Convergenţ uniformă şirurilor de funcţii Considerăm un inervl închis orecre [, b ] R şi noăm cu F [,b ] mulţime uuror funcţiilor definie pe [, b ] cu vlori în R, F [,b ] = {x : [, b ] R ; x funcţie orecre}. Acesă mulţime ese orgniză în mod nurl c spţiu linir, definind dunre vecorilor şi înmulţire vecorilor cu sclri prin şi x, y F [,b ], (x + y)() = x() + y(), [, b ], (1) x F [,b ], λ R (λx)() = λx(), [, b ]. (2) Aces spţiu linir re dimensiune infiniă: urmăorul sisem de vecori 1,, 2,...,... fiind, de exemplu, linir independen. Şim că orice spţiul linir pese R de dimensiune finiă n ese izomorf cu R n, să observăm cum că însuşi R n poe fi defini c un spţiu de funcţii: dcă N = { 1, 2,..., n } R ese o mulţime cu n elemene orecre, unci idenificând orice funcţie x : N R cu n-upl generă de vlorile sle x = (x( 1 ), x( 2 ),..., ( n )) = (x 1, x 2,... x n ), obţinem o idenificre cu R n, prinr-un izomorfism de spţii linire, spţiul de funcţii F N = {x : N = { 1, 2,..., n } R ; x funcţie orecre}. Din ces moiv, vom spune că vecorii x F [,b ] u componenele x(), cu [, b ], şi că în (1) şi (2) operţiile sun definie pe componene. Spţiul de funcţii F [,b ] re numerose subspţii linire de ineres generl, dinre cre menţionăm: şi M [,b ] = {x : [, b ] R ; x funcţie mărginiă}, R [,b ] = {x : [, b ] R ; x funcţie inegrbilă Riemnn} C [,b ] = {x : [, b ] R ; x funcţie coninuă}. P [,b ] = {x : [, b ] R ; x funcţie polinomilă}. Subliniem că vem urmăorele incluziuni de subspţii linire P [,b ] C [,b ] R [,b ] M [,b ] F [,b ], şi minim că, de exemplu, C [,b ] ese subspţiu linir în F [,b ] deorece orice combinţie liniră două funcţii coninue ese o funcţie coninuă. 1
După cum şim, convergenţ unui şir de punce din R n ese crceriză de convergenţ pe fiecre componenă. Aces mod de înţelege convergenţ conduce în czul spţiilor de funcţii l convergenţ punculă, definiă de Definiţi 1. Şirul (x ) din F [,b ] converge puncul l x F [,b ] dcă [, b ], ε > 0 = (, ε). î. x () x() < ε, şi crceriză de echivlenţ x c.p. [,b ] x [, b ], x () x(). Convergenţ punculă ese uilă în mule siuţii, e ese un prim ps în definire de noi funcţii c limie de şiruri su, mi les, c sume de serii de funcţii, dr re un mre nejuns: nu grneză rnsferul de l ermenii şirului l funcţi limiă proprieăţilor de mărginire, de inegrbilie Riemnn su de coninuie. Exemplul 1. Şirul 0, [ 0, 1 x () = ] 1, ( 1, 2 ], = 1, 2,..., din M [ 0,2 ], re c limiă punculă funcţi nemărginiă 0, = 0 x : [ 0, 2 ] R, x() = 1, (0, 2 ]. Să observăm că oe funcţiile x din exemplul de mi sus, fiind coninue pe porţiuni, sun inegrbile Riemnn pe [, b ], dr funcţi limiă x nu ese inegrbilă Riemnn, fiind nemărginiă. Convergenţ punculă nu păsreză deci nici mărginire, nici inegrbilie Riemnn. Exemplul 2. cre ese eviden disconinuă în = 1. Şirul x () = din C [ 0,1 ] re c limiă funcţi 0, [ 0, 1) x : [ 0, 1 ] R, x() = 1, = 1, Revenind l convergenţ în R n, se poe verific uşor că ces poe fi definiă în mod echivlen cu oricre dinre urmăorele rei norme uzule x = x 1 + + x n, su x = È x 2 1 + + x 2 n x = mx{ x 1,..., x n }, 2
