Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x) -sin x, sin(x + k) sin x, (k Z). cos:r [-,] cos(-x) cos x, cos (x + k) cos x, (k Z). tg:r\{(k+) } R. ctg:r\{k} R tg(-x) -tg x tg(x+k) tg x, (k Z) ctg(-x) -ctg x ctg(x + k) ctg x, (k Z)
Trigonometrie Bcluret 8 Formule trigonometrice. RelŃii între funcńiile trigonometrice le unui rgument:. sin α + cos α. α ± α α ± α sin cos cos sin tg α cos α sin α ± + tg α ± + tg α. sin α tg α c. sin( α) cos( α) tg( α) 5. sin + α cos + α, tg + α c. sin( + α) cos( + α) tg ( + α) 7. sin( α) sin( α) tg( α). Formule de dunre: sin( α ± β ) cos β ± sin β cos( α ± β ) cos β sin β ± tgβ tg( α ± β ) tgβ. Formule pentru multiplii de rgument: sin α cos α cos α sin α sin α cos α tg α c ctg ctg tg α α α c c sin sin sin α α α
Trigonometrie Bcluret 8 α α α cos cos cos tg α sin α cos α + tg α + tg α α α α α α α n n n sin n cos Cn cos sin + Cn cos sin... α α α α α α α n n 5 n5 5 cos n Cn cos sin Cn cos sin + Cn cos sin.... Formule pentru jumãtãńi de rgument: α α + sin ± cos ± α tg ± + + 5. Sume, diferenńe şi produse: α + β α β + sin β sin cos α β α + β sin β sin cos α + β α β + cos β cos cos α + β β α cos β sin sin sin( α + β ) sin( α β ) tg α + tgβ tgβ cos β cos β sin α + sin + α cos α sin α sin + α cos α sin β [cos( α β ) cos( α + β )] cos β [cos( α + β ) + cos( α β )] cos β [sin( α + β ) + sin( α β )] + tgβ tgβ c + ctgβ
Trigonometrie Bcluret 8 Inversre funcńiilor trigonometrice. rcsin:[-.], rcsin y x sin x y rcsin (-x) - rcsin x. rcos:[-,] [,], rcos (-x) - rcos x. rctg:r,, rctg (-x) -rctg x. rctg:r (,), rctg (-x) - rctg x SoluŃiile ecuńiilor trigonometrice simple. EcuŃii fundmentle k.sin x, [,] x {( ) rcsin + k k Z}.cos x, [,] x { ± rccos + k k Z}. tgx, R x { rctg + k k Z. ctgx, R x { ccctg + k k Z}. Tbele de vlori: x funcńi sin x cos x - - tg x / / ctg x / / / x funcńi rcsin x - rcos x 5
Trigonometrie Bcluret 8 x functi rctg x rcctg x - 5 RelŃii metrice în triunghi. Triunghiul dreptunghic ABC (m( A) 9, AD BC). Teorem lui Pitgor: b + c. Teorem ctetei: b CD, c BD. Teorem înãlńimii: h BD DC b c. h, hb b, hc c 5. m, mb b, mc c b c. b bb c bc b b + c + c + c b c 7. A ABC 8. R b c 9. r + b + c. RelŃii exprimte prin funcńii trigonometrice: b sin B, b cos C, b c tg B, b c ctg C.. Triunghiul echilterl ABC (bc). h m b. A ABC. R. r. Triunghiul orecre ABC (AD BC). Teorem lui Pitgor generliztã: ) b + c BD, dcã m( B)<9 b) b + c + BD, dcã m( B)>9 5
Trigonometrie Bcluret 8. RelŃiile lui Stewrd O (BC): b BO + c CO AO BO CO ( b + c ). m. h p( p )( p b)( p c) 5. b p( p bc b + c ) h. A S ABC 7. S p( p )( p b)( p c) 8. 9. bc R S S r. p. RelŃii exprimte prin funcńii trigonometrice b c. Teorem sinusurilor: R sin A sin B sinc b + c. Teorem cosinusului: b + c bc cos A cos A bc A B C b. Teorem tngentelor: tg tg + b bsin C sin Bsin C A. S, S, S p( p ) tg, S R sin Asin BsinC sin A A B C 5. p Rcos cos cos. Rsin BsinC h m R (sin A cos Asin Bsin C + 7. ) 8. b bc A cos b + c A p( p ) 9. cos bc A ( p b)( p c). sin bc A ( p b)( p c). tg. p( p )
