ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της στο. Να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G = F + c, c R είναι παράγουσες της στο Να αποδείξετε ότι: κάθε άλλη παράγουσα G της στο παίρνει τη µορφή G = F + c, c R Μονάδες 8 Α. Πότε µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α λέµε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο; Μονάδες 4 Α3. Πότε µια συνάρτηση : A R λέγεται συνάρτηση. Μονάδες 3 Α4 Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση µιας παραγωγίσιµης :, + R. συνάρτησης Με βάση το σχήµα να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) (α) Για = η παρουσιάζει µέγιστο το ( ) = 4 (β) Η ευθεία y = είναι οριζόντια ασύµπτωτη της C στο + (γ) Η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (, ] (δ) Η εξίσωση ( ) = λ έχει το πολύ δύο ρίζες για τις διάφορες τιµές του λ ℝ (ε) Ισχύει ότι: lim ( ( ) ) = + Μονάδες ΘΕΜΑ Β ίνεται η συνάρτηση ( ) = e µε Α = ℝ Β. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και ότι η αντίστροφη της είναι η συνάρτηση ( ) = ln ( + ), > Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 4
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) Β. Να µελετήσετε τις συναρτήσεις και ως προς την κυρτότητα και να αποδείξετε ότι ο άξονας συµµετρίας των C,C είναι η κοινή τους εφαπτοµένη στο O(,) Β3. (i) Να αποδείξετε ότι: για κάθε > (ii) Να λύσετε την εξίσωση: + = + ηµ στο (, + ) Β4. Αν G µια παράγουσα της συνάρτησης για < α< β ισχύει: ( β α) g( α) < G( β) G( α) < ( β α) g( β) ΘΕΜΑ Γ Μονάδες 8 Μονάδες 6 g = +, > να δείξετε ότι ίνεται η παραγωγίσιµη συνάρτηση :(, + ) R µε κάθε > η οποία παρουσιάζει ακρότατο στο = µε τιµή ln Γ. είξτε ότι k = και ότι ο τύπος της είναι Μονάδες 5 = k, k R για = + ln Μονάδες 4 Γ. (i) Να βρείτε το σύνολο τιµών της (ii) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης + = α + ln + µε > για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού αριθµού α. Μονάδες 4 Μονάδες 3 Γ3. (i) Να αποδείξετε ότι η είναι κυρτή στο πεδίο ορισµού της και να βρείτε την M, εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας της συνάρτησης στο σηµείο (ii) Να λύσετε την ανίσωση e 3 5+ > για κάθε > Μονάδες 3 Μονάδες 5 Γ4. Να βρείτε το εµβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική g = + ln + την πλάγια ασύµπτωτη της παράσταση της συνάρτησης γραφικής παράστασης της g στο + και τις ευθείες = και = e Μονάδες 6 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 4
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Ε_3.Μλ3ΘΟ(ε) ΘΕΜΑ Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο A = (, + ) µε συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύουν: i και + = + ( ) = i για κάθε >. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Α. Μονάδες 8. Να δείξετε ότι για την συνάρτηση g µε 3 ( t) dt, g = 3 ( t ) dt, < ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος Rolle στο διάστηµα = [,] Επιπλέον θεωρούµε τη συνάρτηση h = +, µε > Μονάδες 8 3 3. Να δείξετε ότι: h d> 4. Να δείξετε ότι η εξίσωση h d h( t) h( u) du dt ( ) + h( t) dt =, 3 3 έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα Μονάδες 5 Μονάδες 4 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 4
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Τετάρτη 9 Απριλίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 86 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 33 Α4. (α) Σωστό (β) Σωστό (γ) Λάθος (δ) Σωστό (ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ = e > για κάθε πραγµατικό αριθµό Β. Η παραγωγίσιµη στο A = R µε οπότε η είναι γνησίως αύξουσα άρα - εποµένως αντιστρέφεται. H συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ιότι: και Άρα A = R άρα: A = lim, lim =, + + lim = lim e = = + lim = lim e = + + = ( + ) A, Το πεδίο ορισµού της είναι το σύνολο τιµών της εποµένως ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 9
