Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet 0, a b Se umeşte cojugatul umărulu complex a b, umărul complex a b ab ab a b a b Obs : Operaţ cu umere complexe î formă algebrcă ab aa bb Fe a b a a b b a b a b aa aba bbb aa bb ab a b a a ab a a ab Puterle lu : Reţem: k k k k + + + =0 (+) = (- ) = - Numere complexe cojugate Propretăţ ), ), ),, ),,,, 5) 6) ( ) 7) * 8) (pur magar) Modulul uu umăr complex Propretăţ 0, ) 5 6 7 8 k k k k
), ), dec vom avea,,, ) 5) 6),,,, 0 7),, egaltate dacă k, k Rădăcle de ordul III ale utăţ sut soluţle ecuaţe : x x x 0 x x x 0 ; ; Obs : ş dacă atuc 0, x x Rădăcle de ordul IV ale utăţ sut soluţle ecuaţe : x x x 0 x x 0 x x x x x, x, x, x ; ; ; Obs : ş dacă 0 atuc 0 Rădăcle de ordul ale utăţ sut soluţle ecuate : k k k cos s ude k, k 0; sut rădăcle de ord ale utăţ scrse sub formă trgoometrcă. Obs : ş dacă atuc... 0 Formula lu Movre: (cosα+sα) k =coskα+skα Forma trgometrcă: = r(cosα+sα) ude r = s α=arg (argumetul redus a lu ). Petru aflarea argumetul redus aplcăm regula (dacă u e aflăm pe axe) b arctg dacă sutem î prmul cadra a b α= arctg dacă sutem î II sau III ş folosm arctg(-x) = arctgx a b arctg dacă sutem î IV a
EXE. Fe umărul complex =. Să se calculee :. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe ( + )( ) = a + b. Să se determe partea reală a 009 umărulu =.... Să se determe cojugatul umărulu complex = 9 5. Să se calculee modulul umărulu complex ( ) = + 6. Să se calculee +, ude = + s = +. 7. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe + = a + b 8. Să se determe partea reală a = + umărulu ( )( ) 9. Să se calculee cojugatul umărulu complex = + 0. Să se calculee modulul umărulu complex ( ) = +. Să se calculee suma de umere complexe 5 + 6 + 7 + 8.. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe = a + b. Să se determe partea reală a umărulu ( ) =. Să se determe cojugatul umărulu complex = 5. 5. Să se calculee modulul umărulu complex = 6. Să se calculee suma S = + + + ş suma 5 7 5 7 S= + + + 7. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe 5 + 6 = a + b 6 5 8. Să se determe cojugatul umărulu 5 complex = 9. Să se calculee modulul umărulu complex ( ) = 0. Să se determe cojugatul umărulu complex = + 7. Să se calculee modulul umărulu complex = + ;. Să se determe partea reală a 0 umărulu = + +. Să se calculee π π π π = (cos + s )(cos + s ) 6 6. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe + = a + b + 5 5. Să se calculee modulul umărulu π π complex = cos + s 5 5 6. Să se determe partea reală a 007 umărulu = 7. Să se determe cojugatul umărulu complex = 8. Să se determe partea reală a = umărulu ( )( ) 9. Să se dea u exemplu de umăr complex care are modulul. 0. Să se calculee cojugatul umărulu complex = 009. Să se calculee modulul umărulu complex ( ) =. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe ( + ) = a + b. Să se calculee modulul umărulu complex = +. Să se scre sub formă algebrcă umărul = cos0 + s0 5. Să se arate că +, dacă = + s = 6. Să se calculee modulul umărulu complex = ;
7. Să se calculee suma S = + + + 8. Să se determe cojugatul umărulu complex ( ) = 9. Să se determe partea reală a umărulu = 5 ; 0. Să se calculee modulul umărulu complex =. Să se determe partea reală a umărulu ( ) = +. Să se reolve ecuata =. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe 5 + 6 = a + b 6 + 5. Să se calculee Re()+Im() petru = + ( )( ) 5. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe = a + b + + 6. Să se calculee ( )( ) 7. Să se calculee + + + 8. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe + = a + b 9. Să se determe partea reală a 997 00 007 0 π π umărulu cos + s ; 50. Să se determe cojugatul umărulu complex = + ; 5. Să se calculee modulul umărulu complex = + 5. Să se determe cojugatul umărulu complex = 5 5. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe + a + b = a + 5 ( ) 5. Să se calculee modulul umărulu + complex = ; + 55. Să se determe partea magară a umărulu = + 56. Să se calculee modulul umărulu complex = + 57. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe 5 + = a + b 5 58. Să se calculee modulul umărulu complex =cos+ s 59. Să se determe a astfel îcât, petru = a + să avem = 60. Să se calculee modulul umărulu complex = 5+ 6. Să se calculee cojugatul umărulu complex = 6. Să se calculee modulul umărulu complex ( ) = 6. Să se calculee cojugatul umărulu 0 complex = 6. Să se calculee suma = + + + + +... + 65. Să se calculee modulul umărulu complex = + 66. Să se determe partea reală a 00 007 umărulu = + 67. Să se determe m ştd că = este rădăcă a ecuaţe x x + m = 0 68. Să se calculee produsul de umere 0 complexe... 69. Să se calculee modulul umărulu 00 complex = + + +... + 70. Să se dea u exemplu de umăr complex, petru care = 7. Să se calculee modulul umărulu complex ( ) = +. 7. Să se calculee suma de umere 5 7 complexe S= + + +
