Analitička geometrija afinog prostora
|
|
- Εὔα Γιαννόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i samo ako postoje realni brojevi α i, i =,,, k +, k + takvi da je k+ k+ k+ α i r i = θ, α i =, αi Dokažite tvrdnju i= i= Rješenje: Smjer Pretpostavimo da točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s Kako je k + s +, to su navedene točke nužno linearno zavisne Dakle, postoje realni brojevi β i, i =,, k +, k + takvi da je k+ i= β ia A i = θ i k+ i= β i Vrijedi k+ i= k+ β i A A i = i= β i ( A O + i= k+ k+ OA i ) = ( β i )r + i= i= β i OAi Za α = k+ i= β i i α i = β i, i =,, k +, vrijedi tražena tvrdnja Smjer Pretpostavke k+ i= α ir i = θ, k+ i= α i =, k+ i= α i povlače da je α = k+ i= α i i k+ k+ k+ α i r i = α i (r i r ) = i= i= i= α i A A i = θ Nužno je i k+ i= α i, jer bi u suprotnom iz α = = α k+ = slijedilo da je α i + = što je suprotno pretpostavci da je k+ i= α i Stoga je skup vektora { A A,, A A k+ } linearno zavisan, pa postoji s-ravnina koja ih sadrži, pri čemu je s jednak dimenziji linearne ljuske koje razapinju vektori A A,, A A k+ Točke T, T, T n+ leže u istoj hiperravnini afinog prostora A n Dokažite da za svaku točku T A n postoje realni brojevi α, α,, α n+ čija je suma i od kojih je barem jedan različit od, tako da vrijedi n+ α it T i = θ i= Rješenje: Skup od n vektora { T T,, T T n+ } pripada smjeru hipperravine koja je n -dimenzionalni vektorski potprostoru od W, pa je je nužno linearno zavisan Stoga postoje realni brojevi β i, i =,, n + takvi da je barem jedan od njih različit od (odnosno n+ i= β i ) i n+ i= β it T i = θ Otuda je n+ θ = β i ( T T + T T i ) = ( i= n+ i= β i ) n+ T T + Uz α = n+ i= β i i α i = β i, i =,, n +, vrijede tvrdnje i= β i T T i
2 3 U afinom prostoru A n dane su linearno nezavisne točke A i (r i ), i =,,, n, n + Dokažite da se radijus-vektor r bilo koje točke T A n može na jedinstven način prikazati u obliku: n+ n+ r = α i r i, gdje je α i = i= Rješenje: Skup vektora { A A,, A A n+ } je linearno nezavisan u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru W, pa stoga predstavlja bazu tog prostora Postoje jedinstveni realni brojevi β, ldots, β n+ takvi da je A T = n+ A A i Iz slijedi da je i= i= β i A T = A O + OT, A A i = A O + OA i, i =,, n +, n+ OT = ( i= β i ) n+ OA + i= β i OAi Uz α = n+ i= β i i α i = β i, i =,, n +, slijedi tvrdnja 4 U afinom prostoru A n dane su točke A i (a i ), B i (b i ), i =,,, k tako da vrijedi b i = k k ( a j a i ), za i =,,, k j= Dokažite da su A, A,, A k linearno nezavisne točke ako i samo ako su B, B,, B k linearno nezavisne točke Rješenje: Tvrdnja očito slijedi iz B B i = OB i B O = (a k a i ) = A k A i, i =,, k 5 U A n su dane točke A i, i =,,, k Odredite nužan i dovoljan uvjet da za skalare λ,, λ k vektor v = k i= λ i T Ai ne ovisi od izbora točke T A n Rješenje: Uvjet glasi k i= λ i = 6 Ako točke T i (r i ), i =,, k pripadaju ravnini π afinog prostora A i za realne brojeve λ i, i =,, k, vrijedi k i= λ i =, onda točka T s radijus-vektorom r T = k i= λ ir i pripada π Dokažite Rješenje: T T = OT OT = k OT i OT = k OT i OT = i= λ i i= λ i 7 Neka je N skup svi normiranih polinoma stupnja n, te P vektorski prostor polinoma stupnja manjeg ili jednakog od n Neka je preslikavanje v : N N P zadano sa v(p, q) = (p q) Dokažite da je (N, P, v) afini prostor, te mu odredite dimenziju Nadalje provjerite jesu li točke p, p,, p n N zadane sa p (x) = x n x n x n, p i (x) = n x j + (i )x n i, j= i =,,, n
3 u općem položaju Rješenje: (N, P, v) je afini prostor dimenzije n Lako se vidi da su vektori (polinomi) v(p, p ) = x n, v(p, p 3 ) = 4x n 3,, v(p, p n ) = (n ), v(p, p ) = 4(x n + x n + + ) linearno nezavisni, pa su točke p, p,, p n u općem položaju 3
