Profesor emerit dr. Octavian STĂNĂŞILĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ EDIŢIA DEFINITIVĂ. Floarea Darurilor

Transcript

1 Profesor emerit dr. Octvin STĂNĂŞILĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ EDIŢIA DEFINITIVĂ Colecţi Cărţi mri le Şcolii Româneşti Fundţi Flore Drurilor Bucureşti, 214

2 Culegere textului şi tehnoredctre: MORARU Cmeli Controlul finl l textului: JALBĂ Liviu Ion Tipărită l Regi Autonomă Monitorul Oficil Bucureşti, ROMÂNIA În 1 exemplre, din cre prezent crte re numărul: Semnătur utorului ISBN Crte nu este destintă vânzrii. Crte dăruită portă semnătur ologrfă utorului.

3 PREFAŢĂ Acest mnul fost elbort în cdrul Ctedrei de Mtemtici II din Universitte POLITEHNICA Bucureşti şi se dreseză studenţilor fcultăţilor de ingineri (cu precădere în profilul electric), putând fi util şi studenţilor fcultăţilor de mtemtică, fizică, economie. Anliz mtemtică constituie o componentă esenţilă culturii ş t i i n ţ i fi c e o r i c ă r u i c e r c e t ă t o r l n t u r i i p e n t r u c ă, l ă t u r i d e r o s t u l informţionl, e dezvoltă bilităţi de clcul (fiecre teoremă principlă fiind legtă de evluări numerice), disciplineză gândire, cnlizeză intuiţi, oferind nenumărte exemple de modelre mtemtică unor fenomene fizice, chimice, economice; e şi- lărgit permnent obiectul de studiu prin elborre de concepte noi şi în corelre cu tehnic modernă de clcul, rezolvt probleme inccesibile până nu demult, influenţând nemijlocit drumul spre cunoştere şi impresionând prin universlitte rezulttelor ei. Anliz mtemtică este şi o simfonie infinitului, după spusele lui Hilbert. Argumentul suprem în promov un rezultt teoretic (su un lgoritm) rămâne demonstrre cestui. Se ştie că rigore re un crcter istoric şi nu pote fi un scop în sine, dr unicul mod de fce înţelesă o noţiune este cel de o defini riguros, de sublini convingător surs, finlitte şi proprietăţile ei; deseori, un rţionment corect este legt de un limbj încărct, purtător l dificultăţilor obiective legte de descriere entităţilor studite. Se cunosc dificultăţile întâlnite de studenţii nului I în fţ unui curs c cest, cre nu este dor o coleţie de reţete, formule, lgoritmi. Este cert că studiul individul bine orgnizt, învăţre ctivă, rezolvre de multe exerciţii (inclusiv cele peste 2 exerciţii din cestă crte), disponibilitte în generl, îl conduc l succes pe cititor. Scriind cest curs, nu m căutt originlitte cu orice chip; prin progrmă fost inclus studiul funcţiilor ritmetice şi booleene, cee ce nu impieteză supr unităţii lucrării. Am urmărit sistemtic să conjug clitte ştiinţifică cerută unei stfel de lucrări cu tributele unui curs vorbit liber, cu convingere că succesul în comunicre mtemticii depinde esenţil de cultivre diverselor punţi cu relitte. Port îndtoritore recunoştinţă profesorilor mei M. Nicolescu, C. Andrein-Czcu, S. Mrcus, I.Gh. Şbc şi îmi mintesc cu plăcere de tmosfer mtemtică din seminrul de nliză complexă S. Stoilow, ir discuţiile cu C. Bănică şi cu M. Jurchescu.

4 Am ţinut cont de observţiile unor colegi de ctedră su le unor foşti studenţi i mei şi ţin să le mulţumesc şi cum. În cest sens, le duc un cuvânt de mulţumire profesorilor Pul Flondor, Vsile Brînzănescu, Mihne Moroinu, Mirce Oltenu ş.., cu cre m purtt, în timp, discuţii în cdrul seminrului metodic l ctedrei. Anliz mtemtică răms o disciplină fundmentlă pentru învăţământul tehnic şi un domeniu ştiinţific, cu un număr mre de rmificţii. Clcultorele nu u redus importnţ similării ei, ci dor u inverst unele priorităţi. Derivtele şi integrlele, în multiplele lor iposteze, u devenit indictori sintetici pentru descriere multor evoluţii în timp su spţiu, evidenţite de diversele ştiinţe. În ultimii ni, nu s-u produs mutţii în modul de predre nlizei, cu excepţi unor încercări de forţre originlităţii. Ţinând cont de noile tendinţe în didctic mtemtică, m dorit c cestă crte să ibă rolul de crte de învăţătură. C tre, m pus ccent pe înţelegere noţiunilor şi teoremelor prin multe exemple ilustrtive şi mi puţin pe unele demonstrţii pre complicte, pentru cre m făcut trimiteri bibliogrfice ccesibile. În schimb, m prefert comentriile şi un plus de plicţii. Nu uit că, îninte de fifostunmtemticinprintreingineri,vemmbiţided demonstrţii complete, cu orgoliul dscălului tânăr nerelist. Mulţumesc d-lui dr. ing. Liviu Jlbă, iniţitorul inimos l publicării unor mnule utile generţiilor tinere şi fundţiei Flore Drurilor. De semene mulţumesc d-nei Cmeli Morru, cre tehnoredctt un text suficient de dificil. octombrie 214 Autorul

5 Anliz mtemtică, cestă rmură fundmentlă ştiinţei, s- dezvoltt din nevoile directe le studiului fenomenelor nturii; noţiune de funcţie ocupă un loc centrl în nliză şi constituie substrtul generl bstrct l oricărei legi nturii. (S. STOILOW) Cpitolul 1 Preliminrii Introducere În cest cpitol vom prezent câtev concepte fundmentle utilizte în diverse etpe le oricărui proces de mtemtizre şi construind o prte importntă culturii mtemtice viitorului inginer. Nu vom studi noţiuni primre c: obiect, element, mulţime, submulţime, colecţie, eglitte, propriette etc. Presupunem de semene cunoscută semnificţi semnelor, /,, /,,,, =,,,,,,, ( ), ( ), (!). Sensul logic şi regulile de utilizre le cestor semne sunt cele din limbjul uzul (numit uneori niv în comprţie cu limbjele formlizte). Teori nivă mulţimilor, ş cum fost prezenttă în liceu, pote să jungă uneori l prdoxuri, dtorită în specil bogăţiei nelimitte limbjului uzul. Ită un stfel de prdox, evidenţit de Richrd prin considerre următorei propoziţii: Fie m cel mi număr nturl cre nu pote fi definit cu mi puţin de 1 semne. Acestă propoziţie re 65 de semne, constituite din literele şi cifrele utilizte. Pe de o prte, m nu pote fi definit cu mi puţin de 1 semne şi pe de lt, m este totuşi definit prin cele 65 de semne. Contrdicţie! Pentru evit stfel de situţii, mtemticienii u fundmentt teori xiomtică mulţimilor, în cre se fixeză de l început lfbetul cre v fi utilizt, semnele logice, obiectele (termenii) cu cre se rţioneză, tipurile de proprietăţi le cestor obiecte etc. În cest sens, este necesră fixre unui univers U de mulţimi, cre să cuprindă tote mulţimile cre pot să pră în cele ce urmeză. Actulmente întreg mtemtică pote fi fundmenttă cu extremă rigore, dr prin ntur şi prin dres cestui curs, vom folosi un limbj mi direct, neformlizt, dr formlizbil. Menţionăm ici importnţ deosebită procesului de formlizre, strâns legt de cel de progrmre. Acest cpitol trteză mi întâi conceptul generl de funcţie (relţie funcţionlă), cu exemple justifictive, fixându-se totodtă terminologi şi notţiile utilizte curent în tot restul lucrării. O tenţie specilă este cordtă unor elemente de nliză mulţimii N numerelor nturle, prezentând noţiunile de mulţime numărbilă şi funcţie ritmetică. În ultim prte cpitolului sunt dte unele elemente utile de logică mtemtică şi plicţii. 1.1 Relţii funcţionle, Relţii de ordine Conceptul generl de funcţie şi exemple În cele ce urmeză, vom dopt notţiile conscrte: { } p N = {, 1, 2,...}, Z = {, 1, 1, 2, 2,...}, Q = p, q Z, q>, q 1

6 2 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII prezentând totodtă definiţi nivă mulţimilor respective de numere, prin enumerre elementelor lor. Se pote indic un procedeu riguros de construcţie mulţimilor Z, Q, pornind de l N, prin operţii de teori mulţimilor. În cpitolul următor vom fce o discuţie detlită supr mulţimii R numerelor rele, cărei înţelegere este esenţilă pentru orice utiliztor de mtemtică. Din multitudine de situţii concrete de dependenţă unor mărimi, stări, indici cntittivi su clittivi etc. de lte mărimi, stări, indici, s- observt că în orice situţie de dependenţă sunt ngjte două mulţimi de elemente. Acest condus l definiţi clsică formultă de G.L. Dirichlet ( ) şi de N.I. Lobcevski ( ): d ( stbili, defini) o funcţie (su echivlent, o plicţie) f de l o mulţime M l o mulţime N însemnă soci oricărui element x M un element unic determint din N, nottf(x) ş i n u m i t vlore funcţiei f în x. În cest cz se scrie f : M N, x f(x) (1) şi se spune (sugestiv dr incorect) că f trnsportă informţie de l M l N. Mulţime M se numeşte domeniul de definiţie l lui f, ir N domeniul de vlori l lui f. În definiţi nterioră există unele imperfecţiuni logice, în specil privind sensul termenului soci. În ultimul timp s- impus o ltă definiţie, esenţilmente echivlentă cu ce nterioră şi pe cre o prezentăm mi jos. Fie M ş i N două mulţimi fixte. Remintim că orice colecţie R de perechi ordonte (x, y) cux M ş i y N se numeşte relţie binră de l M l N; o stfel de relţie este deci o submulţime produsului crtezin M N, dică R M N. ElementeleluiM N se împrt în două clse: elemente (x, y) cre prţin lui R ş i s e s c r i e xry (se citeşte: x este în relţi R cu y) şielemente (x, y) / R şi tunci se scrie (xry) su xr/ y. Definiţi 1.1. Se numeşte relţie funcţionlă F de l M l N orice relţie binră F M N, cu propriette ( ) x M,(!) y N stfel încât (x, y) F. Fig. I.1 Dcă f este o plicţie în sensul definiţiei lui Dirichlet-Lobcevski, tunci se consideră relţi funcţionlă F = {(x, f(x)) x M}, numităşigrficul lui f; reciproc, dcă F este relţie funcţionlă c în definiţi 1.1, tunci se pote defini plicţi f : M N, x cel unic y stfel încât (x, y) F. Tocmi în cest sens, cele două definiţii le conceptului de funcţie u fost clificte c esenţilmente echivlente. În cele ce urmeză, vom dopt cu precădere definiţi clsică. Remrcăm ici că scriere (1) este uneori înlocuită prin y = f(x), spunându-se neriguros că y este funcţie de vribil x. Dr cine este y? De semene cuvântul vribilă minteşte de timp, cee ce este o restricţie inutilă şi de cee el este substituit prin element orecre din mulţime M. Subliniem încă o dtă că dcă f : M N este o plicţie, tunci pentru orice element x M este pus în evidenţă un singur element din N, nott f(x); se mi spune că f este uniformă (su univocă). Există situţii în cre pentru două mulţimi fixte M,N, fiecărui element x M să-i potă fi socite eventul mi multe elemente din N; se spune tunci că este definită o funcţie multiformă M N. De exemplu, luând M = N = C şi sociind oricărui z C tote numerele complexe w stfel încât w 3 = z. Un exemplu semnifictiv re loc în cdrul fenomenului de histerezis unde pr dependenţe de mărimi fizice rele x y ilustrte grfic c în fig. I.1 (vlorii x = α îi corespund trei y i). Trebuie remrct fptul că orice funcţie multiformă M N se pote consider c o funcţie uniformă M P(N) (remintim că pentru orice mulţime A se noteză cu P(A) mulţime părţilor lui A). În întreg lucrre vom consider exclusiv funcţii (plicţii) uniforme.

7 1.1. RELAŢII FUNCŢIONALE, RELAŢII DE ORDINE 3 Definiţi 1.2. Două funcţii f : M N, g : M 1 N 1 se consideră egle (şi se scrie f = g) dcă M = M 1, N = N 1 ş i î n p l u s, ( )x M, vem f(x) =g(x). Aşdr, prin convenţie, două funcţii sunt egle dcă u celşi domeniu de definiţie, celşi domeniu de vlori şi dcă ele lucreză l fel. Multe formule mtemtice pot fi interprette c eglităţi de funcţii; de exemplu, relţi sin 2 x + cos 2 x = 1, ( )x R semnifică eglitte funcţiilor rele f,g : R R, definiteprinf(x) =sin 2 x + cos 2 x, g(x) = 1. Remrcăm de semene [ că uneori funcţii distincte sunt notte l fel (de exemplu: sin : R R, sin : π 2, π ] R). 2 Dcă M ş i N sunt mulţimi fixte, tunci se noteză cu N M su Hom(M,N), mulţime tuturor funcţiilor M N (fig. I.2). De exemplu, dcă M este un intervl [α, β] dinr şi N = R, tunci Hom(M,N) este mulţime tuturor funcţiilor rele vând grficul cuprins între dreptele x = α, x = β (fig. I.3). Fig. I.2 Exemple de funcţii Pentru sublini importnţ conceptului generl de funcţie este suficient de rătt de l început că şirurile, fmiliile de elemente, operţiile lgebrice, trnsformările geometrice, omomorfismele, funţionlele, opertorii etc. sunt, îninte de orice, funcţii. Se pote spune că, lături de numere, funcţiile domină întreg mtemtică. ) Şiruri. Se numeşte şir de elemente dintr -o mulţime E orice funcţie f : N E; pentru orice n N este definit un element n = f(n) din E. Şirul î n s u ş i s e n o t e z ă { n } n N su { n } n î n l o c d e N E, n n,irmulţime {x E ( )n N, x = n } se numeşte mulţime termenilor şirului. Trebuie făcută distincţi între un şir şi mulţime termenilor lui, deorece două şiruri distincte pot ve celeşi mulţimi de termeni (de exemplu E = Z, n = 1+( 1) n, b n =1 ( 1) n, n ). În esenţă noţiune de şir presupune o numită ordonre, o enumerre termenilor, cee ce nu este cerut în czul elementelor unei mulţimi. Dcă E = R (respectiv Q, R\Q), tunci şirurile corespunzătore de elemente din E portă numele de şiruri de numere rele (respectiv rţionle, irţionle). Dcă M,N sunt mulţimi fixe şi E = Hom(M,N), tunci orice plicţie N E, n f n se numeşte şir {f n } n de funcţii M N; de exemplu, dcă f n (x) = nx 1+n 2 x 2,( )x Q, ( )n N, tunci se pot consider funcţiile f,f 1,f 2,... ş i c tre este definit un şir {f n } n de funcţii Q Q. Se pote consider o noţiune mi generlă decât ce de şir, nume noţiune de fmilie. Dcă I,E sunt mulţimi orecre, se numeşte fmilie de elemente din E indextă după I orice plicţie I E, i x i, nottă de obicei {x i } i I. Şirurile sunt fmilii indexte după mulţime N. Fmiliile cu I Z se numesc tot ş i r u r i. Fie {M i } i I o fmilie de mulţimi. Se pot defini tunci reuniune cestei fmilii M i = {x ( )i stfel încât x Mi }, i I intersecţi cestei fmilii M i = {x ( )i, x Mi } i I Fig. I.3 ş i produsul crtezin i I M i = mulţime tuturor fmiliilor {xi } i I de elemente din i I M i stfel încât x i M i,( )i I.

8 4 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII (Simbolul semnifică definiţi membrului stâng). Dcă I = {1, 2}, regăsim respectiv mulţimile M 1 M 2, M 1 M 2, M 1 M 2. b) Operţii lgebrice. FieM o mulţime fixtă şi n 1 un număr nturl. Se noteză M n = {(x1,x 2,...,x n ) x i M pentru orice 1 i n}. Aşdr, M n = M i unde M 1 = M 2 =... = M n = M. Se numeşte 1 i n operţie (lgebrică) n-ră pe mulţime M orice plicţie M n M. Aşdr o operţie n-ră pe M sociză oricărui element (x 1,x 2,...,x n ) M n un element bine determint din M, nott (x 1,x 2,...,x n ). Pentru n =2se obţine conceptul de operţie binră, c funcţie M M M, (x, y) x y = (x, y), ir pentru n = 1 cel de operţie unră (funcţie M M). Definind M c fiind o mulţime formtă dintr-un singur element, se pote consider noţiune de operţie nulră M M pe M, cre constă în fixre unui element din M. De exemplu, dcă M = Z, tunci dunre + : M M M, (x, y) x + y ş i î n m u l ţ i r e : M M M, (x, y) xy sunt operţii binre; lure opusului M M, x x este o operţie unră, ir fixre numărului 215 este o operţie nulră pe Z. Un mre slt în conştiinţ mtemtică fost cel în cre operţiile lgebrice u fost definite c funcţii; în prticulr, prin mijlocele moderne de clcul nu se execută numi sume, produse etc., ci se relizeză operţii de dunre, înmulţire etc. Este clră diferenţ între clcul sum şi clcul tote vlorile funcţiei-dunre + : Z Z Z. c) Fie I =[, b] un intervl fixt; se noteză cu C[,b] = C (I) mulţime funcţiilor continue I R şi pentru orice k 1 nturl se defineşte mulţime C[,b] k = C k (I) funcţiilor I R cre sunt de k ori derivbile stfel încât derivt f (k) să fie continuă de I. Se pot defini tunci două plicţii remrcbile şi nume: opertorul de derivre D : C k (I) C k 1 (I), f f (k 1 fixt); funcţionl de lure integrlei I : C (I) R, f b f(x)dx. d) Printre cele mi importnte exemple de funcţii se disting funcţiile cu vlori rele X R definite pe o mulţime orecre X, numite uneori funcţii numerice rele su funcţionle. Uneori se utilizeză în prctică funcţii definite prin tbele. Dcă M = {x 1,x 2,...,x p }, N = {y 1,y 2,...,y p } sunt două mulţimi finite de numere rele cu x 1 <x 2 <...<x p ş i I un intervl stfel încât M I, tunci orice funcţie relă f : I R verificând relţiile f(x i )=y i,1 i p se numeşte funcţie de interpolre pe I socită tbelei de vlori x 1 x 2... x p y 1 y 2... y p Astfel de situţii pr în diverse măsurători le mărimilor fizice. Multe lte tipuri de funcţii vor fi întâlnite chir şi în cdrul cestui curs. Pornind de l funcţii dte se pot defini ltele noi. Dăm câtev exemple în cest sens: 1) Fie f : M N 1, g : N 2 P două funcţii stfel încât N 1 N 2 ;în cestă situţie se pote consider funcţi compusă g f : M P, x g(f(x)), plicând mi întâi f şi poi g; şdr, (g f)(x) =g(f(x)), ( )x M. Presupunând că vem plicţii f : M N, g : N M, tunci u sens funcţiile compuse g f, f g, dr în generl ceste sunt funcţii distincte (de exemplu, luând M = N = R, f =sinşig =exp,rezultăcăf g : x sin e x ş i

9 1.1. RELAŢII FUNCŢIONALE, RELAŢII DE ORDINE 5 g f : x e sin x ). Aşdr compunere de plicţii nu este comuttivă; e este totuşi socitivă, tunci când operţiile u sens. Dcă f : M N este o funcţie, tunci se pote dopt următore interpretre sistemică : numim elementele lui M intrări, elementele lui N ieşiri şi f pre c o modlitte prin cre oricărei intrări x M îi corespunde ieşire y = f(x) şi se pote consider stfel un sistem intrre-ieşire (fig. I.4). Dcă g : N P este o ltă funcţie, tunci funcţi g f corespunde legării în serie celor două sisteme intrre-ieşire corespunzătore (fig. I.5). Necomuttivitte compunerii confirmă importnţ decisivă pe cre o re ordine în cdrul legării în serie sistemelor. 2) Fie B omulţimeşia B o submulţime ei; se pote defini tunci plicţi de incluziune i : A B, x x. Dcă f : B M este o funcţie, tunci funcţi f i : A M se numeşte restricţi lui f l A şi se noteză f A. Aşdr (f A)(x) =f(i(x)) = f(x), ( )x A. Dcă g : A Meste o funcţie fixtă, tunci orice funcţie h : B M stfel încât g = h A (dică g(x) =h(x), ( )x A) senumeşteprelungire [ lui g l B. De exemplu, funcţi sin :, π ] R pote fi prelungită l întreg R, dr ( 2 funcţi tg, π ) R nu pote fi prelungită prin continuitte l R (dică l o 2 funcţie continuă pe R). 3) Dcă f,g : X R sunt două funcţii numerice definite pe ceeşi mulţime, tunci se pot defini sum ş i produsul lor Fig. I.4 Fig. I.5 f + g : X R, x f(x)+g(x) şi fg : X R, x f(x)g(x), produsul lui f cu un număr rel α şi câtul αf : X R, x αf(x) f g : X \ Z g R, z f(x) g(x), unde Z g = {x X g(x) =} este mulţime zerourilor funcţiei g. Definiţi 1.3. O funcţie f : M N se numeşte injectivă dcă re loc implicţi ( ) x 1,x 2 M, {f(x 1 )=f(x 2 )} {x 1 = x 2 } su, logic echivlent, ( ) x 1,x 2 M, {x 1 x 2 } {f(x 1 ) f(x 2 )}. Funcţi f : M N se numeşte surjectivă dcă ( )y N ( )x M stfel încât f(x) = y. Funcţi f : M N se numeşte bijectivă (su simplu bijecţie) dcă f este injectivă şi surjectivă; în cest cz se mi spune că f stbileşte o corespondenţă bijectivă între mulţimile M şi N. Lem 1. Fie M u N v P două plicţii orecre. Dcă v u este injectivă (respectiv surjectivă), tunci u este injectivă (respectiv v surjectivă). Demonstrţie. Presupunem funcţi v u injectivă şi vem de rătt că u este injectivă; fie x 1,x 2 M ş i u(x 1 )=u(x 2 ), deci v(u(x 1 )) = v(u(x 2 )), dică (v u)(x 1 )=(v u)(x 2 ). Deorece plicţi v u este injectivă prin ipoteză, rezultă x 1 = x 2. Dcă plicţi v u este surjectivă şi z P este rbitrr, tunci există x M stfel încât (v u)(x) =z, dică v(u(x)) = z, deciv este surjectivă. Lem 2. O funcţie f : M N este bijectivă dcă şi numi dcă pentru orice y N, ecuţi f(x) =y re soluţie, unică, x M. Demonstrţie. Presupunem f bijectivă şi fie y N fixt rbitrr. Atunci ecuţi f(x) =y re soluţie deorece f este surjectivă; în plus dcă x 1,x 2 M sunt soluţii le ei, tunci f(x 1 )=y, f(x 2 )=y ş i c u m f este injectivă, rezultă

10 6 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII x 1 = x 2 deci soluţi este unică. Reciproc, dcă ecuţi f(x) =y re soluţie şi este unică pentru orice y N, tunci f este evident bijectivă. Fie f : M N plicţie bijectivă; tunci se pote defini invers f 1 lui f f 1 : N M, y unicul element x M stfel încât f(x) =y. Pentru orice mulţime M se pote consider plicţi identică lui M, nume plicţi 1 M : M M, x x. Evident, 1 M este plicţie bijectivă şi (1 M ) 1 =1 M. Teorem 1.1. Fie f : M N oplicţieorecre. ) Avem f 1 M = f ş i 1 N f = f; b) Dcă f este bijectivă, tunci f 1 f =1 M ş i f f 1 =1 N ; c) Fie g : N M o plicţie stfel încât g f =1 M, f g =1 N. Atunci f ş i g sunt bijective, g = f 1 ş i f = g 1. Demonstrţie. ) Pentru orice x M vem (f 1 M )(x) =f(1 M (x)) = f(x) ş i ( 1 N f)(x) =1 N (f(x)) = f(x). b) Fie ( )x M ş i y = f(x); tunci (f 1 f)(x) =f 1 (f(x)) = f 1 (y). Din definiţi lui f 1 rezultă că f 1 (y) = x, deci (f 1 f)(x) = x, dică f 1 f =1 M. În mod similr se probeză relţi f f 1 =1 N. c) Deorece g f =1 M,dinlem1vrezultcăf este injectivă şi că g este surjectivă; în mod similr, din ipotez f g =1 N,rezultăcăf este surjectivă ş i g este injectivă. Aşdr, f ş i g sunt bijective. În plus, din relţi g f =1 M şi plicând punctul ), rezultă (g f) f 1 =1 M f 1 = f 1 ; pe de ltă prte, (g f) f 1 = g (f f 1 )=g 1 N = g şi se obţine relţi g = f 1. În mod similr, din relţi f g =1 N se obţine (f g) g 1 =1 N g 1 = g 1 ş i p e d e ltă prte, (f g) g 1 = f (g g 1 )=f 1 M = f, decif = g 1. Corolr. ) Dcă f : M N este o plicţie bijectivă, tunci f 1 este bijectivă şi (f 1 ) 1 = f; b) Dcă M u N v P sunt plicţii bijective, tunci funcţi compusă v u este bijectivă şi în plus, (v u) 1 = u 1 v 1. Demonstrţie. ) Luând g = f 1 rezultă f g = 1 N, g f = 1 M ş i plicând teorem 1.1. c) rezultă că g este bijectivă şi în plus g 1 = f, dică (f 1 ) 1 = f. b) În generl, dcă u ş i v sunt injective (respectiv surjective), l fel v fi plicţi v u. Aşdr, dcă plicţiile u ş i v sunt bijective, tunci funcţi v u este bijectivă; în plus, (v u) (u 1 v 1 )=v (u u 1 ) v 1 =(v 1 N ) v 1 = v v 1 =1 P şi similr, (u 1 v 1 ) (v u) =u 1 (v 1 v) u = u 1 (1 N u) = u 1 u =1 M. Aplicând teorem 1.1. c) pentru g = v u, f = u 1 v 1,rezultă că f = g 1, dică u 1 v 1 =(v u) 1, tocmi relţi din enunţ. Exemple. ) Aplicţi ϕ : N Z, definităprin ϕ(n) = n 2 n +1 2 dcă dcă n este pr n este impr este bijectivă. Aşdr, există o corespondenţă bijectivă între mulţime N şi mulţime Z (deşi N Z). Un fpt similr nu re loc pentru mulţimi finite. Anume, dcă M ş i N sunt mulţimi finite şi dcă ϕ : M N este o plicţie bijectivă, tunci M ş i N u celşi număr de elemente; şdr, dcă M N, tunci nu pote exist nici o bijecţie de l M l N. b) Fie M = N = R ş i f : R R, x x 3. În cest cz f este bijectivă şi f 1 (x) = 3 x pentru orice x R. Funcţi exp : R (, ), x e x este bijectivă şi exp 1 = log (logritmul nturl).

11 1.1. RELAŢII FUNCŢIONALE, RELAŢII DE ORDINE 7 [ Funcţi sin : π 2, π ] [ 1, 1] este bijectivă şi sin 1 = rcsin; în mod 2 ( similr, pentru funcţi bijectivă tg : π 2, π ) R vem tg 1 = rctg. 2 Observţie. Aplicţiile bijective u un rol deosebit în mtemtică. Astfel, izomorfismele de grupuri, izomorfismele de spţii vectorile, izomorfismele de grfuri, de utomte etc. sunt în primul rând plicţii bijective între numite mulţimi. De semene, un model mtemtic idel M l unui sistem fizic F presupune existenţ unei bijecţii f între entităţi fizice le lui F şi obiecte mtemtice (numere, funcţii, mtrici etc.) legte de modelul M. Prin plicţi f se trduc mtemtic legi fizice, determinări clittive su cntittive etc, cre sunt prelucrte în M, ir dtele finle obţinute se interpreteză (prin f 1 )în termenii sistemului fizic F considert. Acestă interpretre este desigur imperfectă, grosieră, dr pote fi preciztă în contexte fizice concrete (fig. I.6) Imgini directe şi imgini inverse de submulţimi printr-o plicţie Fie f : M N o plicţie fixtă. Definiţi 1.4. Pentru orice submulţime A M, submulţime lui N Fig. I.6 f(a) = {y N ( )x A stfel încât y = f(x)} se numeşte imgine directă lui A prin f. Aşdr, f(a) ={f(x) x A}. Mulţimef(M) senumeştedomeniul strict de vlori l lui f şi este uneori nottă cu Im f (imgine lui f). Aplicţi M f(m), x f(x) esteevidentsurjectivăşisenumeştecorestricţi lui f. Se observă că plicţi f iniţilă este surjectivă dcă şi numi dcă Im f = N. Definiţi 1.5. Pentru orice submulţime B N, submulţime lui M f 1 (B) = {x M f(x) B} se numeşte imgine inversă (su preimgine) lui B prin f. Este evident că f 1 (N) =M. Dcă y N este un element fixt, mulţime f 1 (y) ={x M f(x) =y} se numeşte fibr lui f î n y. Aplicţi f este surjectivă dcă şi numi dcă pentru orice y N fibr lui f în y este o mulţime nevidă. Proprietăţile principle le imginilor directe şi inverse de submulţimi sunt cuprinse în Teorem 1.2. Fie f : M N oplicţiefixtă. () Aplicţiile P(M) P(N), A f(a) ş i P(N) P(M), B f 1 (B) păstreză incluziunile; (b) Dcă A 1,A 2 sunt mulţimi le lui M, tunci f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 )şif(a 1 A 2 )=f(a 1 ) f(a 2 ); (c) Dcă B 1,B 2 sunt submulţimi le lui N, tunci f 1 (B 1 B 2 )=f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 )şif 1 (B 1 B 2 )=f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). (d) Dcă B N, tunci f 1 (B) =f 1 ( B), dică M f 1 (B) =f 1 (N B). Demonstrţie. () Trebuie rătt că dcă A 1 A 2 M, tunci f(a 1 ) f(a 2 ) şi că dcă B 1 B 2 N, tunci f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). Într-devăr, fie ( )z f(a 1 )deciz = f(x) cux A 1. Atunci x A 2 (căci A 1 A 2 ), deci z f(a 2 ) şi c tre, f(a 1 ) f(a 2 ). În mod similr, fie ( )u f 1 (B 1 ) deci f(u) B 1. Dr B 1 B 2,decif(u) B 2, dică u f 1 (B 2 ) şi c tre, f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ).

12 8 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII (b) Deorece A 1 A 2 A 1 ş i A 1 A 2 A 2,rezultă căf(a 1 A 2 ) f(a 1 )şif(a 1 A 2 ) f(a 2 ), conform (). Aşdr f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ). Eglitte de mulţimi f(a 1 A 2 )=f(a 1 ) f(a 2 ) se probeză prin dublă incluziune, c şi eglităţile de l punctul (c). (d) Fie ( )x f 1 (B). Atunci x/ f 1 (B), dică f(x) / B, f(x) B, deci x f 1 ( B). Aşdr, f 1 (B) f 1 ( B). Pentru prob celltă incluziune, fie ( )z f 1 ( B) decif(z) B, f(z) / B, deciz / f 1 (B), z f 1 (B) şi c tre, f 1 ( B) f 1 (B). Se observă că imgine inversă re proprietăţi mi bune decât le imginii directe. Exemple. ) Considerăm funcţi f : R R, x x 2 ş i A =[ 3, 2]. În cest cz, vem f(a) =[, 9] şi f 1 (A) =[ 2, 2]. b) Fie plicţi I : C [,1] R, f 1 f(x)dx. Acestă plicţie este surjectivă, deorece pentru orice λ R, există chir o infinitte de funcţii f C [,1] stfel încât I(f) =λ, dică ri dintre grficul lui f, x Ox ş i dreptele x =, x = 1 să fie eglă cu λ. Dcă P este mulţime restricţiilor l intervlul [,1] de funcţii de grdul întâi, tunci evident imgine directă lui P este I(P )=R. c) Fie D : C 1 [,1] C [,1] opertorul de derivre. Acestă plicţie este surjectivă (deorece orice funcţie continuă pe [,1] re primitivă). Pentru orice funcţie continuă f C [,1] fibr D 1 (f) este mulţime tuturor primitivelor lui f pe intervlul [,1]. Observţii. 1) Fie f : M N o plicţie injectivă; tunci plicţi de corestricţie M f(m), x f(x) este bijectivă şi deorece f(m) N rezultă că există o corespondenţă bijectivă între M ş i o s u b m u l ţ i m e l u i N. Mi generl, dcă f : M N este o plicţie orecre, tunci există plicţii ϕ, ψ stfel încât f = ψ ϕ, ϕ săfiesurjectivă şiψ injectivă (descompunere cnonică luif); nume, se consideră ϕ : M f(m), x f(x), corestricţi lui f ş i ψ : f(m) N, y y, plicţi de incluziune. Remrcăm de semene că dcă f : M N este o plicţie orecre, tunci prin restricţii şi corestricţii convenbile le lui f se obţine o plicţie bijectivă. De exemplu, funcţi [ sin : R R, x sin x nu este nici injectivă, nici surjectivă, dr funcţi sin : π 2, π ] [ 1, 1] este bijectivă (c de obicei, 2 m utilizt ceeşi notţie sin pentru funcţii distincte). 2) Dcă f : M N este o plicţie bijectivă şi dcă B N, tunci notţi f 1 (B) pote fi interprettă în două sensuri: c imgine inversă lui B prin f şi c imgine directă lui B prin plicţi f 1. Din fericire ceste coincid, dică {x M f(x) B} = {f 1 (y) y B} Relţii de ordine; mrgini Există multe proprietăţi cre ngjeză perechi de elemente dintr-o mulţime fixtă. Astfel, fptul că 14 este divizibil cu 7 nu este o propriette lui 14 su lui 7 seprt, ci perechii (14, 7) de numere întregi, după cum ineglitte 5 < 9 este o propriette perechii (5,9). Dcă M este o mulţime fixtă, orice colecţie R de perechi ordonte de elemente din M (dică R M M) senumeşte relţie binră pe M. De exemplu luând M = Z ş i R = {(x, y) Z Z x este divizibil cu y} vem 14 R 7, deorece (14, 7) R şi 14 R/ 8; în mod similr, luând M = R ş i S = {(x, y) R R x <y}, vem 5 S 8 dr 5 S/ 4. Definiţi 1.6. Fie M omulţimefixtăşir relţie binră pe M. R se numeşte relţie de ordine prţilă dcă este reflexivă (x Rx, ( )x M), trnzitivă (dcă x, y, z M, xry, yrz, tunci xrz) şi ntisimetrică (dcă x, y M, xry ş i yrx, tunci x = y). O relţie de ordine prţilă R pe M cu propriette că pentru orice x, y M vem fie xry,fieyrx,senumeşte relţie de ordine totlă.

13 1.1. RELAŢII FUNCŢIONALE, RELAŢII DE ORDINE 9 Exemple. ) fie E o mulţime fixtă şi M = P(E); relţi de incluziune între părţile lui E este o relţie de ordine prţilă, cre nu este totlă. b) Pe ceeşi mulţime pot coexist două relţii de ordine distincte. Fie M = N = {1, 2, 3,...}; definim relţiile R, S pe M stfel: pentru x, y M, xry {x y}, xsy { y este divizibil cu x}. EsteevidentcăR ş i S sunt relţii reflexive, trnzitive şi ntisimetrice deci relţii de ordine prţilă; în plus R este relţie de ordine totlă (numită ordine uzulă). c) Fie M = Hom (X, R) mulţime funcţiilor rele definite pe o mulţime X. Se pote defini relţi de ordine prţilă pe M frg f g (dică f(x) g(x), ( )x X). Definiţi 1.7. OmulţimeM se numeşte ordontă dcă pe M este fixtă o relţie de ordine prţilă (pe cre o notăm ). Fie (M, ) omulţimeordontă ş i P M o submulţime fixtă. Se numeşte mjornt l lui P orice element x M stfel încât z x pentru orice z P ; se spune că P re cel mi mre element dcă există un mjornt l lui P prţinând lui P. Dcă există un cel mi mre element l lui P, cest este unic şi este nott mx P ; într-devăr, dcă m 1,m 2 r fi mbele în situţi de cel mi mre element l lui P, tunci m 1 m 2 ş i m 2 m 1 deci din ntisimetrie rezultă m 1 = m 2. Se definesc în mod similr noţiunile de minornt ş i d e cel mi mic element (nott min P )pentruosubmulţimep unei mulţimi ordonte (M, ). Dcă o submulţime P M re mjornţi (respectiv minornţi), tunci P se numeşte mărginită superior (respectiv mărginită inferior); mulţime P se numeşte mărginită dcă re mjornţi şi minornţi (dică este mărginită superior şi inferior). Exemple. ) Considerăm mulţime M = Z cu relţi de ordine uzulă R = ş i fi e s u b m u l ţ i m i l e e i P 1 = N, P 2 = {4, 5, 7, 1}, P 3 =mulţimenumerelor prime. P 1 nu re mjornţi şi este cel mi mic element l lui P 1. Mulţime P 2 este mărginită vând cel mi mic element 4 şi cel mi mre element 1. Mulţime P 3 este nemărginită, re cel mi mic element 2 etc. b) Fie M = N cu relţi de divizibilitte (x y y este divizibil cu x) şi fie P = {3, 8, 1}. Mjornţii lui P sunt tote numerele nturle divizibile cu 3, 8, 1 (dică divizibile cu 12) şi P re 1 c minornt. Submulţime P M nu re nici cel mi mre element şi nici cel mi mic element. c) Fie E o mulţime fixtă şi M = P(E), ordontă cu relţi de incluziune. Dcă F 1,F 2 M dică F 1,F 2 sunt submulţimi le lui E şi dcă P = {F 1,F 2 } M, tunci mjornţii lui P sunt submulţimile lui E cre conţin F 1 ş i F 2,decicel mi mic mjornt l lui P v fi F 1 F 2, ir minornţii lui P sunt submulţimile lui E incluse în F 1 ş i î n F 2, deci cel mi mre minornt l lui P v fi F 1 F 2. Definiţi 1.8. Fie (M, ) omulţimeordontăşip M o submulţime. Se spune că P re mrgine superioră dcă P re mjornţi şi dcă mulţime (nevidă) mjornţilor lui P re cel mi mic element, nott sup P.Sespune că P re mrgine inferioră dcă P re minornţi şi mulţime minornţilor lui P re cel mi mre element, nott inf P. Aşdr, dcă există, sup P este cel mi mic mjornt l lui P, ir inf P este cel mi mre minornt l lui P şi în prticulr, sunt unice. Dcă P re cel mi mre element (respectiv cel mi mic element), tunci sup P = mx P (respectiv inf P =minp ). Exemple. ) Fie E o mulţime fixtă şi M = P(E), ordontă prin incluziune. Fixăm P M, decip este o colecţie de submulţimi l lui E. Mjornţii (respectiv minornţii) lui P sunt părţile lui E cre includ tote mulţimile din colecţi P (respectiv sunt incluse în tote mulţimile din P ). În plus, P re tât mrgine superioră, cât şi mrgine inferioră, nume sup P = A, inf P = A. A P A P

14 1 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII Fig. I.7 b) Fie M = Q cu ordine uzulă ( ) şip = {x Q x 2 < 2}. Evident, P este mulţime mărginită, dr nu re nici mrgine superioră, nici mrgine inferioră în M. Dcă M = Z cu ordine uzulă ( ), tunci orice submulţime mărginită P luiz re tât mrgine inferioră (inf P =minp ) cât şi mrgine superioră (sup P = mx P ). O propriette extrem de importntă mulţimii R este cee că pentru orice submulţime nevidă mărginită superior (respectiv inferior) A R există supa (respectiv inf A), reltiv l relţi de ordine uzulă ; stfel, dcă M = R ş i P = {x R x 2 < 2}, tunci sup P = 2, inf P = 2 (dr nu există mx P,minP) ir dcă Q = {x R x 2 2}, tunci sup Q = mx Q = 2şi inf Q =minq = 2. Dcă f : X R este o funcţie relă şi dcă domeniul strict de vlori f(x) ={f(x) x X} re mrgine superioră (respectiv inferioră) tunci se noteză sup f =supf(x) x (respectiv inf f =inff(x)). x Dcă există, sup f, inff sunt numere rele unice, numite mrginile lui f x x pe X su extremele globle le lui f pe X. Aplicţie Se numeşte mulţime de momente (su mulţime-timp) orice mulţime T pe cre este definită o relţie de ordine totlă (nottă ). Elementele lui T se numesc momente. Exemplele tipice de mulţimi-timp sunt submulţimi le lui R; deexemplut = N (cre dmite un cel mi mic moment, numit moment iniţil şi nume t = ), T = Z, T =[, ), T =[, b] (în ultimul cz există un moment iniţil şi un moment finl b). Dcă T este o mulţime finită, de exemplu T = {, 1,...,N 1}, tunci se spune că timpul este finit. Dcă T Z se spune că timpul este discret ir dcă T este un intervl l lui R, timpul este continuu (su mi corect, continul). Fie (T, ) o mulţime fixtă de momente. Se numeşte semnl rel reltiv l T orice funcţie s : T R; pentru orice moment T, numărul s() se numeşte eşntionul semnlului s l momentul. Aşdr, semnlele rele sunt czuri prticulre de funcţii numerice. Se pot consider semnle discrete su semnle continule, după cum timpul este discret su continuu. Un semnl discret s : Z R se identifică cu şirul {s(n)} n Z l eşntionelor sle. Definiţi nterioră conceptului de semnl este totuşi restrictivă, deorece nu cuprinde czul impulsurilor (studit în cdrul teoriei distribuţiilor, în cpitolul VI) şi czul semlelor multidimensiole. Printre semnlele continule, exemple importnte sunt trept unitte σ lui O. HEAVISIDE ( ), definită prin { dcă t< σ(t) = 1 dcă t, vând grficul din fig. I.7 şi funcţi de fntă (su de eşntionre) s :R R, definităprin sin t dcă t s (t) = t 1 dcă t =, vând grficul indict în fig. I.8. Dcă s : R R este un semnl continul şi <bsunt momente fixte, se numeşte secvenţ lui s pe intervlul [, b] semnlul Fig. I.8 şdr s,b (t) = s,b (t) =[σ(t ) σ(t b)] s(t); { dcă t<su dcă t b s(t) dcă t [, b).

15 1.2. MULŢIMI NUMĂRABILE, ALGORITMI 11 Dcă s(t) =A constnt, tunci s,b se numeşte semnl dreptunghiulr pe [, b] vând mplitudine A; figur I.9c Exerciţii 1. Fie M o mulţime şi f : M M plicţie. Să se rte că dcă f f =1 M, tunci plicţi f este bijectivă; dr reciproc? Să se probeze că pentru M =[, 1] funcţi relă f : M M definită prin f(x) =(1 x n ) 1/n, n 1 întreg fixt, stisfce relţi f f =1 M. Fig. I.9 2. Să se rte că plicţi este bijectivă. ψ : N N N, (k, l) (k + l)(k + l + 1) 2 + k Fig. I.9b 3. Fie M o mulţime nevidă. Să se rte că nu există nici o plicţie surjectivă M P(M). 4. Fie E o mulţime fixtă şi {P n } n un şir de părţi le lui E. Se noteză lim P n = P n, lim P n = m n m m n m P n. ) Să se rte că P n lim P n lim P n P n n n ş i l i m P n = (limp n ). Fig. I.9c b) Şirul {P n } n se numeşte convergent dcă lim P n = lim P n. Să se rte că dcă şirul este crescător, dică P n P n+1,( )n (respectiv descrescător, dică P n P n+1,( ) n ) tunci el este convergent. (lim şi lim portă numele de limită inferioră şi limită superioră). 1.2 Mulţimi numărbile, lgoritmi Mulţime N; crdinle Am considert c dtă mulţime N numerelor nturle; proprietăţile ei intrinseci sunt următorele trei, cunoscute c xiomele lui G. Peno ( ): I. există o funcţie injectivă s : N N, n n +1 (numită funcţi succesor); II. orice element din N, cu excepţi lui, este succesorul unui element; III. dcă A N este o submulţime stfel încât A ş i s(a) A (dică n A n +1 A), tunci A = N. Din propriette III decurge principiul inducţiei mtemtice: fie P (n) o propriette reltiv l numărul n stfel încât P () să fie devărtă şi să ibă loc implicţi P (k) P (k+1), ( )k N; considerând mulţime A = {n N P (n) este devărtă }, rezultăcă A ş i s(a) A deci conform III, A = N, dică P (n) este devărtă pentru orice n N. Este evident că orice submulţime A N re un cel mi mic element. Ită o consedinţă cestui fpt. Teorem 2.1. Pentru orice submulţime infinită A N există o plicţie bijectivă de l N l A. Demnonstrţie. Evident,( )n N( )k A stfel încât k > n(deorece A este infinită). Construim prin inducţie plicţi ϕ : N A definită prin ϕ() = min k A k ş i ϕ(m + 1) = min k. k A,k>ϕ(m)

16 12 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII Aşdr, ϕ(m+1) > ϕ(m), pentru orice m N, deci ϕ este injectivă. Arătăm că ϕ este surjectivă; pentru orice A fixt, notăm µ =min{m N ϕ(m) }. Dcă µ 1, tunci ϕ(µ 1) < ϕ(µ), deci = ϕ(µ) (deorece A), ir dcă µ =, tunci ϕ() ş i c u m A, rezultă = ϕ(). Aşdr, ϕ este şi surjectivă. În fond construcţi nterioră constă în ordonre crescătore tuturor elementelor mulţimii A < 1 < 2 <...(notând ϕ(n) = n, ( ) n N). Aritmetic elementră numerelor nturle re o extindere importntă l o ritmetică crdinlelor, dtortă lui G. Cntor ( ). Fixăm un univers de mulţimi U, cre conţine mulţimile finite, submulţimile lui R, precum şi mulţimile obţinute din ceste prin operţiile uzule (reuniune, intersecţie, complementră, produs crtezin etc.); universul U conţine tote mulţimile cre pot păre în descrierile mtemtice cre urmeză. Definiţi 2.1. Două mulţimi P, Q din universul U se numesc echipotente dcă există o plicţie bijectivă P Q; se scrie P Q. Relţi peu este reflexivă (P P ) pentru orice mulţime P deorece plicţi identică 1 P este bijectivă), simetrică (dcă P Q, tunci există o bijecţie P ϕ Q deci conform corolrului teoremei 1.1, plicţi ϕ 1 : Q P este bijectivă, deci Q P ) şi trnzitivă (dcă P Q, Q R şi dcă P u Q, Q v R sunt bijecţii, tunci v u este bijecţie, deci P R), deci este o relţie de echivlenţă pe U. Pentru orice mulţime P din U, senumeştecrdinlul lui P, nott P, cls de echivlenţă mulţimii P, deci colecţi tuturor mulţimilor echipotente cu P. Aşdr, dcă P, Q U, tunci P = Q P Q. Este evident că două mulţimi finite sunt echipotente dcă şi numi dcă u celşi număr de elemente. Dcă P este o mulţime finită cu n 1elemente, tunci există bijecţie ϕ : I n P,undeI n = {1, 2,...,n}. Notând x k = ϕ(k), 1 k n, rezultăcăp = {x 1,x 2,...,x n }; se mi spune că elementele lui P sunt numerotte. Crdinlele nturle finite pot fi puse în corespondenţă bijectivă cu numerele nturle (prin sociere P numărul de elemente l lui P ). Indicăm succint regulile de bză le ritmeticii crdinlelor. Fie P şi Q două mulţimi orecre din U,p= P ş i q = Q. Atuncisedefinesc: eglitte p = q P Q; sum p + q = P d Q, unde P d Q =({} P ) ( {1} Q) este reuniune disjunctă mulţimilor P şi Q. produsul pq = P Q ; q p = Hom (P, Q) ; ineglitte p q P este echipotentă cu o submulţime lui Q (dică există o plicţie injectivă P Q) etc. Aceste extind l crdinle orecre operţiile uzule cu numere nturle Mulţimi numărbile Definiţi 2.2. Se numeşte mulţime numărbilă orice mulţime echipotentă cu N; senoteză N = ℵ (lef zero). O mulţime cre este finită su numărbilă se numeşte cel mult numărbilă. Aşdr, dcă P este o mulţime numărbilă, tunci există o plicţie bijectivă f : N P ş i fi e x n = f(n), n. Avem x m x n pentru m n şi orice element din P coincide cu un x n,decip = {x,x 1,x 2,...}, dică elementele oricărei mulţimi numărbile sunt termenii unui şir; reciproc,esteevidentcă mulţime termenilor oricărui şir este cel mult numărbilă. Conform teoremei 2.1, orice submulţime unei mulţimi numărbile este finită su numărbilă. Lem 3. Fie f : P Q oplicţieorecre.

17 1.2. MULŢIMI NUMĂRABILE, ALGORITMI 13 () Dcă f este injectivă şi Q este mulţime numărbilă, tunci P este cel mult numărbilă; (b) dcă f este surjectivă şi P este mulţime numărbilă, tunci Q este cel mult numărbilă. Demonstrţie. () Conform ipotezei, există bijecţie g : Q N, deci plicţi h = g f este injectivă, h : P N. Atunci P este echipotentă cu submulţime h(p ) luin. Conform teoremei 2.1, h(p ) este finită su numărbilă, deci P este cel mult numărbilă. (b) Fie ( )y Q fixt; cum f este surjectivă, fibr f 1 (y) estenevidăşi fixăm un singur element ξ y l ei. Aşdr, ξ y P ş i f(ξ y )=y. Aplicţi Q P, y ξ y este evident injectivă (căci dcă ξ y = ξ z cu y, z Q, tunci f(ξ y )=f(ξ z ), dică y = z). Folosind rezulttul probt în () şi ipotez că P este numărbilă, rezultă că mulţime Q este cel mult numărbilă. Teorem 2.2. Produsul crtezin două mulţimi numărbile este o mulţime numărbilă (dică ℵ ℵ = ℵ ). Demonstrţie. Mi întâi, se observă că plicţi ϕ : N N N, (m, n) 2 m 3 n este injectivă. Într-devăr, dcă ϕ(m, n) =ϕ(m 1,n 1 ), cu m, m 1,n,n 1 N, tunci 2 m 3 n =2 m1 3 n 1. Dcă m>m 1,rezultă2 m m1 3 n =3 n 1, dică 3 n1 este divizibil cu 2, bsurd; dcă m<m 1, r rezult 2 m1 m 3 n1 =3 n, dică 3 n este divizibil cu 2, bsurd. Rămâne c unică posibilitte m = m 1 ş i din relţi 2 m 3 n =2 m1 3 n1,rezultăn = n 1,deci(m, n) =(m 1,n 1 ), dică ϕ este plicţie injectivă. Conform lemei 3, (), mulţime N N r rezult cel mult numărbilă şi fiind infinită, e rezultă numărbilă, dică N N = ℵ. Fie cum P ş i Q două mulţimi numărbile orecre şi N f P, N g Q plicţii bijective. Atunci plicţi f g : N N P Q, (x, y) (f(x),g(y)) este evident bijectivă, deci P Q = N N = ℵ. Teorem 2.3. Fie {P n } n un şir de mulţimi numărbile. Atunci mulţime P = n P n este numărbilă. Demonstrţie. Conform ipotezei, pentru orice n N există câte o bijecţie ϕ n : N P n. Se pote tunci defini plicţi f : N N P, (m, n) ϕ n (m). Acestă plicţie este surjectivă, deorece ( )y P,existăn N stfel încât y P n (căci P = n P n )şicumϕ n este bijectivă, ( )m N stfel încât y = ϕ n (m), dică y = f(m, n). Aplicţi f fiind surjectivă, lem 3(b) şi teorem 2.2 rtă că P este cel mult numărbilă. Dr P P 1,deciP este mulţime infinită şi c tre, rezultă că P este numărbilă. C o consecinţă directă teoremei 2.3, se obţine următorul Corolr. Orice reuniune finită de mulţimi numărbile este numărbilă; orice reuniune numărbilă de mulţimi finite este cel mult numărbilă. Teorem 2.4. Mulţimile Z ş i Q sunt numărbile. Demonstrţie. În 1.1 m indict explicit o plicţie bijectivă N Z, deci Z este numărbilă. [Altă demonstrţie se obţine observând că Z este reuniune numărbilă de mulţimi finite, nume Z = A n,undea n = { n, n}]. n Pe de ltă prte, mulţime N = N\{} este numărbilă (căci există bijecţi N N, n n + 1), deci mulţime Z N este numărbilă, conform teoremei 2.2. Fptul că mulţime Q este numărbilă, rezultă plicând lem 3, (b) plicţiei evident surjective f : Z N Q, (p, q) p/q.

18 14 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII Dăm în continure câtev elemente de combintorică, referitore l crdinlitte numitor mulţimi remrcbile. A. Remintim că dcă M ş i N sunt două mulţimi finite, nevide şi M = m, N = n, tunci M N = m+n M N, M N = mn, Hom(M,N) = n m. Vom not cu B = {, 1} mulţime vând două elemente,, şi 1, numită codul binr. Teorem 2.5. Fie M o mulţime orecre. Atunci există o bijecţie nturlă χ : P(M) Hom (M,B). Demonstrţie. Pentru orice submulţime N M notăm χ N : M B plicţi definită prin { 1 dcă x N, χ N (x) =, dcă x M \ N, numită funcţi crcteristică lui N. Dcă N 1,N 2 P(M), χ N1 = χ N2 ş i x M, tunci x N 1 χ N1 (x) = 1 χ N2 (x) = 1 x N 2, deci N 1 = N 2. Aşdr, plicţi χ este injectivă. Pe de ltă prte, pentru orice funcţie f Hom (M,B), notăm N = {x M f(x) =1}; tunci dcă x M, vem χ N (x) =1 x N f(x) =1şiχ N (x) = x/ N f(x) =, deci χ N = f. Aşdr plicţi χ este bijectivă. C o consecinţă, rezultă că dcă M = m, tunci P(M) =2 m. Vom vede ulterior şi lte interpretări le teoremei 2.5. Indicăm câtev proprietăţi le funcţiei crcteristice submulţimilor. Teorem 2.6. Fie o mulţime fixtă şi P, Q submulţimi orecre le lui M. () P = Q χ P = χ Q ; (b) χ P Q = χ P χ Q, χ p Q = χ P + χ Q χ P χ Q ; (c) χ P \Q = χ P χ P χ Q, χ P =1 χ P. (Mulţime B este ici considertă c o submulţime lui N, dică, 1 N). Demonstrţie. Afirmţi () este evidentă. (b) Dcă x M este un element orecre, vem de rătt că χ P Q (x) = χ P (x) χ Q (x) şiχ P Q (x) =χ P (x)+χ Q (x) χ P (x) χ Q (x); sunt de nlizt ptru czuri: dcă x P ş i x Q, ceste relţii devin 1 = 1.1 şi1=1+ etc. În mod similr se procedeză pentru (c). B. Pentru orice întreg r 1 notăm N r = {1, 2,...,r}. FieA = { 1, 2,..., n } o mulţime finită orecre (deci A = n), numită d-hoc lfbet; elementele lui A se numesc litere, ir funcţiile N r A se numesc cuvinte de lungime r în lfbetul A. Aşdr, pentru orice cuvânt c : N r A, notând c k = c(k), 1 k r, c se identifică cu şirul finit de litere {c 1,c 2,...,c r } şi se mi scrie c = c 1 c 2...c r. Deci orice cuvânt se reprezintă prin juxtpunere de litere. Două cuvinte c = c 1...c r, d = d 1...d s în lfbetul A se consideră egle dcă u ceeşi lungime (r = s) şi dcă c i = d i,1 i r (cest rezultă din convenţi de eglitte două funcţii). Vom not cu C r (A) mulţime tuturor cuvintelor de lungime r în lfbetul A ş i c u A mulţime tuturor cuvintelor în lfbetul A, de orice lungime, l cre se dugă cuvântul vid (cuvântul fără litere). Aşdr, A = { } C 1 (A) C 2 (A)... Mulţime A se numeşte dicţionrul lfbetului A; orice submulţime L A (dică orice colecţie de cuvinte) se numeşte limbj în lfbetul A. Teorem 2.7. () Pentru orice r 1, C r (A) = n r ; (b) Dicţionrul A este mulţime numărbilă, ir mulţime limbjelor P(A ) nu este numărbilă. Demonstrţie. () Deorece C r (A) = Hom (N r,a), rezultă că C r (A) = A r = n r.

19 1.2. MULŢIMI NUMĂRABILE, ALGORITMI 15 (b) Deorece A = { } C r (A), rezultă că dicţionrul A este r 1 reuniune numărbilă de mulţimi finite, disjuncte două câte două, deci A este mulţime numărbilă, conform corolrului teoremei 2.3. Mulţime P(A ) este evident infinită (deorece A este infinită). Rămâne de rătt că nu există o corespondenţă biunivocă între A ş i P(A ). Dcă prin bsurd r exist o plicţie bijectivă Φ : A P(A ), considerând elementul L P(A )definitprinl= {x A x/ Φ(x)}, r rezult că există c A stfel c Φ(c) =L. Apr două czuri: dcă c L, tunci c / Φ(c) şicum Φ(c) =L, r rezult c / L; dcă c / L, tunci c Φ(c) =L, decic L, jungându-se l contrdicţie în mbele situţii. În concluzie, mulţime P(A ) nu este numărbilă. [Se pote demonstr un fpt mi precis, nume că P(A ) R]. În czul când A = B, codul binr, dicţionrul B este compus din cuvinte binre (succesiuni finite de şi 1). Corolr. Pentru orice r 1 există 2 r cuvinte binre de lungime r. Mulţime cuvintelor binre B este numărbilă, ir mulţime limbjelor binre P(B ) nu este numărbilă Algoritmi şi funcţii recursive În mtemtic elementră u fost descrise multe clse de procese lgoritmice: operţii lgebrice, extrgere rdiclului din numere rele pozitive, descompunere numerelor întregi în fctori, schem lui Horner, flre vlorii numerice unor funcţii etc. Termenul de lgoritm este inspirt de numele mtemticinului rb Al Horezmi (78-85). Conceptul de lgoritm fost studit intensiv şi multe teoreme de nliză mtemtică pot fi însoţite în plicţii de scheme lgoritmice. Există însă şi probleme cre nu dmit o rezolvre lgoritmică. O preocupre mereu ctulă mtemticienilor şi logicienilor este cee de preciz conceptul de lgoritm, depăşind nivelul euristic şi tocmi ceste cercetări u condus printre ltele l toeri mşinilor idele de clcul şi l teori funcţiilor recursive. Într-o primă ccepţiune, lgoritmii sunt proceduri efective, reductibile l instrucţiuni precise pentru relizre unui şir de operţii ritmetice şi logice supr dtelor de intrre; mi precis, dcă A este l lfbet fixt, un lgoritm în A este un procedeu de trnsformre unor cuvinte din A î n lte cuvinte din A : deterministic (l fiecre moment se îndeplineşte o operţie bine definită şi se cunoşte operţi următore), rezulttiv (în czul când procedeul se plică, se obţine rezulttul urmărit după un număr finit de pşi) şi msiv (în sensul că se plică l o întregă clsă de probleme de un celşi tip). Clcultorele pr c relizări fizice le lgoritmului de îndeplinire progrmului. Cele spuse nterior nu se pot substitui unei definiţii rigurose conceptului de lgoritm. În cele ce urmeză, studiem lgoritmii în N. Se pote deltfel demonstr că teori lgoritmilor şi teori funcţiilor recursive sunt esenţilmente echivlente. Definiţi 2.3. Fie p, q 1 întregi orecre. Orice funcţie f : A N q definită pe o submulţime A N p se numeşte funcţie ritmetică. Aşdr, oricărui sistem ordont de p numere nturle x =(x 1,...,x p ) A îi corespunde prin f un sistem ordont de q numere nturle bine determint f(x) =(f 1 (x),...,f q (x)), unde f 1,...,f q : A N sunt funcţii cu vlori nturle, numite componentele lui f. Funcţiile ritmetice N p N q definite pe întreg mulţime N p se numesc totle, ir celellte se numesc prţile.

20 16 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII Czul cel mi importnt îl constituie czul q = 1 l funcţiilor ritmetice cu vlori în N. Exemple. ) Se numesc funcţii de bză următorele trei tipuri de funcţii ritmetice: funcţi succesor s : N N, x x + 1; funcţiile constnte N N, x k (k fiind un număr fixt) şi proiecţiile cnonice p r i : Nr N, (x 1,...,x r ) x i,1 i r. b) Funcţi rdicl este prţilă, deorece este definită dor pe submulţime A = {, 1, 4,...,k 2,...} luin. În mod similr, funcţi diferenţă (x, y) x y este definită dor pe mulţime A = {(x, y) N 2 x y}. c) Fie r, s, t 1 întregi şi A F B G N t unde A N r, B N s. Compunere H = G F este de semene o funcţie ritmetică. Fie ( )x A, x = (x 1,...,x r ), deci F (x) B, dică F (x) =(f 1 (x),...,f s (s)) unde f 1,...,f s : A N. Dcă y B, y = (y 1,...,y s )şig(y) = (g 1 (y),...,g t (y)) unde g 1,...,g t : B N şi dcă H(x) =(h 1 (x),...,h t (x)) unde h 1,...,h t : A N, tunci h i (x) =g i (f 1 (x),...,f s (x)), 1 i t. Operţi de compunere este uneori numită substituţie. De exemplu, dcă F : N 2 N 2,(x, y) (x + y, 2xy) şig : N 2 N, (u, v) u + zv, tunci G F : N 2 N, (x, y) (x + y +4xy). Definiţi 2.4. Pentru orice două funcţii ritmetice f : A N, (x 1,...,x n ) f(x 1,...,x n ) ş i g : B N, (y, z, x 1,...,x n ) g(y, z, x 1,...,x n ) unde A N n, B N n+2,senumeştefuncţi obţinută din f,g prin recursivitte primitivă funcţi ritmetică de n+1 vribile k = f g definită pe o numită submulţime C N n+1, h : C N, vând proprietăţile h(,x 1,...,x n )=f(x 1,...,x n ) ş i h(y +1,x 1,...,x n )= = g(y, h(y, x 1,...,x n ),x 1,...,x n ), (2) pentru orice x 1,...,x n, y dmisibile (dică stfel încât relţiile nteriore să ibă sens). y se mi numeşte vribilă de recursivitte, ir x 1,...,x n se numesc prmetri. Se cceptă şi czul n = când nu există prmetri, unde f este o constntă k; în cest cz relţiile (2) se înlocuiesc cu h() = k ş i h(y + 1) = g(y, h(y)). Este evident că dcă funcţiile f şi g sunt totle, tunci ceeşi propriette o re f g. Definiţi 2.5. Se numeşte funcţie primitiv recursivă (pe scurt p.r.) orice funcţie totlă N p N cre se obţine pornind de l funcţii ritmetice de bză (succesor, constnte, proiecţii cnonice) printr-un număr finit de compuneri şi recursivităţi primitive, ordine cestor fiind indiferentă. O funcţie ritmetică F : N p N q, x (f 1 (x),...,f q (x)) se numeşte primitiv recursivă dcă funcţiile componente f i : N p N, 1 i q le lui F sunt p.r. Compunere două stfel de funcţii este evident p.r. Evident, funcţiile de bză sunt p.r. Teorem 2.9. ) Mulţime funcţiilor p.r. este numărbilă; b) Există funcţii ritmetice N N cre nu sunt p.r. Demonstrţie. ) Fie B mulţime funcţiilor ritmetice de bză; evident, B este numărbilă. Pentru orice k notăm cu B k mulţime tuturor funcţiilor ritmetice cre se obţin pornind de l funcţii din B prin k operţii de compunere şi recursivitte primitivă. Evident, B = B şi fiecre mulţime B k, k este numărbilă. Mulţime tuturor funcţiilor p.r. este eglă cu B k deci este k numărbilă (conform teoremei 2.3.). b) Conform punctului ) funcţiile N N cre sunt p.r. pot fi dispuse într-un ş i r f,f 1,f 2,...,; considerăm tunci funcţi ritmetică Φ : N N definită prin Φ(n) =f n (n) + 1. Evident, Φ nu coincide cu nici un din funcţiile f m din şirul

21 1.2. MULŢIMI NUMĂRABILE, ALGORITMI 17 precedent (căci dcă Φ = f m, tunci Φ(m) =f m (m), dică f m (m)+1 = f m (m), bsurd). Aşdr, Φ nu este p.r. Exemple. 1) Adunre σ : N 2 N, (y, x) x + y ş i î n m u l ţ i r e π : N 2 N, (y, x) xy sunt funcţii p.r. Într-devăr, fie f = p 1 1 : N N, x x ş i g = s p 3 2 : N 2 N, (x 1,x 2,x 3 ) s(x 2 )=x Atunci σ = f g (căci + x = x, dică σ(,x)=f(x) şi σ(y +1,x)=g(y, σ(y, x),x)ceecerevinelx+(y +1) = (x+y)+1). Aşdr, funcţi sumă σ este p.r. Fie poi f =:N N, x şig : N 3 N, (x 1,x 2,x 3 ) x 2 + x 3. Avem π = f g (căci x =, deci π(,x)=f(x) şiπ(y +1,x)=g(y, π(y, x),x), cest revenind l (y + 1)x = yx + x); şdr π este p.r., deorece f,g sunt p.r. Funcţi h : N N, x x 2 este de semene { p.r. căci h = p 1 1 p 1 1 = π(p 1 1,p 1 1). dcă n = 2) Funcţi predecesor p : N N, p(n) = este p.r. n 1 dcă n 1 căci p() =, p(y + 1) = p 2 1(y, p(y)), deci p = p ) Funcţi diferenţă proprie d : N 2 N, definităprin {, dcă x<y d(y, x) = x y dcă x y este p.r. căci d(,x)=p 1 1(x) şid(y +1,x)=p(p 3 2(y, d(y, x),x), predecesorul lui d(y, x), dică d = p 1 1 q. Atunci şi funcţi distnţă δ : N 2 N, (x, y) x y este p.r. căci δ(x, y) =d(x, y) +d(y, x), ( )x, y N. (Am nott q = p p 3 2, dică q(y, z, x) = p(z)). Fie f(x 1,...,x k ), f : A N, A N k o funcţie ritmetică. Se consideră ecuţi f(x 1,...,x k 1,y)=x k, (3) c ecuţie în y cu x 1,...,x k 1, x k fixte rbitrr. Dcă ecuţi (3) re o soluţie y şi dcă f(x 1,...,x k 1,y) este definit pentru orice y<y ir vlorile ei sunt distincte de x k, se noteză µ f (x 1,...,x k 1,x k )=y. Dcă ecuţi (3) nu re soluţii y N, tunci se consideră că µ f nu este definit, ir dcă y este ce mi mică soluţie ecuţiei (3) şi există y 1 <y stfel încât f(x 1,...,x k 1,y 1 )să nu ibă sens, tunci se consideră de semene că µ f nu este definit. Reţinem că µ f (x 1,...,x k ) se consideră definit dcă şi numi dcă ecuţi (3) re o soluţie minimă y ir f(x 1,...,x k 1,y) re sens pentru orice y<y stfel c (x 1,...,x k 1,y) A. În cest mod, este definită o funcţie ritmetică µ f cre în generl este prţilă; se mi spune că µ f este obţinută prin minimizre lui f î n rport cu vribil x k. Se mi scrie µ f (x 1,...,x k )=min k {y N f(x 1,...,x k 1,y)=x k }. Operţi de minimizre pote fi definită în rport cu oricre din vribile. Exemple. Fie f(x 1,x 2 )=x 1 + x 2,definităpeA = N 2. În cest cz, µ f (x 1,x 2 )=x 2 x 1 (minimzre în rport cu x 2 )şiµ f este definită pe mulţime {(x 1,x 2 ) N 2 x 1 x 2 }. Se observă că deşi f este totlă, totuşi µ f este o funcţie ritmetică prţilă. În mod similr, dcă f(x 1,x 2 )=x 1 x 2, tunci µ f (x 1,x 2 )= x 1 (minimizre x 2 în rport cu x 1 ); cestă funcţie este definită pe mulţime {(x 1,x 2 ) N 2 x 2 şix 1 este divizibil cu x 2 }. Definiţi 2.6. O funcţie ritmetică obţinută din funcţiile de bză printrun număr finit de compuneri, recursivităţi primitive şi minimizări se numeşte prţil recursivă. O funcţie prţil recursivă cre este totlă se numeşte recursivă.

22 18 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII Evident, u loc următorele incluziuni de clse de funcţii ritmetice: {primitiv recursive} {recursive} {prţil recursive}. Am văzut că funcţi ritmetică g definită prin g(x 1,x 2 )= x 1 este prţil x 2 recursivă (deorece g este minimizre funcţiei produs, cre l rândul ei se obţine din funcţiile de bză prin compuneri şi recursivităţi primitive). Deorece cestă funcţie nu este totlă, e nu este recursivă. Un exemplu profund de funcţie recursivă cre nu este primitiv recursivă fost dt de mtemticinul român Gbriel SUDAN ( ), fost profesor l Institutul Politehnic din Bucureşti. Se pote defini conceptul de funcţie ritmetică clculbilă prin lgoritmi, le cărei vlori pot fi clculte prin proceduri mecnizbile. Importnţ funcţiilor ritmetice studite nterior constă în următorul rezultt fundmentl: mulţime funcţiilor clculbile coincide cu mulţime funcţiilor prţil recursive, cărui stbilire depăşeşte cdrul cestui curs. În cest mod s- dt un răspuns teoretic unei întrebări fireşti privind crcterizre funcţiilor le căror vlori pot fi clculte cu jutorul clcultorelor moderne Exerciţii 1. Fie M,N mulţimi nevide; pentru orice funcţie f : M N se pote defini grficul lui f, Grf = {(x, f(x)) M N x M}. Să se rte că plicţi θ : Hom (M,N) P(M N), f Gr f este injectivă, dr nu surjectivă. Să se deducă ineglitte n m 2 mn pentru orice întregi m, n 1. Indicţie. Dcă f,g : M N şi Gr f = Gr g, tunci f = g. Apoi dcă M,N sunt finite şi M = m, N = n, tunci Hom (M,N) = n m ş i P(M N) =2 mn etc. 2. ) Fie M = { 1, 2,..., m } o mulţime finită. Să se rte că ( )n N, m numărul funcţiilor f : M N stfel încât f( i ) n este egl cu Cm+n. n b) Să se rte că numărul modurilor în cre o mulţime cu n elemente pote fi prtiţiontă în r submulţimi vând respectiv k 1,k 2,...,k r elemente este egl n! cu k 1!k 2!...k r!. Indicţie. Dcă A este o mulţime şi {B i } i I o fmilie de submulţimi le lui A se spune că cest prtiţioneză A dcă A = B i ş i B 1 B j = φ pentru i I i j. 3. Fiind dte două mulţimi M,N, să se indice două mulţimi disjuncte M 1,N 1 stfel încât M M 1 ş i N N 1. i=1 Indicţie. Se pot lu M 1 = {} M, N 1 = {1} N. 4. Fie M omulţimeinfinităşi M. Să se rte că M este echipotentă cu M \{}. Indicţie. Se consideră un şir de elemente distincte {x n } n, x = din M şi se defineşte plicţi bijectivă ϕ : M M \{} punând ϕ(x n )=x n+1, ( )n şiϕ(x) =x pentru orice x x n etc. 5. ) Să se expliciteze G F în fiecre din czurile 1) N 2 F N 3, (x, y) (x +2,y 2,y+ 1) N 2 G N, (x, y, z) x +2y + z

23 1.3. CALCUL LOGIC ŞI APLICAŢII 19 2) N F N 2, x (x, x + 1) N 2 G N 3, (u, v) (u +1,,uv) b) Să se determine funcţi h = f g în fiecre din czurile: 1) 2) N f N, x x +1 N 2 f N, (x, y) x + y N 3 g N, (x, y, z) x +2y + z N 4 g N, (x, y, z) xy + zt 3) f = constnt 1, g : N 2 N, (x, y) 2x +3y. 6. Să se rte că funcţiile f : N N, x x + 5, g : N N, x 5x, h 1 : N 2 N, (x, y) x 2 + xy + y 2, h 2 : N N, h 2 (x) = { dcă x = su 1 3 dcă x 2, sunt primitiv recursive 7. OmulţimeA N r (r 1 fixt) se numeşte recursivă dcă funcţi ei crcteristică χ A : N r N este recursivă. Să se rte că: ) mulţime N r,φ sunt recursive; b) dcă mulţimile A, B N r sunt recursive, tunci A B, A B, A sunt recursive; c) să se rte că mulţime numerelor pre P N şi mulţime numerelor impre sunt recursive. Indicţie. ) În cest cz funcţi crcteristică este constntă; b) χ A B = χ A χ B, χ A B = χ A + χ B χ A χ B ; χ A = 1 χ A. Sum, produsul de funcţii recursive sunt funcţii recursive; c) Funcţi diferenţă proprie d : N 2 N, d(y, x) =x y dcăx >yş i d(y, x) = dcă x y este primitiv recursivă. Se rtă că χ P (x) =1 d ( 2 [ x 2 ],x ),( )x N, deciχ P este recursivă. 8. Fie o reţe vând trei întrerupătore x 1,x 2,x 3 şi două lămpi L 1,L 2 stfel încât L 1 să funcţioneze dcă şi numi dcă cel puţin două întrerupătore sunt deschise ir L 2 să funcţioneze dcă şi numi dcă întrerupătorul x 1 su x 3 (su - exclusivist) este deschisă. Să se descrie lucrul reţelei cu jutorul unei funcţii ritmetice. Indicţie. Se tşeză (respectiv 1) poziţiei deschise (închise) întrerupătorului; se sociză poi 1 (respectiv 2; ) dcă L 1 funcţioneză (respectiv dcă L 2 funcţioneză; dcă L 1 ş i L 2 nu funcţioneză). Se pote tunci consider funcţi ritmetică ϕ(x 1,x 2,x 3 )definităprinϕ(,, ) =, ϕ(,, 1) = 1, ϕ(, 1, ) = 1, ϕ(, 1, 1) = 2, ϕ(1,, ) = 1, ϕ(1,, 1) =, ϕ(1, 1, ) = 2, ϕ(1, 1, 1) = 2 etc. 1.3 Clcul logic şi plicţii Limbjul logicii mtemtice pătruns în multe domenii teoretice şi plictive. În cele ce urmeză, vom prezent succint câtev elemente le clculului logic (propoziţionl-boolen, cu predicte etc.) şi vom schiţ câtev plicţii Clcul propoziţionl Se fixeză o colecţie de propoziţii elementre E, cre sunt su devărte su flse (fără defini termenii de propoziţie elementră, devăr, fls). În cest mod este definită o plicţie v : E B, numitălure vlorii de devăr; nume dcă o propoziţie E este devărtă (flsă), tunci v() = 1(respectiv v() = ). Se mi scrie =1(respectiv = ). Din cuz ipotezei că vlorile

24 2 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII de devăr le propoziţiilor sunt numi şi 1, clculul logic cre urmeză se mi numeşte bivlent ( terţiul exclus ). Considerăm cum semnele logice, (conjuncţie), (disjuncţie), (implicţie), (echivlenţă) cu semnificţi din cdrul limbjului uzul (respectiv non, şi, su, dcă... tunci, dcă şi numi dcă ). Indicăm tbelele de devăr convenţionle pentru expresiile logice, b, b, b, b. =ā \ b 1 \ b 1 \ \ \ b 1 \ \ b 1 \ Trebuie remrct că dcă, b E, tunci ( b) este o nouă propoziţie, cre pote fi devărtă su flsă; este frpnt fptul că propoziţi ( b) este devărtă dcă este flsă (su dcă b este devărtă). Propoziţiile, b, b, b pentru, b E nu mi sunt considerte elementre. Din propoziţii elementre, cu jutorul semnelor logice, se pot concstrui noi propoziţii numite formule logice. Pentru d o definiţie precisă, fie mulţime E = E {,, (, )}, obţinută dăugând l propoziţiile elementre semnele logice, şi prntezele deschisă şi închisă. Notăm cu C mulţime tuturor cuvintelor din lfbetul E. Definiţi 3.1. Se numeşte formulă logică orice cuvânt A din C,cre este insert într-un şir finit A 1,A 2,...,A n = A de cuvinte din C stfel încât pentru orice i, 1 i n, să fie stisfăcută un din următorele trei condiţii: 1. A i E; 2. există j<istfel încât A i = (A j ); 3. există j, k < i stfel încât A i =(A j A k ). Dăm câtev exemple de formule logice: ( ), ( b), (b c) pentru, b, c E. Următorele cuvinte din C : b, ( b, (b c)) etc. nu sunt formule logice. Vom not cu F E mulţime formulelor logice. Două formule logice A, B F E se consideră echivlente ş i s e s c r i e A B (su A B) dcă ele u ceeşi tbelă de devăr, fiind simultn devărte su flse. Trebuie observt că semnele logice, pot fi exprimte cu jutorul lui,, nume ( b) ( b) ş i ( b) ( ) b. Teorem 3.1. Pentru orice, b, c E u loc următorele echivlenţe de formule logice: 1) ( b) (b ), ( b) (b ) (comuttivitte lui, ); 2) (b c) ( b) c, (b c) ( b) c (socitivitte lui, ); 3) (b c) ( b) ( c), (b c) ( b) ( c) (distributivitte); 4),, 1, 1 1(fiind flsul şi 1 devărul); 5) ( b) ( ) ( b), ( b) ( ) ( b) (formulele lui DE MORGAN, ); 6) ( b) ( ) b ( b ) (principiul reducerii l bsurd); 7) ( ) (principiul dublei negţii). În plus:

25 1.3. CALCUL LOGIC ŞI APLICAŢII 21 8) dcă propoziţi şi implicţi ( b) sunt devărte, tunci propoziţi b este devărtă (modus ponens); 9) sunt devărte: ( (b )), ( b) ( b). Demonstrţie. Aceste echivlenţe se pot verific direct comprând tbelele de devăr le celor doi membri. Probăm de exemplu 6). Apr ptru czuri: =, b =, deci ( b) = 1; poi = 1, b = 1 şi stfel cele trei formule logice u vlore de devăr 1. Czurile =, b = 1; = 1, b = ; = 1, b = 1 se trteză similr. Fiecre din cele trei formule vor ve ceeşi vlore de devăr etc. Afirmţiile din teorem nterioră se extind l czul când, b, c sunt formule logice orecre. Definiţi 3.2. Un şir P 1,P 2,...,P m F E se numeşte text demonstrtiv dcă diecre P i este o propriette de tipul 1 9 din teorem 3.1 su dcă există j, k, 1 j, k m stfel c j<k<iş i P i =(P j P k ). Orice formulă logică inserbilă într-un text demonstrtiv se numeşte teoremă clculului propoziţionl şi prin convenţie, proprietăţile 1 9 din teorem precedentă se numesc xiomele clculului propoziţionl. Dcă P ş i ( P Q) sunt teoreme, tunci Q este teoremă; într-devăr, dcă P 1,P 2,...,P r = P este un text demonstrtiv pentru P ş i Q 1,Q 2,...,Q S = (P Q) un text demonstrtiv pentru (P Q), tunci P 1,P 2,...,P r, Q 1,Q 2,...,Q S,Q este un text demonstrtiv pentru Q. Se pote răt că teoremele sunt exct formulele logice vând vlore de devăr 1 oricre r fi vlorile de devăr le propoziţiilor elementre componente. Definiţi 3.3. Se numeşte ltice orice mulţime ordontă (L, ) stfel încât orice două elemente, b L să ibă un cel mi mic mjornt, nott cu b şi un cel mi mre minornt b, deci există b =sup{, b}, b =inf{, b}. Oltice(L, ) se numşte distributivă dcă (b c) =( b) ( c), (b c) =( b) ( c), pentru orice, b, c L. O ltice distributivă (L, ) în cre există un cel mi mic element L, un cel mi mre element 1 L ş i î n p l u s, ( ) L(!)ā L stfel încât ā =, ā =1,senumeşteltice boolenă (după lui numele G. BOOLE, ). Dcă L, L sunt ltici booleene, se numeşte izomorfism de l L l L orice plicţie bijectivă f : L L stfel încât { b} {f() f(b)}, f( b) = f() f(b), f( b) =f() f(b), f() =, f(1) = 1, f(ā) =f(), ( ), b L. Direct din definiţi unei ltici (L, ) rezultăcă( ), b, c L u loc proprietăţile: 1) =, = (idempotenţă); 2) = b, = b (comuttivitte); 3) ( b) c = (b c), ( b) c = (b c) (socitivitte); 4) ( b) =, ( b) = (bsorbţie); 5) ( b) ( b = ) ( b = b). Exemplu. Fie M o mulţime orecre. Mulţime P(M) părţilor lui M este o ltice boolenă reltiv l relţi de incluziune. În cest cz, pentru orice A, B P(M), vem inf{a, B} = A B ş i s u p {A, B} = A B, există cel mi mic element, nume φ, cel mi mre element este M şi pentru orice A M, luând Ā = M \ A vem A Ā = φ, A Ā = M. Teorem 3.2. Mulţime F E formulelor logice este ltice boolenă reltiv l relţi de implicţie ( b) ( b). Demonstrţie. Mi înâi trebuie observt că implicţi este relţi de ordine (este reflexivă, trnzitivă, ntisimetrică). Apoi F E este ltice, deorece pentru

26 22 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII orice, b F E,veminf{, b} = b ş i s u p {, b} = b. Cel mi mic element din F E este (flsul) şi cel mi mre element este 1 (devărul). De semene pentru orice F E, luând ā =, vem ā =, ā =1etc Funcţii booleene Obiectul principl l nlizei mtemtice îl constituie studiul funcţiilor, în specil l funcţiilor de un su mi multe vribile rele f : A R, A R n şi l funcţiilor de un su mi multe vribile complexe f : A C, A C. Obiectul de cercetre l nlizei pote fi extins stfel încât să cuprindă şi studiul funcţiilor ritmetice f : A N, A N n, c şi l funcţiilor booleene. Definiţi 3.4. Se numeşte funcţie boolenă de n vribile booleene (n 1) orice plicţie B n B. Aşdr, pentru orice sistem ordont de n elemente din B, numite vribile booleene (x 1,...,x n ), se sociză un element bine determint din B, dică su 1. Deorece B n =2 n rezultă că există 2 2n funcţii booleene distincte de n vribile booleene. Exemple. Punând f(x) = x se defineşte o funcţie boolenă de o vribilă f : B B; şdr, f() = 1, f(1) =. În mod similr, tote semnele logice definesc funcţii booleene; de exemplu, (x, y) x y, (x, y) x y, (x, y) (x y), (x, y) (x y). Punând f(, b, c) =(( b) ( c)), ( ), b, c B, se defineşte o funcţie boolenă de trei vribile. Orice funcţie boolenă de n vribile booleene (x 1,...,x n ) z pote fi definită tbelt printr-un tbel cu n + 1 colone şi 2 n linii, de form x 1 x 2... x n z... z... 1 z z 2n 1 Un fpt evident este cel că orice formulă logică defineşte o funcţie boolenă, în cre vribilele sunt similte cu propoziţiile elementre componente. Teorem cre urmeză rtă că firmţi inversă este de semene devărtă. Teorem 3.3. Fie f(x 1,...,x n ), f : B n B o funcţie boolenă. Atunci pentru orice x 1,...,x n B u loc eglităţile: ) f(x 1,...,x n )=(f(1,...,1) x 1... x n ) f(1,...,1, ) x 1... x n 1 x n )... (f(,...,) x 1... x n ) (de câte ori pre pe un loc k pre negţi pe vribil x k ); b) f(x 1,...,x n )=(f(,...,) x 1... x n ) f(,...,, 1) x 1... x n 1 x n )... (f(1,...,1) x 1... x n ) (de câte ori pre 1 pe un loc k pre negţi pe vribil x k ). Demonstrţie. În relţiile nteriore s- nott x = x. Demonstrăm eglitte ). Fixăm x 1,...,x n B ş i p r e s u p u n e m c ă x i1 =, x i2 =,...x ip =, unde i 1 <i 2 <...<i p (ir celellte sunt egle cu 1). Deorece pentru orice indice k cuprins între 1 şi n, distinctdei 1,...,i p vem x k = 1, deci x k =şi cum 1 =, =, pentru orice B, rezultă că tote prntezele din membrul drept l relţiei ) cu excepţi lui f(1,...,1, i 1,..., i 2, 1,..., i p,...,1,...,1) x 1... x i1,... x i2... x ip... x n sunt egle cu. Aceste din urmă este evident eglă cu f(1,...,1, i 1,..., i 2, 1,..., i p,...,1,...,1) =f(x1,...,x n ). Eglitte b) se demonstreză similr.

27 1.3. CALCUL LOGIC ŞI APLICAŢII 23 Corolr. Orice funcţie boolenă f : B n B este funcţie boolenă socită formulei logice (f(1,...,1) x 1... x n ) (f(1,...,1, ) x 1... x n 1 x n ) (f(,...,) x 1... x n ). Acest corolr este o reformulre teoremei 3.3. ) şi rtă că orice funcţie boolenă de vribilele x 1,...,x n este exprimbilă printr-un număr finit de semne logice,, cu jutorul lui x 1,...,x n ; de cee se mi spune că {,, reprezintă un sistem complet de semne logice. Se pote răt că funcţi lui Scheffer singură (ϕ(x, y) = (x y)) constituie un sistem complet de formule logice; este suficient de observt că x = ϕ(x, x), x y = ϕ(ϕ(x, y),ϕ(x, y)), x y = ϕ(ϕ(x, x),ϕ(y, y)). Acelşi lucru pentru funcţi lui Pierce (ψ(x, y) = (x y)). O ltă consecinţă teoremei 3.3, vând o importnţă principlă, este următore teoremă de reducere funcţiilor booleene l form cnonică. Teorem 3.4. Fie f(x 1,...,x n ), f : B n B o funcţie boolenă orecre. ) Dcă f şidcă P 1,P 2,...,P p sunt punctele din B n unde f i vlore 1, tunci f(x 1,...,x n )=ϕ 1 ϕ 2... ϕ p, unde (4) ϕ j = y j1 y j2... y jn (1 j p) ş i { xs dcă coordont s punctului P j este eglă cu 1 y js = x s dcă coordont s punctului P j este eglă cu, pentru 1 s n (form cnonică norml disjunctivă lui f); b) Dcă f 1 şi dcă Q 1,Q 2,...,Q q sunt punctele din B n unde f i vlore, tunci f(x 1,...,x n )=ψ 1 ψ 2... ψ q, unde ψ k = z k1 z k2... z kn (1 k q) (5) ş i x i dcă coordont t punctului Q k este eglă cu z ki =... x t dcă coordont t punctului Q k este eglă cu 1, pentru 1 t n (form cnonică norml conjunctivă lui f); Demonstrţie. ) Aplicăm relţi ) din teorem 3.3 observând că dcă f i vlore într-un punct, tunci dispre termenul corespunzător din membrul drept l cestei relţii. Aşdr, în cestă relţie rămân termenii cre corespund vlorilor lui f î n p u n c t e l e P 1,P 2,...,P p şi este suficient să notăm prntezele respective cu ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ p. Punctul b) se demonstreză în mod nlog utilizând teorem 3.3, b). Funcţiile ϕ j se numesc conjuncţii elementre (mintermeni conjunctivi) ir ψ k disjuncţii elementre (su mintermeni disjunctivi). Exemple. ) Indicăm form norml disjunctivă pentru funcţi boolenă z = f(x 1,x 2 ), f : B 2 B dtă de tbelul x 1 x 2 z În cest cz, P 1 (, ),P 2 (1, ) deci p =2şiϕ 1 = x 1 x 2, ϕ 2 = x 1 x 2,deci f(x 1,x 2 )=( x 1 x 2 ) (x 1 x 2 )=( x 1 x 1 ) x 2 =1 x 2 = x 2.

28 24 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII b) Indicăm form norml disjunctivă şi form norml conjunctivă pentru funcţi boolenă z = f(x 1,x 2,x 3 ) dtă prin tbelul x 1 x 2 x 3 z Deorece f putem d form norml disjunctivă; punctele unde f i vlore 1suntP 1 (,, 1), P 2 (1, 1, ), P 3 (1, 1, 1) deci ϕ 1 = x 1 x 2 x 3, ϕ 2 = x 1 x 2 x 3, ϕ 3 = x 1 x 2 x 3 ş i f(x 1,x 2,x 3 )=ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ; se observă că ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 =( x 1 x 2 x 3 ) [(x 1 x 2 ) ( x 3 x 3 )] = =( x 1 x 2 x 3 ) [(x 1 x 2 ) 1] = ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 ). Deorece f 1 se pote d şi form norml conjunctivă, în cre pr 5 mintermeni corespunzători celor 5 puncte Q 1 (,, ), Q 2 (, 1, ), Q 3 (, 1, 1), Q 4 (1,, ), Q 5 (1,, 1) în cre funcţi f i vlore ; şdr, f(x 1,x 2,x 3 )= ψ 1 ψ 2 ψ 3 ψ 4 ψ 5,undeψ 1 = x 1 x 2 x 3, ψ 2 = x 1 x 2 x 3, ψ 3 = x 1 x 2 x 3, ψ 4 = x 1 x 2 x 3, ψ 5 = x 1 x 2 x 3. Eglitte două funcţii booleene se defineşte conform convenţiei generle de eglitte funcţiilor (definiţi 1.2). Am definit un concept de echivlenţă două formule logice, cre revine l cee că tbelele de devăr sunt celeşi, deci funcţiile booleene socite sunt egle; sunt unele dificultăţi în czul când numărul de vribile în cele două formule logice nu este celşi şi pr vribile fictive (de exemplu, formulele logice (x 1 x 2 ) (x 3 x 3 )şi(x 1 x 2 )sunt echivlente ir x 3 pre c vribilă fictivă). Aplicţie. Cu jutorul dipolilor se pot reliz sisteme intrre-ieşire elementre corespunzând semnelor logice: Fig. I.1 Se numeşte circuit logic orice grf orientt în cre vârfurile sunt stfel de sisteme elementre, ir rcele sunt conductori (electrici). Oricărui circuit logic

29 1.3. CALCUL LOGIC ŞI APLICAŢII 25 i se pote soci în mod bine determint o formulă logică numită formulă de structură. De exemplu, circuitul logic din prim figură din fig. I. 1 re formul de structură z =(x 1 x 2 ) (x 3 x 4 ), ir circuitul logic următor din fig. I. 1 re formul de structură z = ((x y) u), cre exprimă dependenţ ieşirii de intrări. Am văzut că oricărui circuit logic îi corespunde o funcţie boolenă, definită prin formul de structură: reciproc, oricărei funcţii booleene su oricărei formule logice, îi corespunde un circuit logic Clcul cu predicte Clculul propoziţionl nu pote descrie tote formulările mtemtice şi sunt necesre extinderi le lui. Astfel 7 este număr prim în N este o propoziţie elementră devărtă, în timp ce construcţi lingvistică x este număr prim în N nu este propoziţie elementră; cest din urmă se numeşte propoziţie cu o vribilă (propriette reltiv l câte un element su predict unr). Se pot consider propoziţii cu două vribile, numite proprietăţi reltiv l perechi de elemente su predicte binre (de exemplu, x este divizibil cu y în Z \{} ), propoziţii cu trei vribile (de exemplu x + y z î n R) etc. Revenindl propoziţi cu o vribilă x este număr prim în N, se observă că este definită în mod nturl o funcţie p : N B punând { 1 dcă x este prim p(x) = în cz contrr. În mod similr, în czul propoziţiei x + y z în R este evidenţită funcţi p : R 3 B definită prin { 1 dcă x + y z p(x, y, z) = dcă x + y<z. Acest sugereză următore Definiţi 3.5. Fie M omulţimeorecre fixtăşin 1 un întreg. Se numeşte predict n-r l M (su propoziţie cu n vribile în M) orice plicţie p : M n B, (x 1,...,x n ) p(x 1,...,x n ). Propoziţiile elementre se consideră predicte nulre (de ordin ). Mulţime M p = {(x 1,...,x n ) p(x 1,...,x n ) = 1} = p 1 (1) se numeşte mulţime de devăr lui p. Rezolvre ecuţiilor, inecuţiilor, sistemelor de ecuţii etc. revine l explicitre mulţimii de devăr numitor predicte socite. În cele ce urmeză, ne restrângem l predicte unre (n = 1). Dcă p ş i q sunt predicte (unre) reltiv l o mulţime M, tunci se pot construi noi predicte cu jutorul semnelor logice, p q, p q, p = p, p q etc. De exemplu p q este predictul definit prin { 1 dcă p(x) =1şiq(x) =1 (p q)(x) = în cz contrr deci ( )x M, (p q)(x) =p(x) q(x); similr (p q)(x) =p(x) q(x), p(x) = p(x) etc. Se pot de semene defini predictul şi predictul 1 vând c mulţimi de devăr φ ş i r e s p e c t i v M. Fie p : M B un predict unr: dcă x M p (dică x M ş i p(x) = 1) se mi spune că elementul x re propriette p (su că p este devărt în x). Teorem 3.5. () Fie p, q predicte reltiv l o mulţime M. Atunci (p q) (M p M q ), (p = q) (M p = M q ),M p = M p,

30 26 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII M p q = M p M q,m p q = M p M q,m p q = M p M q. (b) Mulţime predictelor reltiv l o mulţime M re o structură nturlă de ltice boolenă izomorfă cu ltice P(M) părţilorluim. Demonstrţie. () Avem (p q) ( )x M {p(x) q(x)}, { ori de câte ori x M p,rezultăx M q } M p M q. Apoi (p = q) p(x) =q(x), ( )x M M p = M q ; celellte firmţii rezultă imedit. (b) Definim relţi de ordine între predicte punând p q (p q). Fptul că predictele pot fi orgnizte c o ltice boolenă reltiv l,,,, 1 este evident. Fie plicţi ϕ : Hom (M,B) P(M), p M p. Acestă plicţie este evident injectivă (căci M p = M q p = q). Probăm că ϕ este surjectivă: pentru orice N M considerăm funcţi p : M B definită prin { 1 dcă x N p(x) = dcă x M \ N (funcţi crcteristică lui N) ş i v e m e v i d e n t M p = N, dică ϕ(p) =N. Dcă p q, tunci M p M q dică ϕ(p) ϕ(q). Avem ϕ(p q) =M p q = M p M q = ϕ(p) ϕ(q), ϕ(p q) =M p q = M p M q = ϕ(p) ϕ(q), ϕ( p) =M p = M p pentru orice două predicte p, q ş i ϕ() = φ, ϕ(1) = M, deci plicţi ϕ este un izomorfism de ltice booleene. Teorem 3.5 este demonstrtă. Din predicte n-re (n 1) se obţin predicte de ordin de ritte mi mic în două moduri: prin prticulrizre vribilelor şi prin plicre cuntifictorilor logici existenţil ( ) şi universl ( ). Fie p : M n B un predict n-r reltiv l M ş i M p mulţime s de devăr. Fptul că M p = M n se exprimă echivlent stfel: ( )x p(x), ir fptul că M p φ se exprimă: ( )x p(x): în fine (!)xp(x) re semnificţi că M p = 1. În generl, vribilele căror li se plică cuntifictori se numesc legte. Dintr-un predict unr, prin plicre lui ( ) su ( ) se obţin propoziţii, ir dintr-un predict binr, plicând un cuntifictor se obţine un predict unr etc. În predicte binre, ternre etc. ordine plicării cuntifictorilor este esenţilă. Exemple. 1) Dcă p(x) este predictul x este număr prim în N, tunci ( )xp(x) este propoziţi există un număr prim în N, cre este devărtă, ir ( )xp(x) este propoziţi orice număr din N este prim, cre este evident flsă. 2) Considerăm predictul binr P (f,g) = f este derivt lui g î n m u l ţ i m e M funcţiilor derivbile [, 1] R. Propoziţi ( )f ( ) gp(f,g) dică orice funcţie din M este derivt unei funcţii din M este devărtă, în timp ce propoziţi ( )g( )f P(f,g) este evident flsă. Teorem 3.6. Fie p, q două predicte reltiv l o mulţime M. () Predictul (p q) este egl cu ( q p) (principiul reducerii l bsurd). (b) p = p (principiul dublei negţii) (c) (p q) = p q, (p q) = p q (relţiile de Morgn). (d) ( )xp(x) ( )x p(x), ( )xp(x) ( )x p(x). Demonstrţie. Afirmţiile (), (b), (c) rezultă din teorem 3.5 şi se reduc l relţii între mulţimi de devăr; de exemplu, firmţi () revine l răt că M p M q M q M p, ir (b) revine l M p = M p. (d) ( )x p(x) însemnă că M p = M, deci negţi ( )x p(x) revinel M p M dică M p φ deci M p φ, şdr ( )x p(x). În mod similr, fptul că ( )x p(x) revinelm p φ, ir ( )x p(x) însemnă că M p = φ, dică M p = M, M p = M deci ( )x p(x). Clculul cu predicte nu coperă multitudine de formulări mtemtice; în diferite lte lte dezvoltări se introduc relţii între elemente din diverse mulţimi şi nu întotdeun ne putem referi l o singură mulţime M c mi sus.

31 1.3. CALCUL LOGIC ŞI APLICAŢII Mulţimi vgi (nunţte) Fie M o mulţime orecre fixtă şi P = Hom (M,B) mulţime predictelor (unre) reltiv l M. Am văzut că P este o ltice boolenă izomorfă cu ltice P(M). În ltice P relţi de ordine este p q p(x) q(x), ( )x M (socotind că < 1în B) şi pe de ltă prte p q =min(p, q), p q = mx(p, q), p =1 p, pentru orice p, q P. L. Zdeh vut idee de consider mulţime funcţiilor M [, 1] dică V = Hom (M,[, 1]), obţinută înlocuind codul binr B cu întreg intervlul închis [,1] de numere rele şi de numi orice element l lui V mulţime vgă (su nunţtă) (reltiv l M). Aşdr, o mulţime vgă este o funcţie M [, 1]. Dcă f,g V sunt două mulţimi vgi, ele se consideră egle dcă f = g (eglitte de funcţii) şi f este submulţime vgă lui g (şi se scrie f g) dcă f g, dică f(x) g(x), ( )x M. Se definesc de semene reuniune şi intersecţi două mulţimi vgi f g = mx(f,g), f g =min(f,g) şi complementr f =1 f. Funcţi constntă se mi numeşte mulţime vgă vidă, ir funcţi constntă 1 mulţime vgă totlă. Mulţime V re o structură de ltice reltiv l ordine nterior definită, dr nu este ltice boolenă (în generl nu vem f f = ; de exemplu, luând f = 1 3,rezultă f =1 f = 2 3 ş i d e c i ( 1 f f =min(f, f) =min 3, 2 ) = ). Prin considerre mulţimilor vgi se trece de l logic bivlentă l logic infinit-vlentă, în cre vlori de devăr pot fi tote punctele intervlului [, 1] şi nu numi cpetele şi 1 le cestui intervl. Mi precis, după cum predictele reltiv l M (dică funcţiile M B se simileză cu proprietăţi reltiv l elementele lui M, tot stfel, orice mulţime vgă f : M [, 1] pote fi similtă cu o propriette reltiv l M cre este devărtă pentru un element x M cu coeficientul de devăr f(x) Exerciţii 1. Să se construiscă tbelele de devăr pentru următorele formule logice: ( ( b)); ( ( b)); ( (b c)) ( c); (p q) ( p q). 2. Să se indice form cnonică disjunctivă pentru funcţiile booleene f,g definite prin f(x 1,x 2 )=(x 1 x 2 ) ( x 1 x 2 ) x 1 g(x 1,x 2,x 3 )=(x 1 (x 2 x 3 )) x Să se simplifice expresiile E 1 =(x y z) (x ȳ z) (x y z), E 2 =[x (y z)] [ z (y z)] (ȳ z). 4. Să se indice circuite logice vând formulele de structură (b c), ( b) (b ), [ (b c)] (b c d), ( b) (b ).

32 28 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII

33 Gândire mtemtică s- născut din nevoi de simul relitte externă. (R. THOM) Cpitolul 2 Anliză pe drept relă Introducere În unele exemplificri din cpitolul I m folosit dej numerele rele, dr numi cu rol ilustrtiv. Înţelegere profundă numărului rel este de ce mi mre importnţă pentru mtemticin, inginer, fizicin, chimist su economist şi însăşi denumire tât de fericită pe cre primit-o, dovedeşte rolul cestui în orice determinări cntittive efectute în cursul cercetării relităţii înconjurătore. Se pote spune că numărul rel este obiect de permnentă reflecţie, inepuizbil. În primii ni de şcolă m învţt să socotim cu numere nturle şi ne mintim cu nostlgie că l ce vârstă clculele 3 4 şi 2 : 5 nu se puteu ; bi mi târziu m flt că, prin introducere numerelor întregi şi poi numerelor rţionle, vem 3 4 = 1 şi2: 5 =, 4. În liceu există dificultăţi pentru prezentre rigurosă numerelor rele şi cu toţii m răms cu o numită intuiţie, bilitte de clcul, reprezentre, suficiente dor până în momentul când simţim necesitte utilizării responsbile conceptelor. De obicei, prin mulţime de numere se înţelege o mulţime le cărei elemente se pot fl în numite relţii (de exemplu, de ordine), pe cre sunt definite numite operţii (de exemplu, dunări, înmulţiri). Lărgire noţiunii de număr, sintetiztă prin incluziunile N Z Q R C... s- fcut într-un mod sinuos, dovedit şi de terminologi defectuosă utiliztă uneori (de exemplu, numere imginre); fiecre z cestui lnţ de incluziuni fost obţinută prin portul unor generţii succesive de cercetători şi re o justificre deplină în prctic procesulă. În cest cpitol vom indic mi întâi proprietăţile principle le mulţimii R (numită şi drept relă), în continure Anlizei mtemtice studită în liceu. Strâns legtă de numerele rele este noţiune de spţiu metric, cre constituie cdrul nturl pentru teori proximţiilor succesive. Vor fi de semene studite în cest cpitol seriile de numere rele, precum şi seriile de funcţii mărginite cu vlori rele. 2.1 Disponibilităţile numerelor rele Sistem de numere rele Definiţi 1.1. Se numeşte sistem de numere orice mulţime R vând proprietăţile următore: (I) există două operţii lgebrice + (dunre), (înmulţire) pe mulţime R, reltiv l cre R este corp comuttiv; (II) pe mulţime R există o relţie de ordine totlă, comptibilă cu operţiile lgebrice; (III) pentru orice submulţime nevidă mjortă A R, există sup A R. 29

34 3 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Propriette definitorie (I) concentreză tote disponibilităţile de clcul în R. Astfel, (R, +, ) şi (R\{},, 1) sunt grupuri beliene (N. ABEL, ) ş i î n p l u s, x(y + z) =xy + xz, pentru orice x, y, z R. Se definesc poi pentru orice x, y R, x y = x +( y) şi dcă y, x/y = xy 1, cu regulile uzule de clcul. Deorece plicţi N R, n n 1= }{{} nori este injectivă, tunci se pote consider că N R (identificând n cu n 1), deci Z R ş i Q R. Propriette (II) implică fptul că de îndtă ce x y î n R, rezultăx + z y + z, ( )z R şi în plus, din ineglităti le x, y, rezultă xy. Din proprietăţile (I), (II) se pot deduce tote proprietăţile uzule le ineglităţilor între numere rele. Remintim câtev din ceste (pentru x, y, z, x 1,y 1 R): ) dcă x y ş i y x, tunci x = y; b) dcă x y, y z, tunci x z; c) ineglităţile se pot dun: x y, x 1 y 1 implică x + x 1 y + y 1 ; d) dcă <x<y, tunci 1 x > 1 ; dcă x<ytunci y < x; y e) vem x 2 pentru orice x R; dcă x 2 + y 2 =, tunci x =, y =. Este comod să notăm R + = {x R x } ş i R = {x R x }, deci R = R + R, R + R = {}. Definind modulul x l unui număr rel x R punând x mx(x, x), se probeză imedit următorele proprietăţi: N 1 x, pentru orice x R ş i x = x = ; N 2 x + y x + y pentru orice x, y R; N 3 xy = x y pentru orice x, y R. k k Prin inducţie, se verifică uşor că x i x i pentru orice x 1,...,x k R. De semene, notând i=1 i=1 d(x, y) = x y, ( )x, y R, se verifică imedit, folosind N 1,N 2,N 3, că u loc proprietăţile: D 1 d(x, y) pentru orice x, y R ş i d ( x, y) = x = y; D 2 d(x, y) =d(y, x), pentru orice x, y R; D 3 d(x, z) d(x, y)+d(y, z) pentru orice x, y, z R. Numărul rel şi pozitiv d(x, y)este numit distnţ euclidină între numerele x şi y; evident x = d(x, ), dică modulul unui număr rel x reprezintă distnţ euclidină între x şi. Trebuie remrct că în cest mod este definită o plicţie d:r R R, (x, y) x y. În sfârşit, propriette (III) constituie punctul de plecre în stbilire tuturor rezulttelor profunde le nlizei. Este evident că dcă B R este o submulţime nevidă minortă, tunci B re mrgine inferioră; într-devăr, mulţime B {x R x B} v fi mjortă, deci există sup( B) şise verifică uşor că inf B = sup( B). Observţie. Definiţi 1.1 este numită definiţi xiomtică numerelor rele; deltfel propriette (III) portă numele de xiom Cntor-Dedekind, în mintire celor doi fondtori i teoriei numerelor rele: G. CANTOR ( ), R. DEDEKIND ( ). C în fţ oricărui sistem de xiome descriind o numită entitte, se pun în mod nturl trei întrebări: ) este sistemul respectiv de xiome necontrdictoriu, dică nu cumv din cele xiome s-r pute deduce logic tât o propriette p cât şi negţi ei p? b) există efectiv o mulţime R cu proprietăţile (I), (II), (III)? c) este unic sistemul de numere rele?

35 2.1. DISPONIBILITĂŢILE NUMERELOR REALE 31 Întrebre ) este o problemă delictă de logică mtemtică. Se pote răt că necontrdicţi sistemului de numere rele decurge din necontrdicţi sistemului de numere nturle. K. GÖDEL ( ) rătt însă că necontrdicţi sistemului N de numere nturle nu pote fi probtă fără utiliz entităţi din fr lui N. În orice cz, Prctic confirmt şi confirmă sistemtic vlbilitte cunoştinţelor nostre supr numerelor rele. Fără intr în detlii, trebuie sublinit că răspunsul l întrebre b) este firmtiv, ş cum ne şteptm. Se cunosc cel puţin trei tipuri de sisteme de numere rele, construite pornind de l Q, pe cre le prezentăm succint în continure: Construcţi lui Dedekind. Senumeştetăietură în Q orice submulţime nevidă A Q stfel încât A Q, A nu re un cel mi mic element şi în plus, de îndtă ce A ş i b î n Q, rezultăb A. Notăm cu R 1 mulţime tăieturilor în Q. Evident,Q R 1 deorece orice număr rţionl Q pote fi identifict cu tăietur A = { Q x >}. Dcă A, B sunt tăieturi în Q, se definesc sum A + B { + b A ş i b B}, zero=a = {x Q x > }, A = {x Q x > pentru orice A} ş i s e p u n e {A B} B este o submulţime lui A; dcă A, B sunt tăieturi pozitive (dică A A, B A }), se defineşte produsul AB { A ş i b B} etc. Se pote răt că mulţime R 1 stfel orgniztă verifică proprietăţile (I), (II), (III), deci constituie un sistem de numere rele. Construcţi lui Cntor. Un şir de numere rţionle { n } n se numeşte şir fundmentl dcă pentru orice ε > rţionl există un număr nturl N(ε) depinzând de ε stfel încât m n <ε, pentru orice m, n N(ε). În mulţime F Q şirurilor fundmentle de numere rţionle se introduce următore relţie de echivlenţă: două şiruri { n } n, {b n } n,dinf Q se consideră echivlente dcă ( )ε > rţionl ( )N(ε) nturl stfel încât n b n < ε pentru orice n N(ε). Se noteză cu R 2 mulţime clselor de echivlenţă corespunzătore. Atunci Q R 2, deorece orice număr rţionl se identifică prin cls şirului constnt n =, n ; se definesc în mod nturl sum, produsul pentru orice două clse din R 2, c şi relţi de ordine şi se probeză că mulţime R 2 este un sistem de numere rele. Se mi spune că mulţime R 2 este obţinută prin completre lui Q. Construcţi zecimlă. FieR 3 + mulţime tuturor şirurilor infinite de cifre zecimle α = { n } n Z, indexte după mulţime Z, stfel încât să existe k Z cu propriette că n = pentru orice n<kşi s ă n u e x i s t e l Z stfel c n = 9 pentru orice n>l. Elementele lui R 3 + se mi numesc frcţii zecimle reduse pozitive. Două elemente α = { n } n Z, β = {b n } n Z din R 3 + se consideră egle dcă şi numi dcă n = b n pentru orice n Z. Respectăm convenţi de pls o virgulă între termenii de indice şi 1 i oricărei frcţii zecimle, renunţând totodtă l zerourile de dininte primei cifre nenule părţii întregi. Exemple. Şirul α = { n } n Z din R 3 + unde 2 = 4, 1 = 1, = 4, 1 = 3, 2 =, 3 = 7, n =pentrun 4sescriesimpluα = 414, 37. În mod similr, şirul β = {b n } n Z din R 3 + definit prin b n =pentrun 1 ş i b n =3pentrun 2sescrieβ =, Conform definiţiei nteriore, elementul 3, în cre se repetă indefinit cifr 9 nu prţine lui R 3 + ; există rţiuni seriose c el să fie identifict totuşi cu frcţi zecimlă redusă 3,82 (motivul restricţiei cuprinse în definiţi nterioră cu privire l repetre cifrei 9 este strâns legt de relţi de eglitte în R 3 + ; se evită stfel c două şiruri distincte să potă defini ceeşi frcţie zecimlă redusă). cu toţi termenii nuli. Se noteză cu şirul α R 3 + Din ritmetică se ştie că orice număr rţionl pozitiv re o unică reprezentre c frcţie zecimlă redusă, cu o numită periodicitte de l un rng încolo; stfel, 17 5 =3, 4...; = 12,

36 32 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Observţie. Frcţiile zecimle reduse pozitive pot fi considerte c nişte cuvinte, eventul de lungime infinită, din lfbetul cu 11 litere formt din cele 1 cifre zecimle, l cre se dugă o virgulă. Acestă reprezentre, cu convenţiile menţionte mi sus, se mi numeşte scriere sintctică şi v primi ulterior un sens semntic (conform teoremei 3.2). Fiecărui element α R 3 + i se pote soci elementul α şi se noteză R3 = { α α R+ 3 }.Prindefiniţie,pentruα, β R+ 3,vem α = β dcă şi numi dcă α = β. Se pote tunci consider mulţime R 3 = R + 3 R 3, unde R+ 3 R 3 = {}, pe cre o vom înzestr c sistem de numere rele; prin convenţie, ( α) =α, ( )α R 3 ş i =. Pentru două elemente α = { n } n Z, β = {b n } n Z din R 3 + se defineşte: α β α = β su ( )N nturl stfel încât n = b n pentru n<n ş i N <b N. Dcă α β ş i α β, sescrieα<β. Relţi de ordine totlă stfel definită (numită uneori ordine lexicogrfică) pe mulţime R 3 + se extinde l R 3 (socotind că dcă α R3 ş i β R+ 3, tunci α β ir dcă α, β R3,vemα β β α în sensul ordinei nteriore din R 3 + ). În plus, se pote prob că mulţime R 3 este totl ordontă şi stisfce propriette (III). Folosind trunchierile, se pot defini riguros operţii de dunre şi înmulţire pe R 3, verificând proprietăţile (I) şi (II). Pentru orice şir α R 3 +, α = { n} n Z se defineşte trunchiere de ordin k (k Z fiind fixt) luiαc fiind şirul α (k) = { (k) n } n Z,unde { n dcă n k (k) n = dcă n>k. Evident, α α (k) 1 k pentru orice k Z. De exemplu, pentru α = 27, trunchierile de ordin, 1, 2, 3 sunt respectiv 27; 27, 4; 27, 41; 27, 413. În mod similr, pentru β = 328, vem β ( 2) = 3; β ( 1) = 32; β () = 328; β (1) = 328, 4; β (2) = 328, 43. Evident, trunchierile unei frcţii zecimle reduse sunt numere rţionle. În clcule efective cu numere rele, inclusiv l introducere dtelor numerice în clcultor, se folosesc exclusiv trunchieri le cestor, l căror ordin depinde de grdul de precizie urmărit. Dcă α, β R 3 +, se definesc α + β =sup(α (k) + β (l) ), αβ =supα (k) β (l) etc. k,l Z k,l Z Observţie. Fiex 1,...,x p numere rele pozitive în număr finit; trunchierile lor de un numit ordin sunt numere rţionle cre duse l celşi numitor Q, se scriu sub form y 1 Q,...,y p Q,undey 1,...,y p sunt numere nturle. Se pote stbili stfel o legătură între funcţiile rele şi funcţiile ritmetice. Am indict, fără intr în detlii, construcţi trei sisteme de numere rele, dând stfel răspuns firmtiv întrebării b). Pentru utiliztorul de mtemtică sistemul R 3 este cel mi comod. Sistemele de numere rele R 1,R 2,R 3 sunt distincte şi r păre că întrebre c) re răspuns negtiv. În relitte, este vorb de o unicitte mi subtilă, nume unicitte până l izomorfism. Se pote demonstr următore teoremă: dcă R, R sunt două sisteme de numere rele, tunci există o plicţie bijectivă Φ : R R stfel încât Φ() =, Φ(1) = 1, Φ(x + y) =Φ(x)+Φ(y), Φ(xy) =Φ(x) Φ(y) pentru orice x, y R şi în plus, dcă x y î n R, tunci Φ(x) Φ(y) în R. Aşdr, din punctul de vedere l utilizării operţiilor lgebrice, ineglităţilor şi proprietăţilor cre decurg din xiomele (I), (II), (III), mulţimile R, R se pot identific; orice clcul efectut în R se trnsferă în R prin plicţi Φ şi reciproc, orice clcul făcut în R se trnsferă în R prin Φ 1. Teorem precedentă se enunţă pe scurt spunând: R, R sunt corpuri totl ordonte izomorfe. Conform cestei teoreme, rezultă în prticulr că R 1, R 2, R 3 sunt corpuri izomorfe. Începând din cest moment, vom fix o dtă pentru totdeun un sistem de numere rele, pe cre îl vom not cu R (de exemplu R = R 3 ).

37 2.1. DISPONIBILITĂŢILE NUMERELOR REALE Câtev proprietăţi le mulţimii R Teorem 1.1. Pentru orice numere rele fixte x, y R, x>, există n N stfel încât nx y. Demonstrţie. Presupunem prin reducere l bsurd că ( )n N m ve nx < y. Atunci submulţime A = {,x,2x, 3x,...} luir r fi mjortă de y, deci conform (III) există ξ = supa. Rezult că în intervlul (ξ x, ξ] există puncte din A, deci( )p 1 nturl stfel încât ξ x<px ξ, de unde ξ < (p + 1)x; cestă ineglitte este bsurdă, deorece ξ = supa şi (p + 1)x A. Teorem 1.1 se mi numeşte propriette lui Arhimede (ARHIMEDE, i.e.n.). Aşdr, se pote goli un ocen folosind în mod repett o pipetă, căci dcă y reprezintă cntitte de p ocenului şi x cpcitte pipetei, tunci există n 1 stfel încât x + x x } y. {{} nori Corolr. Fie R, fixt. Dcă pentru orice ε> rţionl vem <ε, tunci nepărt =. Demonstrţie. Într-devăr, dcă, tunci > şi conform teoremei 1.1, r exist n 1 întreg stfel încât n 1. Luând ε = 1 şi plicând 2n ipotez, rezultă < 1, dică n < 1, bsurd. 2n Teorem 1.2. Mulţime R este nenumărbilă. Demonstrţie. Presupunem prin reducere l bsurd că R r fi numărbilă, dică r coincide cu mulţime termenilor unui şir, R = {x,x 1,x 2,...}. Considerăm scrierile cestor termeni c frcţii zecimle reduse distincte x = α, x 1 = α 1, x 2 = α 2, unde { j i } i,j constituie un şir dublu de cifre zecimle (dică întregi cuprinşi între şi 9). Considerăm elementul β =,b b 1 b 2 b 3... unde b este stfel les încât b, poi b etc. Deorece β R, există p stfel încât β = x p, dică,b b 1 b 2 b 3... = α p, p p 1 p 2 p 3... ş i din unicitte scrierii frcţiilor zecimle reduse, v rezult că b p = p p,ceece contrvine legerii cifrelor zecimle b,b 1,b 2,.... Corolr. ) Orice intervl deschis (α, β), α<βeste mulţime nenumărbilă. b) Mulţime R \ Q este nenumărbilă. Demonstrţie. ) Intervlul (α, β) este echipotent cu R. b) Dcă mulţime R \ Q r fi numărbilă, tunci r rezult că R este o reuniune de două mulţimi numărbile, nume R = Q (R \ Q), dică r rezult că R este numărbilă, bsurd. Aşdr, Q < R \ Q, deci există mi puţine numere rţionle decât numere irţionle. Teorem 1.3. (lem intervlelor închise incluse). Fie I I 1 I 2... un şir descrescător de intervle închise şi mărginite în R, I n =[ n,b n ], n. Atunci intersecţi n I n cestor intervle este nevidă. Demonstrţie. Aşdr, u loc ineglităţile 1... p... b q... b 1 b.