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 = = ( + ) A A, Για τον τύπο της έχουµε = y e = y e = y + = ln y + Άρα = ln +, > Β. Η παραγωγίσιµη στο R µε = e και εποµένως η κυρτή στο R Η παραγωγίσιµη στο A (, ) = < ( + ) για κάθε > άρα η = e > για κάθε R = + µε ( ) = και + κοίλη στο A = (, + ) Η ευθεία µε εξίσωση y = είναι ο άξονας συµµετρίας των C,C Η εξίσωση της εφαπτοµένης της στο O(, ) είναι: Εφόσον = e = και y = y = y = = e = Η εξίσωση της εφαπτοµένης της Εφόσον στο O(, ) είναι: y = y = ln ln = + = = και Άρα οι γραφικές παραστάσεις των την ευθεία y = = = +, έχουν κοινή εφαπτοµένη στο O(, ) Β3. (i) Επειδή η κυρτή στο R τότε η εφαπτοµένη της γραφικής της παράστασης σε κάθε σηµείο βρίσκεται <<πάνω>> από την γραφική της παράσταση µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους. για κάθε R και το ίσον ισχύει µόνο για = Οπότε: όµως η είναι κοίλη στο (, ) + άρα η η εφαπτοµένη της γραφικής της παράστασης σε κάθε σηµείο βρίσκεται <<κάτω >> από την γραφική της παράσταση µε εξαίρεση το σηµείο επαφής τους., + και το ίσον ισχύει µόνο για = Οπότε: για κάθε Οπότε για κάθε A A = (, + ) ισχύει: (ii) H εξίσωση για κάθε > γράφεται: + = + ηµ + = + ηµ () ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ 9
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 είξαµε στο Β3(i) ότι για = οπότε για κάθε > ισχύει: Επίσης: για κάθε και το ίσον ισχύει µόνο > ( ) ηµ < για κάθε άρα για > γίνεται: ηµ < < ηµ < Άρα > ηµ ( 3 ) Προσθέτοντας κατά µέλη τις ( ),( 3 ) παίρνουµε: + > + ηµ για κάθε > Εποµένως η εξίσωση ( ) είναι αδύνατη στο (, + ) Β4. Εφόσον η G µια παράγουσα της g στο διάστηµα = (, + ) τότε ισχύει: G = g για κάθε. Η G ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής στο [ α, β ] εποµένως υπάρχει ξ ( α, β ) τέτοιο ώστε: G( β) G( α) G ( ξ ) = ( 4 ) β α G = g G = + G = e + ln + Εποµένως: H G παραγωγίσιµη στο = (, + ) µε: G = e + > για κάθε δηλαδή η G γνησίως αύξουσα στο + Εποµένως: G " ( 4) G( β) G( α) α < ξ < β G ( α ) < G ( ξ ) < G ( β) g( α ) < < g( β) β α g α β α < G β G α < g β β α ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 3 ΑΠΟ 9
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 ΘΕΜΑ Γ Γ. Εφόσον η σε εσωτερικό σηµείο του πεδίου ορισµού της παρουσιάζει ακρότατο και είναι παραγωγίσιµη σε αυτό τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα Fermat θα ισχύει: = k = k = Για k= Άρα για κάθε (, ) Όµως Εποµένως + έχουµε = = + ln + c = ln + ln + c = ln c = = + ln Γ. Η εξίσωση ( ln ) + = α + + για > γίνεται + ln ln = α + + + = α = α Θα βρούµε το σύνολο τιµών της ( )( + ) = = = ( )( + ) > = = = = +> ( )( + ) > > > > > +> ( )( + ) > < < < < +> Το πρόσηµο της και η µονοτονία της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα + () + ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ 9
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Στο διάστηµα (, ] η είναι γνησίως φθίνουσα ενώ στο διάστηµα [ ) είναι γνησίως αύξουσα. Για = παρουσιάζει ελάχιστο µε τιµή = Η συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο A = (,] άρα διότι: ln A, lim ln, + = ) = [ + ) lim = lim ln + + + = + lim =, lim = lim ln = + + + A = + άρα εφόσον Η συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ ) = ) = [ + ), + η A, lim ln, + διότι: ln lim = lim + ln = lim + + + + = + = + εφόσον lim + + =, Εποµένως + ln + lim = lim = lim = ( ln ) + + + ( A) = [ ln, + ) Για την εξίσωση ( ) = α έχουµε: Αν α < ln τότε η εξίσωση ( ) = α είναι αδύνατη εφόσον α ( A) Αν α > ln τότε: α ( A ) οπότε υπάρχει (,) τέτοιο ώστε = α το µοναδικό διότι, + τέτοιο η γνησίως φθίνουσα στο A και α ( A ) οπότε υπάρχει ώστε ( ) = α το µοναδικό διότι η γνησίως αύξουσα στο A Εποµένως η εξίσωση ( ) = α έχει δύο ακριβώς ρίζες Αν ln α = τότε η εξίσωση διότι στο = η παρουσιάζει ελάχιστο. = ln έχει µοναδική ρίζα την = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ 9