4 Dijeljenje orijentirane dužine u zadanom omjeru 8 Neka su A, B, C, D točke afinog prostora A n, neka su P i Q polovišta dužina AB, CD; te neka su K, L, M, N redom polovišta dužina AQ, DP, BQ i CP Dokažite da se pravci KM i LN sijeku Rješenje: Treba pokazati da su točke K, L, M, N komplanarne, odnosno da je skup vektora KL, LM, MN linearno zavisan Zaista, vrijedi da je KL = [ a 4 i + b i c i + d i ] = MN, pri čemu je A = (a i ), B = (b i ), C = (c i ), D = (d i ) 9 Dane su točke O, A, B takve da je OA = a, OB = b Neka su E i F točke takve da je OE = a, OF = b, te neka se pravci AF i BE sijeku u T Izrazite OT pomoću a i b 3 Rješenje: OT = a + b 5 5 Neka su A, A, B, B, C, C točke afinog prostora Neka su A, B i C redom polovišta dužina A A, B B i C C, te neka su T, T i T redom težišta trokuta A B C, A B C i A B C Dokažite da su točke T, T i T uvijek kolinearne Rješenje: Može se pokazati da je T T = T T Neka su A, B, C, D i E proizvoljne točke afinog prostora A n Neka su M, N, P i Q redom polovišta dužina AB, CD, BC i DE, te K i L polovišta dužina MN i P Q Odredite, ako postoji, broj λ takav da je KL = λae Rješenje: λ = 4 Za tri točke X, Y, Z afinog prostora sa [XY Z] označimo četvrti vrh paralelograma s vrhovima X, Y, Z; suprotan vrhu Y U afinom prostoru dane su točke A, B, C, D, E Ako je P = [ABC], Q = [BCD] i R = [CDE], dokažite da je [ABR] = [AQE] = [P DE] Rješenje: Neka je [ABR] = T Tada je AB = T R, odnosno AQ + QB = T E + ER Budući da je QB = DC = ER, slijedi da je AQ = T E, tj [AQE] = T Analogno se pokaže ostalo 3 U afinom prostoru dane su točke A i = (a i ), i =,,, n i B j = (b j ), j =,,, n takve da vrijedi b j = (a k + a + + a j + a j+ + + a n ) za j =,,, n Dokažite da su točke B j, j =,,, n linearno zavisne ako i samo ako su točke A i, i =,,, n linearno zavisne Rješenje: Dovoljno je pokazati da je A A j = k B B j, j =,, n 4 U afinom prostoru dane su linearno nezavisne točke A, B i C Neka je A točka takva da je A B AC, A C AB, te neka je B točka takva da je AB BC, B C AB Odredite, ako postoji broj λ takav da je AB = λ A B Rješenje: λ = 5 Neka su A, B, C i D različite točke afinog prostora Neka su E i F polovišta segmenata AB i CD, te P, Q, R i S polovišta segmenata AF, ED, BF i EC redom Dokažite da je P QRS paralelogram Rješenje: Vrijedi da je P Q = [ a 4 i + b i c i + d i ] = SR, gdje je A = (a i ), B = (b i ), C = (c i ), D = (d i ) 6 U afinom prostoru dan je paralelogram ABCD Točke E i F su polovišta njegovih stranica BC i CD Dokažite da dužine AE i AF dijele dijagonalu BD na tri jednaka dijela 4
5 7 Dokažite da se dijagonale trapeza sijeku na spojnici polovišta njegovih osnovica Rješenje: Neka se dijagonale trapeza ABCD sijeku u točki S Tada je S = (λa i +( λ)c i ) i S = (λb i + ( λ)d i ) za neki λ, (zbog sličnosti trokuta ABS i CDS) Otuda je S = (λ a i+b i + ( λ) c i+d i ), dakle točka na spojnici polovišta osnovica trapeza 8 Neka je ABCD trapez u kojem je AB = a, AD = b i DC = λa Neka je T sjecište dijagonala AC i BD Prikažite vektor AT pomoću a, b i λ Rješenje: AT = λ a + b +λ +λ 9 U afinoj ravnini dan je šesterokut ABCDEF, takav da je AB = ED, BC = F E i CD = AF Dokažite ili opovrgnite: njegove tri glavne dijagonale sijeku se u jednoj točki Rješenje: Treba uočiti da su ABED, BCF E i CDAF paralelogrami, te da se njihove dijagonale sijeku u jednoj točki -9-3 U afinoj ravnini dan je šesterokut ABCDEF, takav da je CF = BA = DE Dokažite ili opovrgnite: tada je i AD = BC = F E Rješenje: Ne mora vrijediti U paralelogramu ABCD točka M je polovište stranice AB, a točka N se nalazi na stranici CD, tako da je 3 DN = DC Ako je P sjecište dijagonala AC i BD, Q sjecište AN i MD, a R sjecište BN i MC, pokažite da su točke P, Q i R kolinearne Rješenje: Može se pokazati da je P Q = ( 3 AB + AD) i P R = ( 3 AB + 4 AD), pa su P, Q i R kolinearne Neka je ABC trokut, T njegovo težište, AA, BB, CC težišnice, i A, B, C redom polovišta segmenata AT, BT, CT Dokažite da su nasuprotne stranice šesterokuta A B C A B C sukladne i paralelne Rješenje: Treba pokazati da je A C = C A, C B = B C i A B = B A Sve vektore prikažemo npr u bazi AB, AC i dobivamo da je A C = AB AC = C 3 6 A itd 3 Neka je ABCD četverokut u afinoj ravnini, te neka su K, L, M, N, P i Q redom polovišta stranica AB, BC, CD, DA i dijagonala AC i BD Dokažite da su četverokuti KP MQ i LP N Q paralelogrami Rješenje: Neka su a, b, c i d radij-vektori točaka A, B, C i D Označimo i radij-vektore ostalih točaka odgovarajućim malim slovima Vrijedi Zato je k = a + b, l = b + c, m = c + d, n = d + a, p + q p = a + c, q = b + d = n + l = k + m = a + b + c + d, što znači da dužine P Q, NL i KM imaju zajedničko polovište, pa su KP MQ i LP MQ (i KLM N, naravno) paralelogrami 5
