - ri scţiunii M i Din rlţi (97) s oţin: EΩ (97) Înlocuind în rlţi (97) prsi (97) rotirii spcific, s oţin rlţi pntru clculul tnsiunii norml l încovoir rlor cur: i σ (97) M r

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Din rlţi (97) rultă că tnsiun normlă mimă su minimă s oţin în firl trm (fig 99) Pntru un momnt încovoitor poitiv, tnsiun poitivă (mimă) s oţin în fir intrioră (d ră R ), ir tnsiun ngtivă (minimă) în fir trioră (d ră R ): M i M M i r R i d σ m r R R d (97) M i M i r R M i d σ min r R R d Osrvţii: pntru M i > tnsiun în fir intrioră st în vlor solută mi mr dcât c în fir trioră: σ m > σ min ; pntru M i < s schimă numi smnl tnsiunilor dt d rlţiil (958): ngtiv în fir intrioră şi poitiv în fir trioră; în scţiun în cr vlor solută momntul încovoitor st mimă, tnsiunil norml s însumă lgric cu cl dtort forturilor il N ; forturil il N şi momntl încovoitor M i sunt mim în cşi scţiun Pntru dtrmin poiţi i nutr pntru o scţiun drptunghiulră s folosşt cuţi (99) în cr s fc schimr d vriilă: (fig9): S oţin: h / d r R h / d R h r R h ln R h (975) (97) C N h C N d R r R r ig 9 ig 9 5

Cornl MRIN Pntru dtrmin poiţi i nutr pntru o scţiun circulră (fig9) s folosşt rlţi: d r (977) 8R R d Dtrminr poiţii i nutr pntru o scţiun orcr st dificilă dtorită intgrli din (99) su dcă s fc schimr d vriilă, intgrli din cuţi (975) Ecuţi (975) s mi pot scri: r d R d (978) R R Dvoltând în sri funcţi d su intgrlă: / R R R (979) şi rţinând primii tri trmni i srii s oţin: r d d R R R (98) R S oţin rlţi proimtivă: r (98) I R C 98 Clculul dplsărilor şi rotirilor l r cur Dplsăril şi rotiril în cul rlor cur cu gomtrică circulră s clculă folosind mtod MOHR MXWELL, luând în considrr numi fctul forturilor d încovoir, d răsucir şi d întindr-comprsiun şi nglijând fctul forturilor tăitor stfl, dplsr şi rotir uni scţiuni orcr uni r cu gomtrică circulră vând rigiditt l încovoir răsucir şi întindrcomprsiun constntă p lungim s s clculă cu jutorul rlţiilor: M i mi M t mt N n δ ds ds ds EI GI p E (98) * * * M i m i M t m t N n ϕ ds ds ds EI GI p E în cr: M i st momntul încovoitor, vriil p lungim ri; m i momntul încovoitor dtort uni forţ unitr cr cţionă în scţiun rspctivă p dircţi dplsării; m * i momntul încovoitor dtort unui cuplu d forţ unitr cr cţionă în scţiun rspctivă p dircţi rotirii; M t st momntul torsionl, vriil p lungim ri; m t momntul torsionl dtort uni forţ unitr cr cţionă în scţiun p dircţi dplsării;

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii m * t momntul torsionl dtort unui cuplu unitr cr cţionă în scţiun p dircţi rotirii; N fortul il, vriil p lungim ri; n fortul il dtort uni forţ unitr cr cţionă în scţiun p dircţi dplsării; n * fortul il dtort unui cuplu unitr cr cţionă în scţiun p dircţi rotirii plicţi 97 S considră r cură B vând gomtrică su form unui smicrc d ră R c în figur 9 supr cpătului lir B l ri cţionă un cuplu d forţ PR şi o forţ concntrtă P înclintă fţă d oriontlă cu α5 Să s dtrmin: Rcţiunil din încstrr ; Digrml d forturi il, tăitor şi încovoitor; R Tnsiun norml mim în scţiun priculosă Dplsr şi rotir scţiunii B θ B dcă vloril prmtrilor sunt: PkN, Rm, dmm; α5 O PR E, 5 MP P Rolvr ig9 Clculul rcţiunilor din încstrr olosind iom lgăturilor s introduc în încstrr rcţiunil H, V şi M (fig9), s scriu cuţiil d chiliru şi s oţin rulttl: M PR t n B θ P cosα H P sinα V P sinα R PR M t' θ θ P α O R M H V P P M H PR (98) P ig9 V 7

Cornl MRIN Construcţi digrmlor d forturi il, tăitor şi încovoitor Pntru găsi prsiil şi trs digrml d forturi il şi tăitor s proictă forţl trior din stâng scţiunii după cl două dircţii în scţiun curntă: normlă On (pntru forturil tăitor) şi tngntă l gomtrică (pntru forturil il) Pntru forturil încovoitor s clculă momntl forţlor trior în scţiun curntă S oţin : Pntru forturil il prsi nlitică: N( θ ) P cosα sinθ P sinα cosθ N( θ ) P( sinθ cosθ ) Pntru forturil tăitor prsi nlitică: T( θ ) P cosα cosθ P sinα sinθ T( θ ) P(cosθ sinθ ) Pntru forturil încovoitor prsi nlitică: M i( θ ) P M ( θ ) PR(cosθ sinθ ) i [ cosα Rsinθ sinα R( cosθ )] PR (98) (985) (98) Pntru trsr digrmlor s clculă vloril forturilor d mi sus în cinci punct: θ; θπ/; θπ/; θπ/ şi θπ; Rulttl sunt prntt în tlul 9 ir digrml d forturi în figuril 9, 95 şi 9 Tlul 9 Efortul θ θπ/ θπ/ θπ/ θπ N(θ) P -P P -P T(θ) -P P -P P M i (θ) PR -PR PR -P Digrm N -P - - P P 5 5 -P O B ig 9 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Digrm T -P - P - -P 5 5 O B P ig 95 Digrm M i -PR - - PR PR 5 5 O B -PR ig 9 Clculul tnsiunii mim Eforturil mim N şi M i corspund scţiunii θπ/ şi u vloril: N N( π / ); M M ( π / ) (987) m i m i Tnsiun mimă s produc în fir intrioră şi r prsi: Nm M i m d σ m (988) R d Înlocuind vloril mim N m şi M im din scţiun priculosă s oţin: 8 P 8 PR d σ m (989) πd πd R d în cr st distnţ dintr cl două C şi N : d R, 55mm (99) ( R R d ) 9

Cornl MRIN Clculul dplsării şi rotirii scţiunii Dplsr δ şi rotir ϕ corspunător scţiunii s clculă prin mtod MOHR-MXWELL cu jutorul rlţiilor: mhm i mvm i δ H ds; δv ds; (99) EI EI * mm i ϕ ds EI în cr: m H, m V şi m* sunt forturil încovoitor conform figurii 9 produs rspctiv d: m H - o forţă unitră oriontlă f H plictă în ; m V - o forţă unitră vrticlă f V plictă în ; m* - un cuplu unitr plict în M i st fortul încovoitor l srcinilor trior: M( θ ) PR(cosθ sinθ ) (99) EI rigiditt l încovoir ri (constntă) θ,π dsrdθ lungim lmntului d ră: intgrr s fc pntru [ ] R f H θ n O f V B ig9 Eprsiil clor tri momnt m H, m V şi m c funcţii d θ sunt : m ( θ ) R sinθ; m V * H ( θ ) R ( cosθ ); m( θ ) Înlocuind în rlţiil (99) prsiil (99) şi (99) rultă : dplsr p oriontlă: δ δ δ H H H π PR( sinθ cosθ )( Rsinθ ) Rdθ EI PR EI PR π EI θ sin θ cosθ π (99) (99) 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii dplsr p vrticlă: δ δ δ V V V π PR( sinθ cosθ )R( cosθ ) Rdθ EI PR EI cosθ θ sinθ cosθ sinθ PR ( π ) EI dplsr totlă scţiunii : δ δ PR δ EI rotir scţiunii : H π PR ϕ EI δ V π ( π ) ϕ PR( sin cos ) Rd EI θ θ θ ( rd) π (995) (99) (997) 99 Prolm propus 99 S dă sistmul sttic ndtrmint formt din tri r cur sudt c în figur 9, vând rigiditt EI constntă S cr: clculul rcţiunilor şi trsr digrmlor d forturi N, T şi M i dtrminr rotirii nodului B, considrând numi fctul încovoirii (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor, Ploişti 988) O B O B O R R R ig9 7

Cornl MRIN 99 S dă sistmul sttic ndtrmint formt dintr-o ră cură şi tri r drpt sudt c în figur 95, vând rigiditt EI constntă S cr: clculul rcţiunilor şi trsr digrmlor d forturi N, T şi M i dtrminr dplsării p oriontlă punctului B considrând numi fctul încovoirii (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor, Ptroşni, 989) p C R p B D R H ig95 99 S dă sistmul sttic ndtrmint formt dintr-o ră cură şi o ră drptă sudt şi încărct c în figur 9, vând rigiditt EI constntă Luând în clcul numi fctul momntului încovoitor, s cr: clculul rcţiunilor şi trsr digrmlor d forturi N, T şi M i dtrminr dplsării p oriontlă punctului B (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor, Cluj-Npoc, 989) qr q R ig9 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 99 S dă sistmul sttic ndtrmint formt dintr-o ră cură şi tri r drpt sudt, rmt şi încărct c în figur 97, vând rigiditt EI constntă Luând în clcul numi fctul momntului încovoitor, s cr: clculul rcţiunilor şi l forturilor; trsr digrmlor d forturi N, T şi M i (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor, Cluj-Npoc, 987) R R ig97 5 995 S dă sistmul sttic ndtrmint formt dintr-o ră cură şi o ră drptă sudt, încărct c în figur 98, vând rigiditt EI constntă Luând în clcul numi fctul momntului încovoitor, s cr: clculul rcţiunilor şi trsr digrmlor d forturi N, T şi M i dtrminr dplsării p oriontlă punctului B (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor, Cluj-Npoc, 99) q qr R R ig98 7

Cornl MRIN 99 Pntru r mtlic din figur 99, vând rigiditt constntă Luând în clcul numi fctul momntului încovoitor, s cr: digrml d forturi N, T şi M i dplsr vrticlă şi rotir în K (Concursul Profsionl d Ristnţ Mtrillor CC TEODORESCU, Târgu-Murş, mi 5) K q R q R R ig99 7

GRINZI CONTINUE

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Introducr Grinil continu sunt sistm sttic ndtrmint formt din r drpt situt p mi mult rm rigid su lstic, lir l cpt su încstrt, cu consol su fără (fig ) Rml rigid su lstic sunt situt l clşi nivl cu ri su dnivlt cst sistm sttic ndtrmint s rolvă folosind cuţiil d dformţii c rultă din ipot d corp dformil prcum şi cuţiil d chiliru din Mcnic c rultă din ipot d corp ndformil P q N V H V V V V 5 c M P q N H V V V V c ig În figur st prnttă o grindă continuă sitută p cinci rm rigid punctul l clşi nivl cu ri, primul rm fiind şi unul il Rultă şs ncunoscut: H, V, V, V, V, V 5 În figur st prnttă o grindă continuă încstrtă l un cpăt, sitută p tri rm rigid punctul l clşi nivl cu ri Rultă tot şs ncunoscut: M, H, V, V, V, V Ecuţiil d chiliru din Mcnică pntru cul pln sunt: ; ; M ; () Grdul d ndtrminr l cstui sistm st difrnţ dintr numărul totl l ncunoscutlor (N) şi numărul d cuţii d chiliru din Mcnică (E): GN N E () 77

Cornl MRIN Pntru put rolv cst sistm ( găsi rcţiunil), în fră d cuţiil d chiliru (), s scriu un număr d cuţii gl cu grdul d ndtrminr GN c rprintă difrit condiţii d dformr linir su unghiulr impus d lgăturil grinii cu mdiul fi Din punct d vdr mcnic grind continuă din figur st chivlntă cu o grindă continuă p ptru rm rigid punctul fită il (fig ) întrucât numărul d ncunoscut rămân clşi H P q N c V V V V V ig Pntru dtrmin rcţiunil din grinil continu s folossc difrit mtod nlitic su grfo-nlitic, dintr cr sunt prntt în continur: Ecuţi clor tri momnt (CLPEYRON); Ecuţi clor tri săgţi (folosind funcţi d încărcr Ψ) Ecuţi clor tri momnt (CLPEYRON) Mtod clor tri momnt st o mtodă grfo-nlitică c s ă p condiţiil d dformţii unghiulr pntru două tronson concurnt într-un rm n oţinându-s în finl o cuţi într forturil încovoitor din tri rm conscutiv M n-, M n şi M n, numită cuţi lui CLPEYRON n- n n n M n- Mn M n V n-d n V n ns V nd V ns ig S considră o grindă continuă sitută p r rm cr s scţionă cu un pln imginr în rmul n ăcând strcţi d rcţiunil oriontl s oţin două rcţiuni ncunoscut în rmul n, corspunător clor două două tronson d ră cuprins într rml n-, n rspctiv n, n (fig ): 78

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii momntul încovoitor M n vând clşi vlor pntru cl două tronson concurnt în rmul n; rcţiun V n formtă din rcţiunil V ns şi V nd difrit pntru cl două tronson concurnt în rmul n: V n Vns Vnd () Considrând cul gnrl tronsonl u momntl d inrţi I n şi I n ir cl tri rm sunt dnivlt cu w n-, w n rspctiv w n în rport cu ri, (fig), cuţi săgţilor lui MOHR () pntru ficr din cl două tronson s scri stfl: pntru tronsonul cuprins într rml n şi n-: Sn wn wn Sn wn wn nϕ n ϕn EIn n E ni n () pntru tronsonul cuprins într rml n şi n: S n w n wn Sn wn wn n ϕ n ϕn EI E I (5) n n n n n- P n n n P P M n- M n M n M n n n n- n n / n / M n- n / M n M n n / M n ig 79

Cornl MRIN 8 Ţinând sm d snsuril difrit d prcurgr l ri pntru cl două tronson n n- şi n n, unghiuril d rotir l scţiunii corspunător rmului n pntru cl două tronson sunt gl şi opus: n n n n su ϕ ϕ ϕ ϕ () Înlocuind rlţiil () şi (5) în rlţi () s oţin: n n n n n n n n n n n n I E S I E S w w w w (7) Momntl sttic (S n-, S n ) din rlţi (7) s scriu c sum dintr momntl sttic l digrmlor d momnt pntru srcinil trior ( s n s n S, S ) şi momntl sttic l momntlor intrior (forturil) ncunoscut (M n-, M n, M n ) fţă d rmul din stâng (S n- ), rspctiv fţă d rmul din drpt (S n ) (fig ): n n n n n n s n n n n n n n n s n n M M S S M M S S (8) Înlocuind momntl sttic (S n-, S n ) în rlţi (7) s oţin cuţi clor tri momnt su cuţi lui CLPEYRON: n n s n n n s n n n n n n n n n n n n n n n n n n I E S I E S w w w w E I M I I M I M (9) În cul prticulr în cr grind continuă st sitută p r rm punctul rigid situt l clşi nivl şi r r rigiditt l încovoir constntă p totă lungim s, cuţi clor tri momnt (9) dvin: n s n n s n n n n n n n n S S M ) ( M M () Rlţiil () rprintă r- cuţii indpndnt cr împrună cu cuţiil d chiliru din Mcnică prmit clculul momntlor intrior ncunoscut M, M,, M r Rcţiun din rmul n s oţin prin însumr rcţiunilor corspunător clor două tronson (n-, n) şi (n, n): n n n nd n n n ns n M M V M M V V () în cr: V ns, V nd sunt rcţiunil din rmul n dtort srcinilor trior corspunător clor două tronson concurnt în rmul n; l doil trmn st rcţiun dtortă momntlor intrior M n-, M n corspunător tronsonului din stâng rmului n; l ptrul trmn st rcţiun dtortă momntlor M n, M n intrior corspunător tronsonului din drpt rmului n În cul grinii din figur s oţin: S M M s ()

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii plicţi olosind cuţi lui CLPEYRON să s dtrmin rcţiunil din cl tri rm V, V şi V pntru grind continuă din figur 5 Lungimil,, şi c sunt dt în mtri qkn/m NkNm P kn P kn V V V c ig 5 Rolvr Ecuţiil d chiliru din Mcnică sunt: : V V V P P q s () M : V ( ) V M s s în cr M s st sum momntlor srcinilor trior P, P, q, N cr u snsul poitiv trigonomtric tri cuţi s oţin scriind cuţi clor tri momnt () pntru rml, şi : s s S S M M ( ) M () în cr : M ; M knm (5) s s Pntru clcul momntl sttic S, S l digrmlor d momnt corspunător forţlor trior, s dtrmină rcţiunil pntru ficr tronson şi ficr srcină ir pntru l doil s plică principiul suprpunrii fctlor pntru cl două srcini P şi N cţionând sprt stfl pntru: tronsonul - cu srcin distriuită q : V d kn; Vs kn tronsonul - cu forţ P : V d 5kN; V s 5 kn tronsonul - cu cuplul N: V d 5 kn; V s 5 kn S trsă digrml d momnt pntru ficr tronson în figur Momntl sttic l digrmlor d momnt d dtrmină din figur : pntru tronsonul - cu srcin q: s S C knm () 8

Cornl MRIN pntru tronsonul - cu forţ P kn: s S C 5 5 knm tronsonul - cu cuplul N knm: s S C C 5 5 5 knm pntru tronsonul - rultă prin însumr: s S (7) Înlocuind cst vlori în cuţi (5) s oţin: M ( ) M knm (8) P kn qkn/m / / V d V s C V d V s C 5 knm C M m knm C NkNm V d V s C -5 knm C ig c 5 knm ' C " C 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Rcţiun V s dtrmină prin însumr rcţiunilor corspunător tronsonului -: M M V Vd V 5, 5 kn (9) Rcţiun V s dtrmină prin însumr rcţiunilor corspunător ficărui tronson: M M M M V Vs Vd V, 5 kn () Rcţiun V din rmul s dtrmină prin însumr rcţiunilor corspunător tronsonului -: M M V Vs Vd V 55 kn () Ecuţi clor tri săgţi (folosind funcţi d încărcr Ψ ) Est o mtodă nlitică nouă c limină dvntjl mtodi grfo-nlitic CLPEYRON vând l ă cuţiil d dformţii scris cu jutorul funcţii d încărcr Ψ Săgt corspunător uni scţiuni ri sitută l distnţ scri cu jutorul funcţii d încărcr Ψ stfl: EIw() EIw EIϕ Ψ( ) () în cr w st săgt din cpătul ri măsurtă fţă d sistmul O; ϕ rotir scţiunii corspunător cpătului din stâng l ri; EI rigiditt l încovoir ri considrtă constntă p lungim i; Ψ () funcţi d încărcr S considră două tronson d ră cuprins rspctiv într scţiunil i-j şi rspctiv j-k, c în figur 7 şi w i, w j şi w k săgţil corspunător clor tri scţiuni w O i w w i j j k w k i L i L j j k ig7 ir mdi dformtă Mihil C TNSIU, Gril G JIG - Mtod nlitic noi în Ristnţ mtrillor, Mtod funcţii d încărcr, Ed UPBucurşti 99 8

Cornl MRIN Conform rlţii () săgţil corspunător clor tri scţiuni s scriu: EIw Ψ EIϕ EIw L EIw EIw i j k Ψ Ψ ( ) i ( ) j i EIϕ ( L ) EIw i i ( k ) EIϕ ( i Li ) EIw Li j ( L L ) i j () S limină ncunoscut ϕ din cl tri cuţii () prin multiplicr lor cu: L j prim cuţi, (L i L j ) c d- dou şi L i tri şi prin însumr lor S oţin cuţi clor tri săgţi su form: EI w L w ( L L ) w L Ψ L Ψ ( L L ) Ψ L () [ i j j j i k i ] i j j j i k i Grini continu cu rm punctul rigid l clşi nivl cu ri plicţiil prntt în continur sunt grini continu situt p rm rigid l clşi nivl cu ri, supus cţiunii unor srcini trior cunoscut c mărimi, dircţii şi poiţi p ră (fig 8) stfl d plicţii s întâlnsc l montjul rorilor în rductor su cutii d vit pntru cr tril d l coilitt lgărlor sunt nul Srcinil trior sunt d tri tipuri: forţ concntrt P, P cţionând l distnţl d rspctiv d ; srcini uniform distriuit q, q cţionând l distnţl -f rspctiv -f ; cupluri concntrt N, N cţionând l distnţl g rspctiv g Sunt prntt în continur modll d clcul şi modul d dducr rlţiilor nlitic pntru clculul rcţiunilor pntru unl curi prticulr Grind continuă cu tri rm punctul rigid (R) Modlul d clcul R st formt dintr-o ră sitută p tri rm punctul rigid l clşi nivl cu ri, vând rigiditt l încovoir EI constntă p lungim i Br st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N (fig8) f d g g f d P q q P N N V V V c 8 ig 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 85 Pntru dtrminr rcţiunilor V, V şi V s utiliă două cuţii d chiliru din Mcnică ( M ; ) şi cuţi clor tri săgţi () pntru rml --: ( ) [ ] ) ( ) ( w w w EI V V M V V V s s Ψ Ψ Ψ s (5) în cr: s st sum forţlor trior după dircţi i O; s M s sum momntlor forţlor şi cuplurilor trior după o ă prllă cu O c trc prin rmul din drpt (rmul ); Ψ, Ψ şi Ψ, funcţiil d încărcr corspunător rmlor,, S înlocuisc vloril săgţilor din rml punctul rigid (w w w ) în c d- tri cuţi (5) şi s primă funcţiil d încărcr Ψ, Ψ şi Ψ c sum dintr funcţiil d încărcr corspunător srcinilor trior Ψ s, Ψ s, Ψ s şi cl corspunător rcţiunilor ncunoscut V, V şi V : ( ) V V ; V ; s s s Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ () Înlocuind rlţiil () în tri cuţi (5) s oţin: ( ) ( ) Ψ Ψ Ψ V V V s s s (7) Notând cu: ) ( s s s s Ψ Ψ Ψ (8) cuţi (7) s scri: ( ) ( ) s V V V (9) Multiplicând dou cuţi (5) cu ( ) / şi însumând mmru cu mmru cu cuţi (8), rultă: ( ) ( ) ( ) s S M V s () Efctuând unl rducri în (9) rultă formul d clcul rcţiunii V : ( ) s s M V s () Clllt rcţiuni V şi V rultă din cuţiil (5): V V V ; V M V s s s ()

Cornl MRIN Osrvţi: uncţiil d încărcr Ψ s, Ψ s şi Ψ s s clculă numi pntru s srcinil trior situt l stâng scţiunii rspctiv, ir sum momntlor M s cr s clculă pntru tot srcinil c cţionă supr ri plicţi Pntru grind continuă sitută p tri rm punctul rigid încărctă c în figur 9, vând rigiditt EI constntă p lungim i, s cr să s dtrmin rcţiunil V, V şi V qkn/m NkNm P kn P kn m V V V m m cm ig 9 S dtrmină mi întâi sum forţlor trior după dircţi lui O: s P P q 5 kn () şi sum momntlor forţlor şi cuplurilor trior după o ă prllă cu O c trc prin rmul din drpt (rmul ): M s s q ( / ) P / N P c knm () S dtrmină poi funcţiil d încărcr Ψ s, Ψ s şi Ψ s l srcinilor trior în cl tri rm: 8 q Ψ s ; Ψ s knm (5) q( [ ) ] P( / ) N( / ) Ψ s 587, knm Înlocuind în prsi (8) vloril lui Ψ s, Ψ s şi Ψ s s oţin: s, 7 knm () Înlocuind în rlţiil () şi () s oţin: s s V M, kn ( ) s 5 5 s V M s V, 5 kn (7) V s V V 55 kn

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Grind continuă cu ptru rm punctul rigid (R) Modlul d clcul R st formt dintr-o ră sitută p ptru rm punctul rigid l clşi nivl cu ri, vând rigiditt l încovoir EI constntă p lungim i Br st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N (fig) f d g g f P d P q q V N N V V c Pntru dtrminr rcţiunilor V, V, V şi V s utiliă două cuţii d chiliru din Mcnică ( ; M ) şi două cuţii d dformţii (cuţiil clor tri săgţi scris pntru rml -- şi rspctiv --): s V V V V s M s V ( ) V ( ) V EI[ w w ( ) w ] Ψ Ψ ( ) Ψ EI[ w w ( ) w ] Ψ Ψ ( ) Ψ (8) În cuţiil (8) s introduc vloril săgţilor în rml punctul rigid w w w w şi s scriu prsiil funcţiilor d încărcr Ψ, Ψ Ψ şi Ψ c sum dintr funcţiil d încărcr Ψ s, Ψ s Ψ s şi Ψ s corspunător srcinilor trior şi cl corspunător rcţiunilor: Ψ Ψ ; Ψ Ψ Ψ Ψ s Ψ Ψ s s s V V V ; ( ) ( ) V ( ) ig V ; V (9) 87

