Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 7 Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr ecaţii c derivate parţiale de tip eliptic Fie R o mlţime descisă coneă şi mărginită a cărei frontieră este netedă pe porţini Aşadar poate fi o jtapnere de mai mlte crbe În continare vom prespne că este jtapnerea a doă crbe şi şi este orientată în sens trigonometric O onsiderăm ecaţia c derivate parţiale de ordinl al doilea p f nde p şi f este contină pe porţini pe onsiderăm de asemenea rmătoarele condiţii la limită: ϕ nde ϕ este cnosctă n γ
Bazele Analizei Nmerice nde γ snt cnoscte iar este derivata dpă normala n eterioară la Problema la limită pentr ecaţia constă în determinarea nei fncţii care verifică ecaţia şi condiţiile la limită şi Dacă p f şi obţinem problema Diriclet pentr ecaţia Laplace ϕ Dacă p f şi obţinem problema Nemann pentr ecaţia Laplace 5 γ n Dacă p şi f obţinem ecaţia Poisson f 6 Evident şi pentr ecaţia Poisson ptem considera problema Diriclet sa problema Nemann f f respectiv ϕ γ n Dacă f şi p se obţine ecaţia vibraţiilor p Aşadar problema la limită deşi n reprezintă cazl cel mai general este sficient de generală pentr a acoperi cazrile zale de probleme la limită pentr ecaţii c derivate parţiale de tip eliptic în plan În continare notăm c D ; ϕ 7 şi c J grad p f dd 8 s γ s şi ne pnem rmătoarea problemă variaţională: să se minimizeze fncţionala J pe mlţimea D Pentr ca această problemă să aibă solţie trebie mai întâi ca mlţimea D să fie nevidă Vom prespne aşadar că eistă cel pţin o fncţie D Atnci D D nde
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic { ; } D Se observă că D n depinde de fncţia în sensl că oricare ar fi avem D D D Teorema Dacă eistă D astfel încât J min J ; D atnci este solţie pentr problema la limită Dacă p pentr orice { } şi s pentr orice s atnci are loc şi afirmaţia reciprocă şi anme: dacă este solţie a problemei la limită atnci J min{ J ; D } şi este singrl pnct de minim al fncţiei J pe D J min J ; D Demonstraţie Fie D astfel încât { } c proprietatea ϕ t J t m şi :[ a a] a > ϕ R definită astfel ϕ t J t J ϕ rezltă că t este n pnct de minim pentr ϕ şi deci ϕ Pe de altă parte ţinând seama de 8 avem t ϕ t t dd p t f t d d S s t γ s t nde S este lngimea crbei iar s s [ S] s este reprezentarea sa normală Un calcl direct ne condce la ϕ p f d d S [ s γ s ] Din formla reen rezltă 9
Bazele Analizei Nmerice dd d d dd dd dd Deoarece rezltă că avem dd d d dd Dacă notăm c τ r versorl tangentei la crba atnci β π j i j d i d r r r r r β τ cos cos τ r Pe de altă parte versorl normalei eterioare la crba este j i n r r r cos cos π β β Ţinând seama de aceste observaţii mai departe avem n r S S S n n d d d d cos cos π β m ϕ din 9 şi rezltă [ ] s s n dd f p γ ϕ Egalitatea are loc pentr orice c proprietatea ; în particlar şi pentr o fncţie nlă pe Atnci obţinem [ ] dd f p
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 5 pentr orice Dintr-o cnosctă lemă de calcl variaţional rezltă f p adică ecaţia Înlocind acm în rezltă n γ pentr orice Printr-n raţionament asemănător c cel precedent dedcem γ n adică În continare demonstrăm afirmaţia reciprocă Fie o solţie a problemei la limită v D şi v- Evident D Ţinând seama de definiţia fncţionalei J dată de 8 rezltă grad grad grad d d f p p J J J v J γ m f p deoarece satisface mai departe avem grad grad grad d d p J v J γ Ţinând seama de şi rezltă n dd p grad J v J γ Deoarece satisface egalitatea devine d d p J v J grad 5 m p pe şi s pe din 5 rezltă