6 4 Neka su A, B, C, D i P točke afinog prostora A n takve da se pravci AB i CD sijeku u točki P Dokažite da je AC BD ako i samo ako je (ABP ) = (CDP ) Rješenje: Ako je AC BD, onda su trokuti P DB i P CA slični, pa (ABP ) = (CDP ) Obratno, slijedi da je CAB = DBA, pa je AC BD 5 Neka su A, B i C različite točke afinog prostora A Za koje točke T A vrijedi relacija Rješenje: Vrijedi za sve T A i T B, C (ABT )(BCT ) + (ACT ) =? 6 Neka su A, B, C nekolinearne točke afinog prostora, te neka su A i B točke takve da je (CBA ) = α i (CAB ) = β Ako se pravci AA i BB sijeku u točki T, odredite (AA T ) i (BB T ) Neka su A, B, C i D različite točke afinog prostora, te neka su K, M, P i T točke takve da je (ACK) = (BDP ) = /3 i (ACM) = (BDT ) = 3 Dokažite da polovišta segmenata AD, BC, P M i KT leže na istom pravcu Rješenje: Označimo polovišta segmenata AD, BC, P M i KT sa P, P, P 3 i P 4 Koordinate polovišta možemo prikazati preko koordinata točaka A, B, C i D; P = ( a i + d i ), P = ( b i + c i ), P 3 = ( a i + 3b i + 3c i + d i ), P = ( 3a i + b i c i 8 + 3d i ) Konačno, 8 jer je P P 3 = 3 P 4 P, P P 4 = P 4 P, slijedi tvrdnja 8 Neka su A, B, C, X i Y točke afinog prostora Ako je (ABX) = α, (BCY ) = β i (XY B) = γ, koliko je (ABC)? Rješenje: (ABC) = (+α)βγ +β 9 Ako je poznato da je (ABC) = α, (BCD) = β i (CDE) = γ, odredite (ABD) i (ACE) 3 Neka su A B C D i A B C D paralelogrami, te neka su A 3, B 3, C 3 i D 3 točke takve da je (A A A 3 ) = (B B B 3 ) = (C C C 3 ) = (D D D 3 ) = τ Dokažite ili opovrgnite: četverokut A 3 B 3 C 3 D 3 je paralelogram Rješenje: Vrijedi D 3 C 3 = D +τ C + τ D +τ C = A +τ B + A 3 B 3 C 3 D 3 paralelogram 3 Za kolinearne točke A, B, C, D definiramo [ABCD] = (ABC) (ABD) τ +τ A B = A 3 B 3, pa je Dokažite da je [ABCD] = [CDAB] = [DCBA] Rješenje: Neka je (ABC) = λ, (ABD) = µ Moě se pokazati da je (CDA) = λ(+µ) µ(+λ) (CDB) = +µ (CDA), pa je [CDAB] = = λ = [ABCD] Analogno preostali slučaj +λ (CDB) µ 3 Neka su A, B, C, D različite točke afinog prostora, a K, L, M i N točke takve da je i (ABK) = (BCL) = (CDM) = (DAN) = Dokažite ili opovrgnite: KL = NM Rješenje: KL = [c i a i ] = NM, gdje je A = (a i ), C = (c i ) 6
7 33 U afinom prostoru A n dane su 4 različite točke A, A, A 3, A 4 Neka su B, B, B 3, B 4 redom točke koje dijele orijentirane dužine A A, A A 3, A 3 A 4, A 4 A u istom omjeru λ, (λ R) Neka su M, N, S, T redom polovišta segmenata A A 3, A A 4, B B 3, B B 4 Dokažite da je ST MN Rješenje: Ako je A = (a () i ),,A 4 = (a (4) i ), onda je ST = λ (+λ) [ a() i + a () i a (3) i + a (4) i ] i MN = [ a() i + a () i a (3) i + a (4) i ], pa je ST MN 34 Neka su A, B, C, X, Y, Z različite točke afinog prostora Neka su P, Q i R redom polovišta dužina AX, BY i CZ, te neka su T, T i T redom težišta trokuta P QR, ABC i XY Z Dokažite da su točke T, T i T uvijek kolinearne Rješenje: Neka je A = (a i ), B = (b i ),, Z = (z i ) Vrijedi da je T T = [a 6 i +b i +c i x i y i z i ] i T T 3 = [a 3 i + b i + c i x i y i z i ], odnosno da su vektori T T i T T 3 kolinearni 35 Neka su A, B, C, D točke afinog prostora takve da je AB CD Neka su M i N redom točke presjeka pravaca AC i BD odnosno AD i BC Neka su X i Y točke u kojima pravac MN siječe AB odnosno CD Odredite (ABX) i (CDY ) Rješenje: Potrebno je uočiti da je ABM DCM i ABN CDN, otuda je MC = CD = CN = µ Vektor AX prikažemo u bazi vektora AB i MB AB AN AD na dva načina; AX = a AB i AX = AM + b NM = = ( +b + b ) +µ µ AD + bµ AB Otuda je a =, tj µ+ (ABX) =, te zbog sličnosto trokuta i (CDY ) = 36 Neka je ABCD paralelogram sa središtem O, te P točka u istoj ravnini Neka su M i N polovišta dužina AP i BP, te neka je R točka presjeka pravaca CM i DN Pokažite da točka R leži na OP i odredite (OP R) Rješenje: Ako je (DNR) = λ, onda je OR = λ OP + λ OB Pokaže se da je (+λ) (+λ) λ =, pa otuda slijedi da točka R leži na OP i da je (OP R) = 37 Neka su A, B, C, A, B i C točke afine ravnine takve da je (A B C ) = (A B C ) = λ Izrazite, ako je moguće C C pomoću A A, B B i λ Rješenje: C C = A A + λ B B +λ +λ 38 Neka su A, B i C različite točke afinog prostora Neka su M i N točke takve da je (ABM) = x i (BCN) =, x, x ± Neka se AN i CM sijeku u točki P i neka x BP siječe AC u točki T Odredite (ACT ) Rješenje: (ACT ) = 39 U afinoj ravnini dan je trapez ABCD Neka je O sjecište njegovih dijagonala AC i BD, a T sjecište krakova AD i BC Ako je (ACO) = (BDO) = λ, izrazite OT pomoću OC, OD i λ Rješenje: OT = λ OC + OD λ λ 4 U afinoj ravnini dane su točke A, B i C Neka su M i N točke takve da je (ABM) = i (ACN) = Ako se pravci BC i MN sijeku u točki T, odredite (BCT ) 4 Neka su O, A, B, M, N, P i Q različite točke afinog prostora takve da vrijedi (AP B) = (BQA) = (OQM) = (OP N) 7
