Primjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.

Transcript

1 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.

2 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 91 Primjer Dane su dvije prizme ABCA 1 B 1 C 1 i KLMNK 1 L 1 M 1 N 1 s bazama u ravnini π 2. Konstruirajmo njihov prodor. Koordinate točaka su A(2, 0, 8), B(6, 0, 7.5), C(4.5, 0, 11), A 1 (8, 10, 3.5), K(10, 0, 7), L(13, 0, 6), M(16, 0, 8.5), N(12.5, 0, 10), K 1 (0, 8, 3.5). (Predložak 4.57.) Upotrijebit ćemo metodu bridova, tj. naći ćemo probodište svakog pobočnog brida prizme ABCA 1 B 1 C 1 s drugom prizmom i obratno. a) Probodišta brida AA 1 i prizme KLMNK 1 L 1 M 1 N 1 Tražimo tragove pomoćne ravnine α odredene bridom AA 1 i paralelne s bočnim bridovima druge prizme. Konkretno, u tlocrtu označim s A k točku presjeka pravaca A A 1 i K K 1, te joj pomoću ordinale nadem nacrt na pravcu A A 1. Tom točkom povučem paralelu k s bridom K K 1. Ravnina α odredena je pravcima AA 1 i k. Budući da je baza druge prizme u π 2, potreban nam je samo drugi trag ravnine α. Dakle, odredimo druga probodišta pravaca AA 1 i k, a to su točke A i Q. Dakle, a 2 = A Q. Drugi trag a 2 siječe bazu K L M N utočkama 1 K N i 2 L M koje zajedno s paralelama s bočnim bridovima druge prizme odreduju presječni paralelogram. Točke u kojima pravac A A 1 siječe stranice tog paralelograma su probodišta 1 i2. Ordinalama odredimo tlocrt tih dviju točaka na bridu A A 1. b) Probodišta brida BB 1 i prizme KLMNK 1 L 1 M 1 N 1 Tražimo tragove pomoćne ravnine β odredene bridom BB 1 i paralelne s bočnim bridovima druge prizme. Ali, očito je ta ravnina paralelna s već nacrtanom ravninom α, pa se drugi trag b 2 ravnine β dobije povlačenjem paralele s a 2 točkom B. Daljnji jepostupak analogan prethodnom. Probodišta su točke 3 KNN 1 K 1 i4 MLL 1 M 1. c) Probodišta brida CC 1 i prizme KLMNK 1 L 1 M 1 N 1 Drugi trag c 2 pomoćne ravnine γ ne siječe bazu druge prizme, pa nema probodišta. Tako smo našli probodišta bočnih bridova prve, trostrane prizme s drugom, četverostranom prizmom. Na analogan način treba naći probodišta bočnih bridova četverostrane prizme s trostranom prizmom. d) Probodišta brida KK 1 i prizme ABCA 1 B 1 C 1

3 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 92 Tražimo tragove pomoćne ravnine κ odredene bridom KK 1 i paralelne s bočnim bridovima trostrane prizme. U tlocrtu već imamo označenu s A k točku presjeka pravaca A A 1 i K K 1. Pomoću ordinale nademo joj nacrt na pravcu K K 1, oznaka A k 2. Tom točkom povučem paralelu a s bridom A A 1. Ravnina κ odredena je pravcima KK 1 i a. Budući da je baza trostrane prizme u π 2, potreban nam je samo drugi trag ravnine κ. Dakle, odredimo druga probodišta pravaca KK 1 i a, a to su točke K i P. Dakle, k 2 = K P. Ovaj postupak smo mogli i skratiti ukoliko uočimo da su ravnine α i κ paralelne budući da su obje odredene pravcima koji su paralele s bočnim bridovima tih dviju prizmi. Dakle, drugi trag ravnine κ jednostavno se mogao dobiti kao paralela s tragom a 2 točkom K. Trag k 2 ne siječe bazu A B C, pa probodišta ne postoje. e) Probodišta brida LL 1 i prizme ABCA 1 B 1 C 1 Analognim postupkom dobivamo drugi trag l 2 ravnine λ koji takoder ne siječe bazu A B C. f) Probodišta brida MM 1 i prizme ABCA 1 B 1 C 1 Drugi trag m 2 pomoćne ravnine µ paralelan je s a 2 i prolazi točkom M. On siječe bazu A B C u dvije točke 5 A C i 6 B C. Njima povučemo paralele s bočnim bridovima trostrane prizme i time smo dobili presječni paralelogram. Pravac M M 1 siječe stranice paralelograma u probodištima 5 i6. g) Probodišta brida NN 1 i prizme ABCA 1 B 1 C 1 Analogno dobivamo probodišta 7 ACC 1 A 1 i8 BCC 1 B 1. Spajanje točaka.probodišta spajamo tako da dva susjedna vrha prodornog poligona budu točke s iste plohe. Dakle, redoslijed spajanja je: Vidljivost. Svaka je stranica prodornog poligona na dvije plohe - jedna je ploha trostrane prizme, a druga četverostrane prizme. Stranica prodora je vidljiva u tlocrtu (nacrtu), ako su obje plohe kojima pripada vidljive u toj projekciji. Crtež završavamo time da u konačnici pojačamo one dijelove bridova prizama koji su ostali vidljivi nakon prodora.

