0 = 5x 20 => 5x = 20 / : 5 => x = 4.
|
|
|
- Βάλιος Γεννάδιος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 8 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(0, ). Budući da točka pripada i pravcu = 8, uvrstit ćemo njezine koordinate u jednadžbu pravca: ravac siječe os u točki T(0, 8). = 0 8 => = 0 8 => = 8. Vježba 00 U kojoj točki pravac s jednadžbom = + siječe os? Rezultat: T(0, ). Zadatak 00 (Denis, ekonomska škola) U kojoj točki pravac s jednadžbom = 5 0 siječe os? Rješenje 00 Svaka točka koja pripada osi ima koordinate T(, 0). Budući da točka pripada i pravcu = 5 0, uvrstit ćemo koordinate točke u jednadžbu pravca: ravac siječe os u točki T(, 0). 0 = 5 0 => 5 = 0 / : 5 => =. Vježba 00 U kojoj točki pravac s jednadžbom = siječe os? Rezultat: T(7, 0). Zadatak 00 (Boris, tehnička škola) retvori u segmentni oblik: + = 0. Rješenje 00 Segmentni oblik pravca ima oblik: + =, m n gdje je m odsječak na osi, a n odsječak na osi. Broj ''prebacimo'' na desnu stranu jednadžbe: + =. Budući da na desnoj strani jednadžbe mora biti broj, cijelu jednadžbu podijelimo s : + = / : => Nakon skraćivanja razlomaka dobijemo rezultat: + =. Vježba 00 retvori u segmentni oblik: = 0. Rezultat: + =. 5 + =. Zadatak 00 (Gabi, etra, gimnazija) Odredi jednadžbu pravca okomitog na zadani pravac i koji prolazi točkom T, ako je + = 0, T(, ). Rješenje 00 Zadani pravac + = 0 napišimo u eksplicitnom obliku kako bismo odredili koeficijent smjera:
2 Koeficijent smjera je. + = 0 = /:( ) = +. Uvjet okomitosti: ko su pravci dani eksplicitnim jednadžbama = k + l, = k + l, k, k 0, tada su okomiti ako i samo ako je k =. k Koeficijenti, dakle, moraju imati suprotne predznake i moraju biti međusobno recipročni. Na primjer, k k Znači da je koeficijent okomitog pravca točkom T(, ).. Dakle, traženi pravac ima koeficijent smjera Jednadžba pravca zadanog koeficijentom smjera k i točkom T(, ) glasi = k ( ). Sada vrijedi: k = i = k ( ) = ( ) = + T, 8 = + + = + / = = 0.. i prolazi 8 T(, ) - + = = Vježba 00 Odredi jednadžbu pravca okomitog na zadani pravac i koji prolazi točkom T, ako je + 8 = 0, T(, ). Rezultat: 8 9 = 0.
3 Zadatak 005 (Gabi, etra, gimnazija) Odredi jednadžbu pravca usporednog (paralelnog) danom pravcu, koji prolazi točkom T, ako je = 0, T(, 8). Rješenje 005 Zadani pravac = 0 napišimo u eksplicitnom obliku kako bismo odredili koeficijent smjera: Koeficijent smjera je. ( ) = 0 = + / =. Uvjet usporednosti (paralelnosti): ko su pravci dani eksplicitnim jednadžbama = k + l, = k + l, k, k 0, tada su usporedni (paralelni) ako i samo ako je k = k. Koeficijent paralelnog pravca, također, je. Dakle, traženi pravac ima koeficijent smjera k = i prolazi točkom T(, 8). Jednadžba pravca zadanog koeficijentom smjera k i točkom T(, ) glasi Sada vrijedi: k = = k ( ). ( ) ( ) i = k 8 = 8 = T, 8 = + + = T(, 8) - - = = Vježba 005 Odredi jednadžbu pravca usporednog (paralelnog) danom pravcu, koji prolazi točkom T, ako je = 0, T(, ). Rezultat: + = 0. Zadatak 00 (Katarina, ugostiteljska škola) Kako glasi jednadžba pravca koji prolazi presjekom pravaca + 7 = 0, + = 0 i točkom T(, )? Rješenje 00 Budući da se traži presjek pravaca + 7 = 0 i + = 0, moramo riješiti sustav od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice. Uporabit ćemo metodu suprotnih koeficijenata. + 7 = 0 + = 7 = /: =. + = 0 = Nepoznanicu izračunamo tako da = uvrstimo u jednu od zadanih jednadžbi:
