4. MONGEOVO PROJICIRANJE

4. MONGEOVO PROJICIRANJE 4.1. Projiciranje točke Niti centralno ni paralelno projiciranje točaka prostora na ravninu nije bijekcija. Stoga se pri takvim preslikavanjima suočavamo s problemom nejednoznačnog zamišljanja prikazanog objekta. Kako bi se uklonio taj nedostatak proučimo projiciranje na dvije ravnine. Neka su π 1 i π 2 dvije medusobno okomite ravnine čiju presječnicu označimo s 1 x 2. Neka je T proizvoljna točka prostora. Ortogonalno projicirajmo točku T na ravninu π 1. Tu ortogonalnu projekciju nazivamo prva projekcija ili tlocrt točke T i označavamo s T. Ortogonalnu projekciju točke T na ravninu π 2 nazivamo druga projekcija ili nacrt točke T i označavamo s T. Time je točki T pridružen par točaka prostora (T,T ). Zarotirajmo ravninu π 1 oko pravca 1 x 2 za 90. Pri toj rotaciji točka T preslika se u točku T koja se nalazi u ravnini π 2. Ovu točku T takoder ćemo zvati tlocrt točke T. Sada je točki T pridružen par (T,T ) točaka iz ravnine π 2. Ovo pridruživanje nazivamo Mongeovo projiciranje ili dvocrtna projekcija.

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 52 Prikažemo li točke ravnine π 2 na papiru, spojnica točaka T i T je okomita na pravac 1 x 2. Ovu spojnicu nazivamo ordinala. Ravninu π 1 nazivamo tlocrtnom ravninom, ravninu π 2 nacrtnom, a pravac 1 x 2 os. Uvedimo u prostor lijevi pravokutni koordinatni sustav (O,x,y,z) tako da se os x podudara s osi 1 x 2,osy leži u π 1,aosz u ravnini π 2. Time je točki T prostora pridružena jedinstvena trojka koordinata (x, y, z). U ravnini crtnje, projekcije točke T su u sljedećem položaju.

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 53 Ravnine π 1 i π 2 dijele prostor na četiri kvadranta: prvi, drugi, treći i četvrti. Predznaci koordinata točaka u tim kvadrantima dani su u sljedećoj tablici: x y z I. kvadrant po volji + + II. kvadrant po volji + III. kvadrant po volji IV. kvadrant po volji + Primjer 4.1. Nacrtajmo tlocrt i nacrt točaka A(1, 2, 1), B(2, 1, 2), C( 1, 2, 1), D(1.5, 1, 2), K(, 2, 2), L(6, 3, 3). Odredimo kvadrante u kojima se nalaze. Točke A, B, C i D leže redom u I., II., III. i IV kvadrantu. Tlocrt i nacrt točke K se podudaraju. To je točka koja leži u simetralnoj ravnini II. i IV. kvadranta koju još nazivamo ravnina koincidencije. Točka L leži u simetralnoj ravnini I. i III. kvadranta. Radi zornijeg prikaza objekata u Mongeovoj projekciji, ponekad se osim projekcija na dvije ravnine promatra još i projekcija na treću ravninu, tzv. bokocrt. U tu svrhu uvodimo treću ravninu π 3 koja je okomita na ravnine π 1 i π 2. Ortogonalna

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 54 projekcija na ravninu π 3 točki T pridružuje točku T koja leži u ravnini π 3. Potom tu ravninu π 3 rotiramo za 90 oko presječnice ravnina π 2 i π 3 i točka T se preslika utočku T koju nazivamo bokocrt točke T. Na desnoj slici uočite da su dužine T T x i T T z jednake duljine. 4.2. Projekcije pravaca i ravnina Ako je pravac u općem položaju prema tlocrtnoj i nacrtnoj ravnini, tada su njegove projekcije takoder pravci. Ukoliko je pravac okomit na tlocrtnu ravninu, tada je njegov tlocrt točka, a nacrt pravac okomit na os. Analogno, ukoliko je pravac okomit na nacrtnu ravninu, tada je njegov nacrt točka, a tlocrt mu je pravac. Kod pravca zanimljivi su nam sljedeći pojmovi: prvo i drugo probodište pravca, te prvi i drugi prikloni kut pravca. Prvo probodište pravca je presjek pravca i tlocrtne ravnine π 1, drugo probodište je presjek pravca i nacrtne ravnine π 2. Prvi prikloni kut je kut pravca i tlocrtne ravnine π 1,adrugi prikloni kut je kut pravca i nacrtne ravnine π 2.