Cornl MRIN 88 Înlocuind rlţiil (9) în tri şi ptr cuţi (7) s oţin: ( ) ( ) Ψ Ψ Ψ V V V s s s () ( ) ( ) ( ) ( ) Ψ Ψ Ψ V V V V V V s s s () Dcă s notă în cuţiil () şi () cu: ) ( ) ( s s s s s s s s Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ () rlţiil () şi () dvin: ( )( ) s V V () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s V V V V V V () Dcă s multiplică dou rlţi (8) cu ( ) / şi s însumă cu rlţi () s oţin: ( ) ( ) S M S V V s (5) Dcă s multiplică rlţi () cu ) ( şi rlţi () cu ) /( şi s însumă s oţin rcţiun V : ( ) ( ) 75, M V S S S s () Înlocuind p V în rlţi () s oţin rcţiun V : ( )( ) V V S (7) Înlocuind V şi V în priml două cuţii (7) s oţin rcţiunil V şi V : ( ) ( ) [ ] V V V V V V M V s S s (8)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii plicţi Pntru grind continuă sitută p ptru rm punctul rigid încărctă c în figur, vând rigiditt EI constntă p lungim i, s cr să s dtrmin rcţiunil V, V, V şi V N5 knm q kn/m P kn m m m m cm V V V V ig S dtrmină sum forţlor trior după dircţi lui O: s P q( ) kn (9) şi sum momntlor forţlor şi cuplurilor trior după o ă prllă cu O c trc prin rmul din drpt (rmul ): M s s N q ( ) / P c 9 knm (5) S dtrmină poi funcţiil d încărcr Ψ s, Ψ s Ψ s şi Ψ s corspunător srcinilor trior: N Ψ s 7,5 knm Ψ Ψ s s N( ) N( ) q q( ),5 knm N( ) q( ) Ψs,5kNm Înlocuind în rlţiil () (8) s oţin vloril rcţiunilor: ( ) s S S M S V 7kN, 75 S V V V ( ) ( )( ) 87,5 knm s [ M S ( ) V ( ) V ] s V kn 57 kn (5) (5) V V V 7 kn 89

Cornl MRIN Grind continuă cu culisă coilă d cpăt şi un rm punctul rigid l clşi nivl cu ri (IR) Modlul d clcul IR st formt dintr-o ră încstrtă l un cpăt su cu o culisă coilă, sitută p un rm punctul rigid l clşi nivl cu ri, vând rigiditt l încovoir EI constntă p totă lungim i Br st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N (fig) c M N N P P q q V d d V g g f f ig Pntru dtrminr rcţiunilor V, M şi V s utiliă cl două cuţii din Mcnică ( ; M ) prcum şi cuţi d dformţii din rmul : Σs V s ΣM M s V V (5) EIw Ψ S scri funcţi d încărcr Ψ c sum dintr funcţi d încărcr srcinilor trior Ψ s şi cl corspunător rcţiunilor ncunoscut: M V Ψ Ψ s (5) Eprimând M din dou rlţi (5) în funcţi d V şi înlocuind în rlţi (5) rultă: s ΣM Ψ s s V (55) Din rlţi (5) rultă rcţiun V : 9

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii s ΣMs Ψ s V Din rlţi (5) rultă şi clllt două rcţiuni: s M ΣM V V Σ s s V (5) (57) plicţi Pntru grind continuă încstrtă l un cpăt sitută p un rm punctul rigid l clşi nivl cu ri, încărctă c în figur, vând rigiditt EI constntă p lungim i, s cr să s dtrmin rcţiunil V, M şi V M P kn q kn/m N knm V m 5m cm ig V S dtrmină sum forţlor trior după dircţi lui O: s P q kn (58) şi sum momntlor forţlor şi cuplurilor trior după o ă prllă cu O c trc prin rmul din drpt (rmul ): M s s q ( ) / P ( ) N 5 knm (59) S dtrmină poi funcţi d încărcr Ψ s srcinilor trior: q( ) P( ) Ψ s 8, 75 knm () Înlocuind în rlţi (5) s oţin rcţiun: s M V Σ s Ψ s 9, 5 kn () Rspctiv în rlţiil (57) s oţin rcţiunil: s M ΣMs V 5, 5 knm V Σs V, 55 kn () 9

Cornl MRIN Grind continuă cu culisă coilă d cpăt şi două rm punctul rigid l clşi nivl cu ri (IR) Modlul d clcul IR st formt dintr-o ră încstrtă l cpăt su cu o culisă coilă, sitută p două rm punctul rigid l clşi nivl cu ndformtă ri, vând rigiditt l încovoir EI constntă p totă lungim i Br st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N (fig) c M N N P P q q V d V V d g g f f ig Pntru dtrminr rcţiunilor V, M, V şi V s utiliă cl două cuţii din Mcnică ( ; M ) prcum şi cuţiil d dformţii pntru rml şi : Σs V V s ΣM s M V( ) V () EIw Ψ EIw Ψ S scriu funcţiil d încărcr Ψ şi Ψ c sum dintr funcţiil d încărcr l srcinilor trior Ψ s şi Ψ s şi cl l rcţiunilor ncunoscut: 9 Ψ Ψ Ψ Ψ s s M M V ( ) V ( ) V ()

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Ultiml două cuţii () s scriu: M V Ψ s (5) M ( ) V ( ) V Ψs Eprimând V în funcţi d M din prim rlţi (5) şi V din dou rlţi () în funcţi d M şi V rultă: V Ψ s M () s V [ ΣM s M V ( )] Înlocuind V si V în dou rlţi (5) rultă rcţiun M : Ψ Ψ Σ s s s M M s (7) Rcţiunil V şi V rultă din rlţi (), ir rcţiun V rultă din prim rlţi (): V Σs V (8) V plicţi 5 Pntru grind continuă încstrtă l un cpăt sitută p un rm punctul rigid l clşi nivl cu ndformtă ri, vând rigiditt l încovoir EI constntă p totă lungim i, încărctă c în figur 5 s cr să s dtrmin rcţiunil V, M V şi V M q kn/m P kn V m V m V ig 5 cm N knm S dtrmină sum forţlor trior după dircţi lui O: s P q 8 kn (9) şi sum momntlor forţlor şi cuplurilor trior după o ă prllă cu O c trc prin rmul din drpt (rmul ): s M s q / P c N (7) 9

Cornl MRIN S dtrmină poi funcţiil d încărcr Ψ s, Ψ s l srcinilor trior: q Ψ s ; Ψs 7, 5 knm ; (7) Înlocuind s oţin vloril: Ψ s s Ψ Σ s M M s 9 knm Ψ s V M 7 kn V s V s V V 8kN s [ ΣM M V ( )] kn; (7) 5 Grind continuă cu culis coil l ml cpt, fără rm intrmdir (I) Modlul d clcul I st formt dintr-o ră încstrtă l cpt su cu două culis coil, fără rm intrmdir Br r rigiditt l încovoir EI constntă p totă lungim i şi st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N (fig) M N N P P q q M V d d V g g f f ig 9

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 95 Pntru dtrminr rcţiunilor V, M, V şi V s utiliă cl două cuţii din Mcnică ( M ; ) prcum şi cuţiil d dformţii (săgt şi rotir) pntru rmul : Ψ Ψ Σ Σ EIϕ EIw V M M M V V s s s (7) S scriu funcţiil Ψ şi Ψ c sum dintr funcţiil d încărcr l srcinilor trior Ψ s şi Ψ s şi cl l rcţiunilor ncunoscut: V M V M s s Ψ Ψ Ψ Ψ (7) Ultiml două cuţii (7) s scriu: s s V M V M Ψ Ψ (75) Din cuţiil (75) rultă rcţiunil V şi M : Ψ Ψ Ψ Ψ s s s s M ' V (7) Din priml două cuţii (7) rultă rcţiunil V şi M : ' M M ' V s s s s s s Ψ Ψ Ψ Ψ Σ s (77)

Cornl MRIN plicţi Pntru grind continuă încstrtă l cpt fără rm intrmdir, vând rigiditt l încovoir EI constntă p totă lungim i, încărctă c în figur 7 s cr să s dtrmin rcţiunil V, M, V şi M M P kn q kn/m M V d m N knm V S dtrmină sum forţlor trior după dircţi lui O: s P q( f ) 5 kn (78) şi sum momntlor forţlor şi cuplurilor trior după o ă prllă cu O c trc prin cpătul din drpt l ri (): f M s s N P( d ) q ( f ) 7 knm (79) S dtrmină poi funcţiil d încărcr Ψ s şi Ψ s l srcinilor trior: 9 Ψ s N( d ) P( d ) [ ) ( f ) ] q ( 5 knm [ ) ( f ) ] N( d ) P( d ) q ( Ψ s 5 knm Înlocuind în rlţiil (7) şi (77) s oţin rcţiunil: Ψs V ' s 7, kn Ψ M Ψ s Ψ' s Ψ V Σs ' Ψ s Ψ M M s s Ψ' s m ig 7 knm s s 75, 9 kn 5 kn (8) (8)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Grind continuă cu culis coil l cpt şi un rm intrmdir situt l clşi nivl cu ri (IR) Modlul d clcul IR st formt dintr-o ră încstrtă l cpt su cu două culis coil, sitută p un rm intrmdir l clşi nivl cu ribr r rigiditt l încovoir EI constntă p totă lungim i şi st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N (fig8) M N N P P q q M V d V V d g g f f ig 8 Pntru dtrminr rcţiunilor V, M, V, V şi M s utiliă cl două cuţii din Mcnică ( ; M ) prcum şi cuţiil d dformţii pntru rmul (săgt) rspctiv rmul (săgt şi rotir): Σs V V V s ΣM M M V ( ) V EIw s Ψ EIϕ Ψ S scriu funcţiil Ψ, Ψ şi Ψ c sum dintr funcţiil d încărcr l srcinilor trior Ψ s, Ψ s şi Ψ s şi cl l rcţiunilor ncunoscut: M V Ψ Ψ s Ψ EIw Ψ (8) Ψ s M ( ) V ( ) M ( ) V ( ) Ψ Ψ s V V (8) 97

Cornl MRIN 98 Ultiml tri cuţii (8) s mi scriu: s s s V ) ( V ) ( M V ) ( V ) ( M V M Ψ Ψ Ψ (8) Din prim cuţi (8) rultă M în funcţi d V : ) V ( M s Ψ (85) Introducând prsi lui M în dou şi tri cuţi (8) rultă: [ ] V ) ( )M ( ' V ) ( ) ( ' ) ( V s s s s Ψ Ψ Ψ Ψ (8) Din priml două cuţii (8) rultă rcţiunil V şi M : V ) ( V M M M ; V V V s s s (87) plicţi 7 Pntru grind continuă încstrtă l cpt cu un rm intrmdir situt l clşi nivl cu ri, vând rigiditt l încovoir EI, încărctă c în figur 9 s cr să s dtrmin rcţiunil V, M, V, V şi M ig 9 P kn N knm q kn/m 5 m V M V M m f9 m 5 m V

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Rolvr S dtrmină sum forţlor trior după dircţi lui O: s P q( f ) 5 kn (88) şi sum momntlor forţlor şi cuplurilor trior după o ă prllă cu O c trc prin cpătul din drpt l ri (): s f M s N P( d ) q ( f ) (89) s M 7 knm s S dtrmină poi funcţiil d încărcr Ψ s, Ψ s şi Ψ s l srcinilor trior: Ψ Ψ Ψ Ψ s s s s N( d ), knm N(, knm P( d ) d ) P( q( ) d ) [ ) ( f ) ] q ( [ ) ( f ) ] N( d ) P( d ) q ( Ψ s Ψ s 5 knm Înlocuind în rlţiil (8), (85) şi (87) s oţin rulttl: Ψs Ψ' s Ψ s( ) V, kn ( ) ( ) V [ Ψ' s ( )M ( ) V ] 85, kn M ( Ψ s V ) 9, knm V s V V, kn s M M M V ( ) V 8, knm s (9) (9) 99

Cornl MRIN 5 Grini continu cu rm punctul rigid dnivlt su cu culis ncoil În prctic inginrscă s întâlnsc prolm sttic ndtrmint d tipul grinilor continu p mi mult rm rigid dnivlt în rport cu ri su vând culisl ncoil cu ri Sunt prntt în continur difrit modll d clcul şi rlţiil nlitic prticulr pntru clculul rcţiunilor 5 Grind continuă cu tri rm rigid dnivlt (Rd) Modlul d clcul Rd st formt dintr-o ră p tri rm punctul rigid rmul () fiind dnivlt cu w fţă d rml () şi () Br r rigiditt l încovoir EI constntă p lungim i şi st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N, truind să fcă contct cu rmul, chir dcă supr i nu cţionă nici o srcină trioră (fig) f d g g f P d P q q V N V N w V c ig Pntru dtrminr rcţiunilor V, V şi V s utiliă cl două cuţii din Mcnică ( ; M ) prcum şi cuţi clor tri săgţi scrisă pntru rml --: s V V V s M V V (9) s ( ) EI[ w w( ) w ] Ψ Ψ( ) Ψ în cr: s st sum forţlor trior după dircţi i O; s M s sum momntlor forţlor şi cuplurilor trior după o ă prllă cu O c trc prin rmul din drpt (rmul ); Ψ, Ψ şi Ψ, funcţiil d încărcr corspunător rmlor,,

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii În ultim cuţi (9) s înlocuisc vloril săgţilor din rml punctul rigid: w w şi s scriu funcţiil d încărcr Ψ, Ψ şi Ψ c suml corspunător dintr funcţiil d încărcr pntru srcinil trior Ψ s, Ψ s şi Ψ s şi cl corspunător rcţiunilor ncunoscut: ( ) V V ; V ; s s s Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ (9) Înlocuind rlţiil (9) în ultim cuţi (9) s oţin: ( ) ( ) ( ) EIw V V V s s s Ψ Ψ Ψ (9) Notând: ) ( EIw B ) ( s s s s Ψ Ψ Ψ (95) tunci cuţi (9) s scri: ( ) ( ) s B V V V (9) Dcă s multiplică dou cuţi (9) cu ( ) / şi s dună cu cuţi (9) rultă: ( ) ( ) [ ] B M V S S s (97) Rultă cl tri rcţiuni: ( ) V V V V M V M B ) ( V s s s s s s (98) Osrvţi: În cul prticulr în cr nu cţionă nici o srcină trioră supr ri rlţiil (98) pntru clculul rcţiunilor dvin: V V V ; V V ; EIw V (98 ) Rcţiunil V şi V sunt positiv ir rcţiiun V ngtivă

Cornl MRIN 5 Grind continuă cu culisă l cpăt şi un rm punctul rigid dnivlt fţă ri (IRd) Modlul d clcul IRd st formt dintr-o ră încstrtă l un cpăt su cu o culisă coilă cu ri, sitută p un rm punctul rigid dnivlt cu w fţă d culisi Br r rigiditt l încovoir EI constntă p lungim i şi st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N, truind să fcă contct cu rmul, chir dcă supr i nu cţionă nici o srcină trioră (fig) c M N N P P q q w V d d V g g f f ig Pntru dtrminr rcţiunilor V, M şi V s utiliă cl două cuţii din Mcnică ( ; M ) prcum şi cuţi d dformţii din rmul : Σs V s ΣM M s V V EIw Ψ S scri funcţi d încărcr Ψ c sum dintr funcţi d încărcr Ψ s srcinilor trior şi cl corspunător rcţiunilor ncunoscut: (99) M V Ψ Ψ s () Notând EIw B şi primând M din dou rlţi (99) în funcţi d V şi înlocuind în rlţi () rultă: s M s Σ s V Ψ B () s M B V Σ s Ψ s Rultă rcţiunil: () s M ΣMs V; V Σs V

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Osrvţi: În cul prticulr în cr nu cţionă nici o srcină trioră supr ri rlţiil () pntru clculul rcţiunilor dvin: EIw V ; M V ; V V ( ) Rcţiun V st poitivă ir rcţiun V ngtivă 5 Grind continuă cu o culisă coilă l cpăt şi două rm punctul rigid dnivlt fţă d ri (IRd) Modlul d clcul IRd st formt dintr-o ră încstrtă l un cpăt su cu o culisă coilă cu ri, sitută p două rm punctul rigid dnivlt cu w şi w fţă d culisi Br r rigiditt l încovoir EI constntă p lungim i şi st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N, truind să fcă contct cu rml şi chir dcă supr i nu cţionă nici o srcină trioră (fig) c M N N P P q q V d d V w V w g g f f ig Pntru dtrminr rcţiunilor V, M, V şi V s utiliă cl două cuţii din Mcnică ( ; M ) prcum şi cuţiil d dformţii pntru rml şi : Σs V V s ΣM s M V( ) V () EIw Ψ B EIw Ψ C

Cornl MRIN S scriu funcţiil d încărcr Ψ şi Ψ c sum dintr funcţiil d încărcr Ψ s şi Ψ s l srcinilor trior şi cl l rcţiunilor ncunoscut: ( ) ( ) V V M V M s s Ψ Ψ Ψ Ψ () Ultiml două cuţii () s scriu: B V M Ψ s ( ) ( ) C V V M Ψ s (5) Eprimând V în funcţi d M din prim rlti (5) şi V din dou rlti () în funcţi d M şi V rultă: ( ) [ ] V M M V M B V s s Σ Ψ s () Înlocuind V si V în dou rlţi (5) rultă rcţiun M : Ψ Σ Ψ C M B M s s s s (7) Rcţiunil V şi V rultă din rlţi (), ir rcţiun V rultă din prim rlţi (): V V V s Σ (8) Osrvţi: În cul prticulr în cr nu cţionă nici o srcină trioră supr ri rlţiil () pntru clculul rcţiunilor dvin: ( ) [ ] V V V V M V M B V C B M (8 )

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Grind continuă cu culis coil l cpt şi un rm punctul rigid dnivlt fţă d ri (IRd) Modlul d clcul IRd st prntt în figur fiind formt dintr-o ră încstrtă l cpt su cu două culis coil sitută p un rm intrmdir dnivlt în rport cu ri cu w, vând rigiditt l încovoir EI constntă p totă lungim i şi st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N, truind să fcă contct cu rmul chir dcă supr i nu cţionă nici o srcină trioră (fig) Pntru dtrminr rcţiunilor V, M, V, V şi M s utiliă cl două cuţii din Mcnică ( ; M ) prcum şi cuţiil d dformţii pntru rmul (săgt) rspctiv rmul (săgt şi rotir): Σs V V V s ΣM M M V ( ) V EIw s EIϕ Ψ Ψ EIw Ψ B (9) M N N P P q q M V d d V g g w V f f ig S scriu funcţiil Ψ, Ψ şi Ψ c sum dintr funcţiil d încărcr Ψ s, Ψ s şi Ψ s l srcinilor trior şi cl l rcţiunilor ncunoscut: M V Ψ Ψs Ψ Ψ s M ( ) V ( ) M ( ) V ( ) Ψ Ψ s V () V 5

Cornl MRIN Ultiml tri cuţii (9) s mi scriu: s s s V ) ( V ) ( M V ) ( V ) ( M B V M Ψ Ψ Ψ () Din prim cuţi () rultă M în funcţi d V : [ ] V B ) ( M s Ψ () Introducând prsi lui M în dou şi tri cuţi () rultă: [ ] V ) ( )M ( ' V ) B )( ( ) ( ' ) ( V s s s s Ψ Ψ Ψ Ψ () Din priml două cuţii (9) rultă rcţiunil V şi M : V ) ( V M M M ; V V V s s s () Osrvţi: În cul prticulr în cr nu cţionă nici o srcină trioră supr ri rlţiil () pntru clculul rcţiunilor dvin: [ ] V V V V ) ( )M ( V V EIw M ) EIw ( V ( ) Rcţiunil V M şi V sunt poitiv ir rcţiun V ngtivă

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Grini continu cu rm punctul rigid şi lstic În prctic inginrscă s întâlnsc şi prolm sttic ndtrmint d tipul grinilor continu situt p rm rigid şi lstic C şi în cul grinilor continu situt p rm rigid, r r scţiun şi rigiditt l încovoir EI constntă p lungim i şi st supusă cţiunii unor tipuri d srcini trior cunoscut c mărimi, dircţii şi poiţi p ră Sunt prntt tri modl d clcul Grind continuă cu două rm punctul rigid şi un rm intrmdir lstic (R) Modlul d clcul R st formt dintr-o ră p tri rm punctul: () şi () sunt două rm punctul rigid ir () un rm lstic Rcţiun V st proporţionlă cu săgt w V / k (fig) Br r rigiditt l încovoir EI constntă p lungim i şi st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N (fig) f d g f g P d P q q N N V V V c ig Pntru dtrminr rcţiunilor V, V, V s utiliă două cuţii din Mcnică ( ; M ) prcum şi cuţi clor tri săgţi pntru rml --: s V V V s M V V (5) s ( ) EI[ w w( ) w ] Ψ Ψ( ) Ψ în cr s st sum forţlor trior după dircţi i O; s M s sum momntlor forţlor şi cuplurilor trior după o ă prllă cu O c trc prin rmul din drpt (rmul ); Ψ, Ψ şi Ψ, funcţiil d încărcr corspunător rmlor,, 7

Cornl MRIN 8 În ultim cuţi (5) s înlocuisc vloril săgţilor din rml punctul rigid () şi (): w w şi săgt în rmul lstic (): k / V w şi s scriu funcţiil d încărcr Ψ, Ψ şi Ψ c suml corspunător dintr funcţiil d încărcr pntru srcinil trior Ψ s, Ψ s şi Ψ s şi cl corspunător rcţiunilor ncunoscut: ( ) V V ; V ; s s s Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ () Înlocuind rlţiil () în ultim cuţi (5) s oţin: ( ) ( ) ( ) V EI k V V V s s s Ψ Ψ Ψ (7) Notând: ) EI( k B ) ( s s s s Ψ Ψ Ψ (8) tunci cuţi (7) s scri: ( ) ( ) s V B V V (9) Dcă s multiplică dou cuţi (5) cu B şi s dună mmru cu mmru cu cuţi (9) rultă rcţiun V : ( ) B B M B V s s s () Eprsiil rcţiunilor V şi V sunt: V V V V M V s s s () Dplsr w s dtrmină cu jutorul rcţiunii V : k / V w

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Grind continuă cu culisă d cpăt şi un rm lstic (IR) Modlul d clcul IR st formt dintr-o ră încstrtă l un cpăt su cu o culisă coilă cu ri sitută p un rm lstic Rcţiun V st proporţionlă cu săgt w V / k (fig5) Br r rigiditt l încovoir EI constntă p lungim i şi st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N (fig5) c M N N P P q q V d d V g g f f ig 5 Pntru dtrminr rcţiunilor V, M şi V s utiliă cl două cuţii din Mcnică ( ; M ) prcum şi cuţi d dformţii din rmul : Σs V V s ΣMs M V () V EI Ψ k S scri funcţi d încărcr Ψ c sum dintr funcţi d încărcr Ψ s srcinilor trior şi cl corspunător rcţiunilor ncunoscut: M V Ψ Ψ s () EI Notând B şi primând M din dou rlţi () în funcţi d V k s M ΣMs V şi înlocuind în tri rlţi () rultă: s ΣM s Ψ s V BV () 9

Cornl MRIN Eliminând V din prim cuţi () şi cuţi () s oţin: s V Ψ M S s s (5) Clllt două rcţiuni rultă imdit: V Σs V s () M ΣM V s Grind continuă cu două culis coil l cpt şi un rm lstic intrmdir (IR) Modlul d clcul IR st formt dintr-o ră încstrtă l ml cpt su cu două culis coil cu ri sitută p un rm lstic Rcţiun V st proporţionlă cu săgt w V / k (fig) Br r rigiditt l încovoir EI constntă p lungim i şi st încărctă cu srcinil trior P, P, q, q, N şi N (fig) M N N P P q q M V d d g V V g f f ig Pntru dtrminr rcţiunilor V, M, V, V şi M s utiliă cl două cuţii din Mcnică ( ; M ) prcum şi cuţiil d dformţii pntru rmul (săgt) rspctiv rmul (săgt şi rotir): Σs V V V s ΣM M M V ( ) V s V EI Ψ k EIw Ψ EIϕ Ψ (7)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S scriu funcţiil Ψ, Ψ şi Ψ c sum dintr funcţiil d încărcr Ψ s, Ψ s şi Ψ s l srcinilor trior şi cl l rcţiunilor ncunoscut: V ) ( V ) ( M V ) ( V ) ( M V M s s s Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ (8) Notând k EI B, ultiml tri cuţii (7) s mi scriu: s s s V ) ( V ) ( M V ) ( V ) ( M BV V M Ψ Ψ Ψ (9) Rolvând cst sistm rultă rcţiunil M, V şi V : B ) ( M B ) ( ) ( M s s S s s s Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ s [ ] V ) ( )M ( V ) ( ) ( M V s s s Φ Ψ Ψ () Din cuţiil (7) rultă rcţiunil V şi M : V ) ( V M M M ; V V Y V s s s ()

Cornl MRIN Prolm propusă S considră o ră drptă sitută p tri rm punctul rigid situt l distnţl şi cu două consol d lungimi şi c, vând încărcr gnrlă din figur Scţiun ri st constntă d form uni coron circulr cu dimtrul intrior d şi trior d (fig ) S cr: să s dtrmin rcţiunil V V şi V ;(p) să s trs digrml d forturi tăitor T şi încovoitor M i ; (p) să s dtrmin scţiun priculosă şi vlor fortului încovoitor M m ; (p) să s dtrmin momntul d inrţi I şi modulul d ristnţă W l scţiunii în funcţi d prmtrul d şi să s dimnsion r dcă σ 5 MP ; (p) 5 să s dtrmin săgt w şi rotir ϕ corspunător cpătului consoli din stâng, folosind cuţi clor tri săgţi (pntru scţiunil, şi ), dcă E 5 MP (p) (Prolmă mn, Modl, Univrsitt VLHI Târgovist, ) f d g d g P f q q P V N N V V c DTE DE INTRRE (m) (m) (m) c (m) d (m) P (kn) d (m) P (kn) - d d g N g N q (m) (knm) (m) (knm) (m) (m) (kn/m) 5 7 ig 8 (m) f (m) q (kn/m) 7 - Răspuns :V 55,8 kn; V -,75kN, V -,58kN f