8 Dokažite da postoji točka T takva da je (NT B) = (MT A) Rješenje: Najprije uočimo da sve spomenute točke leže u -ravnini odredenoj točkama O, P i Q Označimo a = OA i b = OB Neka je (AP B) = (BQA) = (OQM) = (OP N) = λ Vrijedi AB = λ BP, tj b a = λ( OP b), odakle slijedi λop = ( + λ)b a Na sličan način dobivamo λ OQ = ( + λ)a b Iz (OQM) = λ slijedi OM = λ MQ = λ( OQ OM) Dakle (λ + ) OM = λ OQ = ( + λ)a b Slično, (λ + ) ON = λ OP = ( + λ)b a Pravci AM i BN se sijeku (nisu paralelni) ako i samo ako postoji točka T i α i β takvi da je (MT A) = α, (NT B) = β Tada je MA = α AT, a OM = α( OT a) α OT = ( + α)a OM = ( + α)a (a b) = αa + + λ + λ b Slično je β OT = βb + a Slijedi +λ OT = a + α( + λ) b = b + a ( ) β( + λ) Iz linearne nezavisnosti vektora a i b sada slijedi = =, odnosno α = β = α(+λ) β(+λ) Dakle, (MT A) = (NT B) +λ Ako vektori a i b nisu nezavisni, znači da su točke O, A i B kolinearne, pa sve zadane točke leže na jednom pravcu U tom se slučaju lako provjeri tvrdnja 4 Na pravcima p i p afinog prostora A n koji se sijeku dane su točke A i, B i, C i p i, i =,, za koje vrijedi (A B C ) = (A B C ) Dokažite da ako točke P, Q, R dijele redom dužine A A, B B, C C u istom omjeru, onda su te točke kolinearne Rješenje: Neka je za neki λ R\{ } Tada je A P = λ P A, B Q = λ QB, C R = λ RC, P Q = P A + A B + B Q = λ A A + A B + λ B B λ + λ + = λ A A + A B + λ λ + λ + ( B A + A A + A B ) λ = A B + A B λ + λ + Na isti način dobiva se da je QR = λ B C + B C λ + λ + Sada iskoristimo pretpostavku da je (A B C ) = (A B C ), tj da vrijedi za neki µ R\{ } Otuda slijedi da je A C = µ C B, A C = µ C B, B C = A B, B C = A B + µ + µ 8
9 Konačno, dobivamo da je QR = + µ ( λ A B + A B ) = P Q, λ + λ + + µ pa su točke P, Q, R kolinearne 43 U E 4 su dani koordinatni sustavi (O, e, e, e 3, e 4 ) i (E 4, E 4 E 3, E 3 E, E E, E O), gdje je e i = OE i, i =,, 3, 4 Nadite vezu medu koordinatama točke u ova dva sustava Koje su stare koordinate točke čije su nove koordinate (,, 3, 4)? Rješenje: Matrica prijelaza glasi A = a jednadžba transformacija koordinata Stare koordinate točke su (7,,, ), X = AX + A, A = (,,, ) 9
10 Jednadžbe ravnina 44 Odredite kanonsku jednadžbu pravca koji siječe pravce i paralelan je s pravcem π x 3 = x 5 3 π { 4x 5x 75 = x 4x = π 3 x = + 8τ, x = + 7τ, x 3 = 3 + τ Rješenje: Smjer traženog pravca π je s = [8, 7, ] Neka je A = (3+t, 5+3t, t) π π, te B = ( s, s, 7 + s) π π Tada je AB = αs, za neki α RJednadžba AB = αs ekvivalentna je linearnom sustavu s t 8α =, 4 s 3t 7α = 5, s t α = Rješenje je t = 9, tj A = ( 6, 47, 9 ), pa je π x 6 8 = x U afinom prostoru A 4 odredite pripadni sustav linearnih jednadžbi ravnine koja sadrži točke K = (,,, ), L = (,, 3, 4), M = (,, 3, 3) i čijem smjeru pripadaju vektori a = [3, 3,, ], b = [,,, ] Rješenje: Rang matrice kojoj retke (ili stupce) predstavljaju vektori a, b, KL, KM je 3 Stoga je tražena ravnina hiperravnina točkom K, te smjerom odredenim vektorima a, b, KM Parametarske jednadžbe ravnine glase x = + 3t + t x = 3t + t + 3t 3 x 3 = t + t + 3t 3 x 4 = + 3 t 3 Eliminacijom parametara t, t, t 3, dobivamo opći oblik jednadžbe hiperravnine x x + x 4 = 4 46 Pripadaju li točke T = (,, 3, 3), T = (,,, ), T 3 = (,,, 4), T 4 = (,, 3, ), T 5 = (,,, ) istoj hiperravnini afinog prostora A 4? Rješenje: Najprije se odredi rang matrice kojoj vektori T T, T T 3, T T 3, T T 4, T T 5 čine stupce (ili retke) Rang iznosi 4 To znači da navedeni vektori predstavljaju bazu pripadnog vektorskog prostora Drugim riječima, točke T, T, T 3, T 4, T 5 su linearno nezavisne Pet linearno nezavisnih točaka ne može ležati u istoj ravnini