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 Γ3. 4 + εποµένως η κυρτή στο πεδίο ορισµού της. Η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης M, είναι: (i) = + > για κάθε 3 (, ) στο σηµείο της y = y = y = + 3 (ii) H δοσµένη ανίσωση για > γίνεται: > 3 5+ 3 5+ e > ln e > ln 3 5 + > ln 3 5 + > ln + 3 + > ln + ln > + 3 > + 3 Εφόσον η κυρτή στο A = (, + ) η εφαπτοµένη της γραφικής της παράστασης σε κάθε σηµείο του Α βρίσκεται << κάτω>> από την γραφική της παράσταση µε εξαίρεση το σηµείο επαφής, δηλαδή ισχύει + 3 για κάθε > και η ισότητα ισχύει µόνο για = εποµένως: H ανίσωση 3 > + αληθεύει για κάθε (,) (, + ) Γ4. Ο τύπος της συνάρτησης g είναι: g = + ln + g = + ln + ln + g = +, > Έστω y= λ+ β η πλάγια ασύµπτωτη της C στο + τότε: g + λ = lim = lim = lim + + = + + και β = lim( g λ ) = lim + = lim = + + + Οπότε η y = είναι η πλάγια ασύµπτωτη της στο + Το ζητούµενο εµβαδόν είναι: e e e > e E( Ω ) = g d = d = d = [ ln ] = ln e ln = τ. µ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ 9
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 ΘΕΜΑ. Παραγωγίζοντας τη σχέση: ( ) ( ) + = + έχουµε: + = + + = + = () Από τη σχέση () προκύπτει ότι για κάθε > και επειδή η είναι συνεχής θα διατηρεί πρόσηµο στο (, + ) Για = η σχέση () γίνεται: ( ) ( ) ( ) + = + = + = H τελευταία εξίσωση έχει λύσεις το Η διατηρεί πρόσηµο στο A = (, + ) και Άρα: > για κάθε. Για το ολοκλήρωµα ( t ) έχουµε u= ενώ για t= 3 έχουµε u γίνεται: 3 και το, όµως άρα = = >, + εποµένως η είναι γνησίως αύξουσα. d θέτουµε u= t οπότε du= dt και για t= g 3 ( t) dt, = t dt, < και θέτοντας για λόγους απλότητας g( ) = k ( ) = k g 3 t d u du άρα η g = άρα: ( ) = t dt= k γίνεται: 3 k, = < k, ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ 9
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 3 g = k = k Οπότε: g( ) = g H g παραγωγίσιµη στο (,) µε g = k και παραγωγίσιµη στο (, + ) µε g 3k =. Για το = έχουµε: g g k lim = lim = lim k= 3 g g k lim = lim = lim k = + + + g = εποµένως θα είναι και Άρα η g παραγωγίσιµη και στο µηδέν µε συνεχής στο = Εποµένως για τη συνάρτηση g ικανοποιούνται οι υποθέσεις του Θεωρήµατος,, παραγωγίσιµη στο Rolle στο διάστηµα [ ] εφόσον είναι συνεχής στο [ ] (,) και g( ) = g 3. Η συνάρτηση διότι: Α-τρόπος = + > είναι γνησίως αύξουσα στο A = (, + ) h, Για το ολοκλήρωµα h = + >, για κά θε > έχουµε u= ενώ για = έχουµε u 3 h d θέτουµε = u οπότε du= d και για = 3 = άρα: = ( ) 3 3 h d h u du Εποµένως αρκεί να δείξουµε ότι: > ( ) Για κάθε Β-τρόπος h" h d h d 3 3 > ισχύει: < ( ) < ( ) < Αν F παράγουσα της h ( ) h h h d h d = + τότε η () γίνεται 3 > > h d h d F 3 F F F Εφαρµόζοντας το Θ.Μ.Τ στα [, ], [,3 ] ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 8 ΑΠΟ 9
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7 υπάρχουν (,), (,3) F F 4. H εξίσωση ώστε F = F = F F F( 3) F F = F = F 3 F 3 F = h! < F < F F F < F 3 F h( t) h( u) du dt ( ) + h( t) dt = 3 3 3 3 h( u) du h( t) dt ( ) + h( t) dt = 3 3 = h u du = α και h( t) dt = β Θέτουµε: h( t) dt Άρα η εξίσωση γίνεται: α + β = Θεωρούµε τη συνάρτηση ϕ = α + β,, [ ] Η φ συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων ϕ = α + β g = α + β = β α β + α < 3 ιότι: από το 3 ισχύει β < α h( t) dt < h h > άρα α >, β > " ιότι: h t dt και λόγω µονοτονίας ϕ = α + β = β > g > > > Εποµένως β = h t dt > και ϕ ϕ < άρα από θεώρηµα Bolzano η εξίσωση µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, ) Η φ παραγωγίσιµη στο Α ϕ = (, + ) µε εποµένως η φ γνησίως αύξουσα στο Α = (, ) ϕ g = έχει ϕ = α + β > για κάθε > + οπότε η ρίζα είναι µοναδική. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 9 ΑΠΟ 9