Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y

Transcript

1 . ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je nagnut u smjeru + osi 90 > α > 0 k < 0 pravac je nagnut u smjeru osi 80 > α < 90 Segmentni oblik jednadzbe pravca: y + = m n gdje je: m odsjecak pravca na osi n odsjecak pravca na osi y ( ) = ( ) A( y ) B( y ) Jednadzba pravca kroz tocku A, y uz poznati k : y y k Jednadzba pravca kroz dvije tocke,,, : A A B B yb ya yb ya y ya = ( A), k = = tanα B A B A = ( ) + ( ) Udajenost izmedju dviju tocaka A, y, B, y : d y y A A B B B A B A at + byt + c Udaljenost tocke T( T, yt ) od pravca: d = a + b Uvjet da su dva pravca okomita: k = ili k k = k Uvjet da su dva pravca paralelna: k = k Kut izmedju dva pravca: tanϕ = ili implicitno cosϕ = + kk a + b a + b Pravac-simetrala kuta koji cine dva pravca: k k Pramen pravaca danih sa dva neparalelna pravca: a+ by+ c a+ by+ c = a + b a + b aa a+ by+ c = λ a+ by+ c + bb Analiticka Geometrija - Pravac

2 ( ). Odredi jednadzbu pravca koji prolazi tockom A, i paralelan je sa prvcem 3+ y 6= y 6= 0 y = 3+ 6 y = + 6 k = k = k 3 y y = k( ) y = ( + ) y 4= y = 0. Odredi jednadzbu pravca koji prolazi tockom A 3,8 i ima koeficijent smjera k = 4. y y = k - y 8 = = 4+ 4 y+ 0 = 0 3. Izracunaj jednadzbu pravca okomice iz tocke A( 3, 4) na pravac koji prolazi tockama B( 5,) i C(4, ). Koeficijent smjera pravca: k p yc yb 3 = = = = C Koeficijent smjera pravca-okomice mora biti: ko = = = 3 k p 3 Okomica ima jednadzbu: y y = k y+ 4 = y = 3+ 5 Vidi sliku na slijedecoj stranici. B A o A Analiticka Geometrija - Pravac

3 k ( ) 4. Odredi jednadzbu pravca, koji je okomit na pravac koji prolazi tockom A, i ima koeficijent smjera k = 4. p y y = k y+ = 4 p y = 4+ Uvjet okomitosti: k = = = p y y = k( ) y+ = p Izracunaj jednadzbu pravca koji prolazi kroz A 3, i sa pravcem + 3y+ 6 = 0 cini π kut od ϕ =. 4 Koeficijent smjera zadanog pravca: + 3y+ 6 = 0 y = 3 π Kut izmedju dva pravca: tanϕ = tan = 4 k k k k = k k = =± = 3 + kk k k + = k k = Analiticka Geometrija - Pravac 3

4 Jednadzba pravca kroz tocku A( 3, ) i koeficijentima smjera k = 5, : 5 y = 5( 3) 5+ y 7 = 0 y ya = k ( A) y = ( 3) 5y+ 3= Tockom A( 3,3 ) polozi dva okomita pravca i izracunaj povrsinu trokuta kome je treca b v stranica os. Povrsina trokuta je P =. Baza trokuta je odsjecak sto ga cine pravci na osi a visina je koordinata = 3. Jednadzba pravaca kroz tocku A 3,3 i kutem prema osi od y 3= 3 + y 6= 0 ϕ = 45 : k = tan 45 = ± y = ( 3) y = 0 5 Presjecista medjusobno okomitih pravaca, sa osi, su u tockama: = 0 i = 6. b v 6 3 Duzina baze je znaci 6. Povrsina trokuta iznosi: P = = = 9 y A 7. Izracunaj simetralu duzine AB zadane sa tockama A,5 i B 3,4. yb ya Pravac na kojem lezi duzina AB : y ya = 4 5 y 5= ( ) = ( ) y = + 3 B A A Analiticka Geometrija - Pravac 4

5 Simetrala je okomita na zadani pravac i koeficijent smjera mora biti ks = =. k Simetrala prolazi kroz poloviste stranice AB, tocku sa koordinatama : B + A + 3 yb + ya S = = = Sy = = = 9 Trazena simetrala: y Sy = ks ( S) y = ( ) y 9= 4 8 y = + 8. Izracunaj jednadzbu pravca, simetricnog pravcu y = 7+ obzirom na pravac 3 4y+ 8 = Os simetrije je pravac: 3 4y+ 8 = 0 y = ks =, kz = k ks Kut izmedju simetrale i pravca:tanϕ = 4 = = ± ϕ = tan + kk 3 S 7 4 ± = ± 45 Simetricni pravac je okomit na zadani pravac: k = = k Z 7 3 pravca i simetrale: y = + y = = 7+ = 0, y = za T( 0,) 4 y yt = k( T ) y = ( 0) y = i prolazi kroz presjeciste Analiticka Geometrija - Pravac 5

6 9. Izracunaj povrsinu kvadrata kome je stranica jednaka udaljenosti dva paralelna pravca: p y = + i p y = 3. Izracunajmo udaljenost tocke od pravca. Promotrimo tocku T 0, 3 Presjeciste pravca ( ) p i osi y: d = = = Povrsina kvadrata sa stranicom duzine a = 3 iznosi: P = a = 3 = 3 Analiticka Geometrija - Pravac 6