11 47 Dani su pravci π = A A i π = B B pri čemu je A = (5,, 3), A = (, 6, ), B = (5,, 4), B = (4,, 6) A 3 Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži π i paralelna je s π Rješenje: Tražena ravnnina π ima smjer razapet vektorima A A, B B, te prolazi toǩom A (ili A ) Njena jednadžba glasi x + 9x + 5x 3 = Ravnina π A 3 prolazi točkom T = (7, 5, ) i na koordinatnim osima odsijeca jednake odsječke Odredite jednadžbu te ravnine Rješenje: x + x + x 3 = 3 49 Odredite jednadžbu ravnine u afinom prostoru A 5 koja prolazi točkom (, 5, 3,, ), paralelna je s ravninom x = t + s x = 4t x 3 = s x 4 = 3t + s x 5 = s a sadržana u x + 7x x 3 + 7x 4 7x 5 = a, za neki a Rješenje: Tražena ravnina π paralelna je danoj ravnini smjera W = [[, 4,, 3, ], [,,,, ]], pa je smjer ravnine π podskup ili nadskup od W Uočimo npr da vektor [,,,, ] W nije paralelan sa zadanom hiperravninom (jer je +7 ( )+7 7 ( ) ), pa smjer od π mora biti podskup od W Jasno je naravno da je točka (, 5, 3,, ) ravnina koja zadovoljava sve postavljene uvjete Odredimo, ako postoji, takav pravac Njegov vektor smjera je a[, 4,, 3, ] + b[,,,, ] = [ a + b, 4a, b, 3a + b, b] Mora vrijediti ( a+b)+7 4a ( b)+7 ( 3a+b) 7 ( b) =, odnosno a+b = Traženi pravac ima vektor smjera [, 4,, 3, ] [,,,, ] = [, 4,, 4, ], odnosno [,,,, ] Jednadžba traženog pravca je x + = x = x 4 = x 5 5 Odredite jednadžbu hiperravnine u afinom prostoru A 4 koja prolazi točkom T = (,,, ), paralelna je s pravcem x = x + 3 = x 4 te odsijeca jednake odreske na koordinatnim osima x, x 3, x 4 Rješenje: Jednadžba hiperravnine π koja odsijeca jednake odreske na koordinatnim osima x, x 3, x 4 glasi x a + x b + x 3 b + x 4 b = Iz uvjeta T π dobivamo a + = Budući da b je vektor v = [, 3,, ] vektor smjera ravnine π, slijedi da je T + v = (4,,, ) π Otuda je 4 =, tj a = 4 Stoga je i b = 4, pa jednadžba tražene hiperravnine glasi a x + x + x 3 + x 4 = 4
12 5 U afinom prostoru A 5 dane su točke A = (,,,, ) i B = (,,,, ) te vektori a = [,,,, ], a = [,,,, ], b = [,,,, ] i b = [,,,, ] Neka je π ravnina točkom A smjera [a, a ], i π ravnina točkom B smjera [b, b ] Odredite, ako postoji, pravac kroz ishodište koji siječe ravnine π i π Rješenje: Pretpostavimo da ravnina π siječe traženi pravac π u točki A = ( + α + α, α,, α, +α ), a ravnina π u točki B = ( β, +β +β, β,, β +β ) Vektori A i B su vektori smjera pravca π, pa su nužno kolineani, odnosno koordinate su im proporcionalne, tj postoji λ R takav da je A = λ B Ovu vektorsku jednadžbu možemo shvatiti kao linearni sustav od 5 jednadžbi u nepoznanicama α, α, λβ, λβ (mali trik; umjesto nepoznanica λ, β i β, nepoznanicama smatramo produkte λβ i λβ, jer je u tom slučaju naš sustav lineran) Sustav glasi α + α + λβ =, α λβ λβ = λ, λβ =, α = λ, α λβ λβ = Sustav koji se sastoji od prve četiri jednadžbe ima jedinstveno rješenje α =, α = λ, λβ = λ, λβ = Peta (posljednja) jednadžba je zadovoljena ako i samo ako je λ = Stoga je rješenje početnog problema α =, α =, β =, β =, λ = Traženi pravac prolazi točkama i A = (,,,, ), pa je njegova kanonska jednadžba x = x = x 4 = x 5 5 Odredite ravninu π A 5 minimalne dimenzije koja prolazi točkom A = (,, 3,, ), paralelna je s pravcem a sadrži pravac x 3 x = x = x + = x 4 + = x 4 = x 5 = x Rješenje: Tražena ravnina π je ravnina točkom (,,,, 4) i smjerom W = [{[,,,, ], [,,,, 3]}] Dakle, dim(π) = 53 Odredite parametarsku jednadžbu ravnine najmanje dimenzije koja sadrži točke (,,, ) i (,, 3, ), paralelna je s pravcem x 3 3 = x + 3 i leži u hiperravnini x x + x 3 x 4 = 3 3 = x Rješenje: To je -ravnina čije parametarske jednadžbe glase x = +3t 3s, x = +s, x 3 = t + s, x 4 = + t 3s Uvjet da ova ravnina leži u danoj hiperravnini se lako provjeri uvrštavanjem, ( + 3t 3s) ( + s) + ( t + s) ( + t 3s) = 3 54 Odredite, ako postoji, ravninu maksimalne dimenzije koja sadrži pravac π x = x 3 = x 4 + = x 5,
13 sadržana je u hiperravnini π x = x 4 i paralelna s π x + x 4 x 5 = 5 Rješenje: Ovakva ravnina ne postoji, jer pravac koji mora sadržavati ne leži u ravnini u kojoj ona mora biti sadržana, tj očito ne vrijedi π π π 55 U afinom prostoru A 5 odredite jednadžbu ravnine najmanje dimenzije koja sadrži pravac x = x = x 4 = x 5 i paralelna je s ravninom odredenom točkama O, E i (,,,, ) Rješenje: To je 3-ravnina točkom T = (,,,, ) i smjerom razapetim vektorima [,,,, ], [,,,, ], [,,,, ] Jednadžbe ravnine glase x 4 =, x x 3 + x 5 = 56 U afinom prostoru A 5 odredite jednadžbu ravnine najveće dimenzije koja leži u hiperravnini π x + x x 4 = 3, prolazi točkom (,,,, ) i paralelna je s hiperravninom π x x + x 3 x 5 = Rješenje: Smjer hiperravnine π je W = [{[,,,, ], [,,,, ], [,,,, ], [,,,, ]}], a od π je W = [{[,,,, ], [,,,, ], [,,,, ], [,,,, ]}] Tražena ravnina prolazi točkom (,,,, ) i ima smjer W W Presjek W W je 3-dim vektorski potprostor razapet vektorima [,, 3,, ], [,,, 3, ], [,,,, 3] 57 Odredite presjek svih ravnina afinog prostora A 5 koje sadrže pravac x = x i paralelne su s ravninom x = x 3 3 = x = x