SISTEME PLNE DE BRE DREPTE RTICULTE ÎN NODURI

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Introducr Modll d clcul pntru studiul unor sistm sttic dtrmint su sttic ndtrmint formt din r drpt rticult în noduri numit şi grini cu ărl, sunt sistm dformil, construit p următorlor ipot: rl drpt u scţiun constntă şi lungim mult mi mr în rport cu dimnsiunil scţiunii; rl sistmului sunt rticult în noduri cu rticulţii prfct (fără frcr): sfric (pntru sistml spţil) su cilindric (pntru cl pln); rticulţiil sunt cntrl (tot l longitudinl l rlor sunt concurnt în cntrul rticulţii); dtorită rticulţiilor rl sistmului sunt supus numi l forturi il d întindr su comprsiun Un sistm d r rticult st sttic ndtrmint intrior su hiprsttic dcă forturil din r nu s pot dtrmin folosind dor cuţiil d chiliru l forţlor cr concură în noduri, cuţii c rultă din mtod iolării nodurilor su mtod scţiunilor Un sistm d r rticult st sttic ndtrmint trior dcă forţl d lgătură cu mdiul fi nu s pot dtrmin folosind dor cuţiil d chiliru l solidului rigid, cuţii c rultă plicând torm solidificării su torm chilirului părţilor Un sistm spţil formt din r rticult ( numărul d r şi n d noduri) st sttic dtrmint intrior dcă st îndplinită condiţi: n - () 5 5 ig ig Cl mi simplu sistm spţil d r rticult sttic dtrmint st sistmul ttrdric Prin dăugr unui nod (n) şi tri r () l cst sistm, conform rlţii () nu îşi modifică str sttic dtrmintă (fig): (n)- () Dcă > n sistmul st sttic ndtrmint intrior su hiprstic Grdul d ndtrminr intrior s clculă cu jutorul rlţii: GN i - n () Dcă < n sistmul dvin cinmtic (mcnism) vând grdul d moilitt M în funcţi d numărul d lmnt şi cls cupllor cinmtic l sistmului În 5

Cornl MRIN continur s vor studi numi sistml formt din r drpt rticult sttic dtrmint şi sttic ndtrmint intrior su trior Un sistm pln d r rticult în noduri ( numărul d r şi n d noduri) st sttic dtrmint intrior dcă st îndplinită condiţi: n- () Cl mi simplu sistm pln d r rticult în noduri sttic dtrmint st formt din tri r () şi tri noduri (n) (fig ) Prin dăugr unui nod (n) şi două r (), conform rlţii () sistmul nu îşi modifică str sttic dtrmintă (fig): (n)- (5) Dcă > n sistmul pln d r dvin sttic ndtrmint intrior su hiprsttic Grdul d ndtrminr intrior s clculă cu jutorul rlţii: GN i - n () În cul unui sistm sttic ndtrmint trior grdul d ndtrminr s clculă c difrnţ dintr numărul d ncunoscut N N introdus d lgături şi numărul d cuţii d chiliru indpndnt cr s pot scri stfl: pntru sistml spţil: GN N N - (7) pntru sistm pln: GN N N - (8) În cul unui sistm pln d r rticult c cl din figur : n5; 8; N N 5 cst sistm r grdul d ndtrminr intrior: GN i -n şi grdul d ndtrminr trior: GN N N - 5 P P ig Mtod forturilor pntru sistm sttic ndtrmint Mtod forturilor constă în trnsformr sistmului sttic ndtrmint într-un sistm sttic dtrmint numit sistm d ă su fundmntl prin suprimr unui număr d lgături gl cu grdul d ndtrminr GN şi introducr în locul cstor ncunoscutlor X, X, X n numit forturi sttic ndtrmint Trnsformr sistmului sttic ndtrmint în sistm d ă s pot rli în mi mult moduri, stfl încât să nu s oţină un sistm dformil su cinmtic Din punct d vdr mcnic sistmul rl şi sistmul d ă sunt chivlnt cstă chivlnţă s pot prim prin idntificr dformţiilor şi dplsărilor scţiunilor corspunător lgăturilor suprimt

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii cst dplsări s clculă pntru sistmul d ă folosind principiul suprpunrii fctlor tât pntru forţl trior cât şi pntru forturil sttic ndtrmint X, X, oţinându-s cuţiil cnonic l mtodi forturilor: δ δ δ X δ X δ X δ δ δ δ n n δ n δ X n X δ X δ X n n nn n δ X δ X n n (9) în cr: δ i st dplsr scţiunii i din sistmul rl p dircţi fortului sttic ndtrmint X i su cţiun srcinilor trior dt (i,,n); δ i dplsr scţiunii i din sistmul d ă p dircţi fortului X i su cţiun srcinilor trior dt (i,,n); δ ij dplsr scţiunii i din sistmul d ă p dircţi fortului X i su cţiun srcinii unitr X j (i,j,,n) Dplsăril δ io şi δ ij s dtrmină folosind mtod MOHR-MXWELL : n n N nikn knikl jkl k k δ i ; δij () k Ek k Ek în cr : N k st fortul il din r k l sistmului d ă su cţiun srcinilor trior l sistmului rl; n ik fortul il din r k l sistmului d ă su cţiun uni forţ unitr X i plicţi Pntru sistmului pln d r rticult din figur să s dtrmin, folosind mtod forturilor, rcţiunil şi forturil din rl sistmului În figur sunt prntt două sistm d ă S lg sistmul din figur, c sistm d ă: cst st un sistm ndformil, numărul d ncunoscut sttic ndtrmint st gl cu grdul d ndtrminr () şi dplsăril p dircţiil forturilor ncunoscut X, X şi X sunt nul X P 5 P P X X ig 7

Cornl MRIN X P 5 P X P X X ig Ecuţiil cnonic (9) s scriu în cst c stfl: δ δ δ X δ X δ X δ δ δ X δ X δ X () δ δ δx δ X δx Dplsăril δ i, δ ij, (i,j,,) din sistmul d ă din figur sunt prntt în figuril 5,, c, d : δ, δ, δ dplsăril p dircţi forturilor X, X, X su cţiun forţlor dt P, P, P ; δ, δ, δ dplsăril p dircţiil lui X, X, X su cţiun forţi X ; δ, δ, δ dplsăril p dircţiil lui X, X, X su cţiun forţi X ; δ, δ, δ dplsăril p dircţiil X, X, X su cţiun forţi X ; P 5 P P δ ig 5 δ δ 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 δ X δ δ ig5 5 δ δ X ig5 c δ X 5 δ δ δ ig5 d Pntru dtrmin dplsăril δ i, δ ij s clculă forturil din rl sistmului pntru cl ptru curi d încărcr l sistmului d ă folosind mtod iolării nodurilor Rulttl sunt prntt în figuril, 7, 8 şi 9 9

Cornl MRIN H V S S S 5 S 5 5 S S S S S 5 P P N S S S S S 5 P S S ig Nodul5: S 5 S 5 P ; S 5 S 5 - P Nodul: S S P ; S S P ; S S Nodul: S S ( ) P ; S S ( ) P Nodul: S S ( ) P ; N ( ) P Nodul: H ( ) P ; V ( ) P Pntru vrificr rulttlor oţinut s folosşt torm solidificării şi cuţiil d chiliru pntru forţl trior dirct plict şi d lgătură: : N H () : V P P P h v s s s s 5 s 5 5 s s 5 s s n ig7 s s s s s X s s ; n - Clllt forturi sunt nul s s 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii h v s s s s 5 s 5 5 s s 5 s s n s s s s s 5 ig8 s s X Nodul : s s -; s s Nodul : s s ; s s -; Nodul : s s -; n - Nodul : h ; v - Clllt forturi sunt nul h v s s s 5 s 5 5 X s s s s s 5 n ig9 s s s s s s s 5 Nodul : s s / ; s s / ; s s ; Nodul : s s ; s s / ; Nodul : s s / ; n - Nodul : h / ; v / Clllt forturi sunt nul

Cornl MRIN Pntru cl ptru curi d încărcr s oţin rulttl în tlul Tlul Br k (i-j ) Eforturil N k Eforturil n k Eforturil n k Eforturil n k Lungim l k (-) P - / (-) P / (-) P - / (-) P 5 (-) P - / (-5) P 7 (-5) - P 8 (-) Tlul Br k N k n k l k N k n k l k N k n k l k n k n k l k n k n k l k (-) - ( ) P ( )P (-) P P (-) - ( )P ( ) P (-) 5 (-) ( 8 ) P ( ) P -P - P (-5) 7 (-5) 8 (-) Br k n k n k l k n k n k l k n k n k l k n k n k l k (-) / / (-) / / (-) / / (-) 5 (-) / / (-5) 7 (-5) 8 (-)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Înlocuind în rlţiil () suml din tlul rultă dplsăril δ i, δ ij : P P P δ ; δ ( ) ; δ ( 8 ) ; E E E δ ; δ ( ) ; δ ( ) () E E E ; ; δ δ δ δ δ δ E E Eforturil sttic ndtrmint X, X şi X sunt soluţil cuţii mtricl: X X P () 8 X S oţin următorl rultt pntru forturil sttic ndtrmint: X P, 88P; (5) X, 858 P; X Eforturil din rl sistmului şi rcţiunil din lgăturil şi s dtrmină din sistmul rl după introducr forturilor sttic ndtrmint X, X şi X su din sistmul d ă prin suprpunr fctlor pntru cl ptru curi d încărcr conform rlţiilor: Sij Sij sijx sij X sijx () S oţin rulttl din tlul Tlul Br k (i-j, noduri d cpăt) Eforturil N k (-), P (-) (-),7 P (-) 5 (-) -,57 P (-5),88 P 7 (-5) - P Rcţiunil s dtrmină din sistmul rl după introducr forturilor sttic ndtrmint X, X şi X su din sistmul d ă prin suprpunr fctlor pntru cl ptru curi d încărcr conform rlţiilor: H H h X h X h X 757, P V V N N v n X v X X n v X X n 5, P X, 57 P (7)

Cornl MRIN Mtod dplsărilor pntru sistm pln din r rticult Mtod dplsărilor st o mtodă d clcul mtricl structurilor din r rticult vând l ă prsi mtriclă rlţii dintr forţl nodl şi dplsăril nodl l lmntului d ră, în funcţi mtric d rigiditt [K ]: { } [ ] K { δ } (8) Epndr, smlr cstor mtric şi scrir cuţiilor d chiliru l forţlor nodl cr concură în ficr nod conduc l un sistm glol d cuţii vând c ncunoscut dplsăril nodurilor S considră lmntul d tip ră rticultă l cpt cuprins într noduril i şi j, vând scţiun constntă şi lungim L şi un sistm d locl, stfl încât O să coincidă cu ri (fig ) i i j j N i i j N j O ui u j ig S primă forţl nodl lmntl u j orţ nodlă, în funcţi d dplsăril nodl u i, i j j corspunător nodului j coincid cu fortul il N j ir forţ nodlă i st opusă fortului il N i (fig ): i Ni ; j N j ; (9) Dformţi lmntului d ră ΔL ij s primă în funcţi d dplsăril nodl corspunător u i şi u j stfl: jl ( u u ) NiL N E ΔLi j u j ui N i N j i j () E E L Ţinând sm d rlţiil (9) s scriu forţl nodl lmntl i şi j în funcţi d dplsăril nodl corspunător u i şi u j stfl: E i Ni ( ui u ) j L () E j N j ( ui u j ) L Rlţiil () s mi scriu su form mtriclă stfl: i E ui () j L u j

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S considră un sistmul glol d d coordont O şi unul locl O Dplsăril nodurilor i şi j după cl două dircţii O rspctiv O sunt nott u i, vi, u j, v j ir forţl nodl cu i, i, j, j ( i ; j ) (fig) Rlţi mtriclă într forţl şi dplsăril nodl () s mi pot scri în sistmul d locl O stfl: i ui i E vi () j L u j j v j v j j u j v j j v i v i i i O u i α u j O u i ig Rlţi () s mi scri condnst su form: K δ () { } [ ] { } und: [ K ] st mtric d rigiditt lmntului în coordont locl; { } δ mtric colonă dplsărilor nodl în coordont locl; { } mtric colonă forţlor nodl în coordont locl Dplsăril nodl locl u i,vi,u j, v j s primă în funcţi d dplsăril glol u i, v i, u j, v j şi d unghiul α dintr l O şi O stfl (fig ): ui ui cosα vi sinα; u j u j cosα v j sinα (5) vi ui sinα vi cosα; v j u j sinα v j cosα Notând cosinuşii dirctori cos α l, sinα m rlţiil (5) s scriu su formă mtriclă stfl: 5

Cornl MRIN ui l m ui vi m l vi () u j l m u j v j m l v j su su form: { δ } [ T ] { δ } (7) în cr: [T] st mtric d trnsfr din sistmul locl O în cl glol O În mod nlog s primă forţl nodl lmntl din sistmul locl,,, în funcţi d forţl nodl lmntl din sistmul glol i i i i j j j j,,, (fig ): i i j j l m su su form condnstă: { } [ T ] { } m l l m m l i i i i (8) (9) j i j j j j i i α i O i O ig Trnspus mtrici d trnsfr [T] st idntică cu invrs i, întrucât vrifică t rlţi: [ T ] [ T ] [ I ] () Introducând rlţiil (7) şi (9) în rlţi () s oţin: T K T δ () [ ] { } [ ] [ ] { }

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Înmulţind l stâng rlţi () cu mtric invrsă [ ] t t [ T ] [ T ] { } [ T ] [ K ] [ T ] { δ } T [ T ] t, s oţin: () S- oţinut rlţi mtriclă într forţl lmntl şi dplsăril nodl glol corspunător sistmului d glol O: K δ () { } [ ] { } în cr: [ K ] st mtric d rigiditt lmntului în coordont glol vând prsi: l lm l lm t E [ ] [ ] [ ] [ ] lm m lm m K T K T () L l lm l lm lm m lm m Mtric d rigiditt lmntului în coordont glol () r următorl proprităţi: tot lmntl d p digonl principlă sunt poitiv; mtric st simtrică în rport cu digonl principlă sum lmntlor situt p linii şi p colon st nulă; lgoritmul mtodi dplsărilor cuprind următorii pşi: Scrir rlţiilor mtricl dintr forţl nodl şi dplsăril corspunător pntru ficr dintr lmntl sistmului Scrir rlţiilor mtricl într forţl lmntl şi dplsăril nodl corspunător, în dimnsiun dplsărilor glol (pndr mtriclor d rigiditt) Scrir cuţiilor d chiliru dintr forţl nodl lmntl şi srcinil trior cr cţionă supr ficărui nod (smlr mtriclor), oţinr cuţii mtricl glol (introducr încărcărilor); Introducr condiţiilor l limită (dplsări impus), rolvr cuţii mtricl glol şi dtrminr dplsărilor ncunoscut 5 Clculul rcţiunilor ncunoscut şi l forturilor din r 7

Cornl MRIN plicţi Pntru sistmul pln d r rticult lgtă d mdiul fi în noduril, şi supr cări cţionă în noduril, şi 5 forţl trior P, P şi P c în figur, să s dtrmin, folosind mtod dplsărilor, rcţiunil şi forturil din rl sistmului P 7 5 8 5 P O P ig lgoritmul mtodi dplsărilor cuprind: Scrir rlţiilor mtricl dintr forţl nodl şi dplsăril corspunător pntru ficr dintr cl şpt lmnt l sistmului În tlul sunt dfinit lmntl sistmului d r rticult în rport cu sistmul d coordont glol O (fig) Elmnt Noduril i-j Coordontl nodurilor în O l i j i i j j (cosα ) Tlul m (sinα ) - / / 5 / / 7 5 8 5 / / L 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 9 Mtric d rigiditt în coordont glol () s scri: pntru lmntl vând : 9 m, l α şi vând : 9 m, l α, mtric d rigiditt r cşi formă: [ ] [ ] E K K (5) pntru lmntl,, 7 vând : m, l α rultă: [ ] [ ] [ ] 7 E K K K () pntru lmntl 5, 8 vând : 5 / m ; / l α mtric d rigiditt r cşi formă: [ ] [ ] 8 5 E K K (7) pntru lmntul vând : 5 / m ; / l α mtric d rigiditt r form: [ ] E K (8) Scrir rlţiilor mtricl într forţl lmntl şi dplsăril nodl corspunător, în dimnsiun dplsărilor glol (pndr mtriclor) : lmntul (-): 5 5 v u v u v u v u v u E (9)

Cornl MRIN lmntul (-): 5 5 v u v u v u v u v u E () lmntul (-): 5 5 v u v u v u v u v u E () lmntul (-): 5 5 v u v u v u v u v u E ()

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii lmntul 5 (-): 5 5 5 5 5 5 v u v u v u v u v u E () lmntul (-): 5 5 v u v u v u v u v u E () lmntul 7 (-5): 5 5 7 5 7 5 7 7 v u v u v u v u v u E ()

Cornl MRIN lmntul 8 (-5): 5 5 8 5 8 5 8 8 v u v u v u v u v u E (5) Prin însumr mmru cu mmru rlţiilor mtricl (9) () s oţin cuţi mtriclă glolă: 5 5 8 5 7 5 8 5 7 5 7 5 7 5 8 8 5 5 v u v u v u v u v u E (7) Scrir cuţiilor d chiliru dintr forţl nodl lmntl şi srcinil trior cr cţionă supr ficărui nod (smlr mtriclor), oţinr cuţii mtricl glol L scrir cuţiilor, s ţin sm că forţl c cţionă supr nodurilor u snsuri opus forţlor lmntl Ecuţiil d chiliru l forţlor lmntl şi forţlor trior pntru ficr nod s scriu pntru ficr nod stfl (fig):

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii nodul : V H (8) nodul : V H (9) nodul : 5 5 V (5) nodul : 7 5 7 5 (5) nodul 5: P P 7 5 5 7 5 5 (5) ig 7 5 8 5 Nodul 5 8 5 7 5 P V Nodul H V Nodul H 8 8 Nodul N 5 5 P Nodul 5 5 7 7 P

Cornl MRIN Ecuţiil d chiliru (8) (5) dintr forţl nodl lmntl şi forţl trior s pot scri su formă mtriclă stfl: P P V H P N V H 7 5 5 7 5 5 7 5 7 5 5 5 (5) Ţinând sm d rlţi (7), rlţi mtriclă (5) s scri: P P V H P N V H v u v u v u v u v u E 5 5 (5) Rlţi mtriclă (5) într forţl trior şi dplsăril nodl glol s scri su form condnstă stfl: { } [ ] { } δ K P (55) und: [ ] K st mtric d rigiditt glolă sistmului; {} δ mtric colonă dplsărilor nodl în coordont glol; { } P mtric colonă forţlor trior

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Din prsi mtrici d rigiditt glol structurii (5) s osrvă că trmnii d p digonl principlă sunt poitivi, sum trmnilor d p linii su colon st ro (mtric st singulră) şi st simtrică în rport cu prim digonlă Pntru ridicr singulrităţii mtrici d rigiditt s limină liniil şi colonl corspunător lgăturilor Introducr condiţiilor l limită (dplsări impus), rolvr cuţii mtricl oţinut şi dtrminr dplsărilor ncunoscut Dcă în cuţi mtriclă (5) s introduc condiţiil l limită cr corspund lgăturilor sistmului cu mdiul fi cst sunt: u v u u v (5) Pntru ridicr singulrităţii mtrici d rigiditt s limină liniil,,, 5 şi corspunător rcţiunilor ncunoscut H, V, N, H, V şi colonl,,, 5 şi corspunător dplsărilor nul S oţin cuţi mtriclă cr prmit dtrminr dplsărilor ncunoscut v, u, v, u 5, v 5 : 5 5 E P v u v u v (57) Rolvând sistmul s oţin vloril dplsărilor ncunoscut: E P v ; E P u ; E P, v ; E P, u ; E P, v 5 585 757 5 5 5 (58) 5 Clculul rcţiunilor şi l forturilor din r Din cuţiil corspunător liniilor,,, şi l cuţii mtricl glol (55) s dtrmină rcţiunil ncunoscut: ( ) ( ) ( ) P, E v u v V P;, E v u H P;, E v u v N P;, E v V P;, E u H 858 88 585 5 757 5 5 5 5 (59)

Cornl MRIN Prolm propus Pntru sistml pln d r rticult rmt şi lgt l mdiul fi c în figuril şi 5 s cunosc : E,,, şi P olosind mtod dplsărilor s cr: să s dtrmin dplsăril nodurilor lir; să s dtrmin rcţiunil din lgăturil rlor cu mdiul fi P / / ig 5 P P ig5

SISTEME PLNE DE BRE DREPTE CU NODURI RIGIDE

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Introducr Sistmul pln formt din r drpt cu noduri rigid st un sistm sttic ndtrmint trior dcă nu s pot dtrmin tot forţl d lgătură cu mdiul fi folosind cuţiil d chiliru din Mcnic solidului, rspctiv un sistm sttic ndtrmint intrior dcă nu s pot dtrmin tot forturil din rl sl folosind cuţiil d chiliru l forturilor şi forţlor trior Grdul d ndtrminr trior GN pntru un sistm pln sttic ndtrmint st difrnţ dintr numărul d ncunoscut N N introdus d lgături şi numărul d cuţii d chiliru indpndnt c s pot scri din Mcnic solidului: GN N N - () Grdul d ndtrminr intrior GN i pntru un sistm pln sttic ndtrmint s clculă stfl: GN i n () în cr n st numărul d contururi indpndnt închis Sistmul din figur st sttic ndtrmint trior şi intrior vând N N ncunoscut din lgăturil cu mdiul fi () şi n numărul d contururi indpndnt vând următorl grd d ndtrminr: intrior: GN i N N - () trior: GN n () B P P ig P M B P H B V B M i M i H T N N T M V ig ig 9

Cornl MRIN Conturul închis l sistmului pln d r cu noduri rigid (un cdru drptunghiulr) introduc tri ncunoscut cr corspund clor tri forturi într-o scţiun cstui contur: N fortul il, T fortul tăitor şi M i fortul încovoitor, conform figurii Pntru cdrul din figur grdul d ndtrminr totl st: GN GN GN i (5) Dcă s scţionă cdrul din figur cu un pn imginr s introduc forturil scţionl corspunător rlor scţiont: N, T, M i, N, T, M i pntru ficr din cl două susistm sttic dtrmint oţinut, c în figur Grdul d ndtrminr l sistmului st gl cu numărul d forturi ncunoscut sttic ndtrmint corspunător rlor scţiont: GN () M i T N M i N T B M i M i T P T N N P ig Mtod forturilor pntru sistm sttic ndtrmint lgoritmul mtodi forturilor S lg un sistm sttic dtrmint cr s oţin din sistmul rl prin suprimr unui număr d lgături trior, numit sistmul d ă su fundmntl; S înlocuisc lgăturil suprimt cu ncunoscutl sttic ndtrmint X, X, X, conform iomi lgăturilor; S scriu dplsăril pntru unl scţiuni l sistmului d ă (în cr cţionă forturil sttic ndtrmint X, X, X,), dplsări cr trui să fi idntic cu cl l sistmului dt (impus su nul) cst dplsări s dtrmină prin suprpunr fctlor forţlor trior şi forturilor sttic ndtrmint cr cţionă supr sistmului d ă: δ δ δ X δ X δ X δ δ δ X δ δ n n δ X n δ δ n X X n δ δ n nn n X X n n (7)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii în cr: δ i st dplsr din sistmul rl p dircţi fortului sttic ndtrmint X i su cţiun srcinilor trior (impus su nul); δ i dplsr din sistmul d ă p dircţi fortului X i su cţiun clorşi srcini trior (i,,n); δ ij dplsr din sistmul d ă p dircţi fortului X i su cţiun uni srcini unitr X j (i,,n) Dplsăril δ i şi δ ij s dtrmină folosind mtod MOHR-MXWELL luând în clcul forturil il şi încovoitor (s- nglijt fctul forturilor tăitor supr dformţiilor sistmului): ni N mim δi d d i,, E EI (8) nink mimk δik d d i,k, E EI în cr: N, M sunt forturil il rspctiv încovoitor cr s oţin în sistmul d ă su cţiun srcinilor din sistmul rl n i, m i, forturil il rspctiv încovoitor cr s oţin în sistmul d ă su cţiun forturilor sttic ndtrmint unitr: X i ; S dtrmină rcţiunil şi digrml d forturi N, T şi M dirct: N N n X n X T T tx t X (9) M M m X m X su prin plicr principului suprpunrii fctlor folosind rlţiil: H H h X h X h X V M V N v n X v X X n v X n X X () Simtrii în sistm sttic ndtrmint Mtod forturilor constă în rolvr sistmului sttic dtrmint numit sistm d ă oţinut prin suprimr lgăturilor trior su intrior vând un număr mr d ncunoscut X, X, X, numit sistm printă simtrii cr prmit d l încput liminr unor ncunoscut (fi că sunt nul su gl prchi), c c micşoră numărul d ncunoscut M i M i T N N T ig

Cornl MRIN Dcă s scţionă r cu un pln imginr şi s introduc forturil scţionl p cl două fţ l scţiunii s osrvă că forturil N şi M sunt forturi simtric, ir fortul T st ntisimtric (fig ) În fig 5 st prntt un sistm simtric încărct simtric şi digrml d forturi T şi M S osrvă din cst digrm că fortul ntisimtric T st nul în plnul d simtri Rultă că forturil ntisimtric din plnul d simtri l unui cdru simtric încărct simtric sunt nul q B q/ q/ Digrm T T - Digrm M ig5 M m q /8 În fig st prntt un sistm simtric încărct ntisimtric şi digrml d forturi T şi M corspunător S osrvă în cst c că fortul simtric M st nul în plnul d simtri Rultă că forturil simtric din plnul d simtri l unui cdru simtric încărct ntisimtric sunt nul q B q/ q -q/ Digrm T Digrm M q/ - -q/ -q / - M ig q / q/