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 55 Na gornjoj slici točka P 1 je prvo probodište pravca p, a točka P 2 je drugo probodište pravca p. Pravokutni trokut P 1 P 2 P 2 rotirajmo oko P 1 P 2 tako da padne u ravninu π 1. Dobivamo sukladni trokut P 1P 2P 20 u kojem je kut pri vrhu P 1 upravo prvi prikloni kut pravca p. Osim toga, iz sukladnosti trokuta slijedi da je kut pri vrhu P 2 pravi kut i da je P 2P 20 = P 2P 2, tj. jednako je visini nacrta točke P 2. Analogni se postupak prevaljivanja radi kad želimo odrediti pravu veličinu drugog priklonog kuta. Primjer 4.2. Dan je pravac p = AB, [A( 1, 3, 1),B(1, 1.5, 3)]. Odredimo projekcije tog pravca, te projekcije prvog i drugog probodišta. Primjer 4.3. Pravcu iz prethodnog zadatka odredimo pravu veličinu prvog i drugog priklonog kuta.

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 56. Odredivanje prave veličine dužine Budući da iz tlocrta i nacrta dužine u općem slučaju ne možemo direktno očitati pravu veličinu (duljinu) dužine pri rješavanju ovog problema takoder posižemo za prevaljivanjem nekog lika u ravnine π 1 ili π 2. Promotrimo sliku i uočimo trapez A B BA. To je trapez koji ima dva prava kuta (pri vrhovima A i B ). Rotirajmo ga oko pravca A B tako da padne u ravninu π 1. Dobivamo trapez A B B 0 A 0 koji je sukladan prvome, a kojega možemo lako konstruirati. Uočimo da je dužina A 0 B 0 sukladna dužini AB.

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 57 Medusobni položaj pravaca u prostoru Kao što znamo, dva pravca u prostoru mogu biti ukršteni, mimoilazni i paralelni. Na sljedećim slikama prikazane su projekcije u tim slučajevima redom. Primjer 4.4. Zadani su pravac p = AB, [A( 2, 1, 5),B(5.5, 4.5, 1)] i tlocrt pravca q = CD, [C( 1, 4, ),D(4, 2, 3)]. Odredimo nacrt pravca q tako da se p i q sijeku.

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 58 Primjer 4.5. Nacrtajmo projekcije pravca p koji prolazi točkom A(1, 1, 3) i paralelan je s ravninom π 1. Primjer 4.6. Pravac g odreden je točkama A(6, 4, 3) i G(2, 0, 1). Nacrtajmo projekcije pravca t koji prolazi točkom M(4,, ), M g i paralelan je s osi 1 x 2. Primjer 4.7. Pravac p odreden je točkama A(6, 1, 3) i B(1, 2, 0). Odredimo pravu veličinu dužine AB. Odredimo projekcije točaka C i D na pravcu p za koje vrijedi AC = AD =4.

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 59.

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 60 Projekcija ravnine Ukoliko ravnina ρ nije paralelna s ravninama π 1 i π 2, tada ona siječe te ravnine po pravcima. Pravac r 1 nastao kao presjek ravnine ρ i ravnine π 1 naziva se prvi trag ili tlocrtni trag ravnine ρ. Analogno, pravac r 2 nastao kao presjek ravnine ρ i ravnine π 2 naziva se drugi trag ili nacrtni trag ravnine ρ. Ta dva pravca se sijeku u točki E koja leži na osi 1 x 2 i nazivamo je čvor ravnine ρ. Pri Mongeovoj projekciji ravninu ρ prikazujemo njezinim tragovima r 1 i r 2. Ponekad se promatra i treći trag ravnine koji nastaje presjekom ravnine i bokocrtnom ravninom. Zapazimo još da ako pravac p leži u ravnini ρ, tada, budući da njegovo prvo probodište leži u tlocrtnoj ravnini π 1, a ravnina ρ siječe π 1 po prvom tragu, slijedi da prvo probodište pravca p leži na prvom tragu. Analogno, drugo probodište pravca ravnine leži na drugom tragu te ravnine. Ravninu ρ koja je okomita na tlocrtnu ravninu π 1 nazivamo prvoprojicirajuća ravnina (donja slika). Njezin je drugi trag okomit na os 1 x 2.

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 61 Ravninu ρ koja je okomita na nacrtnu ravninu π 2 nazivamo drugoprojicirajuća ravnina. Njezin je prvi trag okomit na os (donja slika). Uz svaki sustav ravnina π 1 -π 2 vezane su i dvije posebne ravnine: ravnina simetrije i ravnina koincidencije. Na donjoj su slici prikazani tragovi ravnine simetrije σ, tj. simetralne ravnine I. i III. kvadranta. Budući da prvi i drugi trag ravnine ne daju potpunu informaciju o promatranim ravninama, ovo je jedan od primjera kad je u sliku pogodno uvesti i treći trag ravnine kako bi se dobila potpuna informacija o izgledu promatranog objekta u prostoru.