7. Să se determe partea reală a + umărulu =. ( ) 7. Să se determe a,b astfel îcât umărul a + b este versul umărulu complex 5 75. Să se calculee modulul umărulu complex ( ) = + 76. Să se determe partea reală a umărulu ( ) 0 = + 77. Să se dea u exemplu de umăr complex, petru care = 78. Să se calculee produsul de umere 7 complexe... 79. Să se calculee modulul umărulu comple = 5 80. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe + = a + b 8. Să se determe a ştd că = + este soluţe a ecuaţe + a = 0 8. Să se determe partea reală a umărulu ( ) = + 8. Să se calculee modulul umărulu 007 complex = 8. Să se determe a,b astfel îcât să avem egaltatea de umere complexe + + 5 = a + b ( )( ) 85. Să se determe partea reală a 5 0 0 00 umărulu = + + + + 86. Să se găsească u umăr atural + petru care + =, ude = 87. Să se calculee modulul umărulu complex = 88. Să se determe a dacă Re = ş = + a ( ) ( )( ) 89. Să se determe partea reală a umărulu ( ) = cosx + sx 90. Să se calculee modulul umărulu + complex = 9. Să se determe partea reală a umărulu = ( ) + ( + ) 9. Să se reolve î mulţmea umerelor complexe ecuaţa x 8x+ 5 = 0. 9. Să se calculee modulul umărulu ( + ) complex = 9. Dacă + + = 0 să se 009 calculee + 009 95. Aflaţ d + = + + 96. Să se arate că umărul ( ) real. V 97. Să se arate că umărul ( ) + este real. V 98. Să se calculee +. V5 + 99. Să se calculee modulul umărulu complex 8 +. V7 7 00. Să se reolve î mulţmea umerelor complexe ecuaţa =. V8 0. Ştd că ş că + + = 0, să se calculee +. V0 0. Să se calculee + +. V 0. Să se arate că umărul (+ ) + ( ) este umăr îtreg. V 0. Să se calculee modulul umărulu complex =. V6 + 05. Să se arate că umărul (+ ) este îtreg. V7 06. Să se reolve î mulţmea umerelor complexe ecuaţa x x+ = 0.V8 07. Să se reolve î mulţmea umerelor complexe ecuaţa x x+ = 0.V0 0 08. Să se calculee + + +... +. V 09. Să se calculee este + + petru =. V 0. Să se calculee ( )(+ ) ( ).V5 5
. Fe ş soluţle complexe ale ecuaţe + + 50 = 0. Să se calculee +. V6. Să se calculee modulul umărulu 6 complex = + + +... +.V7 0 0. Să se calculee ( + ) + ( ).V8. Să se calculee modulul umărulu complex = ( + ). V 5. Să se calculee modulul umărulu ( + ) + ( ). V5 + 6. Se dă umărul complex =. Să se demostree că =. V9 7. Se cosderă a ş umărul complex a+ =. Să se determe a petru + a care. V0 8. Să se determe partea reală a umărulu complex =. V + 9. Să se arate că umărul ( + ) + ( ) este îtreg. V7 0. Să se determe partea reală a 6 umărulu = ( + ). V8. Să se arate că, dacă este soluţe a ecuaţe + + = 0, atuc = 0. V50. Să se reolve î mulţmea umerelor complexe ecuaţa + = +.V56. Să se determe partea reală a + umărulu complex =.V58 + 7. Să se calculee ( + )( ) ( )( ).V66 5. Să se arate că umărul 8 5 5 + + este îtreg.v68 6. Să se determe ştd că + 7 = 6. V69 0 7. Să se calculee ( + ). V70 8. Să se arate că umărul π π 00 (cos + s ) este umăr real.v7 9. Să se calculee 5 + 5.V7 0. Să se reolve î mulţmea umerelor complexe ecuaţa + + = 0.V7. Să se calculee 009 ( )( )... ( ).V80 ( ). Să se verfce că umărul + este rădăcă a ecuaţe + = 0. V8. Fe Fe. Să se arate că dacă +, atuc. V8. Fe.Să se arate că umărul ( ) este real. V85 5. Să se arate că umărul + + + este real. V86 6. Fe o rădăcă de ord a utăţ, dfertă de. Să se calculee + +. V87 7. Să se determe umerele complexe care verfcă relaţa + = 6. V89 8. Să se arate că π π 6π 8π + cos + cos + cos + cos = 0 5 5 5 5. V90 9. Să se calculee modulul umărulu complex = ( + ( + )). V9 0. Să se calculee modulele rădăclor complexe ale acuaţe + + = 0. V9 ( )( ). Să se calculee 5.V9. Fe astfel îcât + = +. Să se calculee modulul umărulu. V98. Calculaţ produsul de umere 5 7 9 complexe. Bac00 ( ). Calculaţ ( )( ). Bac00 5. Arătaţ că umărul este soluţe a ecuaţe + + = 0. Bac00 6. Calculaţ modulul umărulu complex =. Bac0 6