2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.

Transcript

1 . Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3. Usporedi harmoničko titranje s jednolikim kruženjem ako je na početku titranja materijalna točka maximalno udaljena od položaja ravnoteže (ϕ 0 = 90 o ), i period titranja je 5s (T = 5s). Kolika je kutna brzina titranja (kruženja)? Gdje se nakon 233s nalazi materijalna točka koja kruži, a gdje koja titra? Koliko je titraja (kruženja) u tih 233s obavljeno? Koliko je vremena prošlo od početka titranja ako znamo da je točka koja titra na pola amplitude s tedencijom prema položaju ravnoteže i da je do tada učinila 02 titraja? Za dinamički dio (sila) potrebno je još otkriti amplitudu (polumjer), naravno, ili neki drugi podatak koje sada izračunavamo, a to su: obodna (linearna) brzina, ubrzanje... kolika je maximalna kinetička energija ako je masa materijalne točke koja titra 2µg i amplituda 0.4mm?. Na brojevnoj kružnici označi točke: A ( 003π), A 2 ( 97π 2 ), A 3( 553π 6 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3. Usporedi harmoničko titranje s jednolikim kruženjem ako je na početku titranja materijalna točka maximalno udaljena od položaja ravnoteže (ϕ 0 = 90 o ), i period titranja je 2.5s (T = 2.5s). Kolika je kutna brzina titranja (kruženja)? Gdje se nakon 33s nalazi materijalna točka koja kruži, a gdje koja titra? Koliko je titraja (kruženja) u tih 233s obavljeno? Koliko je vremena prošlo od početka titranja ako znamo da je točka koja titra na pola amplitude s tedencijom prema položaju ravnoteže i da je do tada učinila 5 titraja? Za dinamički dio (sila) potrebno je još otkriti amplitudu (polumjer), naravno, ili neki drugi podatak koje sada izračunavamo, a to su: obodna (linearna) brzina, ubrzanje... kolika je maximalna kinetička energija ako je masa materijalne točke koja titra.5µg i amplituda 0.2mm?

2 .Nacrtaj grafove zadanih funkcija: a) f(x) = 2cos(2x + π 3 ); b) f(x) = sin2x + 3cos2x; c) f(x) = tg π x 3. 2.Koliko rješenja ima jednadžba: 2sin πx 2 = log 2 x..nacrtaj grafove zadanih funkcija: a) f(x) = 3 2 cos( 2x 3 + π 4 ); b) f(x) = sin2x 3cos2x; c) f(x) = ctg π x 3. 2

3 2.Koliko rješenja ima jednadžba: sin π 2 ( x) = x 2 3x. A grupa. Izračunaj: a) 2tg ctg tg ( 95 0) ; b) cos(2α β), ako je ctgα = , tgβ = 8, 5π 2 < α < 3π i 5π 2 < β < 2π; c) cos370 sin3 0 + cos33 0 sin257 0 cos35 0 sin cos55 0 sin Dokaži: a) cos 4 x = 8 cos4x + 2 cos2x ; b) tg9 0 tg27 0 tg tg8 0 = 4. c) cos0 0 cos50 0 cos70 0 = Izračunaj: a) 2sin cos sin ( 095 0) ; b) sin(α 2β), ako je tgα = , ctgβ = 8, 5π 2 < α < 3π i 5π 2 < β < 2π; c) cos320 sin28 0 cos302 0 sin52 0 cos34 0 sin cos236 0 sin Dokaži: a) sin 4 x = 8 cos4x 2 cos2x ; b) tg9 0 tg27 0 tg tg8 0 = 4; c) sin20 0 sin40 0 sin80 0 =

