Cursul 1 Î cele ce urmează vom prezeta o ouă structură algebrcă, structura de spaţu vectoral (spaţu lar) utlzâd structurle algebrce cuoscute: mood, grup, el, corp. Petru îceput să reamtm oţuea de corp: Defţe. Fe mulţmea K ş două operaţ defte pe K " ", " " : KK K. rpletul K,, este corp dacă sut verfcate următoarele cc propretăţ: ) K, este grup abela (î care otăm elemetul eutru cu 0 ş opusul lu xk cu xk ); ) K, este mood (î care otăm elemetul eutru cu 1); ) 0 1; v) "" este dstrbutvă la stâga ş la dreapta faţă de " "; -1-1 -1 v) xk, x 0, x astfel îcât x x x x 1. Cu ajutorul oţu de corp se defeşte oţuea de spaţu vectoral (spaţu lar): Fe V o mulţme evdă (Ø) ş K,, u corp comutatv. Elemetele lu K se umesc scalar, elemetele lu V se umesc vector. Se defesc două operaţ: a) operaţa teră umtă aduarea vectorlor, otată pr " ", ude: : V V V, ( x, y) x y ; b) operaţa exteră umtă îmulţrea cu scalar a vectorlor, otată pr "" ude: : K V V, (, x) x Vom cosdera că x x petru x V ş K. Defţe: Spuem că V este spaţu vectoral (sau spaţu lar) peste corpul K (sau că perechea (V, K) este spaţu vectoral (lar)), dacă: ) (V, +) este grup abela (î care elemetul eutru este otat pr 0 ş se umeşte vectorul ul); ) x x x,, K, xv ;, K, x, yv ; ) x y x y v) x x,, K, xv ; v) 1x x, x V, ude 1 este elemetul utate al corpulu (elemetul eutru petru opraţa ). Petru smplfcarea expuer otăm ma smplu ş operaţle corpulu, adcă otăm corpul cu K,,. Petru x V elemetul x V se umeşte vectorul opus lu x. Cazur partculare. 1. Petru K R, spaţul vectoral ( V, R ) se umeşte spaţu vectoral real.. Petru K = C, spaţul vectoral ( V, C ) se umeşte spaţu vectoral complex. Exemple: R, R este spaţu vectoral, umt spaţu vectoral umerc real, ude 1. 1
ot R RR.. R x, x,.., x x R, 1,,,,.., or teră se defeşte astfel: x x x este vector coloaă, operaţa,,..,,,,..,,,.., x x x x y y y y R x y x y x y x y ş operaţa 1 exteră se defeşte astfel: R, x x, x,.., x R x x, x,.., x Vectorul ul d R se otează pr 0 (sau ma smplu cu 0). Geeralzare: ( K, K) este spaţu vectoral, ude: ot or K K K K x, x,, x x K, 1, ; Caz partcular:,, K R R R spaţu umerc real K C C C spaţu umerc complex.. (M m, (K), K) este spaţul vectoral al matrcelor de tpul (m,) cu elemete d K, ude K R sau K C, ar operaţa teră este aduarea matrcelor ş operaţa exteră este îmulţrea cu umere a matrcelor; ac 0 =0 m,.,, ab,, ude: 3. F a b Reste spaţul vectoral al fucţlor reale defte pe tervalul, :, ab,. 4. R X, Reste spaţul vectoral al poloamelor, ude X F a b f a b R, operaţa teră este aduarea fucţlor, ar operaţa exteră este îmulţrea cu umere a fucţlor, ac 0 este fucţa ulă pe R este mulţmea poloamelor cu coefceţ real, de grad cel mult, î edetermata X, operaţa teră este aduarea poloamelor, ar operaţa exteră este îmulţrea cu umere reale a poloamelor; 0 este polomul ul. 5. 0,K este spaţul vectoral ul, ude: operaţa teră: 0 0 0 ; operaţa exteră: K 0 0. Avem regulle de calcul prezetate î următoarea propozţe. Propozţe. Fe spaţul vectoral V, K. Atuc: ). x V 0 x 0; ). 0 0 K ; ). 1 x V x x ; v). Dacă 0 ş x 0 x 0. Defţe. Fe spaţul vectoral V, K ş X o submulţme evdă a lu V. X se umeşte subspaţu vectoral al lu V dacă: ). este îchsă la aduarea vectorlor, adcă x, y X x y X ). K, x X x X Observaţe. X, Keste spaţu vectoral. Exemple de subspaţ vectorale: 1. Spaţul vectoral ul este subspaţu vectoral al orcăru spaţu vectoral.
