Din această definiţie a probabilităţilor rezultă următoarele proprietăţi ale acestora:

Transcript

1 FIABILIAE Î proectarea ş costrucţa dfertelor ecpamete este ecesară asgurarea sguraţe î fucţoare a acestora; această codţe a codus la utlzarea î proectare a aumtor coefceţ de sguraţă. Noţule de fabltate ş sguraţă î fucţoare au apărut ş evdeţază preocuparea petru găsrea uor modele matematce ş metode de calcul care să permtă realzarea de prevzu cât ma corecte î ceea ce prveşte comportarea, pe o aumtă durată de tmp, a stalaţlor ş ecpametelor î codţ de exploatare cuoscute. Fabltatea s-a mpus ca o ştţă terdscplară cu metode de calcul specfce care urmăreşte determarea velulu de sguraţă optm î codţ de ecoomctate a realzăr stalaţlor tece ş cu respectarea cerţelor procesulu teologc. Fabltatea fucţoăr se poate apreca caltatv pr capactatea uu sstem de a fucţoa fără defecţu pe o aumtă peroadă de tmp ş î codţ de exploatare date. D puct de vedere cattatv, fabltatea va f aprecată pr probabltatea ca sstemul tec supus studulu să-ş îdeplească fucţle specfcate, cu performaţele cerute, pe o peroadă ş î codţ de exploatare cuoscute. Fabltatea are aplcaţ deosebt de umeroase î domeul eergetc datortă complextăţ structurale ş fucţoale deosebte a sstemelor utlzate ş ecestăţ asgurăr uu vel de sguraţă rdcat. Nefucţoarea accdetală a uor subssteme eergetce poate coduce la pagube materale mportate atât la velul producer, trasportulu ş dstrbuţe eerge cât ş la velul utlzatorlor acestea. Aplcarea modelelor refertoare la fabltatea sstemelor î domeul eergetc, pe lâgă posbltatea estmăr dcatorlor de cotutate î exploatare a ue stalaţ eergetce, permte ş alegerea ue varate optme a structur stalaţe d mulţmea soluţlor posble, care să permtă realzarea dcatorlor de cotutate î fucţoare dorţ cu celtuel mme..noţu ş relaţ de calculul probabltăţlor Î teora probabltăţlor oţule de bază sut expermetul (î accepţuea curetă), evemetele ca rezultat al expermetulu ş probabltăţle de realzare a evemetelor. Se cosderă că la repetarea expermetulu factor care flueţează desfăşurarea acestua sut mereu aceaş ş îtotdeaua îdeplţ, exstâd îtotdeaua u rezultat al expermetulu. Evemetul este o abstracţe matematcă ce poate f costatată ca rezultatul ue expereţe. De exemplu, dacă u ecpamet este î stare de fucţoare spuem că este realzat evemetul deft ca "ecpametul fucţoează" otat cu A; dacă ecpametul respectv u fucţoează spuem că avem u evemet complemetar lu A otat cu A. Expermetele tratate de către teora probabltăţlor au u caracter aleatoru (îtâmplător) ş u u caracter determst. U evemet care se produce î mod sgur la efectuarea ue expereţe se umeşte evemet sgur; de exemplu, la testarea stăr de fucţoare a uu ecpamet î mod sgur ecpametul respectv va f găst î stare de fucţoare sau u; dec, petru această expereţă, evemetul deft ca "ecpametul fucţoează sau u" este u evemet sgur. U evemet care u se poate produce la efectuarea ue expereţe poartă umele de evemet mposbl (otat cu φ); î cazul expereţe ateroare, dacă defm u evemet ca "ecpametul se găseşte î acelaş tmp î stare de fucţoare ş î stare de efucţoare", acesta repreztă u evemet mposbl. U evemet care se poate produce sau u la realzarea ue expereţe se umeşte evemet aleator (îtâmplător). Două evemete sut compatble (dsjucte) ître ele dacă u pot avea loc î acelaş

2 tmp. Două evemete sut depedete ître ele dacă realzarea uua dtre ele u flueţează realzarea celulalt. Două evemete sut depedete uul de celălalt dacă realzarea uua dtre ele este flueţată de realzarea celulalt. Dacă î urma a expereţe care au loc î codţ detce u evemet otat cu A se realzează î mede de m or, raportul m/ se umeşte probabltatea evemetulu A ş se otează cu (A). Dec, sub formă geerală, probabltatea uu evemet se defeşte ca raportul dtre umărul de stuaţ favorable realzăr evemetulu respectv ş umărul de stuaţ posble: umarul de stuat favorable (A) () umarul de stuat posble După cum se observă d defţe, probabltatea uu evemet este egală cu frecveţa de realzare a evemetulu respectv atuc câd umărul de expereţe tde la ft. Dtre defţle date probabltăţlor prezetăm î cotuare defţa axomatcă a lu Kolmogorov: a)ue expereţe î corespude îtotdeaua u câmp de evemete (evemete care se pot produce ca urmare a expereţe respectve). b)fecăru evemet A al câmpulu î corespude u umăr poztv (A) umt probabltate a evemetulu A care îdepleşte următoarele codţ: -este cuprsă tre ş : (A) ; -probabltatea evemetulu sgur este egală cu ; -probabltatea reuu a două evemete compatble ître ele este egală cu suma probabltăţlor celor două evemete: A Bφ (A B)(A)(B) () D această defţe a probabltăţlor rezultă următoarele propretăţ ale acestora:.dacă A,A,A 3,...,A sut evemete compatble ître ele două câte două atuc probabltatea reuu lor este egală cu suma probabltăţlor evemetelor: A A j φ j (A A A 3... A )(A )...(A ) (3).Dacă A, A, A 3,...,A sut evemete depedete ître ele două câte două, atuc probabltatea tersecţe lor este egală cu produsul probabltăţlor evemetelor: (A A A 3... A )(A ) (A ) (A 3 )... (A ) (4) Dacă avem două evemete A ş B depedete, se umeşte probabltate a evemetulu B codţoat de evemetul A probabltatea de producere a evemetulu B ştd că îatea lu s-a produs evemetul A: (A B) (B/A) (5) (A)

