ANOVA Analiza vaijanse (ANOVA) Analiza vaijanse sa jednim faktoom Pošiena ANOVA tabela 2 Tehnike za analizu podataka Analiza vaijanse sa jednim faktoom Posmata se samo jedna pomenljiva Posmata se više pomenljivih istovemeno Univaijacione Multivaijacione 3 Decemba 2012 4 1
Univaijacione za analizu podataka Podaci su nemetički (nominalna i odinalna skala) Nepaametaske statističke Podaci su metički (intevalna i skala odnosa) Paametaske statističke - t-test - z-test Paametaske statističke Postoji samo jedan uzoak Postoje dva ili više uzoaka - t-test - z-test - ANOVA Nezavisni uzoci Zavisni uzoci - Upaeni t- test 5 6 U istaživanjima kad kažemo fakto češće mislimo na fakto u faktoskoj analizi Koncepti ekspeimentalne analize na koje se pozivamo Vaijabla ishoda zavisna vaijabla Faktoi nezavisne vaijable Tetmani azličiti nivoi nezavisnih vaijabli, t.j. faktoa Svha većine statističkih ekspeimenata je: 1. Da se utvdi da li azličiti tetmani imaju azličite efekte na vaijablu ishoda, i 2. Ako imaju azličite efekte, onda se želi oceniti (izmeiti) ta azlika. 7 Analiza vaijanse sa jednim faktoom Naziva se i jednosmena analiza vaijanse; Mee se efekti tetmana jednog faktoa na (jednu) vaijablu ishoda Zatim se poveava da li postoje značajne azlike između sednjih vednosti azličitih tetmana: H 0 : μ 1 = μ 2 = μ 3 =... = μ H a : najmanje 2 od μ 1, μ 2, μ 3,..., μ su azličiti Računa se odnos između vaijanse između-tetmana i vaijanse unuta-tetmana Ako je vaijansa između značajno veća nego vaijansa unuta, odbacuje se nulta hipoteza 8 2
Petpostavke modela Pe početka analize se uvek fomalno poveava ispunjenost petpostavki modela: 1.Reziduali po gupama imaju nomalnu aspodelu - poveavamo Kolmogoov-Sminovljevim testom nomalnosti; 2.Vaijanse eziduala azličitih gupa su jednake (homoskedastičnost) - poveavamo Levinovim testom homogenosti vaijanse; 3.U pitanju su nezavisni slučajni uzoci. Ukupna i sednje vednosti gupa, kao i njihova odstupanja 9 10 Vaijansa između tetmana Vaijansa unuta tetmana Ocena vaijanse između tetmana se zasniva na vaijaciji između sednjih vednosti dobijenih za svaki nivo tetmana: SS b = n p X p X p =1 ( ) 2, t.j.: SS b suma kvadata između nivoa tetmana X p sednja vednost za tetman p X ukupna sednja vednost n p boj opsevacija za tetman p ukupan boj tetmana MSS b = SS b 1 11 Ocena vaijanse unuta tetmana se zasniva na vaijaciji u okviu svakog nivoa tetmana ( neobjašnjena ): SS w = x ip X p, t.j.: MSS w = SS w i=1 p =1 N SS w suma kvadata unuta tetmana X p sednja vednost za tetman p X ip ealizacija i za nivo tetmana p n p ukupan boj opsevacija za tetman p ukupan boj tetmana N ukupna veličina uzoka n p ( ) 2 12 3
Ukupna, objašnjena i neobjašnjena vaijansa Vaijansa između tetmana se naziva i vaijansom objašnjenom nivoom tetmana Vaijansa unuta tetmana se naziva i vaijansom neobjašnjenom nivoom tetmana Ukupna (totalna) vaijacija ili totalna suma kvadata je: SS = SS + SS t b w Izvo vaijacije Objašnjena vaijacija Neobjašnjena vaijacija Vaijacija, suma kvadata (SS) SS b = n p X p X SS w = p =1 k i=1 p =1 ANOVA tabela k ( ) 2 ( x ip X p ) 2 ( ) 2 Ukupno SS t = x ip X N 1 i=1 p =1 St. slobode (df) 1 N Ocena vaijanse (MSS) MSS b = SS b 1 MSS w = SS w N F-odnos MSS b MSS w 13 14 F-statistika F = MSS b MSS w Ako bi nulta hipoteza bila istinita (nivoi tetmana nemaju značajan efekat) onda bi F-odnos tebalo da bude blizu 1; u supotnom F-odnos ima veće vednosti Čita se vednost iz tablica F-aspoeda za (-1) i (N-) stepeni slobode Na osnovu toga se zaključuje da li postoji azlika uslovljena nivoom tetmana i za koji nivo značajnosti ova azlika postoji 15 Jačina povezanosti - deskiptivni statistički pokazatelj, mea jačine povezanosti, koji pedstavlja meu popocije vaijanse koja je objašnjena podacima iz uzoka : = SS SS Vednost na bazi uzoka teži da bude pistasna naviše, pa je bolje koistiti : ˆ ω 2 = SS b ( 1)MSS w SS t + MSS w b t 16 4
