Γραμμικές Διαφορικές εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Έστω ότι έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n a (x) a (x) a (x)' a (x) f (x) () (n) (n) n n 0 όπου a i(x),i 0,...,n και f(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις του x σε ένα διάστημα του. Αν f(x)=0 τότε η () ονάζεται ογενής γραμμική διαφορική εξίσωση ανώτερης τάξης. Ένα σημείο x 0 ονάζεται αλό όταν a n(x 0) 0 αλλιώς το σημείο αυτό ονάζεται ανώμαλο. Η εξίσωση () υποβιβάζει την τάξη της όταν a n(x 0) 0 αφού ο ανώτερος όρος πια θα είναι τάξης (n-). Τον επόμενο ορισμό θα τον δανειστούμε από την γραμμική άλγεβρα Ορισμός Έστω ότι έχουμε τις ακόλουθες συναρτήσεις (x), (x),..., n(x) και ci πραγματικοί αριθμοί. Οι συναρτήσεις αυτές ονάζονται γραμμικά ανεξάρτητες αν και μόνο αν c (x) c (x) c3 3(x) cn n(x) 0 () συνεπάγεται ότι c c... cn 0. Ενώ ονάζονται γραμμικά εξαρτημένες αν ισχύει η () και έστω και ένας συντελεστής να είναι διάφορος του μηδενός, δηλαδή για κάποιο ci να ισχύει ci 0. Έστω οι αρχικές συνθήκες (x ), '(x ), ''(x ),..., (x ) της () τότε (n) 0 0 0 0 n 0 μπορεί να αποδείξει κανείς ότι η διαφορική εξίσωση () έχει μια και μοναδική λύση. Πρόταση Έστω ότι έχουμε τις ακόλουθες συναρτήσεις (x), (x),..., k(x) όπου k nπου αποτελούν ικές λύσεις της Τότε ο γραμμικός συνδυασμός τους a (x) a (x) a (x)' a (x) 0 (3) (n) (n) n n 0 (x) c (x) c (x) c3 3(x) ck k(x) θα είναι επίσης μια ική λύση. Αν επίσης αυτές είναι γραμμικά ανεξάρτητες και k=n τότε η γενική λύση της (3) είναι η ακόλουθη (x) c (x) c (x) c3 3(x) cn n(x). Παρατήρηση Μπορεί να αποδείξει κανείς ότι η (3) έχει πάντα n γραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις. Ορισμός Έστω ότι έχουμε τις ακόλουθες συναρτήσεις (x), (x),..., n(x) με παράγωγους μέχρι (n-) τάξης τότε ορίζουμε ως ορίζουσα ronskii την
... n ' '... ' n.... (n ) (n ) (n ) n Παρατήρηση Από τον παραπάνω ορισμό αρκεί να αποδείξουμε ότι η ορίζουσα ronsii των (x), (x),..., n(x) λύσεων της (3) είναι διάφορη του μηδενός για να βρούμε την γενική λύση της (3), καθώς θυμίζουμε ότι όταν μια ορίζουσα είναι διάφορη του μηδενός τότε τα διανύσματα της είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Επιστρέφουμε τώρα πίσω στην (). Η γενική λύση της έρχεται στην ακόλουθη μορφή (x) (x) (x) όπου (x) είναι η γενική λύση της αντίστοιχης ογενούς διαφορικής και μια ική της λύση. Παράδειγμα Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες: Λύση Για να είναι οι συναρτήσεις αυτές γραμμικά ανεξάρτητες πρέπει (x) είναι x,x,. c (x) c (x) c (x) c x c x c 0 3 3 3 να συνεπάγεται ότι c c c3 0 που ισχύει.( από την ισότητα των πολυωνύμων) Ένας δεύτερος τρόπος είναι ο υπολογισμός της ορίζουσας, επένως έχουμε x x x x 0 0. 0 0 0 Παράδειγμα Να εξετάσετε αν η (x) c (x) c (x) c3 3(x) c4 4(x) αποτελεί γενική λύση της '''' ''' 3'' 5' 0 όπου είναι ικές λύσεις της διαφορικής. (x), (x) x, (x) x, (x) x x x x 3 4 Λύση Για να είναι η (x) c (x) c (x) c3 3(x) c4 4(x) γενική λύση της διαφορικής πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητες οι συναρτήσεις αυτές, επένως υπολογίζουμε την ορίζουσα x x x x x x x x x x x x x x x x 54 0 x x x x x x x x x 4x 4 3 x x 6x 6 8 x x x x x x x.