7 0. Odredi tocke na pravcu p y = 3 koje su jednako udaljene od pravaca p y = 7 i p y = + 5. Potrebno je izracunati tocku presjecanja i poloziti pravce koji su simetrale dva zadana pravca, kroz tocke koje leze na zadanom pravcu p: Tocka presjecanja p i p : p y = 7 p y = = + 5 P,3 Jednadzba simetrale : a+ by+ c a+ by+ c = a + b a + b 7 y y+ 5 7 y + y 5 = = = = 7 y =± 5 y+ 5 = S 7 y = 5 + y 5 3y+ 7 = 0 = S 7 y = 5 + y 5 3+ y 9= 0 Trazene tocke su na presjecistu simetrala i zadanog pravca p :. p y = 3. S 3y+ 7 = 0 Rjesenje sistema daje rjesenja: 3. S 3y+ 7 = 0 7 3= + 3 9= + 7 = 8 y = 8 3= 5 A 8, = 3 4 = = 3 y = 3 3 = 0 B 3, 0 B Trazene tocke su : A 8,3 i 3,0 Analiticka Geometrija - Pravac 7

8 . Odredi jednadzbu pravca koji sadrzi visinu na stranicu a, trokuta zadanog pravcima: p 3y+ 4= 0; p + y = 0 i p 3y+ = 0. 3 Potrebno je poloziti pravac koji prolazi kroz vrh A i okomit je na p, koristeci jednadzbu pramena pravaca. Visina na stranicu c je okomita na pravac p k p 3 = ko = = 3 k Pramena pravaca je predocen sa p i p : p λ 3λ + λ = 0 ( 3λ) + ( λ) y y y sa koeficijentom smjera: + + λ = 0 ili: 3 + λ = 3 9λ = + λ λ = i jednadzba ima oblik: 3λ + y = λ ( 3y+ ) + y = ( 3y+ ) 0 + y + 3y+ = 0 y = Trazena jednadzba pravca ima oblik: y = + + y = λ 3y+ Analiticka Geometrija - Pravac 8

9 . Kruznica Implicitni oblik jednadzbe kruznice: + y + d + ey + f = 0 Jednadzba kruznice sa sredistem u ishodistu: + y = r gdje je r radijus kruznice Jednadzba kruznice sa sredistem u tocki S p, q : p + y q = r Uvjet da pravac dodiruje kruznicu: r + k = q pk l ( y ) Jednadzba tangente u tocki kruznice T, y : p p + y q y q = 0 T T T T Normala na kruznicu je pravac kroz diraliste tangente, okomit na tangentu kruznce. Polara tocke P, obzirom na kruznicu, je pravac koji prolazi diralistima tangenata P P povucenih iz tocke P na kruznicu. Tocka P se naziva tada pol za tu polaru. Jednadzba polare: + yy = r ili p p + y q y q = r P P P P. Odredi koordinate sredista kruznice i radijus ako je kruznica zadana jednadzbom: y y = 0 y y = 4 nadopunimo na potpuni kvadrat: ( ) ( y y ) = 4 ( ) ( y ) = 4 ( ) ( y ) = 49 Kruznica ima srediste u S(3, 4) a radijus je r = 7. Odredi jednadzbu kruznice kojoj su tangente osi i y te pravci = 4 i y = 4 : y Promjer kruznice je = = a srediste je u tocki S(, ) ( ) ( y ) Jednadzba kruznice glasi: + = Analiticka Geometrija - Kruznica 9

10 3. Odredi tocke sjecista kruznice y 3y 0 i pravca y. Uvrstimo y u jednadzbu y 3y 0 : + 3 = = 0 + = = = + = 3± 9 4 3± 3+ = 0, = = = Sjecista kruznice i pravca su u tockama: A(,) i B(,0) Jednadzba kruznice daje slijedece podatke: y y + 3 = 0 = y = = y = 0 y 3y 0 y S(, ), r = + = = 4 4. Odredi putanju tocke C, koja se krece tako da je njena udaljenost od tocke T(,4) uvijek dva puta veca nego udaljenost od ishodista. 4 Tocka na udaljenosti izmedju tocke T i ishodista je tocka A(, ) Ishodistu suprotna tocka mora biti srediste kruznice S. 4 + y = r r 3 3 a + y b = r Odredimo radijus kruznice; duzinu izmedju tocaka S i A Analiticka Geometrija - Kruznica 0

11 = = ( S A) + ( S A) = + = d r y y ili 3 + 3y y 0 = Jednadzba putanje je jednadzba kruznice koja glasi: + y = Odredi jednadzbu kruznice kojoj je srediste u sjecistu pravaca p 3y+ 5 = 0 i p 3+ 4y = 0 a dodiruje pravac p 3+ y 8 = 0. 3 Sjeciste pravaca pi p daje nam srediste kruznice: 3y+ 5= y 5= 0 p = 3+ 4y = y = 0 q y = Srediste kruznice je u S,. 3 Tangenta, pravac p je udaljen od sredista za radijus r: S + ys r d = = = = Jednadzba kruznice glasi: ( ) ( y ) + + = 0 0 T( ) ( ) + ( y ) ( p)( p) + ( y q)( y q) = r 6. Izrazi njenu jednadzbu tangente iz tocke 6, na kruznici = 5 Jednadzba tangente : T T Analiticka Geometrija - Kruznica