4 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 93

5 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 94 Primjer Dane su dvije piramide ABCV 1 i KLMV 2 s bazama u ravnini π 2. Konstruirajmo njihov prodor. Koordinate točaka su A(2, 0, 10.5),B(4, 0, 7), C(6, 0, 12), V 1 (11.5, 4, 3.5), K(7, 0, 10), L(9, 0, 10), M(12, 0, 6), V 2 (4, 9, 0). (Predložak 4.58.) Prvo tražimo probodišta brida V 2 K i piramide ABCV 1. Pomoćna ravnina κ odredena je bridom V 2 K i vrhom V 1. Odnosno, odredena je pravcima V 1 V 2 i V 2 K. Budući da se baza piramide ABCV 1 nalazi u π 2 zanimljiv nam je samo drugi trag k 2 ravnine κ. Odredimo drugo probodište pravca V 1 V 2 i označimo ga s P. Drugo probodište od V 2 K je upravo točka K, pa je k 2 = P K. Pravac k 2 siječe nacrt baze ABC u točkama 1 i 2 koje zajedno s točkom V 1 odreduje presječni trokut. Brid V 2 K taj trokut siječe u točkama 1 i2, a tlocrte im konstruiramo pomoću ordinala koristeći se činjenicom da točke 1 i 2 leže na bridu V 2 K. Na analogan način nademo i probodište brida V 2 L i piramide ABCV 1 uz pomoć ravnine λ čiji je drugi trag l 2 = P L. Probodišta su točke 3 i 4. Brid V 2 M ne probada piramidu ABCV 1. Drugi je korak pronaći probodišta bridova piramide ABCV 1 s piramidom KLMV 2. Ravnina α odredena je bridom V 1 A i vrhom V 2, tj. odredena je pravcima V 1 A i V 1 V 2. Drugi trag ravnine α je a 2 = A P. On siječe nacrt baze KLM u dvjema točkama koje zajedno s vrhom V 2 odreduju presječni trokut. Presjek tog trokuta i brida AV 1 su točke 5 i 6. Probodišta brida BV 1 i druge piramide su točke 7 i 8, dok brid CV 1 ne siječe piramidu KLMV 2. Spajanje točaka.spajamo one točke koje leže na istim plohama. prodorne linije su redom: Vrhovi Vidljivost.Stranice prodorne linije su vidljive samo ako se nalaze na plohama koje su obje vidljive u promatranoj projekciji. Konačna slika prodora dana je na sljedećem crtežu.