3 .erme geeral folosţ î aalza sguraţe î fucţoare r fabltate se îţelege capactatea uu elemet, dspoztv sau stalaţe de a-ş îdepl fucţa spefcată î codţ date, de-a lugul ue peroade de referţă date. Noţuea de fabltate este somă cu oţuea de sguraţă î fucţoare. eteaţa este asamblul tuturor acţulor tece ş orgazatorce care le sut asocate, efectuate î scopul meţer sau restablr uu asamblu fucţoal î starea de a-ş îdepl fucţa specfcată. r meteabltate se îţelege capactatea uu elemet, dspoztv sau stalaţe, î codţ date de exploatare, de a f meţut sau restablt î starea de a-ş îdepl fucţa petru care a fost realzat, atuc câd meteaţa se efectuează î codţ date, cu procedee ş remed specfcate. Rata (testatea) de defectare z(t) repreztă probabltatea ca u elemet care a fucţoat fără defect pâă la mometul t să se defecteze î tervalul de tmp foarte scurt Δt medat următor mometulu t, raportată la acest terval de tmp; petru repartţa expoeţală, rata de defectare se otează cu. Rata (testatea) de reparare (t) repreztă probabltatea codţoată ca u elemet care a fost defect pâă la mometul t să fe reparat î următorul terval de tmp foarte scurt Δt, raportată la acest terval de tmp. Smlar cu aceasta se defeşte ş rata (testatea) de îlocure ν(t). r durată de vaţă se îţelege tervalul de tmp de la realzarea uu elemet pâă la scoaterea lu deftvă d fucţue. Studul fabltăţ stalaţlor eergetce presupue calcularea aumtor dcator de fabltate care au drept scop să determe velul de fabltate pr dcator umerc. rcpal dcator de fabltate care pot f calculaţ î cazul stalaţlor eergetce sut:.robabltatea de fucţoare eîtreruptă pe u terval de tmp (,t) repreztă probabltatea ca elemetul respectv să fucţoeze eîtrerupt pe tot tervalul de tmp respectv; acest dcator se ma umeşte ş fucţe de fabltate ş se otează cu R(t)..robabltatea de fucţoare eîtreruptă pe u terval de tmp (t,tx) repreztă probabltatea ca u elemet aflat î fucţue la mometul t să rămâă î acastă stare ş î tervalul de tmp (t,tx). 3.robabltatea de succes este probabltatea ca stalaţa (elemetul) respectv să-ş realzeze fucţa specfcată. 4.robabltatea de succes (de efucţoare) Q este probabltatea ca stalaţa respectvă să u-ş realzeze fucţa specfcată. 5.mpul medu de fucţoare ître două defecte BF este valoarea mede a tmpulu de fucţoare ître două defectăr succesve ale stalaţe respectve; se ma umeşte ş tmp medu de buă fucţoare. 6.mpul medu de fucţoare pâă la prmul defect F este valoarea mede a tmpulu de fucţoare a stalaţe de la puerea e î fucţue pâă la prmul defect. 7.mpul medu de reparare sau de îlocure [ d ] sau [ î ] repreztă valoarea mede a tmpulu ître două stăr de succes de fucţoare cosecutve î cursul cărora stalaţa respectvă se repară sau se îlocueşte. 8.Durata mede totală de succes î peroada (otată [α()]) este durata mede totală a stărlor de succes î tervalul (,).

4 9.Durata mede totală de succes î peroada ([β()]) este durata mede totală a stărlor de succes elmate pr reparaţ ş/sau îlocur î tervalul (,)..Durata probablă de utlzare a puter dspoble î peroada de referţă este raportul dtre eerga probablă ce poate f produsă î tervalul de tmp (,) ş puterea dspoblă a grupulu (cetrale) ş se otează cu pd..durata probablă de utlzare a puter stalate î peroada de referţă este raportul dtre eerga probablă ce poate f produsă î tervalul de tmp (,) ş puterea stalată a grupulu (cetrale) ş se otează cu p. Sguraţa î exploatare este o caracterstcă ce se modfcă î tmp. O fabltate mcă ş o rată de defectare mare coduc la u vel rdcat al celtuellor î exploatare care pot să depăşească î aumte codţ celtuelle ţale făcute petru realzarea ecpametulu respectv. D cotră, o fabltate foarte rdcată ş o rată de defectare foarte mcă coduc la o mcşorare foarte mportată a celtuellor de exploatare, dar ş la o mărre exagerată a preţulu produsulu respectv. eora fabltăţ este o dscplă care studază legle geerale de care trebue să se ţă cot la proectarea, expermetarea, fabrcarea, recepţa ş exploatarea produselor petru obţerea ue efceţe maxme î urma exploatăr lor. eora fabltăţ terferează cu teora rsculu, care urmăreşte să dmueze perderle ş rscul de defectare. Noţule prcpale ale aceste teor sut acelea de defectare ş edefectare. r defectare (paă) îţelegem o modfcare a parametrlor produsulu respectv care coduce la perderea capactăţ de fucţoare. r edefectare îţelegem capactatea produsulu de a-ş meţe capactatea de fucţoare u terval dat, tmp determat de codţle de exploatare. Noţuea de defectare este utlă deoarece ea permte să se troducă dferte caracterstc umerce ale sguraţe î fucţoare. r durabltate a uu produs se îţelege capactatea de a fucţoa u tmp îdelugat î codţle ue deservr tece corespuzătoare, î care tră ş dfertele categor de reparaţ. Î geeral durata de vaţă a uu produs este dfertă de durata de edefectare, fd flueţată de meteaţa sa. Aceasta caracterzează capactatea de prevere, de detecţe ş de elmare a defectelor produsulu respectv. osderăm că fucţoarea îcepe la mometul t ar defecţuea apare la mometul tτ. r τ desemăm durata de vaţă a produsulu, ş otăm cu Q(t) probabltatea ca produsul să se defecteze îate de mometul t (durata de vaţă τ a acestua să fe ma mcă decât t): Q(t) ( τ <t) (6) resupuem că fucţa Q(t) este cotuă ş are destatea de repartţe cotuă otată q(t) : q(t) Q (t) (7) Î acelaş tmp, foarte folostă este fucţa : (t) -Q(t) ( τ t) (8) care repreztă probabltatea ca produsul să fucţoeze fără să se defecteze pâă la mometul t.

5 Fucţa (t) se umeşte fucţe de fabltate sau de sguraţă; ea este mooto descrescătoare ş : () lm( t) (9) t D expereţă se poate găs o forma apropată de (t). resupuem ma îtâ că trebue să găsm valoarea aceste fucţ petru tt adcă probabltatea de a fucţoa fără defecţue tot tmpul t. Facem o expereţă îcercâd N elemete detce î aceleaş codţ î cursul lu t. resupuem că la mometul câd expereţa s-a termat, elemete fucţoează îcă. Expereţa poate f cosderată ca o sere de N expereţe depedete î cursul cărora are loc uul d cele două evemete: s-a defectat produsul sau u s-a defectat. Raportul /N repreztă probabltatea evemetulu al dolea ş : lm N N ( t ) () ceea ce îseamă că petru N sufcet de mare cu o probabltate apropată de are loc egaltatea aproxmatvă: ( t ) () N Dacă dorm să găsm fucţa (t) petru orce t<t, trebue să efectuăm expereţe pe toată durata t ş să otăm mometele de aparţe a defectelor. Se determă fucţa (t) egală cu umărul de elemete care u s-au defectat îcă pâă la mometul t. La mometul ţal această fucţe are valoarea () N. Raportul : (t) N (t) () N se umeşte fucţe emprcă de fabltate. âd N creşte această fucţe coverge uform către (t) ş petru valor mar ale lu N are loc egaltatea aproxmatvă : (t) N(t) (t) (3) N rebue să remarcăm că dacă expereţa s-a efectuat petru u terval de tmp, atuc u putem să spuem mc despre această fucţe î afara tervalulu, ea eputâd f, î geeral, extrapolată. Îsă, dtr-o expereţă ateroară sau d cosderaţ fzce, putem cuoaşte forma fucţe (t) care se poate exprma prtr-o formulă care coţe uul sau ma mulţ parametr ecuoscuţ. r efectuarea uu umăr de expereţe putem determa aceşt parametr ş odată cu e fucţa (t) pe tot tervalul. Deoarece determarea fucţe de utltate (fucţoare fără defect) ecestă u volum mare de expereţe, fabltatea uu produs este caracterzată î geeral de durata mede de fucţoare a acestua : τ tq(t)dt -t(t) (t)dt (t)dt (4)

6 Durata mede poate f dedusă d rezultatele expereţe; fe τ,..., τ N duratele de vată expermetale; atuc : N τ τ (5) N ş : lm τ (6) N De aceea, câd N este sufcet de mare, are loc egaltatea aproxmatvă : τ (7) O altă caracterstcă a fabltăţ uu produs este dspersa durate de vaţă : D τ ( τ - ) t(t)dt - (8) care poate f de asemeea estmată î cursul expereţe : Dτ s N ( τ -τ ) N - (9) Valoarea D τ e dă abaterea mede pătratcă a tmpulu τ de la valoarea lu mede.