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Clculul dplsărilor în sistm sttic ndtrmint Dplsăril şi rotiril uni scţiuni orcr dintr-un sistm sttic dtrmint s pot clcul utiliând mtod nrgtic (MOHR MXWELL) prin suprpunr fctlor forţlor trior şi forturilor sttic ndtrmint cr u fost clcult ntrior, cr cţionă supr sistmul d ă Sistmul d ă st chivlnt din punct d vdr mcnic cu sistmul rl întrucât cst s- dtrmint punând condiţiil c dformţiil sl să fi idntic cu cl l sistmului rl Dplsr uni scţiuni p dircţi forţi (rl su fictiv) s dtrmină prin suprpunr fctlor: δ δ δ X δ X () în cr: δ st dplsr punctului p dircţi în sistmul d ă su m cţiun forţlor trior dt M δ d ; EI δ i, dplsr punctului p dircţi forţi în sistmul d ă su m m cţiun forţi unitr X i : δ i i d i,, EI Eprsiil cstor dplsări s dtrmină folosind mtod Mohr Mwll Dcă s nglijă fctl forturilor il şi tăitor dplsr uni scţiuni p dircţi forţi s scri: δ [ M md X mm d ] [ ( M X m )md] EI EI () δ Mmd EI Mtod dplsărilor în cul sistmlor pln formt din r cu noduri rigid Mtric d rigiditt în coordont locl S considră un lmnt d ră l sistmului, dlimitt d noduril i şi j, vând lungim L, rigiditt l întindr E, l încovoir EI şi un sistm d d coordont locl O stfl încât O să coincidă cu ri, c în figur 7 j j i M j v j v i M i u i i u j ig7

Cornl MRIN S notă ui, vi, ϕ i, u j, v j, ϕj dplsăril nodl (linir şi unghiulr) l nodurilor i şi j şi cu i, i, M i, j, j, M j forţl/cupluril lmntl în sistmul locl d O (fig7) orţl/cupluril lmntl s pot prim în funcţi d dplsăril nodl corspunător u, v, ϕ, u, v ϕ, su următor formă: M M i i i j j K K K K K K j 5 K K K K K K i i i j j, 5 K K K K K K 5 K K K K K K 5 K K K K K K j 5 5 5 5 55 5 K K K K K K 5 ui vi ϕ i u j v j ϕj su: { } [ ] K { δ } und: [ K ] st mtric d rigiditt lmntului în coordont locl; { } () () δ - mtric colonă dplsărilor nodl; { } - mtric colonă forţlor/cuplurilor lmntl Elmntl mtrici d rigiditt lmntului în coordont locl K ij sunt gl cu srcinil lmntl corspunător unor dplsări nodl unitr Pntru dtrminr lmntlor mtrici d rigiditt situt p o colonă s considră p rând cât un dintr dplsări glă cu unitt şi clllt nul Dplsr liniră u i (fig 8) S scriu următorl cuţii d chiliru şi dformţii: cuţii d chiliru: i j (5) cuţii d dformţii: u ; u () i K K K i i j K u i i j ( u u ) E L i E L i K K 5 ig8 ( u u ) j j E L E L j j (7)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Dplsr liniră v (fig 9) i i j v i M i i ig9 M j j S scriu următorl cuţii d chiliru şi dformţii: i j cuţii d chiliru: M i M j i L (8) cuţii d dformţii: vi ; v j ; ϕ i ϕj (9) EIv j EIvi EIϕ il M il / il / EIϕ j EIϕ i M il il / () K K K M M K i j EI / L ; K EI / L ; K 5 Dplsr unghiulră ϕ (fig ) i i j EI / L EI / L () ϕ i i j M i i M j j ig S scriu următorl cuţii d chiliru şi dformţii: i j cuţii d chiliru: M i M j il () cuţii d dformţii: ϕ ; v v ϕ () i i j ; j 5

Cornl MRIN EIv j EIvi EIϕiL M EIϕ j EIϕi M il K K K M M K i j EI / L ; K EI / L ; K i i L / L / 5 i i j L / EI / L EI / L () Dplsr liniră u (fig ) j u j i S scriu următorl cuţii d chiliru şi dformţii: cuţii d chiliru: i j (5) cuţii d dformţii: u ; u () K K K K i j i j E L E L K 5 ( u u ) i ( u u ) i K 5Dplsr liniră v (fig ) i j ig j j E L E L j j (7) i M j j v j M i i ig j

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S scriu următorl cuţii d chiliru şi dformţii: i j cuţii d chiliru: M i M j il (8) cuţii d dformţii: v ; v ϕ ϕ (9) K K K 5 5 5 M M K i j ; i j EIv j EIvi EIϕ il M EIϕ j EIϕ i M il i j 5 EI / L ; K EI / L ; K i i L / L / 5 55 i L / EI i j EI / L EI / L () Dplsr unghiulră ϕ (fig ) j ϕ j i j i M i ig M j j S scriu următorl cuţii d chiliru şi dformţii: i j cuţii d chiliru: M i M j il () cuţii d dformţii: ϕ ; v v ϕ () j i j ; i EIv j EIvi EIϕiL M il / il / EIϕ j EIϕi M il il / EI K M i EI / L; K i EI / L K M EI / L; K EI / L ; j K K Mtric d rigiditt din rlţi () în sistmul d locl r form: 5 j () 7

Cornl MRIN 8 [ ] L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L E L E L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L E L E K () Notând EL /EI α tunci rlţi mtriclă forţ lmntl - dplsări nodl () s scri ţinând sm d rlţi () su form normlită: j j j i i i j j j i i i L / v L / u L / v L / u L EI L / M L / M ϕ ϕ α α α α (5) su condnst: { } [ ] { } n n n K δ () Mtric d rigiditt în coordont glol S primă dplsăril nodl din sistmul d locl j j j i i i, v, u,, v, u ϕ ϕ în funcţi d dplsăril nodl din sistmul d glol j j j i i i, v, u,, v, u ϕ ϕ şi d unghiul α dintr O şi O (fig) su form: j j i i j j j i i i j j j i i i ; cos v sin u v ; cos v sin u v sin v cos u u ; sin v cos u u ϕ ϕ ϕ ϕ α α α α α α α α (7) Dcă s notă m sin si cos α α l, rlţiil (7) s scriu: j j j i i i j j j i i i L / v L / u L / v L / u m m m m L / v L / u L / v L / u ϕ ϕ ϕ ϕ l l l l (8)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii v j v j u j ϕ j ϕ j u j v i v i u i α ϕ i ϕ i u i ig Rlţi (8) s pot scri condnst: n n { δ } [ T ] { δ } (9) în cr s- nott cu [T] mtric d trnsfr din sistmul d glol O în sistmul d locl Invrs csti mtric st idntică cu trnspus i: O [ T ] [ T ] t [ I ] () orţl/cupluril lmntl în sistmul d locl O s primă în clşi mod cu dplsăril nodl în funcţi d srcinil nodl l lmntlor din sistmul d glol O S oţin nlog: i l m i i m l i M i / L M i / L () j l m j m j l j M j / L M j / L su su form condnstă: n n { } [ T ] { } () Ţinând sm d rlţiil (9) şi () rlţi () s scri: n n n T K T δ () [ ] { } [ ] [ ] { } Înmulţind l stâng rlţi mtriclă () cu mtric [ ] T t n t n n [ T ] [ T ] { } [ T ] [ K ] [ T ] { δ } n t n n n n n { } [ T ] [ K ] [ T ] { δ } { } [ K ] { δ } n t n În rlţi () s- nott cu: [ K ] [ T ] [ K ] [ T ] [ T ] t s oţin: () (5) mtric d rigiditt lmntului su form normlită în coordont glol 9

5 Cornl MRIN lgoritmul mtodi dplsărilor lgoritmul mtodi dplsărilor constă în prcurgr următorilor pşi: s dscompun sistmul pln d r în lmnt vând cşi rigiditt l întindr-comprsiun (E) rspctiv l încovoir (EI) şi s scriu rlţiil mtricl dintr forţl lmntl şi dplsăril nodl corspunător su formă normlită în sistmul d locl, conform rlţii (5); s scriu mtricl d trnsfr [T] din sistmul d locl în cl glol cu jutorul cosinuşilor dirctori: l cosα; m cos( 9 α ) pntru ficr dintr lmntl sistmului; s scriu rlţiil mtricl dintr forţl lmntl şi dplsăril nodl corspunător su formă normlită în sistmul d glol pntru ficr dintr lmntl sistmului, conform rlţii (5); s scriu rlţiil mtricl glol dintr forţl lmntl şi dplsăril nodl corspunător su formă normlită în sistmul d glol în dplsări glol, pntru ficr lmnt: n n n { G } [ KG ] { δg} () 5 s însumă rlţiil mtricl glol mmru cu mmru oţinându-s în stâng mtric colonă sumi forţlor/cuplurilor nodl corspunător ficărui nod, ir în drpt produsul dintr mtric d rigiditt glolă structurii şi mtric colonă dplsărilor glol: n n n { G } [ KG ] { δg} (7) s scriu cuţiil d chiliru dintr forţl/cupluril nodl (cr sunt gl cu forţl lmntl şi d sns opus) şi srcinil trior cr cţionă în ficr nod: { G } n { P} 7 s introduc condiţiil l limită şi s rolvă cuţi mtriclă oţinută oţinându- n n K δ P (8) s dplsăril nodurilor sistmului: [ G ] { G} { } n Mtric sistmului st nsingulră dt [ ] K G Ridicr nsingulrităţii s fc prin liminr colonlor corspunător dplsărilor nul şi rspctiv liniilor corspunător rcţiunilor ncunoscut 8 Postprocsr rulttlor constă în clculul rcţiunilor, l forturilor din rl sistmului şi trsr digrmlor d forturi plicţi olosind mtod forturilor şi mtod dplsărilor, pntru sistmul sttic ndtrmint formt din tri r rigid în noduri încstrt în noduril () şi () şi încărct din figur 5 cu forţ P şi cuplul P în nodul (), s cr: să s dtrmin rcţiunil şi forturil din r; să s trs digrml d forturi N, T şi M i ; să s clcul dplsr p vrticlă nodului () S cunosc vloril prmtrilor: L mm; P N; mm ; I 5 mm ;E 5 MP

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii P P ig5 Mtod forturilor S lg sistmul d ă prin suprimr încstrării () şi introducr ncunoscutlor sttic ndtrmint X, X şi X c în figur P P X X X ig S scriu dplsăril şi rotir scţiunii () sistmului d ă su cţiun srcinilor din sistmul rl (P şi P) şi forturilor ncunoscut X, X şi X Cl două dplsări (după dircţi fortului X şi rspctiv lui X ) şi rotir (după dircţi lui X ) trui să fi idntic cu cl din sistmul rl dică nul cst s clculă sprt pntru cl ptru sturi d srcini cunoscut (P, P) su ncunoscut (X ; X ; X ) şi s plică principiul suprpunrii fctlor: δ δ δ X δ X δ X δ δ δ X δ δ δx δ X δx Dplsăril δ i şi δ ij s dtrmină folosind mtod MOHR-MXWELL numi pntru solicitr d încovoitor (s nglijă fctul forturilor il şi tăitor): δ X δ X (9) 5

Cornl MRIN mim mimk δ i d δik d i,k,, EI (5) EI în cr: M () sunt funcţiil forturilor încovoitor din rl sistmului corspunător srcinilor rl cr cţionă în sistmul d ă; m i, funcţiil forturilor încovoitor din rl sistmului corspunător unui fort sttic ndtrmint unitr: X i în sistmul d ă Digrml d forturi încovoitor M, m, m şi m sunt prntt în figuril 7, 8, 9 şi rspctiv P P Snsul d prcurgr ig7 P P Digrm M X Snsul d prcurgr - - - - Digrm m ig8 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii X Snsul d prcurgr - ig9 Digrm m X Snsul d prcurgr ig - c Digrm m Dplsăril δ i şi δ ij s dtrmină folosind mtod MOHR-MXWELL şi rgul d intgrr VEREŞCEGHIN S-u oţinut rulttl: δ P EI δ δ P EI P EI P P ( ) EI P P P EI 5 ; P EI ; ; (5) 5

Cornl MRIN δ ( ) ( ) ( ) ; EI EI δ δ ( ) ( ) ; EI EI δ δ ( ) ( ) ; EI EI 5 δ EI EI (5) δ δ ; EI EI δ ( ) EI EI Rultă următorul sistm d tri cuţii: P X X X EI EI EI EI 5 P X X X (5) EI EI EI EI P X X X EI EI EI EI Rolvând sistmul (5) s oţin ncunoscutl sttic ndtrmint: X, P; X, P; (5) X, P S clculă rcţiunil pntru sistmul d ă (fig) în cr cţionă forţl dt (P, P) şi ncunoscutl sttic dtrmint clcult (X ; X ; X ) -,P P P,P,P 5 H M V ig

S oţin: Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii V P, P, 8P H, P M P P, P, P, P, P (5) S trsă digrml d forturi N, T şi M i din figuril şi,p Digrm N -,P -,8P Digrm T,P ig - -,P,8P ig Digrm M i -,P -,8P -,P -,P -,P,P ig 55

Cornl MRIN 5 S clculă dplsr vrticlă punctului d plicţi l forţi P Pntru clculul dplsării nodului p vrticlă s folosşt mtod MOHR MXWELL: δ Mmd EI (55) în cr M st funcţi momntlor încovoitor din sistmul d ă su cţiun cl ptru sturi d forţ (P, P, X ; X ; X ): m, funcţi momntlor încovoitor din sistmul d ă su cţiun uni forţ unitr X plictă în punctul p dircţi lui P (fig 5) X ig5 Pntru clculul intgrli (55) s utiliă formul lui / SIMPSON: δ ( hk hk hk ) (5) EI în cr h, h şi h sunt ordontl din digrm M corspunător cptlor şi rspctiv mijlocului sgmntului d lungim ; k, k şi k sunt ordontl din digrm m corspunător cptlor şi rspctiv mijlocului sgmntului d lungim ; P δ [(, P ) ( ) (, P ) (, 5 ) (, P ) ], (57) EI EI P - P - Digrm m O ig 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 57 Mtod dplsărilor S lg sistmul d glol O şi s dfinsc lmntl (fig ) Pntru lmntl şi mtric d trnsfr st mtric unitt: Pntru lmntul : 9 9 sin m ; cos l şi conform (8) mtric d trnsfr r form: [ ] T (59) [ ] [ ] [ ] I T T (58) Conform rlţii (5) mtric d rigiditt pntru lmntl şi s scriu în sistmul glol stfl: / v / u / v / u EI / M / M / v / u / v / u EI / M / M ϕ ϕ α α α α ϕ ϕ α α α α () Mtric d rigiditt pntru lmntul s scri ţinând sm d rlţi (5): [ ] [ ] [ ] [ ] n t n T K T K () [ ] [ ] t / v / u / v / u T α α α α T L EI / M / M ()

Cornl MRIN 58 Efctuând clcull în rlţi mtriclă () s oţin: / v / u / v / u EI / M / M ϕ ϕ α α α α () Pntru ficr dintr lmntl sistmului s scriu rlţiil mtricl () şi () su formă pndtă în sistmul d glol, conform rlţii (5): lmntul : / v / u / v / u / v / u / v / u EI / M / M ϕ ϕ ϕ ϕ α α α α () lmntul : / v / u / v / u / v / u / v / u EI / M / M ϕ ϕ ϕ ϕ α α α α (5)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 59 lmntul : / v / u / v / u / v / u / v / u EI / M / M ϕ ϕ ϕ ϕ α α α α () Înlocuind în EL /EI α vloril prmtrilor rultă: α (7) Însumând mmru cu mmru rlţiil mtricl glol (), (5) şi () s oţin mtric d rigiditt glolă structurii: ( ) ( ) 8 8 / v / u / v / u / v / u / v / u EI / M / M M / M M / M ϕ ϕ ϕ ϕ (8) S scriu cuţiil d chiliru dintr forţl/cupluril nodl (cr sunt gl cu forţl lmntl şi d sns opus) şi srcinil trior cr cţionă în ficr nod conform rlţii (8) şi figurii 7: nodul : / M / M V ; H (9)

Cornl MRIN nodul : ( ) / M M ; (7) nodul : ( ) / M M ; (7) nodul : / M / M ; V ; H (7) Ecuţiil d chiliru l forţlor din noduri s introduc în rlţi (7) oţinându-s: / M V H P/ P / M V H / v / u / v / u / v / u / v / u EI 8 8 ϕ ϕ ϕ ϕ (7) ig7 P P O H V M H V M

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S introduc condiţiil l limită u v v v şi ϕ ϕ oţinându-s un sistm nsingulr Pntru ridic nsingulritt cstui sistm s limină colonl corspunător dplsărilor nul, rspctiv liniil corspunător rcţiunilor ncunoscut H, V, M /, H, V, M / S oţin următorul sistm: u / EI 8 v / ϕ u / v / P 8 ϕ P (7) Rolvând cst sistm rultă dplsăril nodurilor şi : u P 5, 97 u, 98 mm; EI v P, EI ϕ P 99, EI u 5, 97 v P 7, EI P ϕ, EI v ϕ P EI v ϕ 8, mm 9, 95 u, 98 8, 5 mm 55, rd rd mm; (75) Ultim tpă constă în clculul rcţiunilor, şi trsr digrmlor d forturi: Rcţiunil s clculă utiliând cuţiil,,, 7, 8 şi 9 l sistmului (8): u v H P N; V ϕ P 8 N v M ϕ P Nmm (7) u v H P N; V ϕ P N v M ϕ P Nmm Digrml d forturi il N, tăitor T şi încovoitor M i sunt trst în figuril 8, 9 şi

Cornl MRIN Digrm N - ig8-8 Digrm T - - 8 ig9 Digrm M i - - - 8 - - ig

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Prolm propus olosind mtod forturilor şi mtod dplsărilor, pntru sistml sttic ndtrmint pln formt din r cu noduri rigid, încărct c în figuril, s cr: să s dtrmin rcţiunil şi forturil din r; să s trs digrml d forturi N, T şi M i ; să s clcul dplsr p vrticlă nodului lir () PL PL L P L P L ig L PL P L L PL ig

Cornl MRIN PL L L L P ig PL L L ig PL L P

STRE PLNĂ DE TENSIUNI ŞI DEORMŢII

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Str plnă d tnsiuni Str plnă d tnsiuni într-un corp lstic omogn şi iotrop s oţin tunci când istă cşi distriuţi tnsiunilor în difrit pln prll cu plnul dt ir tnsiunil după o dircţi prpndiculră l plnul rspctiv sunt nul Empl d stări pln d tnsiuni : plcă plnă suţir supusă cţiunii unor forţ conţinut în plnul i (fig); ră prismtică solicittă l încovoir pură simtrică su încovoir simplă simtrică ; plcă plnă circulră supusă cţiunii unor forţ d inrţi il simtric ; un tu cilindric cu prţi groşi d lungim infinită supus cţiunii unor forţ d prsiun Dtorită fnomnului contrcţii trnsvrsl spcific mtrillor lstic omogn şi iotrop, uni stări pln d tnsiun îi corspund totdun o str spţilă d dformţii Tnsorul tnsiunilor S considră o plcă plnă drptunghiulră suţir, vând grosim g mult mi mică în rport cu dimnsiunil i solicittă p conturul i d srcinil uniform distriuit p şi p, c în figur p O M τ σ O M σ τ d σ d τ p p σ τ p ig S dfinşt tnsorul tnsiunilor în cul stării pln d tnsiuni din plnul O, mtric formtă din componntl tnsiunilor c cţionă supr lmntului d suprfţă d (fig): σ τ Tσ () τ σ 7

Cornl MRIN Uni stări pln d tnsiun îi corspund o str d dformţii spţilă, crctrită d tnsorul dformţiilor T ε : ε γ γ T ε γ ε γ () γ γ ε Vriţi tnsiunilor σ şi τ cu unghiul α l normli plnului cu O S considră un punct M l plăcii drptunghiulr d grosim g din plnul O şi un lmnt d form unui triunghi drptunghic vând vârful d 9 în origin sistmului d (O M) şi cttl orintt după l O şi O (fig) P fţl ltrl l lmntului (corspunător cttlor O şi OB ) vm tnsiunil σ, σ, τ şi τ, ir p suprfţ ltrlă ipotnui BC, tnsiunil σ şi τ (fig ) cstă fţă r norml On înclintă cu unghiul α fţă d O orţl lmntr corspunător cstor tnsiuni (fig ) s scriu: d σ g ds cosα; d d τ g ds; τ τ g ds cosα; d σ g ds sinα; d σ g ds sinα; d σ g ds σ () O M τ α σ B O M d α d B τ τ d d d τ σ C α σ n C α gds d σ n ig Ecuţiil d chiliru forţlor cr cţionă supr lmntului triunghiulr după cl două dircţii On (dircţi lui σ) şi BC (dircţi lui τ) s scriu: 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 9 α α τ α α τ α α σ α α σ τ α α τ α α τ α α σ α α σ τ τ σ sin gds sin cos gds cos cos gds sin sin gds cos gds cos gds sin sin gds cos sin gds sin cos gds cos gds () Dcă s rduc trmnii şi s ţin sm d torm dulităţii tnsiunilor tngnţil ( τ τ ) s oţin prsiil tnsiunilor σ şi τ în funcţi d unghiul α : ( ) ( ) sin cos cos sin ; cos sin sin cos α α τ α α σ σ τ α α τ α σ α σ σ (5) Dcă s scriu prsiil (5) în funcţi d unghiul α s oţin: cos sin ; sin cos α τ α σ σ τ α τ α σ σ σ σ σ () Eprsiil () s mi scriu su form chivlntă: ( ) ( ) rctg ; rctg ; ; cos ; cos τ σ σ ϕ σ σ τ θ τ σ σ ψ ϕ α ψ τ θ α ψ σ σ σ (7) S osrvă că tnsiunil norml σ şi tnsiunil tngnţil τ dmit vlori mim su minim căror prsii s dduc din rlţi (7): ϕ α τ σ σ τ θ α τ σ σ σ σ σ ± ± pntru, pntru,,, (8) clşi prsii s pot oţin prin nulr drivtlor d ordinul întâi funcţiilor tnsiunilor d unghiului α

7 Cornl MRIN Dircţii şi tnsiuni principl Pntru dtrminr vlorilor unghiului θ corspunător tnsiunilor norml mim su minim s nulă drivt prsii tnsiunii () în rport cu α: dσ σ σ sin α τ cos α (9) d( α ) Comprând rulttul (9) cu prsi () s osrvă că drivt tnsiunii norml în rport cu α st glă cu tnsiun tngnţilă τ cu smnul minus: dσ τ () d( α ) Rultă o propritt importntă : în scţiunil în cr tnsiunil norml dvin mim su minim, tnsiunil tngnţil s nulă Rciproc nu st dvărtă Tnsiunil norml mim su minim s mi numsc tnsiuni norml principl, ir dircţiil normllor l plnl rspctiv s numsc dircţii principl Unghiuril dircţiilor principl sunt dt d soluţiil cuţii trigonomtric : τ tg α () σ σ τ Soluţiil sunt d form: θk rctg kπ, k,,, () σ σ Numi priml două soluţii () sunt distinct: τ θ rctg σ σ ( ) π τ θ rctg σ σ Din prsiil soluţiilor ( ) rultă că dircţiil principl sunt prpndiculr într l Eprsiil tnsiunilor principl σ su σ s oţin înlocuind soluţiil ( ) în rlţi () oţinându-s clşi prsii (8): σ σ σ σ, ± τ σ () Din prsiil () s osrvă că sum tnsiunilor norml principl nu dpind d unghiul α fiind un invrint l stării pln d tnsiun: σ σ σ σ () Ţinând sm d rlţi (8) s osrvă că difrnţ tnsiunilor principl () st dulul tnsiunii tngnţil mim: ( σ σ ) τ τ σ σ (5) Conform rlţii () tnsiunil tngnţil cuprins în plnl corspunător tnsiunilor principl, sunt nul

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii În figur sunt rprntt dircţiil principl θ, θ şi tnsiunil principl corspunător σ şi σ ddus conform rlţiilor mi sus σ θ σ σ θ Dircţi principlă θ τ σ σ θ τ σ Dircţi principlă σ ig Tnsiuni tngnţil mim su minim Pntru dtrminr vlorilor unghiului ϕ corspunător tnsiunilor tngnţil mim su minim s nulă drivt prsii tnsiunii () în rport cu α: dτ σ σ cos α τ sin α d( α ) () Dircţiil normllor l plnl corspunător tnsiunilor tngnţil mim su minim sunt dt d soluţiil cuţii trigonomtric: σ σ tgϕ ; τ (7) Soluţiil cuţii trigonomtric (7) sunt d form: σ σ ϕk rctg kπ, τ k,,, (8) Dor priml două soluţii sunt distinct: σ σ ϕ rctg τ π σ σ ϕ rctg τ (9) S osrvă din rlţi (9) că dircţiil normllor l plnl în cr tnsiunil tngnţil sunt mim su minim, sunt prpndiculr într l 7

Cornl MRIN Două drpt vând pntl m şi m sunt prpndiculr într l dcă istă rlţi: m m () Efctuând produsul rlţiilor () şi (7) s oţin : tg θ tgϕ, () dci cl două dircţii vând pntl rspctiv : m tgθ şi m tgϕ sunt prpndiculr într l şi s pot scri: π π ϕ θ ± su ϕ θ ± () Rultă următor propritt: plnl corspunător tnsiunilor tngnţil mim su minim sunt înclint cu 5 fţă d cl corspunător tnsiunilor norml principl Eprsiil tnsiunilor tngnţil mim su minim s oţin înlocuind prsiil (9) l unghiurilor ϕ şi ϕ în (): σ σ, ± τ τ () Tnsiunil tngnţil mim su minim sunt gl c vlor solută dr u smn opus, c c confirmă principiul dulităţii tnsiunilor Ţinând sm d rlţi (5) tnsiunil tngnţil mim şi minim s scriu: σ σ τ, ± () Tnsiunil norml corspunător plnlor în cr tnsiunil tngnţil sunt mim su minim trm s oţin înlocuind prsiil (9) l unghiurilor ϕ şi ϕ în prsi tnsiunii norml (): * σ σ σ σ σ, (5) În figur sunt rprntt cl două dircţii înclint cu 5 fţă d cl principl pntru cr tnsiunil tngnţil corspunător sunt mim rspctiv minim σ m σ 5 σ τ m 5 5 θ σ τ min σ m 7 σ ig