penru x = (x 1, x 2,..., x n ). Ulim dinre cese norme poe fi exinsă uşor l spţiul funcţiilor mărginie pe [, b ], mximul din modulele componenelor devenind în ces cz x = sup x(), (3) [,b ] penru orice x M [,b ]. Vom numi cesă normă norm supremum, şi rgem enţi că în czul când x C [,b ] supremumul din formul de mi sus ese chir un mximum, fiind o vlore insă de funcţi coninuă x(). Disnţ indusă de cesă normă pe M [,b ], şi nume d(x, y) = x y = sup x() y(), [,b ] penru orice x, y M [,b ], reprezină bere mximă dinre puncele x() şi y() din R, când prcurge inervlul [, b ]. Convergenţ în M [,b ] dă de cesă disnţă ese chir convergenţ uniformă şirurilor de funcţii: x c.u. [,b ] x lim x x = 0 lim sup [,b ] x () x() = 0. (4) Să minim definiţi convergenţei uniforme în F [,b ] : Definiţi 2. Şirul (x ) din F [,b ] converge uniform l x F [,b ] dcă ε > 0 = (ε). î. x () x() < ε, [, b ]. c.u. Ese uşor de văzu că dcă x x în F [,b ] unci, măcr de l un loc [,b ] încolo, x x M [,b ] şi re loc crcerizre (4). Reţinem: un şir de funcţii converge uniform l o funcţie dcă şi numi dcă bere mximă α = sup x () x() [,b ] dinre ermenii săi şi funcţi limiă inde l zero. Exemplul 3. Şirul x () = 1 din C [ 2,3 ] re c limiă uniformă funcţi nulă deorece bere mximă 1 α = sup 0 = 1 2, re limi zero penru. [ 2,3 ] Convergenţ uniformă implică, în mod eviden, convergenţ punculă căre ceeşi funcţie limiă, dr reciproc nu re loc. Şirurile din Exemplele 1 şi 2 sun puncul convergene fără să fie şi uniform convergene, deorece în primul cz α = + penru orice, ir în l doile α = sup x () x() = sup = 1, [ 0,1 ] [ 0,1) 3
penru orice. Convergenţ uniformă rnsferă mărginire, coninuie şi inegrbilie Riemnn: Teorem 1. Fie (x ) un şir din F [,b ] cre converge uniform l x F [,b ]. (1 ) Dcă x M [,b ] penru orice, unci şi limi x M [,b ]. (2 ) Dcă x C [,b ] penru orice, unci şi limi x C [,b ]. (3 ) Dcă x R [,b ] penru orice, unci x R [,b ] şi, mi mul, lim x ()d = x()d. (5) Puncul (1 ), rnsferul mărginirii, ese eviden ir demonsrre puncului (2 ) ese simplă: presupunem că şirul (x ) din C [,b ] converge uniform l un x F [,b ], cee ce însemnă că α = sup x () x() 0 penru. [,b ] Vrem să răăm că funcţi limiă x ese coninuă înr-un [, b ] fix rbirr. Folosind inerclre obţinem că x() x( ) x() x () + x () x ( ) + x ( ) x( ) x() x( ) 2α + x () x ( ), (6) penru orice şi orice [, b ]. Fie ε > 0. Deorece lim α = 0, exisă un 0 penru cre α 0 < ε/3, ir penru ces 0, deorece funcţi x 0 ese coninuă în, exisă un δ = δ 0 (ε) > 0 sfel încâ < δ implică x 0 () x 0 ( ) < ε/3. Din (6) urmeză că < δ implică x() x( ) < 2ε/3 + ε/3 = ε, şi sfel m ră că funcţi x ese coninuă în. Cum fos fix rbirr, vem că x ese coninuă pe [, b ]. A mi răms de jusific puncul (3 ). Demonsrţi clsică uilizeză Crieriul lui Drboux de inegrbilie Riemnn şi se bzeză pe comprre diferenţei dinre sumele Drboux superioră şi inferioră penru funcţi limiă x cu