12 ( ) ( y ) ( ) ( y ) 6 + = = y+ 3 5 = 0 y = Izrazi jednadzbe tangenta polozenih iz tocke T 5, na kruznicu + y = 8 Jednadzbe tangenata iz tocke izvan kruznice: y = k+ l y = k + l = 5k + l l = 5k T T r + k = l 8 + k = 5k 7k 0k 7 = 0 k = l = 5 = 4 0 ± 4 k, = = k = l = 5 = Nase tangente imaju oblik: t y = k+ l = + 4 y = t y = k+ l = y = Iz tocke T, izvan kruznice + + y+ 3 = 4 polozene su tangente. Izrazi njihove jednadzbe i njihova diralista te pravac (polara) na kome lezi duzina koja spaja diralista. Jednadzbe tangenata iz tocke izvan kruznice: y = k+ l y = k + l = k + l k = l+ T T Analiticka Geometrija - Kruznica

13 ( ) 4 + k = 3+ k l 4+ 4k = 3+ l+ l ± 4 l = k = + = + + = = = 3 6 l = k = + = 0 Nase tangente imaju oblik: 3l 0l 7 0 l, t y yt = k( T ) y+ = ( + ) y = t y y = k y+ = 0 T Diralista tangenata: T y = = 4 + = y = ( + ) = = , = ( y+ 3) = 4 ( y+ 3) = y+ 3 = ± y = y = Diralista su u: A(, ) i B, 5 5 Jednadzba pravca kroz diralista jednadzba polare: ( P )( ) ( yp )( y ) = 4 y = y+ 3 = y+ 6 4= 0 y+ + 4= 0 = 9. Kruznica 4 + y+ = 5 ima polaru oblika y =. Odredi koordinate pola P. Koordinate presjecista polare i kruznice: 4 + y+ = 5; y = = = 0 Analiticka Geometrija - Kruznica 3

14 = = = Jednadzba polare: za = 4; y = 3 : ( 4,3) (, ) y = 5 5 y + = 5 y + = 5 = 3 za = ; y = : y = 3 y = A B P P P P Koordinate pola su P (,3) y + + = = 5 = P P P P y P () = 0 y y ( ) ( ) ( ) 0. Kruznica prolazi kroz tocke A 3,0, B,, C 0,.Odredi jednadzbu polare ako je pol ishodiste. Implicitni oblik jednadzbe kruznica: y a by c a 3 + b 0 + c = 0 3a+ c = a + b + c = 0 a b+ c = a 0 + b + c = 0 b+ c = Rjesenje sistema je slijedece: a = 6, b = 0, c = 9,odnosno: y a by c y y = = 0 ili: i jednadzba nase kruznice ima oblik: y+ 5 = = 0, kroz tri zadane tocke. Odredimo sada jednadzbu polare iz pola P 0,0 : y+ 5 = y+ 5= y+ 9= 0 Analiticka Geometrija - Kruznica 4

15 .3 Parabola Parabola je definirana kao skup tocaka koje su jednako udaljeni od stalnog pravca p i stalne tocke F, koja se naziva fokus ili zariste. = Standardni oblik jednadzbe parabole: y 4 p Vrh parabole je u is pravca paralelnog sa osi y je p hodistu i jednadzba stalnog Standardni oblik jednadzbe parabole: = 4 py Vrh parabole je u ishodistu i jednadzba stalnog jednadzba stalnog pravca paralelnog sa osi je p l Uvjet da pravac dira parabolu: p = kl Diraliste je u tocki sa koordinatama T, l k Jednadzba tangente u tocki T, y parabole: yy p = ( + ). Zadane su dvije parabole: Prva ima vrh u fokusu druge parabole i svoj fokus u vrhu druge parabole. Ako je druga parabola zadana jednadzbom y y = 4p = 4 4p = 4 p = : Fokus je u F(,0), p > 0 i parabola je otvorena u desno Prva parabola ima vrh u fokusu, tj. V (,0) a fokus u vrhu, F(0,0): = 4, odredi jednadzbu prve. Iz postave zadatka, mora biti p < 0 : y = 4 p = 4 p = 4 y = y = 0 V. Mlaz vode iz hidranta ima oblik parabole. Izrazi jednadzbu parabole, ako mlaz postize visinu od 8m na horizontalnoj udaljenosti 8m od hidranta. Opci oblik vertikalne parabole, koja je otvorena prema dolje: = 4 py ( ) = p( y ) Hidrant je u ishodistu, pa imamo: Analiticka Geometrija - Parabola 5

16 8 Vrh je u V(8,8) ( 0 8) = 4 p( 0 8) 4 p = Jednadzba parabole : = 4py 8 = y 8 3. Tetiva parabole je dio pravca koji prolazi kroz fokus a paralelan je sa stalnim pravcem (direktrisom). Duzina se naziva i latus rectum. Izracunaj tu duzinu ako je jednadzba parabole y 4 p. = Opci oblik parabole: y = 4 p; Direktrisa je na: =, a Fokus na: F(,0) Tetiva je pravac: = ; koji sjece parabolu u tockama ± p 4. Odredi jednadzbu kruznice koja prolazi kroz vrh i fokus parabole = 8 y. Opci oblik parabole: = 4 py 4 p = 8 p = > 0 Parabola je otvorena prema gore; Direktrisa je na: y =, a Fokus na: F(0,) Jednadzba kruznice koja prolazi tockama F(0,) i V(0,0): ( y ) + = 5. Parabolicna antena je konstruirana tako da paralelne ulazne signale reflektira kroz fokus. Odredi jednadzbu parabole ako je jednadzba zrake kroz fokus: y = Fokus je u tocki presjeka pravca i osi ; y = 0: 0 = = 0.3 Jednadzba parabole, sa fokusom u F(0.3, 0): y = 0.3 Analiticka Geometrija - Parabola 6

