ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= + b) U aget ecoomic a îchiriat spre ameajare u spaţiu comercial î care pardoseala are forma uui pătrat cu latura egală cu x metri Îtr-u colţ, sub forma uui pătrat cu latura egală cu x metri, ameajează magazia iar restul de 4 metri pătraţi îi are la dispoziţie petru expuerea mărfii Ce suprafaţă a îchiriat? a) Cosiderâd x= + si x = obţiem S=, P=, iar ecuaţia ceruta este x x = 0 p b) Spaţiul îchiriat are suprafaţa egala cu (x ) ( m ) p Euţul se scrie astfel : (x ) = x + 4 p Obţie ecuaţia de gradul al doilea : x x 5 = 0 p Obţie soluţiile x = 5; x =, Fializare : Numai x=5 covie iar suprafaţa îchiriata are 49 m p Se cosideră triughiul ABC şi puctele M, N î plaul triughiului astfel îcât AM= AB+ AC iar CN= q CB, ude q> 0 a) Demostraţi că AN= ( q) AC+ q AB b) Să se determie q astfel îcât puctele A,M,N să fie coliiare a) Aplică regula triughiului si obţie relaţia ceruta 4p b) Scrie codiţia de coliiaritate a doi vectori si o aplica i cazul cocret p Fializare q= p Se cosideră şirurile ( a ),( ) a b cu a =, a+ =, petru orice şi b=, a a petru orice a) Determiaţi termeii a, a, a 4 + b) Utilizâd metoda iducţiei matematice arătaţi că a=, petru orice c) Arătaţi că şirul b este progresie aritmetică a) Petru =,=,= obţie a =, a 4 5 =, a 4 = xp 4 b) Parcurge etapa verificării: P() ( A ) p Demostrează implicaţia P( k) P( k+ ) p
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic + a c) Calculează b = = = p a + Fializare: b = + b, deci şirul este o progresie aritmetica p 4 Matei şi Iria sut elevi î clasa a IX-a şi studiază la şcoală 5 disciplie obţiâd la sfârşitul semestrului I aceeaşi medie geerală Ştiid că au avut umai medii de opt, ouă şi zece iar umărul mediilor de zece,ouă şi opt ale lui Matei este respectiv egal cu umărul mediilor de ouă, opt şi zece ale Iriei, precizaţi câte medii de zece are Iria? Dacă otăm cu a - umărul mediilor de zece ale lui Matei b - umărul mediilor de oua ale lui Matei c - umărul mediilor de opt ale lui Matei Atuci a + b + c = 5 p Î aceste codiţii Iria va avea a - medii de oua; b - medii de opt şi c - medii de zece p Scrie codiţia ca elevii sa aibă aceeaşi medie semestrială: 0a+ 9b+ 8c= 9a+ 8b+ 0c p Obţie a + b = c p Fializare: Deduce c = 5 p
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A X A a) Dacă a = x+, b= 4x 4, x [, ), demostraţi că a b = 0 a b 0 b) Rezolvaţi î R sistemul = a+ b= 5 a) Avem a = x +, b = 4x - 4 p Fializare p b) Obţie ecuaţia (5 - b) - b = 0 p adică (b - ) (b + 0) = 0 p Soluţia sistemului a =, b = p Fie fucţia f : C C, f( z) = εz, ude ε= + i a) Verificaţi că ε ε+ = 0, ε = b) Arătaţi că f( f( z) ) = ε+ ε z, z C c) Demostraţi că f f( f( z) ) = z, z C ( ) a) Calcul p b) Efectuează corect si foloseşte puctul precedet p Fializare p c) Folosid puctul b), demostrează idetitatea p * Se cosideră mulţimea G= w C w= +, z C a) Arătaţi că w G w R b) Demostraţi că +, ( ) z C a) Dacă otăm w = +,avem w= + p Deoarece z z= z, obţiem w= w p b) Folosid a+ b a+ b, avem + + = p Fializare p
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic 4 Se cosideră fucţia f :( 0, ) R, f( x) ( x) log = şi otăm x S= f f f, N, + + + f log = k+ log k+ log k k k + S= log, R \Q,( ) a) Demostraţi că ( ) ( ) b) Să se demostreze că ( ) c) Arătaţi că S, k a) log f = p Foloseşte corect formulele de la logaritm p Fializare p b) Observa ca suma ceruta este telescopica si obţie rezultatul cerut p + a c) Presupuem pri reducere la absurd, că log =, a, b N, b 0 b b a b Obţiem + + =, imposibil p