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Crcul lui MOHR Rlţiil () pntru clculul tnsiunilor σ şi τ (cuţiil prmtric) s scriu: σ σ σ σ σ cos α τ sin α () σ σ τ sin α τ cos α Pntru limin prmtrul α s ridică l pătrt rlţiil () şi s însumă mmru cu mmru oţinându-s: σ σ σ σ σ τ τ (7) În figur 5 s- rprntt în coordont σ - τ cur (7) c rprintă cuţi crcului lui MOHR vând : σ - cntrul σ σ σ C,, r R τ (8) τ D Dircti principl M(σ, τ ) O σ B N(σ, -τ ) σ σ θ C σ σ E θ τ θ σ Dircti principl σ τ θ τ σ σ σ θ σ ig 5 Vloril tnsiunilor norml principl σ şi σ sunt scisl punctlor d intrscţi şi B l crcului lui MOHR cu Oσ (fig5) şi u prsiil: σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ 7

Cornl MRIN Vloril unghiurilor dircţiilor principl θ şi θ pntru o str orcr d tnsiuni dtă d σ, σ şi τ s oţin folosind crcul lui MOHR (fig5) : τ π θ rctg si θ θ σ σ Punctl şi B d p crcul lui MOHR corspund unor tnsiuni tngnţil nul: τ şi unor dircţii principl θ rspctiv θ 8, dci l O şi O sunt dircţii principl În cst c : σ σ, σ σ Punctl D şi E d p crcul lui MOHR corspund unor pln înclint cu 5 fţă d dircţiil principl : ϕ 9 şi ϕ 7 şi unor tnsiuni tngnţil mimă σ σ * σ σ rspctiv minimă: τ, ± ; tnsiunil norml sunt: σ, În cul prticulr când l sistmului O sunt orintt după dircţiil principl : σ σ, σ σ, τ şi cuţiil prmtric () s scriu: σ σ σ σ σ cos α (9) σ σ τ cos α Eliminând prmtrul α s oţin cuţi crcului lui MOHR : σ σ σ σ σ τ () Crcul lui MOHR () rprntt în figur, r cntrul d coordont σ σ σ σ C, şi r R O str plnă d tnsiuni σ - τ st rprnttă p crcul lui MOHR prin punctul M(σ, τ), în funcţi d unghiul α dintr plnul rspctiv şi O (fig) τ D σ σ σ, σ M(σ, τ) α B O σ C σ σ, σ M σ E 7 ig

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Crcul lui LND Crcul tnsiunilor lui LND st o rprntr tnsiunilor principl σ, σ şi tnsiunii tngnţil mim τ m în sistmul d coordont σ -τ în funcţi d tnsiunil dt: σ, σ, τ Dircţiil principl şi crcul lui LND s oţin rprntând în coordontl σ -τ punctl, B şi D (punctul O st origin sistmului d, conform figurii 7) stfl: sgmntul O σ s rprintă p Oσ din origin în snsul poitiv l i dcă σ > şi în sns ngtiv dcă σ < ; sgmntul B σ s rprintă p Oσ din punctul în snsul poitiv l i dcă σ > şi în sns ngtiv dcă σ < ; punctul D s rprintă p vrticl dusă în punctul în sns poitiv l i Oτ dcă τ > şi în sns ngtiv l i dcă τ <, stfl încât D τ ; Cu jutorul crcul lui LND vând dimtrul OB s oţin : D τ Dircţiil principl: tg( θ ) () C σ σ σ σ σ σ Tnsiunil principl : σ M' C CD τ ; () σ σ σ σ σ MCCD τ ; () σ σ Tnsiun tngnţilă mimă : τ m CD τ () τ σ σ τ m D E O θ C B τ σ σ σ σ σ σ σ ig 7 75

Cornl MRIN Curi prticulr l stării pln d tnsiuni Întindr su comprsiun monoilă S considră o plcă drptunghiulră supusă uni stări d tnsiuni d întindr după dircţi i O c în figur 8 Str d tnsiuni din jurul punctului O st crctrită numi d componnt σ (fig8) Într-un pln înclint cu unghiul α tnsiunil σ şi τ u prsiil prticulr: σ σ σ ( cos α ); τ sin α (5) O B p p α O σ τ σ ig 8 C α n Tnsiunil principl σ şi σ, tnsiunil tngnţil mimă şi minimă şi * tnsiun σ, dt d rlţiil (), () şi (5) dvin: σ σ ; σ ; σ * σ () τ m,min ± ; σ, Dircţiil principl şi dircţiil corspunător tnsiunilor tngnţil mim dt d rlţiil () (7) sunt în cst c dt d: π tgθ θ ; θ ; (7) π π tgϕ ϕ ; ϕ ; În cul comprsiunii uniil σ < şi rlţiil () şi (7) dvin: σ ; σ σ σ * σ (8) τ m,min ± ; σ, < π tgθ θ ; θ ; (9) π π tgϕ ϕ ; ϕ ; 7

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Întindr su comprsiun iilă S considră o plcă drptunghiulră d grosim g solicittă l întindr după două dircţii prpndiculr O şi O c în figur 9 Str d tnsiuni din jurul punctului O st crctrită numi d σ > şi σ >, tnsiunil tngnţil p cl două fţ ltrl sunt nul : τ τ (fig 9) p p p O σ α B O σ τ σ C α n p Tnsiunil p o suprfţă vând norml înclintă cu unghiul α fţă d O u pntru cst c prticulr prsiil: σ σ σ σ σ cos α ; () σ σ τ sin α () Tnsiunil principl σ şi σ, tnsiunil tngnţil mimă şi minimă şi tnsiun σ dt d rlţiil (), () şi (5) dvin: *, σ σ ; σ σ ; ( σ > σ ) ig 9 σ σ * σ σ () τ m,min ± ; σ, > Dircţiil principl şi dircţiil corspunător tnsiunilor tngnţil mim dt d rlţiil () (7) sunt în cst c dt d: π tgθ θ ; θ ; () π π tgϕ ϕ ; ϕ ; 77

Cornl MRIN În cul comprsiunii iil (σ, σ < ) rlţiil (), () dvin: σ σ ; σ σ ; ( σ > σ ) σ σ * σ σ () τ m,min ± ; σ, < π tgθ θ ; θ ; (5) π π tgϕ ϕ ; ϕ ; Dircţiil principl coincid cu dircţiil O şi O d cţiun forţlor trior ir dircţiil plnlor tnsiunilor tngnţil mim sunt înclint cu un unghi d 5 fţă d dircţiil principl În cul prticulr l întindrii su comprsiunii iil uniform ( σ σ σ ) σ σ rlţiil () şi () dvin: () τ Dcă lmntul st solicitt l întindr su comprsiun iilă uniformă după două dircţii prpndiculr, tunci oric punct l său s oţin o str d tnsiuni d întindr su comprsiun uniformă, indifrnt d dircţi normli Întindr şi comprsiun iilă S considră cul plăcii drptunghiulr d grosim g solicittă l întindr şi comprsiun iilă după două dircţii prpndiculr O şi O c în figur Str d tnsiuni din jurul punctului O st crctrită numi d tnsiunil σ > şi σ < (cu σ > σ ), tnsiunil tngnţil p cl două fţ ltrl fiind nul : τ τ (fig ) p p p O σ α B O σ τ σ C α n p 78 ig

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Tnsiunil p o suprfţă vând norml înclintă cu unghiul α fţă d O u pntru cst c prsiil prticulr: σ σ σ σ σ cos α ; (7) σ σ τ sin α (8) Tnsiunil principl σ şi σ, tnsiunil tngnţil mimă şi minimă şi tnsiun σ dt d rlţiil (), () şi (5) dvin: *, σ σ ; σ σ ; ( σ > ; σ < ) σ σ * σ σ (9) τ m,min ± ; σ, Dircţiil principl şi dircţiil corspunător tnsiunilor tngnţil mim dt d rlţiil () (7) sunt în cst c dt d: π tgθ θ ; θ ; (5) π π tgϕ ϕ ; ϕ ; În cul prticulr l întindrii şi comprsiunii iil uniform ( σ σ σ ) rlţiil (7) şi (8) dvin: σ σ cosα ; (5) τ σ sinα σ σ ; σ σ (5) * τ m, min ± σ ; σ, Dcă lmntul d plcă st solicitt l întindr şi comprsiun iil uniformă după două dircţii prpndiculr, tunci oric punct l său s oţin : str d întindr şi comprsiun uniformă dcă dircţi normli plnului coincid cu un din dircţiil O su O, str d forfcr pură dcă dircţi normli plnului st înclintă cu 5 fţă d dircţiil principl O su O orfcr pură S considră o plcă drptunghiulră d grosim g solicittă l forfcr după două dircţii prpndiculr O şi O c în figur Str d tnsiuni din jurul punctului O st crctrită numi d tnsiunil tngnţil τ τ, tnsiunil norml p cl două fţ ltrl fiind nul σ, σ (fig ) ormull pntru clculul tnsiunilor σ şi τ p o scţiun cări normlă st înclintă cu α fţă d O, pntru cst c prticulr dvin: σ τ sin α (5) 79

Cornl MRIN τ τ cos α (5) Tnsiunil principl σ şi σ, tnsiunil tngnţil mimă şi minimă şi tnsiun σ dt d rlţiil (), () şi (5) dvin: *, σ τ ; σ τ (55) *, τ m, min ± τ ; σ (5) O τ p α B O p p τ τ σ p C α n ig Dircţiil principl şi dircţiil corspunător tnsiunilor tngnţil mim dt d rlţiil () (7) sunt în cst c dt d: π π tgθ θ ; θ ; (57) π tgϕ ϕ ; ϕ ; În conclui, dcă lmntul d plcă st solicitt l forfcr pură tunci oric punct l său, în funcţi d poiţi plnului scţiunii, s oţin : str d întindr şi comprsiun uniformă, dcă dircţi normli plnului cr st înclintă cu un unghi d 5 fţă d dircţiil principl O su O ; str d forfcr pură, dcă dircţi normli plnului coincid cu un din dircţiil O su O ţă d cul prcdnt - und lmntul d plcă r supus p contur l întindr şi comprsiun uniformă după două dircţii prpndiculr şi într-un pln înclint cu un unghi d 5 s- oţinut o str d forfcr pură - în cst c lmntul d plcă st supus uni solicitări d forfcr pură p contur ir în pln înclint cu 5 s-u oţinut stări d întindr şi comprsiun uniformă 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Încovoir simplă simtrică S considră o ră prismtică d scţiun simtrică (vând d simtri O) solicittă d un sistm d forţ în plnul d simtri ilă l ri O Su cţiun momntului d încovoir M i, rspctiv forţi tăitor T, în cst pln s produc o str plnă d tnsiuni (fig ) σ min B O τ M i T C σ τ α τ σ τ α σ n σ m În jurul unui punct orcr O l scţiunii vm o str plnă d tnsiuni st crctrită d tnsiun normlă σ dtă d rlţi lui Nvir şi tnsiun tngnţilă τ τ dtă d formul lui Jurvski: M T i S * σ ; τ τ I I (58) Tnsiunil p o suprfţă plnă vând norml înclintă cu unghiul α fţă d O (fig) pntru cst c prticulr u prsiil: σ σ ( cos α) τ sin α (59) σ τ sin α τ cos α () Tnsiunil principl σ şi σ, tnsiunil tngnţil mimă şi minimă şi *, tnsiun σ dt d rlţiil (), () şi (5) dvin: σ τ, σ ± m,min ± ig σ σ τ τ ; ; σ *, σ () 8

Cornl MRIN Dircţiil principl şi dircţiil corspunător tnsiunilor tngnţil mim dt d rlţiil () (7) sunt în cst c dt d: τ * σ tgα ; tgα () σ τ Rultă că orintr dircţiilor principl dpind d vloril p cr l iu tnsiunil σ şi τ vlori cr sunt funcţii d poiţi punctului O p suprfţ scţiunii su d cot O (fig ) σ min - B E B E σ σ τ m σ m O C D O h τ σ C D O σ σ σ σ σ σ ig În cul scţiunii drptunghiulr h din figur vloril cstor tnsiuni sunt: M i σ O ; h * T S T O τ () I h h În punctl, B, C, D şi E l scţiunii (fig) vm vloril: în punctul ( O h/): M i σ >, τ () h σ σ σ ; τ ± σ /, σ σ (5) *, m,min, / π tgθ θ ; θ ; () π π tgϕ ϕ ; ϕ ; 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii în punctul D ( O h/): M 9T i σ >, τ > (7) h 8h σ τ, σ ± m,min ± σ σ τ τ ; ; σ ht M tg *, σ (8) * i α ; tgα (9) M i ht în punctul C ( O ): T σ, τ h (7) σ τ, σ τ ; τ ± τ, σ (7) m,min *, π π tgθ θ ; θ ; (7) π tgϕ ϕ ; ϕ ; în punctul E ( O - h/): M 9T i σ <, τ > (7) h 8h σ τ, σ ± m,min ± σ σ τ τ ; ; σ *, ht M tg σ (7) * i α ; tgα (75) M i ht în punctul B ( O - h/): M i σ <, h τ (7) σ σ σ ; τ m σ /, σ σ (77) *, m,min, / tgθ tgϕ π θ ; π ϕ ; θ ; π ϕ ; (78) 8

Cornl MRIN Dircţiil principl s rotsc din punctul în punctul B l scţiunii cu 9 în sns invrs trigonomtric dcă forturil scţionl T şi M i sunt poitiv, şi în sns trigonomtric dcă forturil scţionl T şi M i sunt ngtiv (fig ) σ σ B σ σ σ σ σ C σ σ σ σ σ ig Înfăşurătorl dircţiilor principl l lui σ şi σ sunt două cur prpndiculr într l numit linii iosttic d întindr şi rspctiv d comprsiun (fig) Încovoir pură simtrică S considră o ră prismtică d scţiun simtrică ( d simtri O) solicittă d un cuplu d forţ coplnr cu plnul d simtri ilă l ri O Su cţiun momntului d încovoir M i s produc în plnul O o str plnă d tnsiuni (fig 5) În jurul unui punct orcr O l scţiunii str d tnsiuni st crctrită numi d tnsiun normlă σ dtă d rlţi: M i σ ; τ (79) I Tnsiunil σ şi τ într-un pln vând norml înclintă cu unghiul α fţă d O (fig5) pntru cst c u prsiil: σ σ ( α ) cos (8) σ τ α sin (8) Tnsiunil principl σ şi σ, tnsiunil tngnţil mimă şi minimă şi 8 *, tnsiun σ dt d rlţiil (), () şi (5) dvin: σ σ σ, ± ; (8)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii σ * σ σ σ τ m, min ± ; σ, (8) σ min B O M i α C σ τ σ O α ds σ n σ m ig 5 Dircţiil principl şi dircţiil corspunător tnsiunilor tngnţil mim şi minim dt d rlţiil () (7) sunt în cst c: π tgθ θ ; θ ; (8) π π tgϕ ϕ ; ϕ ; S osrvă că orintr dircţiilor principl nu dpind d vloril tnsiunilor σ şi nici d poiţi punctului O p suprfţ scţiunii σ m C σ min - O B B E E ig σ σ σ σ σ C C h D D σ σ O O σ σ 85

Cornl MRIN În cul scţiunii drptunghiulr h din figur vloril tnsiunilor sunt: M i σ O ; h τ (85) în punctul ( O h/): M i σ h > (8) σ σ, σ ; * τ m,min ± σ /, σ, σ / (87) π tgθ θ ; θ ; π π tgϕ ϕ ; ϕ ; (88) în punctul D ( O h/): Mi σ h > (89) în punctul C ( O ): σ σ, τ σ ± σ m,min τ tgα σ * σ tgα τ ; /, σ *, σ α, * π * π α ; α (9) / π α (9) T σ, τ h (9) σ τ, σ τ ; τ ± τ, σ (9) m,min π tgθ θ ; θ ; π π tgϕ ϕ ; ϕ ; (9) în punctul E ( O - h/): M i σ <, h τ (95) σ, σ σ ; τ mσ /, * σ σ / (9) m,min π tgθ θ ; θ ; (97) π π tgϕ ϕ ; ϕ ; 8 *,,

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii în punctul B ( O - h/): M i σ <, h τ (98) σ, σ σ ; * τ σ /, σ, σ / (99) π tgθ θ ; θ ; π π tgϕ ϕ ; ϕ ; () S osrvă în cst c că dircţiil principl rămân clşi θ ; θ π / în oric punct l scţiunii 5 Str plnă d dformţii 5 Dformţii spcific linir şi unghiulr Str plnă d dformţii în plnul considrt O corspund unor dformţii nul după o dircţi prpndiculră p cst pln: ε ; γ γ () L fl cum str plnă d tnsiuni corspund uni stări spţil d dformţii, şi str plnă d dformţii corspund uni stări spţil d tnsiuni Un mplu d str plnă d dformţii st str rlită într-un corp prismtic situt într două suprfţ fi prpndiculr p O, supus uni solicitări d comprsiun uniilă după O su după O i punctul M dintr-un corpul lstic supus uni stări pln d dformţii şi un sistm d d coordont O cu origin în punctul M (fig7) S considră un lmnt drptunghiulr OBC vând lturil d şi d supus uni stări pln d tnsiuni În urm dformţiilor lmntul drptunghiulr dvin ptrultrul M B C (fig7) O M v O v B d B B u O M β u B d B α u C C u v C v C ig 7 87

88 Cornl MRIN Dcă s dvoltă în sri TYLOR în jurul punctului O dplsărilor după dircţiil O : u(,) şi după O : (,) şi s rţin numi trmnii drivtlor d ordinul întâi, s oţin următorl prsii : u u u uo d d () v v v vo d d Ţinând sm d rlţiil () dformţi lmntului după dircţi i O, s scri: u u u u Δ ( d ) u uo u O d d uo d d () Dformţi spcifică liniră ε su lungir spcifică după dircţi O st : Δ( d ) u u d u ε () d d Ţinând sm d rlţiil () s oţin în mod smănător lungir spcifică lmntului după dircţi O: v v v v Δ ( d ) vb vo v O d d vo d d (5) Dformţi spcifică liniră ε după dircţi i O st: Δ( d ) v d v v ε () d d Luncr spcifică γ rprintă vriţi unghiului d π/ dintr lturil M şi MB primtă în rdini, dică sum clor două unghiuri : α l muchii M cu O şi β l muchii M B cu (fig7) l căror prsii sunt: v vo v α tgα ( d u ) uo (7) ub uo u β tgβ ( d v ) v B Luncr spcifică γ st sum clor două unghiuri α şi β (7): u v γ (8) Eprsiil (), () şi (,8) rprintă rlţiil dintr dformţiil spcific şi dplsări pntru str plnă d dformţii : u ε v ε (9) O u v γ

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Vriţi dformţiilor spcific l rotir sistmului d i punctul M dintr-un corp lstic supus uni stări pln d dformţii şi două sistm d O şi O cu origin în punctul M (fig8) Sistmul O st rotit fţă d O cu unghiul θ S considră lmntul drptunghiulr OBC vând lturil d şi d înint d dformr În urm dformţiilor cst dvin ptrultrul M B C (fig8) O M dt M d ds θ d B C ' θ B ' ig 8 C Dplsăril punctlor M şi C după dircţiil lor O şi O s primă în funcţi d dplsăril după dircţiil lor O, O şi θ (fig8) stfl : uo uo cos θ vo sinθ vo uo sinθ vo cos θ u u v v u u d d cos θ v d d sinθ () C O O u u v v vc uo d d sinθ vo d d cos θ Proicţiil lturilor ds şi dt după dircţiil lor O şi O s scriu (fig8): d d d ds cosθ cosθ d dt sinθ sinθ ds dt ; () d θ θ d d ds sin sin d ds cosθ cosθ ds dt Dformţiil spcific l lmntului după O şi O s scriu (fig8): Δ ( ds ) u uo u d u d v d v d ε cosθ sinθ ds ds ds ds ds ds () Δ ( dt ) v B vo u d u d v d v d ε sinθ cosθ dt dt dt dt dt dt 89

Cornl MRIN 9 Ţinând sm d rlţiil (9), () şi înlocuind în () s oţin dformţiil spcific după dircţiil O şi O în funcţi d dformţiil spcific din sistmul O şi unghiul θ: θ θ γ θ ε θ ε ε θ θ γ θ ε θ ε ε cos sin cos sin cos sin sin cos () Luncr spcifică γ s oţin în mod nlog cu γ c sum clor două unghiuri α şi β : O' B' O' B' O' ' O' ' v ) v ( dt u u ' tg ' u ) u ( ds v v ' tg β β α α () în cr dplsăril nodurilor şi B după dircţiil O şi O s scriu: θ θ θ θ θ θ θ θ cos d v d v v sin d u d u u v sin d v d v v cos d u d u u u cos d v d v v sin d u d u u v sin d v d v v cos d u d u u u O O B O O B O O O O (5) Înlocuind în prsiil () şi nglijând trmnii fort mici d l numitor în rport cu ds şi dt s oţin : θ θ β β θ θ α α sin dt d v dt d v cos dt d u dt d u ' tg ' cos ds d v ds d v sin ds d u ds d u ' tg () Ţinând sm d rlţiil () şi înlocuind în () s oţin luncr: ( ) θ θ θ θ β α γ sin cos v u cos sin v u ' ' ' ' (7) Ţinând sm d rlţiil (), () şi (,8) s oţin luncr spcifică: ( ) ( ) θ θ γ θ θ ε ε γ sin cos cos sin ' ' (8) Rlţiil () şi (7) s pot scri în funcţi d unghiul θ : ( ) θ γ θ ε ε γ θ γ θ ε ε ε ε ε θ γ θ ε ε ε ε ε cos sin sin cos sin cos ' ' (9)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Dformţii spcific principl Dformţiil spcific linir ε, ε vriă cu unghiul θ şi ting vlori mim su minim Pntru dtrmin unghiul θ s nulă drivtl prsiilor dformţiilor linir (9) în rport cu θ: dε ε ε γ ' sin θ cos θ d( θ ) () dε ' ε ε γ sin θ cos θ d θ ( ) Comprând prsiil () cu prsi lui γ (9) s osrvă că drivt dformţiilor spcific ε şi ε în rport cu θ st ½ din luncr spcifică γ : dε ' dε γ ' () d( θ ) d( θ ) C şi în cul tnsiunilor principl în scţiunil în cr dformţiil spcific linir dvin mim su minim, luncr spcifică s nulă Rciproc nu st dvărtă Dformţiil spcific mim su minim s numsc dformţii principl Unghiuril dircţiilor dformţiilor spcific principl sunt dt d soluţiil cuţii trigonomtric : * γ tg θ () ε ε Soluţiil cuţii () sunt: * γ * π γ θ rctg ; θ rctg () ε ε ε ε Dformţiil spcific principl ε su ε s oţin înlocuind soluţiil () în rlţi (9) : ε ε ε, ± ( ε ε ) γ () S pot răt că dircţiil dformţiilor spcific principl ε şi ε sunt idntic cu dircţiil tnsiunilor principl σ şi σ 5 Luncări spcific mim su minim Dformţiil spcific unghiulr dpind d vlor unghiului θ şi ting vlori mim su minim Pntru cst s nulă drivtl prsii luncării spcific (9) în rport cu θ: dγ ' ' ( ε ε ) cos θ γ sin θ (5) d( θ ) Unghiuril dircţiilor norml l plnl luncărilor spcific mim su minim sunt dt d soluţiil cuţii trigonomtric : ** ε ε tg θ () γ 9

9 ** Cornl MRIN Soluţiil cuţii () sunt: ** ε ε θ rctg γ θ π ε ε rctg γ (7) Luncăril spcific mim γ su γ s oţin înlocuind soluţiil (7) în rlţi (9) :, ± ( ε ε ) γ γ (8) ** * S osrvă că produsul pntlor clor două dircţii : tg θ şi tg θ dt d rlţiil () şi () st gl cu -, c c însmnă că cl două dircţii sunt prpndiculr: ** * ** * θ θ π / θ θ π / (9) Luncăril spcific mim pr într-un pln înclint cu un unghi d 5 fţă d plnul dformţiilor principl şi ţinând sm d () cst u prsi: γ m ε ε () 55 Rot tnsomtrică Dcă s cunosc dformţiil spcific linir ε, ε şi luncr spcifică γ fţă d un sistm d O, s pot dtrmin vloril unghiurilor pntru cr cst ting vlori mim su minim, prcum şi vloril cstor dformţii principl ε, Dcă s cunosc (prin măsurători) dformţiil spcific linir după numit dircţii situt într l l unghiuri d 5,, 9 su, s pot dtrmin dformţiil principl, tnsiunil principl şi vloril unghiurilor dircţiilor principl cst clcul stu l principiului d funcţionr l rotlor tnsomtric pntru str plnă d tnsiuni şi dformţii Dcă sistmul O st un sistm principl tunci γ şi prim rlţi (9) s scri: ε ε ε ε ε cos θ () Pntru tri vlori prticulr l dircţiilor dformţiilor spcific nott cu, şi c situt l unghiuril: θ, θα,θα fţă d O, ţinând sm d rlţi () s pot scri următorl rlţii: ε ε ε ε ε cos θ ε ε ε ε ε cos ( θ α ) () ε ε ε ε ε c cos ( θ α ) Eliminând unghiul θ din rlţiil () s oţin dformţiil spcific principl în funcţi d dformţiil spcific linir ε, ε şi ε c