6 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 95

7 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 96 Primjer Dane su četverostrana prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 i trostrana piramida KLMV s bazama u ravnini π 1. Konstruirajmo njihov prodor. Koordinate točaka su A(3,,5, 0), B(4, 7, 0), C(5.5, 7.5, 0), D(7, 5.5, 0), A 1 (8, 1, 5.5), K(8.5, 7.5, 0), L(12, 7.5, 0), M(10, 5, 0), V (4.5, 1, 6.5). (Predložak 4.59.) Upotrijebit ćemo metodu bridova, tj. naći ćemo probodište svakog pobočnog brida prizme s piramidom i obratno, probodište svakog pobočnog brida piramide s prizmom. a) Probodišta brida VK i prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Kao što smo vidjeli kod rješavanja problema probodišta pravca i prizme, treba naći ravninu κ koja sadrži pravac VK i paralelna je s pobočnim bridovima prizme. Točkom V povucimo pravac q paralelno s bridom AA 1. Pravci VK i q odreduju traženu ravninu κ. Budući da je baza prizme u π 1, zanimljiv nam je samo prvi trag ravnine κ. Prvo probodište pravca VK je točka K, a prvo probodište pravca q označimo s Q i nadimo na uobičajeni način. Prvi trag k 1 ravnine κ je pravac Q K. On siječe tlocrt baze A B C D u točkama 1 i 2. To su dvije točke presječnog paralelograma, kojemu su dvije stranice paralelne s bočnim bridovima prizme. Točke u kojima te dvije stranice sijeku pravac V K su točke prodora 1 i2. Nacrte tih točaka na bridu V K nademo pomoću ordinala. Prva sljedeća slika prikazuje gore opisane korake. b) Probodišta brida VLi prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Ravnina λ koja sadrži pravac V L i paralelna je s pobočnim bridovima prizme nalazi se na isti način koristeći pravac q. Prvi trag l 1 ravnine λ je Q L. Probodišta pravca VLi prizme su točke 3 i 4. c) Probodišta brida VM i prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 Ravnina µ koja sadrži pravac V M i paralelna je s pobočnim bridovima prizme nalazi se na isti način koristeći pravac q. Prvi trag m 1 ravnine µ je Q M. Probodišta pravca VM i prizme su točke 5 i 6. Druga sljedeća slika prikazuje gore opisane korake za dobivanje točaka 3, 4, 5, 6. d) Probodišta brida AA 1 i piramide Ravnina α kroz vrh V koja sadrži AA 1 ujedno sadrži i pravac q, jer je q AA 1 i V q. Dakle, prvi trag ravnine α je a 1 = Q A. Ali taj trag ne siječe bazu K L M, pa pravac AA 1 ne probada piramidu. Ista je situacija i s bridovima BB 1 i CC 1. Brid DD 1 probada piramidu, jer trag d 1 = Q D ravnine δ siječe bazu K L M u dvije točke koje zajedno s vrhom V odreduju presječni trokut, a presjek tog

8 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 97 trokuta i brida DD 1 su točke 7 i 8. To je dano na trećoj slici. Spajanje točaka. Budući da se spajaju točke koje leže na istim plohama, slijedi da imamo ove linije prodora: i Vidljivost. U tlocrtu su vidljive plohe ABB 1 A 1, KLV, MLV, a u nacrtu ABB 1 A 1, CDD 1 C 1 i KLV. Prodorna linija je vidljiva samo ako su obje plohe na kojima se nalazi vidljive.

9 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 98. Probodišta brida VK i prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1

10 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 99. Probodišta ostalih bridova piramide s prizmom

11 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 100. Probodišta brida DD 1 i piramide

12 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 101. Završen crtež

13 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 102 Primjer Konstruirajmo prodor rotacijskog stošca i pravilne četverostrane prizme koji imaju zajedničku os i baze su im u ravnini π 1. Vrh stošca je V (0, 4, 5), a polumjer baze je r =4. Vrh prizme je A( 1.8, 4.8, 0), a visina joj je v =6. (Predložak 4.60.) Rješenje. Tlocrt prodorne linije nalazi se na tlocrtu prizme. Prvo ćemo odrediti točke prodora koje se nalaze na bridovima prizme. Njihovi tlocrti 1, 2 3,, 4 se podudaraju s tlocrtima vrhova a,b,c D. Uočimo izvodnicu AV. Ona siječe kružnicu baze u točki E. Odredimo E i nacrt izvodnice AV je upravo E V. Presjek nacrta izvodnice E V i brida prizme AA 1 je točka prodora 1. Analogno se odrede nacrti i ostalih triju točaka 2, 3, 4. Ploha ABB 1 A 1 siječe stožac po dijelu hiperbole. Tjeme 5 te hiperbole ima tlocrt u polovištu dužine A B. Odredimo izvodnicu na kojoj leži ta točka 5 i pomoću ordinala odredimo nacrt izvodnice i na njoj nacrt točke 5. Točke 6, 7, 8 nalazimo analogno na ostalim trima plohama prizme. Konačno odredimo još i točke u kojima nacrt prodorne krivulje mijenja vidljivost. Te točke 9 i 10 leže na izvodnicama koje su u tlocrtu paralelne s osi 1x 2. Spajanje točaka. Redoslijed spajanja je ovaj Vidljivost. U nacrtu se vidi linija koja spaja

14 S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 103.