38 34 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Considerăm mulţimile A = {x p, x = p }, B = {y q, y = b q }. Evident, b este un mjornt l lui A, ir este un minornt l lui B. Conform (III) există ξ =supa ş i η =infb. Deorece p b q pentru orice p, q, rezultă că ξ b q pentru orice q, deciξ η. Vom dovedi incluziune [ξ,η] n I n. Fie ( )t [ξ,η]. Atunci u loc ineglităţile n ξ t b n pentru orice n, deci t I n, dică t I n. Aşdr, intersecţi I n conţine n n intervlul [ξ,η] şi în prticulr, rezultă nevidă. Observţie. Evident, dcă lungimile l(i n ) le intervlelor I n tind către zero, pentru n, tunci η ξ l(i n ) şi conform corolrului teoremei 1.1 plict pentru = η ξ, rezultăcăξ = η, dică intersecţi n I n este în cest cz redusă l un punct. Trebuie de semene remrct că pentru un şir de intervle deschise su semideschise, ( nu re loc un rezultt similr teoremei 1.3. De exemplu, pentru I n =, 1 ] vem I n I n+1,( )n 1 şi totuşi I n =Ø. n n Proprietăţi le şirurilor de numere rele Remintim că un şir {x n } n î n R, dică un şir de numere rele, se numeşte mărginit dcă exist numere rele α<βstfel încât α<x n <βpentru orice n su echivlent, există M> rel stfel c x n M pentru orice n. Definiţi 1.2. Se spune că un şir {x n } n de numere rele pozitive este convergent către zero (şi se scrie x n pentru n ) dcă este îndeplinită condiţi următore: ( )ε > rel ( )N(ε) nturl stfel încât pentru ( )n N(ε), x n <ε. (1) Un şir dublu {x mn } m,n de numere rele pozitive este convergent către zero pentru m, n dcă ( )ε > rel ( )N(ε) nturl stfel încât ( )m, n N(ε), x mn <ε. (2) Acestă definiţie corespunde pe deplin intuiţiei; e nu pote fi testtă pe un clcultor. Trebuie făcută distincţi între eglitte cu zero şi convergenţă către zero. Evident, n =, 1 n, 2 n, n, n n, n 2 n, ( 1 fiind fixt, < 1) pentru n ; de semene, m 2 pentrum, + n2 n. Dcă { n } n, {b n } n sunt şiruri de numere rele şi dcă n b n, ( )n ir b n, tunci n. Definiţi 1.3. Un şir {x n } n de numere rele se numeşte convergent (su vând limită finită) dcă există R stfel încât şirul de numere pozitive d(x n,)= x n, n să convergă către zero. Acest revine, conform (1) l îndeplinire condiţiei următore: ( )ε > rel ( )N(ε) nturl stfel încât ( )n N(ε), x n <ε. (3) î n R Se scrie în cest cz, x n pentru n, su echivlent lim x n =. n Dcă x n ş i x n b, tunci = b; cu lte cuvinte, limit unui şir convergent este unică. Într-devăr, pentru orice ε>( )N 1,N 2 nturle stfel încât x n < ε 2 pentru orice n N 1 ş i x n b < ε 2 pentru orice n N 2. Luând N = mx(n 1,N 2 ), rezultă că pentru orice n N vem x n < ε 2, x n b < ε. Aşdr, ( )ε > rel, vem 2 b = ( x N )+(x N b) < ε 2 + ε 2 = ε

39 2.1. DISPONIBILITĂŢILE NUMERELOR REALE 35 şi plicând corolrul teoremei 1.1, rezultă b =, deci = b. 2n +1 Exemple. ) Avem lim n n +7 = 2, deorece, notând x 2n +1 n = n +7 rezultă x n 2 = 13 şi c tre, pentru orice ε>, luând N nturl şi n +7 N> ε, se obţine x n 2 <ε, pentru orice n N. 5 n 3 b) Similr se rtă că lim n 5 n +2 = 1. c) Dcă {x n }, {y n }, {z n } sunt trei şiruri de numere rele stfel încât x n y n z n,( )n şi{x n }, {z n } sunt convergente vând ceeşi limită l, tunci rezultă că y n l. Într-devăr, vem y n x n z n x n şi deorece z n x n, rezultă y n x n, dică lim y n = lim x n = l. C plicţie să n n rătăm că lim n n = 1. Pentru cest, este suficient de nott n = n n 1, n n 2 şi de observt pe de o prte, că n şi pe de lt că n =( n + 1) n 2 n 1. De ici rezultă că n, deci C 2 n 2 n, de unde se obţine n lim n n = 1. n d) orice număr rel α este limit unui şir de numere rţionle. Într-devăr, vem α α (k) 1 1 k,( )k, deci α(k) α pentru k, ir trunchierile α (k) prţin lui Q. De semene, α este şi limit unui şir de numere irţionle. Într-devăr, pentru orice n 1, în fiecre intervl ( α 1 n,α+ 1 n ) putem fix câte un numr irţionl β n (în orice intervl există numere irţionle, deorece intervlul este mulţime nenumărbilă, ir Q este mulţime numărbilă). Aşdr α β n < 1 n,deciβ n α pentru n. În exemplele nteriore, limit putut fi clcultă efectiv. Există situţii în cre se pun în evidenţă şiruri despre cre se pote demonstr dor teoretic convergenţ lor; stfel de situţii pr în determinre soluţiilor unor ecuţii, în determinre extremelor unor funcţii, în metod proximţiilor succesive etc. Noţiune de şir Cuchy (A. CAUCHY, , profesor l Şcol Politehnică din Pris), definită mi jos, este legtă tocmi de posibilitte de demonstr convergenţ unui şir comprând termenii celui şir între ei şi nu în rport cu un element exterior şirului (ş cum este în generl limit unui şir convergent). Definiţi 1.4. Un şir {x n } n de numere rele se numeşte şir Cuchy (su în ltă terminologie, şir fundmentl) dcă şirul dublu de numere pozitive { x m x n } m,n converge către pentru m, n, dică este îndeplinită condiţi: ( )ε >( )N(ε) nturl stfel încât ( )m, n N(ε) vem x m x n <ε. (4) Dcă m = n, cestă condiţie este utomt stisfăcută; dcă m > n, tunci notând p = m n, rezultăp 1şim = n + p (czul m<neste similr); în cest mod, condiţi (4) pote fi rescrisă stfel: ( )ε >( )N(ε) stfel încât ( )n N(ε) şi( )p 1, x n+p x n <ε. (4 ) În liceu u fost dte proprietăţile principle de clcul cu şiruri convergente de numere rele; stfel, dcă n ş i b n b (pentru n ), tunci n n, n + b n + b, n b n b, n b n b, b n b (în ipotez că b n, b, ( )n ), λ n λ (( )λ rel constnt); dcă în plus n <b n (respectiv n >b n ) pentru orice n de l un rng încolo, tunci b (respectiv b). De semene, este evident că dcă l un şir mărginit (respectiv convergent, Cuchy) în R se elimină su se dugă un număr finit de termeni, tunci şirul nou obţinut re celeşi proprietăţi.

40 36 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ În continure vom profund proprietăţile şirurilor de numere rele. Remintim mi întâi că dcă s = {x n } n este un şir în R şi dcă se fixeză un şir strict crescător de numere nturle k <k 1 <k 2 <...<k n <... tunci şirul {x kn } n este numit un şubsir l lui s. Trebuie remrct că pentru orice n N, vemn k n. De exemplu, se pot consider subşirurile {x 2n } n, {x 2n+1 } n le termenilor de rng pr, respectiv impr, cre corespund şirurilor strict crescătore de numere nturle < 2 < 4 < 6 <...ş i r e s p e c t i v 1 < 3 < 5 < 7 <... Teorem 1.4. () Dcă un şir în R este convergent, tunci orice subşir l cestui este convergent, cu ceeşi limită. (b) Dcă un şir Cuchy {x n } n î n R re un subşir convergent către l, tunci x n l pentru n. Demonstrţie. () Fie x n pentru n şi {x kn } un subşir l şirului {x n },undek <k 1 <k 2 <...Fie( )ε > rel. Atunci plicând (3) rezultă că există un rng N(ε) stfel încât ( )n N(ε), x n <ε. Deorece k n n pentru orice n, rezultă x kn <εpentru orice n N(ε), dică x kn. (b) Fie k <k 1 <k 2 <...numere nturle şi x kn l. Fie ε> rel rbitrr, fixt. Atunci există un număr nturl N 1 stfel încât ( )n N, x kn l < ε 2. Apoi deorece {x n} n este şir Cuchy, rezultă că există N 2 nturl stfel încât x m x n < ε 2 pentru orice m, n N 2. Fie N = mx(n 1,N 2 ) ş i n N. x km x n < ε 2,deci Atunci luând m = k n,rezultăm N (deorece k n n), deci x n l = (x n x kn )+(x kn l) x n x kn + x kn l < ε 2 + ε 2 = ε, pentru orice n N, dică x n l. Teorem 1.5 (lem lui E. CESARO, ). Orice şir mărginit de numere rele re un şir convergent. Demonstrţie. Fie {x n } n un şir mărginit. Aşdr toţi termenii şirului, în număr infinit, prţin unui intervl închis I =[,b ], <b. Fie c = + b ; tunci unul cel puţin din intervlele închise [,c ], [c,b ] conţine 2 o infinitte de termeni i şirului {x n } n şi îl notăm I 1 =[ 1,b 1 ]. Similr, considerând c 1 = 1 + b 1, unul din intervlele [ 1,c 1 ], [c 1,b 1 ] v conţine o 2 infinitte de termeni i şirului iniţil şi îl notăm I 2 =[ 2,b 2 ] etc. Se obţine stfel un şir descrescător I I 1 I 2...de intervle închise şi conform teoremei 1.3, există ξ I n. Alegem k stfel încât x k I, poi k 1 >k stfel încât n x k1 I 1, poi k 2 >k 1 cu condiţi x k2 I 2 etc. (Acest lucru este posibil deorece fiecre intervl I p conţine o infinitte de termeni i şirului initil). Aşdr k <k 1 <k 2 <...şi x kn I n ;cumξ I n,( )n rezultă x kn ξ lungime lui I n. Dr lungime lui I n, este eglă cu b 2 n (căci fiecre intervl I p, p 1 re c lungime jumătte din lungime intervlului I p 1, ir I re lungime b ). Aşdr, x kn ξ b 2 n pentru orice n şi făcând n, rezultă x kn ξ. Teorem 1.6 (criteriul generl l lui Cuchy). Un şir de numere rele este convergent dcă şi numi dcă el este un şir Cuchy. Demonstrţie. Fie {x n } un şir convergent în R, x n l. Fixăm ( )ε >; tunci există N(ε) stfel încât x n l < ε 2 pentru orice n N(ε). Dcă

41 2.1. DISPONIBILITĂŢILE NUMERELOR REALE 37 m, n N(ε), tunci vem x m l < ε 2, x n l < ε 2,deci x m x n = (x m l)+(l x n ) < ε 2 + ε 2 = ε. Aşdr, şirul {x n } este şir Cuchy. Reciproc, fie {x n } un şir Cuchy în R. Atunci el este un şir mărginit; întrdevăr, luând ε = 1, există N stfel încât ( )m, n N, x n x m < 1. În prticulr, pentru m = n, n N, rezultăcă x n = x n x N + x N 1+ x N. Aşdr, termenii şirului {x n } de rng mi mre decât N sunt cuprinşi în intervlul ( 1 x N, 1+ x N ) şi c tre, şirul {x n } este mărginit. Conform teoremei 1.5 el v conţine tunci un subşir convergent şi plicând teorem 1.4, (b), rezultă că şirul {x n } însuşi, presupus iniţil şir Cuchy, v fi convergent. Exemplu. Arătăm că şirul x n = , n 1 nu este Cuchy, n deci nici convergent. Să observăm mi întâi că ( )n 1vem x 2n x n = 1 n n n 1 2n + 1 2n }{{ 2n } nori Presupunem prin bsurd că {x n } r fi şir Cuchy; luând ε = 1, r exist N 3 nturl stfel încât ( )m, n N, x m x n < 1. Pentru m =2N, n = N, 3 rezultă x 2N x N < 1 3,şicumx 2N x N 1 2, r rezult că 1 2 < 1 3, bsurd. Teorem 1.7. Orice şir mărginit şi monoton crescător (su descrescător) este convergent. Demonstrţie. Fie{x n } n un şir monoton crescător x x 1 x 2..., presupus mărginit. Conform xiomei (III) există M = supx n. Vom răt că n x n M pentru n. Pentru cest, fie ( )ε > fixt. Deorece M ε nu este mjornt l şirului, fiindcă M ε<m ş i M este cel mi mic mjornt, rezultă că există un termen l şirului x n depinzând de ε, dică un rng N(ε) stfel încât x N >M ε. Aşdr M ε<x N M. Dr şirul fiind crescător şi mărginit superior de M, rezultăcă( )n N vem, x N x n M. În concluzie, pentru orice n N(ε), vem M ε<x n M < M + ε, dică x n M <ε,decix n M. Demonstrţi se fce în mod similr dcă şirul este mărginit şi descrescător; în cest cz, lim n x n =inf n x n. Exemple. 1) Fie {x n } n un şir mărginit în R, cu toţi termenii situţi întrun intervl fixt [α, β]. Notăm y =sup{x,x 1,x 2,x 3,...}, y 1 =sup{x 1,x 2,x 3,...}, y 2 =sup{x 2,x 3,...} etc. şi în mod similr z =inf{x,x 1,x 2,x 3,...}, z 1 =inf{x 1,x 2,x 3,...}, z 2 =inf{x 2,x 3,...} etc. Conform xiomei (III) lui Cntor-Dedekind, y i,z j sunt numere rele bine determinte (i, j ). Este evident că şirul {y n } n este descrescător, ir şirul {z n } n este crescător, mbele mărginite, cu toţi termenii situţi în intervlul [α, β]. Aşdr, conform teoremei 1.7, cestei şiruri sunt convergente în R; se noteză limx n = lim n z n, Aşdr, limx n =supz n =sup n n ( inf k n x k ) limx n = lim n y n. ş i limx n =inf y n =inf n n ( = 1 2 sup x k ). k n Este evident că limx n = lim( x n ). Deorece z p y q pentru orice p, q rezultă limx n limx n. De exemplu, pentru şirul mărginit x n =( 1) n, n, vem limx n = 1, limx n = 1. Se pote răt că un şir mărginit {x n } este convergent în R dcă şi numi dcă limx n = limx n.

42 38 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ 2) În liceu s- demonstrt că şirul x n = ( 1+ 1 n) n, n 1 este monoton crescător şi mărginit (2 x n 3, ( )n 1). Aşdr, cest şir este convergent (fără şti dininte limit) şi limit s este prin definiţie numărul e (în onore mrelui mtemticin elveţin L. EULER, ). Cu jutorul unui miniclcultor se pote verific uşor că x 2 = 2, 25, x 4 = 2, , x 16 = 2, , x 256 =2, , etc. Numărul e cu primele 9 zecimle excte este e 2, , e este irţionl (deci scriere zecimlă nu dmite repetre periodică vreunei grupe de cifre) Legătur între numerele rele şi măsurre mărimilor OmulţimeG se numeşte grup ordont dcă pe ce mulţime sunt definite o operţie lgebrică + (numită dunre) şi o relţie de ordine totlă, stfel încât (G, +, ) să fie grup belin vnd c element neutru şi în plus, ori de câte ori α β î n G, sărezultecăα + γ β + γ, pentru orice γ G. Dcă α G ş i n Z sunt fixte se pote defini nα stfel: dcă n 1, tunci nα = α + α α,α =şi( n)α = (nα). Dcă n în Z ş i }{{} nori α în G, tunci nα în G. Evident,Z, Q, R sunt grupuri ordonte reltiv l dunre şi ordine uzule. Un grup ordont G se numeşte rhimedin dcă pentru orice x G, x>, este verifictă condiţi: ( )y G ( )n 1 nturl stfel încât nx y. (5) Exemple. Evident, R este grup rhimedin (conform teoremei 1.1). Mulţime tuturor temperturilor (presupuse în mod idel nelimitte) formeză un grup rhimedin; într-devăr, ştim să definim,t 1 + T 2,T 1 T 2, pentru orice două temperturi fixte T 1,T 2 ir dcă U>este o tempertură fixtă, tunci pentru orice tempertură T există n 1 întreg stfel încât nu T. În mod similr, mulţimile presiunilor, lungimilor, volumelor, vitezelor, mselor etc. (imginând presiuni, lungimi etc. negtive) pot fi înzestrte cu structuri de grupuri rhimediene. Se pote spune că mărimile fizice, chimice, indictorii economici etc. pot fi modelte mtemtic prin grupuri rhimediene, deci prin mulţimi de elemente, cre pot fi dunte şi cre se pot compr, cu respectre proprietăţilor dmise. Teorem cre urmeză sintetizeză intuiţi nostră supr utilizării numerelor rele în legătură cu măsurre mărimilor fizice su cu introducere diverşilor indictori cntittivi. În esenţă, cestă teoremă redă schem după cre l vlori bstrcte le cestor mărimi li se sociză numere rele bine determinte; pe pln istoric, cestă legătură fost mrctă pentru prim oră în Elementele lui Euclid (EUCLID, sec. III i.e.n.), constituind suportul intuitiv şi surs de dezvoltre noţiunii de număr rel. Lemă. Fie G un grup rhimedin şi U G, U>, un element fixt, pe cre îl numim unitte de măsură. ) Fie p, q Z; vem p<qdcă şi numi dcă pu < qu. b) Pentru orice element x G există şi este unic un şir {p n } n de numere întregi stfel încât 1 p n p n+1 < 1(1 + p n )şip n U 1 n x<(1 + p n )U, ( )n (6) Demonstrţie. ) Dcă p<q, tunci q p 1 deci(q p 1)U, dică qu (p + 1)U >pu. Reciproc, dcă pu < qu, tunci p<q(căci ltfel, rezultă q p, decip q şicumu>, r rezult (p q)u în G, dică qu pu, cee ce este bsurd). b) Fie x G fixt. Fixăm poi un întreg n rbitrr. Conform (5) există N, b N stfel încât U > 1 n x ş i bu > 1 n x.

43 2.1. DISPONIBILITĂŢILE NUMERELOR REALE 39 Mulţime de numere întregi C = {p Z pu 1 n x} este nevidă deorece b C. Apoi, C este mjortă de, deorece ( )p C vem pu 1 n x<u, deci plicând (), rezultă p<. Aşdr, C fiind o submulţime mjortă lui Z, e re un cel mi mre element, cre este unic şi pe cre îl notăm cu p n. Acest număr întreg p n C este deci bine determint prin relţiile p n U 1 n x; (7) 1 n x<(1 + p n )U. (8) Înmulţind cu 1 mbii membri i relţiei (7), rezultă 1p n U 1 n+1 x ş i din relţi (8) scrisă pentru n+1, rezultă 1 n+1 x<(1+p n+1 )U, deci 1p n U< (1 + p n+1 )U şi plicând ), rezultă 1p n < 1+p n+1, dică 1p n p n+1. Pe de ltă prte, din (7) se obţine p n+1 U 1 n+1 x şi înmulţind cu 1 relţi (8), 1 n+1 x<1(1 + p n )U, deundep n+1 < 1(1 + p n ). Teorem 1.8. Fie G un grup rhimedin şi un element U G, U > fixt (unitte de msură). Atunci există şi este o unică plicţie µ : G R, (9) vând proprietăţile următore: () µ(u) = 1, µ() = ; (b) µ este ditivă: pentru orice x, x G, vem µ(x + x )=µ(x)+µ(x ) ş i µ(nx) =nµ(x), ( )n Z; (c) µ este strict crescătore: dcă x<x î n G, tunci µ(x) <µ(x ). Nu dăm demonstrţi. Observţii. Aşdr, dcă G este un grup rhimedin şi U > o unitte de măsură fixtă, tunci oricărui element x G îi corespunde un număr rel unic µ(x) stfel încât lui G să îi corespundă, ir lui U să-i corespundă 1. Numărul µ(x) se mi numeşte măsur lui x reltiv l unitte de măsură U. Asociere µ este evident injectivă (fiind strict crescătore). Dcă V G, V > este o ltă unitte de măsură în G şi dcă notăm µ U, 1 µ V plicţiile G R socite, tunci funcţi ϕ : G R, ϕ(x) = µ U (V ) µ U (x) este ditivă, strict crescătore, ϕ() =, ϕ(v ) = 1. Deci ϕ verifică proprietăţile, b, c pe cre le verifică µ V, deci din unicitte, rezultă ϕ = µ V, dică µ U (x) = µ U (V ) µ V (x) pentru orice x G. Notând k = µ U (V ), rezultă k> (căci < V ş i µ U este strict crescătore) şi în plus, µ U = k µ V, dică prin schimbre unităţii de măsură, funcţiile de măsură sunt proporţionle; în prticulr, dcă x, y G sunt elemente nenule, tunci µ U (x) µ U (y) = µ V (x), un rezultt şteptt, µ V (y) indicând independenţ de unitte de măsură rportului măsurilor două mărimi nenule din G Drept relă, bijecţi lui Descrtes Considerăm o xă, dică o dreptă pe cre sunt fixte origine, unitte de măsură şi sensul; şdr, este fixt un segment orientt pe xă, vând cpete notte A, A 1 ş i fi e ī = A A 1 versorul socit (fig. II.1). Pentru orice două puncte M,N de pe xă se pote defini sum lor P = M + N, prin relţi vectorilă A P = A M + A N; poi se defineşte relţi de ordine: M N vectorii MN ş i ī u celşi sens. Se dmite că mulţime G punctelor xei este un grup ordont rhimedin, în cre orice submulţime nevidă mjortă re mrgine superioră. Conform teoremei 1.8 rezultă tunci că există o plicţie unică Fig. II.1 µ : G R stfel încât µ(a ) =, µ(a 1 ) = 1, µ(m + N) =µ(m) +µ(n) pentru orice M,N G; ir dcă M<N, tunci µ(m) <µ(n).

44 4 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Teorem 1.9. Aplicţi µ : G R este bijectivă. Demonstrţie. Fptul că µ este injectivă este imedit: dcă M,N G şi M N, tunci vem M < N su N < M şi de ici rezultă µ(m) <µ(n) su µ(n) <µ(m) deciµ(m) µ(n). Probăm cum surjectivitte lui µ. Fie ( )x R fixt şi scriere s zecimlă x = α, ,undeα =[x]. Presupunem x> (czul x< se deduce imedit prin simetrie fţă de origine) şi considerăm şirul de puncte P,P 1,P 2,... din G stfel încât Fig. II.1b OP = αī, OP 1 = OP + 1ī, OP 2 = OP ī Am nott O = A. Atunci mulţime {P n } n este mjortă şi notând P =supp n,rezultăµ(p )=x. n Aplicţi µ este numită bijecţi lui Descrtes (R. DESCARTES, ) şi re o importnţă crucilă pentru nliză, pentru geometrie şi pentru cunoştere, în generl. E stbileşte o corespondenţă biunivocă între două mulţimi de ntură diferită, pe de-o prte o mulţime de obiecte geometrice (punctele unei xe) şi pe de-lt, o mulţime de obiecte lgebrice (numere rele). Aşdr, punctele se pot identific prin numere şi invers. Aici se flă punctul de plecre l Geometriei nlitice, deci l unor rţionmente geometrice efectute cu jutorul clculelor cu numere. Cu lte cuvinte, cest este punctul esenţil l progrmării pe clcultor geometriei, c şi l doptării unui limbj geometric în prezentre nlizei. Pentru orice punct M G l xei, numărul rel x M = µ(m) senumeşte bscis lui M pe x respectivă. Reciproc, pentru orice număr rel x, existăun singur punct M G stfel încât µ(m) =x M = x ş i s e d e fi n e ş t e produsul între x ş i ī c fiind vectorul xī OM; mi generl, dcă v este un vector orecre l xei şi dcă λ este un număr rel, tunci se lege cel M G unic stfel încât v = OM, dică v = x M ī ş i s e d e fi n e ş t e p r o d u s u l λ v între numărul rel λ şi vectorul v c fiind cel unic vector OS cu propriette că OS =(λx M )ī. Evident, mulţime vectorilor de pe xă formeză un spţiu vectoril rel, vând o bză formtă dintr-un singur vector (de exemplu, {ī}). Prin bijecţi lui Descrtes, se pote identific mulţime R cu mulţime punctelor unei xe şi ici se flă o justificre pentru fptul că mulţime R este numită uneori drept relă. Considerând un pln (π) şi un sistem ortogonl de xe Ox, Oy în (π) vând origine comună, cu versori ī = OA, ȷ = OB, tunci se pote stbili bijecţi lui Descrtes µ :(π) R 2 între punctele plnului (π) şiperechile ordonte de numere rele, în modul urmtor: pentru orice, punct M (π), fie P şi Q proiecţiile ortogonle le lui M pe xele Ox, Oy respectiv; tunci există numere rele unice x M, y M stfel încât OP = x M ī, OQ = y M ȷ, dică OM = x M ī + y M ȷ. Se defineşte tunci µ(m) =(x M,y M ). Mulţime V 2 (π) vectorilor din plnul (π) este un spţiu vectoril rel şi sistemul de vectori {ī, ȷ} constituie o bză, deci dim R V 2 (π) = 2. În mod similr, dcă se consideră spţiul fizic uzul S (rportt l un sistem ortogonl de xe Oxyz cu origine comună, cu versori ī, ȷ, k), tunci se pote stbili şi în cest cz bijecţi lui Descrtes µ : S R 3, studită în cdrul Geometriei nlitice. Este evident că limbjul geometric permite o vizulizre dinmică proprietăţilor diverselor configurţii de puncte, c şi funcţiilor definite pe stfel de configurţii. De exemplu, pentru o funcţie relă f : A R, A R, este binecunoscut că grficul ei, Gr f = {(x, f(x)) x A}, csubmulţimeluir 2, constituie o modlitte excepţionlă de concentr informţii despre funcţi respectivă (monotonie, inversre, pritte, vlori extreme etc.). etc Infinitul în nliz relă Pentru orice număr rel fixt α există x, y R stfel încât α<xş i y<α). Există situţii în cre trebuie descris mtemtic ce se întâmplă dincolo (su

45 2.1. DISPONIBILITĂŢILE NUMERELOR REALE 41 dincoce ) de orice număr rel fixt; de exemplu, simptotele funcţiilor rele, şiruri nemărginite de numere rele etc. Se fce convenţi de djuncţion l mulţime R două obiecte, notte, +, şi de consider stfel drept relă încheită (su compctifictă) R = R {, + }. Se scrie uneori î n l o c d e +. Convenind că <x, x<+, < pentru orice x R şi păstrând ordine de pe R, rezultăcă mulţime R este totl ordontă. În cee ce priveşte structur lgebrică lui R, se pot extinde operţiile lgebrice din R, fără fi peste tot definite. Astfel, se definesc + = (pentru orice R, ), + = (pentru orice R, ), { dcă >în R = dcă <în R. Nu se pot defini +( ),, ( ), etc., stfel încât să fie respectte proprietăţile uzule de clcul. De exemplu, dcă r fi un element c R, r rezult că c +1=( )+1=( + 1) = = c, bsurd. În mtemtică şi în filozofie, conceptul de infinit pre în două ipostze: infinitul ctul şi infinitul potenţil. A consider infinitul ctul însemnă presupune existenţ c tre elementelor, +, privitecelementec oricre ltele, neprivilegite, în mulţime R. Infinitul potenţil este definit exclusiv cu jutorul numerelor rele (finite), fără pel l mulţime R şi pre c o economie de notţie. Astfel, dcă {x n } n este un şir de numere rele, se spune că x n converge către + (x n ) ( )ε >, ( )N(ε) nturl stfel încât pentru orice n N(ε), x n >ε; similr, x n ( )ε >( )N(ε) :( )n N(ε), x n < ε. Recunoştem ici că notţiile şi sunt folosite c o economie de scriere, pentru că în membrii din drept i definiţiilor nteriore sunt ngjte numi numere rele. Operţiile nteriore, cu prticipre lui +, cpătă o semnificţie în cdrul infinitului potenţil cre rtă în esenţă echivlenţ celor două ccepţiuni le infinitului. Astfel, dcă x n şi y n,, tunci x n + y n, ir dcă x n şi y n, +, tunci x n + y n. În mod similr, dcă x n şi y n, >, tunci x n y n etc. Verificre cestor firmţii în limbj ε este imedită. Fptul că nu se pote defini este reflectt prin cee că dcă x n, y n, nu se pote spune nimic despre şirul x n y n (de exemplu n 2 n, n n 2, n2 +1 n ) etc. Teorem 1.1. () În multi me R orice şir este mărginit; (b) Orice şir monoton de numere rele re limită în R; (c) Orice submulţime nevidă A R re mrgine superioră şi mrgine inferioră (reltiv l ordine definită nterior). Demonstrţie. () Pentru orice şir {x n } n î n R vem x n deci şirul este mărginit în R. (b) Fie {x n } n un şir monoton crescător de numere rele. Dcă el este mărginit în R, tunci el re limită în R (cf. teoremei 1.7), deci şi în R. Dcă ş i r u l {x n } este nemărginit, tunci pentru orice ε>existăuntermenx N >ε şi c tre x n >ε,( )n N, decix n. Dcă şirul este descrescător, tunci se rţioneză similr. (c) Dc A este mjortă (su minortă în R), tunci re mrgine superioră (su inferioră) în R, cre rămâne vlbilă şi în R. Dcă A nu este mjortă în R, tunci sup A =+, ir dcă A nu este minortă, inf A =. C o consecinţă, pentru orice funcţie numerică f : X R, definităpe o mulţime orecre X, se pot defini extremele ei globle pe X, nume M = sup x X f(x), m = inf x X mulţimii f(x), clculte în R. f(x) c fiind mrginile superioră şi respectiv inferioră le

46 42 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Exerciţii 1. Să se rte că numărul, este rţionl, ir, este irţionl. 2. Să se determine n nturl minim stisfăcând fiecre din ineglităţile ) ( 1 3 ) n < 1 3 ; b) 4n n! < 1 4 ; c) π n 6 n n! < Fie R fixt. Să se rte că pentru orice întreg q 1existăp Z stfel încât p/q < 1/q şi folosind cest lucru, să se rte că orice număr rel este limit unui şir de numere rţionle. Indicţie. Intervlele de form [ p q, p +1 q o prtiţie lui R şi se pote lege p stfel încât p q q = n, n 1şi p q = r n,rezultă r n < 1 n etc. ), p Z (q fiind fixt) determină +1 <p. Apoi luând q 4. Să se rte că mulţime R 3 verifică propriette III. Indicţie. FieM = m k...m,m 1 m 2 m 3...un mjornt l unei submulţimi nevide A R 3. Pentru orice α A vem α M, deci prte întregă [α] re cel mult k + 1 cifre semnifictive şi fie b k ce mi mre dintre cifrele de pe locul k le tuturor elementelor din A. Fie A k mulţime elementelor din A cre încep cu b k. Pentru elementele lui A k,fieb k+1 ce mi mre dintre cifrele de pe locul k +1. Apoi pentru elementele lui A cre încep cu b k b k+1 legem cifr mximă b k+2 de pe locul k +2etc. Elementulβ = {b n } n Z cu b n =, n< k, este cel mi mic mjornt l lui A, β =supa. 5. Să se determine mrginile inferioră şi superioră le următorelor submulţimi le dreptei rele: { 3 n } +1 A 1 = 3 n +2 { n +( 1) n } n A 4 = 3n +2, A 2 = n Z { ( 1) n cos nπ 3 } n N, A 3 = { sin, A 5 = {x R 1 x 2 3, xrţionl}. n N } n, n +5 n N 6. Pentru orice funcţie numerică f : A R, A mulţime orecre, se noteză Z f = {x A f(x) =} (numită mulţime zerourilor lui f î n A). ) Să se rte că pentru orice două funcţii f,g : A R, vemz f Z g = Z fg, Z f Z g = Z f 2 +g2 şi că pentru orice submulţime C A există o funcţie f : A R stfel încât C = Z f. b) Să se de exemplu de o funcţie nenulă, f : R R pentru cre mulţime zerourilor este Q; este posibil cest lucru dcă funcţi r fi continuă? 7. Un număr rel α R se numeşte lgebric dcă există numere întregi c,c 1,...,c p Z, c stfel încât c α p + c 1 α p c p = ; numerele rele cre nu sunt lgebrice se numesc trnscendente. Să se rte că mulţime numerelor lgebrice este numărbilă, ir mulţime numerelor trnscendente este nenumărbilă. Indicţie. MultimeZ[X] polinomelor cu coeficienţi întregi este numărbilă, deorece există o plicţie injectivă Z[X] Z P. Pentru orice polinom p 1 P nenul, mulţime Z P rădăcinilor sle este finită, ir mulţime A numerelor lgebrice este tocmi Z P, dică o reuniune numărbilă de mulţimi finite. P Z[X] P Mulţime R \A este nenumărbilă (deorece în cz contrr r rezult că R este reuniune două mulţimi numărbile). Aşdr, există mi multe numere trnscendente decât lgebrice. Evident, orice număr rţionl p q, q este lgebric (c soluţie ecuţiei qx p = ), 2 este lgebric (c soluţie ecuţiei x 2 2 = ) etc; un succes remrcbil l mtemticii secolului XIX fost demonstrre trnscendentei lui e (CH.

47 2.2. TEORIA GENERALĂ A APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE 43 HERMITE, ) şi lui π (F. LINDEMANN, ). Celebr problemă cudrturii cercului primit stfel un răspuns negtiv definitiv. 8. Fie şirul n = 2n 1, n. Să se rte că este monoton şi mărginit şi 4n +3 să ( se determine inf n,sup n. Câţi termeni i şirului sunt în fr intervlului , ) 1 3? 9. Fie {x n } n un şir de numere rele. ) Să se rte că dcă subşirurile {x 2n }, {x 2n+1 } sunt convergente şi u ceeşi limit l, tunci x n l. b) Ce se pote spune despre convergenţ şirului {x n } dcă şirul {x 3 n} n este convergent? Dr dcă {x 2 n} { este convergent? } { sin n 1. Să se rte că şirurile, n sin 1 } sunt convergente, n n 1 n n 1 dr şirul {sin n} n 1 este divergent. 11. Fie {x n } n un şir mărginit de numere rele. Să se rte că cest şir este convergent dcă şi numi dcă lim x n = lim x n. Să se clculeze lim x n, lim x n pentru x n = ( 1)n + 1+( 1)n, n 1. n Fie {x n } n, {y n } n două şiruri de numere rele. ) Dcă x n şi{y n } este un şir mărginit să se rte că x n y n. b) Presupunem că x n y n,( )n. Dcă y n, să se rte că x n. Dr dcă y n l, l, rezultă că x n l? 13. Fie {x n } n un şir de numere rele strict pozitive. ) Dcă x n, să se rte că 1 ; reciproc este devărtă? x n b) Presupunem că y n. Să se rte că x n + y n ; rezultă su nu că x n y n? 14. Pentru două şiruri în R, x = {x n } n, y = {y n } n definim convoluţi n z = x y= {z n } n punând z n = x j y n j.pentru( )k N notăm δ k ş i r u l i= cu toţi termenii nuli, exceptând termenul de rng k, egl cu 1. Să se clculeze x δ k şi să se rte că x δ = δ x= x. Dcă şirurile x, y sunt mărginite (respectiv monotone, convergente) rezultă ceeşi propriette pentru şirul x y? 2.2 Teori generlă proximţiilor succesive Spţii metrice; exemple, utilitte noţiunii Spţiile metrice constituie cdrul firesc pentru studiul convergenţei şirurilor şi permit studiul conceptului de continuitte. Teori spţiilor metrice este bztă esenţil pe disponibilităţile numerelor rele. Se pote firm că tote mulţimile cre pr în studiul funcţiilor u o structură de spţiu metric; de exemplu, drept relă R, plnul complex C, spţiile cu mi multe dimensiuni R n (n 1), numite clse de funcţii etc., c şi submulţimi le cestor, sunt spţii metrice. În loc de fce o teorie seprtă fiecărui cz în prte, este mult mi util să dăm o serie de proprietăţi generle, vlbile în orice spţiu metric şi poi să dăugăm proprietăţi specifice diverselor situţii prticulre. Acest mod de prezentre, de l generl l prticulr, este de obicei legt de dificultăţi, dr ici el duce o economie de gândire, cu respectre deplină ccesibilităţii. Degjre, dtortă mtemticinului frncez R.M. FRECHET, , unei noţiuni de distnţă între obiecte mtemtice de celşi tip, nu nepărt de ntură geometrică, constituit un moment importnt în mtemtic modernă. Vom vorbi de distnţ între numere rele, distnţ între numere complexe, distnţ între mtrici, între funcţii, etc.

48 44 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Fig. II.1 Definiţi 2.1. Fie X o mulţime nevidă. A defini o distnţă d pe X însemnă soci oricărei perechi de puncte din X, (x, y) X X, unnumăr rel determint, nott d(x, y) (numit distnţ între x ş i y) stfel încât să fie verificte următorele proprietăţi (numite xiomele distnţei): D 1.( )x, y X, d(x, y) ş i d(x, y) = x = y (pozitivitte); D 2.( )x, y X vem d(x, y) =d(y, x) (simetrie); D 3. ( )x, y, z X vem d(x, z) d(x, y) +d(y, z) (ineglitte triunghiului). În cest mod, este definită o funcţie numerică d : X 2 R, (x, y) d(x, y), numită funcţie - distnţă pe X. Senumeştespţiu metric orice pereche (X, d) lcătuită dintr-o mulţime nevidă X şi o funcţie - distnţă d pe X (verificând proprietăţile D 1,D 2,D 3 ). Pe ceeşi mulţime X pot fi definite mi multe distnţe, deci mi multe structuri de spţiu metric. Evident, dcă (X, d) este spţiu metric şi dcă A X este submulţime lui X, tunci (A, d) este de semene un spţiu metric. Elementele unui spţiu metric se numesc puncte. Vom ccept ulterior c numite funcţii, mtrici, numere, să fie similte cu puncte le unui spţiu metric. Ce mi importntă clitte unui spţiu metric este posibilitte de defini convergenţ şirurilor de puncte din cel spţiu. Definiţi 2.2. Fie (X, d) un spţiu metric fixt şi X un punct. Se spune că un şir {x n } n de puncte din X converge către (şi se î n X scrie x n su echivlent, lim x n = ), dcă şirul de numere rele n {d(x n,)} n converge către. (fig. II.1). Acestă definiţie corespunde intuiţiei nostre despre convergenţ lui x n către limit X prin propiere lui x n de pe măsur creşterii lui n, prin tindere l zero distnţelor d(x n,)pentrun. Aşdr, conform î n X definiţiei 1.2, fptul că x n revine l îndeplinire următorei condiţii: ( )ε > ( )N(ε) nturl stfel încât pentru orice (1) pentru orice n N(ε), d(x n,) <ε. Definiţi 2.3. Fie (X, d) un spţiu metric fixt şi X. Pentru orice număr rel r>, senumeştebil deschisă de centru şi rză r, mulţime B(, r) {x X d(x, ) <r}. î n X Evident, fptul că x n, revine conform condiţiei (1), l cee că ( )ε >( )N(ε) stfel c x n B(, ε) pentru orice n N; cu lte cuvinte, oricre r fi bil deschisă centrtă în, toţi termenii şirului x n, prţin cestei bile de l un rng încolo. Se numeşte vecinătte unui punct x X orice submulţime V X cre conţine o bilă deschisă centrtă în x, dică ( )r > stfel încât B(x,r) V. Dcă X, r>, tunci se defineşte bil închisă de centru ş i r z ă r, cfiindsubmulţimeb (, r) {x X d(x, ) r} spţiului X. În bsenţ unei terminologii unnim cceptte, m doptt termenul de bilă (şi nu pe cel de bulă su sferă su sferoid, propus de lţi utori). Noţiune de bilă nu este bsolută ci depinde esenţil de semnificţi concretă lui X ş i d, ş cum vom vede în cdrul exemplelor. De semene, o vecinătte unui punct x nu însemnă nepărt o mulţime mică în jurul lui x. Evident, ( )ε > rel, B(x,ε) şi spţiul X însuşi sunt vecinătăţi le lui x. Teorem 2.1. Fie (X, d) un spţiu metric. () Fie x y î n X; tunci există r 1,r 2 > stfel încât B(x, r 1 ) B(x, r 2 ) Ø (se mi spune că orice două puncte distincte pot fi seprte prin bile disjuncte). (b) Orice şir convergent în X re limit unică. Demonstrţie. () Deorece x y, rezultăd(x, y) > conform D 1. Luăm r 1 = r 2 = 1 3 (x, y) şi rătăm că B(x, r 1), B(y, r 2 ) sunt disjuncte. Dcă,

49 2.2. TEORIA GENERALĂ A APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE 45 prin bsurd, ele r conţine un punct comun z, tunci r rezult d(z, x) <r 1, d(z,y) <r 2, de unde conform D 2,D 3,d(x, y) d(x, z)+d(y, z) <r 1 + r 2 = 2 d(x, y), de unde rezultă d(x, y) şicumd(x, y), se obţine d(x, y) =, 3 dică x = y, cee ce contrvine ipotezei. b) Fie {x n } n un şir convergent în X ş i ( )ε > fixt; dcă x n, x n b şi dcă m ve b, tunci legând bile disjuncte centrte în ş i b, r rezult că de l un rng încolo, termenii x n r prţine mbelor bile, cee ce este bsurd. Aşdr, = b. Exemple de spţii metrice 1. Drept relă. Pe mulţime X = R, distnţ tipică (numită euclidină) este dtă prin d(x, y) = x y, ( )x, y R. Evident, sunt verificte proprietăţile D 1,D 2,D 3, ş cum m văzut în 1. Dcă R ş i r>, bil deschisă de centru şi de rză r este în cest cz B(, r) ={x R x < r} = ( r, + r); şdr, bilele deschise pe drept relă sunt intervle deschise. Vecinătte unui punct x R este orice mulţime V R stfel încât ( )r > cu propriette că V (x r, x + r). Convergenţ şirurilor în R însemnă convergenţ în sensul definit în 1 (c în liceu). 2. Spţiul n-dimensionl. FieX = R n {x =(x 1,x 2,...,x n ) x 1,...,x n rele}. Două puncte x = (x 1,x 2,...,x n ), y = (y 1,y 2,...,y n ) se consideră egle î n R n dcă x i = y i, 1 i n. Mulţime R n se numeşte spţiul ritmetic n-dimensionl rel. Am văzut l punctul 5 din 1 căr 2 se identifică prin mulţime vectorilor dintr-un pln, ir R 3 cu mulţime vectorilor din spţiul fizic uzul (reltiv l sisteme de xe fixte). Spţiul R 4 este numit uneori spţiul-timp l lui Einstein-Minkowski, utilizt în teori reltivităţii (H. MINKOWSKI, ; A. EINSTEIN, ). Utilitte considerării spţiilor R n constă, pe de-o prte în evitre prlelismelor în studiul seprt l lui R 1 = R, R 2, R 3, R 4,... şi pe de ltă prte, în fptul că orice funcţie de n vribile rele f(x 1,x 2,...,x n ), (mi corect, (x 1,x 2,...,x n ) f(x 1,x 2,...,x n )), pote fi similtă cu o funcţie f(x) deo singură vribilă, mi complictă, nume x =(x 1,x 2,...,x n ), prţinând lui R n. Dcă elementele lui R n, n 4 sunt ficţiuni în rport cu intuiţi nostră c observtori spţili, în schimb funcţiile de n vribile sunt o relitte mnifestă (de exemplu, dcă l bordul unui vion se găsesc 15 de instrumente utile de măsură, se pote consider că zborul celui vion este funcţie de 15 de prmetri reli!; în mod similr, dinmic unui sistem fizic depinde de modul în cre vriză prmetri de stre i sistemului, ir ceşti pot fi în număr forte mre). Teorem 2.2. Mulţime R n, n 1 este spţiu metric reltiv l distnţ euclidină, definită prin d(x, y) = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2, pentru orice x =(x 1,x 2,...,x n ),y=(y 1,y 2,...,y n ). Demonstrţie. Proprietăţile D 1,D 2 sunt evidente. Fie x, y R n trei puncte orecre; vem de rătt că d(x, z) d(x, y)+d(y, z), dică ( n ) 1 2 (x k z k ) 2 k=1 ( n ) 1 ( 2 n ) 1 2 (x k y k ) 2 + (y k z k ) 2, k=1 k=1 pentru z = (z 1,z 2,...,z n ). Notând x k y k = k, y k z k = b k, rezultă x k z k = k + b k,1 k n şi vem de rătt că ( n ) 1 2 ( k + b k ) 2 k=1 ( n 2 k k=1 ) 1 ( 2 n + k=1 b 2 k ) 1 2,

50 46 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ su echivlent, după ridicre l pătrt, ( n ) 2 ( n k b k k=1 k=1 2 k )( n k=1 b 2 k ). (11) Pentru cest, utilizăm un rtificiu: observăm că pentru orice λ R vem n ( k +λb k ) 2, dică λ 2 n n n b 2 k+2λ k b k + 2 k, ( )λ R. Atunci k=1 k=1 discriminntul trinomului de grdul II in λ este negtiv şi se obţine tocmi ineglitte (11). (Acestă ineglitte este un cz prticulr l ineglităţii lui H.A. SCHWARTZ., , cre v fi dtă în cpitolul VI). Teorem 2.2 este probtă. Pentru n = 1 se obţine desigur distnţ din exemplul 1). Remrcăm de semene că pe mulţime R n se mi pot defini şi n lte distnţe; de exemplu, punând ( )x, y R n, δ(x, y) = x k y k. Fie R n, =( 1, 2,..., n ) un punct fixt şi r>un număr rel. Bil B(, r) dinr n reltiv l distnţ euclidină este { } n B(, r) ={x R n d(x, ) <r} = x R n (x i i ) 2 <r 2. Pentru n = 1 regăsim intervlele deschise; pentru n = 2, bilele în R 2 sunt discuri, ir bilele în R 3 sunt sfere pline. O submulţime M R n se numeşte mărginită dcă M este conţinută într-o bilă deschisă. Printre mulţimile mărginite din R n se găsesc prlelipipedele. Se numeşte prlelipiped închis î n R n (prlel cu xele), orice mulţime de form unui produs crtezin de n intervle închise: P =[ 1,b 1 ]... [ n,b n ]={(x 1,x 2,...,x n ) 1 x 1 b 1,..., n x n b n }. k=1 k=1 i=1 k=1 Fig. II.2 În czul n = 2 se obţin dreptunghiuri prlele cu xele, ir în czul n = 3, prlelipipede uzule. Rămânând încă puţin l czul spţiului R n, remrcăm că cest re o structură nturlă de spţiu vectoril rel, definind sum x + y (x 1 + y 1,...,x n + y n )şimultiplicre cu orice numr rel λ, λx =(λx 1,...,λx n ), pentru orice x =(x 1,...,x n ), y =(y 1,...,y n )dinr n. Vectorul nul din R n este = (,,...,). }{{} nori În ipostz de multiplictori de vectori, numerele rele se mi numesc sclri. Este comodă următore notţie: pentru orice x R n, distnţ între x şi se noteză x ş i s e n u m e ş t e norm euclidină lui x. Aşdr, dcă x =(x 1,x 2,...,x n ), tunci x =d(,x)= x x2 n. Trebuie observt de semene că d(x, y) = x y, ( )x, y R n. Evident, u loc proprietăţile: N 1,( )x R n, x şi x = x = ; N 2,( )λ R, ( )x R n, λx = λ x ; N 3,( )x, y R n, x + y x + y. Proprietăţile N 1,N 2 sunt imedite, ir N 3 decurge direct din ineglitte (11). Este utilă următore reprezentre (fig. II. 2). De remrct că orice punct x R n pote fi identifict cu vectorul său de poziţie Ox. Remintim că funcţiile definite pe o mulţime orecre A cu vlori rele u fost numite funcţii numerice su rele. FuncţiileF : A R p se numesc funcţii cu vlori vectorile; în cest cz, pentru orice x A, vemf (x) R p,deci F (x) =(f 1 (x),f 2 (x),...,f p (x)), unde f 1,f 2,...,f p sunt functi i A R, numite funcţiile componente le lui F. Aşdr, defini o funcţie cu vlori în R p este echivlent cu defini p funçtii numerice, cu vlori sclre. În prticulr, d un şir de puncte din R p (dică o funcţie N R p )revineldpşiruride

51 2.2. TEORIA GENERALĂ A APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE 47 puncte din R (p funcţii N R). Mi precis, dcă x n =(x 1 n,x 2 n,...,x n p ), n este un şir în R p, şirurile componente sunt {x 1 n} n, {x 2 n} n,...,{x p n} n. Funcţiile F : A R, A R 3 se numesc câmpuri sclre, ir funcţiile A R 3, A R 3 se mi numesc câmpuri vectorile definite pe A. Conform celor spuse mi sus, pentru p = 3, rezultă c defini un câmp vectoril este echivlent cu defini trei câmpuri sclre, numite componente. De exemplu, funcţi f definită prin f(x, y, z) = x 2 + yz este un câmp sclr definit pe mulţime A = R 3, ir funcţi g(x, y, z) =x +ln(yz) defineşte un câmp sclr pe mulţime A = {(x, y, z) R 3 yz > }. 3. Plnul complex. Deşi nliz mtemtică se ocupă în principl cu studiul funcţiilor rele, sunt utile unele legături cu numerele complexe. De regulă, dtele unor probleme inginereşti sunt exprimte prin numere rele, însă în cursul rezolvării lor pot fi utilizte c uxilir de clcul, numerele complexe. Există de semene probleme specific inginereşti, ş cum se întâlnesc l studiul bzelor electrotehnicii, mecnicii fluidelor, teoriei sistemelor etc. cre sunt formulte şi rezolvte în cdrul nlizei complexe. A existt şi mi există încă opini greşită că nliz complexă (clculul diferenţil şi integrl în plnul complex) este un domeniu de mtemtică distinct de nliză relă. De fpt, noţiunile de bză, teori şirurilor şi seriilor, elementele de topologie etc. sunt esenţilmente celeşi, pentru că mulţime C nu este ltcev decât mulţime R 2, înzestrtă cu o structură multiplictivă internă (lături de ce de spţiu vectoril rel). Remintim că un număr complex este o pereche ordontă de numere rele, deci C = R 2 (de ici provine şi denumire de pln complex). Două numere complexe z 1,z 2 C, z 1 =(x 1,y 1 ), z 2 =(x 2,y 2 ) se consideră egle dcă x 1 = x 2, y 1 = y 2. Se ştie că mulţime C este corp comuttiv reltiv l dunre şi înmulţire uzulă: z 1 +z 2 =(x 1 +x 2,y 1 +y 2 ), z 1 z 2 =(x 1 x 2 y 1 y 2,x 1 y 2 +x 2 y 1 ), în cre C = ( R, R ), 1 C = (1 R, R ). Notând cu R c mulţime numerelor complexe de form x c =(x, ) cu x R, se observă că R c este un subcorp l lui C; în plus, sociere R R c, x x c este un izomorfism de corpuri (verificările sunt imedite), deci din punctul de vedere l operţiilor lgebrice, cu elemente de form x c se opereză l fel cum se opereză cu numerele rele x şi de cee se fce identificre (x, ) = x. AtunciR se identifică cu R c,decir C. Notând c de obicei i =(, 1), se observă că i 2 = i i =(, 1)(, 1) = ( 1, ) = 1, i 2 = 1; poi pentru orice z C, z =(x, y), vem z =(x, ) + (,y)= (x, )+(, 1)(y, ) = x c +iy c = x+iy, cu evitre misterelor de tipul 1. Am obţinut stfel form clsică de reprezentre numerelor complexe. Operţiile definite nterior se scriu stfel cum (x 1 + iy 1 )+(x 2 + iy 2 )=(x 1 + x 2 )+i(y 1 + y 2 ), (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 )= =(x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 + x 2 y 1 )şipentruz = x + iy,z 1 = x iy x 2 + y 2. Se pot consider trei socieri remrcbile Re : C R, z = x + iy x (lure părţii rele) Im : C R, z = x + iy y (lure părţii imginre) C R +, z = x + iy z = x 2 + y 2 (lure modulului). Se verifică imedit că Re(z 1 +z 2 )=Rez 1 +Rez 2,Im(z 1 +z 2 )=Imz 1 +Imz 2, Re ( z) = Re z, Im( z) = Im z, Rez = z + z z z,imz =, z z = z 2, 2 2i z 1 + z 2 z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 etc. Corpul C nu este totl ordont (dică nu stisfce xiom II din definiţi 1.1; într-devăr, în cz contrr, r rezult că ( )x C, vemx 2 şiîn prticulr, pentru x =1şipentrux = i, m obţine 1, 1, deci 1 =, cee ce este bsurd). Din cest motiv, nu se consideră ineglităţi între numere complexe, ci numi între numere rele socite convenbil numerelor complexe; în prticulr, pentru funcţii f : A C cu vlori complexe nu se

52 48 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Fig. II.3 definesc mrgine superioră su inferioră pentru f, ci numi pentru f, Ref, Im f. Luând X = C şi notând d(z 1,z 2 )= z 1 z 2,( )z 1,z 2 C, severifică imedit proprietăţile D 1,D 2,D 3, deci se obţine o distnţă d pe mulţime C, numită distnţ euclidină, ir C este spţiu metric. Dcă α C este fixt ş i ε>este rel, bil deschisă B(α, ε) este în cest cz {z C d(z,α) < ε} = {z C z α <ε}, deci coincide cu discul centrt în α de rză ε. Bil B(, 1) = { z < 1} se numeşte discul unitte în plnul complex. Fie z n = x n + iy n, n un şir de numere complexe şi α = + ib C, cu î n C î n R î n R, b R. Avem z n α x n ş i y n b ; pentru cest, este suficient să observăm că z n α x n + y n b ş i c ă x n z n α, y n b z n α, pentru orice n şi să fcem n. În mulţime R p (p 2) se pote vorbi de infinit pe o numită direcţie; în unele situţii, se spune că un şir {x n } n de puncte este împrăştit spre infinit dcă lim x n = î n R. Am văzut că mulţime R se pote include în n mulţimi mi bogte; trecere de l R l R (R R) se fce cu păstrre structurii de ordine, pierzând structur lgebrică, ir trecere de l R l C (R C) re loc cu conservre structurii de corp comuttiv şi pierdere structurii de ordine comptibilă cu structur lgebrică. În mulţime C nu există stâng şi drept c în czul dreptei rele, deci nu se introduc două puncte l infinit. Se fce convenţi de dug l C un singur punct l infinit nott şi consider C = C (plnul complex comptifict). Prin convenţie, + z =, ( )z C, z = z =, ( )z C, z ; z =, ( )z, z =, ( )z C (nu se definesc +,, ); de semene, se spune că un şir {z n } n de puncte din C converge către î n C dcă lim z n =+ n î n R. De exemplu, dcă C ş i > 1, tunci n în C. 4. Spţiul funcţiilor mărginite M A. Fie A o mulţime orecre. Remintim că o funcţie numerică f : A R este mărginită dcă ( )M > stfel încât f(x) M pentru orice x A; cestă condiţie este echivlentă cu fptul că mulţime f(a) R este mărginită. Notăm cu M A mulţime tuturor funcţiilor mărginite A R; este clr că M A formeză spţiu vectoril rel, reltiv l operţiile uzule de dunre şi înmulţire cu sclri. Deltfel, dcă f,g M A, tunci f + g, f g, λf, f, fg (λ R) prţin de semene lui M A. În czul când A =[, b], mulţime M A este identifictă cu mulţime tuturor funcţiilor mărginite vând grficele situte în bnd { x b} din R 2 (fig. II.3). Pentru orice functie f M A se pote defini norm uniformă lui f (numită uneori norm-sup) c fiind numărul rel şi pozitiv f =sup f(x) (12) x A (cest re sens deorece submulţime f(a) lui R este mărginită şi se plică propriette III lui Cntor-Dedekind). Pentru orice două funcţii f,g M A se defineşte distnţ uniformă între f ş i g c fiind d(f,g) = f g =sup f(x) g(x). (13) x A Exemple. ) Fie A =[, 4], f(x) =x, g(x) =2x +1şih(x) =x 2. Evident, f,g,h M A ş i d ( f,g) =sup x +1 = sup (x + 1) = 5, ir x A x 4 d(f,g) = sup x [,4] x 2 x = 12. b) Fie A = R, f =sin,g = cos. Atunci ( sin d(f,g) =sup sin x cos x =sup 2 x π ) = 2. x R x R 4

53 2.2. TEORIA GENERALĂ A APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE 49 c) Fie A =[ 4, 1] [, 2], f(x, y) =x + y, g(x, y) =2x +2y. Atunci f,g M A ş i d ( f,g) = f(x, y) g(x, y) = x + y = 4. sup (x,y) A sup 4 x 1, y 2 Observţie. În generl, pentru orice x A ş i p e n t r u f,g M A, vem conform (13), f(x) g(x) d(f,g); în czul când A =[, b], se observă că d(f,g) reprezintă mrgine superioră lungimilor tuturor segmentelor MN când x prcurge A (N,M fiind punctele unde prlel l x Oy dusă prin punctul x A intersecteză grficele lui f şi g respectiv). Acest este interpretre geometrică distnţei uniforme. Teorem 2.3. Fie A o mulţime orecre fixtă. Atunci mulţime M A este un spţiu metric reltiv l distnţ uniformă. Demonstrţie. Avem de probt că distnţ uniformă este o distnţă în sensul definiţiei 2.1, dică sunt verificte D 1,D 2,D 3. Probăm mi întâi D 1 : dcă f,g M A, tunci d(f,g) =sup f(x) g(x) şid(f,f) = ; ir dcă x A d(f,g) =, tunci f(x) g(x) =, ( )x A, decif(x) =g(x), ( )x A, dică f = g î n M A. Propriette D 2 este evidentă. Verificăm D 3 şi pentru cest, fie ( )f,g,h M A. Atunci, ( )x A vem f(x) h(x) f(x) g(x) + g(x) h(x) sup f(x) g(x) +sup g(x) h(x), dică f(x) h(x) d(f,g) +d(g, h), x A x A pentru orice x A. Atunci sup f(x) h(x) d(f,g) +d(g, h), dică x A d(f,h) d(f,g)+d(g, h), şi ineglitte triunghiului este verifictă în M A. Fixăm f M A şi un număr rel r>. În cest cz, bil deschisă de centru f şi rză r în spţiul metric X = M A este o mulţime de funcţii (elemente din X), nume Fig. II.4 B(f,r) ={g M A d(f,g) <r} = {g M A sup f(x) g(x) <r}. x A i=1 Aşdr, dcă g B(f,r), tunci f(x) g(x) <r, dică f(x) r<g(x) < f(x) +r, pentru orice x A; în czul când A =[, b], considerând grficul funcţiei f, bilb(f,r) este identifictă cu mulţime funcţiilor g vând grficul situt în tubul de funcţii limitt de grficele lui f r, f + r (fig. II. 5). Alte exemple de spţii metrice vor fi considerte în continure; în czul spţiilor R, C, R n (n 2), M A, vor fi utilizte în mod tcit numi distnţele definite nterior. Dăm un ultim exemplu de spţiu metric, folosit în teori codificării. Fie B = {, 1} codul binr şi X = B n, n 1. Definim în B dunre modulo 2 (dică =, 1=1 = 1, 1 1 = ) şi o extindem l elementele din X; nume, pentru orice x =(x 1,x 2,...x n ), y =(y 1,y 2,...,y n ) din X notăm x y =(x 1 y 1,x 2 y 2,...,x n y n ). Pentru orice x =(x 1,x 2,...x n ) X vom consider sum în N, x = n x i ; deorece x i = su 1, rezultă că x coincide cu numărul de componente le lui x, egle cu 1. Pentru orice x, y X se defineşte distnţ HAMMING între x, y prin formul d(x, y) = x y. Evident, component k, 1 k n, luix y este eglă cu dcă şi numi dcă x k = y k î n B, deci distnţ d(x, y) este eglă cu numărul de componente le lui x, y cre nu coincid. Se verifică uşor proprietăţile D 1,D 2,D 3,deciX este un spţiu metric. De fpt mulţime X este tocmi mulţime cuvintelor binre de lungime n. De exemplu, dcă n =6şix = 111, y = 111, tunci x y = 1111, x = 3, y = 3, d(x, y) = x y = 4. Mulţime X = B n re încă o interpretre remrcbilă: nume e este echipotentă cu mulţime celor 2 n numere nturle A n = {, 1, 2,...,2 n 1}. n Orice număr x A n, re o reprezentre unică sub form x = p 2 p 1 cu p B ş i x pote fi identifict cu punctul ( 1, 2,..., n )dinb n. p=1 Fig. II.5

54 5 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Proprietăţi generle le şirurilor; spţii metrice complete Fie (X, d) un spţiu metric. Am dt definiţi şirurilor convergente de puncte din X (definiţi 2.2). Remintim că un şir {x n } n de puncte din X converge către X dcă lim d(x n,) =. În cest cz se mi spune că termenii n şirului constituie proximţii succesive le lui ; elementulx este prim proximţie, x 1, dou proximţie etc. În generl, se mi spune că este proximt prin x n -uri şi se scrie x n ; erore bsolută făcută în cestă proximre este d(, x n ), n. Definiţi 2.4. Un şir de puncte {x n } n din X se numeşte un şir Cuchy dcă lim d(x m,x n )=, dică pentru orice ε>( )N(ε) nturl cu propriette că dcă m, n N(ε), tunci d(x m,x n ) <ε. (Aşdr, de l un rng m,n încolo orice doi termeni i şirului sunt oricât de propiţi între ei, în sensul distnţei d). În definiţi convergenţei unui şir este explicittă limit şirului, ir în definiţi unui şir Cuchy intervin numi termeni i şirului, deci cest din urmă este o definiţie intrinsecă. Un şir de puncte din X se numeşte mărginit dcă tote punctele şirului sunt conţinute într-o ceeşi bilă deschisă din X. Propriette unui şir de fi mărginit (convergent su Cuchy) nu se modifică dăugând su renunţând l un număr finit de termeni i şirului. Remintim că defini un subşir l unui şir {x n } n din X revine l fix un şir strict crescător de numere nturle k <k 1 <k 2 <...şi consider ş i r u l {y n } n,undey n = x kn,( )n. Aşdr, se fce o selecţie ordontă termenilor şirului iniţil; desigur, k n n, ( )n. Teorem cre urmeză concentreză câtev proprietăţi le şirurilor, vlbile în orice spţiu metric fixt. În diverse czuri prticulre, pr specte specifice; de exemplu în R, şirurile de numere rele u proprietăţi specifice legte de monotonie, de produse etc., cre nu u loc pentru şiruri din R n, n 2. Teorem 2.4. Fie (X, d) un spţiu metric fixt. () Orice şir convergent de puncte din X este şir Cuchy; (b) Orice şir Cuchy din X este mărginit; (c) Dcă x n î n X, tunci orice subşir l şirului {x n } n converge către. Demonstrţie. () Fie x n ; rătăm că şirul {x n } n este Cuchy şi pentru cest fixăm ( )ε >. Atunci există un rng N(ε) stfel încât d(x n,) < ε pentru orice n N(ε). Aşdr, pentru orice m, n N vem 2 d(x m,) < ε 2,d(x n,) < ε 2 şi folosind D 3 ş i D 2 rezultă d(x m,x n ) d(x m,)+d(x n,) < ε 2 + ε 2 = ε. (b) Fie {x n } n un şir Cuchy; pentru ε = 1 există tunci un număr nturl P stfel încât d(x m,x n ) < 1 pentru orice m, n P. Aşdr, luând n = P,rezultăcăd(x m,x P ) < 1, dică x m B(x P, 1), ( )m P. Notând r = mx{1, d(x,x P ), d(x 1,x P ),...,d(x P 1,x P )}, rezultă tunci că x m B(x P,r), ( )m, deci toţi termenii şirului {x n } n prţin unei celeişi bile, dică şirul respectiv este mărginit. (c) Fie ( )ε > fixt; tunci există N = N(ε) stfel c d(x n,) <ε,pentru orice n N. Cum k n n, rezultăd(x kn,) <pentru orice n N, deci î n X x kn pentru n. Aşdr, în orice spţiu metric, un şir convergent este şir Cuchy; reciproc este flsă. De exemplu, fie X = Q cu distnţ euclidină d(x, y) = x y, ( )x, y Q şi considerăm şirul {x n } n l trunchierilor numărului irţionl î n R 2. Deorece xn 2, rezultă că şirul {x n } n este Cuchy în R (conform teoremei 2.4. ()), deci şi în Q (deorece toţi termenii sunt numere rţionle).

55 2.2. TEORIA GENERALĂ A APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE 51 Dcă şirul {x n } n r fi convergent în Q, r exist β Q stfel încât î n Q î n R x n β, decix n β. Din unicitte limitei unui şir convergent, rezultă β = 2, cee ce este bsurd deorece β este rţionl, ir 2 este irţionl. Aşdr, în spţiul metric Q m dt un exemplu de şir Cuchy cre nu este convergent. Este util de introdus o clsă extrem de importntă de spţii metrice prin definiţi cre urmeză. Definiţi 2.5. Un spţiu metric se numeşte complet dcă orice şir Cuchy din cest spţiu este convergent. Cu lte cuvinte, într-un spţiu metric complet, conceptele de şir Cuchy şi cel de şir convergent coincid, deci pentru testre convergenţei unui şir este suficient de verifict condiţi intrinsecă de fi şir Cuchy. Evident, R (cu distnţ euclidină) este spţiu metric complet, conform teoremei 1.6. Se mi spune că spţiile metrice complete sunt cele în cre re loc criteriul generl l lui Cuchy. Lemă. Fie X = R p, p 1 cu distnţ euclidină (definită în teorem 2.2.). Un şir {x n } n, x n =(x 1 n,x 2 n,...,x p n) de puncte din R p este mărginit (respectiv Cuchy, convergent) dcă şi numi dcă cele p şiruri componente {x 1 n} n, {x 2 n} n,...,{x p n} n u simultn cestă propriette, c şiruri î n R. Demonstrţie. Mi întâi să observăm că pentru orice două puncte x =(x 1,x 2,...,x p ), y =(y 1,y 2,...,y p )dinr p, u loc ineglităţile x k y k d(x, y) şi x k x, 1 l p; (14) d(x, y) k=1 p x k y k ş i x k=1 p x k, (15) ( p ) 1 2 unde d(x, y) = (x k y k ) 2 este distnţ euclidină între x şi y, ir x =d(x, ) = ( p k=1 x 2 k ) 1 2 k=1 este norm euclidină lui x î n R p. Dcă şirul {x n } n este mărginit, tunci ( )M > stfel încât x n M, ( )n, deci x k n x n M, dică şirul {x n } n este mărginit pentru orice k, 1 k p. Apoi, dcă şirurile {x k n} n sunt mărginite în R, tunci p p există M k stfel c ( )n, deci conform (15), x n x k n şi c tre, x n B(,M), n undem = k=1 k=1 M k p M k,decişirul{x n } n este mărginit în R p. Afirmţi reltiv l şiruri Cuchy rezultă direct din definiţi şirului Cuchy şi din ineglităţile x k m x k n d(x m,x n ) k=1 p x k m x k n, m, n, 1 k p k=1 ir firmţi reltiv l convergenţă, rezultă din ineglităţile x k n k d(x n,) p x k n k, unde =( 1, 2,..., p ), n, 1 k p. Tote ceste ineglităţi decurg din (14) şi (15). Reţinem din cestă lemă că limit unui şir convergent din R n se clculeză pe componente şi în generl, studiul şirurilor de puncte din R n (n 1 k=1

56 52 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ fixt) {( se reduce )} l studiul n şiruri de numere rele. De exemplu, şirul n 1 n, n, 3 n de puncte din R 3 converge către punctul (1,, ); şirul {( n 1 ( 1) n, n +1 )} este mărginit în R 2, fără fi convergent. Desigur, în R n, n +2 n 2 nu se pot defini convenbil şiruri monotone de puncte, c în czul dreptei rele. Teorem 2.5. Spţiul metric R p, p 1 este complet Demonstrţie. Fie{x n } n un şir Cuchy de puncte din R p ; tunci conform lemei nteriore, cele p şiruri componente sunt şiruri Cuchy în R, decielesunt convergente în R (conform teoremei 1.6) şi plicând din nou lem, rezultă că ş i r u l {x n } n este convergent în R p. Considerăm cum spţiul metric X = C (plnul complex), cu distnţ euclidină d(z 1,z 2 )= z 1 z 2,( )z 1,z 2 C. Fie {z n } n, z n = x n + iy n un şir de numere complexe; tunci şirul {z n } n este mărginit (respectiv Cuchy, convergent) dcă şi numi dcă şirurile de numere rele {x n } n, {y n } n u î n C simultn ceeşi propriette. Dcă z n z, z c î n C z, se rtă imedit că z n + z n î n C z + z, z n z n î n C zz 1 î n C ir dcă toţi z n şiz, tunci 1 z n z. Deorece nu se consideră ineglităţi între numere complexe, nu există un concept de şir monoton în C. Teorem 2.6. Spţiul metric C este complet. Demonstrţie. Fiez n = x n +iy n, n un şir Cuchy de numere complexe; deorece x m x n z m z n ş i y m y n z m z n,( )m, n, rezultă că şirurile {x n } n, {y n } n sunt şiruri Cuchy în R şi c tre ele sunt convergente în R, x n, y n b. Considerând numărul complex c = + ib, î n R î n R rezultă z n c = (x n + iy n ) ( + ib) = (x n ) 2 +(y n b) 2 x n + y n b ş i p e n t r u n,vrezultcăd(z n,c), deci şirul {z n } n este convergent. Desigur, teorem 2.6 se pote deduce şi din teorem 2.5 pentru p = 2, deorece spţiile metrice C ş i R 2 coincid c mulţimi de puncte, ir distnţele euclidiene sunt celeşi în mândouă; într-devăr, dcă z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2, tunci d C (z 1,z 2 )= z 1 z 2 = (x 1 x 2 )+i(y 1 y 2 ) = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 şi cest din urmă este distnţ dintre punctele (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 )dinr 2. Teorem 2.7. Pentru orice mulţime A, spţiul metric M A este complet (reltiv l distnţ uniformă d). Fie {f n } n un şir Cuchy de elemente din M A, deci un şir de funcţii mărginite f n : A R, stfel încât d(f m,f n ) pentrum, n. Deorece f m (x) f n (x) d(f m,f n ) pentru orice x A, rezultă că oricre r fi x A, şirul de numere rele {f n (x)} n este şir Cuchy. Conform teoremei 1.6 cest şir v converge către un număr rel bine determint depinzând de x, pe cre îl notăm cu g(x). În cest mod, este definită o funcţie g : A R. î n M Vom răt că g este funcţie mărginită, dică g M A ş i c ă f A n g pentru n.fie( )ε > fixt. Deorece {f n } n este şir Cuchy, rezultă că există un număr nturl N(ε) stfel încât ( )n N, ( )p 1săvemd(f n+p,f n ) < ε 2 ; în prticulr, pentru n = N, d(f N+p,f N ) < ε 2, dică f N+p(x) f N (x) < ε 2 pentru orice p 1 şi pentru orice x A. Făcând p şi ţinând cont că lim f n(x) =g(x), rezultă g(x) f N (x) ε n 2,deci g(x) ε 2 + f N (x), ( )x A. Cumf N este funcţie mărginită, rezultă de ici că g este de semene funcţie mărginită.

57 2.2. TEORIA GENERALĂ A APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE 53 În sfârşit, din relţi d(f n+p,f n ) < ε, ( )n N, ( )p 1, rezultă 2 f n+p (x) f n (x) < ε pentru orice x A. Făcând ici p,rezultăcă 2 pentru orice x A şi orice n N. Atunci d(f n,g)= g(x) f n (x) ε 2 sup g(x) f n (x) ε α A 2 < ε pentru orice n N, dică f n î n M A g. Am demonstrt stfel că şirul {f n } n din M A, presupus Cuchy, este convergent şi spţiul M A rezultă complet. Am dt mi sus câtev exemple de spţii metrice complete (R p,p 1; C, M A ); cee ce rtă consistenţ noţiunii. Remrcăm de semene că pentru orice, b R, intervlele (,],[, b], [, ) sunt spţii metrice complete. De exemplu, fie X =(,]şi{x n } n un şir Cuchy de puncte în X; privind cest î n R ş i r î n R, el este de semene Cuchy şi c tre rezultă convergent, x n l. Deorece x n, rezultăl, dică l X şi c tre, x n î n X l deci {x n } n este şir convergent în X. Demonstrţi este similră în czul intervlelor [, b], [, ). Se pote observ totodtă că intervlele deschise su semideschise sunt spţii metrice necomplete Principiul contrcţiei; metod proximţiilor succesive Teorem cre urmeză (numită şi principiul contrcţiei) stă l bz obţinerii multor ltor teoreme de existenţă şi unicitte din Anliz mtemtică (de exemplu, teorem funcţiilor implicite, existenţ şi unicitte soluţiei problemei Cuchy pentru ecuţii şi sisteme diferenţile, existenţ şi unicitte soluţiei unor ecuţii integrle etc.). Principiul contrcţiei este o bstrgere metodei proximţiilor succesive, dtortă lui E. PICARD ( ); în form prezenttă mi jos, el fost formult de mtemticinul polonez ST. BANACH ( ), unul din cretorii nlizei moderne. Mi întâi este necesră o definiţie. Definiţi 2.6. Fie (X, d) un spţiu metric. Se numeşte contrcţie lui X orice plicţie ϕ : X X luix în el însuşi, cu propriette că există un număr rel C (numit coeficient de contrcţie) stfel încât C<1 ş i s ă fie îndeplinită următore condiţie: d(ϕ(x),ϕ(y)) C d(x, y), pentru orice x, y X. (16) Exemplu. Aplicţi ϕ : R R, ϕ(x) =Cx, C<1 este o contrcţie dreptei rele, de coeficient C, deorece ϕ(x) ϕ(y) = Cx Cy = C x y, ( )x, y R. Teorem 2.8. (principiul contrcţiei): Fie (X, d) un spţiu metric complet. Pentru orice contrcţie ϕ : X X există şi este unic un punct ξ X stfel încât ϕ(ξ) =ξ. Demonstrţie. Unicitte unui stfel de punct este imedită: dcă r mi exist ξ X stfel încât ϕ(ξ ) = ξ, tunci rezultă cf. (16), d(ξ,ξ ) = d(ϕ(ξ),ϕ(ξ )) C d(ξ,ξ ); şdr, d(ξ,ξ )(1 C) şicumc<1, rezultă d(ξ,ξ ), deci d(ξ,ξ ) =, dică ξ = ξ, conform D 1. Pentru demonstrre existenţei unui punct x X stfel încât ϕ(ξ) = ξ, fixăm un punct x X ş i d e fi n i m s u c c e s i v x 1 = ϕ(x ), x 2 = ϕ(x 1 ),...,x n = ϕ(x n 1 ), ( )n 1. Vom prob mi întâi că şirul {x n } n stfel definit este un şir Cuchy în X. Notăm δ =d(x,x 1 ) şi observăm că d(x 1,x 2 )= d(ϕ(x ),ϕ(x 1 )) C d(x,x 1 ) = C δ, d(x 2,x 3 ) = d(ϕ(x 1 ),ϕ(x 2 )) C d(x 1,x 2 ) C 2 δ; se verifică prin inducţie că în generl, d(x n,x n+1 ) C n δ, ( )n. Atunci, pentru orice n, p 1, vem d(x n,x n+p ) d(x n,x n+1 )+ d(x n+1,x n+2 )+... +d(x n+p+1,x n+p ) C n δ + C n+1 δ C n+p 1 δ =

58 54 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ C n δ 1 Cp ; Am demonstrt stfel ineglitte 1 C d(x n,x n+p ) δ 1 C Cn, ( )n, ( )p 1. (17) Fig. II.6 Dcă δ =, tunci x 1 = x,deciϕ(x )=x şi teorem este probtă luând ξ = x ;putempresupuneδ. Din condiţi C<1, rezultă că C n pentru n şi c tre, pentru orice ε>, există un rng N(ε) stfel încât ( )n N(ε), să vem C n ε (1 C) <. Atunci din relţi (17) se deduce că δ d(x n,x n+p ) <ε, pentru orice n N(ε) şi oricre r fi p 1. Aşdr, şirul {x n } n este Cuchy, deci este convergent (căci X fost presupus complet). Fie ξ = lim x n X. Din relţi (16) rezultă d(ϕ(x n ),ϕ(ξ)) Cd(x n,ξ) n şi făcând n, se obţine tunci că d(x n,ξ) şideciϕ(x n ) ϕ(ξ), dică x n+1 ϕ(ξ)pentrun. Dr x n+1 ξ (căci ξ = lim x n) şi din unicitte n limitei unui şir convergent, rezultă ϕ(ξ) = ξ. Teorem este demonstrtă. Observţii. 1) Un punct ξ X se numeşte punct fix l unei plicţii ϕ : X X dcă ϕ(ξ) =ξ. Teorem 2.8 se mi enunţă tunci: orice contrcţie unui spţiu metric complet re un punct fix, unic su echivlent, pentru orice contrcţie ϕ unui spţiu metric complex X, ecuţi x = ϕ(x) re soluţie unică, ξ î n X. De cee teorem 2.8 este numită uneori teoremă de punct fix. 2) Trebuie reţinut modul de construcţie l lui ξ; prim proximţie x este lesă rbitrr, ir proximţiile x 1,x 2,... sunt determinte succesiv folosind ϕ; indiferent de legere lui x, şirul de proximţii succesive tinde, se stbilizeză, spre ceeşi limită ξ. În plicre prctică teoremei 2.8 este necesr de evidenţit o pereche (X, ϕ), cre uneori este sugertă de enunţ dr lteori pre c un uxilir eficce în cursul unui rţionment. Din relţi (17), pentru n fixt şi făcând p,rezultă d(x n,ξ) d(x,x 1 ) 1 C Cn. (18) Aşdr, în proximre ξ x n, vem o evlure erorii bsolute. De exemplu, dcă vrem să clculăm ξ cu proximre mi mică decât ε (ε > prescris), este suficient să găsim N minim stfel încât d(x,x 1 ) 1 C CN <εşi v rezult d(x N,ξ) <ε. Exemple. ) Metod clsică proximţiilor succesive (su metod iterţiei). Fie X = R su oricre din intervlele (,], [, b], [, ); fie o ecuţie x = ϕ(x), unde ϕ : X X este o funcţie derivbilă stfel încât C =sup ϕ (x) < 1. Atunci ϕ este o contrcţie, deorece ( )x, y X există x X un punct v situt între x ş i y, stfel încât ϕ(x) ϕ(y) =(x y)ϕ (v), conform formulei lui Lgrnge creşterilor finite; tunci ϕ(x) ϕ(y) = ϕ (v) x y C x y, deciϕ este o contrcţie. În ceste condiţii, ecuţi x = ϕ(x) re soluţie unică ξ X şi pentru determin ce soluţie se plică metod indictă în demonstrţi teoremei 2.8: legem x X rbitrr şi se clculeză x 1 = ϕ(x ); poi din formul (18) se determină n convenbil şi tunci ξ x n. Desigur, formul precisă l modul bsolut, ξ = lim n x n, este mi puţin utiliztă în prctică. Pentru lu un exemplu concret, clculăm cu precizie 1 4 unic rădăcină relă ecuţiei lgebrice x x 1 =. Evident, utilizând şirul lui Rolle rezultă că ecuţi re o singură rădăcină relă, sitută în intervlul X =[, 1]; în plus, ecuţi se scrie echivlent x = ϕ(x), unde ϕ(x) = cest cz, C = sup ϕ (x) = sup x [,1] x [,1] 1 x În 2x (x ) 2 = ; luăm x =, deci

59 2.2. TEORIA GENERALĂ A APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE 55 x 1 = ϕ() = 1 12 şi c tre δ =d(x,x 1 )= 1. Aplicând formul (18) determinăm n minim stfel încât d(x,x 1 ) 12 1 C Cn < 1 4 dică Cn < 1 4, ( ) n < şi se găseşte n = 2, deci ξ ϕ(x )= x 2 = , b) Fie A =[ ij ] 1 i,j n o mtrice pătrtică de ordin n cu coeficienţi reli 1 b 1 stfel încât C = 2 2 b 2 ij < 1, şi B = o mtrice colonă cu. 1 i,j n coeficienţi reli. Ecuţi mtricelă X = AX + B, undex = b n x 1 x 2. x n se pote rezolv plicând principiul contrcţiei ş cum urmeză. Considerăm plicţi ϕ : R n R n, X AX + B (identificând un punct din R n cu o mtrice-colonă) şi rătăm că ϕ este o contrcţie: vem d(ϕ(x),ϕ(y)) = ϕ(x) ϕ(y) = (AX + B) (AY + B) = (A(X Y). z 1 z 2 În generl, dcă Z =., tunci z n AZ = ( 11 z n z n ) 2 +( 21 z ) ( n1 z nn z n ) 2 ( n ) Z 2 +( ) Z ( 2 n nn) Z 2 = Z 2 2 ij = C Z. 1 i,j n Atunci rezultă că d(ϕ(x),ϕ(y) = A (X Y) C X Y = C d(x, Y), deci plicţi ϕ este o contrcţie. Rezultă că ecuţi X = AX + B re o soluţie unică şi cest se pote determin prin metod proximţiilor succesive: se i X =, X 1 = ϕ(x )=B, X 2 = ϕ(x 1 )=AB + B, X 3 = ϕ(x 2 )=AX 2 + B = A 2 B + AB + B etc. Acest clcul se pote prezent fără dificultte sub form unui progrm. Fiind dt un sistem linir PX = Q orecre cu n ecuţii şi n necunoscute, cu coeficienţi reli şi P mtrice nesingulră, cest sistem pote fi dus l form precedentă X = AX+ B, prin trnsformări convenbile; c un exemplu concret, considerăm sistemul 1x 1 + x 2 x 3 = x 1 + 1x 2 2x 3 =4 (19) x 1 + 2x 3 = 2 pe cre îl scriem sub form echivlentă x 1 =, 1x 2 +, 1x 3 x 2 =, 1x 1 +, 2x 2 +, 4 x 3 =, 5x 1, 1 dică X = AX + B, unde X = x, 1, 1 1 x 2, A =, 1, 2, B = x 3, 5, 4, 1.

60 56 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Soluţi ξ cestui sistem pote fi determintă proximtiv considerând plicţi ϕ : R 3 R 3, X AX+B; luând X =, vem X 1 = ϕ(x ),...,X k = ϕ(x k 1 ) şi legând k convenbil, rezultă ξ X k. Desigur, soluţi sistemului (19) pote fi dtă direct, nesofistict; totuşi metod nterioră re o deosebită importnţă principilă Exerciţii 1. Fie (X, d) un spţiu metric şi n puncte x 1,x 2,...,x n din X. Să se rte că d(x 1,x n ) d(x 1,x 2 )+d(x 2,x 3 )+...+d(x n 1,x n ). Să se rte că dcă x 1,x 2,...,x n sunt vectori din R p, p 1, tunci x 1 + x x n x 1 + x x n. { 2. Să se probeze că ( )x R vem n x dcă n este pr x n = x dcă n este impr, n 1 nturl. Este devărtă cestă relţie pentru x C? 3. Fie { n } un şir de numere rele pozitive şi {z n } un şir de numere complexe. î n C ) Dcă z n n, n şi dcă n, să se rte că z n. î n C b) Dcă z n n, n şi dcă n, să se rte că z n. 4. Să se clculeze limitele următorelor şiruri din R 3 : x n = ( n 2n +1, n 2 n 2 +1, 1 ) (, y n = 1 1 n n, 3 n, cos 1 ), n 1 n precum şi limitele următorelor şiruri de numere complexe z n = 1+in2 4+n 2, w n = i n n, z n = α n (α C fixt), w n (1 + i)n =, n 1. (( n 5. Fie x n = 1+ λ ) n, n n, n sin π ), n 1. Să se determine prmetrul n n rel λ stfel încât limit şirului x n să fie l distnţă minimı în R 3 fţă de punctul =(1,e λ,π), Indicţie. Notând l = lim x n,veml =(e λ, 1,π) şi trebuie flt λ stfel n încât expresi d(, l) = (1 e λ ) 2 +(1 e λ ) 2 să fie minimă, cee ce revine l fl minimul funcţiei rele ψ(λ) =e 2λ + e 2λ 2e λ 2e λ. 6. Să se rte că pe mulţime X = (, ), punând d(x,y) = ln x y, ( )x, y X se defineşte o distnţă. Să se de exemplu de un şir convergent şi neconstnt în cest distnţă. 7. Mulţimile R ş i C = R 2 u structuri de corp comuttiv. Este devărt că în R 2, cu dunre pe componente, singur înmulţire posibilă stfel încât R 2 să devin corp comuttiv este ce de numere complexe? O întrebre nturlă este: dcă p 4, există o structură de corp pe mulţime R p (cu dunre pe componente)? Pentru p = 4 s- rătt că există o stfel de structur de corp necomuttiv pe R 4, corpul cuternionilor construit de W. HAMILTON, De curând J. MILNOR (n. 1931) rătt că pentru p 5 răspunsul este negtiv (pentru p = 3 răspunsul este de semene negtiv; încercţi o justificre). 8. Două distnţe d 1, d 2 pe ceeşi mulţime X se numesc echivlente dcă există constnte rele α, β > stfel încât d 1 αd 2 ş i d 2 βd 1. Pentru X = R n şi pentru orice două puncte x =(x 1,...,x n ), y =(y 1,...,y n )dinr n se noteză d(x, y) = n n (x k y k ) 2,δ(x, y) = x k y k, (x, y) = mx x k y k. 1 k n k=1 k=1

61 2.2. TEORIA GENERALĂ A APROXIMAŢIILOR SUCCESIVE 57 Să se rte că d,δ, sunt distnţe echivlente pe R n ş i p e n t r u n =2, 3să se descrie bilele B(,r), r>respective. Indicţie. Se pote răt că δ n d n etc. 9. Considerând mulţime R, pentru orice două frcţii zecimle reduse x = x, x 1 x 2...x n...; y = y, y 1 y 2...y n...,undex =[x], y =[y], sociem numărul nturl p(x, y) =inf{n N x n y n }. Să se rte că ( )x, y, z R vem p(x, z) min(p(x, y),p(y, z)) şi că punând δ(x, y) = 1 p(x,y) se obţine o distnţă pe R, cre nu este echivlentă cu distnţ euclidină d(x, y) = x y, ( )x, y R. 1. Se consideră intervlul A = [ π 2, π ]. Să se determine distnţ dintre 2 funcţiile f : A R, x sin x ş i g : A R, x cos x, c şi distnţ dintre f 1,f 2 : A R definite prin f 1 (x) =x 2 ş i f 2 (x) =2x ) Două spţii metrice (X, d), (Y,δ) senumescizometrice dcă există obijecţief : X Y stfel c d(x, y) =δ(f(x),f(y)), ( )x, y X. Să se rte în cest cz că dcă X şi dcă {x n } n este un şir de puncte în X, vem î n X {x n } {f(x n ) î n Y f()}. b) Fie X f Y obijecţieşi(y,δ) un spţiu metric. Să se rte că punând d(x, y) =δ(f(x),f(y)), ( )x, y X, se defineşte o distnţă pe X. C plicţie, explicitţi distnţ pe mulţime M n (R) mtricilor pătrtice de ordin n cu coeficienţi reli obţinută cu jutorul bijecţiei f : M n (R) R n2, [ ij ] 1 i n ( 11, 12,..., 1n, 21, 22,..., n1, n2,..., nn ). 1 j n 12. Fie D o dreptă fixtă dintr-un pln P ; se consideră plicţi ϕ : P P, cre sociză oricărui punct P, proiecţi ortogonlă lui pe D. Săse determine punctele fixe le cestei plicţii. Este ϕ o contrcţie? 13. Dţi exemplu de contrcţii nebnle le spţiilor R, C, R Fie 2 rel dt. A clcul [ ) revine l rezolv ecuţi x 2 = în mulţime X = 2, su echivlent, ecuţi x = 1 ( x + ). Notând 2 x ϕ(x) = 1 ( x + ), să se rte că ϕ este o contrcţie cu coeficient 1 2 x 2. Clculţi pe cestă cle 1 cu proximţie Fie > rel dt. Să se indice un mod de clcul l lui folosind ecuţi x = 1 (2x + ) 1 3 x 2 în X =[, ) şi similr, clculul lui [, folosind 3 ecuţi x =2x x 2 pe mulţime X = 4, 1 ]. 16. Folosind principiul contrcţiei (eventul şi miniclcultorul), să se rezolve cu proximţie 1 3 ecuţiile x 3 +4x 1 =, 1x 1 = sinx, x = 1 3 (1 e x ), x 5 + x 3 1, 16 =. 17. Să se rte că mulţime R este spţiu metric reltiv l distnţ d(x, y) = x 1+ x y 1+ y, ( )x, y R { x 1 dcă x = cu convenţi 1+ x = 1 dcă x = ş i c ă R este izometric cu segmentul [ 1, ] 1]. Să se rte că bil B(,r), ( <r<1 este tocmi intervlul ( 1 r,. Determinţi bilele B(, 1), B, 3 ), B(, 2) şi rătţi că r 2 vecinătte lui î n R este orice mulţime cre conţine un intervl de form (, ] din R.

62 58 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ 2.3 Serii numerice Convergenţă, divergenţă Există czuri când unui şir infinit { n } n de numere rele i se pote tribui o sumă, stfel încât să fie extinsă noţiune de sumă unui şir finit de numere rele. Teori seriilor precizeză stfel de czuri şi constituie cdrul nturl pentru studiul proximărilor, în conjugre cu tehnicile moderne de clcul. Definiţi 3.1. Pentru orice şir { n } n de numere rele se pote consider un nou şir din R, nume {s n } n, unde s =, s 1 = + 1,...,s n = n etc., numit şirul sumelor prţile socit şirului iniţil. Pereche formtă din şirurile { n } n, {s n } n se numeşte serie de termen generl n ş i s e n o t e z ă n n (su punând simbolic semnul + între termenii şirului { n }). O serie n n se numeşte convergentă (şi sociem notţi C) dcă şirul {s n } n l sumelor prţile este convergent în R. O serie cre nu este convergentă se numeşte divergentă (D). Aşdr, seriile sunt fie convergente, fie divergente. În czul când o serie n este convergentă (şi numi tunci) se defineşte sum seriei c fiind n numărul rel lim s n = lim ( n ). Adeseori cest număr este nott n n cu n su n, cee ce pote cre confuzii. În funcţie de context, o stfel n= n de confuzie dispre pentru că este evidentă distincţi între serie (c pereche de şiruri) şi sum seriei (c număr rel socit seriei în cz de convergenţă). În studiul unei serii, rolul principl este juct de şirul sumelor prţile şi de cee se pote firm că teori seriilor este o combinţie între studiul sumelor finite şi cel l limitelor de şiruri. Este greşită definire seriilor su sumelor de serii c sume infinite, pentru că în R u priori sens exclusiv sume finite de elemente. Seriile u unele proprietăţi distincte de cele le sumelor finite (nu vem comuttivitte, socitivitte, seriile nu pot fi în generl înmulţite etc.). Evident, dcă se renunţă l un număr finit de termeni i unei serii, seri nou obţinută v ve ceeşi ntură c şi seri iniţilă (celşi lucru re loc dcă se dugă un număr finit de termeni). Desigur, în cz de convergenţă, sum se modifică sczând (su dugând) sum finită termenilor l cre se renunţă (respectiv cre se dugă). Se pote firm că problem principlă în studiul unei serii este determinre nturii (C su D) şi în cz de convergenţă, evlure exctă su măcr proximtivă sumei seriei respective. Exemple. ) 1 n 2 n = re termenul generl n = n 2 1 n 2 n = 1 n 1 1 n, n 2 şi sumele ei prţile sunt s = 2, s 1 = 2 + 3,...; Evident, ( 1 s n = n+2 = 1 1 ) ( ) + 3 ( n +1 1 ) =1 1 n +2 n +2 = n +1 n +2 şi c tre, seri iniţilă este C, vând sum lim n s n = 1. b) Fie ρ R un număr rel fixt; seri n ρ n = 1 + ρ + ρ se numeşte seri geometrică de rţie ρ. Sumele prţile socite sunt s = 1,

63 2.3. SERII NUMERICE 59 s 1 =1+ρ,..., s n =1+ρ + ρ ρ n ; se verifică imedit prin inducţie că 1 ρ n+1 dcă ρ 1 s n = 1 ρ n + 1 dcă ρ =1. Deorece lim n ρn = dcă 1 <ρ<1, se observă că limit lim S n există n dcă şi numi dcă 1 <ρ<1; m probt stfel Teorem 3.1. Seri geometrică n ρ n =1+ρ + ρ este convergentă 1 dcă şi numi dcă ρ < 1 şi în cest cz, sum seriei este eglă cu 1 ρ. În mod similr, seri ρ n este C ρ < 1 şi re tunci sum ( R, 1 ρ n dt). În exemplele nteriore m putut decide ntur şi chir sum seriilor considerte, deorece m reuşit să exprimăm convenbil termenul generl l şirului sumelor prţile. O stfel de şnsă nu există decât în puţine czuri şi este necesr dezvoltre unei teorii clittive seriilor, indicând criterii de convergenţă cre ţin cont de form termenului generl l seriilor studite. c) Ită cum se construieşte o serie convergentă, cu sum prescrisă S. Alegem un şir de numere rele {b n } n, b = convergent către S şi considerăm şirul { n } n 1 unde n = b n b n 1. Atunci seri n 1 n este evident C şi re sum S. Un lt exemplu ilustrând definiţiile nteriore este legt de reprezentre q-dică numerelor rele. Teorem 3.2. Fie q 2 un întreg fixt (bză de numerţie). Atunci pentru orice număr rel x există un întreg m ş i u n ş i r u n i c { n } n m de cifre în bz q (dică întregii n u c vlori posibile, 1,...,q 1) stfel încât seri să fie convergentă, cu sum x. n m Demonstrţie. Alegem m întregul cel mi mic stfel încât x<q m+1 ş i definim şirurile {y n } n m, { n } n m punând y m = x q m, m =[y m ]. (2) Dcă n m ş i y n, n =[y n ] u fost definite, punem y n+1 =(y n n )q ş i n+1 =[y n+1 ]. (21) Evident y n şi n pentru orice n m. Prin inducţie după n verificăm că y n <qş i n q 1 pentru orice n m. (22) Într-devăr, pentru n = m vem y m = xq m <q(căci x<q m+1 )şi tunci m =[y m ] q 1. Apoi dcă n> m, y n <qş i n q 1, tunci y n n = y n [y n ] < 1, deci y n+1 =(y n n )q<1 q = q ş i d e c i n+1 =[y n+1 ] q 1. Vom prob cum prin inducţie după n relţi y n+1 q (n+1) = x n k= m k q k, pentru orice n m. (23) Pentru n = m vem de rătt că y m+1 q m 1 = x m q m dică folosind (21), (y m m )q m = x m q m, cee ce este evident, conform (2). Presupunem cum relţi (23) devărtă pentru n şi o probăm pentru n + 1.

64 6 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ (n+2) cf.(21) Dr y n+2 q = (y n+1 n+1 )q (n+1) = y n+1 q (n+1) n+1 q (n+1) = n x k q k n+1 q (n+1), ultim eglitte fiind o consecinţă ipotezei k= m de inducţie. Aşdr y n+2 q (n+2) = x n+1 k= m k q k. Din relţiile (22), (23) rezultă imedit teorem 3.2; nume, observăm că n x k q k cf.(23) = y n+1 q (n+1) cf.(23) (n+1) = y n+1 q q n k= m şi făcând n,rezultăcăx = lim n n k= m k q k, dică x = k= m k q k. Observţie. Czurile cele mi importnte se obţin pentru q = 1 (în cre regăsim scriere zecimlă uzulă numerelor rele, incluzând sensul semntic l cestei; de exemplu numărul rel 27, este sum seriei )şipentruq = 2 (czul scrierii binre su didice numerelor rele; de exemplu, scriere binră lui π =3, este π = dică (π) 2 = 11, 11..., fără nici o periodicitte). În unele situţii se utilizeză bz q = Câtev proprietăţi generle le seriilor de numere rele Teorem 3.3 (criteriul necesr de convergenţă). Fie o serie n n de numere rele; () Dcă seri n n este C, tunci limit lim n n există şi este nulă. Reciproc este flsă. (b) Dcă limit lim n nu există su dcă există şi este nenulă, tunci n seri n este D. n Demonstrţie. () Fie s n = n,deci n = s n s n 1 pentru orice n 1. Conform ipotezei că seri n este C, rezultăcăexistăs = lim s n. n n Atunci lim n = lim s n lim s n 1 = s s =. Reciproc este flsă; de n n n exemplu, pentru seri n ( n +1 n)vem n = n +1 n, s n = n +1 şi deci lim n = ir lim s n =, dică seri este D, deşilimittermenului n n generl este nulă. Similr, seri rmonică 1 n = este D, 3 n 1 deorece şirul s n = este D (conform exemplului cre succede n teorem 1.6). (b) Aplicăm () ţinând cont de echivlenţ logică (p q) ( q p) plictă pentru propoziţiile p = seri n este C şiq = limit lim n n n există şi este nulă. Teorem 3.4. Fie { n } n, {b n } n şiruri de numere rele vând sumele prţile {s n } n şi respectiv {t n } n. Atunci sunt devărte următorele firmţii: () Fie λ un număr rel nenul. Seri λ n re ceeşi ntură cu n ; n n

65 2.3. SERII NUMERICE 61 (b) Dcă seriile n, b n sunt convergente cu sumele s, t respectiv, n n tunci seriile ( n + b n ), n b n ) sunt convergente cu sumele s + t, n n ( respectiv s t. Demonstrţie. () Sumele prţile le seriei n λ n sunt λs n, n şi cest şir re ceeşi ntură cu şirului {s n }. (b) Conform ipotezei, s n s, t n t, decis n ± t n s ± t. Dr s n ± t n este şirul sumelor prţile pentru seri n ( n ± b n ). Trebuie remrct că sum două serii D pote să fie C. Teorem 3.5 (criteriul generl lui Cuchy pentru serii). O serie n n de numere rele este C ( )ε > rel ( )N(ε) nturl stfel încât ( )n N(ε) ş i ( )p 1, să vem n n+p <ε. Demonstrţie. Fie s n = n, n, deci s n+p s n = n n+p. Teorem rezultă tunci din şirul de echivlenţe logice: seri n este C ş i r u l {s n } n este convergent teor.1.6. ş i r u l {s n } n este n Cuchy ( )ε >, ( )N(ε) stfel încât ( )n N(ε) şi( )p 1vem s n+p s n <ε Noţiune de spţiu Bnch; serii de elemente dintr-un spţiu Bnch Definiţi 3.2. Fie E un spţiu vectoril rel fixt; presupunem că oricărui vector x E i se sociză un număr rel bine determint x (numit norm lui x) stfel încât să fie verificte următorele proprietăţi: N 1 ( )x E, x ş i x = x = ; N 2 ( )λ R, N 3 ( )x, y E, ( )x E, λx = λ x ; x + y x + y. În ceste condiţii, plicţi E R, x x se numeşte normă pe E. Orice spţiu vectoril rel E pe cre este fixtă o normă se numeşte spţiu vectoril normt (SVN). Acestă noţiune fost introdusă de către N. WIENER ( ). Evident, R ş i C sunt SVN reltiv l norm definită de funcţi - modul. De semene R n, n 1 este un SVN reltiv l norm euclidină şi M A este un SVN reltiv l norm uniformă ( f =sup f(x), ( )f M A ). Orice SVN E este în mod n A nturl un spţiu metric, definind d(x, y) = x y, ( )x, y E. (24) (24) Verificre xiomelor D 1,D 2,D 3 este imedită. Afirmţi reciprocă este flsă (de exemplu, Q este spţiu metric cu distnţ d(x, y) = x y,( )x, y Q, dr Q nu este SVN nefiind spţiu vectoril rel). În orice SVN se găseşte un punct remrcbil - origine (cee ce nu se întâmplă în orice spţiu metric) şi norm oricărui vector x este tocmi distnţ de l origine l x, nume x = x =d(x, ) = d(,x). Remrcăm de semene că se pote defini noţiune de spţiu vectoril complex prin considerre sclrilor din C şi noţiune de SVN complex. De exemplu, C n (n 1) este SVN complex reltiv l norm z = z z n 2,( )z = (z 1,...,z n ) C n. Definiţi 3.3. Se numeşte spţiu Bnch orice SVN cre este spţiu metric complet (reltiv l distnţ dtă de (24)).

66 62 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Teorem cre urmeză furnizeză exemple de spţii Bnch. Teorem 3.6. R n (n 1), C, şim A (A fiind o mulţime orecre) sunt spţii Bnch. Demonstrţie. R n este SVN reltiv l norm euclidină, x = x 2 1,...,x2 n, ( )x =(x 1,...,x n ) R n şi distnţ indusă conform (24) este tocmi distnţ euclidină. Aplicând teorem 2.5 rezultă că R n este spţiu metric complet reltiv l cestă distnţă, deci este spţiu Bnch. Plnul complex C este SVN reltiv l modulul uzul z, ( )z C şi distnţ indusă este distnţ euclidină, reltiv l cre C este spţiu metric complet (teorem 2.6). Pentru M A se rţioneză similr, plicând teorem 2.7. Fixăm un spţiu Bnch rel E ş i fi e { n } n un şir de elemente din E. Se pote defini şirul sumelor prţile s n = n, n. Seri î n E n se numeşte convergentă cu sum s (s E) dcă s n s, dică n lim s n s =. O serie cre nu este C se numeşte divergentă (D). Tote n proprietăţile stbilite l punctul 2 u loc pentru serii de elemente din E; de exemplu, criteriul generl l lui Cuchy (teorem 3.5) se enunţă stfel: o serie n este C ( )ε > rel ( )N(ε) nturl stfel încât ( )n N(ε) şi n ( )p 1, să vem n n+p <ε, ir demonstrţi este ceeşi, înlocuind modulul prin normă. Dcă E = R (respectiv E = C, E = M A ), se obţin serii de numere rele (respectiv serii de numere complexe, serii de funcţii mărginite A R). Se pote spune că spţiile Bnch constituie cdrul nturl l teoriei seriilor, deorece în stfel de spţii se definesc sume finite, c şi limite de şiruri. O clsă forte importntă de serii o constituie seriile bsolut convergente. Definiţi 3.4. O serie n n de elemente din E se numeşte bsolut convergentă (pe scurt AC) dcă seri de numere rele şi pozitive n n este C. Exemple. 1) Seri ( 1) n n 2 n = este AC (ici E = R) 8 n deorece seri corespunzătore modulelor 1 este C, c serie geometrică 2n n cu rţi 1 2. Dr seri ( 1) n+1 =1 1 n nu este AC. 3 n 1 2) Fie q un număr complex fixt, q < 1. Atunci seri de numere complexe q n este AC, conform teoremei 3.1. n { } sin nx 3) Pentru şirul de funcţii = sup x R sin nx 2 n 2 n,privitecfuncţiir R, vem n sin nx 2 n = 1 2 n, deci seri de funcţii n sin nx 2 n este AC în E = M R. Teorem cre urmeză este forte importntă şi în ciud prenţelor, nu este bnlă. Teorem 3.7. Într-un spţiu Bnch E, orice serie AC de elemente din E este C. Demonstrţie. Fie n, n E oserieac,deciserinumerică n n n este C. Fie( )ε > fixt; plicând teorem 3.5, rezultă că există N(ε) nturl stfel încât ( )n N, ( )p 1, n n+p ε. Dr tunci rezultă n n+p ε, ( )n N(ε), ( )p 1; notând s n =

67 2.3. SERII NUMERICE 63 n, n, rezultă mi deprte că s n+p s n <ε. Aşdr, şirul {s n } n este Cuchy în E ş i c u m E este spţiu Bnch, rezultă că {s n } n este şir convergent în E, dică seri n n este C. Vom vede puţin mi târziu că există serii convergente, dr nu AC (de exemplu, ,cserieîn E = R) Serii de numere rele şi pozitive Ne situăm în czul cel mi importnt, czul dreptei rele E = R. L proprietăţile generle dte nterior, se dugă unele noi, conform disponibilităţilor mulţimii R; în primul rând, se pot formul teste de convergenţă, criterii suficiente pentru decide ntur seriilor de numere rele. Teorem 3.8. O serie n n de numere rele şi pozitive este C dcă şi numi dcă şirul {s n } n l sumelor ei prţile este mărginit. Demonstrţie. Dc seri n n este C, tunci şirul {s n } n este convergent, deci mărginit; reciproc, dcă şirul {s n } n este mărginit, tunci el fiind monoton crescător (căci s n+1 s n = n+1, ( )n ), rezultă conform teoremei 1.7 că şirul {s n } n este convergent, deci seri n n este C. Teorem 3.9 (criteriul de comprţie cu ineglităţi). Fie u n, v n n n două serii de numere rele pozitive şi presupunem că există un rng N stfel încât u n v n pentru orice n N. () Dcă seri v n C, tunci seri u n C; n n (b) Dcă seri u n D, tunci seri v n D. n n Demonstrţie. Deorece renunţre l un număr finit de termeni dintro serie nu modifică ntur cestei, eliminând primii N termeni din mbele serii în discuţie, se pote presupune că u n v n pentru orice n. Fie s n = u + u u n, t n = v + v v n,decis n t n pentru orice n. () Dcă seri v n este C, tunci şirul {t n } este mărginit şi cum n s n t n,( )n, rezultă că şirul {s n } este mărginit. Aplicând teorem 3.8, rezultă că seri n u n este C. (b) Rezultă din () folosind echivlenţ logică (p q) ( q p). Corolr. Fie E un spţiu Bnch şi {x n } n un şir de elemente din E, cu propriette că există un şir de numere rele pozitive { n } n stfel încât x n n, ( )n ir seri numerică n să fie C. Atunci seri x n n n este AC ş i C î n E. Demonstrţie. Deorece seri n n este C, rezultă conform teoremei 3.9, () că seri x n este C, deci seri x n este AC şi c tre, cestă n n serie este şi convergentă. Corolrul precedent se mi enunţă: o serie de elemente x n din E domi- n ntă de o serie n n numerică C, esteac.

68 64 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Teorem 3.1 (criteriul de comprţie l limită). Fie u n, v n două n n u n serii de numere rele pozitive stfel încât limit l =lim să existe şi să fie n v n finită nenulă. Atunci seriile u n, v n u ceeşi ntură. n n Demonstrţie. Aşdr l>. Deorece u n v n l, există un rng N stfel încât u n l v n l 2, dică l 2 < u n < 3l, pentru orice n N. (25) v n 2 Presupunem seri v n C,deciseri 3l 2 v n este C; din ineglitte u n < n n 3l 2 v n,( )n N (conform (25)), prin utilizre teoremei 3.9 (), rezultă că seri u n C, tunci v n < 2 l u n,( )n N şi plicând u n este C. Similr, dcă n n din nou criteriul de comprţie cu ineglităţi, rezultă că seri v n este C. n Aşdr, seriile n u n, n v n sunt simultn C (deci sunt şi simultn D). Exemple. Seri numerică 1 2 n +3 n este C, deorece 1 2 n +3 n < 1 2 n, n ( )n şi plicăm teorem 3.9, (). Seri 3n +1 n 2 este D căci re ceeşi +4 n ntură cu seri 1 n, deorece notând u 3n +1 n = n 2 +4, v n = 1 u n,vem lim = n n v n n 3 şi plicăm criteriul de comprţie l limită. Acelşi criteriu se plică pentru seri n2 +1 7n +4 sin n, cre v ve ceeşi ntură cu seri sin n, deci n n D (căci termenul generl nu tinde către zero) Serii de numere complexe Presupunem E = C. Cele spuse mi jos pentru serii de numere complexe vor fi desigur vlbile şi pentru serii de numere rele. Deltfel, direct din definiţii, rezultă că o serie z n, z n = x n + iy n de numere complexe este convergentă n dcă şi numi dcă seriile de numere rele x n, y n sunt convergente şi n n în cest cz, z n = x n + i y n. n n n Teorem 3.11 (criteriul rportului, l lui J. d ALEMBERT, ). Fie z n o serie de numere complexe nenule, stfel încât să existe n l = lim z n+1 n z n. () Dcă l<1, tunci seri n z n este AC (deci C); (b) Dcă l>1, tunci seri n z n este D. Demonstrţie. () Fie l < 1; legem ε> rel stfel încât l + ε< 1. Cum z n+1 z n l, există un rng N stfel încât l ε< z n+1 z n <l+ ε pentru

69 2.3. SERII NUMERICE 65 n N; în prticulr z n+1 < (l + ε) z n,( )n N. Renunţând l primii N termeni i seriei (cee ce nu modifică ntur cestei), putem presupune că z n+1 < (l + ε) z n,( )n. În prticulr, făcând n =, n =1etc. rezultă că z 1 (l + ε) z, z 2 (l + ε) z 1 (l + ε) 2 z ş i p r i n i n d u c ţ i e, c ă z n (l + ε) n z,( )n. Dr seri n (l + ε) n z este o serie geometrică de numere rele pozitive, cu rţi ρ = l + ε<1, deci este convergentă; tunci seri z n rezultă C, dică seri z n este AC. n n (b) Presupunem că l>1şi legem ε 1 > stfel încât l ε 1 > 1. De l rng încolo vem z n+1 z n >l ε 1,deci z n+1 > (l ε 1 ) z n şi rţionând c mi sus, rezultă z n > (l ε 1 ) n z.cum lim (l ε 1) n z = rezultă că lim z n n n nu pote fi eglă cu zero, deci seri z n D (conform teoremei 3.3, (b)). n Teorem 3.12 (criteriul rădăcinii l lui Cuchy). Fie n z n o serie de n numere complexe, stfel încât să existe l = lim zn. n () Dcă l<1, tunci seri z n este AC (deci C); n (b) Dcă l>1, tunci seri n z n este D. Demonstrţie. () Fie l < 1 şi fixăm ρ stfel încât l < ρ < 1. Cum n zn l, existăn stfel încât ( )n N, săvem n z n <ρ,deci z n <ρ n. Utilizând criteriul de comprţie cu ineglităţi, rezultă că seri n z n este AC. (b) Dcă l>1şi fixăm r stfel încât l>r>1, rezultă, de l un rng încolo, că z n >r n ; dr r n şi tunci z n nu tinde către şi c tre, seri z n este D. n Dcă l = 1 în teorem 3.11 (su 3.12), nu se pote trge nici o concluzie supr nturii seriei. Teorem 3.13 (criteriul lui N. ABEL, ). Fie n z n o serie de numere complexe vând şirul sumelor prţile mărginit. Atunci pentru orice ş i r {α n } n de numere rele, monoton descrescător şi convergent către (se mi scrie α n ), seri n α n z n este C. Demonstrţie. Notăm S n = z + z z n ; conform ipotezei, există M > stfel c S n M, ( )n. Avem α n+1 z n+1 + α n+2 z n α n+p z n+p = α n+1 (S n+1 S n )+α n+2 (S n+2 S n+1 ) α n+p (S n+p S n+p 1 ) = α n+1 S n +(α n+1 α n+2 )S n (α n+p 1 α n+p )S n+p 1 + α n+p S n+p M( α n+1 + α n+1 α n α n+p+1 α n+p + α n+p ). Deorece {α n } n este un şir monoton descrescător de numere rele pozitive, α k α k+1, k, şi rezultă că α n+1 z n α n+p z n+p M(α n+1 + α n+1 α n α n+p 1 α n+p + α n+p )=2Mα n+1. Fie ( )ε > fixt. Deorece α n+1, există un rng N(ε) stfel încât α n+1 < ε 2M,( )n N(ε), deci α n+1z n α n+p z n+p <εpentru orice n N(ε) şi( )p 1. Conform criteriului generl l lui Cuchy pentru serii, rezultă că seri α n z n este C. n Corolr (criteriul lui G. LEIBNIZ, , pentru serii lternte). Fie α n un şir monoton descrescător de numere rele şi pozitive, convergent către zero. Atunci seri lterntă α α 1 + α 2 α este C.

70 66 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Demonstrţie. Considerăm seri n z n,undez n =( 1) n, le cărei sume prţile sunt şi 1, deci sunt mărginite de 1. Aplicând criteriul lui Abel (teorem 3.13), rezultă că seri n ( 1) n α n este C. Exemple. Conform cestui corolr, rezultă că seri rmonică lterntă este C (fără fi AC). Similr, seri este C (dr este şi AC). Definiţi 3.5. Dcă u = {u n } n, v = {v n } n sunt două şiruri de numere rele (su complexe), se numeşte convoluţie lui u ş i v ş i r u l w = {w k } k,undew k = u i v j = u v k + u 1 v k u k v (se mi noteză i,j i+j=k w = u v). Dcă u n, v n sunt două serii de numere complexe, se n n numeşte serie-produs lor seri w k = u v +(u v 1 + u 1 v )+(u v 2 + u 1 v 1 + u 2 v )+... k În generl seri-produs două serii C nu este C. Vom prob totuşi: Teorem Dcă seriile u n, v n de numere complexe sunt AC, n n vând sumele respectiv s, t, tunci seri-produs lor w k este AC, vând k sum st. Demonstrţie. Fie ( )N nturl fixt. Notăm P = i,j N i+j>n u i v j. În generl, dcă i + j>n, tunci cel puţin unul din numerele i, j este > N 2 ; plicând cestă observţie, vem P n N u i v j + u i v j u i v j + N 2 <i N j= i= N 2 <j N i> N j 2 + v j u i = s v j + t u i. j> N 2 i j> N 2 Făcând N, rezultă de-ici că P. Pe de ltă prte, pentru orice N vem N N N w k u i v j k= i= j= = u i v j i+j>n i,j N i> N 2 i+j>n i,j N u i v j = P ş i lim N k= ( N w k = lim N N i= u i ) lim N v j N j= = st. i,j i+j=k Deci seri w k este C, vând sum st. Mi mult, cestă serie este chir k AC; într-devăr, notăm α k = u i v j,deciα k. Din demonstrţi nterioră pentru seriile u n, v n,rezultăcăseri α k este convergentă n n k şi deorece w k α k,( )k, deducem că seri este C.

71 2.3. SERII NUMERICE 67 Exemplu. Seri n x n =1+x + x x n +...este AC pentru x < 1 1 şi re sum 1 x ; tunci 1 (1 x) 2 =1+2x +3x nx n Seriile AC u şi lte proprietăţi cre le propie de sumele finite (comuttivitte, socitivitte etc) Exerciţii 1. Să se rte că seriile n 1 ln n +2 n, ( 5 n +1 5 n), 3 n n n 1 n 1 sunt D. 2. Să se de exemple de o serie n 1 n de numere rele cre este D, dr 2 n este C ş i d e o s e r i e b n î n R cre este C, dr n 1 n 1 n 1 Indicţie. n = 1 n, b n =( 1) n 1. n 3. Se cere ntur seriilor n 1 1 9n2 + n, n = n 2 n +3 n, >. b 2 n este D. n,unde n =5 4n 2 +3, n = n! n n, n = n 4n Se cere ntur seriei (discuţie dup R) şisumseriei n 1 pentru = Să se fle sum seriilor 1 n 2 2n, 4n 3 n 3 4n, ( ) n 1, ( ) n 1 n. 2 3 n 3 n 3 n n 1 6. Să se indice primele 1 cifre le scrierii binre numerelor π ş i e. b) Să se scrie în bz 8 numerele 1, 1 şi 42, 237 (primele 1 cifre). π ( 1) n 7. Fie n =, b n +( 1) n n = ( 1)n n, n 2. Să se rte că lim = 1, n n b n totuşi seriile n, b n nu u ceeşi ntură. Cum se explică? n 2 n 2 Indicţie. Seri b n este C. Seri n este D, deorece seri n 2 n 2 (b n n )ested. Cele două serii nu u toţi termenii pozitivi. n Fie n =, n 2. Să se rte că n +( 1) n n >, lim n =şi n totuşi seri este D. Este contrzis criteriul lui Leibniz? 9. Fie ( { n } n 1 ) un şir de numere rele strict pozitive stfel încât să existe lim n n 1 = l. Dcă l>1 să se rte că seri n este C, ir dcă n n+1 n 1 l<1, tunci seri n 1 n este D (criteriul Rbe-Duhmel). Studiţi ntur seriei (2n 1) (2n) n 1 ( ) n 1 m 1. Fie mn = 1 m +1 m +1 m +2 rte că ( ) mn ( mn ). m n n m Indicţie. Pentru orice m 1 fixt vem n 1 ( ) 2 m +1, m, n 1. Să se m +2 mn = m m +1 m +1 m +2 deci

72 68 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ ( ) mn = ( m m +1 m +1 ) = 1. Pe de ltă prte, pentru m +2 2 m n m 1 orice n 1 fixt, notând b m = m ( ) n m,vem m +1 mn = (b m m +1 m 1 m 1 b m+1 )=b 1 = 1 2 n+1,deci mn = 1. În generl, pentru un şir 2 n 1 m 1 dublu finit de numere rele su complexe { mn } m,n vem ( ) mn = ( m n mn ), dr cestă regul de intervertire ordinii de însumre nu se n m extinde fără precuţii l serii duble. Se pote răt că regul re loc pentru serii duble bsolut convergente. 11. ) Să se determine vectorii x, y din R 2 cu propriette că x + y = x + y ; b) Fie A = [, 1] şi E = M A ; să se indice o pereche de funcţii nenule f,g E stfel încât f + g = f + g. 12. FieE spţiul vectoril l funcţiilor continue [, b] R. Să se rte că în E se pot defini două norme punând f = sup f(x) ş i f 1 = f(x) dx, x [,b] ( )f E. Dţi exemplu de o serie f n de elemente din E convergentă n într-un din norme, dr nu şi în celltă. b 2.4 Şiruri şi serii de funcţii rele Derivbilitte, integrbilitte; Clcul de primitive Fixăm un intervl [, b], <bînchis şi mărginit, pe drept relă. Remintim că o funcţie relă f :[, b] R se numeşte continuă într-un punct u [, b] dcă pentru orice şir x n u, x n [, b], n 1şirul{f(x n )} converge către f(u). Funcţi f se numeşte continuă pe intervlul [, b] dcă e este continuă în fiecre punct din [, b]. Funcţiile continue pe [, b] se mi numesc de clsă C şi mulţime lor se noteză C[,b]. Remintim de semene că o funcţie relă f :[, b] R se numeşte derivbilă într-un punct x (, b) dcă limit f(x) f(x ) lim x x x x x x există în R (nottă tunci f (x )şinumităderivt lui f în punctul x ). Funcţi f este derivbilă în punctul (respectiv în b) dcă există f d () (respectiv f s(b)). Se spune că o funcţie f :[, b] R este de clsă C k (1 k ) dcă f este de k ori derivbilă pe [, b] dică în orice punct l intervlului, cu tote derivtele continui; mulţime cestor funcţii se noteză C[,b] k. În multe formulări mtemtice le unor teorii fizice (mecnică, teori circuitelor electrice, teori căldurii, studiul vibrţiilor şi semnlelor, optică, etc) derivtele sunt folosite în mod esenţil, pentru descriere vitezelor de vriţie unor mărimi fizice. Proprietăţi de bză le funcţiilor rele (legte de continuitte şi derivbilitte). 1. Fie f :[, b] R, <b, o funcţie dtă. ) Funcţi f este continuă într-un punct u (, b) dcă şi numi dcă f re limite lterle în u ş i î n p l u s, f(u ) = f(u + ) = f(u).