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic Se cosideră matricele BAREM DE CORECTARE CLASA A XI A a) Calculaţi A, B, A B, B A b) Verificaţi idetitatea M M = M,( ) t, v> 0 A=, B= şi t M t= A+ B, t> 0 t t v t v c) Arătaţi că petru orice t>0 matricea M t este iversabilă a) Petru fiecare ceriţa se acorda cate u puct 4xp b) Folosid iformaţiile de la puctul precedet, obţie ceriţă p c) Calculează determiatul si arata ca e eul p * x Se cosideră fucţia f : R R, f ( x) = x e a) Determiaţi asimptota spre la graficul fucţiei f b) Calculaţi f ( ) + f + + f a) Petru îcercarea de a căuta asimptota orizotala p Petru găsirea cocreta a asimptotei oblice p b) Îlocuirea corecta a termeilor î suma p Observa ca avem o progresie geometrică p Fializare p f : R R, f x = x+ cos x Fie ( ) π a) Să se calculeze f ( 0) şi f b) Să se arate că f ( x) x, x R c) Să se idetifice u a R astfel îcât f( a) a = şi să se calculeze limita fucţiei f la + a) Petru fiecare cerita corect rezolvata cate u puct xp b) cos x, x R p Cocluzie p c) Petru orice a corect idetificat (de exemplu π ) p Folosid corect puctul b, deduce ca limita ceruta este + p 0, 4 Fie M mulţimea tuturor matricilor de tip x, î care toate elemetele aparţi mulţimii { } (aceste matrici se umesc coduri de lugime 9) a) Să se dea u exemplu de u cod A di mulţimea M care are determiatul egal cu - b) Să se determie umărul total de coduri di mulţimea M c) Să se idice matrice diferite A şi B di M,care au proprietatea A = B = I a) Orice exemplu corect, căreia ii calculează si determiatul p 9 b) Observa ca avem u umăr de fucţii si obţie = 5 p c) Fiecare exemplu verificat primeşte cate u puct xp
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic Se cosideră matricele BAREM DE CORECTARE CLASA A XII A A=, B=, t M t= A+ B, iar G= { M 0} t t> t a) Calculaţi A, B, A B, B A b) Arătaţi că G este parte stabilă a mulţimii M ( ) R i raport cu îmulţirea matricelor c) Arătaţi ca ( G, i) este grup abelia a) Petru fiecare di cele 4 ceriţe cate 0,5 p p b) Efectuează calculele si foloseşte corect puctul aterior p c) Scrierea corecta a celor 5 axiome, ivocarea puctului b si verificarea celorlalte p Se cosidera fucţia f : R R 00 = + + + + iar f ( x) x x x x F( x) = f ( t) dt, F : R R 0 a) Verificaţi că ( x) f ( x) = x, x R b) Să se arate că fucţia F este strict crescătoare c) Să se arate că F () > a) Petru calcule corecte sau aplicarea formulei p b) Petru rolul derivatei Ip Petru demostrarea faptului ca derivata este strict pozitiva (evetual folosid pct a) ) p c) Calculează itegrala si arata ca valoarea ei este mai mare ca p e = x dx, Fie I ( l ) a) Calculaţi I b) Arătaţi că I0 I00 a) Petru aplicarea itegrării pri părti p Fializare p b) Calculează I0 I00 si argumetează pozitivitatea p 4 Fie G Z, o mulţime fiită şi evidă Se ştie că x, y G xi y G a) Să se dea u exemplu de mulţime G care verifică proprietăţile de mai sus b) Arătaţi că Gşi că G are maxim elemete c) Dacă î plus G u coţie pe 0, atuci ( Gi,) este grup a) De exemplu {, } G= sau alt exemplu corect p b) Daca G G, N p Deci elemetele pot fi -,0, p c) Observam ca G poate fi doar exemplul dat mai sus la pct a p Arata ca G e grup (evetual cu tabla operaţiei) p 0