17 6. Suncev reflektor ima oblik parabole promjera.5 m, a ugib je 0.45 m. Odredi fokusnu udaljenost..5 Rubne tocke parabole imaju koordinate = 0.45, y = ± Jednadzba parabole: y = 4 p.5 = 4 p0.45 p = 0.99 F = 0.99m 7. Mali otok je udaljen 4 km od obale koja ima oblik pravca. Plovni put izmedju obale i otoka je ekvidistantna krivulja izmedju otoka i obale. Odredi tu krivulju. Krivulja je parabola sa direktrisom u : 4p = p = y = 4p = 4 = 8 y = 8 ili = 8y Plovni put je na pola puta, izmedju obale i otoka. Analiticka Geometrija - Parabola 7

18 .4 Elipsa y Standardni oblik jednadzbe elipse: + =, a velika poluos, b mala poluos a b Fokusna udaljenost f : f = c = a b ( y ) ( ) ( y y ) Jednadzba elipse sa centrom u tocki A, : + = a b c Ekscentricitet elipse: e = a ka b Uvjet da pravac dira elipsu: ak + b = l Koordinate diralista: T, l l yy Jednadzba tangente iz tocke T(, y) : + = a b. Odredi jednadzbu elipse koja ima fokus u F(9,0) i vrh u V(5,0). F = = c = a b V = = a b = a c = = y y + = + = a b 5. Odredi ekscentricitet elipse + 9y = 8 c y Ekscentricitet je dan sa: e = + 9y = 8 + = a 9 3 c = a b = 8 9 = 7 c e = = = = a U gradjevinama sa specijalnim akustickim karakteristikama, moguce je cuti sapat ako se posjetioc nalazi u fokusima elipsastog svoda. Ako je presjek hale, elipsa jednadzbe + = 36 5y 800, odredi u y = 800 daljenost sapatca i slusaca. a = 5 c a b y + = = = = 5 36 b = 36 Udaljenost izmedju fokusa: l = c = 89 = 7.495m Analiticka Geometrija - Elipsa 8

19 4. Dvije koncentricne elipse cine prsten. Izracunaj obje debljine prstena. + = + = Elipsa : 4y 00 Elipsa : 5y 500 y y + = + = a = 0, b = 5 a = 5.8, b = 0 Debljina iznosi: d = = 5.8 d = 0 5 = 5 a b 5. Presjek cisterne je elipsa + 6y = 6. Izracunaj volumen ako je duzina cisterne 6m a povrsina elipse se dobije iz: P y + 6 = 6 + = = 6, = 6 y a b Povrsina elipse iznosi: P = 6 π Volumen cisterne: V = 6P = 6 6 π = 46.7m c e e = abπ e 3.5 Hiperbola y Jednadzba hiperbole sa centrom u ishodistu: = a b a transverzalna polu os, b konjugirana polu os b Jednadzbe pravaca-asimptota hiperbole: y =± a ( y ) ( ) ( y y ) Jednadzba hiperbole sa centrom u tocki A, : = a b c Fokusna udaljenost f : f = c = a + b Linearni ekscentricitet e: e = a Jednadzba tangente u tocki T(, y) hiperbole: yy = a b Uvjet da pravac dira hiperbolu: ak b = l Koordinate diralista: T, ka l b l Analiticka Geometrija - Elipsa 9

20 . Odredi jednadzbu hiperbole koja prolazi tockom A(,3) i ima fokus u F(,0). A ya 3 = = 4b 9a a b = 0 a b a b c = = a b a = 4 b uvrstimo u gornju jednadzbu: b b b b = b 36+ 9b 4b + b b 4 4 k 9k 36 0 k, a Jednadzba hiperbole: = 3 y = 3 = 0 + 9b 36 = 0 zamijenimo: b 9± k = + = = = k = 3 b = b = = y 3 = k y Koncentricne hiperbole su one koje imaju zamjenjene poluosi. Zadana je hiperbola sa vrhom u V(0,) i fokusom u F(0, 3). Odredi zadanoj hiperboli koncentricnu hiperbolu. y a V V = a = ; c = 3 = a + b = + b b = 3 = b y Jednadzba hiperbole je: = y = y Jednadzba koncentricne hiperbole: = V(,0) F( 3,0) a b c = 3 = a + b = + b b = 3 y = y = = Analiticka Geometrija - Hiperbola 0

21 3. Nadji centar hiperbole: y 4 4y 4 0 y y ( ) ( y y) ( + ) ( y + y+ ) = 4 4 = = = ( ) ( y+ ) y+ = : = S(, ) 4. Odredi jednadzbu hiperbole ako je vrh u V(,), fokus u F(,4) i srediste u S(,) : (,) daje (,4) daje c V a = F = b = c a = = ( y ) ( + ) 3 = = 0 y y Analiticka Geometrija - Hiperbola

22 5. Odredi jednadzbu hiperbole koja ima asimptote y = i + y = 3 i vrh u V(3,) b a y = + Asimptota ima jednadzbu: y = ± a = b a a y = 3 Sjeciste pravaca daje srediste hiperbole: y = y = = S(, ) Iz koordinate vrha: V = 3 i = odredjujemo transferzalnu poluos S ( + ) ( + ) a = + 3 = 5a = b = 5 Jednadzba hiperbole je: = 5 5 Analiticka Geometrija - Hiperbola

23 .6. Razni zadaci. Zadani su pravac y = 3 i parabola 4 y 5 = 0. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku. y = y = 3 Supstitucija u drugu jednadzbu : ± = + = = , y = 3 y = 3 6 = 7 b b 4ac a y = 3 = 8 Trazene tocke su: A(6,7) i B(, -8) = = 6 =. Zadani su pravac i kruznica Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku. y = + y y = y = + y y = Supstitucija u drugu jednadzbu daje: Jednadzba kruznice: y 5 49 Trazene tocke su: A(0, ) i B(7,5) + ( ) = +( ) ( ) 7 = 0 7 = 0 y = y = 0 = y = 7 = 5 = 0 = = 0 Analiticka Geometrija Razni zadaci 3