14 Suma, presjek i medusobni položaj ravnina 58 Kakav je medusobni položaj ravnine odredene točkom T = (,, 3, 3, ) i smjera razapetog vektorima a = [,,, 3, ] i b = [,,,, 3] i hiperravnine 5x x x 5 = 6 Rješenje: Paralelne su 59 Odredite medusobni položaj ravnine π A 5 dane sustavom 3x x + x 5 = 4x + x + x 3 + x 4 = i pravca π odredenog točkama A = (,,, 3, ) i B(,,,, ) Rješenje: Mimosmjerni su 6 Odredite presjek i sumu, te medusobni položaj ravnina π i π afinog prostora A 4 ako je π ravnina odredena točkama A = (,,, ), A = (,,, ), A 3 = (3,,, ) i A 4 = (,,, ), a π hiperravnina točkom T = (4, 3,, ) paralelna s hiperravninom točkama E, E, E 3 i E 4 Rješenje: Presjek ovih ravnina je pravac x + A 4 = x = x 4, a suma je čitav prostor 6 U ovisnosti o parametru m R odredite jednadžbu i dimenziju presjeka i sume ravnina π i π u A 4, { 3x + x π + 5x 3 + 4x 4 = 3 x + 3x + 6x 3 + 8x 4 = 5 { x 6x π 9x 3 + x 4 = 4x + x + 4x 3 + mx 4 = Rješenje: Sustav za π π nema rješenja, a rang matrice sustava je 3 Stoga su ravnine mimosmjerne 6 U afinom prostoru A 4 dane su ravnine π { x x + x 3 = x x x 3 + x = i π koja prolazi točkom (3, 3, 4, ) i sadrži pravac x = x = x 4 + Odredite parametarske jednadžbe i dimenzije sume i presjeka tih dviju ravnina x = 3 s + t x = s + t x Rješenje: π = t x, π x 3 = 3 + s = s x 3 = + s π π dim(π + π ) = 3 x 4 = s x = + s x = + s x 3 = 3 + s x 4 = s x 4 = + s + t, dim(π π ) =, π + π, dim(π ) = dim(π ) =, x = 3 r + s + t x = s x 3 = 3 + r x 4 = r + t, 4
15 63 Dani su pravci π = A A i π = B B, pri čemu je A = (,,, ), A = (,,, ), B = (3,, 3, ) i B = (,, 3, ) Odredite π π i π +π (Sumu prikažite jednadžbom ili sustavom jednadžbi) { x x Rješenje: π π = (5,, 3, ), π + π + x 4 = x x 3 = 64 U afinom prostoru A 4 dane su ravnine π x = t x = 5 + t + t x 3 = + t t x 4 = + t π { x x x 3 = 3 x 4 = Odredite sumu i presjek tih ravnina Njihove jednadžbe zapišite u uobičajenom obliku (bez parametara) Rješenje: Slično je već riješeno 65 U afinom prostoru A 5 dani su točka T = (,, 3,, ) i pravci π x π x = x = x = x 4 = x 4 3 = x 5 = x 5 4 Odredite parametarske jednadžbe ravnina π = T + π, π = T + π, π 3 = π + π i π 4 = T + π + π Koje su dimenzije ravnine π + π, (π 3 π 4 ) (π + π )? Rješenje: π x =, x = + p + r, x 3 = 3 + r, x 4 = + p + r, x 5 =, π x = + r, x = + p, x 3 = 3 + p r, x 4 = + 3p, x 5 = + 4p + r, π 3 x = + p, x = + p + r + s, x 3 = + p + s, x 4 = + p + r + 3s, x 5 = + p + 4s, π 4 x = + p, x = + p + r + s + t, x 3 = + p + s + t, x 4 = + p + r + 3s + t, x 5 = + p + 4s, dim(π + π ) = dim(π 4 ) = 4, dim((π 3 π 4 ) (π + π )) = dim(π 3 ) = 3 66 Odredite parametarske jednadžbe presjeka hiperravnine 4x + x + x 3 x = i ravnine razapete točkama A = (3, 4,, 6), A = (3,,, ), A 3 = (,, 3, ) i A 4 = (,, 4, 4) 67 U afinom prostoru A 5 dani su točka T = (, 3,, 4, 4) i pravci π π x x 3 = x + = x = x 4 + = x = x = x 5 + Pokažite da dani pravci leže u istoj ravnini, te odredite jednadžbu ravnine T + π + π 5
16 68 Odredite ravninu π A 4 maksimalne dimenzije koja prolazi točkom (3,,, 4), paralelna je s hiperravninom π 3 : x + x 8x 3 + 3x 4 = i mimoilazna s pravcem x Kolika je dimenzija ravnine π 3 π? = x 3 + = x 4 69 U afinom prostoru A 5 odredite dimenzije, ispitajte medusobni položaj, te odredite sumu (dovoljan je parametarski oblik) i presjek ravnina x 3x + 4x + x 4 = = 3 s x x π + 3x 3 x 4 = 8 = + t s i π x 3 x 5 = 3 x 3 = 4 + t x x + 4x 3 x 5 = 9 4 = + s x 5 = + t + s Rješenje: Presjek tražimo uvrštavanjem parametarskih jednadžbi ravnine π (x, ) u jednadžbe ravnine π Dobiveni sustav 4 jednadžbe s dvije nepoznanice s i t nema rješenja, pa se π i π ne sijeku π možemo prikazati u parametarskom obliku x = t, x = 3 3t, x 3 = 3 + t, x 4 = 7 + 3t, x 5 = t, pa je π pravac Možemo ga zapisati i ovako: x + = x 3 = x = x 5 + π je ravnina