. Fe (, ) X x1, x,, x x R, 1,, x 0. Atuc X este subspaţu 1 R R ş vectoral al lu ( R, R ). Propozţe. Itersecţa a două subspaţ vectorale ale spaţulu vectoral V, K este tot u subspaţu vectoral. Demostraţe: Fe X ş Y subspaţ vectorale ale lu V. Fe x, y X Y vector oarecare. D x, y X ş X subspaţu vectoral, rezultă x y X. Aalog avem x y Y. Pr urmare x y X Y, x, y X Y. Fe K ş x X Y. D x X ş X subspaţu vectoral rezultă x X. Aalog avem x Y, pr urmare x X Y petru orce K ş orce x X Y, V, K.. Aşadar X Y K este subspaţu vectoral al lu Observaţe: Î geeral reuuea a două subspaţ vectorale u este subspaţu vectoral. Defţe. Fe V, K u spaţu vectoral. Se umeşte combaţa lară ftă (pe scurt: combaţa lară) a vectorlor x1, x,, x V cu scalar 1,,, K vectorul 1 otat x x x x 1 Defţe. U sstem ft de vector d V se umeşte lar depedet dacă: x 0 1 0. 1 Observaţe. Orce vector eul formează u sstem lar depedet. Defţe. Sstemul x1, x,, x V este lar depedet dacă 1,,, K u toţ ul, astfel îcât x 0. 1 Observaţe. Orce sstem de vector care coţe vectorul ul este lar depedet. Defţe. Fe mulţmea I. O fucţe f : I V f x V se umeşte famle de vector ş se otează pr Defţe. O famle de vector 3, ude X x ar I se umeşte mulţmea dclor famle. I X x se umeşte lar depedetă dacă orce sstem I ft de vector a famle este lar depedet. O famle de vector d V este lar depedetă dacă u este lar depedetă. Observaţe. Dacă 0 X, ude X este o famle de vector d V, atuc X este famle lar depedetă. Propozţe. a) Sstemul x1, x,, x V este lar depedet cel puţ u vector al său este combaţe lară a celorlalţ vector. b) Dacă sstemul x1, x,, x V este lar depedet ş x1, x,, x, x+ 1 V este lar depedet, atuc x 1 este combaţe lară a vectorlor x1, x,, x. Defţe. O famle de vector X x, X V se umeşte sstem de geerator petru I spaţul vectoral V, dacă orce vector d V este o combaţe lară ftă cu vector d X.
Propozţe. a) Dacă X este u sstem de geerator petru V ş X Y V, atuc Y este u sstem de geerator al lu V. b) Dacă X este u sstem de geerator petru V ş x X este o combaţe lară cu vector d X, atuc X \ xeste u sstem de geerator petru V. Defţe. Famla de vector B V se umeşte bază a spaţulu vectoral V, K, dacă: ) B este o famle lar depedetă; ) B este u sstem de geerator petru V. Defţe. O bază î care se ţe seama de ordea vectorlor se umeşte reper. Exemplu. Fe R, R ş E e1, e,, e R, ude e1 1,0,,0, e 0,1,0,,0,, e 0,,0,1. E este o bază umtă baza caocă. Defţe. Famla de vector X V este o famle lar depedetă maxmală, dacă X este lar depedetă ş d faptul că X Y V ş X Y rezultă că Y u este lar depedetă. Defţe. Sstemul de vector X V este u sstem mmal de geerator petru V, dacă X este sstem de geerator petru V ş d faptul că Y X ş X Y rezultă că Y u este u sstem de geerator petru V. Propozţe. Fe sstemul de vector B V. Atuc: V, K B este sstem lar depedet maxmal. 1. B este o bază a lu. B este o bază a lu V, K B este sstem mmal de geerator petru V. Defţe. Fe spaţul vectoral V, K ş o mulţme evdă A clusă î V. Se umeşte acoperrea lară a lu A sau subspaţu geerat de A mulţmea tuturor combaţlor lare fte cu vector d A. O vom ota cu L A sau cu spa A sau cu spak A petru a pue î evdeţă corpul de scalar. * Aşadar L A x N, K, x A, 1, 1 Spaţ vectorale ft dmesoale (de tp ft Î cele ce urmează e vom refer uma la spaţle vectorale care au bază ftă, umte spaţ vectorale ft dmesoale sau spaţ vectorale de tp ft. eoremă. Îtr-u spaţu vectoral ft dmesoal orcare două baze au acelaş umăr de vector. Demostraţe: Fe F f1, f,, f ş G g1, g,, gm două baze fte ale spaţulu vectoral V, K. D F sstem lar depedet maxmal rezultă m, ar d G sstem lar depedet maxmal rezultă m. Aşadar, avem m. Defţe. Fe V, K u spaţu vectoral ft dmesoal. Se umeşte dmesuea spaţulu vectoral V umărul de vector dtr-o bază a lu V. O vom ota cu dmv. Exemple: 1) R, R are dmesuea deoarece baza caocă E are vector. Se scre 4