73 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 69 b) Dcă f este derivbilă într-un punct u (, b), tunci e este continuă în cel punct. 2. Orice funcţie elementră este continuă şi chir indefinit derivbilă pe orice intervl deschis conţinut în domeniul ei de definiţie. 3. Orice funcţie continuă f :[, b] R este mărginită şi îşi tinge mrginile (deci inf x [,b] f(x), sup x [,b] f(x) sunt numere rele şi în plus, ceste coincid cu vlori le funcţiei f pe intervlul [, b]). 4. Fie f :[, b] R o funcţie continuă. ) Dcă f() f(b) <, tunci există un cel puţin un punct ξ (, b) stfel încât f(ξ) = ; b) O dtă cu orice două vlori, funcţi f i tote vlorile intermedire (teorem Bolzono-Drboux vlorilor intermedire: B. BOLZANO, ; G. DARBOUX ). 5. Fie f :[, b] R funcţie continuă şi x (, b) un punct stfel încât f(x ) > (respectiv f(x ) < ). Atunci există o vecinătte lui x pe cre f este pozitivă (respectiv negtivă) (păstrre semnului unei funcţii continue într-o vecinătte). Proprietăţile 3, 4, 5 vor fi demonstrte într-un context mi generl în cpitolul III. 6. Fie f :[, b] R o funcţie continuă pe [, b], derivbilă pe (, b) ş i stfel încât f() =f(b). Atunci există cel puţin un punct ξ (, b) stfel încât f (ξ) = (teorem lui M. ROLLE, ). 7. Fie f :[, b] R o funcţie continuă pe [, b] şi derivbilă pe (, b). Atunci ) există cel puţin un punct ξ (, b) stfel încât f(b) f() =(b )f (ξ); b) f este constntă pe [, b] dcă şi numi dcă derivt f este nulă în fiecre punct din (, b); c) dcă f > (respectiv f < ) în punctele intervlului (, b), tunci f este strict crescătore (respectiv strict descrescătore) pe [, b] (teorem lui J. LAGRANGE, ). În liceu s- definit conceptul de funcţie f :[, b] R integrbilă Riemnn (B. RIEMANN, ) şi s- socit unei stfel de funcţii un număr rel b b bine determint, nott f(x)dx (su f). Mi precis, dcă f este o funcţie mărginită şi dcă : = x <x 1 <...<x i <x i+1 <...<x n = b este o diviziune intervlului [, b], tunci se noteză ş i m i = inf f(x), M i = sup f(x), i n 1 x [x i,x i+1 ] x [x i,x i+1 ] n 1 n 1 s = m i (x i+1 x i ), S = M i (x i+1 x i ). i= Se spune că f este integrbilă Riemnn pe intervlul [, b] dcă sup s = =inf S şi în cest cz, vlore comună este integrl d(x)dx. Se ştie că orice funcţie f :[, b] R cre este continuă su monotonă pe intervlul [, b] este integrbilă Riemnn. Proprietăţi de bză le funcţiilor rele (legte de integrbilitte). 1. Dcă f,g : [, b] R sunt funcţii integrbile Riemnn şi α, β sunt constnte rele, tunci funcţi αf + βg este integrbilă şi în plus i= b b (αf + βg) =α b f + β b g (propriette de LINIARITATE).

74 7 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ 2. Dcă f :[, b] R este integrbilă Riemnn pe [, b] şi dcă <c<b, tunci f este integrbilă Riemnn pe fiecre din intervlele [, c], [c, b] şi în plus b f = c f + b c f (propriette de ADITIVITATE). 3. Dcă f,g :[, b] R sunt funcţii integrbile Riemnn şi dcă f g (dică f(x) g(x), ( )x [, b]), tunci b f b g (propriette de MONOTONIE). 4. Fie f :[, b] R o funcţie continuă. Atunci există un punct ξ (, b) stfel încât b f(x)dx =(b )f(ξ) (propriette de MEDIE). Dcă f ş i b f(x)dx =, tunci rezultă f =. 5. Orice funcţi continuă f :[, b] R re primitivă; nume, definind funcţi F :[, b] R prin F (x) = x f(t)d t, ( )x [, b], (26) funcţi F este derivbilă pe [, b] ş i î n p l u s, F (x) =f(x), ( )x [, b] (teorem lui I. BARROW, ). 6. Dcă f :[, b] R este o funcţie continuă şi dcă Φ este o primitivă lui f (dică Φ este o funcţie derivbilă pe [, b] ş i Φ = f), tunci b f(x)d x =Φ(x) b =Φ(b) Φ(). (27) (formul Leibniz-Newton, după numele celor doi ctitori i edificiului nlizei mtemtice: G.W. LEIBNIZ, ; I. NEWTON, ). Acestă formulă justifică interesul pentru indicre unor metode de clcul l primitivelor. 7. Fie f :[, b] R o funcţie continuă şi ϕ :[α, β] [, b] o funcţie de clsă C 1 stfel încât ϕ(α) =α, ϕ(β) =b. Atunci b f(x)dx = β α f(ϕ(t)) ϕ (t)dt (formul de clcul prin SCHIMBAREA DE VARIABILĂ x = ϕ(t)). 8. Fie f,g :[, b] R două funcţii de clsă C 1. Atunci b b b fg = fg f g (formul de INTEGRARE PRIN PĂRŢI). În cpitolul IV vom d diverse extinderi le conceptului de integrlă simplă. În continure revedem câtev clse de primitive exprimbile prin funcţii elementre. Fie Q(x) = x n + 1 x n n, o funcţie polinomilă cu coeficienţi reli. Conform teoremei fundmentle lgebrei, Q(x) se scrie

75 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 71 (unic, exceptând ordine fctorilor şi constntele multiplictive) c un produs de funcţii polinomile de grdul I su II r s Q(x) = (x x i ) ki [(x α j ) 2 + βj 2 ] lj i=1 cu x 1,...,x r,α 1,...,α s,β 1,...,β s numere rele, β j, ir k 1,...,k r, l 1,...,l s sunt întregi 1 stfel încât k k r +2l l s = n. De exemplu, dcă Q(x) =x 7 +2x 4 + x, tunci [ ( Q(x) =x(x 3 + 1) 2 = x(x + 1) 2 (x 2 x + 1) 2 = x(x + 1) 2 x 1 ) ] Folosind o stfel de descompunere, se pote răt că dcă P este un lt polinom cu coeficienţi rele şi gr P<gr Q, tunci există şi sunt unice numere rele A ij, C ik, D ik stfel încât pentru orice x cu Q(x) să ibă loc relţi următore, numită descompunere funcţiei rţionle P (x) în frcţii simple: Q(x) P (x) Q(x) = A 11 (x x 1 ) k A 1k 1 (x x 1 ) + A 21 (x x 1 ) k A 2k 2 (x x 2 ) A r1 + (x x r ) A rk r kr (x x r ) + C 11 x + D 11 [(x α 1 ) 2 + β ]l1 + C 1l 1 x + D 1l1 C s1 x + D s1 (x α 1 ) 2 + β [(x α s ) 2 + βs] C sl s x + D sls ls [(x α s ) 2 + βs] 2. Coeficienţii A 11,...,D sl i cestei dezvoltări se pot fl, după ducere s l celşi numitor, prin metod coeficienţilor nedeterminţi cre conduce l sisteme linire. Dcă grp grq, se fce împărţire P = Q C +R, grr <grq, deci P Q = C + R Q şi frcţiei rţionle R i se plică procedeul nterior. Q De exemplu, j=1 x 4 +1 x 4 x 3 x +1 =1+ x 3 + x (x 1) 2 (x 2 + x + 1) = =1+ A (x 1) 2 + B x 1 + Cx + D x 2 + x +1 şi se flă fără dificultte coeficienţii A = 2 3, B = 2 3, C = 1, D =. În mod 3 similr, x +1 x 3 + x = A x + Bx + C x 2 +1, x 2 + x +1 x 2 (x 2 + 4) 2 = A x 2 + B x + Cx + D (x 2 + 4) Ex + F x 2 +4, x 2 +7x x 4 1 = A x 1 + B x +1 + Cx + D x 2 +1 etc. Pentru orice frcţie rţionlă P în cre se cunoşte descompunere lui Q î n Q fctori de grdul I su II, primitiv ei se exprimă efectiv prin funcţii elementre; remintim că dx =ln x + + C, x + dx (x + ) 2 = 1 x + + C, dx (x + ) n+1 = + C, n 1, (x + ) n n +1 dx (x + ) 2 + b 2 = 1 b rctg x + + C, b, b P (x) dx =ln P (x) + C. P (x)

76 72 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Remintim form cnonică unui trinom de grdul II: [ ( x 2 + bx + c = x + b ) ] , utilă în clculul integrlelor de form Mx+ N x 2 dx, vi schimbre de + bx + c vribilă x + b 2 = t etc. Printre integrlele reductibile l clculul primitivelor de frcţii rţionle, remrcăm următorele tipuri: ) β α R(e x )dx, under(u) este o funcţie rţionlă; se recomndă schimbre de vribilă e x = t. Exemplu. Clculăm I = b) I = β α e e 2x 1 e 2x +1 dx, făcând schimbre e2x = t; tunci t 1 dt t +12t = 1 e 2 t t(t + 1) dt = 1 e 2 ( t + 2 ) dt = t +1 = 1 2 e 2 [ ln t +2ln t +1 ] 1 =ln(e 2 + 1) ln 2 1. R(x, x 2 + bx + c)dx,,, b, c R, unde R(u, v) este o funcţie rţionlă (cât de polinome în vribilele u, v). Dcă >sere- comndă schimbre x t definită prin x 2 + bx + c = x + t; dcă c >, x 2 + bx + c = c + tx şi în fine, dcă b 2 4c >, se pune x2 + bx + c = t(x x 1 ), x 1 fiind un din rădăcinile trinomului x 2 + bx + c. S- presupus x 2 + bx + c pe intervlul [α, β]. dx Exemplu. Clculăm integrl I = x + ; se recomndă x 2 + x +3 schimbre de vribilă x 2 + x +3 = x + t, x 2 + x +3 = x 2 +2xt + t 2, x = t t,decidx = 2t2 +2t 6 1 2t 2 +2t 6 (1 2t) 2 dt; se obţine I = 3 (1 2t)(t 6) dt. c) β α 2 R(cos x, sin x)dx, under(u, v) este un cât de polinome în u, v. În cest cz se recomndă schimbre tg x = t, cu precuţii în eventulitte că 2 intervlul de integrre cuprinde puncte de discontinuitte le funcţiei x tg x 2. Atunci dx = Exemplu. Clculăm I = = 1 2dt 2t 1 t2,sinx =, cos x = 1+t2 1+t2 1+t 2. π/2 dx 1 2+sinx = dt ( t + 1 ) dt 1+t t 1+t 2 = 1 dt t 2 + t +1 = = 2 rctg 2 ( t + 1 ) 1 = π Cu progrme tip MATLAB, clculul primitivelor devenit bnl.

77 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 73 Integrle improprii În liceu s-u considert numi integrlele b f(x)dx în cre funcţi relă f este presupusă definită şi mărginită pe in intervl închis şi mărginit [, b]. Există situţii în cre se pote extinde conceptul de integrlă pentru funcţii cre nu stisfc condiţiile nteriore, jungându-se l integrle improprii (su generlizte). ). Czul intervlului nemărginit. Fief :[, ) R, R, ofuncţieintegrbilă Riemnn pe orice intervl închis şi mărginit [α, β] conţinut în [, ); de exemplu, f este continuă. Se spune că f este integrbilă impropriu [, ) su echivlent, că integrl improprie dcă limit b lim b f(x)dx există în R f este convergentă (scriind ( nottă tot cu ) f. f(x)dx < Integrlele improprii cre nu sunt convergente se numesc divergente. Evident, integrl improprie stfel încât integrl f este convergentă dcă şi numi dcă există f să fie convergentă. Se pote remrc o nlogie cu czul seriilor, în cre notţi n u n este folosită tât pentru seri n u n, cât şi pentru sum ei (în cz de convergenţă); de semene renunţre l un intervl [, ) nu modifică ntur unei integrle improprii f. Cele mi sus se refc fără dificultte în czul intervlelor de form (,]. Presupunem cum că se consideră o funcţie f : R R integrbilă pe orice intervl [, b] R. Se spune că f este integrbilă pe R =(, ) su că integrl improprie integrlele c numărul rel f = c f ş i f + c c f este convergentă dcă există c R stfel încât f să fie mbele convergente; în cest cz se defineşte f, numit vlore integrlei improprii Convergenţ şi vlore integrlei (presupusă convergentă) f sunt independente de legere lui c; căci dcă c 1 R r fi lt punct, tunci c1 f + c 1 f = c f + c1 Exemple. 1) Integrl improprie 1, dr integrlele e 1 e x dx, 2) Integrl sunt convergente) şi re vlore π 2. 3) Integrl limit lim b b 1 c f + 1 c c 1 f + c f = c f + f. c f. e x dx este convergentă, cu vlore cos xdx sunt divergente. dx x 2 este convergentă (deorece +4 dx x 2 +4, dx x 2 +4 dx (α R constnt) este convergentă dcă şi numi dcă 1 xα x α dx = 1 α 1 lim (1 b b α+1 )existăîn R, dică α>1.

78 74 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Ne menţinem în ipotez că f : R R este integrbilă pe orice intervl [, b] R; sespunecăf este integrbilă în sensul vlorii principle Cuchy dcă există şi este finită limit lim A Dcă integrl improprie şi c tre există şi A A Reciproc nu re loc; de exemplu v.p., nottă v.p. f. f este convergentă, tunci există β lim f = v.p. f. α β,α+β= α 2x A x 2 dx = lim +1 A A 2x x 2 +1 dx = β lim f α β α lim A ln(x1 + 1) A = A 2x şi totuşi integrl improprie x 2 dx este divergentă (deorece +1 2x c x 2 dx este divergentă pentru orice c R). +1 b). Czul funcţiei nemărginite. Fief :[, b) R o funcţie integrbilă pe orice intervl [α, β] [, b), stfel încât limit lim f(x) să fie eglă cu x b x<b su (se mi spune că b este punct singulr l lui f). Se spune că f este integrbilă impropriu pe intervlul [, b) su că integrl improprie convergentă dcă limit ( B ) b f există în R nottă tot cu f. lim B b B<b b f este Similr se trteză czul intervlelor de integrre de form (, b] cu punct 1 dx singulr. De exemplu, integrl x α este convergentă dcă şi numi dcă există în R limit 1 dx lim B B> B x α =lim 1 B 1 α (1 B1 α ), dică α<1. B> Dcă f :[, b] \{c} R, c (, b) este o funcţie integrbilă pe orice intervl [α, β] conţinut în [, c) (c, b], vând c punct singulr, se spune că f este integrbilă impropriu pe [, b] dcă integrlele improprii f, f sunt convergente. b c În celeşi condiţii, se spune că integrl improprie f este convergentă în sensul vlorii principle Cuchy dcă în R există limit ( c ε b ) b f + f, nottă v.p. f. c+ε De exemplu, lim ε ε> v.p. 3 1 lim ε ε> ( dx 2 ε =lim x 2 ε ε> 1 ( 2 2 x 2 ε 1 dx x 2+ε c dx x 2 ) = b +2 x 2 3 )=lim ( 2 ε +4 2 ε)=4. 2+ε ε ε>

79 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 75 Dcă, b sunt puncte singulre pentru o funcţie f :(, b) R integrbilă pe orice subintervl [α, β] (, b), tunci c (, b) stfel încât integrlele b f = c f + b c c f, b c b f (independent de legere lui c). f este convergentă dcă există f să fie convergente; se pune tunci Se întâlnesc uneori integrle improprii mixte, în cre intervlul de integrre dx este nemărginit ir integrntul re singulrităţi. De exemplu, x(1 + x) x 1 2 e x dx etc; în cest cz, integrl se numeşte convergentă dcă, legând un punct c (, ), cele două integrle improprii puse în evidenţă vor fi convergente. În generl, se pote spune că studiul integrlelor improprii se fă l confluenţ studiului integrlelor uzule cu noţiune de limită; se reformuleză fără dificultte proprietăţile de liniritte, monotonie, formul Leibniz-Newton, schimbre de vribilă, integrre prin părţi etc. De exemplu, dcă f :[, b) R este o funcţie continuă şi F o primitivă lui f, tunci integrl improprie convergentă dcă şi numi dcă în R există F (b ) =lim x b cz, b f = F (b ) F (). x<b b f este F (x) şi în cest Ale proprietăţi le integrlelor improprii (teoreme de convergenţă, criteriul comprţiei etc.) vor fi dte în cpitolul IV, în cdrul teoriei generle integrlei. Legătur dintre integrle improprii şi serii este sublinită încă o dtă în cdrul teoremei cre urmeză, cre constituie un nou criteriu de convergenţă seriilor de numere rele şi pozitive. Teorem 4.1. (criteriul integrl).fie f :[1, ) R o funcţie monoton descrescătore şi f. Sunt tunci echivlente firmţiile următore: () seri numerică n 1 f(n) este C; { n b) ş i r u l 1 } f(x)dx c) integrl improprie n 1 1 este convergent; f(x)dx este convergentă. Demonstrţie. Fiev n = f(1)+f(2)+...+f(n), u n = n 1 f(x)dx. Deorece f este monotonă, e este integrbilă Riemnn pe orice intervl [α, β] [1, ). Din propriette de monotonie integrlei rezultă ineglităţile f(2) 2 1 f f(1), f(3) 3 dunând ceste ineglităţi, rezultă relţiile 2 f f(2),...,f(n) Trecem cum l demonstrţi propriu-zisă. n n 1 f f(n 1); v n f(1) u n, ( )n 1; (28) u n v n 1, ( )n 2. (29) b. Dcă seri n 1 f(n) estec, tunci şirul {v n } n 1 l sumelor ei prţile este convergent, deci mărginit. Conform (29), şirul {u n } n 1 rezultă mărginit şi fiind monoton crescător, el v fi convergent.

80 76 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ b. Dcă şirul {u n } n 1 este convergent, tunci el este mărginit şi conform (28) rezultă că şirul {v n } n 1 este mărginit. Fiind crescător (căci f ), rezultă că şirul {v n } n 1 este convergent, deci seri n 1 f(n) estec. c b c. Notăm F (c) = f(x)dx, c 1şil = lim u n. Pentru orice c 1 1 n fixt există n N stfel încât c<n,decif (c) F (n) =u n l; pe de ltă prte, pentru orice ε>, există N stfel încât u N l <ε. Fie cum c n. Atunci de l un rng încolo vem c n N, decif (c n ) F (N) =u N >l ε ş i cum F (c n ) l, rezultăl ε<f(c n ) l. Atunci F (c n ) l <εpentru orice n suficient de mre. Aşdr, F (c n ) l, dică lim F (c) existădeci f = l. c 1 Implicţi c b este evidentă. Corolr. Fie α > un număr rel fixt. Seri rmonică generliztă (numită şi seri lui Riemnn) n 1 1 n α = α α +... este convergentă dcă şi numi dcă α>1. Demonstrţie. Se consideră funcţi descrescătore şi pozitivă Atunci seri 1 n α n 1 convergentă, dică α>1. Exemplu. Seri n 1 f :[1, ) R, f(x) = 1 x α. este C dcă şi numi dcă integrl 1 1 n 2 1 dx este xα este C (luând α = 2); mi generl, dcă P ş i Q P (n) Q(n) este C (N fiind les sunt polinome şi grq grp 2, tunci seri n N stfel încât Q(n) şi P (n) su pentru orice n N). Într-devăr, Q(n) conform teoremei 3.1, cestă serie re ceeşi ntură cu seri v n,unde n N v n = 1 n α ş i α = grq grp. Dr seri v n este C conform corolrului n N nterior Convergenţ uniformă şi convergenţ punctulă şirurilor de funcţii Fie A o mulţime orecre fixtă şi {f n } n un şir de funcţii A R. Fie f : A R o ltă funcţie. Definiţi 4.1. Se spune că şirul {f n } n este punctul convergent pe PC A către f pentru n (şi se scrie f n f ) dcă f n (x ) in R f(x ) pentru orice x A. Aşdr, fiind un şir de funcţii f n : A R, n, limit s punctulă pe A (dcă există!) este funcţi f : A R definită prin f(x) = lim f n(x), n ( )x A. Definiţi 4.2. Un şir {f n } n de funcţii f n : A R se numeşte uniform UC convergent pe A către o funcţie f : A R (şi se scrie f n f ) dcă

81 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 77 este îndeplinită următore condiţie: ( )ε > rel ( )N(ε) nturl stfel încât ( )n N(ε), să vem f n (x) f(x) <ε, pentu orice x A. (3) Teorem 4.2. () Un şir {f n } n de funcţii mărginite A R (dică f n M A, ( )n ) este uniform convergent către o funcţie f M A dcă şi numi dcă lim f n f =. n (b) Orice şir de funcţii A R uniform convergent pe A este punctul convergent pe A; reciproc este flsă. Demonstrţie. () Condiţi (3) se scrie echivlent: ( )ε > rel ( )N(ε) nturl stfel încât ( )n N(ε), sup f n (x) f(x) ε, dică f n f ε, x A dică lim f n f =. n (b) Presupunem că f n UC f pe A, deci re loc condiţi (3). În prticulr pentru orice punct x A, vem următore condiţie îndeplinită: ( )ε >, ( )N(ε) nturl stfel încât f n (x ) f(x ) <ε,deci lim n(x )= n PC f(x ), dică f n f pe A. Luăm A =[, 1] şi f n (x) =x n, n 1. Evident, ( )x A vem { dcă x [, 1) lim n(x) = n 1 dcă x =1, dică f n PC f, undef(x) = { dcă x [, 1) 1 dcă x =1,. Dr mx ( f n f = sup f n (x) f(x) = x [,1) sup f n (x) f(x), f n (1) f(1) x [,1) = sup x n =1, deci x [,1) ) = mx ( lim f n f =1. n Aşdr, şirul f n este PC, dr nu UC pe intervlul [, 1]. UC Reţinem deci că f n f pe A sup x n, x [,1) lim f n f = lim d(f in M n,f)= f n A f; n n ) = cest justifică de ce norm sup din M A este numită şi norm uniformă. Observţie. În czul când A =[, b], < b, se pote d o interpretre geometrică sugestivă convergenţei punctule şi celei uniforme. Fptul că un şir {f n } n converge uniform către f pe [, b] revine l cee că ( )ε >, în tubul delimitt de grficele funcţiilor f ε, f + ε, de l un rng încolo (depinzând PC de ε), se flă tote grficele funcţiilor f n. Fptul că f n f pe A revine l cee că ( )ε >şi( )x A, tote grficele funcţiilor f n de l un rng încolo depinzând de ε ş i d e x, intersecteză porţiune din prlel prin x l x Oy sitută în tubul definit de grficele funcţiilor f ε, f + ε. Teorem 4.3. Fie {f n } n un şir convergent de funcţii continue [, b] R. Atunci limit f = lim f n este o funcţie continuă pe [, b]. În plus, n b lim n f n (x)dx = b f(x)dx, dică b lim n f n = b ( ) lim f n n (31) Fig. II.7

82 78 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ (se mi spune că integrl comută cu limitele uniforme). Demonstrţie. Fie( )u [, b] fixt. Vom răt că funcţi f este continuă î n p u n c t u l u şi pentru cest fie x n u un şir rbitrr de puncte din [, b]; vem de rătt că f(x n ) f(u) şi pentru cest, fixăm ε > rbitrr. UC Deorece f p f pe [, b] pentrup, există un rng N = N(ε) stfel încât ( )p N să vem f p (x) f(x) < ε 3,( )x [, b]; şdr, f N (x n ) f(x n ) < ε 3, f N (u) f(u) < ε 3. În fine, deorece funcţi f N este continuă î n u, rezultăcăf N (x n ) f N (u), deci pentru orice n suficient de mre, vem f N (x n ) f N (u) < ε. Atunci pentru orice n suficient de mre, scriind că 3 f(x n ) f(u) =[f(x n ) f N (x n )] + [f N (x n ) f N (u)] + [f N (u) f(u)], rezultă f(x n ) f(u) f(x n ) f N (x n ) + + f N (x n ) f N (u) + f N (u) f(u) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. În concluzie, lim f(x n)=f(u) şi c tre, funcţi f este continuă în orice n punct u din [, b]. Prte secundă teoremei este imedită; este suficient să observăm că b b b f n (x)dx f(x)dx = [f n (x) f(x)]dx b f n f dx =(b ) f n f ; UC făcând n şi ţinând cont că f n f, deci lim f n f =, rezultă (31), n dică lim n b f n (x)dx = b f(x)dx. Acestă prte teoremei re loc în condiţii mi generle, nume este suficient să presupunem că f n sunt integrbile Riemnn şi că f n f. UC Teorem 4.3 rtă că propriette de continuitte funcţiilor unui şir uniform convergent de funcţii rele [, b] R se trnsferă limitei. Teorem cre urmeză dă un răspuns reltiv l trnsferul proprietăţii de derivbilitte. Teorem 4.4. Fie {f n } n un şir de funcţii din C 1 [,b] ş i f,g funcţii PC mărginite [, b] R. Dcă f n f ş i f n UC g pe [, b], tunci f este ( ) derivbilă pe [, b] ş i f = g (dică lim f n = lim (f n)). n n Demonstrţie. Fiex un punct fixt rbitrr din intervlul [, b]. Conform formulei Leibniz-Newton (27) vem ( )n, ( )x [, b], x x f n(t)dt = f n (t) = f n (x) f n (). PC Făcând n şi ţinând cont că f n f, rezultă Dr f n lim n x f n(t)dt = f(x) f(). UC g şi plicând teorem 4.3, rezultă de ici că ( )x [, b], x g(t)dt = f(x) f(). În plus, cum f n C 1 [,b], rezultă că f n C [,b], deci funcţi g rezultă continuă. C tre, plicând teorem lui Brrow (cf ), rezultă că f este derivbilă şi f (x) =g(x), ( )x [, b].

83 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE Derivre şi integrre termen cu termen seriilor de funcţii rele Definiţi 4.3. Fie A omulţimeorecreşie = M A spţiul vectoril normt l funcţiilor mărginite A R. Fie f n o serie de funcţii din M A n ş i s n (x) =f (x)+g 1 (x)+...+ f n (x), x A, n. Senumeştemulţime de convergenţă cestei serii, mulţime {x A seri numerică n f n (x )estec}. Seri n f n se numeşte punctul convergentă pe A (şi notăm pe scurt PC) dcă şirul de funcţii {s n } n este punctul convergent pe A în sensul definiţiei 4.1, dică mulţime de convergenţă seriei este întreg A. În cest cz, se defineşte sum s(x) = n f n (x), x A seriei, cre v fi o funcţie s : A R. Seri de funcţii n f n (x) se numeşte uniform convergentă UC pe A dcă e este punctul convergentă (cu sum s) şi şirul {s n } n converge uniform către s pe A. Evident, orice serie UC este PC; reciproc nu re loc în generl (de exemplu, seri n 1(x n+1 x n ) este PC dr nu este UC pe intervlul [,1]). O problemă principlă în studiul seriilor de funcţii este următore: ce proprietăţi comune funcţiilor f n (termenii seriei) se trnsferă sumei seriei? Se ştie că o sumă finită de funcţii continue (respectiv derivbile, integrbile Riemnn etc.) păstreză cestă propriette şi vrem să extindem cest lucru l serii; de regulă, condiţi de convergenţă punctulă este insuficientă. Teorem 4.5. (trnsfer de continuitte). Fie n f n o serie uniform convergentă de funcţii continue [, b] R ş i s sum cestei serii. Atunci s este o funcţie continuă pe [, b]. În plus, b s(x)dx = n b f n (x)dx. (32) Demonstrţie. Conform ipotezei, şirul s n l sumelor prţile re propriette că s n s pe [, b] şi plicând teorem 4.3, rezultă că s = lim s n este UC n funcţie continuă. lim n În plus, lim n [ b f (x)dx + b b b s n (x)dx = f 1 (x)dx b b s(x)dx, dică f n (x)dx ] = b s(x)dx, deci seri f n (x)dx este C, cusum s(x)dx, deci tocmi relţi (32). n Relţi (32) se pote scrie echivlent b f n (x) dx = b f n (x)dx n n şi se mi spune tunci că orice serie UC de funcţii continue pe un intervl [, b] pote fi integrtă termen cu termen pe cel intervl. Acest rezultt v fi extins l funcţii integrbile mi generle. b

84 8 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Teorem 4.6. (trnsfer de derivbilitte). Fie n f n o serie de PC de funcţii din C[,b] 1, cu sum s pe un intervl [, b] şi stfel încât seri derivtelor f n să fie UC. Atunci funcţi s este derivbilă pe [, b] ş i î n p l u s, s = n n (dică f n = (f n), deci seri f n pote fi derivtă termen cu n n n termen ). Demonstrţie. Funcţiiles n = f + f f n, n sunt evident de clsă C 1 PC pe [, b] şiîn plus,s n s. Pentru seri f n şirul sumelor prţile v n fi tocmi s n şi prin ipoteză cest şir este uniform convergent către o funcţie g. Aplicând teorem 4.4, rezultă că funcţi s este derivbilă şi s = g, dică s = n f n. f n Fig. II.8 Exemple. 1) Considerăm şirul de funcţii f n :[, 2] R, n 1, vând grficul indict în figur II.8. Evident, deci lim n 2 2 lim f n(x) = ), deci n f n = 2 n f n = 1. Pe de ltă prte, f n (x)dx, pentru orice n 1, 2 ( ) lim f n =. n lim f n = (deorece ( )x [, 2], n UC Aşdr, relţi (31) nu este ici verifictă (motivul este că f n / pe [, 2]). Totodtă, rezultă că seri n 2[f n (x) f n 1 (x)] nu pote fi integrtă termen cu termen pe intervlul [, 2]. 2) Seri n x n =1+x + x pote fi derivtă termen cu termen pe intervlul [,r], <r<1, ş cum rezultă din teorem 4.6. În schimb, seri de funcţii [ ] sin(n + 1)x sin nx n +1 n n 1 nu pote fi derivtă termen cu termen pe intervlul [ π, π]; într-devăr, notând cu f n (x) termenul ei generl, vem s n (x) =f 1 (x)+...+ f n (x) = deci s n UC sin x, deorece sin n (x)+sinx = sin(n + 1)x n +1 = sin(n + 1)x n +1 sin x, 1 n 1 pentru n. Totuşi şirul {s n(x)} n 1 nu converge către cos x, nici măcr punctul, deorece s n() = n Din cele de mi sus, rezultă utilitte unor criterii de convergenţă uniformă seriilor de funcţii; în cest sens dăm Teorem 4.7. (criteriul lui K.WEIERSTRASS, ), de convergenţă uniformă). Fie f n o serie de funcţii A R (A mulţime orecre) şi n n n

85 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 81 o serie C de numere rele pozitive. Dcă f n (x) n pentru orice x A ş i pentru orice n N, N fiind fixt, tunci seri de funcţii n f n este UC pe A. Demonstrţie. Pentru norm uniformă, rezultă ( )n N, f n =sup f n (x) n x A şi conform teoremei 3.9, seri f n v fi convergentă, dică seri f n este n n AC (c serie de elemente din spi ul Bnch M A ). Aplicând teorem 3.7 rezultă că seri f n este convergentă în M A, dică şirul sumelor ei prţile este n convergent în M A ; însă convergenţ în M A revine l convergenţ uniformă pe A (teorem 4.2, ()) deci seri n f n este UC pe A. Exemplu. Seri sin nx n 2 de funţii R R este UC pe R, deorece n 1 sin nx n 2 1 pentru orice x R şi pentru orice n 1. n Formul lui Tylor Vom demonstr cum un din ele cele mi importnte formule din întreg mtemtică, utiliztă în specil în proximre (controlbilă) funcţiilor rele prin polinome. Teorem 4.8. (formul lui B. Tylor, ). Fie I = [α, β] un intervl şi f : I R o funcţie de clsă C(I) n, n 1 fiind fixt. Atunci pentru orice punct fixt (α, β) şi pentru orice x I, relocformul f(x) =f()+ f () 1! (x )+ f () (x ) ! + f n 1 () (n 1)! (x )n 1 + R n 1 (x), (33) unde R n 1 (x) = x f (n) (t) (x t)n 1 dt (34) (n 1)! (Se fc convenţiile:! = 1, f () = f). Demonstrţie. Se procedeză prin inducţie după n. Pentru n = 1 trebuie probt că f(x) =f()+r (x), unde R (x) = x f (t)dt, cee ce rezultă direct din formul Leibniz-Newton (27). Presupunem formul devărtă pentru n şi o probăm pentru n+1. Acest revine l răt că R n 1 (x) = f (n) () (x ) n + R n (x), dică n! x f (n) (t) su echivlent, x (x t)n 1 dt (n 1)! x f (n+1) (t) (x t)n n! dt = f (n) () (x ) n n! (x t) n 1 [nf (n) (t) (x t)f (n+1) (t)]dt = f (n) () (x ) n. (35) n! n!

86 82 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Primul membru l cestei relţii este egl cu 1 n! x d dt [(x t)n f (n) (t)]dt şi plicând din nou (27), cestă integrlă este eglă cu 1 n! [(x t)n f (n) (t)] şi formul (35) este verifictă. t=x i= = 1 n! (x )n f (n) () Observţie. Pentru f,,n fixte se pote defini polinomul Tylor: T (x) = n 1 k= f (k) () (x ) k k! şi tunci formul (33) se mi scrie f(x) =T (x)+r n 1 (x); expresi R n 1 (x) este numită rest integrl de ordin n 1 (socit lui f ş i p u n c t u l u i ). Fptul remrcbil, cre stă l bz formulei (33), este cel că funcţi f şi polinomul T u primele n 1 derivte egle în punctul, dică f() =T (), f () = T (),...,f (n 1) () =T (n 1) () cee ce justifică formul proximtivă f(x) T (x), în cre erore uniformă bsolută este sup f(x) T (x) = R n 1. x I Corolr 1. Pentru orice polinom P cu coeficienţi reli de grd n şi pentru orice R fixt re loc formul P (x) =P ()+ P () 1! (x )+...+ P (n) () (x ) n. n! Demonstrţie. Este suficient să se scrie formul (33), înlocuind n cu n + 1 şi observând că în cest cz restul R n (x) = x P (n+1) (t) (x t)n dt n! este nul, deorece derivt de ordin n+1 unui polinom de grd n este funcţi nulă. În plicţii este utiliztă o expresie mi convenbilă restului; este mi întâi necesră o extindere formulei de medie: Lemă (formul generliztă de medie). Fie ϕ, ψ :[, b] R două funcţii continue, ψ vând semn constnt pe [, b]. Atunci există ξ [, b] stfel încât b ϕ ψ = ϕ(ξ) Demonstrţie. Presupunem mi întâi că ψ (dică ψ(x), ( )x [, b]). Funcţi ϕ este mărginită pe intervlul [, b] şi fie m = inf M = sup x [,b] b ψ. x [,b] ϕ(x), ϕ(x) mrginile lui ϕ. Aşdr, m ϕ M, decimψ ϕψ Mψ şi plicând propriette de monotonie integrlei, rezultă dică mλ b m b ψ b ϕψ M b ϕψ Mλ, unde m nott λ = ψ, b ψ. Considerăm funcţi continuă λϕ, cre re mrginile λm, λm. Vom plic cum proprietăţile 3, 4b remintite în Aceste mrgini sunt tinse şi plicând teorem vlorilor

87 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 83 intermedire Bolzno-Drboux, rezultă că vlore λϕ, dică există un punct ξ [, b] stfel încât b b ϕψ =(λϕ)(ξ) =λ ϕ(ξ) ϕψ este lută de funcţi şi lem este demonstrtă. Czul când ψ se trteză similr, su se reduce l cel precedent plict funcţiilor ϕ şi ψ. Corolr 2 (formul lui Tylor cu restul în sens Lgrnge). Fie I =[α, β], (α, β) ş i f : I R o funcţie de clsă C n+1 pe I (n ). Atunci pentru orice x I există cel puţin un punct ξ (depinzând de x), situt între ş i x stfel încât unde f(x) =f()+ f () 1! (x )+ f () (x ) ! + f (n) () (x ) n + f (n+1) (ξ) n! (n + 1)! (x )n+1. Demonstrţie. Aplicând formul (33) rezultă f(x) = n h= R n (x) = f (k) () (x ) k + R n (x), k! x f (n+1) (t) (x t)n dt. n! (36) Presupunem <x; tunci pentru orice t [, x] vemx t şiputem plic lem precedentă funcţiilor ϕ(t) =f (n+1) (t), ψ(t) = (x t)n, pe intervlul [,x]. n! Aşdr, există ξ [, x] stfel încât x x x R n (x) = ϕ(t) ψ(t)dt = ϕ(ξ) ψ(t)dt = f (n+1) (x t) n (ξ) dt = n! = f ] (n+1) (ξ) (x t)n+1 t=x [ = f (n+1) (ξ) n! n +1 t= (n + 1)! (x )n+1. czul x<se trteză similr, ir pentru x = formul (36) este evidentă. Corolr 3. (formul lui K. Mc Lurin, ). Fie f :[ α, α] R, α>, o funcţie de clsă C n+1. Atunci pentru orice x ( α, α) există un punct ξ î n t r e ş i x stfel încât f(x) =f() + f () 1! x + f () 2! x f (n) () x n + f (n+1) (ξ) n! (n + 1)! xn+1. (37) Deorece orice punct între şi x se scrie sub form θx cu θ 1, formul (37) se mi scrie f(x) = n k= f (k) () x k + f (n+1) x n+1 (θx) k! (n + 1)!. Remrcăm de semene că formulele (33), (36), (37) se pot scrie în diverse lte forme echivlente, cu notţii schimbte. De exemplu, formul (36) se mi scrie f(x+h) f(x) = h 1! f (x)+ h2 2! f (x)+...+ hn n! f (n) (x)+ h(n+1) (n + 1)! f (n+1) (x+θh) (38)

88 84 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ cu θ 1, în condiţii uşor de descris. În cest mod, este dtă o reprezentre creşteriif(x+h) f(x)funcţieif în punctul curent x, cunoscând creştere h rgumentului x, utiliztă în multe considerţii fizice. Definiţi 4.4 (simbolurile lui E. LANDAU, ). Dcă f,g sunt două funcţii rele definite într-o vecinătte V unui punct fixt x R, cu excepţi eventul lui x, se scrie f(x) f = (g) î n x ori de câte ori lim x x g(x) = ş i f = O(g) î n x ori de câte ori există o constntă M > stfel încât f M g pe V (eventul pe V \{x }). De exemplu sin 2 x = (x) şi cos x = O(1) în x =. Relţi f 1 = f 2 + (g) însemnă f 1 f 2 = (g) etc. Definiţiile nteriore se extind şi pentru czul când x R; deexemplux + 1 = (x 2 )în x =+. Cu ceste notţii, formul (36) se mi scrie f(x) = n k= ir formul (38) se mi scrie f(x + h) f(x) = f (k) () (x ) k + ((x ) n ), k! n p=1 h p p! f (p) (x) + (h n ). Exemple. 1) Aplicând formul (37) pentru funcţiile elementre exp, sin, cos, ln, rezultă pentru orice n 1, formulele e x =1+ x 1! + x2 2! sin x = x 1! x3 3! xn n! + (xn ), x R; +...+( 1)n x2n+1 (2n + 1)! + (x2n+1 ),x R; cos x =1 x2 2! x4 x2n +...+( 1)n 4! (2n)! + (x2n ),x R; ln(1 + x) =x x ( 1)n+1 xn n + (xn ),x ( 1, 1). 2) Ne propunem să clculăm sin 33 cu proximţi 1 6. Folosind formul (38) rezultă în cest cz că pentru orice x, h R vem sin(x + h) =sinx + h 1! h2 h3 h4 cos x sin x cos x + sin(x + θh). 2! 3! 4! Luăm x = 3 = π 6, h =3 = π (se subînţelege că în nliză unghiurile se 6 exprimă în rdini, pentru că numi stfel funcţiile trigonometrice sunt funcţii rele). Observăm tunci că h 4 sin(x + θh) 4! h4 4! = π ! 1 1 6, deci sin π π π , Acest exemplu rtă utilitte formulei Tylor în clcule proximtive; deltfel lcătuire tbelelor uzule trigonometrice, de logritmi, etc fost posibilă numi prin stfel de considerţii. Formul lui Tylor permite unele precizări în studiul funcţiilor rele, iniţite î n l i c e u.

89 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 85 ) Ofuncţief :[, b] R de clsă C 1 se numeşte convexă pe intervlul [, b], <bdcă pentru orice x, x [, b], re loc ineglitte f(x) f(x )+ f (x )(x x ), dică grficul lui f este situt desupr tngentei în oricre punct l grficului. Presupunând că f este de clsă C 2 pe [, b], tunci re loc ( )x, x [, b] relţi f(x) =f(x )+ f (x ) 1! (x x )+ f (ξ) (x x ) 2 2! cu ξ situt între x, x (dedusă din formul (36) pentru n = 1). Rezultă imedit că dcă f pe [, b], tunci funcţi f este convexă şi reciproc. Funcţiile convexe se mi numesc funcţii cu concvitte în sus, fig. II.9. Se definesc în mod similr funcţii concve (f concvă f convexă) şi dcă f este o funcţie de clsă C 2 pe un intervl [, b], un criteriu de concvitte constă în negtivitte derivtei secunde lui f pe cel intervl. b) Fie f,g : [, b] R două funcţii de clsă C n+1 ş i x (, b). Se spune că f ş i g u contct de ordin n în punctul x dcă f(x ) = g(x ), f (x ) = g (x ),...,f (n) (x ) = g (n) (x ), f (n+1) (x ) g (n+1) (x ). Astfel, f(x) =sinx ş i g(x) =x u contct de ordin 2 în x =. Funcţiile f ş i g u contct de ordin cel puţin 1 în x grficele lor trec prin celşi punct de bscisă x şi u ceeşi tngentă colo. Dcă f,g u contct de ordin cel puţin 2, în x, se mi spune că ele u ceeşi curbură în punctul x. Fiind dtă o funcţie f de clsă C 2 în vecinătte unui punct x stfel încât f (x ), tunci există şi este unic un cerc remrcbil trecând prin punctul (x,f(x )) şi vând contct de ordin 2cuf î n x (cercul oscultor l lui f î n x ); se pote răt că rz cestui cerc este eglă cu [1 + f (x ) 2 ] 3/2 / f (x ) (numită rz de curbură lui f î n x ). c) Fie X un spţiu metric şi f : X R o funcţie cu vlori rele. Am definit în 1, punctul 6, vlorile extreme globle le lui f pe X. Remintim ici conceptul de extrem locl. Un punct x X se numeşte punct de extrem locl l lui f dcă există r>rel stfel încât diferenţ f(x) f(x ) să ibă un semn constnt în bil B(x,r). Mi precis, dcă f(x) f(x ), dică f(x) f(x ), ( )x B(x,r), tunci x este punct de minim locl şi similr, dcă f(x) f(x ) în punctele unei bile deschise centrte în x, tunci x este punct de mxim locl l lui f (stfel de puncte nu sunt unice). Se ştie că în czul când X este un intervl deschis în R ir funcţi f : X R este derivbilă într-un punct de extrem locl x X, tunci f (x ) = (teorem lui P. FERMAT, ). Exemplu. Fie funcţi relă f prin f(x) =x 3 + x 2 5x + 3. Indicăm extremele lui f pe intervlele X 1 =(, 3), X 2 =[1, 3], X 3 =[ 3, 3]. Deorece derivt f (x) =3x 2 +2x 5 re rădăcinile 1, 5 se observă că x =1este 3 minim locl pentru f pe X 1 ş i c ă f nu re mxim locl pe X 1. Apoi extremele lui f pe X 2 sunt tinse l cpetele intervlului, ir pe X 3, funcţi re tât un minim locl cât şi un mxim locl. Acestă discuţie pote fi uşor vizuliztă pe grficul lui f (fig. II. 1). Folosind formul lui Tylor, se pot duce precizări, indicând condiţii suficiente de extrem. Anume re loc Teorem 4.9. Fie f :[, b] R o funcţie relă de clsă C n, n 2 ş i x (, b) un punct stfel încât Fig. II.9 Fig. II.1 f (x )=f (x )=...= f (n 1) (x )=, f (n) (x ). (39) Dcă n este pr, tunci x este punct de extrem locl l lui f (minim locl dcă f (n) (x ) > şi mxim locl dcă f (n) (x ) < ). Dcă n este impr, tunci x nu este punct de extrem locl l lui f (punct de inflexiune). Demonstrţie. Folosind formul (36) în cre înlocuim cu x,rezultă f(x) =f(x )+ f (x ) 1! (x x )+ f (x ) (x x ) !

90 86 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ + f (n 1) (x ) (n 1)! (x x ) n 1 + f (n) (ξ) (x x ) n n! şi ţinând cont de relţiile (39) din ipoteză, se obţine f(x) f(x )= f (n) (ξ) (x x ) n, (4) n! unde ξ este un punct situt între x, x. Dcă n este impr, tunci din relţi (4) rezultă că diferenţ f(x) f(x ) re semn vribil în orice vecinătte lui x,decix nu este punct de extrem locl. Dcă n este pr şi f (n) (x ) <, tunci funcţi f (n) fiind continuă, se deduce că cestă ineglitte re loc într-o vecinătte V luix şi tunci din relţi (4) rezultă că f(x) f(x ) pentru orice x V, dică x este un punct de mxim locl pentru f. Se rţioneză similr dcă n este pr şi f (n) (x ) >. Exemple. Fie f(x) = (2x π) 3 cos x ş i x = π 2. Evident, f (x ) = f (x )=f (x ) = ; f (iv) (x )= 192, deci n =4şix este punct de mxim locl. În mod similr, pentru f(x) =x3 e x ş i x =vemf () = f () =, f () = 6, deci n = 3 şi origine este în cest cz punct de inflexiune Serii de puteri O clsă extrem de importntă de serii de funcţii o constituie seriile de puteri, numite şi serii întregi. Avntjul deosebit l cestor constă în fptul că sumele lor prţile sunt polinome, dică funcţii rele de ce mi simplă formă, cee ce fce c seriile de puteri să ibă proprietăţi bune de clcul. Seriile de puteri permit definiţi rigurosă funcţiilor elementre şi totodtă, considerre unor entităţi mtemtice noi ş cum sunt funcţiile de mtrici. Multe din definiţiile cre urmeză pot fi extinse l czul complex, însă ne mărginim l serii de puteri rele. Definiţi 4.5. Fie { n } n un şir de numere rele. Se numeşte serie de puteri (su serie întregă în vribil x) vând coeficienţii n, n, seri de funcţii n x n = + 1 x + 2 x +... (41) n Pentru orice x R fixt se obţine o serie numerică. Evident, orice serie de form (41) se pote consider c serie de funcţii f n : R R, undef n (x) = = n x n, n. Se mi spune că o serie de puteri n b n x n este centrtă în punctul x =. În mod similr, o serie de form n b n (x x ) n este centrtă în punctul x = x ; este evident că printr-o trnslţie x x = y, se obţine o serie de puteri centrtă în origine, stfel că teori generlă pote fi restrˆnsă l czul seriilor de puteri centrte în origine. Exemple. Seriile x n x n, n!, n n x n (x 1) n, sunt serii de n +1 n n 1 n 1 n puteri; dr seriile de funcţii sin nx n 2, (n ln x + 1) n nu sunt serii de puteri. n 1 n 1 Seri ( ) n 1 x pote fi similtă cu o serie de puteri, notând 1 x 2+x 2+x = y. n În cele ce urmeză, dăm proprietăţile principle le seriilor de puteri. Teorem 4.1 (lem lui ABEL). Fie o serie de puteri n x n ş i x R, n x un punct stfel încât şirul { n x n } n să fie mărginit (cee ce re loc, conform teoremei 3.3, ) dcă seri numerică n n x n este C). Atunci

91 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 87 () seri numerică n n α n este AC pentru orice α ( x, x ). (b) pentru orice număr rel r, <r< x, seri de funcţii n n x n este uniform convergentă (UC) în intervlul [ r, r]. Demonstrţie. () Conform ipotezei, există M> stfel încât Atunci n x n M, dică n M, ( )n. (42) x n n α n = n α n M x n α n = M α x n, ( )n. Dcă α ( x, x ) este fixt, tunci α < x, deci α x < 1. C tre, seri geometrică n M α v fi convergentă şi plicând criteriul de n comprţie cu ineglităţi (teorem 3.9), rezultă că seri n seri n n α n este AC. x n α n este C, dică b) Notăm f n (x) = n x n, n. Conform ( ) (42), vem pentru orice x n r [ r, r], f n (x) = n x n n r n M, n. Aplicând criteriul x lui Weierstrss (teorem 4.7), rezultă că seri f n (x) este UC pe intervlul n [ r, r], deorece seri numerică n M r < 1 şi este convergentă. x ( ) n r este o serie geometrică cu rţi x Definiţi 4.6. Fie n n x n o serie de puteri şi mulţime A = {r R r şişirul{ n r n } n este mărginit în R}. Rz de convergenţă seriei n n x n este prin definiţie R =supa (clcult în R), deci R. Se numeşte domeniu de convergenţă l seriei n n x n mulţime Ø dcă R = D c = R dcă R = intervlul( R, R) dcă <R<. Mulţime de convergenţă cestei serii conţine D c (de fpt, vom vede că D c este interiorul mulţimii de convergenţă). Teorem Cu notţiile de mi sus, vem () dcă R =, tunci seri n n x n converge punctul numi în x = ; (b) dcă R =, tunci seri numerică n n α n este AC pentru orice α R, ir seri de funcţii n n x n este UC pe orice intervl [ r, r], r>;

92 88 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ (c) dcă <R<, tunci seri numerică n n α n este AC pentru orice punct α ( R, R) şi este D pentru orice α (, R) (R, ), ir seri de funcţii n n x n este UC în orice intervl [ r, r], <r<r. Demonstrţie. () Dcă R =, tunci A = {}. Dcă r exist un punct x stfel încât n n x n C, tunci şirul { n x n } n r fi mărginit deci x A, cee ce este bsurd. (b) Rezultă direct din lem lui Abel. (c) Fie α ( R, R)şir A les stfel încât α <r<r(cee ce se pote, deorece R =supa ). Atunci şirul { n r n } n este mărginit şi plicând lem lui Abel, rezultă că seri n n α n este AC (fiind AC chir pe întreg intervlul ( r, r)). Dcă α >R, tunci seri n n α n este D; în cz contrr, r rezult că şirul { n α n } n este mărginit, dică α A,deci α R, ceeceeste bsurd. Afirmţiile referitore l convergenţ uniformă rezultă din teorem 4.1 b). Observţie. Pe scurt, teorem 4.11 firmă că în domeniul ei de convergenţă D c, o serie de puteri este AC, în fr lui D c este D şi în plus, seri este UC pe orice intervl închis şi mărginit conţinut în D c (nu şi pe întreg D c ). Despre punctele α cu α = R, dică α = ±R nu m făcut nici o firmţie. Se pote totuşi demonstr că dcă <R< şi dcă seri n R n este C, tunci n sum cestei serii este eglă cu lim x R x<r n x n. n Exemple. Seri n 1 n n x n re rz de convergenţă R = (se plică criteriul x n n! vem R =, deorece pentru orice r, seri rădăcinii). Pentru seri n r n n! este C (se plică criteriul rportului), deci r A.Seri x n re rz n n de convergenţă 1, este AC pentru x < 1, D pentru x 1şiUC pe orice intervl [ r, r], <r<1, fără fi UC şi pe întreg domeniul de convergenţă D c =( 1, 1). Pentru clculul rzei de convergenţă unei serii de puteri se pote d Teorem Fie n n x n o serie de puteri, cu rz de convergenţă R. n () Presupunem că există l = lim n î n R; R = 1 cu convenţi d-hoc n l 1 =, 1 =. (b) Presupunem că există l 1 = lim n ; tunci R = l 1. n n+1 Demonstrţie. () Aplicăm criteriul rădăcinii (teorem 3.12) pentru seri n x n. Avem n n lim n x n n = x lim n = l x. n n Dcă l x < 1, tunci seri C şi dcă l x > 1, seri este D; comprând cu teorem 4.11, rezultă că R = 1 l.

93 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 89 (b) se probeză similr, plicând criteriul rportului (teorem 3.11). Proprietăţi le sumelor seriilor de puteri Fie n x n o serie de puteri cu rz de convergenţă R>. Se pote n tunci consider funcţi-sumă f :( R, R) R, x n x n. n Teorem cre urmeză re o mre însemnătte în clculele cu serii de puteri. Teorem Fie f(x) = n n x n, f : ( R, R) R c mi sus. Funcţi f este de clsă C (dică indefinit derivbilă) şi în plus, relţi f(x) = n n x n pote fi derivtă termen cu termen de oricâte ori în intervlul ( R, R); de semene, e pote fi integrtă termen cu termen pe orice intervl [, b] conţinut în ( R, R). Demonstrţie. Arătăm mi întâi că f este funcţie continuă în intervlul ( R, R); fixăm un punct orecre x în cest intervl şi legem r stfel încât x <r<r. Conform teoremei 4.11, seri de funcţii n x n este UC î n n intervlul [ r, r] şi fiind o serie de funcţii continue, sum ei f(x) rezultăfuncţie continuă pe [ r, r], plicând teorem 4.5; în prticulr, funcţi f este continuă î n p u n c t u l x, deci în întreg domeniul ei de convergenţă ( R, R). Pentru pute continu demonstrţi este necesră următore Lemă. Fie { n } n un şir de numere rele; seriile de puteri n x n, n n n x n 1 u ceeşi rză de convergenţă. n 1 Demonstrţie. FieR, R rzele de convergenţă le celor două serii. Dcă r exist l = lim n, tunci m ve R = l, şi n n+1 R = lim n n n (n + 1) n+1 = lim n n n +1 lim n n n+1 = l, deci R = R. Trtăm însă czul generl şi rătăm mi întâi că R R. Într-devăr, dcă x <R, tunci seri n n x n 1 este AC şi din ineglitte n x n n n n x n 1 x, vlbilă pentru orice n 1, rezultă că seri n n x n este AC, deci nepărt R R. Pe de ltă prte, dcă x <Rşi dcă legem r stfel c x <r<r, tunci ş i r u l { n r n } n este mjort de un număr rel M>, de unde n n x n 1 = n n x n 1 n M r n x n 1 = nm r ( x r ) n 1. În generl, dcă <c<1, tunci seri numerică n 1 nc n 1 este C, deciseri n 1 n ( ) n 1 x este C; plicând criteriul comprţiei cu ineglităţi rezultă r că seri n 1 n n x n 1 este C pentru orice x <R. Aşdr, vem R R ş i î n concluzie, R = R. Lem este demonstrtă.

94 9 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Arătăm că funcţi f este derivbilă; observăm că n n x n este PC cu sum f(x) în orice intervl [ r, r], r<r, ir lem nterioră rtă că seri derivtelor n 1 n n x n 1 re tot rz de comvergenţă R, deci conform teoremei 4.11 cest este UC pe intervlul [ r, r]. Aplicând cum teorem 4.6, v rezult că f este derivbilă şi în plus, f (x) = n 1 n n x n 1,( )x [ r, r]. Rţionând c l începutul demonstrţiei cestei teoreme v rezult că funcţi f este continuă, poi f este derivbilă, că f este continuă etc. Fptul că relţi f(x) = n n x n pote fi integrtă termen cu termen pe orice intervl [, b] ( R, R) rezultă stfel: legem <r<rstfel încât [, b] ( r, r) şi plicăm relţi (32) seriei n n x n cu sum f, cre este uniform convergentă pe [ r, r] deci şi pe[,b]. Corolr. Fie f(x) = n n x n, cu rz de convergenţă strict pozitivă. Atunci coeficienţii n, n sunt unic determinţi, nume u loc relţiile n = f (n) (), n. (43) n! În mod similr, dcă vem dezvoltre f(x) = n n (x x ) n, vlbilă într-un intervl (x R, x + R), R>, tunci n = f (n) (x ),( )n. n! Demonstrţie. Derivând succesiv relţi f(x) = + 1 x + 2 x , obţinem f (x) = x +..., f (x) = 2! x +..., f (x) = 3! , deci f () = 1, f () = 2! 2, f () = 3! 3 etc. şi se obţin relţiile (43). O funcţie relă f definită în jurul originii este dezvoltbilă în serie de puteri centrtă în origine dcă ( ) >şiunşir{ n } n de numere rele stfel încât seri n x n să fie convergentă pentru orice x (, ), vând sum f(x). n Corolrul precedent rtă unicitte unei stfel de dezvoltări f(x) = n x n n ş i c ă f C(,). Trebuie remrct că nu orice funcţie C (,) este dezvoltbilă { e 1/x dcă x (,) în serie de puteri; de exemplu, funcţi f(x) = dcă x (, ] (vând grficul indict în fig. II. 11), re propriette ă f (n) () =, ( )n. Acestă funcţie nu este dezvoltbilă în origine f(x) = n x n, căci r n Fig. II.11 rezult că n = f (n) () =, ( )x, deci m ve f(x) = pentru orice x n! mic, cee ce este bsurd. Rezultte similre u loc înlocuind origine cu orice lt punct. Seri Tylor unei funcţii de clse C Definiţi 4.7. Fie f :[, b] R o funcţie de clsă C pe [, b], <bşi fie x (, b) un punct fixt. Acestei perechi (f,x ) i se pote soci o serie de puteri centrtă în punctul x,nume f (n) (x ) (x x ) n,numităseri n! n Tylor lui f î n j u r u l p u n c t u l u i x. În generl, rz de convergenţă cestei serii nu este strict pozitivă şi chir dcă seri respectivă r fi PC pe [, b], e pote să nu ibă c sumă funcţi

95 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 91 { e 1/x dcă x (, 1) f iniţilă. De exemplu, pentru f(x) = şi pentru dcă x [ 1, ] x =, seri Tylor socită re toţi termenii nuli, deci este convergentă, cu sum identic nulă pe [ 1, 1]. Totuşi se pote demonstr următore Teorem 4.14 (teorem de reprezentre funcţiilor de clsă C prin serii Tylor). Fie f :[, b] R, <b, o funcţie de clsă C, stfel încât să existe M>cu propriette că f (n) (x) M, ( )n, ( )x [, b]. Fie x (, b) un punct fixt. Atunci seri Tylor lui f în jurul punctului x este UC pe [, b], vând c sumă f(x), dică f(x) = n f (n) (x ) (x x ) n, ( )x [, b]. (44) n! Demonstrţie. Fie s n (x), n, şirul sumelor prţile le seriei Tylor respective, dică s n (x) =f(x )+ f (x ) (x x )+...+ f (n) (x ) (x x ) n, 1! n! n. Atunci conform formulei lui Tylor cu restul în sens Lgrnge (36), rezultă s n (x) =f(x) f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x ) n+1,decif(x) s n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x ) n+1, ( )x,x [, b], ξ fiind situt între x ş i x. De ici rezultă că f(x) s n (x) = f (n+1) (ξ) x x n+1 M (n + 1)! (n + 1)! (b )n+1, ( )x [, b], deci pentru norm uniformă pe [, b], vem f s n M(b )n+1, ( )n. (45) (n + 1)! M(b ) n+1 Făcând n rezultă lim = ; într-devăr, seri numerică n (n + 1)! M(b ) n+1 este C (plicând criteriul rportului) şi c tre, termenul (n + 1)! n ei generl tinde către zero. Din relţi (45) rezultă lim f s n =, dică n UC s n f (conform teoremei 4.2 ()). Aşdr, seri de funcţii f (n) (x ) (x x ) n este UC pe [, b] şi re sum n! n f(x), ( )x [, b]. În continure, vor fi dte mi multe exemple de plicre teoremei Dezvoltări în serie le unor funcţii elementre 1. Seri binomilă Fie α R fixt; pentru orice n nturl, notăm Cα n = α(α 1)...(α n + 1) n! dcă n 1 1 dcă n =. Evident, dcă α este nturl, tunci C n α = pentru orice n>α. Seri de puteri Cαx n n =1+ α 1! n α(α 1) x + x 2 + 2! α(α 1)(α 2) x !

96 92 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ se numeşte seri binomilă de exponent α. Teorem Seri binomilă n C n αx n de exponent α, α/ N re rz de convergenţă R =1şi sum ei este eglă cu (1+x) α pentru orice x ( 1, 1). Aşdr, (1 + x) α =1+ α 1! α(α 1) x + x , ( )x ( 1, 1) (46) 2! (dcă α este nturl se regăseşte formul binomului lui Newton). Demonstrţie. Conform teoremei 4.12 (b), vem n +1 Fie f(x) = n R = lim n C n αx n =1+ α 1! Cα n Cα n+1 [ (1 + x)f (x) =(1+x) α + α(α 1)x + = lim n α n =1. α(α 1) x + x ( )x ( 1, 1) şi tunci 2! ] α(α 1)(α 2) x ! şi dezvoltând, rezultă că (1 + x)f (x) =αf(x), ( )x ( 1, 1). Din cestă [ ] f(x) f(x) relţie rezultă că (1 + x) α =, ( )x ( 1, 1), deci = c, constnt, (1 + x) α dică f(x) =c(1 + x) α,( )x ( 1, 1). Pentru x =, vem f() = c; dr f() = Cα, n n = 1. Rezultă că c = 1 şi în concluzie, f(x) =(1+x) α,de n unde relţi (46). În prticulr, din relţi (46) se deduc dezvoltările remrcbile: 1 1+x =(1+x) 1 =1 x + x 2 x x =[1+( x)] 1 =1+x + x 2 + x ş i 1+x =(1+x) 1/2 = x 1 8 x x (47) vlbile pentru orice x ( 1, 1). De semene vem, conform teoremei 4.13, rctgx = + x x t 4 dt dt 1+t 2 = x x (1 t 2 + t 4 t )dt = x dt x t 2 dt+ t 6 dt +...= x 1 x3 3 + x5 5 x7 +..., ( )x ( 1, 1). 7 Pentru x 1, seri din drept fiind convergentă, rezultă că Similr, ln(1 + x) = x π 4 = (48) 7 dt 1+t = x (1 t + t 2 t )dt = = x x2 2 + x3 3 x4 +..., ( )x ( 1, 1) 4 ş i p e n t r u x 1, rezultă că ln 2 =

97 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 93 Aplicţie în fizică. Pentru o prticulă cu ms m, ms de repus m m ş i v i t e z v, re loc relţi m =,undeceste vitez luminii. Energi 1 v2 c 2 cinetică prticulei este E cin = mc 2 m c 2 = m c = 1 v2 c 2 [ ) 1/2 ] [ = m c 2 1+ (1 v2 cf.(46) 1 ( v ) 2 c 2 = m c 2 3 ( v ) ] , 2 c 8 c v 4 deci E cin = 1 2 m v m Aceste clcule sunt corecte în ipotez v<c; c2 dcă v este mic în rport cu c (se mi scrie tunci prin convenţie v c), se neglijeză termenii dezvoltării cu excepţi primului şi se obţine într-o proximre E cin 1 2 m v 2, c în czul mecnicii newtoniene. Pentru viteze v mri, cestă formulă este grosieră şi trebuie considerţi şi lţi termeni i dezvoltării nteriore. 2. Exponenţil relă Teorem Există o singură funcţie relă f : R R derivbilă, stfel încât f = f, f >, f() = 1. (49) Demonstrţie. Presupunem că r exist două funcţii rele f,g : R R stfel încât f = f, f >, f() = 1, g = g, g >, g() = 1. Atunci ( ) g = g f gf f f 2 =, deci g = C, constnt, pe întreg R. Pentru x =se f obţine C = g() f() = 1 = 1 şi în concluzie, g = f. 1 Ofuncţief verificând condiţiile (49) este exponenţilă, f(x) =e x. Pe de ltă prte, observăm că seri de puteri x n n! =1+ x 1! + x re rz de 2! n convergenţă R = lim 1 n n! / 1 (n + 1)! = lim (n + 1) = ş i s u m e i g(x) este n o funcţie stisfăcând de semene condiţiile (49); fptul că g este derivbilă şi eglităţile g = g, g() = 1 sunt evidente. Apoi g(x) g(y) = (1+ =1+ x + y 1! + x2 + )(1+ x1! 2! +... (x + y)2 2! ) y2 + y1! 2! +... = +...= g(x + y), ( )x, y R, conform teoremei 3.14, deci g(x)g( x) = g() = 1. Deorece g(x) > pentru x>; deci g>per. Conform teoremei 4.16 rezultă că f = g, dică e x =1+ x 1! + x2 2! +...= n x n, ( )x R. (5) n! Acestă relţie se pute deduce şi plicând teorem 4.14 punctului x = ş i f u n c ţ i e i x e x, considertă pe un intervl [, ] rbitrr. Seri de numere complexe z n este convergentă pentru orice z C n! n (folosind criteriul rportului) şi sum ei se noteză e z su exp(z). Se defineşte

98 94 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ stfel funcţi exponenţilă complexă e z = n z n n! =1+ z 1! + z2 2! +... şi se verifică imedit că e = 1, e z1 e z2 = e z1+z2,( )z 1,z 2 C. Conform (5) rezultă că exponenţil complexă este o prelungire l C exponenţilei rele. Aplicţie Ne propunem să determinăm trunchiere de ordin 9 lui e. Conform (5), pentru orice q 1, vem e = 1 q n! = R, under = n! n! = n n n q+1 [ 1 = 1+ 1 ] (q + 1)! q (q + 2)(q + 3) + 1 (q + 1)(q + 3)(q + 4) +... [ ] (q + 1)! q (q + 2) (q + 2) = 1 = (q + 1)! q+2 = q +2 (q + 1)(q + 1)!. Luând q = 13, se observă că R<1 1 deci e q Să înmulţim cum relţi e = n 13 n= 1 =2, n! 1 q n! +R cu q!; se obţine e q! = n q! n! +R q! q +2 q +2 ş i c u m <R q! q!= < 1, rezultă că pentru orice (q + 1)(q + 1)! (q + 1) 2 q 1, e q! este sum unui număr întreg cu unul subunitr, deci e q! nu pote fi un număr întreg (pentru orice q 1 întreg) şi c tre, e este irţionl. 3. Funcţi logritmică. În nlogie cu teorem 4.16, se rtă uşor că există o singură funcţie relă f :(, ) R derivbilă, strict crescătore, stfel încât f(1) =, f(xy) = f(x)+f(y)şif (x) = 1,( )x, y > şi nume logritmul nturl f =ln. Pentru x orice >, 1sedefineştelogritmul în bz, log x = ln x,( )x > ln ş i exponenţil în bz, x = e x ln, cu proprietăţile uzule; de semene, pentru orice α rel şi pentru orice x>sepunex α = e α ln x, definind stfel funcţi putere x x α. În ultimul timp există tendinţ de utiliz notţi log în locul notţiei ln, tunci când bz e este subînţelesă. Aplicţie O noţiune importntă în teori informţiei este ce de cntitte de informţie I. Într-o primă ccepţiune, se pote consider că informţi I(p) cuprinsăîn producere unui eveniment cu probbilitte p( <p 1) depinde numi de p şi că funcţi I(p) verifică următorele proprietăţi: ) I este funcţie monoton descrecătore; b) I(1) = şi lim p I(p) = ; p> c) I(pq) =I(p)+I(q), ( )p, q (, 1]. Proprietăţile ), b) decurg din fptul că informţi I(p) este cu tât mi bogtă, mi interesntă, cu cât probbilitte p este mi mică, dică evenimentul cre genert ce informţie este mi rr. Propriette c) exprimă fptul că dcă două evenimente cu probbilităţi p ş i q sunt independente, tunci

99 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 95 informţi cuprinsă în producere lor simultnă ( cărei probbilitte este pq) este sum informţiilor cuprinse în producerile seprte le celor evenimente. Presupunând în plus că funcţi I se pote prelungi l o funcţie derivbilă I : (, ) R, stfel încât I(p α ) = αi(p), p >, α R, rezultă că în mod necesr vem I(p) =k ln p, cuk constntă relă, oricre r fi p>. Într-devăr, vem I (p) = 1 I(e) decii(p) =I(e)lnp şi notăm k = I(e) <. p Din ceste considerţii intuitive, pre c nturlă definiţi dtă de C. SHANNON (n. 1916) pentru cntitte de informţie c fiind I(p) = log 2 p, luând prin convenţie k = 1 ; unitte de măsură este bitul (1 bit fiind prin definiţie I ( 1 2 ) ln 2, tocmi cntitte de informţie dintr-un eveniment cu probbilitte 1 ). Considerând o experienţă în cre pot păre n evenimente, 2 probbilităţile p 1,p 2,...,p n ( <p i 1, p 1 + p p n = 1), C. Shnnon definitcntitte medie de informţie su entropi socită experienţei, c fiind H(p 1,p 2,...,p n ) = p 1 I(p 1 )+...+ p n I(p n )= n p j log 2 p j. Evident, H(p 1,p 2,...,p n ), pentru orice p 1,p 2,...,p n. Presupunem n = 2 şi notăm p 1 = p; tunci p 2 =1 p şi entropi v fi H(p) = p log 2 p (1 p) log 2 (1 p) = 1 [p ln p +(1 p)ln(1 p)]. ln 2 Se observă că H (p) = 1 ln 2 [ln p ln(1 p)] şi H (p) = 1 ln 2 j=1 ( 1 p + 1 ) <, 1 p prin urmre vlore mximă lui H(p) este tinsă pentru p = 1 2,decipentru p 1 = p 2 = 1. Aşdr cntitte medie de informţie într-o experienţă cu două 2 evenimente posibile este mximă tunci când evenimentele sunt egl probbile. Acest fpt pote fi extins l czul experienţelor cu n 2 evenimente posibile. 4. Funcţii trigonometrice De obicei se spune că trigonometri este utiliztă în măsurători de teren şi în nvigţie; în relitte importnţ funcţiilor trigonometrice constă mi les în descriere mtemtică fenomenelor periodice, în studiul semnlelor şi vibrţiilor. Am definit nterior e z =1+ z 1! + z2 +..., pentru orice z C; în prticulr, 2! pentru orice x R, vem e ix =1+ ix 1! x2 2! ix3 + x4 3! 4! +... ş i e ix =1 ix 1! x2 2! + ix3 + x4 3! 4! +... şi notăm c(x) = eix + e ix 2 s(x) = eix e ix 2i =1 x2 2! + x4 4! x6 6! +... ; = x 1! x3 3! + x5 5! +... Funcţiile rele c, s : R R sunt derivbile şi evident c = s, s = c, c() = 1, s() =. Folosind un fpt binecunoscut (dcă u, v : R R sunt funcţii derivbile, u = v ş i u() = v(), tunci u = v, se verifică imedit că pentru orice x R u loc relţiile: ) c(x)sinx s(x) cos x = ;

100 96 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ b) c(x) cos x + s(x)sinx = 1; c) c(x) 2 + s(x) 2 = 1, presupunând, cum este norml, cunoscute din liceu funcţiile rele sin, cos. Înmulţind relţi () cu c(x) şi(b) cu s(x) şi dunând relţiile obţinute, v rezult că s(x) = sinx; înmulţind poi () cu s(x) cu c(x), obţinem prin dunre c(x) = cos x, ( )x R. Aşdr, c = cos, s = sin. Reţinem şdr formulele, vlbile pentru orice x R: cos x =1 x2 2! + x4 4! x6 6! +...= eix + e ix 2 (51) Fig. II.12 sin x = x 1! x3 3! + x5 5! x7 7! +...= eix e ix 2i (52) e ix = cos x + i sin x. (53) Formul (53) portă numele de formul lui Euler; c un fpt remrcbil, vem e iπ = 1, ir π pote fi definit (negeometric!) c unic soluţie ecuţiei e ix = 1, sitută în intervlul (,4). Folosind formulele (51), (52), se rededuc cu uşurinţă proprietăţile uzule le funcţiilor trigonometrice, stfel că se pote firm că trigonometri este un mic cpitol de nliză, cre pote fi dezvoltt fără utilizre geometriei cercului trigonometric. Aplicţie Notăm cu T mulţime numerelor rele modulo 2π (dică T = R/2πZ) şicu U = { z = 1} circumferinţ unitte din plnul complex; şdr, un element ˆα T este o clsă de numere rele şi ˆα = ˆβ α β este multiplu întreg de 2π. Aplicţi Φ : T U, ˆα e iα = cos α + i sin α este evident bijectivă. Pentru orice z C\{}, vem z z U, deciexistăˆθ T stfel încât Φ(ˆθ) = z z,deci z z = eiθ, dică z = z e iθ (form exponenţilă numărului complex z ); notând z = r, regăsim stfel form trigonometrică z = r(cos θ+i sin θ), fig. II.12. Orice punct z =(x, y) =x + iy din C \{} = R 2 \ (, ) este bine determint cunoscând numerele rele r şi θ, numitecoordontele polre le celui punct. Din relţi x + iy = r(cos θ + i sin θ) rezultăx = r cos θ; y = r sin θ ş i r = x 2 + y 2, cos θ = x x2 + y 2,sinθ = y ; dcă se cunosc coordo- x2 + y2 ntele crteziene x, y, tunci modulul r este unic determint, r>, dr θ este determint modulo 2π. Funcţi rg : C\{} T, z ˆθ se numeşte funcţi rgument; evident, rgz 1 z 2 = rgz 1 +rgz 2 (modulo 2π) rg 1 z 1 = rgz 1 (modulo 2π). De exemplu, luând z =1+i 3, vem r = 2, rgz = ˆπ 3 = π 3 +2kπ, k Z deci 1 + i 3=2 e i π 3 ; similr, luând z = 5i vem r = 5, rgz = ˆ 3π 2 = ˆπ 2 = π 2 +2kπ, k Z ş i 5i =5 e i π Funcţii hiperbolice. Se pot defini următorele funcţii numite hiperbolice, ch, sh, th : R R, punând pentru orice x R ch x = ex + e x 2, sh x = ex e x 2, th x = sh x ch x = e2x 1 e 2x +1. (54) Fig. II.13 Aceste sunt funcţii de clsă C pe R şi u loc relţiile ch =sh,sh =ch, ch 2 x sh 2 x = 1, sh 2x = 2sh chx, ch2x =ch 2 x +sh 2 x etc ( )x R. Denumire provine de l fptul că punctul (cht, sht), t R descrie o rmură hiperbolei echilterle x 2 y 2 = 1 (fig. II. 13).

101 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE Numere rele constructiviste Multe rezultte mtemtice sunt bzte pe teoreme de existenţă (de exemplu, teorem Bolzno-Drboux, teorem lui Rolle, teorem de medie clculului integrl, formul creşterilor finite, principiul contrcţiei etc). Astfel, teorem Bolzno-Drboux firmă că pentru o funcţie f :[, b] R continuă, vând vlori de semn contrr l cpetele intervlului, există cel puţin un punct ξ [, b] stfel c f(ξ) = ; dr nu se indică un procedeu efectiv de determinre luiξ. În ultimul timp, părut idee de consider c obiecte mtemtice numi obiecte constructibile prin procedee lgoritmice, jungându-se l un domeniu nou l mtemticii numit Anliz constructivistă, strâns legt de clcultoristică şi de teori funcţiilor recursive. În cele de mi jos, prezentăm succint conceptul de număr rel constructivist, cre pre c limită unui şir de numere rţionle, definite cu jutorul unor funcţii ritmetice recursive. De îndtă ce sunt definite numerele rele constructiviste, se pot consider funcţii rele constructiviste şi se pot degj concepte specifice de limită, continuitte, derivbilitte, integrbilitte. Definiţi 4.8. Un număr rel R, se numeşte constructivist dcă există două funcţii recursive f,g : N N stfel încât pentru orice n 1 nturl să vem g(n) şi f(n) g(n) < 1 n. Un număr rel negtiv < se numeşte constructivist dcă re cestă propriette. Exemple. 1) Orice număr rţionl este constructivist (luăm f,g constnte). Mulţime R numerelor rele constructiviste este subcorp l lui R. 2) Conform formulei (5), vem e =1+ 1 1! + 1 2! n! + R n unde 1 R n = (n + 1)! + 1 (n + 2)! +...= 1 (n + 1)! Aşdr, 1 (n + 1)! [ 1+ 1 n (n + 2) [ 1+ 1 ] n (n + 2)(n + 3) +... ] 1 = (n + 1)! n +2 = (n + 1)!(n + 1) < 1, ( )n 1. n e 1 1 1! 1 2!... 1 n! = R n < 1 n n +2 Notăm f(n) =n!+ n! 1! + n! n! +...+,g(n) =n! 2! n! (funcţii evident recursive) şi rezultă e f(n) g(n) < 1, ( )n 1. Aşdr, n numărul e este constructivist. 3) Arătăm că π este de semene un număr rel constructivist; pentru cest folosim reprezentre (48), nume π = 4 ( ) Notând s n = n h= ( 1) k 2k +1,vem π 4 s n = 1 2n +3 ( 1 2n +5 1 ) 2n +7 = n +3 < 1, ( )n 1. n

102 98 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Dr s n se pote pune sub form f(n) g(n) cu f,g recursive, deci π este constructivist. C tre, π =4 π este constructivist ) Fie un număr rel pozitiv şi =[], scriere lui zecimlă. Se pote răt că este constructivist dcă şi numi dcă funcţi ritmetică ϕ : N N, definităprinϕ() = [], ϕ(1) = 1, ϕ 2 = 2,...este recursivă. Folosind cest fpt se pot construi cu uşurinţă numere rele cre nu sunt constructiviste. Mulţime R este totl ordontă (reltiv l ordine uzulă) şi se pote defini o convergenţă specifică în R cre ţine cont de limitele utilizării de obiecte construite lgoritmic. Din cestă cuză, nu sunt cceptte rţionmente tip ε şi unele din teoremele nlizei clsice nu u loc în nliz constructivistă; de exemplu, un şir monoton şi mărginit nu este nepărt convergent Exerciţii 1) ) Fie f,g :[, b] R două funcţii continue. Să se probeze ineglităţile: ( 2 ( b ( b ) ( b ) 1 ( b 2 b fg) f ) 2 g 2 ; (f + g) 2 ) 1 ( 2 ) 1 b 2 f 2 + g 2. b) Fie f :[, b] R o funcţie de clsă C 2 stfel încât f () =f (b) =. Să se rte că b f(x) f (x)dx ; în ce cz vem eglitte? Indicţie. ) Pentru prim ineglitte se porneşte de l fptul că trinomul de grdul II în λ prin părţi. b (f + λg) 2 este pozitiv pentru orice λ rel; b) se integreză 2) Să se clculeze: 2 x x 3 + x dx, 6x 5 e 2 x 2 2x +, 9375 dx, ; e x 1 1 e x +2 dx, π/2 sin 3 x π 2 dx, sin 2 x π/2 3 dx, 1 x2 + 3dx, 2 1 π/4 x2 +3 dx, x dx 1 sin x, 1 dx x + x 2 + x +1, x 2 1+x 2 dx. dx 3) Fie I n (x) = (1 + x 2 ) n, n 1 nturl. Să se rte că I 1(x) = rctgx+ C, I n+1 (x) = 1 x 2n (1 + x 2 ) n + 2n 1 2n I n + C, ( )n 1. 4) Să se rte că dcă α, β sunt constnte rele, β <α<1, tunci π π dx π α + β cos x =2 1 dx α + β cos x = 2π α2 β 2. b) Să se rte că (1 x 2 ) n dx = 22n+1 (n!) 2 pentru orice n 1 nturl. 1 (2n + 1)! c) Funcţi f(x) = ln x x 2 nu re primitivă exprimbilă prin funcţii elementre pe intervlul [ +1 ] 1 2 2, 2 ; să se rte totuşi că f(x)dx =. Indicţie. c) Se foloseşte schimbre de vribilă x = 1 t. 1/2

103 2.4. ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII REALE 99 5) Dcă f :[, ] R, > este o funcţie integrbilă Riemnn, să se rte că f(x)dx = [f(x)+f( x)]dx. Ce se deduce dcă f este pră? Dr dcă f este impră? 6) Fie f : R R o funcţie continuă. Pentru orice u R, considerăm funcţi f u definită prin f u (x) =f(x + u). Să se rte că pentru orice <b,vem b u u f u = b f, ir dcă funcţi f este periodică de periodă T>, tunci b+t +T f = b 7) Fie funcţi f :[ 1, 1] R definită prin x 2 sin 1 f(x) = x 2 dcă x dcă x =. Să se rte că f re derivtă nemărginită pe [ 1, 1] şi că funcţi f re primitivă fără fi integrbilă Riemnn pe intervlul [ 1, 1]. Să se de de semene exemplu de o funcţie integrbilă Riemnn cre nu dmite primitivă. Indicţie. Pentru prte secundă se pote lu funcţi-semn sgn, 1 dcă x< sgnx = dcă x =, restrânsă l un intervl de form [, ],>, 1 dcă x> n 2 8) Folosind criteriul integrl, să se determine ntur seriilor n 1 1 (discuţie după α). n(ln n) α 9) ) Să se rte că integrl improprie f. π/3 π/4 ln n n α, ctg x dx este divergentă, deşi converge în sensul vlorii principle Cuchy; b) Să se studieze şi în cz de convergenţă, să se determine vlore pentru integrlele improprii b 1 dx x 1,3, 5 e dx 1 x,95, dx x ln 2 x, c) Să se clculeze v.p. dx 1 3, x(x + 8) e x dx, dx x 2 +9, v.p. e 5 1 dt 1, ln t dt, t t 2 x ln x (1 + x 2 ) 3 dx; dx x 2, v.p. 5 2 dx x 3. 1) Fie u, v :[, b] R două funcţii de clsă C n, n 1. Să se rte că u v (n) =[uv (n 1) u v (n 2) +...+( 1) n 1 u (n 1) v] (formul de integrre prin părţi generliztă) Indicţie. Se rţioneză prin inducţie după n. b b +( 1) n u (n) v. 11) ) Se cer dezvoltările Tylor până l ordinul 3 inclusiv pentru funcţiile f 1 (x) = cos 2x cos 4x, f 2 (x) =sinx+ 1 2 sin 2x, f 3(x) =ln(x 2 +1), f 4 (x) =e sin x î n j u r u l p u n c t u l u i x =.

104 1 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ b) Să se dezvolte până l ordinul 2 inclusiv funcţiile indicte în punctele indicte: 1. f(x) =ln(1+x) ln(1 x), x = ; 2. g(x) =x 3 + x ln(x 1), x = 2; 3. h(x) =sinx + cos 2x, x = π 2. 12) Fie x R fixt şi f o funcţie într-o vecinătte lui x.sespunecăf re dezvoltre limittă de ordin n (n 1) în jurul lui x dcă există un polimon P de grd n stfel încât f(x )=P(x )şif(x) =P (x) + ((x x ) n ), dică f(x) P (x) lim x x (x x ) n =. Să se rte că dcă f re dezvoltre limittă de ordin 1în jurulluix, tunci există f (x ); dr dcă f re dezvoltre limittă de ordin 2 în jurul lui x, nu rezultă în generl că există f (x ). Indicţie. Pentru prte secundă se pote consider f(x) = cos x+x 3 sin 1 x, x, f() = 1 şi x =. Atunci f(x) =1 x2 2 + (x2 ), dr f () nu există. 13) Folosind dezvoltări limitte obţinute din formul lui Tylor, să se clculeze e x + e x 2 lim x cos x cos 3x, lim e x e x 2x sin πx, lim x x sin x x 1 x 1, lim ln(1 + x) ln(1 x). x 2x ( ) 1 14) ) Fie f(x) =ln(1+x + x 2 ). Să se clculeze ln 1, 11 = f cu 1 proximre 1 3, folosind formul lui Mc Lurin cu rest Lgrnge de ordin suficient de mre. b) Să se clculeze cos 5 cu proximţi ) ) Să se determine constnt relă R > stfel încât curbele y = ln(x 2 + 1), x 2 + y 2 2Ry = să ibă contct de ordin doi în origine. Idem pentru curbele y = cos x 1, x 2 + y 2 +2Ry =. b) Să se rte că funcţiile f(x) = { e 1/x 2 dcă x dcă x =, sin 1 f(x) = x e 1/x2 dcă x dcă x =, sunt de clsă C pe R, cu tote derivtele nule în origine, f re minim în origine, ir g nu re extrem în origine. 16) Să se studieze convergenţ punctulă şi convergenţ uniformă şirurilor de funcţii indicte, pe mulţimile indicte: ) f n (x) = nx, n pe[, ) şi poi pe [1, 3]; 1+nx x b) f n (x) = 1+n 2 x 2, g n(x) = x, x pemulţime[1, ). 1+x 17) ) Să se determine rz de convergenţă următorelor serii de puteri: n 1 x n (n!) 2, n n x n, n 1 b) Să se clculeze sum seriilor n 1 n 2 x n, n 1 (ln n)x n. n 1 x n n, nx n 1 pentru x < 1. n 1 18) Fie (,π) fixt. Să se rte că seri sin 2 x(1+cos x+cos 2 x+...)este PC pe R vând sum f(x) şi este UC pe intervlul [, 2π ]. Să se compre f() şi lim f(x). x 19) Să se dezvolte în serii de puteri centrte în origine, funcţiile ) f(x) =x rctg x;

105 2.5. APLICAŢII 11 b) f(x) =ln(1 x 2 ); 1 c) f(x) = (1 x) 2 ; 1 d) f(x) = (k prmetru rel). 1 2kx + x2 Să se determine totodtă în fiecre cz mulţime de convergenţă. 2.5 Aplicţii În cest prgrf schiţăm câtev plicţii directe le fptelor teoretice expuse în prezentul cpitol, cre vor fi dezvoltte în cdrul studiului metodelor numerice Procedeul Newton pentru rezolvre unor ecuţii de form ϕ(x) = Fie I =[, b] un intervl şi ϕ : I R o funcţie de clsă C 2,cuϕ (x), ( )x I. Se numeşte procedeu itertiv Newton definit de ϕ şi de un punct x I ş i r u l {x n } n presupus în I şi dt prin relţi de recurenţă x n+1 = x n ϕ(x n) ϕ, n. (55) (x n ) Teorem 5.1. Dcă ξ (, b) este un zero simplu l lui ϕ (dică ϕ(ξ) =, ϕ (ξ) ), tunci există o vecinătte V luiξ stfel încât pentru orice x V, procedeul itertiv definit ϕ ş i x să fie convergent către ξ. Demonstrţie. Deorece funcţiile ϕ ş i ϕ sunt continue pe I, ele îşi ting mrginile şi c tre există m>, M>, stfel încât ϕ (x) m, ϕ (x) M, ( )x I. Pe de ltă prte, din formul Tylor cu rest integrl (teorem 4.8), rezultă ϕ(x) =ϕ(x n )+ϕ (x n )(x x n )+ x x n (x t)ϕ (t)dt, ( )x I, ( )n. Pentru x = ξ se obţine =ϕ(x n )+(ξ x n )ϕ (x n )+ ξ (ξ t)ϕ (t), dt, ( )n. x n (56) Apoi din relţi (55) se deduce ϕ(x n )+(ξ x n )ϕ (x n )=(ξ x n+1 )ϕ (x n ). (57) Din relţiile (56), (57) rezultă ξ x n+1 = 1 ξ ϕ (ξ t)ϕ (t)dt, ( )n, (x n ) x n deci 1 ξ ξ x n+1 = ϕ (ξ t)ϕ (t)dt (x n ) x n M 2m (ξ x n) 2, ξ deorece ξ t dt x n 1 2 (ξ x n) 2. Notăm δ = 2m M ş i r e z u l t ă ξ x n+1 ( 1 δ ξ x n 2,( )n ; luând V = ξ δ 2,ξ+ δ ) ş i x V,rezultăsuccesiv 2 ξ x 1 1 δ ξ x 2 < δ 4, ξ x 2 1 δ ξ x 1 2 < δ 16,... ξ x n < δ 4 n deci x n ξ.

106 12 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ Fig. II.14 Observţii. Aşdr, în condiţiile teoremei, ξ x n cu n convenbil; se pote d şi o evlure erorii bsolute în cestă formulă proximtivă. Relţi de recurenţă (55) se obţine stfel: se consideră punctul (x n,ϕ(x n )) pe grficul funcţiei ϕ; tngent l grfic în cest punct re ecuţi y ϕ(x n )= ϕ (x n )(x x n ) şi intersecteză x Ox tocmi în punctul de bscisă x n+1,deci ϕ(x n )=ϕ (x n )(x n+1 x n ), de unde rezultă (55). Se justifică stfel de ce procedeul Newton este numit şi metod tngentei ; fig. II. 14. Vom vede că cest procedeu se extinde l sisteme de ecuţii dică l ecuţii vectorile. Schem (55) se trduce uşor într-un progrm. Exemplu. Se consideră ecuţi x 3 2 =, cărei rădăcină relă este ξ = 3 2, sitută în intervlul I =[1, 2]. Notând ϕ(x) =x 3 2, x = 2, rezultă x n+1 = x n x3 n 2 = 2x3 n +2, n şi se obţin proximţiile x 1 =1, 5; 3x 2 n 3x 2 n x 2 =1, 296; x 3 =1, 269; x 4 =1, 25994; x 5 =1, etc. şi se pote lu ξ 1, Interpolre Multe metode numerice se referă l clculul unor funcţii prin elborări de tbele de vlori discrete su prin rezolvări proximtive le unor ecuţii funcţionle, prin lgoritmi dptţi convenbil, în cre un rol deosebit îl u controlul propgării erorilor, vitez de convergenţă, c şi stbilitte lgoritmilor respectivi. În multe stfel de probleme se folosesc instrumente mtemtice profunde, chir dcă ceste se trduc în ultimă instnţă în progrme de efecture succesivă câtorv operţii fundmentle ritmetice su logice. Un loc prte în cdrul metodelor numerice îl u interpolările de funcţii, utilizte curent în diverse tipuri de măsurători şi prelucrări de dte. Fie I R un intervl fixt şi x <x 1 <...<x p puncte din I, numite noduri de interpolre. Fief : I R o funcţie teoretic definită pe I, le cărei vlori y i sunt cunoscute numi î n n o d u r i l e x i,y i = f(x i ), i p (de exemplu, I pote fi un intervl de timp, x i momente fixte din I, ir f o mărime fizică luând vlorile y i l momentele x i, i p). Orice funcţie F : I R stfel încât F (x i )=y i, i pse numeşte funcţie de interpolre luif, su echivlent, funcţie de interpolre socită tbelei de p + 1vlori x x 1... x p y y 1... y p (58) Evident o stfel de funcţie nu este unică, ir grficul ei trece prin punctele (x i,y i ), i p. De exemplu, în czul interpolării linire, grficul lui F este lini poligonlă cu vârfurile (x i,y i ), i p. O ltă funcţie de interpolre socită tbelei (58) este indictă în cele ce urmeză. Definiţi 5.1. Se numeşte polinom Lgrnge de interpolre socit tbelei (58) un polinom P de grd p, cu coeficienţi reli, stfel încât P (x i )= y, i p. În plus, re loc formul proximtivă f(x) P (x), ( )x I. (59) Teorem 5.2. Polinomul Lgrnge de interpolre socit unei tbele de vlori există şi este unic. Demonstrţie. Probăm mi întâi unicitte unui polinom Lgrnge de interpolre pentru tbel (58). Dcă P 1,P 2 r fi două stfel de polinome, tunci P 1 (x i )=P 2 (x i )=y i, i p, deci polinomul P 1 P 2 re grdul p ş i posedă p+1 rădăcini, nume nodurile x,x 1,...,x p. Aşdr, P 1 P 2 este polinomul nul, dică P 1 = P 2. Existenţ unui polinom Lgrnge se demonstreză stfel: pentru orice j, j p, se noteză cu L j polinomul L j (x) = (x x )...(x x j 1 )(x x j+1 )...(x x n ) (x j x )...(x j x j 1 )(x j x j+1 )...(x j x n )

107 2.5. APLICAŢII 13 şi se observă că L j (x i )=δ ij pentru orice i, j p. Atunci pentru polinomul vem P (x i )= p y j L j (x i )= j= P (x) = p y j L j (x) (6) j= p y j δ ij = y i, i p, decip este polinomul j= Lgrnge de interpolre socit tbelei (58). Formul (59) este sugertă de fptul că f(x i )=P(x i )=y i, i p, dică f ş i P u celeşi vlori în nodurile fixte. Un vntj l reprezentării (6) constă în fptul că polinomele L j depind numi de legere nodurilor de interpolre; dr l dăugre unor noi noduri, clculul lui L j trebuie făcut de l cpăt, cee ce este un defect. Cele de mi sus înlesnesc scriere unui progrm eficient pentru clculul vlorilor lui P (x) î n p u n c t e x distincte de x i,deci întrenoduri (ceecejustificătermenulde interpolre). Presupunând că f este o funcţie de p + 1 ori derivbilă (derivbilitte fiind postultă în prctică din considerente fizice), se pote d o evlure erorii bsolute în formul proximtivă (59). Mi precis, fie M = sup f (p+1) (x) ; x I demonstrăm tunci ineglitte: f P M sup (x x )...(x x p ) x I (p + 1)! Într-devăr, pentru x I, x x i, i p, notăm R(x) = f(x) P (x) (x x )(x x 1 )...(x x p ) (61) ş i ϕ(u) =f(u) P (u) R(x) (u x ) (u x 1 )...(u x p ). Funcţi ϕ se nuleză în p + 2 puncte distincte, nume x,x 1,...,x p,x, deci conform teoremei lui Rolle plictă succesiv, derivt ϕ (p+1) se v nul î n t r - u n p u n c t ξ I, deundevrezultcă=f (p+1) (ξ) R(x) (p + 1)!, dică R(x) = f (p+1) (ξ). Se obţine tunci (p + 1)! f(x) P (x) = f (p+1) (ξ) (p + 1)! (x x )(x x 1 )...(x x p ), pentru orice x I, inclusivpentrux = x i, i p şi c tre f P =sup f(x) P (x) x I M (p + 1)! sup x I (x x )(x x 1 )...(x x p ), dică tocmi (61). Evlure (61) este îngreuntă de dificultte cunoşterii lui M = f (p+1) ; deltfel interpolre Lgrnge reflectă defectuos proprietăţile diferenţibile le funcţiei f. Reţinem totodtă din cele mi sus formul f(x) =P (x)+[f(x) P (x)] = P (x)+ f (p+1) (ξ) (p + 1)! (x x )...(x x p ). (62) Exemplu. Determinăm polinomul Lgrnge de interpolre socit tbelei În cest cz, vem p = 3, y = 1, y 1 =, y 2 =, y 3 = 3, L (x) = (x x 1)(x x 2 )(x x 3 ) (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) =

108 14 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ = (x 1)(x 2)(x 4) ( 1)( 2)( 4) L 1 (x) = (x x )(x x 2 )(x x 3 ) (x 1 x )(x 1 x 2 )(x 2 x 3 ) L 2 (x) = şi plicând formul (6), rezultă că P (x) = = x3 7x x 8 8 x(x 2)(x 4) =, 3 x(x 1)(x 4) x(x 1)(x 2), L 3 (x) = y j L j (x) =L (x) 3L 3 (x) = 1 4 (x3 5x 2 +8x 4). j= Observţie. În ultimii ni s- degjt o noţiune nouă, strâns legtă de interpolre polinomilă, nume ce de funcţie spline, polinomilă pe porţiuni şi suficient de netedă. Mi precis, dcă I =[, b] este un intervl şi : = x <x 1 <...<x n+1 = b este o diviziune cu n noduri interiore, o funcţie s : I R se numeşte spline de ordin k (k 1) reltiv l dcă s este de clsă C k 1 (I) şi în orice intervl [x i,x i+1 ], i n, s coincide cu un polinom (funcţie polinomilă) cu coeficienţi reli de grd k. Aşdr, orice polinom este funcţie spline, nu şi reciproc; de exemplu, pentru α R fixt, funcţi { (x α) k (x ) k dcă x>α + = dcă x α este spline de ordin k şi nu este polinom (pentru că re o infinitte de zerouri, fără fi funcţi nulă). Se verifică fără dificultte că mulţime funcţiilor spline de ordin k reltiv l o diviziune = x <x 1 <...<x n+1 = b este un spţiu vectoril rel de dimensiune n + k + 1, pentru cre funcţiile 1,x,x 2,...,x k,(x x 1 ) k +, (x x 2 ) k +,...,(x x n ) k + constituie o bză. Aşdr, pentru determinre unei funcţii spline se impun n + k + 1 condiţii. Aplicând cest, rezultă că f : I R este o funcţie de clsă C k 1 (I), tunci există o funcţie spline unică s de ordin 2k 1 stfel încât să fie verificte următorele n +2k condiţii s(x 1 )=f(x 1 ),...,s(x n )=f(x n ) s() =f(), s () =f (),...,s (k 1) () =f (k 1) (); (63) s(b) =f(b), s (b) =f (b),...,s (k 1) (b) =f (k 1) (b). Are loc proximre f(x) s(x), ( )x I, mult mi precisă decât (59). Fig. II.15 Exemplu. Determinăm funcţi spline de ordin 1 pe intervlul [,π] socită funcţiei f(x) =sinx şi nodurilor x 1 = π 4, x 2 = π. În cest cz, ( 2 1,x, x π ) (, x π ) constituie o bză şi deci ( s(x) =C 1 + C 2 x + C 3 x π ) ( + C 4 x π ), Fig. II.15b unde coeficienţii reli C 1,C 2,C 3,C 4 se determină punând condiţiile (63), nume ( π ) s =sin π 2 ( π ) 4 4 = 2, s =sin π = 1, s() = sin =, s(π) =sinπ =, 2 2 dică π 2 C 1 + C 2 4 = 2,C π 1 + C C π 3 4 =1,C 3π 1 =,C 1 + C 2 π + C C π 4 2 =, etc., fig. II. 15 şi II. 15b.

109 2.5. APLICAŢII Derivre şi integrre numerică ) Fie f C[,b] 2 ş i u, h lese stfel încât <u h<v<u+ h<b.atunci u loc formulele proximtive. f (u) f(u + h) f(u), f f(u) f(u h) (u) h h (64) f (u) f (u) f(u + h) f(u h) 2h (65) f(u + h) 2f(u)+f(u h) h 2 (66) Dcă f este de clsă C 4 pe intervlul [, b] şi dcă se noteză cu m 3 = f, m 4 = f (iv) normele uniforme pe intervlul [u h, u + h], se pote răt că erorile bsolute în uniforme în formulele proximtive (65), (66) sunt mjorte respectiv prin h2 6 m 3 ş i h2 12 m 4. În prctică, dcă f este o funcţie relă de clsă C 2 pe un intervl şi dcă x <x 1 <...<x n+1 sunt puncte echidistnte din cel intervl, x 1 x = x 2 x 1 =... = x n x n 1 = h, tunci notând y k = f(x k ), k n +1 rezultă conform (65), (66), f (x k ) y k+1 y k 1,f (x k ) y k+1 + y k 1 2y k 2h h 2, 1 k n (67) Exemplu. Presupunem că trebuie determintă o funcţie de clsă C 2 (R) stfel încât f() = 1, f () = 1 şi( )x R, f (x) f (x) =. Dcă intervlul de studiu este [,1] şi luăm o diviziune cestui în 1 subintervle egle, h = 1 1, tunci vlorile proximtive y k f(kh), k 1, pot fi deduse din relţiile y =1, y 1 y h = 1, y k+1 + y k 1 2y k h 2 = y k+1 y k 1, 1 k 9. 2h Desigur, din condiţiile iniţile rezultă f(x) =2 e x, dr deseori se pot plic numi metode proximtive. b) Referitor l clculul proximtiv l integrlelor definite, cre suplineşte imposibilitte plicării formulei Leibniz-Newton, ne mărginim l czul când f :[,p] R, p N, este o funcţie continuă şi fie I = (Orice integrlă definită de form p b f(x)d x. g(t)dt se reduce l o integrlă c mi sus prin schimbre de vribilă t = + b p x). Notăm y i = f(i), i p; conform (6), polinomul Lgrnge corespunzător este P (x) = y i L i (x) şicumf P p,vem I = p i= f(x)f(t)dx p P (x)dx = p p y i L i (x)dx = i= Pentru fiecre p 1, cele p + 1 numere rele p i= c (p) i y i. c (p) i = b L i (x)dx, i p

110 16 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ pot fi tbelte; evident, ele sunt independente de funcţi f. Se pote evlu erore bsolută formulei p I c (p) i y i. (68) i= (numită formul lui R. CÔTES, ). Anume, folosind (61), rezultă p I i= c (p) i y i M (p + 1)! = p p f(x)dx p P (x)dx x(x 1)...(x p) dx, unde M = sup f (p+1) (x), în ipotez că f este de clsă C p+1. x [,1] În prctică se utilizeză formule de cudrtură (clcul de integrle) mi rpid convergente decât formul (68). Dr există câtev czuri prticulre des utilizte, obţinute după o prelbilă divizre intervlului de integrre, prin plicre formulei (68) fiecărui subintervl l diviziunii. Pentru p = 1 se obţine formul trpezelor (cre corespunde interpolării linire), pe intervlul [,1], ir pentru p = 2 se obţine formul lui R. SIMPSON, (cre corespunde interpolării pătrtice) pe intervlul [,2]. Fără detlii de demonstrţie, explicităm ceste două formule pentru un intervl [, b] orecre. Fie f :[, b] R o funcţie de clsă C 2, h = b n ş i x j = +jh, j n. Atunci re loc formul proximtivă [ ] b f(x)dx h n 1 f()+f(b)+2 f(x k ) 2 (b )3 (formul trpezelor) cu erore bsolută 12n 2 f. Dcă f este o funcţie de clsă C 4 tunci pentru n =2m vem b f(x)dx h 6 {f(x )+f(x 2m ) + 4[f(x 1 )+f(x 3 )+...+ f(x 2m 1 )]+ k=1 +2[f(x 2 )+f(x 4 )+...+ f(x 2m 2 )]} (formul lui Simpson), (b )5 cu erore bsolută 18 n 4 f (iv). Aşdr în primul cz se împrte intervlul [, b] de integrre în n părţi egle, ir în czul secund în n = 2m părţi egle. Exemplu. Pentru clcul integrl I = 1 e x2 dx cu erore 1 2, trebuie lut n = 12 în czul formulei trpezelor şi n =4în czul formulei lui Simpson. Vom vede în cpitolul următor motivţi fptului că integrl este mi mnibilă în clcule proximtive decât derivt; nume, lure integrlei este o funcţionlă continuă, în schimb derivre este un opertor discontinuu Clculul proximtiv l sumelor unor serii Ilustrăm succint posibilitte însumării cu proximţie unor serii convergente, folosind sumele prţile.

111 2.5. APLICAŢII 17 ) Fie n b n o serie AC de numere rele cu sum s stfel încât să existe N nturl şi <k<1 cu propriette că n+1 n k<1 pentru orice n N. Atunci ( )n N, vem n+1 k n, n+2 k n+1 k 2 n etc., deci notând R n = n+1 + n ,rezultă R n n (k +k )= n k 1 k. În cest mod, vem o evlure erorii bsolute făcute în formul proximtivă s s n, deorece s s n = R n. Exemplu. Clculăm cu proximţie 1 4 sum seriei 1 n 2. În cest n! n 1 cz, n = 1 n 2 n!,deci n+1 n 2 = n (n + 1) 3 < 1 n +1. Dcă n 5, rezultă n+1 n 1 6 < 1 şi luând k = 1 6, rezultă evlure R n 5 k 1 k = = ! < 1 4. Aşdr, S S 5 = ! ! ! , ! b) Fie cum { n } n un şir monoton descrescător de numere rele pozitive stfel încât lim n =. Atunci conform criteriului lui Leibniz, seri lterntă n este C. FieR n = ( 1) k k ; ne propuneu să rătăm k n+1 că R n n+1,( )n. Este suficient să observăm că ( )k 1, ( )n, vem n+1 n+2 n+1 n ( 1) k+1 n+k n+1, deci pentru k, n+1 n+2 ( 1) n+1 R n n+1. Aşdr, R n n+1, dică restul R n = s s n este mjort de primul termen neglijt şi este evlută erore bsolută în formul proximtivă s s n. ( 1) n+1 Exemplu. n 4, 96. Ne propunem să rătăm că, 94 n 1 1 Alegem n nturl minim stfel încât (n + 1) ,decin = 3. Atunci conform celor de mi sus, notând cu s sum seriei propuse, vem s s n = R n < 1 (n + 1) 4,deci s s n ;cums 3 = =, 9498, 34 rezultă, s, ,deci, 94 s, Exerciţii 1. Să se clculeze cu proximţie 3 6, 7 7, folosind procedeul Newton (şi eventul un miniclcultor!). 2. Să se rezolve cu proximţie ecuţiile x 3 3x =, x +2lnx = Să se determine polinomul Lgrnge de interpolre socit tbelelor de vlori x 1/4 1 2 y x y Pentru orice tbelă de vlori rele de form x x 1 x 2... x p y y 1 y 2... y p (x i x j pentru i j) z z 1 z 2... z p se pote răt (încercţi!) că există şi este unic un polinom H(x) de grd 2p + 1 stfel încât H(x i )=y i, H (x i )=z i, i p (dică grficul

112 18 CAPITOLUL 2. ANALIZĂ PE DREAPTA REALĂ lui H trece prin punctele (x i,y i ) şi re pnt tngentei z i în ceste puncte, i p). Polinomul H portă numele de polinomul de interpolre l lui Hermite, socit tbelei respective. Să se determine polinomul lui Hermite socit tbelelor /3 2/ Să se determine (cu proximţie!) 1 eşntione pe intervlul [, 1] le unui semnl x(t) de clsă C 1,ştiindcăx (t) =x 2 + t 2,( )t [, 1], x() = 4. Idem x (t) =x (t)+tx, x() = 1, x () =. Indicţie. Împărţim intervlul [, 1] în 1 părţi egle prin punctele t =, t 1 = 1 1,...,t 1 = 1 şi notăm x k = x(t k ); se fă x 1,x 2,...,x 1 din relţi de recurenţă x k+1 x k 1/1 = x 2 k + t 2 k, x =4, k 9etc. 6. Să se clculeze cu proximţie integrlele 2 e x2 dx ş i 1 dx x Să se clculeze sum seriilor: 1 n n, 1 1 n n!, 1 (n!) 2, n 1 n 1 n cu proximţie Seri rmonică 1 n este D, dr şirul c n = ln n, estec n n 1 (să se rte cest fpt). Să se completeze, folosind un miniclcultor, tbloul următor n n 1 k k=1 ln n c n /2,69,81 1 2,93 2,3, ş i s ă s e d e t e r m i n e n stfel încât n 1 k > 14 (limit şirului c n se numeşte k=1 constnt lui Euler, c, 57; cu tote eforturile făcute de mtemticieni, încă nu se ştie dcă c este su nu un număr rţionl). 9. Să se clculeze, folosind formulele (64), (65): ) f (3) pentru f(x) =x 2, h = 1 1 ; b) f ( 1) pentru f(x) = 1 x, h = 1 1 ; c) f (1) pentru f(x) =e x, h = 1 1. Evluţi erorile bsolute corespunzătore.

113 Prticulele întâlnite în ntură sunt de două tipuri: fermioni şi bozoni; în descriere lor, se utilizeză opertori în spţii finit şi respectiv infinit dimensionle. Anliz mtemtică dispune de elementele necesre pentru descriere fundmentlă nturii. (P. DIRAC) Cpitolul 3 Anliză relă multidimensionlă Introducere În cest cpitol, vom studi mi întâi conceptul mtemtic de continuitte, legt de diverse configurţii de puncte (deschişi, închişi, mulţimi compcte, mulţimi conexe etc.). Celebrul forism l lui Leibniz după cre ntur nu fce slturi îşi re desigur limitele lui, pentru că lături de fenomene cu desfăşurre continuă în timp su în dependenţă continuă de lte mărimi, există numerose situţii de discontinuitte, de slt şi ne gândim ici l scurtcircuite, dezintegrări, descărcări, ruperi etc. De semene, continuitte se foloseşte tcit în multe clcule proximtive; dcă f : A R este o funcţie relă, A R tunci pentru orice x A este definit f(x). Dr în clcule efective, x se proximeză cu otrunchiere x s şi este nturl de considert că f(x) se proximeză prin f( x); totuşi cest fpt re loc dor pentru o funcţie f continuă. Vom dezvolt poi clculul diferenţil pentru funcţii de mi multe vribile rele, studiind noţiunile de derivtă prţilă, derivtă după un versor, diferenţilă, mtrice jcobină etc. Tote ceste sunt legte de principiul linirizării, tât de utilizt în mtemtică şi în plicţiile ei. În formulre elegntă şi concisă rezulttelor vom folosi unele elemente de lgebră liniră, după cum geometri ne v înlesni unele interpretări intuitive. 3.1 Clse remrcbile de submulţimi în spţii metrice Mulţimi deschise, mulţimi închise, mulţimi dense Fie (X, d) un spţiu metric fixt. Definiţi 1.1. O submulţime D luix se numeşte deschisă (su deschis l lui X) dcă pentru orice punct D există r> rel stfel încât B(, r) D. O submulţime I X stfel încât mulţime X \ I = I să fie deschisă se numeşte închisă (su închis l lui X). Reţinem că o submulţime D unui spţiu metric este deschisă dcă odtă cu orice punct l ei, o întregă bilă centrtă în cel punct este inclusă în D. MulţimeX însăşi este evident deschisă, ir mulţime vidă Ø este şi e deschisă, deorece definiţi 1.1 se consideră verifictă (pentru că flsul implică orice ). Aşdr, mulţimile X şi Ø sunt deschise şi închise; pot însă exist submulţimi cre nu sunt nici deschise, nici închise. Exemple. 1) Fie X = R, drept relă. Evident, intervlele (, b), (, ), (,)suntmulţimideschiseîn R, pentru orice < b. Intervlul închis [, b], b este o mulţime închisă deorece complementr lui în R, dică (,) (b, ), este o mulţime deschisă. Intervlul semideschis [, b) nueste 19

114 11 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ nici mulţime deschisă şi nici închisă. În sfârşit, submulţime Z R este închisă, ir Q R nu este nici deschisă, nici închisă. Se pote răt că o submulţime lui R este deschisă dcă şi numi dcă e este o reuniune cel mult numărbilă de intervle deschise. 2) Fie X = R 2 cu distnţ euclidină (teorem II. 2.2). Discurile deschise {x 2 + y 2 <r 2 }, r> sunt mulţimi deschise, c şi exteriorele cestor {x 2 + y 2 >r 2 }. De semene, pentru <r<rfixte, coron circulră {u R 2 r< u <R} = {r 2 <x 2 + y 2 <R 2 } este o mulţime deschisă. Mulţime {(, )} redusă l origine este închisă, c şi orice dreptunghi [, b] [c, d]. 3) În spţiul metric X = R3 cu distnţ euclidină, sfer plină {x 2 + y 2 + z 2 <r 2 }, r> este deschisă, ir suprfţ sferică {x 2 + y 2 + z 2 = r 2 },cşi sfer închisă {x 2 + y 2 + z 2 r 2 } sunt mulţimi închise. Se pote răt că o submulţime D R p este deschisă dcă şi numi dcă D este o reuniune cel mult numărbilă de mulţimi de form D 1 D 2... D p, cu D i,1 i pdeschişi din R. Revenim l czul unui spţiu metric (X, d) orecre şi dăm câtev proprietăţi generle reltiv l mulţimile deschise su închise din X. Teorem 1.1. () Orice bilă deschisă din X este un deschis l lui X şi orice bilă închisă este o mulţime închisă. (b) O reuniune orecre de deschişi din X este un deschis; orice intersecţie finită de deschişi din X este un deschis. (b ) O intersecţie orecre de închişi din X este un închis: orice reuniune finită de închişi din X este un închis. Demonstrţie. () Fie X, r>şid = B(, r); D este o submulţime deschisă lui X, căci fie ( )z D ş i r = r d(z,). Se verifică imedit, folosind ineglitte triunghiului, că B(z,r ) D; figur III.1. Fig. III.1 Fie I = B (, r) ={x X d(, x) r} o bilă închisă orecre din X. Complementr ei este {x X d(, x) >r} şi este deschisă, deci I este mulţime închisă. (b) Fie D = D i o reuniune orecre de deschişi din X; rătăm că D i J este un deschis şi pentru cest, fixăm ( ) D. Atunci există i J stfel c D i ş i c u m D i este deschis, există r> stfel încât B(, r) D i D. Aşdr între punctul ş i D este intercltă o bilă şi c tre, D este mulţime deschisă. p Fie poi = D k ointersecţiefinitădedeschişidinx ş i ( ) fixt. k=1 Atunci D k ş i e x i s t ă r k > stfel încât B(, r k ) D k,1 k p. Notând r = min r k,vemr>şib(, r) D k pentru orice k, 1 k p, deci 1 k p B(, r). În concluzie, este mulţime deschisă. (b ) Rezultă imedit din (b) trecând l complementră şi plicând formulele lui de Morgn. Observţii. O intersecţie infinită ( de deschişi pote să nu mi fie un deschis; de exemplu, luând X = R, D k = 1 k, 1 ), k 1, mulţimile D k sunt deschise k î n R, dr intersecţi lor D k este redusă l origine ir mulţimile reduse l k 1 un singur punct sunt închise. Dcă X este o mulţime nevidă stfel încât să potă fi evidenţită o colecţie F de submulţimi le lui X, F P(X), cu proprietăţile: ) Ø,X prţin lui F; b) orice reuniune de mulţimi din colecţi F prţine colecţiei F; c) orice intersecţie finită de mulţimi din F prţine lui F, tunci se spune că pe X este definită o topologie F, ir pereche (X, F) se numeşte spţiu topologic. Pe ceeşi mulţime pot coexist mi multe topologii. Conform teoremei 1.1 (b) mulţimile deschise dintr-un spţiu metric formeză o topologie, deci orice spţiu metric este în mod nturl un spţiu topologic.

115 3.1. CLASE REMARCABILE DE SUBMULŢIMI ÎN SPAŢII METRICE 111 Definiţi 1.2. Fie A X o submulţime unui spţiu metric fixt (X, d ). Se numeşte interiorul lui A mulţime A {x X ( )r >, B(x, r) A} şi închidere (su derenţ) lui A, mulţime Ā {x X ( )r >, B(x, r) A Ø}. Mulţime Fr A Ā A se numeşte frontier lui A. Aşdr, A A Ā, căci dcă x A, tunci există o bilă B(x, r) conţinută î n A; bil conţine x şi dcă y A, tunci y Ā. Din definiţi frontierei, rezultă că Fr A = {x X orice bilă centrtă în x intersecteză A ş i A}. Exemple. 1) Fie X = R, A = Q. AtunciA=Ø,Ā = R, FrA = R. Fie A R o mulţime nevidă mărginită superior. Atunci sup A Ā căci pentru orice ε>, în intervlul (sup A ε, sup A] existăpunctedina (sup A fiind cel mi mic mjornt); c tre, orice intervl centrt în punctul sup A intersecteză mulţime A, decisupa Ā. Similr, se rtă că inf A Ā pentru orice mulţime nevidă A R mărginită inferior. 2) Fie X = R 2 ş i A = {x 2 + y 2 < 1}. Atunci A= A, Ā = {x 2 + y 2 1} ş i Fr = {x 2 + y 2 =1}. 3) Fie X = M [,b] cu distnţ uniformă (teorem II.2.3) şi P Xmulţime tuturor polinomelor, considerte c funcţii [, b] R. În cest cz închidere P este evident mulţime funcţiilor mărginite f :[, b] R cu propriette că ( )ε > există un polinom Q Pstfel încât d(f,q) ε, dică f(x) Q(x) ε, ( )x [, b]. O teoremă celebră lui K. WEIERSTRASS ( ) firmă că P coincide cu mulţime tuturor funcţiilor continue [, b] R, cu lte cuvinte orice funcţie continuă f :[, b] R se pote proxim uniform oricât de bine printr-un polinom [( )ε >, în tubul de funcţii (f ε, f + ε) se flă grficul unui polinom; cest fpt v fi enunţt în cpitolul VI (teorem VI 2.5)]. 4) Fie X un spţiu metric orecre. Dcă A B X, tunci este evident că A B, Ā B. Dr se pote întâmpl c Fr A / Fr B; de exemplu, luăm X = R, A = Q ş i B = Q [, 1], în cre cz vem A B, FrA = R ş i Fr B =(, ] [1, ). Teorem 1.2. Fie (X, d) un spţiu metric fixt şi A X o submulţime orecre. Atunci: () A= A ş i Ā = A; (b) A este o mulţime deschisă, ir Ā este o mulţime închisă în X; (c) Fr A = Ā\ A ş i F r A este o mulţime închisă în X. Demonstrţie. () Se plică dubl incluziune ţinând cont de definiţii. (b) Fie ( ) A fixt, deci există r>stfel încât B(, r) A. Atunci B(, r) A ş i c u m B(, r)= B(, r), rezultă că ( ) A m găsit r>stfel încât B(, r) A, decia este o mulţime deschisă. În prticulr, A este deschisă şi conform (), rezultă că mulţime Ā este deschisă, deci Ā este închisă. (c) Avem conform () Fr A = Ā A = Ā C A= Ā\ A. Fptul că Fr A este mulţime închisă, rezultă observând că e este intersecţi doi închişi. Corolr. () A este deschisă dcă şi numi dcă A = A; (b) A este închisă dcă şi numi dcă A = Ā.

116 112 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Demonstrţie. () A = A, tunci conform teoremei 1.2 (b) rezultă că A este deschisă. Reciproc, presupunem că A este deschisă; tunci A A căci ( )x A, ( )r > stfel încât B(x, r) A, decix A; cum re loc incluziune A A, rezultă că A = A. (b) A este închisă A este deschisă cf.() A = A= Ā A = Ā. Teorem următore dă crcterizre mulţimilor închise cu jutorul şirurilor. Teorem 1.3. Fie X un spţiu metric şi A X o submulţime. () Un punct x X prţine lui Ā dcă şi numi dcă există un şir {x n } î n X de puncte din A stfel încât x n x. (b) Mulţime A este închisă dcă şi numi dcă limit oricărui şir convergent de puncte din A prţine lui A. ( Demonstrţie. () Fie x Ā; tunci pentru n 1 întreg, bil B x, 1 ) ( n intersecteză A şi legem x n A B x, 1 ), n 1. Se obţine un şir {x n } n de puncte din A stfel încât d(x n,x) < 1, n 1deci lim n d(x n,x) =, dică n î n X î n X x n x. Reciproc, dcă {x n } este un şir de puncte din A ş i x n x, tunci în orice bilă centrtă în x se flă puncte le şirului, deci puncte din A, dică x Ā. î n X (b) Presupunem A î n c h i s ă ş i x n x, x n A. Atunci x Ā. Dr A fiind închisă, rezultă că Ā = A, decix A. Reciproc, dcă limit oricărui şir convergent de puncte din A prţine lui A, tunci conform () rezultă că Ā A. Incluziune A Ā fiind evidentă, rezultă că Ā = A, dică A este mulţime închisă. Definiţi 1.3. O submulţime A X se numeşte densă dcă orice punct din spţiul întreg X este limit unui şir convergent de puncte din A. Corolr. O submulţime A X este densă dcă şi numi dcă Ā = X. Demonstrţie. A este densă orice punct x X este limit unui şir de puncte din A orice punct x X prţine lui Ā X Ā X = Ā. Exemplu. 1) Pe drept relă X = R submulţimile Q, R \ Q sunt dense (căci orice număr rel este limit unui şir convergent de numere rţionle, c şi limit unui şir de numere irţionle). Similr, mulţime Q Q punctelor de coordonte rţionle din R 2 este densă. 2) Conform teoremei enunţte nterior (teorem lui Weierstrss), rezultă că funcţiile polinomile formeză o mulţime densă în spţiul funcţiilor continue [, b] R, pentru orice intervl închis şi mărginit fixt [, b] Mulţimi compcte Definiţi 1.4. O submulţime K X unui spţiu metric (X, d) se numeşte compctă (su un compct) dcă ori de câte ori K i I D i, D i deschişi din X, rezultă că există o submulţime finită J luii stfel încât K i J D i. Aşdr, mulţimile compcte u propriette definitorie că din orice coperire deschisă lor se pote extrge o subcoperire finită. (Incluziune K i I D i se citeşte stfel: mulţime K dmite coperire {D i } i I su fmili {D i } i I formeză o coperire lui K). Lem 1. Orice mulţime compctă K dintr-un spţiu metric X este închisă şi mărginită în X.