24 3. Zadani su pravac y 5 i parabola y 5 5. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku. Trazene tocke su A = + = + y = = = 0 ( 3) = 0 y = + 5= 0+ 5= 5; y = + 5= 3+ 5= 8 ( 0,5), B( 3,8) = 0 = 3 4. Zadani su pravac y = + 5 i kruznica + y = 5. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku. ( 0,5), ( 4, 3) Trazene tocke su A B 5 zamijenimo u drugoj jednadzbi 5 5 y = + y + + = = = 5 ( + 4) = 0 = 4 = + 5= 0+ 5= 5; y = + 5= 8+ 5= 3 y 5. Zadani su pravac y i kruznica y 4 y 0. Izracunaj koordinate = = tocaka u kojima se krivulje sjeku. y = + y + y y+ = zamijenimo u drugoj jednadzbi y = y+ = 0 Analiticka Geometrija Razni zadaci 4

25 = = 0 ( ) = 0 = y = + = 0+ = ; y = + = + = Trazene tocke su A 0,, B, 6. Zadani su pravac i parabola 4 3. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku. Trazene tocke su A y = y = + (,), B (, 0) y = zamijenimo y u drugoj jednadzbi y = 4 a b b ac = = 0, = = y = = = y = = = 0 ± = = 7. Zadane su elipsa = y i hiperbola = 7 y. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku. = 6+ 3y = 7 y. +. = 6+ 3y = 34+ 4y Analiticka Geometrija Razni zadaci 5

26 = + y y = y =± , = 7 = 7 4 = 9 =± 3 y, Trazene tocke su A 3,, B 3,, C 3,, D 3, 8. Zadane su dvije elipse 4 + =0 i + 4 = 0. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku. + y 4 =0 + 4y = 0 y = ( 4) y = y = ± y y , y, + 4 = 0 = 0 6= 4 = ± (, ), (, ), (, ), (, ) Trazene tocke su A B C D 9. Zadane su kruznica + y =4 i parabola + y = 5. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku. b ± b 4ac ± i 3 Rjesenje sistema daje rezultat: y y = 0 y, = = a Rezultat je imaginarana velicina, krivulje nemaju zajednickih tocaka. Analiticka Geometrija Razni zadaci 6

27 0. Zadane su hiperbola y =6 i parabola y. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku. Rjesenje sistema daje: y y 5 5 0, y + = + + = b± b 4ac ± 8 = 5 + = = = = a = 3 y = 3 + = y = = ( 5) = 9 y = 3 y3 = i y = = ( 3) = 7 y4 = i Krivulje se sjeku u samo dvije tocke: A 5,3, B(-5,-3) 7 7. Zadane su hiperbola 36 i kruznica 7. Izracunaj koordinate tocaka u kojima se krivulje sjeku. k k k, y, k Analiticka Geometrija Razni zadaci 7 Krivulje se sjeku u samo dvije tocke: A 6,6, B( 6, 6) 36 Tjesenje sistema daje: + = = 0 = y 4 y y y y k = 0 = 36 = ± = ± 6 y = 36 = 36 36, 6 y =, ± 6 = ± y = + y =

28 . Kroz ishodiste su polozena dva okomita pravca, koji sijeku elipsu, svaki u dvije tocke i tako cine tetive: p AB = u p CD = v Analiticka Geometrija Razni zadaci 8 Dokazi da vrijedi: + = + u v a b p y = k pravci su okomiti: p y = k Za p : b + a y = a b b + a k = a b b + ak = ab b + ak = ab y = k y A, B Za p : b + a y = a b b + a = a b k + = bk a abk a b k = a b k CD, y = y k ka b = b + a k CD, Nase cetiri tocke imaju koordinate: b + ay = ab Odredimo tocke presjeka: ab b + a k AB, = + kab = a + b k ab = a + b k ab kab ab kab A, B, b + a k b + a k b + a k b + a k kab ab kab ab C, D, a + b k a + b k a + b k a + b k Duzina tetive AB = u = + y y 4u u = B A B A ab ab kab kab = b + a k b + ak b + ak b + ak ( + k ) b a b + a k

29 ( + k ) Duzina tetive CD = v = + y y 4v D C D C kab ab kab kab = a + b k a + b k a + b k a + b k a b v = a + b k Postavimo uvjete koje moramo dokazati: ( ) ( ) ( ) ( ) ( + k ) a b k a k b a b ( + ) + ( + ) k a b k a b + = + = u v + k a b + k a b a + b k b + a k a + b k = = = + u v a b a b 3. Odredi geometrijsko mjesto svih kruznica koje diraju kruznicu + y = 0 i prolaze tockom A 4, 0. + y = y 84 = y = 00 Sredista kruznica moraju biti uvijek jednako udaljene od dviju tocaka: Tocke A 4,0 i sredista zadane kruznice S ( ) 4,0. Takve karakteristike ima samo elipsa. U tom slucaju su tocke A i S, fokusi elipse. Ekscentricitet elipse jednaka je polovici udaljenosti A i S: e = 4. Krajnja tocka zadane kruznice je: = r S = 0 4 = 6 Jedna od kruznica mora proci tockama i A, cime je definirana velika os elipse: a = 5. Mala os elipse se izracuna iz: b a e k k = = = Trazena elipsa, geometrijsko mjesto srediste svih kruznica koje prolaze kroz A i diraju y zadanu kruznicu ima jednadzbu: a = 5, b = 3 + = 5 3 Analiticka Geometrija Razni zadaci 9