6 Bazele Analizei Nmerice J v J grad d d Observăm că dacă v atnci grad d d > Într-adevăr în caz contrar ar rezlta grad şi deci că este constantă pe m rezltă ceea ce contrazice ipoteza făctă Aşadar Jv > J dacă v Rămâne să demonstrăm nicitatea elementli Fie D astfel încât J min{ J ; D } onform celor demonstrate mai înainte rezltă J > J Analog avem J > J Rezltă astfel o contradicţie şi c aceasta teorema este demonstrată Observaţia Fncţionala 8 are sens şi pentr fncţii dintr-o clasă mai largă şi anme fncţii de clasă Analizând demonstraţia Teoremei constatăm că dacă fncţia minimizează fncţionala J pe mlţimea ~ D { ; ϕ } atnci satisface ecaţia ce derivă din ϕ şi anme [ grad grad p f] dd γ 6 pentr orice c proprietatea Evident n mai este solţie clasică a problemei la limită O fncţie din D ~ care verifică 6 poartă nmele de solţie slabă a problemei la limită Pentr rezolvarea nmerică a problemei la limită se consideră o reţea pătratică de drepte paralele c aele de coordonate: a i i m i j b j j n care acoperă întreg domenil Pnctele M ij i j se nmesc nodrile reţelei iar pasl reţelei O primă metodă de rezolvare nmerică a problemei la limită constă în discretizarea ecaţiei şi a condiţiilor la limită în nodrile reţelei obţinând-se n sistem de ecaţii liniare Solţia acesti sistem aproimează în nodrile reţelei solţia problemei la limită În continare vom nmi această metodă metoda reţelelor O a doa metodă constă în discretizarea integralei 8 din problema variaţională rezltând o
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 7 fncţie pătratică care apoi se minimizează Vom nmi această metodă metoda energiei Prezentăm cele doă metode pe rmătorl eempl Eempll Fie dreptngil ABD de latri AB 5 şi AD Se cere să se determine o fncţie care este solţie pentr ecaţia Poisson f 7 nde dacă f dacă D 7 6 5 8 7 6 9 5 8 A B Figra şi care verifică condiţiile la limită AB D 8 AD 9 B Interpretarea fizică este rmătoarea: o membrană elastică are marginile AB şi D fie marginea AD liberă iar marginea B este rezemată elastic Fncţia cătată reprezintă deplasarea membranei sb acţinea nei încărcări contine f f care este aplicată perpendiclar pe membrană 7 Metoda reţelelor a diferenţelor finite Pentr discretizarea problemei 789 considerăm o reţea pătratică de pas Deoarece pe AB şi D nodrile de pe aceste latri n prezintă interes ele 8 nodri în care rmează să determinăm fncţia
8 Bazele Analizei Nmerice snt notate în figră Valorile fncţiei şi ale fncţiei f în aceste nodri le vom nota c 8 respectiv f f f 8 şi Pentr discretizarea ecaţiei 7 va trebi să aproimăm derivatele în nodrile reţelei Ne propnem să facem această aproimare în nodl Aşadar aproimăm derivatele şi în nodl c derivatele lor nmerice în acest nod onform 9 5 rezltă 8 şi Înlocind în ecaţia Poisson 7 obţinem 8 f şi mai departe 8 f În fiecare din cele nodri interioare vom obţine câte o ecaţie liniară de tipl Modl de alcătire al ecaţiei de tip este ps simbolic în evidenţă de figra Dacă nodl este interior dar este f de tipl atnci va trebi să ţinem seama că D Ecaţia corespnzătoare nodli va fi Figra 5 7 f Aşadar celor nodri interioare le corespnd ecaţii liniare c 8 necnoscte 8 ele 6 ecaţii liniare care lipsesc se obţin din condiţiile la limită 9 şi În nodrile de pe latrile AD şi B aproimăm derivata c derivata nmerică dată de 7 5 De eempl în nodl avem 7