Γραμμικές ογενής διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε τρόπους λύσεις της () όπου οι a i(x),i 0,...,n να είναι πραγματικές σταθερές, δηλαδή a i(x) a i,i 0,...,n.Έστω ότι έχουμε μια γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης n a a a ' a 0 (4) (n) (n) n n 0 όπου a i,i 0,...,n σταθεροί πραγματικοί αριθμοί με an 0. Πρόταση Αν λx και αντίστροφα. είναι λύση της (4) τότε το λ ικανοποιεί την παρακάτω εξίσωση a λ a λ a λ a λ a 0 (5) n n n n n n 0 Η εξίσωση (5) ονάζεται χαρακτηριστική εξίσωση της (4). Πρόταση Αν λ,λ,...,λ n είναι ρίζες της (5) διάφορες μεταξύ τους τότε οι συναρτήσεις (x), (x),..., (x) αποτελούν ικές λύσεις της (4) και ο γραμμικός λx λx λnx n συνδυασμός τους αποτελεί την γενική λύση της διαφορικής, δηλαδή (x) c (x) c (x) c3 3(x) cn n(x). Η διαδικασία που ακολουθεί η επίλυση των διαφορικών αυτών εξισώσεων είναι η ακόλουθη: Έστω λ,λ,...,λ n ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (5) τότε. Αν οι ρίζες είναι διαφορετικές μεταξύ τους, δηλαδή λi λ j,i, j 0,,...,n τότε η γενική λύση γράφεται ως (x) c (x) c (x) c (x) c (x) c c c c λx λx λx 3 λnx 3 3 n n 3 n Αν κάποιες από τις ρίζες προκύψουν μιγαδικοί αριθμοί τότε συνήθως χρησιμοποιούμε τον τύπο Eulr, δηλαδή λx abix ax ibx ax (cos bx isin bx ) Παρατήρηση Αν μια ρίζα είναι μιγαδική τότε και ο συζυγείς της θα αποτελεί ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης και άρα λύση της διαφορικής εξίσωσης. Επένως η διαφορική εξίσωση έχει ικές λύσεις της μορφής c ax cos bx,c sin bx, όπου θυμίζουμε εδώ ότι αποτελεί πλεονασμό να ax γράφαμε ότι οι λύσεις ήταν της μορφής c c (cos bx isin bx ), c c (cos bx isin bx ) (a ib)x ax (a ib)x ax Γιατί τότε θα είχαμε ax c c c (cos bx isin bx ) c (cos bx isin bx ) ax (c c ) cos bx i(c c ) sin bx C cos bx C sin bx ax ax ax ax 3
. Αν υπάρχει πολλαπλότητα σε μια ρίζα. Έστω ότι μια ρίζα λ i εμφανίζει πολλαπλότητα m, τότε οι ικές λύσεις που αντιστοιχούν στην ρίζα και που είναι λix λix λix m λix γραμμικά ανεξάρτητες είναι,x,x,...,x. Οι λύσεις αυτές σε συνδυασμό με τις λοιπές ικές λύσεις μας δίνουν την γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Το ίδιο ισχύει και αν η ρίζα με την πολλαπλότητα ήταν μιγαδική. Παράδειγμα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση '' ' 6 0 Λύση Για να βρούμε τις λύσεις αρχικά γράφουμε την χαρακτηριστική εξίσωση λ λ 6 0 λ,λ 3 Βλέπουμε ότι οι ρίζες είναι διαφορετικές και άρα είμαστε στην πρώτη περίπτωση, δηλαδή η γενική λύση είναι Παράδειγμα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση c c x 3x. '' 4' 4 0 Λύση Για να βρούμε τις λύσεις αρχικά γράφουμε