30 4. Odredi skup tocaka T ravnine, za koje vrijedi: Produkt udaljenosti tocke T od zadanih 44 pravaca p 4 3y+ = 0 i p 4+ 3y+ 5 = 0 iznosi d d = 5 at + byt + c Udaljenost tocke od pravca dana je sa: d = pa pisemo: a + b 44 4T 3yT + 4T + 3yT + 5 dd = = ( 4 3y+ )( 4+ 3y+ 5) = y+ y y y + y+ = = y 8y 89 0 Nadopunimo na potpuni kvadrat: ( ) ( y ) ( ) ( y ) = = 44 Odnosno: ( + ) ( y ) =. Pazljivim promatranjem, mozemo 9 6 ( + ) ( y ) doci do zakljucka da uvjete zadovoljava i hiperbola: = 6 9 Analiticka Geometrija Razni zadaci 30

31 (,4), C( 5,6) ( ) 5. Odredi koordinatu tocke B, tako da pravac prolazi kroz sve tri zadana tocke: A,, B B yc ya Jednadzba pravca kroz A i C: y ya = + y y 6 8 y = + ( + ) y = ( + ) y = + k = Za tocku B vrijedi: yb = kb + l 4 = B + = B + 8 B = 3 3 C A A ( ) 6. Odredi jednadzbu kruznice koja prolazi kroz tocke A 5,0, B 0,0, C 0,3. + y + c + dy + e = Jednadzba kruznice ima oblik: c + d + e = c+ e= c = Za tocku A imamo: c + d + e = e = Za tocku A imamo: Za tocku C imamo: c0 + d3 + e = d = 0 d = 3 Nasa jednadzba glasi: + y y = 0 ili d y + 5 3y = y y + = y = rukcije: Analiticka Geometrija Razni zadaci 3

32 7. Izracunaj koeficijent a tako, da sjeciste zadanih pravaca bude na pravcu y = 3. p a+ y = 0 p + ay+ 3= 0 a a 3 a + 6 p y = + + = = a a a 4 = 3 a 3 p y = y+ = y 3a + y = a a a a a 4 3a+ a+ 6 Uvrstimo u jednadzbu pravca y = 3 : = 3 3a 4a 0 = 0 a 4 a a =, a = : Nasi pravci imaju za a = slijedece jednadzbe: p a a+ y = 0 p + y = 0 y = pa + ay + 3= 0 p + y + 3= 0 y = Njihovo presjeciste je u tocki: = = 8 7 = = y = + = + = + = T, Za a = dobijemo: p a+ y = 0 p + y = 0 y = + a p + ay + 3= 0 p y + 3= 0 y = + 3 a Pravci su paralelni! ( ) B 8. Dijagonala kvadrata dana je sa tockama A 3, 4, 7,0. Odredi jednadzbe upisane i opisane kruznice tom kvadratu. Duzina AB je ujedno i promjer opisane kruznice. D = AB = + y y = = 3 B A B A Analiticka Geometrija Razni zadaci 3

33 D 3 3 r = = = = = 4 8 r 8 B + A yb + ya Srediste je u polovistu dijagonale: S,, = S ( ) ( ) + ( y ) 5, ; Opisana kruznica ima jednadzbu: 5 + = 8 Upisan kruznica ima isto srediste i radijus jednak r = S = 5 + y+ = 4 y 9. Pravac prolazi tockom A 3,3. Odsjecan na osi y, tri puta je vici od odsjecka na osi. Odredi njegovu jednadzbu. m =, n = 3 n = ± 3m Imamo znaci dva rjesenja: A ya 3 3 y Za tocku A i n = 3 m: + = + = m = 4 n = + = m n m 3m 4 + 4y = 48 y = 3+ A ya 3 3 y Za tocku A i n = 3 m: + = + = m = n = 6 = m n m 3m 6 6 y = y = 3 6 Analiticka Geometrija Razni zadaci 33

34 ( p) ( y q) p q p q 0. Odredi jednadzbu kruznice radijusa r = 5, koja prolazi tockom A 6,9 a srediste ima na pravcu + 3y 8 = 0. Jednadzba kruznice kroz tocku A: + = 5 6 p + 9 q = 5 36 p+ p + 8 8q+ q = = 0 A Srediste kruznice je na pravcu: + 3y 8 = 0 y = + 6 p+ 3q 8 = 0 3 p = 8 3q 8 3q + q 8 3q 8q+ 9 = 0 Imamo dva rjesenja: q 9+ q = = 5 9q+ 0 = 0 p = = 3 9 p = = 6 q = = 4 ( ) ( y ) ( ) ( y ) A Trazene jednadzbe jesu: = 5 i = 5 S ( ) ( ). Odredi jednadzbu hiperbole, koja ima u jednom zaristu srediste kruznice y = 4, koja dira asimptote hiperbole. Nacrtajmo kruznicu sa sredistem u kruznicu iz ishodista O 0,0 : 3,0. Odredimo diralista tangente na poznatu p p + y q y q = r y 0 = = 4 = odnosno koorinate y: y = y = 4 y = 4 y = ± Diralista su: A,, B, Asimptote prolaze o o kroz A, B i O imaju Analiticka Geometrija Razni zadaci 34