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Rot tnsomtrică drptunghiulră Rot tnsomtrică drptunghiulră st formtă din tri mărci tnsomtric cr s dispun l un unghi d 5 într l c în figur 9 În cst c în rlţiil () s înlocuisc vloril : α 5, α 9 () ε c c ε ε ε c 9 5 ε c ε O ε θ O ε θ ig 9 ε ig ε S oţin următorl rlţii: ε ε ε ε ε cos θ ε ε ε ε ε sin θ ε ε ε ε εc cos θ Eliminând unghiul θ din rlţiil () s oţin: ( ε ε ) ( ε ε ) ε ε c ; ε ε c ε, ± Unghiul θ s oţin din rlţiil () şi (5) : tg ε ε ε ( ε ε ) ( ε ε ) ε ε c ε ε c () (5) * c θ () ε ε c Osrvţi : Conform figurii 9, vlor unghiul θ * dircţii principl dtă d rlţi () st ngtivă, su s măsoră în sns invrs trigonomtric fţă d dircţi primi mărci tnsomtric 9

Cornl MRIN Rot tnsomtrică dlt Rot tnsomtrică dlt st formtă din tri mărci tnsomtric cr s dispun l un unghi d într l c în figur În cst c în rlţiil () s înlocuisc vloril : α, α (7) S oţin următorl rlţii: ε ε ε ε ε cos θ ε ε ε ε ε cos( θ ) (8) ε ε ε ε ε c cos( θ ) Eliminând unghiul θ din rlţiil (8) s oţin: ε ε ε c ε ε ( ε ε ) ( ε ε ) ( ε ε ) c ε ε ε ε ε c ε, ± Unghiul θ s oţin din rlţiil (8) şi (9) : tg c ( ε ε ) ( ε ε ) ( ε ε ) ( ε ε ) c c (9) * c θ () ε ε ε c Osrvţi: Conform figurii, vlor unghiul θ * dircţii principl dtă d rlţi () st ngtivă, în sns invrs trigonomtric fţă d Lg lui HOOKE pntru str plnă d tnsiuni Pntru mtril omogn şi iotrop şi pntru numit vlori l srcinilor trior, într tnsiuni şi dformţiil spcific istă o dpndnţă liniră d form σ f(ε)numită şi lg lui Hook Lg lui HOOKE pntru solicitr simplă d întindr su comprsiun şi pntru solicitr simplă d forfcr s scri: σ εe, τ γg () în cr: σ st tnsiun din pis solicittă l întindr-comprsiun ilă ; τ - tnsiun tngnţilă l forfcr ; ε dformţi spcifică liniră ; γ - dformţi spcifică unghiulră su luncr spcifică ; E modulul d lsticitt longitudinl (YOUNG) ; G - modulul d lsticitt trnsvrsl : G E / ( v ) S considră că lmntul d volum dv st supus p rând uni stări pln d tnsiuni norml σ şi σ rspctiv tnsiunilor tngnţil τ 9

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Rultă în totl tri curi d solicitări simpl : două solicitări d întindr simplă după dircţiil lor O şi O solicitr d forfcr pură în două pln prll cu O Rlţiil dintr dformţii spcific linir şi tnsiuni în cst c sunt: Δ( d ) σ ε' d E σ ε' ν ε' ν () E σ ε' ν ε' ν E în cr ν st coficintul contrcţii trnsvrsl su coficintul lui Poisson În mod nlog s oţin rlţiil dintr dformţii spcific linir şi tnsiuni tunci când lmntul st supus cţiunii unor forţ lmntr d σ dd : σ ε' ν ε' ν E Δ( d ) σ ε' () d E σ ε' ν ε' ν E plicând principiul suprpunrii fctlor pntru cl două stări d solicitr simplă s oţin dformţiil spcific linir: ε ε ε ε ( σ νσ ) E ε ε ε ε ( σ νσ ) () E ε ε ε ε ν ( σ σ ) E Dcă supr lmntului d volum prllipipdic cţionă prchil d forţ lmntr d τ dd s oţin dformţiil unghiulr spcific: τ γ, γ γ (5) G Din rlţiil () s osrvă că uni stări pln d tnsiuni îi corspund o str spţilă d dformţii Pntru o str plnă d dformţii rlţiil () dintr tnsiuni şi dformţiil spcific linir s mi scriu su form : E E σ ( ε vε ); σ ( ε vε ); () ν ν Dcă l O şi O sunt dircţiil tnsiunilor principl rspctiv dircţiil dformţiilor spcific principl tunci rlţiil () dvin : E E σ ( ε vε ); σ ( ε vε); (7) ν ν 95

9 Cornl MRIN Pntru rotl tnsomtric d mi sus s pot clcul tnsiunil principl σ, în funcţi d dformţiil ε, ε, ε c cu jutorul rlţiilor () şi (5): pntru rot drptunghiulră (fig9): ε ε c ε, ± E ε ε c σ, ± v v pntru rot dlt (fig): ε ε εc ε, ± E ε ε εc σ, ± v v ( ε ε ) ( ε ε ) c ( ε ε ) ( ε ε ) c ( ε ε ) ( ε ε ) ( ε ε ) c ( ε ε ) ( ε ε ) ( ε ε ) c c c (8) (9) 7 Prolm propus 7 S considră o plcă iotropă solicittă în plnul i d un sistm d forţ flt în chiliru Măsurând dformţiil spcific cu rot tnsomtrică drptunghiulră s oţin vloril : ε, 87 ; ε, 5 ; εc, S cr : dformţiil ε, ε şi poiţi dircţiilor principl; luncr spcifică mimă γ m ; c tnsiunil principl σ, σ, dcă E, 5 MP şi v, * R : ε, 5 ; ε, 9 ; θ 58' ; γ m, 5 ; σ 7, 7 MP; σ 8, 7 MP 7 S considră o plcă iotropă solicittă în plnul i d un sistm d forţ flt în chiliru Măsurând dformţiil spcific cu rot tnsomtrică dlt s oţin vloril : ε, 8 ; ε, 5 ; ε c, 7 S cr : dformţiil ε, ε şi poiţi dircţiilor principl; luncr spcifică mimă γ m ; c tnsiunil principl σ, σ, dcă E, 5 MP şi v, * R : ε, 7 ; ε 77, ; θ ' ; γ m 8, ; σ 8, MP; σ 88, MP 7 S considră un corp lstic solicitt d un sistm d forţ şi un sistm d glol O, stfl încât într-un punct l său istă tnsiunil: σ 9 MP; σ MP; σ 7MP; τ 5MP; τ τ S cr : tnsiunil principl σ, σ, σ şi dircţiil principl ; tnsiunil tngnţil mim ; c dformţiil principl ε, ε şi ε dcă E, 5 MP şi v,; d luncăril spcific mim; Rspuns: σ 8, MP; σ 7MP; σ 8, MP; l, 97; m, 97; n ; l m ; n ; l, 97; m, 97; n

STRE SPŢILĂ DE TENSIUNI ŞI DEORMŢII

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Str spţilă d tnsiuni Un corp dformil supr cărui cţionă un sistm d srcini îşi modifică tât form cât şi dimnsiunil iniţil ir în intriorul lui s produc un câmp d tnsiuni cărui distriuţi dpind d configurţi d încărcr srcinilor trior (când nu dpăşsc numit vlori limită), d lgăturil cu mdiul trior (condiţiil p frontiră) şi d proprităţil fiic l mtrilului din cr st confcţiont (modul d lsticitt şi coficintul contrcţii trnsvrsl) Un corp prfct lstic st crctrit d dformţii rvrsiil: corpul rvin l form şi dimnsiunil iniţil tunci când srcinil trior îşi înctă cţiun Dcă dformţiil corpului sunt în domniul lstic, su cţiun srcinilor trior corpul s flă într-o str d chiliru lstic su tnsiunil s flă în chiliru cu srcinil trior Tori lsticităţii s ocupă cu : studiul distriuţii d tnsiuni şi dformţii cr pr în intriorul unui corp prfct lstic, omogn şi iotrop su cţiun srcinilor trior ; cuţiil d chiliru l tnsiunilor ; cuţiil d chiliru p frontiră su condiţiil d contur ; cuţiil gomtric d lgătură dintr dformţii şi dplsări ; cuţiil d comptiilitt-continuitt dformţiilor spcific ; cuţiil fiic dintr tnsiuni şi dformţii ; vriţi tnsiunilor norml şi tngnţil p difrit suprfţ intrior l corpului, dformţi volumică spcifică ; nrgi potnţilă spcifică totlă, d modificr volumului şi d modificr formi Tnsorul tnsiunilor i P(,, ) un punct orcr din intriorul unui corp lstic supus cţiunii unui sistm d srcini, un sistm triortogonl d O cu origin în punctul P şi un prllipipd d volum dvddd cu cl tri fţ coincidnt cu plnl sistmului, c în figur d O P d σ τ τ σ τ τ d τ τ σ σ τ τ τ B σ O σ τ τ τ τ τ τ τ σ σ τ σ τ τ σ ig C p ig n 99

Cornl MRIN Su cţiun srcinilor trior p ficr din cl şs fţ l prllipipdului cţionă cât tri tnsiuni: un normlă σ şi două tnsiuni tngnţil τ cuprins în plnul fţi şi orintt după cl două Tnsiunil tngnţil sunt nott cu doi indici: primul rprintă dircţi i cu cr st prllă, ir cl d- doil, dircţi normli l fţ rspctivă (d mplu: τ rprintă tnsiun tngnţilă orinttă după dircţi i O, conţinută în plnul cărui normlă st prllă cu O) P fţl poitiv l prllipipdului, situt l distnţl d, d şi rspctiv d fţă d origin sistmului, tnsiunil u clşi sns cu l d coordont corspunător, ir p fţl ngtiv (c coincid cu plnl sistmului d O) tnsiunil u sns opus lor d coordont (fig) Torm dulităţii tnsiunilor tngnţil firmă că tnsiunil tngnţil situt p pln prpndiculr dicnt sunt prpndiculr p muchi comună, orintt înspr cst şi sunt gl c mărim: τ τ, τ τ, τ τ, () S dfinşt tnsorul tnsiunilor mtric formtă din clor nouă componnt sclr l tnsiunilor c cţionă p cl tri fţ poitiv l prllipipdului: σ τ τ Tσ τ σ τ () τ τ σ Ţinând sm d torm dulităţii tnsiunilor tngnţil, str d tnsiun dintr-un corp (cl nouă componnt l tnsorului tnsiunilor) st crctrită d şs componnt sclr indpndnt: tri tnsiuni norml σ, σ, σ şi tri tngnţil τ, τ, τ P o suprfţă orcr vând norml On cţionă tnsiun p cr s pot dscompun după două dircţii stfl (fig ): după norml On - tnsiun normlă σ ; şi după o dircţi conţinută în plnul rspctiv - tnsiun tngnţilă τ Eprsiil clor două componnt l tnsiunii p dpind d orintr suprfţi şi d cl şs componnt l tnsorului tnsiun dfinit mi sus Tnsorul dformţiilor i P(,, ) un punct din intriorul corpului lstic supus cţiunii unui sistm d srcini şi un sistm triortogonl d O vând origin în punctul P S considră un prllipipd d volum dvddd, vând cl tri fţ coincidnt cu plnl sistmului, c în figur Str plnă d dformţii rtă că dcă u şi v sunt dplsăril punctului P după dircţiil clor lor O şi O, dformţiil spcific linir şi unghiulr corspunător plnului O (fig) u prsiil: u v v u O : ε ; ε ; γ () În mod nlog s oţin dformţiil spcific corspunător plnlor O şi O:

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii w u ; u ; w O : v w ; w ; v : O γ ε ε γ ε ε ( ) S notă cu: δ δ δ,, vctorii vriţiilor dplsărilor punctului P după cl tri dircţii: w v u δ, w v u δ, w v u δ () ig O P γ / γ / γ / γ / γ / γ / d d d

Cornl MRIN Cu jutorul cstor vctori s dfinşt tnsorul dplsărilor spcific: [ ] w w w v v v u u u T δ δ δ δ (5) cst tnsor s pot dscompun într-un tnsor simtric T δε şi unul ntisimtric T δω vând prsiil : w v w u w w v v u v w u v u u T δε () v w w u v w u v w u u v T δω (7) Ţinând sm d rlţiil (), tnsorul simtric l dplsărilor spcific T δε rprintă tocmi tnsorul dformţiilor spcific T ε : T T ε γ γ ε γ γ γ ε δε ε (8) Tnsorul ntisimtric T δω corspund rotţiilor d corp rigid l lmntului d volum şi nu printă intrs în studiul dformţiilor Ecuţiil d chiliru l tnsiunilor i P(,, ) un punct din intriorul unui corp lstic supus cţiunii unui sistm d srcini, un sistm d O cu origin în punctul P şi un lmnt d volum dvddd, vând fţl coincidnt cu plnl sistmului c în figur

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Vriţi tnsiunilor după cl tri dircţii O, O şi O s pot scri ţinând sm că dplsăril punctului P (u, v, w) şi tnsiunil corspunător sunt funcţii continu d,, Dcă s dvoltă în sri Tlor funcţiil tnsiunilor după O (fig ) şi s rţin numi trmnii rprntând prim drivtă s oţin: σ τ τ σ (,, ) σ d; τ (,, ) τ d; τ (,, ) τ d În mod smănător s oţin prsiil tnsiunilor după dircţiil O şi O : σ τ τ σ (,, ) σ d; τ (,, ) τ d; τ (,, ) τ d (9) σ τ τ σ (,, ) σ d τ (,, ) τ d; τ (,, ) τ d O τ σ τ σ σ d τ τ d τ τ d Ecuţiil d chiliru l tnsiunilor s scriu ţinând sm că forţl lmntr intrior p fţl lmntului prllipipdic şi forţl lmntr trior volumic: d XdV, d YdV, d ZdV sunt în chiliru : d mplu cuţi d chiliru forţlor lmntr după O s scri: σ τ τ σ d dd τ d dd τ d dd () σ ddτ ddτ dd Xddd ig După rducr trmnilor smn şi simplificări s oţin cuţi d chiliru tnsiunilor după dircţi O: σ τ τ X ()

Cornl MRIN Ecuţiil d chiliru tnsiunilor după O şi O s oţin în mod nlog: τ σ τ Y () τ τ σ Z σ τ τ τ τ σ τ σ σ σ d τ O τ τ d τ τ d σ τ τ d σ d τ τ d τ τ d τ τ d σ σ d ig 5 Ecuţi d chiliru momntlor forţlor intrior şi trior scrisă fţă d o ă prllă cu O c trc prin cntrul lmntului d volum (fig5) st: d d τ d τ d τ dd τ dd τ d dd τ d dd () Nglijând trmnii infiniţi d ordinul ptru şi rducând trmnii smn s oţin o rlţi c primă torm dulităţii tnsiunilor tngnţil: ( τ τ ) ddd su τ τ () Tnsiunil tngnţil din două pln prpndiculr sunt gl c mărim şi prpndiculr p muchi comună clor două pln În mod similr s oţin cuţiil d chiliru momntlor forţlor lmntr fţă d l O şi O: τ τ ; τ τ (5) Ecuţiil () şi () rprintă cuţiil d chiliru într tnsiuni şi forţl volumic trior

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii În cul unui corp lstic cr st supus cţiunii unor srcini trior dirct plict su d lgătură, cuţiil d chiliru () şi () s scriu: σ τ τ τ σ τ () τ τ σ Ecuţiil d chiliru p frontiră Ecuţiil d chiliru p frontiră su condiţiil p contur s scriu pntru lmntl d volum dv flt într-o vcinătt frontiri p cr cţionă o srcină distriuită f(,,) (fig) Srcin distriuită f(,,) st o forţă d suprfţă dirct plictă su d lgătură S considră un lmnt ttrdric OBC vând muchiil O, OB şi OC orintt după dircţiil O, O, O, cu origin sistmului d în punctul M flt în vcinătt frontiri, c în figur O M τ σ τ τ σ B σ τ τ f τ f f C f n ig Dcă d st ri fţi BC şi On norml l cst, d cosinuşi dirctori: l cos α; m cos β; n cosγ (7) riil clor tri fţ l ttrdrului s scriu cu jutorul cosinuşilor dirctori stfl : OBC dcosα l d OC dcos β m d (8) OB dcosγ n d 5

Cornl MRIN Dcă s dscompun srcin distriuită f(,,) după cl tri dircţii O, O şi O s oţin componntl f, f şi f (fig) Ecuţiil d chiliru l forţlor lmntr corspunător tnsiunilor în proicţii p cl tri l sistmului O s scriu: f d σ d l τ d m τ d n f d τ d l σ d m τ d n (9) f d τ d l τ d m σ d n Simplificând cuţiil (9) s oţin cuţiil condiţiilor p contur : σ l τ m τ n f τ l σ m τ n f () τ l τ m σ n f Ecuţiil chilirului lstic () şi cuţiil condiţiilor p contur () formă împrună grup cuţiilor sttic l Torii lsticităţii 5 Rlţiil într dformţii şi dplsări (Cuch) Ecuţiil gomtric su rlţiil într dformţii şi dplsări (Cuch) primă lgătur într dformţiil spcific şi dplsăril din intriorul unui mdiu lstic su cţiun srcinilor trior S considră un punct P din intriorul corpului lstic supus cţiunii unor srcini trior şi O un sistm triortogonl d cu origin în punctul P Dcă dplsăril punctului P după dircţiil clor tri O, O, O, nott cu u, v, w, sunt funcţii continu d coordontl,, şi u O, v O, w O sunt dplsăril originii O (şi punctului P), dvoltând în sri Tlor şi rţinând trmnii primlor drivt prţil, s oţin dplsăril într-o vcinătt punctului P: u u u u u O d d d v v v v vo d d d () w w w w wo d d d Rlţiil într dformţiil spcific şi dplsări u fost ddus pntru str plnă d dformţii: Δ( d) u Δ( d) v u v ε ; ε ; γ () d d În mod nlog s oţin rlţiil într dformţiil spcific şi dplsări pntru clllt două pln O şi O: Δ( d ) w v w w u ε ; γ ; γ () d

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 7 Ecuţiil d continuitt Sint-Vnnt Dcă s cunosc dplsăril u, v şi w după dircţiil lor O, O şi O pntru un punct orcr din intriorul corpului lstic, cu jutorul rlţiilor lui Cuch s pot clcul cl şs componnt indpndnt l tnsorului dformţiilor: T T ε γ γ ε γ γ γ ε δε ε () Clor şs componnt l tnsorului dformţiilor () l corspund mi mult vlori l dplsărilor u, v, w, dci rlţiil dformţii dplsări nu sunt iunivoc Ipot mtrilului omogn şi iotrop prmit scrir rlţiilor difrnţil într cl şs componnt l tnsorului dformţiilor, su cuţiil lui Sint-Vnnt stfl: cuţiil d continuitt într componntl dformţiilor situt în clşi pln s oţin drivând d două ori rlţiil () : v u ; v u v ; v ; u ; u γ γ ε ε ε ε (5) Însumând poi mmru cu mmru rlţiil (5) s oţin o rlţi difrnţilă într componntl dformţiilor din plnul O: γ ε ε () În mod nlog s oţin rlţiil difrnţil l dformţiilor din O şi O: γ ε ε (7) γ ε ε (8) cuţiil d continuitt într componntl dformţiilor situt în pln difrit s oţin drivând prţil rlţiil luncărilor spcific: u w ; w v ; v u γ γ γ (9) Însumând mmru cu mmru priml două rlţii şi scăând p tri, s oţin: v γ γ γ ()

8 Cornl MRIN Dcă s drivă în rport cu rlţi () s oţin o rlţi difrnţilă într componntl dformţiilor din pln difrit: γ γ γ ε () nlog s oţin şi clllt două rlţii într componntl dformţiilor: γ γ γ ε () γ γ γ ε Rlţiil difrnţil d mi sus s numsc cuţiil d comptiilitt su cuţiil d continuitt Sint Vnnt şi s folossc pntru vrificr rulttlor numric oţinut în clculul structurl cu mtod lmntlor finit 7 Lg lui Hook gnrlită Ecuţiil fiic rprintă rlţii cr s pot scri într tnsiuni şi dformţii su într componntl tnsorului tnsiun T σ şi componntl tnsorului dformţii T ε, d form: T ε f (T σ ) () Dcă funcţi f st liniră, corspondnţ într tnsorii T ε şi T σ st iunivocă şi rlţi () s numşt lg lui Hook gnrlită Pntru solicitr simplă d întindr-commprsiun şi d forfcr simplă, lg lui Hook s scri: σ εe, rspctiv : τ γg () în cr: σ st tnsiun din pis solicittă l întindr-comprsiun ilă ; τ - tnsiun tngnţilă l forfr ; ε dformţi spcifică liniră ; γ - dformţi spcifică unghiulră su luncr spcifică ; E modulul d lsticitt longitudinl (Young) ; G - modulul d lsticitt trnsvrsl: G E / ( ν ) Pntru cul gnrl d solicitr s fc următorl ipot d lucru: mtrilul corpului lstic st omogn şi iotrop; dformţiil corpului lstic sunt mici în rport cu dimnsiunil sl şi s flă în domniul lstic ; st vlil principiul suprpunrii fctlor: fctul totl finl st rulttul însumării fctlor ficări solicitări simpl lută sprt; fnomnul dformţii lstic st iotrmic ir lucrul mcnic l srcinilor trior s trnsformă intgrl în nrgi potnţilă d dformţi lstică S considră lmntul d volum dvddd din figur 7 supus p rând cţiunii uni prchi d forţ lmntr corspunător tnsiunilor norml σ, σ, σ, rspctiv cţiunii uni prchi d forţ lmntr corspunător tnsiunilor tngnţil τ, τ, τ În totl sunt şs curi d solicitr:

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii tri solicitări d întindr simplă după dircţiil O, O şi O tri solicitări d forfcr pură cu forţ lmntr situt în tri prchi d pln opus În figur 7 st rprntt lmntul d volum solicitt d prch d forţ lmntr d întindr simplă d σ dd corspunător tnsiunilor norml σ cst sufră o dformţi liniră longitudinlă : Δ(d) şi două dformţii linir trnsvrsl : Δ(d) şi Δ(d) Δ(d) d O P d Δ(d) d O P d d τ dd d d σ dd Δ(d) d σ dd γ d γ d τ dd ig 7 ig 8 Rlţiil dintr dformţii spcific linir şi tnsiuni în cst c sunt: Δ( d ) σ ε' d E σ ε' ν ε' ν (5) E σ ε' ν ε' ν E în cr ν st coficintul contrcţii trnsvrsl su coficintul lui Poisson Corspunător clor tri dformţii linir vm dformţiil spcific pntru prim str d solicitr simplă : σ σ σ ε ; ε ν ; ε ν () E E E În mod nlog s oţin dformţiil spcific pntru curil când lmntul d volum st supus cţiunii forţlor lmntr corspunător tnsiunilor σ şi σ : σ σ σ ε ; ε ν ; ε ν (7) E E E σ σ σ ε ; ε ν ; ε ν (8) E E E 9

Cornl MRIN plicând principiul suprpunrii fctlor pntru priml tri stări d solicitr simplă s oţin dformţiil spcific linir: ε [ σ ν ( σ σ )] ε ε ε ε E ε ε ε ε ε [ σ ν ( σ σ )] E ε ε ε ε ε [ σ ν ( σ σ )] E (9) În figur 8 st rprntt lmntul d volum solicitt d prch d forţ lmntr d întindr simplă d τ dd corspunător tnsiunilor tngnţil τ Elmntul sufră dformţi unghiulră γ în plnul O Conform rlţii () într luncr spcifică γ şi tnsiun τ istă rlţi: τ γ G () Luncăril spcific din cl două pln în cst c d încărcr sunt nul : γ () În mod nlog s oţin luncăril spcific pntru curil când lmntul d volum st supus cţiunii forţlor lmntr corspunător tnsiunilor τ şi τ : τ γ, G γ γ () τ γ, G γ γ (5) plicând principiul suprpunrii fctlor pntru tri stări d solicitr s oţin dformţiil spcific unghiulr: τ τ τ γ ; γ ; γ G G G () Rlţiil (9) şi () într componntl tnsorului dformţiilor funcţi d componntl tnsiunilor rprintă lg lui Hook gnrlită în coordont crtin Lg gnrlă lui Hook s pot scri şi într componntl tnsorului tnsiunilor funcţi d componntl dformţiilor: G σ [( ν ) ε ν ε ν ε ] ν τ Gγ G σ [ ν ε ( ν ) ε ν ε ] τ Gγ ν τ Gγ G σ [ ν ε ν ε ( ν ) ε ] ν (5) S notă: ε v dformţi spcifică volumică: ε v ε ε ε () λ constnt lui Lm: λ νg /( ν ) (7)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Lg gnrlă lui Hook (5) s mi scri: v v v G G G G G G γ τ γ τ γ τ λε ε σ λε ε σ λε ε σ ; (8) Ţinând sm d rlţiil într dformţiil spcific şi dplsări (Cuch), lg gnrlă lui Hook (5) s scri: v u G u w G w v G ; w ) ( v u G w v ) ( u G w v u ) ( G τ τ τ ν ν ν ν σ ν ν ν ν σ ν ν ν ν σ (9) 8 Dircţii şi tnsiuni principl i P(,, ) un punct orcr din intriorul corpului lstic supus cţiunii unor srcini trior şi un sistm d O triortogonl vând origin în punctul P S considră lmntul d volum ttrdric vând muchiil Od, OBd şi OCd orintt după dircţiil sistmului d c în figur P fţl cstui lmnt cţionă tnsiunil norml σ, σ, σ, tnsiunil tngnţil τ, τ, τ şi tnsiun p (p fţ BC) Dcă suprfţ BC d ri d r norml On d cosinuşii dirctori l cosα, mcosβ şi ncosγ, riil clor tri fţ l ttrdrului s scriu: ig O P σ τ τ τ τ σ τ τ σ p p p n C B p