dm R ) Spaţul vectoral al poloamelor de grad cel mult do cu coefceţ real ş edetermată X, otat R X, R, are baza caocă B 1, X, X, dec are dmesuea 3. eorema baze (reperulu). Fe V, K u spaţu vectoral ft dmesoal. Orce vector x V se scre î mod uc ca o combaţe lară cu vector ue baze B a spaţulu. Demostraţe: Fe dmesuea lu V, B b1, b,, b o bază a lu V ş x V. Exsteţa. B bază B sstem de geerator 1,,, K astfel îcât x dec x este o combaţe lară cu vector lu B. b (a1) 1 Uctatea. Presupuem că 1,,, K astfel îcât D (a1) ş (a) pr scădere rezultă 1 5 x b (a) 1 b x x 0 ş cum B este lar depedet obţem 0, 1,, adcă, 1,, dec screrea îtr-o bază este ucă. Defţe. Scalar uc 1,,, d relaţa (a1) de ma sus se umesc coordoatele lu x î baza B, ar vectorul,,, B x se umeşte vectorul coordoatelor lu x î baza B. Observaţe: Vom cosdera vector coordoatelor ca fd vector coloaă, ar d cosderete de spaţu î screm pe le dar cu otaţa petru traspuere, dec v este traspusul lu v. Exemplu. Fe spaţul vectoral R, R, E e1, e,, e baza caocă ş vectorul x x1, x,, x R. Avem x x1 e1 x e x e, pr urmare vectorul coordoatelor cocde cu x, dec,,, x x x x x. E Observaţe: Atuc câd u se specfcă baza d R se cosderă că vector sut exprmaţ î baza caocă. Fe spaţul vectoral V, K cu dm V ş fe B b, b,, o bază a sa. Crteru. Sstemul x, x,, xm V 1 b 1 este lar depedet ragul matrce formate cu coordoatele vectorlor este exact m. eorema de exsteţă a baze. Fe V, K u spaţu vectoral eul, u sstem lar depedet X V ş S u sstem de geerator petru V astfel îcât X S. Atuc exstă o bază B a lu V, K, astfel îcât X B S. D această teoremă rezultă următoarele cosecţe: V, K u spaţu vectoral eul. Atuc d orce sstem de geerator S petru V se 1. Fe poate extrage o bază.. Orce spaţu vectoral eul de tp ft are o bază.
3. Lema de completare. Fe V, K u spaţu vectoral eul de tp ft. Atuc orce sstem de vector lar depedet X V poate f completat pâă la o bază a spaţulu. Fe (V, K) u spaţu vectoral cu dmv Reprezetarea vectorlor * adcă B este o bază î care se ţe seama de ordea vectorlor. Fe xv cu x B 1,,, K ; atuc N ş fe B b b b 6 x b. 1 Se cosderă u ou reper D d d d x,,, K vectorul coordoatelor lu x î baza D. D B baza lu V, K d V, 1,. baze baza B este:, 1 B 1 1,,, u reper al său, 1,,, al spaţulu vectoral ş fe d = c b +c b + +c b, = 1, vectorul coordoatelor lu d î d = c,c,.c = 1,. Se otează cu C B,D matrcea ale căre coloae sut compoetele lu C = c = d d d K. M loc: B,D j 1B B B C B,D se umeşte matrcea de trecere de la reperul B la reperul D. Coform crterulu petru lar depedeţă, rezultă că Are loc: x= αb =1 x= βd j=1 Petru j fxat are loc: Rezultă că: j=1 j j j j α b = j j =1 j=1 d = c b. j j j=1 β d j j j j =1 j=1 =1 =1 =1 j=1 C B,D -1 0 ş C. α b = β c b α b = c β b c β = α, = 1,, de ude se obţe sstemul: B,D d B, = 1,, adcă are c11 1 c1 c1 1 c1 1 c c c11 c c 1 care se rescre matrceal: CB,D x D = xb. Rezultă că xd CB,D xb, formula care stableşte cum se modfcă coordoatele uu vector, la schmbarea bazelor.
Dacă u este percol de cofuze, matrcea de trecere se otează pr C ş formula deve: 1 xd C xb Caz partcular. Fe R,R ş E reperul caoc. Dacă F este u ou reper ş A este matrcea de trecere de la reperul E la reperul F, atuc A are drept coloae coordoatele vectorlor lu F î baza E. Fe x R. Deoarece x E x formula de ma sus are forma: x F A 1 x. Aplcaţe. Î R,R se cosderă două repere dstcte F ş G ş fe x R, ude x xe ş E este reperul caoc. Să se stablească legătura dtre x F ş x G. Rezolvare. Fe A matrcea de trecere de la E la F. Atuc are loc: A 1 x Fe B matrcea de trecere de la E la G. Atuc are loc: Deoarece x A xf ş x B xg rezultă: A xf B xg ş xg B 1 A xf (relaţa care 1 exprmă legătura dtre x F ş x G. Se observă că A B este matrcea de trecere de la F la G. x G B 1 x x F 7