Pime: Koliko sati učiš nedeljno? Pime: Koliko sati učiš nedeljno? Povea petpostavki modela Pe početka analize se uvek fomalno poveava ispunjenost petpostavki modela: 1.Reziduali po gupama imaju nomalnu aspodelu - poveavamo Kolmogoov-Sminovljevim testom nomalnosti; 2.Vaijanse eziduala azličitih gupa su jednake (homoskedastičnost) - poveavamo Levinovim testom homogenosti vaijanse; 3.U pitanju su nezavisni slučajni uzoci. 17 18 Pime: Koliko sati učiš nedeljno? Test homogenosti vaijanse Nulta hipoteza je da su vaijanse eziduala azličitih gupa jednake, t.j. da postoji homoskedastičnost, ili homogenost vaijansi, putem Levinovog testa: Pime: Koliko sati učiš nedeljno? Logaitmovani podaci p=0,027 < α=0,05 è odbacujemo nultu hipotezu Respecifikacija vaijabli putem logaitamske tansfomacije! 19 20 5
Pime: Koliko sati učiš nedeljno? Ponovljeni test homogenosti vaijanse Ne odbacujemo nultu hipotezu - na logaitmovanim podacima vaijanse se statistički ne azlikuju vaijanse Možemo nastaviti analizu poveom ispunjenosti uslova nomalnosti. Kolmogoov-Sminovljev test nomalnosti Koisti se za testianje hipoteze o nomalnosti aspodele Nulta hipoteza je da vaijabla pati nomalan aspoed, a altenativna je da ne pati Dakle, nastavićemo sa daljom analizom samo ako test pokaže da se ne odbacuje nulta hipoteza. 21 22 Ukupna i sednje vednosti gupa, kao i njihova odstupanja Sve ti p-vednosti su veće od 0,05, pa ne odbacujemo nultu hipotezu o nomalnosti aspoele! 23 24 6
Pime: Koliko sati učiš nedeljno? ANOVA izlazna tabela Analiza vaijanse sa više faktoa Na nivou značajnosti od 5% ne bismo odbacili Ho; Na nivou značajnosti od 10% bismo odbacili Ho i zaključili bismo da postoje azlike po godinama u odnosu na veme povedeno u učenju tokom semesta. 25 26 Tehnike za analizu podataka Multivaijacione Univaijacione Decemba 2012 Posmata se samo jedna pomenljiva Posmata se više pomenljivih istovemeno Multivaijacione 27 Jedna zavisna vaijabla Tehnike zavisnosti - ANOVA i ANCOVA - Višestuka egesija - Diskiminaciona anal. - Analiza zduženih efekata Decemba 2012 Više zavisnih vaijabli - MANOVA i MANCOVA - Kanonička koelacija Tehnike međuzavisnosti Fokus na vaijablama - Faktoska analiza Fokus na objektima - Analiza skupina - Višedimenzionalno skalianje 28 7
Pošiena ANOVA tabela Pime dvofaktoske analize: Koliko sati učiš nedeljno? U ovom modelu postoji više vaijabli tetmana (faktoa) Dodavanjem nove vaijable tetmana tipično se povećava objašnjeni vaijabilitet Duga vaijabla tetmana se naziva blok-vaijabla, je se fomia jedan ili više blokova Takođe je moguće da se uključi više vaijabli tetmana Inteakcija Efekat inteakcije znači da uticaj jednog tetmana neće biti isti za svaki nivo onog dugog tetmana Hipoteza o tome da nema inteakcije se može testiati koišćenjem ANOVA tabele 29 30 Putem dvofaktoske analize vaijanse u ovom pimeu možemo testiati sledeće hipoteze: H 0 : ne postoji azlika među polovima u odnosu na boj časova povedenih u učenju, H a : postoji azlika među polovima u odnosu na boj časova povedenih u učenju; H 0 : koišćenje Fejsbuka ne utiče na boj časova povedenih u učenju, H a : koišćenje Fejsbuka utiče na boj časova povedenih u učenju; H 0 : nema inteakcije između pola i koišćenja Fejsbuka u odnosu na boj časova povedenih u učenju, H a : postoji inteakcije između pola i koišćenja Fejsbuka u odnosu na boj časova povedenih u učenju. Levinov test jednakosti vaijansi eziduala p=0,021 < α=0,05 è odbacujemo nultu hipotezu Respecifikacija vaijabli putem logaitamske tansfomacije! 31 32 8
Respecifikovane vaijable (logaitmovanje) Ponovljeni test homogenosti vaijanse Ne odbacujemo nultu hipotezu - na logaitmovanim podacima vaijanse se statistilčki ne azlikuju. 33 34 Hipoteze koje testiamo: H 0 : ne postoji azlika među polovima u odnosu na boj časova povedenih u učenju, H a : postoji azlika među polovima u odnosu na boj časova povedenih u učenju; H 0 : koišćenje Fejsbuka ne utiče na boj časova povedenih u učenju, H a : koišćenje Fejsbuka utiče na boj časova povedenih u učenju; H 0 : nema inteakcije između pola i koišćenja Fejsbuka u odnosu na boj časova povedenih u učenju, H a : postoji inteakcije između pola i koišćenja Fejsbuka u odnosu na boj časova povedenih u učenju. Koje od navedenih hipoteza ćemo odbaciti, a koje nećemo? 35 36 9