Cornl MRIN OBC dcosα l d OC dcos β m d () OB dcosγ n d Dcă s dscompun tnsiun p după dircţiil O, O şi O s oţin componntl: p p l, p pm şi p pn Ecuţiil d chiliru l forţlor lmntr corspunător tnsiunilor p cl ptru fţ l ttrdrului în proicţii după cl tri O, O şi O s scriu: pd σ d l τ d m τ d n pd τ d l σ d m τ d n () pd τ d l τ d m σ d n Simplificând cuţiil (7) s oţin prsiil componntlor p, p şi p în funcţi d componntl tnsorului tnsiunilor şi cosinuşii dirctori i normli On: p σ l τ m τ n p τ l σ m τ n () p τ l τ m σ n Tnsiun p s primă cu jutorul clor tri componnt stfl: p p p p () Dcă s dscompun tnsiun p după norml On şi o dircţi conţinută în plnul BC s oţin tnsiunil σ şi τ (fig): σ pron p lp mp np () σ σ l σ m σ n τ lm τ mn τ nl O P σ τ B τ τ τ τ σ σ τ τ σ C p n ig

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Tnsiun tngnţilă s oţin ţinând sm d rlţi gomtrică l dscompunr lui p după cl două dircţii : τ p σ (5) τ p p p ( σ l σ m σ n τ lm τ mn τ nl) () Pntru numit dircţii prticulr l normli On tnsiunil tngnţil dt d rlţi () sunt nul şi vm p σ ir componntl p, p şi p s scriu: p σ l p σ m p σ n (7) Înlocuind rlţiil (7) în () s oţin un sistm d cuţii omogn vând c ncunoscut cosinuşii dirctori l, m, n : ( σ σ ) l τ m τ n τ l ( σ σ ) m τ n τ l τ m ( σ σ ) n (8) Întrucât într cosinuşii dirctori istă rlţi l m n soluţi nlă l m n s clud Sistmul omogn (8) dmit soluţii nnl dcă dtrminntul să st nul: σ σ τ τ τ σ σ τ (9) τ τ σ σ Rlţi (9) rprintă o cuţi d grdul tri cr s mi pot scri: σ Iσ Iσ I ; (7) în cr s- nott : I σ σ σ σ τ σ τ σ τ I (7) τ σ τ σ τ σ I σ τ τ τ σ τ τ τ σ Soluţiil cuţii (7) sunt σ, σ, σ şi s numsc tnsiuni principl ir dircţiil normli On corspunător clor tri tnsiuni σ, σ, σ s numsc dircţii principl Dcă s înlocuisc vloril tnsiunilor principl σ, σ, σ în sistmul d cuţii (8) s oţin cosinuşii dirctori i dircţiilor principl O propritt importntă dircţiilor principl st c că sunt prpndiculr două cât două

Cornl MRIN 9 Tnsiuni tngnţil mim şi minim Tnsiunil tngnţil ting vlori mim su minim în pln isctor l didrlor drpt corspunător tnsiunilor norml principl În figur sunt rprntt dircţiil principl, tnsiunil norml principl şi plnl isctor l didrlor corspunător tnsiunilor principl σ şi σ, pntru tnsiunil principl σ şi σ în figur şi pntru tnsiunil principl σ şi σ în figur c σ O τ σ O σ σ τ σ τ τ σ O σ σ σ τ τ Vloril tnsiunilor tngnţil mim şi minim u prsiil: σ σ σ σ τ ; τ σ σ σ σ τ ; τ (7) σ σ σ σ τ ; τ Prsupunând că într tnsiunil norml principl istă rlţi d ordin σ > σ > σ rultă vlor mimă tnsiunilor tngnţil : τ m τ (7) Pntru dmonstr proprităţil d mi sus s fc ipot că lmntul d volum ttrdric r muchiil O, OB şi OC orintt după dircţiil principl (fig ) În cst c tnsiunil tngnţil p cl tri pln vând c norml dircţiil principl, sunt nul Norml On suprfţi BC r cosinuşii dirctori l, m şi n σ c ig

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Componntl tnsiunii p după cl tri d coordont conform rlţii () s scriu stfl: n p m p p σ σ σ l (7) Tnsiun p s scri stfl: n m p σ σ σ l (75) Dscompunând tnsiun p după dircţi normli On şi o dircţi conţinută în plnul BC şi On, s oţin tnsiun normlă σ c proicţi tnsiunii p p dircţi normli On: ( ) n m n m p n m np mp p σ σ σ σ σ σ σ τ σ σ σ σ l l l l (7) Efctuând unl clcull în dou rlţi (7) s oţin: ( ) ( ) ( ) l l n n m m σ σ σ σ σ σ τ (77) Pntru găsi mimul su minimul funcţii ( ) τ l,m,n s nulă drivtl sl prţil în rport cu n m,, l : ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) [ ] σ σ σ σ σ σ τ σ σ σ σ σ σ τ σ σ σ σ σ σ τ n n n m n m m m l l l l (78) ig O σ σ σ n C B σ τ

Cornl MRIN Întrucât tnsiunil norml principl sunt ordont ( σ σ σ > > ) şi vriill n m,, l nu pot fi simultn nul, ţinând sm că n m,, l nu dpind d vloril tnsiunilor principl σ, σ, σ tunci rlţiil (78) s scriu: ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] / m ; / n n ;, n n / ; / m m ; n, m, m n / n ; / ; m,, m ± ± ± ± ± ± l l l l l l l σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (79) Rultă că pntru ficr prch d tnsiuni principl, dircţiil normllor plnlor în cr tnsiunil tngnţil sunt mim su minim sunt înclint cu 5 fţă d dircţiil principl corspunător stfl: pntru prch d tnsiuni σ, σ : / ; / m ; n ± ± l (fig) s oţin tnsiun tngnţilă mimă: ( ) σ σ σ σ τ m l (8) pntru prch d tnsiuni σ, σ : / m ; / n ; ± ± l (fig) s oţin tnsiun tngnţilă mimă: ( ) σ σ σ σ τ n m (8) pntru prch d tnsiuni σ, σ : / n ; / ; m ± ± l (figc) s oţin tnsiun tngnţilă mimă: ( ) σ σ σ σ τ l n (8) Elipsoidul tnsiunilor Eprsi () tnsiunii norml p o fţă orcr BC cări normlă r cosinuşii dirctori n m,, l st : l l l n mn m n m τ τ τ σ σ σ σ (8) lgând convnil sistmul d O, stfl încât l să coincidă cu dircţiil principl vom v : σ σ ; σ σ ; σ σ ; τ τ τ şi prsi tnsiunii norml (8) dvin: n m σ σ σ σ l (8)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Ţinând sm d rlţi (7) cosinuşii dirctori s pot scri stfl: p p p l ; m ; n (85) σ σ σ Înlocuind cosinuşii dirctori (85) în rlţi (8) s oţin prsi tnsiunii norml în funcţi d tnsiunil principl σ σ şi σ : p p p σ (8) σ σ σ Ţinând sm d rlţi dintr cosinuşii dirctori l m n (85) s scri: p p p (87) σ σ σ În sistmul d p, p, p rlţi (87) rprintă cuţi unui lipsoid, lipsoidul tnsiunilor lui Lm vând smil σ, σ, σ c în figur Tnsiun p st rprnttă prin vctorul OP d cosinuşi dirctori l, m, n Proicţiil vctorului OP p cl tri p, p, p dpind d orintr normli plnului BC p σ σ O p M σ p O τ oct σ oct p ig ig 5 p oct n Tnsiuni octdric S considră un octdru (corpul gomtric cu opt fţ) vând norml ficări dintr fţl sl înclintă cu clşi unghi fţă d l sistmului O (fig5) Din condiţi l m n şi rlţi l m n, rultă : l m n / (88) lgând convnil sistmul d O, stfl încât l să coincidă cu dircţiil principl şi ţinând sm d rlţiil (75) şi (7) vm: 7

Cornl MRIN p σ l σ σl σ m σ n ; τ p σ Înlocuind vloril (88) rultă tnsiunil octdric: σ σ σ σ oct τ oct σ σ σ σ σ σ σ m σ n ( ) ( ) ( ) (89) (9) Dformţi spcifică volumică Ecuţi lui Poisson S considră un lmnt prllipipdic d volum dvd d d din intriorul unui corp lstic supus cţiunii unui sistm d srcini trior Dformţiil linir după cl tri O, O şi O sunt: Δ ( d) ε d; Δ( d) ε d; Δ( d) ε d (9) Vriţi volumului lmntr s pot scri stfl : Δ( dv ) [ d Δ( d) ] [ d Δ( d) ] [ d Δ( d) ] ddd Δ( dv ) ( ε ε ε )ddd (9) Dformţi spcifică volumică st dfinită stfl: Δ( dv ) ε V ε ε ε dv (9) Dcă cl tri O, O şi O coincid cu dircţiil principl, dformţi volumică spcifică s scri: ε V ε ε ε (9) σ σ σ Ţinând sm d tnsiun principlă mdi σ m şi d lg gnrlă lui Hook fţă d sistmul d principl: ε [ σν ( σ σ )]; E ε [ σ ν ( σ σ) ]; E (95) ε [ σ ν ( σ σ )] E s oţin: ν εv ( σ σ σ ) E ( ν ) εv σ m E (9) E S notă K modulul d lsticitt cuic ( ν ) S oţin cuţi lui Poisson : σ Kε (97) 8 m V

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Crcuril lui Mohr pntru str spţilă d tnsiuni S considră rlţiil: p σ l σ m σ n σ τ (98) σ m σ n σ σ l (99) Dcă s înlocuişt n l m n în cl două rlţii s oţin: ( l m ) σ ( l m ) σ l σ m σ σ τ σ σl σ m Rlţiil () s mi pot scri form: ( σ σ ) l ( σ σ ) m σ τ σ σ σ l σ σ m σ σ ( ) ( ) Multiplicând dou rlţi () cu ( σ ) σ s oţin: ( σ σ )( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ )( σ ) () () l m σ () Scăând rlţi () din prim rlţi () s oţin: ( σ σ)( [ σ σ) ( σ σ) ] l σ τ σ ( σ σ)( σ σ) () După unl trnsformări în rlţi () s oţin: σ σ σ σ τ σ σ σ σ () ( )( ) ( )( ) l În mod similr, liminând n şi l, rspctiv l şi m rultă rlţiil: ( σ σ )( σ σ) τ ( σ σ )( σ σ) m ( σ σ )( σ σ ) τ ( σ σ )( σ σ ) (5) n () pntru cul prticulr l rlţi () dvin: ( σ σ )( σ σ ) τ (7) Rlţi (7) rprintă cuţi unui crc în coordont (σ, τ) cu cntrul : σ σ σ σ C, şi r r (fig ) pntru cul prticulr n rlţi (5) dvin: ( σ σ )( σ σ) τ (8) σ σ σ σ şi rprintă crcul cu cntrul : C,, şi r r pntru cul prticulr m rlţi () dvin: σ σ σ σ τ (9) ( )( ) σ σ σ σ şi rprintă crcul cu cntrul : C,, şi r r Cl tri crcuri din figur sunt crcuril lui Mohr pntru str spţilă d tnsiuni cu jutorul căror s rprintă o str orcr d tnsiuni (σ,τ) cu un punct în on hşurtă din triorul crcurilor C şi C şi din intriorul crcului C 9

Cornl MRIN τ O C C C σ σ σ ig σ Într-dvăr, considrând l, m, n şi ţinând sm d rlţi : σ > σ > s oţin: σ, ( σ σ )( σ σ ) l > ; ( σ σ )( σ σ) m < ( σ σ )( σ σ ) n > ; şi d rlţiil (), (5) şi () s oţin inglităţil: ( σ σ )( σ σ ) τ > ( σ σ )( σ σ) τ < ( σ σ )( σ σ ) τ > cr rprintă tocmi on hşurtă din figur ; ; ; () () Enrgi potnţilă d dformţi lstică Su cţiun forţlor trior, un corp lstic sufră dformţii ir punctl d plicţi forţlor sufră dplsări dci cst fctuă lucru mcnic S fc ipot că lucrul mcnic fctut d cst forţ s trnsformă intgrl în nrgi potnţilă d dformţi S considră un cu lmntr cu lturil d, d şi d p fţl cărui cţionă sprt tnsiunil norml σ, σ, σ şi tnsiunil tngnţil τ, τ, τ cr sufră dformţii spcific linir ε,ε, ε şi luncări spcific: γ, γ, γ Ţinând sm d ipot d mi sus, lucrul mcnic l forţlor lmntr corspunător ficări stări d solicitr simplă s trnsformă în nrgi potnţilă d dformţi lstică:

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii pntru solicităril d întindr simplă: dl σ dd ε d UdV U σ ε dl σ dd ε d UdV U σ ε () dl σ dd ε d UdV U σ ε pntru solicităril d forfcr simplă: dl τ dd γ d UdV U τ γ dl τ dd γ d UdV U τ γ () dl τ dd γ d UdV U τ γ Enrgi potnţilă spcifică totlă pntru str gnrlă d dformţi st sum nrgiilor spcific pntru cl şs solicitări simpl: U [ σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ ] () olosind rlţiil lgii lui Hook gnrlit şi înlocuind în prsi () s oţin prsi gnrlă nrgii potnţil spcific totl: U [ σ σ σ ν ( σ σ σ σ σ σ )] ( τ τ τ ) (5) E G Dcă l sistmului O coincid cu dircţiil principl, tunci σ σ ; σ σ ; σ σ ; τ τ τ şi prsi (5) s scri stfl: U [ σ σ σ ν ( σσ σ σ σ σ ) ] () E După plicr unor forţ trior, un corp îşi modifică tât form iniţilă cât şi dimnsiunil (volumul) Corspunător cstor modificări, nrgi potnţilă spcifică totlă s pot dscompun în nrgi potnţilă spcifică d vriţi formi U f şi nrgi potnţilă spcifică d vriţi volumului U V : U U f U V (7) Dcă supr prllipipdului cu lturil d, d, d cţionă forţ lmntr stfl încât cst îşi modifică proporţionl dimnsiunil dică îşi păstră form iniţilă, tunci într dimnsiunil sl după dformr şi cl iniţil istă rlţi: d d d (8) d d d în cr dimnsiunil sl după dformr s pot scri: d ( ε ) d; d ( ε ); d ( ε ) (9) cst conduc l: ε ε ε () Ţinând sm d lg lui Hook gnrlită (8) rultă:

Cornl MRIN σ σ σ () Str d tnsiun corspunător clorşi dformţii spcific după cl tri dircţii st crctrită d tnsiuni clşi norml: σ σ σ Dcă l sistmului O coincid cu dircţiil principl, rlţi () s scri: σ σ σ σ m () Pntru o stfl d str prticulră d solicitr, ţinând sm d rlţi (), s oţin prsi nrgii potnţil spcific d vriţi volumului U V în funcţi d tnsiunil principl σ, σ, σ : ν U ( ) V σ σ σ () E Ţinând sm d rlţi (7) s oţin şi prsi nrgii potnţil spcifică d vriţi formi U f în funcţi d tnsiunil principl σ, σ, σ : ν U f UU V [ σ σ σ ( σσ σ σ σ σ ) ] E () ν U [( ) ( ) ( ) ] f σσ σ σ σ σ E Str spţilă d dformţii Vriţi dformţiilor dintr-un corp lstic Dircţii şi dformţii principl S considră un punct intrior l corpului M(,,) şi un lmnt prllipipdic cu muchiil orintt după l sistmului crtin ls, d volum dvddd (fig7) M d d M d N ig 7 N i punctul N(d, d, d) dimtrl opus punctului M

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii După dformţi lmntului prllipipdic, punctl u coordontl M (,, ) şi rspctiv: N ( d, d, d ) ir dformţi spcifică sgmntului MN s scri: MN MN dsds ε (5) MN ds în cr: ds MN d d d () ds MN d d d (7) u d d du v d d dv (8) w d d dw Ţinând sm d rlţi (5) s oţin : ds ds ( ε ) ds ( ε ε ) (9) Dcă s ţin sm d ipot micilor dformţii, s pot nglij trmnul d ordinul doi (ε ), oţinându-s: ε ds ds ds () Înlocuind rlţiil () şi (7) în rlţi () s oţin : ε d s ( d du d dv d dw ) du dv dw () Eprimând difrnţill dplsărilor du, dv, şi dw su form: u u u du d d d v v v dv d d d w w w dw d d d () şi nglijând infiniţii d ordinul doi (du, dv şi dw ) din rlţi () s oţin: u v w u v ε ds ( d) ( d) ( d) dd v w w u dd dd () Împărţind rlţi () cu ds şi ţinând sm d rlţiil cosinuşilor dirctori: d d d cos( On,O ) l, cos( On,O ) m, cos( On,O ) n ds ds ds () şi d rlţiil difrnţil într dformţii şi dplsări () şi () s oţin dformţi spcifică lmntului MN în funcţi d lmntl tnsorului dformţiilor şi cosinuşii dirctori i dircţii MN: ε ε l ε m ε n γ lm γ mn γ nl (5)

Cornl MRIN S pot dmonstr că într tori tnsiunilor şi c dformţiilor istă o nlogi dplină: istă stfl tri dircţii principl nott cu,,, pntru cr dformţiil spcific u vlori trm ε > ε > ε (dformţii principl) ir luncăril spcific în plnl corspunător cstor dformţii principl sunt nul (vi cul stării pln d dformţii) Prin nlogi cu str spţilă d tnsiuni, dformţiil principl ε, ε şi ε sunt soluţiil cuţii: ε ε γ γ γ ε ε γ () γ ε ε S pot dmonstr că luncăril spcific u vlori trm în plnl isctor l didrlor principl si cst u vloril : γ ε ε γ ε ε γ ε ε (7) Prin nlogi cu str d tnsiuni, s pot dfini dformţi octdrică normlă ε oct şi dformţi octdrică tngnţilă γ oct : ε ε ε ε oct (8) γ ( ) ( ) ( ) oct ε ε ε ε ε ε (9) Rlţi dintr constntl lstic E, G şi ν Dcă s considră lg lui Hook gnrlită (9) într-un sistm d c coincid cu dircţiil principl: ε [ σν ( σ σ ) ] E ε [ σ ν ( σ σ) ] () E ε [ σ ν ( σ σ )] E Dcă s scd tri rlţi din prim, şi s ţin sm d (7) s oţin : ν γ ε ε ( σ σ ) () E τ Ţinând sm d rlţi într luncăril spcific şi tnsiunil mim γ şi G τ σ σ d rlţi (7) s oţin: γ () G G

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Prin idntificr rlţiilor () şi () rultă rlţi într E, G şi v: ( ) ν E G () Tnsorul dformţiilor Ţinând sm d rlţi (9) : ( ) σ σ σ ν ε ε ε ε E V () şi făcând notţiil: ε ε ε ε σ σ σ σ m m ; (5) s oţin : ( ) m m E σ ν ε () su : m m E ε ν σ (7) olosind rlţili lgii lui Hook gnrl (8) într-un sistm d c coincid cu dircţiil principl s oţin: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m m m m m m m m m m m m m G E E E G E E E G E E E ε ε ε ε ν ε ν ε ν ν ε ν σ σ ε ε ε ε ν ε ν ε ν ν ε ν σ σ ε ε ε ε ν ε ν ε ν ν ε ν σ σ (8) Cu jutorul cstor rlţii s pot scri tât tnsorul tnsiunilor cât şi cl l dformţiilor într-un sistm d c coincid cu dircţiil principl: Tnsorul tnsiunilor st formt dintr-un tnsor sfric T σs c produc vriţi volumului şi un tnsor dvitor T σd c produc modificr formi: m m m m m m D S T T T σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ (9) Tnsorul dformţiilor st formt dintr-un tnsor sfric d vriţi volumului T εs şi un tnsor dvitor su d vriţi formi T εd : m m m m m m T S T D T ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε (5) Într componntl corspunător l clor ptru tnsori istă rlţiil (7) rspctiv (8) ddus mi sus

Cornl MRIN Prolm propus S considră un corp lstic solicitt d un sistm d forţ spţil şi un sistm d glol O, stfl încât într-un punct l său istă tnsiunil: σ 5 MP; σ MP; σ MP; τ MP; τ ; τ 5MP S cr: tnsiunil principl σ, σ, σ şi dircţiil principl ; tnsiunil tngnţil mim ; c dformţiil principl ε, ε şi ε dcă E, 5 MP şi v,; d luncăril spcific mim; Rspuns: σ 99, MP; σ, MP; σ 59, MP; l, 9; m, 8; n, 7; l, 8; m, 8; n, 7; l, ; m, 55; n, 878; S considră un corp lstic solicitt d un sistm spţil d forţ şi un sistm d glol O, stfl încât într-un punct l său s produc dformţiil: ε, ; ε, ; ε 8, ; γ, ; γ, ; γ, 8 S cr: dformţiil spcific principl ε, ε şi ε şi dircţiil principl ; luncăril spcific mim; c tnsiunil principl σ, σ, σ dcă E, 5 MP şi v,; d tnsiunil tngnţil mim; Rspuns: ε, 7 ; ε 7, ; ε 5, ; l, 55; m, ; n, 85 l, 8; m 9, ; n, 58; l 7, ; m, 9888; n, 8 S considră un corp lstic d formă prllipipdică, cr st introdus într-un corp ndformil vând cvitt idntică cu form prllipipdică corpului (fig8) Corpul st solicitt prpndiculr p fţ liră h cu o prsiun uniform distriuită p stfl încât s dformă numi după dircţi ilă S cunosc : mm, hmm, p MP, E,5 5 MP şi v, S cr: tnsiunil principl σ, σ, σ şi dircţiil principl ; dformţiil principl ε, ε şi ε ; c luncăril spcific mim; d tnsiunil tngnţil mim Rspuns: σ σ 55, MP; σ MP; 5 ε 5, 5 ; ε ε ; γ m, 55 ; τ m, 5 MP p h ig8

5 TEORII DE REZISTENŢĂ

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Stări limită d tnsiuni şi dformţii Toriil stărilor limită su d ristnţă du răspuns l următor întrr: Cr sunt condiţii c truisc îndplinit din punctul d vdr l solicitărilor uni pis, pntru nu s ting str limită d ristnţă într-un punct orcr din intriorul i? Srcinil trior plict p frontir su în intriorul unui corp lstic produc în cst un câmp d tnsiuni şi dformţii vând o distriuţi unică cr dpind tât d form gomtrică corpului, d lgăturil lui cu mdiul fi, d mărim şi configurţi cstor srcini trior cst stări d tnsiuni şi dformţii pot duc l priţi într-un punct su într-o onă mică din volumul pisi unor stări d tnsiuni şi dformţii limită cr s compră cu str d tnsiuni şi dformţii limită corspunător uni solicitări tlon d întindr uniilă În cul solicitării tlon d întindr uniilă str limită d tnsiuni şi dformţii corspunător pot fi mi uşor primtă în funcţi d forţ d întindr, dimnsiunil pruvti şi crctristicil mcnic l mtrilului: modulul d lsticitt şi coficintul lui Poisson cu jutorul unor crctristici mcnic cum r fi: tnsiunil principl, dformţiil spcific principl, tnsiunil tngnţil mim, nrgiil spcific totl su d vriţi formi Str limită d tnsiuni şi dformţii l întindr uniilă s ting tunci când tnsiun d întindr dvin glă cu vlor uni crctristici mcnic nturl mtrilului cum r fi: limit d proporţionlitt σ p, limit d lsticitt σ, tnsiun d curgr σ c su tnsiun d rupr σ r mtrilului, su st glă cu o vlor limită stilită convnţionl: ristnţ dmisiilă σ Vrificr d ristnţă unui lmnt constă în dtrminr tnsiunii mim din on priculosă (în cul uni r în scţiun priculosă) şi comprr i cu tnsiun dmisiilă Pntru vrificr trui să fi îndplinită condiţi: σ m σ (5) în cr: σ st ristnţ dmisiilă mtrilului, σ σk / c c - coficintul d sigurnţă l stării rl d tnsiun, dfinit c rportul dintr crctristic mcnică nturlă mtrilului σ k şi tnsiun chivlntă mimă din pisă σ ch : C σ k / σ ch (5) Pntru solicitr d întindr monoilă coficintul d sigurnţă st rportul dintr crctristic mcnică nturlă mtrilului σ k şi tnsiun normlă mimă tinsă în pisă: C σ k /σ m (5) Toriil d ristnţă u vut l ă un numit fctor su critriu prpondrnt c crctriă str limită d tnsiuni şi dformţii, cum r fi: tnsiun normlă mimă, dformţi longitudinlă mimă, tnsiun tngnţilă mimă, nrgi potnţilă spcifică totlă mimă, nrgi potnţilă spcifică d modificr formi 9