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 9 m A rezltă ecaţia liniară 7 Ecaţii asemănătoare se obţin datorită nodrilor şi Deoarece pe latra B avem condiţia la limită B în nodl 6 obţinem 6 6 şi mai departe 6 6 Ecaţii asemănătoare se obţin datorită nodrilor 7 şi 8 În final se obţine n sistem de 8 ecaţii liniare c 8 necnoscte 8 Rezolvând acest sistem se obţin valorile aproimative ale fncţiei în nodrile reţelei 7 Metoda energiei Problema la limită din Eempll este n caz particlar al problemei la limită şi anme: este dreptngil ABD AB D AD B p ϕ γ AD B Fncţionala J asociată acestei probleme la limită va fi n caz particlar al fncţionalei 8 şi anme J grad f d d d B onform Teoremei problema la limită 789 este ecivalentă c rmătoarea problemă variaţională: să se găsească o fncţie care satisface condiţia 5 AB D şi care minimizează fncţionala Introdcem notaţiile: J grad d d d d 6 J f d d 7
Bazele Analizei Nmerice J d 8 B şi considerăm reţeaa pătratică de pas din figra Metoda energiei constă în aproimarea integralei J J J J în nodrile reţelei aproimare în rma căreia se obţine o fncţie pătratică F F 8 Problema minimizării fncţionalei J c condiţia la limită 5 se va înloci c problema minimizării fncţiei pătratice F c aceeaşi condiţie la limită ondiţia necesară de minim pentr F şi anme gradf ne condce la n sistem de 8 ecaţii liniare în necnosctele 8 Observaţia Eistă doă avantaje majore ale metodei energiei în raport c metoda reţelelor Priml constă în faptl că în metoda energiei n este necesară discretizarea condiţiilor la limită 9 şi şi nici a derivatelor parţiale de ordinl doi Al doilea constă în aceea că termenii pătratici din epresia li F constitie o formă pătratică pozitiv definită Drept rmare sisteml de ecaţii liniare care rezltă din minimizarea fncţiei pătratice F este simetric şi pozitiv definit şi astfel avem acces la metodele de relaare pentr rezolvarea sa Pentr discretizarea integralei J va trebi să aproimăm derivatele şi Ne propnem să facem această aproimare în pătratl aşrat Pe segmentl orizontal determinat de nodrile şi avem iar pe segmentl orizontal determinat de nodrile şi 5 avem 5 Media aritmetică a pătratelor acestor epresii constitie o aproimare bnă pentr derivata în centrl pătratli Aşadar avem: [ 5 ] 9 Un rezltat asemănător obţinem pentr şi anme: [ 5 ]
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic Ţinând seama că aria pătratli este din teorema de medie pentr integrala dblă rezltă J [ 5 5 ] Pentr aproimarea integralei J folosim metoda trapezelor pentr integrala dblă 5 Avem J [ f f f55 f ] Pentr aproimarea integralei J se foloseşte metoda dreptngirilor şi se obţine J 6 7 8 Aşadar integrala J J J J se va aproima c o fncţie pătratică F F 8 care provine din adnarea epresiilor Fncţia pătratică F se compne dintr-o formă pătratică pozitiv definită provenind din discretizarea integralelor J şi J şi o formă liniară provenind din discretizarea integralei J Pentr ca F să fie minimă trebie ca gradf ontribţia cellei F în va fi [ ] f f Datorită celorlalte trei celle vecine care a în comn c nodl în F vor apare şi epresiile 8 f f 8 f Deoarece variabila intervine în epresia li F nmai datorită cellelor care a comn nodl rezltă că F se compne din sma celor patr epresii de mai ss Rezltă că F 8 f 5 ontribţia nodli în gradf este psă în evidenţă de scema în crce din Figra Deoarece n nod D interior de tipl nodli ne condce la ecaţia f Figra
