SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. Probleme. Foloind proprieaea de liniariae, ă e demonreze urmăoarele: in σ(, Re > ; ( + penru orice C. co σ( h σ( ch σ(, Re > ; ( +, Re > ; (3, Re > ; (4. Să e arae că penru orice R şi λ C au loc e λ in σ( ( λ, Re > Re λ, (5 + e λ λ co σ( ( λ, Re > Re λ. (6 + 3. Să e arae că penru orice n N şi λ C au loc n σ( n!, Re >, (7 n+ n e λ n! σ(, Re > Re λ. (8 ( λ n+ 4. Să e deermine ranformaa Laplace a funcţiei periodice de perioadă T π f : R C, f( in σ(. 5. Să e calculeze ranformaele Laplace ale funcţiilor: a. f( in 3u du > ; b. f( u e 4u du, >. 6. Să e calculeze convoluţia in şi ranformaa Laplace a aceeia. 7. Să e calculeze ranformaele Laplace ale funcţiilor: a. f( e 5 σ(; b. f( co 3 σ(. 8. Să e calculeze ranformaele urmăoarelor funcţii: a. f( e e ; co a co b b. f(, a, b R;
Daniela Roşu c. f( in. 9. Să e deermine originalul funcţiei F ( ( + a ( + b, a, b >, a b.. Să e deermine originalul funcţiei F ( ( + a, a >.. Să e deermine originalul funcţiei F ( e /,.. Să e calculeze inegralele: + e in a. I d; b. I(a, b + e a in b d, a >, b R. 3. Să e deermine, în claa funcţiilor original, oluţiile problemelor Cauchy: x + x ae λ, x x e ( + + 3 x( x ( ; a. b. x( x x ( x, x, x R. 4. Să e deermine, în claa funcţiilor original, oluţia problemei Cauchy: x ( x ( x(, x(, x (. 5. Să e deermine, în claa funcţiilor original, oluţiile iemului: { x { ( x y + in x( y ( 4x + y + co ; y(. 6. Să e rezolve ecuaţiile inegrale: a. x( ( τx(τ dτ,, b. in( τx(τ dτ in,. 7. Să e rezolve urmăoarea ecuaţie inegro-diferenţială:. Avem L[in(]( j L[co(]( L[h(]( L[ch(]( L di d + Ri( + i(τ dτ u(,, i(. C. Soluţii a,, λ R ( L[e j ]( L[e j ]( ( j j + j ( L[e j ]( + L[e j ]( ( j + + j ( L[e ]( L[e ]( ( + ( L[e ]( + L[e ]( ( + + +. +.. +.
Seminar. Tranformarea Laplace 3. Rezulă din Teorema deplaării şi rezulae din Exerciţiul preceden. 3. Prima relaţie rezulă prin meoda inducţiei maemaice şi inegrarea prin părţi în inegrala care defineşe ranformarea Laplace, iar a doua relaţie rezulă din Teorema deplaării. 4. Foloim eorema ce dă imaginea Laplace a unei funţii periodice. F ( e π Inegrând ucceiv de două ori prin părţi găim iar apoi rezulă π π e in d. e in d + e π +, F ( + + e π e π + π ch, Re >. 5. a. Aplicăm Teorema de inegrare a originalului şi formula ( şi avem b. Foloim (8 in 3 3, Re >, + 9 L in 3u du L[in 3]( 3 ( + 9. e 4, Re > 4, ( + 4 3 şi prin aplicarea eoremei de inegrare a originalului găim L u e 4u du ( + 4 3. 6. Produul în convoluţie ee in ( u in u du iar imaginea Laplace ee ( u( co u du ( u( co u in u in, L[ in ]( L[]( L[in ]( + ( +. ( 7. a. L[ e 5 σ(]( ( (L[e 5 σ(]( 5 ( 5 3. ( b. L[ co 3 σ(]( (L[co 3 σ(]( 9 + 9 ( + 9. 8. Foloim Teorema de inegrare a imaginii [ e e ] [ a. L L e e ] (q dq ( q + q unde am ale ramura logarimului complex care aiface ln. dq ln + ; co u du
4 Daniela Roşu [ ] co a co b b. L L [coa co b] (q dq ( q q + a ln + a + b ; unde am ale ramura logarimului complex care aiface ln. [ ] in c. L L [in ] (q dq q + dq arcg q 9. F P Q admie polii impli, ±ja şi 3,4 ±jb. Aunci şi rezulă f( P ( Q ( ( + a + b q q + b dq π arcg. ( (b a e ja + e ja + (e jb (a b + e jb deci f( (b a (co a co b,.. Are loc decompunerea în fracţii imple. F ( A + unde coeficienţii au valorile B ja + A a 4, B a 4, C Avem σ(, λ eλ σ(, şi găim originalul C ( ja + D + ja + E ( + ja, j 4a 3, D a 4, E j 4a 3. ( λ eλ σ(, f( a 4 a 4 ( e ja + e ja 4a 3 j ( e ja + e ja, au, foloind formulele lui Euler, f( a 4 ( co a a in a,.. Penru > funcţia F ee olomorfă. Dacă avem în vedere cunocua dezvolare în erie e z z n n!, z C, n n deducem dezvolarea în erie a funcţiei F F ( ( n n! n ( n n! n+. Aunci, f( ( n n (n! n.. a. Fie Aunci I F (. F ( + e in n d Re >.