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 62 Na donjoj su slici prikazani tragovi ravnine koincidencije κ, tj. ravnine II. i IV. kvadranta. simetralne U ravnini ρ ističu se četiri klase posebnih pravaca. Pravci ravnine ρ koji su paralelni s ravninom π 1 nazivaju se sutražnice prve skupine. Zbog paralelnosti s π 1 njihov je nacrt paralelan s osi (donja slika) Pravci ravnine ρ koji su paralelni s nacrtnom ravninom π 2 nazivaju se sutražnice druge skupine. Njihov tlocrt je paralelan s osi. Na donjoj slici prikazan je tlocrt i nacrt jedne sutražnice druge skupine.

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 63 Pravci ravnine ρ okomiti na prvi (drugi) trag ravnine nazivaju se priklonice prve (druge) skupine. Tlocrt priklonice prve skupine okomit je na prvi trag ravnine, dok je nacrt priklonice druge vrste okomit na drugi trag. Ovo svojstvo slijedi iz sljedećeg teorema. Teorem 4.1. Ako je jedan krak pravog kuta paralelan s ravninom projekcije, onda je ortogonalna projekcija tog kuta pravi kut. Dokaz. Pogledajmo prvo specijalan slučaj, tj. situaciju kad je jedan krak promatranog pravog kuta upravo u ravnini projekcije π. Uvedimo oznake: promatrani kut je av b pri čemu krak leži u ravnini π. Vrhom V položimo pramen (sve) pravaca koji su okomiti na pravac a. Ima ih beskonačno mnogo, medu njima je i pravac b i njihova unija je ravnina σ čiji je vektor normale upravo vektor smjera pravca a. Ta je ravnina σ okomita na π. Zašto? Označimo s p presječnicu ravnine σ i ravnine π. Presječnica leži u σ i okomita je na pravac a. Kako se traži kut dvije ravnine? Na presječnici p uzme se točka, neka je to V. U toj se točki povuku okomice na p svaka u svojoj ravnini. U ravnini π to je pravac a, a u ravnini σ to je pravac c. Zbog toga što je c σ slijedi da je c okomit na a, a to je ujedno i kut izmedu ravnina σ i rho. Za ortogonalnu projekciju kuta av b trebaju nam ortogonalne projekcije krakova. Ortogonalna projekcija pravca a na ravninu π je taj isti pravac a, dok je ortogonalna projekcija pravca b ujedno i ortogonalna projekcija ravnine σ, a to je upravo pravac p i vrijedi p a. Promotrimo sada opći slučaj, tj. situaciju kad krak promatranog pravog kuta nije u ravnini projekcije (ali je paralelan s njom). Tada taj kut translatiramo u položaj da krak padne u ravninu projekcije i onda smo u prethodnoj situaciji. Vratimo se na proučavanje priklonica. Priklonica prve vrste je pravac okomit na prvi trag ravnine, tj. priklonica prve vrste i prvi trag čine pravi kut čiji je jedan trag u ravnini projekcije (u ovom slučaju je to π 1 ). Prema prethodnom teoremu,

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 64 ortogonalna projekcija tog pravog kuta je opet pravi kut, a ortogonalna projekcija tog pravog kuta je kut što ga čine tlocrt priklonice i prvi trag. Donja slika prikazuje priklonicu prve skupine prikazanu u Mongeovoj projekciji. Točke P 1 i P 2 su probodišta priklonice. Opišimo još i koordinatno zadavanje ravnine. Promatramo li već opisani koordinatni sustav uveden u sustav ravnina π 1 -π 2, vidimo da u tom sustavu točka E ima, općenito, netrivijalnu apscisu, označimo je s x. Prvi trag siječe y os u točki čiju drugu koordinatu označimo s y, a drugi trag siješe os z u točki čija je aplikata označena sa z. Ta tri broja nazivamo koordinate ravnine i zapisuje ρ(x, y, z).

S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 65 Primjer 4.8. Nacrtajmo tragove zadanih ravnina, ako je: a) α(1, 2, 3); b) β( 1, 2, 3); c) γ( 2, 3, 4). Primjer 4.9. Nacrtajmo tragove zadanih ravnina, ako je: a) α( 2, 3, 1); b) β( 3,, 2); c) γ(2, 3, ); d) δ(, 2, 4). Primjer 4.10. Zadana je ravnina ρ(r 1,r 2 ) i tlocrt točke T te ravnine. Odredimo nacrt točke T.