Signali i sustavi AUDITORNE VJEŽBE 0 LS&S FER ZESOI Jednadžbe diferencia Koriste se u opisu disretnog sustava modelom s ulazno izlaznim variablama. Određivane odziva sustava svodi se na problem rešavana ednadžbi diferencia. Načine rešavana ednadžbi diferencia ilustrirat ćemo primerima. Jednadžbe diferencia, primer. JEDNADŽBA DIFERENIJA () ( ) u(). Opisue nei disretni sustav. Potrebno e odrediti odziv na pobudu ediničnom stepenicom. u ( ) za 0 0 za < 0.
Rešavane ednadžbe diferencia postupom računana ora po ora Naša ednadžba e ednadžba diferencia drugog stupna. Da bi e riešili potrebno e poznavane dva početna uveta. Budući da e pobuda različita od nule za 0 onda određuemo i odziv za 0. U sladu s tim, potrebno e poznavati početne uvete u () i (). Metoda ora po ora e naednostavnii način izračunavana odziva. Metoda ora po ora... Modificiramo izgled početne ednadžbe: () ( ) u(). Uvrstimo li zadanu pobudu, dobivamo: () ( ), za 0. Uz pretpostavlene početne uvete () () 0, uvrštavanem vriednosti računamo: 0 (0) () 0 0 () () 0 () (0) 0 () () 0 () () 0 Metoda ora po ora... 5 (5) ( ) 5 0 6 (6) ( ) 6 0 7 (7) ( 5) 7 0 8 (8) ( 6) 8 0 itd. Odziv zadanog disretnog sustava na ediničnu stepenicu e periodiči niz. ()... 0 5 6 7 8 9 05678
Metoda ora po ora Metoda ora po ora za rešavane ednadžbi diferencia nema evivalenta od diferencialnih ednadžbi! Ova način rešavana ednadžbe diferencia ne dae analitiči izraz za odziv. Međutim, interesantan e er se primenue u slopovsim ili programsim simulaciama sustava. Korištenem osnovnih elemenata disretnih sustava, moguće e za zadanu ednadžbu diferencia nacrtati simulacisi blo diagram. Simulacisi blo diagram () ( ) u(). () u() A () B E - () E - () D Označimo toče promatrana. Izračunamo () iz ednadžbe diferencia. Sustav e drugog reda, trebau nam dva elementa za ašnene. Postupa simulacie Postupa izvođena simulacie priazat ćemo tabelom. Stupci A, B,, D predstavlau stane poedinih točaa modela u oracima. A B D u() () ( ) u() ( ) ( ) 0 u(0) (0) () u(0) 0 () 0 () 0 u() () () u() 0 (0) () 0 u() () (0) u() 0 () (0) u() () () u() 0 () 0 () u() () () u() 0 () 0 () 0 itd.
Realizacia sustava Realizacia osnovnih elemenata modela: Zbraalo, množilo i elementi za edinično ašnene realizirau se slopovsi pomoću digitalnih integriranih slopova za zbraane, množene i poma. Programsi se realizirau na računalu opće ili posebne namene (specializirani procesori za digitalnu obradu signala). Klasični način rešavana linearnih ednadžbi diferencia Rešene nehomogenih linearnih ednadžbi diferencia općenito se dobiva ao suma: rešena homogene ednadžbe h (), oeg određue strutura ednadžbe i partiularnog rešena p (), oeg određue funcia pobude. Primer, određivane homogenog rešena Primer. Odrediti rešene homogene ednadžbe diferencia: ( ) ( ) ( ) 0. Jednadžbu zadovolava funcia () q. Uvrštavanem ove funcie dobivamo tzv. araterističnu ednadžbu: q q q 0.
Primer, arateristična ednadžba Odnosno: q q q 0. Netrivialno rešene traži da e: q q 0. Karateristična ednadžba dae dva arateristična oriena. Primer, arateristična ednadžba Ova dva arateristična oriena nazivau se i vlastite frevencie. q q 0 q q. Jednadžbu dale zadovolavau funcie odnosno nizovi q, q. Rešene homogene ednadžbe diferencia, za sluča različitih q i q dobivamo u obliu: Primer, određivane onstanti... h ( ) q q ( ). Konstante i se određuu na temelu poznavana početnih uveta () i (). Nea su npr. () i (). Homogena: ( ) ( ). h Vriedi samo za 0!
Primer, određivane onstanti... Da bi odredili i treba metodom ora po ora iz početnih uveta odrediti (0) i (). Za : ( 0 ) ( ) ( ). 5 Prema tome sada možemo definirati dvie ednadžbe s dvie nepoznanice. () ( 0) ( ). Primer, određivane onstanti Za 0: Za : 5 () (). Odnosno, možemo pisati u obliu:,. 5 6 0 ( 0) (). 0 Primer, arateristična ednadžba... ( ) ( ) ( ) 0. Rešene homogene ednadžbe? Funcia oa zadovolava gornu ednadžbu e oblia () q, stoga sliedi: q q q q q 0. q 0.
Primer, arateristična ednadžba... Karateristična ednadžba e trećeg reda. q q 0. Sređivanem ednadžbe dobivamo: q q q 0, q q q 0, q 0. q q Primer, arateristična ednadžba I onačno... q q q Iz čega sliede rešena... ( ) 0. q, q, q. Primer, rešene homogene... Ovde se radi o višestruo (dvostruo) vlastito vriednosti, pa e homogeno rešene oblia: ( ) q q q h ().