117 3.1. CLASE REMARCABILE DE SUBMULŢIMI ÎN SPAŢII METRICE 113 Demonstrţie. Probăm mi întâi incluziune K K. Fie ( )x K fixt. Dcă prin bsurd m ve x/ K, tunci pentru orice y K se pot lege bile centrte în x, y disjuncte, dică există r y >, r y > stfel încât B(x, r y ) B(y, r y)=ø. Bilele{B(y, r y)} y K formeză o coperire deschisă lui K, deci există o subcoperire finită lui K, dică există un număr finit de puncte y 1,...,y s K şi numere rele strict pozitive r 1,...r s, r 1,...,r s stfel încât B(x, r i ) B(y i,r i )=Ø,1 i s. Luăm r =min(r 1,...r s ). Atunci bil B(x, r) nu intersecteză nici un din bilele B(y i,r i ), deci nu intersecteză K, cee ce contrvine ipotezei că x K. Am probt deci incluziune K K, deci K = K şi c tre, mulţime K este închisă (conform corolrului teoremei 1.2). Pentru răt că mulţime K este mărginită, fixăm un punct X. Are loc incluziune K B(, n), deorece ( )z K, legem n nturl n 1 stfel încât n > d(z,), deci z B(, n). Cum K este compctă, din cestă coperire deschisă se extrge o subcoperire finită, deci K este conţinută într-o bilă B(, N), dică mulţime K este mărginită. Teorem dificilă cre urmeză rtă că în spţii metrice compcitte cu coperiri deschise revine l compcitte cu şiruri. Teorem 1.4. Fie X un spţiu metric; o submulţime K X este compctă dcă şi numi dcă orice şir de puncte din K re un subşir convergent în K. Demonstrţie. Presupunem K compctă şi fie {x n } n un şir de puncte din K. Dcă cest şir nu re nici un subşir convergent în K (deci nici în X, conform lemei nteriore şi teoremei 1.3 (b)), tunci mulţimile D = X \ {x,x 1,x 2,...}, D 1 = X \{x 1,x 2,x 3,...}, D 2 = X \{x 2,x 3,...} etc. sunt deschise în X şi coperă K. Atunci există un număr finit de mulţimi D i, i coperind K ş i c u m D D 1 D 2...,rezultăcăexistăN stfel încât K D N, cee ce este bsurd, deorece x N K ş i x N / D N. Probăm cum firmţi reciprocă. Observăm mi întâi că re loc următore serţiune: ( ) ε> există o coperire finită lui K cu bile de rză ε. (1) Într-devăr, presupunând că cest fpt nu r ve loc, fixăm un punct x K. Deorece K / B(x,ε), există x 1 K stfel încât x 1 / B(x,ε); poi există x 2 K stfel încât x 2 / B(x,ε), x 2 / B(x 1,ε), deorece K /B(x,ε) B(x 1,ε)etc.Şirul{x n } n stfel construit re propriette că d(x m,x n ) ε, ( )m, n, deci nu pote ve subşiruri convergente, cee ce contrvine ipotezei. Trecem l demonstrre fptului că mulţime K este compctă; fie K D i, D i deschişi din X. Vom prob în prelbil următore firmţie: i I există ε> stfel încât ( )x K, există i I cu B(x, ε) D i. (2) Într-devăr, în cz contrr, luăm ε = 1 n ş i e x i s t ă x n K stfel încât ( )i ( I, B x n, 1 ) /D i. Conform ipotezei, şirul {x n } n 1 re un subşir convergent n x kn î n K ş i c u m d e s c h i ş i i D i coperă K, existăi I stfel încât D i. Cum D i este deschis, există r>rel cu B(, r) D i.pentrunsuficient de mre vem tunci d(, x kn ) < r 2, 1 < r ( ) k n 2,deciB 1 x kn, B(, r) D i, k n cee ce conduce l o contrdicţie. Pentru coperire deschisă {D i } i I luik legem ε> stfel încât să ibă loc formţi (2). Conform serţiunii (1), pentru cest ε există o coperire finită lui K cu bile de rză ε. Cum fiecre din ceste bile este conţinută în câte un deschis D i cel puţin, rezultă că ceste D i (în număr finit!) coperă de semene K. Corolr 1. Un spţiu metric X este compct dcă şi numi dcă orice şir de puncte din X re un subşir convergent.

118 114 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Corolr 2. Dcă X ş i Y sunt spţii metrice compcte, tunci X Y este spţiu metric compct. (Pe mulţime X Y se introduce distnţ d punând d(z 1,z 2 )= d X (x 1,x 2 ) 2 + d Y (y 1,y 2 ) 2, ( )z 1 =(x 1,y 1 ) X Y, ( )z 2 = (x 2,y 2 ) X Y. Convergenţ în X Y revine l convergenţ pe componente, c în czul R 2 = R R). Demonstrţie. Pentru răt că X Y ete spţiu compct se plică corolrul 1; fie z n =(x n,y n ), n unşirdepunctedinx Y. Cum X este î n X compct, şirul {x n } n re un subşir convergent x kn ; şirul{y kn } n re î n Y l rândul lui un subşir convergent (căci Y este compct) y lk b ş i e v i d e n t n î n X x lk. Aşdr, şirul {z n } n re un subşir convergent în X Y, nume (x,y lk n l k ) (, b). n Corolrul 2 se extinde imedit l czul unui număr finit de spţii metrice compcte. Corolr 3. Orice prlelipiped închis P =[ 1,b 1 ]... [ p,b p ] din R p este compct. Demonstrţie. Observăm mi întâi că orice intervl închis şi mărginit [, b] de pe drept relă este mulţime compctă. Acest fpt rezultă din teorem 1.4 în modul următor: fie {x n } n un şir de puncte din [, b]; cest şir este mărginit şi conform lemei lui Cesró, v ve un subşir convergent către un punct din [, b] =[, b]. Aşdr, prlelipipedul P rezultă compct, c produs crtezin finit de mulţimi compcte. Exemple. Intervlul [,1], dreptunghiul [, 1] [3, 5] sunt mulţimi compcte; dr intervlul [, 1), c şi spţiile R, R 2 nu sunt compcte. Teorem cre urmeză dă crcterizre mulţimilor compcte din R p cu p 1 fixt rbitrr. E permite obţinere de multe lte exemple de mulţimi compcte. Teorem 1.5. O submulţime K R p, p 1, este compctă dcă şi numi dcă este închisă şi mărginită. Demonstrţie. Dcă K este mulţime compctă, tunci K este închisă şi mărginită, conform lemei 1. Reciproc, fie K închisă şi mărginită. Atunci există un prlelipiped compct P c în corolrul 3 l teoremei 1.4 stfel încât K P. Pentru prob compcitte lui K plicăm teorem 4.1: fie {x n } n un şir de puncte din K; cest şir prţine lui P ş i c u m P este compct, şirul î n P {x n } n re un subşir convergent x kn. Cumx kn K, rezultă K = K î n K (plicând teorem 1.3, ()); şdr x kn Mulţimi convexe, mulţimi stelte Presupunem X = R n, n 1 fiind fixt. Pentru orice două puncte,, b R n se numeşte segment închis de cpete, b, submulţime [, b] ={z λ =(1 λ) + λb λ [, 1]} din R n. (3) Fig. III.2 Pentru n =1, 2, 3, regăsim noţiune uzulă de segment (fig. III. 2). Definiţi 1.5. OmulţimeS R n se numeşte steltă dcă există un punct S, nu nepărt unic, stfel încât pentru orice x S, să vem [, x] S; şdr, cel punct pote fi unit cu orice le punct din S printr-un segment închis conţinut în S. OmulţimeC R n se numeşte convexă dcă pentru orice, b C vem [, b] C; şdr, pentru orice două puncte din C, segmentul închis cre le uneşte este conţinut în C. Exemple. 1) Orice bilă deschisă (su închisă) şi orice prlelipiped în R n sunt mulţimi convexe. În R mulţimile convexe sunt exct intervlele.

119 3.1. CLASE REMARCABILE DE SUBMULŢIMI ÎN SPAŢII METRICE 115 2) Orice mulţime convexă este steltă. Reciproc este flsă; mulţime R 2 \T, T = {(x, y) R 2 x, y=} este steltă, fără fi convexă. Mulţime R 2 \ (, ) nu este steltă, deci nici convexă. 3) Intersecţi oricărei fmilii de mulţimi convexe din R n este o mulţime convexă; verificre este imedită. Fie f : R n R, f o funcţie liniră, dică există constnte rele c 1,c 2,...,c n nu tote nule stfel încât f(x 1,x 2,...,x n )=c 1 x c n x n. Orice mulţime de form H = {(x 1,...,x n ) R n f(x 1,x 2,...,x n )=α}, α rel dt, se numeşte hiperpln, ir mulţimile de form {f <α) {(x 1,x 2,...,x n ) R n f(x 1,x 2,...,x n ) <α}, {f α}, {f >α}, {f α}, senumescsemispţii definite de f şi α. Se probeză fără dificultte că hiperplnele şi semispţiile sunt mulţimi convexe; în czul n = 2 hiperplnele sunt drepte, ir semispţiile sunt semiplne. Orice intersecţie de semispţii din R n se numeşte poliedron convex; vom numi poliedru convex orice poliedron convex cre în plus este compct (în czul n = 2 se regăsesc poligonele convexe; de exemplu, interiorul unui triunghi reunit cu frontier este intersecţi trei semiplne şi este un poligon convex) Exerciţii 1. Să se rte că orice mulţime deschisă D R este reuniune cel mult numărbilă de intervle deschise. Indicţie. Pentru orice D se leg numere rţionle α, β stfel încât (α, β) D. AtunciD este reuniune intervlelor de form (α, β). 2. Fie X un spţiu metric, A X, X. Punctul se numeşte punct izolt l lui A dcă A ş i e x i s t ă r > stfel încât A B(, r) ={}. Punctul se numeşte punct de cumulre l lui A dcă A \, dică în orice vecinătte lui se flă o infinitte de elemente din A. Presupunând X { = } R, să se fle punctele izolte şi punctele de cumulre 1 { le mulţimilor Z,, Q, cos nπ }. Similr pentru czul X = R 2 ş i n n 2 n {( 1 submulţimile n, 1 )} {( n, 1 )} n n, n 1. n 1 3. Fie X un spţiu metric şi A X. Să se rte că A este cel mi mre deschis l lui X conţinut în A, ir A este cel mi mic închis l lui X cre conţine A (reltiv l ordine definită de incluziune). 4. Fie(X, d) un spţiu metric şi A X; probţi că (A, d) este de semene spţiu metric (numit subspţiu l lui X). Fie X = R ş i A =[ 1, 1], cu distnţ euclidină. Să se rte că mulţime D =[ 1, ) este deschisă în A, dr nu şi î n X. 5. FieD submulţimeluir 2. Să se rte că: ) D este deschisă dcă şi numi dcă ( )(x, y) D există deschişi D 1,D 2 î n R stfel încât x D 1, y D 2 ş i D 1 D 2 D; b) Dcă D,D sunt deschişi în R, tunci D D este deschis în R 2, dr nu orice deschis din R 2 este de cestă formă. 6. FiesubmulţimeM = [1, 1] lui R. Să se rte că fmili intervlelor deschise din R de lungime 1 formeză o coperire deschisă lui M; săseindice o subcoperire finită lui M. Cre este numărul minim de stfel de intervle coperind M? 7. ) Să se rte că intersecţi şi reuniune două mulţimi compcte din R 2 sunt compcte; generlizre. î n X b) Să se rte că dcă X este un spţiu metric şi x n, tunci mulţime {, x,x 1,x 2,...} este compctă în X. 8. OmulţimeA X dintr-un spţiu metric X se numeşte reltiv compctă dcă închidere ei Ā este compctă. Să se rte că: ) în R p (p 1) o mulţime este reltiv compctă dcă şi numi dcă este mărginită;

120 116 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ b) în spţiul X = Q mulţime {x Q x 2 < 2} este mărginită, fără fi reltiv compctă. 9. Fie <α<βnumere rele fixte. Să se rte că mulţimile { z α}, {α z β}, {α Re z β}, {α Im z β} din C sunt închise. Cre din ele sunt compcte? 1. Să se rte că R este spţiu metric compct, dr R, C, M A nu u cestă propriette. 11. Să se rte că orice dreptunghi închis [, b] [c, d]dinr 2 este un compct convex; dţi exemple de submulţimi din R 2 cre sunt compcte neconvexe su convexe necompcte. 12. Să se stbilescă cre din submulţimile următore le lui C sunt deschise, închise, compcte, convexe: {z C z 1}, { z 1 = 1}, {1 < z 2}, { 1 Re z 2}, { z 2 > 1}, { z 1 1, {2 z 2i 4}. 3.2 Continuitte Aplicţii continue; crcterizre, tipuri prticulre Fie X, Y două spţii metrice, în cre convenim să notăm cu ceeşi literă d distnţele respective. Fixăm o plicţie f : X Y. Remintim că termenii plicţie şi funcţie sunt sinonimi; în mod tcit, în considerţii generle se foloseşte cu precădere termenul de plicţie. În cele ce urmeză, sunt cuprinse czurile prticulre 1) X R, Y = R (trtt în liceu); 2) czul plicţiilor vectorile X R n, X R m, m, n 1; 3) czul câmpurilor sclre X R şi l câmpurilor vectorile X R 3 (X R 3 ); 4) czul funcţiilor complexe X C (X C). Definiţi 2.1. Aplicţi f se numeşte continuă într-un punct x X dcă pentru orice vecinătte V luif(x ), există o vecinătte U luix stfel încât f(u) V. Dcă f nu este continuă în x e se numeşte discontinuă î n x. Dcă f este continuă în fiecre punct x X, se spune că f este continuă pe X. Teorem 2.1. (crcterizre continuităţii într-un punct). Fie f : X Y oplicţieîntrespţiilex, Y ş i x X un punct fixt. Atunci sunt echivlente următorele firmţii: () f este continuă în x ( definiţi cu vecinătăţi ); (b) ( )ε >, ( )δ(ε) > stfel încât ( )x X, d(x, x ) < δ implică d(f(x),f(x )) <ε, dică f(b(x,δ)) B(f(x ),ε) ( definiţi cu ε δ ); î n X (c) pentru orice şir convergent n x, rezultă f( n ) î n Y f(x ), ( definiţi cu şiruri ). Fig. III.3 Fig. III.3b Demonstrţie. () (b). Presupunem că f este continuă în x î n s e n s u l definiţiei 2.1 şi fie ( )ε > fixt. Considerând vecinătte V = B(f(x ),ε)lui f(x ), există o vecinătte U luix stfel încât f(u) V. Dr tunci există δ>stfel încât B(x,δ) U deci f(b(x,δ)) f(u) V = B(f(x ),ε), de unde rezultă (b). (b) (c). Presupunem că f verifică condiţi (b) reltiv l punctul x ş i î n X fie n x. Avem de rătt că f( n ) î n Y f(x ) şi pentru cest fixăm ε> rbitrr. Conform ipotezei (b), există δ>stfel încât ori de câte ori x X, d(x, x ) <δ,sărezulted(f(x),f(x )) <ε. Cum n x,existăun rng N stfel c d( n,x ) <δ,( )n N, dică d(f( n ),f(x )) <εpentru orice n N; şdr, f( n ) î n Y f(x ). (c) (). Rţionăm prin reducere l bsurd; presupunem şdr că deşi re loc condiţi (c), totuşi există o vecinătte V luif(x ) stfel încât oricre r fi vecinătte U luix să vem f(u) /V. Pentru orice n 1 nturl,

121 3.2. CONTINUITATE 117 ( luăm U = B x, 1 ) ( (.Cumf B x, 1 )) ( /V,există n B x, 1 ) stfel n n n încât f( n ) / V. Aşdr d( n,x ) < 1 n,deci n x. Conform ipotezei (c) rezultă f( n ) f(x ), deci de l un rng încolo, f( n ) V, bsurd. Afirmţiile (), (b), (c) fiind logic echivlente, oricre din ele pote fi lută c definiţie continuităţii unei plicţii într-un punct. Sensul intuitiv l continuităţii lui f î n x este următorul: l vriţii suficient de mici le lui x corespund vriţii oricât de mici le lui f(x ). Continuitte unei funcţii nu pote fi testtă pe un clcultor. Exemple. 1) Fie X un spţiu metric şi X un punct fixt. Aplicţi identică 1 X : X X şi plicţi constntă f : X X, x ( X fixt) sunt evident continue pe X (folosind de exemplu (c)). 2) Fie p 1 fixt. Aplicţiile de proiecţie π k : R p R, 1 k p definite prin π k (z 1,...,z p )=z k sunt continue pe R p. Într-devăr, fie ( ) = ( 1,..., p ) R p î n R fixt şi x p n ; conform crcterizării convergenţei şirurilor din R p pe componente, rezultă că x k n k (în R), dică π k (x n ) π k () şic tre, fiecre plicţie π k este continuă pe R p. 3) Din liceu este cunoscut fptul că orice funcţie relă elementră este continuă pe orice deschis conţinut în domeniul ei de definiţie. Teorem 2.2. Fie f : X Y o plicţie între două spţii metrice. () f este continuă pe X dcă şi numi dcă f 1 (D) este deschisă în X pentru orice deschis D din Y ; (b) f este continuă pe X dcă şi numi dcă f 1 (I) este închisă în X, oricre r fi mulţime închisă I din Y. Demonstrţie. () Fie f continuă pe X ş i D un deschis în Y. Avem de rătt că mulţime f 1 (D) estedeschisăîn X. Pentru cest, fie f 1 (D) un punct rbitrr, deci f() D ş i c u m D este deschis, există ε> stfel încât B(f(),ε) D. Conform teoremei 2.1 (b), f fiind continuă în, există δ> stfel încât f(b(, δ)) B(f(),ε) D, dică B(, δ) f 1 (D). Reciproc, presupunem că f întorce deschişi din Y în deschişi din X şi rătăm că f este continuă în fiecre punct x X. FieV o vecinătte orecre luif(x ), deci există o bilă deschisă D = B(f(x ),ε) V ; conform ipotezei f 1 (D) esteundeschisîn X conţinând x şi stfel găsim o vecinătte lui x, nume U = f 1 (D) stfel c f(u) D V. Aşdr, m probt condiţi () din teorem 2.1 şi c tre, f rezultă continuă în x. (b) Rezultă direct din () folosind fptul că f 1 (Y \ I) =X \ f 1 (I) şică închişii coincid cu complementrele de deschişi. Teorem 2.3. (continuitte plicţiilor compuse). Fie X f Y g Z două plicţii între spţii metrice şi x X. Dcă f este continuă în x ş i g este continuă în punctul f(x ), tunci compunere g f este continuă în x. În prticulr, dcă f este continuă pe X, irg este continuă pe Y, tunci g f este continuă pe X. î n X Demonstrţie. Folosim teorem 2.1 (c). Fie orice şir convergent u n x ; tunci f(u n ) î n Y f(x )şig(f(u n )) î n Z g(f(x )), folosind ipotez supr funcţiilor f ş i g. Aşdr, (g f)(u n ) î n Z (g f)(x ), deci g f este continuă în punctul x. Prte secundă enunţului este imedită, deorece pentru orice x X, rezultăcăg f este plicţie continuă în x. Funcţii continue cu vlori rele Fixăm o funcţie continuă f : X R definită pe un spţiu metric X. În cest cz, mulţime Z f = {x X f(x) =} zerourilor lui f este închisă, deorece Z f = f 1 (), {} este mulţime închisă în R şi plicăm teorem 2.2 (b).

122 118 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Definiţi 2.2. Se numeşte suport l funcţiei f : X R închidere mulţimii {x X f(x) }, dică mulţime supp f Z f = Zf, (4) ultim relţie decurgând din teorem 1.2. Aşdr, suportul unei funcţii f este complementr interiorului lui Z f,deci complementr celui mi mre deschis pe cre f se nuleză. Exemple. 1) Fie f : R R, { sin x dcă x ( π, π) f(x) = în rest. Atunci Z f =(, π] {} [π, ) şisuppf =[ π, π]. 2) Fie X = R 2 ş i f u n c ţ i f : R 2 R definită prin { 1 x 2 y 2 dcă x 2 + y 2 < 1 f(x, y) = î n r e s t. Atunci supp f = {x 2 + y 2 1}. 3) O clsă importntă de funcţii X R o constituie cls C (X) funcţiilor continue cu suport compct, vând suportul o mulţime compctă. Astfel, orice funcţie relă continuă f : R R, nulă în fr unui intervl mărginit prţine lui C (R). Semnlul unitte σ : R R definit prin { 1 dcă x σ(x) = dcă x<. nu re suport compct, deorece supp σ =[, ). Semnlele în timp, vând suport compct, sunt nule în fr unui intervl de timp [t,t 1 ] şi cţioneză nebnl dor între momentele de timp t ş i t 1. Teorem 2.4. Fie f,g : X R funcţii continue şi λ R oconstntă relă. Atunci funcţiile f + g, f g, λf, fg sunt funcţii continue X R ş i l fel este funcţi g/f : X \ Z f R, definită pe deschisul X \ Z f. Funcţiile f, mx(f,g) = 1 2 (f + g + f g ), min(f,g) =1 (f + g f g ) sunt de semene 2 continue. Demonstrţi rezultă imedit folosind definiţi continuităţii cu şiruri (teorem 2.1 (c)). Corolr 1. Fie f,g : X R funcţii continue. Atunci mulţimile D 1 = {x X f(x) <g(x)}, D 2 = {x X f(x) >g(x)} sunt deschise, ir I 1 = = {x X f(x) g(x)}, I 2 = {x X f(x) g(x)} sunt închise. Demonstrţie. Notăm f g = h; şdr, h este funcţie continuă. Intervlele (, ), (, ) sunt mulţimi deschise, ir (, ], [, ) suntmulţimiînchise. Corolrul rezultă plicând teorem 2.2 şi observând că D 1 = h 1 ((, )), D 2 = h 1 ((, )), I 1 = h 1 ((, ]), I 2 = h 1 ([, )). Corolr 2. Fie f,g : X R funcţii continue, coincizând pe o submulţime densă A X. Atunci f = g. Demonstrţie. Notăm I = {x X f(x) =g(x)}. Mulţime I este închisă (căci I = I 1 I 2, cu notţiile din corolrul 1) şi cum f ş i g coincid pe A, rezultă că A I. AtuncirezultăĀ Ī = I ş i c u m A este densă (dică Ā = X), rezultă X = I, dică f = g pe întreg X. Teorem 2.5. (păstrre semnului pe o vecinătte). Fie f : X R o funcţie continuă într-un punct x X. Dcă f(x ) > (respectiv f(x ) < ), tunci f este pozitivă (respectiv negtivă) într-o vecinătte lui x.

123 3.2. CONTINUITATE 119 Demonstrţie. Presupunemf(x ) > şi legem ε> stfel încât f(x ) > ε. Considerăm vecinătte lui f(x ), V =(f(x ) ε, f(x )+ε). Deorece f este continuă, există o vecinătte U luix stfel încât f(u) V ;( )z U, vem f(z) V,decif(z) >f(x ) ε şi c tre, f este pozitivă pe U. Czul f(x ) < se trteză l fel. Teorem 2.6. Fie f 1,...,f p : X R funcţii definite pe un spţiu metric ş i F : X R p plicţi definită prin F (x) =(f 1 (x),...,f p (x)), ( )x X. Aplicţi F este continuă pe X dcă şi numi dcă f 1,...,f p sunt continue pe X. Demonstrţie. Presupunem că F este continuă; vem f k = π k F,1 k p, undeπ k : R p R sunt plicţiile de proiecţie, deci plicţiile f k sunt continue. Reciproc, dcă f 1,...,f p sunt continue pe X tunci ( ) X ş i î n X pentru orice şir x n, rezultăcăf k (x n ) f k (), 1 k p; conform crcterizării convergenţei şirurilor în R p, se obţine că (f 1 (x n ),...,f p (x n )) î n Rp (f 1 (),...,f p ()), dică F (x n ) î n Rp F (), deci F este continuă în punctul. Exemple. 1) Funcţi F : R R 2, t (t 2,t 3 ) este continuă deorece componentele ei f 1 (t) =t 2, f 2 (t) =t 3 sunt continue pe R. În mod similr, funcţi F : R R 2,(u + v) (u + v, uv) este continuă. 2) De semene, ( dcă A = {(x, y, z R 3 z>}, tunci câmpul vectoril xy ) A R 3,(x, y, z) z, ln z,x y, nott echivlent v = xy ī+ln z ȷ+(x y) k, z reltiv l un reper ortogonl de versori ī, ȷ, k, este continuu pe A. 3) Fie X un spţiu metric şi o funcţie f : X C cu vlori complexe; se pot soci trei funcţii cu vlori rele, nume P : X R, x Re f(x) (prte relă lui f); Q : X R, x Im f(x) (prte imginră lui f) ş i f : X R, x f(x) (modulul lui f). Utilizând definiţi continuităţii cu şiruri (su plicând teorem 2.6 pentru C = R 2,rezultăcăfuncţif este continuă pe X dcă şi numi dcă funcţiile P, Q sunt continue. De semene, dcă f este continuă pe X, tunci f = P 2 + Q 2 este continuă (Se mi scrie f = P + iq). Aplicţii linire şi continue între spţii vectorile normte Fie E,F două spţii vectorile normte rele şi f : E F o plicţie R- liniră; şdr, ( )x, y E, ( )λ R, vemf(x + y) =f(x)+f(y), f(λx) = λf(x). În prticulr, f() =. Teorem 2.7. Sunt echivlente firmţiile: () f este continuă pe E; (b) f este continuă în origine lui E; (c) există C> rel stfel încât f(x) C x, ( )x E. Demonstrţie. Implicţi () (b) este evidentă. (b) (c). Scriem că f este continuă în punctul x =, folosind definiţi continuităţii cu ε δ. Luând ε = 1, există un număr δ>stfel încât de îndtă ce x E, x =d(x, ) <δsăvem f(x) =d(f(x),f()) < 1. Alegem C = 2 şi probăm că f(x) C x, ( )x E. Dcă x = cestă ineglitte δ x este evidentă; ir dcă x, notăm y = δ 2 x,deci y = δ 2 x x = δ 2. ( ) C tre, f(y) < 1, dică δ f 2 x x < 1şicumf este R-liniră rezultă δ 2 x f(x) < 1, dică f(x) 2 x = C x. δ î n E (c) (). Fie ( )x E fixt şi fie orice şir convergent n x.atunci din condiţi (c) rezultă că f( n ) f(x ) = f( n x ) C n x, ( )n.

124 12 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Fig. III.4 De ici se deduce că f( n ) î n F f(x ), dică f este continuă în punctul x. Observţie. Considerăm un sistem intrre-ieşire, în cre intrările şi ieşirile sunt elemente le spţiilor vectorile E şi F respectiv şi oricărei intrări x E îi corespunde ieşire y = f(x) (scriemx y). Presupunem că f este o plicţie liniră şi continuă. Propriette de liniritte este o exprimre principiului suprpunerii, conform cărui de îndtă ce x i y i ş i λ i sunt p p sclri reli, 1 i p, rezultăcă λ i x i λ i y i. Conform teoremei 2.7, i=1 rezultă că există o constntă relă C> stfel încât y C x, deci y x C, ( )x E, x. Aşdr constnt C pre c un grosisment l sistemului, c un mjornt l rportelor între normele semnlelor corespunzătore de ieşire şi intrre, Numărul rel i=1 inf{c > f(x) C x, ( )x E} exprimă o propriette sistemului f şi este nott f (norm lui f). probeză fără dificultte că f(x) f x, ( )x E. Studiem cum czul când spţiile E şi F sunt finit dimensionle. Corolr. Fie f : R n R m (m, n > 1) oplicţier-liniră. Atunci f este continuă şi trnsformă mulţimi mărginite în mulţimi mărginite. Demonstrţie. Pentru început considerăm czul m = 1; fie {e 1,...,e n } bz cnonică în R n ş i c i = f(e i ), 1 i n. Pentru orice x R n, x = {x 1,...,x n } n vem x = x i e i ş i f(x) = n n i=1 x if(e i )= c i x i. De ici rezultă că f este i=1 polinom de grdul I (pentru m = 1) şi c tre este funcţie continuă. Trecând l czul generl, pentru o plicţie R-liniră f : R n R m orecre rezultă că tote cele m componente f 1,...,f m le lui f sunt continue şi utilizând teorem 2.6 rezultă că f este continuă. Apoi conform teoremei 2.7 există C > stfel încât f(x) C x, ( )x R n.fiem R n o submulţime mărginită; deci există ρ> stfel încât M B(,ρ). Atunci f(m) B(, ρc), deorece ( )z f(m), vem z = f(x) cu x M deci d(z,) = z = f(x) C x < ρc, dică z B(, ρc). Aşdr, mulţime f(m) este conţinută într-o bilă din R m, deci este mărginită. Demonstrăm cum un rezultt de mre însemnătte principilă privind plicţiile nlizei în conjugre cu metodele numerice. i=1 Teorem 2.8. Fie un intervl compct fixt [, b], <b. () Lure integrlei, dică plicţi Se I : C [,b] R, este o plicţie continuă. (b) Opertorul de derivre b f f(x)dx. D : C 1 [,b] C [,b],f f este o plicţie discontinuă în orice punct. Demonstrţie. Pe spţiul vectoril rel C [,b], c şi pe subspţiul C1 [,b] l cestui, se consideră norm uniformă. () Pentru orice f C [,b] vem I(f) = b f(x)dx, deci I(f) b f dx =(b ) f. Am verifict stfel condiţi (c) teoremei 2.7 şi plicţi I fiind R-liniră, e rezultă continuă.

125 3.2. CONTINUITATE 121 (b) Deorece D este plicţie R-liniră, este suficient (conform teoremei 2.7) să probăm că e este discontinuă în origine. Pentru cest, este dejuns să indicăm un şir {f n } n de funcţii din C[,b] 1 stfel încât f UC n, dr UC D(f n ) /, dică f n /. În cest scop, luăm f n (x) =(sinnx)/ n deci f n pe intervlul [, b]; pe de ltă prte, f n(x) = n cos nx, deci f n = n (pentru orice n 2π b ), deci şirul {f n} nu este uniform convergent către, dică Df n / în C[,b]. Observţie. Teorem 2.8 explică de ce integrl, spre deosebire de derivtă, este mi bine dpttă plicării metodelor proximtive (căci l vriţii suficient de mici le lui f corespund vriţii oricât de mici pentru I(f), în timp ce două funcţii derivbile pot ve grficul forte propit reltiv l distnţ uniformă, dr derivtele să nu ibă o propriette similră (fig. III. 5 şi b) Proprietăţi le funcţiilor continue pe spţii compcte Teorem 2.9. Fie f : X Y o plicţie continuă între două spţii metrice. Dcă K X este o mulţime compctă, tunci imgine directă f(k) este submulţime compctă lui Y. Demonstrţie. Fie{V i } i I o coperire lui f(k) ) cudeschişidiny, f(k) V i = f 1 (V i ); cum f este i I ( V i ; tunci K f 1 (f(k)) f 1 i I i I continuă, mulţimile D i = f 1 (V i ), i I sunt deschise în X (teorem 2.2 ()). Din relţi K D i şi din ipotez de compcitte lui K, rezultăcăexistă i I UC Fig. III.5 Fig. III.5b osubmulţimefinităj I stfel încât K i J D i,deci ( ) f(k) f D i = f(d i )= f(f 1 (V i )) V i i J i J i J i J şi stfel, din coperire {V i } i I luif(k) m extrs o subcoperire finită {V i } i J. Aşdr, mulţime f(k) este compctă. Definiţi 2.3. O funcţie numerică f : X R se numeşte mărginită dcă mulţime f(x) luireste mărginită; în cest cz se noteză sup f = X f =inff(x) şi se spune că f îşi tinge mrginile pe X dcă sup f(x), inf X există puncte α X, β X stfel încât sup X f = f(α), inf X f = f(β). Teorem cre urmeză constituie un rezultt fundmentl. Teorem 2.1. Fie f : X R o funcţie continuă numerică pe un spţiu metric compct X. Atunci f este mărginită şi îşi tinge mrginile. Demonstrţie. Submulţimef(X) luireste compctă conform teoremei 2.9, deci este închisă şi mărginită (conform teoremei 1.5). Aşdr, funcţi f este mărginită. În plus, numerele rele sup f, inff prţin lui f(x) şicum X X f(x) =f(x), rezultă că sup X f, inf X f prţin lui f(x) deci sunt tinse. Exemple. 1) Funcţi f :(, 1) R definită prin f(x) = 1 este evident x continuă, dr nu este mărginită; mrginile ei în R sunt inf f = 1, sup f = ş i nu sunt tinse. Acest rtă de ce condiţi c X să fie compct este esenţilă în teorem ) Fie A, B, C trei puncte distincte în pln şi X triunghiul ABC (interiorul reunit cu frontier s obţinută reunind cele trei lturi). Atunci sum MA +

126 122 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ MB+MC,undeM este un punct orecre din plnul triunghiului, re minimul şi mximul tinse în X. Într-devăr, X este compct, sum MA+ MB+ MC vriză continuu cu punctul M şi se plică teorem 2.1 (fixând un reper în plnul triunghiului, sum respectivă este funcţie continuă de coordontele punctului M). Teorem Mulţime C X tuturor funcţiilor continue X R, definite pe un spţiu compct, re o structură de spţiu Bnch reltiv l norm uniformă. Demonstrţie. Mi întâi, observăm că orice funcţie f C X este mărginită (conform teoremei 2.1). Aşdr, C X M X şi remintim că spţiul M X este un spţiu Bnch reltiv l norm uniformă (teorem II. 3.6). Este evident că spţiul C X este un SVN şi rămâne de dovedit completitudine lui C X.Fie pentru cest {f n } n un şir Cuchy în C X ; el v fi şir Cuchy în M X ş i cum M X este complet, rezultă că şirul {f n } n converge către un element f UC î n M X, dică f n f. Deorece funcţiile f n sunt continue, rezultă că f este continuă (teorem II. 4.3), dică şirul {f n } converge către f î n C X. Definiţi 2.4. O funcţie f : X Y între două spţii metrice se numeşte uniform continuă pe X dcă este îndeplinită următore condiţie: ( )ε > ( ) δ> stfel încât ( )x, y X, d(x, y) <δ, să vem d(f(x),f(y)) <ε. (5) Funcţi f se numeşte lipschitzină (după numele lui R. LIPSCHITZ, ) dcă există o constntă relă C>stfel încât d(f(x),f(y)) Cd(x, y), ( )x, y X. Evident, dcă f este lipschitzină, tunci e este uniform continuă căci ( )ε >seiδ = ε şi se probeză bnl condiţi (5)). C Exemplu. 1) Orice funcţie relă f : I R definită pe un intervl, derivbilă cu derivt mărginită pe I este lipschitzină; într-devăr, fie M > stfel încât f (x) M, ( )x I. Atunci pentru orice x, y I vem f(x) f(y) = (x y)f (ξ) cuξ I, deci f(x) f(y) = x y f (ξ) M x y, ( )x, y I. Aşdr, orice funcţie din C[,b] 1 este lipschitzină. 2) Pentru o plicţie f : X Y între două spţii metrice, u loc evident implicţiile: f contrcţie f lipschitzină f uniform continuă f continuă. Remrcăm că există funcţii continue, cre nu sunt uniform continue. De exemplu, considerăm funcţi continuă f :(, 1] R, f(x) = 1. Dcă f r fi x uniform continuă, tunci pentru ε = 1 există δ>stfel încât x, y (, 1], 2 x y <δsă implice f(x) f(y) < 1 2. Luăm x = 1 n, y = 1 cu n nturl n +1 les stfel încât 2 n <δ. Atunci x y < 2 n <δ,deci f(x) f(y) < 1 ( ) 2 ; dr 1 f(x) =f = n, f(y) =n +1 şi rezultă n (n + 1) < 1 n 2, dică 1 < 1 2, bsurd. Pentru o funcţie f : X Y c mi sus, deosebire dintre definiţi continuităţii şi ce uniform continuităţii revine l o permutre de cuntifictori logici: f continuă pe X :( )x X ( )ε >( )δ > stfel încât ( )x X (d(x, x ) <δ d(f(x),f(x )) <ε); f uniform continuă pe X :( )ε >( )δ > stfel încât ( )x X ( )x X (d(x, x ) <δ d(f(x),f(x )) <ε).

127 3.2. CONTINUITATE 123 Am văzut că ceste noţiuni sunt distincte; re loc totuşi Teorem Dcă f : X Y este o funcţie continuă şi X este compct, tunci f este uniform continuă. Demonstrţie. Presupunem prin bsurd că nu r fi îndeplinită condiţi (5). Atunci există ε > stfel încât ( )δ > săexistex, y X, d(x, y) < δ pentru cre d(f(x),f(y)) ε. Luând δ = 1 n, n 1 găsim puncte x n,y n X, stfel încât d(x n,y n ) < 1 n ş i d ( f(x n),f(y n )) ε. În spţiul compct X ş i r u l î n X {x n } n 1 re un subşir convergent x kn ξ folosind teorem 1.4.). Din relţi d(x n,y n ) < 1 n,( )n 1rezultăcăy î n X k n ξ. Deorece f este continuă, rezultă că f(x kn ) f(ξ), f(y kn ) f(ξ), dică d(f(x kn ),f(x kn )) pentrun. Acest contrvine fptului că d(f(x n ),f(y n )) ε, ( )n 1. Vom d o consecinţă importntă cestei teoreme. Mi întâi este necesră Definiţi 2.5. O funcţie relă f :[, b] R se numeşte funcţie în scră dcă există o diviziune ( ) : = x <x 1 <...<x n = b intervlului [, b] stfel încât f să fie constntă pe fiecre din intervlele semi-deschise [, x 1 ), [x 1,x 2 ),...,[x n 1,b) le diviziunii. Se verifică imedit că sum, diferenţ şi produsul două funcţii în scră pe [, b] sunt de semene funcţii în scră. Corolr. Orice funcţie continuă f :[, b] R este limit unui şir uniform convergent de funcţii în scră. Demonstrţie. Fixăm ε> rbitrr. Conform teoremei 2.12 există δ> stfel încât de îndtă ce x, y [, b]şi x y < δ,sărezultecă f(x) f(y) < ε. Alegem puncte echidistnte de diviziune x =, x 1,x 2,...,x n = b stfel încât x i x i 1 = b <δ, pentru orice 1 i n şi considerăm funcţi în scră n ϕ ε :[, b] R definită prin ϕ ε (x) = f() dcă x [, x 1 ) f(x 1 ) dcă x [x 1,x 2 ). f(x n 1 ) dcă x [x n 1,b] Este evident că ϕ ε f = sup x [,b] ϕ ε f(x) ε, ultim relţie fiind o consecinţă fptului că orice punct x [, b) prţine unui intervl [x i 1,x i ), 1 i n l diviziunii şi cum x i x i 1 <δ,rezultăcă ϕ ε (x) f(x) f(x i 1 ) f(x) <ε; cestă relţie re loc şi pentru x = b. Reţinem deci că pentru orice ε> m găsit o funcţie în scră ϕ ε stfel încât ϕ ε f ε. Luând ε = 1, n 1, există tunci funcţii în scră n ϕ n :[, b] R stfel încât ϕ n f 1 n şi c tre ϕ UC n f; fig. III. 7. Am dovedit stfel că orice funcţie relă continuă pe un intervl compct pote fi proximtă uniform oricât de bine printr-o funcţie în scră. De exemplu, orice semnl R R continuu, cu suport compct pote fi proximt uniform prin sume finite de semnle dreptunghiulre. Fig. III.6 Fig. III Proprietăţi le funcţiilor continue pe mulţimi conexe Definiţi 2.6. Fie X un spţiu metric; o submulţime A X se numeşte neconexă dcă există mulţimi deschise nevide D 1, D 2 î n X stfel încât D 1 D 2 A =Ø,D 1 A Ø,D 2 A ØşiA D 1 A 2. (6)

128 124 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Mulţime A se numeşte conexă dcă nu este neconvexă. Domeniu în X este orice deschis conex. Aşdr, din condiţi (6) rezultă că spţiul X însuşi este conex dcă şi numi dcă nu există două mulţimi deschise nevide, disjuncte D 1, D 2 î n X stfel încât X = D 1 D 2 ;reţinemcăx este conex orice mulţime nevidă deschisă şi închisă coincide cu X. Exemplu. Dcă X este un spţiu metric şi b sunt puncte distincte din X, tunci mulţime A = {, b} este neconexă deorece se verifică (6) pentru D 1 = X \{}, D 2 = X \{b}. Similr, pe drept relă X = R, mulţime A =( 1, 1) (2, 4) este neconexă (luând D 1 =( 1, 1), D 2 =(2, 4). Exemple sugestive de mulţimi conexe, c şi dezvăluire sensului intuitiv l definiţiei 2.6, vor fi dte puţin mi târziu. Sunt necesre câtev pregătiri. Teorem Fie f :[, b] R, <b, o funcţie relă continuă. () Dcă f() f(b) tunci există ξ [, b] stfel încât f(ξ) = ; (b) Fie m = inf f(x), M = sup f(x). Pentru orice punct u fixt, x [,b] x [,b] m<u<m, există η [, b] stfel încât f(η) =u. (c) Dcă în plus f este strict monotonă, tunci f stbileşte o bijecţie [, b] [m, M], ir invers f 1 este de semene continuă şi strict monotonă. Demonstrţie. () Notăm I =[, b]. Aşdr, funcţi f i vlori de semn contrr l cpetele lui I ; împărţim I în două subintervle, de lungimi egle, f i de semene vlori de semn contrr l cpetele unui din cele două subintervle închise (pe cre îl notăm cu I 1 ); continuăm cest procedeu şi găsim un şir descendent de intervle compcte I I 1 I 2... stfel încât l(i n ) ; fie α,α 1,α 2,... (respectiv β,β 1,β 2,...) cpetele cestor intervle în cre funcţi f este pozitivă (respectiv negtivă). Conform teoremei II.1.3 există ξ I n,deciα n ξ, β n ξ ş i c u m f este continuă, rezultă f(α n ) f(ξ), n f(β n ) f(ξ), pentru n. Deorece f(α n ), f(β n ), ( )n rezultă că f(ξ) şif(ξ), dică f(ξ) =. (b) Conform definiţiei inf, sup, rezultă că există puncte α, β [, b] stfel încât m f(α) <u<f(β) M. Notăm F (x) =f(x) u şi obţinem stfel o funcţie continuă luând vlori de semn contrr în punctele α, β deci plicând (), există un punct η situt între α, β stfel încât F (η) =, dică f(η) =u. (c) Cum f este strict monotonă, e este injectivă, ir surjectivitte rezultă din (b) şi din fptul că m, M sunt tinse (conform teoremei 2.1); se verifică imedit că f 1 este de semene strict monotonă, ir fptul că f 1 este continuă rezultă observând că întorce închişii în închişi (dcă I [, b] este o mulţime închisă, e este compctă şi tunci mulţime (f 1 ) 1 (I) =f(i) este compctă conform teoremei 2.9, deci închisă). Observţii. Teorem 2.13 este tribuită lui B. Bolzno şi lui G. Drboux. Punctul (b) se mi numeşte teorem vlorilor intermedire ; el se extinde şi l czul intervlelor deschise, eventul nemărginite, nume: dcă f :(, b) R, <b este o funcţie continuă şi dcă m =inff, M =supf (clculte în R, tunci f i orice vlore din intervlul (m, M) cel puţin o dtă. Teorem Fie f : X Y oplicţiecontinuăîntredouăspţii metrice şi A X o mulţime conexă. Atunci mulţime f(a) Y este de semene conexă. Demonstrţie. Presupunem, prin reducere l bsurd, că f(a) r fi neconexă. Atunci conform condiţiei (6) r rezult că există mulţimi deschise nevide V 1,V 2 î n Y stfel încât V 1 V 2 f(a) =Ø,V 1 f(a) Ø,V 2 f(a) Øşi f(a) V 1 V 2. Deorece f este continuă rezultă că mulţimile D 1 = f 1 (V 1 ), D 2 = f 1 (V 2 )suntdeschiseîn X ş i s e v e r i fi c ă c ă D 1 Ø,D 2 Ø (căci există puncte în V 1 f(a) şiîn V 2 f(a)); în plus, D 1 D 2 A =Ø,D 1 A Ø,

129 3.2. CONTINUITATE 125 D 2 A ØşiA D 1 D 2,decimulţimeA r fi neconexă în X, ceeceeste bsurd. Corolr 1. Un spţiu metric X este conex dcă şi numi dcă orice funcţie continuă f : X {, 1} (vând dor două vlori!) este constntă. Demonstrţie. FieX conex; dcă r exist o funcţie continuă f : X {, 1} neconstntă, r rezult că f(x) ={, 1}. Dr din teorem 2.14, rezultă că mulţime f(x) este conexă, dică mulţime formtă din punctele,1 este conexă, cee ce este bsurd. Reciproc, presupunem că X este un spţiu metric şi că orice funcţie continuă f : X {, 1} este constntă. Avem de rătt că X este conex; în cz contrr, există mulţimi deschise nevide D 1, D 2 î n X stfel încât D 1 D 2 =Ø, D 1 D 2 = X ş i f u n c ţ i f : X {, 1} { dcă x D1 f(x) = 1 dcă x D 2 este continuă şi neconstntă, cee ce contrvine ipotezei. Corolr 2. Fie X un spţiu metric şi {A i } i I o fmilie de părţi conexe le lui X vând intersecţi nevidă. Atunci mulţime A = i I A i este conexă î n X. Demonstrţie. Folosim corolrul 1 şi fie f : A {, 1} o funcţie continuă orecre. Din ipoteză rezultă că i I A i ş i p r e s u p u n e m d e e x e m p l u c ă f() = (czul f() = 1 se trteză similr). Rezultă tunci că f =pea; într-devăr, ( )x A, existăi I stfel încât x A i.cumf A i este continuă, A i conexă şi A i,rezultăcăf este constntă pe A i,decif(x) =f() =. În concluzie, f este constntă pe A, deci conform corolrului 1, rezultă că A este conexă. Teorem O submulţime A R este conexă dcă şi numi dcă A este un intervl (remintim că o mulţime A R se numeşte intervl dcă din fptul că numerele <bprţin lui A ş i c b, rezultă că c prţine lui A dică A este convexă). Demonstrţie. PresupunemcămulţimeA R este conexă; dcă A nu r fi un intervl, r rezult că există numere rele, b, c stfel încât <c<b, A, b A, c/ A. Luând D 1 = {x R x <c}, D 2 = {x R x >c}, se verifică condiţi (6) şi A r rezult neconexă. Reciproc, presupunem că A este un intervl. Dcă A r fi neconex, tunci conform corolrului 1 nterior r rezult că există o funcţie continuă neconstntă f : A {, 1}. Dr conform teoremei 2.13, b) cestă funcţie trebuie să i vlore 1, cee ce este bsurd, deorece f i numi vlorile şi 1. 2 Corolr. Fie f : X R o funcţie continuă numerică relă pe un spţiu metric conex. Dcă există puncte, b î n X stfel încât f() <, f(b) >, tunci există ξ X stfel c f(ξ) =. Demonstrţie. Conform teoremei 2.14 rezultă că f(x) este o submulţime conexă lui R, deci este un intervl; tunci [f(),f(b)] f(x). Dr prţine intervlului [f(),f(b)], deci f(x). Exemple. 1) Fie, b R n puncte fixte; funcţi f :[, 1] R n, t (1 t) + tb este continuă, definită pe mulţime conexă [,1]. Atunci mulţime f([, 1]) = {(1 t) + tb t [, 1]}, dică segmentul închis [, b] de cpete, b (definit în 1.3), rezultă conex. 2) Orice mulţime steltă din R n este conexă; în prticulr, orice mulţime convexă este conexă. (Într-devăr, fie S Rn o mulţime steltă şi S un punct stfel încât [, x] S pentru orice x S. Atunci S este tocmi

130 126 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Fig. III.8 Fig. III.9 Fig. III.9b reuniune tuturor segmentelor [, x], x S şi plicând corolrul 2 nterior, rezultă că S este mulţime conexă). Teorem cre urmeză dă o crcterizre forte utilă domeniilor din R n (n 1), c deschişi în cre orice două puncte pot fi unite printr-o linie poligonlă. Se numeşte linie poligonlă unind două puncte, b din R n o submulţime L R n stfel încât să existe puncte x 1,x 2,...,x p 1,x p R n ş i L =[, x 1 ] [x 1,x 2 ]... [x p 1,x p ] [x p,b]. Aşdr, o linie poligonlă de cpete, b este juxtpunere (reuniune) unui număr finit de segmente închise, primul vând cpătul în, ir ultimul vând extremitte în b. Teorem Fie A un deschis nevid din R n (n 1) fixt. Sunt echivlente următorele firmţii: () A este mulţime conexă (dică un domeniu în R n ); (b) orice două puncte din A pot fi unite printr-o linie poligonlă conţinută î n A. Demonstrţie. () (b). Fie, b A orice două puncte fixte. Notăm D 1 = {x A există o linie poligonlă conţinută în A, unindx ş i } ş i D 2 = A \ D 1. Evident, D 1 este deschis, D 1 şi de semene, D 2 este deschis (deorece centrul unei bile pote fi unit printr-un segment cu orice lt punct l bilei). Dcă D 2 Ø, tunci r rezult imedit că mulţime A r fi neconexă, cee ce contrvine ipotezei (). Aşdr, D 2 = Ø, dică D 1 = A şi c tre b D 1. (b) (). Fixăm A. Pentru orice punct b A se pote lege o linie poligonlă L b conţinută în A ş i u n i n d p u n c t e l e, b. Atunci L b este mulţime conexă (plicând succesiv corolrul 2 l teoremei 2.14) şi în plus, mulţime A = L b rezultă conexă, c reuniune de mulţimi conexe vând un punct b A comun (nume ) Noţiune de limită într-un punct Fixăm o plicţie f : A Y, A X, undex, Y sunt spţii metrice. Fixăm de semene un punct X. Pentru orice vecinătte V lui notăm V = V \{}. Ne vom situ în czul cel mi importnt pentru plicţii, nume presupunem că este punct de cumulre l mulţimii A, dică pentru orice vecinătte V lui, vem V A Ø. Definiţi 2.7. În ceste condiţii, un element l Y se numeşte limit lui f î n p u n c t u l (şi se scrie l = x lim f(x)) dcă pentru orice vecinătte V x A lui l î n Y există o vecinătte U lui î n X stfel încât f( U A) V. Teorem 2.17 (crcterizre noţiunii de limită). Fie f : A Y, A X şi punctul c mi sus. Sunt echivlente firmţiile: () l =lim x f(x)f(x) ( definiţi cu vecinătăţi ); x A (b) ( )ε > ( )δ > stfel încât ( )x A \{}, d(x, ) < δ, să rezulte d(f(x),l) <ε( definiţi cu ε δ ); î n X (c) pentru orice şir convergent de puncte din A \{}, x n, rezultă f(x n ) î n Y l ( definiţi cu şiruri ). Demonstrţi urmeză îndeprope pe ce teoremei 2.1. Trebuie remrct că dcă există, tunci limit este unică (conform (c)). În ipotez că / A, firmţiile de mi sus sunt echivlente cu firmţi: (d) funcţi f : A {} Y, f(x) = { f(x) dcă x A l dcă x = este continuă în punctul. Într-devăr, dcă f este continuă în ş i V este o vecinătte lui f() =l, tunci există o vecinătte U lui ş încât f(u (A {})) V deci

131 3.2. CONTINUITATE 127 f( U A) V ; şdr (d) (). Demonstrăm cum implicţi () (d): fie V o vecinătte orecre punctului f() =l. Atunci din ipotez () rezultă că există o vecinătte U lui stfel încât f( U A) V deci f(u (A {})) V, dică f este continuă în punctul. Corolr 1. Fie f : A Y, A X ş i punct de cumulre l lui A, A. Atunci f este continuă în dcă şi numi dcă limit x lim f(x) există x A şi este eglă cu f(). Demonstrţie. Dcă f este continuă în, tunci pentru orice vecinătte V luif() există o vecinătte U lui stfel încât f(u A) V,deci cu tât mi mult f( U A) V şi c tre, x lim f(x) =f(). Reciproc, fie x A f(x) =f(). Atunci ( )ε >( )δ > stfel încât ( )x A \{}, să lim x x A vem d(f(x),f()) <ε, de îndtă ce d(x, ) <δ. Acelşi lucru se întâmplă şi pentru x =, decif este continuă în punctul. Corolr 2. În condiţiile teoremei 2.17, funcţi f nu re limită în punctul în czul când există două şiruri x n, x n din A \{} şi fie că unul din şirurile {f(x n)}, {f(x n)} nu este convergent, fie că ceste şiruri sunt convergente dr nu u ceeşi limită. Acest fpt rezultă din punctul (c) l teoremei Exemple. 1) Considerăm funcţi-semn sgn : R R, 1 dcă x> sgn x = 1 dcă x< dcă x = Limit lim sgn x nu există, deorece considerăm şirurile x n = 1 x n, x n = 1 n tinzând l zero şi sgn (x n) 1, sgn (x n) 1. 2) Fie X = R 2, Y = R, A = R 2 \ (, ) şi f(x, y) = x2 y 2,( )(x, y) A. 2 Limit x 2 y 2 lim (x,y) (,) x 2 + y 2 (x,y) A λ prmetru rel, vem f x 2 + ( y 1 nu există, deorece luând şiruri n, λ ) (, ), n ( 1 n, λ ) = 1 ( λ2 1 n 1+λ 2 ş i l i m i t l i m f n n, λ ) r depinde n de λ. 3) Presupunem Y = R ş i fi e f,g : A R, A X două funcţii numerice stfel încât f(x) g(x), ( )x A. Dcă x lim g(x) =, tunci x lim f(x) =. x A x A x 3 De exemplu, x 2 + y 2 =, deorece x 3 x 2 + y 2 x, pentru orice (x, y) (, ). lim (x,y) (,) (x,y) (,) Czuri prticulre. 1) În liceu fost considert czul X = Y = R ş i u fost stbilite câtev proprietăţi le clculului cu limite (referitor l sumă, diferenţă, produs de funcţii, păstrre ineglităţilor l limită etc.). Aceste se extind direct l czul când X este spţiu metric orecre şi Y = R. Există proprietăţi specifice le limitelor de funcţii rele de o vribilă relă (limite lterle, discontinuităţi de speţ I, limite improprii etc.), cre u fost studite în liceu. Remintim că discontinuităţile eventule le unei funcţii monotone sunt de speţ I (dică limitele lterle există şi sunt finite în cele puncte, dr nu sunt egle). 2) Czul Y = R p (p 1 fixt) se reduce l limit pe componente. Mi precis, dcă f : A R p, A X, sunt c în definiţi 2.7 şi dcă f 1,...,f p : A R sunt componentele lui f, tunci x lim f(x) există dcă şi numi dcă x A există l k =lim x x A f k (x), k p ş i î n p l u s, l i m x x A f(x) =(l 1,...,l p ).

132 128 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Demonstrţi rezultă folosind definiţi limitei cu şiruri, precum şi crcterizre pe componente convergenţei şirurilor din R p. 3) Presupunem X = R p,(p 1fixt), A X ş i punct de cumulre l lui A. Fie f : A Y o plicţie fixtă. Pentru orice vector x dinr p se pote defini limit lui f în punctul, după direcţi lui v, nume lim f( + tv). t Evident, punctele x = + iv u propriette că vectorul x este colinir cu v. Dcă l =lim x f(x) există, tunci şi limit nterioră există şi este eglă cu x A l (într-devăr, dcă t n, tunci + t n v deci f( + t n v) l). Reciproc este flsă, deorece funcţi f(x, y) = x4 2x 2 y + y 2 în (,) pe orice direcţie, deorece x 4 + y 2 re limită t 4 α 4 2t 3 α 2 β + t 2 β 2 lim f(tα, tβ) =lim t t t 4 α 4 + t 2 β 2 =1, pentru orice vector nenul (α, β) R 2, dr ( 1 se observă luând şiruri n, λ n 2 lim f(x, y) nu există, ş cum (x,y) (,) ),cu λ prmetru rel. Observţie. Sensul precis l firmţiei că este nedeterminre este următorul : pentru orice element l R fixt, există două şiruri x n, y n stfel încât x n l; cu lte cuvinte, funcţi f(x, y) = x este discontinuă în y n y origine şi în vecinătte originii pote să tindă către orice vlore prescrisă pe numite şiruri. Similr se precizeză sensul firmţiei că,,,1 etc. sunt nedeterminări Exerciţii 1. Fie funcţi f : R R, f(x) =x 2. Să se rte că imgine directă prin f unui deschis nu este nepărt un deschis. Indicţie. Luăm D =( 1, 1). 2. Se consideră şirul de puncte din R 2 ( ) 1 n,n dcă n este pr u n = ( n, 1 ) dcă n este impr. n Să se rte că şirul {u n } n 1 nu re nici un subşir convergent, deşi componentele sle u subşiruri convergente. Arătţi că mulţime A = {(x, y) R 2 xy =1} este închisă necompctă, că u n A, ( )n 1şicămulţimile pr 1 (A), pr 2 (A) nusuntînchise(pr k = π k sunt proiecţiile R 2 R, k =1, 2). 3. Să se rte că funcţiile s : R 2 R, (x, y) x + y ş i p : R 2 R, (x, y) xy sunt continue pe R Fie f :[, b] R, <b, o funcţie relă şi x [, b] un punct fixt. ) Presupunem că ( )ε >şi( )δ >, rezultă f(x) f(x ) <ε, de îndtă ce x [, b] şi x x <δ. Să se rte că f este constntă şi reciproc. b) Presupunem că ( )ε > stfel încât ( )δ >vem f(x) f(x ) <ε de îndtă ce x [, b] şi x x <δ. Să se rte că f este mărginită pe [, b]. (deci, tenţie l folosire cuntifictorilor în definiţi continuităţii cu ε δ!).

133 3.2. CONTINUITATE Fie [ ij ] 1 i m o mtrice de tip m n cu coeficienţi reli şi M = 1 j n ij. Se consideră plicţi ϕ : R n R m, x = (x 1,...,x n ) i,j n (y 1,...,y m ), unde y j = ji x i,1 j m. Să se rte că i=1 ϕ(x) M x, ( )x R n. ( m m n ) 2 Indicţie. Avem ϕ(x) 2 = yj 2 = ji x i M 2 (x x 2 n)= j=1 j=1 M 2 x 2 etc. Acest exerciţiu dă o precizre constntei rele C din teorem 2.7 (c). 6. Fie f : X Y o plicţie continuă şi bijectivă între două spţii metrice, X fiind compct. Să se rte că f 1 este continuă. Indicţie. f 1 întorce închişi în închişi. 7. Fie X un spţiu metric compct; să se rte că în spţiul Bnch C X (teorem 2.11) vem fg f g ş i f n f n, oricre r fi f,g C X ş i n întreg. 8. Să se rte că funcţi relă f : R R, f(x) =x sin x este uniform continuă pe orice mulţime mărginită din R, dr nu este uniform continuă pe R. Funcţiile x x, x sin x sunt totuşi uniform continue pe R (fiind lipschitziene). 9. Să se de un exemplu de funcţie relă continuă şi mărginită cre nu-şi tinge mrginile şi un exemplu de funcţie relă lipschitzină nederivbilă. 1. Fie funcţi f : [, 2π] R 2, x (cos x, sin x). Să se rte că f este continuă şi că mulţimile A 1 = {x 2 + y 2 = 1}, A 2 = {x 2 + y 2 < 1}, A 3 = {x 2 + y 2 > 1} din R 2 sunt conexe. Indicţie. Componentele f 1 (x) = cos x, f 2 (x) =sinx le lui f sunt evident continue. Apoi {x 2 + y 2 =1} = f([, 2π]) şi se plică teorem Pentru A 2,A 3 se pote plic teorem n 11. ) Să se rte că orice prlelipiped închis P = [ i,b i ] şi orice bilă deschisă din R n sunt mulţimi conexe. b) Să se rte că mulţimile {xy =1}, {x 2 + y 2 4, x y =1} sunt neconexe în R 2. Indicţie. ) Este suficient de observt că ele sunt convexe; b) se plică def Fie X un spţiu metric şi X 1 X o submulţime nevidă, cu distnţ indusă. Fptul că o mulţime A X 1 este deschisă su închisă depinde de spţiul mbint (dică de considerre lui A c submulţime în X su în X 1 ). De exemplu, luând X = R, X 1 =[, 1], A =[, 1), rezultă că A este deschis în X 1, dr nu şi în X. Să se rte că propriette unei mulţimi de fi compctă su conexă este independentă de spţiul mbint. 13. Să se rte că grficul unei funcţii rele continue I R (I intervl) este mulţime conexă (în R 2 ). Similr, dcă g : A R este o funcţie continuă ş i A R 2 este conexă, tunci mulţime {(x, y, g(x, y)) (x, y) A} este conexă (în R 2 ). Indicţie. Grficul lui f este Gr f = {(x, f(x)) x I} şi este imgine directă lui I prin plicţi continuă I R 2, x (x, f(x)) şi se plică teorem i=1 i=1

134 13 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ 14. Asimilăm suprfţ Pământului cu o suprfţă sferică X din R 3 (deci X este mulţime conexă). Să se rte că există două puncte dimetrl opuse ξ,ξ pe X vând ceeşi tempertură (în ipotez că tempertur unui punct vriză continuu cu punctul). Indicţie. Pentru orice x X notăm cu x dimetrlul opus lui x ş i c u t(x) tempertur în punctul x. Se consideră funcţi continuă f : X R, x t(x) t(x ) şi se observă că f(x)f(x )=(t(x) t(x ))(t(x ) t(x)) = (t(x) t(x )) 2, deci conform corolrului teoremei 2.15 există ξ X stfel încât f(ξ) =, dică t(ξ) =t(ξ ). 15. O propriette unei mulţimi dintr-un spţiu metric X se numeşte propriette topologică dcă e pote fi formultă în termeni de mulţimi deschise din X, utilizând operţiile uzule cu mulţimi. Sunt compcitte, conexitte, densitte, proprietăţi topologice? Dr convexitte în X = R n? (Topologi este un domeniu de mtemtică cre studiză proprietăţile topologice le spţiilor metrice su le unor spţii mi generle, cele topologice). 16. Fie f : [, b] R o funcţie monotonă. Să se rte că mulţime discontinuităţilor lui f este cel mult numărbilă. Indicţie. Presupunemf crescătore. Pentru orice punct de discontinuitte x 1 [, b] luif se noteză s(x 1 )=f(x 1 + ) f(x 1 ) (sltul lui f î n x 1 ). Să se rte că s(x 1 ) f(b) f() şi în generl, pentru orice număr finit de discontinuităţi x 1,x 2,...,x p le lui f, vems(x 1 )+...+ s(x p ) f(b) f(). Fie E 1 mulţime punctelor de discontinuitte le lui f, situte în [, b] şi vând sltul > 1şiE n mulţime punctelor cu sltul cuprins în intervlul ( 1 n, 1 n 1 ( )n 2. Atunci mulţime discontinuităţilor lui f este n 1 E n, ir mulţimile E n, n 1suntfinite. 17. Se consideră funcţi f : R 2 R, f(x, y) = ], x 4 y x 6 + y 3 dcă y x 2 dcă y = x 2. Să se rte că restricţi ϕ m (x) =f(x, mx) luif l orice dreptă y = mx ce trece prin origine este continuă în x =, fără c f să fie continuă în origine. 18. Să se studieze existenţ următorelor limite în origine: lim (x,y) (,) (x,y) (,) x 2 y x 4 + y 2, lim x 2 + y 3 (x,y) (,) x 2 + y 2, (x,y) (,) lim x 2 (x,y) (,) y, y lim z z C\{} z z, lim z z C\{} z z. 19. Folosind un miniclcultor, să se completeze tbloul x 1,5,1,1,1 sin x x,84147,99833 sin x Se obţine stfel o demonstrţie fptului că x lim x = 1? x> 3.3 Mulţimi măsurbile în R n În cest prgrf prezentăm câtev noţiuni preliminre privind măsur mulţimilor în R n, extinzând în mod nturl lungimile, riile, volumele etc. Cele spuse ici vor fi utilizte îndeosebi în teori integrlei, dr ele întregesc totodtă conţinutul cpitolului de nliză multidimensionlă Volumul unui prlelipiped Ne fixăm în spţiul R n, n 1 şi notăm cu x 1,x 2,...,x n coordontele unui punct curent.

135 3.3. MULŢIMI MĂSURABILE ÎN RN 131 Definiţi 3.1. Fie un prlelipiped închis P =[ 1,b 1 ]... [ n,b n ] din R n.senumeştevolumul lui P numărul rel şi pozitiv V(P )= n (b i i ). (7) i=1 Considerând câte o diviziune fiecărui intervl [ 1,b 1 ],...,[ n,b n ] şi ducând prin punctele de diviziune hiperplne prlele cu hiperplnele de coordonte corespunzătore, se obţine o diviziune multidimensionlă lui P, cre cuprinde un număr finit de subprlelipipede închise (numite celule). În figur III. 1 şi 1b sunt ilustrte czurile n = 2, n = 3, de ltfel cele mi des utilizte. În czul n = 1, vem P =[ 1,b 1 ]şiv(p ) = lungime intervlului P, în czul n = 2, regăsim ri unui dreptunghi şi pentru n = 3, volumul unui prlelipiped uzul. Definiţi 3.2. Se numeşte reţe spţilă în R n orice configurţie obţinută considerând pentru fiecre coordontă câte un număr finit r 1,r 2,...,r n respectiv de vlori distincte (r i 2, 1 i n) şi ducând hiperplne prlele cu hiperplnele de coordonte corespunzătore; se formeză (r 1 1)(r 2 1)... (r n 1) celule prlelipipedice. Orice reţe spţilă determină o prtiţie spţiului R n. Vom numi fgure n-dimensionl orice mulţime din R n cre este reuniune finită de celule mărginite şi închise le unei reţele spţile în R n. Aşdr, orice fgure este o mulţime închisă şi mărginită, deci este compctă (teorem 1.5). În figur lăturtă III. 12 sunt indicte câtev exemple de fguri bidimensionli. Pentru orice fgure se pote defini volumul său c fiind sum volumelor celulelor componente (pentru cre se plică formul (7)). În plus, dcă F 1,F 2 sunt fguri în R n, tunci F 1 F 2 este de semene un fgure şi pentru volume vem V(F 1 F 2 ) V(F 1 )+V(F 2 ), (8) cu eglitte în czul când F 1 F 2 = Ø (su când nu conţine un prlelipiped de volum nenul) Volumul mulţimilor deschise şi volumul mulţimilor compcte Fie A R n o mulţime mărginită orecre. C. JORDAN ( ) vut idee de proxim A prin fguri F 1 incluşi în A şi prin fguri F 2 cre includ A şi consider că A este măsurbilă dcă sup V(F 1 )= inf V(F 2); F 1 A F 2 A mrele mtemticin frncez H. LEBESGUE ( ) lărgit cest concept de măsurbilitte înscriind în A mulţimi compcte şi circumscriind lui A mulţimi deschise din R n. Vom prezent cest ultim concept, după câtev pregătiri prelbile. Definiţi 3.3. Fie D R n o mulţime deschisă; se numeşte volumul lui D V(D) = supv, F fgure (9) F D Evident, V(D). Exemple. 1) Avem V (R n )= şi V (Ø) =. 2) Dcă D R n este un deschis mărginit, tunci există un prlelipiped închis stfel încât D P şi folosind (9), rezultă că V(D) V(P ), deci volumul V(D) estefinit. Lem 1. Fie F un fgure în R n ; tunci V ( F )=V (F ). Fig. III.1 Fig. III.1b Fig. III.11 Fig. III.11b Fig. III.12 Demonstrţie. Mi întâi pentru orice fgure F 1 F vem F 1 F,deci V(F 1 ) V(F ); poi, ( )ε > există un fgure F 1 F stfel încât V (F ) <

136 132 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Fig. III.12b Fig. III.13 V(F 1 )+ε [căci dcă F = P 1... P r cu P i celule prlelipipedice închise stfel c V (P i P j ) =, i j şi legem F 1 = P 1 =...P r cu P k prlelipipedice închise stfel încât P k P k ş i V ( P k ) < V(P k )+ ε r,1 k r, rezultăf 1 F ş i V ( F ) < V(F 1 )+ε]. Am probt stfel că V (F )= sup V(F 1 ), deci conform (9), rezultă că V (F )=V( F ). F 1 F Definiţi 3.4. Fie K R n o mulţime compctă; volumul lui K este prin definiţie V(K) = inf K F V(F ), F fgure. (1) Evident, V(K) <. Exemplu. Dcă K este un fgure, în prticulr un prlelipiped închis, tunci se regăseşte definiţi dtă nterior. Lem 2. Fie K un compct şi D un deschis în R n stfel încât K D. Atunci există un fgure n-dimensionl F stfel încât K F ş i F D. Demonstrţie. FieP = {P } P D mulţime tuturor prlelipipedelor închise P conţinute în D; tunci { P } P P formeză o coperire deschisă lui K ş i din e se pote extrge o subcoperire finită P 1,..., P r luik. Considerând fgurele F = P 1... P r,rezultăk P 1... P r P 1... P r = F ş i î n plus, F D, deorece P i D, 1 i r. Teorem 3.1. () Fie D 1,D 2 deschişi în R n vând volum finit. Atunci V(D 1 D 2 ) V(D 1 )+V(D 2 ); Fig. III.14 Fig. III.15 Fig. III.16 (b) Fie K 1,K 2 mulţimi compcte disjuncte în R n ; tunci V(K 1 )+V(K 2 ) V(K 1 K 2 ). Demonstrţie. () Fie un fgure orecre F D 1 D 2 ş i r > les stfel încât ( )x F să vem B(x, r) D 1 su B(x, r) D 2 (fig. III. 15). Fgurele F pote fi considert reuniune de celule cu dimetrul r; notând cu F 1 (respectiv F 2 ) reuniune celulelor lui F conţinute în D 1 (respectiv D 2 ), rezultă că F F 1 F 2,deciV(F) V(F 1 F 2 ) V(F 1 )+V(F 2 ), conform (8). Cum F 1 D 1, F 2 D 2,rezultăV(F 1 ) V(D 1 ), V (F 2 ) V(D 2 ), deci V(F ) V(D 1 )+V(D 2 ) şi c tre, sup V(F ) V(D 1 )+V(D 2 )şi F D 1 D 2 plicând (9), rezultă că V (D 1 D 2 ) V(D 1 )+V(D 2 ). (b) Alegem un fgure F stfel încât K 1 K 2 F (fig. III. 16). Atunci F este o reuniune de celule vând dimetrul suficient de mic stfel încât să nu existe nici o celulă cre să intersecteze tât K 1 cât şi K 2. Notăm cu F 1 (respectiv F 2 ) reuniune celulelor lui F cre intersecteză K 1 (respectiv K 2 ). Atunci F 1 F 2 F, F 1 F 2 =Øşiîn plus,k 1 F 1, K 2 F 2. Aşdr, V(K 1 )+V(K 2 ) V(F 1 )+V(F 2 ) V(F ), de unde V (K 1 )+V(K 2 ) inf V(F )=V(K 1 K 2 ), ultim eglitte decurgând din (1). K 1 K 2 F Proprietăţi le mulţimilor măsurbile Fixăm o mulţime orecre mărginită M R n. Definiţi 3.5. Se numeşte măsură exterioră lui M, numărulrel şi pozitiv µ e (M) = inf V(D), D deschis în D M Rn (11)

137 3.3. MULŢIMI MĂSURABILE ÎN RN 133 ş i măsur interioră lui M, numărulrelşipozitiv µ i (M) = sup V(K), K compct în R n (12) K M Lem 3. Fie M,N două mulţimi mărginite în R n. () Avem µ i (M) µ e (M); (b) dcă M N, tunci µ i (M) µ i (N) ş i µ e (M) µ e (N); (c) µ e (M N) µ e (M)+µ e (N); dcă M N =Ø, tunci µ i (M)+µ i (N) µ i (M N). Demonstrţie. () Fie K M un compct; pentru orice deschis D M vem K D, deciv(k) V(D) şideciv(k) inf V(D), dică V (K) d M µ e (M), conform (11). Cum K este rbitrr, rezultă că sup K M V(K) µ e (M) şi conform (12), rezultă µ i µ e (M). Punctul (b) este evident. (c) Fie ( )ε > fixt şi D 1 M, D 2 N deschişi mărginiţi stfel încât V(D 1 ) <µ e (M)+ ε 2,V(D 2) <µ e (N)+ ε 2,deciD 1 D 2 M N şi c tre, µ e (M N) µ e (D 1 D 2 )= inf V (D) cf.(11) = V(D 1 D 2 ) cf.(3.1) D D 1 D 2 V(D 1 )+V(D 2 ) µ e (M)+µ e (N)+ε. Aşdr, ε fiind rbitrr, vem µ e (M N) µ e (M) +µ e (N). Restul se demonstreză similr. Definiţi 3.6. O mulţime mărginită M R n se numeşte măsurbilă dcă µ i (M) =µ e (M); vlore comună se noteză µ(m) ş i s e n u m e ş t e măsur (su volumul n-dimensionl) lluim. În chestiuni de măsurbilitte este esenţil de indict spţiul mbint. Segmentul [ 1, 1] re măsur 2 în R şi măsur în R 2. Teorem 3.2. () Orice mulţime deschisă şi mărginită D R n este măsurbilă şi µ(d) =V (D); (b) Orice mulţime compctă K R n este măsurbilă şi µ(k) =V (K). Demonstrţie. () Fie ( )D deschis stfel încât D D,deciV(D) V(D ) şi conform (11), µ e (D) = inf D D V(D )=V(D). Apoi, pentru orice ε> există un fgure F D stfel încât V (D) ε<v(f ). Cum F este compct, tunci V (F ) µ i (D), deci V (D) ε<µ i (D) şicumε este rbitrr, rezultă că V(D) µ i (D). Dr µ i (D) µ e (D), deci V (D) µ i (D) µ e (D) =V(D). În concluzie, µ i (D) =µ e (D) =V(D), dică D este măsurbilă şi µ(d) =V(D). (b) Demonstrţi este similră celei de l punctul (), folosind (12). Din cestă teoremă se obţin dej numerose exemple de mulţimi măsurbile î n R n. În plus, dcă M ş i N sunt mulţimi mărginite măsurbile disjuncte, tunci M N este măsurbilă şi µ(m N) =µ(m)+µ(n). (13) Într-devăr, conform lemei 3 vem µ(m)+µ(n) =µ i (M)+µ i (N) µ i (M N) µ e (M) +µ e (N) = µ(m) +µ(n), de unde rezultă că µ i (M N) = µ e (M N) =µ(m)+µ(n). Îninte de indic şi lte proprietăţi le mulţimilor măsurbile, dăm Teorem 3.3 (criteriu de măsurbilitte). Fie M R n o mulţime mărginită. Sunt echivlente firmţiile: () M este măsurbilă; (b) pentru orice ε> există un compct K şi un deschis mărginit D stfel încât K M D ş i V (D \ K) <ε.

138 134 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Demonstrţie. () (b). Fie M măsurbilă şi ε> rbitrr fixt. Conform (11) există un deschis mărginit D stfel încât V(D) <µ(m)+ ε şi conform 2 (12) există un compct K stfel încât V(K) >µ(m) ε,deciv(d) V(K) <ε. 2 Dr D =(D\K) K ş i m u l ţ i m i l e D\K, K sunt măsurbile disjuncte, deci conform relţiei (13) şi plicând teorem 3.2, rezultă că V(D) = V(D\K)+V(K), de unde V (D \ K) =V(D) V(K) <ε. (b) (). Fie ( )ε > fixt. Alegem K şi D c în ipotez (b). Avem µ(k) µ i (M), µ e (M) µ(d), deci µ e (M) µ i (M) µ(d) µ(k) = V(D) V(K) =V(D \ K) <ε,deciεfiindrbitrr, rezultă µ i (M) =µ e (M), dică M este măsurbilă. Teorem 3.4. Fie M,N mulţimi mărginite măsurbile în R n. Atunci mulţimile M \ N, M N ş i M N sunt de semene măsurbile în R n. Demonstrţie. Fixăm ε > rbitrr. Cum M ş i N sunt măsurbile, plicând teorem 3.3, există compcţi K 1,K 2 şi deschişi mărginiţi D 1, D 2 stfel încât K 1 M D 1, K 2 N D 2,V(D 1 \ K 1 ) < ε 2,V(D 2 \ K 2 ) < ε 2. Considerăm deschisul W = D 1 \ K 1 şi compctul L = K 1 \ D 2. Avem L M \N W ş i î n p l u s, W \L este deschis ir W \L (D 1 \K 1 ) (D 2 \K 2 ). Atunci conform teoremei 3.1, V(W \ L) V((D 1 \ K 1 ) (D 2 \ K 2 )) V(D 1 \ K 1 )+ +V (D 2 \ K 2 ) < ε 2 + ε 2 = ε. Astfel, conform teoremei 3.3, rezultă că M \ N este măsurbilă (cuprinsă între un compct L ş i u n d e s c h i s W vând măsur diferenţei W \ L oricât de mică). Apoi M N = M \ (M \ N) şicumm, M \ N sunt măsurbile, rezultă după cele dej probte, că M N este măsurbilă. În fine, M N =(M \N) N şi plicăm (13). Observţii. 1) Relţi (13) se extinde imedit prin inducţie l un număr finit de mulţimi măsurbile disjuncte două câte două ( M 1,M 2,...,M p (din R n ); p ) p nume, M 1 M 2... M p este măsurbilă şi µ M i = µ(m i )(ditivitte finită). Acestă relţie pote fi extinsă mi deprte l un şir infinit de mulţimi măsurbile {M p } p 1 disjuncte două câte două; nume, se pote răt că dcă M = p 1 M p este mărginită, tunci M este măsurbilă şi µ(m) = µ(m p ); cestă propriette portă numele de ditivitte numărbilă. Dcă p=1 {M p } p 1 nu r fi disjuncte două câte două, tunci r rezult µ M p p 1 µ(m p )(subditivitte numărbilă); într-devăr, fie N 1 = M 1, N 2 = M 2 \ p 1 M 1,...,N p = M p \(M 1... M p 1 ) etc. Avem M p = N p,deci{n} p 1 p 1 p 1 fiind disjuncte două câte două rezultă µ M p = µ N p = µ(n p ) µ(m p ). p 1 p 1 p 1 p 1 i=1 i=1 2) Cele spuse nterior s-u referit l măsurbilitte mulţimilor mărginite. O mulţime nemărginită M R n se numeşte măsurbilă dcă ( )r 1 nturl, mulţime mărginită M r = M B(,r)={x M x <r}

139 3.3. MULŢIMI MĂSURABILE ÎN RN 135 este măsurbilă; în plus, se defineşte măsur lui M c fiind µ(m) lim r µ(m r).şirul{µ(m r )} r 1 de numere rele este evident crescător, deorece M r M r+1,( )r 1. Se extind fără dificultte proprietăţile dte nterior Mulţimi de măsură nulă Definiţi 3.7. O mulţime mărginită măsurbilă M R n se numeşte mulţime de măsură nulă (su neglijbilă în R n ) dcă µ(m) =. O mulţime nemărginită măsurbilă M R n se numeşte neglijbilă î n R n dcă M r este neglijbilă pentru orice întreg r>. Teorem 3.5. () Dcă N M ş i M este neglijbilă în R n, tunci N este neglijbilă în R n. (b) O reuniune cel mult numărbilă de mulţimi neglijbile este neglijbilă. Demonstrţie. () Presupunem M mărginită. Avem µ i (N) µ e (N) µ e (M) =µ(m) =, deci µ i (N) =µ e (N) =, deci N este măsurbilă şi µ(n) =etc. (b) Fie {N k } k 1 un şir finit su numărbil de mulţimi neglijbile; tunci µ N k µ(n k ) =, deci µ N k =. k 1 k 1 k 1 Exemple. Orice punct din R n este evident mulţime neglijbilă (căci re măsur exterioră nulă) şi plicând teorem 3.5 (b), rezultă că orice mulţime numărbilă de puncte din R n este neglijbilă; în prticulr, Q este neglijbilă î n R. Multe lte exemple de mulţimi neglijbile rezultă din teorem următore: Teorem 3.6. Fixăm numere nturle m < n, M o submulţime mărginită din R m ş i f : M R n o funcţie lipschitzină. Atunci mulţime f(m) este neglijbilă în R n. Demonstrţie. Din ipoteză rezultă că ( )C > rel stfel încât f(x) f(y) C x y, ( )x, y M. FieK un cub din R m de ltură l stfel încât M K. Împărţind fiecre ltură lui K î n N părţi egle (N nedetermint deocmdtă), cubul se descompune în N m cuburi de ltură l şi pentru orice N stfel de cub ω, mulţimef(m ω) este conţinută într-un cub de ltură 2Cml N din R n (într-devăr, dcă M ω = Ø, firmţi este evidentă, ir dcă x, sunt două puncte din M ω, tunci f(x) f() C x Cm l N ş i c tre f(x) prţine bilei centrte în f() de rză Cml,( )x M ω). N Cele N m cuburi de tip ω coperă K, decif(m) v fi coperită de N m cuburi de ltură 2Cml ( ) n m 2Cml şi sum volumelor cestor v fi N = N N (2Cml) n. Dr m, n, l sunt fixte şi deorece m<n, rezultă că legând N N n m suficient de mre, expresi nterioră pote deveni oricât de mică. Astfel, f(m) este mulţime neglijbilă în R n (este coperită de un număr finit de cuburi cu sum volumelor oricât de mică, deci µ e (f(m)) = ). Exemple. 1) Fie f :[, 2π] R 2, t (r cos t, r sin t), r> fiind constnt; deorece f este lipschitzină, v rezult că circumferinţ {x 2 + y 2 = r 2 } este mulţime neglijbilă în R 2. Similr, sfer {x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } este neglijbilă în R 3, c imgine directă mulţimii mărginite [, 2π] [,π]dinr 2 prin funcţi lipschitzină f(ϕ, ) = (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ). 2) Orice segment [, b] în R n, n 2 este imgine lui [,1] prin plicţi lipschitzină f(t) =(1 t)+tb, deci este mulţime neglijbilă. L fel v fi orice linie poligonlă. Deci frontier unui poligon convex este neglijbilă în R 2.

140 136 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Fie o propriette reltiv l elementele lui R n, dică un predict unr pe R n, n 1 fiind fixt. Se spune că ce propriette re loc prope peste tot (.p.) dcă mulţime punctelor unde propriette nu re loc este neglijbilă î n R n, dică mulţime de devăr celui predict este complementr unei mulţimi neglijbile Exerciţii 1. Se consideră dreptunghiurile P 1 =[1, 3] [, 4], P 2 =[2, 4] [2, 5] în R 2. Să se fle volumele fgurilor P 1 P 2, P 1 \ P 2, P 2 \ P 1, P 1 P Dcă P 1,P 2 sunt două prlelipipede în R n, să se rte că P 1 P 2 este prlelipiped; în ce cz P 1 \ P 2 su P 1 P 2 sunt prlelipipede? 3. Dcă M ş i N sunt măsurbile în R n să se rte că µ(m N) =µ(m)+µ(n) µ(m N). Indicţie. Mi întâi observăm că µ(m \ N) N = µ(m) µ(m N), poi M N =(M \ N) N, deciµ(m N) =µ(m \ N)+µ(N). 4. Să se rte că dcă M este măsurbilă în R n ir N este neglijbilă, tunci µ(m N) =µ(m \ N) =µ(m). 5. Folosind teorem 3.6 să se rte că mulţimile următore sunt neglijbile: { } x 2 ) 4 y2 1=, { x + y =1} î n R 2 ; b) frontier oricărui prlelipiped din R Să se rte că orice dreptă în R 2 este mulţime nemărginită neglijbilă. Dcă P este un pln să se rte că propriette unui punct din spţiu de nu prţine lui P re loc.p. 3.4 Derivte prţile, diferenţibilitte În cest prgrf dăm primele rezultte le clculului diferenţil pentru funcţii de mi multe vribile rele. Czul funcţiilor rele de o vribilă este un cz prticulr şi în celşi timp, el permite testre înţelegerii dezvoltărilor nlizei multidimensionle. Remintim că dcă o funcţie relă f :(, b) R este derivbilă într-un punct x (, b), tunci grficul lui f re o tngentă bine determintă în punctul (x,f(x )), cărei ecuţie este y f(x )=f (x )(x x ). În cest cz, este definită o plicţie liniră remrcbilă L : R R, h f (x ) h, ir în vecinătte lui x, cestă plicţie reprezintă o proximre creşterii f(x) f(x ), deorece [ ] f(x) f(x ) L(x x ) f(x) f(x ) lim = lim f (x ) = x x x x x x x x Fig. III.17 dică f(x) f(x )=L(x x ) + (x x ) în vecinătte lui x Derivtă după un versor, derivte prţile Fixăm o funcţie f(x 1,...,x n ), f : A R, undea este un deschis din R n. Fie A, =( 1,..., n ) un punct fixt şi x =(x 1,...,x n )punctulcurent î n R n. Pentru n 2 nu se pote reproduce noţiune de derivtă lui f î n punctul din czul 1-dimensionl c fiind de exemplu limit lim x, x f(x) f(), x deorece r rezult pur şi simplu că funcţi elementră f(x 1,...,x n ) = x 1 nu r ve derivtă în origine, fpt incceptbil. Conceptul de derivtă este

141 3.4. DERIVATE PARŢIALE, DIFERENŢIABILITATE 137 esenţilmente 1-dimensionl şi de cee, în czul funcţiilor de mi multe vribile rele se definesc derivte după direcţii dte, mi precis după versori dţi (implicând şi sensul!). Fixăm f : A R, A R n deschis, A c mi sus şi fie s =(s 1,...,s n ) R n un versor n-dimensionl (dică s = 1). Tripletului (f,,s) i se pote soci o funcţie de o singură vribilă relă, nume g(t) =f( + ts) =f( 1 + ts 1,..., n + ts n ), (14) definită în vecinătte originii; mi precis, cum A este deschis şi A, există r > rel stfel încât B(, r) A; tunci pentru orice t ( r, r) vem d( + ts, ) = + ts = ts = t s = t <r,deci + ts B(, r) A şi stfel funcţi g este bine definită pe intervlul ( r, r). Definiţi 4.1. Se spune că funcţi f este derivbilă în punctul după versorul s dcă funcţi relă g :( r, r) R, t f( + ts) este derivbilă în punctul t =şi în cest cz, numărul rel df ds () g () se numeşte derivt lui f după versorul s în punctul (su cu o terminologie mi imprecisă, derivt lui f î n după direcţi s). Reţinem şdr că df ds g(t) g() () =lim t t t =lim t t f( + ts) f(). t Notând x = + ts, rezultă că vectorul x este colinir cu s, ir t este bscis punctului x pe drept determintă de şi s, orienttă cu jutorul lui s. Rezultă tunci că df ds () = lim x x,s =ts f(x) f(), (15) t cee ce justifică terminologi utiliztă şi minteşte că vem de- fce cu o derivtă. În czul n = 1, identificând R cu mulţime punctelor unei xe de versor ī, rezultă că noţiune uzulă de derivtă pentru o funcţie f(x), f : A R, într-unpunct din deschisul A R coincide cu ce de derivtă lui f î n după versorul ī. Revenind l situţi generlă şi notând s = s (versorul opus), se vede că dcă există df df (), tunci există () = df(); cest fpt justifică de ds ds ds ce derivt df () este socită versorului s ş i n u d i r e c ţ i e i s (cre dmite doi ds versori). În czul n = 1, nu trebuie confundtă derivt după versorul ī cu derivt l drept, ir ce după versorul ī cu derivt l stâng. Exemplu. Fien = 2, A = R 2 ş i x 2 y f(x, y) = x 6 + y 2 dcă (x, y) (, ). dcă (x, y) =(, ) ( ) ( ) 1 Evident, f nu este continuă în origine, căci n, 1 1 n 3 (, ) şi f n, 1 n 3 = n. Totuşi pre un fenomen şocnt, nume funcţi f re derivtă în 2 origine după orice versor s =(s 1,s 2 ), deorece df ds f(ts 1,ts 2 ) f(, ) () = lim t t t =lim t t s 2 1s 2 t 4 s = s2 2 s 2 1 s 2 dcă s 2 dcă s 2 =. Fig. III.18 Fie {e 1,e 2,...,e n } bz cnonică lui R n,decie 1 =(1,,...,), e 2 = (, 1,...,),...,e n =(,,...,, 1). Evident e k,1 k n sunt versori.

142 138 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Definiţi 4.2. Fie o funcţie f(x 1,...,x n ), f : A R, A R n fiind un deschis şi =( 1,..., n ) un punct din A. Se spune că f este derivbilă prţil în rport cu vribil x k (de indice k) în punctul dcă există df de k (), 1 k n; cest număr rel se numeşte derivt lui f în rport cu x k î n p u n c t u l ş i s e n o t e z ă f x k () su f x k () su uneori D k f(). Funcţi f se numeşte derivbilă prţil în rport cu x k pe deschisul A dcă în fiecre punct A există f x k (). Reţinem şdr că f () = df f( + te k ) f() () = lim x k de k t,t t = lim t,t f( 1, 2,..., k + t,..., n ) f( 1,..., n ). t (16) În czul n = 2 se noteză cu (x, y), în loc de (x 1,x 2 ), punctul curent din R 2, ir în R 3 se noteză (x, y, z) în locde(x 1,x 2,x 3 ). Aşdr, o funcţie de două vribile f(x, y), f : A R, A R 2 este derivbilă în rport cu x ş i respectiv y î n p u n c t u l =( 1, 2 )dindeschisula dcă există f f( 1 + t, 2 ) f( 1, 2 ) () =lim x t t şi respectiv, f () =lim y t f( 1, 2 + t) f( 1, 2 ). t Dcă cestă propriette re loc ( ) A, tunci derivtele prţile le lui f în punctul curent din A sunt (omiţând condiţi subînţelesă t ) f f(x + t, y) f(x, y) (x, y) =lim = lim x t t x f f(x, y + t) f(x, y) (x, y) =lim = lim y t t y f(x + x, y) f(x, y), x f(x, y + y) f(x, y). y (17) Notţiile x, y sunt folosite mult în plicre prctică derivtelor prţile, fiind similte cu creşteri le lui x, y respectiv. Pentru funcţii elementre, f x = f x se clculeză derivând f uzul în rport cu x, considerând y c prmetru, ir f y = f y se clculeză derivând f în rport cu y şi considerând x c prmetru. În mod similr se procedeză pentru funcţii de trei vribile f(x, y, z); în condiţii c mi sus, f f(x + x, y, z) f(x, y, z) (x, y, z) = lim x x x deci se deriveză în rport cu x, considerând y, z c prmetri etc. Exemple. 1) Fie f(x, y) =x 2 + xy ş i =(5, 3), A = R 2. plicând (16), rezultă În cest cz, f f(5 + t, 3) f(5, 3) t 2 +7t () =lim =lim =7, x t t t t f f(5, 3+t) f(5, 3) () =lim =5. y t t În punctul curent, vem f f (x, y) =2x + y ş i (x, y) =x ş i î n l o c u i n d x y x = 5, y = 3 regăsim vlorile nteriore.

143 3.4. DERIVATE PARŢIALE, DIFERENŢIABILITATE 139 f z 2) Dcă f(x, y, z) =x 2 +sinyz, A = R 3, tunci f x = y cos yz,în punctulcurent. =2x, f y = z cos yz, 3) Fie f(x 1,...,x n )=x x x 2 n 1 + x n x 1, A = {x 1 } R n. În cest cz, f =2x 1 x n, x 1 x 2 1 f x 2 =2x 2,..., f x n 1 =2x n 1, f x n = 1 x 1, derivând în rport cu câte o vribilă şi considerând celellte n 1 c prmetri. Definiţi 4.3. O funcţie f(x 1,...,x n ), f : A R definită pe un deschis A R n se numeşte derivbilă prţil pe A dcă ( ) A şi pentru orice k, 1 k n, există f (). x În cest cz se pot defini n funcţii f : A R, k x k f (), (1 k n), numite derivtele prţile le lui f pe A. x k Funcţi f se numeşte de clsă C 1 pe A ş i s e n o t e z ă f C 1 (A) dcă f este derivbilă prţil pe A şi în plus, funcţiile f,..., f sunt continue pe A. x 1 x n Se verifică imedit că orice funcţie elementră este de clsă C 1 pe orice deschis conţinut în domeniul ei de definiţie. Aşdr, polinomele, funcţiile rţionle, exponenţilele etc, compuneri le cestor sunt funcţii de clsă C Mtrici Jcobiene Fie A R n un deschis şi F : A R m o plicţie cu vlori vectorile. Fie f 1,...,f m componentele lui F ; şdr, f i : A R, 1 i m sunt funcţii stfel încât F (x) =(f 1 (x),...,f m (x)), ( )x =(x 1,x 2,...,x n ) A. Definiţi 4.4. Se spune că plicţi F este derivbilă prţil într-un punct A dcă fiecre din funcţiile f 1,...,f m sunt derivbile prţil în, în rport cu tote vlorile x 1,...,x n. În cest cz, se pote consider o mtrice remrcbilă cu m linii şi n colone cu coeficienţi reli J F () f 1 x 1 ()... f 1 x n () f m x 1 ()... f m x n () (18) numită mtrice jcobină lui F în punctul (C.G. JACOBI, ). Dcă m = n, tunci mtrice J F () este pătrtică şi determinntul ei se numeşte jcobinul su determinntul funcţionl l funcţiilor f 1,...,f n în punctul şi se noteză Exemple. 1) Aplicţi D(f 1,...,f n ) D(x 1,...,x n ) () det J F (). (19) F : A R 2, ( x 1 ρ, x2 θ ) ( ρ cos θ, ρ sin θ), A fiind un deschis conţinut în submulţime [, ) R, stbileşte legătur între coordontele crteziene şi coordontele polre în R 2. Mtrice jcobină lui F în punctul curent este J F (ρ, θ) = f 1 ρ f 2 ρ f 1 θ f 2 θ f 1 f 2 [ ] cos θ ρ sin θ = sin θ ρcos θ

144 14 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ şi jcobinul este conform (19) D(f 1,f 2 ) D(x 1,x 2 ) = D(f 1,f 2 ) =detj F (ρ, θ) =ρ cos 2 θ + ρ sin 2 θ = ρ. D(ρ, θ) Evident, plicţi F indică modul de clcul l coordontelor crteziene le unui punct dintr-un pln rportt l un reper ortogonl, cunoscând coordontele polre le punctului. 2) Aplicţi F : A R 3,( x 1 r, x 2 x 3 f 1 f 2 f 3 θ, ϕ ( r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) este de clsă C 1 pe orice deschis A conţinut în submulţime [, ) R 2 luir 3 ş i jcobinul lui F în punctul curent este D(f 1,f 2,f 3 ) D(r, θ, ϕ) = r 2 sin θ, după clcule imedite. În mod similr, plicţi G : A R 3,(ρ, ϕ, z) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) este de clsă C 1 î n m u l ţ i m e A de mi sus şi jcobinul lui G este în cest cz egl cu ρ. Evident, plicţiile F ş i G sunt strâns legte de trecere l coordonte sferice şi respectiv cilindrice în spţiu. ( 3) Considerăm funcţi F : A R 2, F (x 1,x 2,x 3,x 4 )= x 1 + x 2 2 ln x 3, x ) 4 definită pe deschisul A = {x 3 > } din R 4. În cest cz mtrice jcobină în punctul curent este x x 2 ln x 3 x 3 J F (x) = x 4 x x 3, unde x =(x 1,x 2,x 3,x 4 ), x 3 deci o mtrice de tip (2,4). funcţionl socit lui F. În cest cz, nu se pote vorbi de un determinnt Funcţii diferenţibile; noţiune de diferenţilă Fixăm o plicţie F : A R m,definităpeundeschisa din R n (m, n 1) ş i u n p u n c t A. Definiţi 4.5. Se spune că plicţi F este diferenţibilă în punctul dcă există o plicţie R-liniră T : R n R m, depinzând de, stfel încât F (x) F () T (x ) lim =. (2) x x x Noând cu ϕ(x), ϕ : A\{} R m, rportul de sub limit nterioră, relţi (2) se mi scrie echivlent F (x) =F ()+T (x )+ x ϕ(x), ( )x A (21) şi în plus, lim x ϕ(x) =. Funcţi F se numeşte diferenţibilă pe A dcă este diferenţibilă în orice punct din A. În generl, printre proprietăţile funcţiilor trebuie sublinite cele globle şi cele locle. Proprietăţile globle se referă l un întreg domeniu de studiu (de exemplu, mărginire, integrbilitte, monotoni, convexitte, continuitte uniforă etc.) în timp ce proprietăţile locle ngjeză dor vlorile funcţiei în vecinătte fiecărui punct studit; în cestă ctegorie intră continuitte, derivbilitte, diferenţibilitte. Fptul că o funcţie F : A R m este diferenţibilă pe A este evident echivlent cu existenţ unei fmilii de deschişi {A i } i I din R n stfel încât A = i I A i ş i r e s t r i c ţ i i l e F A i să fie diferenţibile pe A i,( )i I.

145 3.4. DERIVATE PARŢIALE, DIFERENŢIABILITATE 141 Lem 1. În condiţiile nteriore, dcă F este diferenţibilă în punctul, tunci plicţi R-liniră T este unic determintă prin relţi (21). Demonstrţie. Presupunem că r exist o plicţie R-liniră T 1 : R n R m stfel încât F (x) =F ()+T 1 (x )+ x ψ(x), ( )x A (22) şi în plus lim ψ(x) =. x Notând T T 1 = U şi scăzând relţiile (21), (22), se obţine U(x ) = x α(x), unde α = ψ ϕ. Fie( )h R n fixt; pentru orice t>suficient de mre, notând x = + th, rezultău(th) = th α( + th) şi cum plicţi U este R-liniră, se obţine U(h) = h α( + th). Făcând t în ultim relţie şi ţinând cont că lim α(x) =, rezultă că x U(h) =, ( )h R n, dică U =şit = T 1. Definiţi 4.6. Dcă plicţi F : A R m, A R n fiind deschis, este diferenţibilă într-un punct A, tunci plicţi R-liniră T stisfăcând (21), se numeşte diferenţil lui F în punctul şi se noteză df (). Conform lemei 1, cestă plicţie R-liniră df () :R n R m este unică, depinzând numi de F ş i d e p u n c t u l. Exemple. 1) Orice plicţie R-liniră T : R n R m este diferenţbilă pe R n ş i î n p l u s, ( ) R n vem dt () =T. Într-devăr, cum T este liniră, rezultă că T (x) T () T (x ) =, ( )x R n, deci este stisfăcută în mod evident condiţi (2). 2) Aplicţi f : R 2 R, f(x, y) =xy este diferenţibilă în orice punct =( 1, 2 ); nume T =df() este plicţi liniră T : R 2 R, (h, k) 2 h + 1 k. Este suficient să observăm că f(x, y) f( 1, 2 ) T (x 1,y 2 ) lim = (x,y) ( 1, 2 ) (x 1,y 2 ) xy (x 1 ) 1 (y 2 ) = lim =. (x,y) ( 1, 2) (x 1 ) 2 +(y 2 ) 2 Dr plicţi g : R 2 R, g(x, y) = x 2 + y 2 nu este diferenţibilă în origine. Teorem 4.1. Fie F : A R m, A R n deschis, A c mi sus şi fie f 1,...,f m componentele lui F. Atunci F este diferenţibilă în punctul dcă şi numi dcă f 1,...,f m sunt diferenţibile în şi în cest cz, diferenţil df () :R n R m re drept componente diferenţilele df 1 (),...,df m () c plicţii R-linire R n R. Demonstrţie. Teorem rezultă direct din definiţi diferenţibilităţii (relţi (21)) şi din unicitte probtă în lem 1. Din teorem 4.1. rezultă că este suficient de considert czul m = 1 l funcţiilor cu vlori rele (lucrând pe componente). Teorem 4.2. Fie o funcţie f(x 1,...,x m ), f : A R definită pe un deschis A R n. () Dcă f este diferenţibilă într-un punct A, tunci f este continuă î n ; în plus, există df ds (), pentru orice versor s Rn şi în prticulr există f derivtele prţile de ordinul I, (); nume x k df ds () =df()(s) şi f () =df()(e k ), 1 k n. (23) x k (b) Dcă f C 1 (A), tunci f este diferenţibilă pe deschisul A; în prticulr, orice funcţie elementră este diferenţibilă pe orice deschis din domeniul ei de definiţie.

146 142 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Demonstrţie. () Fie orice şir x n î n A ; tunci din relţi (21), rezultă că f(x n ) = f() +df()(x n ) + x n ϕ(x n ), ( )n şipentru n,rezultăcăf(x n ) f(), deci f este continuă în punctul. Pe de ltă prte, pentru orice t stfel încât t <r(unde r> este les stfel încât B(, r) A) vemd( + ts, ) <r,deci + ts A, pentru1 k n;în plus, f( + ts) f() t deci există limit cf.(21) = df()(ts)+ ts ϕ( + ts) t f( + ts) f() lim =df()(s), t,t t df dică ds () =df()(s); pentru s = e k, 1 k n, cf. (16). se obţine =df()(s)+ t ϕ( + ts), t f x k () =df()(e k ), (b) Fie ( ) A, =( 1, 2,..., n ) şi notăm x =(x 1,x 2,...,x n ). Atunci f(x) f() =[f(x 1,x 2,...,x n ) f( 1,x 2,...,x n )] + [f( 1,x 2,...,x n ) f( 1, 2,x 3,...,x n )] +...+[f( 1, 2,..., n 1,x n ) f( 1, 2,..., n 1, n )] = (x 1 1 ) f x 1 (ξ 1,x 2,...,x n )+ +(x 2 2 ) f x 2 ( 1,ξ 2,x 2,...,x n ) (x n n ) f x n ( 1, 2,..., n 1,ξ n ), plicând fiecărei prnteze drepte formul creşterilor finite pentru funcţii de o vribilă (ξ 1 fiind situt între 1 ş i x 1,ξ 2 î n t r e 2 ş i x 2,...,ξ n î n t r e n ş i x n ). Considerăm cum plicţi R-liniră T : R n R, definită prin T (x 1,x 2,...,x n )= deci n k=1 f x k ()x k. Aşdr T (x ) = f(x) f() T (x ) lim x,x x (x 1 1 ) = lim x,x (x 2 2 ) + lim x,x (x n n )...+ lim x,x = n k=1 [ f (ξ 1,x 2,...,x n ) f () x 1 x 1 x [ f ( 1,ξ 2,x 3,...,x n ) f () x 2 x 2 x f x k ()(x k k ), ] + ] +... [ f ( 1, 2,...,x n 1,ξ n ) f ] () x n x n x şi fiecre din ceste limite este nulă, deorece rportele x 1 1 x, x 2 2 x,..., x n n x sunt mărginite în modul de 1, ir f fiind funcţie de clsă C1 pe A, prntezele drepte tind către zero când x (dică x k k,1 k n). În concluzie, vem f(x) f() T (x ) lim =, x,x x deci funcţi f este diferenţibilă în orice punct A.

147 3.4. DERIVATE PARŢIALE, DIFERENŢIABILITATE 143 Teorem 4.2 se extinde fără dificultte l plicţii cu vlori vectorile; punctul (b) constituie cel mi utilizt criteriu de diferenţibilitte. Teorem 4.3 (formul de clcul diferenţilei). Presupunem că funcţi f(x 1,...,x n ), f : A R, definită pe un deschis A R n, este diferenţibilă într-un punct A. Atunci re loc formul df() = n j=1 f x j () pr j (eglitte de plicţii R-linire R n R). (24) Demonstrţie. Două plicţii linire R n R sunt egle dcă vlorile lor pe vectorii e k,1 k n, i bzei cnonice lui R n, coincid. Aplicând cest fpt, n f relţi (24) rezultă de îndtă ce se probeză că df()(e k )= () pr x j (e k ), j j=1 cee ce rezultă imedit folosind (23) şi fptul că pr j (e k )=δ jk. Din formul (24) rezultă că ( )(h 1,...,h n ) R n,vemdf()(h 1,...,h n )= n f ()h j. Relţi (24) se scrie într-un mod mi convenbil stfel: se ob- x j servă că plicţiile de proiecţie pr j : R n R definite prin pr j (x 1,...,x n )=x j sunt R-linire, deci d(pr j )() =pr j, dică dx j () =pr j şi formul (24) se scrie df() = n j=1 f x j ()dx j (), ir dcă f este diferenţibilă în orice punct A, tunci în punctul curent re loc formul n f df = dx j. x j j=1 Exemple. 1) Pentru n = 1, fie f : I R o funcţie de o vribilă relă definită pe un intervl deschis I şi diferenţibilă într-un punct I. Atuncif este derivbilă în şi diferenţil ei df() este plicţi R-liniră R R, cre sociză oricărui h R numărul rel f ()h. În czul n = 1, diferenţibilitte unei funcţii f : I R într-un punct este evident echivlentă cu derivbilitte în cel punct, ş cum rezultă din relţi (21), observând că pentru orice plicţie R-liniră R R, existăλ R stfel încât T (x) = λx; în cest cz f () =λ. Pentru n 2 se pote întâmpl c o funcţie să ibă derivte după orice direcţie într-un punct fără fi diferenţibilă şi nici măcr continuă (exemplul dt după definiţi 4.1.) 2) Fie f(x, y, z) =x 2 + xyz. Diferenţil lui f î n p u n t u l c u r e n t e s t e df = f x dx + f y j=1 f dy + dz =(2x + yz)dx + xzdy + xydz. z În prticulr, ( ) R 3, A =( 1, 2, 3 ) şi oricre r fi (h 1,h 2,h 3 ) R 3 vem df()(h 1,h 2,h 3 )=( )h h h 3. 3) Un czn cilindric re rz bzei R = 1m şi înălţime I = 3m. Determinăm cu proximţie creştere volumului V l cilindrului dcă dimensiunile R, I u creşteri de 2 cm. Aşdr, V = πr 2 I, decidv = π(2ri dr+r 2 di) şi c tre, V π ( ) = 14π cm 3. Observţii. 1) În condiţiile teoremei 4.3, din relţi (21) rezultă formul proximtivă n f f(x) f()+df()(x ), dică f(x) f()+ ()(x j j ), x j j=1

148 144 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Fig. III.19 pentru orice x din vecinătte lui ; şdr, f se proximeză în jurul lui cu o funcţie fină (sum unei funcţii linire cu o constntă). Mi precis, două plicţii f,g definite în vecinătte punctului se numesc tngente in dcă f(x) g(x) = ( x ) pentrux ; orice plicţie f c mi sus este diferenţibilă în există o plicţie fină g stfel încât f ş i g să fie tngente î n. ( f 2) Vectorul grd f (),..., f ) (),undef este de clsă C 1 î n x 1 x n vecinătte lui, senumeştegrdientul lui f în punctul, ir mulţime n T f = (x 1,...,x n ) R n f ()(x j j )= x j j=1 se numeşte hiperplnul tngent în l hipersuprfţ de ecuţie f(x 1,x 2,...,x n )=f(). Pentru n = 2 se obţine tngent l o curbă plnă dtă printr-o ecuţie crtezină, ir pentru n = 3 se obţine plnul tngent l o suprfţă dtă crtezin (fig. III. 19 şi b). Asupr cestor noţiuni vom reveni. Fig. III.19b Derivtele prţile le funcţiilor compuse; proprietăţi de clcul Teorem 4.4. Fie F : A B, G : B R l două plicţii unde A R n, B R m sunt mulţimi deschise. Dcă F este diferenţibilă într-un punct A ş i G este diferenţibilă în punctul b = F (), tunci funcţi compusă G F este diferenţibilă în şi în plus, d(g F )() =dg(b) df (). (25) În prticulr, compunere două plicţii diferenţibile este de semene diferenţibilă. Demonstrţie. Notăm T = df (), U = dg(b); ceste plicţii sunt R-linire T : R n R m, U : R m R l şi în plus, conform (21) u loc relţii de form F (x) =b + T (x )+ x ϕ(x) şig(y) =G(b)+U(y b)+ y b ψ(y), ( )x A, ( )y B, unde limϕ(x) =, lim ψ(y) =. Înlocuind y = F (x), x y b x A şi ţinând cont că F (x) b = T (x )+ x ϕ(x), vem G(F (x)) = G(b) +U(f(x) b) + F (x) b ψ(y) = G(F ()) + U(T (x ) + x ϕ(x)) + T (x ) x ϕ(x) ψ(f (x)), dică G(F (x)) = G(F ())+ +(U T )(x ) + x U(ϕ(x)) + T (x ) + x ϕ(x) ψ(f (x)) şi ultimii doi termeni tind către zero când x. În concluzie, re loc o relţie de form (21) pentru compunere G F ş i p e n t r u p u n c t u l ş i î n p l u s, d(g F )() =U T, dică tocmi relţi (25). Corolr (teorem de medie). Fie [, b] un segment în R n ş i f : A R o funcţie diferenţibilă pe un deschis A R n cre conţine cel segment. Atunci există ξ [, b] stfel încât f(b) f() =df(ξ)(b ). Demonstrţie. Funcţi g(t) = f((1 t) + tb) este definită pe un deschis î n R cre conţine intervlul [,1] şi în plus g() = f(), g(1) = f(b). Conform teoremei creşterilor finite, există t (, 1) stfel încât g(1) g() = g (t ). Conform teoremei 4.4 vem g (t) =df((1 t) + tb)(b ), deci f(b) f() = df(ξ)(b ), unde ξ =(1 t ) + t b. În prticulr, dcă normele plicţiilor linire df(u), u A r fi mjorte de un celşi număr M>, tunci se deduce din teorem de medie că f(b) f() M b. (26) Din teorem 4.4 vom deduce o regulă mi prctică pentru derivre prţilă funcţiilor compuse. Mi întâi vom stbilim o legătură remrcbilă între diferenţil unei plicţii într-un punct şi mtrice jcobină corespunzătore.

149 3.4. DERIVATE PARŢIALE, DIFERENŢIABILITATE 145 Fie F : A R m o plicţie definită pe un deschis A R n, diferenţibilă î n t r - u n p u n c t A ş i f 1,...,f m componentele lui F ; tunci conform teoremei 4.1 plicţi R-liniră df () re componentele df 1 (),...,df m (). Dcă {e 1,e 2,...,e m } este bz cnonică în R n, tunci relţiile (23) devin df i ()(e j )= = f i x j (), 1 i m, 1 j n. Remintim că dcă T : R n R m este o plicţie R-liniră şi dcă t 1,t 2,...,t m sunt componentele lui T, tunci mtrice M T =[t i (e j )] 1 i m 1 j n se numeşte mtrice socită lui T în bzele cnonice din R n, R m. Aplicând cest fpt pentru T = df (), t i = df i (), 1 i m, rezultă că mtrice socită [ diferenţilei ] lui F în punctul este tocmi mtrice jcobină fi J F () = () luif î n. Remintim de semene că sociere x j 1 i m 1 j n T M T este R-liniră şi că dcă T,U sunt linire, tunci M U T = M U M T, ir o plicţie R liniră T : R n R n este izomorfism mtrice M T este nesingulră şi în cest cz, (M T ) 1 = M T 1. Din teorem 4.4 rezultă direct Teorem 4.5. În condiţiile teoremei 4.4 re loc relţi J G F () =J G (b) J G (). (27) Relţi (27) concentreză diversele reguli de derivre prţilă funcţiilor compuse, utilizte forte des în plicţiile nlizei. În czul l = m = n se obţine o relţie remrcbilă între determinnţi funcţionli: fie y 1 = f 1 (x 1,...,x n ),..., y n = f n (x 1,...,x n ) componentele lui F ş i g 1 (y 1,...,y n ),...,g n (y 1,...,y n ) componentele lui G; notând cu h i (x 1,...,x n ) = g i (f 1 (x 1,...,x n ),..., f n (x 1,...,x n )), 1 i n componentele compunerii G F, rezultă căre loc relţi D(h 1,...,h n ) D(x 1,...,x n ) () = D(g 1,...,g n ) D(y 1,...,y n ) (b) D(f 1,...,f n ) (). (28) D(x 1,...,x n ) Acestă relţie rezultă din (27), plicând fptul că determinntul produsului două mtrici pătrtice de ordin n este produsul determinnţilor celor două mtrici. Czuri prticulre. 1) Fie A R, B R 2 mulţimi deschise şi f,g plicţii diferenţibile A f B g R t f(t) (u, v) w, f(t) =(u(t),v(t)), w= g(u, v). Se pote tunci consider funcţi compusă w = w(t) prinw =(g f)(t) = g(f(t)) = g(u(t),v(t)) şi relţi (27) scrisă în punctul curent J g f = J g J f devine [ ] [ ] g w g u (t) = (t) u v v = g (t) u u (t)+ g v v (t). Pentru reţine cestă formulă, este util grful (fig. III. 2). 2) Fie A R 2, B R 2 mulţimi deschise şi f,g plicţii diferenţibile Fig. III.2 A f B g R (x, y) (u, v), (u, v) w, u = u(x, y), v= v(x, y), w= g(u, v).

150 146 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Relţi mtricilă (27) în punctul curent devine în cest cz [ w x ] [ w w = y u ] w v u x v x u y v y de unde w x = w u u x + w v v x ş i w y = w u u y + w v v y, Fig. III.21 cre se pot reţine mi uşor folosind grful (fig. III.21). 3) Fie un con deschis C R n (dică o submulţime deschisă C stfel încât din ipotez că x C, t R, t sărezultetx C; deexemplu,c = R n este un con deschis şi l fel sunt mulţimile {xy > } î n R 2 ş i {x 2 + y 2 z 2 < } î n R 3 ). Fie f(x 1,...,x n ), f : C R o funcţie diferenţibilă pe C, cre în plus este omogenă de grd r (dică f(tx) =t r f(x), ( )x C, ( )t R, t, r fiind un număr rel fixt). În cest cz rezultă relţi u 1 u n {}}{{}}{ f( tx 1,..., tx n )=t r f(x 1,...,x n ), ( )t R, t, ( )x =(x 1,...,x n ) C. Derivând cestă relţie în rport cu t, rezultă f u 1 (tx) x f u n (tx)x n = rt r 1 f(x) şi făcând t = 1, se obţine o relţie remrcbilă în punctul curent din C, nume x 1 f x x n f x n = r f(x 1,...,x n ), (29) numită formul lui Euler pentru funcţii omogene. Vom d în continure proprietăţile de clcul pentru derivt după un versor şi în prticulr pentru derivte prţile. Teorem 4.6. Fie f(x 1,...,x n ), f : A R (A R n deschis) o funcţie diferenţibilă într-un punct A. Pentru orice versor s =(s 1,...,s n ) R n vem df ds () =s f f 1 ()+...+ s n (). (3) x 1 x n Demonstrţie. Fieg(t) = f(+ts), definită în vecinătte originii. Deorece f este diferenţibilă în punctul, rezultăcăg este o funcţie diferenţibilă în punctul t = şi fiind funcţie de o vribilă relă, există g (), dică tocmi df (), conform definiţiei 4.1. În plus, ds df ds () =g () = d x 1 x n {}}{{}}{ dt ()f( 1 + ts 1,..., n + ts n ) = t= Fig. III.22 = [ f (x 1,...,x n ) x x 1(t)+...+ f (x 1,...,x n ) x 1 x n(t)], n t= conform regulei de derivre funcţiilor compuse, ilustrtă în grful (fig. III.22). Aşdr, df f () = ()s f ()s n, deorece pentru t =vem ds x 1 x n x k = k ş i x k (t) =s k,1 k n. Teorem 4.7. Fie f,g : A R (A R n deschis) două funcţii diferenţibile într-un punct A. Atunci f + g, λf (λ R constnt), fg, f/g (g(x), ( )x A) sunt diferenţibile în ş i î n p l u s :

151 3.4. DERIVATE PARŢIALE, DIFERENŢIABILITATE 147 () (b) x k (f + g)() = f x k ()+ g x k (), (λf)() =λ f (), x k x k x k (fg)() =f() g x k ()+g() f x (), g() f () f() g () x (f/g)() = k x k x k g() 2, 1 k n. d (f + g)() =df ds ds ()+dg ds (), d (λf)() =λdf ds ds (), d (fg)() =f()dg ds ds ()+g()df ds () df d g() () f()dg ds (f/g)() = ds ds () g() 2 pentru orice versor s R n. (c) d(f + g)() =df()+dg(), d(λf)() =λdf(), d(fg)() =f()dg()+g()df(), d(f/g)() = g()df() f()dg() g() 2. Demonstrţie. () Se plică fptul că pentru derivte prţile, considerând x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n c prmetri, u loc regulile de derivre x k pentru funcţii de o vribilă relă, cunoscute din liceu. (b) Se foloseşte relţi (3). De exemplu, d ds (fg)() = = g() n k=1 n s k k=1 s k f x k ()+f() (fg)() = x k k=1 n k=1 [ s k g() f ()+ g ] () = x k x k n g s k () =g() df x k ds ()+f()dg () etc. ds (c) Rezultă din relţi (24) şi din punctul () l cestei teoreme. Relţiile din teorem 4.7 se scriu în punctul curent stfel: x k (f + g) = f x k + g x k, (fg)=f g + g f, x k x k x k d dg (fg)=f ds ds + +g df fdg, d(f + g) =df +dg, d(fg)=fdg + gdf, d(f/g) =gdf ds g 2 etc Derivte prţile de ordin superior, diferenţile de ordin superior Fie f(x 1,...,x n ), f : A R ofuncţieden vribile rele, definită pe un deschis A R n şi cu vlori rele. Definiţiile de mi jos se extind cu uşurinţă l czul funcţiilor cu vlori vectorile, cu jutorul funcţiilor componente. Definiţi 4.7. Funcţi f se numeşte: de clsă C (A) dcă este continuă pe A; de clsă C 1 (A) (su continuu diferenţibilă pe A) dcă este continuă pe A şi derivbilă prţil în fiecre punct din A, ir funcţiile f : A R, x k 1 k n, suntcontinuepea; de clsă C 2 (A) dcă f C 1 (A) ş i t o t e derivtele f, 1 k n, sunt funcţii de clsă C 1 (A), dică pentru orice x k

152 148 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ 1 j, k n, există ( ) f în fiecre punct din A şi ceste sunt funcţii x j x k continue pe A. Derivt ( ) f 2 f se noteză cu pentru j k ş i c u 2 f x j x k x j x k x 2 pentru j j = k. Dcă f C 2 (A) se obţin stfel noi funcţii continue f x k : A R 2 f x j x k : A R 2 f x 2 j (cele n derivte de ordin I pe A) şi (cele n 2 n derivte mixte de ordin II pe A) şi : A R (cele n derivte nemixte de ordin II pe A), 1 j, k n. Exemplu. Pentruf(x 1,x 2,x 3 )=x x x 1 x 2 x 3 vem f x 1 =2x 1 + x 2 x 3, f x 2 =2x 2 + x 1 x 3, f x 3 = x 1 x 2, 2 f x 2 1 =2, 2 f x 1 x 2 = x 3, 2 f x 2 x 3 = x 1, 2 f x 2 3 = etc. Prin inducţie după p, sedefinescfuncţiilede clsă C p (A), p 1(cfiind funcţii de clsă C p 1 le căror derivte de ordin p 1 sunt de clsă C 1 ). De semene se pune C (A) p C p (A). Funcţiile de clsă C (A) senumesc funcţii indefinit derivbile prţil pe A; ele sunt funcţii continue, derivbile prţil de ori câte ori în rport cu vribilele x 1,...,x n pe A, cu tote derivtele prţile funcţii continue A R. În mod evident, u loc incluziunile C (A)... C p (A) C p 1 (A)... C 1 (A) C (A). Se pote prob fără dificultte că pentru orice p N fixt mulţime de funcţii C p (A) este inel comuttiv cu element unitte, reltiv l operţiile uzule de dunre şi înmulţire funcţiilor A R (A fiind un deschis fixt din R n ), dr un inel neintegru. În cele mi multe plicţii le nlizei pr funcţii de clsă cel mult C 2. În czul unei funcţii f(x, y) de două vribile rele de clsă C 2 pe un deschis A R 2, derivtele prţile de ordin I şi II sunt uneori în mod specific, nume ş i p = f f,q= x y,r= 2 f x 2 = x s = 2 f x y = x ( f x ),t= 2 f y 2 = y ( f y ( ) f notţiile lui G. MONGE, ( ). y ( 2 f f Vom vede în teorem cre urmeză că s = x y = y x pentru derivtele mixte de ordin II se pote interverti ordine de derivre. Teorem 4.8 (H.A. SCHWARTZ ). Fie f(x 1,...,x n ), f : A R o funcţie de clsă C 2 (A), A fiind un deschis din R n. Atunci 2 f () = 2 f (), x j x k x k x j în orice punct A şi pentru orice j, k (1 j, k n). ) ), dică Demonstrţie. Stbilim în prelbil o lemă, cre este de fpt un cz prticulr l teoremei.