Trigonometrie Bcluret 8 Probleme propuse. Se consideră triunghiul ABC cu AB, AC 7 şi BC. Să se clculeze cos B.. Să se clculeze ri triunghiului ABC ştiind că AC, m( BAC) şi AB.. Să se clculeze ri triunghiului ABC ştiind că ABAC, m( A).. Să se clculeze rz cercului circumscris triunghiului ABC, ştiind că AB şi m( C). 5. Să se clculeze sin + cos 8.. Fie triunghiul dreptunghic ABC şi D, mijlocul ipotenuzei BC. Să se clculeze lungime lturii AB ştiind că AC şi AD 5. 7. Se consideră triunghiul ABC cu AB, AC şi BC 5. Să se clculeze cos B. 8. Se consideră triunghiul ABC cu AB 5, AC şi BC 7. Să se clculeze cos A. 9. Să se clculeze ri triunghiului ABC ştiind că AB, AC şi m( BAC).. Să se clculeze lungime lturii BC triunghiului ABC ştiind că AB, AC şi m( A) o.. Se consideră triunghiul ABC vând ri eglă cu 5. Să se clculeze sin A ştiind că AB şi AC.. Să se clculeze rz cercului circumscris triunghiului ABC ştiind că BC 8 şi m( A)5 o.. Se consideră triunghiul ABC de rie eglă cu, cu AB şi BC8. Să se clculeze sinb.. Se consideră triunghiul ABC de rie eglă cu 7. Să se clculeze lungime lturii AB ştiind că AC şi că m( A) o. 5. Să se clculeze perimetrul triunghiului ABC ştiind că AB, BC şi m( B) o.. Să se clculeze perimetrul triunghiului ABC, ştiind că AB 5, AC şi m( A) o. 7. Să se clculeze lungime înălńimii din A în triunghiul ABC ştiind că AB, AC şi BC 5. 8. Să se clculeze sin5. 9. Rz cercului circumscris triunghiului ABC este, ir BC. Să se clculeze sin A.. Să se determine numărul rel x pentru cre x, x+7 şi x + 8 sunt lungimile lturilor unui triunghi dreptunghic.. Să se clculeze ri triunghiului ABC ştiind că AB, AC 8 şi BC.. Să se clculeze sin A, ştiind că în triunghiul ABC se cunosc AB, BC şi m( C).. Se consideră triunghiul dreptunghic ABC, cu m( A)9 şi cos B. Să se clculeze 5 sinc.. Să se clculeze cos A în triunghiul ABC, ştiind că AB, BC şi AC. 5. Să se clculeze lungime lturii BC triunghiului ABC, ştiind că sina şi că lungime rzei cercului circumscris triunghiului este eglă cu.. Să se demonstreze că, dcă triunghiul ABC este dreptunghic în A, tunci re loc relńi AB + AC sin B + cos B. BC 7
Trigonometrie Bcluret 8 7. Să se clculeze produsul (cos cos9 )A(cos cos8 )A...A(cos9 cos ). 8. Să se clculeze sin A în triunghiul ABC, ştiind că BC, ir lungime rzei cercului circumscris triunghiului este eglă cu. 9. Să se clculeze perimetrul unui triunghi echilterl cre re ri eglă cu.. Să se clculeze lungime lturii AC triunghiului ABC ştiind că BC, m( BAC) şi m( ABC) 5.. Să se clculeze cosinusul unghiului A, în triunghiul ABC, ştiind că AB, AC 5 şi BC.. Să se clculeze numărul sin Acos5.. Să se rte că într-un triunghi ABC dreptunghic în A re loc relńi cos B+cos C.. Să se clculeze ri triunghiului ABC, ştiind că ABAC şi m( A). 5. Să se clculeze lungime lturii BC triunghiului ABC ştiind că m( A) 9, m( B) şi AB.. Triunghiul ABC este dreptunghic în C, ir rz cercului circumscris triunghiului este R. Să se clculeze lungime lturii AB. 7. Să se rte că pentru x(,9 ) este devărtă eglitte sinxacos(9 x)+cos (8 x). 8. Să se demonstreze că într-un triunghi dreptunghic ABC, cu m( A)9, re loc relńi AD ABAACAsinBsinC, unde D este piciorul înălńimii din A. 9. Să se determine probbilitte c legând un element din mulńime A {sin,sin5, sin }, cest să fie număr rńionl.. Să se clculeze ri unui triunghi echilterl cre re lungime înălńimii eglă cu. 8