4 + 7 = 0 => + 7 = 0 => =. Sjecište zadanih pravaca je točka S(, ). Kroz točke S i T trebamo odrediti pravac. Uporabit ćemo formulu za jednadžbu pravca kroz dvije točke: = ( ). Slijedi: S(, ) ( ) ( ) ( ) = = = T (, ) = + = + + = = 0. Vježba 00 Kako glasi jednadžba pravca koji prolazi presjekom pravaca + = 0, + = 0 i točkom T(0, 0)? Rezultat: = 0. Zadatak 007 (Tea, gimnazija) Zadane su točke (, ), B(, ). Na pozitivnom dijelu osi odredite točku T tako da su pravci T i BT međusobno okomiti. Rješenje T B -8 Budući da točka T leži na pozitivnom dijelu osi, ima koordinate T(0, > 0). Koeficijent smjera pravca T je: (, ) k = = =. T (0, ) 0 + Koeficijent smjera pravca BT je: B(, ) + + k = = =. T (0, ) 0 Zbog uvjeta okomitosti pravaca T i BT vrijedi: ( ) ( + ) + k k = = = / ( 8) ( ) ( + ) = 8 8 b ± b ac + 8 = = 0, = a ± + 80 ± 9 ±, = = =.
5 + = = + =, = = =. o pretpostavci je > 0 pa točka ima koordinate T (0, ). Vježba 007 Zadane su točke (, 5), B(, 0). Na pozitivnom dijelu osi odredite točku T tako da su pravci T i BT međusobno okomiti. Rezultat: T(0, 8). Zadatak 008 (Viki, gimnazija) + 7,, ] Nacrtaj graf funkcije f ( ) =, [, ] +,, +. Rješenje 008 Funkcija se sastoji od tri dijela. Svaki dio rješavamo za sebe na pripadnom intervalu: f() = + 7, za, ] f() =, za [, ] f() = +, za, +. Graf afine funkcije f() = + 7 je pravac čija jednadžba glasi = + 7. Za crtanje pravca potrebno je zadati dvije točke. Za uzet ćemo uvijek rubnu točku pripadnog intervala = i jednu točku iz tog intervala, na primjer, =. rikažimo to tablicom: = ( ) + 7 = = + 7 = = ( ) + 7 = = + 7 = Graf konstante f() = je pravac paralelan s osi. Za crtanje pravca dovoljne su dvije točke. Za uzet ćemo uvijek rubne točke pripadnog segmenta = i =. Tablični prikaz: = = Graf afine funkcije f() = + je pravac čija je jednadžba = +. onovno ćemo odrediti dvije točke. Za uzet ćemo uvijek rubnu točku pripadnog intervala = i jednu točku točku iz tog intervala, na primjer, =. rikaz tablicom: Crtamo graf funkcije: = + = = + = = + 7 = = +, ],, + [ ] 5
6 = = - + = Vježba 008 Nacrtaj graf funkcije Rezultat: = + = + 5, ], ,, ] f ( ) = + 5,, +. = = + Zadatak 009 (Ivana, Zoran, namarija, Sandra, Nina, gimnazija) Izvedi formulu za kut dva pravca. Rješenje 009 onovimo prikloni kut pravca. rikloni kut pravca je kut za koji treba u pozitivnom smjeru zarotirati pozitivni dio osi oko presjeka pravca i osi do pravca p. Njegov tangens jednak je koeficijentu smjera pravca, tj. tg = k. p p k = tg k = tg = k + l = k + l Veza između nagiba pravca i veličine priklonog kuta: rikloni kut je šiljasti kut => tangens šiljastog kuta je pozitivan broj => koeficijent smjera je pozitivan broj. < 90 tg > 0 k > 0 rikloni kut je tupi kut => tangens tupog kuta je negativan broj => koeficijent smjera je negativan broj.