Primer Primer,, arateristična arateristična ednadžba ednadžba...... ( ) ( ) ( ). 0, : 0/ q q q q 0. q q Rešene: Funcia oa zadovolava gornu ednadžbu e oblia () q stoga sliedi: Primer Primer,, arateristična arateristična ednadžba ednadžba...... Rešavanem ove vadratne ednadžbe dobivamo rešena:., q ± Rešena možemo zapisati na drugi način:, e q. e q Primer Primer,, rešene rešene homogene homogene...... ( ) h e e Rešene homogene ednadžbe e prema tome: e e sin cos sin cos ( ) ( ). sin cos
Primer, rešene homogene Konačno rešene možemo pisati ao : h dolazi od faze modul ( ) Acos Bsin. Određivane partiularnog rešena Naveći bro pobuda zanimlivih za analizu disretnih sustava dade se predstaviti ili aprosimirati nizovima oblia polinoma ili omplesne esponenciale. To e razlog da se metoda neodređenih oeficienata oristi u analizi sustava (zbog nene ednostavnosti). Zadata. Naći odziv disretnog sustava opisanog ednadžbom diferencia: na pobudu: ( ) ( ) ( ) u( ), u ( ) 0 ( ) za 0, za < 0, i uz početne uvete () 0 i ().
Zadata, homogena ednadžba... Rešene: Potrebno e riešiti nehomogenu ednadžbu: ( ) ( ) ( ) ( ) za 0. Osim rešena homogene ednadžbe, potrebno e naći i partiularno rešene. Određivane homogenog rešena: Uvrštavanem niza () q u homogenu ednadžbu, dobivamo araterističnu ednadžbu: Zadata, rešene homogene q q q 0/ : q q q 0, q q pa e homogeno rešene:,, h ( ) ( ) ( ). Zadata, partiularno rešene... Određivane partiularnog rešena: Pobuda e složena i predstavla umnoža polinoma prvog reda i esponencialnog niza. Za pobudu polinomom ntog reda i partiularno rešene će biti polinom ntog reda. Za pobudu esponencialom i partiularno rešene ima obli esponenciale. Za našu pobudu u() () partiularno rešene bi izgledalo ovao:
Zadata, partiularno rešene... p () (A B) () Budući da e frevencia omplesne esponenciale ednaa vlastito frevencii sustava (i dvostrua e), partiularno rešene treba pomnožiti sa nizom s gdeesstupan višestruosti arateristične frevencie. Stoga, naše partiularno rešene izgleda ovao: p () (A B)(). Zadata, partiularno rešene... Uvrštenem partiularnog rešena u nehomogenu ednadžbu i primenom metode neodređenih oeficienata možemo odrediti onstante A i B. p () (A B)() (A B )(), p ( ) [A( ) B( ) ]() [A A A A B B B](), p ( ) [A( ) B( ) ]() [A 6A A 8A B B B](). Zadata, partiularno rešene... Uvrstimo li p (), p ( ), p ( ) u ( ) ( ) ( ) ( ) sliedi: (A B )() [A (B A) (A B) (B A)]() [ A (B 6A) (A B) B 8A]() (). Grupiranem uz poedine potencie od dobivamo: [(A A A) (6A B B B 6A) ( 6A B A B) (A B B 8A)]() ().
Zadata, uupno rešene... (6A 6A B)() (), 6A, 6A B 0, A /6 & B /. Partiularno rešene sada glasi : p 6 Totalno rešene : ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). h p Zadata, uupno rešene 6 za 0. ( ) ( ) ( ) ( ) Zadata, homogena... Rieši ednadžbu () () () u() uz supstituciu. Odnosno, potrebno e riešiti ednadžbu ( ) ( ) ( ) u( ) uz uvete: ( ) za 0, u( ) 0 za < 0. Rešene homogene ednadžbe ( ) ( ) () 0. Uvrstimo niz () q i dobivamo: q q q 0 /:q.
Zadata, nastava... q q 0. Rešena ove arateristične ednadžbe poznata su nam iz prethodnog zadata. Nehomogena ednadžba u tom slučau glasi: ( ) ( ) () ( )(), ( ) ( ) () ( )(). Partiularno rešene e oblia: p () ( D)() ( D )(). Potrebno e odrediti p ( ) i p ( ). Zadata, partiularno rešene... p ( ) [( ) D( ) ]() [ D D D]() [ ( D) ( D) (D )](). p ( ) [( ) D( ) ]() [ 6 8 D D D]() [ (6 D) ( D) (8 D)](). Uvrštavanem u ednadžbu sliedi: [ (6 D) ( D) (8 D)]() [ (6 D) (6 D) D ]() ( D )() ( )(). Zadata, partiularno rešene... Grupiranem po potenciama od [( ) (6 D 6 D D) ( D 6 D) (8 D D )]() ( )(). Iz ovoga sliedi : 6 6 D, 6 /6, 6 D D /. Pa e partiularno rešene: p 6 ( ) ( ).
Zadata, omentar Naravno, i totalno rešene e ednao: 6 Uočavamo da obe ednadžbe: ( ) ( ) ( ) ( ). () ( ) ( ) u(), ( ) ( ) () u( ), imau identično rešene (t. evivalentne su). Prva se realizira pomoću elemenata za edinično ašnene (E ), druga pomoću elemenata za prediciu (E)!