7 3 Rata de defectare a uu produs Rata defectăr uu produs este caracterstca cea ma utlzată petru a caracterza fabltatea ecpametelor. Dacă vom cosdera că u ecpamet a fucţoat fără defect pâă î mometul t, dorm să determăm care este probabltatea ca el să u se defecteze î tervalul (t,t ), probabltate pe care o otăm cu (t,t ). Notăm cu B evemetul ca produsul să u se defecteze î tervalul (,t) ş cu A evemetul ca produsul să fucţoeze î tervalul (t,t ). robabltatea căutată este : (A B) (t,t ) (A B) () (B) Evemetul A B îseamă fucţoarea fără defect î tervalul (,t ) ; atuc : ( t ) (t,t ) () (t) robabltatea ca să se defecteze î tervalul (t,t ) se va exprma astfel : uâd t tδt, vom putea scre: (t)- ( t ) Q(t,t ) - (t,t ) () (t) (t)- (t Δt) (t) Q(t,t Δ t) - Δt O( Δt) (3) (t) (t) (ude O(Δt) este u rest proporţoal cu Δt) ş troducem otaţa : ar câd Δt este mc : (t) (t) - (4) (t) Q(t,t Δt) (t) Δt (5) D această formula se vede că (t) este o caracterstcă locală a fabltăţ care determă fabltatea la orce momet t. Spuem că (t) este probabltatea ca produsul să fucţoeze fără defecţue pâă la mometul t ş să se defecteze î cursul utăţ de tmp medat următoare (dacă această utate este mcă). Fucţa (t) este destatea de repartţe a probabltăţ de defectare la mometul t codţoată de faptul că elemetul a fucţoat fără defect pâă î acest momet. Fucţa (t) se umeşte rata defectăr produsulu. Relaţa dtre fucţa de utltate (t) ş rata de defectare se poate determa foarte uşor : t (t)dt (t) e (6) D această formulă rezultă că probabltatea de fucţoare fără defect pe toată durata dtre t ş t este:

8 t - (t)dt t ( t,t ) e (7) Rata defectăr poate f determată expermetal: vom cosdera N elemete ş defectele lor; fe (t) umărul de elemete ce se defectează la mometul t. Atuc, petru Δt sufcet de mc ş N sufcet de mare, putem cosdera : (t) - (t Δt) (t) (t) - (t Δt) N Δ(t) (t) - (8) (t) Δt(t) (t) Δt (t) Δt N ude Δ este umărul de defecţu î tervalul (t,tδt). D puct de vedere statstc, rata de defectare este egală cu raportul dtre umărul de defecte ce se produc îtr-o utate de tmp ş umărul elemetelor care ma fucţoează îcă pâă î acel momet. u această terpretare statstcă, (t) este îtr-adevăr o caracterstcă locală a fabltăţ uu produs. Î fg.3 este reprezetată varaţa î tmp a rate de defectare a uu produs. I III II t Fg.3 Varaţa rate de defectare î tmp După cum se observă, pe durata de vaţă a produsulu exstă tre zoe: -zoa I care are o rată de defectare relatv mare, î care se mafestă defectele de fabrcaţe ascuse ale produsulu ş care corespude peroade de rodaj, î care aceste defecte apar ş se pot elma; -zoa II care corespude zoe de fucţoare ormală, î care rata de defectare are valoare mcă ş aproxmatv costată; -zoa III î care rata de defectare creşte foarte mult, corespude peroade de îmbătrâre a ecpametulu respectv. Această caracterstcă are o alură dfertă de la u produs la altul, î fucţe de teologa de realzare ş de proectarea produsulu; se pot obţe caracterstc petru care zoa I să fe practc exstetă (pr folosrea de subasamble testate ï prealabl), sau caracterstc la care zoa II să fe foarte scurtă ca durată. r proectare se îcearcă să se obţă o caracterstcă la care zoa II să fe cât ma mare ca durată ş petru care valoarea să fe cât ma mcă.

9 4. Studul fabltăţ compoetelor ereparable utlzâd algebra evemetelor a)elemete depedete legate î sere osderăm că avem u asamblu format d elemete legate fucţoal î sere: asamblul format d cele elemete este î stare de fucţoare dacă toate cele elemete sut î stare de fucţoare. Aceasta îseamă că evemetul "asamblul este î stare de fucţoare" este ecvalet d puct de vedere probablstc cu evemetul "elemetul este î stare de fucţoare" "elemetul este î stare de fucţoare"... "elemetul este î stare de fucţoare", ude semul este trascrerea grafcă a operatorulu logc "ş". Deoarece elemetele au fost presupuse depedete (defectarea uua dtre ele u depde de starea î care se găseşte u alt elemet al asamblulu), rezultă că probabltatea realzăr bue fucţoăr a asamblulu este egală cu produsul probabltăţlor de realzare a bue fucţoăr a fecăru elemet: Π Re R R... R R (9) robabltatea de defectare a sstemulu va f: Q - R - e e Π R (3) b)elemete depedete legate î paralel osderăm că avem u asamblu format d elemete fucţoale detce sau u legate fucţoal î paralel adcă îtregul asamblul format d cele elemete este î stare de fucţoare dacă cel puţ uul d cele elemete este î stare de fucţoare. D puct de vedere probablstc evemetul "asamblul este î stare de fucţoare" este ecvalet cu evemetul "elemetul este î stare de fucţoare" "elemetul este î stare de fucţoare"... "elemetul este î stare de fucţoare", ude semul este trascrerea grafcă a operatorulu logc "sau". Dec avarerea sstemulu este dată de avarerea smultaă a tuturor elemetelor sale compoete, ceea ce poate f trascrs ca: "asamblul este defect" este ecvalet d puct de vedere probablstc cu evemetul "elemetul este defect" "elemetul este defect"... "elemetul este defect" ş ţâd cot că elemetele sut depedete: Q Q Q... Q e Re -Qe-Π Q Π Q (3) c)utlzarea dagrame de probabltăţ Această metodă presupue luarea î calcul a tuturor stuaţlor care pot apărea î exploatarea stalaţe respectve. Fecare elemet al sceme se poate afla î stare de fucţoare (otată cu ) sau î stare de defect (otată cu ). Ţâd cot de acest lucru se poate realza u tabel, care î cazul uu sstem cu elemete are l, cuprzâd toate stuaţle practce care pot apărea î exploatare (toate combaţle posble de stăr ale elemetelor). De exemplu, petru u asamblu cu 3 elemete el are structura prezetată î tab.4.

10 Elemetul Stuaţa posblă ab.4 Stuaţle posble petru u asamblu de tre elemete. Acest tabel se îlocueşte cu tabela probabltăţlor de realzare a stărlor respectve R sau Q calculâd probabltăţle de realzare a dfertelor stăr. De exemplu petru starea probabltatea de realzare a e este R R R 3, petru starea : R R Q 3, petru starea 3: R Q R 3 ş aşa ma departe. D acest tabel se poate determa probabltatea de fucţoare totală pr îsumarea probabltăţlor de realzare a stuaţlor care corespud ue stăr de fucţoare a asamblulu elemetelor.