7 > 90 tg < 0 k < 0 Neka su sada u ravnini zadana dva pravca čiji su prikloni kutovi i β. = k + l k = tg = k + l k = tg β β Kroz sjecište pravaca konstruiramo paralelu s apscisom ( osi). = k + l k = tg = k + l k = tg β ϕ β β Iz slike se vidi da je kut dva pravca: Tada je tangens kuta jednak: φ = β. tg β tg k k tg ϕ = tg β = = + tg tg β + k k ( ). Budući da je φ šiljasti kut, znači da je tg φ 0. Zato pišemo: k k tg ϕ =. + k k Vježba 009 Nađi kut među pravcima: = + i = +. Rezultat: 90º. Zadatak 00 (Ivana, gimnazija) Dani su kut i unutar njega točka. Konstruirajte točkom pravac tako da točka raspolavlja odsječak toga pravca unutar danog kuta. 7
8 Rješenje 00 Opis konstrukcije:. korak b Zadan je kut i unutar njega točka.. korak a b B a' a Kraku a kuta konstruiramo centralno simetričnu sliku a' u odnosu prema točki kao središtu simetrije. ravac a' (a' a) siječe krak b u točki B.. korak b p B a' a Spojimo točke B i i tako dobijemo traženi pravac p koji će krak a sjeći u originalu točke B, točki, te će biti polovište dužine B. Rješenje zadatka je jednoznačno. Vježba 00 Konstruiraj simetralu zadanog kuta. Rezultat: b a Zadatak 0 (Ines, gimnazija) Neka je f() =. U kojoj točki graf funkcije f - siječe os? Rješenje 0.inačica Za funkciju f() = nađemo njezinu inverznu: ko graf funkcije f - siječe os vrijedi: f() = => = f() + => f - () = +. 8
9 Sjecište je točka T(0, ). = 0 => f - (0) = 0 + =. T(0, ) = = inačica Odredimo nul-točku funkcije f() = : = 0 => = (to je nul-točka na osi ) => N(, 0). Budući da je inverzna funkcija f - simetrična obzirom na pravac = (simatrala prvog i trećeg kvadranta), slijedi da graf funkcije f - siječe os u točki T(0, ). T(0, ) = N(, 0) = Vježba 0 Neka je f() =. U kojoj točki graf funkcije f - siječe os? Rezultat: T(0, ). Zadatak 0 (nastazija, gimnazija) Kako glasi jednadžba zrcalne slike pravca + = 0 s obzirom na os? Rješenje 0 Zrcalna slika točke T(, ) s obzirom na os je točka T'(, ). Dakle, točke koje su simetrične s obzirom na os imaju za apscise suprotne brojeve. Tada jednadžba pravca glasi: [ ] + = 0 ( ) + = 0 + = 0. T'(-, ) T(, ) = = Vježba 0 Kako glasi jednadžba zrcalne slike pravca + = 0 s obzirom na os? Rezultat: + + = 0. 9
10 Zadatak 0 (nastazija, gimnazija) Točka N(, ) dijeli dio pravca koji se nalazi između koordinatnih osi u omjeru : računajući od osi. Kako glasi jednadžba tog pravca? Rješenje 0 Segmentni oblik jednadžbe pravca glasi: + =, m n gdje je m odsječak na osi, a n odsječak na osi. Zadatak ćemo riješiti pomoću sličnosti pa gledamo samo apsolutne vrijednosti! D N(-, ) C B O Iz slike se vidi: O = m, BO =, B = O BO = m, OD = n, OC =, CD = OD OC = n. Zbog sličnosti pravokutnih trokuta BN i NCD slijedi razmjer: N : ND = BN : CD => : = : (n ) => => (n ) = => n = => n =. Također, iz sličnosti trokuta BN i NCD proizlazi sljedeći razmjer: N : ND = B : NC => : = (m ) : => = (m ) / : => => m = => m = 9. Budući da pravac siječe negativan dio osi i pozitivan dio osi, njegova jednadžba je: + = / ( 8) + 8 = 0. 9 Vježba 0 Točka N(, ) dijeli dio pravca koji se nalazi između koordinatnih osi u omjeru : računajući od osi. Kako glasi jednadžba tog pravca? Rezultat: + 8 = 0. Zadatak 0 (etra, gimnazija) ravac p prolazi točkom (, ), a na koordinatnim osima odsijeca odsječke jednakih duljina, ali različitih predznaka. Kolika je udaljenost pravca p od ishodišta? Rješenje 0 Jednadžba pravca u segmentnom obliku glasi: + =, m n gdje je m odsječak na osi, a n odsječak na osi. ravac prolazi točkom (, ) koja leži u prvom kvadrantu. Budući da na koordinatnim osima odsijeca odsječke jednakih duljina, ali različitih predznaka, mora biti: + = / n + = n. n n 0
