Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Transcript

1 VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju, mi ćemo ih obeležiti sa e, e, e,... a vi naravno radite kako kaže vaš profesor. Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } E e e e e n primer. Odrediti skup svih elementarnih događaja za sledeće opite: a) bacanje jednog dinara b) bacanje dva dinara c) bacanje tri dinara d) bacanje jedne kocke e) bacanje dve kocke f) bacanje tri kocke Rešenja: a) bacanje jednog dinara Naravno, prilikom bacanja dinara može pasti pismo ili može pasti grb. ko sa e obeležimo pojavu pisma na gornjoj strani novčića a sa e obeležimo pojavu grba onda je skup svih elementarnih događaja ovog opita E= { e, e}, a mislimo da je bolje ovo obeležiti sa E= {, }. b) bacanje dva dinara Na gornjoj strani novčića se može pojaviti: a je E= {,,, }, odnosno ima ishoda ovog opita.

2 c) bacanje tri dinara ko bacamo tri novčića, broj ishoda je 8. Da vidimo: E= {,,,,,,, } d) bacanje jedne kocke Većina nas je igrala ''ne ljuti se čoveče'' ili neku sličnu igricu sa jednom kockicom... Na gornjoj strani kocke može pasti jedan od brojeva : pa je skup svih elementarnih događaja : E= {,,,,,}. Jasno je da ih ima. reko formula iz kombinatorike bi ovo izračunali kao varijacije sa ponavljanjem: V = = e) bacanje dve kocke ri bacanju dve kockice, broj mogućih ishoda je veći: V = = Naš savet je da uvek kad je to moguće, odnosno kad ne zahteva previše pisanja, ispišete sve mogućnosti opita: E= {,,,...,}

3 f) bacanje tri kocke roj svih elementarnih događaja je V = =. E ovde bi već bilo preterano da pišemo redom sve moguće ishode. E= {,,,...,} itno je da znamo koliko ih ukupno ima. E sad, u zadacima mi moramo obavezno odrediti skup svih elementarnih događaja, a oni od nas traže da nađemo verovatnoću pojave jednog od njih ( ili više njih...). Jedan takav događaj se najčešće obeležava slovima latinice:,,... Slučajan događaj je podskup skupa E elementarnih događaja. Mi moramo precizno, navodnicima da opišemo taj događaj =.. ko smo sigurni da neki opit izaziva pojavu događaja, onda za događaj kažemo da je pouzdan. ko se događaj sigurno ne realizuje datim opitom, onda se on naziva nemoguć. ( obeležava se sa ) Na primer, kad bacamo jednu kockicu, sigurni smo da će se na gornjoj strani pojaviti jedan od brojeva,,,,, a ako obeležimo u tom opitu da je događaj : pojavio se broj 7 na gornjoj strani kockice, sigurni smo da je to nemoguć događaj. ko posmatramo dva događaja koji se mogu dogoditi u istom opitu, onda oni mogu biti zavisni i nezavisni. Na primer, neka je opit bacanje dve kockice. osmatramo tri događaja: Događaj : pao je zbir 8 Događaj : pao je zbir 7 Događaj : pala je bar jedna šestica Ispitati da li su ovi događaji međusobno zavisni ili ne. Ovde je najbolje ispisati sve mogućnosti...

4 : pao je zbir 8 : pao je zbir 7 : pala je bar jedna šestica Vidimo da su događaji i nezavisni. Međutim, ako posmatramo događaje i, vidimo da su oni zavisni, jer se oba dešavaju kad padne (,) i (,). Takođe su i i zavisni, jer kod oba događaja imamo (,) i (,). Zbir ( unija)dva događaja i naziva se događaj + (ili ) koji se sastoji u tome da se realizuje bilo koji od njih, to jest bilo, bilo, bilo i. roizvod ( presek) dva događaja i se obeležava sa ( ili ) i predstavlja događaj koji se sastoji u tome da se događaji i pojavljuju zajedno. ko se u vršenju jednog opita realizacijom događaja uvek realizuje i događaj, tada kažemo da događaj povlači događaj i tada je. Suprotan događaj događaja se obeležava sa. Događaji,,..., n obrazuju potpun sistem događaja ako je... n =Ω i i dva su isključivi događaji. Verovatnoća slučajnog događaja se obeležava sa (). ravila:. 0 ( ) =, to jest dva po Znači, verovatnoća se meri od 0 do. Nula je verovatnoća nemogućeg događaja a jedinica je verovatnoća sigurnog događaja. j

5 . ( ) + ( ) = Kad saberemo verovatnoću nekog događaja i verovatnoću njemu suprotnog događaja, dobijamo siguran događaj, odnosno, nešto il će se desi il neće... Često je u zadacima lakše izračunati verovatnoću suprotnog događaja, pa je onda ( ) = ( ). ko je onda je ( ) ( ) primer. Data su dva događaja i. omoću simboličkih operacija sa datim događajima odrediti sledeće događaje: i) realizovan je događaj a nije realizovan događaj ii) realizovan je događaj a nije realizovan događaj iii) realizovana su oba događaja Rešenja: ogledajmo najpre sledeću sliku: i) realizovan je događaj a nije realizovan događaj To ćemo obeležiti sa, to jest, realizovan je a nije. ii) realizovan je događaj a nije realizovan događaj Ovo možemo obeležiti sa iii) realizovana su oba događaja Ovde je rešenje presek, odnosno to je događaj

6 primer. Data su tri događaja, i. omoću simboličkih operacija sa datim događajima odrediti sledeće događaje: a) realizovan je događaj, a nisu realizovani događaji i b) realizovani su događaji i, a događaj nije c) realizovana su sva tri događaja d) realizovan je jedan i samo jedan od ova tri događaja Rešenja: ogledajmo opet sliku gde su događaji predstavljeni pomoću skupova: Da odgovorimo sada na postavljena pitanja: a) realizovan je događaj, a nisu realizovani događaji i Rešenje je:

7 b) realizovani su događaji i, a događaj nije Rešenje je: ili možemo zapisati + + ( vidi sliku) c) realizovana su sva tri događaja Rešenje je: d) realizovan je jedan i samo jedan od ova tri događaja Rešenje je:

8 omenimo još neka pravila: ko je proizvoljan događaj, tada je : i) = v) + = ii) = vi) + = iii) E = vii) + = E iv) = viii) + E= E ko su, i proizvoljni događaji, tada je: a) + = + b) + ( + ) = ( + ) + = + + c) ( ) = ( ) = d) ( + ) = + 8