qwφιertyuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertyuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj klzcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz Τάξη : Γ Λυκείου ΦΥΛΛΑΔΙΟ 7 : Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης cvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ ωυdfghjργklαzcvbnβφδγωmζqwert 39ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ λκοθξyuiύασφdfghjklzcvbnmqwerty uiopaβsdfghjklzcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklzcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdfασδφγθμκcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklzcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk lzσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdfghjklzcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlzcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ αεργαγρqwertyuiopasdfghjklzασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwer tyuiopasdfghjklzcvbnmqwertyuiopσ
ln. α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f( ). β) Να δείξετε ότι για κάθε > ισχύει η σχέση ln. α. Έστω g()= α lnα + α, χ και f()=, 0, α>0, α lnα = 0 α) Να μελετήσετε την μονοτονία της g και να βρείτε το πρόσημο του g() για κάθε β) Να βρείτε την παράγωγο της f για κάθε 0 γ) Να μελετήσετε την μονοτονία της f. 3. Έστω f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με f ()<0 για κάθε R και f () lim 4. 0 4 α) Να βρείτε τις τιμές f(0) και f (0) β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. 4. Έστω f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της [0,]. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(0,) και f () για κάθε [0,], να αποδείξετε ότι : α) η συνάρτηση g() f () είναι γνησίως αύξουσα στο [0,] β) g() 0 για κάθε [0,] 5. Να δείξετε ότι : α) ln ln, <α<β β) ( ), (0,). γ), 0 0 δ), 0 3 3. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f( ), α,β > 0 και α<β. α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f. β) Να βρείτε τις τιμές του αριθμού λ που ικανοποιούν τη σχέση 3 3 3 ( 9 7 ) 7 [ 3 7 ( ) 7 ].
7. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β) και f(α)=f(β), να αποδείξετε ότι, αν f ()<0 για κάθε (α,β), τότε f()>f(α) για κάθε (α,β). 8. Δίνεται η συνάρτηση g παραγωγίσιμη στο [α,β] τέτοια ώστε g () g() ln κάθε [α,β]. Να δείξετε ότι g(α) > g(β) α-β. 9. Δίνεται η συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,8] με f ()>0 για κάθε f (8) f () 8f () f (8) [,8]. Να δείξετε ότι f () για κάθε (,8). για 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση e 3 5 0 έχει μία μόνο ρίζα στο (-,0).. Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα. 8. Δίνεται η συνάρτηση f : R * R με f()= ln. α) Να δείξετε ότι ln για κάθε >0 β)να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να βρείτε το πλήθος των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης f()=α για όλες τις διαφορετικές τιμές του α. 3. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 5 3 0 β) 4 3 γ) ln( ) 0 3 8 9 3 δ) e e 9 8 4. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 3 f () 3 (ln ) και g() 5. Για ποια τιμή της παραμέτρου λ με λ>0, το μέγιστο της f () γίνεται e ελάχιστο.. Δίνεται η συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] η οποία δεν παρουσιάζει ολικά ακρότατα στα α, β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0 (α,β) τέτοιο ώστε f (0)=0. 7. Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f () γνησίως αύξουσα στο R. Να δείξετε ότι f()<f(-)+f(+) για κάθε R. 8. Έστω f:r R, παραγωγίσιμη στο R με f συνεχή στο R και ισχύει f()+f( ) =0 για κάθε R και f () 0 για κάθε R. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο R β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα στο R 3
f () γ) Έστω η συνάρτηση g(). Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής f () παράστασης Cg της g στο σημείο που αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45. 9. Έστω f : (0,+ ) R παραγωγίσιμη με f()=0 και f () f () >0. α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία. e γ) Να δείξετε ότι e δ) Να λύσετε την ανίσωση 3 4 4 3 3 0. Έστω f () - 5 -. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει μοναδική ρίζα στο R. για κάθε. Έστω f : [,5] R, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,5] με f ()>0 για κάθε [,5] και f() = f(4) = 0. Να δείξετε ότι : α) Υπάρχει μοναδικό 0 (0,5) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο A 0,f ( 0 ) να είναι παράλληλη στον άξονα. β) Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο 0 γ) Η εξίσωση ( 3)f () 5 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο (,5).. Έστω f : [0,+ ) R, παραγωγίσιμη στο [0,+ ) με f(0)=0 και <f ()<+ για κάθε >0 α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις g() = f(), h() = f(), f() στο [0,+ ) β) Να βρείτε τα όρια lim f () f (), lim 4 γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε 3 f ( ). 3. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f() < f () < f(3) για κάθε R. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο (,) γ) Να δείξετε ότι υπάρχουν, (,3) με < τέτοια ώστε f (3) f (). f ( ) f ( ) δ) Να βρείτε το lim f (). 4
f () 4. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f () για κάθε R και f(0)=. f () α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g(), R είναι σταθερή β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f 5. Αν - ln για κάθε > 0. Να δείξετε ότι α=.. Δίνεται η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με e f () για κάθε R και f()=. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο Α(, ). 7. Δίνεται η συνάρτηση () e -- ln( ) f, > -. α) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+ ) και γνησίως φθίνουσα στο (-,0]. β) Να βρείτε τα ακρότατα της f. γ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα. δ) Να δείξετε ότι ln( ) e για κάθε >-. ε) Αν ισχύει ln( ), για κάθε >-, να δείξετε ότι α = e. 8. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f()=4 και () 8 f για κάθε R. α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης Cf της f στο σημείο Α(,f()). f () β) Να βρείτε το όριο lim π γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση f ( ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [-4,]. f () 9. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R με f(0)=ln9 και f () 4( )e για κάθε R. α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ) Να βρείτε τους αριθμούς, y R για τους οποίους ισχύει η σχέση f (ye y) f (3y 4) 0. 30. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z - i, w i ώστε z w z w. α) Να βρείτε τον αριθμό α β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του Im(zw) με R και α>0 τέτοιοι 5
3. Έστω f : R R, φορές παραγωγίσιμη στο R με f() 3 για κάθε R και 4 3 f (5) f () 0 για κάθε R. Αν επιπλέον ισχύει ότι lim, να λύσετε την εξίσωση f () 0. 4 3 f () f (3) 3. Έστω f : R R, παραγωγίσιμη στο R τέτοια ώστε f () για κάθε R. α) Να δείξετε ότι f()=+f(3) β) Να δείξετε ότι η εξίσωση f () έχει τουλάχιστον τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες. 33. Έστω f : [e,e ] R, δύο φορές παραγωγίσιμη τέτοια ώστε f(3)<f(e)<f(e )<f(7). Να δείξετε ότι : α) η εξίσωση f () 0 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (e,e ) β) η εξίσωση f () f () 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο (e,e ) 34. Έστω f()= 4 + λ, λ R. α) Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στα σημεία,, 3 R με < < 3. Να δείξετε ότι η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη στην ευθεία ΒΓ όπου Α(, f()), B(,f()), Γ(3,f(3)). β) Αν 0<λ<, να δείξετε ότι η εξίσωση f()=0 έχει ακριβώς μία λύση στο (0,).