Cornl MRIN Prin idntificr csti stări d tnsiuni şi dformţii cu c corspunător solicitării d întindr simplă rultă o rlţi într tnsiunil principl (σ, σ, σ ) din pisă şi tnsiun σ m corspunător stării limită d l întindr simplă cr mi st numită şi tnsiun chivlntă σ ch Dcă s cunosc : vlor coficintului d sigurnţă c şi vlor crctristicii mcnic nturl σ k mtrilului, s pot prim tnsiun chivlntă stării limită σ ch în funcţi d tnsiunil principl din pisă su form gnrlă: σ ch f (σ, σ, σ ) (5) Într-un sistm d d coordont (σ, σ, σ ) rlţi (5) rprintă cuţi uni suprfţ închis su dschis ir stăril limită d tnsiuni corspund punctlor situt p cstă suprfţă : stfl o str d tnsiuni corspunător unui punct situt în intriorul suprfţi închis st o str d tnsiuni npriculosă, ir o str d tnsiuni corspunător unui punct situt în triorul suprfţi închis st o str d tnsiuni priculosă În funcţi d fctorul ls c fctor prpondrnt l tingr stării limită istă cinci torii d ristnţă clsic: T I - Tori tnsiunii norml mim (Glili, Rnkin); T II - Tori dformţiilor mim (Moriott, Sint Vnnt); T III - Tori tnsiuni tngnţil mim (Coulom, Gust, Trsc); T IV -Tori nrgii potnţil spcific totl d dformţi (Bltrmi, High); T V - Tori nrgii potnţil spcific d dviţi (Hur, Hnck, R von Miss;) (T M ) Tori lui Mohr st o gnrlir toriilor d mi sus c primă într-o formă unitră str limită dintr-un corp şi ţin sm d comportr difrită unor mtril l solicitr d întindr şi comprsiun Vlilitt uni torii d ristnţă s pot tst cu jutorul dtrminărilor primntl pntru numit stări prticulr d solicitr stfl : prinţl fctut p cuuri d mrmură supus l comprsiun triilă uniformă u rătt că cst u ristt fort in indifrnt d mărim srcinii D ici rultă că ristnţ l rupr prin comprsiun triilă uniformă st prctic nlimittă, tnsiun chivlntă st infinită Nici un dintr toriil d ristnţă d mi sus nu s vrifică pntru cst c prticulr, vloril tnsiunilor chivlnt p cr l furniă fiind limitt prinţl fctut p cilindri suţiri supuşi unor solicitări prticulr d torsiun c corspund unor stări d forfcr pură, u rătt că cşti ting str limită tunci când tnsiun tngnţilă mimă st jumătt din vlor tnsiunii mim d l întindr simplă: σ m τ lim (55)

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii 5 Torii clsic d ristnţă 5 T I - Tori tnsiunii norml mim (Glili, Rnkin) Conform torii tnsiunii norml mim, str limită într-un corp s ting tunci când vlor mimă tnsiuniii principl din pisă dvin glă cu vlor tnsiunii norml corspunător stării limită d l solicitr d întindr uniilă simplă: m( σ, σ, σ ) σ k (5) Întrucât str gnrlă d tnsiuni dintr-un corp st crctrită d tnsiunil principl σ, σ, σ, în cul uni stări spţil d tnsiuni infrior stării limită d mi sus sunt vlil inglităţil: - σ k σ σ k - σ k σ σ k (57) - σ k σ σ k În cul uni stări spţil d tnsiuni inglităţil (57) rprintă volumul unui cu d ltură σ k c în figur 5, ir în cul uni stări pln d tnsiuni cu σ, cst rprintă suprfţ din intriorul unui pătrt d ltură σ k c în figur 5 P E L -σ k -σ k O σ k σ -σ k L σ k σ σ σ k E σ ig 5 ig 5 σ Conform rlţii (5) tnsiun chivlntă după tori I st: σ ch m{ σ, σ, σ } (58) Pntru str plnă tnsiun chivlntă după tori I s scri: σ ch m{ σ, σ } (59) Dvntjl torii tnsiunii norml mim sunt: conform rlţiilor (57) pntru o str d comprsiun triilă uniformă cu σ σ σ σ k str limită s ting în vârful cuului P(σ k,σ k,σ k ), c c nu concordă cu rulttl primntl cr u rătt că ristnţ l rupr prin comprsiun triilă uniformă st prctic nlimittă;

Cornl MRIN cstă tori nu ţin sm d vloril difrit l ristnţi l întindr şi rspctiv l comprsiun unor mtril ; rulttl oţinut folosind tori tnsiunii principl mim s pot îmunătăţi prţil dcă s considră pntru ristnţ l comprsiun o vlor mi mr: σ k α σ k, (α >); pntru cul solicitării pln l forfcr pură : σ σ ± τ, σ, rulttl oţinut cu tori tnsiunii principl mim indică două punct E şi E din figur 5 d coordont: σ σ ±τ lim σ k, c c nu concordă cu rulttl primntl cr u rătt că str limită s ting pntru o vlor tnsiuni tngnţil mim glă cu jumătt din vlor tnsiunii mim σ k : τ lim ±σ k / corspunător punctlor L şi L din figur 5 5 T II - Tori dformţii spcific mim (Mriott, Sint Vnnt) Conform torii dformţii spcific mim, str limită într-un corp s ting tunci când dformţi spcifică principlă dvin glă cu vlor dformţii spcific corspunător stării limită d l solicitr d întindr uniilă simplă : ε m m( ε, ε, ε ) εk (5) Dformţi spcifică mimă corspunător stării limită d l întindr simplă r prsi: σ k ε k (5) E Întrucât ε, ε, ε sunt dformţiil spcific principl corspunător dircţiilor principl,,, în cul uni încărcări infrior stării limită dfinită mi sus sunt vlil inglităţil: - ε k ε ε k ; - ε k ε ε k ; (5) - ε k ε ε k Ţinând sm d rlţi (5) şi d rlţiil dintr dformţiil spcific principl ε, ε, ε şi tnsiunil principl σ, σ, σ (lg gnrlă lui Hook): ε [σ - ν ( σ σ )]/E ε [σ - ν ( σ σ )]/E (5) ε [σ - ν ( σ σ )]/E rlţiil (5) dvin: - σ k σ - ν ( σ σ ) σ k, - σ k σ - ν ( σ σ ) σ k, (5) - σ k σ - ν ( σ σ ) σ k Pntru o str spţilă d tnsiuni, într-un sistm d coordont (σ, σ, σ ) condiţiil (5) rprintă intriorul unui prllipipd olic cu scţiun în plnul (σ, σ ) un rom Pntru o str plnă d tnsiuni, într-un sistm d coordont (σ, σ ) rlţiil (5) dvin:

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii - σ k σ - ν σ σ k, - σ k σ - ν σ σ k (55) şi rprintă intriorul unui rom vând digonll şi BB idntic cu prim şi dou isctor sistmului d, c în figur 5 Tnsiun chivlntă conform torii II pntru str gnrlă d tnsiuni s scri: σ ch m { σν ( σ σ ) ; σ ν ( σ σ) ; σ ν ( σ σ ) } (5) Tnsiun chivlntă conform torii II pntru o str plnă d tnsiuni s scri: σ ch m{ σνσ ; σ νσ } (57) Tnsiunil principl σ şi σ pntru str plnă d tnsiuni din plnul O sunt: σ σ σ, ± ( σ σ ) τ (58) Înlocuind în rlţi (58) s oţin: ν ν σ ch ( σ σ ) ( σ σ ) τ (59) vntjul torii II s rmrcă în cul mtrillor frgil, und rulttl oţinut folosind cstă tori sunt fort propit d cl oţinut primntl σ σ -σ k /(-ν) -σ k B σ -σ σ k /(ν) -σ k σ k O σ -σ σ σ k /(ν) B σ k σ σ σ k /(-ν) σ ig 5

Cornl MRIN 5 T III - Tori tnsiunii tngnţil mim (Coulom, Gust, Trsc) Conform torii tnsiunii tngnţil mim, str limită într-un corp s ting tunci când tnsiun tngnţilă mimă dvin glă cu vlor tnsiunii tngnţil corspunător stării limită l solicitr d întindr uniilă simplă : τ k σ k / (5) cstă tnsiun s produc în cul stării d solicitr d întindr simplă într-un pln înclint cu 5 fţă d dircţi forţi su tnsiunii principl σ σ k Pntru str gnrlă d solicitr, tnsiunil tngnţil mim cţionă în în pln înclint cu 5 fţă d dircţiil principl şi s clculă conform rlţiilor: σ σ σ σ σ σ τ ; τ ; τ (5) Întrucât str gnrlă d tnsiuni dintr-un corp st crctrită d tnsiunil tngnţil mim (5) în cul uni încărcări infrior stării limită dfinită d tori d mi sus, sunt vlil inglităţil: - τ k τ τ k ; - τ k τ τ k ; (5) - τ k τ τ k Ţinând sm d rlţiil (5) dintr tnsiunil tngnţil mim şi tnsiunil principl, condiţiil (5) s mi scriu su form: - σ k σ - σ σ k ; - σ k σ - σ σ k ; (5) - σ k σ - σ σ k Pntru o str spţilă d tnsiuni, într-un sistm d coordont (σ, σ, σ ) condiţiil (5) rprintă intriorul uni prism hgonl înclint, vând c ă trisctor primului tridru, d cuţi: σ σ σ -σ k B L(σ k /, -σ k /) -σ k O σ k σ L (-σ k /, σ k /) σ k B σ ig 5

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii În cul uni stări pln d tnsiuni, într-un sistm d coordont (σ, σ ) rlţiil (5) dvin: -σ k σ - σ σ k -σ k σ σ k (5 ) -σ k σ σ k, şi rprintă intriorul unui hgon nrgult simtric în rport cu cl două isctor c în figur 5 Tnsiun chivlntă conform torii III- pntru str gnrlă d tnsiuni s scri: σ ch m { σσ ; σσ ; σ σ } (5) Tnsiun chivlntă conform torii III- pntru str plnă d tnsiuni (σ ) dvin: σ ch m { σ ; σ σ ; σ } (55) Dcă σ σ <, tunci trmnul σ - σ r c mi mr vlor dci tnsiun chivlntă conform torii III- s scri: σ ch σ σ (5) Dcă σ σ > pntru str plnă d tnsiuni s oţin tnsiun chivlntă : σ ch m { σ ; σ } (57) S osrvă că pntru o str plnă d întindr su comprsiun iilă (cdrnl I şi III) stăril limită conform torii III- coincid cu cl corspunător primi torii În cul unor stări pln d tnsiuni prpondrnt d forfcr (σ σ < - în cdrnl II şi IV), stăril limită sunt situt su liniil drptl B şi B, ir pntru str plnă d forfcr pură (σ -σ ±τ k ) str limită corspund punctlor L(σ k /, -σ k /) şi L (-σ k /, σ k /) c c concordă cu rulttl oţinut primntl Întrucât din condiţiil d ristnţă corspunător torii III- lipsşt coficintul contrcţii trnsvrsl ν, cstă tori pot fi folosită şi în domniul lsto plstic c şi critriu d plsticitt 5 T IV - Tori nrgii potnţil spcific totl (Bltrmi, High) Conform csti torii, str limită într-un corp s ting tunci când nrgi potnţilă spcifică totlă dvin glă cu vlor nrgii potnţil spcific totl corspunător stării limită d l întindr uniilă simplă : σ k Uk (58) E Pntru str gnrlă d tnsiuni nrgi potnţilă spcifică totlă U r prsi : U [ σ σ σ ν ( σσ σ σ σ σ) ], (59) E 5

Cornl MRIN Idntificând cl două prsii (57) şi (58) s oţin tnsiun chivlntă pntru o str gnrlă d tnsiuni: ( σ σ σ σ σ ) ch σ σ σ ν σ (5) σ Într-un sistm d d coordont (σ, σ, σ ) rlţi (5) rprintă un lipsoid În cul prticulr l stării pln d tnsiuni (σ ) tnsiun chivlntă s scri: σ ch σ σ νσ σ (5) Într-un sistm d d coordont (σ, σ ) rlţi (5) rprintă o lipsă vând smi înclintă cu α5 c în figur 55 Comprând figuril 5 şi 55 s osrvă că tnsiunil chivlnt pntru stăril limită conform torii III- şi torii IV sunt fort propit În cdrnl II şi IV, c corspund unor stări d tnsiun prpondrnt d forfcr (σ σ < ), stăril limită sunt rprntt prin rcl d lipsă B şi B Pntru solicitr d forfcr pură str limită corspund punctlor L şi L d coordont σ -σ σ k / ν, fort propit d rulttl oţinut primntl : σ -σ σ k / su d cl oţinut cu tori III- σ σ -σ k / ν B -σ k L σ -σ σ k / ν -σ k O σ k σ σ -σ -σ k / ν L B σ k σ σ σ k / ν ig 55 σ 55 T V - Tori nrgii potnţil spcific d vriţi formi (Hur, Hnck, R von Misss) cstă tori dmit c fctor prpondrnt nrgi potnţilă spcifică d vriţi formi U f şi firmă că str limită într-un corp s ting tunci când nrgi spcifică d vriţi formi dvin glă cu vlor nrgii potnţil spcific d vriţi formi d l str limită d întindr uniilă simplă : ν U kf σ k (5) E

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii Pntru str gnrlă d tnsiuni nrgi spcifică d vriţi formi U f r prsi: ν U [ σ σ σ ( σσ σ σ σσ ) ] D (5) E Idntificând cl două prsii (5) şi (5) s oţin tnsiun chivlntă pntru str gnrlă d tnsiuni: ( σ σ σ σ σ ) σ σ σ σ ch σ (5) Pntru o str spţilă d tnsiuni, într-un sistm d coordont (σ, σ, σ ) rlţi (5) rprintă un lipsoid În cul prticulr l stării pln d tnsiuni (σ ) tnsiun chivlntă s scri: σ σ σ σ ch σ (55) Într-un sistm d d coordont (σ, σ ) rlţi (55) rprintă o lipsă vând smi înclintă cu α5 fţă d (Oσ ) cr trc în cdrnl I şi III, prin vârfuril hgonului corspunător stărilor limită d l tori tnsiunii tngnţil mim c în figur 5 În cdrnl II şi IV, cr corspund unor stări prpondrnt d forfcr (σ σ < ), stăril limită sunt rprntt d rcl d lipsă B şi B (fig 5) Pntru str forfcr pură str limită corspund punctlor L şi L (σ -σ σ k / ) cr sunt fort propit d rulttl oţinut primntl (σ -σ σ k /) σ σ -σ k B -σ k σ -σ σ k / L -σ k σ k O σ L σ -σ -σ k / σ k B σ σ σ k σ ig 5 7

Cornl MRIN Tori nrgii spcific d vriţi formi s plică în cul solicitărilor prpondrnt d comprsiun (σ σ σ <) şi concordă cu rulttl primntl oţinut în cul comprsiunii triil uniform stfl pntru solicitr d comprsiun triilă uniformă σ σ σ -σ m rlţi (5) dvin σ ch c c st în concordnţă cu rulttl oţinut primntl: oricât d mr r fi vlor tnsiunii d comprsiun σ m nu s ting str limită în corp C şi torii tnsiunii tngnţil mim, tori nrgii potnţil spcific d vriţi formi st o tori d luncr şi printă clşi vntj, în plus cst primă condiţi d ristnţă printr-o singură rlţi d form: ( σσ σ σ σ σ ) σ k σ σ σ (5) 5 Tori stărilor limită lui MOHR Tori stărilor limită lui MOHR st o gnrlir toriilor clsic prntt ntrior Conform csti torii str limită într-un corp s ting tunci când s produc luncări după pln în cr tnsiunil tngnţil sunt mim, su priml dformţii din corp s produc tunci când tnsiun tngnţilă mimă τ m dintr-un pln d luncr ting vlor mimă corspunător stării limită d l întindr simplă Dpndnţ τ f(σ) s rprintă în sistmul d coordont (τ,σ) printr-o cură intrinscă d ristnţă su înfăşurător lui Mohr, simtrică fţă d σ Pntru o str spţilă d tnsiuni cu σ > σ > σ, tnsiunil σ şi τ într-un pln orcr corspunător stării limită pot fi rprntt în sistmul d coordont (τ, σ) cu jutorul clor tri crcuri l lui Mohr c în figur 57 S osrvă că vlor mimă tnsiunii tngnţil corspund punctului B : σσ τ m τ (57) τ B O C C C σ σ σ σ B ig 57 8

Ristnţ mtrillor şi lmnt d Tori lsticităţii S considră o sri d crcuri l lui Mohr vând dimtrl mim gl cu σ - σ c rprintă stări limită pntru difrit tipuri d solicitări Înfăşurător cstor crcuri st cur intrinscă (fig57) şi rprintă o str limită gnrlă pntru tot tipuril d solicitări posiil În figur 58 s-u rprntt stăril limită pntru câtv stări prticulr : crcul cu cntrul C O rprintă o str d întindr-comprsiun iilă uniformă cu σ - σ ; σ > ; σ <, su într-un pln înclint cu 5 fţă d dircţiil principl, o str d forfcr pură; crcul cu cntrul C - o str d întindr uniilă σ > ; σ ; crcul cu cntrul C - o str d comprsiun uniilă σ ; σ <; crcuril d cntr C, C, C 5 difrit stări d întindr iilă nuniformă cu σ > ; σ >; σ > σ ; crcuril d cntr C, C 7 - difrit stări d comprsiun iilă nuniformă σ <; σ < ; s osrvă o comportr difrită mtrilului l întindr - comprsiun crcul C n - o str d întindr iilă uniformă σ σ > τ σ m C 7 C C C C C C C 5 C n σ ig 58 G τ D σ c E C σ O C C σ σ t σ ig 59 9

Cornl MRIN Dtorită dificultăţii oţinrii curi intrinsci gnrl stărilor limită pntru ficr tip d mtril, MOHR propus o schmtir curi intrinsci prin două linii tngnt l crcuril corspunător stărilor limită d l solicitr d întindr şi comprsiun simplă (fig 59) O str orcr d solicitr (întindr-comprsiun nuniformă) s- rprntt printr-un crc intrmdir cu cntrul C (σ > ; σ <) S- nott cu σ t tnsiun dmisiilă l întindr (corspunător stării limită dintr-un pln prpndiculr p dircţi forţi d întindr) şi cu σ c tnsiun dmisiilă l comprsiun (corspunător stării limită dintr-un pln prpndiculr p dircţi forţi d comprsiun) Din smănr triunghiurilor C C şi C C E din figur 59 rultă: C C C (58) CC EC în cr: σ t σσ σ t σ c C C OCOC, CC CO OC (59) σ σ σ t σ c σ t C CDD EC CG EG Înlocuind vloril dt d rlţiil (59) în rlţi (58) şi luând σ c cu smnul minus, s oţin rlţi: σ t σ σ σ t σ (5) Notând : c σ K t şi σ ch σ t (5) σ c rlţi (5) dvin: σ ch σ - K σ (5) Rlţi lui Mohr (5) primă tnsiun chivlntă funcţi d tnsiunil principl σ, σ şi rportul K dintr tnsiunil dmisiil l întindr-comprsiun pntru cul mtrillor cu comportr difrită l întindr şi comprsiun Prticulriând cstă tori, s oţin pntru difrit curi prticulr : pntru mtrill vând cşi comportr l întindr şi comprsiun (σ t σ c K) rlţi d clcul tnsiunii chivlnt st idntică cu c corspunător torii tnsiunii tngnţil mim T τ : σ ch σ - σ (5) pntru forfcării pur (σ - σ τ) rlţi d clcul tnsiunii chivlnt dvin: τ K τ σ ch su σ ch τ ch K (5) pntru str plnă d tnsiuni (σ, σ ) rlţi d clcul tnsiunii chivlnt dvin: σ ch σ - Kσ σ (55) dcă σ σ, rlţi (55) st o gnrlir toriilor clsic: pntru K, s oţin T I şi T III (vrint σ σ > ) ; pntru K, s oţin T III (vrint σ σ < ) ; pntru K ν, s oţin T II

BIBLIOGRIE nghl, - Ristnţ mtrillor Prt I EdThnică, Bucurşti 98 nghl, V, Pstrmă, ŞD, Mrş, C - Mtod şi progrm pntru clculul structurilor Noţiuni tortic şi plicţii în MTLB, EdUPB, 998 tnsiu, M Mtod nlitic noi în Ristnţ mtrillor Ed UPB 99 Bug, M, Iliscu, N, Prolm ls d Ristnţ mtrillor Ed UPB 985 tnsiu, C, Tudos, I Budugn, Gh - Ristnţ mtrillor Edcdmii, Bucurşti 98 5 Budugn, Gh s - Culgr d prolm din Ristnţ Mtrillor EDP Bucurşti 979 Constntinscu, I, Dănţ, - Mtod noi pntru clcul d ristnţă EdThnică, Bucurşti GV 989 7 Crţu, Prolm ls din Ristnţ mtrillor, Ed Mdimir, Cluj- Npoc 8 Crţu, Tnsiuni, Strss, Contrints, Ed UT Cluj-Npoc 99 9 Dutsch, Is - Prolm din ristnţ mtrillor Ed Did şi Pdgogică Bucurşti 98 Drootă, V Ristnţ mtrillor Ed Didctică şi Pdgogică, Bucurşti 98 odosv, V - Strngth of mtrils, Ed MIR, Moscou, Scond dition, 97 Ghorghiu, H, Hdr,, - nli structurilor din mtril iotrop şi niotrop, Editur Constntin, N Printch, Bucurşti 998 Huidu, Th - Mcnic tortică şi lmnt d mcnic solidului dformil, vol III, Institutul d Ptrol şi G, Ploişti, 98 Isps, B, Constntinscu E, lndrscu, I - Ristnţ mtrillor Culgr d prolm Ed Thnică, Bucurşti 997 Iliscu, N, Jig, G, Hdr - Tst grilă d Ristnţ mtrillor Ed Printch, Bucurşti 5 Mrin, C, Pop, - Ristnţ mtrillor Prolm d mn Ed MCRIE, Târgovişt 8 Mrin, C, Pop, - Clculul rcţiunilor pntru sistm hiprsttic cu lgături smirigid Volumul lucrărilor ştiinţific l simpoionului intrnţionl Univrsitri ROPET, Inginri mcnică 9 Pop,, Mrin, C - Mtod d clcul şi nliă pntru lmntl d structură Bultinul Univrsităţii Ptrol G Ploişti cu lucrăril simpoionului juilir 9 d ni d l nştr profsorului Rudolf Voinroski, Vol LII, Sri Thnic nr/ Mrin, C, Pop, - Mtodă nlitică pntru clculul rcţiunilor grinilor continu p mi mult rm rigid dnivlt Ssiun juiliră d comunicări ştiinţific cu prticipr intrnţionlă rd, 7-8 octomri, nll Univrsităţii url Vlicu din rd Mrin, C, Pop, - Mtodă nlitică pntru rolvr sistmlor sttic ndtrmint d tipul grinilor continu cu lgături lstic Ssiun juiliră d comunicări ştiinţific cu prticipr intrnţionlă rd, 7-8 octomri, nll Univrsităţii url Vlicu din rd Mrin, C, Ptrscu R, Bâoi M - lgoritm d clcul pntru rolvr unui sistm sttic ndtrmint d r drpt prin mtod suprpunrii fctlor Mrin, C, Ptrscu R, Bâoi M Ssiun d comunicări ştiinţific Târgovişt, 9- mi - lgoritm d clcul pntru rolvr unui sistm sttic dtrmint formt din r cur pln cu gomtrică un rc d crc

Mrin, C, Pop,, rdlnu,m 5 Mrin, C, Pop, Mrin, C, Bucur S, Kufnr 7 Mrin, C, Bucur, S, Incu 8 Mrin, C, Mrin,, 9 Mrin, C, Mrin, Ssiun d comunicări ştiinţific Târgovişt, 9- mi - Distriuţi d tnsiuni dintr-o grindă continuă sitută p mi mult rm rigid su lstic încărctă cu un trn d srcini Ssiun juiliră d comunicări ştiinţific cu prticipr intrnţionlă, rd, 8- noimri, Sri Mcnic - Modlităţi d vlur cunoştinţlor d Ristnţ mtrillor Lucrr pulictă în volumul d lucrări l Confrinţi nţionl d Ristnţ mtrillor, REZMT, Glţi, mi - Clculul nlitic l rcţiunilor pntru o grindă continuă sitută p mi mult rm punctul rigid supusă cţiunii unui trn d srcini Ssiun d comunicări ştiinţific studnţilor şi cdrlor didctic, Târgovişt, 9 - iuni 5 - Clculul rcţiunilor pntru o grindă continuă sitută p mi mult rm punctul rigid cu o culisă ilă d cpăt su un trn d srcini Ssiun d comunicări ştiinţific studnţilor şi cdrlor didctic, Târgovişt, 9 - iuni 5 - Mtod nlitic pntru trsr digrmlor d forturi în rl drpt Ssiun ştiinţifică SIMEC, UTCB, Bucursti, cultt d Utilj Thnologic, mrti - Mtod nlitic pntru clculul dplsărilor şi rotirilor rlor drpt supus l încovoir Ssiun ştiinţifică SIMEC, UTCB, Bucursti, mrti Miroliouov, I, s - Rsistnc ds Mtriu Mnul d rsolution ds prolms, Ed MIR, Moscou, -m dition, 977 Ptrscu G, Mrin, M - Ristnţ mtrillor Vol I Ed Crti Criov 99 Ptrscu G, Mrin, M - Ristnţ mtrillor Vol II Solicitări spcil Ed Crti Criov 995 Pos, N s - Ristnţ mtrillor Prolm Ed Ştiinţifică şi Enciclopdică Bucurşti 98 Rds, M - Ristnţ mtrillor I, Ed PRINTECH, Bucurşti, 5 Rds, M - Ristnţ mtrillor II, Ed PRINTECH, Bucurşti, Rdu, Gh, Muntnu, M - Ristnţ mtrillor şio lmnt d Tori ElsticităţiiVol Ed MCRIE, Târgovişt 99 7 Stpin, P - Rsistnc ds Mtriu Mnul d rsolution ds prolms, Ed MIR, Moscou, prmir dition, 98 8 Timoshnko, SP - Tori stilităţii lstic Ed Thnică, Bucurşti 97 9 Tudos I, Constntinscu DM, Stoic, M - Ristnţ mtrillor plicţii Ed Thnică, Bucurşti 99