Bazele Analizei Nmerice F 5 7 f 5 Să analizăm acm contribţia în gradf a ni nod de pe AD de eempl a nodli În acest caz snt nmai doă celle vecine care a în comn nodl Epresia c care intervine în F va fi [ 5 ] f 5 f ontribţia nodli în gradf revine la [ 5 5 ] f Se obţine astfel ecaţia 5 f 6 Modl de alcătire a ecaţiei 6 este ps în evidenţă de scema din Figra În cazl nodli vom avea f deoarece D În mod analog nodli îi corespnde ecaţia 6 f f În sfârşit rămâne să analizăm nodrile de Figra pe latra B de eempl nodl 7 Şi în acest caz avem nmai doă celle vecine ontribţia nodli 7 în gradf datorită discretizării integralelor J şi J va fi 7 6 8 f7 La această epresie trebie să adăgăm şi termenl 7 7 care provine din discretizarea integralei J Aşadar nodli 7 îi corespnde ecaţia 7 6 8 f7 7 Modl de alcătire al ecaţiei 7 este ps în evidenţă de scema din Figra 5 f Figra 5
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic Deoarece D nodli 6 îi corespnde ecaţia 6 7 6 f O ecaţie analoagă obţinem pentr nodl 8 În cazl concret considerat când fncţia f este dată de dacă dacă f rezltă f 5 f 6 f 8 f 9 şi f i în rest Precizăm de asemenea că În final se obţine rmătorl sistem de ecaţii liniare AUb în care A este matricea coeficienţilor necnosctelor 8 U 8 T iar b b b b 8 T omponentele vectorli b snt toate nle c ecepţia componentelor b 5 b 6 b 8 şi b 9 care snt egale c Matricea A arată astfel 8
Bazele Analizei Nmerice Observăm că matricea sistemli este simetrică iredctibilă şi slab diagonal dominantă onform Teoremei din rezltă că această matrice este pozitiv definită Nmărl ecaţiilor sistemli liniar este egal c nmărl nodrilor Pentr o reţea c n nmăr mic de nodri sisteml se poate rezolva c metoda olesk De asemenea se poate folosi metode relaării simple sa metoda ass - Seidel Dacă reţeaa se alege mai fină nmărl ecaţiilor creşte rapid ea mai indicată metodă de rezolvare în acest caz este metoda sprarelaării Noi ştim să determinăm parametrl optim de relaare pentr o matrice simetrică pozitiv definită diagonal bloc tridiagonală Teorema În cazl de faţă matricea sistemli este simetrică pozitiv definită şi bloc tridiagonală dar n este diagonal bloc tridiagonală Să observăm însă că strctra matricei coeficienţilor este legată de nmerotarea nodrilor Pentr acelaşi nmăr de nodri dacă se scimbă nmerotarea se scimbă şi matricea sistemli Să considerăm din no o reţea formată din 8 nodri pe care le împărţim în doă părţi O jmătate din nodri a cloarea neagră iar cealaltă jmătate a cloarea albă Nmerotarea o facem astfel încât orice segment paralel c aele neşte 7 7 nodri de clori diferite vezi Figra 6 Pentr nodl 6 scema în crce din Figra 6 6 9 ne condce la ecaţia 5 5 8 8 6 5 6 f6 Pentr nodl scema din Figra ne condce la ecaţia Figra 6 f etc Se obţine rmătorl sistem 5 6 7 8 9 5 6 7 8 b - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9 Matricea acesti sistem este simetrică pozitiv definită şi diagonal bloc tridiagonală Definiţie Fie M{ n} O matrice pătratică A M n R se nmeşte de tip A dacă eistă doă sbmlţimi S şi T ale li M nevide c proprietăţile: i S TM ii S Tφ iii Dacă a ij atnci sa ij sa i S şi j T Să observăm că matricea 8 de tipl A Într-adevăr sbmlţimile S {57957} şi T {6868} satisfac proprietăţile i-iii Se poate arăta că o matrice este de tipl A dacă prin permtări simltane de linii şi coloane poate fi aă la forma diagonal bloc tridiagonală O matrice de tipl A poate avea mai mlte reprezentări diagonal bloc tridiagonale Matricea 9 este na dintre aceste reprezentări ale matricei 8 7 5 8 6 6 9 5 7 8 Figra 7 Nmerotarea din Figra 6 este tipică pentr adcerea nei matrice de tip A la forma diagonal bloc tridiagonală O nmerotare a nodrilor pe diagonală ca în Figra 7 condce de asemenea la o matrice diagonal bloc tridiagonală Lăsăm în seama cititorli dedcerea matricei sistemli de ecaţii liniare ce corespnde acestei nmerotări Definiţie Pentr o matrice de tip A n sistem de nmerotare a nodrilor căria îi corespnde o matrice diagonal bloc tridiagonală se nmeşte consistent Reamintim că pentr o matrice simetrică pozitiv definită diagonal bloc tridiagonală parametrl optim de relaare este
6 Bazele Analizei Nmerice ωopt λ nde λ este cea mai mare valoare proprie a matricei -D - EF Teorema Se poate demonstra că pentr o matrice de tipl A parametrl optim de relaare este independent de sisteml particlar consistent de nmerotare a nodrilor În cazl eemplli nostr pentr reţeaa c 8 nodri avem: λ 879 şi ω opt 96 Pentr a obţine o solţie c 6 zecimale eacte snt necesare 5 de iteraţii c metoda ass-seidel şi nmai 6 c metoda sprarelaării Pentr o reţea c 77 de nodri λ 957686 şi ω opt 55 Pentr a obţine o solţie c 6 zecimale eacte snt necesare de iteraţii c metoda ass-seidel şi nmai 5 c metoda sprarelaării În înceierea acesti capitol vom analiza pe scrt cazl când frontiera domenili este o crbă Figra 8 R onsiderăm o reţea pătratică de pas R R care acoperă domenil şi notăm c domenil aşrat format din cellele conţinte în interiorl domenili 5 6 7 Să prespnem că se cnosc valorile fncţiei pe crba 8 9 Notăm c a distanţa de la nodl la pnctl R Dreapta determinată de pnctele 5 şi ar are ecaţia Figra 8 R 5 5 a Pnând condiţia ca pentr să rezlte obţinem a R 5 a Pe parcrsl discretizării variabila se va înloci c epresia din membrl drept al relaţiei astfel încât variabila va dispare din sisteml final Nodl se nmeşte nod eliminat iar nodl 5 se nmeşte nod ailiar N acelaşi lcr se întâmplă c nodl Acesta este nod eliminat din pnct de vedere al pnctli R de pe frontieră dar în acelaşi timp este nod ailiar pentr pnctl R Rezltă că variabila n va dispare din sisteml final Eerciţii
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 7 Aplicând metoda reţelei pentr k să se determine solţia ecaţiei li Laplace într-n pătrat c vârfrile A B D şi c condiţiile la limită rmătoare: AD AB B R Facem rmătoarele notaţii: i i i jk j ij i j Determinăm valorile la limită ale fncţiei şi obţinem: 75 5 5 85 5 5 D j ; Vom nmerota nodrile reţelei ca in figra de mai jos: 85 5 5 5 5 75 Vom înloci derivatele parţiale de ordin în ecaţia li Laplace pentr nodrile interioare reţelei Obţinem astfel ecaţiile:
