CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA PROAILITĂŢILOR Câmp de evemete U feome îtâmplător se poate observa, de regulă, de ma multe or Faptul că este îtâmplător se mafestă pr aceea că u ştm date care este rezultatul producer acestu feome Rezultatele posble ale uu feome îtâmplător se umesc evemetele elemetare ale acestu feome Exemplu Petru feomeul arucarea zarulu mulţmea evemetelor elemetare este E = {(),(),(),(4),(),(6)} Mulţmea evemetelor elemetare ale feomeulu arucarea baulu este {{ b},{ s}}, ude b =baul, s =stema Pr evemet se îţelege o submulţme a mulţm evemetelor elemetare Exemplu La arucarea zarulu evemetul rezultat par este submulţmea {, 4,6} Toate evemetele care pot f cosderate la arucarea zarulu sut următoarele: {}, {}, {},{4},{},{6} {, }, {, },, {, 6} {,, },, {4,, 6} {,,, 4},, {, 4,, 6} {,,,4,},, {,,4,,6} {,,,4,,6} 4 6 6 Î total sut C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 = evemete Evemetul {,,,4,,6} se ma umeşte ş evemetul sgur La aceste evemete se adaugă ş evemetul mposbl, otat Astfel îcât mulţmea tuturor evemetelor corespuzătoare 6 feomeulu arucarea zarulu este P ( E) ş coţe elemete Î geeral, dacă mulţmea evemetelor elemetare este E, atuc mulţmea tuturor evemetelor este P ( E) ş coţe CardE elemete, ude am otat cu CardE umărul elemetelor mulţm E Exemplu Cosderăm feomeul arucarea a două zarur E = {,,, 4,,6} {,,, 4,,6} = {(, ); 6, 6} Evemetul dublă este A = {(,),(,),(,),(4,4),(,),(6,6)}
Elemete de teora probabltăţlor 7 Evemete cotrare Fecăru evemet A î corespude evemetul cotrar, otat A = CA = E \ A ş costă î erealzarea evemetulu A De exemplu, î cazul arucăr zarulu, dacă A = {, }, atuc A = {, 4,, 6} Evemetul mplcat de alt evemet Spuem că evemetul A mplcă evemetul ş otăm A, dacă se realzează de fecare dată câd se realzează A Este clar că A, petru orce evemet A Două evemete A ş se umesc egale ş screm A =, dacă A ş A Î cazul arucăr zarulu, evemetul {} u poate f cosecţa c uu alt evemet î afară de Î geeral, evemetele elemetare u sut mplcate de c u alt evemet dfert de Aşadar, dacă {} e este u evemet elemetar ş A {} e, rezultă că A = sau A = {} e Operaţ cu evemete Dacă A ş sut evemete, putem cosdera evemetul A sau, otat A ş evemetul A ş, otat A Evemetele A ş se umesc compatble dacă A = Evdet, evemetele A ş se umesc compatble dacă A Pr abstractzarea oţulor expuse ma sus, se troduce oţuea de câmp de evemete, ale căre axome trebue să e asgure că o dată cu două evemete A ş, putem vorb de evemetele A, A, A etc Defţa Fe X o mulţme evdă ale căre elemete le vom um evemete elemetare ş fe Ω P ( X ) o famle evdă de părţ ale lu X Perechea ( X, Ω ) se umeşte câmp de evemete dacă ) A Ω, rezultă că A Ω; ) Dacă A Ω,, atuc A Ω = Î cazul câd X este ftă, rolul lu Ω îl oacă P ( X ) Î cazul câd X este ftă, cluzuea Ω P ( X ) este, î geeral, strctă Î acest caz, admtem î plus axoma * ) Dacă A Ω,, atuc A Ω Propozţa Fe ( X, Ω) u câmp de evemete Atuc: ) X Ω, Ω; ) A, Ω A Ω; ) A, Ω A\ Ω = Demostraţe ) Fe A Ω Coform defţe, A Ω, dec X = A A Ω, = X Ω ) Ţem seama că A = ( A ) Ma geeral, dacă