točkom ( 3,, 4,, ) razapeta vektorima a = [,,,, ] i a = [,,,, ] Kako vektor [, 3,, 6, ] ne možemo prikazati kao linearnu kombinaciju vektora a i a, ravnine su mimosmjerne Njihova suma je 4-ravnina, dakle hiperravnina x = 3 s + u v x = + t s 3u + v x 3 = 4 + t + u + v x 4 = + s + 6u 6v x 5 = + t + s + u v 7 Opišite sve moguće medusobne položaje ravnina π 3 i π k u afinom prostoru A 5 Za svaki pojedini slučaj navedite primjer Rješenje: Neka je npr π 3 zadana sustavom jednadžbi x =, x = k = : π π 3 (npr π = (,,,, )), π π 3 (npr π = (,,,, )) k = : π π 3 (npr π x =, x =, x 3 =, x 4 = ), π π 3 (npr π x =, x =, x 3 =, x 4 = ), π π 3 = {T } (npr π x =, x 3 =, x 4 =, x 5 = 3, T = (,,,, 3)), π i π 3 su mimosmjerni (npr π x =, x 3 =, x 4 =, x 5 = 3), k = : π π 3 (npr π x =, x =, x 3 = ), π π 3 (npr π x =, x =, x 3 = ), 6
17 π π 3 = π (npr π x =, x 3 =, x 4 = i π x =, x =, x 3 =, x 4 = ), π i π 3 su mimosmjerni (npr π x =, x 3 =, x 4 = ), π π 3 = {T } (npr π x 3 = 3, x 4 = 4, x 5 = 5, T = (,, 3, 4, 5)), k = 3: π 3 = π 3 ( π 3 x =, x = ), π 3 π 3 (npr π 3 x =, x = ), π 3 π 3 = π, (npr π 3 x =, x 3 =, π x =, x =, x 3 = ), π 3 i π 3 su mimosmjerni (npr π 3 x =, x 3 = ), π 3 π 3 = π (npr π 3 x 3 =, x 4 =, π x =, x =, x 3 =, x 4 = ), k = 4: π 3 π 4 (npr π 4 x = ), π 3 π 4 (npr π 4 x = 5), π 3 π 4 = π (npr π 4 x 3 = ) 7 Ispitajte, pomoću pojma ranga, koje sve medusobne položaje mogu imati dvije ravnine u afinom prostoru A 5 Odredite dimenziju sume i dimenziju presjeka, odnosno presjeka smjerova za svaku mogućnost Rješenje: Svaka ravnina u A 5 može se prikazati linearnim sustavom od 3 jednadžbe s 5 nepoznanica Presjek dvije ravnine može se predstaviti sustavom od 6 jednadžbi s 5 nepoznanica Matricu tog sustava označimo s M, a proširenu matricu sustava s M p Tada je r(m) {3, 4, 5}, a r(m p ) {3, 4, 5, 6} Konkretno mogu nastupiti sljedeći slučajevi: r(m) = r(m p ) = 3: Poklapaju se r(m) = 3,r(M p ) = 4: Paralelne su r(m) = r(m p ) = 4: Sijeku se po pravcu r(m) = 4,r(M p ) = 5: Mimosmjerne su r(m) = r(m p ) = 5: Sijeku se u točki r(m) = 5,r(M p ) = 6: Mimosmjerne su 7 Neka su π n k i π k+ ravnine afinog prostora A n Odredite moguće medusobne položaje tih ravnina ako znate da njihova suma razapinje A n Za n = 5 i k =,, 3, 4 navedite po jedan primjer za svaki od mogućih slučajeva Rješenje: Ako se ravnine sijeku, onda se nužno sijeku po pravcu Ako se ne sijeku, onda im je dimenzija presjeka smjerova jednaka Konkretno se pojavljuju sljedeći slučajevi k = : Ravnine π 4 i π su ili paralelne (npr π 4 x =, π x =, x 3 = 3, x 4 = 4) ili se sijeku po pravcu (npr π 4 x =, π x =, x 3 = 3, x 4 = 4) k = : Ravnine π 3 i π 3 su ili mimosmjerne i presjek smjerova im je dimenzionalan (npr π 3 x =, x =, π 3 x =, x 3 = 3) ili sijeku po pravcu (npr π 3 x =, x =, π 3 x 3 = 3, x 4 = 4) k = 3: Analogno slučaju k = k = 4: Trivijalno, jer π π 5 = A 5 73 Odredite sve moguće medusobne položaje ravnine π k, k =,, 3 i pravca x = x 3 = x 4 4 u afinom prostoru A 4 Navedite po jedan primjer ravnine π k za svaki od mogućih slučajeva Rješenje: 7
18 k= p = π, p π, npr π x = x = x 4, p π = {T }, npr π x 4 = x = x 4, T = (,,, ), p i π su mimosmjerni, npr π x = x 3 = x 4 k= k=3 p π, npr π je ravnina točkom (4,,, ) i smjerom W = L([,,, ], [,,, ]), p π, npr π je ravnina točkom (4, 3,, ) i smjerom W = L([,,, ], [,,, ]), p π = {T }, npr π je ravnina točkom (,, 4, ) i smjerom W = L([,,, ], [,,, ]), T = (,, 4, 6), p i π su mimosmjerni, npr π je ravnina točkom (,,, ) i smjerom W = L([,,, ], [,,, ]) p π 3, npr π 3 x =, p π 3, npr π 3 x =, p π 3 = {T }, npr π 3 x =, T = (,, 4, 6) 74 U afinom prostoru A 4 dana je ravnina π x + x = x 3 + x 4 = Odredite sve moguće medusobne položaje ravnine π s pravcem π Za svaki od mogućih slučajeva navedite po jedan primjer, te odredite dimenzije sume i presjeka tih dviju ravnina Rješenje: π π, npr π x = x = x 4, π π, npr π x = x = x 4, π π = {T }, npr π x = x = x 4, T = (,,, ), π i π su mimosmjerni, npr π x = x = x Ispitajte sve moguće medusobne položaje ravnine x =, x =, x 3 = 3 s 3 ravninom π 3 u afinom prostoru A 5 Za svaki od mogućih slučajeva navedite primjer Rješenje: π je ravnina čije su točke oblika (,, 3, s, t) Njen smjer je W = [e 4, e 5 ] Evo mogućih slučajeva: Slučaj A ravnine se sijeku A presjek je točka, suma je A 5 Primjer: π (p, q, r,, ) (tj ravnina x 4 = x 5 = ), W = [e, e, e 3 ] Presjek je točka (,, 3,, ) A presjek je pravac, suma je dimenzije 4 Primjer: π (p, q, 3, r, ), W = [e, e, e 4 ] Presjek je pravac (,, 3, s, ), suma je (p, q, 3, s, t), tj ravnina x 3 = 3 A3 presjek je ravnina, tj π, a suma je π (dimenzije 3) Ravnina π je sadržana u π Primjer: π (,, p, q, r), W = [e 3, e 4, e 5 ] Presjek je (,, 3, q, r), a suma (,, p, q, r) 8