11 (, ) - n d n O Točka (, ) pripada pravcu pa ćemo njezine koordinate uvrstiti u jednadžbu pravca: Dakle, jednadžba pravca glasi: (, ) + = n + = n n =. + = / ( ) + = 0. ko su zadani točka T( 0, 0 ) i pravac + B + C = 0, udaljenost točke T od pravca računa se po formuli: d = 0 + B 0 + C + B. Traži se udaljenost pravca + = 0 od ishodišta O(0, 0): ( ) d = = = + ( ) Vježba 0 ravac p prolazi točkom (, ), a na koordinatnim osima odsijeca odsječke jednakih duljina i predznaka. Kolika je udaljenost pravca p od ishodišta? Rezultat:. Zadatak 05 (etra, gimnazija) Zadani su vrhovi (, ) i B(, ) jednakokračnog trokuta BC. Kako glasi jednadžba pravca na kojem leži vrh C? Rješenje 05 Budući da je točka C(, ) jednako udaljena od točaka i B, vrijedi: C = BC + = +, ( ) ( ) ( ) ( ) gdje su i koordinate točke C. Kvadriranjem i sređivanjem dobivamo: + = + + = + ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) ( ) ( ) = = 0 5 = 0..
12 (, ) C(, ) B(,) Vježba 05 Zadani su vrhovi (, ) i B(, ) jednakokračnog trokuta BC. Kako glasi jednadžba pravca na kojem leži vrh C? Rezultat: 5 = 0. Zadatak 0 (Marko, gimnazija) Kolika je vrijednost parametra m ako pravac m = 0 prolazi težištem trokuta čiji su vrhovi (0, 0), B(, ), C(, 8)? Rješenje 0 Koordinate težišta trokuta (, ), B(, ), C(, ) jesu: Za dani trokut koordinate iznose: T T + +, + + =. T = = + + =, + +. T = = ko koordinate težišta T(, ) uvrstimo u jednadžbu pravca dobivamo: m = 0 T (, ) m = 0 m 5 = 0 m = 5 m =.5. 8 C 7 =.5-5 T B Vježba 0 Kolika je vrijednost parametra m ako pravac m = 0 prolazi težištem trokuta čiji su vrhovi (0, 0), B(, ), C(5, 7)? Rezultat: m =.5. Zadatak 07 (Ines, gimnazija) ovršina pravokutnika BCD s vrhovima (, ), B(, ), C(, ), D(, ) prepolovljena je pravcem + m 8 = 0. Kolika je vrijednost parametra m?
13 Rješenje 07 D C = B - ravokutnik može na više načina biti prepolovljen pravcem: pravcu pripada jedna od dijagonala pravac je paralelan s jednim parom stranica pravac siječe jedan par stranica i dijeli pravokutnik na dva trapeza Može se pokazati da u svim slučajevima točka u kojoj se sijeku dijagonale pravokutnika pripada traženom pravcu. Koordinate sjecišta dijagonala odrede se kao polovište dužine C (ili BD ): + B +, + B + = = =. = = = Uvrštavanjem točke, u jednadžbu pravca + m 8 = 0 dobijemo: + m 8 = 0 / m = 0 m = 0. Vježba 07 ovršina pravokutnika BCD s vrhovima (, ), B(, ), C(, ), D(, ) prepolovljena je pravcem + m 8 = 0. Kolika je vrijednost parametra m? Rezultat: m =. Zadatak 08 (Ines, gimnazija) Zadan je pravokutnik = {0 5, 0 } i pravac a + =. Odredi a tako da površina dijela pravokutnika ispod pravca bude 0% ukupne površine pravokutnika. Rješenje 08,5,5,5 0,5 0% ,5 a + = - -,5
14 ovršina pravokutnika je = 5 = 0. ovršina ispod pravca iznosi 0% ukupne površine: 0 p = 0% = = Napišimo segmentni oblik jednadžbe pravca: a a + = /: + = + = m =, n =. a a ovršina trokuta koji pravac zatvara s koordinatnim osima je: m n a = = = = a = 9 a = + 9. a a Drugo rješenje a = 9 nema smisla. Za a = 9 pravokutnik bi trebao biti u II. kvadrantu. Vježba 08 Zadan je pravokutnik = {0 5, 0 } i pravac a + =. Odredi a tako da površina dijela pravokutnika iznad pravca bude 80% ukupne površine pravokutnika. Rezultat: a = 9. Zadatak 09 (Ines, gimnazija) Odredi točku na simetrali. i. kvadranta koja je jednako udaljena od točaka O(0, 0) i (, ). Rješenje 09.inačica = T(, ) (, ) O(0, 0) Budući da točka T leži na simetrali. i. kvadranta, =, njezine su koordinate jednake: T(, ). Točka T je jednako udaljena od točaka O(0, 0) i (, ) pa vrijedi: 5 5 Koordinate točke su T,.. inačica OT = T = + / ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = + + ( ) ( ) = 0 /: = =.