74 ECUATII A Ω,, atuc A Ω = ) Î acest caz, A\ = A Ω Noţuea de probabltate Defţa clască a probabltăţ După defţa clască, probabltatea este raportul dtre umărul cazurlor favorable ş umărul cazurlor posble, î poteza că toate cazurle sut egal posble Defţa clască a probabltăţ este sufcetă, deoarece se aplcă uma la câmpur fte de evemete Pe de altă parte, char ş î cazul câmpurlor fte de evemete u se poate vorb totdeaua de cazur egal posble (de exemplu, zarul u este perfect smetrc) Defţa (Defţa axomatcă a probabltăţ) Fe ( X, Ω) u câmp de evemete Se umeşte probabltate orce fucţe p : Ω [0, ] cu propretăţle: ) px ( ) =, p( ) = 0; ) p( A ) = p + p( ), dacă A = Trpletul ( X, Ω, p) se umeşte câmp de probabltate Teorema Fe ( X, Ω, p) u câmp de probabltate Atuc: a) p = p, A Ω; b) Dacă A, A,, A Ω ş A A = petru, atuc p( A) = p( A) ; c) p( A ) = p + p( ) p( A ), A, Ω; d) Dacă A, atuc p p( ) Demostraţe a) Deoarece A A=, obţem pa ( ) + pa ( ) = pa ( A) = px ( ) =, dec p = p b) Demostraţa se face pr ducţe Presupuem afrmaţa adevărată petru, dec că pa ( A) = pa ( ) Vom demostra că afrmaţa este adevărată petru + Deoarece = ( A A ) A = ( A A ) =, rezultă că + + = + pa ( A A ) p pa ( ) pa ( ) = + =, + + = = dec afrmaţa este adevărată petru orce, c) D egaltatea A = ( A ) ( A ) ( A ) (fg ) obţem că p( A ) = p( A ) + p( A ) + p( A ) () Pe de altă parte A= ( A ) ( A ), dec p = p( A ) + p( A ) Pr urmare p( A ) = p p( A ) Î mod asemăător se arată că = =
Elemete de teora probabltăţlor 7 p( A ) = p( ) p( A ) Îlocud î () rezultă relaţa d euţ d) Cum = A ( A), avem p( ) = p + p( A), dec p ( A ) p ( ) A A A Fg Observaţa Fe X = { e, e,, e } o mulţme ftă ş Ω =P ( X ) Elemetele lu X sut evemetele elemetare Atuc = px ( ) = p( { e}) = p({ e} ) = = Dacă evemetele sut egal probable atuc p({ e}) = p({ e}) = = p({ e }) = Fe A= { e} { e } Atuc Ω pa ( ) = p({ e }) = = Aşadar, îtr-u câmp ft de evemete, ale căru evemete elemetare sut egal probable, probabltatea uu evemet oarecare este raportul dtre umărul evemetelor elemetare favorable evemetulu ş umărul total de evemete elemetare ale câmpulu Regăsm astfel defţa clască a probabltăţ Jocurle de oroc sut exemplele cele ma cuoscute de feomee îtâmplătoare î care evemetele îtâmplătoare sut egal probable Acesta este motvul petru care, la îceputurle teore probabltăţlor, exemplele sut luate d aceste ocur Exemple ) Îtr-o ură sut 4 ble albe, ble verz ş ble egre Se extrage o blă d ură Fe A evemetul ca bla extrasă să fe albă, V evemetul ca bla extrasă să fe 4 verde ş N evemetul ca bla extrasă să fe eagră Atuc pa= ( ) =, pv ( ) = =, 4 pn ( ) = ) Se arucă două zarur Care este probabltatea să asă suma 7? Fe E = {,,,4,,6} {,,,4,,6}, dec card( E ) = 6 Cazurle favorable sut date 7 de A 7 = {(,6),(,),(, 4),(4,),(,),(6,)}, card( A 7) = 7 Atuc pa ( 7) = 6 ) Cosderăm u pachet de cărţ de oc, N = { as,,,, valet, damă, rege}, K = { cupă, caro, treflă, pcă}, C = N K Se extrag cărţ Care este probabltatea de a obţe o culoare? Mulţmea evemetelor elemetare are elemete Evemetul culoare este reuuea dsuctă a 4 evemete: culoare de cupă, culoare de treflă, culoare de caro, culoare de pcă Fecare d aceste evemete are C elemete Dec, probabltatea de a obţe o culoare este 4C 0,00 C = 6660 C