Seminar. Tranformarea Laplace 5 Pe de ală pare F ( reprezină ranformaa Laplace a funcţiei in, >. Avem in + şi din Teorema de inegrare a imaginii rezulă in F ( q dq arcg q + Aceaa îneamnă că + e in de unde rezulă I π arcg π 4. π arcg. d π arcg, Re >, b. După definiţia ranformaei Laplace, inegrala reprezină valoarea în a penru ranformaa funcţiei in b. Avem in b b, Re >, + b iar din Teorema de derivare a imaginii rezulă ( b b in b + b ( + b, Re >, şi deci 3. a. Avem I(a, b ab (a + b, a >, b R. x( X( x ( X( x ( X( e ( + + 3 e + e + 3e! ( 3 +! ( + 3 3 + 7 ( 3, Re >. Aplicăm ranformarea Laplace aupra ecuaţiei şi rezulă de unde rezulă X( (X( 3 + 7 ( 3 X( 3 8 + 9 ( ( 3 Re >. Funcţia X are pol implu şi pol de ordin 3. Avem iar Rez Rez ( e X(; lim( e ( 3 8 + 9 ( ( 3 e, ( e X(; lim d ( d ( 3 e ( 3 8 + 9 ( ( 3 e (, şi deci oluţia problemei Cauchy ee x( e + ( e.
6 Daniela Roşu b. Avem x( X( x ( X( x x ae λ a, Re > λ. + λ Aplicăm ranformarea Laplace aupra ecuaţiei şi rezulă deci ( + X( a + λ + x + x a X( ( + λ( + + x + + x +. Cunoaşem din formulele (, (, originalele ulimilor doi ermeni x + x co, x + x in. Penru primul ermen e obţine uşor decompunerea în fracţii imple ( a ( + λ( + a λ + + λ + λ + + iar originalul corepunză or ee a λ + În concluzie, oluţia problemei Cauchy ee 4. Avem x( a λ + (e λ a in co. (e λ a in co + x co + x in. x( X( x ( X( x ( X( x( X ( x ( d ( X( X( X ( +. d Aplicăm ranformarea Laplace aupra ecuaţiei şi rezulă X( X ( + (X( + X ( au echivalen, ( X ( 4X( + 3. Aceaa e crie ub forma X ( 4 X( + 3, ee o ecuaţie difrenţială liniară de ordinul înâi şi are oluţia iar originalul ee X( C + 3 3 (, C R, x( C ( ch h + ch h.
5. Fie x( X( şi y( Y (. Aunci Seminar. Tranformarea Laplace 7 x ( X(, şi y ( Y (. Aplicăm ranformarea Laplace aupra iemului diferenţial şi rezulă iemul algebric ( + X + Y + 4X + ( Y + +, cu oluţia X( 3 ( +, Y ( 3 + 3 3 + 3 + 6 (. + Au loc decompunerile în fracţii imple X( 3 + +, Y ( 6 + 3 + 3 + iar originalele un x( 3 + in, y( 6 + 3 co 3 in,. 6. a. Prin aplicarea ranformaei Laplace rezulă X( + X( cu oluţia X( şi originalul x( in,. + b. Avem in ( co ( + 4 ( + 4, şi prin aplicarea ranformaei Laplace aupra ecuaţiei obţinem + X( ( + 4, de unde X( ( + ( + 4, iar prin decompunerea în fracţii imple găim X( + 3. Originalul ee + 4 x( + 3 co,. 7. Funcţia necunocuă i( reprezină ineniaea curenului înr-un circui în care un îneriae o bobină cu inducanţa L, un rezior cu rezienţa R şi un condenaor de capaciae C. Dacă în circui e aplică o eniune u u(, aunci conform legii lui Kirchhoff U L +U R +U C u(. În ipoeza că L, R, C un conane, legile lui Faraday ne dau U L ( L di d, iar legea lui Ohm aigură U R Ri(. Dacă i( I(, ecuaţiei găim U C( C i(τ dτ, u( U(, aplicând ranformarea Laplace în ambii membrii ai LI( + RI( + C I( U(
8 Daniela Roşu au I( C LC + RC + U(. Polii funcţiei I( un rădăcinile ecuaţiei LC + RC +, L R R ± C 4LC. LC Noăm α L R R şi β C 4LC cu obervaţia că dacă R > 4L aunci β >, dacă LC C R < 4L 4LC R C aunci β j C, iar dacă R 4L aunci β. LC C Dacă β, avem α + β, α β şi are loc decompunerea în fracţii imple Aunci iar originalul ee i( L LC + RC + LC I( L α + β β ( α + β β( + α + β β( ( α + β β( U( + α + β β( U( e ( α+β( τ u(τ dτ + α + β β. e ( α β( τ u(τ dτ. În iuaţia R 4L C, avem β şi α L are loc decompunerea în fracţii R imple LC + RC + ( LC + α α ( + α, şi găim iar originalul ee i( L penru. I( L ( + α U( α ( + α U( e α( τ u(τ dτ α e α( τ ( τu(τ dτ,