11 4. odele probablstce de studu a fabltăţ bazate pe laţur arkov Fucţoarea orcăru elemet al uu sstem eergetc (cetrală electrcă, staţe de trasformare, le electrcă de trasport etc.) se caracterzează prtr-o succesue de stăr care descru regmurle de fucţoare ormale sau de avare. Datortă atur probablstce a stărlor pr care trece stalaţa respectvă, se poate admte că evoluţa procesulu este descrsă de u proces aleatoru. Evoluţa procesulu respectv este deftă de o famle de varable care descru traectora procesulu. uoaşterea stărlor sstemulu la mometele cosecutve t, t,...,t ateroare lu t cotrbue la cuoaşterea stăr î mometul t pr colectarea uor formaţ refertoare la starea d mometele ateroare, dar cuprse toate î starea cea ma recetă, respectv starea d mometul t. rebue ţut cot de faptul că î geeral u sstem poate ajuge îtr-o aume stare pr ma multe succesu de stăr, modul î care sstemul respectv a ajus ac flueţâd fucţoarea sa ulteroară, ş dec ş dcator care caracterzează fabltatea sstemulu petru mometul t. rocesul care are o asemeea evoluţe caracterzată de faptul că starea î care va trece sstemul depde atât de starea î care se găseşte acesta cât ş de modul î care sstemul a ajus î această stare se umeşte proces arkov. etru u proces arkov vom ota cu (t,e;θ,ξ) probabltatea ca procesul să fe î starea ξ la mometul θ ştd că a fost î starea e la mometul t. Se spue că u proces arkov este omoge î tmp dacă probabltăţle u sut afectate de o traslaţe î tmp, adcă: (tt,e;θ t,ξ)(t,e;θ,ξ) (3) petru orce valoare a lu t. rocesele arkov care u sut omogee se umesc procese arkov dscrete. Scema teologcă a orcăre stalaţ eergetce este alcătută d compoete dspuse îtr-o aumtă cofguraţe care asgură producţa, trasportul, dstrbuţa eerge electrce sau termce. Dfertele combaţ posble de compoete î fucţue, scoase temporar d fucţue sau î reparaţe ca urmare a avarlor defesc stărle pr care poate evolua stalaţa. Uele dtre aceste stăr coduc la satsfacerea cerţelor cosumatorlor ş se umesc stăr de succes, ar altele u satsfac (parţal sau total) aceste cerţe ş se umesc stăr de defect sau de succes. Î parcursul exploatăr asamblul trece de la o stare la alta pe măsură ce uele compoete ale sale se defectează, altele retră î fucţue ca urmare a reparăr ar altele sut îlocute. Î regm ormal de fucţoare se cosderă că defectarea uu elemet sau retrarea sa î fucţoare după o reparaţe u depde î mod drect de tmp, c uma de tervalul de tmp de la trarea lor î fucţue, respectv de la trarea lor î reparaţe, ceea ce corespude proceselor arkov omogee. Dacă otăm cu {x(t);t>} famla de varable care caracterzează laţul arkov ft ş cu tmp cotuu ş cu {x(s)} probabltatea ca la mometul ts sstemul să se găsească î starea (ude este o stare î care se poate afla sstemul), desemăm pr p j (s;s ) probabltatea ca sstemul să fe î starea j la mometul s ştd că a fost î starea la mometul s ude s<s : p j (s;s ){x(s )j;x(s)} (33) Dacă ss se deduce că: p j (s;s)δ j ude δ j este smbolul lu Kroeker (a valoarea dacă j ş dacă j). r [p j (s;s )] desemăm matrcea de trazţe ître stărle ş j petru mometele s ş s. osderâd mometele s ş st ş otâd:

12 p j (t)p j (s;st) (34) se poate scre că probabltatea ca la mometul st sstemul să se găsească î starea j este egală cu suma produselor dtre probabltatea ca la mometul ateror s sstemul să se găsească î starea ş probabltatea ca sstemul fd î mometul s î starea să treacă î mometul următor st î starea j: N j(st) (s) pj(t) (35) ude N este umărul de stăr î care se poate afla sstemul. etru laţurle arkov omogee probabltăţle de trazţe p j satsfac relaţle: p(st) p(s) p(t) p()[δ j] (36) ude pr p(t) am otat matrcea de trazţe [p j (t)]. Dacă dervăm prma relaţe î raport cu s î puctul s se obţe următoarea ecuaţe matrceală: p'(t)p'() p(t) (37) care repreztă u sstem de ecuaţ dfereţale. Dacă o dervăm î raport cu t puctul t obţem: sau, scmbâd otaţa parametrlor t ş s: p'(s)p(s) p'() (38) p'(t)p(t) p'() (39) Itroducâd otaţa qp'(), d relaţle ateroare se observă că matrcea q, ale căre elemete satsfac relaţle: q petru j j q (4) N j q j permte determarea elemetelor matrce p: dacă sut cuoscute elemetele lu q pot f determate elemetele matrce p. rascrd matrceal relaţa (35) care e dă probabltatea ca sstemul să se afle î starea j: (st)(s) p(t) (4) ude pr (s) am otat vectorul le avâd ca elemete j (s) ş dervâd î raport cu t puctul t se obţe: '(s)(s) p'()(s) q (4) sau trascrd petru varabla t: '(t)(t) q (43) Aşa cum se observă, dacă se cuoaşte matrcea q, d sstemul de ecuaţ dfereţale reprezetat sub formă matrceală de relaţa ateroară, se pot determa probabltăţle j (t).

13 atrcea probabltăţlor de trazţe p este o matrce pătrată de ordul (r. de stăr posble ale sstemulu) ale căre elemete p j repreztă probabltatea ca sstemul fd î starea să treacă î starea j. Elemetele aceste matrc au următoarele propretăţ: -terme matrce sut probabltăţ (sut r. poztve cuprse ître ş ); -suma termelor fecăre l este egală cu. Defectarea uu elemet oarecare este u evemet a căru probabltate de realzare îtr-u terval de tmp elemetar Δt are valoarea Δt. De asemeea, repararea uu elemet oarecare este u evemet a căru probabltate de realzare îtr-u terval de tmp elemetar Δt are valoarea Δt, ude este testatea de reparare. robabltatea de producere a două evemete smulta îtr-u terval elemetar este cosderată ulă. a exemplu de aplcare a metode laţurlor arkov la determarea dcatorlor de fabltate a scemelor care coţ ş elemete ce pot f reparate sau îlocute, cosderăm cazul cel ma smplu al uu sgur elemet care are testatea defectare ş testatea de reparare. Î acest caz, laţul arkov are uma două stăr: -starea : elemetul este î stare de fucţoare; -starea : elemetul este defect. robabltăţle de trazţe au următoarele expres : p p ( Δt) - Δt; ( Δt) Δt; ar matrcea q va f: q (45) ord de la matrcea q se poate trasa u graf al stărlor care să lustreze stărle posble ş modul î care se realzează trazţa ître aceste stăr; odurle grafulu repreztă stărle posble, ar dacă este posblă trazţa d starea î starea j, se trasează u arc ître odurle corespuzătoare acestor stăr, cărua se asocază u umăr egal cu q j. Graful stărlor petru u sgur elemet este reprezetat î fgura 4. Notâd cu () ş () probabltăţle ca sstemul să se găsească î mometul ţal stărle ş respectv, sstemul de ecuaţ dfereţale care e permt determarea probabltăţlor este: p ( Δt) Δt (44) p ( Δt) - δt (t) - (t) (t) (t) (t)- (t) (46) - - Fg.4 Graful stărlor petru u elemet reparabl etru rezolvarea sstemulu se ţe cot că: (47)

14 ceea ce coduce la următoarele ecuaţ dfereţale petru ş respectv : (t) -( ) (t) (t) -( ) (t) (48) osderâd ecuaţa care coţe pe, care este o ecuaţe dfereţală eomogeă, soluţa ecuaţe dfereţale omogee asocate: t) ( ) ( ) (49) ( t care este o ecuaţe cu varable separable, va f: ( ) t ( t) A e (5) ude A este o costată ce va f determată d codţle ţale. O soluţe partculară a ecuaţe eomogee se obţe petru (t)ct., ş va f de forma: ( t ) (5) Îsumâd cele două soluţ ş puâd codţa ţală ca la t valoarea lu (t) să fe (), vom putea obţe probabltăţle ş : (t) ()e (t) - (t) ( )t [- e ( )t ] (5) Dacă se şte că starea ţala sstemulu este starea, atuc () ş () au valorle ş respectv, dec: ( )t e (t) (53) -( )t (t) [ e ] Dacă se şte că starea ţala procesulu este starea, () ş () au valorle ş, ceea ce coduce la : ( )t (t) [ e ] ( )t (54) e (t) etru u sstem de elemete coectate î sere, laţul arkov are următoarele stăr: -starea : starea de fucţoare a tuturor elemetelor sstemulu; -starea : starea de avare a elemetulu ; robabltăţle de trazţe asocate au expresle: p ( Δt) - Δt; p ( Δt) t Δ (55) p ( Δt) Δt; p ( Δt) δ j(- Δt) j