4 Rješenja za A grupu:.a) U ovom zadatku treba primjeniti peridičnost i neparnost tangensa i kotangensa, i relaciju ctgα = tg ( 90 0 α ) : 2tg ctg tg ( 95 0) = 2tg ( ) + ctg ( ) tg ( ) = 2tg5 0 + tg5 0 tg5 0 = 2tg ( ) = 2 tg450 tg30 0 +tg45 0 tg30 0 = 2 ( 2 3 )..b) Prvo raspišimo pomoću adicijske formule dani izraz: cos(2α β) = cos2α cosβ + sin2α sinβ = ( cos 2 α sin 2 α ) cosβ + 2sinα cosα sinβ. Sada iz zadanih vrijednosti izračunamo one koje nam in 4 x = trebaju : ctgα = = tgα = Sada iz relacije cosα = ± = cosα = 20,i sinα = tgα cosα = sinα = tg2 α tgβ = 5 8 = cosβ = 8 5 7, i sinβ = 7. Uvrstimo dobivene vrijednosti u gornju relaciju i izračunamo: cos(2α β) = c) U ovom zadatku treba učiti parove koji nas dovode do adicijske formule: = = cos33 0 = cos ( ) = cos ( ) = sin37 0, sin257 0 = sin ( ) = sin3 0, cos55 0 = cos( ) = sin35 0, sin45 0 = sin( ) = cos25 0. Sada je cos370 sin3 0 +cos33 0 sin257 0 cos35 0 sin250 +cos55 0 sin45 = cos370 sin3 0 +sin37 0 cos3 0 0 cos35 0 sin250 sin35 0 cos = sin3300 sin90 0 = 2.a) U ovom dokazu dva puta se koristi identitet: cos 2 x = +cos2x 2, prilikom drugog koraka argument je 2x pa je njegov dvostruki argument 4x. cos 4 x = ( cos 2 x ) 2 ( = +cos2x ) 2 2 = cos2x + 4 cos2 2x = cos2x + 4 +cos4x 2 = cos2x cos4x = 8 cos4x + 2 cos2x b) U ovom zadatku je vidljivo da se treba pokušati spojiti po dva tangensa kod kojih je zbroj kutova 90 0, to je moguće učiniti nekom od relacija npr.: 4

5 tgα + tgβ = tg (α + β) ( tgα tgβ), nažalost otpada jer nije def. tanges od 90 0, pa pokušamo s tgα + tgβ = sin(α+β) cosα cosβ. tg9 0 tg27 0 tg tg8 0 = cos9 0 cos8 0 cos27 0 cos63 0 = 2 sin8 0 2 sin54 0 = 2(sin54 0 sin8 0 ) sin8 0 sin54 0 = 4sin80 cos36 0 sin8 0 sin54 0 = 4. 2.c) Prvo dokažimo formulu: cosx cos ( 60 0 x ) cos ( x ) = 4 cos3x. cosx cos ( 60 0 x ) cos ( x ) = 2 cosx ( cos cos2x ) = 2 cosx ( ( 2 + 2cos2 x ) = 4cos 3 x 3cosx ) = 4 cos3x. 4 U našem zadatku je x = 0 0 = cos0 0 cos50 0 cos70 0 = 4 cos300 = 3 8. Pokušajte riješiti B grupu, tijekom dana stavit ću samo rješenja bez postupka, ne mogu više pisati, ponoć je već prošla... 5

6 . Izračunaj: a) 2ctg ctg ctg ( 750 0) ; b) coc(2α + β), ako je tgα = , sinβ = 7, 5π 2 < α < 3π i 5π 2 < β < 2π; c) n, ako je ( + tg 0) ( + tg2 0)... ( + tg43 0) ( + tg44 0) ( + tg45 0) = 2 n. 2. Dokaži: a) tgx + ctgx = 2 sin2x ; b) sin0 0 sin30 0 sin50 0 sin70 0 = 6. ( Hint. Dokaži sin ( 60 0 x ) sinx sin ( x ) = 4 sin3x.) 3. Ako je cos 4α = 3, koliko je sin6 α + cos 6 α?. Izračunaj: a) 2sin cos sin ( 830 0) ; b) sin(α + 2β), ako je tgα = 25 7, cosβ = 8 5, 5π 2 < α < 3π i 5π 2 < β < 2π; c) n, ako je ( + tg 0) ( + tg2 0)... ( + tg43 0) ( + tg44 0) ( + tg45 0) = 2 n. 2. Dokaži: a) sin3x sinx cos3x cosx = 2; b) tg20 0 tg40 0 tg80 0 = 3. ( Hint. Dokaži tg ( 60 0 x ) tgx tg ( x ) = tg3x.) 3. Ako je cos 4α = 3, koliko je sin6 α cos 6 α? 6

7 . Riješite nejednadžbe: a) sin x > 3 2 ; b) tg 2x 3; c) 2cos ( 0.5x π 6 ) + 0; d) 6sin 2 x + 5sin x Riješi sustav: tg x + tg y = x y = π 4. Riješite nejednadžbe: a) cos x > 3 2 ; b) ctg 3x 3; c) 2sin ( 0.5x + π 4 ) 0; d) 6cos 2 x + 5cos x Riješi sustav: tg x tg y = x + y = 2π 3 Dodatna nejednadžba cos ( x π 4 ) 0.5; (sa hintom x a a x a) 7