35 0 0 b b yo ya 3 0 koeficijent smjera: ± : k = ± = ± = ± = ± a a 5 o A = = = = b =, a = y y Trazena jednadzba ima oblik: = = a b 5 4. Odredi jednadzbu kruznice, koja prolazi ishodistem te velikim i malim tjemenom elipse 4 + 9y = 44. y 4 + 9y = 44 + = Nase tocke su: A ( 6,0 ), B( 0, 4 ), C( 0, 0) a+ 0b+ c = a+ c = 0 + y + a + by + c = a + 4b + c = b + c = a 0b c = c = 0 Rjesenje sistema je: a = 6, b = 4, c = 0 y y y y = = 0 ( 3, ), ( 3, ), ( 3, ) 3 + y = 3 S 3,, r = 3 Zadatak ima u stvari 4 rjesenja. Sredista ostalih kruznica nalaze se u tockama: S S S 3 4 Analiticka Geometrija Razni zadaci 35

36 3. Odredi jednadzbu pravca, koji prolazi ishodistem i sa pravcem 3 4y+ 8 = 0 i osi, cini trokut povrsine y+ 8 = 0 y = +. Presjeciste je za y = 0 + = 0 = Trazeni trokut ima bazu sa krajnjim tockama A 6, 0 i B 0, 0. Duzina baze je b = 6. b v 6 v 8 Povrsina trokuta je P = = = 9 v = = 3 v = 3 6 Visina trokuta je 3 i to je koordinata nase trece tocke C, kroz koju mora proci trazeni pravac. Vrijednost y C moze biti C B ( ) p y y = ( ) ± 3 pa imamo dva rjesenja:. 3 4y + 8 = = 0 = C C C C C, y 0= ( 0) y = y + 8 = = 0 = 0 C B ( 0,3) = ( ) y 0 = ( 0) y = B C C C C y C y y y C 3 p 3 y yb C B B B B ( ) ( y ) 4. Kruznice y 4 0 i y 0 imaju zajednicku tetivu, koja je + = + + = ujedno i promjer trece kruznice. Odredi njenu jednadzbu. Nadjimo presjecne tocke kruznica: + y 4 = 0 + y 8y 4= 0 = y + + = y + y = Jednadzbe smo oduzeli i rjesenje za uvrstili u jednu od jednadzbi: y y y y y y y + 8 4= = 0 6 = 0 y = 0 = y = 0 = y = 6 = y = 6 = 4 A,0 B 4, Analiticka Geometrija Razni zadaci 36

37 Tetiva, duzina AB ima poloviste u: A + B + 4 ya + yb 0+ S = = ; = = Duzina tetive, promjer kruznice iznosi: d = + y y d 40 d = ( 4 + ) + ( 0) = 40 r = = = 0 r = 0 4 Trazena kruznica ima jednadzbu: ( ) + ( y ) = 0 p + y q = r B A B A 5. Izracunaj povrsinu pravokutnog trokuta koji ima dva vrha u fokusima hiperbole 4y = 4 a treci vrh lezi na asimptoti. y b 4y = 4 = a =±, b =± ; Asimptote su: y =± =± Koordinate fokusa su: e 4 a = b + a = + = e = Treci vrh trokuta ima koordinate C 5, yc : yc = c = 5 C 5, 5 b v e yc 5 5 Povrsina trokuta iznosi: P = = = 5 = Analiticka Geometrija Razni zadaci 37

38 6. Izracunaj povrsinu pravokutnika koji ima vrhove u sjecistima zadanih krivulja: y 9 i 3 + y = 36 + y = 9 = 9 y 3 9 y + y = y + y 36 = 0 y =± =± 8 =±,, Stranica pravokutnika ima duzinu: d = + y y a b = + = 4 a = 4 = + = b = Povrsina pravokutnika: P = a b = 4 = 8 + = 7. Stranice trokuta leze na zadanim pravcima. Odredi jednadzbu najveceg kuta trokuta. p 5+ y+ 7 = 0; p 4 3y 5= 0; p 3 4y = 0 3 Najveci kut je izmedju pravaca p i p : Jednadzba simetrale koja zadovoljava uvjet: a + by + 7 a by 5 5+ y y 5 = = a + b a + b y y 5 3 = + + = Imamo dva rjesenja: ( 5 y 7) ± ( 4 3y 5) y+ 35 = 5 39y y 00 = y 35 = 5 39y y + 0 = 0 Trazeno rjesenje je: + 3y+ 0 = 0 Analiticka Geometrija Razni zadaci 38

39 ( y ) 8. Kroz tocke presjeka kruznice + + y = 6 i pravca y = 0 prolaze tangente povucene iz tocke T,. Odredi koordinate tocke T. T Odredimo presjecne tocke: y = 0 y = T + + y = = 6 = 3 y = 3 = ( p)( p) + ( y q)( y q) = r = y = = 3 A 3, ; B, 3 Tangente iz tocaka na kruznici imaju jednadzbe: A y = 6 5 y = 4 B y = 6 5y = 4 3= Presjeciste je u tocki T: 5y = 4 4 = 56 = ;, 3 y = 3 T Na parabolu, y = 6 povucene su tangente iz stedista kruznice + y y 8 = 0. Izracunaj povrsinu trokuta kojeg cine tangente i pravac koji spaja diralista tangenata. 4 Uvjet da pravac dira parabolu: p = kl y = 6 kl = 8 k = l + y + + y = Pravac prolazi kroz srediste S: = ( ) y + y+ = + + y+ S , l y = k+ l = k + l k = + ; Rjesenja su: l + l 8 = 0 l = 4; l = k = 4; k = Tangente su: t y = + ; t y = 4 l 4 Diralista tangenata na paraboli: D, l D = 4, 4 = 8 D 4, 8 k D =, = 4 D(, 4 ); Analiticka Geometrija Razni zadaci 39