15 ar graful de trazţe a stărlor este reprezetat î fgura 5. -Σ Dacă otăm: Fg.5 Graful de trazţe a stărlor petru u sstem de elemete reparable legate fucţoal î sere (56) ş cosderăm că starea ţala sstemulu este starea (sstemul este î mometul ţal î stare de fucţoare) rezultă sstemul de ecuaţ dfereţale care dă probabltăţle absolute: (t) - (t) (t); (t) (t)- (t); Soluţle acestu sstem sut: () () (57) ( e (t) ( e (t) )t )t (58) Dacă se cosderă uma evoluţa procesulu d starea î stărle, aceasta este ecvalet cu, ceea ce permte să se obţă fucţa de dstrbuţe a peroadelor de fucţoare ale sstemulu (probabltatea ca peroada de fucţoare pâă la defectare să fe ma mcă decât tmpul t): t { f t} - (t) e (59) d care, dacă se ţe cot că petru u sgur elemet această fucţe de dstrbuţe are expresa: { f t}-e -t (6) rezultă că sstemul de elemete coectate fucţoal î sere poate f ecvalat cu u sgur elemet care are testatea de defectare :

16 e (6) Î cazul uu sstem format d elemete detce care fucţoează î paralel, astfel îcât sstemul este î fucţue dacă cel mult m elemete sut defecte, laţul arkov asocat are m stăr, cu fd otată starea care corespude la elemete defecte, celelalte - elemete fd î fucţue. Acestu sstem î corespude graful de trazţe a stărlor următor: -( ) (-) (-) (-m)... 3 m m - m -(-m) Fg.6 Graful de trazţe a stărlor petru u sstem de elemete reparable legate fucţoal î paralel, ecestâd fucţoarea a cel puţ m elemete robabltăţle de trazţe au următoarele expres: p ( Δt)(-) Δt, p ( Δt) Δt,- (-) p ( Δt) - [(-) ] Δt - Δt, (6) restul probabltăţlor de trazţe fd ule deoarece dtr-o stare cu elemete defecte se poate trece uma î starea cu elemete defecte (pr defectarea a îcă uu elemet) sau î starea cu - elemete defecte (pr repararea uu elemet defect). robabltăţle absolute ale procesulu sut soluţle următorulu sstem de ecuaţ dfereţale : ( t) ( t); : ( t) ( ) ( t) ( t) ( ) ( t); (63) : ( t) ( t) ( t); cu codţle ţale (), (),..., (),..., () ş petru care soluţle au forma: -( )t -( )t e (t) (-e (64) După cum se observă, petru sstemele complexe, determarea probabltăţ de fucţoare a stalaţe presupue rezolvarea uu sstem de ecuaţ dfereţale cu u umăr cu atât ma mare de ecuaţ cu cât sstemul este ma complex. Rezolvarea acestu sstem u este totdeaua uşoară. etru tmp de observaţe mar, determarea acestor probabltăţ absolute se uşurează deoarece ele td să devă depedete de starea ţală a procesulu ş rezolvarea sstemulu de ecuaţ dfereţale se reduce la rezolvarea uu sstem de ecuaţ algebrce. Dacă cosderăm u sstem cu stăr, sstemul este format d ecuaţ de forma: -

17 la care se adaugă ecuaţa: qj ; j,,..., (65) (66) fd probabltatea absolută ca sstemul să se găsească î starea otată cu. Î mod practc, î uele stăr î care se poate găs procesul sut îdeplte codţle de fucţoare mpuse stalaţe respectve. resupuem că aceste stăr sut stărle,,...,s ar restul stărlor s,s,..., sut stăr de defect petru stalaţe. âd stalaţa se găseşte î ua d stărle de la la s se spue că este î stare de succes. Notâd cu S probabltatea ca stalaţa să se afle î stare de succes ş cu R probabltatea ca ea să se afle î stare de refuz, cele două probabltăţ se pot calcula î fucţe de probabltăţle absolute ale stărlor cu formulele: S... s R s s... s s Odată calculate aceste probabltăţ, ma pot f determaţ următor dcator de fabltate: - S (67) -durate mede totală de succes î peroada de referţă otată [α()]: [α(t)] S (68) -durate mede totală de succes î peroada de referţă otată [β()]: [β(t)] R (69) -umărul medu total de stăr de succes î peroada de referţă otat [ν()]: s [ν ()] qj (7) js -durate mede a ue stăr de succes (durata mede de fucţoare) [ f ] : [ α( )] [ f ] [ ν ( )] (7 ) -durata mede a ue stăr de succes elmată pr reparaţe sau îlocure [ d ]: [ β ( )] [ d ] [ ν ( )] -probabltatea de fucţoare eîtreruptă pe u terval de tmp (t,tx) otată R(t,tx): x [ f ] (7) R(t,tx)S e (73) -umărul medu de stăr de succes elmate pr reparaţe sau îlocure î peroada de referţă a căror durată depăşeşte o durată crtcă t c [ν tc ()]: t c t c [ d ] [ ν ()][ν))] e (74) etru u sgur elemet avâd testatea de defectare ş testatea de reparare, relaţle de calcul a dcatorlor meţoaţ sut:

18 R S α ()] [ ν β ()] [ ()] [ (75) ] [ f ] [ d e ()] [ e R(t,t x) t t x c c ν osderăm u sstem format d două elemete legate î sere; acest sstem are asocat u laţ arkov cu tre stăr: -starea : ambele compoete î fucţue; -starea : compoeta este defectă; -starea : compoeta este defectă; atrcea q petru acest laţ este: ( ) q (76) Rezolvâd sstemul de ecuaţ format: ) ( - obţem valorle probabltăţlor (t), (t), (t) : (78 ) cu ajutorul cărora se deduc apo valorle dcatorlor de fabltate:

19 ( ) ( ) )] ( [ )] ( [ ] [ )] ( [ )] ( [ ] [ )] ( [ )] ( [ )] ( [ ν β ν α ν β α f f (79) r compararea acestor relaţ cu cele scrse petru u sgur elemet, se pot obţe valorle testăţlor de defectare ş reparare ecvalete: e e e (8) formule care pot f geeralzate petru u sstem alcătut d elemete care fucţoează î sere: es es es (8) Î cotuare cosderăm două compoete care sut coectate fucţoal î paralel. Stărle î care se poate găs sstemul sut: -starea : ambele compoete î fucţue; -starea : compoeta este defectă; -starea : compoeta este defectă; -starea 3: ambele compoete sut defecte; etru acest sstem, matrcea q are forma: ( ) ( ) ( ) ( ) q (8) ceea ce coduce la următorul sstem care dă valoarea probabltăţlor absolute: ) -( ) -( ) -( ) -(

20 r rezolvarea acestu sstem se pot determa valorle probabltăţlor,,, 3 ceea ce permte determarea valorlor coefceţlor ecvaleţ: (84) 3 Valorle dcatorlor de fabltate sut: ( ) )] ( [ α ( ) ( ) 3 )] ( [ )] ( [ ] [ )] ( [ )] ( [ ] [ )] ( [ )] ( [ ν β ν α ν β f f de ude: e e ) (