153 3.4. DERIVATE PARŢIALE, DIFERENŢIABILITATE 149 Lem 2. Fie g(u, v),g : B(,r) R o funcţie de clsă C 2 pe o bilă B(,r), r> centrtă în origine din R 2. Atunci 2 g (, ) = 2 g (, ). u v v u Demonstrţi lemei. Se consideră expresi E = g(u, v) g(,v) g(u, ) + g(, ), ( )(u, v) B(,r). Notând ϕ(u, v) =g(u, v) g(u, ), ψ(u, v) =g(u, v) g(,v), rezultă E =[g(u, v) g(u, )] [g(,v) g(, )] = ϕ(u, v) ϕ(,v) (31) Fig. III.23 şi similr E =[g(u, v) g(,v)] [g(u, ) g(, )] = ψ(u, v) ψ(u, ) (32) Aplicând teorem creşterilor finite pentru v fixt, din relţi (31) rezultă E = u ϕ [ g u (ξ 1,v)=u u (ξ 1,v) g ] u (ξ 1, ), deci plicând din nou teorem creşterilor finite, rezultă E = uv 2 g v u (ξ 1,ξ 2 ), unde ξ 1 este cuprins între şi u, ir ξ 2 î n t r e ş i v. Rţionând similr pornind de l relţi (32), rezultă că E = uv 2 g u v (ξ 3,ξ 4 ), unde ξ 3 este cuprins între şiu, ir ξ 4 î n t r e ş i v. Comprând cele două expresii pentru E, rezultă 2 g 2 g că u v (ξ 1,ξ 2 )= v u (ξ 3,ξ 4 ), punctele (ξ 1,ξ 2 )şi(ξ 3,ξ 4 ) prţinând dreptunghiului hşurt în fig. III. 23; făcând (u,v) (, ), ceste puncte vor 2 g tinde către (,) şi ţinând cont de continuitte lui u v ş i 2 g (g fiind v u presupusă funcţie de clsă C 2 ), v rezult că 2 g (, ) = 2 g (, ) şi lem u v v u este probtă. Revenim l demonstrţi teoremei. Czul j = k este evident; presupunem j k, deexempluj<k. Deorece A este deschis şi =( 1, 2,..., n ), A, există r>stfel încât B(, r) A î n R n. Pentru orice punct (u, v) B(,r) î n R 2 rezultă u 2 + v 2 <r 2. Notând cu {e 1,e 2,...,e n } bz cnonică în R n, rezultă că d( + ue j + be k,)= + ue j + ve k = ue j + ve j = =,...,, j u,,..., k v,,...,) = u 2 + v 2 <r, deci + ue j + ve k B(, r) A şi c tre, se pote defini în bil B(,r)din R 2 funcţi g de clsă C 2,cşif, punând g(u, v) =f( + ue j + ve k )= = f( x x 1 j x k 1,..., j + u,..., k + v,..., x n n ). Conform regulii de derivre funcţiilor compuse, rezultă g f (u, v) = ( + ue j + ve k ), u x j g f (u, v) = ( + ue j + ve k ), v x k Înlocuind u =, v =, v rezult 2 f x j x k () = plicând lem 2, rezultă în finl că 2 g (u, v) = 2 v u 2 g (u, v) = 2 u v 2 g v u (, ) şi 2 f () = x k x j f x k x j ( + ue j + ve k ), f x j x k ( + ue j + ve k ). 2 g (, ); v u 2 f () = 2 f (). x j x k x k x j

154 15 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Definiţi 4.8. Se numeşte multi-indice (su n-indice) orice sistem ordont α =(α 1,...,α n ) de numere nturle, dică un element din N n, n 1 fiind fixt. Pentru orice multi-indice α N n, α =(α 1,...,α n ) întregul α = α 1,...,α n se numeşte ordinul lui α. De exemplu, (4.7) este un 2-indice de ordin 11, ir (4,1,,2) este un 4-indice de ordin 7. Dcă f(x 1,...,x n ), f : A R este o funcţie de clsă C p (A) peundeschis A R n, tunci pentru orice n-indice α =(α 1,...,α n )cu α p este definită α f funcţi x α : A R de clsă C p α (A), obţinută derivând 1 1 xα xα n n succesiv f de α n ori în rport cu x n de α n 1 ori în rport cu x n 1 etc. şi de α 1 ori în rport cu x 1. Acestă funcţie se mi noteză cu D α f. Aplicând teorem 4.8 lui Schwrtz, rezultă că pentru orice permutre σ numerelor 1, 2,...,n,vemD α f = D σ(α) f, în fiecre punct din A, dică α f x α = xα n n x α σ(1) σ(1) α f... xα σ(n) σ(n) De exemplu, pentru o funcţie f(x, y) de clsă C 2 vem pentru o funcţie f(x, y) de clsă C 3 rezultă,. 2 f x y = 2 f y x, ir 3 f x 2 y = 3 f x y x = 3 f x y 2, 3 f x y 2 = 3 f y x y = 3 f y 2 x etc. Asociere D α : C p (A) C p α (A), f D α f,senumeşteopertorul de derivre de multi-indice α; mi generl, se numeşte opertor diferenţil linir de ordin p pe A orice combinţie liniră α (x 1,...,x n ) D α,cu α α p funcţii continue A R. De exemplu, în czul n = 2, un opertor diferenţil extrem de importnt este = D (2,) + D (2,), dică : C 2 (A) C (A), f 2 f x f = f, numitlplcinul în două vribile (după numele y2 lui P. LAPLACE, ). Definim cum pe scurt diferenţilele de ordin superior. Definiţi 4.9. Fie f(x 1,...,x n ), f : A R o funcţie de clsă C 2 pe un deschis A R n. Pentru orice punct A, re sens diferenţil I lui f î n (conform teoremei 4.2, (b)), nume plicţi liniră df() :R n R, h=(h 1,...,h n ) De semene se pote consider form pătrtică d 2 f() :R n R, h=(h 1,...,h n ) 1 i,j n n i=1 numită diferenţil II- lui f î n. Mtrice [ 2 ] f H = () x i x j 1 i,j n f x i () h i. (33) 2 f x i x j () h i h j. (34) socită formei pătrtice d 2 f() este o mtrice simetrică, numită hessin lui f î n (O. HESSE, ). Observând că h i =pr i (h) =d(pr i )() =dx i (), rezultă în mod simbolic reli ile df = n i=1 f dx i, d 2 f = x i 1 i,j n 2 f x i x j dx i dx j, (35)

155 3.4. DERIVATE PARŢIALE, DIFERENŢIABILITATE 151 l căror sens riguros îl constituie (33), (34). Exemple. 1) Dcă f(x, y) este o funcţie de clsă C 2 pe un deschis din R 2, tunci în punctul curent din cel deschis u loc, cu notţiile lui Monge, relţiile df = f x f dx + dy = p dx + q dy y d 2 f = 2 f x 2 dx f x y dx dy + 2 f y 2 dy2 = r dx 2 +2s dx dy + t dy 2, cu convenţi de notţie dx dx =dx 2,dy dy =dy 2. Evident, dcă f(x, y) =x, tunci df =dx, d 2 f =, ir dcă f(x, y) =y, tunci df =dy, d 2 f =. 2) Fie f(x, y, z) =x 2 + xy xz 2 ş i =(1, 1, ). Atunci conform (35) vem df =(2x + y z 2 )dx + x dy 2xz dz, d 2 f = 2dx 2 + 2dx dy 4z dx dz 2xdz 2. Diferenţilele I şi II le lui f în punctul sunt, conform (33), (34), plicţiile df() :R 3 R, (h 1,h 2,h 3 ) 3h 1 + h 2 ş i d 2 f() :R 3 R, (h 1,h 2,h 3 ) 2h h 1 h 2 2h 2 3. Pentru o funcţie de clsă C p (A), p 3 se pot defini diferenţile d k f,3 k p, deexemplu,d 3 f() :R n R, A este form cubică (h 1,...,h n ) 1 i,j,k n 3 f x i x j x k ()h i h j h k. Puţine sunt problemele prctice cre utilizeză diferenţile de ordin Extremele locle le funcţiilor de mi multe vribile rele Fie f(x 1,...,x n ), f : A R ofuncţievlori rele, definităpeundeschis A R n. Definiţi 4.1. Un punct A se numeşte punct extrem locl l lui f dcă există o bilă B(, r) A, centrtă în, unde diferenţ f(x) f() re semn constnt; mi precis, punctul =( 1,..., n ) se numeşte punct de minim (respectiv mxim) locl l lui f dcă pentru orice punct x = (x 1,...,x n ) din ce bilă, vem f(x) f() (respectiv f(x) f()). Definiţi Un punct A se numeşte punct critic (su stţionr) pentru funcţi f dcă f este funcţie diferenţibilă în punctul şi în plus, df () =. Teorem 4.9 (teorem lui FERMAT). Dcă funcţi f este diferenţibilă într-un punct A, cre este punct de extrem locl l lui f, tunci cest punct este critic pentru f. Demonstrţie. Fixăm un versor s R n orecre. Alegând r> stfel încât diferenţ f(x) f() să ibă semn constnt pe o bilă B(, r) conţinută în A, se pote consider funcţi relă derivbilă g :( r, r) R, g(t) =f( + ts). Aşdr, diferenţ g(t) g() re semn constnt pentru orice t ( r, r) deci t = este punct de extrem locl l lui g şi conform teoremei clsice lui Fermt, rezultă g () =, dică df f () =. În prticulr () =, ds x k n f 1 k n şi c tre, df() = ()dx k =. x k k=1 Reciproc teoremei 4.9 este flsă; de exemplu, luăm A = R 2, f(x, y) =xy ş i =(, ). Evident, f () = f () =, dică df() =şi este punct x y

156 152 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ critic pentru f, dr diferenţ f(x, y) f(, ) = xy nu re semn constnt în nici o bilă centrtă în origine, dică (,) nu este punct de extrem locl pentru f. Din cele spuse mi sus, rezultă direct următorul Corolr. Dcă f(x 1,...,x n ) este o funcţie de clsă C 1 pe un deschis A R n, tunci extremele locle le lui f î n A se flă printre soluţiile situte în A, le sistemului f x 1 (x 1,...,x n )=,..., f x n (x 1,...,x n )=. (36) Exemplu. Extremele locle le funcţiei f(x, y) =x 3 + y 3 3xy, A = R 2 f se flă printre soluţiile sistemului x =, f y =, dică 3x2 3y =, 3y 2 3x =, deci se flă printre punctele (,), (1,1). În cele ce urmeză, vom indic condiţii suficiente de extrem (teorem 4.9 şi corolrul ei du numi condiţii necesre de extrem!); cu lte cuvinte, vom d un criteriu de decide cre din punctele critice le unei funcţii sunt puncte de extrem le ei. În prelbil, este necesr nlogul multidimensionl l formulei lui Tylor (teorem II. 4.8). Dcă f(x 1,...,x n ), f : A R este o funcţie de clsă C p (A), unde A R n este o mulţime deschisă şi dcă fixăm un punct =( 1,..., n ) A, se noteză T (x) =(x 1 1 ) f x 1 ()+...+(x n n ) f x n (), ( )x A. Fie [T (x)] (k), 2 k p, putere simbolică polinomului T (x), obţinută ( ) k f plicând formul tip binomul lui Newton, cu convenţi de înlocui () x ( ) i k 1 cu k f f f k ( ) k 2 ( ) 2 f f f x k (), () () cu i x i x i x k 1 (), () () i x j x i x j k f cu x k 2 () etc. Cu ceste precizări, probăm i x 2 j Teorem 4.1 (formul lui TAYLOR). Fie f,a, A c mi sus, f fiind de clsă C p (A). Alegem r> stfel încât B(, r) A. Atunci pentru orice x B(, r) există un punct ξ [, x] stfel încât f(x) = f()+ 1 1! T (x)+ 1 2! [T (x)] (2) (p 1)! [T (x)] (p 1) + 1 p! [T (x)] (p), (37) unde în putere simbolică [T (x)] (p), derivtele de ordin p sunt clculte în punctul ξ. Demonstrţie. Fixăm un versor s = (s 1,...,s n ) R n. Atunci pentru orice t ( r, r) vem + ts B(, r) A şi se pote consider funcţi g(t) =f( + ts) =f( 1 + ts 1,..., n + ts n ); cum f C p (A), tunci g este de clsă C p ( r, r) şiîn plusvem g (t) = f x 1 ( + ts) s f x n ( + ts) s n, g (t) = 2 f x 2 ( + ts) s f ( + ts) s 1 s x 1 x f ( + ts) s n 1 s n + 2 f x n 1 x n x 2 ( + ts) s 2 n =[g (t)] (2), n g (t) = [g (t)] (3) etc.

157 3.4. DERIVATE PARŢIALE, DIFERENŢIABILITATE 153 Aplicând pentru funcţi g formul Mc Lurin (cor. 3 l teoremei 4.8, din Cp. 2), rezultă că ( )t ( r, r) existăξ î n t r e ş i t stfel încât g(t) =g() + t 1! g () + t2 2! g () tp 1 tp () + (p 1)! p! g(p) (ξ ). Înlocuind + ts = x, rezultăts 1 = x 1 1,...,ts n = x n n. Avem g () = f ()s f ()s n, g () = [g ()] (2),...,g (p) (ξ )=[g (ξ )] (p) x 1 x n deci tg () = T (x), t 2 g () = [T (x)] (2) etc. şi luând ξ = + ξ s, se obţine tocmi formul (37). Formul (37) este numită uneori dezvoltre până l ordinul p 1 luif î n jurul punctului (su după puterile lui x 1 1,...,x n n ). Aceeşi formulă permite o estimre pentru creştere f(x) f(). Observţie. Fie f o funcţie de clsă C într-o vecinătte unui punct R n ;funcţieif i se pote soci seri Tylor în punctul p 1 p! [T (x)] (p) = f()+ 1 1! T (x)+ 1 2! [T (x)] (2) +... Dcă cestă serie este punctul convergentă şi re sum f(x) în vecinătte lui, sespunecăf este nlitică relă în punctul. Corolr 1. Dcă f C p (A), A R n deschis, tunci în vecinătte oricărui punct A re loc formul f(x) =f()+ 1 1! T (x)+ 1 2! [T (x)] (2) (p 1)! [T (x)] (p 1) +( x p 1 ). Corolr 2. Fie A R 2 un deschis şi f(x, y), f : A R o funcţie de clsă C 2 (A); tunci pentru orice punct (x, y) din vecinătte unui punct fixt =(x,y ) A, relocformul f(x, y) =f(x,y )+ 1 1! [ + 1 ( 2! (x x ) 2 2 ) f x 2 ξ [ (x x ) ( ) f +(y y ) x ( ) ] f + y ( 2 ) ( f + 2(x x )(y y ) +(y y ) 2 2 ) f x y ξ y 2 ξ unde ξ este un punct situt pe segmentul unind cu punctul (x, y), dică există <θ<1 stfel încât ξ =((1 θ)x + θx, (1 θ)y + θy) =(x + θ(x x ),y + θ(y y )). Exemple. 1) Dezvoltăm f(x, y) =ysin xy, în jurulpunctului =(,π) până l ordinul doi. Avem f() =, f x () =π2, f y () =, 2 f () =, x2 2 f 2 f () =, y2 x y () =2π, deci conform corolrului 1, vem y sin xy = π2 x + πx(y x)+r 2,( )(x, y) R 2 unde R 2 = 1 [ x 3 3 f 3! x 3 (ξ)+3x2 (y π) 3 f x 2 y (ξ)+ ] +3x(y π) 2 3 f x y 2 (ξ)+(y π)3 3 f y 3 (ξ), ξ fiind situt între (,π)şi(x, y). 2) A liniriz o funcţie f C 1 (A), A R n î n j u r u l u n u i p u n c t A însemnă consider proximre f(x) f() +T (x), pentru orice x din vecinătte punctului. De exemplu, linirizt funcţiei f(x, y, z) = ],

158 154 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ x2 + y 2 + z 2 cos xy î n j u r u l p u n c t u l u i =(π, 1, ) este funcţi de grdul întâi = π 2 +1 f()+(x π) f ()+(y 1) f ()+(z ) f x y z () = π π2 +1 (x π) 1 π2 +1 (y 1) = 1 (xπ + y) π2 +1 ir linirizt lui f(x, y) =2xy + ye x î n j u r u l l u i =(, 1) este 3x + y 1. Acest procedeu este utilizt în linirizre unor procese fizice su tehnice, dcă stfel de procese sunt descrise prin funcţii f(x 1,...,x n ), unde x 1,...,x n sunt prmetri de stre. Revenim l problem iniţilă extremelor locle. Este necesră următore Lem 3. Fie [ ij ] 1 i,j n o mtrice simetrică de numere rele ( ij = ji ( )i, j) şiϕ(x) = ij x i x j, x =(x 1,...,x n ) form pătrtică socită. 1 i,j n Dcă ϕ este pozitiv definită (dică ϕ(x) > pentru orice x R n, x ), tunci există λ> rel stfel încât ϕ(y) λ y 2, ( )y R n. Demonstrţie. Fie S = {x R n x =1} = {(x 1,...,x n ) R n x x 2 n = 1} sfer unitte din R n. Evident, S este o mulţime închisă şi mărginită în R n, deci este compctă (conform teoremei 1.5). Deorece funcţi ϕ : R n R este continuă (polinomilă în x 1,...,x n ), e este mărginită şi îşi tinge mrgine inferioră pe S (conform teoremei 2.1). Fie λ = inf ϕ(x); x S şdr, există ξ S deci ξ, stfel încât λ = ϕ(ξ). Din ipotez că ϕ este pozitiv definită, rezultă λ>. Aşdr, ( )x S vem ϕ(x) λ. Fie ( )y R n. Dcă ( y =, ) tunci evident ϕ(y) λ y 2. Dcă y, tunci y y 1 S, deciϕ y y 2 λ, ϕ(y) λ şi se obţine ineglitte din y 2 enunţ. Teorem Fie f(x 1,...,x n ), f : A R o funcţie de clsă C 2 pe un deschis A R n.fie un punct critic l lui f (dică df () =). Dcă form pătrtică d 2 f() este pozitiv definită (respectiv negtiv definită), tunci este punct de minim (respectiv de mxim) locl pentru f. Demonstrţie. Presupunem că form pătrtică (34) este pozitiv definită. Conform lemei 3, plictă pentru y = x, existăλ> rel stfel c unde ş i d 2 f()(x ) λ x 2. (38) Pe de ltă prte, conform formulei lui Tylor (37) pentru p = 2, vem f(x) f() =T (x)+ 1 R, (39) 2 T (x) =(x 1 1 ) f x 1 ()+...+(x n n ) f x n () [ R = (x 1 1 ) 2 2 f 2 f x 2 (ξ) + 2(x 1 1 )(x 2 2 ) (ξ)+ 1 x 1 x 2 ] +...+(x n n ) 2 2 f x 2 (ξ), n unde ξ [, x]. Deorece este un punct critic, rezultă că df() =, deci f () =df()(e k ) =, 1 k n, decit (x) =. Apoi, deorece f este de x k clsă C 2,funcţiile 2 f x 2, 1 2 f,..., 2 f x 1 x 2 x 2 n sunt continue, deci R =(x 1 1 ) 2 2 f 2 f x 2 () + 2(x 1 1 )(x 2 2 ) () x 1 x 2

159 3.4. DERIVATE PARŢIALE, DIFERENŢIABILITATE (x n n ) 2 2 f x 2 + ( x 2 )=d 2 f()(x ) + ( x 2 ). n Atunci relţiile (39), (38) rtă că f(x) f() = 1 2 R 1 2 d2 f()(x )+θ(x) x 2 ( ) λ 2 + θ(x) x 2, (4) unde lim x θ(x) =. Deorece λ>, se pote găsi r> stfel încât λ 2 +θ(x) >, pentru orice x B(, r). Aşdr, din relţi (4) rezultă că f(x) f() pentru orice x B(, r), dică este punct de minim locl pentru f. Czul punctului de mxim se trteză similr su se consideră f. Observţii. 1) Din lgebr liniră, se ştie că form pătrtică d 2 f() este pozitiv definită [ (respectiv negtiv definită) dcă mtrice ei socită, dică 2 ] f hessin H = () ) 1 i,j n re tote vlorile proprii strict pozitive x i x j (respectiv tote vlorile proprii strict negtive). Mtrice H fiind simetrică, tote vlorile ei proprii sunt rele. În cest mod, este indict un criteriu pentru plicre teoremei Dcă H re vlori proprii tât pozitive cât şi negtive, un punct critic nu este extrem locl pentru f. 2) Czul n = 2 l unei funcţii f(x, y) este simplu cu deosebire. Se determină punctele critice le lui f î n d e s c h i s u l A R 2 respectiv, rezolvând sistemul (36) corespunzător, dică f f =, =. Dcă A este un stfel de punct x y critic, se clculeză d 2 f() =r dx 2 +2sdxdy + t dy 2,cur, s, t clculte în. Dcă rt s 2 >, r>, tunci form pătrtică d 2 f() v fi pozitiv definită, deorece ( )(u, v) R 2 \ (, ), [ ( d 2 f()(u, v) =ru 2 +2suv + tv 2 = r u + s ) 2 r v rt s 2 ] + r 2 v 2 > ; teorem 4.11 rtă că în cest cz, punctul este de minim locl pentru f; similr, dcă rt s 2 >, r<, tunci form pătrtică d 2 f() este negtiv definită şi punctul este de mxim locl. Dcă rt s 2 <, tunci form pătrtică d 2 f() nu este nici pozitiv definită şi nici negtiv definită ir din relţi (39) rezultă că diferenţ f(x) f() nu re semn constnt pe vreo vecinătte punctului ; cest punct este critic, fără fi extrem locl. În czul rt s 2 = este necesră evlure directă semnului diferenţei f(x) f(), utilizând dezvoltre Tylor lui f(x) de ordin superior în jurul punctului critic. 3) Fie K R n o mulţime compctă şi f o funcţie de clsă C 1 pe un deschis cre conţine K. Extremele globle le lui f pe K sunt tinse în puncte din K. Dcă ceste puncte prţin lui K, tunci ele sunt în mod necesr puncte critice şi pot fi determinte c tre, plicând teorem lui Fermt. Dcă ele nu prţin lui K, tunci ele prţin mulţimii K\ K, dică frontierei lui K sunt necesre lte metode pentru determinre lor (de exemplu, metod multiplictorilor Lgrnge cre v fi dezvolttă ulterior, în czul când Fr K este dtă prin ecuţii crteziene). Exemple. 1) Determinăm extremele locle le funcţiei f(x, y, z) =x 2 y + yz + 32x z 2 î n R 3. Punctele critice se obţin rezolvând sistemul f =2xy + 32 = x f y = x2 + z = f z = y 2z =,

160 156 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ cre dmite o singură soluţie, nume =(2, 8, 4). Atunci mtrice hessină socită lui d 2 f() vfi 2 f x 2 () 2 f x y () 2 f x z () 16 4 H = 2 f x y () 2 f y 2 () 2 f y z () = f x z () 2 f y z () 2 f z 2 () 1 2 Vlorile proprii le lui H vor fi rădăcinile polinomului P (λ) =det(λu 3 H) =λ λ λ 48. Acest polinom re tât rădăcini pozitive, cât şi negtive, deci nu este punct de extrem locl l lui f. 2) Determinăm extremele locle le funcţiei f(x, y) =x + y +4sinxsin y î n deschisul A = f y (, 3π 4 ) (, 3π 4 ) din R 2. f În cest cz, = cos x sin y, x = 1 + 4sinx cos y şi punctele critice vor verific relţiile sin y cos x = sin x cos y = 1 4,decisin(x + y) = 1,sin(x y) =şiuniculpunctcritic ( 2 7π î n A este = 12, 7π ). 12 În plus, r = 2 f = 4sinxsin y, s = 4 cos x cos y, x2 t = 4sinxsin y, deciîn punctul, vemrt s 2 > şir<, dică punctul este mxim locl pentru f Exerciţii 1. Să se clculeze, pornind de l definiţi, f f (), () pentruf(x, y) = x y = x 2 +3xy î n p u n c t u l =(1, 2). 2. Să se clculeze derivtele de ordin I le funcţiilor f(x, y) =x rctg y x, f(x, y) =x 3 +y 3 ln x2 + y 2 x 2, f(x, y) =sin y x +cos y x, f(x, y, z) =x2 +yz 2 +ze xy, f(x 1,x 2,...,x n )=x x x 2 x n n 1 +,în punctulcurentdin x x n deschisul mxim pe cre funcţiile sunt definite. 3. Se consideră funcţi f(x, y, z) =x 2 +2y 2 +3z 2 ş i p u n c t u l =(2, 1, 1). Să se clculeze df ī k (), unde s =. ds 2 4. Să se studieze existenţ derivtelor prţile le funcţiei f : R 2 R definită prin x p y f(x, y) = x 2 + y 2 dcă (x, y) (, ) dcă (x, y) =(, ) î n d i v e r s e l e p u n c t e d i n R 2 şi după diverse vlori le lui p 1. Să se rte că pentru p = 1, funcţi f nu este continuă în origine, dr re derivte prţile în cest punct. 5. ) Cre sunt versorii s, stfel încât pentru funcţi f(x, y) = 4 xy 2 să existe df (, )? ds b) Fie f(x, y, z) =x 2 + y 2 + z 2 ş i =(1,, 2). Dintre toţi versorii s să se fle cel pentru cre df ds () este extrem.

161 3.4. DERIVATE PARŢIALE, DIFERENŢIABILITATE 157 Răspuns. ) s =ī, ± ȷ; b) s = ±ī +2 k Să se expliciteze mtrice J F în punctul curent, pentru fiecre din plicţiile următore: F (x, y) =(x 2 + y, x + y 2 ), F(x, y) =(xy, y sin x, x + y), F (x, y, z) =(xy, yz 2 ), F(x, y, z) =(xyz, xy, x). 7. Se consideră funcţiile f,g : R 2 R definite prin xy dcă (x, y) (, ) f(x, y) = x2 + y 2 dcă (x, y) =(, ) (x 2 + y 2 1 )sin g(x, y) = x 2 + y 2 dcă (x, y) (, ) dcă (x, y) =(, ) Să se rte că: ) f este continuă şi dmite derivte prţile în tote punctele din R 2, fără fi diferenţibilă în origine; b) g este diferenţibilă în R 2, dr nu este de clsă C 1 pe R ) Fie funcţi f(x, y) =x 3 + xy 2 ş i p u n c t u l =(1, 2). Să se clculeze derivtele prţile de ordin I, II le lui f î n, precum şi diferenţilele df(), d 2 f(). b) Să se clculeze df, d 2 f în punctul curent pentru fiecre din funcţiile f(x, y) =x 2 y, f(x, y) =x +lny, f(x, y, z) =xyz. 9. Fief,g : A R, A R n deschis şi A fixte. Să se rte că dcă f este continuă în ş i g este diferenţibilă în, g() =, tunci produsul fg este funcţie diferenţibilă în. 1. Se consideră funcţi f : R 2 R, definităprin x 2 y xy 2 f(x, y) = x 2 + y 2 dcă (x, y) (, ) dcă (x, y) =(, ) Să se rte că f este de clsă C 1 î n R 2 ş i c ă 2 f x y (, ) 2 f (, ). Cum y x se explică? Fie, b > constnte rele şi u(x, t) = 2α (x b) 2 πt e 4 2 t. Să se rte că în fiecre punct (x, t), t>este verifictă relţi u t = 2 2 u (numită ecuţi x2 căldurii, u(x, t) reprezentând în numite condiţii tempertur l momentul t în punctul curent x l unei bre). 12. Să se rte că pentru fiecre din funcţiile f : A R, f(x, y) =e x cos y, A = R 2 1 ş i f(x, y, z) = x2 + y 2 + z, A = 2 R3 \ (,, ), lplcinul f este nul în fiecre punct din A. 13. Fie f(x 1,...,x n )=ϕ(r), unde r = x x2 n ş i ϕ este funcţie de clsă C 2 în intervlul (, ). Să se clculeze f = 2 f x f 1 x 2 ş i s ă n determine ϕ(r) stfel încât f = ; discuţie după n. Indicţie. Avem f = ϕ (r), 2 f x k x 2 k deci f = ϕ (r)+ (n 1)ϕ (r) etc. r = ϕ (r) r 2 x 2 k + ϕ (r) r 2 (r 2 x 2 k), 1 k n,

162 158 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ 14. Fie A R n un deschis şi f C 1 (A). Să se probeze că d(f k ) = kf k 1 df, k 1 întreg, d(e f )=e f df, d(sinf) = cos f df ş i î n p u n c t e l e u n d e f nu se nuleză d(1/f) = 1 f 2 df, d(ln f ) = 1 f df. 15. Să se determine punctele critice le funcţiilor f(x, y) = 1 x 2 + y 2, g(x, y) =xy ln(x 2 + y 2 ), h(x, y, z) =xyz + yz + x. 16. ( ) Să se dezvolte funcţi f(x, y) =y 2 + y sin xy î n j u r u l p u n c t u l u i =, π ) până l ordinul II; idem f(x, y) = x y, =(1, 1). 2 x + y b) Să se indice o formulă de clcul l câtului cos 2x cos 2 y pentru x, y mici. 17. Să se rte, folosind numi definiţiile, că funcţi f(x, y) =x 2 + y 2 re minim în (,), ir g(x, y) =x 2 + y 2 nu re nici minim şi nici mxim în (,). 18. Să se fle extremele funcţiilor f(x, y) = x 4 + y 4 8xy, f(x, y) = (5+x 2y) e y2 x, f(x, y) =(x+y)e x+y, f(x, y, z) =3x 2 +y 2 +2z 2 2xy+2yz, f(x, y, z) =x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 + x + y + z. 19. Să se rte că funcţi f(x, y) =(1+e y ) cos x ye y re o infinitte de mxime şi nici un minim. 2. Dcă un punct =(x,y ) re propriette că o funcţie f(x, y) re minim în în lungul oricărei drepte trecând prin, rezultă su nu că este punct de minim pentru f? Să se nlizeze exemplul f(x, y) =(x y 2 )(2x y 2 ), =(, ). 21. Fieϕ(x, y, z), ϕ : U R o funcţie de clsă C 1 pe un deschis U R 3. Să se rte că dcă U este conex şi grd ϕ =în U, tunci ϕ este constntă. 3.5 Schimbări de coordonte, funcţii implicite În cest prgrf vom demonstr câtev dintre mrile teoreme le nlizei mtemtice, referitore l trnsformările punctule. Multe din ceste rezultte u interpretări geometrice utile şi stu l bz Geometriei diferenţile moderne. Schimbările de coordonte locle (su cum se mi spune, schimbările de vribile) u rostul de simplific studiul unor proprietăţi de ntură diferenţilă şi se plică în mod curent l rezolvre unor clse de ecuţii diferenţile, ecuţii cu derivte prtile etc. De semene, noţiune de tensor este strâns legtă de comportre numitor entităţi l schimbări de coordonte Trnsformări punctule, difeomorfisme, schimbări de coordonte Definiţi 5.1. Fie A R n, B R m mulţimi deschise fixte (n, m 1). Orice plicţie F : A B, de clsă C 1 pe A (dică tote componentele sle f 1,...,f m : A R sunt funcţii de clsă C 1 (A)) se numeşte trnsformre punctulă de l A l B. În cest cz, oricărui punct x =(x 1,...,x n ) A îi corespunde un punct bine determint F (x) =(y 1,...,y m ) B, depinzând diferenţil de x, unde cee ce justifică terminologi. y 1 = f 1 (x 1,...,x n ),...,y m = f m (x 1,...,x n ), Definiţi 5.2. Fie A, B deschişi din R n (n 1 fixt). O trnsformre punctulă F : A B se numeşte difeomorfism (su izomorfism diferenţibil su trnsformre regultă) de l A l B dcă F este bijectivă şi invers ei F 1 : B A este o plicţie de clsă C 1 (B).

163 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 159 Teorem 5.1 (crcterizre difeomorfismelor). Fie F : A B oplicţie bijectivă de clsă C 1 (A) între doi deschişi din R n ş i f 1,...,f n : A R componentele lui F. Sunt echivlente firmţiile următore: ) F este difeomorfism; b) pentru orice punct A, diferenţil df () :R n R n este izomorfism R-linir şi F 1 este continuă; c) pentru orice punct A, mtrice jcobin J F () este nesingulră, dică D(f 1,...,f n ) D(x 1,...,x n ) () ş i F 1 este continuă. Demonstrţie. Echivlenţ firmţiilor (b), (c) rezultă din fptul că J F () este mtrice socită plicţiei linire df () în bz cnonică din R n ş i î n t r - o stfel de sociere, mtricele nesingulre corespund izomorfismelor linire. () (b). Fixăm un punct rbitrr A ş i fi e b = F (). Deorece F este difeomorfism, plicţi F 1 este de clsă C 1 (B), deci conform teoremei 4.2 (b), F 1 este diferenţibilă în punctul b. CumF F 1 =1 R n, F 1 F =1 R n,din relţi (27) rezultă J F () J F 1(b) =U n, J F 1(b) J F () =U n,undeu n este mtrice unitte de ordin n; deci mtrice J F () este nesingulră; în plus, re loc relţi J F 1(F ()) = J F () 1. (41) (b) (). Presupunem îndeplinită condiţi (b), dică plicţi R-liniră T =df ()estebijectivăşifieg = F 1. Avem de rătt că G C 1 (B). Pentru cest, probăm mi întâi că G este diferenţibilă în orice punct b B. Fie = G(b), deci b = F (). Deorece F este diferenţibilă î n, re loc o relţie de form F (x) =F ()+T (x )+ x ϕ(x) cu lim x,x ϕ(x) = ; notând y = F (x), rezultă y b = T (x )+ x ϕ(x), de unde, plicând T 1,se obţine x = T 1 (y b) x T 1 (ϕ(x)). (42) De ici, ţinând cont că T 1 (y b) C y b cu C>convenbil (conform teoremei 2.7), rezultă că x C y b + x T 1 (ϕ(x)), deci x rportul este mărginit în vecinătte lui b. Conform (42), rportul y b x T 1 (y b) y b = x T 1 (ϕ(x)),y b y b re limită pentru y b şi nume cestă limită este nulă (căci dcă y b, tunci x, ϕ(x), deci T 1 (ϕ(x)) T 1 () = ). Aşdr, m rătt că limit G(y) G(b) T 1 (y b) lim x,x y b există şi este nulă, deci plicţi G este diferenţibilă în b şi în plus, dg(b) = T 1 =df () 1.AtunciGre derivte prţile în orice punct din B (conform teoremei 4.2 )) şi rămâne de probt că ceste sunt continue pe B. Dr conform relţiei (41) (în cre se utilizeză dor diferenţibilitte lui F, F 1 ), rezultă J G (F (x)) = J F (x) 1 şi cum determinntul lui J F (x) estenenulîn fiecre punct x A, ir elementele lui J F (x) sunt funcţii continue (căci F C 1 (A), dică f 1,...,f n C 1 (A), v rezult că elementele mtricei inverse J F (x) 1 vriză continuu cu x; cu lte cuvinte, derivtele prţile le lui G,în punctul y = F (x), ( )x A sunt continue, dică G C 1 (B). Direct din cestă teoremă se deduce următorul: Corolr. ) Compunere două difeomorfisme este un difeomorfism; b) Inversul unui difeomorfism este un difeomorfism. Trebuie reţinut totodtă că dcă A F B G C sunt difeomorfisme, tunci

164 16 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ conform (28), (41) u loc relţiile următore între determinnţi funcţionli: Fig. III.24 D(G F ) D(x 1,...,x n ) = D(G) D(y 1,...,y n ) D(y 1,...,y n ) D(x 1,...,x n ), D(F 1 ) D(y 1,...,y n ) = 1 D(F ) D(x 1,...,x n ) (43) cu notţii şi în condiţii uşor de precizt. Dcă relţiile y i = f i (x 1,...,x n ), 1 i n definesc un difeomorfism, tunci se scrie y i î n l o c d e f i su x i x j x j y j î n l o c d e (F 1 ) i y i. Sunt necesre unele precuţii (de exemplu, 1/ x j y j x j y i pentru n 2). Se pote răt că dcă F este un difeomorfism de clsă C p, p 1 (dică f 1,...,f n sunt de clsă C p ), tunci difeomorfismul F 1 este de semene de clsă C p. Exemple. Dcă T : R n R m este o plicţie R-liniră şi dcă M T = [ ij ] 1 i m este mtrice socită (în bzele cnonice), tunci notând cu t 1,...,t m 1 j n funcţiile componente le lui T, y i = t i (x 1,...,x n ), 1 i m şi identificând punctele din R p cu vectori-colonă p-dimensionli, rezultă relţi mtricilă n T (x) = M T x su explicit y i = ij x j, 1 i m. Aplicţi T este j=1 evident o trnsformre punctulă de l R n l R m.pentrum = n, plicând teorem 5.1, rezultă că T este difeomorfism dcă şi numi dcă T este nesingulră (dică mtrice M T este nesingulră); în cest cz, jcobinul lui T este chir determinntul det M T. Remintim că o plicţie liniră nesingulră T : R n R n se numeşte ortogonlă dcă invers ei coincide cu trnspus ei, dică M 1 T = M T ; în cest cz, vem M T M T = 1, deci det M T detm T = 1, dică det M T = ±1. Trnsformările ortogonle vând determinntul egl cu 1 se numesc rotţii le spţiului R n în jurul originii. Orice plicţie α : R n R n de form α = T +, cut : R n R n plicţie R - liniră şi R n fixt, deci α(x) =T (x) +, ( )x R n,senumeşte trnsformre fină; dcă T =1 R n se obţine trnslţi de vector în R n. Tote plicţiile de mi sus reprezintă czuri prticulre importnte de trnsformări punctule. Indicăm cum modul în cre se modifică volumul prlelipipedelor compcte din R n prin plicţii linire (privite c trnsformări punctule). Teorem 5.2. Fie T : R n R n oplicţier -linirăşip R n un prlelipiped închis. Atunci V (T (P )) = V (P ), (44) Fig. III.24b unde este determinntul mtricii M T. Demonstrţie. [ Pentru] simplitte, presupunem n = 2şifieP =[, b] [c, d] Dcă M T =, tunci y 1 = 11 x x 2, y 2 = 21 x x 2 ş i cum v 1 =(b, ), v 2 =(,d c), rezultă T (v 1 )=( 11 (b ), 21 (b )), T (v 2 )=( 12 (d c), 22 (d c)) şi T (P ) este tocmi prlelogrmul construit pe vectorii T (v 1 ), T (v 2 ); c tre, V (T (P )) = ri T (P )=modululprodusului vectoril T (v 1 ) T (v 2 )=(b )(d c) = V (P ). Czul când P este un prlelipiped închis din R n, n 1 se trteză similr, ţinând cont de interpretre geometrică noţiunii de determinnt (c volumul orientt l prlelipipedului construit pe vectorii-colonă). Din fptul că relţi (44) este verifictă pentru prlelipede închise, e rezultă devărtă pentru orice fgure F din R n (definiţi 3.2). De semene,

165 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 161 teorem 5.2 re loc pentru orice trnsformre fină, ir dcă T este o rotţie, tunci evident V (T (P )) = V (P ). Teorem 5.2 v fi utiliztă în cpitolul următor, l clculul integrlelor multiple prin intermediul unor schimbări convenbile de coordonte. Definiţi 5.3. Fie A R n o mulţime deschisă. Orice trnsformre punctulă injectivă F : A R n, F (x) =(f 1 (x),...,f n (x)) stfel încât mulţime B = F (A) să fie deschisă şi F să stbilescă un difeomorfism de l A l B se numeşte schimbre de coordonte în A. Pentru orice punct x A, numerele f 1 (x),...,f n (x) se numesc coordontele lui x în sistemul de coordonte F, ir funcţiile f 1,...,f n portă numele de sistem de coordonte î n A. Aşdr schimbările de coordonte sunt de fpt difeomorfisme, în cre se precizeză numi domeniul de definiţie; în multe probleme fizice, este cunoscut tocmi cest domeniu, ir plicţi F este privită c o schimbre coordontelor crteziene în A prin lte coordonte. Exemple. 1) Dcă A = R n ş i F : R n R n este izomorfism R-linir, se spune că F este o schimbre liniră nesingulră de coordonte. 2) Fie A = {x >,y > } primul cdrn în R 2. Aplicţi F : A R 2 (x, y) (ρ, θ), ρ = x 2 + y 2, θ = rctg y este o schimbre de coordonte x (numită trecere de l coordonte crteziene l coordonte polre). În mod similr se definesc trecerile l coordonte sferice su l coordonte cilindrice în R 3. Un rezultt profund, cre înlesneşte totodtă o demonstrţie simplă teoremei funcţiilor implicite, îl constituie Teorem 5.3 (teorem de inversiune loclă). Fie F : A R n oplicţie de clsă C 1 pe un deschis A R n (n 1 fixt) şi fie A un punct, stfel încât mtrice jcobină J F () să fie nesingulră. Atunci există un deschis U R n stfel încât: 1) U A; 2) F (U) să fie un deschis în R n ş i F să stbilescă un difeomorfism între deschişii U ş i F (U). (Pe scurt, teorem firmă că prin restricţie convenbilă în jurul punctului, plicţi F devine bijectivă, deci locl inversbilă, ir invers F 1 este de clsă C 1, dică locl, F este o schimbre de coordonte). Nu dăm demonstrţi. Corolr 1. Fie F : A R n o plicţie de clsă C 1 pe un deschis A R n stfel încât pentru orice A, mtricej F () să fie nesingulră. Atunci plicţi F trnsformă deschişi în deschişi. Demonstrţie. Fie D A un deschis fixt. Trebuie rătt că F (D) este un deschis în R n ;fie( )b F (D), deci există D stfel încât b = F (). Conform teoremei 5.3 există un deschis U stfel încât U D ş i m u l ţ i m e F (U) să fie deschisă; deorece b F (U) F (D), rezultă că există r> stfel încât B(b, r) F (U) F (D), deci F (D) este mulţime deschisă. Corolr 2. Fie f i (x 1,...,x n ), 1 i n funcţii de clsă C 1 (A) stfel încât D(f 1,...,f n ) (), A. Atunci există o vecinătte W punctului D(x 1,...,x n ) b =(f 1 (),...,f n ()) stfel încât pentru orice y =(y 1,...,y n ) W,sistemul de ecuţii f 1 (x 1,...,x n )=y 1,...,f n (x 1,...,x n )=y n să ibă soluţie unică (în vecinătte lui ). Demonstrţie. Se consideră plicţi F : A R n vând componentele f 1,...,f n şi se plică teorem 5.3. Atunci există o vecinătte deschisă U lui stfel încât F să stbilescă un difeomorfism între deschişii U ş i F (U) şise i W = F (U). Fig. III.25 Fig. III.25b

166 162 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Studiul generl l sistemelor de ecuţii c mi sus este legt de studiul funcţiilor implicite, ş cum se v vede mi târziu. C o primă plicţie teoremei 5.3, vom studi probleme dependenţei funcţionle. Începem cu demonstrre unei leme. Lem 1. Fie g 1,...,g m : A R funcţii g i (x 1,...,x n ), 1 i m de clsă C 1 pe un deschis A R n stfel încât m n şi mtrice jcobină cestor funcţii în rport cu vribilele x 1,...,x n să ibă rngul mxim, dică m, în fiecre punct din A. Fie f : A R o ltă funcţie din C 1 (A). Atunci sunt echivlente firmţiile: ) Funcţi f depinde funcţionl de g 1,...,g m, locl; dică ( ) A, există o vecinătte U punctului şi o funcţie θ(y 1,...,y m ) de clsă C 1 î n t r - o vecinătte punctului (g 1 (),...,g m ()).î. f(x) =θ(g 1 (x),...,g m (x)), pentru orice x U. m b) Există funcţii continue λ i : A R, 1 i m.î. df = λ i dg i,în punctul curent din A. Demonstrţie. Implicţi () (b) este evidentă, căci dcă f = θ(g 1,...,g m ), m θ tunci df = dg i şi luăm λ i = θ,1 i m. y i y i i=1 b) (). Fixăm ( ) A; se pote presupune de l început că = D(g 1,...,g m ) (), renumerotând eventul vribilele. Definim următore D(x 1,...,x n ) plicţie de clsă C 1 (A) H : A R n,x=(x 1,...,x n ) (g 1 (x),...,g m (x),x m+1,...,x n ). Evident, jcobinul lui H î n coincide cu şi putem plic teorem 5.3; există tunci un deschis U A conţinând stfel încât plicţi H să stbilescă un difeomorfism între U ş i V = H(U). Fie Din ipotez df = F : V H 1 U f U R, G i : H 1 U g i U R, 1 i m. m λ i dg i, rezultă imedit că df = i=1 i=1 m µ i dg i,undeµ i = λ i H 1. În plus, ( )y =(y 1,...,y n ) V, G i (y) =g i (H 1 (y)) = (pr i H)(H 1 (y)) = pr i (y) =y i,1 i m. Aşdr, ( )y V,vemdF(y) = m F µ i (y)dy i,deci =,..., F =, dică F (y) este funcţie numi de y i=1 m+1 y n vribilele y 1,...,y m, dică F (y) = θ(y 1,...,y m ). Alegem cum un punct orecre x U ş i fi e y = H(x); tunci y 1 = g 1 (x),...,y m = g m (x) şi deci F (y) = F (H(x)) = (f H 1 )(H(x)) = f(x), dică f(x) = F (y) = θ(y 1,...,y m )=θ(g 1 (x),...,g m (x)), ( )x U. Demonstrţi cestei leme este o ilustrre utilităţii schimbărilor de coordonte; folosire difeomorfismului H, dică înlocuire coordontelor x cu coordontele y simplifict considerţiile făcute nterior. Demonstrăm cum un rezultt fundmentl l nlizei multidimensionle. Teorem 5.4 (teorem dependenţei funcţionle). Fie f i (x 1,...,x n ), 1 i m, funcţii de n vribile (n m) definite pe un deschis A R n, cu vlori rele, pentru cre mtrice jcobină re rng constnt r pe A. Atunci funcţiile f 1,...,f m stisfc locl m r relţii funcţionle (într-un sens cre v fiindict). Demonstrţie. Putempresupunecă D(f 1,...,f r ) () D(x 1,...,x r ) i=1

167 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 163 în vecinătte unui punct A, rbitrr fixt (prin reordonre eventulă lui f 1,...,f m,x 1,...,x n ). Liniile cu numărul de ordine r +1,...,m le mtricei jcobiene funcţiilor f 1,...,f m sunt tunci combinţii linire de primele r r linii, de unde rezultă imedit relţii de form df i = λ ij df j, r +1 i m. Conform lemei 1, există funcţii θ r+1,...,θ m de r vribile stfel încât f i = θ(f 1,...,f r ), pentru r +1 i m, în vecintăte lui. Se obţin stfel m r relţii între funcţiile f 1,...,f m dte iniţil. În condiţiile teoremei 5.4, dcă r = m, tunci se spune că funcţiile f 1,...,f m sunt independente funcţionl; cestă terminologie este justifictă prin fptul că dcă un din funcţii s-r exprim funcţionl cu jutorul celorllte m 1, tunci conform lemei 1 (implicţi () (b), r rezult imedit că mtrice jcobină socită nu r mi ve rngul mxim m (căci un din linii r fi combinţie liniră celorllte). Exemple. 1) Funcţiile f 1 (x, y) =sinxy, f 2 (x, y) = cos xy sunt funcţionl dependente căci rngul mtricei lor jcobiene este 1; deltfel, f1 2 + f2 2 =1în R 2. 2) Fie funcţiile f 1 (x, y, z) =x + y + z, f 2 = x 2 + y 2 + z 2, f 3 (x, y, z) =xy + yz + zx; mtrice jcobină socită re rngul 2 în orice punct l deschisului A = {(x, y, z) R 3 x y, y z,z x}. Conform teoremei 5.4, rezultă că f 1,f 2,f 3 stisfc în vecinătte oricărui punct din A o relţie funcţionlă (m r =3 2 = 1). Se observă deltfel direct că f 2 = f1 2 2f 3, dică există funcţi θ(y 1,y 2 )=y1 2 2y 2 stfel încât f 2 = θ(f 1,f 3 ) Funcţii implicite Fie Φ 1 (x,y),...,φ m (x,y) m funcţii cu vlori rele de câte n + m vribile rele x =(x 1,...,x n ), y =(y 1,...,y m ), pe cre le presupunem de clsă C 1 pe un deschis U din R n+m.fie j=1 M = {(x,y) U Φ 1 (x,y)=,...,φ m (x,y)=}, dică mulţime zerourilor comune situte în U le funcţiilor Φ 1,...,Φ m. Ne vor interes condiţii în cre mulţime M este tocmi grficul unei plicţii A R m (A R n ). Exemple. 1) Fie m = 1, n = 1, Φ(x, y) =x 2 +y 2 1, U = R 2. În cest cz, M este mulţime punctelor circumferinţei x 2 + y 2 = 1 (fig. III.26). Evident, M nu este grficul vreunei funcţii rele, căci pentru x ( 1, 1) există două puncte + 1 x 2, 1 x 2 stfel încât (x, 1 x 2 ), (x, 1 x 2 ) să prţină lui M; cu lte cuvinte, mulţime M R 2 nu este o relţie funcţionlă (I, def. 1.1). Dr pentru orice punct (, b) M, există o vecinătte V cestui punct stfel încât M V să fie grficul unei funcţii rele. De exemplu, dcă b>se pote lu V = {y >}, ϕ(x) = 1 x 2, x ( 1, 1) şi tunci M V =Grϕ; dcă b<, se pote lu V = {y < }, ϕ(x) = 1 x 2, x ( 1, 1) şi din nou M V =Grϕ. Dcă = 1, b =, se pote lu V = {x >} ş i tunci M V pre c grficul unei plicţii x = 1 y 2, y ( 1, 1), nume M V = {( 1 y 2,y) y ( 1, 1)} etc. Aşdr, deşi M nu este grficul unei funcţii, totuşi locl cestă propriette este verifictă. 2) Luând Φ(x, y) =x 2 4y 2 se observă că în nici o vecinătte originii, mulţime {x 2 4y 2 =} nu este un grfic. 3) Fie m = 1, n = 2, Φ(x, y, z) =x 2 + y 2 + z 2 1, U = R 3. În cest cz, M este sfer x 2 + y 2 + z 2 = 1 şi orice punct (, b, c) M, c> re o vecinătte, de exemplu V = {z >}, stfel c V M să fie grficul unei funcţii; nume luând ϕ(x, y) = 1 x 2 y 2, se observă că V M = {(x, y, ϕ(x, y)) x 2 +y 2 < 1} =Grϕ (fig. III. 27). Cu notţiile generle de l început, se pote prob următore teoremă fundmentlă, numită teorem funcţiilor implicite (pe scurt TFI), direct pe Fig. III.26 Fig. III.27

168 164 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ czul sistemelor de form Φ i (x 1,...,x n,y 1,...,y m )=, 1 i m. TFI se mi numeşte teorem de rezolvre loclă sistemelor de ecuţii şi în vrint generlă, este dtortă lui E. GOURSAT ( ). Teorem 5.5 (TFI). Presupunem că într-un punct (,b) M R n+m vem D(Φ 1,...,Φ m ) (,b). (48) D(y 1,...,y m ) Atunci există un deschis A R n, un deschis B R m şi o funcţie ϕ(x), ϕ : A B de clsă C 1 stfel încât A, b = ϕ(), A B U ş i î n p l u s, M (A B) să coincidă cu grficul lui ϕ, dică {(x,y) A B Φ 1 (x,y)=,...,φ m (x,y)=} = {(x,ϕ(x)) x A}. (49) (Cu lte cuvinte, într-o vecinătte A B oricărui punct fixt (,b) din M unde jcobinul funcţiilor Φ 1,...,Φ m în rport cu y 1,...,y m este nenul, mulţime M pre locl c un grfic. Funcţi ϕ : A B re componentele ϕ i (x 1,...,x n ), 1 i m ş i c u m ( x,ϕ(x)) M (A B), v rezult că Φ i (x,ϕ(x)) =, 1 i m, dică Φ i (x 1,...,x n,ϕ 1 (x 1,...,x n ),...,ϕ m (x 1,...,x n )) =, 1 i m. Fig. III.28 Funcţiile ϕ i se numesc funcţii implicite de x, obţinute prin rezolvre în rport cu y 1,...,y m,sistemului Φ i (x 1,...,x n,y 1,...,y m )=, 1 i m. Observţii. 1) Se pote răt că dcă Φ 1,...,Φ m sunt funcţii de clsă C p, p 1, în celeşi ipoteze c în teorem 5.5, tunci ϕ este de semene funcţie de clsă C p. 2) Trebuie remrct că, mulţime M fiind dtă (prin ecuţiile ei crteziene c în TFI, nu pote exist locl decât cel mult o funcţie stfel încât M să fie grficul lui ϕ; cu lte cuvinte, locl, ϕ este unică stisfăcând concluzi teoremei 5.4 (deschişii A, B î n j u r u l l u i ş i r e s p e c t i v b nu sunt unici). Teorem funcţiilor implicite este o teoremă importntă de existenţă ( funcţiei implicite ϕ); e nu dă o metodă de flre funcţiei ϕ definită de sistemul Φ(x,y) =, dică soluţiei cestui sistem în rport cu vribilele y =(y 1,...,y m ), dr existenţ lui ϕ este o informţie forte utilă. Dăm câtev consecinţe şi plicţii le TFI, cre testă forţ cestei teoreme. Consecinţe le TFI ) Fie F (x, y) o funcţie de clsă C 2 pe un deschis U R 2 ş i (, b) U un punct stfel încât F (, b) =şi F (, b). Atunci conform TFI există y ofuncţiey = y(x) de clsă C 2 într-o vecinătte W lui (numită şi funcţie implicită definită de relţi F (x, y) = ) stfel încât F (x, y(x)) = în orice punct x W. Acest este sensul precis l firmţiei că o relţie F (x, y) = permite c y să fie exprimt c funcţie de x. Din informţi că există cestă funcţie, se pot clcul derivtele ei de ordinul I şi II în punctul curent din W ; nume, derivăm relţi, de fpt identitte F (x, y(x)) = în rport cu x, conform regulii de derivre funcţiilor compuse: F x + F y y =. (51) Derivând din nou în rport cu x relţi (51), cre este o identitte în W, se obţine 2 ( F x F x y y + y 2 ) F x y + 2 F y 2 y + F y y =. (52)

169 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 165 Din relţiile (51), (52) se determină y, y î n p u n c t u l c u r e n t ( d i n W ). Punctele în cre F F =, =senumescpuncte singulre pentru curb x y F (x, y) = ; omitem studiul cestor. Extremele funcţiei implicite y = y(x) definită de relţi F (x, y) =se determină punând condiţi necesră y =, dică rezolvând conform (51) sistemul F F (x, y) =, x (x, y) =, F (x, y) (53) y Pentru precizre, este suficient de flt semnul lui y în fiecre din punctele critice ( (în ipotez că y este nenul colo); din relţi (52) rezultă că y = 2 ) ( ) F F x 2 /. Geometric, determinre extremelor funcţiei implicite y = y y(x) revine l flre punctelor de ordontă mximă şi minimă situte pe curb F (x, y) =. Exemplu. ) Relţi x 3 + y 3 2xy =defineştey c funcţie implicită de x şi conform TFI curb M = {(x, y) R 2 x 3 + y 3 2xy =} este un grfic în vecinătte oricărui punct (, b) unde3y 2 2x. Aşdr, pentru orice x din vecinătte punctului x =, ecuţi y 3 2xy + x 3 = re soluţie unică y(x). Deşi cest este dificil de explicitt, se pot obţine informţii utile reltiv l y, y, folosind formulele (51), (52). Astfel y verifică relţi 3x 2 +3y 2 y 2(y + xy ) =, de unde y 2y 3x2 = 3y 2. Similr, derivând relţi 2x nterioră în rport cu x, se obţine 6x +6yy 2 +3y 2 y 4y 2xy =şi într-un punct critic l lui y(x), rezultă y = 6x 3y 2 2x. Pentru fl extremele funcţiei y = y(x), trebuie rezolvt mi întâi sistemul (53) corespunzător, dică ( x 3 + y 3 2xy =, 2y 3x 2 =, 3y 2 2x. Se găseşte unic soluţie 3, 2 3 ) 4 ; în cest punct vem y <, deci punctul 3 respectiv este de mxim locl pentru y. b) Fie F (x, y, z), F : U R o funcţie de clsă C 2 pe un deschis U R 3. Relţi F (x, y, z) = defineşte locl, în condiţiile TFI, o funcţie z = z(x, y), stfel încât să ibă loc identitte F (x, y, z(x, y)) = ; deşi în generl cestă funcţie nu se pote explicit efectiv, se pot clcul totuşi z x, z y, z x etc., 2 derivând relţi F (x, y, z(x, y)) = în rport cu x, y; obţinem F x +F z z x =, F y + F z z y =, deci Fig. III.29 z x = F x F z, z y = F y F z (54) Pentru determin extremele locle le funcţiei z(x, y) este necesr conform teoremei 4.11 să flăm punctele critice (rezolvând sistemul F (x, y, z) =, F x =, F y =, F z ), poi să flăm semnul expresiei rt s 2 etc. Geometric, cest revine l determin punctele de cotă mximă su minimă situte pe suprfţ F (x, y, z) =. c) Fie F (x, y, z), G(x, y, z) două funcţii de clsă C 1 pe un deschis U din R 3. Sistemul de relţii F (x, y, z) =, G(x, y, z) = pote fi rezolvt în rport cu y şi z şi sunt definite, în condiţiile TFI, funcţii y(x), z(x) (de exemplu, în vecinătte oricărui punct (, b, c) U unde F (, b, c) =, G(, b, c) =, D(F, G) D(y, z) (, b, c) ). Pentru clculul derivtelor y (x), z (x) nu se deriveză y, z în rport cu x (pentru că ceste nu sunt explicitte efectiv), ci se deriveză în rport cu x relţiile iniţile cre u definit y(x), z(x); tunci rezultă F x + F y y + F z z =, G x + G y y + G z z =, de unde, cu jutorul regulii lui Crmer, obţinem y, z.

170 166 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Extreme cu legături; metod multiplictorilor lui Lgrnge Fie f(x,y), x =(x 1,...,x n ), y =(y 1,...,y m ), f : U R ofuncţiede n + m vribile rele, cu vlori rele, de clsă C 1 pe un deschis U R n+m (numită funcţie-scop su funcţie-obiectiv). Presupunem că există m legături între vribilele x,y, dică m relţii de form g 1 (x,y)=,...,g m (x,y)=,g i : U R de clsă C 1 (U), 1 i m. (55) Fig. III.3 Fie M = {(x,y) U g i (x,y) =, 1 i m} mulţime punctelor din U cre verifică legăturile (55). Definiţi 5.4. Se numeşte punct de extrem locl l funcţiei f cu legăturile (55) orice punct (x,y ) M pentru cre există o vecinătte W U stfel încât diferenţ f(x,y) f(x,y ) să ibă semn constnt pentru orice (x,y) M W (Cu lte cuvinte, extremele locle le lui f cu legături sunt tocmi extremele locle le restricţiei lui f l M). Exemple. 1) Un punct mteril (x, y, z) R 3 de msă m re energi potenţilă V = mgz; dcă punctul se flă pe prboloidul z = + x 2 + y 2 ( R constnt), tunci funcţi V re minim cu legătur x 2 + y 2 z + =, nume în punctul (,,). 2) Fixăm un reper ortogonl în R 3. Pentru determin punctele de pe drept x x = y y l m = z z, situte l distnţ minimă de suprfţ n g(x, y, z) =, trebuie flt minimul funcţiei f(x, y, z, u, v, w) =(x u) 2 + +(y v) 2 +(z w) 2 de 6 vribile, cu următorele trei legături: x x l = y y m = z z,g(u, v, w) =. n 3) În czul unei funcţii-scop f de două vribile rele f(x, y), cu restricţi (x, y) M, se pote plic uneori metod curbelor de nivel f(x, y) =k, k R; mi precis, sup f =sup{k curb f(x, y) =k intersecteză M}, inf f = M M inf{k curb f(x, y) =k intersecteză M}. De exemplu, pentru determin extremele globle le funcţiei f(x, y) =x 2 + y 2 4x cu restricţi M = {x 2 + y 2 16,y }, curbeledenivelsuntcercurile(x 2) 2 + y 2 =4+k cu centrul (2, ) şi inf f = f(2, ) = 4, ir sup f = f( 4, ) = 32. M M Teorem cre urmeză dă condiţii necesre c un punct să fie extrem locl cu legături. În prctică se pote preciz, în funcţie de context, dcă punctul respectiv este de mxim, su minim; pentru obţinere unor condiţii suficiente de extrem se pote folosi semnul lui d 2 f M. În exemplele nteriore 1, 2, este clr că se pun probleme de minim şi nu de mxim. Teorem 5.6 (LAGRANGE). Cu notţiile de l început, presupunem că (x,y ) este un punct de extrem locl l lui f cu legăturile (55) şi în plus, că D(g 1,...,g m ) D(y 1,...,y m ) (x,y ). (56) Atunci există m numere rele λ 1,...,λ m (numite multiplictori Lgrnge) stfel încât considerând funcţi F = f + λ 1 g λ m g m, punctul (x,y ) să verifice în mod necesr sistemul de n +2m relţii F x j =, F y k =,g l =(1 j n, 1 k m, 1 l m), (57) cu n +2m necunoscute λ,x,y. Demonstrţie. Conform teoremei 5.5, în vecinătte lui x există funcţii ϕ 1 (x),...,ϕ m (x) de clsă C 1 stfel încât ϕ(x )=y,1 i m ş i î n p l u s,

171 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 167 g i (x; ϕ 1 (x),...,ϕ m (x)) =, 1 i m, în ce vecintte. Derivând ceste relţii în rport cu x j,1 j n, se obţine g i x j + m k=1 g i y k ϕ k x j =, 1 i m, 1 j n. (58) Considerăm cum funcţi h(x) =f(x; ϕ 1 (x),...,ϕ m (x)). Evident, deorece (x,ϕ 1 (x),...,ϕ m (x)) M ş i ( x,y ) este extrem locl cu legăturile (55) pentru f, rezultăcăx v fi un punct de extrem locl, fără legături, pentru h. Conform h teoremei 4.11, rezultă tunci (x x ) =, 1 j n, dică j f x j (x,y )+ m k=1 f y k (x,y ) ϕ k x j (x )=. (59) Pe de ltă prte, sistemul linir în necunoscute u 1,...,u m m i=1 g i y k (x,y ) u i = f y k (x,y ), 1 k m re soluţie unică (λ 1,...,λ m ), deorece determinntul cestui sistem este nenul, conform ipotezei (56). Aşdr, m i=1 g i y k (x,y ) λ i = f y k (x,y ), 1 k m. (6) Rămâne să rătăm că funcţi F ş i p u n c t u l ( x,y ) verifică relţiile (57). Mi întâi, observăm că g i (x,y ) =, 1 l m, deorece (x,y ) M. Apoi, F x j (x,y ) = f x j (x,y )+ În sfârşit, + m i=1 m k=1 m k=1 λ i m k=1 ϕ k x j (x ) m i=1 λ i g i x j (x,y ) cf.(58) = f x j (x,y ) g i y k (x,y )(x ) ϕ k x j (x )= f x j (x,y ) m i=1 λ i g i y k (x,y ) cf.(6 = f x j (x,y )+ f y k (x,y ) ϕ k x j (x ) cf.(6 =. F y k (x,y )= f y k (x,y )+ m i=1 λ i g i y k (x,y ) cf.(6 =. Teorem 5.6 este demonstrtă. Corolr. Într-un punct de extrem l funcţiei f cu legăturile (55), diferenţil lui f este combinţie liniră diferenţilelor legăturilor. Demonstrţie. Din relţiile (57) rezultă direct că df (x,y ) =, dică df(x,y )= m λ k dg k (x,y ). k=1 În prctică, teorem 5.6 se utilizeză stfel: fiind dte funcţi f (funcţiescop su functie de optimizt) şi legăturile g 1 =,...,g m =, se consideră funcţi F = f +λ 1 g λ m g m cu numere rele λ i,1 i m nedeterminte

172 168 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ (numite multiplictori) şi se rezolvă sistemul (57). De cee teorem 5.6 este numită metod multiplictorilor lui Lgrnge. Czuri prticulre. ) Extremele locle le unei funcţii f(x, y) cu legătur g(x, y) =cuf,g de clsă C 1 (m =1,n= 1) se flă printre punctele (x, y) cre verifică sistemul f x + λ g f =, x y + λ g =, g = cre este esenţilmente y echivlent cu g(x, y) =, D(f,g) D(x, y) =. b) Extremele locle le unei funcţii f(x, y, z) cu legăturile g 1 (x, y, z) =, g 2 (x, y, z) =(m =2,n= 1), unde f,g 1,g 2 sunt de clsă C 1 pe un deschis din R 3, se fl printre soluţiile sistemului f x + λ g 1 1 x + λ g 2 2 x =, f y + λ g 1 1 y + λ g 2 2 y =, f z + λ g 1 1 z + λ g 2 2 z =,g 1 =,g 2 = (esenţilmente echivlent cu g 1 =, g 2 =, D(f,g 1,g 2 ) = ). D(x, y, z) c) Fie f : A R o funcţie de clsă C 1 pe un deschis A R n ş i fi e K A un compct cărui frontieră pote fi definită prin ecuţii crteziene. Cum f este continuă, e este mărginită în K şi îşi tinge extremele globle, dică există puncte, b K stfel încât f() =inf K f, f(b) =supf. K Dcă K, tunci, în prticulr, este punct de minim locl pentru f, f deci () =, 1 k n. Dcă / K, tunci K\ K=FrK ş i v x k fipunctdeminimpentruf cu legăturile dte de fptul că verifică ecuţiile crteziene le frontierei. O discuţie similră re loc pentru punctul de mxim b. Aşdr, dcă se cer mrginile unei funcţii pe un compct c mi sus, se plică teorem lui Fermt pentru determin punctele de extrem locl situte în interiorul compctului şi metod multiplictorilor lui Lgrnge pentru nliz czul când extremele se flă pe frontier compctului respectiv. Exemple. 1) În cp. II, 4.6 s- definit entropi n H(p 1,p 2,...,p n )= p j log 2 p j unde p i >, 1 i n ş i p 1 +p p n = 1. Determinăm extremele funcţiei H cu legătur indictă, folosind metod multiplictorilor lui Lgrnge. Considerăm funcţi uxiliră j=1 F (p 1,...,p n )=H(p 1,p 2,...,p n )+λ(p 1 + p p n ); punctele de extrem sunt printre soluţiile sistemului F p 1 =,..., F p n =, p p n =1,p i > (1 i n). V rezult 1 ln 2 (ln p 1 + 1) + λ =,..., 1 ln 2 (ln p n + 1) + λ =, de unde p 1 = p 2 =...= p n = 1. Se probeză fără dificultte că diferenţil n ( 1 dou d 2 H este negtiv definită în punctul n,..., 1 ), deci entropi H este n mximă tunci când probbilităţile p 1,...,p n sunt egle.

173 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 169 2) Determinăm mrginile funcţiei f(x, y) =x 2 +2xy în compctul x 2 +y 2 1. Se observă mi întâi că origine este punct critic pentru f, dr nu este extrem, deci mrginile lui f sunt tinse pe frontieră (căci dcă r fi tinse în interior, cele puncte r rezult critice, ir f nu re puncte critice distincte de origine). Avem şdr de flt extremele lui f cu legătur x 2 + y 2 =1şi plicând czul ), obţinem fără dificultte inf f = Elemente de Geometrie diferenţilă, sup f = Îninte de bord conceptul de vriette diferenţilă, studiem pe scurt câtev entităţi geometrice importnte, împreună cu proprietăţile lor diferenţile: curbe plne, curbe şi suprfeţe în spţiu, reprezentte prmetric su prin ecuţii crteziene. În prelbil, vom defini noţiune de drum prmetrizt.. Funcţii vectorile de o vribilă relă; drumuri prmetrizte Fie I un intervl în R, f : I R p o plicţie cu vlori vectorile (p 1 fiind fixt) şi f 1,...,f p componentele lui f. Aşdr, f(t) =(f 1 (t),...,f p (t)), ( )t I. Definiţi 5.5. Funcţi f se numeşte derivbilă într-un punct t I dcă există în R p limit f (t )= f(t) f(t ) f(t + h) f(t ) lim = lim t t,t t t t h,h h (numită derivt lui f î n t ). În czul când I =[, b], <b, se pote defini derivbilitte lterlă l drept şi respectiv l stâng în punctele, b. Pentru orice t I, t t,vemevident ( 1 f1 (t) f 1 (t ) [f(t) f(t )] =,..., f ) p(t) f p (t ) t t t t t t şi conform celor spuse în 2, 4, funcţi f este derivbilă în t dcă şi numi dcă f 1,...,f p sunt derivbile în t şi în cest cz, f (t )=(f 1(t ),...,f p(t )), (61) dică derivre funcţiilor cu vlori vectorile se fce pe componente. ( Exemple. 1) Pentru f(t) =(t + t 2, cos t, ln t), I =(, ), vem f (t) = 1+2t, sin t, 1 ), ( )t I. t 2) Funcţi vectorilă f :[, 2π] R 2, t (cos t, sin t) este derivbilă în orice punct t [, 2π] şif (t) =( sin t, cos t). Pentru fix ideile, vom presupune că I este un intervl deschis pe drept relă. Dcă f : I R p este derivbilă pe I, dică în fiecre punct t I, tunci se pote defini derivt f : I R p, t f (t), cre este de semene o funcţie cu vlori vectorile. Se definesc fără dificultte funcţii de cls C k (I), k. Proprietăţile de clcul le derivbilităţii funcţiilor vectorile sunt concentrte în următore teoremă cărei demonstrţie este evidentă. Teorem 5.7. () Orice funcţie f : I R p derivbilă într-un punct din intervlul I este continuă în cel punct; b) Dcă f : I J este o funcţie derivbilă într-un punct t I, I ş i J fiind intervle pe drept relă şi dcă g : J R p este derivbilă în punctul f(t ), tunci compunere g f este derivbilă în t ş i (g f) (t )=g (f(t )) f (t ). c) Dcă f,g : I R p sunt funcţii derivbile în t I, tunci funcţiile f +g, λf (λ fiind o constntă relă) u ceeşi propriette şi în plus (f + g) (t )= f (t )+g (t ), (λf) (t )=f (t );în czulp =1se dugă regulile uzule de derivre produsului şi câtului. În czul p = 2, legând un reper ortogonl xoy de versori ī, ȷ există identificre R 2 V 2 sociind oricărui punct (α, β) R 2 vectorul αī + β ȷ. Orice

174 17 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ funcţie vectorilă f : I R 2, f(t) =(f 1 (t),f 2 (t)) se pote identific tunci cu câmpul vectoril I V 2, v(t) =f 1 (t)ī + f 2 (t) ȷ; în cest cz, se scrie v (t) î n l o c d e f (t) şi regul (61) devine v (t) =f 1(t)ı + f 2(t) ȷ. Un lucru similr re loc pentru p = 3, prin fixre unui reper ortogonl Oxyz în spţiu de versori ī, ȷ, k, reltiv l cre vem identificre R 3 V 3, ir funcţiile vectorile f : I R 3, f =(f 1,f 2,f 3 ) se identifică cu câmpurile vectorile de o vribilă rel v(t) =f 1 (t)ī + f 2 (t) ȷ + f 3 (t) k, t I. Dcă v, w : I V 3 sunt două câmpuri vectorile derivbile într-un punct t, tunci se probeză imedit (lucrând pe componente) că produsul sclr v w : I R, t v(t) w(t) şi produsul vectoril v w : I V 3, t v(t) w(t) sunt funcţii derivbile în t ş i î n p l u s, ( v w) (t )= v (t ) w(t )+ v(t ) w (t ) ş i ( v w) (t )= v (t ) w(t )+ v(t ) w (t ). Definiţi 5.6. Se numeşte drum prmetrizt în R p orice funcţie continuă γ : I R p definită pe un intervl I l dreptei rele. Notând γ(t) = (f 1 (t),...,f p (t)), ( )t I, se spune tunci că este definită o reprezentre prmetrică su o prmetrizre x 1 = f 1 (t) γ :, ( )t I, (62). x p = f p (t) drumuluiγ. Submulţime (evident conexă, cf. teor. II. 14) (γ) {(f 1 (t),...,f p (t)) t I} luir p este tocmi imgine directă γ(i) ş i s e n u m e ş t e urm (triectori su hodogrful) drumului γ. Relţiile (62) se mi numesc ecuţii prmetrice le drumului γ. Dcă I =[, b] este un intervl compct, tunci mulţime (γ) rezultă compctă şi conexă (conform teoremelor 2.9 şi 2.14); în cest cz, punctele γ() şi γ(b) se numesc cpetele drumului γ ir dcă γ() = γ(b), drumul se numeşte î n c h i s. Fig. III.31 Exemple. 1) Drumurile prmetrizte γ :[,π] R 2, γ(t) = (cos t, sin t) ş i γ 1 : [ 1, 1] R 2, x (x, 1 x 2 ) se consideră distincte, deşi ele u ceeşi urmă în R 2 (identifict cu plnul xoy), nume semicercul (γ) =(γ 1 )= {x 2 + y 2 =1,y } (fig. III. 31). 2) Pentru orice n Z, n drumul prmetrizt închis γ n :[, 2π] R 2, t (cos nt, sin nt) este numit circumferinţ unitte prcursă de n ori în sens pozitiv; urm tuturor drumurilor γ n este ceeşi, nume cercul {x 2 + y 2 =1}. 3) Drumul γ : [, 2π] R 3, t (r cos t, r sin t, c) under >, c sunt constnte, re c urmă cercul {x 2 + y 2 = r 2,z = c}, ir drumul γ 1 : R R 3, t (r cos t, r sin t, ht) re c urmă elice cilindrică de ps h sitută pe cilindrul {x 2 + y 2 = r 2 } (fig. III.32). 4) Drept trecând printr-un punct (x,y ), dintr-un pln rportt l un reper ortogonl xoy de versori ī, ȷ, prlelă cu vectorul nenul αī + β ȷ re ecuţi x x = y y şi este urm drumului prmetrizt α β γ 3 : R R 3,t (x + αt, y + βt); vezi fig. III.31. Fig. III.32 În mod similr, dcă M (x,y,z ) este un punct din spţiul R 3, rportt l un reper ortogonl Oxyz de versori ī, ȷ, k şi dcă ā = 1 ī + 2 ȷ + 3 k este un vector nenul fixt, tunci drept trecând prin M, prlelă cu ā re, de exemplu, prmetrizre γ 4 : x = x + t 1 y = y + t 2, ( )t R. (fig. III.32) z = z + t 3

175 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 171 Fie γ :[, b] R p un drum prmetrizt fixt; drumul γ :[, b] R p,t γ( + b t) se numeşte opusul lui γ; evident,γ () =γ(b), γ (b) =γ() şi(γ )=(γ), dică urmele drumurilor γ ş i γ coincid. Dcă γ :[, b] R p, γ 1 :[b, c] R p sunt două drumuri prmetrizte (în R p ) stfel încât γ(b) =γ 1 (b), dică extremitte lui γ coincide cu cpătul lui γ 1, tunci se pote defini drumul { γ(t) dcă t [, b] γ γ 1 :[, c] R p prin (γ γ 1 )(t) = γ 1 (t) dcă t [b, c], numit juxtpunere lui γ ş i γ 1 ;urmluiγ γ 1 este reuniune urmelor lui γ ş i γ 1. În vedere plicţiilor, ipotez de continuitte din definiţi 5.6 drumurilor prmetrizte este insuficientă şi sunt necesre numite condiţii de regulritte impuse funcţiei γ. Ne situăm în czul p = 2şipresupunemcăfuncţiγ(t) = (x(t),y(t)), t I este derivbilă, dică funcţiile componente x(t), y(t) sunt derivbile, într-un punct t I ş i c ă γ (t ). Drept trecând prin punctul γ(t )=(x(t ),y(t )) nott cu P şi prlelă cu vectorul nenul γ (t )=x (t )ī+ y (t ) ȷ se numeşte tngent în t l drumul γ; orice punct M(x, y) l cestei drepte verifică tunci condiţi că vectorii P M ş i γ (t ) sunt coliniri, deci ecuţi ei v fi x x(t ) x (t ) = y y(t ) y. (63) (t ) Pentru orice t I, t t, notând cu P punctul corespunzător pe (γ), vectorul OP se identifică cu γ(t), ir OP cu γ(t ), deci Fig. III.33 Fig. III.33b Fig. III.33c 1 t t P P = 1 t t (OP OP )= 1 t t (γ(t) γ(t )) 1 şi există limit lim P P, cre este eglă cu γ (t ). Aşdr, poziţi t t,t t t t limită vectorului-cordă P P când t t, dică tngent în t l γ, este coliniră cu γ (t ), cee ce justifică terminologi utiliztă. Dcă γ (t ) =, tunci se spune că t este un punct singulr l drumului γ; în cest cz, tngent în t l γ nu este bine determintă. Tote cele spuse nterior sunt vlbile fără modificre în czul p = 3 şi cu definiţii convenbile, se extind l czul generl l drumurilor în R p. Exemple. 1) Cercul din pln de centru (, b) şi rz r> prcurs pozitiv o dtă dmite reprezentre prmetrică x = + r cos t, y = b + r sin t, t [, 2π], dică este urm drumului γ :[, 2π] R 2, t ( + r cos t, b + r sin t). Aşdr, dcă prmetrul t prcurge intervlul [, 2π], tunci punctul (x,y) corespunzător prcurge cercul {(x ) 2 +(y b) 2 = r 2 }; în cest cz, γ (t) = r sin tī + r cos t ȷ. Avem CM = OM OC = r cos tī + r sin t ȷ şi se observă că produsul sclr γ (t) CM este nul, cee ce exprimă fptul binecunoscut că tngent l cerc este perpendiculră pe rză în punctul de contct (fig. III.35). 2) Fie γ : I R 3 un drum prmetrizt derivbil pe I, stfel încât ( )t I, γ(t) = k (k > fiind constnt). Atunci produsul sclr γ(t) γ(t) = γ(t) 2 = k 2 este constnt şi derivând, rezultă γ (t) γ(t) +γ(t) γ (t) =, dică γ(t) γ (t) =, deci vectorul γ (t) este perpendiculr pe rz vectore γ(t), ( )t I. De ltfel, urm lui γ este sitută pe sfer cu centrul în origine şi rz k (identificând punctul γ(t) cu vectorul său de poziţie) şi este firesc c tngent l (γ) în punctul curent să fie perpendiculră pe rz vectore. 3) Evident, cercul, drept t (t, mt + n), t R nu u puncte singulre; însă pentru drumul prmetrizt γ(t) =(t 2,t 3 ), t R punctul t =este Fig. III.34 Fig. III.34b Fig. III.35

176 172 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ singulr. Elice cilindrică γ(t) =(r cos t, r sin t, ht), t R de semene nu re puncte singulre. Se pot defini în mod evident drumuri prmetrizte de clsă C k, k (pentru cre funcţiile componente sunt de clsă C k ). Definiţi 5.7. Un drum prmetrizt γ : I R p pe un intervl I l dreptei rele se numeşte neted (su nesingulr) dcă γ este de clsă C 1 (I), ş i γ (t) pentru orice t I; undrumγ : I R p se numeşte neted pe porţiuni dcă el este juxtpunere unui număr finit de drumuri netede. De exemplu, dcă f : I R este o funcţie relă de clsă C 1 (I), tunci γ : I R 2, t (t, f(t)) este un drum neted în R 2 cărui urmă este tocmi grficul lui f. Definiţi 5.8. Două drumuri netede γ : I R p, γ 1 : J R p definite pe intervlele I,J se numesc echivlente, cu ceeşi orientre (şi se scrie γ γ 1 ) dcă există o funcţie ϕ : I J bijectivă, de clsă C 1 (I), strict crescătore pe I, stfel încât ϕ 1 să ibă celeşi proprietăţi şi în plus, γ 1 ϕ = γ. Funcţi ϕ se mi numeşte schimbre de prmetru. Dcă γ γ 1, tunci ele u ceeşi urmă, dică (γ) =(γ 1 ). Într-devăr, dcă u (γ), tunci există t I stfel c u = γ(t), deci u = γ 1 (ϕ(t)) şi c tre, u (γ 1 ) dică (γ) (γ 1 ). Apoi, dcă u (γ 1 ), tunci u = γ 1 (ξ)cuξ J ş i c u m ϕ este bijectivă, există t I stfel c ξ = ϕ(t), deci u = γ 1 (ϕ(t)) = (γ 1 ϕ)(t) =γ(t), dică u (γ). Aşdr, două drumuri echivlente cu ceeşi orientre u ceeşi urmă şi sunt prcurse în celşi sens ; dcă ϕ r fi strict descrescătore, tunci γ γ 1. Exemple. Drumurile plne netede γ :[,π] R 2, t (cos t, sin t), γ 1 : [ 1, 1] R 2, x ( x, 1 x 2 ) sunt echivlente cu ceeşi orientre, căci luăm ϕ(t) = cos t, ϕ :[,π] [ 1, 1] şi se verifică uşor condiţiile din definiţi 5.8. Orice drum neted γ :[, b] R p este echivlent cu un drum γ 1 :[, 1] R p, definit pe intervlul [, 1], nume γ 1 (t) =γ(1 t)+tb), ( )t [, 1]. Dcă m n î n Z, tunci circumferinţele γ n ş i γ m nu sunt echivlente. Observţii. 1) Există o interpretre mecnică sugestivă celor spuse nterior (pentru p = 3). Presupunând că I este un intervl de timp şi că punctul γ(t) =(x(t),y(t),z(t)) reprezintă poziţi unei prticule mterile l momentul t, tunci urm drumului γ este triectori prticulei. Drumul nu este identifict cu triectori şi cest fpt este subînţeles în mecnică, pentru că triectori este mulţime tuturor poziţiilor prticulei, în timp ce drumul reprezintă modlitte de obţinere cestor poziţii şi legitte în prcurgere triectoriei (exprimtă prin funcţi γ): dică funcţi γ însăşi cuprinde o informţie mi bogtă decât mulţime (γ) vlorilor ei. Dcă γ este functi e de clsă C 2, tunci funcţiile x(t),y(t),z(t), c şi derivtele lor de ordin I, II, sunt continue pe I; vectorul γ (t) reprezintă vitez instntnee prticulei l momentul t, ir γ (t) ccelerţi prticulei l momentul t. Fptul că γ (t), ( )t I re semnificţi că prticul se mişcă tot timpul (de cee punctele singulre se mi numesc uneori puncte stţionre). Acestă interpretre constituit surs modelării mtemtice conceptului de drum prmetrizt. 2) Czul generl l drumurilor prmetrizte I R p cuprinde czurile prticulre importnte p = 2, p =3(pentrup = 1 se regăseşte studiul funcţiilor rele efectute în liceu). Dr nu numi tât. Dcă evoluţi în timp unui sistem fizic su tehnic depinde de p prmetri de stre f 1 (t),...,f p (t), pe un intervl de timp I, tunci este firesc să fie considert vectorul de stre γ(t) = (f 1 (t),...,f p (t)), t I; în czul când prmetrii f 1,...,f p vriză continuu în timp, este definit stfel în mod nturl un drum prmetrizt γ : I R p. Acest fpt rtă că importnţ noţiunilor nteriore, în contextul generl doptt, depăşeşte cdrul mtemticii pure şi re legtură cu descrierile fizice su tehnice. De exemplu, pentru o clsă lrgă de sisteme (numite sisteme dinmice linire), prmetri de stre sunt funcţii de clsă C 1 (I) şi ecuţiile de

177 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 173 evoluţie sunt de form p f i(t) = ij (t) f j (t)+b i (t), 1 i p, ( )t I, j=1 unde ij (t), b i (t), 1 i, j p sunt funcţii continue şi mărginite I R. Notând b 1 (t) A(t) =[ ij (t)] 1 i,j p, B(t) =., ecuţiile nteriore se scriu mtricel b p (t) sub form γ (t) =A(t) γ(t)+b(t), ( )t I, identificând vectorii multidimensionli cu mtrici-colonă. Studiul mtemtic l cestor sisteme se referă în principl l determinre soluţiei γ(t), dică l determinre (explicită în numite czuri) prmetrilor de stre f 1 (t),...,f p (t) din cunoştere legii fizice de evoluţie sistemului. b. Curbe plne Am dt definiţi unui drum neted c şi noţiune de echivlenţă două drumuri netede; relţi binră obţinută pe mulţime drumurilor netede este evident o relţie de echivlenţă. Definiţi 5.9. Se numeşte curbă plnă prmetriztă de clsă C 1 orice clsă de echivlenţă unui drum neted γ : I R 2. Mulţime (γ) se numeşte urm curbei; pentru orice punct P (γ) se numeşte multiplicitte lui P numărul celor vlori distincte le lui t pentru cre γ(t) =P. Aşdr, defini o curbă plnă prmetriztă de clsă C 1 revine l fix un drum neted γ : I R 2 pe un intervl I ş i i d e n t i fi c p r i n γ orice lt drum echivlent cu γ. De exemplu, drumurile distincte γ :[,π] R 2, t (cos t, sin t), γ 1 :[ 1, 1] R 2, x ( x, 1 x 2 ) definesc ceeşi curbă plnă prmetriztă. Se consideră c proprietăţi le curbelor prmetrizte exct cele cre nu depind de prmetrizre, în sensul că dcă γ γ 1 şi dcă γ re o propriette, ceeşi propriette o re γ 1. O curbă plnă prmetriztă (de clsă C 1 ) c mi sus se numeşte simplă (su jordnină) dcă plicţi γ este injectivă dică punctele lui (γ) u multiplicitte 1; şdr, l vlori distincte le prmetrului corespund puncte distincte pe (γ), ir în interpretre mecnică dtă nterior, prticul mterilă nu ocupă l momente distincte ceeşi poziţie. Dcă plicţi γ :[, b] R 2 defineşte o curbă prmetriztă vând reprezentre Fig. III.36 Fig. III.36b Fig. III.36c { x = x(t) γ : y = y(t), t [, b], (64) de tipul (62) e se numeşte curbă închisă simplă dcă γ() =γ(b) şi tote punctele lui (γ) cu excepţi cpetelor u multiplicitte 1. Cele spuse nterior se dpteză fără dificultte l czul curbelor plne prmetrizte de clsă C 1 pe porţiuni. Orice curbă prmetriztă simplă γ :[, b] R 2 re propriette că dcă t creşte de l l b, tunci punctul γ(t) prcurge urm (γ) curbei într-un singur sens, de l γ() lγ(b). Se mi spune că cest este orientre pozitivă pe (γ), după cum orientre pozitivă pe γ se numeşte orientre negtivă pe (γ). Aceste sunt singurele două orientări posibile le unei curbe simple. În czul curbelor cre nu sunt simple pr dificultăţi în fixre unei orientări nturle şi cest se fce după context. Exemplu. Cercul {x 2 + y 2 =1} prcurs pozitiv o dtă este prmetrizt punând x = cos t, y =sint, t [, 2π] şiesteurmdrumuluiγ :[, 2π] R 2, t (cos t, sin t). Orientre pozitivă pe cest cerc corespunde creşterii Fig. III.37 Fig. III.37b

178 174 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Fig. III.38 prmetrului unghiulr t de l l 2π şi coincide cu sensul trigonometric pe cerc. Se extind fără dificultte l curbe prmetrizte (de cls C 1 ) noţiunile de tngentă într-un punct, punct singulr etc., cre nu depind de prmetrizre fixtă, ş cum se pote verific uşor. Fixăm un reper ortogonl xy de versori ī, ȷ. Definiţi 5.1. Fie f(x, y), f : A R o funcţie de clsă C 1 pe un deschis A R 2.Senumeştecurbă plnă de clsă C 1 vˆnd ecuţi crtezină f(x, y) =,mulţimec ( = {(x, ) y) A f(x, ( y) =}. ) Un punct (x,y ) C se f f numeşte singulr dcă (x,y ) =, (x,y )= x y Orice curbă plnă prmetriztă de clsă C 1 cu reprezentre (64) pote fi dtă prin ecuţie crtezină în vecinătte oricărui punct nesingulr, plicând TFI şi eliminând prmetrul t. Reciproc, fie o curbă ( ) plnă de clsă C 1 cu f ecuţi crtezină f(x, y) =, (x,y ) C ş i (x,y ). Conform TFI, există o funcţie ϕ(x) de clsă C 1 în vecinătte lui x stfel c y în vecinătte punctului nesingulr (x,y )curbc să coincidă cu grficul lui ϕ. Acest însemnă că punând x = t, y = ϕ(t), este prmetriztă locl curb C. În cest cz, ecuţi tngentei în punctul (x,y )lcurbc este, conform (63), x t 1 = y ϕ(t ϕ (t ) rezultă că ecuţi respectivă este ş i c u m t = x,ϕ(t )=x,ϕ (t )= f x(x,y ) f y(x, cf. (51),,y ) p(x x )+q(y y )=, unde m nott p = f x(x,y ), q = f y(x,y ); cei doi versori normli l curb C în punctul nesingulr (x,y ), deci perpendiculri pe tngentă, sunt evident pī + q ȷ ± p2 + q. 2 Orientre unei curbe plne C dtă prin ecuţie crtezină se fce în funcţie de context. Există un cz prticulr extrem de importnt, nume cel în cre urm lui C este frontier unei mulţimi compcte K din R 2 şi nu re puncte singulre. Pentru orice punct P C curb C împrte locl plnul în două regiuni, un (ce hşurtă în fig. II.38) conţinând puncte din K, ir celltă puncte din R 2 \ K. Fig. III.39 Notăm cu ν P versorul normlei în P l C, cre este orientt spre prte hşurtă. Dintre cei doi versori i tngentei în P l curb C se lege cel, nott τ P stfel încât reperul ( τ P, ν P ) să fie orientt l fel c (ī, ȷ); în cest mod este fixt sensul pozitiv l tngentei, cărui i se sociză în mod evident un sens de prcurs dică o orientre pozitivă pe C. Intuitiv, cest revine l prcurge C stfel încât mân stângă să cdă în K. Indicăm în fig. III.39 două situţii de orientre pozitivă frontierei unui compct; în czul b) frontier este reuniune urmelor trei curbe închise nesingulre, ir compctul K este hşurt. c. Suprfeţe în spţiu Definiţi Se numeşte pânză de suprfţă prmetriztă de clsă C 1 orice plicţie de clsă C 1 Fig. III.39b s : R 3, (u, v) s(u, v) =(x, y, z) pe un deschis conex R 3. Oricărui punct (u, v) ii corespunde un punct s(u, v) din R 3 cu coordontele x = x(u, v) y = y(u, v),, ( )(u, v). (65) z = z(u, v)

179 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 175 Relţiile (65) se numesc ecuţii prmetrice le pânzei s, ir submulţime s( ) = {s(u, v) (u, v) } luir 3 se numeşte urm pânzei ş i s e m i noteză (s). Dcă spţiul R 3 este rportt l un reper ortogonl Oxyz de versori ı, ȷ, k, tunci punctul curent s(u, v) =(x(u, v),y(u, v),z(u, v)), (u, v) l urmei (s) re vectorul de poziţie r dt de relţi r = x(u, v)ī + y(u, v) ȷ + z(u, v) k, unde (u, v). Două pânze de suprfţă s : R 3, s 1 : 1 R 3 se consideră echivlente (se scrie s s 1 ) dcă există un difeomorfism Φ : 1 î n t r e d e s c h i ş i din R 3 (conform definiţiei 5.2), numit schimbre de prmetri, stfel încât jcobinul lui Φ să fie strict pozitiv în fiecre punct l deschisului şi în plus, s 1 Φ=s. Folosind bijectivitte lui Φ, se verifică imedit că dcă s s 1, tunci (s) =(s 1 ), dică urmele lui s ş i s 1 coincid. Este evident că relţi este o relţie de echivlenţă pe mulţime pânzelor prmetrizte. O pânză de suprfţă prmetriztă s : R 3 cu ecuţiile (65) se numeşte simplă dcă plicţi s este injectivă şi nesingulră dcă în fiecre punct (u, v), mtrice jcobină lui s x u x v y u y v z u z v re rngul mxim, dică re rngul doi în tote punctele lui. Notând r u = x uī + u ȷ y z + u k, r v = x v ī + y z ȷ + v v k rezultă tunci că r u r v, ( )(u, v). Dcă P (u, v) esteunpunctdin ş i Q(x, y, z) punctul corespunzător pe urm lui s, tunci plnul trecând prin Q prlel cu vectorii r u, r v se numeşte plnul tngent l s î n p u n c t u l (u, v) şi ecuţi lui este x x Q y y Q z z Q x y z u u u = x v y v Se noteză cu N versorul-normlă l suprfţă în punctul curent, vând propriette că triedrele { r u, r v, N}, {ī, ȷ, k} sunt l fel orientte, deci N = r u r v r u r v. Este evident că dcă s s 1 ş i s este simplă su nesingulră, ceeşi propriette o re s 1. În nlogie cu definiţi 5.9 se pote d Definiţi Se numeşte suprfţă prmetriztă de clsă C 1 orice clsă de echivlenţă unei pânze de suprfţă prmetriztă nesingulră s : R 3 ; şdr, defini o suprfţă prmetriztă (de clsă C 1 ) revine l fix o pânză nesingulră s : R 3 şi identific prin s tote pânzele echivlente cu s. Se pote soci oricărei suprfeţe prmetrizte versorul normlă în punctul curent, luând o prmetrizre (cest versor fiind independent de prmetrizre lesă). Exemplu. Octntul de sferă {x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x >, y >, z > } este urm pânzei de suprfţă definită prin ecuţiile prmetrice x = R sin u cos v s : y = R sin u sin v z = R cos u z v Fig. III.4 Fig. III.4b

180 176 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ ( pentru u, π ) (, v, π ). O ltă prmetrizre pote fi obţinută luând 2 2 x = u 1, y = v 1, z = R 2 u 2 1 v2 1,cuu2 1 + v1 2 <R 2, u 1 >, v 1 >. Aceste două prmetrizări sunt echivlente şi definesc ceeşi suprfţă, octntul de sferă reprezentt în figur III.41. În cest cz, r = R sin u cos vī+r sin u sin v ȷ+R cos u k, r u = R cos u cos vī+ R cos u sin v ȷ R sin u k, r v = R sin u sin vī + R sin u cos v ȷ şi se obţine N =sinu cos vī +sinu sin v ȷ + cos u k. Fig. III.41 În nlogie cu definiţi 5.1 vom d Definiţi Fie f(x, y, z), f : A R o funcţie de clsă C 1 pe un deschis A R 3.Senumeştesuprfţă de clsă C 1 vând ecuţi crtezină f(x, y, z) =,mulţime S = {(x, y, z) A f(x, y, z) =}. Un punct (x,y,z ) S se numeşte singulr dcă derivtele prţile f x, f y, f se nuleză în cel punct, dică punctul respectiv este un zero z critic l funcţiei f. Folosind TFI se pote prob fără dificultte că orice suprfţ prmetriztă de clsă C 1 pote fi dtă locl printr-o ecuţie crtezină (eliminând prmetrii). Reciproc, suprfţ S de ecuţie crtezină f(x, y, z) = c mi sus, pote fi locl prmetriztă; mi precis, dcă =(x,y,z ) S f este un punct nesingulr dcă şi (), tunci există o funcţie ϕ(x, y) z în vecinătte lui (x,y ) stfel încât în vecinătte lui suprfţ să ibă prmetrizre x = u, y = v, z = ϕ(u, v). În cest cz, vectorul de poziţie l punctului curent din ce vecinătte este r = uī+v ȷ+ϕ(u, v) k, deci r u =ī+p k, pī q ȷ + k r v = ȷ + q k şi versorii normlei sunt ±N = ± vers( r u r v )=± x2 + y 2 +1, unde p = ϕ u, q = ϕ. Conform clcului derivtelor funcţiilor dte implicit v (54), vem p = f x f z, q = f y f xī f z,deci N + f y ȷ + f z k = ; nu există rţiuni f x 2 + f y 2 + f z 2 priorice pentru fixre semnului. Ecuţi plnului tngent l S într-un punct nesingulr =(x,y,z ) S se obţine scriind că pentru orice punct M(x, y, z) l cestui pln, vectorii M ş i N sunt ortogonli şi se obţine f x ()(x x )+ f y ()(y y )+ f z ()(z z )= (66) O suprfţă prmetriztă nesingulră de clsă C 1 se consideră orienttă deorece unul din cei doi versori i normlei pote fi fixt în fiecre punct şi vriză continuu cu punctul. Orientre suprfeţelor dte prin ecuţi crtezină se fce după context. Pentru suprfeţele închise cre sunt frontiere le unor mulţimi compcte din R 3 vom introduce mi târziu orientre dup norml exterioră, extrem de utiliztă. d) Curbe în spţiu Cele spuse nterior pentru curbe plne se refc imedit în czul curbelor în spţiu. Fie în spţiul R 3 o curbă prmetriztă nesingulră simplă de clsă C 3 de prmetrizre x = x(t) γ : y = y(t), t I. z = z(t) Fixând t I, tunci pentru orice t I, t>t se defineşte lungime rcului de curbă între t ş i t c fiind s(t) = t t x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt

181 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 177 deci s (t) = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 (Detlii vor fi dte în cpitolul IV. 2). Fie versorul tngentei l curb γ în punctul curent t τ(t) = x (t)ī + y (t) ȷ + z (t) k x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2. τ (t) Versorul τ se numeşte norml principlă l γ î n p u n c t u l t ş i s e (t) noteză ν(t) ir β(t) = τ(t) ν(t) senumeşteversorul binormlă l γ î n punctul t. Triedrul mobil { τ, ν, β} depinzând de t, senumeştetriedrul lui J. FRENET ( ) l curbei γ. Se pot stbili formule indicând vitez de vriţie versorilor triedrului lui Frenet în rport cu rcul; nume, există funcţii continue R(s), T (s), numite rz de curbură ş i rz de torsiune le lui γ î n p u n c t u l t stfel încât s = s(t) şiîn plus, d τ ds = 1 R ν, d ν ds = 1 R τ + 1 T β, d β ds = 1 T ν (formulele lui Frenet). Într-un numit sens, R măsoră btere curbei γ de l o linie dreptă, ir T btere lui γ de l fi o curbă vând urm sitută într-un pln. Exemplu. Fieelicecilindricăγ :[, 2π] R 3, t (r cos t, r sin t, ht)unde r>, h> sunt constnte. Ecuţiile prmetrice le lui γ sunt x = r cos t, y = r sin t, z = ht, t [, 2π]; fixând t =, rezultă s (t) 2 = x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 = r 2 + h 2 şi lungime rcului de elice între punctele cre corespund vlorilor şi t le prmetrului v fi Fig. III.42 s(t) = t r2 + h 2 dt = t r 2 + h 2. Se pot clcul imedit versorii triedului lui Frenet: τ = γ (t) s (t), ν = versorul lui τ (t) = cos tī sin t ȷ, β = τ ν = 1 (h sin tī h cos t ȷ + r k). r2 + h2 Curbele în spţiu pot fi de semene reprezentte c intersecţie de suprfeţe dte prin ecuţii crteziene. d. Noţiune de vriette diferenţibilă Tote entităţile geometrice studite nterior sunt czuri prticulre de vrietăţi diferenţibile. Importnţ cestor din urmă nu constă numi în generlitte lor; în ultimul timp, mecnic nlitică modernă, teori sistemelor dinmice, teori stbilităţii structurle sistemelor, teori ctstrofelor etc. u c punct de plecre tocmi conceptul de vriette diferenţibilă. Definiţi Fie n 1 fixt. O submulţime V R n se numeşte vriette diferenţibilă de clsă C 1 de dimensiune r ( r<n) dcă pentru orice punct V există o vecinătte deschisă A lui ş i n r funcţii ϕ i (x 1,...,x n ), 1 i n r, de clsă C 1 (A) stfel încât V A = {x A ϕ 1 (x) =,...,ϕ n r (x) =} (67) şi mtrice jcobină funcţiilor ϕ 1,...,ϕ n r în rport cu vribilele x = (x 1,...,x n ) să ibă rngul mxim n r în fiecre punct din A. Deschişii din R n se consideră vrietăţi de dimensiune n, stfel că putem presupune mi sus că r n. Aşdr, locl, mulţime V este mulţime zerourilor comune n r funcţii diferenţibile. Folosind TFI, rezultă că pentru orice punct V, =( 1,..., r

182 178 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Fig. III.43, r+1,..., n )=(, ), unde =( 1,..., r ) R r, din relţiile ϕ 1 (x) =,...,ϕ n r (x) = şi în ipotez (nerestrictivă) că D(ϕ 1,...,ϕ n r ) () D(x r+1,...,x n ) se pot defini în vecinătte punctului n r funcţii ψ 1 (x ),...,ψ n r (x )de clsă C 1, x =(x 1,...,x r ) stfel încât x r+1 = ψ 1 (x ),...,x n = ψ n r (x )şi ϕ i (x,ψ 1 (x ),...,ψ n r (x )) =, 1 i n r într-o vecinătte B lui. Aşdr, locl mulţime V se prmetrizeză (cu r prmetri x 1,...,x r ) vând ecuţiile prmetrice x 1 = x 1,...,x r = x r,x r+1 = ψ 1 (x 1,...,x r ),...,x n = ψ n r (x 1,...,x r ). (68) Restrîngând eventul B, plicţi G : B R n, x (x,ϕ 1 (x),...,ϕ n r (x)) este un difeomorfism (conform rţionmentului din czul TFI) şi în plus, este evident că G(B V ) este o submulţime deschisă în subspţiul r-dimensionl {(x, ) x R r } l lui R n. Din cest motiv se mi spune că orice vriette diferenţibilă de dimensiune r este locl difeomorfă cu un deschis din R r. Exemple. 1) Dcă n =2şir = 1, tunci vrietăţile de dimensiune 1 din R 2 sunt locl curbele plne nesingulre definite printr-o ecuţie crtezină. Dcă n = 3, r = 1, tunci vrietăţile de dimensiune 1 din R 3 sunt curbele în spţiu nesingulre definite prin n r = 2 ecuţii crteziene. Vrietăţile de dimensiune 1 din R n se mi numesc curbe definite locl prin n 1 ecuţii crteziene (conform (67)) şi u locl o prmetrizre cu un singur prmetru, de form (68), nume: x 1 = x 1, x 2 = ψ 1 (x 1 ),...,x n = ψ n 1 (x 1 ), regăsind stfel urmele unor drumuri prmetrizte t (t, ψ 1 (t),...,ψ n 1 (t)) din R n. 2) Dcă n = 3, r = 2 se obţin vrietăţi de dimensiune 2 în R 3, cre sunt tocmi suprfeţele nesingulre definite printr-o ecuţie crtezină. 3) Sfer unitte {x x 2 n =1} din R n este o vriette de dimensiune n 1. În generl, vrietăţile de dimensiune n 1dinRn se numesc hipersuprfeţe î n R n ; şdr, sfer este o hipersuprfţă. 4) Dăm un exemplu de submulţime din R n cre nu este vriette. Anume, fie n = 2şiV = {xy = }. Origine = (, ) nu re nici o vecinătte difeomorfă cu un intervl deschis din R. Definiţi Fie V R n o vriette diferenţibilă şi V un punct. Un vector v R n se numeşte vector tngent l V î n dcă există o funcţie Φ:I R n pe un intervl deschis I conţinând origine şi derivbilă în origine, stfel încât Φ(I) V, Φ() = ş i Φ () = v. MulţimeT vectorilor tngenţi l V î n se numeşte spţiul tngent l V î n. Un vector w R n, w =(w 1,...,w n ) se numeşte norml l V î n dcă pentru orice v T, n v =(v 1,...,v n ), vem w v, dică produsul sclr v, w = v i w i este nul. Mulţime N vectorilor normli l V î n se numeşte spţiul norml l V î n. Fig. III.43b Teorem 5.8. Fixăm V c mi sus şi fie r = dimensiune lui V. Atunci ) T este un subspţiu vectoril l lui R n de dimensiune r; b) N este un subspţiu vectoril l lui R n de dimensiune n r. Demonstrţie. ) Fie plicţi diferenţibilă F : A R n r, x (ϕ 1 (x),..., ϕ n r (x)) definită conform (67) şi plicţi diferenţibilă i=1 G : B R n, x (x,ϕ 1 (x),...,ϕ n r (x)), definită după relţi (68) într-o vecinătte B punctului. Vom răt prin dubl incluziune că T =kerdf (), dică spţiul tngent T coincide cu nucleul diferenţilei lui F î n p u n c t u l. Într-devăr, fie ( )v T. Atunci există funcţi Φ c în definiţi 5.15 şi restrîngând eventul I se obţine că F (Φ(t)) =, ( )t I, dică F Φ =pei;

183 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 179 plicând teorem 4.4, rezultă df ()(Φ ()) =, dică df ()(v) =, deci v ker df (). Reciproc, fie ( )v ker df (), deci df ()(v) =. Aplicţi G fiind un difeomorfism între deschişii B şi G(B), se pote consider plicţi de clsă C 1, G 1 : G(B) B. Fieg 1,...,g n componentele lui G, decig i (x 1,...,x n )= x i,1 i r ş i g k (x 1,...,x n )=ϕ k r (x 1,...,x n ), r +1 k n. Relţi n ϕ i df ()(v) =, se scrie ()v j =, 1 i n r. Pe de ltă prte, x j dg i ()(v) = n j=1 j=1 g i ()v j = x j n j=1 deci dg()(v) =(v 1,...,v r,,...,), dică v i dcă 1 i r ϕ i r x j ()v j dcă r +1 i n dg()(v) =(v, ). (69) Deorece (, ) = ( 1,..., r, ) = G() G(B) şig(b) estedeschis, rezultă că există un intervl deschis I conţinând origine stfel încât ( + tv, ) G(B) pentru orice t I. Are tunci sens funcţi Φ(t) =G 1 ( + tv, ), t I. Avem Φ(t) V, Φ() = G 1 (, ) = ş i î n p l u s, Φ () = dg 1 (, )(v, ) cf.(69) = dg 1 (, )dg()(v) teor.4.4 = d(g 1 G)()(v) =v, deciv T. Am probt şdr că T =kerdf (), deci dim T =dimkerdf () = n dim Im df () =n rng J F () =n (n r) =r. b) Aşdr, N este prin definiţie subspţiul ortogonl lui T î n R n,deci dim N = n dim T = n r. O bză spţiului N este formtă din cei n r vectori grd ϕ i (), 1 i n n r. Într-devăr, grdϕ ϕ i i(),v = ()v j = pentru orice 1 i n r, x j j=1 ( )v T, deci grd ϕ i () N. Deorece mtrice jcobină funcţiilor ϕ 1,...,ϕ n r re rng mxim, rezultă că vectorii grdϕ i (), 1 i n r sunt linir independenţi. f. Un exemplu ingineresc de vriette diferenţibilă Considerăm l un moment fixt un circuit RLC formt dintr-un rezistor, un inductor şi un cpcitor (fig. III.44). Prin fiecre rmură trece curent vând intensitte nottă i şi tensiune nottă v. Circuitului i se sociză în mod nturl două triplete de numere rele (i R,i L,i C ), (v R,v L,v C ). Legile lui Kirchhoff rtă că Fig. III.44 i R = i L = i C, v R + v L v C =. În cest mod se sociză un punct (i R,i L,i C,v R,v L,v C )dinr 6 cu legăturile nteriore. O nliză mi tentă rtă că există şi lte legături între mărimile fizice considerte. De exemplu în czul unui rezistor linir re loc lege lui Ohm (v R = ki R, k constntă) şi în generl există o legătură de form v R = ϕ(i R ) cu ϕ funcţie de clsă C 1. Schimbând notţiile, m socit circuitului următore mulţime V R 6, V = {(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 ) x1 x2=,x2+x3= x 4+x 5 x 6=,ϕ(x 1) x 4= }, Conform definiţiei 5.14, V este o vriette diferenţibilă de dimensiune 2 î n R 6.

184 18 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Până cum discuţi s- purtt pentru un moment fixt. Considerând comportre circuitului într-un intervl de timp I = [t,t f ] şi presupunând că mărimile fizice nteriore sunt funcţii de clsă C 1 î n t i m p, s e d e fi n e ş t e o f u n c ţ i e γ : I R 6. Deorece legile lui Kirchhoff u loc în fiecre moment t I, γ este un drum prmetrizt de clsă C 1 situt pe vriette V (dică γ(t) V, ( )t I). Inductorul şi cpcitorul verifică de semene legile lui Frdy i L(t) = 1 L v L(t), v C(t) = 1 C i C(t) dică x 2(t) = 1 L x 5,x 6(t) = 1 C x 3 (unde L>, C> sunt inductnţ şi cpcitte, presupuse constnte). Notăm x 1 = u, x 6 = v. Atunci pentru orice punct (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6 ) V vem x 2 = u, x 3 = u, x 4 = ϕ(u), x 5 = v ϕ(u), cee ce constituie o prmetrizre vrietăţii V ; legile lui Frdy se exprimă tunci prin sistemul diferenţil de ordinul I ( ) u (t) = 1 L (v ϕ(u)), v (t) = 1 u, ( )t I. C (Dcă L = 1, C = 1, ϕ(u) =u 3 u, tunci se obţine sistemul Vn der Pol). Evoluţi circuitului în timp este descrisă prin drumul prmetrizt γ : I R 6, γ(t) =(u(t),u(t), u(t),ϕ(u(t)),v(t) ϕ(u(t)),v(t)), ( )t I, unde (u(t),v(t)) este soluţie sistemului (*). Probăm cum o propriette remrcbilă. Se numeşte energie circuitului funcţi E(u, v), E = R 2 R definită prin E(u, v) = 1 2 (Lu2 + Cv 2 ). Pentru orice t I d E E(u(t),v(t)) = dt u u (t)+ E v v (t) =Lu u (t)+cv v (t) cf.( ) = = Lu 1 (v ϕ(u)) + Cv ( 1C ) L u = u ϕ(u). În ipotez că u ϕ(u) > pentru orice u, rezultă că i R v R > (rezistorul se numeşte tunci psiv) şi m probt că în cest cz, de- lungul evoluţiei, energi circuitului descreşte în timp Exerciţii 1. Ce devine teorem 5.1 pentru n = 1? Să se rte că plicţi f : R R, x x 3 este bijectivă, de clsă C (R), f 1 este continuă şi totuşi f nu este un difeomorfism. Cum se explică? 2. Se consideră plicţi F : R 2 R 2,(x, y) (x +2y, x 2 y). Să se determine două mulţimi deschise, nevide A, B R 2 stfel încât F să stbilescă un difeomorfism de l A l B ş i s ă s e e x p l i c i t e z e F Să se rte că un deschis din R 2 nu pote fi difeomorf cu un deschis din R 3. Indicţie. Dcă r exist un difeomorfism F : A B (A R 2,B R 3 fiind deschişi), tunci ( ) A, df () :R 2 R 3 este un izomorfism linir, bsurd. 4. Se consideră plicţi F : R 3 R 3,(x, y, z) (x, xy, xyz) şifiea = {x >,y > } R 3. Să se rte că B = F (A) este un deschis, că plicţi F este un difeomorfism de l A l B ş i s ă s e e x p l i c i t e z e F 1. Idem, pentru F (x, y, z) =(z cos xy, z sin xy, x) şia = {x >,z >}. 5. ) Se consideră plicţi R-liniră T : R 3 R 3,(x, y, z) (x, x + y, x + y + z) şi prlelipipedul închis P =[, 1] [, 2] [1, 3]. Să se determine T (P ) şi volumul lui T (P ). Idem pentru T : R 2 R 2,(x, y) (x + y, 2x) şi P =[2, 5] [1, 3].