ceeşi diferenţă penru o funcţie x 0, cu 0 suficien de mre. Aici vom prezen o lă bordre, pe bz Crieriului lui Lebesgue de inegrbilie Riemnn. Să prezenăm mi înâi noţiunile necesre. Definiţi 3. O submulţime E R, se numeşe neglijbilă dcă penru orice ε > 0 exisă o fmilie cel mul numărbilă de inervle I R sfel încâ E I şi l(i ) < ε, unde cu l(i ) m no lungime inervlului I. O firmţie despre puncele unei submulţimi A R se spune că ese devără prope pese o pe A dcă ese devără penru orice punc din A \ E, cu E o mulţime neglijbilă. Teorem 2 (Crieriul lui Lebesgue). O funcţie mărginiă x : [, b ] R ese inegrbilă Riemnn dcă şi numi dcă ese coninuă prope pese o pe inervlul [, b ]. 4
Penru plicre cesui crieriu rebuie să răăm mi înâi că o reuniune numărbilă de mulţimi neglijbile ese neglijbilă. Jusificre r fi imediă dcă m şi că mulţimile neglijbile sun de fp mulţimile cre u măsur Lebesgue nulă şi că măsur Lebesgue ese o funcţie de mulţime numărbil subdiivă. Procedăm direc: fie E = =1E cu E mulţimi neglijbile, = 1, 2..., şi fie ε > 0 fix rbirr. Fiecre E dmie o coperire numărbilă cu inervle {I h ; h = 1, 2,... } cu h=1 l(i h ) < ε/2. Ese eviden că penru orice renumerore {I j ; j = 1, 2,... } fmiliei dublu indexe {I h ;, h = 1, 2,... } vem, penru orice n 1, j=n j=1 l(i j ) =1 ε/2 = ε, de unde rgem concluzi că E ese neglijbilă. Să observăm cum că în demonsrţi puncului (2 ), penru obţine coninuie funcţiei limiă x înr-un punc orecre, vem nevoie coninuie funcţiilor x numi în, nu pe o inervlul [, b ]. Acum (3 ) se ră uşor: presupunem că funcţiile x R [,b ], = 1, 2,..., rezulă că sun mărginie şi, din Crieriul lui Lebesgue, urmeză că sun coninuie prope pese o pe [, b ], dică sun coninue pe mulţimi de form [, b ] \ E, cu E submulţimi neglijbile. De ici urmeză că în orice [, b ] \ =1E oe funcţiile x sun coninue şi, prin urmre, x ese coninuă în. Deorece =1E ese neglijbilă, c reuniune numărbilă de mulţimi neglijbile, rezulă că funcţi limiă x ese coninuă prope pese o pe [, b ], şi cum e ese mărginiă (din (1 )), rezulă că ese inegrbilă Riemnn. În sfârşi, m ră că exisă x()d şi sfel, din mjorre x ()d x()d x () x() d α (b ), obţinem relţi (5). Argem enţi că convergenţ unuiformă conservă mărginire, coninuie şi inegrbilie, dr nu şi derivbilie. În exemplul urmăor vem un şir de funcţii derivbile pe [ 1, 1, ] convergen uniform l funcţi x() =, nederivbilă în = 0. È Exemplul 4. Şirul x () = 2 + 1 din C [ 1,1 ] re c limiă uniformă funcţi x() = deorece bere mximă Ê α = sup 2 + 1 1 2 = sup È 2 + 1 + = 1, 2 [ 1,1 ] re limi zero penru. [ 1,1 ] Condiţiile suplimenre cre rebuie dăuge convergenţei uniforme penru grn rnsferul derivbiliăţii se po fl din rele de nliză memică, noi cum închiem expunere prin enunţre urmăorului rezul fundmenl, cre firmă în esenţă că spţiul C [,b ] ese închidere lui P [,b ] în opologi indusă de norm supremum: Teorem de proximre lui Weiersrss. Orice funcţie coninuă x : [, b ] R ese limi uniformă unui şir de funcţii polinomile. 5 1 È 1