21 5.etode de calcul a fabltăţ sstemelor complexe Istalaţle eergetce se compu, î geeral, dtr-u umăr foarte mare de elemete tercoectate, prevăzute parţal cu rezervă, lucru care duce la creşterea umărulu de stăr posble de fucţoare. D această cauză volumul de calcule creşte foarte mult ş aumte metode se dovedesc dfcl de aplcat î mod practc. etru evtarea acestor dfcultăţ se mpue utlzarea uor metode exacte sau smplfcate, efcete ca tmp de calcul. Au fost elaborate o sere de metode care coduc la rezultate ma mult sau ma puţ exacte, dar a căror precze este satsfăcătoare d puct de vedere practc. 5..etoda matrceală a sstemelor de ecuaţ. Este o metodă exactă care se bazează pe screrea matrce testăţlor de trazţe ş a sstemulu de ecuaţ care are ca rezultat probabltăţle ca sstemul să se găsească îtr-o aumtă stare, î codţ ţale cuoscute. Se pot determa atât probabltăţle absolute de ocupare a stărlor cât ş umărul medu de trecer d stăr de fucţoare î stăr de defect. etoda poate f extsă ş petru calculul tmplor med î care sstemul se găseşte îtr-o aumtă stare ş se aplcă î specal utlzâd ecpamete de calcul ş programe specfce. 6..etoda soluţe geerale petru cazul elemetelor depedete Această metodă permte determarea probabltăţlor stărlor posble, ca ş probabltatea de fucţoare fără a f ecesară utlzarea matrce probabltăţlor de trazţe. etoda se bazează pe smetra forme lu : S S j S j j... j (87) ude pr S k s-a otat starea cu k elemete defecte. e baza trazţlor ître stăr se scre: S (88) j j (89) j De obce se acceptă ca evemete foarte puţ probable stărle cu ma mult de două elemete defecte. robabltatea stăr de succes este: S S, j S (9) j ude S sut stărle de succes caracterzate prtr-u sgur elemet defect ar S sut stărle de succes caracterzate pr două elemete defecte. robabltatea stăr de succes se determă cu relaţa: (9) R R, j R j

22 ude R ş R sut stărle de refuz î fucţoare caracterzate pr uul ş respectv două elemete defecte. Numărul medu probabl de trecer ître stăr se poate determa î fucţe de elemetele matrce q. Avatajul aceste metode este acela că u ma este ecesară rezolvarea sstemulu de ecuaţ. Stablrea mulţmlor S, S, R, R... se poate face uma după aalza detalată a fucţoăr sstemulu studat, î comparaţe cu defrea stăr ateroare de succes. 5.3etoda grupurlor de defectare rma etapă a aplcăr metode costă î aalza detalată a fucţoăr stalaţlor studate. Î cotuare se stablesc grupurle de defectare; fecare dtre acestea este compus d uul sau ma multe elemete, la defectarea cărora se îtrerupe velul de fucţoare aalzat. Grupurle de defectare se repreztă îtr-o scemă ecvaletă coectate î sere. După această etapă, fecare grup de defectare compus d ma multe elemete se reduce la u sgur elemet ecvalet cu parametr e ş respectv e. Rezultă astfel petru u vel de fucţoare k grupur ecvalete de defectare îserate. Urmează calculul dcatorlor de fabltate petru fecare vel de fucţoare: S k e e (9) Numărul medu probabl al îtreruperlor velulu de fucţoare luat î cosderare ş durata mede a îtreruperlor se determă pe baza defr acestor dcator. 5.4.etoda ote-arlo etoda ote-arlo este o metodă statstcă ş folosrea e u ecestă cuoştţe aprofudate î domeul fabltăţ. Se aplcă sstemelor complexe, caracterzate prtr-u umăr mare de stăr posble ş este efcetă î prcpal î cazurle câd elemetele compoete ale stalaţe sut caracterzate pr leg de dstrbuţe dferte. Aplcarea metode se bazează pe geerarea ue secveţe de umere pseudoaleatoare ecprobable pe tervale de aceeaş lugme; prtr-o operaţe de traslaţe, aceste umere sut aduse î tervalul [,]. Fecare secveţă va f compusă dtr-u umăr egal cu cel al elemetelor compoete ale stalaţe eergetce studate. uoscâd petru fecare dtre elemetele compoete valorle ş se va determa probabltatea de buă fucţoare p ş respectv de defect q a elemetulu. Evdet că : p q (93) Dacă umărul pseudoaleator geerat d secveţă îdepleşte codţa: < p (94) se va cosdera că elemetul respectv este î stare de fucţoare, ar î caz cotrar se va cosdera că este defect. Dec, o astfel de secveţă geerată va reprezeta o aumtă stare a stalaţe supusă

23 testăr statstce; aalzâd d puct de vedere teologc stalaţa, se va determa dacă această stare este o stare de fucţoare sau de refuz petru asamblul stalaţe. Repetâd de u umăr mare de or această smulare cu secveţă de umere pseudoaleatoare ş detfcâd stărle corespuzătoare, se poate determa frecveţa de aparţe a fecăre stăr f. e baza defţe geerale a probabltăţ va rezulta probabltatea de aparţe a stăr petru cele k stăr posble : f k (95) f j j Foarte utlzat este algortmul bazat pe metoda cogrueţală câd umerele pseudoaleatoare de dstrbuţe uformă pe [,] sut date de relaţa: k k b j x j j x a(mod. p) (96) ude x este valoarea de start, b este multplcatorul ar p repreztă clasa de restur. Această ultmă valoare flueţează perodctatea geerăr umerelor; se va alege p la valoarea maxmă de etoda grle de evdeţere a stărlor dedefect Acest procedeu poate f aplcat petru stalaţle compuse d elemete care pot f cosderate depedete, câd, pe baza aprecerlor utlzatorulu, se admte luarea î cosderare uma a defectelor smple sau duble. Î geeral, procedeul este aplcabl scemelor ale căror elemete compoete au valor ale dcatorlor de fabltate care îdeplesc codţa: /,5. rocedeul permte orgazarea calculelor de fabltate pe baza costrur ue grle care facltează evdeţerea stărlor de defect smplu ş dublu, după ce se reduce evetual la mm umărul elemetelor compoete ale sceme de calcul pr ecvalarea grupurlor de elemete coectate î sere sau î paralel. Utlzarea grle î cazul sstemelor de elemete depedete elmă posbltatea omter uor trecer dtr-o stare î alta sau a uor elemete care flueţează starea de succes aalzată. ot f luate î cosderare atât defectele elmate pr reparaţ ş/sau îlocur, cât ş cele elmate pr evetuale maevre. Această metodă are avatajul că permte tratarea uor sceme care se pot modfca î tmp pr maevre vote, î fucţe de stărle pr care trece stalaţa. Această grlă are dmesu mult ma mc decât matrcea testăţlor de trecere. Grla este u tablou avâd umărul de l ş de coloae egal cu umărul de elemete d scema de calcul, redusă î prealabl pr ecvalare, sau d scema teologcă. Acest tablou se completează astfel: -pe dagoală, la tersecţa le cu coloaa se îregstrează defectele smple care determă eşrea sceme d fucţue. -la tersecţa le cu coloaa j se îregstrează defectele duble, care determă eşrea d starea de succes, cosderâd că elemetul s-a defectat îatea elemetulu j. Atuc câd este cazul de restablre a fucţoăr, căsuţa se marcează cu R dacă reverea î starea de succes se face pr repararea sau îlocurea elemetelor defecte, dcâd ş umărul de orde al elemetulu care trebue reparat sau îlocut astfel îcât să se restablească fucţoarea sceme, cu dacă reverea î starea de succes se face prtr-o