76 ECUATII Evemetul careu este reuuea a evemete dsucte: careu de aş,, careu de reg Câte elemete are evemetul careu de aş? D cele cărţ, 4 sut aş, a ccea fd oarecare Î total sut 48 posbltăţ Aşadar, probabltatea evemetulu careu este 48 = 0,0004 C 46 Probabltăţ codţoate Fe ( X, Ω, p) u câmp de probabltate ş Ω cu p ( ) > 0 Defţa Fe A Ω Se umeşte probabltate a lu A codţoată de fucţa p : Ω, p( A ) p = p ( ) Teorema Fucţa p este o probabltate pe Ω Î plus p( A ) = p( ) p ( A ) Demostraţe Deoarece A, rezultă că 0 = p( ) p( A ) p( ) Împărţd cu p( ), obţe, 0 p Evdet p ( ) 0 = ş p( X ) = Fe acum A, A Ω, satsfăcâd A A = Atuc ( A ) ( A ) = Î cosecţă p( ( A A) ) p( ( A ) ( A ) ) p ( A A) = = = p ( ) p ( ) pa ( ) + pa ( ) = = p + p p ( ) Defţa Spuem că evemetele A ş sut depedete dacă p( A ) = p p( ) Propozţa Dacă A ş sut depedete atuc perechle de evemete ( A, ), ( A, ), ( A, ) sut depedete Demostraţe Pr poteză p( A ) = p p( ) Deoarece A= ( A ) ( A ), avem p = p( A ) + p( A ), dec p( A ) = pa ( ) pa ( ) p ( ) = pa ( )( p ( )) = pa ( ) p ( ) etc
Elemete de teora probabltăţlor 77 Defţa Evemetele A, A,, A se umesc depedete dacă petru orce A, A,, A avem pa ( A A ) = pa ( ) pa ( ) pa ( ) Observaţa Dacă evemetele A, A,, A evemetele A, A, A, A, A, A sut depedete sut depedete, atuc ş Defţa 4 Spuem că evemetele,,, formează o partţe a lu X = = dacă X ş = dacă Formula probabltăţ totale Fe ( X, Ω, p) u câmp de probabltate ş,,, o partţe a lu X Atuc, petru orce A Ω avem pa ( ) = p ( ) p = Demostraţe Este clar că A = A X = ( A ) Î cosecţă = pa ( ) = pa ( ) = p ( ) p = = Formula lu ayes p ( ) = A p( ) p p( ) p = Demostraţe Îtr-adevăr pa ( ) p ( ) = = pa ( ) A p( ) p p( ) p = Exemplu Cosderăm ure care coţ ble albe ş egre, după cum urmează: prma ură coţe ble albe ş o blă eagră, a doua ură coţe 4 ble albe ş 4 ble egre, ar a trea ură coţe ble albe ş 8 ble egre Alegem la îtâmplare o ură ş apo extragem o blă la se dovedeşte a f albă Să se determe care este probabltatea ca bla să fe d ura a trea Notăm cu: A evemetul s-a extras o blă albă,, evemetul bla albă este d ura, =,, Atuc p ( ) = p ( ) = p ( ) =, p ( A ) =, p ( A ) =, p ( A ) = 4 0 Coform formule probabltăţ totale, avem
78 ECUATII pa ( ) = p ( ) p + p ( ) p + p ( ) p = 9 = ( + + ) = 4 0 0 D formula lu ayes rezultă p ( ) p p ( 0 A ) = = = 9 9 7 0 0 4 Scheme clasce de probabltate Schema lu Posso Se dau ure U, U,, U care coţ ble albe ş egre î proporţ date Se cere probabltatea de a extrage ble albe ş ble egre, atuc câd d fecare ură se extrage câte o blă Fe p probabltatea de a extrage o blă albă d ura U ş q = p probabltatea de a extrage o blă eagră d ura U Notăm cu A evemetul de a extrage o blă albă d ura U ş A evemetul cotrar Petru a extrage ble albe ş ble egre trebue să se realzeze evemetul A A A A + Probabltatea acestu evemet este p p p q q + De exemplu, petru = ş = această probabltate este ppq + ppq + ppq Se observă uşor că după aceeaş regulă se calculează coefcetul lu x î polomul Px ( ) = ( px+ q)( px+ q)( px+ q) Astfel, câd = ş =, Px ( ) = ( px + q)( px + q)( px + q), coefcetul lu fd ppq + ppq + ppq Schema lu Posso este utlă î rezolvarea problemelor î care se cere probabltatea realzăr de or a uu evemet îtr-o expereţă ce costă î efectuarea a expereţe depedete, atuc câd cuoaştem probabltatea realzăr evemetulu î fecare d cele expereţe Exemplu Îtr-u ateler sut maş Prma dă 0,9% rebutur, a doua % rebutur ş a trea, % rebutur Se a la îtâmplare câte o pesă de la fecare maşă Se cere probabltatea ca pese să fe bue ş ua să fe rebut 0,9 Î acest caz q = = 0,009, q = 0, 0, q = 0, 0, p = 0,99, p = 0,99, 00 p = 0,987 Probabltatea cerută este coefcetul lu x d polomul (0,99 x+ 0,009)(0,99 x+ 0,0)(0,987 x+ 0,0), adcă 0,9806 0,, dec 0% Schema lu eroull Presupuem că î schema lu Posso urele sut detce x