την χαρακτηριστική εξίσωση λ 4λ 4 0 λ λ Εδώ βλέπουμε ότι είμαστε στην δεύτερη περίπτωση αφού έχουμε πολλαπλότητα. Επένως οι λύσεις μας θα είναι της μορφής της διαφορικής εξίσωσης θα είναι Παράδειγμα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση c, c x c c x (c xc ) x x x '' ' 0 0 x x. Άρα η γενική λύση Λύση Για να βρούμε τις λύσεις αρχικά γράφουμε την χαρακτηριστική εξίσωση λ λ 0 0 λ 3i, λ 3i Επένως η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης θα είναι c c (C cos3x C sin3x) Παράδειγμα Να λυθεί η διαφορική εξίσωση ( 3i)x (3i)x x 4
''' 6'' ' 36 0 Λύση Για να βρούμε τις λύσεις αρχικά γράφουμε την χαρακτηριστική εξίσωση 3 λ 6λ λ 36 0 (λ 8λ 8)(λ ) 0 λ, λ 4 i, λ 4 i 3 Επένως η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης θα είναι c (c cos x c sin x). x 4x 3 Προχωράμε. Έστω ότι έχουμε την ακόλουθη διαφορική εξίσωση a a a a f (x) (6) (n) (n) n n 0 Για να υπολογίσουμε την γενική της λύση υπολογίζουμε αρχικά την γενική λύση της αντίστοιχης ογενούς και στην συνέχεια μια ική λύση της (6). Τότε όπως έχουμε πει το άθροισμα τους θα μας δώσει το επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλαδή (x) (x) (x) Α. Υπολογισμός ικής λύσης της (6) (Lagrang) Όπως έχουμε δει έστω ότι οι (x), (x),..., n(x) είναι ικές λύσεις της αντίστοιχης ογενούς της (6) και έστω ότι η γενική λύση της είναι (x) c (x) c (x) c3 3(x) cn n(x) Θα κατασκευάσουμε την ική λύση της (6) χρησιμοποιώντας τις παραπάνω συναρτήσεις. Δηλαδή η βασική ιδέα της μεθόδου αυτής είναι να αντικατασταθούν οι παράμετροι c,c,,c n, της γενικής λύσης της αντίστοιχης ογενούς με μεταβλητές συναρτήσεις, με την ελπίδα να βρεθεί ειδική λύση της (6). Για να αποφύγουμε τις πολλές πράξεις η διαδικασία θα περιγραφεί για διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης, δηλαδή για τις ακόλουθες a '' a ' a f (x) (*) 0 Επένως υποθέτουμε ότι Παραγωγίζοντας την (7) έχουμε (x) u (x) (x) u (x) (x) (7) 5
' (x) u' (x) (x) u (x)' (x) u' (x) (x) u (x)' (x) (u' (x) (x) u' (x) (x)) u (x)' (x) u (x)' (x) και '' (x) (u' (x) (x) u' (x) (x))' u (x)'' (x) u (x)'' (x) u' (x)' (x) u' (x)' (x) Αντικαθιστώντας τις τιμές αυτές στην (*) παίρνουμε a (u' (x) (x) u' (x) (x))' u (x)'' (x) u (x)'' (x) u' (x)' (x) u' (x)' (x) a (u' (x) (x) u' (x) (x)) u (x)' (x) u (x)' (x) a u (x) (x) u (x) (x) f (x) 0 Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι (x), (x) αποτελούν λύσεις της αντίστοιχης ογενούς της (*) και άρα ισχύει a '' a ' a 0 0 a '' a ' a 0 0 Τελικά έχουμε a (u' (x) (x) u' (x) (x))' a (u' (x) (x) u' (x) (x)) a u' (x)' (x) u' (x)' (x) f (x) Η τελευταία εξίσωση ισχύει αν οι u (x),u (x) ικανοποιούν το σύστημα u' (x) (x) u' (x) (x) 0 (**) u' (x)' (x) u' (x)' (x) f (x) Το σύστημα αυτό είναι ένα γραμμικό σύστημα για την επίλυση του οποίου θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Cramr. Συνεπώς έχουμε (x) 0 ' (x) (x) ' (x) Αφού οι (x), (x) είναι γραμμικά ανεξάρτητες και επίσης 0 (x) (x) 0, f(x) ' (x) ' (x) f (x) Άρα u ' (x),u ' (x) Ολοκληρώνοντας τις παραπάνω σχέσεις τελικά έχουμε τις 6
u (x) dx c,u (x) dx c Όπου μπορούμε να θεωρήσουμε ότι c c 0. Η διαδικασία αυτή γενικεύεται και για n τάξης διαφορικές εξισώσεις. Αρχικά κατασκευάζουμε την ική λύση ως (x) u (x) (x) u (x) (x) u 3(x) 3(x) u n(x) n(x) (7) Και αφού παραγωγίζουμε την (7) n φορές παίρνουμε ότι το σύστημα που ικανοποιούν οι u (x),u (x),...,u n(x) είναι u ' (x) (x) u ' (x) (x) u ' (x) (x) 0 n n u ' (x)' (x) u ' (x)' (x) u ' (x)' (x) 0 n n u ' (x)'' (x) u ' (x)'' (x) u ' (x)'' (x) 0 n n u ' (x) (x) u ' (x) (x) u ' (x) (x) f (x) (n ) (n ) (n ) n n Συνεπώς καταλήγουμε σε ένα σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους τους u',u',...,u' n όπου η ορίζουσα των συντελεστών τους είναι η 0 και επένως μπορούμε να κάνουμε χρήση της μεθόδου του Cramr και να βρούμε την λύση του συστήματος ως n u',u',...,u' n, και άρα u c,u c,...,u c. n n n Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να θεωρήσουμε τις σταθερές ολοκληρώσεως ίσες με το μηδέν. Παράδειγμα Να λυθεί η μη ογενής διαφορική εξίσωση '' 3'. x Λύση Η γενική λύση της αντίστοιχης ογενούς είναι ως ική λύση την x x χρήση του συστήματος (**) παίρνουμε c c. Επένως θέτουμε x x 0 u u την οποία και παραγωγίζουμε φορές και κάνοντας x x u ' u ' 0 u ' Τώρα από την μέθοδο Cramr έχουμε u ' x x x 7
x x x 0 x x Αφού οι x x, είναι γραμμικά ανεξάρτητες και επίσης x x 0 x 0, x x x x x x x Άρα x u' (x),u' x (x) x x Ολοκληρώνοντας τις παραπάνω σχέσεις τελικά έχουμε τις Συνεπώς η ική λύση είναι u (x) ln( ),u (x) ln( ) x x x x x x x x (x) ln( ) ( ln( )). Παράδειγμα Να λυθεί η μη ογενής διαφορική εξίσωση π π '' tan x, - x. Λύση Η γενική λύση της αντίστοιχης ογενούς είναι 0 c cosx c sin x. Επένως θέτουμε ως ική λύση την u cosx u sin x την οποία και παραγωγίζουμε φορές και κάνοντας χρήση του συστήματος (**) παίρνουμε u ' cos x u ' sin x 0 u ' sin x u ' cos x tan x Τώρα από την μέθοδο Cramr έχουμε cos x sin x sin x cos x αφού οι cosx,sinx είναι γραμμικά ανεξάρτητες και επίσης 0 sin x cosx 0 sin x, sin x tan x cosx cosx sin x tan x Άρα 8
sin x u' (x),u' (x) sin x cos x Ολοκληρώνοντας τις παραπάνω σχέσεις τελικά έχουμε τις Συνεπώς η ική λύση είναι u (x) sin x arcsin x,u (x) cosx (x) cosx(sin x arcsin x) sin xcosx. 9