24 maevră mauală ş cu A dacă reverea î starea de succes se face prtr-o maevră automată. Lle grle corespuzătoare căsuţelor de pe dagoală marcate cu R,, sau A u se vor lua î cosderare. După completarea grle, dcator de fabltate se calculează astfel: a) Se calculează probabltatea stăr cu toate elemetele î stare de fucţoare: b) p (97) ş probabltatea stărlor cu elemetul defect: q (98) p fd umărul elemetelor d scema ecvaletă. etru elemetele care se restablesc pr maevre mauale sau automate se va cosdera p ş respectv q. b) Se calculează umărul medu de defecte smple î peroada de referţă care se elmă pr reparaţ sau îlocur, maevre mauale ş maevre automate cu formulele următoare, ude R,, A sut mulţmle elemetelor marcate î grlă cu R, ş respectv A î căsuţele de pe dagoală. () [ ν R ( )] R () [ ν ( )] (99) () [ ν ( )] A c) Se calculează umărul medu de defecte duble, î peroada de referţă care sut elmate pr reparaţ sau îlocur, maevre mauale ş maevre automate: () () () [ ν ( )] R [ ν ( )] ( j j j ) ) [ ν ( )] j ( ) j R ( j A () ude (), () () R,, A repreztă mulţmea elemetelor grle marcate cu R, ş respectv A î căsuţele aflate la tersecţa le cu coloaa j. d) Se calculează umărul medu total de defecte d peroada de referţă elmate pr reparaţ sau îlocur, maevre mauale ş maevre automate: () () [ ν R ( )] [ ν R ( )] [ ν R ( )] () () [ ν ( [ ν ( )] [ ν ( ) () () [ ν ( )] [ ν ( )] [ ν ( )] ] ( ) e) Se calculează duratele med totale ale stărlor de succes elmate pr reparaţ sau îlocur (cele corespuzătoare maevrelor mauale ş automate fd ule):

25 -petru stărle de succes corespuzătoare defectelor smple: [ ( ] ( ) ) β () R -petru stărle de succes corespuzătoare defectelor duble: ude: () β j R m (3) ( ) j j [ ( )] m j j j daca casuta de pe la s coloaa j apare R s elemetul ; daca casuta de pe la s coloaa j apare R s elemetul j; daca casuta de pe la s coloaa j apare R s elemetele s j; f) Se calculează durata mede totală de succes î peroada de referţă : ) () [ β ( )] ( [ β ( )] [ β ( )] (4) g) Se calculează durata mede a uu defect elmat pr reparaţ sau îlocur: [ d [ β ( )] [ ν ( ] (5) R

26 Sguraţa î fucţoare-parte compoetă a metodelor teco-ecoomce Scopul fal al calculelor de fabltate costă î a ofer proectatulu u crteru suplmetar de traspuere facară a comportăr î tmp a stalaţlor ş ecpametelor eergetce sub aspectul estmăr dauelor provocate beefcarulu. Aceste daue sut flueţate î mod drect de umărul medu al îtreruperlor, de durata mede a acestora, dar ş de specfcul procesulu teologc deservt de stalaţa aalzată. e de altă parte, dauele sut flueţate, pe lâgă durata îtreruper teologce care depde de durata îtreruper î almetarea cu eerge electrcă sau termcă, ş de mometul î care această îtrerupere surve î desfăşurarea procesulu teologc. Îtreruperea teologcă îcepe odată cu dsparţa almetăr cu eerge ş se sfârşeşte î mometul restablr procesulu teologc la parametr d mometul îtreruper. mpul de îtrerupere î almetare se măsoară d mometul dsparţe pâă î mometul reaparţe almetăr cu eerge. Îtreruperle î almetare pot f totale sau parţale, caracterul acestora flueţâd î mod corespuzător dauele. Se pot dstge daue drecte D dr determate de avar ale utlajelor, dstrugerea matere prme ş plata salarlor, ş daue suplmetare D s determate de erealzarea producţe: D D dr D s (6) Dauele drecte se pot apreca î fucţe de umărul medu probabl al îtreruperlor [ν()] ş de valoarea dauelor specfce D d. Acestea d urmă caracterzează specfcul procesulu teologc ş se aprecază petru fecare caz partcular; ele depd ş de gradul de ealmetare al cosumulu g evdeţd cererea de putere î mometul aparţe avare, cât ş de probabltatea de a ofer u aumt vel de putere cosumatorulu faţă de cele k velur de putere posbl a f asgurate: D dr D k [ ν ( ] g (7) d ) Dauele suplmetare evdeţază, pr dauele specfce D s, partculartatea procesulu teologc ş a îtreprder. Aceste daue sut proporţoale cu durata mede a îtreruper almetăr e ş cu durata de reluare a procesulu teologc t. Aceasta depde î mod drect de e. De obce, dacă e < procesul teologc se rea î două trepte: -prma treaptă, de aproxmatv 5 m, î care se realzează aproxmatv 5% d procesul teologc; -a doua treaptă este reprezetată de atgerea parametrlor ateror îtreruper. Dacă e >, sut de obce tre trepte de reluare a procesulu teologc, pr accelerarea acestua pe durata r putâdu-se recupera producţa erealzată: ( ) [ ν ( )] D D (8) s s e t r Studul fabltăţ î fucţoare oferă petru dfertele varate tece de almetare studate mărmea probablă a dauelor î fucţoare, ceea ce coduce la stablrea varate optme. Î geeral se alege acea scemă care coduce la u mm al celtuellor totale actualzate geerate de realzarea ş exploatarea stalaţe :

27 A V ( a) r I ( a) W ( a) ( a) D( a) (9) ude: I D V r W a ' I' -vestţa ecvaletă eşaloată pe a; -celtuelle auale de producţe; -dauele auale de producţe; -valoarea rezduală a stalaţe la sfârştul peroade de fucţoare; -valoarea remaetă a stalaţe; -rata de actualzare care modelează flueţa tmpulu asupra valorlor ecoomce; -peroada de studu; -aul curet; -durata de execuţe a lucrărlor; -durata de execuţe a obectvulu.

28 Exemple de calcul.se cosderă u grup eergetc ecpat cu două cazae de abur, fecare de 33 t/ care almetează u turbogeerator cu puterea omală de W. Se presupue că grupul fucţoează î regm de bază fd oprt petru reparaţ plafcate ore/a. Se cere să se determe petru o peroadă de a următor dcator de fabltate a)probabltăţle de fucţoare a grupulu la sarcle de W, W ş respectv W. b)duratele med totale de fucţoare a grupulu la sarcle de W, W ş respectv W. c)umărul medu de trecer d starea de fucţoare cu W dspobl î starea cu W dspobl. d)umărul medu de trecer d starea de fucţoare cu W dspobl sau W dspobl î starea cu W dspobl. e)durata probablă de utlzare a puter dspoble ş durata probablă de utlzare a puter stalate. f)gradul de utlzare a puter dspoble ş gradul de utlzare a puter stalate. Aceşt dcator se vor calcula î poteza că cele două elemete sut depedete, cerâduse îsă să se verfce flueţa depedeţe elemetelor asupra rezultatelor obţute. Se presupue că cele două cazae sut detce, fd dmesoate petru a asgura fecare câte 5% d aburul ecesar fucţoăr la parametr omal a turbogeeratorulu. Valorle parametrlor de fabltate afereţ celor două cazae ş geeratorulu sut : -petru cazae 5, p p p,9836 q q q,693 -petru turbogeerator G G p G p 3,996 q G q 3,398 Deoarece î tmpul uu a grupul stă î reparaţ plafcate ore, calculul dcatorlor 98 de fabltate va f făcut petru o durată de fucţoare de ore. Rezolvare Stuaţle posble î fucţoarea grupulu sut: a)toate elemetele î fucţue; b)u caza defect, turbogeeratorul ş celălalt caza î fucţue; c)turbogeeratorul defect, cazaele î stare de fucţoare; d)u caza ş turbogeeratorul defecte, celălalt caza î stare de fucţoare; e)ambele cazae defecte, turbogeeratorul î stare de fucţoare; f)ambele cazae ş turbogeeratorul defecte. robabltăţle de realzare a acestor stăr vor f: p p p 3,96363 q p p 3 p q p 3,3 3 p p q 3,385 4 q p q 3 p q q 3,3 5 q q p 3,7 6 q q q 3

