NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več z ovornjakom. Kdaj in koliko merov od očke, kjer je voznik zaspal, se bo ovornjak zaleel v zaščino ograjo ob cesi, od kaere je bil na začeku oddaljen 2 m? Koeficien renja med ceso in kolesi v prečni smeri je.25, v vzdolžni smeri pa.5. Koeficien zračnega upora znaša., gosoa zraka pa.2 kg/m 3. V smeri poziivne osi x deluje sila upora vera, ki premika ovornjak v smer poziivne osi x, zao v nasproni smeri delujea sila upora zraka in sila renja. V smeri poziivne osi y se ovornjak giblje naprej, zao v nasprono smer zope delujea sila upora zraka in sila renja, v negaivno smer osi z deluje sila eže, v nasprono smer pa sila podlage: v y = 8 km/h = 22.2 m/s a = 8 m b = 2 m c = 4 m m = 4 on = 4 kg v v = 5 km/h = 4.7 m/s k y =.5 k x =.25 c u =. ρ z =.2 kg/m 3
Najprej zapišemo 2. Newonov zakon za cel sisem v vekorski obliki: F v + F x + F ux + F y + F uy + F g + F p = m a. ( F v,, + ( F x,, + ( F ux,, + (, F y, + (, F u y, + (,, mg + (,, F p = m(a x, a y, a z. V posameznih smereh ako dobimo enačbe: x : F v F x F ux = ma x, ( y : F y F uy = ma y, (2 z : F g + F p = ma z =. (3 V z smeri se ovornjak ne giblje: a z =. Označimo renuno hiros in renuni položaj ovornjaka (upoševamo, da se v z smeri ne giblje: v( = (v x (, v y (, r( = (x(, y(,. Označimo še začeno hiros in položaj: v ( = (, v y, r ( = (,,. Razpišemo še izraze za posamezne sile: F v = 2 c uρ z ac(v v v x 2, (4 u nasopa razlika med hirosjo vera in hirosjo ovornjaka v x smeri, orej relaivna hiros med ovornjakom in verom, saj se ako veer ko ovornjak gibljea v poziivno smer osi x. Upoševali smo, da je prečni presek ovornjaka glede na smer gibanja v osi x enak ac. F ux = 2 c uρ z acv 2 x, (5 u nasopa samo hiros ovornjaka v x smeri, saj je na desni srani ovornjaka zrak na miru, ovornjak pa se giblje v smeri osi x z hirosjo v x. Prečni presek je enak ko pri sili vera, ac. F uy = 2 c uρ z bcv 2 y (6 2
u nasopa hiros ovornjaka v y smeri, saj je zrak na miru, ovornjak pa se giblje v smeri osi y s hirosjo v y. Prečni presek glede na smer gibanja v osi y pa je enak bc. F x = k x F p, (7 F y = k y F p, (8 F g = mg. (9 Iz enačbe za smer z dobimo: F p = mg. To in izraze za posamezne sile vsavimo v enačbi za smer x in y: x : 2 c uρ z ac(v v v x 2 k x mg 2 c uρ z acv 2 x = ma x, y : 2 c uρ z bcv 2 y k y mg = ma y. Iz eh enačb izrazimo pospeška: x : 2 c uρ z acv 2 v c u ρ z acv v v x + 2 c uρ z acv 2 x k x mg 2 c uρ z acv 2 x = ma x, a x = c uρ z acv 2 v k xg c uρ z acv v m v x, ( y : a y = c uρ z bc v2 y k y g. ( Smer osi x: Uporabimo definicijo pospeška: a x ( = dv x d = c uρ z acvv 2 k xg c uρ z acv v m v x. (2 Dobili smo diferencialno enačbo za funkcijo v x (. Ločimo spremenljivki in inegriramo po času od časa do nekega časa, po hirosi pa poem od začene hirosi do hirosi ob nekem času : vx( v x = c uρ zacv 2 v dv x k xg cuρzacvv v m x = d =. Preden inegriramo, poizkušamo naredii inegral brezdimenzijski. V a namen izposavimo iz imenovalca na levi srani vse člene, ki ne vsebujejo v x : vx( ( cuρzacv2 v dv x k xg( c uρ zacv v m( cuρzacv2 v kxgv x = 3
c uρ zacv 2 v k xg vx( dv x c uρ zacv v 2 cuρzacv2 kxmgv x v =. Vse, kar soji zraven v x, mora bii izraz oblike deljeno z neko hirosjo, da se enoe pokrajšajo, ako lahko definiramo hiros: V x = c 2 uρ z acvv 2 k x mg = c u ρ z acv v 2 v v k xmg = c u ρ z acv v = 2 4.7 m s.25 4 kg 9.8 m s 2..2 kg m 3 8 m 4 m 4.7 m s =.36 m s. (3 vx( dv x vx V x = ( c uρ z acv2 v k xg. Uvedemo novo spremenljivko u = v x /V x, = dv x /V x : u( u = ( c uρ z acvv 2 V x k xg. Kar soji zraven na desni srani, mora bii izraz oblike deljeno z nekim časom, da se enoe pokrajšajo, ako lahko definiramo čas: T x = = V x c uρ zacvv 2 k xg =.36 m s = 7.965 s. (4..2 kg m2 m3 8 m 4 m (4.72 s 2.25 9.8 m 2 4 kg s 2 Izraz smo ako prevedli v brezdimenzijsko obliko: u( u = T x. Uvedemo novo spremenljivko w = u, dw = : w( dw w = T x, Ln(w( Ln( = T x, w( = e T x, v x( = e T x. V x 4