8 Bazele Analizei Nmerice Înlocind în ecaţiile de mai ss valorile la limita specificate obţinem sisteml de ecaţii: 75 5 5 85 5 5 Rezolvând acest sistem se obţin valorile: 6 77 97 86 9 8 7 9 8 Aplicând metoda reţelei pentr k să se determine solţia ecaţiei li Laplace c condiţiile la limită specificate în figra de mai jos daca vârfl din stânga jos al plăcii are coordonatele 5 5 R Din caza simetriei condiţiilor la limită faţă de aa vom avea:
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 9 Aceste relaţii redc nmărl valorilor necnoscte ale fncţiei în pnctele interioare reţelei la 6 Vom înloci derivatele parţiale de ordin în ecaţia li Laplace pentr nodrile Obţinem astfel ecaţiile: Ţinând cont că i i j j şi înlocind în ecaţiile de mai ss valorile la limita specificate obţinem sisteml de ecaţii: Rezolvând acest sistem se obţin valorile: 7 875 86 98 5 568 dpă cm se observă şi in figra de mai jos 5 5 86 568 875 5 7 86 875 98 7
Bazele Analizei Nmerice Problema deformării elastice a nei plăci pătrate sb acţinea nei forţe constante se redce la rezolvarea ecaţiei c valori la limită egale c Să se determine solţia ecaţiei folosind metoda reţelelor dacă latra plăcii pătrate se ia egală c iar distanţa R 9 57 7 Fie domenil plan ABDE din fig AB 5 B 5 DE AE Formlaţi problema la limită corespnzătoare problemei de minim pentr fncţionala J grad dd D definită pe mlţimea fncţiilor care satisfac: pe B pe DE şi EA R Procedând ca în demonstraţia teoremei se obţine problema la limită în E D pe AB n 9 8 7 pe D n pe B pe DE şi EA 9 8 7 5 Fie trapezl ABD AB 5 DA Fig D 5 fig Să se determine fncţionala asociată problemei la limită: D în pe AB D şi DA pe B n R J grad dd dd A A Fig 6 5 6 5 B B 6 Fie trapezl ABD AB 5 DA D 5 fig Să se determine fncţionala asociată problemei la limită:
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic în pe AB pe B n ped pe DA n R J grad dd dd DA 7 Să se discretizeze problema la limită folosind metoda energiei pentr fncţionala asociată acestei probleme alegând reţeaa şi nmerotarea nodrilor ca în fig R Folosim notaţiile şi tenica prezentată la metoda energiei Fie J grad dd J D Integrala J J se va aproima c o fncţie pătratică F F 9 ondiţia gradf condce în cazl ni nod interior de eempl nodl 7 la ecaţia vezi 5: F 7 6 8 7 În cazl nodrilor de pe AB cm este cazl nodli ţinând seama că nodl este comn la celle rezltă: F 9 Ţinând seama că pe AE şi pe B obţinem: F F 5 5 6 În cazl nodli 7 se procedează ca în cazl nodli 7 ţinând seama că pe DE În consecinţă: F 7 8 6 7 Să analizăm acm cazl nodli 6 Pentr a aproima J pe cella D 6 7 ţinem seama că:
Bazele Analizei Nmerice 6 7 7 Deci pe această cellă J [ 6 7 7 ] Similar pe cella 56 J [ 5 6 5 ] Pentr a aproima J cm ecaţia dreptei D este 8 d deci J 6 8 d conform formlei trapezelor Ţinând seama şi de aceasta şi aportl cellelor vecine rezltă: F 6 5 7 6 6 F 55 6 6 5 Similar obţinem: 5 7 6 8 8 7 9 9 În final se obţine rmătorl sistem de ecaţii liniare: AU b nde A este matricea coeficienţilor necnosctelor 8 T T U 8 iar b b b b8 Matricea A arată astfel: 6
Rezolvarea nmerică a problemelor la limită pentr edp de tip eliptic 5 5 T b 8 Să se discretizeze problema la limită folosind metoda energiei pentr fncţionala asociată acestei probleme alegând reţeaa şi nmerotarea nodrilor ca în fig 9 Să se discretizeze problema la limită folosind metoda energiei pentr fncţionala asociată acestei probleme alegând reţeaa şi nmerotarea nodrilor ca în fig