40 Odredimo pravac i duzinu sekante parabole, koja je ujedno i osnovica D D trazenog trokuta: y 8 4 y y 4 8 : y y + = ( ) + = ( ) = + D D Duzina sekante iznosi: d = + y y : D D D D d = = 53; Visina trokuta, prolazi kroz S i ima duzinu d : 3 kn = = ; y+ = ( + ) yn = Presjecna tocka sekante i visine: = 4+ 8 N = ; yn = dn = v = ( S N ) + ( ys yn ) = + + = b v d v Povrsine trokuta: P = = = = = N 3. Odredi jednadzbe tangenata na elipsu 6 64 tako, da udaljenost diralista od ishodista bude 0. y + 6y = 64 + = Tocke koje su jednako udaljene od ishodista moraju y = biti na kruznici, koja mora imati radijus r = 0 + y = 0 = 0 y Odredimo presjecne tocke: 8 + 6y = 64 0 y + 6y = 64 5y = 54 y = 5 y y = 0 = 0 = = ± ; = ± = = ± = ± = = Analiticka Geometrija Razni zadaci 40

41 Trazene tocke su: A,, B,, C,, D, Pravac y+ 4 je zajednicka tangenta parabole y = p i elipse b + a y = a b sa ekscentricitetom e = 6. Diralista zajednickih tangenti tvore cetverokut. Odredi njegov opseg i povrsinu. Uvjet da pravac dira parabolu: p = kl y+ 4 y = + p = = Jednadzba parabole: y = p = = 4 Uvjet da pravac dira elipsu: ak + b = l a + b = a + 4b = 4 e = 6 = a b a b = 6 rijesimo sistem: 0 b = = a = e + b = 6+ = 8 5 y y Trazena elipsa ima jednadzbu: + = + = a b 8 l Diralista tangente i parabole: D = 4, l = 4 Dp 4, 4 k ka 8 b Diralista tangente i elipse: D = =, = = De, l l Krivulje imaju dvije tangente i tocke dodira su simetricne obzirom na os. Trazene tocke cetverokuta su: D 4, 4 ; D 4, 4 ; D, ; D, Druga tangenta ima jednadzbu: y+ = ( + ) y = 4+ Odredimo duzinu stranica trapeza, lika ciji opseg i povrsinu trazimo: Analiticka Geometrija Razni zadaci 4

42 baza: b = + y y = = 8 D D D D kraca stranica: p = + y y = = D3 D4 D3 D4 bocna: k = + y y = = 45 D3 D D3 D Opseg trapeza: O = b+ p+ k = = = Visina trapeza: v = = 4 = 6 D3 D b+ p 8+ Povrsina trapeza: P = v = 6 = U fokusu parabole y = 6, je srediste kruznice koja dira ravnalicu. Izracunaj pod kojim se kutem sijeku krivulje. y p p p = = 6 = 6 = 8 p 8 p Ravnalica je na = = 4. Fokus ima koordinatu: = 4 Trazena kruznica ima jednadzbu: 4 + y = 8 ; Kruznica i parabola se sijeku u: y = y = = = 0 8± 6, = = ; = 4 y = 6 4 = 64 y, = ± 8 Tangenta u tocki Za kruznicu: A( 4,8 ) ima jednadzbu: ( p)( p) + ( y q)( y q) = 64 A A y 0 = 64 8y = 64 y = 8 Za parabolu: y y = p + 8y = y = 8+ 3 y = + 4 A Tangenta na parabolu ima k = tanϕ = ϕ = 45 A Tangenta na kruznicu je horizontalna, pa se nase krivulje sijeku pod kutem od 45. Analiticka Geometrija Razni zadaci 4

43 b ay = ab + y = 33. Hiperbola i elipsa , imaju fokuse u istoj tocki a pravac 3 y = je asimptota hiperbole. Povuci tangente u presjecnim tockama krivulja tako, da u tockama I i IV kvadranta budu tangente hiperbole a II i III kvadranta tangente elipse. Izracunaj povrsinu tako nastalog cetverokuta. y 3 + 4y = 84 + = a = 8; b = ; e = a b = 7 8 Asimptota hiperbole ima jednadzbu: b 3 y =± =± a Hiperbola ima osi: b = 3 b = 3 a = a = 4 i jednadzbu: b ay = ab 3 4 y = Presjecista dobijemo kada rijesimo sistem: y = y = = 96 = 6 = ± 4 4y = 36 y = ± 3, Povucimo tangente iz sada poznatih tocaka: t na hiperbolu u A 4,3 : b a y y = y = y = t na hiperbolu u D 4, 3 : y = y = + 4 t na elipsu u B 4,3 : b + a y y = y = 84 y = + 7 t na elipsu u C 4, 3 : b+ ayy= y = 84 y = 7 3 Odredimo vrhove cetverokuta rjesenjem gornjeg sistema jednadzbi: t t : = + = =, y = 0 V,0 4 3 t t : = 7 = 6 = 3, y = 4 V 3, 4 t t : + 7 = 7 = 4 = 7, y = 0 V 7, t t : + 7 = + = 6 = 3, y = 4 V 3,4 4 4 Analiticka Geometrija Razni zadaci 43

44 Povrsinu cetverokuta, u ovom slucaju kvadrata, dobijemo iz: P ( ) + ( y y ) ( ) + ( ) d = = = = = 3 Analiticka Geometrija Razni zadaci 44