Tako dobimo izraz za hiros ovornjaka v x smeri ko funkcije časa: Sedaj uporabimo še definicijo hirosi: v x ( = V x ( e T x. (5 v x ( = dx d = V x( e T x. (6 Ločimo spremenljivki in inegriramo od časa do nekega časa, er od začenega položaja v smeri x do nekega položaja x(: Definiramo še: x( x = dx = V x ( e T x. x( = V x ( + T x e T x = V x + V x T x e T x V x T x. X = V x T x =.36 m s 7.965 s =.83 m. (7 Dobili smo izraz za odvisnos koordinae x od časa: Smer osi y: Uporabimo definicijo pospeška: x( = X (e T x. (8 a y ( = dv y d = c uρ z bc v2 y k y g. (9 Dobili smo diferencialno enačbo za funkcijo v y (. Ločimo spremenljivki d in dv y er inegriramo po času od časa do nekega časa in hiros od začene hirosi do neke hirosi ob času : vy( v y dv y cuρzbc v2 y k y g = d =. Zope naredimo inegral brezdimenzijski, ako da izposavimo v imenovalcu vse člene, ki ne vsebujejo v y : vy( v y dv y k y g( + cuρzbc k yg v2 y =. 5
Definiramo novo hiros: k y g 2 4 kg.5 9.8 m = c u ρ z bc = s 2..2 kg 2 m 4 m = 36.6 m s. (2 m 3 vy( v y dv y + v2 y y = k y g. uvedemo novo spremenljivko u = v y /, = dv y / : Uvedemo nov čas: u( u + u 2 = k yg. = k y g = Dobili smo brezdimenzijski izraz: u( u = + u 2 36.6 m s.5 9.8 m s 2 = 73.52 s (2 arcan(u u( u = arcan(u( arcan(u = Uporabimo enakos: arcan(x arcan(y = arcan( x y + xy, arcan( u( u + u(u =, u( u = an( ( + u(u, u( = u an( + u an(. Dobili smo izraz za hiros v y ko funkcije časa: v y ( = v y an( + v y an(. (22 6
Oziroma, če definiramo: je izraz za hiros v y smeri: A = v y = 22.2 m s 4.7 m s v y ( = v y an( + A an( Sedaj uporabimo še definicijo hirosi: v y ( = dy d = =.656, (23 A an(. (24 + A an(. (25 Ločimo spremenljivki in inegriramo od časa do nekega časa, er od začenega položaja v smeri y do nekega položaja y(: y( y = dy = v y (d = d y( = v y + v y an( v y an( + v y an(. Uvedemo novo spremenljivko u = /, = d/ : u y( = v y + v y an(u u an( d + v y an(. an(u + v y an(u = v y I I 2. Inegrala lahko pogledamo v abele (oz. izračunamo z Mahemaico, znašaa pa: Tako dobimo: I = I 2 = y( = v y u v 2 y y + + v y v 2 y y v y + v 2 y y v 2 y y + + V v y y u v 2 y y + (u + v y Ln( v y sin(u + cos(u, ( v y u Ln( v y sin(u + cos(u. + Ln( v y sin(u + cos(u + V v 2 y y + 7 y Ln( v y sin(u + cos(u.
Prva dva člena se pokrajšaa, v drugih dveh pa izposavimo logariem: y y( = Ln( v y sin(u + cos(u v2 y + ( v2 y + Vy 2 = Ln( v y sin(u + cos(u. = Definiramo razdaljo Y : Y = = 36.6 m s 73.52 s = 265 m (26 Dobili smo izraz za spreminjanje koordinae y v odvisnosi od časa: y( = Y Ln(A sin( + cos(. (27 Rešiev: Ob času = T se ovornjak zalei v seno. Takra sa koordinai ovornjaka: x(t = l = X (e T T x + V x T, (28 y(t = y = Y Ln(A sin( T + cos( T. (29 Iz enačbe za koordinao x lahko izrazimo T. Tega se ne da izrazii analiično, vendar (če izrazimo T z pomočjo Mahemaice, dobimo izraz: T = T x + l + T x W ( e l X +, (3 V x kjer je W Lamberova funkcija, o je neanaliična funkcija, ki je obra funkcije f(w = W e W. Ko vsavimo ševilke, dobimo: T = 5.382 s (3 Izračunani T nesemo v enačbo za koordinao y, in dobimo: y = 52.8 m. (32 Tovornjak se orej zalei v seno 5.382 sekunde po em, ko voznik zaspi, o pa se zgodi 52.8 mera naprej od mesa, kjer je voznik zaspal. 8
Odvisnosi vseh izračunanih količin od časa: Hiros v smeri x:.8.6.4.2.2..8.6.4.2 Položaj v smeri x: 3. 2.5 2..5..5 5 4 3 2 Hiros v smeri y: 2 5 2 5 5 5 5 2 3 4 5 Položaj v smeri y: 4 2 8 6 4 2 4 3 2 9