8 . ABCDEF je pravilan šesterokut. Tada je BC AD + 2 AF jednako: A. AA B. CA C. F D D. F B E. CE 2. Odredi λ R za koji je vektor a = (λ 3) i + 2 j okomit na vektor b = λ i + j. A. λ {, 2} B.λ {, 2} C.λ Dλ { 2, 2} E.λ { } 3. Neka su A, B, i C vrhovi trokuta pomoću kojih su zadani vektori a = BC, b = CA, c = AB. Koja od tvrdnji nije točna? A. a + b + c = 0 B. a + b > c C.( a + b ) 2 = c 2 D. a + b = c E. a + b = c. Zadan je tetraedar ABCD. Neka je E polovište brida BC, a M polovište dužine DE. Prikaži vektor AM kao linearnu kombinaciju vektora a = AB, b = AC, c = AD. 2. Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC : A ( 2, 3), B (4, ) i C (, 2). a) Izračunaj AB, BC i CA. b) Koliki su kutovi trokuta? c) Kolika je površina trokuta? d) Prikaži vektor v = i 3 j kao linearnu kombinaciju vektora: AB, BC. 3. Koliki je volumen tetraedra ABCD s vrhovima: A (,, 0), B (0,, ), C (, 0, ) i D (0,, 0)? 8

9 . ABCDEF je pravilan šesterokut. Tada je 2 BC AD + AF jednako: A. AA B. CD C. F D D. F B E. CE 2. Odredi λ R za koji je vektor a = (λ + 4) i 5 j okomit na vektor b = λ i + j. A. λ {, 5} B.λ {, 5} C.λ Dλ {, 5} E.λ { } 3. Neka su A, B, i C vrhovi trokuta pomoću kojih su zadani vektori a = BC, b = CA, c = AB. Koja od tvrdnji nije točna? A. a + b + c = 0 B. a + b > c C.( a + b ) 2 = c 2 D. a + b = c E. a + b = c. Zadan je tetraedar ABCD. Neka je E polovište brida BD, a M polovište dužine CE. Prikaži vektor AM kao linearnu kombinaciju vektora a = AB, b = AC, c = AD. 2. Zadane su koordinate vrhova trokuta ABC : A (2, ), B ( 3, 4) i C (0, 4). a) Izračunaj AB, BC i CA. b) Koliki su kutovi trokuta? c) Kolika je površina trokuta? d) Prikaži vektor v = 2 i 3 j kao linearnu kombinaciju vektora: AB, BC. 3. Koliki je volumen tetraedra ABCD s vrhovima: A ( 2, 2, 0), B (0, 2, 2), C ( 2, 0, 2) i D (0, 2, 0)? 9

10 .Kolika je površina kvadrata kojemu dvije stranice leže na pravcima: p...24x-0y+39=0, q...2x-5y-26=0? Odredi jednadžbu pravca koji je usporedan sa zadanim pravcima i prolazi po sredini izmedu njih. 2.Nadi jednadžbu kružnice upisane u trokut omeden pravcima: a...x+y+2=0, b...7x+y=0 i c...7x-y+28=0. 3. Točka A(-2, -2) je vrh kvadrata, a dijagonala kvadrata leži na pravcu x-3y+=0. Odredi jednadžbu kružnice opisane tom kvadratu i ostale vrhove kvadrata. 4. Odredi λ tako da kružnica x 2 + y 2 λx (λ + 6)y + 6λ + 9 = 0 dodiruje pravac 2x + y 8 = Nadi kut pod kojim se sijeku kružnice: k...x 2 + y 2 = 5, k 2...x 2 + y 2 8x + 3 = 0..Kolika je površina kvadrata kojemu dvije stranice leže na pravcima: p...4x-3y+5=0, q...8x-6y+25=0? Odredi jednadžbu pravca koji je usporedan sa zadanim pravcima i prolazi po sredini izmedu njih. 2. Nadi jednadžbu kružnice upisane u trokut omeden pravcima: a...y=0, b...x-2=0 i c...3x-4y=0. 3. Točka A(-8, ) je vrh kvadrata, a dijagonala kvadrata leži na pravcu x-3y+=0. Odredi jednadžbu kružnice opisane tom kvadratu i ostale vrhove kvadrata. 4. Odredi λ tako da kružnica x 2 + y 2 + (λ + 2)x + (2λ 2)y + 2λ + = 0 dodiruje obje koordinatne osi. 5. Nadi kut pod kojim se sijeku kružnice: k...x 2 + y 2 = 25, k 2...(x+2) 2 + (y + 5) 2 = 00. 0

11 .Nacrtaj grafove zadanih funkcija: a) f(x) = 2cos(2x + π 3 ); b) f(x) = sin2x + 3cos2x; c) f(x) = tg π x 3. 2.Koliko rješenja ima jednadžba: 2sin πx 2 = log 2 x..nacrtaj grafove zadanih funkcija: a) f(x) = 3 2 cos( 2x 3 + π 4 ); b) f(x) = sin2x 3cos2x; c) f(x) = ctg π x 3.

12 2.Koliko rješenja ima jednadžba: sin π 2 ( x) = x 2 3x. 2