185 3.5. SCHIMBĂRI DE COORDONATE, FUNCŢII IMPLICITE 181 b) O plicţie R-liniră nesingulră L : R n R n se numeşte trnsformre Lorentz (H. A. LORENTZ, ) dcă considerând plicţi S : R n R n,(x 1,...,x n ) (x 1,...,x n 1, x n ), vem L S L = S, undel este trnspus lui L. Să se rte că în ( cest cz, notând cu l 1,...,l n componentele n n 1 ) lui L vem [l i (x) l n (x)] 2 = x 2 n,( )x =(x 1,...,x n ) R n. i=1 i=1 Cre sunt trnsformările Lorentz pentru n = 2? 6. Orice funcţie complexă w = f(z), f : A C definită pe un deschis A din plnul complex pote fi identifictă cu o trnsformre punctulă f : A R 2, (x, y) (u, v), considerând C = R 2 şi notând u =Ref, v =Imf, z = x + iy, w = u + iv. Să se expliciteze trnsformre punctulă R 2 R 2 socită funcţiei complexe w = z 2. Să se rte folosind teorem 5.3, că pentru orice punct z există o vecinătte A luiz şi o vecinătte B luiz 2, difeomorfe. Are punctul z = o propriette similră? Indicţie. Deorece z 2 =( z) 2, rezultă că plicţi z z 2 nu pote fi injectivă în nici o vecinătte originii. 7. Fie <ε<1 constnt. Să se clculeze y, y î n p u n c t u l c u r e n t p e n t r u funcţi implicită y(x) definită prin relţi y sin y = x (numită ecuţi lui J. KEPLER, ). y 8. ) Se consideră relţi x z + rctg = definind locl z c funcţie z x implicită de x ş i y. Să se clculeze z x, z y ş i d z. b) Relţiile x 2 + y 2 2z 2 =, 2x 3 + y 3 3z 3 =definescy, z c funcţii de x în vecintte punctului (1, 1, 1). Să se clculeze y,z,y,z î n p u n c t u l x = Să se determine extremele funcţiei implicite y = y(x) definităprin relţi x 3 +8y 3 6xy =. Idem pentru z = z(x, y) dtă implicit prin relţi x 2 + y 2 + z 2 4z =. 1. Fie ϕ o funcţie de clsă C 1 dtă; relţi x 2 + y 2 + z 2 = ϕ(x + by + cz),, b, c fiind constnte rele, defineşte implicit z c funcţie de x, y. Săse rte că (cy bz) z z +(z cx) = bx y. Idem, să se rte că dcă ) x y ϕ ( x + z y,y+ z x x 2 i =, tunci xy + x z x + y z y = z. 11. Se cer punctele curbei x 2 + xy + y 2 = 1, cre sunt cele mi îndepărtte de origine. Indicţie. Trebuie determinte punctele (x, y) pentru cre funcţi f(x, y) = x 2 + y 2 este mximă, cu legătur x 2 + xy + y 2 1 =. 12. ) Să se fle extremele funcţiei f(x, y, z) =xyz cu legătur x+y+z = 1; similr, extremele lui f(x, y, z) =x + y + z cu legăturile x 2 + y 2 + z 2 = 1, 2x + y +2z = 1. b) Să se rte, folosind metod multiplictorilor lui Lgrnge, că v = sup v, x, ( )v R n, v =(v 1,...,v n ), unde v, x = x R n, x =1 n v i x i. 13. Să se determine mrginile funcţiilor de mi jos pe mulţimile compcte indicte: ) f(x, y) =x 2 +2xy +2y 2 pe K = {x 2 1, y<x 2 }; b) f(x, y, z) =2x 2 +2y 2 xy + z 4 2z 2, K = {x 2 + y 2 +2z 2 8}; c) f(x, y, z) =z y x, K = {2y 2 + z 2 1=, 4x 3z =}. 14. Fie f :[, b] R p o funcţie vectorilă de clsă C 1 pe intervlul [, b], <b. Să se rte că există o constntă M> stfel încât i=1

186 182 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ f(b) f() M(b ). În prticulr, orice funcţie f :[, b] Rp de clsă C 1 este lipschitzină. Indicţie. Fie f 1,...,f p componentele lui f ş i M k = sup f k(t), deci t [,b] f k (b) f k () M k (b ), 1 k p şi tunci ( p ) 1 2 f(b) f() = (f k (b) f k ()) 2 k=1 M(b ), unde M =(M M 2 p ) 1 2. Observţie. Se pote demonstr o teoremă de medie generlă, dtortă lui J. DIEUDONNÉ: Dcă f :[, b] Rp ş i g :[, b] R sunt două funcţii derivbile, cu g monoton crescătore şi f (t) g (t) g(b) g(). Pentru g(t) = Mt se regăseşte exerciţiul Să se justifice de ce teoremele clsice Fermt, Rolle, Lgrnge nu se extind direct pentru funcţii cu vlori vectorile. Indicţie. Pentru funcţii cu vlori în R p, p 2 nu se pote defini o noţiune convenbilă de extrem, deorece R p nu re o structură convenbilă de ordine. Considerăm poi funcţi f :[, 2] R 2, t (cos t, sin t), de clsă C 1.Evident, f() = f(2) dr nu există ξ (, 2π) stfel încât f (ξ) =, cee ce rtă că teorem lui Rolle nu re loc pentru f etc. 16. ) Să se determine punctele singulre le curbelor plne y 2 x 3 =, x 3 + y 3 xy = ; figurţi poi urm cestor curbe. b) Se consideră curbele plne prmetrizte γ 1 (t) =(sin2 t, sin 3 t), t R ş i γ 2 (t) = (cos t, 2sint), t [, 2π]. Să se determine punctele lor singulre, să se figureze urm şi să se clculeze curbur lor în fiecre punct (pentru o curbă prmetriztă x = x(t), y = y(t) de clsă C 2 se numeşte curbur î n t r - u n p u n c t nesingulr t numărul rel k = x (t)y (t) x (t)y (t) ). [x (t) 2 + y (t) 2 ] 3/2 17. Să se figureze curbele plne definite prin: ) ecuţi crtezină x(x 2 1) = y(y 2 1); idem x 2 + x 2 y = 1. b) ecuţiile prmetrice x = (t + 1t ) 2, y = ( t 2 1 t ), t (, 2); idem x =sint t cos t, y =1 cos t, t [, 2π]. c) ecuţi în coordonte polre ρ = θ; idemρ = cos 2θ ş i ρ 2 = cos 2θ. 18. Să se rte că: ) plnul tngent l suprfţ de ecuţie crtezină x + y + z 1 =, în punctul curent, determină pe cele trei xe le reperului ortogonl Oxyz fixt, segmente vând cpătul în O, căror sumă lungimilor este constntă; b) normlele l suprfţă x 2 + y 2 sin z = intersecteză x Oz. 19. Fie ϕ(x, y, z), ϕ : A R o funcţie de clsă C 1 pe un deschis A R 3 ş i A un punct fixt stfel c grd ϕ. Să se rte că dintre toţi versorii s, cei pentru cre derivt dϕ () este mximă su minimă sunt versorii lui ds grd ϕ, dică sunt versorii normlei în punctul l suprfţ de ecuţie crtezină ϕ(x, y, z) = ϕ(). 2. Fie = R 2 şi plicţi ϕ : R 3,definităprinϕ(u, v) =(u cos v, u sinv, 1 u). Să se rte că ϕ defineşte o pânză prmetriztă de suprfţă de clsă C 1 cu urm sitută pe conul x 2 + y 2 =(1 z) 2 ; cre sunt punctele singulre? Să se figureze imgine prin ϕ compctului K = { u 1, v 2π}. 21. ) Să se rte că pentru orice c, hiperboloidul x 2 + y 2 z 2 = c este o vriette de dimensiune 2 în R 3, dr conul x 2 + y 2 z 2 = nu este vriette. b) Să se rte că mulţime V = {x 2 + y 2 + z 2 =1,xy=,z ±1} este o vriette de dimensiune 1 în R 3.

187 3.6. APLICAŢII Fie V 1 R m o vriette de dimensiune r 1 ş i V 2 R n o vriette de dimensiune r 2. Să se rte că V 1 V 2 este o vriette de dumensiune r 1 + r 2 î n R m+n. 3.6 Aplicţii Schimbări de vribilă Idee schimbărilor de vribilă (mi corect, schimbărilor de coordonte locle) este c studiul unor proprietăţi diferenţile exprimte într-un numit sistem de coordonte să fie simplifict prin legere unui lt sistem de coordonte şi prin trnsferul corespunzător l celor proprietăţi. Este dificil de indict un procedeu generl su un reţetr de schimbări de vribilă; există însă unele schimbări-tip,cre vor fi indicte pe scurt mi jos. Considerăm un difeomorfism de clsă C k (k 2), F : A B, între doi deschişi din R 2. Notăm cu u, v coordontele în A ş i c u x, y coordontele în B; şdr, există funcţii ϕ, ψ : A R de clsă C k stfel încât F (u, v) = (ϕ( u,v),ψ( x u,v)), y D(ϕ, ψ) ( )(u, v) A, ir în orice punct (u, v) A. D(u, v) Avem deci relţiile Fig. III.45 x = ϕ(u, v), y= ψ(u, v), ( )(u, v) A. (7). Czul unei singure vribile independente Pentru o funcţie de o vribilă relă y = f(x), f : I R definită pe un intervl deschis I, derivbilitte lui f î n t r - u n p u n c t x I este echivlentă cu diferenţibilitte lui f î n x. Dcă f este derivbilă pe I, tunci re loc relţi df = f dx în punctul curent (teorem 4.3); cest pote fi scrisă simbolic f = df dx. Acestă notţie re justificre numi în czul funcţiilor de o vribilă; e determint multe confuzii în considerre derivtelor c nişte câturi de infiniţi mici. Totuşi notţi nterioră este utilă în specil l derivre funcţiilor compuse. Presupunem funcţi y = f(x) de clsă C k ; proprietăţile ei diferenţile se exprimă cu jutorul lui y,y,.... Din relţiile (7), rezultă ψ(u, v) =f(ϕ(u, v)) şi plicând TFI, se obţine locl o relţie de form v = v(u). Se mi scrie y(x) v(u) şi se mi spune că difeomorfismul definit prin relţiile (7) permite un trnsfer de proprietăţi diferenţile între plnul xoy l vribilelor vechi şi plnul uov l vribilelor noi. În plus, în punctul curent u loc relţiile Fig. III.45b y (x) = dy dx y (x) = dy dx = dy du dx du = dy du dx du = y (u) cf.(7) x = (u) ψ u + ψ v v (u) ϕ u + ϕ, v v (u) ψ = 1 d x (u) du (y )= 1 d x u + ψ v v (u) (u) du ϕ u + ϕ etc. v v (u) (semnul indică o scriere diferenţilă derivării de funcţii compuse, revenind l împărţire cu diferenţil vribilei independente noi du). Exemple. 1) Intervertire vribilelor y(x) x(y). În cest cz y (x) = dy dx = dy dy dx dy = 1 dx dy = 1 x (y),

188 184 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ y (x) = dy dx = dy dy dx dy ( ) d 1 dy x = (y) x (y) = x (y) x (y) 3 etc. De exemplu, ecuţi diferenţilă y y = y 2 cu funcţi necunoscută y ) = y(x) 1 (presupusă inversbilă) devine prin intervertire vribilelor, ( x = y 2, dică x +y 2 x 4 =, cu necunoscut x(y). În cest cz, ecuţi nu se simplifică, dr există şi situţii fericite (de exemplu, yy 3 + y = ). 2) Schimbre vribilei independente x = ϕ(u), y(x) y(u). În cest cz, y (x) = dy dx = dy du dx du y (x) = dy dx = d du = ( y ) (u) ϕ (u) ϕ (u) dy du dx du = y (u) ϕ (u), x = y (u)ϕ (u) y (u)ϕ (u) ϕ (u) 3 De exemplu, ne propunem să determinăm ce devine ecuţi diferenţilă x 2 y + xy y =, cu necunoscut y = y(x), prin schimbre de vribilă independentă x = e u. Avem y (x) = dy dx = dy du e u = e u y (u), y (x) = dy dx = dy du e u x 3 etc. = e u d du (y )= = e u d du (e u y (u)) = e 2u [y (u) y (u)] şi ecuţi iniţilă devine y (u) y(u) =, cu necunoscut y = y(u). b. Czul două vribile independente Presupunem cum că este studită o problemă bidimensionlă, cre revine l studiul unei funcţii de clsă C k, z = f(x, y) şi l derivtelor ei prţile. Prin relţiile (7), dică prin difeomorfismul F, problem pote fi reformultă în plnul coordontelor noi u, v şi necesită în primul rând clculul derivtelor vechi z x, z y, 2 z z,... în funcţie de cele noi x2 u, z v, 2 z,.... În efecture u2 cestui clcul, pote fi utiliztă propriette de invrinţă primei diferenţile, cre se enunţă stfel: în punctul curent, diferenţil I lui f considertă c funcţie de x, y şi celeişi funcţii f, considertă c funcţie de u, v coincid, dică f f f f dx + dy = du + dv (cee ce rezultă din relţiile (7) prin x y u v diferenţiere şi ţinând cont de regul de derivre funcţillor compuse). Exemplu. Ne propunem să studiem ce devine ecuţi x z y = y z x,cu funcţi necunoscută z = z(x,y), în coordonte polre, z(x,y) z(ρ, θ), deci prin schimbre de vribile independente x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. În cest cz, dz = z z z z dx + dy = dρ + dθ ş i c u m d x =dρcos θ ρ sin θdθ, x y ρ θ dy =dρsin θ + ρ cos θdθ, se obţin, prin identificre coeficienţilor lui dρ, dθ, relţiile z z z cos θ + sin θ = x y ρ, z z ( ρ sin θ)+ (ρ cos θ) = z x y θ (ceste puteu fi obţinute şi direct din identitte z(ρ, θ) = z(x(ρ, θ),y(ρ, θ)) derivând în rport cu ρ şi poi în rport cu θ). Folosind regul lui Crmer, rezultă imedit z z = cos θ x ρ sin θ z ρ θ, z y = cos θ z z +sinθ ρ θ ρ

189 3.6. APLICAŢII 185 şi ecuţi iniţilă devine ( ) ( cos θ z z ρ cos θ +sinθ = ρ sin θ cos θ z ρ θ ρ ρ sin θ ) z, ρ θ dică z =, deci se simplifică considerbil. Mergând mi deprte, rezultă θ de ici că z este funcţie constntă în rport cu θ, dică o funcţie numi de ρ; în cest mod, se obţine chir soluţi generlă ecuţiei x z y = y z x, nume z = h(x 2 + y 2 ), cu h funcţie rbitrră de clsă C 1. În generl, coordontele polre în pln (respectiv coordontele sferice în spţiu) sunt utilizte în probleme cu simetrie centrlă, dică simetrie fţă de un punct fixt, după cum coordontele cilindrice sunt utilizte în probleme cu simetrie xilă. Desigur, se pot consider multe lte exemple de schimbări de vribilă. Observţie. În unele clcule cu derivte prţile, lături de schimbările de vribile, sunt utilizte procedee de discretizre, cre fc progrmbile pe clcultor stfel de clcule. Considerăm o funcţie f(x, y), f : A R de clsă C 2 pe un deschis A R 2. Fixăm o pereche (h, k) de numere rele strict pozitive, numită bips şi considerăm reţeu plnă obţinută ducând dreptele x = mh, y = nk prlele cu xele, unde m, n Z (fig. III. 46). Pentru punctele (mh, nk) le reţelei, numite şi noduri, cre prţin lui A, fcem convenţi de not f m,n (su f mn )în locdef(mh, nk); notăm de semene cu mn dreptunghiul centrt în punctul (mh, nk) cu lturile prlele cu xele. Atunci derivtele prţile de ordin I, II le lui f î n p u n c t u l ( mh, nk) pot fi exprimte prin formulele proximtive următore Fig. III.46 f x (mh, nk) f m+1,n f mn, h f y (mh, nk) f m,n+1 f mn, k 2 f x 2 (mh, nk) f m+1,n + f m 1,n 2f mn h 2, 2 f x y (mh, nk) f m+1,n + f m,n+1 2f mn, hk 2 f y 2 (mh, nk) f m,n+1 + f m,n 1 2f mn k 2, în ipotez că mn A. Aceste se folosesc l metod reţelelor din teori ecuţiilor cu derivte prţile. Exemplu. Fie un dreptunghi D =[,] [,b]şig(x, y) o funcţie continuă le cărei vlori sunt cunoscute pe frontier lui D. Presupunemcătrebuie determintă o funcţie f(x, y) de clsă C 2 pe un deschis A cre conţine D, stfel încât 2 f x f =în A ş i f Fr D = g. y2 O soluţie proximtivă cestei probleme pote fi obţinută legând o reţe cu bipsul h = M, k = b (M,N 1 întregi convenbili); relţiile nteriore N devin f m+1,n + f m 1,n 2f mn h 2 + f m,n+1 + f m,n 1 2f mn k 2 =, pentru m M, n N ş i f mn = g mn î n p u n c t e l e ( mh, nk) depe frontier lui D (dică pentru m =, m = M, n =, n = N). Din ceste relţii de recurenţă se determină vlorile funcţiei căutte f,în nodurilereŗelei, obţinând informţii utile reltiv l vlorile lui f în tote punctele lui D.

190 186 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Metod grdientului În studiul unor sisteme complexe (de exemplu cele economice), pr probleme de optimizre cu un număr mre de vribile independente în cre soluţi optimă nu pote fi dtă decât prin metode de progrmre empirică. Expunem ici bzele teoretice le unei metode utilizte curent în rezolvre unor probleme de optimizre. Fie f(x 1,...,x n ), f : A R o funcţie de clsă C 1 pe un deschis A R n ş i A un punct fixt. În cest cz, m definit în 4.4 un vector remrcbil în R n, nume grdientul lui f î n, ( f grd f = (),..., f ) (). x 1 x n Presupunem că nu este punct critic l lui f, dică df() ; tunci cel puţin un din derivtele f (), 1 k n este nenulă şi c tre, vectorul x k grd f este nenul. Ne propunem să determinăm (pentru f, fixte) versorii s =(s 1,...,s n ) pentru cre derivt df () este mximă su minimă. Conform teoremei 4.6, vem df ds () = n i=1 ds f () s i şi notând λ i = f (), 1 i x i x i n n, trebuie determinte extremele funcţiei linire g(s 1,...,s n )= i=1 λ i s i cu legătur s s 2 n = 1. Aplicând metod multiplictorilor lui Lgrnge, rezultă imedit că versorul s este colinir cu vectorul (λ 1,...,λ n ); cest vector este tocmi grdientul lui f î n şi notând cu g = grd f grd f, versorul lui grd f,rezultăcăs = ±g. Aşdr m probt: Teorem 5.9. Fie f, fixte c mi sus. Mximul (respectiv minimul) derivtei df ds () sunt tinse în czul când s este versorul g (respectiv g )l grdientului lui f în. În plus = ( ) df ds () = mx n i=1 f () f x () i x i grd f = 1 grd f 1 grd f grd f 2 = grd f ş i n i=1 f x i () 2 = ( ) df ds () = grd f. min De semene conform teoremei 5.7, vectorul grd f rezultă norml în l hipersuprfţ f(x) = f(). Acestă teoremă firmă deci că vriţiile extreme le lui f în punctul se produc pe direcţi grdientului lui f în şi stă l bz metodei grdientului pentru determinre extremelor (de fpt punctelor critice) le unei funcţii f de clsă C 1 f, pentru cre nu se pote rezolv uşor sistemul =,..., f = x i x n (corolrul teormei 4.9). Descriem pe scurt cestă metodă. Fie f C 1 (A), f : A R ş i A stfel c n grd f. Se numeşte triectorie de grdient pornind din orice drum prmetrizt de clsă C 1 g : I A pe un intervl centrt în origine stfel încât g (t) = grd g(t) f, ( )t I ş i g() = deci g () = n. (71) Aşdr, urm drumului g trece prin punctul şi este tngentă în l vectorul n = grd f (fig. III. 47). Notăm h(t) =f(g(t)) = f( g x1 1 (t),..., x n g (t)),

191 3.6. APLICAŢII 187 ( )t I; tunci h (t) = f (g(t)) g x 1(t)+...+ f (g(t)) g 1 x n(t). Dr conform n (71) g 1(t) = f (g(t)),...,g x n(t) = f n (g(t)), deci h f (t) = (g(t)) 2, 1 x n x i=1 i dică h (t) = grd g(t) f 2. (72) Astfel funcţi relă h : I R este monoton crescătore, dică vlorile lui f cresc în lungul oricărei triectorii de grdient în. Teorem 5.1. Presupunem că intervlul I este de form I =(t, ) ş i că există ξ = lim t g(t) î n A. Atunci ξ este un punct critic l lui f. Demonstrţie. Presupunem prin bsurd că ξ nu r fi punct critic l lui f, dică n ξ. Definim h(t) =f(g(t)), t I c mi sus. Cum g(t) ξ pentru t,rezultăcăh(t) f(ξ), deorece f este continuă. Cum n ξ = grd ξ f ş i c u m f este de clsă C 1, rezultă că grd f este continuă şi c tre, există m> şi o vecinătte W luiξ stfel încât grd x f >mpentru orice x W. (73) Alegem poi t 1 I stfel încât g(t) W pentru t t 1. Atunci ori de câte ori t>t 1, vem conform formulei Leibniz-Newton, t t t 1 h (t)dt = h(t) h(t 1 )şipe de ltă prte, conform (72) şi (73), h (t)dt m 2 dt = m 2 (t t 1 ). t 1 t 1 Aşdr, h(t) h(t 1 )+m 2 (t t 1 ), pentru orice t>t 1, dică pentru t se obţine o contrdicţie (căci membrul stâng tinde către f(ξ), ir membrul drept către + ). t Fig. III.47 Fig. III.48 Observţii. Se pote răt că dcă ξ este un punct de mxim locl l unei funcţii f C 2 (A), tunci orice triectorie de grdient (g) pornind dintrun punct suficient de prope de ξ converge către ξ. În prctică, se fixeză mi întâi un punct x A (suficient de prope de soluţi căuttă ξ) şise construieşte un şir {x n } n de puncte din A stfel încât pentru orice k fixt, î n p u n c t u l x k se lege direcţi s (k) = versorul lui grd xk f stfel c pentru orice λ> suficient de mic, segmentul {x k + λs (k) } să fie conţinut în A; notăm cu λ k vlore lui λ cre corespunde mximului lui f pe cest segment. Atunci x k+1 = x k + λ k s (k) şi procesul itertiv {x n } n converge către ξ; metodse dpteză evident şi în czul punctelor de minim. Exemplu. Căutăm minimul funcţiei f(x, y) = x 2 + y 2 4x 2y cu restricţiile {x 2 y 2 16, y 4, x, y }. Evident, grd f = (2x 4)ī +(2y 2) ȷ. Luăm x =(, ), deci grd x f = 4ī 2 ȷ şi considerăm drept cre trece prin origine cu direcţi grd x f, dică x 4 = y 2, dică prmetric x =4t, y =2t. Se observă că t>şif(4t, 2t) = 2t 2 2t; minimul cestei funcţii este tins pentru t = 1 2 şi luăm x 1 =(2, 1). Se observă că de fpt ξ = x 1 este punctul căutt în cre f îşi tinge minimul. Metod grdientului este utiliztă l rezolvre unor sisteme de ecuţii, căror soluţie este un punct critic l unei funcţii. O ltă metodă des folosită o constituie procedeul lui Newton, descris mi jos.

192 188 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Procedeul lui Newton pentru rezolvre unor sisteme de ecuţii Considerăm un sistem de ecuţii f 1 (x 1,...,x p )=,...,f p (x 1,...,x p )=, (74) unde funcţiile f 1,...,f p sunt funcţii de clsă C 1 î n t r - o b i l ă B(, r) R p. Considerând plicţi F : B(, r) R p, x (f 1 (x),...,f p (x)), sistemul (74) este echivlent cu ecuţi vectorilă F (x) =. Presupunem că sistemul (74) re o soluţie ξ( B(, r) şi că diferenţil df () :R p R p este un izomorfism R-linir dică D(f ) 1,...,f p ) (). Vom indic un proces itertiv D(x 1,...,x p ) {u n } n cre converge către ξ. Anume, se i mi întâi u = ; presupunând u n determint, creştere F (x) F (u n ) pote fi proximtă cu df (u n )(x u n ). Ecuţi F (x) = se pote proxim cu F (u n )+df(u n )(x u n ) = su cu F (u n )+df()(x u n ) = şi soluţi cestei ecuţii se noteză u n+1 ;deci u n+1 = u n (df ()) 1 (F (u n )), ( )n. (75) Se pote prob, în nlogie cu czul 1-dimensionl trtt în cpitolul II, 5.1, următorul rezultt: presupunem că există o constntă C>stfel încât df (x) df (y) C x y, ( )x, y B(, r) şi că plicţi df () este izomorfism. Atunci procesul {u n } n definit prin relţi (75) şi prin u =, este convergent către soluţi ξ, cu condiţi c r>săfiesuficientdemic; în prctică legere lui u este esenţilă pentru convergenţ însăşi şi pentru rpiditte cestei. Procesul ietrtiv {u n } n pote fi progrmt cu uşurinţă. Exemplu. Considerăm sistemul x 2 y =, x 2 + y 2 3x =. Luâm =(1, 1); în cest cz F (x, y) =(x 2 y, x 2 + y 2 3x) şidf [ () :R] 2 R este plicţi liniră socită mtricei jcobiene J F () =, dică ( 1 2 2x + y df ()(u, v) =(2u v, u +2v), deci df () 1 (x, y) =, x +2y 3 3 Notând u n =(x n,y n ), relţi (75) devine (x n,y n ) (x n+1,y n+1 )=df() 1 (x 2 n y n,x 2 n + yn 2 3x n )= ( 3x 2 = n 2y n + yn 2 3x n, 3x2 n y n +2y 2 ) n 6x n 3 3 deci soluţi ξ =(x, y) sistemului dt este limit procesului itertiv (x n,y n ), n definitprinx = 1, y = 1, x n+1 = 3x2 n 2y n + yn 2 6x n, y n+1 = 3 3x2 n 4y n +2yn 2 6x n Metod celor mi mici pătrte Presupunem, c rezultt l măsurătorii unei mărimi fizice f(x), că se obţine o tbelă de vlori x x 1... x p y y 1... y p stfel încât y i = f(x i ), i p, fiecre din vlorile y i fiind clcultă cu o numită erore. Am văzut în cpitolul II, 5.2 că rostul interpolării este cel de estim, din tbel nterioră, vlore lui f în puncte distincte de nodurile x i, i p. Sunt situţii în cre este util de cunoscut cât de mult se bte grficul funcţiei f de l o dreptă, dică de l grficul unei funcţii de grdul întâi g(x) = x + b cu, b prmetri reli. Considerăm expresi U(, b) = p [f(x i ) g(x i )] 2 = i= p (y i x i b) 2, i= ).

193 3.6. APLICAŢII 189 numită btere medie pătrtică în formul proximtivă f g (reltiv l tbel nostră). Fig. III.49 Metod celor mi mici pătrte constă în determinre lui, b stfel încât funcţi U(, b) să fie minimă; condiţiile necesre de extrem sunt dte de corolrul teoremei 4.9, nume U U p =, =, dică (y i x i b) x i =, b i= p (y i x i b) x i = su explicit i= p x 2 i + b i= p x i = i= p x i +(p + 1)b = i= p x i y i i= p y i, de unde se determină vlorile căutte pentru, b pe cre le notăm cu,b ; 2 U 2 p =2 x 2 i, i= i= 2 U p b =2 x i, i= 2 U =2p +2, b2 (76) 2 ( U 2 ) 2 deci 2 > şi U 2 U 2 U b 2 b 2 <, ş cum rezultă din ineglitte lui Schwrtz. Aşdr, conform teoremei 4.11, (,b ) este într-devăr un punct de minim pentru U. Se mi spune că drept y = x + b linirizeză optim dtele experimentle (x i,y i ), i p ş i s e numeşte drept de regresie lui y în rport cu x. Dcă ξ,η sunt două vribile letore vând mediile ξ, η ş i d i s p e r s i i l e σξ 2, ση 2 şi dcă se consideră o selecţie de vlori ξ i, η i ( i p) le lor, tunci o vribilă letore de form ρ = + b(ξ ξ) cu, b constnte rele, se numeşte regresi liniră lui η în rport cu ξ (reltiv l selecţi considertă) dcă expresi U(, b) =medilui(η ρ) 2, dică U(, b) = 1 p [η i b(ξ i p +1 ξ) 2 ] i= este minimă. Din condiţiile necesre U U =, = se obţine fără dificultte b soluţi = η, b = 1 σξ 2 medi lui η(ξ ξ). Pentru, b stfel flţi, drept de regresie η = + b(ξ ξ), considertă în plnul (ξ,η) re propriette că în propiere ei (în sensul bterii medii pătrtice) sunt concentrte cât mi multe din perechile de vlori (ξ i,η i ), i p le vribilelor letore ξ,η. Metod celor mi mici pătrte se generlizeză stfel: se consideră un SVN (E, ), un subspţiu vectoril F l lui E, se fixeză un element f E şi se pune problem determinării unui element g F stfel încât distnţ d(f,g )= f g să fie minimă (dică f g f g, ( )g F ). Există diverse vrinte le metodei, împreună cu progrme de clcul dptte; în cele de mi sus m schiţt dor idee generlă metodei celor mi mici pătrte, c pretext de plicre teoremelor 4.9, 4.11 din cest cpitol.

194 19 CAPITOLUL 3. ANALIZĂ REALĂ MULTIDIMENSIONALĂ Enunţul problemei celor n corpuri (n 3) Se consideră un sistem de n corpuri cu msele m 1,m 2,...,m n ş i r e s p e c t i v poziţiile x 1,x 2,...,x n (similte cu puncte din spţiul fizic R 3 ). Din punct de vedere mecnic, studiul sistemului revine l cunoştere poziţiei şi vitezei fiecărui corp l fiecre moment de timp, stfel încât este firesc să considerăm că stările sunt perechi (x,v)undex =(x 1,x 2,...,x n )esteunelementdin spţiul R 3n = R 3... R 3 }{{} nori (poziţi întregului sistem de n puncte în spţiu, ir v =(v 1,v 2,...,v n )undev i R 3 este vitez corpului x i,1 i n. Mulţime R 3n R 3n R 6n se mi numeşte spţiul stărilor sistemului. Pentru i j (1 i, j n) notăm C ij = {x R 3n x i = x j } ş i fi e C = 1 i,j n C ij.mulţimec este închisă (în R 3n )creuniunefinitădeînchişişise numeşte spţiul de ciocnire ( vreunei perechi de corpuri). Energi cinetică sistemului este prin definiţie funcţi E : R 3n R 3n R definită prin E(x,v)= 1 n m i v i 2 ş i energi potenţilă este funcţi V : R 3n \ C R, definităprin 2 i=1 V (x) = m im j 1 i<j n x j x i. Aşdr, V este o funcţie de 3n vribile {}}{{}}{{}}{ (x 1 1,x 2 1,x 3 1),...,(x 1 i,x 2 i,x 3 i ),...,(x 1 n,x 2 n,x 3 n) x 1 x i x n de clsă C pe mulţime deschisă R 3n \ C (spţiul de neciocnire!). Ecuţiile lui Newton descriind mecnic în timp sistemului considert sunt m i x i (t) = grd i V,1 i n, su explicit m 1 (x 1 1) = V x 1, m 1 (x 2 1) = V 1 x 2, m 1 (x 3 1) = V 1 x 3,...etc. (77) 1 O problemă încă nerezolvtă, cre nu pote fi bordtă decât cu metode profunde de Anliză mtemtică şi Geometrie diferenţilă, este următore: este devărt că sistemul diferenţil (77) re soluţii periodice (stbile) şi că din orice stre iniţilă de neciocnire sistemul junge tot într-o stre de neciocnire? Exerciţii 1. Să se clculeze z x, z y, 2 z x 2, 2 z x y, 2 z y 2 (pentru z funcţie de clsă C2 )în funcţie de derivtele lui z în rport cu u, v considerând z(u, v), prin schimbre de vribile independente definită prin ) u = x y, v = x + y; b) u = x + y, v = y; c) x = u 2, y = v. 2. Se consideră ecuţi 2 z x 3 +2b 2 z x y + c 2 z =(, b, c fiind constnte y2 rele) şi efectuăm schimbre de vribilă u = x + py, y = x + qy cu p, q prmetri reli. Atunci z(x, y) devineofuncţief (u, v) şiseceresăseexprime derivtele de ordin I, II le lui z în rport cu x, y în funcţie de derivtele lui F în rport cu u, v. Să se rte că dcă b 2 c > (respectivb 2 c = ) tunci se pot lege p, q încât 2 F u v =(respectiv 2 F v 2 se determine funcţiile z(x, y) cre verifică ecuţiile 2 z 2 z x z z x y +4 2 y 2 =. = ). C plicţie să x z x y 4 2 z y 2 =, 3. Folosind metod grdientului să se determine: ) mximul lui f(x, y) =5+4x+2y x 2 y 2, pornind din punctul =(4, 5); b) mximul lui f(x, y) =y 2 +4x cu restricţiile {9x 2 +4y 2 36, x, y };

195 Cpitolul 4 Lume curbelor re o structură mi bogtă decât lume punctelor. Tehnic de integrre Lebesgue şi ideile fizice le lui Gibbs u vut efecte considerbile în studiul multor fenomene de cre se intereseză inginerul, legte de clculul vriţiilor, termodinmică, teori comunicţiilor, nliză rmonică, procese letorii etc. (N. WIENER) Extinderi le conceptului de integrlă Introducere Idee principlă teoriei integrlei este c l numite funcţii, considerte pe numite mulţimi, să fie socite numere bine determinte, obţinând în cest mod un instrument de studiu şi totodtă un indictor cntittiv extrem de util - integrl. B. RIEMANN ( ) definit integrl f(x)dx pentru numite funcţii mărginite f :[, b] R, ş cum s- studit în liceu, dr cest concept s- dovedit insuficient în rezolvre unor probleme mi specile (de exemplu, în teori seriilor Fourier, în clsificre semnlelor, în studiul trnsformărilor integrle, în teori distribuţiilor, clcul operţionl, teori probbilităţilor etc.). H. LEBESGUE ( ) construit un concept mi generl şi mi util de integrlă, pe cre îl prezentăm în cest cpitol. În prgrful 2 vom indic succint construcţi integrlei Stieltjes şi în 3 vom defini integrlele curbilinii în lungul unui drum prmetrizt, cre extind integrlele uzule (în lungul unui segment). În încheiere cestui cpitol vor fi dte proprietăţile de bză le integrlelor cu prmetri, utilizte curent în diverse reprezentări integrle. b 4.1 Integrbilitte Lebesgue Integrre funcţiilor în scră În cest cpitol vor fi studite în principl integrlele simple su reductibile l ceste. Anumite considerţii preliminre pot fi totuşi făcute în czul generl l funcţiilor de mi multe vribile rele, fpt cre nu duce dificultăţi suplimentre, dr permite prezentre unifictă integrlelor simple şi multiple. Pentru început, considerăm integrlele unor funcţii de un tip prticulr, numite funcţii în scră (su etjte). Menţionăm că în cpitolul III m definit o noţiune mi restrictivă de funcţie în scră (definiţi 2.5), cre trebuie însă extinsă. Definiţi 1.1. O funcţie ϕ : R n R se numeşte funcţie în scră su (etjtă) dcă există mulţimi mărginite măsurbile (conform definiţiei III 3.6.) disjuncte două câte două M 1,M 2,...,M p î n R n stfel încât să fie îndeplinite condiţiile: ) pe fiecre mulţime M k, 1 k p, funcţi ϕ este constntă; b) funcţi ϕ este nulă în fr reuniunii mulţimilor M 1,M 2,...,M p. Exemple. 1) Funcţi ϕ : R R definită prin 191

196 192 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ Fig. IV.1 Fig. IV.2 Fig. IV.3 [ 1 dcă x, 1 ) 2 [ ] ϕ(x) = 1 1 dcă x 2, 1 în rest [ este o funcţie în scră (luând M 1 =, 1 ) [ ] 1, M 2 = 2 2, 1 ; ici ϕ =1peM 1 ş i ϕ = 1 pem 2 ). { [x] (prte întregă lui x) dcă x [1, 5] Similr pentru funcţi ϕ(x) = în rest (în cest cz, M 1 =[1, 2), M 2 =[2, 3), M 3 =[3, 4), M 4 =[4, 5) şi ϕ = k pe M k,1 k 4), fig. IV.2. 2) Considerăm mulţimile măsurbile din R 2, M 1 = {x 2 + y 2 < 1}, M 2 = {1 x 2 + y 2 4} ş i f u n c ţ i ϕ : R 2 R vând o vlore relă constntă c 1 pe M 1, o vlore constntă c 2 pe M 2 şi nulă în rest. Se obţine stfel o funcţie în scră de două vribile rele. În generl, dcă se consideră un număr finit de mulţimi mărginite, disjuncte două câte două, măsurbile în pln (su în spţiu) şi o mărime fizică constntă pe fiecre din ceste mulţimi, nulă în fr lor, tunci este definită o funcţie în scră. Teorem 1.1. Mulţime S funcţiilor în scră R n R re în mod nturl o structură de spţiu vectoril normt. Demonstrţie. Notând X = R n, se observă că orice funcţie în scră ϕ S este o funcţie mărginită ϕ : X R, dică S M X. Cum M X este SVN (reltiv l norm - sup), este suficient de probt că S este un subspţiu vectoril l lui M X, dică de îndtă ce ϕ, ψ S ş i λ R este o constntă, rezultă ϕ+ψ S ş i λϕ S. Dcă funcţi în scră ϕ (respectiv ψ) este constntă pe fiecre din mulţimile măsurbile mărginite M 1,M 2,...,M p (respectiv N 1,N 2,...,N q ), dică ϕ = c k pe M k,1 k p(respectiv ψ = d l pe N l,1 l q) şiϕ(x) = p q ( )x / M k (respectiv ψ(x) =, ( )x / N l ), tunci sum ϕ + ψ v fi k=1 constntă pe fiecre din mulţimile măsurbile M k N l, cu vlore c k + d l, 1 k p, 1 l q şi nulă în fr reuniunii cestor; similr, λϕ este constntă cu vlore λc k pe fiecre M k,1 k p. Aşdr, ϕ + ψ S ş i λϕ S. În situţi că ϕ S c mi sus şi ϕ = c k pe M k,1 k pşiϕ =pe complementr reuniunii mulţimilor M k, fcem convenţi de not M p+1 = R n \ (M 1 M 2...M p )şic p+1 =şiscriempescurt,ϕ = {M k,c k } 1 k p+1. Reţinem că mulţime M p+1 este nemărginită şi c p+1 =. În cest cz, norm sup funcţiei ϕ este evident ϕ =sup R n ϕ(x) = mx( c 1, c 2,..., c p ). l=1 Definiţi 1.2. Dcă ϕ S, ϕ = {M k,c k } 1 k p+1,senumeşteintegrl lui ϕ numărul rel p I(ϕ) c k µ(m k ). (1) k=1 În cest mod, este definită o plicţie I : S R, numitălure integrlei pentru funcţii în scră. Este evident că I(ϕ) depinde numi de funcţi ϕ (şi nu de legere mulţimilor măsurbile pe cre ϕ este constntă). Este de semene clr că I(ϕ) = p+1 c k µ(m k ), făcând convenţi d-hoc că c p+1 µ(m p+1 ) = (dică = ). k=1

197 4.1. INTEGRABILITATE LEBESGUE 193 Exemple. 1) Fie n =1şi ϕ(x) = 1 2 dcă x [, 2] 2 5 dcă x (2, 5] în rest. În cest cz, M 1 =[, 2], M 2 =(2, 5], deci µ(m 1 ) = 2, µ(m 2 )=3şideci I(ϕ) = = ) Fie n = 3 şi funcţi în scră 3 dcă x 2 + y 2 + z 2 1 ϕ(x, y, z) = 3 dcă 1 x 2 + y 2 + z 2 4 în rest. În cest cz, M 1 =sfer{x 2 + y 2 + z 2 1}, M 2 = coron sferică {1 < x 2 +y 2 +z 2 4}, µ(m 1 ) = volumul sferei de rză 1, egl cu 4π 3, µ(m 2)= 28π 3, deci I(ϕ) = 3 4π π 3 = 12π. 3) Fie M R n o mulţime măsurbilă. Atunci funcţi crcteristică χ M lui M, { 1 dcă x M χ M (x) = dcă x/ M este evident o funcţie în scră şi în plus, I(χ M )=1 µ(m) =µ(m). (2) Proprietăţile imedite le integrlei sunt cuprinse în Teorem 1.2. () Aplicţi I : S R este R-liniră, dică I(ϕ + ψ) = I(ϕ)+I(ψ), I(λϕ) =λi(ϕ), ( )ϕ, ψ S, λ R; (b) Dcă ϕ S ş i ϕ, tunci I(ϕ) ; (c) Pentru orice ϕ S există C> rel stfel încât I(ϕ) C ϕ. Demonstrţie. () ϕ = {M k,c k } 1 k p+1, c p+1 =şiψ = {N i,d l } 1 l q+1, d q+1 =. Atunci ϕ + ψ = {M l N l,c k + d l } ş i λϕ = {M k,λc k }. Conform definiţiei 1.2, vem p+1 p+1 I(ϕ) = c k µ(m k )= şi similr deci k=1 q+1 q+1 I(ψ) = d l µ(n l )= Similr, l=1 q+1 c k k=1 l=1 p+1 d l l=1 k=1 q+1 p+1 µ(m k N l )= c k µ(m k N l ) l=1 k=1 q+1 p+1 µ(n l M k )= d l µ(m k N l ), l=1 k=1 q+1 p+1 I(ϕ)+I(ψ) = (c k + d l )µ(m k N l )=I(ϕ + ψ). I(λϕ) = l=1 k=1 p λc k µ(m k )=λ k=1 p c k µ(m k )=λi(ϕ). k=1

198 194 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ b) Aşdr, dcă ϕ = {M k,c k }, tunci c k, 1 k p, decii(ϕ). p c) Cu notţiile nteriore, vem I(ϕ) = c k µ(m k )şicum c k ϕ, 1 k p, rezultă I(ϕ) ϕ k=1 p µ(m k ); este suficient să notăm C = k=1 p µ(m k ). Corolr. Funcţionl I : S R este monotonă (ϕ ψ I(ϕ) I(ψ)) ş i continuă. Demonstrţie. Dcă ϕ, ψ S ş i ϕ ψ, tunci ψ ϕ, deci conform teoremei 1.2, (b), I(ψ ϕ), I(ψ) I(ϕ), dică I(ϕ) I(ψ). Apoi se plică teorem III Integrre funcţiilor mărginite cu suport compct Fie f : R n R o funcţie mărginită, cu suport compct (conform definiţiei III 2.2); fptul căf re suport compct este echivlent cu cee că f se nuleză în fr unui prlelipiped închis P R n, ir fptul că f este mărginită revine l existenţ unei constnte A > stfel încât f(x) A, dică A f(x) A, ( )x P. Atunci se pot construi două funcţii ϕ, ψ S stfel încât ϕ f ψ; deexemplu,estesuficientsădefinim { { A dcă x P A dcă x P ϕ(x) = dcă x/ P, ψ(x) = dcă x/ P. Aşdr, funcţi f pote fi încdrtă între două funcţii în scră. Notăm cu M c mulţime funcţiilor R n R, mărginite cu suport compct. Evident, M c este un SVN (reltiv l norm-sup) şi S M c. Definiţi 1.3. Dcă f M c, tunci numerele rele f sup ϕ S,ϕ f I(ϕ); k=1 f inf I(ψ) (3) ψ S,ϕ f se numesc integrlele inferioră şi respectiv superioră le lui f (pe R n ). Este evident că mulţime de numere rele {I(ϕ) ϕ S, ϕ f} este mjortă de numărul A. V (P ), deci re mrgine superioră, ir mulţime {I(ψ) ψ S, ψ f} este minortă de numărul A V (P ) şi deci re mrgine inferioră, stfel că sunt bine definite numerele rele f, f. Teorem 1.3. Dcă f M c, tunci f f, (4) cu eglitte în czul când f S. Demonstrţie. Pentru orice ϕ, ψ S stfel încât ϕ f ψ vem ϕ ψ deci I(ϕ) I(ψ). În prticulr, sup I(ϕ) I(ψ), dică f I(ψ). ϕ S, ϕ f Acestă relţie re loc pentru orice ψ S, ψ f, deci cf.(3) f inf I(ψ) = f. ψ S, ψ f Dcă ϕ S, tunci din (3) este evident că ϕ = I(ϕ) şi ϕ = I(ϕ), deci ϕ = ϕ = I(ϕ).

199 4.1. INTEGRABILITATE LEBESGUE 195 Definiţi 1.4. O funcţie f : R n R din M c se numeşte integrbilă dcă f = f. (5) Vlore comună se numeşte integrl lui f pe R n ş i s e n o t e z ă f (su echivlent f(x)d(x),... f(x 1,...,x n )dx 1...dx n ). R n R }{{ n } nori Exemple. 1) Din definiţi 1.3 rezultă direct că orice funcţie în scră ϕ S este integrbilă şi în plus, ϕ = I(ϕ). 2) Considerând în relţiile (3) numi funcţii în scră de un tip specil, n nume constnte pe prlelipipedele semiînchise [ i,b i ) le unei reţele spţile i=1 şi nulă în rest, obţinem integrlele Riemnn inferioră şi superioră (R) f, (R) f; evident u loc ineglităţile (R) f f f (R) f. Dcă extremităţile coincid, tunci rezultă evident că f este integrbilă; cestă firmţie se mi enunţă stfel: orice funcţie f din M c integrbilă Riemnn (dică (R) f =(R) f) este integrbilă (în sensul definiţiei 1.4). Teorem 1.4. Fie f,g M c funcţii integrbile şi λ R un număr rel constnt. () Atunci funcţiile f + g, λf sunt integrbile şi (f + g) = f + g, (λf) =λ f (Liniritte); (b) Dcă f g, tunci f g (Monotonie). Nu mi dăm detlii de demonstrţie. Indicăm cum o clsă lrgă de funcţii integrbile. conceptul de funcţie măsurbilă. În prelbil definim Definiţie 1.5. O funcţie f : R n R se numeşte măsurbilă dcă pentru orice număr rel, submulţime {x R n f(x) >} lui R este măsurbilă. O mărime fizică f(x 1,...,x n ), depinzând de n prmetri de stre exprimţi prin numere rele, se consideră măsurbilă dcă pentru orice nivel, mulţime celor (x 1,...,x n ) pentru cre vlore celei mărimi se flă desupr nivelului, dică f(x 1,...,x n ) >, este măsurbilă în sensul III. 3.3; se pote consider că mulţimile, c şi tote mărimile cre intervin în descrierile fizice su tehnice sunt mulţimi, respectiv funcţii măsurbile. De ltfel nu se cunosc exemple de mulţimi şi nici de funcţii nemăsurbile, obţinute prin procedee de nliză constructivistă. Indicre de exemple de funcţii nemăsurbile este dificilă. Are loc: Teorem 1.5. Fie f : R n R o funcţie din M c, măsurbilă şi pozitivă (f ). Atunci f este integrbilă.

200 196 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ Funcţii integrbile pe mulţimi mărginite măsurbile Fixăm o mulţime M R n, presupusă mărginită şi măsurbilă. Dcă f : M R este o funcţie mărginită pe M, tunci notăm cu f M : R n R funcţi definită prin { f(x) dcă x M f M (x) = dcă x/ M. Aşdr, dcă f r fi definită pe R n, tunci r ve loc eglitte f M = f χ M, (6) unde χ M este funcţi crcteristică mulţimii M. Prelungind (în mod rbitrr) f l R n, re deci loc relţi (6). Însăşi funcţi f M este o prelungire lui f l întreg R n, deorece f M (x) =f(x), ( )x M. Este evident că f M este o funcţie mărginită cu suport compct, dică f M M c (căci f este mărginită, ir mulţime M este mărginită, deci f M se nuleză în fr unei mulţimi mărginite, deci re suport compct). Definiţi 1.6. O funcţie mărginită f : M R se numeşte integrbilă pe mulţime mărginită măsurbilă M dcă f M este integrbilă (în sensul definiţiei 1.4). În plus, numărul rel f f M = f χ M M R n (nott echivlent f(x 1,...,x n )dx 1...dx n )senumeşteintegrl lui f pe M M).În czul când n =1, M =[, b] se obţine definiţi integrbilităţii Lebesgue unei funcţii mărginite f :[, b] R şi integrlei Lebesgue î n b f(x)dx. Proprietăţile de bză le integrlei pe mulţimi măsurbile sunt concentrte Teorem 1.6. Fie f,g : M R funcţii integrbile (pe mulţime mărginită măsurbilă M). În ceste condiţii, sunt devărte firmţiile: () f + g, λf (λ R constnt) sunt integrbile M ş i (f + g) = f + g, (λf) =λ f (Liniritte); M M M M M (b) dcă f g, tunci f g (Monotonie); M M (c) 1=µ(M) su echivlent, µ(m) = dx 1...dx n (Expresi integrlă M măsurii); (d) f f µ(m) (Limitre modulului integrlei); M (e) dcă M este neglijbilă, tunci f = (Anulre pe mulţimi neglijbile); M (f) dcă N R n este o ltă mulţime mărginită măsurbilă, tunci f = f + f f; M M N M N M N în prticulr, dcă M N este neglijbilă, tunci f = f + f (Aditivitte); M N M N

201 4.1. INTEGRABILITATE LEBESGUE 197 (g) dcă f = g.p., tunci g este, de semene, integrbilă şi f = g. M Demonstrţie. () Aşdr, conform ipotezei, f M ş i g M sunt integrbile (în sensul definiţiei 1.4) şi plicând teorem 1.4 (), rezultă că f M +g M re ceeşi propriette şi în plus, (f M + g M )= f M + g M. Ţinând cont că f M + g M = f χ M + g χ M =(f + g) χ M =(f + g) M ş i utilizând (12), rezultă (f + g) = f + g. M M Similr, M (λf) = (λf) M = M (λ f M )=λ f M = λ f. M (b) Dcă f g, tunci fχ M fχ M şi plicând teorem 1.4 (b), se obţine fχ M gχ M, dică f g. (c) Avem M M M 1= χ M = I(χ M ) cf.(2) = µ(m). R n (d) Avem f f f, deci plicând (b) rezultă f f f M şi deorece f este o constntă, rezultă f 1 M plicând (c), rezultă f µ(m) f f µ(m), dică M M M M f f µ(m). M f f 1; M (e) Rezultă direct din (d), deorece µ(m) =. (f) Mi întâi observăm că χ M N = χ M + χ N χ M N,decifχ M N = fχ M + fχ N fχ M N. Deorece M N, M N sunt mulţimi mărginite măsurbile (conform teoremei III. 3.4), folosind liniritte integrlei v rezult fχ M N = fχ M + fχ N fχ M N, şi conform definiţiei 1.6, se obţine formul din enunţ. Ultim firmţie rezultă plicând (e) pentru mulţime M N. (g) Fie P = {x M f(x) g(x)}, decip este neglijbilă. Aplicând ditivitte integrlei pentru funcţi f g ş i p e n t r u M = P (M \ P ), se obţine (f g) = (f g)+ (f g) M P M\P ş i c u m f = g pe M \ P, ir (f g) = conform (e), se obţine P M (f g) =, deci M f = M g.

202 198 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ În încheiere cestui prgrf indicăm o clsă importntă de funcţii integrbile pe mulţimi mărginite măsurbile. Fie M R n o stfel de mulţime. O funcţie f : M R se numeşte măsurbilă pe M dcă pentru orice R, submulţime {x M f(x) >} este măsurbilă. Teorem 1.7. Fie M R n o mulţime mărginită măsurbilă şi f : M R o funcţie mărginită. () Dcă f este măsurbilă pe M, tunci f este integrbilă pe M; (b) Dcă M este continuă pe mulţime M, tunci f este integrbilă pe M. Demonstrţie. ) Ne situăm mi întâi în czul când f. În cest cz, vem { {x M f(x) >} dcă {x R n f M (x) >} = R n dcă <, deci funcţi f M este măsurbilă, fiind nulă în fr lui M. Conform teoremei 1.5, rezultă că f M este integrbilă pe R n, dică f este integrbilă pe M (conform definiţiei 1.4). Presupunând cum că f pote lu vlori negtive pe M, din mărginire lui f pe M, rezultă că funcţi mărginită h = f + f este pozitivă şi în plus, h este măsurbilă (c sum unei funcţii măsurbile cu o constntă), deci h este integrbilă pe M conform czului trtt nterior. Aşdr, f rezultă integrbilă pe M. b) Cum f este continuă, rezultă că ( ) R, mulţime D = {x R f(x) > } = f 1 ((, )) este deschisă, conform teoremei III 2.2. (), deci este măsurbilă (conform III 3.2 () şi ceeşi propriette o re mulţime M D = {x M f(x) >}. Aşdr, f este măsurbilă pe M şi se pote plic punctul ). Corolr 1. Orice funcţie f : K R continuă pe o mulţime compctă K R n este integrbilă pe K. Acest fpt rezultă direct din punctul b) l teoremei neriore, folosind III Corolr 2. Orice funcţie f :[, b] R continuă pe porţiuni este integrbilă; de semene, orice funcţie monotonă f :[, b] R este integrbilă. Demonstrţie. În mbele czuri, funcţi este mărginită şi măsurbilă ir mulţime [, b] R este măsurbilă şi se pote plic teorem 1.7. De semene, se pute observ că în mbele czuri funcţi f coincide.p. cu o funcţie continuă. (Remintim că f este continuă pe porţiuni dcă este continuă pe subintervlele deschise le unei diviziuni şi re cel mult discontinuităţi de speţ I) Integrle improprii şi teoreme de convergenţă Am definit până cum un concept de integrlă pentru funcţii mărginite pe mulţimi mărginite. Renunţând l câte un din ceste condiţii de mărginire (su l mândouă) se obţin integrle improprii su generlizte. Îninte de preciz ceste extinderi, este util să dăm câtev proprietăţi le funcţiilor măsurbile. Fixăm p 1. O funcţie f : R p R (luând eventul vlorile, + ) este,prindefiniţie,măsurbilă dcă pentru orice număr rel R, mulţime A = {x R p f(x) >} este măsurbilă. 1. Dcă f : R p R este măsurbilă şi R, tunci mulţimile A 1 = {x R p f(x) }, A 2 = {x R p f(x) }, A 3 = {x R p f(x) <} sunt măsurbile. Într-devăr, A 1 = A, A 2 = k N\{} { f(x) > 1 }, A 3 = A 2 şi folosim k fptul că prin trecere l complementră, l intersecţii şi reuniuni numărbile, propriette de măsurbilitte se conservă.

203 4.1. INTEGRABILITATE LEBESGUE Dcă f,g : R p R sunt funcţii măsurbile, tunci funcţiile u = mx(f,g), v =min(f,g) sunt de semene măsurbile. Este suficient de observt că ( ) R, {x R p u(x) >} = {x R p f(x) >} {x R p g(x) >}. Apoi folosind 1,rezultăcă f, g sunt măsurbile, deci v = mx( f, g) este funcţie măsurbilă. 3. Dcă {f n } n este un şir de funcţii măsurbile R p R, tunci funcţiile ϕ 1 =supf n, ϕ 2 =inf f n, lim inf f n sup inf f n, lim sup f n inf sup f n sunt n n k n k k n k măsurbile. Pentru orice R vem {x R p ϕ 1 (x) >} = k {x R p f k (x) >} şi o reuniune numărbilă de mulţimi măsurbile este măsurbilă; poi ϕ 2 = sup( f n ) n etc. 4. Dcă {f n } n este un şir de funcţii măsurbile R p R şi dcă PC f n f, tunci funcţi limită f este măsurbilă. Este suficient de nott că f =liminff n =limsupf n. Definiţi 1.7. Fie f : R p R o funcţie mărginită, măsurbilă şi pozitivă. Funcţi f se numeşte integrbilă pe R p dcă există în R limit lim f. ρ B ρ Conform teoremei 1.7 ), funcţi f restrânsă l bil închisă B ρ R p,centrtă în origine şi de rză ρ>, este integrbilă, oricre r fi ρ> şi integrl B ρ f creşte odtă cu ρ. Limit nterioră se noteză cu R p f(x 1,...,x n )dx 1...dx n su f su mi simplu f R p ş i s e n u m e ş t e integrl improprie lui f pe spţiul R p. Este evident că dcă f,g : R p R, f g, g fiind mărginită şi dcă g este integrbilă pe R p, tunci f este de semene integrbilă pe R p ş i f g. (7) R p R p Dcă limit nterioră este, tunci se mi scrie că R R p f = (dr în cest cz funcţi f nu se consideră integrbilă pe R p ). În czul p = 1, se obţine ρ f = f(x)dx = lim f(x)dx (în sensul vlorii principle Cuchy). ρ ρ De exemplu, R 1 ρ x 2 dx = lim +1 ρ ρ 1 x 2 dx = lim (rctg ρ rctg ( ρ)) = π. +1 ρ

204 2 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ Definiţi 1.8. Fie f : R p R o funcţie măsurbilă, pozitivă, nu nepărt mărginită. Pentru orice λ> se consideră funcţi mărginită, pozitivă şi în plus măsurbilă (conform proprietăţii 2 ) dică f λ : R p R, definită prin f λ =min(f,λ), f λ (x) = { f(x) dcă f(x) λ λ dcă f(x) >λ. Se spune că f este integrbilă pe spţiul R p dcă există în R limit f λ, nottă su simplu f (8) lim λ R p f (evident, f λ creşte odtă cu λ). Se regăseşte şi în cest cz (7); mi precis, dcă f g sunt funcţii măsurbile, tunci f λ g λ,( )λ > şi dcă g este integrbilă pe R p, tunci ceeşi propriette o re f şi re loc relţi (7). Fcem de semene observţi că dcă limit (8) este se mi scrie R p f = (fără consider de ici că f este integrbilă pe R p ). Dcă f este integrbilă pe R p se mi spune uneori că integrl improprie este convergentă. R p f Exemplu. Luăm p =1şi 1 dcă f(x) = 1 x 2 în rest. 1 <x<1 Aşdr, f este măsurbilă, pozitivă şi R f = 1 λ λ2 1 f(x)dx = lim λ 1 λ λ x 2 dx = ( ) λ2 1 = lim 2 rcsin = 2 rcsin 1 = π. λ λ Fig. IV.4 În definiţi 1.8, dcă f este mărginită, vem comptibilitte cu definiţi 1.7, deorece tunci f λ = f pentru orice λ>m (unde M = f ), deci limit (8) coincide cu f. Dcă în plus funcţi f re suport compct, tunci integrl R p f este ceeşi pentru orice ρ> suficient de mre şi l limită, se regăseşte B ρ definiţi 1.6. Până cum m considert numi funcţii pozitive. Extindem cum conceptul de integrbilitte pentru funcţii nu nepărt cu semn constnt. Definiţi 1.9. O funcţie măsurbilă f : R p R se numeşte integrbilă dcă funcţiile pozitive f + = mx(f,), f = mx( f,) sunt integrbile (în sensul definiţiilor 1.7 su 1.8). Este evident că ( )x R p,vemf(x) =f + (x) f (x) şi f(x) = f + (x)+ f (x), deci f = f + f, f = f + + f.

205 4.1. INTEGRABILITATE LEBESGUE 21 Dcă f este integrbilă, tunci se defineşte f f + f. (9) Dcă f este mărginită cu suport compct (f M c ) tunci f +, f u ceeşi propriette şi plicând teorem 1.4 (), se obţine o comptibilitte cu definiţi 1.4. Un rezultt importnt în teori integrlei Lebesgue îl constituie Teorem 1.8 (teorem lui BEPPO LEVI, , convergenţei monotone). Fie f f 1... un şir scendent de funcţii măsurbile pozitive R p R, punctul convergent pe R p. Atunci lim n f n = (lim n f n) (integrlele fiind lute pe R p ). (1) Demonstrţi este tehnică şi o omitem. Corolr 1. Fie f : R p R p o funcţie pozitivă integrbilă (în sensul definiţiei 1.8) şi {f n } n şirul de funcţii măsurbile pozitive definite prin n dcă f(x) n ş i x n f n (x) = dcă x >n f(x) în rest. Atunci f = lim n PC Demonstrţie. Este suficient să observăm că f f 1...,căf n f pe R p şi să plicăm teorem 1.8. Dăm şi propriette de liniritte integrlei pentru integrle improprii, pentru funcţii integrbile în sensul definiţiei 1.9. Corolr 2. Dcă f,g : R p R sunt funcţii integrbile, tunci funcţiile f + g, λf (λ R constnt) sunt integrbile şi în plus, (f + g) = f + g, (λf) =λ f. Corolr 3. O funcţie f : R p R este integrbilă dcă şi numi dcă f este integrbilă. Demonstrţie. Dcă f este integrbilă, tunci f + ş i f sunt integrbile, deci f = f + + f este integrbilă conform corolrului 2. Reciproc, dcă f este integrbilă, tunci cum f + f ş i f f, rezultăcăf + ş i f sunt integrbile conform (14), deci f este integrbilă conform definiţiei 1.9. Corolr 4 (criteriu de comprţie). Dcă f,g : R p R sunt funcţii măsurbile şi u propriette că f g, ir g este inetegrbilă, tunci f este integrbilă. f n. Demonstrţie. Se plică corolrul 3 şi relţi (7). Exemplu. Luăm p = 1, f(x) =e x2 ş i e x dcă x (, ) g(x) = e x dcă x (1, ) 1 dcă x [, 1]. Fig. IV.5 Fig. IV.5b Fig. IV.5c Evident, f(x) g(x), ( )x R ş i î n p l u s, g = e x dx + 1 dx + 1 e x dx =2+ 1 e,

206 22 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ deci funcţi f este integrbilă pe R. Aşdr, integrl este convergentă. e x2 dx Corolr 5. Fie f f 1 f 2... un şir descendent de funcţii măsurbile pozitive R p R, punctul convergent pe R p. Dcă în plus f este integrbilă, tunci re loc relţi (1). Demonstrţie. Notăm h n = f f n,( )n. Aşdr, notând f = lim f n, n vem lim h n = f f. Dr h h 1 h 2... şi plicând relţi (1) n din teorem 1.8, se obţine lim n h n = ( ) lim h n, n dică f lim f n = (f lim f n)= f lim f n. n n n Deorece f este integrbilă, rezultă că f este un număr rel şi scăzândul din cei doi membri, se obţine relţi (1). Observţie. Teorem 1.8 şi corolrul 5 se pot enunţ spunând că pentru şiruri monotone de funcţii măsurbile pozitive, lure integrlei comută cu limitele punctule. Condiţi de pozitivitte pote fi înlocuită prin ce de mărginire l stâng printr-o funcţie integrbilă. Condiţii mi generle în cre re loc relţi (1) sunt cuprinse în teorem cre urmeză. Teorem 1.9 (teorem lui Lebesgue convergenţei dominte). Fie {f n } n un şir punctul convergent de funcţii măsurbile R p R, egl mărginite de o funcţie integrbilă. Atunci ( ) lim f n = lim f n. n n Exemplu. Condiţi c funcţiile din teorem 1.9 să fie egl mărginite de o funcţie integrbilă este esenţilă. De exemplu, presupunem p = 1şifie f n = 1 n χ [ n,n], n 1, dică f n (x) = 1 n dcă x [ n, n] în rest,,n 1. Ş i r u l {f n } n este PC pe R, către funcţi f =, deci de ltă prte, n n f n = f n (x)dx = n n 1 dx =2, ( )n 1 n ( ) lim f n =. Pe n şi c tre, eglitte (1) nu re loc şi teorem 1.9 nu se plică. Se observă că funcţiile {f n } nu sunt egl mărginite de nici o funcţie integrbilă pe R. Fig. IV.6 Demonstrţiile teoremelor ntriore se pot găsi în [5] su [12]. Definiţi 1.1. Fie M R p o mulţime măsurbilă. O funcţie f : M R se numeşte măsurbilă pe M dcă ( ) R, mulţime{x M f(x) >} este măsurbilă. În cest cz, se pote defini funcţi f M : R p R prin { f(x) dcă x M f M (x) = dcă x/ M, deci f M = f χ M.

207 4.1. INTEGRABILITATE LEBESGUE 23 Funcţi f se numeşte integrbilă pe M dcă f M este integrbilă (definiţi 1.9); în cest cz, se noteză f f M. M Dcă f ş i g sunt integrbile pe M ş i λ R, tunci f +g, λf sunt integrbile pe M; se extind şi lte proprietăţi le integrlei pe mulţimi măsurbile (teorem 1.6). De semene, teoremele 1.8 şi 1.9 c şi corolriile lor se extind fără dificultte. În cele ce urmeză, ne limităm l czul p = 1 şi dăm câtev criterii de convergenţă integrlelor improprii. Lemă. Fie α un număr rel fixt. ) Integrl 1 1 x α dx este convergentă dcă şi numi dcă α>1. b) Integrl b dx (b x) α,<b este convergentă dcă şi numi dcă <α<1. Demonstrţie. ) Luăm M =[1, ); plicând definiţi, vem f(x) = 1 x α,f M(x) = 1 x α dcă x M dcă x/ M deci 1 ρ 1 dx = lim M xα ρ 1 x α dx = 1 1 α lim ρ (ρ1 α 1) şi cestă limită există în R dcă şi numi dcă α>1. b) Se procedeză similr. Teorem 1.1. Fie f :[, ) R o funcţie pozitivă integrbilă şi există î n R limit l = lim x xα f(x), cu α R convenbil. Dcă α>1 tunci integrl improprie f este convergentă, ir dcă α 1 ş i l, tunci ceeşi integrlă improprie nu este convergentă. În prticulr, dcă fc, tunci lim f(x) =. x Demonstrţie. Putem presupune >delînceputşifieα>1. Alegem δ>stfel încât x α f(x) <l+ 1, ( )x >δ,decif(x) < l +1 pe intervlul [δ, ) şi plicăm lem ) şi criteriul de comprţie (corolrul 4 l teoremei 1.8); rezultă că integrlele δ f, deci x α f sunt convergente. Fie cum α 1şi l, deci l>. Atunci se pote lege ε> stfel încât l ε> şi tunci există δ stfel încât x α f(x) >l ε pentru orice x>δ. Aşdr, f(x) > l ε ş i dcă f r fi convergentă, r rezult că ce contrvine lemei, ). x α l ε x α dx este convergentă, cee Teorem Fie f :[, b) R o funcţie integrbilă şi pozitivă. ) Dcă g este o ltă funcţie pozitivă şi integrbilă pe [, b) ş i î n p l u s l i m i t l = lim x b, x<b f(x) g(x)

208 24 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ există, finită şi nenulă, tunci integrlele b f, b g sunt simultn convergente. b) Alegem α stfel încât lim x b, x<b (b x)α f(x) să existe în R şi să fie nenulă. Dcă α<1, tunci b integrlă nu este convergentă. f este convergentă, ir dcă α 1, tunci ceeşi Demonstrţie. ) Aşdr l> şi c tre, există B<bstfel încât ( )x [B,b), să vem l 2 < f(x) g(x) < 3l 2. Atunci u loc ineglităţile f< 3l 2 g, g<2 f şi se plică corolrul 4 l nterior. 1 b) Rezultă din punctul ) luând g(x) = şi plicând lem, b). (b x) α Observţie. Un rezultt similr se probeză în czul intervlelor (, b], (, b) unde ş i b prţin lui R. Exemple. 1) Dcă P şi Q sunt polinome cu coeficienţi reli stfel încât Q nu se nuleză pe intervlul [, ), tunci integrl P (x) Q(x) dx este convergentă dcă şi numi dcă gr Q gr P 2. 2) Integrl 1 dx sin x este convergentă, deorece 1 dx x este convergentă (cu vlore 2) şi se plică nlogul teoremei 1.11 ) pentru intervlul (, 1]. În cpitolul V vom d exemple de integrle multiple improprii. Ne oprim ici cu expunere rezulttelor principle le integrbilităţii Lebesgue, pentru redctre cărei m utilizt lucrările [5], [6], [9], [12] Exerciţii 1. Să se rte că funcţi 1 dcă x 1, y 1 ϕ(x, y) = 3 dcă x 1, 1 <y 3 dcă este o funcţie în scră pe R 2 şi să se clculeze I(ϕ). 2. Fie funcţi relă f definită prin { 1 x 2 dcă x 1 f(x) = în rest. Să se indice funcţii în scră ϕ, ψ : R R stfel încât ϕ f ψ ş i I(ψ) I(ϕ) < FieA R p o mulţime mărginită. E se numeşte măsurbilă Jordn dcă funcţi crcteristică χ A este integrbilă Riemnn. Să se rte că dcă Fr A este neglijbilă, tunci A este măsurbilă Jordn şi reciproc, ir dcă mulţimile mărginite A 1,A 2 sunt măsurbile Jordn, tunci A 1 A 2, A 1 A 2 u ceeşi propriette. 4. FieM R p o mulţime mărginită şi măsurbilă stfel încât Fr M să fie neglijbilă. Dcă f : M R este integrbilă pe M, tunci f = f = f. M M M

209 4.1. INTEGRABILITATE LEBESGUE Să se de de o funcţie f :[, 1] R integrbilă, cre nu este continuă pe porţiuni şi nici monotonă. Indicţie. Se pote lu f(x) =sin 1 dcă <x 1, f() =. x 6. ) Dcă f : R p R este integrbilă (conform definiţiei 1.9) şi dcă f = g.p. să se rte că g este integrbilă şi că g = f. b) Dcă f : R p R este o funcţie pozitivă, integrbilă şi dcă f =, R să se rte că f =.p. p 7. Dcă f,g : R p R sunt funcţii integrbile (în sensul definiţiei 1.9), să se rte că mx(f,g), min(f,g) sunt de semene integrbile. Indicţie. mx(f,g) = 1 2 (f + g + f + g ), min(f,g) =1 (f + g f g ) etc Să se extindă teoremele 1.8 şi 1.9 l serii punctul convergente de funcţii măsurbile. 9. Se consideră şirul de funcţii f n : R p R, n 1definiteprinf n (x) = n x 2 + n 2,( )x R. Să se rte că funcţiile f PC n sunt mărginite, f n şi totuşi lim n f n (x)dx. Este contrzisă teorem 1.9? 1. Să se decidă convergenţ integrlelor improprii 2 x ln x (1 + x 2 ) 3 dx, dx 1, x(1 + x) dx x,99, 1 1 xe x dx, xe 2x dx, dx x 1, Integrlele nu sunt convergente şi totuşi 1 1 dt 1 t, dt t 1 dt t =ln t 1 1 =. Unde este greşel? 12. Să se rte că dcă x [, 1], tunci 1 cos x x 3 rctg x şi dcă 2 x [1, ), tunci 1 cos x 2 3 rctg x şi să se deducă ineglitte x sin t dt x Totuşi, considerând integrlele improprii 3 1+t 2 dt, 3 dt, ( )x. 1+t2 prim este convergentă şi ce de- dou nu. teoremei 1.8? sin t dt, Se contrvine corolrului 4 l 13. Fief :[, ) C o funcţie cu vlori complexe stfel încât u =Ref, v =Imf să fie integrbile; tunci se defineşte rte că dcă integrl re ceeşi propriette. Clculţi f f este convergentă, tunci u + i v. Săse f(t)e iλ t, λ R 1 (1 + ix) 2 dx ş i 1 1+ix 2 ddx.

210 26 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ 14. Fief(x) =2x cos x 3 1 sin x3 x 2,( )x 1. Să se rte că integrl f este convergentă, dr lim f(x) x (deci l integrle improprii nu se extinde criteriul necesr de convergenţă de l serii!). 15. Fiefuncţif :[1, ) R definită prin n dcă x [n, n + 1n ] f(x) = 2 în rest. Să se rte că deşi f este nemărginită, totuşi integrl f(x)dx este convergentă. 4.2 Integrl Stieltjes Funcţii cu vriţie mărginită 1 Fixăm un intervl [, b] pe drept relă şi o funcţie mărginită f :[, b] R p cu vlori vectorile. Pentru orice diviziune : = x <...<x n 1 <x n = b intervlului [, b] considerăm numărul rel V (f) = n f(x k ) f(x k 1 ). k=1 Fig. IV.7 Interpretre geometrică. Dcă p = 2 şi f : [, b] R 2 este un drum prmetrizt cu urm (f), tunci V (f) reprezintă lungime liniei poligonle de vârfuri f(),f(x 1 ),...,f(x n 1 ),f(b), situte pe (f) (fig. IV. 7). Definiţi 2.1. Funcţi f :[, b] R p se numeşte cu vriţie mărginită pe intervlul [, b] dcă există un număr rel M>stfel încât V (f) M, pentru orice diviziune lui[, b]. În cest cz, numărul rel V b f =supv (f) se numeşte vriţi lui f pe intervlul [, b]. Dcă f 1,...,f p sunt componentele funcţiei f, tunci se verifică uşor că p V (f i ) V (f) V (f i ), 1 i p, decif este cu vriţie mărginită dcă i=1 şi numi dcă f 1,...,f p sunt funcţii [, b] R cu vriţie mărginită. Exemple. 1) Orice funcţie monotonă f : [, b] R este cu vriţie mărginită. Presupunem de exemplu că f este crescătore. Atunci pentru orice diviziune c mi sus vem n n V (f) = f(x k ) f(x k 1 ) = [f(x k ) f(x k 1 )] = f(b) f() k=1 k=1 şi c tre, V b f = f(b) f(). Se pote demonstr că orice funcţie cu vriţie mărginită f :[, b] R se pote reprezent c diferenţă două funcţii monoton cescătore (teorem lui Jordn); [12]. 2) Orice funcţie lipschitzină f :[, b] R p (conform definiţiei III 2.4) este cu vriţie mărginită. Într-devăr, prin ipoteză există C>stfel încât f(x) f(y) C x y, pentru orice x, y [, b]. De ici se deduce imedit că V (f) C(b ) pentru orice divizune lui [, b].

211 4.2. INTEGRALA STIELTJES 27 În prticulr, orice funcţie f : [, b] R p de clsă C 1 este cu vriţie mărginită pe [, b]. În cest cz, vriţi lui f pe [, b] se mi numeşte lungime urmei drumului (f), cee ce corespunde intuiţiei nostre. Se verifică imedit că dcă f,g :[, b] R p sunt funcţii cu vriţie mărginită ş i λ R este o constntă, tunci f +g, λf u ceeşi propriette. De semene se pote verific relţi de ditivitte vriţiei: V b f = V c f + Vc b f pentru orice funcţie f :[, b] R p cu vriţie mărginită şi pentru orice c b Aplicţii le integrlelor simple Stbilim cum o teoremă utilă în plicţiile integrlei simple, cre în prticulr v leg conceptul de vriţie unei funcţii de cel de lungime unui drum. Acestă teoremă justifică preceptul după cre orice mărime geometrică su fizică, ditivă c funcţie de domeniu, se exprimă printr-o integrlă. Sensul exct l cestei firmţii este dt în cdrul teoriei măsurii. Teorem 2.1. Fie g :[, b] R o funcţie continuă stfel încât pentru orice subintervl J =[α, β] [, b] să se potă soci un număr rel ϕ(j) stfel încât m J ϕ(j) β α M J, (11) unde m J =inf J g, M J =supg şi pentru orice γ, α γ β, să vem J ϕ(j) =ϕ(j 1 )+ϕ(j 2 ), unde J 1 =[α, γ], J 2 =[γ,β]. (12) Atunci pentru orice J =[α, β] [, b] re loc formul ϕ(j) = β Demonstrţie. Ştim dej că sociere J α g. (13) β α g re proprietăţile (11), (12) şi trebuie rătt că orice funcţie ϕ cu proprietăţile (11), (12) coincide cu lure integrlei. Fie J =[α, β]; pentru orice x J notăm p(x) =ϕ([α, x]) şi q(x) = Evident, pentru orice x J, x J, x x, vem (presupunând x <x) m J m J Deorece x ϕ([x,x]) x x M J M J, unde J =[x,x] J. p(x) p(x ) = ϕ([α, x]) ϕ([α, x ]) cf.(25) = ϕ([x,x]), x x x x x x α g. tunci făcând x x şi ţinând cont că g este continuă, rezultă că p este derivbilă în x ş i p (x )=g(x ). Pe de ltă prte, q este derivbilă în x ş i q (x )=g(x ), deci p = q pe [α, β], dică p q = k, constnt pe [α, β]. Dr p(α) =q(α) = şi tunci rezultă p = q, în prticulr p(β) = q(β), dică tocmi relţi (13). Corolr 1 (ri subgrficelor). Fie g :[, b] R o funcţie continuă şi pozitivă. Pentru orice subintervl J = [α, β] [, b], notăm ϕ(j) = ri subgrficului {α x β, y g(x)} (în sens intuitiv). Atunci Fig. IV.8 ϕ(j) = β α g(x)dx.

212 28 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ Demonstrţie. Conform teoremei 2.1 este suficient de observt că ϕ(j) verifică condiţiile (11), (12) dică (β α)m J ϕ(j) (β α)m J şi ditivitte riei, cee ce este evident. Corolr 2 (volume de rotţie). Fie f :[, b] R o funcţie continuă şi pozitivă. Pentru orice subintervl J =[α, β] [, b] notăm ϕ(j) =volumul de rotţie în jurul lui Ox genert de subgrficul {α x β, y f(x)}, î n sens intuitiv. Atunci β ϕ(j) =π f(x) 2 dx. α Demonstrţie. Considerăm funcţi g = πf 2 ;evident,ϕ stisfce (12) (dică ditivitte volumului) şi pe de ltă prte, notând m J =inf f, M j =supf, J J rezultă evident ineglităţile πm 2 J (β α) ϕ(j) πm2 J (β α), dică se verifică şi condiţi (11). Atunci se pote plic teorem 2.1 funcţiei g şi corolrul rezultă (trebuie remrct că m considert c definit în prelbil volumul cilindrelor circulri drepţi). Similr: Corolr 3 (lungime drumurilor). Fie f :[, b] R 2 un drum prmetrizt de clsă C 1. Pentru orice subintervl J = [α, β] [, b] notăm ϕ(j) = lungime urmei drumului f J, dică ϕ(j) =V β α f. Atunci ϕ(j) = β α f = β α x (t) 2 + y (t) 2 dt, (14) unde x, y sunt componentele lui f, dică f(t) =(x(t),y(t)), ( )t [, b]. Se pote demonstr un rezultt similr pentru drumuri în R 3. Anume, dcă x = x(t) γ : y = y(t), t [, b] z = z(t) este un drum prmetrizt de clsă C[,b] 1, tunci lungime urmei cestui drum (numită şi lungime rcului de curbă corespunzător) este s γ = b x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2 dt. (15) Se verifică imedit că două drumuri prmetrizte echivlente u ceeşi lungime, rezultt firesc. Dcă f :[, b] R este o funcţie de clsă C[,b] 1, tunci grficul lui f coincide cu urm drumului cu ecuţiile prmetrice γ : { x = t y = f(t), t [, b]; vem x (t) = 1, y (t) =f (t) şi formul (14) devine în cest cz s γ = b 1+f (t) 2 dt = b 1+y 2 dx. Exemple. 1) Circumferinţ cu centrul în origine, de rză R>, prcursă o singură dtă, re reprezentre prmetrică { x = R cos t, t [, 2π], y = R sin t) deci lungime ei v fi s = 2π x (t) 2 + y (t) 2 dt = 2π R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t dt =2πR.

213 4.2. INTEGRALA STIELTJES 29 În mod similr, bucl de cicloidă x = R(t sin t), y = R(1 cos t), t 2π, R> re lungime 2π 2π s = x (t) 2 + y (t) 2 dt = R (1 cos t) 2 +sin 2 t dt = =2R 2π sin t 2 dt = 4R cos t 2 2π =8R. 2) Dcă ρ = ρ(θ), θ θ θ 1 este ecuţi unei curbe plne în coordonte polre, tunci cestă curbă pote fi prmetriztă punând x = ρ(θ) cos θ, y = ρ(θ)sinθ; se obţine x (θ) =ρ cos θ ρ sin θ, y (θ) =ρ sin θ + ρ cos θ ş i x (θ) 2 + y (θ 2 )=ρ 2 + ρ 2 deci lungime rcului corespunzător v fi s = θ1 θ ρ2 + ρ 2 dθ. De exemplu, spirl logritmică ρ = e θ, k θ re lungime s = k e 2θ + e 2θ dθ = 2(1 e k ). Pentru k, cestă lungime este finită, un rezultt ciudt l prim vedere Integrl Stieltjes în rport cu o funcţie crescătore Fixăm o funcţie monoton crescătore g :[, b] R, neconstntă şi o funcţie mărginită f :[, b] R. Fie : = x <x 1 <...<x n = b odiviziune intervlului [, b] şim i = inf f(x), M i = sup f(x), 1 i n. Se x [x i 1,x i ] x [x i 1,x i] pot tunci consider sumele Stieltjes-Drboux n n s = m i [g(x i ) g(x i 1 )], S = M i [g(x i ) g(x i 1 )]. i=1 Este evident că s S pentru orice diviziune lui [, b] şiîn plus, oricre r fi ltă diviziune intervlului [, b], vem s S. De ici rezultă sup s inf S. (16) Definiţi 2.2. Funcţi f se numeşte integrbilă Stieltjes în rport cu g pe intervlul [, b] dcă ineglitte (16) este eglitte, vlore comună celor doi membri notându-se b f dg i=1 (numită integrl Stieltjes lui f în rport cu g). Acestă noţiune extinde pe ce de integrlă Riemnn simplă, cre se regăseşte luând g(x) = x (ineglitte (16) se probeză exct c în cest cz prticulr). Ide cestei extinderi prţinut mtemticinului olndez T. STIELTJES ( ). Integrl Stieltjes pote fi prezenttă în condiţii mi generle, în sens Lebesgue. Teorem 2.2. Orice funcţie continuă f :[, b] R este integrbilă Stieltjes în rport cu g. Demonstrţie. Fieε> rbitrr fixt. Conform teoremei III , există δ>stfel încât legând o diviziune : = x <x 1 <...<x n = b cu tote lungimile intervlelor x i x i 1 mi mici decât δ, sărezultecăm i m i < ε pentru orice i, 1 i n. Atunci g(b) g() n S s = (M i m i )[g(x i ) g(x i 1 )] i=1 Fig. IV.9

214 21 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ ε g(b) g() n [g(x i ) g(x i 1 )] = ε, i=1 deci inf S sup s <ε, dică ineglitte (16) devine eglitte şi c tre, f rezultă integrbilă Stieltjes în rport cu g. Fără dificultte se extind proprietăţile de liniritte şi monotonie în condiţii lesne de descris: b (λf 1 + µf 2 )dg = λ b f 1 dg b b f 1 dg + µ b f 2 dg f 2 dg (de îndtă ce f 1 f 2 ). (λ, µ R), De semene dcă g 1,g 2 sunt funcţii crescătore şi f este integrbilă Stieltjes în rport cu g 1 ş i g 2, tunci f este integrbilă Stieltjes în rport cu g 1 + g 2 ş i î n p l u s, b fd(g 1 + g 2 )= b Dcă funcţi g r fi constntă, tunci b f dg =, fdg 1 + v prin definiţie; de semene fdg 2. Exemple. 1) Dcă f = k este o funcţie constntă, tunci b fdg = k[g(b) g()]. fdg =. 2) Considerăm funcţi crescătore g :[, 2] R definită prin { dcă x 1 g(x) = 3 dcă 1 x 2 ş i fi e f = g. Pentru orice diviziune : = x <x 1 <...<x n =2 intervlului [, 2], există p stfel încât x p 1 < 1 x p,decim p =, M p =3şi c tre, S s = 3[g(x p ) g(x p 1 )] = 9, deci sup s inf S, dică g nu este integrbilă Stieltjes în rport cu g. Observţie. Dcă G : [, b] R este o funcţie cu vriţie mărginită (definiţi 2.1), tunci există două funcţii crescătore g 1,g 2 :[, b] R stfel încât G = g 1 g 2. O funcţie mărginită f :[, b] R se numeşte integrbilă Stieltjes în rport cu G dcă f este integrbilă Stieltjes în rport cu g 1 ş i g 2 ş i î n p l u s, s e p u n e b fdg b fdg 1 b fdg 2. Independenţ de reprezentre lui G este imedită, căci dcă G = h 1 h 2 cu h 1,h 2 crescătore, şi dcă f este integrbilă Stieltjes în rport cu h 1,h 2 tunci g 1 + h 2 = h 2 + h 1 şi c tre, b fdg 1 + b b fdg 1 fdh 2 = b b fdg 2 = fdg 2 + b b fdh 1 fdh 1, b fdh 2. Remrcăm în fine, fără d demonstrţi, că dcă f :[, b] R este continuă, ir g :[, b] R este o funcţie de clsă C 1 (deci g este cu vriţie mărginită), tunci b fdg = b deci f(x)g (x)dx. (17)

215 4.3. INTEGRALE CURBILINII Exerciţii 1. Să se de un exemplu de funcţie f :[, b] R cu vriţie mărginită, cre nu este monotonă. 2. Să se rte că funcţi f :[, 1] R, definităprin x cos π dcă <x 1 f(x) = 2x 3 dcă x = este continuă, dr nu re vriţie mărginită. Indicţie. Pentru orice întreg N 1 se consideră diviziune :=x < 1 4N < 1 4N 1 <...<1 4 < 1 3 < 1 2 <x 4N =1, tunci V (f) = 4N k=1 f(x k ) f(x k 1 ) =2 2N k=1 1 2N 2k = 1 k k=1 ş i c u m N este rbitrr, rezultă că sup V (f) =. 3. Să se clculeze lungime rcului de prbolă y =1+x 2, x 1, c şi lungime urmelor drumurilor γ 1 :[, 2] R 2,t (t, t 2 ),γ 2 :[, 2π] R 2,t (cos 1t, sin 1t). 4. Să se clculeze lungime urmelor drumurilor r(t) = cos ti +sint ȷ + t k, t [, 2π] şi r(t) =t cos tī + t sin t ȷ + t k, t [, 2π] şi (spţiul R 3 fiind identifict cu V 3, reltiv l un reper ortogonl Oxyz de versori ī, ȷ, k). 5. Să se clculeze 2π xdg ş i 2π sin xdg, unde g(x) =x 2, ( )x [, 2π]. 6. Să se rte că pentru orice n 1 1 x n dx n = Integrle curbilinii Dăm cum o ltă extindere integrlei simple, în cre nu intervenim supr integrntului (c în czul integrlei Stieltjes), ci supr domeniului de integrre. Anume, intervlul [, b] v fi înlocuit cu urm unui drum prmetrizt din R 3 (teori fiind similră în czul R p, p 2). Integrlele curbilinii u fost concepute de A.C. CLAIRAUT ( ). Mi multe noţiuni din fizică (lucru mecnic, circulţi unui câmp vectoril, energi unui sistem termic etc.) sunt exprimte prin integrle curbilinii.

216 212 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ Definiţi integrlelor curbilinii Fie γ :[, b] R 3 un drum prmetrizt neted (conform definiţiei III 5.7.). Aşdr, γ(t) = (x(t),y(t),z(t)), ( )t [, b], unde funcţiile x, y, z sunt funcţii de clsă C 1 [,b] ş i x (t) 2 + y (t) 2 + z (t) 2, ( )t [, b]. Fie U R 3 un deschis stfel încât urm lui γ să fie conţinută în U. Se mi spune că γ este un drum î n U (deorece ( )t [, b], vem γ(t) U). Fie P (x, y, z), P : U R o funcţie continuă; tunci se pote consider compunere P γ :[, b] R, definităprin(p γ)(t) =P (γ(t)) = P (x(t),y(t),z(t)) şi cest este funcţie continuă. Fig. IV.1 Definiţi 3.1. Se numeşte integrl curbilinie lui P în lungul lui γ în rport cu x şi se noteză cu P (x, y, z)dx, γ numărul rel definit de următore integrlă simplă unei funcţii continue, nume b (P γ)x = b P (x(t),y(t),z(y)) x (t)dt. (18) Aşdr, conform (17), integrl curbilinie nterioră coincide cu o integrlă Stieltjes, nume b P (x, y, z)dz = P (x(t),y(t),z(t))dx(t). γ Exemplu. Clculăm integrl curbilinie I = (x 2 + y + z)dx γ în lungul elicei cilindrice x = r cos t γ : y = r sin t z = ht (r >,h> constnte), ( ) t [, 2π]. Conform (18), vem I = 2π 2π (r 2 cos 2 t + r sin t + ht) ( r sin t)dt = r 2 cos 2 t sin t dt 2π r 2 sin 2 tdt hr 2π t sin t dt = πr(2h r), după clcule imedite. Dcă Q ş i R sunt lte funcţii continue U R, tunci se definesc γ Q(x, y, z) γ R(x, y, z) b b Q(x(t),y(t),z(t)) y (t)dt R(x(t),y(t),z(t)) z (t)dt. Definiţi 3.2. Fie v : U V 3, v(x, y, z) =P (x, y, z)ī + Q(x, y, z) ȷ + R(x, y, z) k un câmp vectoril pe un deschis U R 3, deci componentele lui v, P, Q, R sunt continue pe U (se subînţelege că este fixt un reper ortogonl Oxyz de versori ī, ȷ, k). Se numeşte circulţie lui v în lungul lui γ ş i s e n o t e z ă P dx + Qdy + Rdz (su echivlent v d r), γ γ ş i

217 4.3. INTEGRALE CURBILINII 213 numărul rel b [P (γ(t))x (t)+q(γ(t)) y (t)+r(γ(t)) z (t)]dt. (19) Aşdr, rezultă că P dx + Qdy + Rdz = γ γ P dx + Qdy + Rdz. γ γ În czul când v este un câmp de forţe, circulţi lui v în lungul lui γ se numeşte lucrul mecnic l lui v în lungul drumului γ. Acest generlizeză noţiune de lucru mecnic l unei forţe cre cţioneză supr unei prticule mterile constrânse să prcurgă o triectorie fixtă Proprietăţi le integrlelor curbilinii şi le circulţiei Teorem 3.1. Integrl curbilinie unei funcţii continue este ceeşi în lungul două drumuri netede prmetrizte echivlente cu ceeşi orientre; ceeşi propriette o re circulţi unui câmp vectoril continuu. Demonstrţie. Dcă P (x, y, z), P : U R este o funcţie continuă pe un deschis U R 3 şi dcă γ :[, b] U, γ 1 :[c, d] U sunt două drumuri în U, netede echivlente (conform definiţiei III 5.8), tunci ele u prmetrizări x = x(t) γ : y = y(t) z = z(t) x = x(u), t [, b]; γ 1 : y = y(u) z = z(u), u [c, d] şi în plus, schimbre de prmetru u = u(t) este o bijecţie strict crescătore de clsă C 1, u :[, b] [c, d], stfel încât γ(t) =γ 1 (u(t)), ( )t [, b]. Avem de rătt că P (x, y, z)dx = γ P (x, y, z)dx, γ 1 dică, plicând relţi (18) de definiţie, b P (x(t),y(t),z(t)) x (t)dt = d c P (x(u),y(u),y(u)) x (u)du, cee ce rezultă direct din formul de substituţie pentru integrl simplă (substituind u = u(t)în membruldrept). În mod similr se procedeză pentru integrlele curbilinii în rport cu y şi z şi dunând rezulttele obţinute, rezultă că dcă v = P (x, y, z)ī+q(x, y, z) ȷ+ R(x, y, z) k este un câmp vectoril continuu, tunci v d r = v d r, (2) γ γ 1 deci circulţi lui v în lungul drumurilor netede echivlente γ,γ 1 este ceeşi. Remintim că două drumuri echivlente u ceeşi urmă; propriette de mi sus nu este bnlă şi rtă că de fpt integrl curbilinie (18) este independentă de prmetrizre şi deci este socită curbei prmetrizte orientte definită de γ (definiţi 5.9). Teorem 3.2. Fie γ :[, b] U un drum neted într-un deschis U R 3 ş i v un câmp vectoril continuu în U. Atunci v d r = γ v d r, γ (21) γ fiind drumul opus lui γ.

218 214 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ Fig. IV.11 Demonstrţie. Fie v = P (x, y, z)ī+q(x, y, z) ȷ+R(x, y, z) k. Vom răt mi întâi că P (x, y, z)dx = P (x, y, z)dx. (22) γ γ Remintim că γ (t) =γ( + b t), ( )t [, b]. Atunci conform (18), b P (x, y, z)dx = P (x(t),y(t),z(t)) x dt ş i γ P (x, y, z)dx = γ b Notând u = + b t, rezultă γ P (x, y, z)dx = P (x( + b t),y( + b t),z( + b t)) x ( + b t)dt. b P (x(u),y(u),z(u)) x (u)du şi formul (22) este probtă. Scriind formul similră pentru Q, R (în rport cu y, z respectiv) şi dunând relţiile obţinute, se v prob relţi (21). Teorem 3.3. Dcă γ :[, b] U este un drum neted într-un deschis U R 3 şi dcă v 1, v 2 sunt două câmpuri vectorile continue în U ir λ 1,λ 2 sunt constnte rele orecre, tunci (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) d r = λ 1 v 1 d r + λ 2 v 2 d r, γ Demonstrţi rezultă direct din definiţi circulţiei unui câmp vectoril şi din propriette de liniritte integrlei simple. Definiţi 3.3. Fie γ :[, b] U un drum neted pe porţiuni (conform definiţiei III 5.7), situt într-un deschis U R 3 ;şdr,γ este obţinut prin juxtpunere unui număr finit de drumuri netede γ 1,...,γ p situte în U (dică există puncte = t <t 1 <...<t p = b stfel încât γ :[, b] U să fie funcţie continuă şi γ 1 să fie restricţi lui γ l [t i 1,t i ] i p). Se numeşte circulţi în lungul lui γ unui câmp vectoril continuu v pe U numărul rel γ v d r γ p i=1 γ i v d r, Definind în mod nturl echivlenţ drumurilor netede pe porţiuni c şi opusul unui drum neted pe porţiuni, se extind fără dificultte teoremele nteriore. Dcă γ este juxtpunere unui număr finit de drumuri netede pe porţiuni γ 1,...,γ p, tunci circulţi unui câmp vectoril în lungul lui γ este sum circulţiilor celui câmp în lungul drumurilor γ 1,...,γ p. Exemplu. Clculăm circulţi lui v = xī + ȷ xz k, undeγ este drumul obţinut prin juxtpunere drumurilor γ 1,γ 2,γ 3 (vând urmele indicte în fig. IV. 11). Clculăm I 1 v d r, γ 1 considerând reprezentre prmetrică x = t γ 1 : y = z =1 t,t [, 1]. γ Aşdr, I 1 = xdx+dy xzdz = γ 1 1 tdt+ 1 dt+ 1 t(1 t)dt = 1 (2t t 2 )dt = 2 3.

219 4.3. INTEGRALE CURBILINII 215 Pentru γ 2 se pote consider reprezentre prmetrică x = cos u [ γ 2 : y =sinu,u, π ] 2 z = şi tunci I 2 v d r = x dx +dy xz dz = γ 2 γ 2 π 2 [cos u( sin u) + cos u]du = 1 2. ş i În sfârşit, x = γ 3 : y =1 v z = v,v [, 1] I 3 v d r = x dx +dy xz dz = γ 3 γ 2 1 Din definiţi 3.3, rezultă că v d r = I 1 + I 2 + I 3 = =1 6. γ ( dv) = 1. Observţie. Definiţiile şi rezulttele nteriore se extind l czul drumurilor prmetrizte [, b] R p, p 1 fiind fixt. Deosebit de importnt este czul p = 2. Fie U un deschis din R 2 (rportt l un reper ortogonl xoy de versori ī, ȷ) şi v = P (x, y)ī + Q(x, y) ȷ un câmp vectoril continuu în U, dică P ş i Q sunt funcţii continue pe U. Dcă γ :[, b] U este un drum neted pe porţiuni, γ(t) =(x(t),y(t)), t [, b], tunci se defineşte circulţi lui v în lungul lui γ v fiind numărul rel γ P (x, y)dx + Q(x, y)dy nott în mod echivlent b [P (x(t),y(t)) x (t)+q(x(t),y(t)) y (t)]dt γ v d r. Exemplu. Circulţi câmpului v = y x 2 + y 2 ī+ x x 2 ȷ în lungul circumferinţei unitte γ :[, 2π] R 2, t (cos t, sin t) este eglă + y2 cu = 2π γ v d r = 2π y x 2 + y 2 dx + x x 2 + y 2 dy = [ ] sin t cos 2 t +sin 2 t sin t + cos t cos 2 t +sin 2 t cos t dt = 2π dt =2π. Pentru un drum neted γ : [, b] R 2, γ(t) = (x(t),y(t)), ( )t [, b] se pote defini un lt tip de integrlă curbilinie; nume, pentru orice funcţie P (x, y) continuă într-un deschis din R 2 cre conţine urm lui γ, sedefineşte b P (x, y)ds P (x(t),y(t)) x (t) 2 + y (t) 2 dt. (23) γ În prticulr, dcă P = 1, tunci b ds = x (t) 2 + y (t) 2 dt, γ

220 216 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ dică γ ds = L(γ), lungime urmei lui γ (conform formulei (14). Dcă în plus γ r fi jordnin, tunci considerând o diviziune = t < t 1 <...<t p = b intervlului [, b], sunt determinte puncte M,M 1,...,M p pe urm (γ). Dcă (ξ k,η k ), 1 k p sunt puncte pe (γ) situte pe rcele M k 1 M k, tunci se pote răt că integrl (23) pote fi definită în mod p echivlent c limit sumelor P (ξ k,η k ) L( M k 1 M k ) când mx (t k t k 1 ) 1 k p k=1 tinde către zero. O discuţie similră re loc în czul drumurilor netede în R 3. Se obţine stfel o justificre în plus denumirii de integrlă curbilinie. Din considerţii de mecnică, se pote răt că dcă se consideră un fir mteril omogen greu, inextensibil, similt cu urm unui drum neted γ c mi sus, tunci coordontele centrului de greutte l firului sunt xds yds γ x = L(γ), y = γ L(γ). (24) Observţie. Dcă U este un deschis din plnul complex şi dcă f(z) = P (x, y) +iq(x, y), z = x + iy este o funcţie complexă continuă f : U C (dică P =Ref, Q =Imf sunt funcţii continue pe U), tunci pentru orice drum neted în Uγ:[, b] U, γ(t) =x(t)+iy(t), ( )t [, b], se pote defini numărul complex ( ) f(z)dz (P + iq)(dx + i dy) P dx Q dy + γ γ ( ) +i Q dx + P dy, γ numit integrl lui f în lungul lui γ. Se pot refce pentru czul complex proprietăţile probte mi sus (independenţ de prmetrizre, integrl în lungul drumului opus, liniritte, ditivitte etc.). Integrlele curbilinii complexe sunt studite în cdrul teoriei funcţiilor de vribilă complexă. Integrl curbilinie pote fi definită mi generl, folosind integrl Lebesgue, dr m prefert să subliniem dor idee principlă şi semnificţi fizică cestui concept Exerciţii γ 1. Să se clculeze γ 1 x dy + y dx ş i γ 2 x dy + y dx în lungul drumurilor γ 1 (t) =(t, t 2 )şiγ 2 (t) =(t, t), t [, 1]. Fig. IV Să se clculeze I = γ x dy y dx x 2 + y 2 în lungul circumferinţei unitte γ(t) = (cos nt,sinnt), t [, 2π], prcursă pozitiv de n ori (n Z fixt). 3. Se consideră drumul neted pe porţiuni din figur IV. 12, juxtpunere ptru drumuri netede. Să se clculeze circulţi câmpului v = x 2 ī xy ȷ î n lungul cestui drum.

221 4.4. INTEGRALE CU PARAMETRI În czul când γ :[, b] R2 este un drum prmetrizt neted închis, (dică γ() = γ(b)), se noteză în loc de γ γ indicând sensul de prcurs pe γ când prmetrul creşte de l l b. clculeze I 1 = x 2 dy ş i I 2 = x 2 dy γ γ unde γ :[, 1] R 2, t (2 cos 2πt, 3sin2πt). Indicţie. EvidentI 2 = I 1, ir Să se I 1 = 1 (4 cos 2 2πt)(6π cos 2πt)dt = 24π 1 cos 3 2πtdt etc. 5. Să se clculeze circulţi câmpului v = xī+xy ȷ+zyz k în lungul fiecărui din drumurile γ :[, 2] R 3 γ(t) =(t, t 2,t 3 ) γ 1 :[,π] R 3 γ 1 (t) =(t cos t, t sin t, t) γ 2 :[ 2, 1] R 3 γ 2 (t) =(t, 1, 2 t) 6. Să se clculeze integrlele curbilinii: ) x dx + y dy + z dz c dt γ în lungul drumului γ : [,π] R 4, u (cos u, sin u, u, u), unde c este o constntă relă; b) x 1 dx x p dx p γ în lungul drumului γ :[, 1] R p, t (t +1,t+2,...,t+ p). Răspuns. ) π2 2cπ 2 7. Să se clculeze: ) ;b) p2 +2p. 2 γ xy ds în lungul drumului γ :[, 2] R 3, t (t, 2 t); b) ds ş i (x + y + z)ds γ 1 γ 1 în lungul drumului γ 1 :[, 2π] R 3, t (cos t, sin t, t). 4.4 Integrle cu prmetri Studiul integrlelor cu prmetri este strâns legt de cel l reprezentărilor integrle le funcţiilor. În descriere mtemtică multor procese fizice su fenomene tehnice, trnsformre Fourier, trnsformre Lplce, reprezentările integrle le potenţilelor etc. sunt utilizte în mod curent; în cest prgrf sunt dte rezulttele mtemtice de bză şi se subliniză forte succint câtev plicţii posibile le cestor. ş i γ ds

222 218 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ Punere problemei Fie M R n o mulţime măsurbilă, U R p un deschis şi f(x, α), f : M U R o funcţie continuă fixtă. Definiţi 4.1. Presupunem că pentru orice α U, α =(α 1,...,α n ) există integrl F (α 1,...,α p )= f(x,α 1,...,α p )dx, M cre depinde de α 1,...,α p ; se spune în cest cz că se defineşte o integrlă cu p prmetri reli (su că funcţi F este reprezenttă printr-o integrlă). Se mi noteză pe scurt F (α) = f(x,α)dx, unde α =(α 1,...,α p ). (25) M Czurile cele mi des întâlnite sunt p =1şip = 2 (integrle cu un prmetru rel şi respectiv cu doi prmetri reli). În cele ce urmeză, vom studi trnsferul de proprietăţi de l funcţi f(x,α)lfuncţif (α), dică de l integrnt l integrlă. Teorem 4.1. Cu notţiile nteriore, presupunem că există o funcţie h(x), h : M R integrbilă stfel încât f(x,α) h(x) pentru orice x M, α U. (26) Atunci funcţi F : U R definită prin F (α) = f(x,α)dx este continuă pe U. M î n U Demonstrţie. Fixăm U rbitrr şi fie orice şir α n. Atuncipentru orice x M vem f(x,α n ) f(x,)şiîn plus, f(x,α n ) h(x), conform (26). Aplicând teorem 1.9, extinsă, ş cum m indict în cele spuse imedit după definiţi 1.1, se v obţine lim n M f(x,α n )dx = M f(x,)dx, dică F (α n ) F () pentrun. Considerând M =[, b] M, rezultă direct următorul Corolr. Fie f(x, α), f :[, b] U R o funcţie continuă. Atunci funcţi este continuă pe U. F (α) = b f(x, α)dx Derivre integrlelor cu prmetri Demonstrăm cum rezultte privind trnsferul proprietăţii de derivbilitte de l integrnt l integrlă, su cu o terminologie mi sugestivă, vom d câtev reguli de derivre sub semnul integrlă. Teorem 4.2. Fie M R n o mulţime măsurbilă, U R p un deschis şi f(x,α), f : M U R o funcţie continuă în vribilele x ş i α =(α 1,...,α n ) pentru cre f există şi este continuă pe M U, k fiind fixt (1 k p). α k

223 4.4. INTEGRALE CU PARAMETRI 219 Presupunem că există funcţiile u(x),v(x) pozitive, integrbile pe M, cu vlori rele stfel încât f(x,α) u(x) ş i f (x,α) α k v(x), ( )x M, ( )α U. Atunci funcţi F (α 1,...,α p )= f(x,α 1,...,α p )dx M este derivbilă prţil în rport cu α k pe U ş i î n p l u s, F f (α) = (x,α)dx, ( )α U. (27) α k α k M Demonstrţie. Fixăm U rbitrr şi rătăm că F este derivbilă prţil în rport cu α k î n p u n c t u l. Pentru cest, vem de rătt că rportul F ( + te k ) F () t = M f(x,+ te k ) f(x,) dx, t, t unde e 1,...,e p este bz cnonică în R p, re limită când t. Fie t n, t n un şir orecre şi f n (x) = f(x,+ t ne k ) f(x,), n (x M, t n 1 k n fiind fixte). PC Avem f n f ş i c u m f n (x) = f (x,+ τ n e k ), cu τ n situt între ş i α k α k + t n e k,rezultă f n v. Putem plic tunci teorem 1.9 şi obţinem lim f n (x)dx = n M M f α k (x,α)dx. Aplicând liniritte integrlei, membrul stâng devine lim n M f(x,+ t n e k ) f(x,) F ( + t n e k ) F () dx = lim. t n n t n Aşdr, funcţi F este derivbilă prţil în rport cu α k î n p u n c t u l α ş i î n plus, re loc formul (27). Corolr. Fie f(x, α), f :[, b] U R, U R deschis, o funcţie continuă f stfel încât să fie continuă pe [, b] U. Atunci funcţi α F (α) = b este derivbilă în rport cu α şi în plus, F (α) = b f(x, α)dx f (x, α)dx, ( )α U. α Demonstrţie. Pentru orice deschis mărginit V din R stfel încât V f U, funcţiile continue f şi α sunt mărginite pe compctul [, b] V ş i s u n t verificte condiţiile teoremei 4.2; se pote plic formul (27) în orice punct α V, deci şi în orice punct α U. Exemple. 1) Fie <b<; se verifică uşor π dx + b cos x = π 2 b, 2

224 22 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ o integrlă cu doi prmetri reli, nume, b. Acest se pote interpret π şi stfel: pentru funcţi f(x, y) = x2 y,definităpentrux2 >y 2, re loc 2 reprezentre integrlă f(x, y) = π Aplicând corolrul precedent, rezultă f y = π dt x + y cos t. sin t (x + y cos t) 2 dt, dică πy (x 2 y 2 ) 3/2 = 2) Pentru clcul integrl I n () = 1 π dx (x 2 + 2, n, ) n sin tdt (x + y cos t) 2. se pote consider c prmetru rel şi plicând corolrul nterior, rezultă 1 ( ) n I n() 1 = x dx = 2n I n+1(), dică formul de recurenţă I n+1 () = 1 2n I n(). De exemplu, se observă că I 1 () = 1 rctg 1, I 2() = 1 2 I 1() etc. 3) Fie e αx F (α) = 2 x dx, unde α> este un prmetru rel. Aplicând teorem 4.2 rezultă F (α) = 2 e αx dx = e αx α 2 = e 2α α. Teorem 4.3. Presupunem că f(x, y) este o funcţie continuă, o dtă cu f y î n t r - o m u l ţ i m e d e f o r m [, b] U, undeu R este un deschis. Presupunem de semene că u(y), v(y) sunt două funcţii de clsă C 1 (U) stfel încât u(y) b ş i v(y) b pentru orice y U. Atunci notând g(y) = v(y) u(y) funcţi g este derivbilă în U şi în plus, g (y) = v(y) u(y) f(x, y)dx, (28) f y (x, y)dx+v (y) f(v(y),y) u (y) f(u(y),y), ( )y U. (29) Demonstrţie. Considerăm funcţi de două vribile rele Evident, Φ(x, y) = x f(t, y)dt. Φ x (x, y) =f(x, y), Φ (x, y) = y x (cf. corolrului teoremei 4.2). Pe de ltă prte, conform (28) g(y) = v(y) u(y) f(t, y)dt = v(y) f(t, y)dt f (t, y)dt (3) y u(y) f(t, y)dy =

225 4.4. INTEGRALE CU PARAMETRI 221 Aşdr, =Φ(v(y),y) Φ(u(y),y). g (y) = Φ x (v(y),y) v (y)+ Φ Φ (v(y),y) y x (u(y),y) u (y) Φ cf.(3) (u(y),y) = f(v(y),y) v (y) f(u(y),y) u (y)+ y + Φ Φ (v(y),y) y y (u(y),y). Pentru prob relţi (29), este suficient (plicând (3)) să observăm că Φ Φ v(y) (v(y),y) y y (u(y),y)= f (t, y)dt y u(y) Exemple. 1) Fie g(y) = y 2 g (y) = f v(y) (t, y)dt = y u(y) f (t, y)dt, y y e x2y dx, y>1. Atunci conform formulei (29), y 2 y x 2 e x2y dx +2ye y5 e y2. 2) Fie f(t), f :[,] R o funcţie continuă şi pentru t x, definim dică g(y) = x f(t) (x t) n 1 dt, n 1întreg. Clculăm derivt de ordin n lui g. Aplicând formul (29), vem g (x) = x g (x) =(n 1) f(t) (n 1)(x t) n 2 dt, x f(t)(x t) n 2 dt. Se verifică imedit că în punctul curent x din [,]vem g (x) =(n 1)(n 2) x f(t)(x t) n 3 dt,..., g (n 1) (x) =(n 1)! x f(t)dt ş i g (n) (x) =(n 1)!f(x). În concluzie, o soluţie prticulră ecuţiei diferenţile y (n) = f(x) pe intervlul [,]este y(x) = 1 (n 1)! x f(t) (x t) n 1 dt Funcţiile B (Bet) şi Γ (Gm) Funcţi Γ este forte utiliztă în diverse plicţii le Anlizei mtemtice, ir vlorile ei sunt tbelte. Deşi este definită printr-o integrlă, fiind deci neelementră, funcţi Γ, c şi funcţi B strâns legtă de e, sunt considerte funcţii specile fundmentle şi ulterior vor fi extinse în domeniul complex. Teorem 4.4. () Integrl improprie cu doi prmetri reli B(p, q) = există pentru orice p>, q>. 1 x p 1 (1 x) q 1 dx (31)

226 222 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ (b) Integrl improprie cu un prmetru rel există pentru orice x>. Γ(α) = x α 1 e x dx. (32) Demonstrţie. () Fie g(x) =x p 1 +(1 x) q 1 ; evident, dcă p>şi q>, tunci integrl 1 g(x)dx există şi re vlore 1 p + 1. Vom prob că q x p 1 (1 x) q 1 2g(x), ( )x (, 1) (33) şi firmţi din teoremă v rezult plicând criteriul de comprţie (corolrul 4 l teoremei 1.8, extins prin ( definiţi 1.1). Pentru prob (33) este suficient să observăm că dcă x, 1 ], tunci (1 x) q 1 =(1 x) q x ş i c u m < 1 x 1, < 1 1 x 2, rezultă (1 x)q 1 2, deci x p 1 (1 x) q 1 ( 1 2x p 1 2g(x); ir dcă x ), 2, 1 tunci <x p 1 = xp 2, deci x x p 1 (1 x) q 1 2(1 x) q 1 2g(x). (b) Fie h(x) =x α 1 e x, x>. Pentru x (, 1] vem <h(x) x α 1 şi conform criteriului de comprţie, rezultă că h este integrbilă pe (, 1] (deorece 1 x α 1 dx = 1 α pentru α>). Pe de ltă prte, lim x x2 h(x) = lim x xα+1 e x =, deci există un număr rel M>stfel încât <h(x) M x 2 pentru orice x [1, ). Atunci h este integrbilă şi pe [1, ) (din nou folosind M criteriul de comprţie, deorece dx = M). 1 x2 Definiţi 4.2. Funcţi B :(, ) (, ) R definită prin relţi (31) se numeşte funcţi bet, ir funcţi Γ:(, ) R definită prin relţi (33) se numeşte funcţi gm. Funcţiile B ş i Γ u fost introduse de Euler şi de cee se mi numesc integrle euleriene. Câtev proprietăţi le funcţiilor B, Γ sunt dte în teorem următore. Teorem 4.5. ) Γ(1) = 1; b) Pentru orice α> rel, Γ(α + 1) = αγ(α) ş i ( )n N, Γ(n + 1) = n!; c) B(p, q) =B(q, p) pentru orice p>, q>; d) Avem Γ(α) > pentru orice α> ş i B(p, q) > pentru orice p>, q>. Demonstrţie. ) Avem conform (32) Γ(1) = e x dx =1. b) Integrând prin părţi pe orice intervl compct [, b] (, ) rezultăcă b x α e x dx = x α e x b + α b x α 1 e x dx şi făcând, b se obţine formul Γ(α + 1) = αγ(α), pentru orice α>. Relţi Γ(n + 1) = n!, n rezultă tunci imedit prin inducţie după n. c) Avem deci de probt că 1 x p 1 (1 x) q 1 dx = 1 x q 1 (1 x) p 1 dx

227 4.4. INTEGRALE CU PARAMETRI 223 cee ce rezultă făcând schimbre de vribilă x =1 t. Afirmţi d) este evidentă folosind formulele definitorii (31), (32). Teorem 4.6. Funcţi Γ:(, ) R este o funcţie convexă de clsă C. Demonstrţie. FieI 1 =(, 1] şi I 2 =[1, ). Alegem numere u, v rbitrre fixte, stfel încât <u<v. Dcă α (u, v) şix I 1, tunci x α 1 e x x u 1, ir funcţi x x u 1 este integrbilă pe I 1. Atunci conform teoremei 4.1 funcţi Γ 1 :(u, v) R defintă prin Γ 1 (α) = 1 x α 1 e x dx este continuă. Pe de ltă prte, lim x xv+1 e x =deciexistăm > stfel încât <x v+1 e x M pentru orice x I 2, dică x α 1 e x M x 2 pentru orice α (u, v) şix I 2 ; c tre, funcţi Γ 2 :(u, v) R definită prin Γ 2 (α) = x α 1 e x dx este continuă. Am probt stfel că funcţi Γ = Γ 1 +Γ 2 este continuă pe orice intervl (u, v) (, ), deci este continuă pe (, ). Aplicând succesiv teorem 4.2 se demonstreză că Γ este chir de clsă C. În plus, conform (32), Γ (α) = x α 1 e x ln xdx ş i Γ (α) = x α 1 e x ln 2 xdx, deci Γ (α) > pentru orice α>. Aşdr, funcţi Γ este convexă pe intervlul (, ). Observţie. Se pote răt că grficul funcţiei Γ re form indictă în figur IV. 13. Legătur dintre funcţiile Γ şi B este dtă de Teorem 4.7. Pentru orice p>, q>, re loc formul (nebnlă!) B(p, q) = Γ(p) Γ(q) Γ(p + q). În prticulr, funcţi B este de clsă C pe deschisul [, ) (, ) din R 2. ( ) 1 Corolr. Avem Γ = π ş i e x2 dx = π. 2 Demonstrţie. Aplicând relţi B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) pentru p = q = 1 2,se obţine ( ) 2 ( 1 1 Γ = Γ(1) B 2 2, 1 ). 2 Dr Γ(1) = 1 şi în plus conform (31) ( 1 B 2, 1 ) 1 dx = = 2 x(1 x) π 2 2sint cos tdt sin t cos t π 2 =2 dt = π, Fig. IV.13 ( ) 2 1 efectuând substituţi x =sin 2 t. Atunci relţi devine Γ = π ş i c u m ( ) ( ) Γ >, rezultă că Γ = π. Conform (32), de-ici se obţine 2 2 şi făcând substituţi x = t 2,rezultă π e t2 dt = 2 ş i x 1 2 e x dx = π e t2 dt =2 e t2 dt = π (34)

228 224 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ Noţiune de trnsformre integrlă Fie K(x, y) o funcţie continuă de două vribile rele, K : I U R fixtă, unde I este un intervl pe drept relă şi U R o mulţime deschisă; o stfel de funcţie este numită d-hoc nucleu. Oricărei funcţii rele f stfel încât ( )y U, funcţix f(x) K(x, y) să fie integrbilă pe I, i se pote soci funcţi relă g : U R, definităprin g(y) = f(x) K(x, y)dx; (35) I se mi scrie f K g ş i s e s p u n e c ă g este trnsformt lui f prin nucleul K su că g este imgine funcţiei f (numită funcţie -originl) prin trnsformre integrlă definită de K. Cele spuse mi sus se extind fără dificultte l czul când funcţiile K, f u vlori complexe. Idee considerării unor trnsformări integrle de tipul f g este de trnsform o problemă enunţtă cu jutorul funcţiilor-originl de tip f într- o problemă enunţtă în termeni de funcţii-imgine de tip g, cre pote fi rezolvtă mi simplu. De exemplu, se v vede că trnsformre integrlă Lplce trnsformă rezolvre unor clse de ecuţii diferenţile într-o problemă pur lgebrică. Fără intr în detlii, menţionăm că formul (35) trebuie însoţită de o formulă corespunzătore de inversre, dică de recuperre funcţiei f de îndtă ce se cunoşte g. Dăm un exemplu de trnsformre integrlă c o ilustrre integrlelor cu prmetri; studiul profundt l cestor v fi făcut în cdrul unui cpitol extrem de importnt numit Clculul operţionl, continure firescă Anlizei mtemtice şi v fi însoţit de numerose plicţii l cursurile de specilitte. Exemplu. Considerăm I = (, ), U = R ş i fi e K(x, y) = e ixy. Pentru orice funcţie integrbilă f : R R se defineşte trnsformt Fourier (J. FOURRIER, ) luif c fiind funcţi g : R C definită prin g(y) = f(x) e ixy dx. Integrl din membrul drept există pentru orice y R fixt deorece ( )x R, f(x)e ixy = f(x) cos xy i sin xy = f(x) cos 2 xy +sin 2 xy = f(x) şi plicăm criteriul de comprţie. Remrcăm că funcţi g este continuă şi în plus, g(y) f(x) dx, ( )y R, deci g este o funcţie mărginită. Fie I = R considertă c o mulţime de momente şi f(t), f : R R o funcţie integrbilă (pe cre o numim semnl L 1 î n t i m p ). Pentru orice ω R se pote tunci defini numărul complex g(ω) = f(t)e iωt dt. Funcţi g(ω), g : R C stfel definită, dică trnsformt Fourier lui f,se mi numeşte spectrul în frecvenţă l semnlului f, ir teori trnsformării Fourier modeleză dulitte fizică timp-frecvenţă.