19 Slučaj B ravnine se ne sijeku B presjek smjerova je dimenzije, suma je A 5 Primjer: π (p, q,, r, ), W = [e, e, e 4 ] W W = [e 4 ] Suma ima smjer [e, e, e 4, e 5, [,, 3,, ]], pa je suma A 5 B presjek smjerova je dimenzije, tj W W = W, pa je W W i π π Suma je dimenzije 4 Primjer: π (,, p, q, r), W = [e 3, e 4, e 5 ] Smjer sume je [[,,,, ], e 3, e 4, e 5 ], suma je (t, t, p, q, r), tj ravnina x = x 9
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραRADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.
Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραGeometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότερα6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραPošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija prostora
Analitička geometrija prostora Franka Miriam Brückler U analitičkog geometriji u ravnini se pomoću koordinata (uredenih parova realnih brojeva) proučavaju točke ravnine i njihovi jednodimenzionalni skupovi:
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραVektori. 28. studenoga 2017.
Vektori 28. studenoga 2017. 1 / 42 Skalarna veličina: veličina odredena samo jednim (realnim) brojem ili skalarom npr. skalarne veličine su udaljenost, masa, površina, volumen,... Vektorska veličina: veličina
Διαβάστε περισσότεραGeometrijski trikovi i metode bez imena
Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 3. Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički
Ljiljana Arambašić MATEMATIKA 3 Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i kemije, smjer nastavnički Integrirani preddiplomski i diplomski studij fizike i tehnike, smjer nastavnički SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραProstorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραje B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O
Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
Διαβάστε περισσότεραAB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραPROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 { fiziqka hemija
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
Διαβάστε περισσότερα4. MONGEOVO PROJICIRANJE
4. MONGEOVO PROJICIRANJE 4.1. Projiciranje točke Niti centralno ni paralelno projiciranje točaka prostora na ravninu nije bijekcija. Stoga se pri takvim preslikavanjima suočavamo s problemom nejednoznačnog
Διαβάστε περισσότερα2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
Διαβάστε περισσότεραPrimjer prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela dan je na slici. Odredimo prodor tih tijela.
S. Varošanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje 90 Primjer 4.56. Osnovka ABCD uspravne četverostrane prizme je u π 1. Osnovka uspravne kvadratne piramide EFGHV je u π 2. Tlocrt i nacrt tijela
Διαβάστε περισσότεραJoš neki dokazi leptirovog teorema
POUČAK 50 Još neki dokazi leptirovog teorema Šefket Arslanagić, Alija Muminagić U [] su dana četiri razna dokaza Leptirovog teorema (Butterfly s theorems), od kojih su dva čisto planimetrijska, jedan je
Διαβάστε περισσότερα4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραMatrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραVEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je
VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj
Διαβάστε περισσότεραMate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραSkalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.
5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj
Διαβάστε περισσότεραII. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότεραParabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραSveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραMatematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora
Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno
Διαβάστε περισσότερα