29 Odată determate aceste probabltăţ, pot f calculaţ dcator de fabltate ceruţ. robabltăţle de fucţoare la, ş respectv W vor f:,96363, ,45 Duratele med totale de fucţoare a grupulu la puterle de, ş respectv W î peroada de referţă sut: [α( p )] p 7477,8 [α( p )] p 49,5 [α( p )] [β( p )]( ) p 3,98 Ultma relaţe arată că durata totală de fucţoare la W este de fapt durata totală de efucţoare î peroada de referţă p. Numărul medu de trecer d starea de fucţoare cu W putere dspoblă î starea cu W putere dspoblă va f : [ν( p )] p 8,3 trecer/a Numărul medu de trecer d stărle cu ş respectv W dspobl î starea cu W dspobl î peroada de referţă [ν( p )] [ G ( G )] p,68 trecer/a Dacă presupuem că puterea dspoblă este egală cu puterea stalată de W, durata probablă de utlzare a puter dspoble ş durata totală de utlzare a puter stalate sut egale. pd p (E p )/ ude (E p ) este eerga probabl produsă pe durata de fucţoare plafcată: (E p ) [α( p )] [α( p )] 5,4 GW ceea ce coduce la : pd 76,4 Gradul de utlzare a puter dspoble ş gradul de utlzare a puter stalate au aceeaş valoare: K pd K p t pd /p,97969 etru a verfca flueţa depedeţe elemetelor compoete asupra rezultatelor obţute, se cosderă î cotuare că elemetele ar f depedete. a urmare, trecerle d stărle cu turbogeeratorul defect sau cu ambele cazae defecte î alte stăr de defect u ma sut posble. Vor rezulta dec următoarele stăr posble ale fucţoăr grupulu: a)toate elemetele î fucţue; b)u caza defect, turbogeeratorul ş celălalt caza î fucţue; c)turbogeeratorul defect, cazaele î stare de fucţoare; d)u caza ş turbogeeratorul defecte, celălalt caza î stare de fucţoare; e)ambele cazae defecte, turbogeeratorul î stare de fucţoare. atrcea testăţlor de trecere este ( ) G ( ) G G q G G G G Sstemul de ecuaţ d care se obţ probabltăţle de stare va f: -( G ) G 3 -( G ) G 4 3G G 3 4 G ( G )4 3 4 Rezolvâd acest sstem se va obţe: G ( ) 5 5 5

30 , G G G G,7,8, G G G G dec o buă cocordaţă cu valorle determate pe baza poteze depedeţe elemetelor compoete.

31 .Să se aalzeze soluţa de racordare a două grupur de 33 W prtr-o sgură le de km la barele ue staţ de 4 kv î raport cu soluţa de racordare a cîte uu grup pe cîte u crcut separat al ue l cu dublu crcut. etru aceasta se cere să se calculeze dfereţa de eerge elvrată petru cele două soluţ pe o peroadă de a. Se cosderă că cele două grupur sît plafcate să fucţoeze smulta 7 /a dec î peroada de referţă durata de fucţoare plafcată a ambelor grupur va f de 7.. Rezolvare Fd vorba de u calcul comparatv, eerga mede elvrată se va calcula uma pe această peroadă de tmp (pe durata pe care uul dtre grupur este oprt petru reparaţ plafcate ş celălalt este î fucţue, cele două soluţ sut ecvalete d puct de vedere al fabltăţ). Î cazul sceme cu o sgură le, fecare grup va avea proprul trasformator, îtreruptor ş separator. Valorle parametrlor de fabltate petru elemetele celor două sceme sut : -îtreruptor I,5-4 - I 96, separator S,7-4 - S le smplu crcut L,49-4, -4 - L 485, trasformator, bloc B B Se poate folos ecvalarea grupurlor de elemete legate î sere, aşa cum este reprezetat î fgurle 7 ş 8. l km l km B B B B 3 Fg.7 Scema de almetare cu o le 5 6 Fg.8 Scema de almetare cu două l

32 4 I S L,36 4 4,7 I S L I S L p,9985 q p,49 p p3 96, q q p, I S L B 5, ,6 I S L B I p q 4 4 S p q 5 5 L 4, p,39 resupuâd î cotuare că elemetele,...,5 sut depedete, se pot calcula probabltăţle de stare. a.scema cu o sgură le Stărle posble ale sceme sut:.ele tre elemete î fucţue (, ş 36)..Elemetul defect, elemetele ş 3 î fucţue. 3.Elemetul defect, elemetele ş 3 î fucţue. 4.Elemetul 3 defect, elemetele ş î fucţue. 5.Elemetele ş defecte, elemetul î fucţue. 6.Elemetele ş 3 defecte, elemetul î fucţue. 7.Elemetele ş 3 defecte, elemetul î fucţue. 8.ele tre elemete defecte. robabltăţle acestor stăr se pot obţe cu ajutorul relaţlor următoare : p p p 3,9 q p p 3,37 3 p q p 3,38 4 p p q 3,38 5 q q p 3,6 6 q p p 3,6 7 p q p 3,57 8 q q q 3 Eerga mede elvrată î peroada de fucţoare plafcată de 7 va f: ( ) ( E ) t () -puterea elvrată î starea ; t -durata mede a stăr t p Efectuâd calculele, se va obţe : (E )897,896 GW 4 8 B 4

33 b.scema cu două l. etru a lua î cosderare scoaterea smultaă d fucţue a ambelor crcute ale le dublu crcut, se va troduce elemetul fctv 6, a căru defectare va reprezeta evemetul meţoat. arametr de fabltate a acestu elemet vor f: 4 6 3L,3 4 6 L 485,5 6 p6, q6 p6,6 Stărle posble î fucţoarea sceme sut:.ele tre elemete î fucţue (4, 5 ş 6)..Elemetul 4 defect, elemetele 5 ş 6 î fucţue. 3.Elemetul 5 defect, elemetele 4 ş 6 î fucţue. 4.Elemetul 6 defect, elemetele 4 ş 5 î fucţue. 5.Elemetele 4 ş 5 defecte, elemetul 6 î fucţue. 6.Elemetele 4 ş 6 defecte, elemetul 5 î fucţue. 7.Elemetele 5 ş 6 defecte, elemetul 4 î fucţue. 8.ele tre elemete defecte. robabltăţle acestor stăr se determă cu relaţle: p 4 p 5 p 6,996 q 4 p 5 p 6, p 4 q 5 p 6, p 4 p 5 q 6,6 5 q 4 q p 6,68 6 q 4 p 5 p 6 7 p 4 q 5 p 6 8 q 4 q 5 q 6 a ş î cazul ateror, se calculează eerga elvrată, obţâd valoarea : (E ) 897,665 GW Dfereţa de eerge elvrată petru cele două soluţ aalzate va f de,3 GW. Este evdet că dfereţa de eerge elvrată de uma 3 W î a u este sufcetă petru a justfca vestţa petru realzarea le cu două crcute.