229 4.4. INTEGRALE CU PARAMETRI Exerciţii 1. Să se clculeze lim α 2 2. Să se clculeze x 2 cos αx, dx, lim r π 2 g(y) = 1 e r sin x dx, lim y y 1+x 2 y dx x y 2 exp ( x2 y 2 ) dx. şi să se rte că deşi integrntul este continuu, funcţi g nu re cestă propriette. 3. Fie J n (x) = 1 π π cos(nθ x sin θ)dθ, x R, n Z. Să se rte că x 2 J n(x)+xj n(x)+(x 2 x 2 )J n (x) =, ( )x R. (FuncţiJ n se numeşte funcţi Bessel de indice n întreg, F.W. BESSEL, ). 4. Să se clculeze F (α) pentru α 2 F (α) = sin(x + α) cos(x α)dx α ş i p e n t r u F (α) = α 5. Se consideră integrl cu prmetru I(α) = π 1 ln(1 + αx) dx (α >1). x ln(1 2α cos x + α 2 ), α R \ { 1, 1}. Să se clculeze I (α) şi poi să se deducă vlore lui I(α). Răspuns. I(α) =2π ln α dcă α 2 > 1şiI(α) = dcă α 2 < Câmpul newtonin cret într-un punct α de o msă mterilă distribuită uniform într-un intervl I R este exprimt prin integrl x α v(α) =k dx, k fiind o constntă relă. x α 3 I Să se studieze convergenţ cestei integrle pentru diverse intervle I şi să se clculeze v (α) în ipotez că α/ I. 7. Să se rte că <<b, tunci Indicţie. Integrl este eglă cu dx b e yx dy = 8. Să se verifice relţiile: e x e bx dx =ln b x. b dy e yx dx = b 1 y dy =lnb. ) Γ(α + n) =(α + n 1)(α + n 2)...(α + 1)αΓ(α), α>, n 1; b) B(p, q) = 1 ( ) ( 1 2 2p 1 B 2,p, p> şi Γ(p)Γ p + 1 ) π = Γ(2p). 2 22p 1 9. Să se clculeze, folosind B,Γ, integrlele

230 226 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ ) b) c) d) 1 1 π 2 x p 1 (1 x m ) q 1 dx (p, q, m > ); x p exp( x q )dx (p > 1, q>); x p ln 9dx (p < 1), q> 1; sin p x cos q xdx (p > 1, q> 1). 1. ) Să se rte că pentru orice constnte l, m rele, t>, π e l(x+m)2 dx = l. b) Fie g(y) = y R ş i s ă s e d e t e r m i n e g(y). 4.5 Aplicţii e x2 cos xydx, y R. Să se rte că g (y) = 1 2 yg(y), Dăm câtev plicţii semnifictive le integrlelor curbilinii c şi le integrlelor cu prmetri în teori câmpului şi în modelre mtemtică unor procese termice Forme diferenţile de grdul I. Crcterizre câmpurilor de grdienţi Fie U R n un deschis fixt şi x =(x 1,...,x n )punctulcurentîn R n ; o formă diferenţilă de grdul I în U este o expresie de tipul ω = P 1 (x 1,...,x n )dx P n (x 1,...,x n )dx n, (36) unde P 1,...,P n sunt funcţii U R, numitecoeficienţi formei ω. Două stfel de forme ω = P 1 dx P n dx n, ω 1 = Q 1 dx Q n dx n se consideră egle dcă P 1 = Q 1,...,P n = Q n ; se definesc de semene sum ω + ω 1 (P 1 + Q 1 )dx (P n + Q n )dx n ş i produsul cu o funcţie λ : U R, λω (λp 1 )dx (λp n )dx n. Reţinem şdr că o formă diferenţilă de grdul I este determintă prin coeficienţii ei. Exemple. 1) Dcă f(x 1,...,x n ), f R este o funcţie de clsă C 1 (U), tunci diferenţil lui f în punctul curent din U df = f x 1 dx f x n dx n este o formă diferenţilă de grdul I, numită form exctă socită funcţiei f. 2) Pentru n = 2 formele diferenţile sunt expresii de form P (x, y)dx + Q(x, y)dy cu coeficienţii P, Q funcţii dte. De exemplu, ω =2xydx + x 2 dy este o formă exctă în R 2, deorece ω =d(x 2 y). 3) Formele diferenţile de grdul I pentru n = 3 sunt expresii de form ω = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz, cup, Q, R funcţii definite pe un deschis din R 3. Oricărui câmp vectoril v = P (x, y, z)ī+q(x, y, z) ȷ+R(x, y, z) k î n V 3 îi corespunde o formă diferenţilă c mi sus. Definiţi 5.1. O formă diferenţilă de tipul (34) într-un deschis U R n se numeşte de clsă C p dcă funcţiile P 1,...,P n sunt de clsă C p (U). Form ω se numeşte exctă dcă există o funcţie f C 1 (U) stfel încât ω = df, dică P i (x) = f x i (x), ;( )x =(x 1,...,x n ) U, 1 i n. (37)

231 4.5. APLICAŢII 227 Form ω se numeşte î n c h i s ă dcă este de clsă C 1 ş i î n p l u s P i x j (x) = P j x i (x), ( )x U, 1 i, j n. (38) Este evident că dcă ω =df ş i ω =dy cu f,g C 1 (U), tunci d(f g) =. Dcă în plus, U este conex, tunci rezultă că funcţi f g este constntă în U (o funcţie locl constntă, continuă pe un deschis conex, este constntă!). Exemple. 1) Pentru n = 2, form ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy î n t r - u n deschis U R 2 este exctă dcă şi numi dcă există f(x, y), f : U R 2 stfel încât ω =df, dică u loc eglităţile f x = P, f = Q în fiecre y punct din U. Aceeşi formă este închisă dcă şi numi dcă este de clsă C 1 ş i P (x, y) = Q(x, y), ( )(x, y) U. y x 2) Fie v = P (x, y, z)ī + Q(x, y, z) ȷ + R(x, y, z) k un câmp vectoril de clsă C 1 pe un deschis U R 3 ş i ω = P dx + Qdy + Rdz form diferenţilă socită. Acest este exctă dcă şi numi dcă există o funcţie f C 1 (U) stfel încât P = f x, Q = f y, R = f z. În cest cz, v = f xī + f f ȷ + y z k, dică v = grd f î n U; se spune tunci că v este un câmp de grdienţi în U. Form ω este închisă dcă şi numi dcă P, Q, R sunt de clsă C 1 (U) şi dcă P y = Q x, Q z = R y, R x = P î n U; în cest cz câmpul v = P ī+q ȷ+R k z se numeşte conservtiv în U. Teorem 5.1. Orice formă diferenţilă exctă ω = df, f C 2 (U), U R n fiind un deschis, este închisă. Demonstrţie. Dcă ω = P 1 dx P n dx, tunci conform ipotezei rezultă că P 1 = f,...,p n = f î n U; P i = (P i )= ( ) = 2 f x 1 ( ) x n x j x j x j x i x j x i ş i P j x i = x i x j = 2 f x i x j în fiecre punct din U, deci plicând teorem lui Schwrtz (III 4.8), rezultă P i = P j î n U, 1 i, j n, deci form ω este x j x i închisă. Corolr. Orice câmp de grdienţi într-un deschis din R 3 este conservtiv. Vom vede că reciproc teoremei 5.1 (c şi corolrului nterior) este flsă şi vom d condiţii suplimentre în cre o reciprocă re totuşi loc (teorem 5.3). Definiţi 5.2. Fie γ :[, b] U un drum prmetrizt de clsă C 1 î n t r - u n deschis U R n, vând reprezentre prmetrică x 1 = x 1 (t),...,x n = x n (t), ( )t [, b]. Dcă ω = P 1 dx P n dx n este o formă diferenţilă de grdul Icontinuăîn U (dică funcţiile P 1,...,P n sunt continue în U), se numeşte integrl lui ω în lungul lui γ numărul rel γ ω = γ P 1 dx P n dx n b P n (x 1 (t),...,x n (t))x n(t)]dt. [P 1 (x 1 (t)+...+ x n (t))x 1(t)+ (39) În czul n = 3 se regăseşte definiţi 3.2 circulţiei unui câmp vectoril continuu în lungul unui drum prmetrizt de clsă C 1. Definiţi se extinde evident l drumuri C 1 pe porţiuni. Pentru n =2drumulγ :[, b] U re o reprezentre prmetrică de form x = x(t), y = y(t), ( )t [, b] şi dcă ω = P dx + Q dy, tunci γ ω = b [P (x(t),y(t))x (t)+q(x(t),y(t))y (t)]dt.

232 228 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ Exemple. 1) Dcă ω = y x 2 + y 2 dx+ x x 2 dy şi dcă γ este circumferinţ + y2 unitte prcursă de k ori (k Z), tunci x = cos kt, y =sinkt, t [, 2π] şi γ 2π [ sin kt ω = sin 2 ( k sin kt)+ kt + cos 2 kt ] cos kt + sin 2 (k cos kt) dt =2πk. kt + cos 2 kt 2) Dcă γ :[, b] U este un drum de clsă C 1 ş i ω =df este o formă diferenţilă exctă, tunci conform (39), rezultă b [ f ω = (x 1 (t),...,x n (t))x x 1(t)+...+ f ] (x 1 (t),...,x n (t))x 1 x n(t) dt = n γ dică = b d dt f(x 1(t),...,x n (t))dt = f(x 1 (t),...,x n (t)) = f(x 1 (b),...,x n (b)) f(x 1 (),...,x n ()), γ ω = γ t=b t= df = f(γ(b)) f(γ()). (4) Formul (4) pote fi numită formul Leibniz-Newton pentru forme diferenţile excte. Proprietăţile integrlelor curbilinii dte în 3 se extind direct l czul integrlelor curbilinii le formelor diferenţile. Teorem 5.2. (crcterizre formelor diferenţile excte). Fie U R n un deschis conex şi ω = P 1 dx P n dx n o formă diferenţilă de grd I continuu în U. Atunci sunt echivlente firmţiile: () ω este exctă; (b) pentru orice drum γ prmetrizt de clsă C 1 pe porţiuni situt în U şi închis, ω = ; γ (c) dcă A ş i B sunt două puncte orecre din U, tunci pentru orice două drumuri prmetrizte γ 1,γ 2 de clsă C 1 pe porţiuni situte în U, vând cpetele A ş i B, re loc relţi ω = ω. γ 1 γ 2 = Fig. IV.14 Fig. IV.15 Afirmţi (c) se enunţă spunând că integrl formei ω este independentă de drumul de integrre (depinzând numi de cpetele drumului). Demonstrţi. () (b). Presupunem că ω este exctă, ω =df cu f C 1 (U). Atunci, conform formulei Leibniz-Newton (4), ω = f(γ(b)) f(γ()) =, γ folosind fptul că γ este drum închis, dică γ() = γ(b). (b) (c). Într-devăr, considerând juxtpunere γ = γ 1 γ2, cest drum γ rezultă închis şi tunci conform ipotezei (b), vem ω =, dică ω + ω =, deci ω = ω. γ γ 1 γ 1 γ 2 γ 2 (c) (). Fixăm un punct U. Pentru orice punct x =(x 1,x 2,...,x n ), x U legem un drum poligonl γ unind ş i x, situt în U.

233 4.5. APLICAŢII 229 Definim funcţi f : U R, punând f(x 1,...,x n )= Conform ipotezei (c), cestă integrlă nu depinde de legere lui γ şi stfel funcţi f este bine definită. Vom răt că f = P k,1 k n, în fiecre x k punct x U. Dr f x k (x) = lim t,t γ ω. f(x + te k ) f(x), 1 k n (41) t (e 1,...,e n fiind bz cnonică în R n ). Notând cu δ segmentul lui U cre uneşte punctele x, x + te k,rezultăcă f(x + te k ) f(x) = ω. Pe drumul δ, x 1,...,x k 1,x k+1,...,x n sunt constnte ir coordont k vriză de l x k l x k + t, deci conform (39) f(x + te k ) f(x) = t δ P k (x + te k )dt = tp k (x + θe k ), <θ<t, conform formulei de medie. Înlocuind în relţi (41), rezultă f x k (x) =lim t P k (x + θe k )=P k (x), ( )x U, 1 k n. Corolr (crcterizre câmpurilor de grdienţi). Fie U R 3 un deschis conex şi v un câmp vectoril de clsă C 1 (U). Atunci sunt echivlente firmţiile: () v este un câmp de grdienţi în U; (b) circulţi lui v în lungul oricărui drum de clsă C 1 pe porţiuni situt î n U şi închis este nulă; (c) circulţi pe orice două drumuri prmetrizte de clsă C 1 pe porţiuni situte în U şi vând celeşi cpete este ceeşi. Demonstrţi rezultă direct din teorem 5.2 şi din legătur directă între forme diferenţile şi câmpuri vectorile. Un rezultt similr re loc pentru câmpuri plne. Dcă v = grd f este un câmp de grdienţi în deschisul conex U, funcţif (cre este unic determintă până l o constntă ditivă) se numeşte potenţil sclr l lui v; de cee se mi spune că v derivă dintr-un potenţil. Ită cum s-r pute determin un potenţil sclr f l unui câmp vectoril f v = P (x, y)ī + Q(x, y) ȷ = grd f. Aşdr, x = P, f y = Q ş i p e n t r u ω = P dx + Q dy, vemω =df. Atuncif(x, y) = ω unde γ este orice drum cre uneşte un punct fixt (x,y ) U ş i p u n c t u l c u r e n t ( x, y) dinu. Din teorem 5.2, implicţi () (c), rezultă că notând cu γ 1,γ 2 segmentele prlele cu xele (c în figur IV. 17), vem f(x, y) = ω + ω = P dx + Q dy + P dx + Q dy cf.(39) = γ 1 γ 2 γ 1 γ 2 γ Fig. IV.16 Fig. IV.17 cf.(39) = x x P (x, y )dx + y y Q(x, y)dy. Exemplu. Dcă A este un punct mteril fixt cu ms m şi dcă M este un lt punct mteril cu ms m 1, tunci notând r = AM, versorul

234 23 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ lui r este r, ir forţ de trcţie exercittă de A supr lui M re mărime r m 1 m 2 k 1 r 2,undek 1 este o constntă şi r = r =d(a, M). Atunci câmpul trcţiilor newtoniene relizte de punctul A re în punctul curent M vlore m 1 m 2 r v(m) = k 1 r 2 şi notând k = k 1 m 1 m 2,rezultă v = k r. Se obervă r r3 că în deschisul U = R 3 \{A}, câmpul v este un câmp de grdienţi, nume v = grd ( k r ), dică derivă din potenţilul newtonin k r. Teorem 5.3. Fie U R n un deschis stelt reltiv l un punct U. Orice formă diferenţilă în U închisă este exctă. Demonstrţie. Fie ω = P 1 dx P n dx n o formă închisă, dică u loc relţiile (38). Conform ipotezei supr deschisului U, pentru orice punct x =(x 1,...,x n ) U, segmentul [, x] este situt în U. Putem tunci defini funcţi f : U R punând f(x 1,...,x n )= 1 [P 1 (ξ)(x 1 1 )+P 2 (ξ)(x 2 2 ) P n (ξ)(x n n )]dt, (42) unde ξ = + t(x ), t 1 este punctul curent pe segmentul [, x], ir =( 1, 2,..., n ). Conform teoremei de derivre sub integrlă (teorem 4.2), rezultă f x k (x) = 1 { [ ] P1 Pk (ξ) t (x 1 1 )+...+ (ξ) t(x k k )+P k (ξ) + x k x k P } n (ξ) t (x n n ) dt; x k folosind relţiile (36), vem P 1 = P k, P 2 = P k,..., P n = P k,deci x k x 1 x k x 2 x k x n f 1 { [ Pk (x) = t (ξ) (x 1 1 )+...+ P k (ξ) (x k k )+...+ x k x 1 x k P ] } 1 k d (ξ) (x n n ) + P k (ξ) dt = x n dt [t P k(ξ)]dt = 1 1 d = dt [t P k( + t(x ))]dt = t P k ( + t(x )) = P k (x), deci f x k = P k î n U, 1 k n. În concluzie, ω = P 1 dx P n dx n = = f x 1 dx f x n dx n, dică ω =df, deciω este exctă. Corolr 1. Fie P (x, y), Q(x, y) două funcţii de clsă C 1 pe un deschis stelt U R 2 P, stfel încât y = Q î n U. Atunci form diferenţilă ω = x P dx + Q dy este exctă (ω = df) ş i s o l u ţ i y = y(x) ecuţiei diferenţile P dx + Q dy =re propriette că f(x, y) =C, constntă. Demonstrţie. Din condiţi P y = Q rezultă că form ω este închisă, x deci conform teoremei 5.3 este exctă. Aşdr, există f C 1 (U) stfel încât ω =df. În fine, ecuţi df = re în U soluţi f(x, y) =C, C fiind o constntă rbitrră. Corolr 2. Într-un deschis stelt, un câmp este conservtiv dcă şi numi dcă el este un câmp de grdienţi.

235 4.5. APLICAŢII 231 Demonstrţi este evidentă. Exemple. 1) Fie v =2xyī +(x 2 + z) ȷ + y k î n U. Se verifică imedit că v este conservtiv, deci v este un câmp de grdienţi în U, v = grd f. Funcţif se pote determin, până l o constntă ditivă, conform formulei (42). Alegem =(,, ), deci ξ =(tx, ty, tz). Atunci f(x, y, z) = 1 [2t 2 xy x +(t 2 x 2 + tz) y + ty z]dt = x 2 y + yz. 2) Fie U = R 2 \ (, ) şi v = y x 2 + y 2 ī + x x 2 ȷ un câmp vectoril în U. + y2 Evident, v este un câmp conservtiv, deorece ( y ) y x 2 + y 2 = ( ) x x x 2 + y 2, ( )(x, y) U. Dr v nu este un câmp de grdienţi în U, deorece în cz contrr, circulţi lui v în lungul circumferinţei unitte prcursă pozitiv o dtă r fi nulă. Dr cestă circulţie este ω =2π, γ conform exemplului 1 cre succede definiţiei 5.2. Aşdr, v nu este câmp de grdienţi deşi este conservtiv. Se contrvine corolrului teoremei 5.3? Nu, deorece deschisul U = R 2 \ (, ) nu este stelt! Rezulttele probte mi sus (teoremele 5.1, 5.2, 5.3) sunt czuri prticulre le unei teoreme generle lui H. POINCARÉ ( ) privind formele diferenţile de orice grd în deschişi din R n. În cpitolul următor vom consider forme diferenţile de grd superior şi câtev plicţii le lor în teori câmpului Aplicţii în termodinmică O problemă de mre însemnătte teoretică şi prctică este ce relţiilor între energi termică şi lte forme de energie (electrică, mecnică etc.). Un model mtemtic cceptt în fizic modernă pentru descriere sistemelor termodinmice este cel expus în continure. Presupunem că x 1,...,x n sunt prmetri de stre i unui sistem termodinmic S (cre pot reprezent o energie, un volum etc.); similăm s =(x 1,...,x n ) cu un punct din R n numit stre şi presupunem că mulţime cestor puncte este o mulţime deschisă C, C ş i î n p l u s, C este un con convex (s C, λ> λs C). Se fixeză o formă diferenţilă de grdul I ω =dx 1 + P 2 (x 1,...,x n )dx P n (x 1,...,x n )dx n (43) unde coeficienţii P 2,...,P n sunt funcţii continue, omogene de grd zero în C (deci P k (λs) =P k (s), ( )λ >, ( )s C, 2 k n), ir primul coeficient este constnt, egl cu 1 în C. Prespunem că x 1 reprezintă energi totlă sistemului şi că stările sistemului S vriză într-un intervl de timp [, b], nume x 1 = x 1 (t),...,x n = x n (t), ( )t [, b], stfel încât să fie definit un drum prmetrizt γ :[, b] C, cărui urmă (γ) pote fi numită evoluţi sistemului. Integrl ω = dx 1 + P 2 dx P n dx n (44) γ γ γ reprezintă energi clorică trnsfertă sistemului din fră; primul termen este b dx 1 = x 1(t)dt = x 1 (b) x 1 () şi reprezintă vriţi energiei totle γ sistemului în lungul lui γ ir P 2 dx P n dx n se pote interpret c lucrul mecnic efectut în lungul evoluţiei (γ) sistemului. γ Fig. IV.18

236 232 CAPITOLUL 4. EXTINDERI ALE CONCEPTULUI DE INTEGRALĂ Drumul γ se numeşte dibtic dcă x 1(t)+P 2 (x 2 (t),...,x n (t))x 2(t)+...+ P n (x 1 (t),..., În cest cz, rezultă că în lungul oricărui drum dibtic γ. +x n (t))x n =, ( )t [, b]. γ (45) ω =decisistemuls nu re schimb cu exteriorul Primul principiu l termodinmicii se pote enunţ stfel: Dcă s = ( 1, 2,..., n ), s f =(b 1,b 2,...,b n ) sunt două stări orecre le sistemului S (iniţilă şi finlă), dcă γ :[, b] C este un drum dibtic cre le uneşte (dică γ() =s, γ(b) =s f )şiîn plus( 2,..., n )=(b 2,...,b n ), tunci 1 = b 1. Aşdr, energi sistemului este ceeşi ( 1 = b 1 ) în stările s,s f, de îndtă ce ceillţi prmetri de stre coincid l cpetele drumului dibtic γ. Principiul l doile l termodinmicii se enunţă stfel: form diferenţilă (43) pote fi reprezenttă c produsul unei funcţii T (x 1,...,x n ) (numită tempertur termodinmică) cu o formă diferenţilă exctă ds (unde funcţ i S(x 1,...,x n ) este numită entropi sistemului). Aşdr, ω = T ds. (46) Funcţi T se consideră c fiind o funcţie de clsă C 1, strict pozitivă şi depinzând monoton crescător de tempertur sistemului. Drumurile dibtice γ :[, b] C u propriette definitorie (45) şi conform (46), vem 1 = T S x 1, P 2 = T S x 2,...,P n = T S x n,deci x 1(t)+T S x 2 (x 1 (t),...,x n (t)) x 2(t) T dică înlocuind T =1/ S x 1, S x n (x 1 (t),...,x n (t)) x n(t) =, ( )t [, b], S x 1 (x 1 (t),...,x n (t)) x 1(t)+...+ S x n (x 1 (t),...,x n (t)) x n(t) =, d ( )t [, b], deci dt S(x 1(t),...,x n (t)) =, ( )t [, b], dică S(γ(t)) = k, constnt, ( )t [, b]. Aşdr, din principiul l doile rezultă că entropi S sistemului este constntă în lungul evoluţiilor dibtice Exerciţii 1. Se consideră form ω =(2xy + y 2 )dx +(x 2 +2xy)dy î n R 3. Să se determine o funcţie f C 1 (R 2 ) stfel încât ω =df. Acelşi lucru pentru ω = y 2 zdx +(2xyz + 1)dy + xy 2 dz î n R Se consideră câmpul vectoril v = 2x x 2 + y 2 ī+ 2y x 2 + y 2 ȷ+2z k. Să se rte că v este conservtiv în deschisul U = {x,y } din R 3 şi să se clculeze circulţi lui v în lungul cercului {x 2 + y 2 =1,z =1}, prcurs o dtă pozitiv în rport cu semix Oz. 3. Fie f : I R o funcţie relă continuă pe un intervl deschis I R ş i form ω = yf(x)dx +dy definită în bnd I R. Să se rte că dcă F este oprimitivăluif, tunci form e F ω este exctă. În ce cz ω este exctă?

237 Cpitolul 5 Anliz vectorilă şi clculul diferenţil exterior pe vrietăţi confirmă legătur profundă între conceptele de derivbilitte şi integrbilitte (J. DIEUDONNÉ) Integrle multiple şi câmpuri Introducere Acest cpitol este de ce mi mre importnţă pentru pregătire mtemtică viitorului inginer. Se pote firm că tote noţiunile definite ici îşi u surs în studiul unor modele fizice de mre însemnătte teoretică şi prctică. Teori câmpurilor sclre su vectorile constituie un domeniu de cercetre, cu cele mi diverse plicţii în mecnică, electrotehnică, electronică etc. În prgrful 2 l cpitolului stbilim formulele fundmentle de legătură între integrle multiple, integrle curbilinii, integrle de suprfţă etc. (formulele Green-Riemnn, Stokes, Guss-Ostrogrdski), cre u numerose consecinţe, unele prezentte în prgrful 3. În încheiere este făcut studiul coordontelor curbilinii şi sunt dte câtev plicţii dintre cele mi semnifictive, cre nu ngjeză dezvoltări teoretice mple. Se pote spune că în cest cpitol sunt fixte terminologi şi primele rezultte din teori câmpurilor, cre vor fi ilustrte şi dâncite ulterior în cdrul disciplinelor tehnice de bză şi de specilitte. 5.1 Clculul integrlelor multiple Dcă f :[, b] R este o funcţie continuă, ir F este o primitivă lui f, tunci formul Leibniz-Newton b f(x)dx = F (b) F () se flă în strânsă legătură cu form simplifictă frontierei domeniului de integrre [, b], cestă frontieră fiind redusă l cele două puncte, b; în czul integrlelor multiple, domeniile de integrre pot ve o frontieră mult mi complictă şi o formulă c mi sus nu pote ve loc. În cest prgrf, indicăm modul de clcul l integrlelor multiple, c succesiune de integrle simple (teorem lui Fubini), precum şi câtev plicţii geometrice şi fizice importnte le integrlelor multiple Integrlele multiple c succesiuni de integrle simple În cpitolul IV m dt definiţi şi proprietăţile integrlelor multiple pe mulţimi măsurbile din R n, dr nu şi modul de clcul. Remintim pe scurt câtev din etpele esenţile legte de introducere cestei noţiuni. Dcă ϕ : R n R, ϕ = {M k,c k } 1 k p+1 este o funcţie din S, dică o funcţie în scră (constntă cu vlore c k pe fiecre din mulţimile măsurbile 233

238 234 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI M k, 1 k p ş i n u l ă p e M p+1 = R n \ (M 1... M p ), tunci s- pus p I(ϕ) = c k (M k ) (definiţi IV. 1.2.). k=1 Dcă f : R n R este o funcţie mărginită cu suport compct, s-u definit integrlele inferioră şi superioră le lui f pe R n f = sup I(ϕ) şi f = inf I(ψ) ϕ S,ϕ f ψ S,f ψ ş i f u n c ţ i f s- numit integrbilă pe R n dcă f = f, Fig. V.1 vlore comună notându-se cu... f(x 1,...,x n )dx 1...dx n su simplu cu f R n (definiţi IV 1.4). Acestă definiţie este comptibilă cu ce nterioră, în sensul că dcă ϕ S, tunci ϕ este integrbilă pe R n ş i ϕ = I(ϕ). Dcă M R n este o mulţime mărginită şi măsurbilă şi dcă f : M R este o funcţie mărginită, ir f M este prelungire lui f l R n nulă în fr lui M, tunci f M este o funcţie mărginită cu suport compct şi funcţi f este prin definiţie integrbilă pe M dcă f M este integrbilă pe R n ; îi cest cz... f(x 1,...,x n )dx 1...dx n M (1)... f M (x 1,...,x n )dx 1...dx n = f M R n Proprietăţile principle le integrlelor pe mulţimi măsurbile mărginite (liniritte, monotonie, limitre modulului, nulre pe mulţimi neglijbile, ditivitte, expresi integrlă măsurii etc.) u fost demonstrte în teorem IV De semene s- rătt că funcţiile mărginite măsurbile şi în prticulr funcţiile continue pe M sunt integrbile (teorem IV. 1.7). Punctul centrl în deducere formulelor de clcul efectiv l integrlelor multiple îl constituie Teorem 1.1. Fie P R n, Q R q două prlelipipede închise şi f(x, y), f : P Q R o funcţie continuă. Atunci funcţi λ Q : P R, x f(x, y)dy este integrbilă pe P şi în plus, f(x, y)dxdy = P Q P Q λ Q (x)dx = P dx f(x, y)dy. (2) Q (m nott x =(x 1,...,x p ), y =(y 1,...,y q ), dx =dx 1...dx p,dy =dy 1...dy q ); (fig. V. 1). Observţie. În mod similr cu relţi (2), re loc relţi f(x, y)dxdy = dy f(x, y)dx. (3) P Q Relţiile (2) şi (3) se scriu explicit stfel... f(x 1,...,x p,y 1,...,y q )dx 1...dx p dy 1...dy q = P Q P Q dx 1...dx p dy 1...dy q Q P Q f(x 1,...,x p,y 1,...,y q )dy 1...dy q = f(x 1,...,x p,y 1,...,y q )dx 1...dx p P

239 5.1. CALCULUL INTEGRALELOR MULTIPLE 235 şi se justifică stfel de ce teorem 1.1 este numită uneori teorem de intervertire ordinei de integrre; e este un cz prticulr l unei teoreme mi generle lui G. FUBINI ( ). În fond, teorem 1.1 extinde l integrle o propriette binecunoscută sumelor finite: dcă { ij } 1 i m, este un şir finit 1 j n î n R, tunci ( m n n m ) ij = = ij. i,j i=1 ij j=1 Exemple. 1) Fie funcţi f(x, y) =x 2 y considertă pe dreptunghiul D = [1, 2] [ 1, 3]. Atunci 2 3 f(x, y)dxdy = dx x 2 y dy. D 1 1 În cest cz, şi c tre, λ Q (x) = D 3 1 j=1 i=1 3 x 2 y dy = x 2 y dy =4x 2 x 2 y dx dy = π x 2 dx = ) Clculăm integrl triplă I = (xy + z) dx dy dz, unde π =[1, 2] [, 3] [ 1, 1]. Notând P =[1, 2] [, 3] şi Q =[ 1, 1] şi plicând teorem 1.1 obţine 1 I = dx dy (xy + z)dz = dx dy (xy + z)dz = P Q P = 2xy dx dy =2 x dx y dy = P Dăm câtev consecinţe forte importnte le teoremei nteriore, cre constituie formule explicite de clcul l integrlelor duble, triple etc. Teorem 1.2. Fie g 1,g 2 două funcţii continue [, b] R stfel încât g 1 g 2. Atunci mulţime M = {(x, y) R 2 x b ş i g 1 (x) y g 2 (x)} 1 este măsurbilă în R 2 şi pentru orice funcţie continuă f : M R re loc formul b g2 (x) f(x, y)dxdy = dx f(x, y)dy. (4) M g 1(x) Demonstrţie. MulţimeM este evident închisă şi mărginită, deci este compctă şi conform teoremei III 3.2, măsurbilă. Alegem c<dstfel încât M [, b] [c, d] =P Q. Atunci f(x, y)dxdy = f M (x, y)dxdy = f M (x, y)dxdy, M R 2 P Q ultim relţie decurgând din fptul că f M se nuleză în fr dreptunghiului P Q. Aşdr, plicând teorem 1.1, obţinem M f(x, y)dxdy = P dx f M (x, y)dy = Q b dx d c f M (x, y)dy = Fig. V.2

240 236 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI = b g1(x) dx f M (x, y)dy + c }{{} I 1 g2(x) g 1 (x) d f M (x, y)dy + g 2 (x) f M (x, y)dy }{{} ş i c u m f u n c ţ i f M se nuleză în fr mulţimii M, rezultă că integrlele I 1 ş i I 2 sunt nule, deci M f(x, y)dx dy = b dx ş i c u m f M = f pe M, se obţine formul (4). g2 (x) g 1(x) f M (x, y)dy Observţii. Un enunţ similr teoremei 1.2 se pote d pentru mulţimi de form M = {(x, y) R 2 c y d ş i h 1 (y) x h 2 (y)} I 2 cu h 1 h 2 funcţii continue [c, d] R, nume f(x, y)dxdy = d dy h2(y) M c h 1 (y) f(x, y) dx (vezi fig. V.3), Fig. V.3 pentru orice funcţie continuă f : M R. Mulţimile de form indictă mi sus vor fi numite d-hoc intergrfice proiectbile pe Ox (şi respectiv pe Oy). Aplicând propriette de ditivitte integrlelor multiple, dcă o mulţime măsurbilă M R 2 pote fi reprezenttă c reuniune finită de intergrfice proiectbile pe Ox vând două câte două intersecţii neglijbile, tunci integrl dublă oricărei funcţii continue pe M revine l clculul integrlelor corespunzătore pe intergrficele respective; un fpt similr re loc în czul când M este reuniune finită de intergrfice proiectbile pe Oy. Exemple. 1) Clculăm [ ri intergrficului M definit de g 1 (x) = sinx, g 2 (x) =sinx + cos x, x, π ]. Aşdr, 2 ri M = M dx dy = π 2 g2 (x) dx dy = g 1(x) π 2 (sin x + cos x sin x)dx = Fig. V.4 = π 2 2) Clculăm integrl dublă cos x dx = 1 (fig. V. 4). I = M (x + y)dx dy pe mulţime M indictă în figur lăturtă (fig. V.5). Mulţime M se pote descompune în două intergrfice proiectbile pe Ox şi vem I = (x + y)dxdy + (x + y)dxdy = M 1 M 2 2 dx 2x (x + y)dy+ Fig. V dx x (x + y)dy = [x(4 x)+ 2 (4 x)2 2 (x 2x + x)dx+ ] dx =

241 5.1. CALCULUL INTEGRALELOR MULTIPLE 237 Dr ceeşi mulţime M este şi un intergrfic proiectbil pe Oy şi tunci I = = = dy 2 4 y y 2 2 ( 16 8y + y ( ) x 2 x=4 y (x + y)dx = dy 2 + xy = x= y2 2 ) +4y y 2 y4 8 y3 dy = 2 (64 4y 2 4y 3 y 4 )dy = În czul n = 3, dică pentru integrle triple, este fundmentlă următore Teorem 1.3. Fie g 1,g 2 două funcţii continue D R, unded este o mulţime mărginită măsurbilă din R 2, stfel încât g 1 g 2. Atunci mulţime M = {(x, y, z) R 3 (x, y) D ş i g 1 (x, y) z g 2 (x, y)} este măsurbilă în R 3 şi pentru orice funcţie continuă f : M R re loc formul M f(x, y, z)dxdy dz = În prticulr, volumul lui M este V (M) = dx dy dz = M D D dx dy g2(x,y) g 1 (x,y) f(x, y, z)dz. (5) [g 2 (x, y) g 1 (x, y)] dx dy. Demonstrţie. Alegem un prlelipiped P Q din R 3 stfel încât P să fie un dretpunghi din R 2, Q un intervl în R ş i D P Q. Evident, f(x, y, z)dxdy dz = f M (x, y, z)dxdy dz = M R 2 = f M (x, y, z)dxdy dz = dx dy f M (x, y, z)dx = = P Q dx dy g2 (x,y) P g 1 (x,y) f M (x, y, z)dz, P Q Fig. V.6 ultim relţie decurgând din fptul că intervlul [g 1 (x, y),g 2 (x, y)] este conţinut î n Q, oricre r fi (x, y) P. Deorece f M = f pe M ş i f M (x, y, z) =pentru orice (x, y) P \ D, integrl dublă pote fi considertă numi pe D ş i s e găseşte formul (5). Exemple. 1) Clculăm volumul V (M) l corpului M limitt de prboloidul z = x 2 + y 2 şi de plnul z = 1 (fig. V. 7). Avem 1 V (M) = dx dy dz = dx dy M D x 2 +y 2 dz unde D = proiecţi lui M pe plnul xoy. Aşdr, D este discul {x 2 + y 2 1} în plnul xoy, deci V (M) = D (1 x 2 y 2 )dx dy = x 2 dx (1 x 2 y 2 )dy = π 1 x 2, 2 Fig. V.7 după clcule uşore. 2) Mulţimile M de form indictă în teorem 1.3 pot fi numite intergrfice proiectbile pe plnul xoy; prin ditivitte se clculeză integrle triple pe mulţimi cre sunt reuniuni de stfel de intergrfice. O discuţie similră re

242 238 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI loc pentru intergrfice proiectbile pe plnul yoz su pe plnul zox. Cun exemplu, ne propunem să clculăm integrl triplă I = x dx dy dz unde M = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 1, y }, fig. V. 8. În cest cz, M este in intergrfic proiectbil pe plnul xoz ş i v e m I = D M 1 x 2 z 2 x dx dy dz dy = x(1 x 2 z 2 )dxdz D Fig. V.8 unde D = {x 2 + z 2 1 în plnul xoz}, deci I = = = x 2 x dx (1 x 2 z 2 )dz = 1 x 2 ) dx (z x 2 z z3 z= 1 x z= 1 x 2 = x(1 x 2 ) 1 x 2 dx, dică I =, deorece integrntul este funcţie impră. Un rezultt generl privind clculul integrlelor multiple este stbilit în teorem următore. Teorem 1.4. Fie M R p R q o mulţime mărginită măsurbilă şi M = {x R p ( ) y R q, (x, y) M}, M x = {y R q (x, y) M}, unde x M este fixt. Dcă f(x, y), f : M R este o funcţie continuă, tunci f(x, y)dxdy = dx f(x, y)dy. M M M x Demonstrţie. Alegem un prlelipiped M 1 M 2 R p R q stfel încât M M 1 M 2.Evident,χ M (x, y) =χ M (x) χ Mx (y), deci f = χ M (x, y) f = dx χ M (x) χ Mx (y) f(x, y)dy = M M 1 M 2 M 1 M 2 = χ M (x)dx χ Mx (y) f(x, y)dy = dx f(x, y)dy. M 1 M 2 M M x Fig. V Aplicţii geometrice şi fizice le integrlelor multiple Un precept util, ilustrt dej prin noţiunile de rie, volum etc. este cel după cre orice mărime geometrică (su fizică) cre este ditivă de mulţime se pote exprim printr-o integrlă. Acestă firmţie nu este desigur o teoremă, dr circumscrie gm de plicţii le integrlelor. Fie M R n o mulţime măsurbilă (mărginită). Am văzut că volumul lui M este dt prin V (M) = 1= dx =... dx 1...dx n. M M M De exemplu, pentru n = 2 se obţine ri mulţimilor plne măsurbile mărginite, nume ri M = dx dy D

243 5.1. CALCULUL INTEGRALELOR MULTIPLE 239 ir pentru n = 3, se obţine volumul V (M) = M dx dy dz. Fie µ : M R o funcţie continuă şi pozitivă. În cele ce urmeză, este comod să numim M - corp şi µ - densitte specifică lui M. Numărul rel m = µ(x)dx se numeşte ms lui M, ir punctul G R n de coordonte 1 1 x 1 µ(x)dx, x 2 µ(x)dx,..., 1 x n µ(x)dx, m m m M M M se numeşte centrul de greutte l lui M. Dcă µ este funcţie constntă, se spune că M este un corp omogen. De exemplu, pentru o plcă plnă omogenă M R 2, coordontele centrului de greutte sunt x dx dy y dx dy M x = M, y =, dx dy dx dy M ir pentru un corp omogen M R 3, centrul de greutte re coordontele x = 1 x dx dy dz, y = 1 y dx dy dz, V (M) M V (M) M z = 1 z dx dy dz. V (M) Pentru orice punct fixt R n, numărul x 2 µ(x)dx M se numeşte momentul de inerţie l lui M în rport cu, ir dcă F R n este o mulţime închisă şi d(x) este distnţ de l punctul curent x l F, tunci numărul rel d(x) 2 µ(x)dx M se numeşte momentul de inerţie l lui M în rport cu F. De exemplu momentul de inerţie l unei plăci omogene M R 2 în rport cu Ox (respectiv Oy) este y 2 dx dy (respectiv x 2 dx dy). M M Aceste definiţii sunt motivte şi mterilizte în cursul de mecnică Schimbări de vribile în integrle multiple În teorem III 5.2. formul (44) m stbilit modul cum se modifică volumul unui prlelipiped închis din R n printr-o trnsformre T : R n R n liniră. Aceeşi formulă re loc evident şi pentru fguri şi poi pentru mulţimi compcte orecre din R n ; într-devăr, dcă K R n este un compct, tunci se pot lege fguri F 1 F 2... stfel încât K = F 1 F 2... ş i V (K) = lim Avem T (F 1 ) T (F 2 )...,T(K) = T (F 1 ) T (F 2 )... ş i V (F n). n V (T (K)) = M lim V (T (F n)) şi cum V (T (F n )) = det T V (F n ), se obţine n V (T (K)) = det T V (K) su µ(t (K)) = det T µ(k), notând cu µ lure volumului. Acest fpt v fi generlizt înlocuind trnsformre liniră printro trnsformre punctulă orecre de clsă C 1, indicând de semene efectul unei schimbări de coordonte supr integrlelor multiple. M M

244 24 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI Fie U, V R n deschişi fixţi, F : U V un difeomorfism cu jcobinul J F ş i g : V R o funcţie continuă. Rezulttul principl este cuprins în următore Teorem 1.5 (schimbre de vribile în integrl multiplă). Dcă M V este o submulţime măsurbilă, tunci g este integrbilă pe M dcă şi numi dcă funcţi (g F ) J F este integrbilă pe F 1 (M) şi re loc relţi g = (g F ) J F. (6) M F 1 (M) Fig. V.1 Demonstrţi cestei teoreme nu este simplă şi ne restrângem l comentrii şi plicţii. În unele situţii, teorem 1.5 este plictă locl şi rezulttele se smbleză globl. Corolr. În condiţiile teoremei 1.5, fie N U o mulţime măsurbilă orecre; tunci µ(f (N)) = J F. (7) Demonstrţie. Este suficient să luăm M = F (N) şig = 1 în relţi (6). Observţie. Dcă plicţi F este R-liniră, tunci J F este o constntă (chir determinntul mtricii socite lui F nott cu det F ) şi se regăseşte formul (44) din cpitolul III. Relţi (7) re o interpretre infinitezimlă, folosită în unele rţionmente inginereşti: plicând teorem de medie în membrul drept l relţiei (7) rezultă că dcă N este un prlelipiped, tunci există ξ N stfel încât µ(f (N)) = J F (ξ) µ(n) şi dcă N este mic de dimensiuni x 1,..., x n, centrt într-un punct, tunci µ(n) = x 1,..., x n este numit element de volum nott ω, deci formul proximtivă µ(f (N)) J F () ω indică modul în cre se trnsformă elementul de volum prin F. Exemple. ) Trecere l coordonte polre în pln. Considerăm deschişii U =(, ) (, 2π) şiv = R 2 \ semix pozitivă Ox din R 2 şi fie plicţie N F : U V, (ρ, θ) (x, y) unde ρ, θ sunt coordontele polre le punctului (x, y), deci x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. În cest cz, J F = ρ şi formul (6) plictă locl rtă că pentru orice mulţime măsurbilă M V vem g(x, y)dxdy = g(ρ cos θ, ρ sin θ) ρ dρ dθ. M F 1 (M) De exemplu, dcă M =discul{x 2 + y 2 R 2 } şi dcă g(x, y) =x + y + 1, tunci 2π R (x + y + 1) dx dy = dθ (ρ cos θ + ρ sin θ + 1) ρ dρ = M = 2π ( R 3 3 cos θ + R3 3 sin θ + R2 2 ) dθ = πr 2 (de fpt discul M nu este conţinut în V, dr mulţime M \ V este neglijbilă). De semene, ne propunem să flăm momentul de inerţie l discului x 2 + y 2 2Rx (presupus omogen cu densitte 1) în rport cu origine. Acest este egl cu x 2 +y 2 2Rx = (x 2 +y 2 )dxdy = π 2 π 2 F 1 (M) (4R 2 cos 4 θ)dθ =8R 4 π 2 ρ 2 ρdρdθ = π 2 π 2 dθ cos 4 θ dθ = 3 2 πr4. 2R cos θ ρ 3 dρ =

245 5.1. CALCULUL INTEGRALELOR MULTIPLE 241 b) Există situţii fizice cre prezintă simetrii remrcbile. Pentru o exprimre mtemtică mi convenbiă cestor simetrii se recomndă schimbări de vribilă, de exemplu înlocuire coordontelor crteziene prin lte sisteme de coordonte. Astfel, în probleme cu simetrie xilă (în rport cu o dreptă) se recomndă coordontele cilindrice, ir în probleme cu simetrie centrlă (în rport cu un punct), coordontele sferice. Trecere l coordontele cilindrice este legtă de un difeomorfism F : (ρ, ϕ, z) (x, y, z) undex = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z (între deschişi din R 3 ) cu jcobinul J F = ρ, ir trecere l coordonte sferice este (r, θ, ϕ) (x, y, z) unde x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ, cu jcobinul r 2 sin θ. Pentru exemplificre, clculăm volumul sferei M = {x 2 +y 2 +z 2 R 2 } folosind coordontele sferice; cest este V = dx dy dz = r 2 sin θ dr dθ dϕ = x 2 +y 2 +z 2 R 2 F 1 (M) = R3 3 = 2π 2π dϕ ρ 3 dϕ π π dθ R sin θ dθ = 2R3 3 r 2 sin θ dr = 2π dϕ = 4πR3. 3 În mod similr, clculăm integrl triplă I = xy dx dy dz unde M = {1 z x 2 + y 2,z }; (fig. V. 11) M Aplicăm coordonte cilindrice (ţinând cont de simetri lui M în rport cu x Oz); se obţine I = ρ 2 cos ϕ sin ϕ ρ dρ dϕ dz = = = 2π 2π F 1 (M) sin ϕ cos ϕdϕ sin ϕ cos ϕdϕ ρ 2 dρ ρ 3 dz = (ρ 3 ρ 5 )dρ =. Fig. V Integrle multiple improprii Remintim că o funcţie mărginită, măsurbilă, pozitivă f : R n R este integrbilă în R n dcă limit lim f r B r există şi este finită, unde B r = { x r}, r>, cestă limită fiind nottă f. R n Dcă f : R n R este o funcţie măsurbilă şi pozitivă (dr nu nepărt mărginită), tunci funcţi f este integrbilă dcă există limit lim λ R n f λ, unde f λ =min(f,λ), λ>, nottă R n f. În fine, o funcţie măsurbilă f : R n R nu nepărt pozitivă se numeşte integrbilă în R n dcă funcţiile pozitive f + = mx(f,), f = mx( f,) sunt integrbile în sensul nterior. În cest cz, f f + f. Dcă R n R n R n M R n este măsurbilă, o funcţie măsurbilă f : M R este integrbilă pe M dcă f M = f χ M este integrbilă în R n. Aceste noţiuni u fost introduse prin definiţiile din cpitolul IV.

246 242 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI Exemple. 1) Funcţi f(x, y) = x, nemărginită { şi vând semn vribil, nu x dcă x este integrbilă în R 2, deorece f + (x, y) = nu este integrbilă; { dcă x< x dcă x<λ într-devăr, în cest cz, f λ (x, y) = λ dcă x<λ,pentru orice λ> fixt (nulă în rest) şi clculăm f λ (x, y)dxdy = lim f λ (x, y)dxdy = R 2 r x 2 +y 2 r [ 2 λ r 2 x 2 r ] r 2 x 2 lim dx r x dy + dx r 2 x 2 λ λ dy = r 2 x 2 [ λ 2 x ] r r 2 x 2 dx +2λ r2 x 2 dx =, lim r deci f λ nu este integrbilă pe R 2. 2) Funcţi continuă, mărginită şi pozitivă f(x, y) =e x2 y 2 este integrbilă pe R 2 deorece există limit lim r x 2 +y 2 r 2 e x λ 2 y 2 dx dy; cest se pote clcul trecând l coordonte polre, nume este eglă cu 2π r 2π lim dθ e ρ2 ρdρ = lim ( 12 ) r r r e ρ2 dθ = π lim )=π. r (1 e r2 Totodtă deducem din teorem 1.1 că e x2 dx e y2 dy = π, dică regăsim fptul că e x2 dx = π. 3) Fie discul M = {x 2 + y 2 R 2 } şi funcţi pozitivă nemărginită f(x, y) = 1 (x 2 + y 2,undeα>este constntă relă. Se observă că punând f(, ) = ) α vem o funcţie f : M R; f este integrbilă pe M dcă şi numi dcă prelungind f cu în fr lui M se obţine o funcţie integrbilă pe R n. În cest cz, pentru orice λ>vem (x 2 + y 2 ) α dcă (x 2 + y 2 ) α λ ş i x 2 + y 2 R 2 f λ (x, y) = λ dcă (x 2 + y 2 ) α >λşi x 2 + y 2 R 2 î n r e s t ş i lim λ = lim λ f λ (x, y)dxdy = lim (x 2 + y 2 ) α dx dy = λ x 2 +y 2 λ α 1 2π λ 2α 1 dθ ρ 1 2α dρ =2π lim λ λ 1 2α ρ 1 2α dρ, trecând l coordonte polre. Integrl există dcă şi numi dcă 2α 1 < 1, dică <α<1 (conform IV 1, 4, lem b) şi în cest cz limit nterioră este eglă cu 2π lim α =. λ λ α 1 1 Aşdr, funcţi f(x, y) = (x 2 + y 2, α> este integrbilă în M dcă şi ) α numi dcă α<1. În mod similr, folosind coordontele sferice, se vede că funcţi f(x, y, z) = 1 (x 2 + y 2 + z 2 ) α, α> este integrbilă în bil M = {x2 + y 2 + z 2 R 2 } dcă şi numi dcă α< 3 2.

247 5.1. CALCULUL INTEGRALELOR MULTIPLE 243 Pentru integrlele multiple improprii se pot refce unele proprietăţi din czul integrlelor simple improprii c: liniritte, ditivitte, criterii de comprţie, vlore principlă Cuchy etc. Integrlele multiple improprii pr efectiv în unele considerţii fizice. Astfel, dcă M R 3 este un corp mteril cu densitte de volum µ(x, y, z), similt cu o mulţime compctă, tunci pentru orice punct P (u, v, w) dinr 3, se defineşte potenţilul trcţiei newtoniene relizte de corpul M în punctul P c fiind µ(x, y, z) U(u, v, w) dx dy dz. (x u)2 +(y v) 2 +(z w) 2 M Funcţi U este de clsă C î n R 3 \ M (căci dcă (u, v, w) / M, tunci se pote deriv sub integrlă de oricâte ori în rport cu u, v, w). Mi mult se pote verific imedit că 2 U u U v U w 2 = în fiecre punct din R3 \ M, dică U este funcţi rmonică în deschisul R 3 \ M. Dr dcă punctul P prţine lui M, tunci integrl triplă nterioră este improprie; e este convergentă (cee ce se vede utilizând coordonte sferice în P ), dr prin derivre sub integrlă în rport cu u, v, w se obţin integrle divergente, stfel că U nu este derivbilă î n p u n c t e l e l u i M Exerciţii 1. Să se clculeze integrlele (x + y + xy)dxdy, P 1 P 2 (xyz + x)dx dy dz, unde P 1 =[ 1, 1] [, 3] şi respectiv P 2 =[, 1] [, 1] [, 1]. 2. Să se clculeze ) x dx dy ş i y dx dy; x 2 x 2 +y 1 y 2 x,x+y 2 b) xydxdy dz, (x+y+z)dxdydz. x+y+z 1,x,y,z z 1 x 2 y 2 3. Dcă f 1,f 2 sunt funcţii continue, f 1 : I R, f 2 : J R (I,J intervle compcte din R), să se rte că ( ) ( ) f 1 (x) f 2 (y)dxdy = f 1 (x)dx f 2 (y)dy. I J I J Generlizre, 4. Se consideră mulţime D =[1, ) [1, ) dinr 2 ş i f u n c ţ i f : D R definită prin f(x, y) = x y (x + y) 3. Să se rte că dy f(x, y)dx = 1 ş i c ă dx f(x, y)dy = Se contrvine stfel teoremei 1.1? 5. Fie M R n o mulţime mărginită măurbilă şi f : M R ofuncţie uniform continuă. Să se rte că pentru orice ε>existăδ(ε) > stfel încât pentru orice prtiţie {N i } 1 i p luim cu mulţimi măsurbile de dimetru cel mult δ şi pentru orice puncte ξ i N i,1 i p, săvem p f f(ξ i ) V (N i ) <ε. M i=1

248 244 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI Indicţie. Dcă V (M) =, concluzi este imedită. Presupunem că V (M) şi fixăm ε> rbitrr. Atunci există δ(ε) stfel încât de îndtă ce x x <δşi x, x M să rezulte că f(x) f(x ) < ε ; c tre, V (M) p f f(ξ i ) V (N i ) M = p p f f(ξ i ) V (N i ) i=1 i=1 N i = i=1 p [ ] p = f f(ξ i ) V (N i ) i=1 N i f f(ξ i ) V (N i ) = i=1 N i p p = f f(ξ i ) = [f f(ξ i ) N i N i N i i=1 p i=1 i=1 ε V (M) V (N i)= ε V (M) p V (N i )=ε. i=1 (Acest exerciţiu se referă l proximre integrlelor multiple prin sume Riemnn). 6. ) Să se determine coordontele centrului de greutte l plăcii omogene de semicerc M = {x 2 + y 2 R 2, y } şi momentul de inerţie l lui M î n rport cu origine. b) Aceeşi problemă pentru emisfer {x 2 + y 2 + z 2 R 2,z }. 7. Să se clculeze ms corpului M = { <z 1 x y, x 2 y}, cu 1 densitte µ(x, y, z) = 1 x y. 8. Să se clculeze ms, coordontele centrului de greutte şi momentul de inerţie fţă de origine le elipsoidului omogen M = {x 2 /4+y 2 + z 2 1}. Acelşi lucru pentru titirezul M = {x 2 + y 2 z, z h}, h> dt. 9. Să se clculeze x 2 +y 2 +z 2 1 e x dx dy dz, trecând l coordonte sferice. ş i 1 x 2 +y 2 +z Să se clculeze volumul definit de x 21 + x22 + x x2 4 1 în R4. R 2 x dx dy dz, 11. Să se studieze convergenţ integrlelor multiple improprii dx dy (x 2 + y 2 ) α, x 2 dx dy, y x 2 +y 2 2y< x 2 +y 2 +z 2 1 unde α> este o constntă. x 2 +y 2 3 y 2x ln(x 2 + y 2 + z 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 dx dy dz, ) α 5.2 Câmpuri sclre, vectorile. Formule integrle xy +2y x 2 dx dy, + y2 În cest prgrf prezentăm câtev noţiuni introductive din teori clsică câmpului şi din clculul exterior cre u multiple consecinţe şi plicţii. Aceste noţiuni sunt dâncite în cdrul teoriei formelor diferenţile şi nlizei mtemtice pe vrietăţi.

249 5.2. CÂMPURI SCALARE, VECTORIALE. FORMULE INTEGRALE Grdientul unui câmp sclr Fie U R 3 un deschis fixt; remintim că prin câmp sclr definit pe U se înţelege orice funcţie ϕ(x, y, z) :U R, ir un câmp vectoril de componente P, Q, R î n U este o sociere de form v : U V 3, v(x, y, z) = P (x, y, z)ī + Q(x, y, z) ȷ + R(x, y, z) k, presupunând că este fixt un reper ortogonl în R 3 de versori ī, ȷ, k. Aşdr, defini un câmp sclr (respectiv vectoril) cţionând în U revine l soci fiecărui punct din U un numit sclr (respectiv vector). Câmpurile sclre sunt pur şi simplu funcţii rele de trei vribile rele, ir câmpurile vectorile se identifică prin triplete de câmpuri sclre componente. Dcă funcţi ϕ este de clsă C p (U) (respectiv, dcă P, Q, R u cestă propriette) p,sespunecăϕ (respectiv v) este un câmp de clsă C p (U). Exemple. 1) Dcă U este o submulţime deschisă conţinută într-o numită regiune din spţiu, câmpul sclr l temperturilor în U este funcţi cre sociză oricărui punct din U tempertur măsurtă în cel punct, într-un numit sistem de unităţi. În mod similr, se definesc câmpul presiunilor, l umidităţilor etc. Condiţi c mulţime U să fie deschisă este necesră pentru definire rigurosă numitor condiţii de regulritte supr câmpului (continuitte, clsă C 1 etc.). 2) Un exemplu tipic de câmp vectoril îl constituie câmpul vitezelor prticulre (similte cu puncte) le unui fluid dintr-un recipient. 3) Dcă O este un punct mteril fixt, tunci în mulţime R 3 \{O} se pote defini câmpul vectoril l trcţiilor newtoniene relizte de O. Anume, pentru orice punct M O se noteză r = OM şi tunci vectorul corespunzător l trcţiei relizte de O î n p u n c t u l M este v(m) = k r 2 ρ, unde ρ = versorul lui OM ( = r r ), dică v(m) = k r 3 r. Alegând un reper ortogonl Oxyz de versori ī, ȷ, k, dcă punctul M re coordontele x, y, z, rezultă că k v(x, y, z) = (xī + y ȷ + z k), (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 pentru (x,y,z) (,, ). Aşdr, câmpul newtonin este un câmp vectoril de clsă C î n d e s c h i s u l R 3 \{O}. Fixăm un câmp sclr ϕ de clsă C 1 (U), U R 3 fiind un deschis. Pentru orice număr rel c se numeşte suprfţă de nivel socită perechii (ϕ, c) suprfţ S c de ecuţie crtezină ϕ(x, y, z) =c (definiţi 5.13 din cp. III). Aşdr, pe întreg suprfţă S c câmpul ϕ re o vlore constntă, nume c. Evident, prin orice punct (x,y,z ) U trece o unică suprfţă de nivel, nume S c, unde c = ϕ(x,y,z ). În czul când ϕ este câmpul temperturilor (respectiv l presiunilor) dintr-o regiune fixtă, suprfeţele de nivel corespunzătore se numesc izoterme (respectiv izobre). Definiţi 2.1. Fie ϕ(x, y, z), ϕ : U R un câmp sclr de clsă C 1 (U) unde U R 3 este un deschis. Pentru orice punct =(x,y,z ) U grdientul câmpului ϕ în punctul este vectorul grd ϕ = ϕ ϕ ϕ ()ī + () ȷ + x y z () k. (8) Asociere U V 3, grd ϕ este un câmp vectoril nott grd ϕ ş i numit câmpul de grdienţi socit lui ϕ. Acestă definiţie depinde de fixre unui reper ortogonl în R 3 (de versori ī, ȷ, k şi constituie un cz prticulr l conceptului introdus în cpitolul III, 4; vom vede că grd ϕ depinde numi de ϕ ş i. Exemple. Dcă ϕ(x, y, z) =x 2 + yz, tunci grd ϕ =2xī + z ȷ + y k, ir dcă ψ(x, y, z) =x + yz + xyz ş i =(1,, 3), tunci grd ψ =ī +6 ȷ.

250 246 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI Notăm în cele ce urmeză cu S p (respectiv V p ) mulţime câmpurilor sclre (vectorile). Atunci lure grdientului defineşte o sociere S p V p 1. Proprietăţi de clcul le grdientului Proprietăţile cre urmeză rezultă direct din proprietăţi le derivtelor prţile şi demonstrţi lor este imedită. ) Dcă ϕ, ψ sunt câmpuri sclre din C 1 (U) şi dcă α este o constntă relă, tunci pentru orice punct U, grd α =, grd (αϕ) =αgrd ϕ, grd (ϕ + ψ) = grd ϕ + grd ψ, grd (ϕψ) =ϕ() grd ψ + ψ() grd ϕ, ir dcă ψ(), tunci grd ( ϕ ψ ) = ψ() grd ϕ ϕ() grd ψ ψ() 2. În punctul curent din U ceste relţii se scriu grd αϕ = αgrdϕ, grd(ϕ+ ψ) = grd ϕ + grd ψ, grd (ϕψ) =ϕgrd ψ + ψ grd ϕ etc. b) Fie U ϕ R u R funcţii de clsă C 1. Atunci grd (u ϕ) =u (ϕ()) grd ϕ, pentru orice U, ir în punctul curent, grd u(ϕ) =u (ϕ) grd ϕ. c) Fie r = xī + y ȷ + z k vectorul de poziţie l punctului curent şi ā = 1 ī + 2 ȷ+ 3 k un vector constnt. Atunci produsul sclr ϕ =ā r = 1 x+ 2 y + 3 z re grdientul ϕ = ϕ xī + ϕ ϕ ȷ + y z k = 1 ī + 2 ȷ + 3 k =ā, dică grd (ā r) =ā. (9) În mod similr, grd r = grd x 2 + y 2 + z 2 = x x2 + y 2 + z 2 ī+ y + x2 + y 2 + z ȷ + z r k = 2 x2 + y 2 + z 2 r în orice punct din R 3, distinct de origine. Aşdr, reţinem formul Dcă u este o funcţie de clsă C 1, tunci grd r = r r. (1) grd u(r) =u (r) grd r = u (r) r r şi grd u(ā r) =u (ā r) ā. d) Dcă ϕ C 1 (U), U şi dcă s este un versor fixt, tunci dϕ ds () = s grd ϕ ş i dϕ ds = s grd ϕ, (11) în punctul curent din U. Acestă relţie rezultă direct din teorem III 4.6. e) Vectorul grd ϕ re direcţi normlei l suprfţ de nivel S câmpului sclr ϕ C 1 (U), cre trece prin punctul.

251 5.2. CÂMPURI SCALARE, VECTORIALE. FORMULE INTEGRALE 247 Acest fpt fost probt în condiţii mi generle (teorem III 5.7). Ită o demonstrţie mi directă: Fie x = x(t) (C) : y = y(t),t I z = z(t) o curbă prmetriztă orecre de clsă C 1 trecând prin şi sitută pe S. Aşdr, ϕ(x(t),y(t),z(t)) = ϕ(), pentru orice t I şi derivând în rport cu t se obţine ϕ x (γ(t))x (t)+ ϕ y (γ(t))y (t)+ ϕ z (γ(t))z (t) =, ( ) t I, (12) unde m nott γ(t) =(x(t),y(t),z(t)). Deorece există t I stfel încât γ(t )= (deorece punctul prţine urmei curbei (C)), rezultă din (12) că grd ϕ τ =, deci grd ϕ τ, unde τ = x (t )ī+y (t ) ȷ+z (t ) k este tocmi un vector tngent l (C). Aşdr grd ϕ este ortogonl plnului tngent l suprfţ S î n p u n c t u l ; fig. V.12. Indicăm o ultimă propriette grdientului cre rtă rolul deosebit l cestui în studiul vriţiei câmpurilor sclre şi constituie totodtă idee de bză în elborre metodelor de grdient (vezi III, 6, plicţi 2): dcă ϕ C 1 (U) şi U sunt fixte, tunci dintre toţi versorii s, cel pentru cre dϕ ds () este extremă este unul din versorii vectorului grd ϕ. Acest fpt fost probt în teorem III 5.8 su rezultă direct din formul (11), observând că dϕ ds () =1 grd ϕ cos θ unde θ este unghiul dintre vectorii s şi grd ϕ, deci extremele lui dϕ () se obţin tunci când cos θ = ±1, dică s este colinir ds cu grd ϕ. Observţie. Cele spuse nterior se refc fără dificultte pentru câmpuri sclre plne (definite în deschişi din R 2 ). În cest cz se definesc curbe de nivel, grdientul re direcţi normlei etc. Fig. V Divergenţ şi rotorul unui câmp vectoril. Opertorul (Nbl) Dcă se fixeză un reper ortogonl pln xoy de versori ī, ȷ şi dcă v(x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j este un câmp vectoril de clsă C 1 (U), unde U R 2 este un deschis, tunci se pot defini, pentru orice punct U: div v P x ()+ Q (), divergenţ lui v î n p u n c t u l, y ( ) Q P rot v () x y () (ī ȷ) rotorul lui v î n p u n c t u l, precum şi form diferenţilă de grdul I în U ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Câmpul v se numeşte câmp de grdienţi în U dcă există un câmp sclr ϕ C 1 (U) numitpotenţil sclr l lui v stfel încât v = grd ϕ, dică, P = ϕ x, Q = ϕ y în fiecre punct din U. Dcă în plus ϕ C2 (U), tunci rot (grd ϕ) = [ x ( ) ϕ y y ( )] ϕ (ī ȷ) = x

252 248 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI ş i div (grd ϕ) = x ( ) ϕ + x y ( ) ϕ = 2 ϕ y x ϕ y 2 = ϕ (lplcinul lui ϕ). Câmpurile de grdienţi se mi numesc câmpuri derivând dintr-un potenţil. Exemple. 1) Orice câmp constnt v(x, y) =ā = 1 i + 2 ȷ este un câmp de grdienţi, deorece luând ϕ(x, y) = 1 x + 2 j,vem v = grd ϕ. 2) Pentru câmpul pln newtonin v = k r (unde r = xī + y ȷ, r = r3 x2 + y 2, k>constnt) definit în U = R 2 \(, ) vem div v = k, rot v = r3 ( ) k ş i v = grd în fiecre punct din U. Verificările sunt imedite. r În cpitolul IV m dt crcterizre câmpurilor de grdienţi (corolrul teoremei 5.2). Adăugăm că potenţilul sclr ϕ este unic determint până l o constntă ditivă, dcă U este un deschis conex, deorece dcă v = grd ϕ 1, v = grd ϕ 2 î n U, tunci grd (ϕ 1 ϕ 2 ) =, deci ϕ 1 ϕ 2 = constnt. Reluăm cele de mi sus pentru czul spţiului R 3, rportt l un reper ortogonl Oxyz de versori ī, ȷ, k. Definiţi 2.2. Fie v = P (x, y, z)ī + Q(x, y, z) ȷ + R(x, y, z) k un câmp de clsă C 1 (U), U R 3 fiind un deschis fixt. Pentru orice punct U se definesc sclrul div v P x ()+ P y ()+ R (), (13) z numit divergenţ lui v în şi vectorul următor, numit rotorul lui v în [ ] [ ] R Q P rot v () y z () R ī + () z x () ȷ+ [ ] (14) Q P + () x y () k, cre pote fi scrisă sugestiv stfel rot v = ī ȷ k x y z P Q R ( dezvoltând cest determinnt simbolic după lini întâi). Aprent, div v, rot v depind de legere reperului ortogonl; vom vede ulterior că în relitte ceste entităţi sunt intrinseci şi depind numi de vectorul v ş i d e p u n c t u l. Proprietăţi de clcul le divergenţei şi rotorului ) Fie v ş i w două câmpuri vectorile de clsă C 1 pe un deschis U R 3. Atunci pentru orice punct U, div ( v + w) =div v +div w, rot ( v + w) = rot v + rot w ir dcă λ R este constnt, tunci div (λ v) =λdiv v, rot (λ v) =λrot v. În punctul curent din U ceste relţii se scriu div ( v + w) =div v +div w, rot ( v + w) = rot v + rot w, div λ v = λdiv v, rot λ v = λrot v.

253 5.2. CÂMPURI SCALARE, VECTORIALE. FORMULE INTEGRALE 249 b) Dcă c este un vector constnt, tunci div c =,rot c =,în fiecre punct din R 3. Dcă se noteză c de obicei, r = xī + y ȷ + z k (vectorul de poziţie), tunci div r =3, rot r =, div ( c r) =, rot ( c r) =2 c. (15) Verificre formulelor (15) se fce direct, considerând componentele produsului vectoril c r. c) Fie ϕ un câmp sclr şi v un câmp vectoril, mbele de clsă C 1 î n t r - u n deschis U R 3. Atunci pentru orice U u loc relţiile şi în punctul curent din U, div (ϕ v) =ϕ()div v + v() grd ϕ, rot (ϕ v) =ϕ()rot v v() grd ϕ, div (ϕ v) =ϕdiv v + v grd ϕ, rot (ϕ v) =ϕrot v v grd ϕ. (16) Pentru demonstrţie, presupunem că v = P ī + Q ȷ + R k, deci div (ϕ v) = x (ϕp )+ y (ϕq)+ ϕ (ϕr) =P z + Q ϕ y + ϕ Q y + R ϕ z + ϕ R z = ϕ + P ϕ x + Q ϕ y + R ϕ = ϕdiv v + v grd ϕ z etc. x + ϕ P x + ( P x + Q y + R z ) + Exemple. 1) Fie câmpul vectoril v = x 2 yī + yz ȷ 2xyz k de clsă C î n R 3. În punctul curent vem div v = x (x2 y)+ y (yz) (2xyz) =z, z ī ȷ k rot v = = (2xz + y)ī +2yz ȷ x 2 k. x y z x 2 y yz 2xyz 2) Pentru câmpul newtonin v = k r (k > constnt) vem v = ϕ r unde r3 ϕ = k,decidiv v =div(ϕ r) =ϕdiv r + r grd ϕ şi deorece grd ϕ = r3 kgrd (r 3 )=3k r 4 r r = 3k r, rezultădiv v =3 ( kr ) r k ( r r) şicum r5 r r = r 2,rezultăcădiv v =. Pe de ltă prte, rot v = rot (ϕ r) =ϕ rot r r grd ϕ = r grd ϕ = ( ) 3k = r r 5 r = 3k ( r r) =. r5 Câmpul vectoril v = yī + x ȷ este un câmp de vârtejuri deorece el este de form v = rot w (de exemplu luând w = xzī + yz ȷ). Terminologi este ici motivtă de fptul că în fiecre punct =(x,y ) vectorul v(x,y )= y ī + x ȷ cu punctul de plicţie în, este tngent l cercul cu centrul în origine trecând prin punctul (fig. V.13). Grdientul, divergenţ, rotorul se mi numesc opertorii diferenţili de ordinul I în teori câmpurilor. Am văzut că grdientul defineşte o sociere grd : S p V p 1. În mod similr, divergenţ şi rotorul definesc socieri Fig. V.13 div : V p S p 1, rot : V p V p 1,

254 25 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI O trtre unitră cestor socieri este reliztă în cdrul teoriei formelor diferenţile. Există însă o posibilitte de unificre proprietăţilor de clcul le grdientului, divergenţei şi rotorului, pentru câmpuri de clsă C 1, cu jutorul unui opertor simbolic =ī x + ȷ y + k (17) z numit opertorul nbl (su vectorul nbl, vând drept componente opertorii de derivre prţilă). Fcem convenţiile de consider grd ϕ = ϕ c produs între câmpul sclr ϕ şi vectorul, div v = v c produs sclr între vectorul şi vectorul v şi rot v = v c produs vectoril între vectorul şi vectorul v. De fpt convenind să definim produsul lui x (respectiv y, z )cuun câmp sclr ϕ c fiind ϕ ϕ (respectiv x y, ϕ ), rezultă z ( ϕ = ī x + ȷ y + k ) ϕ =ī ϕ z x + ȷ ϕ y + k ϕ z = grd ϕ şi dcă v = P ī + Q ȷ + R k, tunci ( v = ī x + ȷ y + k ) (P ī + Q ȷ + R k) = z v = ( ī = P x + Q y + R z =div v ) (P ī + Q ȷ + R k) = x + ȷ y + k z ī ȷ k = = rot v. x y z P Q R Se verifică imedit că în fiecre din cele trei ipostze, este linir dică (ϕ 1 + ϕ 2 )= ϕ 1 + ϕ 2, (λϕ) =λ ϕ, ( v 1 + v 2 )= ϕ 1 + v 2, (λ v) =λ v, ( v 1 + v 2 )= v 1 + v 2, (λ v) =λ v, cu notţii trnsprente. De semene, în fiecre din ele trei ipostze, plict unui produs de doi fctori re c rezultt o sumă de doi termeni în fiecre din ceşti cţionând câte o dtă (c în czul derivării uzule). Dtorită crcterului vectoril l lui, operţiile în cre el intervine (în fiecre din cele trei ipostze) se fc cu respectre proprietăţilor de lgebră vectorilă. Trebuie dăugt că entităţile căror li se plică sunt scrise l drept cestui. Remrcăm în sfârşit că derivt după un versor s = αī+β ȷ+γ k se exprimă de semene cu jutorul lui, nume dϕ ds ultim relţie decurgând din fptul că = s ( ϕ) =( s )ϕ, s = α x + β y + γ z şi deci ( s )ϕ = α ϕ x + β ϕ y + γ ϕ = s ( ϕ). z d Aşdr, = s. ds Ită câtev reguli de clcul cu nbl.

255 5.2. CÂMPURI SCALARE, VECTORIALE. FORMULE INTEGRALE 251 c = (dcă c este o constntă sclră); c =, c = (dcă c este un vector constnt); (ϕ v) = ( ϕ v)+ (ϕ v) = v ( ϕ)+ϕ( v) = v grd ϕ + ϕdiv v; (ϕ v) = ( ϕ v)+ (ϕ v) = v ( ϕ)+ϕ( v) = v grdϕ+ϕrot v săget indică fctorul pe cre se plică ); motivţi cestor clcule se flă în formulele (31); poi, ( v w) = ( v w)+ ( v w) = w ( v) v ( w), dică div( v w) = w rot v v rot w; în prticulr, ( c r) = r rot c c rot r = dcă c este vector constnt, ir r este vectorul de poziţie etc. Exemplu. Clculăm cu jutorul lui divergenţ şi rotorul câmpului vectoril v = r de clsă C î n R 3 \ (,, ), unde c este un vector c r constnt, r 4 ir r vectorul de poziţie. Avem ( c r ) ( c r ) ( div v = v = r 4 r + r 4 r c r ) c r = r r 4 + r 4 ( r) = r grd c r r 4 deorece r r = r 2 ; poi, + r c r +3 c 4 ( c r) 4r 3 r r 4 = r r r 8 = ( r c)r4 ( c r) 4r 2 ( r r) r 8 r +3 c r 4 =, r +3 c r 4 = ( c r ) ( c r ) rot v = v = r 4 r + r 4 r c r = r grd r 4 + c r c r rot r = r grd r4 r 4 = r c r4 ( c r) 4r 2 r r 8 = 1 ( c r). r4 Dcă ϕ este un câmp sclr de clsă C 2 ir v = P ī + Q ȷ + R k un câmp vectoril de clsă C 2 (într-un numit deschis din R 3 ), tunci u sens următorele 5 combinţii: grd (div v), div (rot v), div (grd ϕ), rot (grd ϕ) şi rot (rot v). Folosind teorem lui Schwrtz (teorem III 4.8), vem şi similr, div (rot v) =div = ( R x y Q z ī ȷ k x ( R ȷ x P z y z P Q R ) y =div ) ( + k Q ( R x P z x P )] = y ) + z [ ( R ī y Q ) z ( Q x P ) = y = 2 R x y 2 R y x 2 Q x z + 2 Q z x + 2 P y z 2 P z y = rot (grd ϕ) = ī ȷ k x ϕ x y ϕ y z ϕ z ( 2 ) ϕ =ī y z 2 ϕ z y

256 252 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI ( 2 ) ( ϕ ȷ x z 2 ϕ + z x k 2 ) ϕ x y 2 ϕ =. y x Pe de ltă prte, ( ϕ div (grd ϕ) =div xī + ϕ y + ( ) ϕ + ( ) ϕ y y z z Se verifică de semene uşor că rot (rot v) = grd (div v) ) ϕ ȷ + z k = x ( ) ϕ + x = 2 ϕ x ϕ y ϕ z 2 = ϕ. ( 2 v x v y v ) z 2, unde derivt unui câmp vectoril se clculeză pe componente. Cele 5 combinţii nteriore u fost obţinute prin repetre lui. Fptul că div (rot v) =, rot (grd ϕ) = revine în limbjul opertorului nbl l relţiile ( v) =, ( ϕ) =, cre sunt consecinţe directe le unor reguli elementre de lgebră vectorilă Integrle de suprfţă: fluxul unui câmp vectoril printr-o porţiune de suprfţă Fie un deschis conex în R 2 ş i s : R 3 o pânză de suprfţă prmetriztă de clsă C 1 (cp. III, definiţi 5.11), vând ecuţii prmetrice x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), (u, v). Vom presupune în plus că pânz de suprfţă s este injectivă (dică (u, v) (u,v )în implică s(u, v) s(u,v )) şi nesingulră (dică r u r v în fiecre punct (u, v) ). Definiţi 2.3. Pentru orice submulţime măsurbilă M, senumeşte ri porţiunii de suprfţă s(m) numărul rel pozitiv ri s(m) r u r v du dv. (18) M Fig. V.14 O justificre cestei definiţii este următore: fixăm (u,v ) şi legem un dreptunghi D conţinut în, cu lungimile lturilor p, q ş i fi e Q(x,y,z ) punctul s(u,v )depeurmσ=s( ) pânzei s. Fie v = v (respectiv u = u ) curbele prmetrice cre trec prin Q ş i s u n t situte pe Σ şi r u = r u (respectiv r v = r ) vectorii tngenţi în Q l ceste v curbe. Plnul tngent în punctul Q l Σ este identifict cu subspţiul vectoril rel bidimensionl T Q R 3, genert de vectorii linir independenţi r u = ( x u, y u, z u ), r v = ( x v, y v, z v cu derivtele prţile clculte în punctul (u,v ). Ari prlelogrmului construit pe vectorii p r u, q r v este pq r u r v şi cest proximeză ri s(d), dică ri s(d) r u r v ri D; fig. V. 14. Acestă formulă proximtivă se extinde l fguri conţinuţi în şi sugereză formul (18). ),

257 5.2. CÂMPURI SCALARE, VECTORIALE. FORMULE INTEGRALE 253 Exemple. 1) Considerăm octntul de sferă (Σ) : x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x>, y>, z>, prmetrizt prin r = R sin u cos vī + R sin u sin v ȷ + R cos u k, <u< π ( 2,<v<π 2. Aici =, π ) (, π ) şi curbele prmetrice v = 2 2 constnt, u = constnt sunt respectiv rce de meridine şi prleli pe sferă; în plus, se găseşte că r u r v = R 2 sin u; fig. V. 15. Fig. V.15 Atunci plicând formul (18) rezultă riσ = r u r v dudv = R 2 π 2 π 2 dv sin udu = πr2 2 şi ri întregii sfere x 2 + y 2 + z 2 = R 2 v fi 8 πr2 =4πR ) Fie z = f(x, y) o suprfţă definită explicit (proiectbilă pe plnul xoy) unde f : R este o funcţie de clsă C 1 pe un deschis R 2.FieM o mulţime măsurbilă şi (Σ) porţiune corespunzătore din suprfţă, vând prmetrizre r(x, y) =xī + y ȷ + f(x, ȳ)k, (x, y) M; fig. V. 16. Deorece r x =ī + f r y = ȷ + x k, f y k, rezultă r x r y = f xī f y ȷ + k ş i ( ) 2 ( ) 2 f f r u r v = În concluzie, x y ri Σ = M 1+ ( ) 2 f + x ( ) 2 f dx dy. (19) y C un exemplu concret, clculăm ri decuptă din emisfer x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z>decătre nitul cilindric x 2 + y 2 Ry = (fig. V. 17). În cest cz, f(x, y) = R 2 x 2 y 2 ş i ( ) 2 ( ) 2 f f x = 1+ x y R 2 x 2 y 2 + y 2 R 2 x 2 y 2 = = R R2 x 2 y, deci ri Σ = R 2 şi trecând l coordonte polre, rezultă ri Σ = R π R sin θ dθ M dx dy R2 x 2 y 2 ρ dρ π R2 ρ = R dθ R sin θ R 2 ρ 2 = 2 Fig. V.16 Fig. V.17 Fig. V.17b π π = R 2 (1 cos θ )dθ = πr 2 R 2 cos θ dθ =(π 2)R 2. Nu este lipsit de interes să remintim că în cpitolul IV, 2.2 m definit lungime unui rc de curbă prmetriztă de clsă C 1 c fiind mrgine superioră lungimilor liniilor poligonle înscrise în cel rc; dr o definiţie similră pentru ri unei porţiuni de suprfţă c mrgine superioră riilor reţelelor de triunghiuri cu vârfuri pe suprfţă conduce l contrdicţii.

258 254 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI Fie din nou Σ = s(m) o porţiune de suprfţă c mi sus, unde M este o submulţime măsurbilă şi fie F (x, y, z), F : U R o funcţie continuă pe un deschis U R 3 cre conţine pe Σ. Definiţi 2.4. Se numeşte integrlă de suprfţă funcţiei F pe Σ numărul rel F (x, y, z)dσ F (x(u, v),y(u, v),z(u, v)) r u r v du dv. (2) Σ M (Expresi diferenţilă dσ = r u r v dudv se mi numeşte element de suprfţă). În czul când Σ este o porţiune din plnul xoy, vemz =, r = xī + y ȷ ş i r x r y =ī ȷ deci r x r y = 1 şi se obţine integrl dublă uzulă pe M ofuncţieif (x, y, ). Aşdr integrlele de suprfţă constituie o extindere integrlelor duble. Indicăm câtev proprietăţi de clcul le integrlelor de suprfţă, cre rezultă direct din definiţi (2) şi din proprietăţi corespunzătore le integrlelor duble; totodtă ceste proprietăţi sunt similre celor dte în cpitolul IV, 3pentru integrle curbilinii. ) F (x, y, z)dσ este independentă de prmetrizre lui Σ în sensul că Σ pentru două prmetrizări echivlente vlore integrlei este ceeşi. Acest rezultă din teorem 1.5 de schimbre de vribilă în integrl dublă. b) Dcă F ş i G sunt funcţii continue pe un deschis cre conţine Σ şi dcă α, β sunt constnte rele, tunci (αf + βg)dσ = α F dσ + β Gdσ (liniritte); Σ Σ Σ c) Dcă Σ este juxtpunere, într-un sens uşor de explicitt, două porţiuni disjuncte Σ 1, Σ 2 de suprfţă, tunci F dσ = F dσ + F dσ (ditivitte); Σ Σ 1 Σ 2 d) Dcă Σ este cpcul unei suprfeţe z = f(x, y) proiectbile pe plnul xoy pe o mulţime măsurbilă M din plnul xoy (vezi fig. V. 16), tunci Σ F (x, y, z)dσ = M F (x, y, f(x, y)) 1+ ( ) 2 f + x e) Ari unei porţiuni de suprfţă Σ c mi sus este ri Σ = 1 dσ (conform (19)). Σ ( ) 2 f dx dy; y C în czul integrlelor curbilinii se pote d o ltă definiţie conceptului de integrlă de suprfţă, cu jutorul unor sume de tip Riemnn, socite unor diviziuni le porţiunii respective de suprfţă; definiţi 2.4 prin formul de clcul (2) re însă vntje incontestbile şi în celşi timp permite o interpretre intuitivă integrlelor de suprfţă. Orientre suprfeţelor Ne situăm în ipostzele făcute de l început reltiv l pânz de suprfţă s : R 3,cuurmΣ=s( ). Pentu orice punct Q Σexistăşiesteunic un punct (u, v) stfel încât Q = s(u, v) (căci plicţi s este injectivă); în punctul Q există doi versori normli l T Q, nume ± N Q unde N Q = r u r v r u r v (21)

259 5.2. CÂMPURI SCALARE, VECTORIALE. FORMULE INTEGRALE 255 În generl se numeşte orientre pe Σ orice plicţie continuă Σ V 3 sociind oricărui punct Q Σ unul din vectorii ε Q N Q cu ε Q = +1 su 1. Atunci sociere Σ { 1, 1}, Q ε Q v fi continuă şi cum Σ este mulţime conexă (deorece este conex şi s este continuă), rezultă că sociere nterioră este constntă, dică fie ε Q = +1 pentru orice Q Σ(orientre pozitivă Q N Q ), fie ε Q = 1 pentru orice Q Σ(orientre negtivă Q N Q ). Dcă pe Σ există o orientre, se mi spune că Σ este orientbilă su că re două feţe, corespunzând legerii versorilor-normlă ± N Q. Dcă s 1 : 1 R 3 ( 1 R 2 conex, s 1 injectivă nesingulră) este o pânză echivlentă cu s şi dcă F : 1 este un difeomorfism stfel încât s 1 F = s cu jcobinul strict pozitiv în fiecre punct, tunci s ş i s 1 u ceeşi orientre, în sensul că pentru orice (u, v) notând (ξ,η) =F (u, v), vem r u r v r u r v = r ξ r η unde (s) : r = r(u, v) r ξ r η ş i ( s 1 ): r = r(ξ,η). Se pot imgin vrietăţi de dimensiune 2 în R 3 (definiţi 5.14 din cpitolul III) cre nu sunt orientte, dică nu pot fi leşi versori normlă cre să vrieze continuu pe întreg vriette. Astfel, răsucind o foie dreptunghiulră, lipind cpetele şi omiţând mrginile foii se obţine bnd lui A.F. MÖBIUS ( ), cre este o vriette de dimensiune 2 vând o singură fţă, deci versorul normlă nu pote fi les vriind continuu pe întreg bndă. Deşi Q tinde către Q, NQ nu tinde către N Q (fig. V. 18). Fig. V.18 Fluxul unui câmp vectoril printr-o porţiune de suprfţă Fie v = P (x, y, z)ī + Q(x, y, z) ȷ + R(x, y, z) k un câmp continuu pe un deschis U R 3. Fie Σ = s(m) o porţiune de suprfţă prmetriztă de clsă C 1 (injectivă, nesingulră), conţinută în U, undem esteosubmulţime măsurbilă. Fixăm o orientre pe Σ, de exemplu orientre pozitivă, prin r u r v legere normlei N = î n p u n c t u l c u r e n t ( u, v). r u r v Definiţi 2.5. Se numeşte fluxul câmpului v prin Σ integrl de suprfţă Φ Σ ( v) ( v N)dσ (22) Σ Aşdr, ţinând cont de (2) ( ) r u r v Φ Σ ( v) = v r u r v du dv = ( v, r u, r v )dudv, M r u r v M unde produsul mixt este P Q R x y z ( v, r u, r v )= u u u x y z v v v Dcă se lege celltă orientre pe Σ se obţine fluxul Φ Σ ( v). Dcă suprfţ Σ este proiectbilă pe plnul xoy şi re ecuţi crtezină z = f(x, y) cu f de clsă C 1 ( ), unde este un deschis din plnul xoy, tunci r = xī + y ȷ + f(x, y) k, ir P Q R f ( v, r x, r y )= 1 x = P f x Q f y + R, f 1 y.

260 256 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI deci fluxul lui v prin Σ v fi egl cu ( ± P f ) M x Q f y + R dx dy, (23) Fig. V.19 Fig. V.2 unde semnul dininte integrlei este fixt în funcţie de orientre lesă (pozitivă su respectiv negtivă), ir în integrnt se înlocuieşte z = f(x, y), (fig. V. 19) Proprietăţile integrlelor de suprfţă induc proprietăţi le fluxului unui câmp vectoril (independenţ de prmetrizre, liniritte, ditivitte etc.). Exemple. 1) Clculăm fluxul câmpului vectorilor de poziţie v = r prin emisfer x 2 + y 2 + z 2 = R 2, z, după norml cre fce unghi scuţit cu semix pozitivă Ox (fig. V. 2) Aşdr, f(x, y) = R 2 x 2 y 2 ; în cest cz orientre pozitivă este ce r x r y cre corespunde lui N = r x r y,unde r = xī + y ȷ + R 2 x 2 y 2 k deci N = xī + y ȷ + R 2 x 2 y 2 k şi deorece R N k>, rezultă că N fce unghi scuţit cu semix pozitivă Oz. În cest cz, plicând formul (23) rezultă + ( x 2 Φ Σ ( v) =+ x 2 +y 2 R 2 R2 x 2 y + 2 y 2 R2 x 2 y + ) R 2 x 2 y 2 dx dy = 2 R 2 x 2 +y 2 R 2 dx dy 2π R2 x 2 y = 2 R2 π dθ ρ dρ R2 ρ 2 =2πR3. 2) Clculăm fluxul lui v = (x + y) ȷ + z 2 k prin porţiune de suprfţă x 2 + z 2 9, y = (fig. V. 21), după norml îndrepttă spre y pozitiv (dică N = ȷ). În cest cz, v N = x + y deci Φ Σ ( v) = (x + y)dσ = Σ Σ x dσ = x 2 +z 2 9 x dx dz =. Fig. V Formulele Green-Riemnn, Guss-Ostrogrdski, Stokes Fixăm un reper ortogonl pln xoy de versori ī, ȷ. O mulţime M R 2 se numeşte compct bordt dcă M este compctă şi frontier Fr M este reuniune unui număr finit de curbe plne prmetrizte presupuse de clsă C 1 pe porţiuni, nesingulre, simple şi închise; în plus, presupunem că Fr M este orienttă pozitiv. În fig. V. 22 sunt indicte câtev exemple de compcţi bordţi, împreună cu frontierele orientte respectiv. Fig. V.22

261 5.2. CÂMPURI SCALARE, VECTORIALE. FORMULE INTEGRALE 257 Exemple efective de compcţi bordţi se obţin considerând intergrfice proiectbile pe Ox de tipul M = {(x, y) R 2 x b, g 1 (x) y g 2 (x)}. cu g 1,g 2 :[, b] R funcţii de clsă C 1 stfel încât g 1 g 2 (fig. V. 23). Fig. V.23 În mod similr se pot consider intergrfice proiectbile pe Oy. Vom spune că un compct bordt M R 2 este elementr dcă M se pote descompune c reuniune unui număr finit de intergrfice proiectbile pe Ox, vând două câte două în comun cel mult puncte le frontierelor şi dcă M dmite o descompunere similră în intergrfice proiectbile pe Oy. Evident, triunghiurile, poligonele convexe, discurile etc. sunt compcţi bordţi elementri. Dcă M p este un compct bordt elementr şi M = M i este o descompunere c mi sus, tunci pentru orice funcţie continuă P pe un deschis cre conţine M, vem p P (x, y)dx = P (x, y)dx. (24) Fr M Fr M i i=1 i=1 Într-devăr, plicăm ditivitte integrlei curbilinii reltiv l juxtpunere de drumuri, observând că reuniune curbelor Fr M i se compune din Fr M ş i din segmente verticle (su orizontle) cre u permis descompunere lui M, fiecre segment fiind prcurs de două ori în sensuri diferite, (fig. V. 24). Atunci în sum din membrul drept l relţiei (24) se reduc integrlele pe ceste segmente şi se obţine tocmi membrul sâng l cestei formule.. Stbilim cum o legătură importntă între integrl curbilinie şi integrl dublă, folosită mi les pentru prelucrre integrlelor curbilinii în lungul drumurilor închise. Teorem 2.1 (formul Green-Riemnn); B. RIEMANN, , G. GREEN, ). Fie M R 2 un compct bordt elementr şi P (x, y), Q(x, y) funcţii de clsă C 1 pe un deschis cre conţine M. Atunci ( Q P dx + Q dy = x P ) dx dy. (25) y Fr M M Fig. V.24 Demonstrţie. Mi întâi considerăm czul când M este un intergrfic proiectbil pe Ox c în figur V. 23. În cest cz, P b g2 (x) P b dx dy = dx y y dy = [P (x, g 2 (x)) P (x, g 1 )] dx. (26) M g 1(x) Pe de ltă prte, P dx = Fr M P dx + γ 1 P dx + γ 2 P dx + γ 3 P dx. γ 4 Integrlele pe γ 2 ş i γ 4 sunt nule deorece x este constnt colo; poi pe γ 1 se pote consider prmetrizre x = t, y = g 1 (t), ( ) t [, b], deci b P dx = γ 1 P (t, g 1 (t)) dt

262 258 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI şi în mod similr, deci Fr M P dx = = γ 3 P dx = b b b P (t, g 1 (t)) dt P (t, g 2 (t)) dt, b [P (t, g 1 (t)) P (t, g 2 (t))] dt. Din relţiile (26) şi (27) rezultă P dx = Fr M M P y P (t, g 2 (t)) dt = (27) dx dy. (28) Formul (28) re loc şi în czul când M este un compct bordt elementr orecre, deorece descompunem M în intergrfice proiectbile pe Ox, M = p M i, scriem formul (28) pentru fiecre M i şi dunăm relţiile obţinute, i=1 folosind propriette de ditivitte integrlei duble şi relţi (24). Repetând rţionmentul nterior pentru intergrfice proiectbile pe Ox rezultă Q Q dy = dx dy. (29) x Fr M Adunând relţiile (28) şi (29), se obţine formul (25) lui Green-Riemnn. Corolr 1. În condiţiile teoremei 1, fie câmpul vectoril v = P (x, y)ī + Q(x, y) ȷ. Atunci circulţi lui v în lungul lui Fr M este ( Q v d r = x P ) dx dy. (3) y Fr M M În prticulr, dcă Q x = P î n M, tunci cestă circulţie este nulă. y Acest corolr este de fpt o reformulre teoremei 2.1. Corolr 2. În condiţiile teoremei 2.1, vem ri M = 1 2 x dy y dx. Fr M M Fig. V.25 Demonstrţie. Luăm P (x, y) = y 2 ş i Q(x, y) =x 2.Atunci Q x P y =1 şi plicăm formul (25). Corolr 3. Fie M un compct bordt cu frontier lcătuită din drumurile γ,γ 1,...,γ n c în figur V. 22 c). Dcă v = P (x, y)ī + Q(x, y) ȷ este un câmp de clsă C 1 P pe un deschis U cre conţine M stfel încât y = Q pe U, x tunci n v d r = v d r. (31) γ γ i Demonstrţie. Este suficient să plicăm formul (3); se obţine tunci Fr M i=1 v d r =, dică γ v d r + n v d r =. γ i i=1 Exemplu. Dcă M este un compct bordt elementr cre nu conţine origine, tunci y dx x dy x 2 + y 2 =. Fr M

263 5.2. CÂMPURI SCALARE, VECTORIALE. FORMULE INTEGRALE 259 y Într-devăr, în cest cz P = x 2 + y 2, Q = x P x 2 deci + y2 y = Q x ş i s e plică corolrul 1. Dcă M conţine punctul (, ), tunci P ş i Q nu mi sunt funcţii de clsă C 1 pe nici un deschis cre conţine M şi formul (25) su (3) nu mi pote fi plictă. În cest cz, legând un disc D centrt în origine de rză ρ, conţinut în M şi plicând (31) rezultă că y dx x dy P dx + Q dy = P dx + Q dy = x 2 + y 2 Fr M Fr D x 2 +y 2 =ρ 2 şi ultim integrlă se clculeză punând x = ρ cos t, y = ρ sin t, t [, 2π] şise obţine vlore 2π (în cele de mi sus, Fr (M) fost prcursă o singură dtă). b. Vom stbili în cele ce urmeză o legătură între integrl de suprfţă şi integrl triplă, cre v constitui nlogul tridimensionl l formulei Green- Riemnn. Sunt necesre câtev pregătiri. O suprfţă Σ în R 3 (dică o vriette diferenţilă de dimensiune 2) se numeşte închisă dcă Σ se obţine prin deformre continuă din suprfţ sferei unitte S = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 =1}, dică există o plicţie bijectivă ϕ : S Σ stfel încât ϕ ş i ϕ 1 să fie continue. De exemplu sfer, elipsoidul, cilindrul {x 2 +y 2 =1, z 3} {x 2 +y 2 1, z=} {x 2 +y 2 1, z=3}, fig. V. 26, sunt suprfeţe închise; plnele nu sunt suprfeţe închise. Fig. V.26 Definim o clsă importntă de mulţimi compcte în R 3 stfel: se consideră un compct bordt elementr M în plnul xoy, două funcţii f 1,f 2 (f 1 f 2 ) de clsă C 1 pe un deschis din plnul xoy cre conţine M ş i s e i Ω={(x, y, z) R 3 (x, y) M ş i f 1 (x, y) z f 2 (x, y)}. (vezi fig. V. 27). Vom numi o stfel de mulţime intergrfic proiectbil pe plnul xoy; în mod similr, se pot consider intergrfice proiectbile pe plnele xoz, yoz. OmulţimeΩ R 3 se numeşte compct elementr dcă Ω pote fi descompus c reuniune unui număr finit de intergrfice proiectbile pe plnul xoy vând două câte două intersecţii neglijbile (u în comun cel mult puncte le frontierelor) şi u loc descompuneri similre le lui Ω în intergrfice proiectbile pe plnele yoz ş i xoz; în plus, se presupune că frontier Σ = Fr Ω se compune dintr-un număr finit de suprfeţe închise, nesingulre, orientte. Dcă Ω este un compct elementr, tunci se pote defini în mod nturl versorul normlă exterioră N e în punctul curent { l frontierei Σ = } Fr Ω. Intergrficele, sfer {x 2 + y 2 + z 2 r 2 2 x }, elipsoidul 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1,cilindrul {x 2 +y 2 1, z 3} împreună cu bzele, inelul sferic {1 x 2 +y 2 +z 2 4} etc. sunt compcţi elementri (fig. V. 28, b şi c). Fig. V.27 Fig. V.28

264 26 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI Fig. V.28b În fig. V. 29 este indict un exemplu de compct elementr în R 3 cu frontier Σ = Σ 1 Σ 2 Σ 3 împreună cu norml exterioră cre iese din Ω. Teorem 2.2 (formul Guss-Ostrogrdski; C.F. GAUSS, , M.V. OSTROGRADSKI, ). Fie Ω R 3 un compct elementr cu frontier o suprfţă închisă Σ ş i v = P ī + Qī + R k un câmp vectoril de clsă C 1 pe un deschis cre conţine Ω. Atunci fluxul lui v prin Σ după norml exterioră n = N e este egl cu integrl divergenţei lui v pe Ω dică ( v n)dσ = (div v)dxdy dz. (32) Σ Demonstrţie. Presupunem mi întâi că Ω este un intergrfic proiectbil pe plnul xoy, deci există un compct bordt M în plnul xoy ş i f u n c ţ i i f 1 (x, y), f 2 (x, y) de clsă C 1 pe un deschis conţinând M stfel încât Ω Ω={(x, y) R 3 (x, y) M, f 1 (x, y) z f 2 (x, y)}. Fig. V.28c Vom prob în ceste condiţii relţi R dx dy dz = z Ω Σ R( k n)dσ, (33) unde R este component pe x Oz câmpului v. Fie Σ 1 : z = f 1 (x, y), Σ 2 : z = f 2 (x, y) cpcele intergrficului Ω. Atunci conform teoremei 1.3 rezultă Ω = R z M dx dy dz = M f2(x,y) R dx dy f 1 (x,y) z dz = [R(x, y, f 2 (x, y)) R(x, y, f 1 (x, y))] dx dy. Fig. V.29 Pe de ltă prte, pe Σ 1 norml exterioră este orienttă spre z descrescător, deci n Σ1 = p 1ī + q 1 ȷ k p q unde p 1 = f 1 x, q 1 = f 1, de unde y 1 k n Σ1 = şi c tre, p q R( k n)dσ = R(x, y, f 1 (x, y)) dx dy, deorece Σ 1 M dσ = p q2 1 +1dxdy. Fig. V.3 În mod similr, pe Σ 2 norm exterioră este orienttă spre z crescător, deci n Σ2 = p 2ī q 2 ȷ + k p q unde p 2 = f 2 x, q 2 = f 2 y,deci k n 1 Σ2 = p q şi c tre, deorece dσ = p q2 2 +1dxdy, vem R( k n)dσ = R(x, y, f 2 (x, y)) dx dy. Σ 2 M Frontier lui Ω se compune din porţiunile de suprfţă Σ 1, Σ 2 şi din porţiune de cilindru S definit prin S = {(x, y, z) R 3 (x, y) Fr M, f 1 (x, y) z f 2 (x, y)} ş i e s t e e v i d e n t c ă R( k n) dσ =, deorece în lungul lui S vem n s k, dică R( n k) =pes. S

265 5.2. CÂMPURI SCALARE, VECTORIALE. FORMULE INTEGRALE 261 În concluzie, deorece Σ = Σ 1 Σ 2 Σ 3,rezultă R( k n)dσ = R( k n)dσ + R( k n)dσ + R( k n)dσ = Σ Σ 1 Σ 2 S = R(x, y, f 1 (x, y)) dx dy + R(x, y, f 2 (x, y)) dx dy += = M M [R(x, y, f 2 (x, y)) R(x, y, f 1 (x, y))] dx dy = M Ω R z dx dy dz şi relţi (32) este probtă în czul unui intergrfic proiectbil pe plnul xoy. Deorece Ω se pote descompune într-un număr finit de intergrfice proiectbile pe plnul xoy vând în comun cel mult puncte le frontierelor, plicând ditivitte integrlelor de suprfţă şi celor de volum şi fptul că pereţii comuni pr de câte două ori cu versori normlă exterioră n, n, rezultăcă integrlele pe suprfeţele interiore se nuleză reciproc şi se deduce formul (33) în czul unui compct elementr orecre. În mod similr, proiectând pe plnul xoz şi poi pe plnul yoz, se obţin relţiile Q dx dy dz = Q( ȷ n)dσ (34) y ş i Ω P dx dy dz = P (ī n)dσ. (35) Ω x Σ Adunând relţiile (33), (34) şi (35), rezultă ( P x + Q y + R ) dx dy dz = (P ī + Q ȷ + R k) n dσ. z Ω Observţii. Fie v = P ī + Q ȷ + R k un câmp vectoril de clsă C 1 pe un deschis U R 3 ş i M un punct din U (fig. V. 32). Alegem un şir de compcţi elementri Ω n, conţinuţi în U, conţinând M şi vând frontier Σ n, n 1, stfel încât dimetrul lui Ω n să tindă către zero pentru n (de exemplu, Ω n = bil centrtă în M de rză 1 ). Atunci n 1 div M v = lim ( v n vol Ω N)dσ; n Σ n într-devăr, folosind formul (32) rezultă conform formulei de medie 1 ( v vol Ω N)dσ = 1 (div v)dxdy dz = n Σ n vol Ω n Ω n ( ) ( ) ( ) P Q R = + + x A n y B n z C n unde A n,b n,c n Ω n. Făcând n,rezultăcă{a n } M, {B n } M, {C n } M, şi folosind fptul că P, Q, R sunt funcţii de clsă C 1, se obţine lim n 1 ( v vol Ω N)dσ = n Σ n Σ Σ ( P x + Q y + R z ) M =div M v. Acestă relţie rtă independenţ lui div M v de sistemul de coordonte les Oxyz de versori ī, ȷ, k ş i d e p e n d e n ţ e i e x c l u s i v d e v ş i M. Folosind notţiile din teorem 2.2, dcă ϕ(x, y, z), ϕ : U R este un câmp sclr de clsă C 1 (U Ω) şi dcă ā este un vector constnt rbitrr, tunci pentru v = ϕ ā vem div v =ā grd ϕ şi formul (32) devine ā ϕ N dσ =ā (grd ϕ)dx dy dz Σ Ω

266 262 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI Fig. V.31 Fig. V.32 (integrre se fce pe componente); cum ā este rbitrr, rezultă că ϕ N dσ = (grd ϕ)dx dy dz (formul grdientului). Σ Ω 1 Rţionând c mi sus, rezultă că grd M ϕ = lim ϕ n vol Ω N dσ cee ce n Σ n rtă că grd M ϕ este independent de reperul les (şi depinde numi de ϕ ş i M ). În fine, dcă w este un câmp vectoril de clsă C 1 pe U şi notăm v = w ā (cu ā vector constnt rbitrr), tunci div v =ā rot w şi conform formulei (32) rezultă ( w ā) N dσ = (ā rot w)dxdy dz Σ dică ā ( N w)dσ =ā rot w dx dy dz; Σ Ω deorece ā este vector rbitrr, rezultă ( N w)dσ = rot w dx dy dz (formul rotorului). Σ Ω Rţionmentul dej făcut nterior rtă că 1 rot M w = lim ( n vol Ω N w)dσ, n Σ n deci rotorul lui w î n M depinde exclusiv de w ş i M. Expresiile nteriore le divergenţei, grdientului şi rotorului într-un punct sunt intrinseci (independente de reper) şi definesc ceste entităţi c derivte spţile. Exemple. 1) Fie Ω un compct elementr vând c frontieră o suprfţă închisă Σ cre nu conţine origine. Fie v = r câmpul newtonin. Dcă / Ω, r3 tunci div v = în fiecre punct din Ω şi conform (32), rezultă că fluxul lui v prin Σ este nul. Dcă Ω, tunci există o bilă deschisă B ρ = {x 2 + y 2 + z 2 < ρ 2 } Ω (fig. V. 32). Considerăm compctul elementr Ω\B ρ vând c frontieră FrΩ S ρ. Deorece div v =în Ω\ B ρ, rezultă, conform formulei (32), că fluxul lui v prin Σ şi prin S ρ este celşi (în mbele czuri după norml exterioră). Dr norml exterioră l S ρ este r r ş i fl u x u l l u i v prin S ρ este S ρ r r 3 r r Sρ dσ = ρ 2 ρ 4 dσ = 1 ρ 2 ri S ρ =4π. Ω În generl, dcă Σ este o porţiune de suprfţă de clsă C 1, nesingulră, orienttă, stfel încât / Σ, se numeşte unghi solid ω în cre Σ este văzută din origine, fluxul câmpului v = r r 3 prin Σ, dică ω = r n dσ. Dcă Σ Σ r3 este închisă, c l început, tunci rezultă că dcă / Ω ω = 4π dcă Ω. 2) Indicăm o plicţie remrcbilă formulei Guss-Ostrogrdski. Presupunem că un lichid, vând densitte de volum constntă c, se flă într-un recipient Ω similt cu un compct elementr conţinut în semispţiul z< din R 3 (spţiul R 3 este rportt l un triedru ortogonl Oxyz de versori ī, ȷ, k).

267 5.2. CÂMPURI SCALARE, VECTORIALE. FORMULE INTEGRALE 263 Presupunem de semene că presiune creşte proporţionl cu dâncime, deci câmpul presiunilor lichidului este v = cz k, c fiind densitte de volum. Fluxul lui v prin frontier Σ lui Ω se numeşte forţ scensionlă Φ lichidului. Aşdr, deorece div v = c, rezultă Φ= v n dσ = (div v)dxdy dz = c dx dy dz = Σ obţinându-se stfel lege lui Arhimede. Ω = c volumul lui Ω = ms lichidului, c. Trecem l demonstrre formulei fundmentle lui Stokes, cre legă integrl curbilinie în spţiu de integrl de suprfţă. Fie Σ o suprfţă de ecuţie crtezină z = f(x, y), cu f funcţie de clsă C 2 pe un deschis D R 2, cu orientre pozitivă socită reprezentării prmetrice x = u, y = v, z = f(u, v), ( )(u, v) D. Dcă M D este un compct bordt elementr, tunci este bine definită o porţiune din suprfţ Σ, nume S 1 = {(x, y, z) R 3 z = f(x, y), (x, y) M}. (36) Ω Curb C 1 = {(x, y, z) R 3 z = f(x, y), (x, y) Fr M} cu orientre indusă de pe Fr M se numeşte bordul orientt l lui S 1 ; notând cu N versorul normlei l suprfţ S 1 î n p u n c t u l c u r e n t P l lui C 1,cu τ versorul tngentei î n p u n c t u l P l curb C 1 ş i c u n e versorul normlei exteriore l bordul C 1 (situt în plnul tngent l Σ în punctul P, perpendiculr pe τ şi ieşind din S 1 )rezultăcă N = n e τ. Orientre fixtă pe bordul C 1 pote fi reprezenttă sugestiv stfel: un observtor cre prcurge C 1 î n s e n s u l l u i τ şi vând cpul spre N, re mân stângă înspre S 1, fig. V. 33. În mod similr se pot consider porţiuni de suprfţă crtezină x = f(y, z) su y = f(x, z) etc. O porţiune de suprfţă orienttă (de clsă C 2 ) S se numeşte elementră dcă se pote descompune într-un număr finit de porţiuni de suprfţă S 1,S 2,...,S p, c mi sus, prin rce de curbă cre sunt părţi le bordurilor orientte corespunzătore (c în fig. V. 34). În cest cz se pote defini bordul orientt C l lui S, c fiind drumul închis obţinut prin juxtpunere rcelor de curbă cre prţin numi l câte unul din bordurile porţiunilor S 1,S 2,...,S p. Teorem 2.3. (formul lui J.G. STOKES, ). Fie S R 3 o porţiune de suprfţă elemetră de clsă C 2 ş i C bordul orientt, închis, l lui S. Fie v un câmp vectoril de clsă C 1 pe un deschis din R 3 cre conţine S. Atunci circulţi lui v în lungul lui C este eglă cu fluxul rotorului lui v prin S, dică v d r = rot v N dσ. (37) C S Demonstrţie. PresupunemcăS se descompune în porţiunile S 1,S 2,...,S p c mi sus şi ne fixăm tenţi supr lui S 1, presupunând că re reprezentre (36). Dcă v = P (x, y, z)ī + Q(x, y, z) ȷ + R(x, y, z) k cu P, Q, R funcţii de clsă C 1 pe un deschis cre conţine S, tunci v d r = P dx + Q dy + R dz = (P + Rp)dx +(Q + Rq)dy, C 1 C 1 deorece în lungul lui C 1 vem z = f(x, y), deci dz = f f dx + dy = p dx + q dy x y Dr (P + Rp)dx +(Q + Rq)dy = C 1 f f (unde p =,q= x y ). Fr M (P + Rp)dx +(Q + Rq)dy, Fig. V.33 Fig. V.34

268 264 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI deorece dcă C 1 re o prmetrizre loclă de form x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t [α, β], tunci Fr M re prmetrizre x = ϕ(t), y = ψ(t), z =, t [α, β]. Aplicând în ultim integrlă formul Green-Riemnn, rezultă că [ v d r = C 1 M x (Q + Rq) ] (P + Rp) dx dy. (38) y Notăm Ā = pī q ȷ + k şi probăm relţi x (Q + Rq) (P + Rp) =Ā rot v. (39) y Într-devăr, x (Q + Rq) (P + Rp) = y [ Q = x + Q ( R z p + q x + R ) z p + R q x [ P y + P ( R z q + p y + R ) z q + R p y cum p y = y ( ) f = 2 f x y x = 2 f x y = q x ] căci funcţi f este de clsă C 2,rezultăcă x (Q + Rq) (P + Rp) = Q y x P ( P y q z R ) x ( R p y Q ) [( =( pī q ȷ + z k) R y Q ) ī z ( R x P ) ( Q ȷ + z x P ) ] k = Ā rot v y şi relţi (39) este dovedită. Atunci relţi (38) se scrie sub form v d r = (Ā rot v)dxdy. (4) C 1 M Pe de ltă prte, norml în punctul curent l S 1 este N = pī q ȷ + k p2 + q 2 +1 = Ā p2 + q 2 +1 ] ; şi tunci membrul drept l formulei (37) este rot v N dσ = (rot v Ā)dxdy S 1 M şi din formul (4), se obţine eglitte v d r = rot v N dσ. C 1 S 1 Eglităţi similre se obţin pentru S 2,...,S p şi dunând cele p relţii, se v obţine p rot v N dσ = v d r. S C i Dr membrul drept este egl cu sum circulţiilor câmpului v în lungul tuturor rcelor de curbă le bordurilor orientte, pentru tote porţiunile S i, i=1

269 5.2. CÂMPURI SCALARE, VECTORIALE. FORMULE INTEGRALE i p. Deorece rcele comune l câte două porţiuni S i, S j vând frontieră comună sunt prcurse de câte două ori în sens opus, sum respectivă este tocmi circulţi lui v în lungul rcelor cre sunt prcurse o singură dtă şi ceste lcătuiesc tocmi bordul C l lui S; se obţine stfel formul (37). Exemple. 1) Considerăm octntul de sferă x 2 +y 2 +z 2 = R 2, x, y, z şi clculăm circulţi câmpului newtonin v = r în lungul bordului C r3 orientt c în fig. V. 35. Aplicând formul lui Stokes luând pentru S porţiune de sferă corespunzătore, rezultă că v d r = rot v N dσ =, deorece rot v = rot r r 3 =. C S 2) Clculăm fluxul câmpului v = xzī + yz ȷ + z 2 k prin porţiune S din prboloidul z = x 2 + y 2 decuptă de cilindrul x 2 + y 2 = 1, după norml exterioră (fig. V. 36) Avem de clcult Φ = v N dσ. Se observă că v = rot w, unde w = S 1 2 (yz2 ī xz 2 ȷ), deci plicând formul lui Stokes, rezultă Φ= w d r = 1 yz 2 dx xz 2 dy; C 2 C pentru curb C se pote lu prmetrizre x = cos t, y =sint, z = 1, t 2π şi rezultă imedit Φ = π. Ită şi o ltă metodă: considerând suprfţ î n c h i s ă d e fi n i t ă d e S şi de porţiune S 1 din plnul z = 1 sitută în interiorul cilindrului şi plicând formul Guss-Ostrogrdski, rezultă că v N dσ = div v dx dy dz =, S S 1 Ω deorece div v =. Aşdr, Φ= S v N dσ = v N dσ. S 1 Fig. V.35 Fig. V.36 Versorul normlă corespunzătore l S 1 este N = k şi tunci Φ= (xzī + yz ȷ z 2 k) k dσ = z 2 dσ = dσ = ri S 1 = π. S 1 S 1 S 1 Observţie. În cest prgrf expunere trebuit să se btă uneori de l exigenţele rigorii mxime, în fvore elementelor euristice şi interpretărilor geometrice şi fizice, de ltfel genertore le întregii teorii. Formulele fundmentle stbilite nterior pot fi unificte într-o singură formulă (numită formul generlă lui Stokes), utilizând rezultte din teori formelor diferenţile pe vrietăţi diferenţibile Exerciţii 1. ) Să se clculeze în punctul curent divergenţ şi rotorul câmpurilor vectorile v = xī + xy ȷ + xyz k; v = k r r 3 ; v = r n (ā r), n Z; v =(ā r) r; v =ā ( r ā). b) Să se rte că rot r ā ( r ā ) r 3 = grd r 3 (ā este un vector constnt şi r este vectorul de poziţie). 2. Să se determine câmpurile vectorile v de clsă C 1 î n R 3 \ (,, ) stfel încât rot v = r r 3 ş i v k =.

270 266 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI 3. Să se determine o funcţie f(r), r = x 2 + y 2 + z 2 de clsă C 2 stfel încât rotorul câmpului v = f(r)( k r) să fie colinir cu r. 4. Fie v un câmp vectoril de clsă C 1 î n t r - u n d e s c h i s U R 3. O curbă prmetriztă γ :[, b] U, t γ(t) =(x(t),y(t),z(t)) de clsă C 1 se numeşte linie de câmp (su linie de forţă) lui v dcă pentru orice t [, b], vectorul γ (t), tngent l curbă, este colinir cu vectorul v(x(t),y(t),z(t)) l câmpului. ) Să se rte că dcă v = P (x, y, z)ī + Q(xyz) ȷ + R(x, y, z) k, tunci pentru orice linie de câmp cu ecuţiile prmetrice x = x(t), y = y(t), z = z(t), t [, b], există o funcţie λ(t) stfel încât x (t) = λ(t) P (x(t),y(t),z(t)), y (t) =λ(t) Q(x(t),y(t),z(t)), z (t) =λ(t) R(x(t),y(t),z(t)) (mi succint dx P = dy Q = dz su v d r = ). R b) Să se determine liniile de câmp pentru v =2xī + yz ȷ + z k, v = xyī + yz ȷ + y k, v = r, v =ā r, v =ā ( r ā), unde ā este un vector constnt. c) Să se rte că dcă ϕ, ψ sunt câmpuri sclre de clsă C 1, tunci liniile de câmp le câmpului vectoril nenul v = grdϕ grdψ sunt curbele ϕ(x, y, z) = c 1, ψ(x, y, z) =c 2 cu c 1,c 2 constnte rbitrre. 5. ) Se pote plic formul Green-Riemnn pentru clculul circulţiei yi x ȷ câmpului v = x 2 + y 2 în lungul cercului unitte din R2 prcurs pozitiv o singură dtă? b) Să se clculeze circulţi lui v =(x ln x y)ī +2xy ȷ în lungul frontierei pătrtului [ 1, 1] [ 1, 1], prcursă pozitiv o singură dtă; se pote plic formul Green-Riemnn? 6. Să se clculeze ri decuptă de cilindrul x 2 + z 2 = 1 din prboloidul y =1+x 2 + z 2, 7. Să se clculeze fluxul câmpului vectoril v = k r prin porţiune de suprfţă 1 z = x 2 + y 2, z>, după norml cre fce unghi scuţit cu x Oz. 8. Se consideră suprfţ definită prin ecuţiile prmetrice x = ( + R cos u) cos v, y =(+R cos u)sinv, z = R sin u unde <R<sunt constnte ş i u 2π, v 2π (torul tridimensionl). Să se clculeze fluxul câmpului v = r prin cestă suprfţă şi să se fle r ri şi volumul cestui tor. Indicţie. Notăm r = x 2 + y 2. În plnul roz se consideră (r )2 + z 2 = R 2 dică r = + R cos u, z = R sin u, u 2π; dcă cest cerc se roteşte în jurul lui Oz se obţine torul, cu prmetrizre nterioră. Se observă că r u r v = R( + R cos u) şică N = cos u cos vī + cos u sin v ȷ +sinu k. Ari torului este eglă cu 2π 2π R( + R cos u)du dv =4π 2 R etc. 9. Să se clculeze direct şi folosind formul lui Stokes circulţi lui v = yī + z ȷ + x k în lungul curbei {x 2 + y 2 + z 2 =4, x + y + z =2} prcursă o singură dtă şi orienttă stfel încât proiecţi curbei pe plnul xoy să fie orienttă pozitiv. 1. Se consideră câmpul vectoril v = z 2 ī+x 2 ȷ+y 2 k. Să se clculeze fluxul lui v prin suprfţ definită prin {x + y + z 1, x, y, z }, după norml exterioră şi circulţi lui v în lungul elipsei {x 2 + y 2 =4,x+ z =2} cu orientre comptibilă cu orientre pozitivă proiecţiei elipsei pe plnul xoy. 11. Se consideră câmpul vectoril v =2xzī +2yz ȷ (x 2 + y 2 ) k. ) Să se determine un drum prmetrizt de clsă C 1 nesingulr γ :[, 1] R 3 stfel încât v(γ(t)) să fie colinir cu γ (t), ( )t [, 1].

271 5.3. APLICAŢII 267 b) Să se clculeze fluxul lui v prin suprfţ definită de x 2 + y 2 +2z 2 = 1, z > după norml exterioră, precum şi circulţi lui v în lungul drumului γ 1 :[,π] R 3, t (t cos t, t sin t, t). 12. Fie v = k r r definit în R3 \ (,, ). Să se clculeze, direct şi folosind r 4 formul Guss-Ostrogrski, fluxul lui v prin suprfţ definită x 2 + y 2 =4 z, z>h(unde <h<4 este o constntă dtă); rămâne vlbil clculul făcut dcă h<? 5.3 Aplicţii Câmpuri irotţionle (conservtive). Câmpuri solenoidle (fără surse) Fie U R 3 un deschis fixt. Definiţi 3.1. Un câmp vectoril v de clsă C 1 î n U se numeşte irotţionl în U dcă rot v =pentru orice punct U. Dcă v = P ī + Q ȷ + R k, cup, Q, R funcţii de clsă C 1 pe U, tunci fptul că v este irotţionl în U revine l verificre condiţiilor P y = Q x, Q z = R y, R x = P z în fiecre punct din U. Aşdr, câmpul v este irotţionl dcă şi numi dcă v este conservtiv (dică form diferenţilă ω = P dx+qdy +Rdz este închisă î n U; vezi IV, 5.1). Din formul (37) rezultă direct că dcă v este irotţionl în U, tunci pentru orice porţiune de suprfţă elementră sitută în U cu bordul orientt închis C, circulţi lui v în lungul lui C este nulă. Termenul de rotor, introdus de J. MAXWELL ( ), este legt de fptul că circulţi în lungul lui C câmpului v l vitezelor prticulelor unui fluid (situt în U) reprezintăo măsură cntităţii de fluid cre circulă în lungul lui C şi cest este nulă dcă curgere este irotţionlă (dică rot v = ). Conform corolriilor teoremelor 5.2, 5.3 din cpitolul IV, se obţine următore crcterizre completă câmpurilor irotţionle: Teorem 3.1. Fie U R 3 un deschis stelt şi v un câmp vectoril de clsă C 1 pe U. Atunci v este irotţionl în U există o funcţie f(x, y, z) de clsă C 1 î n U stfel încât v = grd f circulţi lui v în lungul oricărui drum închis de clsă C 1 pe porţiuni situt în U, este nulă. Remintim că funcţi f este unic determintă până l o constntă ditivă şi se numeşte potenţil sclr l lui v (dcă v = grd f 1 ş i v = grd f 2, tunci grd (f 1 f 2 ) =, deci diferenţ f 1 f 2 este constntă în U). Definiţi 3.2. Un câmp vectoril v de clsă C 1 î n U se numeşte solenoidl î n U dcă div v =pentru orice punct U. Exemple. Câmpul newtonin v = r este irotţionl şi solenoidl în r3 deschisul U = R 3 \ (,, ); câmpul v = x 2 ī + xz ȷ 2xz k este solenoidl, dr nu irotţionl, în R 3, ir câmpul v = grd ϕ (ϕ câmp sclr de clsă C 2 ) este solenoidl dcă şi numi dcă funcţi ϕ este rmonică, dică ϕ =. Verificre este imedită. Din formul (32) rezultă că dcă v este solenoidl în U, tunci fluxul lui v prin frontier (închisă) oricărui compct elementr situt în U, estenul. În mod similr teormeei 3.1, vom prob Teorem 3.2 (de crcterizre câmpurilor solenoidle). Fie U R 3 un deschis şi v un câmp vectoril de clsă C 1 î n U. Atunci sunt echivlente firmţiile:

272 268 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI () v este solenoidl în U; (b) v este locl un câmp de rotori (dică pentru orice punct U există o vecinătte deschisă V, V U şi un câmp vectoril w de clsă C 2 î n V stfel încât v = rot w î n V ). (c) fluxul lui v prin frontier închisă oricărui compct elementr situt în U, este nul. Demonstrţie. Fptul că () (c) fost probt nterior, folosind relţi (32). Implicţi (c) () rezultă în modul următor: fixăm un punct orecre U şi legem o bilă B (, ε) U de rză ε>; tunci conform ipotezei (c), folosind (32), rezultă că div v dx dy dz =. B (,ε) Utilizând formul de medie şi făcând ε rezultăcădiv v =, deci v este solenoidl în U. Implicţi (b) () este evidentă (căci dcă v = rot w, tunci div v = div rot w = ). Rămâne de dovedit implicţi () (b). Presupunem că v = P ī + Q ȷ + R k, cup, Q, R funcţii de clsă C 1 î n U; conform ipotezei (), vem P x + Q y + R =, în fiecre punct din U. (41) z Fixăm un punct U, =(x,y,z ) rbitrr şi legem o bilă deschisă V U, centrtă în. Arătăm că există un câmp de form w = w 1 (x, y, z)ī + w 2 (x, y, z) ȷ de clsă C 2 (V ) stfel încât rot w = v, deci dică sistemul în w 1,w 2 ī ȷ k = P ī + Q ȷ + R k, x y z w 1 w 2 w 2 z = P, w 1 z = Q, w 2 x w 1 y = R re soluţie. Din primele două relţii rezultă că ( )(x, y, z) V vem z w 1 (x, y, z) = Q(x, y, t)dt + A(x, y), z z w 2 (x, y, z) = P (x, y, t)dt + B(x, y) z cu A, B funcţii rbitrre de clsă C 1. Trebuie probt că ultim relţie pote fi stisfăcută legând convenbil A şi B; cest revine l relţi dică z z P B (x, y, t)dt + x x z z şi ţinând cont de (41) rezultă z z Q A (x, y, t)dt y y = R, [ P x + Q ] dt + B y x A y = R B x A y = R(x, y, z ). Este evident că există funcţii A, B verificând cestă unică relţie şi stfel, existenţ câmpului w = w 1 ī + w 2 ȷ cu propriette că rot w = v î n V este probtă.

273 5.3. APLICAŢII 269 Dcă v este solenoidl, tunci orice câmp w stfel încât rot w = v se numeşte potenţil vector l lui v. Dcă deschisul U este stelt, tunci w este unic până l un câmp de grdienţi (dcă rot w 1 = v, rot w 2 = v, tunci rot ( w 1 w 2 ) =, deci w 1 w 2 = grd ϕ etc.). În condiţiile formulei lui Stokes (37), fluxul unui câmp solenoidl v pote fi exprimt prin circulţi unui potenţil vector w l lui v, nume v N dσ = (rot w N)dσ = w d r. S S Observţii. Câmpurile solenoidle se mi numesc câmpuri fără surse. O justificre cestei terminologii este următore. Presupunem că într-un deschis U R 3 există un fluid şi v este câmpul vectoril l vitezelor prticulelor de fluid. Pentru evlu cntitte de fluid cre trverseză o porţiune de suprfţă Σ într-un intervl de timp T, fcem ipotez că fluidul umple pentru orice element de suprfţă dσ,în timpult, un cilindru cu volumul v dσ {}}{ cos ( v, n) T =( v n)t dσ; însumând ceste volume de fluid, este rezonbil să considerăm că întreg suprfţă Σ este trverstă în intervlul de timp T de o cntitte de fluid eglă cu T ( v, n)dσ. Σ C Aşdr, făcând T =1rezultăcăfluxullui v orin Σ exprimă şi modeleză mtemtic cntitte de fluid cre trverseză Σ în unitte de timp. Dcă Σ este frontier închisă unui compct elementr Ω c în formul Guss-Ostrogrdski şi dcă fluxul lui v după norml exterioră este pozitiv, tunci rezultă că din Ω iese fluid su fluidul diverge din Ω, su cum se mi spune, în Ω există surse de fluid; fig. V. 37. Dcă v este solenoidl, fluxul este nul şi c tre, nu există surse de fluid în Ω. Rezultă totodtă o justificre termenului de divergenţă, introdus tot de Mxwell Câmpuri rmonice Definiţi 3.3. Un câmp vectoril v de clsă C 1 într-un deschis U R 3 se numeşte rmonic în U dcă v este irotţionl şi solenoidl în U. Fig. V.37 Exemplu. Câmpul newtonin v = k r r 3 (k > constnt) este rmonic î n d e s c h i s u l U = R 3 \ (,, ). De semene, câmpul v =2xī +4yz ȷ +(2y 2 2z 2 2z) k este rmonic în R 3. Teorem 3.3 (de crcterizre câmpurilor rmonice). Fie U R 3 un deschis stelt şi v un câmp vectoril de clsă C 1 î n U. Sunt echivlente firmţiile: () câmpul v este rmonic în U; (b) există o funcţie rmonică ϕ(x, y, z), ϕ : U R (dică ϕ C 2 (U) ş i ϕ =în U) stfel încât v = grd ϕ. Demonstrţie. (b) (). Dcă v = grd ϕ, tunci rot v = rot (grd ϕ) =, deci v este irotţionl. Apoi div v = div (grd ϕ) = ϕ =, deci v este şi solenoidl. () (b). Presupunem că v este rmonic în U, deci rot v =. Din teorem 3.1 rezultă că există o funcţie ϕ C 2 (U) stfel încât v = grd ϕ. Deorece v este solenoidl, rezultă că div grd ϕ =, dică ϕ =, deci funcţi ϕ este rmonică. Exemplu. Considerăm un fluid situt într-un deschis U R 3 vând densitte µ(x, y, z) şivitez v(x, y, z, t)în punctul(x, y, z) U şi l momentul t, presupuse funcţii de clsă C 1 î n U R.

274 27 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI Pentru orice compct elementr Ω U vând frontier Σ, ms fluidului din Ω l momentul t este conform V, 1,2 m(t) = µ(x, y, z, t)dxdy dz, deci m µ (t) = dx dy dz. t Ω Pe de ltă prte, din considerente fizice, m (t) = (µ v) n dσ (fluxul lui µ v prin Σ). Σ Aplicând în ultim relţie formul Guss-Ostrogrdski, rezultă m (t) = div (µ v)dxdy dz şi c tre, obţine relţi Ω [ div (µ v)+ µ ] t Ω dx dy dz =. Ω Deorece Ω este rbitrr, se div (µ v) = µ t (numită ecuţi de continuitte). Presupunem cum că densitte µ este constntă şi că v este un câmp de grdienţi, v = grd ϕ. Se spune tunci că fluidul este incompresibil, ir ϕ este numit potenţilul vitezelor. Din ecuţi de continuitte, rezultă div v =, dică div (grd ϕ) =, ϕ =, deci v este un câmp rmonic în U. Un rezultt importnt în teori funcţiilor rmonice îl constituie teorem cre urmeză, cre constituie în celşi timp o interpretre remrcbilă lplcinului unei funcţii. Teorem 3.4. Fie ϕ(x, y, z), ϕ : U R o funcţie de clsă C 2 î n t r - u n deschis U R 3. Atunci pentru orice punct fixt U, =(x,y,z ) re loc formul de evlure lplcinului lui ϕ în punctul : 3 ( ϕ)() =lim ρ 2πρ 4 S ρ [ϕ(x, y, z) ϕ(x,y,z )]dσ, (42) Fig. V.38 unde S ρ este sfer cu centrul în ş i d e r z ă ρ> suficient de mică; fig. V. 37 Tot fără demonstrţie, enunţăm: Teorem 3.5 (teorem de medie pentru funcţii rmonice). Fie ϕ : U R o funcţie rmonică într-un deschis U R 3. Atunci pentru orice punct U şi pentru orice ρ> stfel încât B(, ρ) U, vem ϕ() = 1 4πρ 2 S ρ ϕ(x, y, z)dσ. Teorem 3.5 se interpreteză stfel: membrul drept se numeşte uneori medi lui ϕ pe sfer S ρ şi tunci cestă medie coincide cu vlore lui ϕ î n c e n t r u l sferei; cestă propriette sugereză existenţ unei rmonii în reprtizre vlorilor lui ϕ, cee ce justifică denumire de funcţie rmonică. Alte proprietăţi le câmpurilor rmonice sunt concentrte în Teorem 3.6. Fie U un deschis în R 3 ş i Ω( Ω U) un compct elementr conex vând frontier închisă Σ. () Două funcţii rmonice în U cre coincid pe Σ coincid în Ω. (b) Două câmpuri rmonice în U (presupus stelt) le căror componente normle coincid pe Σ, coincid în Ω. Demonstrţie. () Fie ϕ, ψ funcţii rmonice în U ş i ϕ = ψ pe Σ. Funcţi h = ϕ ψ este rmonică în U, deci h =şih = pe Σ. Considerăm câmpul

275 5.3. APLICAŢII 271 vectoril v = h grd h; evident,div v = grd h grd h + h h = grd h 2 ş i v n = h dh = (pe Σ). Aplicând formul (32), rezultă că dn grd h 2 dx dy dz =, Ω deci grd h =, dică h = constnt în Ω. Cum h =peσ=frω,rezultăcă h = în Ω, dică ϕ = ψ î n Ω. (b) Fie v 1, v 2 două câmpuri rmonice în U stfel încât componentele lor normle să coincidă pe Σ, dică v 1 n = v 2 n pe Σ şi fie w = v 1 v 2 deci w n =peσ. Cum w este rmonic, vem w = grd ϕ cu ϕ rmonică în U (conform teoremei 3.3). Aplicând formul (32) pentru v = ϕ w (observând că div v = ϕdiv w + w grd ϕ = ϕ ϕ + grd ϕ grd ϕ = grd ϕ 2 ş i c ă v n = ϕ( w n) = pe Σ), se obţine grd h 2 dx dy dz =, Ω de unde grd ϕ =, în Ω, dică w = în Ω şi c tre v 1 = v 2 î n Ω. Observţii. Multe din rezulttele nteriore pot fi refăcute pentru czul câmpurilor plne, locul formulei Guss-Ostrogrdski fiind lut tunci de formul Green-Riemnn. O problemă clsică vând multe plicţii importnte este problem Dirichlet, cre constă în determinre unei funcţii continue ϕ : Ω R cre să fie rmonică în Ω, cunoscând vlorile ei pe Σ = Fr Ω. Din teorem 3.6 () rezultă unicitte soluţiei problemei Dirichlet; dificultte mjoră constă în demonstrre existenţei soluţiei respective şi determinării ei efective. Pentru mulţimi Ω de un tip prticulr (sfer, prlelipipede etc.) există formule stndrd cre expliciteză soluţi. O problemă similră este problem Neumnn (F. NEUMANN, ), cre constă în determinre unei funcţii continue ϕ :Ω R cre să fie rmonică în Ω, cunoscând vlorile lui dϕ pe Σ; teorem dn 3.6 (b) indică unicitte soluţiei problemei Neumnn. Merită să fie sublinită ici importnţ principlă, de ntură filozofică, cestor considerţii: din cunoştere unor dte l frontier lui Ω şi din propriette de rmonicitte, se determină vlorile funcţiei necunoscute în Ω; şdr, vând cces prin instrumente de măsură l frontier unor domenii, se pot deduce informţii despre comportre unor mărimi fizice în interiorul celor domenii! Considerţiile nteriore sunt dezvoltte în cdrul cpitolului de mtemtică intitult Ecuţiile fizice mtemtice Coordonte curbilinii în R 3 Fie A un deschis fixt din R 3. Considerăm poi un reper ortogonl Oxyz de versori ī, ȷ, k. Fie F : A R 3,(u, v, w) (x, y, z) =F (u, v, w) o plicţie injectivă de clsă C 1 D(x, y, z) (A), cu jcobinul strict pozitiv în fiecre punct D(u, v, w) din A. Pentru orice punct M F (A) senumesccoordontele curbilinii le lui M definite de F cel unic triplet de numere rele (u, v, w) A stfel încât M = F (u, v, w). Dcă notăm (f,g,h) componentele lui F,rezultăcăpunctul curent M din F (A) re coordontele crteziene x = f(u, v, w) y = g(u, v, w), unde (u, v, w) A. z = h(u, v, w) Vectorul de poziţie l punctului M v fi r = xī + y ȷ + z k = f(u, v, w)ī + g(u, v, w) ȷ + h(u, v, w) k.

276 272 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE ŞI CÂMPURI Aplicţi F se mi numeşte schimbre de coordonte (trecere de l coordontele curbilinii u, v, w l coordonte crteziene), în conformitte cu terminologi fixtă în definiţi 5.3, unde F er presupus difeomorfism. Vom presupune în continure că plicţi F defineşte un sistem ortogonl de coordonte curbilinii în A, în sensul că vectorii r u = r u, r v = r v, r w = r w sunt doi câte doi ortogonli; mi precis, r u r v =şi r w = r u r v, ( )(u, v, w) A. Fig. V.39 Notăm cu ē u, ē v, ē w respectiv versorii vectorilor r u, r v, r w ş i c u H u, H v, H w mărimile celorşi vectori. Aşdr, r u = H u ē u, r v = H v ē e, r w = H w ē w. Funcţiile H u, H v, H w sunt funcţii pozitive continue în A ş i s u n t n u m i t e prmetri lui G. LAMÉ ( ). Produsul mixt ( r u, r v, r w )estepede D(x, y, z) o prte evident egl cu determinntul funcţionl şi pe de ltă prte, D(u, v, w) este H u H v H w (ē u, ē v, ē w )şicumē u, ē v, ē w sunt versori doi câte doi ortogonli ş i ē w =ē u ē v,rezultăcă(ē u, ē v, ē w ) = 1; deci H u H v H w = D(x, y, z) D(u, v, w). Exemple. 1) Considerăm coordontele cilindrice ρ, ϕ, z; în cest cz se pote lu A = {ρ >, <ϕ<2π, z R} şi plicţi F corespunzătore este F :(ρ, ϕ, z) (x, y, z), definită prin x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = z. În cest cz, r = ρ cos ϕī + ρ sin ϕ ȷ + z k, deci r ρ = r ρ = cos ϕī +sinϕ ȷ, r ϕ = r ϕ = ρ sin ϕī + ρ cos ϕ ȷ, r z = r z = k şi prmetri Lmé sunt H ρ = r ρ = 1, D(x, y, z) H ϕ = ρ, H z = 1, ir D(ρ, ϕ, z) = H ρh ϕ H z =1 ρ 1=ρ. 2) Considerăm coordontele sferice r, θ, ϕ; în cest cz, A = {r >, < θ < π, <ϕ<2π} ş i r = r sin θ cos ϕī + r sin θ sin ϕ ȷ + r cos θ k. Rezultă imedit prmetri Lmé corespunzători H r = r r = 1, H θ = r θ = r, H ϕ = r D(x, y, z) ϕ = r sin θ şi determinntul funcţionl este D(r, θ, ϕ) = r2 sin θ. Se verifică uşor că tât coordontele cilindrice cât şi cele sferice definesc sisteme ortogonle de coordonte curbilinii. Indicăm cum, fără demonstrţie, modul de clcul l grdientului, divergenţei şi lplcinului în coordonte curbilinii, ortogonle, în czul generl considert l început. Teorem 3.7. Fie ϕ(u, v, w) o funcţie de clsă C 1 î n A. Atunci grd ϕ = 1 ϕ + 1 ϕ H u uēu H v v ēv + 1 ϕ. (43) H w wēw

277 5.3. APLICAŢII 273 Teorem 3.8. Fie v = U(u, v, w)ē u +V (u, v, w)ē v +W (u, v, w)ē w un câmp vectoril de clsă C 1 (A). Atunci [ 1 div v = H u H v H w u (UH vh w )+ v (VH wh u )+ ] w (WH uh v ). (44) C plicţie, indicăm formul de clcul l lplcinului în coordonte curbilinii ortogonle. Fie f(u, v, w) o funcţie de clsă C 2 (A). Atunci, conform formulelor (43), (44) rezultă [ ( 1 Hv H w f = div (grd f) = f ) + H u H v H w u H u u + ( Hw H u f ) + ( Hu H v f )]. v H v v w H w w De exemplu, în coordonte cilindrice, u = ρ, v = ϕ, w = z, H ρ = 1, H ρ = ρ, H z = 1, deci f = 1 [ ( ρ f ) + ( ) 1 f + ( ρ f )] = ρ ρ ρ ϕ ρ ϕ z z = 2 f ρ f ρ ρ f ρ 2 ϕ f z 2. În prticulr, lplcinul lui f(ρ, θ) în coordonte polre plne ρ, θ este f = 2 f ρ f ρ ρ f ρ 2 θ 2. În mod similr, în coordontele sferice r, θ, ϕ se obţine f = 2 f r f r r + cos θ f r 2 sin θ θ f r 2 θ f r 2 sin 2 θ ϕ 2.

278 274 CAPITOLUL 5. INTEGRALE MULTIPLE S I CA MPURI

279 Cpitolul 6 Mtemtic fce c din proprietăţi cre nu-i prţin să se potă obţine lte proprietăţi cre nu îi prţin; utiliztorul de mtemtică trebuie să simileze teorii şi tehnici subtile pentru benefici de mrele potenţil l clcultorului. (L. WITTGENSTEIN, ) Elemente de Anliză funcţionlă Introducere În cest cpitol finl l cursului, vom indic succint câtev dezvoltări fireşti le Anlizei mtemtice clsice, subliniind cu precădere fenomenul de trecere de l studiul unei singure funcţii fixte l considerre unor spţii de funcţii. În cest mod se relizeză un importnt slt clittiv în utilizre instrumentelor mtemticii moderne, tât l formulre cât şi în rezolvre unor probleme de optim cre conduc l extremele numitor funcţionle, în bordre opertorilă teoriei sistemelor, în elborre clculului cu distribuţii, în fundmentre nlizei rmonice semnlelor şi în multe lte probleme de mre interes pentru cunoştere, le căror bze teoretice se şză în zilele nostre. Se pote firm că Anliz funcţionlă constituie o rmură de vârf mtemticii, oferind un limbj unitr, unifictor pentru bordre problemelor de fizică mtemtică, ecuţii diferenţile, clcul vriţionl, teori semnlelor, control optiml, economie mtemtică etc., ir metodele funcţionl-nlitice se plică în strânsă legătură cu metodele numerice, pe cre deltfel le- influenţt în mod decisiv. Fiecre prgrf l cpitolului cuprinde câtev rezultte de bză şi o prezentre plicţiilor posibile, conjugând, ş cum m făcut şi până cum, modelul mtemtic cu modelul fizic genertor. În ţr nostră există o şcolă puternică de Anliză funcţionlă şi teori opertorilor, vând contribuţii teoretice şi plictive recunoscute pe pln mondil. Aceste cercetări se desfăşoră în cdrul Institutului de Mtemtică l Acdemiei Române şi l universităţile din Bucureşti, Işi, Timişor. Putem cit numele câtorv mtemticieni români vând rezultte de vlore în domeniul mintit: A. Ghik, M. Nicolescu, Gh. Mrinescu, ir în nii noştri V. Brbu, C. Foiş, S. Telemn, I. Singer, D. Voiculescu ş Funcţionle şi opertori pe spţii Hilbert Spţii Hilbert, exemple, proprietăţi Definiţi 1.1. Un spţiu vectoril rel H se numeşte prehilbertin dcă este fixtă o plicţie H H R, (x, y) x, y stfel încât pentru orice x, y, z H şi pentru orice λ R să fie stisf cute proprietăţile: x, y = y, x, x, y + z = x, y + x, z, λx, y = x, λy = λ x, y ; în plus,numărulrel x, x este pozitiv şi este nul dcă şi numi dcă x =. Spţiile prehilbertiene finit dimensionle se mi numesc euclidiene. Se mi spune că în H este fixt un produs sclr,, în nlogie cu czul spţiului H = V 3, înzestrt cu produsul sclr uzul de vectori. 275

280 276 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ Revenind l czul unui spţiu prehilbertin orecre H, se observă că pentru orice x 1,...,x m, y 1,...,y m H şi pentru orice λ 1,...,λ m, µ 1,...,µ n R, vem m n m n λ i x i, µ j y j = λ i µ j x i,y j. i=1 j=1 i=1 j=1 Doi vectori x, y H se numesc ortogonli (şi se scrie x y) dcă x, y =. Pentru orice x H se noteză x = x, x. Evident, x şi x = x =. Nu întâmplător x se numeşte norm lui x, deorece vom vede că sunt stisfăcute proprietăţile unei norme pe H. Exemple. 1) Fie H = R n (n 1 fixt). Pentru orice x, y R n, x = n (x 1,...,x n ), y =(y 1,...,y n ) se noteză x, y = x i y i (numit produsul sclr euclidin). Notând cu {e 1,...,e n } bz cnonică în R n,esteevidentcăe i e j, pentru orice i j; mi precis pentru orice 1 i, j n, vem { dcă i j e i,e j = 1 dcă i = j, dică e i,e j = δ ij. O generlizre cestui exemplu îl constituie următorul: se consideră spţiul vectoril rel H = M m,n (R) l mtricilor de tip (m, n) cucoeficienţi reli şi pentru orice A, B H, A =[ ij ], B =[b ij ], 1 i m, 1 j n, se noteză m n A, B = ij b ij = urm mtricii pătrtice t A B. i=1 j=1 Se obţine un produs sclr şi c tre o structură de spţiu prehilbertin pe M m,n (R). Dcă x =(x 1,...,x n ), se sociză mtrice-colonă X = x 1. şi se observă că R n ş i M n,1 (R) sunt spţii vectorile rele izomorfe şi în plus, ( ) x, y R n, produsul sclr X, Y definit nterior coincide cu produsul euclidin l vectorilor x, y, dică x, y = t X Y. 2) O generlizre infinit dimensionlă lui R n o constituie spţiul l 2.Prin definiţie, un element din l 2 este un şir x = {x n } n de numere rele stfel încât seri { } 1 x 2 n să fie convergentă. De exemplu, şirul prţine lui l 2, n +1 n n { } 1 dr nu re cestă propriette. Două elemente x = {x n } n, n +1 n y = {y n } n din l 2 se consideră egle (x = y) dcă şi numi dcă x n = y n pentru orice n ; se definesc poi sum x + y = {x n + y n } n ş i λx = {λx n } n pentru orice sclr λ R. Evident λx l 2 ; poi din ineglitte 2 x n y n x 2 n + y 2 n,( )n, rezultă că seri n x n y n este bsolut convergentă deci convergentă şi tunci seri (x 2 n +2x n y n + yn)= 2 n + y n ) n n (x 2 este convergentă, dică x + y l 2. Aşdr, l 2 este spţiu vectoril rel. Pentru orice x, y l 2 c mi sus, se pote defini numărul rel x n x, y = n x n y n i=1 şi se verifică uşor proprietăţile unui produs sclr, deci l 2 este spţiu prehilbertin (Se pote consider în mod similr spţiul l 2 l şirurilor indexte după Z, nu numi după N).

281 6.1. FUNCŢIONALE ŞI OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 277 Elementele lui l 2 se mi numesc semnle discrete de energie finită. Anume, considerând N = {, 1, 2,...} c mulţime de momente, orice element x = {x n } n din l 2 este o funcţie N R, n x n deci este un semnl discret, conform cu terminologi fixtă în Cpitolul 1. Numărul rel şi pozitiv x = x, x = x 2 n se mi numeşte energi semnlului x. n 3) Fie [, b], <bun intervl fixt pe drept relă. Pe spţiul vectoril rel C[,b] l funcţiilor continue [, b] R se obţine un produs sclr (numit produsul sclr L 2 ) punând f,g = b f(x)g(x)dx, ( )f,g C [,b]. De exemplu, în spţiul C[,2π] se verifică, prin clcul direct, că pentru orice numere întregi m, n 1, u loc relţiile 2π { dcă m n sin mx, sin nx = sin mx sin nxdx = π δ mn = π dcă m = n ; (1) sin mx, cos nx = cos mx, cos nx = 2π 2π sin mx cos nxdx = ; (2) cos mx cos nxdx = π δ mn. (3) Aceste relţii se mi numesc relţii de ortogonlitte pentru sinuşi-cosinuşi pe intervlul [, 2π]. L exemplele nteriore vom dăug ltele noi, după cumulre câtorv rezultte teoretice. Teorem 1.1. Fie H un spţiu prehilbertin rel. () Pentru orice x, y H re loc relţi x, y x y (ineglitte lui Schwrtz); (4) (b) H este spţiu vectoril normt, reltiv l norm H R, x x ; (c) Pentru orice x, y H re loc relţi x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) (regul prlelogrmului). (5) Demonstrţie. () Dcă y =, tunci y =, x, y = şi relţi (4) este evidentă. Presupunem y şifieλ un număr rel rbitrr. Atunci x + λy, x + λy, dică x, x + λy + λy, x + λy, deci x, x + λ x, y + λ y, x + λ 2 y, y. Aşdr y 2 λ 2 +2 x, y λ + x 2. Se obţine stfel un trinom de grdul doi în λ (x, y fiind fixt) cu coeficienţi reli, pozitiv pentru orice λ, în cre coeficientul lui λ 2 este strict pozitiv. În mod necesr discriminntul trinomului este şi se obţine relţi (4). (b) Trebuie verificte condiţiile N 1,N 2,N 3 din definiţi 3.2 (cp. II, 2) unei norme. De exemplu, vem λx, λy = λ 2 x, x, dică λx 2 = λ 2 x 2, deci λx = λ x, pentru orice x H, λ R. Apoi pentru orice x, y H, x+y 2 = x+y, x+y = x, x +2 x, y + y, y x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2,deci x + y x + y. (c) Avem x + y 2 = x + y, x + y = x 2 +2 x, y + y 2, x y 2 = x y, x y = x 2 2 x, y + y 2 şi dunând ceste relţii, se obţine relţi (5).

282 278 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ Fig. VI.1 Observţii. În orice spţiu prehilbertin H se pote dezvolt un limbj geometric sugestiv. Pentru orice x H, norm x luix se mi numeşte lungime vectorului x; dcă x, y H, numărul rel d(x, y) = x y se numeşte x, y distnţ între x ş i y, ir dcă x, y sunt nenuli, rportul este cuprins x y între 1 şi 1 (conform relţiei (4)) şi numim unghi l vectorilor x, y numărul x, y rel θ [,π] stfel încât cos θ =. Identificând orice punct x H cu x y vectorul său de poziţie Ox, se extind considerţiile geometrice uzule din R 2, R 3, V 2, V 3 etc. Astfel, regul prlelogrmului (teorem 1.1, (c)) extinde l un spţiu prehilbertin orecre o propriette binecunoscută din R 2 conform cărei sum pătrtelor lungimilor digonlelor unui prlelogrm este eglă cu sum pătrtelor lungimilor celor ptru lturi. În mod similr, dcă x, y H ş i x y (dică x, y = ), tunci se obţine relţi x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + y 2, (6) numită în mod justifict teorem lui Pitgor (fig. VI. 1, b)). Deorece orice spţiu prehilbertin H este în mod nturl un spţiu metric reltiv l distnţ d(x, y) = x y = x y, x y, ( )x, y H Fig. VI.1b se pote vorbi de convegenţ şirurilor de elemente din H, numită uneori convergenţ în normă su convergenţ tre: unşir{u n } n de elemente din H converge (tre) către u H dcă lim n u n u =. Definiţi 1.2. Se numeşte spţiu Hilbert orice spţiu prehilbertin în cre orice şir Cuchy este convergent. Aşdr, spţiile Hilbert sunt tocmi spţiile prehilbertiene complete; în prticulr, orice spţiu Hilbert este în mod nturl un spţiu Bnch. Exemple. 1) Spţiul R n este evident un spţiu Hilbert reltiv l produsul sclr euclidin; se pote răt fără dificultte că l 2 este de semene un spţiu Hilbert. 2) Fie I R un intervl în R; notăm cu L 2 (I) mulţime tuturor funcţiilor măsurbile f : I R stfel încât f 2 (x)dx <. Dcă f,g L 2 (I), tunci din ineglitte I [f(x)+g(x)] 2 2[f 2 (x)+g 2 (x)], ( )x I, rezultă că f + g L 2 (I); dcă λ R este o constntă, tunci este evident că λf L 2 (I). Aşdr, L 2 (I) este un spţiu vectoril rel. Apoi pentru orice f,g L 2 (I) vem( f(x) g(x) ) 2, de unde f(x)g(x) 1 2 [f 2 (x)+g 2 (x)], ( )x I, deci re sens numărul rel f,g f(x)g(x)dx. I Se verifică uşor că se defineşte stfel un produs sclr şi deci L 2 (I) este spţiu prehilbertin (fcem convenţi de identific orice două funcţii I R cre coincid.p. pe I). Pentru I mărginit vem 1 L 2 (I), L 2 (I) L 1 (I). Pentru orice f L 2 (I) se pote defini norm lui f f = ( f,f = I ) 1 f 2 2 (x)dx.

283 6.1. FUNCŢIONALE ŞI OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 279 Un fpt importnt şi nebnl îl constituie următore: Teorem 1.2. L 2 (I) este spţiu Hilbert. Observţie. Funcţiile din L 2 (I) se mi numesc semnle (continule) de energie finită pe I; pentru orice stfel de semnl f : I R norm lui f, dică numărul rel şi pozitiv ( ) 1 f = f(x) 2 2 dx I se numeşte energi lui f. Tote cele spuse nterior se extind l czul când sclrii sunt numere complexe, ir funcţiile iu vlori complexe; în prticulr, se pote defini noţiune de spţiu prehilbertin complex. În cele ce urmeză, ne restrângem l czul rel. Fixăm un spţiu Hilbert rel (H,, ). Dcă H ş i A H se spune că este ortogonl pe A (şi se scrie A) dcă, x = pentru orice x A. Mulţime tuturor elemenelor H ortogonle pe A formeză un subspţiu vectoril l lui H, nott cu A (numit ortogonlul lui A). Teori generlă spţiilor Hilbert este domintă de următorele două teoreme, mbele dtorte lui F. RIESZ ( ). Teorem 1.3 (teorem de proiecţie). Fie H 1 H un subspţiu vectoril închis l lui H ş i H un vector rbitrr fixt. Atunci (!)p H 1 stfel încât ( )x H 1, p x ş i p H 1. Demonstrţie. Mulţime de numere rele { x x H 1 } este mărginită inferior de, deci re o mrgine inferioră i, dică i =d(, H 1 ). Conform definiţiei mrginii inferiore, pentru orice n 1existăx n H 1 stfel încât i x n <i+ 1 n. (7) Vom răt mi întâi că şirul {x n } n 1 stfel obţinut este convergent; pentru cest, este suficient să rătăm că el este şir Cuchy (deorece H este spţiu complet). Aplicăm în cest scop relţi (5) pentru x = x m, y = x n (m, n 1) şi obţinem de unde deci x m + x n x m x n 2 = 2( x m 2 + x n 2 ), x m x n 2 =2 x m 2 +2 x n 2 x m + x n 2 2 cf.(7) ( cf.(7) 2 i + m) 1 2 ( +2 i + n) x m + x n 2 ( +2 i + 1 ) 2 4i 2 = 2 n m n 2 +4i lim m,n x m x n =. 2 ( 2 i + m) ( 1 m + 1 ), n Aşdr, şirul {x n } n 1 este convergent şi fie p = lim n x n. Deorece x n H 1, ( )n 1, rezultă p H 1 ş i c u m H 1 este închis, vem p H 1. Conform relţiei (7) pentru n,rezultăcă p = i, deci( )x H 1, p x. Demonstrăm propriette secundă lui p. Fixăm ( )x H 1 şi rătăm că p x. Dcă x =, firmţi este clră; putem deci presupune x. Pentru orice λ R vem p + λx H 1 şi vom evlu în două moduri expresi p λx 2. Pe de-o prte, p λx 2 = p λx, p λx = p 2 2λ p, x +λ 2 x 2 şi pe de lt, p λx 2 = (p+λx) 2 i 2 = p 2 ; deducem stfel că λ 2 x 2 2λ p, x pentru orice λ R, deci nepărt p, x =.

284 28 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ În sfârşit, probăm unicitte lui p; dcă r mi exist un element p H 1, stfel încât p H 1, tunci cum p, p H 1 ş i p p H 1,rezultăcă ( p ) (p p). Conform teoremei lui Pitgor se obţine tunci p 2 + p p 2 = p 2 = i 2. Dr p i, deci p p 2 dică p p =şip = p. Teorem 1.3 este complet demonstrtă. Fig. VI.2 Observţie. Elementulp se numeşte proiecţi lui pe H 1. Desigur, dcă H 1, tunci p =. Acestă teoremă este un rezultt de optim şi reprezintă extindere l spţii Hilbert unor considerţii geometrice simple din czul când H = R 3 ş i H 1 este mulţime punctelor unei drepte su le unui pln (trecând prin origine). Corolr 1. Dcă H 1 este un subspţiu vectoril închis l lui H, tunci H = H 1 H 1. Demonstrţie. Orice vector H se scrie unic sub form = u + v cu u H 1, v H 1 ; nume, luăm u = p, v = p (fig. VI. 3). Corolr 2. Fie H 1 H un subspţiu închis l lui H, H 1 H. Atunci există H \ H 1, stfel încât H 1. Demonstrţie. Alegem b H, b/ H 1 ş i fi e p proiecţi lui b pe H 1 (dtă de teorem 1.3). Deorece b/ H 1,rezultăcăp b şi luăm = p b. Atunci, / H 1 şi tot din teorem 1.3 ştim că H 1. Celăllt rezultt importnt în teori generlă spţiilor Hilbert îl constituie Teorem 1.4 ( lui F. Reisz de reprezentre). Fie H un spţiu Hilbert ş i L : H R o plicţie liniră şi continuă. Atunci (!) un vector v H depinzând de L stfel încât L(u) = u, v, ( )u H. (8) Fig. VI.3 Demonstrţie. Dcă L = luăm v =. Putem presupune L şifie H 1 =KerL; evident,h 1 = L 1 ({}) şicuml este funcţie continuă şi {} este mulţime închisă în R, rezultăcăh 1 este un subspţiu vectoril închis (teorem III 2.2). În plus, H 1 H (căci dcă H 1 = H, r rezult că L = ). Aplicând corolrul 2 l teoremei 1.3, există H \ H 1, stfel încât H 1. Atunci L() şi = şi putem consider elementul v = L() 2. Evident, v =, L() L() =, = L(). (9) 2 2 Trecem cum l verificre relţiei (8). Fie ( )u H fixt şi u 1 = u L(u) L() ; tunci L(u 1 )=L(u) L(u) L() L() =L(u) L(u) =, deci u 1 Ker L, dică u 1 H 1. Deorece este ortogonl l H 1 rezultă că u 1 ş i c u m v este colinir cu, rezultăcăv u 1, dică v, u 1 =, Avem u = u 1 + L(u) L(),deci u, v = u 1,v + L(u) cf.(9), v = u 1,v + L(u) L() =+L(u) =L(u) L() L() şi m verifict (8). Rămâne să probăm unicitte lui v; presupunem că r mi exist un element v H stfel încât L(u) = u, v, ( )u H. Atunci u, v = u, v pentru orice u H, dică u, v v = ; luând u = v v, se obţine v v 2 =, deci v = v. Teorem 1.4 este demonstrtă.

285 6.1. FUNCŢIONALE ŞI OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 281 Observţie. Teorem 1.4 se mi numeşte teorem de reprezentre funcţionlelor linire şi continue pe un spţiu Hilbert şi firmă pe scurt că o stfel de funcţionlă este obţinută c produs sclr cu un vector fixt. Cu notţiile din enunţ, e se mi scrie L =,v, unde v H este un element unic determint de L. Se pote firm că şi teorem 1.4 este o bstrgere unui fpt evident: dcă L : R n R este o funcţionlă liniră şi dcă notăm c k = L(e k ), 1 k n unde {e 1,e 2,...,e n } n este bz cnonică în R n, tunci ( )u =(x 1,x 2,...,x n ), vem u = x i e i ş i L(u) = n x i L(e i )= i=1 i=1 n e i x i ; stfel, L(u) este egl cu c, u, produsul sclr i=1 euclidin l vectorilor c =(c 1,c 2,...,c n )şiu =(x 1,x 2,...,x n ). Definiţi 1.3. Se numeşte opertor linir şi continuu l unui spţiu Hilbert rel H orice plicţie R-liniră şi continuă H H. Opertorii u o interpretre sistemică remrcbilă. Anume, considerând că intrările şi ieşirile sunt elemente din H, un opertor T l spţiului Hilbert H pote fi similt cu un sistem linir şi continuu. O consecinţă importntă teoremei 1.4 este existenţ djunctului oricărui opertor l unui spţiu Hilbert. Mi precis, re loc Teorem 1.5. Pentru orice opertor T : H H l unui spţiu Hilbert există un unic opertor T l lui H, T : H H stfel încât Tx,y = x, T y, ( )x, y H. Fig. VI.4 Demonstrţie. Fixăm ( )y H şi considerăm funcţionl liniră L : H R definită prin L(x) = Tx,y, ( )x H. Este evident că L este plicţie continuă. Într-devăr, dcă x î n H n tunci î n H Tx n, dică lim Tx n =. Apoi, conform ineglităţii lui Schwrtz, n Tx n,y Tx n y, deci lim n Tx n,y =, dică L(x n ). Conform teoremei 1.4, există şi este unic v H, depinzând de y stfel încât L(x) = x, v, ( )x H. Acest element se noteză v = T y şi stisfce L(x) = x, T y, dică Tx,y = x, T y, pentru orice x, y H. Se rtă fără dificultte că T este plicţie R-liniră şi continuă, ir teorem este dovedită. Un opertor T l unui spţiu Hilbert se numeşte utodjunct (su hermitic) dcă T = T. Exemple. 1) Fie H = l 2 şi opertorul F : H H cre sociză oricărui ş i r x = {x,x 1,...}, şirultx = {x 1,x 2,...}. Atunci djunctul lui T este opertorul T : H H definit prin T x = {,x,x 1,...}. Într-devăr, vem Tx,y = x 1 y + x 2 y = x, T y, ( )x, y l 2. 2) Dcă T : R 2 R n este o plicţie R-liniră, opertorul T este utodjunct dcă şi numi dcă mtrice M T socită lui T (în bz cnonică) este simetrică Funcţii de mtrici; funcţii de opertori Fixăm o mtrice orecre A M n (R), A =[ ij ] 1 i,j n ; e se pote identific prin punctul ( 11,..., 1n, 21,..., nn )dinr n2 şi re loc izomorfismul de spţii vectorile rele M n (R) R n2 ; în prticulr, structur de spţiu Bnch de pe R n2 se pote trnsfer l M n (R). Mi precis, punând A = i,j 2 ij

286 282 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ se obţine o normă pe M n (R); se verifică uşor că dcă A, B M n (R) şi dcă x = x 1 este un vector colonă, tunci A B A B, A x. x n A x, unde x = x x2 n; în prticulr, pentru orice k 1, vem A k A k. Teorem 1.6. Fie o serie de puteri rele f(x) = n n x n = + 1 x + 2 x cu rz de convergenţă ρ>. Atunci pentru orice mtrice pătrtică A M n (R) stfel încât A <ρ, seri de mtrici n A n = U n + 1 A + 2 A (1) n (privită c serie de elemente din spţiul Bnch M n (R)) este o serie convergentă. Sum ei se noteză cu f(a) ş i s e n u m e ş t e funcţi de mtrice A definită de f. Demonstrţie. Alegem r> stfel încât A <r<ρ. Conform teoremei II , seri numerică n n r n este AC, deci seri de numere rele pozitive n r n este C. Avem ( )n. n n A n = n A n n A n n r n. Conform criteriului de comprţie (teorem II 3.9. ) rezultă că seri n A n este C, dică seri de mtrici n A n este AC; conform teoremei n n II 3.7, rezultă că seri n n A n este convergentă în spţiul Bnch M n (R). Vom demonstr un rezultt orecum surprinzător (teorem 1.6), dr mi întâi este necesră Lem 1. Dcă H este un spţiu Bnch rel şi V H este un subspţiu finit dimensionl l lui H, tunci V este o mulţime închisă. Teorem 1.7. În condiţiile teoremei 1.6, mtrice f(a) se pote exprim c o combinţie liniră de A n 1,A n 2,...,A, U n, cu coeficienţi reli (unde n este ordinul mtricii A). Demonstrţie. Dcă P (λ) =( 1) n λ n + C 1 λ n C n 1 λ + C n = det(a λu n ) este polinomul crcteristic l mtricii A, tunci conform teoremei Hmilton-Cyley vem P (A) =, deci A n este o combinţie liniră de A n 1,..., A, U n şi l fel vor fi A n+1,a n+2,... c şi orice polinom de mtrice A. FieV subspţiul vectoril l lui M n (R) genert de A n 1,A n 2,..., A, U n. Aşdr, orice polinom de mtrice A prţine lui V. Deorece f(a) estelimit sumelor prţile le seriei (1), dică limită de polinome de mtrice A, rezultă că f(a) V, dică f(a) V, conform lemei 1. Ce mi importntă funcţie de mtrici este exponenţil. Considerăm seri de puteri 1+ x 1! + x2 +...vând rz de convergenţă ρ = şi cărei sumă este 2! e x,( )x R. Pentruorice mtrice A M n (R) condiţi A <ρeste utomt îndeplinită şi plicând teorem 1.5, rezultă că seri de mtrici U n + A 1! + A2 2! +... este convergentă. Sum ei se noteză e A su exp A ş i s e n u m e ş t e exponenţil mtricii A. Aşdr, e A M n (R) şi e A = U n + A 1! + A2 2! An n! =... (11)

287 6.1. FUNCŢIONALE ŞI OPERATORI PE SPAŢII HILBERT 283 Proprietăţile principle le exponenţilei de mtrici sunt concentrte în Teorem 1.8. () e = U n, e λu n = e λ U n,( )λ R; (b) Dcă A, B M n (R) ş i AB = BA, tunci e A e B = e B e A = e A+B ; (c) Pentru orice mtrice A M n (R), mtrice e A este nesingulră şi (e A ) 1 = e A ; (d) Fie A M n (R) este o mtrice fixtă. Atunci pentru orice mtrice nesingulră T M n (R), re loc relţi e A = T e T 1 AT T 1. (12) Demonstrţie. () rezultă direct din definiţie (formul (11)). (b) Avem e A+B = (A + B) n = ( n ) 1 n! n! n! k!(n k)! Ak B n k, n n k= plicând formul binomului lui Newton pentru mtrici (ici se foloseşte esenţil fptul că A ş i B comută între ele). Aşdr, e A+B = A p B q = A p B q. p!q! p! q! n p q p,q n p+q=n Ultim relţie rezultă din teorem II 3.14 cre se extinde direct şi l serii de mtrici. În concluzie, ea+b = e A e B şi de ici, e A+B = e B+A = e B e A. (c) Aplicăm fptul că e A e A = e = U n. (d) Prin inducţie după k se pote verific fără dificultte că (T 1 AT ) k = T 1 A k T.Atunci T 1 e A T = T 1 k A k T = k! k 1 k! (T 1 A k T )= k 1 k! (T 1 AT ) k = e T 1 AT, de unde rezultă formul (12). Formul (12) re loc pentru orice funcţie de mtrice f(a), nume f(a) = T f(t 1 AT ) T 1 (T nesingulră), cu ceeşi demonstrţie c mi sus. Aplicţie Considerăm un sistem diferenţil de ordinul I, linir şi omogen, cu coeficienţi constnţi (A M n (R)) unde x(t) reprezintă colon necunoscutelor, x(t) = x 1 (t). x n (t) ş i x (t) = x (t) =A x(t), t R (13) x 1(t). x n(t) Pentru orice t R se pote consider mtrice At. În generl, dcă se consideră o mtrice pătrtică de funcţii derivbile se pote defini derivt cestei mtrici derivând fiecre element în prte; se extind unele din proprietăţile uzule le derivtelor. Astfel, pentru orice întreg p vem ((At) p ) = Ap (At) p 1. Apoi pentru orice polinom P rezultă P (At) = A P (At) şi mi generl, pentru orice funcţie de mtrici, în condiţiile teoremei 1.5, vem f(at) = A f (At); în prticulr, pentru orice t R vem (e At ) = A e At. Se ştie că pentru orice t R şi pentru orice vector-colonă n-dimensionl fixt x, sistemul (13) re soluţie unică x(t) stfel încât x(t )=x ; folosind.

288 284 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ exponenţil unei mtrici se pote d o reprezentre elegntă cestei soluţii, nume x(t) =e A(t t ) x. (14) Este suficient să observăm că vectorul (14) verifică într-devăr sistemul (13): x (t) =Ae A(t t) x(t )=A x(t) şi condiţi x(t )=e A(t t) x = e x = U n x = x. Mtrice e A(t t ) se numeşte mtrice de trnziţie sistemului (13) de l momentul t l momentul t. Mi generl, pentru un sistem diferenţil de ordinul I linir, cu coeficienţi constnţi, neomogen x (t) =A x(t)+b(t) unde B(t) este o colonă de n funcţii continue şi mărginite pe un intervl J R, tunci soluţi x(t) pej verificând o condiţie de form x(t )=x (t J fixt) este t x(t) =e A(t t ) x + e A(t s) B(s)ds, ( )t J. (15) t Într-devăr, este evident că x(t )=x şi poi derivând sub integrlă, vem t x (t) =Ae A(t t) x + Ae A(t s) B(s)ds + e A(t s) B(s) s=t = t [ t ] = A e A(t t) x + e A(t s) B(s)ds + e B(t) =A x(t)+b(t), ( )t J. t Formul (15) re o interpretre senzţionlă: dcă se cunosc prmetri de stre x 1,...,x n i sistemului dinmic x = Ax + B(t) l un moment t, tunci se pot determin vlorile lor l orice lt moment t J. Apre c utilă indicre unor metode de clcul l exponenţilei unei mtrice, srcină Algebrei mtricele Exerciţii 1. Se consideră spţiul prehilbertin rel H = C[,2π], cu produsul sclr L 2. Să se rte că şirul de funcţii continue f n :[, 2π] R, n 1 vând grficul din figur VI. 5, este şir Cuchy. Indicţie. Pentru orice m, n 1vem f m f n 2 = 2π (f m (x) f n (x)) 2 dx 2 n ; poi lim n 2π (f n (x) g(x)) 2 dx =unde 1, dcă x g(x) =, î n r e s t ( π 2, 3π ) 2 etc. Fig. VI.5 2. Să se rte că în spţiul l 2 mulţime vectorilor x l 2 cu x 1este închisă şi mărginită fără fi compctă. 3. ) Să se rte că orice plicţie R-liniră injectivă ϕ : R n R n este un izomorfism linir şi continuu. b) Să se rte că plicţi ϕ : l 2 l 2, {x,x 1,x 2,...,} {,x,x 1,...} este R-liniră, injectivă, continuă, dr nu este surjectivă. 4. Să se de exemplu de spţii Bnch în cre norm nu provine dintr-un produs sclr (deci nu este spţiu Hilbert). [ Indicţie. Luăm H = spţiul funcţiilor mărginite, π ] R cu norm 2 sup; funcţiile f = sin,g = cos nu verifică relţi prlelogrmului. (Anume

289 6.2. SERII TRIGONOMETRICE; ANALIZĂ FOURIER 285 f = 1, g = 1, f + g = 2, f g = 1). Aşdr, norm-sup nu provine dintr-un produs sclr. 5. Fie H un spţiu prehilbertin rel. Se spune că un şir {x n } n 1 de elemente din H converge slb către un element H dcă x n,y, y, ( )y H, pentrun. Să se rte că î n H 1) dcă x n, tunci x n converge slb către ; 2) reciproc re loc în spţiul H = R n, dr nu în generl. Indicţie. 1) x n,y, y = x n, y ş i x n, y x n y etc. 2) Luăm H = C[,2π] ;şirul{sin nx} n 1 converge slb către, dr nu converge în H. ( 6. Fie I =, 1 ). Să se rte că funcţi f : I R definită prin f(x) = 2 1 x ln 2 x este integrbilă pe I dr f/ L2 (I). 6.2 Serii trigonometrice; nliză Fourier Seriile trigonometrice sunt utilizte curent în electrotehnică, în rdiotehnică, în mecnic undelor şi în orice procese vibrtorii periodice. De semene, studiul seriilor trigonometrice şi mi les l seriilor Fourier este strâns legt de reprezentre semnlelor periodice cu posibilităţi de dptre tehnicilor moderne de clcul. Pote păre surprinzător, dr Cntor introdus operţiile de reuniune, intersecţie, diferenţă etc. între mulţimi studiind mulţimile de convergenţă punctulă le unor serii trigonometrice! Noţiune de serie trigonometrică Remintim că o funcţie relă f : A R, A R se numeşte periodică dcă există un număr rel T stfel încât pentru orice x A să vem x + t A, x T A ş i f(x + T )=f(x). Numărul rel T> minim (dcă există!) cu cestă propriette se numeşte period principlă lui f. Atunci f(x) =f(x + nt ), ( )n Z. Exemple. FuncţiileR R, x sin(ωx + ϕ) şix cos(ωx + ϕ), (ω, ϕ R, ω ) u period principlă T = 2π πx πx. Funcţiile x sin, x cos ω l l (l > fixt) u deci period ( ) principlă 2l. În generl, dcă o funcţie f(x) re Tx period T, tunci f re period 2π, stfel că este suficient să studiem 2π funcţiile periodice de periodă 2π. În cele ce urmeză, vom not cu P mulţime funcţiilor rele R R cre sunt continue pe porţiuni pe orice intervl compct din R (cu limite lterle finite în orice punct) şi cre în plus sunt periodice de periodă 2π. Aceste funcţii sunt integrbile pe orice intervl compct şi P L 2 [ π,π]. În plus, remrcăm că ( )f P,( ) R, vem +2π f(x)dx = (Într-devăr, este suficient să observăm că π +2π π f = f + f + f π π +2π π π f(x)dx. (16) ş i c ă π π f + f =, +2π ultim relţie rezultând imedit prin schimbre de vribilă x = t 2π). Aşdr, integrl lui f este ceeşi pe orice intervl de lungime 2π. Exemple. Funcţif : R R, f(x) = sin x prţine evident mulţimii P.

290 286 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ De semene, funcţi u : R R definită prin { e x dcă x [,π) u(x) = dcă x [ π, ), Fig. VI.6 Fig. VI.6b prelungită prin periodicitte l R, prţine mulţimii P (fig. VI.6 şi b). Pentru orice două funcţii f,g P vom not f,g = π π f(x)g(x)dx produsul sclr L 2. (17) Definiţi 2.1. Fie, 1, 2,...; b 1,b 2,... două şiruri de numere rele. Seri de funcţii f n, f n : R R, f = 2, f n(x) = n cos nx + b n sin nx, n (n 1) se numeşte seri trigonometrică de coeficienţi i, b j (i, j 1). Sumele prţile le unei stfel de serii se numesc polinome trigonometrice. Deorece funcţiile f n, deci şi sumele prţile le seriei trigonometrice n f n (x) = 2 +( 1 cos x + b 1 sin x)+( 2 cos 2x + b 2 sin 2x)+... sunt funcţii periodice de periodă 2π, este suficient să studiem convergenţ unor stfel de serii pe un intervl de lungime 2π, de exemplu[ π, π]. Proprietăţile sumelor unor serii trigonometrice punctul convergente sunt sistemtizte în teorem cre urmeză. Teorem 2.1. Presupunem că seri trigonometrică 2 + ( n cos nx + b n sin nx) (18) n 1 este PC pe [π, π] (deci pe întreg dreptă relă) şi fie S(x) sum cestei serii. () Funcţi S : R R este periodică de periodă 2π; (b) Dcă seri (18) este UC pe [ π, π], tunci S P şi în cest cz, u loc relţiile k = 1 π π π S(x) cos kx dx, k ; b k = 1 π π π S(x)sinkx dx, k 1. (19) Demonstrţie. () Fie {S n } n şirul sumelor prţile le seriei (18). Aşdr, S = 2, S n = n 2 + ( k cos kx + b n sin kx), n 1. Conform ipotezei S n PC k=1 S şi cum tote funcţiile S n sunt periodice de periodă 2π, ceeşi propriette o re funcţi S. (b) Deorece seri (18) este o serie uniform convergentă de funcţii continue, sum ei v fi continuă pe R, decis P. Pentru orice x R vem S(x) = 2 + ( n cos nx+b n sin nx). Înmulţind cu funcţi mărginită cos kx (respectiv n 1 cu sin kx), convergenţ uniformă se păstreză şi se obţin relţiile S(x) cos kx = 2 cos kx + ( n cos nx cos kx + b n sin nx cos kx), n 1 S(x) sin kx = 2 sin kx + ( n cos nx sin kx + b n sin nx sin kx). n 1 Integrând ceste relţii pe intervlul [ π, π] şi ţinând cont de relţiile (1), (2), (3) din 1, rezultă relţiile (19).

291 6.2. SERII TRIGONOMETRICE; ANALIZĂ FOURIER Seri Fourier socită unei funcţii Teorem 2.1 sugereză următore construcţie, dtortă mtemticinului frncez J. FOURIER ( ). Definiţi 2.2. Fixăm o funcţie orecre f P şi considerăm şirurile k = 1 π b k = 1 π π π π π f(x) cos kx dx, k ; (2) f(x)sinkx dx, k 1. (21) În cest mod, oricărei funcţii f P i se sociză seri trigonometrică 2 + ( k cos kx + b k sin kx), k 1 numită seri Fourier lui f; coeficienţii k, b k se numesc coeficienţii Fourier lui f. Fie ϕ :[, ] R o funcţie continuă pe porţiuni. Se ştie că dcă ϕ este o funcţie pră (respectiv impră), tunci ϕ =2 ϕ (respectiv ϕ = ). (22) Funcţiile pre (respectiv impră) u grficul simetric în rport cu x Oy (respectiv în rport cu origine). Dcă f Peste o funcţie pră, tunci funcţi R R, x f(x) cos kx este pră, ir x f(x) sin kx impră, deci formulele (2), (21) devin k = 2 π π Similr, dcă f P este impră, tunci f(x) cos kx dx, k şi b k =,k 1. (23) k =,k şib k = 2 π π f(x)sinkx dx. (24) Desigur, modificre vlorilor lui f într-un număr finit de puncte nu modifică vlorile coeficienţilor Fourier i lui f deci nu conteză dcă funcţi f este considertă pe ( π, π], [ π, π] su numi pe intervlul ( π, π). Definiţi 2.2 pote fi dtă mi generl, pentru funcţii integrbile Lebesgue. Legătur între funcţi f Pşi seri ei Fourier este până cum dor o legătură de sociere. Seri Fourier lui f pote să fie divergentă su chir dcă este punctul convergentă pe R, e pote să nu ibă c sumă funcţi f. Teorem cre urmeză dă totuşi condiţii în cre seri Fourier unei funcţii f Pconverge punctul.p., cu sum f; esenumeşteteoremă de reprezentre ( unor funcţii rele c sume de serii trigonometrice) şi printre plicţii, notăm descompunere unui semnl în rmonicele sle, cre pr c termeni i seriei Fourier socite. Teorem 2.2 (teorem lui Fourier-Dirichlet de reprezentre). Fie f P o funcţie derivbilă pe porţiuni, cu derivte lterle finite în orice punct. Atunci seri Fourier lui f este PC pe R; mi precis, sum seriei Fourier lui f f(x ) + f(x + ) în punctul x R este eglă cu m = (medi ritmetică 2 limitelor lterle le lui f în x). Demonstrţie este nebnlă şi o omitem. Direct din teorem 2.2 decurge următore consecinţă. Corolr. Dcă f : R R este o funcţie periodică, continuă, derivbilă pe porţiuni, tunci seri Fourier lui f este PC vând c sumă f.

292 288 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ Observţii. 1) Form complexă seriilor Fourier. Considerăm seri trigonometrică (18) cu coeficienţi reli. Folosind formulele lui Euler vem cestă serie devine Notând tunci seri devine cos nx = 1 2 (einx + e inx ), 2 + n 1 c = 2 ş i c n = ( n ib n c + n 1(c n e inx + c n e inx )= 2 1 2i (einx e inx ); e inx + ) n + ib n e inx ( n ib n ) dcă n> 1 2 ( n + ib n ) dcă n<, n= c n e inx Se verifică imedit că pentru orice m, n R vem (form complexă). π π { 2π dcă m + n = e inx e inx dx = dcă m + n. (25) În generl, o serie z n este prin definiţie convergentă dcă seriile n= n z n sunt simultn convergente şi sum ei se obţine dunând sumele cestor n 1 două serii. În ipotez că seri S(x) e ikx = n= cont de (25) se obţine 1 π S(x) e ikx dx = 1 2π π 2π n= z n, c n e inx este UC pe R cu sum S(x), tunci c n e inx e ikx şi integrând pe intervlul [ π, π] şi ţinând n= π c n e inx e ikx dx = c k, ( )k Z. Dcă f este o funcţie stisfăcând condiţiile teoremei lui Dirichlet, tunci considerând coeficienţii lui Fourier c k = 1 π f(x) e ikx dx, k Z (26) 2π π rezultă că seri n= c n e inx este PC pe π R cu sum f(x + ) + f(x ), 2 ( )x R. 2) Dcă în definiţi unei funcţii din cls P păstrăm tote ipotezele dor că presupunem f periodică de periodă principlă 2l, l>(în loc de 2π), tunci tote construcţiile şi rezulttele nteriore rămân vlbile; în cest cz, coeficienţii Fourier sunt k = 1 l l l f(x) cos kπx l dx; k ; b k = 1 l l l f(x)sin kπx l dx; k 1

293 6.2. SERII TRIGONOMETRICE; ANALIZĂ FOURIER 289 şi în czul formei complexe, c k = 1 2l f(x + ) + f(x ) 2 l l f(x)e kπx i l = 2 + ( k cos kπx + b k sin kπx ) = l l k 1 dx. Teorem 2.2 se scrie k= c k e i kπx l. 3) Interpretări fizice. Dcă f(t), t R este un semnl continul, periodic (de periodă 2π) verificând condiţiile teoremei lui Dirichlet, tunci coeficientul 2 = 1 π f(t) dt reprezintă medi lui f pe intervlul [ π, π], 2π π termenul 1 cos t + b 1 sin t reprezintă oscilţi principlă lui f î n j u r u l poziţiei medii, termenii n cos nt + b n sin nt u period principlă 2π n (n 1) şi corespund rmonicelor oscilţiei principle. Formul de reprezentre f(t) = 2 + ( n cos nt + b n sin nt) se interpreteză c descompunere semnlului f în rmonice. În prctică cunoştere coeficienţilor Fourier permite n 1 evidenţiere importnţei diverselor rmonice şi în funcţie de context, rtă cre din ele trebuie tenute su mplificte. Pentru clculul coeficienţilor Fourier i unui semnl obţinut experimentl se utilizeză metode proximtive. În ultimul timp s-u elbort metode specile (de exemplu, lgoritmul de trnsformre Fourier rpidă) în conjugre cu tehnic de vârf clcultorelor. Exemple. 1) Considerăm funcţi f :( π, π) R definită prin f(x) =x ş i fie f funcţi obţinută prelungind f prin periodicitte l întreg R.p.; funcţi f stisfce condiţiile teoremei lui Dirichlet şi este impră (fig. VI.7 şi b). Folosind formulele (24) coeficienţii ei Fourier sunt k =, k şipentru orice k 1, b k = 2 π π f(x)sinkx dx = 2 π π x sin kx dx = 2 k ( 1)k+1, ţinând cont că sin kπ =, cos kπ =( 1) k, k Z. f(x ) + f(x + ) Atunci pentu orice x R vem = b k sin kx ir 2 k 1 pentru x ( π, π) rezultădirectx = 2 ( 1) k+1 sinkx. În prticulr, k k 1 pentru x = π 2 vem π 2 =2 ( 1) k+1 sin kx ( k 2 = ), k 1 Fig. VI.7 Fig. VI.7b deci = π 4. 2) Fie semnlul dreptunghiulr f :( π, π) R definit prin [ A (constnt), dcă t π 2, π ] 2 f(t) = (, dcă π, π ) ( π ) 2 2,π, prelungit poi prin periodicitte (fig. VI. 8). În cest cz, f este funcţie pră, deci conform formulelor (23) vem b k =, k 1, = π 2 π π 2 A dt = A ş i k = π π 2 A cos kt dt = 2A 2 2 kπ sin kπ 2. t ( π, π), t ± π 2 vem reprezentre f(t) =A 2 + 2A π k 1 π f(t)dt = Deci pentru orice 1 k sin kπ 2 cos kt. Medi semnlului pe ( π, π) este A 2, oscilţi principlă este 2A cos t etc. π Am întâlnit în cest curs două tipuri importnte de serii de funcţii-seriile de puteri şi seriile trigonometrice şi este utilă o comprţie între ceste. Seriile de Fig. VI.8

294 29 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ puteri sunt mi uşor de mânuit (sumele lor prţile fiind polinome lgebrice), ir în domeniul de convergenţă, sum lor este o funcţie de clsă C. Un defect l lor este cel că, în generl, o funcţie nu pote fi reprezenttă printr-o serie de puteri pe întreg domeniul ei de definiţie (de exemplu, deşi f(x) = este de clsă C pe întreg R, dezvoltre ei 1 1+x x 2 =1 x2 + x 4 x este vlbilă numi pentru x < 1). Seriile trigonometrice u c sume prţile polinome trigonometrice şi reprezentre funcţiilor prin serii Fourier re loc pe orice intervl, cee ce este deosebit de util. Seriile trigonometrice sunt mi puţin mnibile, de exemplu ele nu pot fi derivte su integrte termen cu termen fără precuţii suplimentre Teoremele lui Weierstrss de proximre Teorem 2.3. Fie f : R R o funcţie continuă, periodică de periodă 2π. Notăm cu s n n- sumă prţilă seriei Fourier socită lui f ş i c o n - siderăm polinomul trigonometric σ n = 1 n (s + s s n 1 ), n 1. Atunci şirul de funcţii {σ n } n 1 converge uniform pe R către f. Nu dăm demonstrţi. Corolr. Dcă f : R R este o funcţie continuă, periodică de periodă 2π vând toţi coeficienţii Fourier nuli, tunci f =. Demonstrţie. Aşdr, k =, ( )k şib k =, ( )k 1deci( )n 1 UC vem σ n (x) = pentru orice x R. Cumσ n f pe R, rezultăcăf(x) =, pentru orice x R. În prticulr, rezultă unicitte reprezentării Fourier funcţiilor continue periodice. Se obţin cum fără dificultte teoremele de proximre uniformă funcţiilor continue prin polinome trigonometrice şi prin polinome lgebrice. Teorem 2.4 (teorem 1 lui Weierstrss). Orice funcţie continuă f : R R, periodică de periodă 2π se proximeză uniform prin polinome trigonometrice (dică pentru orice ε> există un polinom trigonometric T ε stfel încât f T ε <ε). UC Demonstrţie. Deorece σ n f pentru n, conform teoremei 2.3, rezultă că pentru orice ε>existăn(ε) stfel încât f σ n <εpentru orice n N(ε). Luăm tunci T ε = σ N şi teorem rezultă. Teorem 2.5 (teorem 2 lui Weierstrss). Orice funcţie continuă pe un intervl compct f : [, b] R se proximeză uniform prin polinome lgebrice (dică pentru orice ε> există o funcţie polinomilă P ε :[, b] R stfel încât f P ε <ε, dică în tubul de funcţii (f ε, f + ε) se flă grficul unei funcţii polinomile). Demonstrţie. Presupunem mi întâi că =, b =2π ş i c ă f() = f(2π). Atunci funcţi f se pote prelungi prin periodicitte l o funcţie continuă, periodică de periodă 2π pe întreg R (pe cre o notăm tot cu f). Conform teoremei 2.4 există un polinom trigonometric T ε stfel încât T ε (x) f(x) < ε 2 pentru orice x [, 2π]. Dr T ε este o sumă finită de sinuşi şi cosinuşi, deci este dezvoltbilă în serie de puteri pe întreg R, T ε (x) = n x n (rz de n convergenţă ) şi conform teoremei II , c) cestă serie este UC pe n [, 2π] şi c tre, există N(ε) stfel încât T ε(x) k x k < ε pentru orice 2 k=

295 6.2. SERII TRIGONOMETRICE; ANALIZĂ FOURIER 291 n N şi orice x [, 2π]. Atunci notând P ε (x) = N k x k,vem k= f(x) P ε (x) f(x) T ε (x) + T ε (x) P ε (x) < ε 2 + ε 2 = ε, pentru orice x [, 2π] şi czul prticulr considert este trnşt. Presupunem cum că f : [, 2π] R este o funcţie continuă orecre (fără restricţi că f() = f(2π)). Definim F (x) = f(x) kx, unde k = [f(2π) f()]/2π; se obţine o funcţie F : [, 2π] R continuă şi evident F () = F (2π) =f(). Atunci conform czului nterior trtt, funcţi F se proximeză uniform prin polinome lgebrice şi ceeşi propriette o re f. În fine, trecem l czul generl şi fie f :[, b] R o funcţie continuă pe in intervl compct orecre. ( Considerăm tunci funcţi uxiliră Φ : [, 2π] R, definită prin Φ(t) = f + t ) (b ). Deorece Φ este continuă, tunci 2π pentru orice ε>există o funcţie polinomilă R ε (t) stfel încât Φ(t) R ε (t) < ε pentru orice t [, 2π]. Pentru orice x [, b], notând t = 2π (x ), b rezultă t [, 2π], deci ( ) ( ) 2π 2π Φ (x ) R ε (x ) <ε. b b ( ) 2π Notând P ε (x) =R ε (x ),rezultă f(x) P ε (x) <εpentru orice b x [, b] şi teorem este demonstrtă complet. Corolr. Pentru orice funcţie continuă f :[, b] R există un şir de funcţii polinomile {P n } n cre converg uniform pe [, b] către f. Demonstrţie. Este suficient să luăm ε = 1 n (n 1) şi să legem funcţii polinomile P n stfel încât f P n < 1 n Serii Fourier generlizte Dcă {e 1,e 2,...,e n } este bz cnonică în spţiul Hilbert R n (cu produsul sclr euclidin), tunci evident e i,e j = δ ij,1 i, j n ş i e i e j dcă i j. Apoi pentru orice vector x R n, x =(x 1,...,x n )vemevident x, e j = x k, n n 1 k n deci x = x k e k = x, e k e k. Reprezentări similre se obţin k=1 k=1 pentru vectorii din numite spţii Hilbert, ş cum vom vede în continure. Definiţi 2.4. Fie H un spţiu Hilbert rel; se numeşte sistem ortonorml totl (su bză ortonormlă) în H orice şir de vectori R = {e n } n 1 stfel încât e i,e j = δ ij, pentru orice i, j 1 şi subspţiul genert de R să fie dens în H (mulţime R este finită su numărbilă). Exemple. În R n bz cnonică este bză ortonormlă. De semene în spţiul Hilbert H = l 2 elementele e 1 = {1,,,...}, e 2 = {, 1,,,...},... etc. formeză o bză ortonormlă {e n } n 1. Nu orice spţiu Hilbert re bză ortonormlă (numărbilă). Definiţi 2.5. Fie H un spţiu Hilbert vând un sistem ortonorml totl R = {e n } n 1. Pentru orice element u H numerele rele c n = u, e n, n 1 se numesc coeficienţii Fourier (generlizţi) l lui u reltiv l R. Teorem 2.6. Fie H un spţiu Hilbert (rel) vând un sistem ortonorml totl R = {e n } n 1. Pentru orice element u H, seri n 1 c n e n (c n fiind

296 292 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ coeficienţii Fourier l lui u reltiv l R) este convergentă în H cu sum u, u = n 1 c n e n (27) (dezvoltre Fourier generliztă lui u). În plus, seri numerică n 1 c 2 n este convergentă şi Demonstrţie. Fieu n = c 2 n = u 2. (28) n 1 n c p e p, n 1. Atunci pentru orice k, 1 k n, p=1 u n,e k = c 1,e c n e n,e k = c 1 e 1,e k +...+c n c n,e k = c k e k,e k = c k, deci u n,e k = u, e k, dică u n u, e k =. Pentru orice n 1 fixt, notăm cu H n subspţiul vectoril l lui H genert de e 1,e 2,...,e n ; şdr, u n u H n, ( )n 1. Pe de ltă prte, H n este subspţiu închis (căci este finit dimensionl şi plicăm lem 1). Atunci conform teoremei 1.3 rezultă că u n este proiecţi lui u pe H n. Fie ( )ε > fixt. Cum subspţiul genert de R este dens în H, tunci există un element v cre este combinţie liniră finită de elemente din R stfel încât u v <ε. Aşdr, există N(ε) nturl stfel încât v H n pentru orice n N(ε). Conform teoremei 1.3, vem u u n u v, deci u u n <ε pentru orice n N(ε). Am demonstrt stfel că u n u pentru n, dică sumele prţile le serie converg către u, de unde (27). n 1 În fine, n n u n 2 = u n,u n = c p e p, c q e q = p=1 q=1 = c p c q e p,e q = c p c q δ pq = n 1 p,q n 1 p,q n p=1 şi făcând n, rezultă (deorece u n u) căseri c 2 n este convergentă, n 1 cu sum u 2, deci (28). c 2 p Fig. VI.8 Observţie. Pentruu, R fixte dezvoltre (27) este unică, căci dcă u = n d n e n, tunci notând v n = d k e k,rezultă v n,e k = d k pentru orice k n n 1 k=1 şi făcând n, rezultă (deorece v n u) că u, e k = d k, dică c k = d k, pentru orice k 1. Fixăm u H. Am văzut că pentru orice n fixt, dintre tote elementele w H n (combinţii linire de e 1,e 2,...,e n ) cel pentru cre distnţ d(u, w) = n u w este minimă este w = u n dică w = c p e p unde c p sunt coeficienţii Fourier i lui u reltiv l R. Distnţ u w se mi numeşte btere medie pătrtică lui w de l u şi m probt că dintre vectorii din H n, vectorul u n ete cel cre relizeză btere medie pătrtică minimă fţă de u; fig. VI. 8. Din n relţi (28) rezultă de semene că pentru orice n, c 2 k u 2 (ineglitte lui Bessel). Ne situăm în czul cel mi importnt pentru plicţii, considerând spţiul π Hilbert H = L 2 [ π,π] cu produsul sclr f,g = f(x)g(x)dx (teorem 1.2). p=1 π k=1

297 6.2. SERII TRIGONOMETRICE; ANALIZĂ FOURIER 293 Ş i r u l e 1 = 1 2π, e 2 = 1 π cos x, e 3 = 1 π sin x, e 4 = 1 π cos 2x,... formeză un sistem ortonorml totl în H (într-devăr e i,e j = δ ij,( )i, j 1; poi, pentru orice ε>şi pentru orice funcţie f H, legem o funcţie în scră g :[ π, π] R stfel încât f g 2 < ε ; mi deprte, legem o 3 funcţie continuă h :[ π, π] R şi un polinom trigonometric T stfel încât g h 2 < ε 3, h T 2 < ε 3,deci f T 2 <ε, deci oricât de prope de f se flă un polinom trigonometric). Fixăm o funcţie u :[ π, π] R din H; re sens să considerăm coeficienţii Fourier { k } k, {b k } k definiţi prin formulele (2), (21) (într-devăr, conform ineglităţii lui Schwrtz, deci π π π π u(x) cos kx dx 2 ( π ) u(x) 2 dx π u(x) cos kx dx < şi în mod similr, ( π ) cos 2 kx dx π π π u(x)kx dx <, pentru orice k întreg). Pe de ltă prte, putem consider coeficienţii Fourier generlizţi i lui u reltiv l sistemul ortonorml totl {e n } n 1 de mi sus. Aşdr, π 1 π c 1 = u, e 1 = u(x) dx = 2π 2,e 2 = u, c 2 = 1 π (29) π c 3 = b 1 π, c4 = 2 π etc. ir seri Fourier generliztă v fi c n e n = c 1 e 1 + c 2 e = cos x + b 1 sin x + 2 cos 2x +... n 1 Aşdr cele două concepte de serie Fourier socită coincid. Am văzut că teorem 2.2, lui Dirichlet dăde condiţii de convergenţă punctulă seriilor Fourier (utile în plicţii tehnice). Teorem 2.6 rtă că seri Fourier oricărei funcţii u L 2 [ π,π] converge tre şi re sum u. Conform (29), relţi (28) devine în cest cz (relţi lui Prsevl) k 1( 2 k + b 2 k)= 1 π u 2 2 = 1 π π π u(x) 2 dx (3) Observţii. 1) Se pote d cum un exemplu de serie trigonometrică punctul convergentă pe R cre nu este seri Fourier vreunei funcţii din L 2 [ π,π]. Anume, dcă seri trigonometrică 1 sin nx (punctul convergentă pe R, n n 1 ş cum se vede plicând criteriul lui Abel II. 3.13) r fi serie Fourier, tunci seri numerică ( 2 k +b 2 k)= 1 r rezult convergentă, cee ce este bsurd. k k 1 k 1 2) Teori seriilor Fourier pune în evidenţă un fenomen relevnt. În condiţiile teoremei 2.6, pentru orice u H şirul coeficienţilor Fourier (generlizţi) {c n } n 1 prţine spţiului l 2 (deorece c 2 n < ). Avem stfel o sociere n 1 între două spţii Hilbert Φ:H l 2. Acestă sociere este bijectivă. Injectivitte rezultă din unicitte dezvoltării n Fourier; probăm surjectivitte: fie {c n } n 1 l 2 şi notăm u n = c k e k ; k=1

298 294 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ deorece u n+p u n 2 = u n+p u n,u n+p u n = n+p i=n+1 c i e i, n+p i=n+1 c i e i = n+p i=n+1 rezultă că şirul {u n } n 1 este Cuchy deci convergent, u n u. Deorece u n,e k = c k,rezultăpentrun că u, e k = c k, k 1deciΦ(u) = {c n } n 1. Mi mult, se rtă uşor că Φ conservă produsele sclre (dică u, v = Φ(u), Φ(v), pentru orice u, v H). În czul H = L 2 [ π,π] plicţi Φ stbileşte o corespondenţă bijectivă între entităţi de ntură distinctă, nume între semnle continule de energie finită şi semnle discrete de energie finită. Dcă u este un semnl din L 2 [ π,π], tunci şirul coeficienţilor Fourier i săi este numit spectrl (discret) l lui u şi se clculeză prin formulele de tipul (2), (21), ir teorem lui Dirichlet (su teorem 2.6) rtă modul cum se recupereză semnlul din cunoştere spectrului său. Aceste considerţii sunt dezvoltte în [14] şi portă numele de conversie nlogic-digitlă Exerciţii 1. Să se studieze coeficienţii Fourier pentru funcţiile indicte mi jos, prelungite prin periodicitte de periodă 2π l întreg R: { dcă x [,π) ) f(x) = >dt; dcă x ( π, ), b) f(x) = x pentru x [ π, π]; c) f(x) =x 2 pentru x [ π, π]. Răspuns. ) n =, ( )n ; b n = dcă n pr 4 nπ dcă n este impr. 4 b) b n =, ( )n 1; = π, 2k =, 2k+1 = π(2k + 1) 2 ; c) = 2π3 3, k = 4( 1)k k 2 ; b k =, k Să se dezvolte în serie Fourier funcţi f(x) = x, definită pe intervlul [ 1, 1) şi prelungită prin periodicitte de periodă 2 l R. Idemf(x) = sin x pe [ π, π) prelungită l R prin periodicitte de periodă π. 3. Să se dezvolte în serie de sinuşi (şi respectiv de cosinuşi) funcţi f(x) = x + 1, x (,π), prelungită prin impritte (respectiv prin pritte) l ( π, π) şi poi prin periodicitte l întreg R. 4. Fie v :[, b] R integrbilă şi ( )k N, v =.p. b c 2 i, v(x)e ikx dx = ; rătţi că 5. Fixăm un intervl I R şi o funcţie continuă ρ : I R stfel încât ρ>şi ρ(x) x k dx< pentru orice întreg k (numităfuncţie pondere). I Notăm cu H mulţime tuturor funcţiilor măsurbile f : I R stfel încât ρf 2 <. Să se rte că: I ) H este spţiu Hilbert reltiv l produsul sclr f,g = ρfg; b) există un şir de polinome {P n } n cu coeficienţi reli, de form P (x) = 1, P 1 (x) =x + 11, P 2 (x) =x x + 21,... etc. stfel încât P m,p n = pentru orice m, n, m n (numite polinome ortogonle reltiv l ρ). I

299 6.3. NOŢIUNEA DE DISTRIBUŢIE 295 (Dcă I =[ 1, 1] şi ρ = 1 se obţin polinomele A.M. LEGENDRE ( ) şi pentru I =( 1, 1), ρ(x) = se obţin polinomele P.L. CEBÎŞEV 1 x 2 ( )). c) dcă f H, tunci re loc o dezvoltre Fourier generliztă de form f = c n P n unde c n = f,p n P n 2, n. n 6.3 Noţiune de distribuţie Dăm câtev definiţii şi prime rezultte din Teori distribuţiilor, împreună cu unele specte fizice, deltfel genertore le întregii teorii. Conceptul de distribuţie este deosebit de importnt, el vând plicţii în clculul operţionl, în Teori ecuţiilor fizicii mtemtice şi în studiul unor sisteme fizice, sisteme cu impulsuri etc Motivţii fizice le studiului distribuţiilor ) Considerăm o reţe electrică RLC (în serie) conecttă, l momentul t =, l o sursă de tensiune constntă v. Conform legilor lui Kirchhoff, intensitte i(t) curentului în reţe verifică l fiecre moment t într-un intervl de timp [ T,T], condiţi Li (t)+ri(t)+ 1 C t unde v(t) este tensiune l bornele reţelei. Dr { dcă t< v(t) = v dcă t, dică v(t) =v σ(t), unde σ este semnlul unitte { dcă t< σ(t) = 1 dcă t. i(t)dt = v(t), (31) Dcă momentul conectării er τ tunci v(t) =v σ(t τ). Deorece funcţi v(t) nu este derivbilă (nu este nici măcr continuă!) relţi (31) nu pote fi derivtă, în rport cu t în cdrul nlizei clsice. Vom pute studi însă cestă ecuţie şi implicit vom obţine informţii supr reţelei, folosind distrbuţiile. b) Pentru model mtemtic idee de impuls de mplitudine A, plict l momentul t =, este utilă considerre funcţiei h ε : R R, ε>definită prin h ε (t) = A dcă t [,ε] şi nulă în rest, impulsul cţionând dor în intervlul [,ε] (fig. VI. 9). Dcă ri dreptunghiului este eglă cu 1, dică h ε (t)dt =1(deciA = 1 ) tunci impulsul se numeşte unitr. ε Despre numărul ε (lumgime intervlului de cţiune impulsului) nu m spus numic; impulsul unitr idel se obţine pentru ε, dică r fi definit prin limit punctulă δ(t) =lim ε h ε (t), ( )t R dică δ(t) = dcă t şiδ() = lim =. Dr cest nu este o funcţie ε în sens uzul (fig. VI. 1). c) Fie un punct mteril de msă m plst în origine unei xe. Vrem să definim un concept de densitte liniră δ(x) msei punctule. Un rţionment tipic constă în împrăşti uniform ms respectivă într-un intervl ( ε, ε) ε 1 Fig. VI.9 Fig. VI.1

300 296 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ centrt în origine, defini densitte medie liniră (ms pe unitte de lungime) în fiecre punct x R l xei δ(x) = m 2ε dcă x ( ε, ε) dcă x ( ε, ε) (32) şi consider poi limit δ(x) = lim δ ε (x), ( )x R. Se obţine din nou ε funcţi de mi sus (înmulţită cu constnt m); în plus integrre densităţii trebuie să fie ms totlă, dică δ(x)dx = m. Dr δ =.p. deci δ(x)dx = şi se junge l o contrdicţie. Aşdr, conceptul de densitte unei mse punctule nu pote fi definit în cdrul clsic. În mod similr, noţiunile c: densitte unei srcini electrice punctule, densitte unui dipol electric, intensitte unei tensiuni elstice plictă concentrt într-un punct etc. pot fi definite numi în cdrul distribuţionl. Trecem cum l definiţii mtemtice rigurose Definiţi distribuţiilor. Exemple Notăm cu D mulţime funcţiilor R R cre sunt indefinit derivbile pe R şi nule în fr unui intervl mărginit (dică funcţii de clsă C cu suport compct). Funcţiile din D se mi numesc funcţii-test. Exemple. 1) Funcţi clopot ϕ : R R definită prin ( ) 1 exp ϕ(x) = x 2, dcă x ( 1, 1) 1 î n r e s t prţine lui D (fig. VI. 11). Fig. VI.11 2) Funcţiile sin x, cos x, e x, x 2, σ, constntele nenule etc. nu prţin lui D, deorece nu se nuleză spre + ş i. Dcă f este o funcţie de clsă C pe un intervl deschis mărginit (, b), tunci pentru orice ε> se pote construi ofuncţieϕ Dcre să fie nulă în fr intervlul [ ε, b + ε] şi să coincidă cu f pe intervlul (, b) (fig. VI. 12). 3) Indicăm un şir de funcţii test ϕ n, n 1; nume ϕ n (x) = ( c n exp 1 n 2 x 2 1 ), dcă x < 1 n dcă x 1 n (33) Fig. VI.12 Constntele pozitive c n pot fi lese stfel încât în cest cz c n (căci c n ne,( )n 1). 2 ϕ n (x)dx = 1; evident, Definiţi 3.1. Un şir {ϕ n } n 1 de funcţii-test se numeşte convergent î n D către zero pentru n (şi se scrie ϕ n ) dcă există un intervl î n UC compct I în fr cărui tote funcţiile ϕ n se nuleză şi în plus ϕ n, ϕ n î n UC, ϕ î n UC n î n D Dcă ϕ D, tunci ϕ n ϕ etc. (convergenţă uniformă pe I). ϕ n ϕ î n D.

301 6.3. NOŢIUNEA DE DISTRIBUŢIE 297 Definiţi 3.2. Se numeşte distribuţie (pe drept relă) orice plicţie î n D f : D R cre este R-liniră şi continuă prin şiruri (dcă ϕ n, tunci f(ϕ n ) î n R ). Distribuţiile u fost introduse recent de mtemticinul frncez L. SCHWARTZ ( ) şi de mtemticinul rus S.L. SOBOLEV ( ). Două distribuţii f,g : D R se numesc egle dcă f(ϕ) =g(ϕ) pentru orice ϕ D. Sum f + g ş i p r o d u s u l λf (λ R) se definesc în mod nturl: (f + g)(ϕ) f(ϕ)+g(ϕ), (λf)(ϕ) λf(ϕ), ( )ϕ D. După cum o funcţie relă f : A R (A R) este testtă pe numere din mulţime A (în sensul că re sens f(x) pentru orice număr x A) tot stfel, distribuţiile sunt testte pe funcţiile din D. Exemple de distribuţii 1) Distribuţi lui P. DIRAC ( ) este funcţionl δ : D R, ϕ ϕ() (se verifică imedit că δ este R-liniră şi continuă prin şiruri). Dcă x R este un punct fixt, se pote defini distribuţi lui Dirc în punctul x δ x : D R punând δ x(ϕ) ϕ(x ). Aşdr, pentru orice funcţie ϕ D,distribuţiδ x reţine vlore lui ϕ î n p u n c t u l x. Evident dcă x =, tunci δ x = δ. Se mi spune că δ x este impulsul unitr plict în punctul x (ir în limbj de semnle, δ t este impulsul unitr l momentul t ). 2) Fie u : R R o funcţie locl integrbilă (dică integrbilă pe orice intervl compct); evident, orice funcţie continuă su chir continuă pe porţiuni este locl integrbilă. Pentru orice ϕ Dnotăm u(ϕ) u(x) ϕ(x)dx. (34) Integrl este convergentă şi se clculeză pe un intervl compct I în fr cărui se nuleză ϕ. Aplicţi u : D Rstfel definită este evident R-liniră; î n D î n U C poi, dcă ϕ n, tunci ϕ n pei ş i lim u(ϕ n)= lim n n I u(x) ϕ n (x)dx = I u(x) lim n ϕ n(x)dx =, dică u este continuă prin şiruri. Aşdr, u este o distribuţie, numită distribuţi regultă definită de u su distribuţi de tip funcţie u. Distribuţiile cre nu sunt de form u (cu u funcţie locl integrbilă) se numesc singulre. Notăm cu D mulţime tuturor distribuţiilor, cu L 1 loc mulţime funcţiilor locl integrbile, cu R d (respectiv S d ) mulţime distribuţiilor regulte (respectiv singulre). Un rezultt fundmentl îl constituie Teorem 3.1. () Aplicţi ρ : L 1 loc R d, u u este bijectivă; (b) Distribuţi δ este singulră (dică δ/ R d ). Demonstrţie. () Fptul că plicţi ρ este surjectivă rezultă din însăşi definiţi distribuţiilor regulte. Dcă u, v L 1 loc şi dcă ρ(u) =ρ(v), tunci u = v deci u(ϕ) =v(ϕ), ( )ϕ D, dică u(x) ϕ(x)dx = v(x) ϕ(x)dx; notând h = u v, h(x) ϕ(x)dx = pentru orice ϕ D. (35)

302 298 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ Fixăm ( ) R şi considerăm o funcţie-test ψ c în Fig. ψ k (x) =ψ(x)e ik π ε x, k Z. Conform (35) rezultă VI.13 şi fie h(x)ψ(x)e ik π ε x dx =. Fig. VI.13 Aşdr, coeficienţii Fourier i funcţiei h ψ, considertă pe intervlul ( ε, + ε) şi prelungită prin periodicitte l întreg R, sunt nuli; c tre h ψ =.p. în ( ε, + ε), deci h =.p. ( ε, + ε), de unde h =şiu = v pe intervlul ( ε, + ε). Punctul R fiind orecre, rezultă u = v pe R (se fce convenţi de identific două funcţii cre coincid.p.). b) Rţionăm prin reducere l bsurd. Dcă δ nu r fi singulră r exist o funcţie u L loc 1 stfel încât δ = u, δ(ϕ) = u(ϕ), dică ϕ() = u(x)ϕ(x)dx, pentru orice ϕ D. Considerând ϕ = ϕ n (şirul de funcţii test definite prin (33)) rezultă că c n e = ϕ n() = u(x)ϕ n (x)dx = 1 1 u(x)ϕ n (x)dx, n 1. Dr funcţi u este mărginită pe [ 1, 1] şi fie M = sup u(x). Atunci x [ 1,1] c 1 n e M ϕ n (x)dx = M şi c tre, c n M e, bsurd (deorece c n ). 1 Un exemplu remrcbil de distribuţie îl constituie distribuţi H luio. HEAVISIDE ( ). Trept unitte σ este evident o funcţie locl integrbilă şi re sens distribuţi regultă socită H = σ. În mod explicit, H(ϕ) = pentru orice ϕ D. σ(x) ϕ(x)dx = ϕ(x)dx + 1 ϕ(x)dx = ϕ(x)dx, Fig. VI.14 Observţie. Identificând, prin teorem 3.1 (), funcţiile locl integrbile cu distribuţiile socite, putem dmite că L 1 loc D şi stfel, distribuţiile pr c entităţi cre extind funcţiile, justificând totodtă de ce unii utori numesc distribuţiile - funcţii generlizte (fig. VI.14). Pentru u L 1 loc integrl u(x)ϕ(x)dx s- nott u(ϕ), ϕ D. Extinzând cest pentru orice distribuţie f D,scriem î n l o c d e f(ϕ); stfel, pentru orice t R şi pentru orice ϕ D,vem f(x)ϕ(x)dx δ t (t)ϕ(t)dt = ϕ(t ) (formul de filtrre) Operţii cu distribuţii; plicţii le distribuţiilor Pentru orice distribuţii f,g D m definit ce însemnă f = g, f + g, λf (λ R). Se verifică uşor că D este un spţiu vectoril rel. Distribuţi nulă este : D R, (ϕ) =, ( )ϕ D. Dcă f D este o distribuţie fixtă şi : R R este o funcţie de clsă C, tunci se defineşte produsul f c fiind distribuţi definită prin ( f)(ϕ) f( ϕ), ( )ϕ D.

303 6.3. NOŢIUNEA DE DISTRIBUŢIE 299 De exemplu, x n δ = pentru orice n 1 şi mi generl, δ = ()δ pentru orice funcţie : R R indefinit derivbilă. î n D Dcă {f n } n 1, f sunt distribuţii, se spune că f n f dcă f n (ϕ) î n R f(ϕ) pentru n,( )ϕ D. Teorem 3.2. Considerăm şirul de funcţii u n : R R, n 1 definite prin [ n dcă x, 1 ] u n (x) = n în rest. Atunci u n î n D δ. Demonstrţie. Avem de rătt că u n (ϕ) î n R δ(ϕ), ( )ϕ D, dică 1 lim u n (x)ϕ(x)dx = ϕ(), dică lim n n ϕ(x)dx = ϕ(). n n Aplicând teorem de medie, rezultă Rămâne tunci de probt că 1 n ϕ(x)dx = 1 n ϕ(ξ n)cuξ n (, 1 ). n lim n ϕ(ξ n) = ϕ(), cee ce este evident, deorece ξ n şiϕ este funcţie continuă. O operţie de ce mi mre însemnătte este ce de derivre distribuţiilor. Pentru orice distribuţiile f D se pot defini derivtele f,f,...,f (n),... punând f (ϕ) f(ϕ ), f (ϕ) f(ϕ ) şi în generl, f (n) (ϕ) ( 1) n f(ϕ (n) ), ( )ϕ D. Aşdr, orice distribuţie este indefinit derivbilă; în prticulr, dcă u : R R este o funcţie locl integrbilă, tunci e pote fi derivtă ori de câte ori dorim (în sens distribuţionl), derivând distribuţi ei socită u. Exemplu. Arătăm că H = δ (dică derivt distribuţiei lui Heviside este distribuţi lui Dirc). Într-devăr, vem de rătt că H (ϕ) =δ(ϕ) pentru orice ϕ D, dică H(ϕ )=ϕ() su ϕ (t)dt = ϕ(), dică ϕ(t) = ϕ(), cee ce este evident. Derivtele lui δ se numesc impulsuri unitre de ordin superior δ (ϕ) = δ(ϕ )= ϕ (), δ (ϕ) =ϕ () etc. ( )ϕ D. Aplicţii. Reluăm cum discuţi începută l punctul 1. ) Se pote reconsider cum întreg teorie ecuţiilor diferenţile, tât timp cât ştim să înmulţim funcţii cu distribuţii, ştim să derivăm distribuţii etc. Astfel, ecuţi (31) se pote deriv în sens distribuţionl şi devine Li (t)+ri (t)+ 1 C i(t) =v δ (folosind fptul că H = σ ş i H = δ). Nu vom intr în detlii. b) Revenim supr conceptului de impuls, prezentt euristic l începutul 3. Cu notţiile folosite colo, pentru ε = 1, considerre limitei punctule n lim h î n D 1/n(t) conduce l o contrdicţie, ş cum s- văzut. Totuşi h 1/n δ n pentru n (conform teoremei 3.2), stfel că distribuţi δ modeleză idee de impuls unitr. c) O definiţie ccepttă în fizic modernă este următore: se numeşte densitte liniră msei punctule m concentrtă în origine, distribuţi m δ, dică plicţi ϕ m ϕ(). Mi generl, dcă vem un sistem de puncte mterile (pe x relă) x 1,x 2,...,x p de mse m 1,m 2,...,m p respectiv, tunci p densitte liniră socită este distribuţi m i δ xi. i=1

304 3 CAPITOLUL 6. ELEMENTE DE ANALIZĂ FUNCŢIONALĂ Exerciţii 1. Să se expliciteze distribuţiile x 2 δ ş i x 2 δ. 2. Se consideră distribuţi f = H + u unde u(x) = ln x. Să se clculeze f ş i f + xf. n 3. Să se rte că notând u n (x) =sinnx ş i v n (x) = n 2 x 2 (n 1), vem +1 î n D u î n D n şiv n πδ pentru n.

305 Cpitolul 7 Vri Întrebări de utocontrol 1. Cre este deosebire între sumă şi dunre, respectiv între produs şi înmulţire (de exemplu în mulţime Z)? Cum formulţi ceste deosebiri utilizând noţiune de funcţie? 2. Argumentţi necesitte doptării limbjului mulţimilor în fundmentre Anlizei mtemtice (elborre conceptelor de funcţie, lgoritm, limită, derivtă, integrlă etc.). 3. De ce ni se pre prdoxl că mulţimile N ş i Z u celşi crdinl deşi N este o submulţime strictă lui Z? 4. Cre este deosebire între crdinlul unei mulţimi finite şi numărul ei de elemente? 5. Cre este definiţi noţiunii de semnl? Dţi exemple concrete de semnle discrete şi de semnle continule. 6. Ce este o mulţime numărbilă? Indicţi o propriette mulţimilor numărbile pe cre nu o posedă mulţimile finite. 7. Cre este motivţi studierii funcţiilor ritmetice? Aveţi conştiinţ legăturii strânse între conceptele de lgoritm şi de funcţie recursivă? 8. Puteţi justific denumire de număr rel? Dr importnţ mtemtică cestui? 9. O funcţie relă f : R n R se numeşte R B dcă există o funcţie boolenă F : B n B stfel încât ( )x = (x 1,...,x n ) R n, σ(f(x)) = F (σ(x 1 ),...,σ(x n )). Dovediţi că funcţiile f(x) = x, f(x 1,x 2 )=x 1 x 2 sunt R B şi reflectţi l cestă legătură neştepttă între funcţiile rele şi booleene. 1. Incluziunile R R, R C sunt legte de extinderi le cunoştinţelor nostre despre numere rele; precizţi în ce mod. 11. Încercţi să explicţi conceptul de şir Cuchy şi pe cel de şir convergent cuiv cre nu ştie nliză, dr mnifestă curiozitte ştiinţifică. 12. Justificţi legătur strânsă între numerele rele şi măsurre mărimilor. 13. Cre este importnţ filozofică bijecţiei lui Descrtes? 14. Ce ştiţi despre infinitul ctul şi infinitul potenţil? 15. Ce este un spţiu metric? Justificţi introducere cestui concept. 16. Se pot defini şiruri convergente su şiruri mărginite într-o mulţime orecre? Dr într-un spţiu metric? 31

306 32 CAPITOLUL 7. VARIA 17. Se pote vorbi de submulţime convexă unui spţiu metric? Dr unui spţiu vectoril normt (SVN)? 18. Funcţiile mărginite A R pot fi privite c puncte într-un spţiu metric, nume în M A. Există vntje le unei stfel de reprezentări? 19. Enunţţi principiul contrcţiei. Dţi exemple de spţii metrice complete. 2. Ce este o serie de numere rele? Dr serie de numere complexe? Dr serie de funcţii? 21. Este corectă firmţi: serie însemnă o sumă finită? De ce cdrul nturl l teoriei seriilor îl constituie spţiile vectorile normte? 22. Puteţi sublini deosebire între convergenţ uniformă şi convergenţ punctulă şirurilor de funcţii? 23. Vă mintiţi condiţiile în cre o serie de funcţii pote fi derivtă (respectiv integrtă) termen cu termen? 24. Scrieţi formul lui Tylor şi motivţi rostul ei. 25. Enunţţi câtev vntje le seriilor de puteri. 26. Reflectţi l proximările polinomile de tip Tylor, Lgrnge, Weierstrss le funcţiilor. 27. Ştiţi ce însemnă fptul că e ş i π sunt numere trnscendente? 28. Sunteţi de cord că formul lui Euler e ix = cos x + i sin x, x R este o dovdă de rmonie mtemticii? Cunoşteţi o relţie între e, i, π ş i 1? 29. Puteţi spune cev semnifictiv despre nliz constructivistă? 3. Cre sunt submulţimile conexe (respectiv compcte) le lui R? 31. Dţi un din definiţiile continuităţii într-un punct. Corespunde conceptul mtemtic de continuitte intuiţiei nostre? 32. Ce legătură există între conceptele de continuitte şi limită? Există o ordine logică obligtorie în prezentre lor? 33. Dţi un exemplu de o propriette devărtă prope peste tot (dr nu peste tot!). 34. Vă remintiţi enunţul corect l teoremelor lui Fermt, Rolle, Lgrnge c şi l regulii lui l Hôpitl ( )? Se extind ceste l funcţii cu vlori î n R p (p 2)? 35. Dţi definiţi derivtelor prţile le unei funcţii de două vribile întrun punct, cu precizre condiţiilor. De ce nu pote fi cceptt un concept de derivtă totlă (nu prţilă) unei funcţii f(x, y)într-unpunct(x,y )prin considerre limitei lim (x,y) (x,y ) (x,y) (x,y ) f(x, y) f(x,y ) (x x ) 2 +(y y ) 2? 36. Precizţi definiţi diferenţilei unei funcţii diferenţibile într-un punct şi modul ei de clcul cu jutorul derivtelor prţile. 37. Definiţi punctele de extrem locl le funcţiilor cu vlori rele (definite pe un spţiu metric). Cre este enunţul teoremei lui Fermt? 38. În ce constă metod multiplictorilor lui Lgrnge? 39. Aveţi conştiinţ deosebirii dintre un drum prmetrizt şi urm lui? 4. Ce rgumente veţi pentru studiul vrietăţilor diferenţibile? 41. Explicţi esenţ metodei celor mi mici pătrte.

307 Teorem convergenţei dominte este un rezultt fundmentl; ştiţi de ce e este considertă punctul forte l integrbilităţii? 43. Lure integrlei este o funcţionlă continuă, ir derivre nu este continuă. Cre sunt sensul exct şi morl cre se degjă din ceste firmţii? 44. Cunoşteţi o problemă fizică în cre pr integrle improprii? 45. Ce simetrii în spţiu sugereză trecere l coordonte sferice su cilindrice? 46. Dţi definiţi grdientului unui câmp sclr; ce interpretre geometrică s cunoşteţi? 47. Dţi definiţi divergenţei şi rotorului unui câmp vectoril; de ce nu depind ceste de legere sistemului de xe? 48. Vă remintiţi definiţiile circulţiei şi fluxului unui câmp vectoril? 49. Scrieţi formulele Green-Riemnn, Guss-Ostrogrski, Stokes. 5. Enunţţi teoremele de crcterizre câmpurilor irotţionle, solenoidle, rmonice. 51. Justificţi noţiunile de spţiu Bnch şi de spţiu Hilbert. 52. Dţi definiţi funcţiilor de mtrici şi enunţţi proprietăţile de bză le exponenţilei unei mtrici. 53. Sunteţi de cord cu firmţi că funcţionlele şi opertorii sunt, îninte de orice, funcţii? Dr cu firmţi că funcţionlele duc funcţii în numere, ir opertorii duc funcţii în funcţii? 54. Ce sunt seriile trigonometrice? Dr seriile Fourier? 55. Mi ştiţi enunţul teoremei lui Dirichlet de reprezentre? Dr o interpretre fizică ei? 56. Ce este o distribuţie? Dţi exemplu de o funcţie cre nu pote fi considertă c distribuţie (deci cre nu prţine lui L 1 loc ). 57. Este δ o distribuţie socită unei funcţii? Dr H? 58. Cunoşteţi exemple de distribuţii nederivbile? Clculţi derivtele de ordin I şi II le funcţiei nederivbile x x (privită c distribuţie). 59. Prin dâncire conceptului de limită, prin suportul ei specific - mulţime R, Anliz mtemtică descrie entităţile continule. Clcultorele sunt esenţilmente legte de entităţi discrete. Reflectţi l modul cum se relizeză totuşi (prin metode proximtive) legătur între continuu şi discret de pe poziţiile Anlizei mtemtice. 6. Reflectţi l spectele lgoritmice legte de fiecre din principlele teoreme le Anlizei.

308 34 CAPITOLUL 7. VARIA BIBLIOGRAFIE 1. N. Boboc, I. Colojoră - Elemente de nliză mtemtică, Editur Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, H. Crtn - Clcul différentiel, Formes différentielles, Hermnn, Pris, R. Cristescu - Elemente de nliză funcţionlă, Editur Tehnică, Bucureşti, J. Dieudonné - Foundtions of modern nlysis I, Acdemic Press, New York, W. Flemming - Functions of severl vribles, Springer Verlg, Berlin, O. Forster - Höhere Mthemtik, I, II, III, mimeogrphed notes, Regensburg, 197, H. Gruert, I. Lieb - Differentil und integrlrechnung, I, II, III, Springer Verlg, Berlin, 1967, M. Hirsch, S. Smle - Differentil equtions, Dynmicl Systems, Acdemic Press, New York, M. Jurchescu - Introducere în nliz pe vrietăţi, Tipogrfi Universităţii, Bucureşti, P. Lx, S. Burstein, A. Lx - Clculus with pplictions nd Computing, I, Springer Verlg, Berlin, S. Mrcus - Noţiuni de nliză mtemtică, Editur Ştiinţifică, Bucureşti, M. Nicolescu - Funcţii rele şi elemente de topologie, Editur Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, W. Rudin - Principles of mthemticl nlysis, Mc. Grw-Hill, New York, D. Stnomir, O. Stănăşilă - Metode mtemtice în teori semnlelor, Editur Tehnică, Bucureşti, G. Şilov - Mtemticeski nliz, Nuk, Moskv, Culegeri de probleme recomndte 1. L. Armă, T. Morozn - Culegere de probleme de clcul diferenţil şi integrl, Editur Tehnică, Bucureşti, Gh. Bucur, E. Câmpu, S. Găină - Culegere de probleme de clcul diferenţil şi integrl II, III, Editur Tehnică, Bucureşti, D.P. Demidovici - Sbornik zdci i uprjnenii po mtemticeskomu nlizu, GIFML, Moskv, N. Donciu, D. Flondor - Algebră şi nliză mtemtică (culegere de probleme), Editur Didctică şi Pedgogică, Bucureşti, An Niţă, Ttin Stnăşilă - Probleme rezolvte şi ecuţii fundmentle, Ed. ALL, 24.

309 35 INDEX DE NOŢIUNI A lfbet, cuvinte, dicţionr - 11 lgoritm - 15 plicţie continuă plicţie (funcţie) diferenţibilă - 14 plicţie liniră continuă între SVN-uri proximţii succesive - 5 xiomele lui Peno - 11 B bză ortonormtă bijecţi lui Descrtes - 4 bilă deschisă, închisă - 44, 45 bord orientt C blculul proximtiv l sumelor de serii - 16 clcul cu predicte - 25 clcul propoziţionl - 19 clculul integrlelor duble clculul integrlelor triple câmp rmonic câmp de grdienţi câmp irotţionl câmp solenoidl centrul de msă circuit logic - 24 circulţi unui câmp vectoril - 212, 215 coeficienţi Fourier compct elementr contrcţie unui spţiu metric - 53 conversie nlogic / digitlă coordonte curbilinii - 27 curbe, curbă jordnină curbe în spţiu curbură, rză de curbură - 85 D dependenţă, independenţă funcţionlă derivre numerică - 15 derivre sub integrlă derivt după un versor ( după o direcţie) derivte prţile determinnt funcţionl ( jcobin) difeomorfism diferenţil unei plicţii distnţă - 44 distnţă euclidină - 3 distnţă Hmming - 49 distnţă uniformă - 48 distribuţi Dirc distribuţie distribuţie regultă divergenţ unui câmp vectoril domeniu drept de regresie drum dibtic drum prmetrizt - 17

310 36 CAPITOLUL 7. VARIA E exponenţil unei mtrici extreme cu legături extrem locl F fgure n-dimensionl fmilie de elemente - 3 fluxul unui câmp vectoril formă diferenţilă formul lui Euler - 96 formul lui Simpson - 16 formul lui Tylor - 81 formulă logică - 2 frontier unei mulţimi funcţie nlitică relă funcţie ritmetică - 15 funcţie ritmetică de bză - 16 funcţiile bet şi gmm funcţi boolenă - 22 funcţi crcteristică unei submulţimi - 14 funcţi compusă - 4 funcţi convexă - 85 funcţi cu vriţie mărginită funcţi de clsă C n - 139, 147 funcţi de clsă C ( indefinit derivbilă funcţi de mtrici - 28 funcţi derivbilă prţil funcţi injectivă, surjectivă - 5 funcţi integrbilă - 2 funcţi în scră ( etjtă) - 123, 191 funcţi lipschitzină funcţi obţinută prin minimizre - 17 funcţi omogenă funcţi prţil recursivă - 17 funcţi primitiv recursivă - 16 funcţi relă derivbilă - 68 funcţi relă integrbilă Riemnn - 69 funcţi recursivă - 17 funcţi uniform continuă funcţii egle - 3 funcţii hiperbolice - 96 funcţii implicite funcţii spline - 14 G grdientul unui câmp sclr grup rhimedin - 38 grup ordont - 38 H hessin unei funcţii I imgine directă, imgine inversă - 7 închidere ( derenţ) unei mulţimi infinitul ctul, infinitul potenţil - 41 integrl cu prmetri integrl curbilinie integrl de suprfţă - 253

311 37 integrl Lebesgue - 196, 21 integrl unei forme diferenţile integrl cu frcţii etjte integrl Stieltjes - 29 integrle improprii - 73 integrle euclidiene integrl inferioră, superioră intergrfic proiectbil integrre numerică - 15 interiorul unei mulţimi interpolre Lgrnge - 12 J Jcobin L Lplcin - 15 ltice - 21 ltice distributivă, boolenă - 21 limit unei funcţii într-un punct linirizre unei funcţii linie poligonlă lure integrlei c plicţie - 12 lungime unui drum prmetrizt - 27 M mrgine inferioră, superioră - 9 mtrice jcobină măsur exterioră inferioră unei mulţimi metod proximţiilor succesive - 54 metod celor mi mici pătrte metod grdientului minornt, mjornt - 9 modulul unui număr rel - 3 multi-indice - 15 mulţime compctă mulţime conexă mulţime convexă mulţime de devăr - 25 mulţime densă mulţime deschisă, închisă - 19 mulţime mărginită - 9 mulţime măsurbilă Jordn - 24 mulţime Lebesgue mulţime neglijbilă ( de măsură nulă) mulţime ordontă - 9 mulţime steltă mulţime-timp ( de momente) - 1 mulţimi echipotente - 12 mulţimi numărbile - 12 mulţimi vgi ( nunţte) - 27 N noduri de interpolre - 12 normă - 61 normă euclidină - 46 număr lgebric - 42 număr rel constructivist - 97 număr trnscendent - 42 O

312 38 CAPITOLUL 7. VARIA opertor de derivre - 12 opertor linir continuu operţie lgebrică - 4 orientre unei suprfeţe P prlelipiped plnul complex - 47 polinom Lgrnge - 12 polinome trigonometrice predicte - 25 principiul interdicţiei mtemtice - 11 principiile termodinmicii problem celor n corpuri problem lui Dirichlet - 27 problem lui Neumnn - 27 procedeul lui Newton - 11, 187 produs crtezin - 3 produs sclr propriette.p. (devărtă prope peste tot) punct critic punct de extrem locl - 85, 151 R rză de convergenţă - 87 relţie binră - 2 relţie funcţionlă - 2 relţie de ordine prţilă - 8 relţie de ordine totlă - 8 relţii de ortogonlitte reprezentre prmetrică - 17 reprezentre într-o bză de numerţie - 59 reuniune unei fmilii de mulţimi - 3 reţe spţilă rotorul unui câmp vectoril S schimbre de coordonte schimbre de vribilă schimbre de vribilă l integrle multiple - 24 semnle - 1 semnle finite, discrete, continule - 1 serie convergentă, divergentă - 58 serie de puteri - 86 serie Fourier serie Fourier generliztă serie punctul convergentă (PC) - 79 serie trigonometrică serie uniform convergentă (UC) - 79 şir convergent de numere rele - 34 şir convergent într-un spţiu metric - 5 şir fundmentl ( Cuchy) - 35, 5 şir PC, UC de funcţii - 76 sistem de numere rele - 29 spţiul funcţiilor mărginite - 48 spţiu Bnch - 61 spţiu Hilbert spţiu prehilbertin spţiu metric - 44 spţiu metric complet - 51

313 39 spţiu n-dimensionl - 45 spţiu vectoril normt - 61 spţiu-timp - 45 sum unei serii convergente - 58 suprfeţe în spţiu T tăietură Dedekind - 31 text demonstrtiv - 21 trnsformre integrlă trnsformre punctulă trept unitte - 1 trecere l coordonte polre V vlore principlă Cuchy - 74 vriţi unei funcţii - 26 vriette diferenţilă vecinătte unui punct - 44 vector norml vector tngent vectori ortogonli volumul unei mulţimi compcte volumul unei mulţimi deschise mărginite volumul unei mulţimi prlelipiped volumul şi ms unei mulţimi măsurbile

314 31 CAPITOLUL 7. VARIA CUPRINS Prefţă Cpitolul 1 - Preliminrii Introducere Relţii funcţionle, relţi de ordine Conceptul generl de funcţie şi exemple Imgini directe şi imgini inverse de submulţimi printr-o plicţie Relţii de ordine; mrgini Exerciţii Mulţimi numărbile; lgoritmi Mulţimi N; crdinle Mulţimi numărbile Algoritmi şi funcţii recursive Exerciţii Clcul logic şi plicţii Clcul propoziţionl Funcţii booleene Clcul cu predicte Mulţimi vgi (nunţte) Exerciţii Cpitolul 2 - Anliză pe drept relă Introducere Disponibilităţile numerelor rele Sisteme de numere rele Câtev proprietăţi le mulţimii R Proprietăţi le şirurilor de numere rele Legătur între numere rele şi măsurre mărimilor Drept relă, bijecţi lui Descrtes Infinitul în nliz relă Exerciţii Teori generlă proximţiilor succesive Spţii metrice; exemple, utilitte noţiunii Proprietăţi generle le şirurilor; spţii metrice complete Principiul contrcţiei; metod proximţiilor succesive Exerciţii Serii numerice Convergenţă, divergenţă Câtev proprietăţi generle le seriilor de numere rele Noţiune de spţiu Bnch; serii de elemente dintr-un spţiu Bnch Serii de numere rele şi pozitive Serii de numere complexe Exerciţii Şiruri şi serii de funcţii rele Derivbilitte, integrbilitte; clcul de primitive Convergenţ uniformă şi convergenţ punctulă şirurilor de funcţii Derivre şi integrre termen cu termen seriilor de funcţii Formul lui Tylor Serii de puteri

315 Dezvoltări în serie le unor funcţii elementre Numere rele constructiviste Exerciţii Aplicţii Procedeul Newton pentru rezolvre unor ecuţii de form ϕ(x) = Interpolre Derivre şi integrre numerică Clculul proximtiv l sumelor unor serii Exerciţii Cpitolul 3 - Anliză relă multidimensionlă Introducere Clse remrcbile de submulţimi le unui spţiu metric Mulţimi deschise, mulţimi închise, mulţimi dense Mulţimi compcte Mulţimi convexe, mulţimi stelte Exerciţii Continuitte Aplicţii continue; crcterizre, tipuri prticulre Proprietăţi le funcţiilor continue pe spţii compcte Proprietăţi le funcţiilor continue pe spţii conexe Noţiune de limită într-un punct Exerciţii Mulţimi măsurbile în R n Volumul unui prlelipiped Volumul mulţimilor deschise şi volumul mulţimilor compcte Proprietăţi le mulţimilor măsurbile Mulţimi de măsură nulă Exerciţii Derivte prţile, diferenţibilitte Derivtă după un versor, derivte prţile Mtrici jcobiene Funcţii diferenţibile; noţiune de diferenţilă Derivtele prţile le funcţiilor compuse; proprietăţi de clcul Derivte prţile de ordin superior, diferenţile de ordin superior Extremele locle le funcţiilor Exerciţii Schimbări de coordonte, funcţii implicite Trnsformări punctule, difeomorfisme, schimbări de coordonte Funcţii implicite Extreme cu legături; metod multiplictorilor lui Lgrnge Elemente de geometrie diferenţilă Exerciţii Aplicţii Schimbări de vribilă Metod grdientului Procedeul lui Newton pentru rezolvre unor sisteme de ecuţii

316 312 CAPITOLUL 7. VARIA Metod celor mi mici pătrte Enunţul problemei celor n corpuri Exerciţii Cpitolul 4 - Extinderi le conceptului de integrlă simplă Introducere Integrbilitte Lebesgue Integrre funcţiilor în scră Integrre funcţiilor mărginite cu suport compct Funcţii integrbile pe mulţimi mărginite măsurbile Integrle improprii şi teoreme de convergenţă Exerciţii Integrl Stieltjes Funcţii cu vriţie mărginită Aplicţii le integrlelor simple Integrl Stieltjes în rport cu o funcţie crescătore Exerciţii Integrle curbilinii Definiţi integrlelor curbilinii Proprietăţi le integrlelor curbilinii şi le circulţiei Exerciţii Integrle cu prmetri Punere problemei Derivre integrlelor cu prmetri Funcţiile B (bet) şi Γ (gm) Noţiune de trnsformre integrlă Exerciţii Aplicţii Forme diferenţile de grdul I. Crcterizre câmpurilor de grdienţi Aplicţii în termodinmică Exerciţii Cpitolul 5 - Integrle multiple şi elemente de teori mtemtică câmpurilor Introducere Clculul integrlelor multiple Integrlele multiple c succesiuni de integrle simple Aplicţii geometrice şi fizice le integrlelor multiple Schimbări de vribile în integrle multiple Integrle multiple improprii Exerciţii Câmpuri sclre, câmpuri vectorile. Formule integrle fundmentle Grdientul unui câmp sclr Divergenţ şi rotorul unui câmp vectoril. Opertorul (nbl) Integrle de suprfţă; fluxul unui câmp vectoril printr-o porţiune de suprfţă Formulele Green-Riemnn, Guss-Ostrogrdski, Stokes Exerciţii Aplicţii

317 Câmpuri irotţionle (conservtive), câmpuri solenoidle (fără surse) Câmpuri rmonice Coordonte curbilinii în R Cpitolul 6 - Elemente de Anliză funcţionlă Introducere Funcţionle, opertori pe spţii Hilbert Spţii Hilbert; exemple, proprietăţi Funcţii de mtrici; funcţii de opertori Exerciţii Serii trigonometrice, nliză Fourier Noţiune de serie trigonometrică Seri Fourier socită unei funcţii Teoremele lui Weierstrss de proximre Serii Fourier generlizte Exerciţii Noţiune de distribuţie Motivţii fizice le studiului distribuţiilor Definiţi distribuţiilor, exemple Operţii cu distribuţii; plicţii le distribuţiilor Exerciţii Întrebări de utocontrol Bibliogrfie Index de noţiuni

318 314 CAPITOLUL 7. VARIA O triectorie utobiogrfică După ce m cunoscut de copil ororile războiului şi le nilor de restrişte , m urmt liceul ceferiştilor Aurel Vlicu din Bucureşti, situt în vecinătte Prcului Copilului. Aici m vut profesori buni de Mtemtică, Români şi... Rugbi, unii foşti universitri exilţi l periferi orşului; mi-m descoperit uşurinţ de simil mtemtic, după nişte mnule bune, trduse din ruseşte. Îmi mintesc că m citit o Trigonometrie în două zile şi o nopte ir, mi târziu, câtev lecţii de Anliză mtemtică în numi o lună. Tot tunci descoperisem Gzet Mtemtică şi m vut oczi să mă întrec cu colegii de generţie l Olimpidele Nţionle. Am bsolvit fcultte de mtemtică l Bucureşti, în 196, l doile în promoţie şi m vut şns să m profesori pe câţiv din meştrii şcolii româneşti de mtemtică: Miron Nicolescu (cre mi- fost şi conducător de doctort, un profesor solr cre mrct profund predre Anlizei mtemtice în Români), Alexndru Frod, Victor Vâlcovici (mbii de mre cultură şi ţinută) şi, mi les, Dn Brbilin (mtemticin pur sânge, pe cre l-m găsit fscinnt). După bsolvire, urmt o ucenicie de sistent l Politehnic din Bucureşti, poi m obţinut prin concurs un post de cercetător l Institutul de Mtemtică l Acdemiei Române - IMAR. Aici m făcut exclusiv mtemtică, 1 14 ore pe zi, închegând prietenii ştiinţifice trinice. După primii doi ni, mi-m fixt domeniul strict de preocupre - Anliză complexă şi Geometrie lgebrică, vând c mentori pe M. Jurchescu (un mre cercetător şi, simultn, profesorcomunictor) şi pe Al. Lscu (un lgebrist deosebit). Aş m depăşit presiune publicării primelor rticole originle. Împreună cu Costică Bănică, l-m însoţit pe M. Jurchescu în crere Şcolii româneşti de Spţii Anlitice, despre cre ve să vorbescă peste zece ni cdemicinul frncez H. Crtn. Am urmt seminrii ştiinţifice (cu totul diferite de seminriile de l fcultte): de cercetre, cu 6 7 prticipnţi (unde se prezentu rticole publicte su subiecte de reflecţie), ltul de învăţre, cu lţi câţiv cu cre citem cărţi fundmentle pentru cultur mtemtică: Crtn, Ghelfnd, Vn der Werden, Bourbki, Grothendieck. Cei cre expuneu (de două ori pe săptămână, câte 3 4 ore) eru trşi l sorţi dintre prticipnţi, ş că erm cu toţii ţinuţi în priză. Prieteni ştiinţifică este ltcev decât spiritul de gşcă su de turmă; stăzi psiunile colective sunt tot mi rre! L IMAR selecţi er dură, nu existu pile, rubedenii, interese obscure şi er muncă de miner, cum se exprim un coleg. Austeritte utoimpusă, din psiune pură, curiozitte ştiinţifică şi dorinţ de firmre, deprte de orice prvenire. Am cunoscut pe deplin succesul profesionl: rticole publicte în reviste de prestigiu su invitţii l universităţii mri. Împreună cu C. Bănică m reli-zt un ciclu de lucrări (pentru cre m primit Premiul Acdemiei) şi o crte de sinteză devenită best-seller internţionl. Nu pot spune că m vut o vocţie specilă pentru cercetre speciliztă, conscrtă unui singur subiect. Am urmărit totdeun să-mi lărgesc orizontul, îmi plăce să comunic cee ce înţelesesem singur; u început să mă intereseze şi lte domenii, influenţt şi de frtele meu, inginerul Cornel Stănăşilă, cre mă trăge spre termodinmică şi plicţiile ei - un lt domeniu fscinnt.

319 315 L Politehnică, m început să predu din 1973, pe un post de Conferenţir, Anliz mtemtică l nou cret secţie de Clcultore, unde medi minimă de dmitere er 9,5. Am fost încurjt şi de studenţii excepţionli pe cre i-m întâlnit; îmi plăceu şi întrebările tâmpite le unor (de tipul: de ce n şi nu pote c n 5; de ce nu este egl cu zero, su mărturisire unui student că vist cum un câine muşc dintr-un polinom termen cu termen, l cre eu l-m felicitt că cel câine nu muşc dintr-o serie că ltfel nu s-r mi fi trezit etc. ); mi-m dezvoltt simţul comunicării, le povestem despre mrele Euler cre n- vut copii pre reuşiţi şi spune că tlentul l mtemtică se moşteneşte nu din ttă în fiu, cât din socru în ginere; su de prolificul Cuchy cre comunic l Acdemie câte o teoremă pe săptămână, dr şi despre Clirut devenit cdemicin l 18 ni... Am dus în Politehnică idee unor seminrii comune - cdre didctice de diverse specilizări, studenţi din ni mici su mri, cercetători - în cre lume învăţ împreună, fără complexe, mi les urmăriţi de spectrul clcultorelor. Acestă crte este rodul unui curs elbort cu răbdre, orientt spre plicţii, spre propieri de lume ingineriei; l cestă crte m lucrt şpte ni, trecând şi printr-o versiune scrisă de mână. Pe scurt, este o crte mi bună decât utorul ei! Octvin şi Cornel Stănăşilă

320 316 CAPITOLUL 7. VARIA