15 T(, ) = (, ) (, ) O(0, 0) Odredimo koeficijent smjera pravca O: 0 k = = =. 0 Simetrala dužine O je pravac koji je okomit na pravac O pa je njegov koeficijent smjera jednak k =. Nađemo polovište dužine O : Jednadžba simetrale je: , =, = (, ). ( ) ( ) = k = = + 0. Točku T odredimo tako da nađemo presjek pravaca (riješimo sustav jednadžbi): = 5 5 = + 0 = 0 = =. = Točka T ima koordinate T,. Vježba 09 Odredi točku na simetrali. i. kvadranta koja je jednako udaljena od točaka O(0, 0) i (, ). Rezultat: T(, ). Zadatak 00 (Mario, tehnička škola) Zadani su vrhovi (, ), B(, ) jednakostraničnog trokuta BC. Kako glasi jednadžba pravca na kojem leži visina iz vrha C? Rješenje C C B 8 Koeficijent smjera pravca koji prolazi točkama i B glasi: (, ) (, ) ( ) ( ) = k = = =. B B,, = B Budući da je trokut BC jednakostraničan, pravac na kojem leži visina iz vrha C (C ) raspolavlja dužinu B u točki : (, ) = (, ) + +, = B(, ) (, ) = B 5
16 + + =, =,. ravac na kojem leži visina iz vrha C je okomit na pravac B pa za njegov koeficijent smjera vrijedi: k C =. k = = B Budući da je zadana točka i koeficijent smjera k C, jednadžba traženog pravca glasi:, 5 = k ( ) = ( ) = = + =. C k = C Vježba 00 Zadani su vrhovi (, ), B(, ) jednakostraničnog trokuta BC. Kako glasi jednadžba pravca na kojem leži težišnica iz vrha C? Rezultat: 5 =.
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
ISPITNI ZADACI FORMULE. A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule)
FORMULE Implicitni oblik jednadžbe pravca A, B i C koeficijenti (barem jedan A ili B različiti od nule) Eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili Pravci paralelni s koordinatnim osima - Kada je u općoj jednadžbi
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
6 Primjena trigonometrije u planimetriji
6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije
Pošto se trebaju napisati sve nastavne cjeline i gradivo sva četiri razreda (opće i jezično) potrajati će duži vremenski period.
Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole
Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu. odsjecak pravca na osi y
. ANALITICKA GEOMETRIJA. Pravac Imlicitni oblik jednadzbe pravca: a + by + c = 0 Opci oblik pravca: gdje je : y = k+ l k koeficijent smjera pravca, k = tan α l odsjecak pravca na osi y k > 0 pravac je
2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =
Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
( ) ( ) ( ) ( ) x y
Zadatak 4 (Vlado, srednja škola) Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4. m. U nju treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x
![x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x](/thumbs/55/37735885.jpg "x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x")
Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Analitička geometrija u ravnini
Analitička geometrija u ravnini September 5, 2008 1 Vektori u koordinatnom sustavu 1.1 Udaljenost točaka u koordinatnom sustavu pravokutni koordinatni sustav potpuno je odred en ishodištem jediničnim vektorima
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u 1.zadatku.
. Na brojevnoj kružnici označi točke: A (05π), A 2 ( 007π 2 ), A 3 ( 553π 3 ) i A 4 ( 40 o ). 2. Bez kalkulatora odredi vrijednosti trigonometrijskih funkcija za brojeve (kutove) iz točaka u.zadatku. 3.
( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Analitička geometrija prostora
Analitička geometrija prostora Franka Miriam Brückler U analitičkog geometriji u ravnini se pomoću koordinata (uredenih parova realnih brojeva) proučavaju točke ravnine i njihovi jednodimenzionalni skupovi:
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Analitička geometrija afinog prostora
Analitička geometrija afinog prostora Linearno zavisan i linearno nezavisan skup točaka U realnom afinom prostoru A n dane točke A i (r i ), i =,,, k, k +, k + pripadaju istoj s ravnini π s, s k, ako i
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja
Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja Ono sto znamo od prije jest da svakom kompleksnom broju mozemo pridruziti sljedeci uredjeni par: z Re z, Im z Sto znaci da ako je kompleksan broj oblika z = x
NASTAVNI PREDMET: MATEMATIKA 3
GIMNZIJ I STRUKOVN ŠKOL JURJ DORILE PZIN NSTVNI PREDMET: MTEMTIK nalitiča geometrija u ravnini. GORTN ROERT..00 Nastavno pismo NSTVNO PISMO - MTEMTIK TEHNIČR Z ELEKTROTEHNIKU TLI SDRŽJ. NLITIČK GEOMETRIJ
1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**
Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u okolini tocke, i aplikate, tocke, : Uvede li se zamjena: i dobije se:
4. FUNKCIJE DVIJU ILI VISE PROMJENJIVIH 4. Ekstremi funkcija dviju promjenjivih z = f y ( y) ( y) z ( y) ( ) ( ) (, ) (, ) Funkcija (, ) ima ekstrem u tocki, ako je razlika izmedju bilo koje aplikate u
1. Trigonometrijske funkcije
. Trigonometrijske funkcije . Trigonometrijske funkcije.. Ponovimo Brojevna kružnica Kružnicu k polumjera smjestimo u koordinatnu ravninu tako da joj je središte u ishodištu. Na kružnicu k prislonimo brojevni
4 Sukladnost i sličnost trokuta
4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }
Geometrijski trikovi i metode bez imena
Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.
Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi
2s v A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 E. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
17 1989 1 1.1. Ako je v = gt + v 0 i s = g 2 t2 + v 0 t, onda je t jednak A. 2s B. v + v 0 2s C. v v 0 s D. v v 0 2s v E. 2s v 1.2. Broj rješenja jednadžbe x + 1 x = 10 u skupu realnih brojeva x R, iznosi
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
4. MONGEOVO PROJICIRANJE
4. MONGEOVO PROJICIRANJE 4.1. Projiciranje točke Niti centralno ni paralelno projiciranje točaka prostora na ravninu nije bijekcija. Stoga se pri takvim preslikavanjima suočavamo s problemom nejednoznačnog
Sveučilište u Zagrebu. Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek. Tonio Škaro. Diplomski rad
Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Tonio Škaro Težišnice trokuta i težište Diplomski rad Zagreb, rujan, 015 Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a
Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Analitička geometrija Zadaci. 13. siječnja 2014.
Analitička geometrija Zadaci 13. siječnja 2014. 2 Sadržaj 1 Poglavlje 5 1.1 Ponavljanje. Uvod............................ 5 1.2 Koordinatizacija............................. 6 1.3 Skalarni produkt.............................
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
je B 1 = B 2. Prvi teorem kojeg ćemo dokazati primjenom Menelajeva teorema je Euklidski slučaj poznatog Desargesova 2 teorema. B 2 Z B 1B 2 B 1 O
Zoran Topić, Imotski Menelajev teorem i neke primjene U ovom članku ćemo dokazati Menelajev 1 teorem i pokazati neke primjene tog teorema. Menelajevo najvažnije djelo je Sphaerica u kojem dokazuje i Menelajev
PRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
Matematika 1. kolokviji. Sadržaj
Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja 009. 1. Riješi nejednadžbu x + x Rješenje. 1 u skupu prirodnih brojeva. x + x 1 x + x + 0 x x < 0 x
4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:
Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
AB rab xi y j. Formule. rt OT xi y j. xi y j. a x1 i y1 j i b x2 i y 2 j. Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y)
Formule Jedinični vektor vektora O T točke T(x,y) r xi y j r T0 T rt x y 1 x y xi y j Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) rt OT xi y j Vektor AB ako su: AB rab ( x x1 )i ( y y1
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE
PRIMJERI ZADATAKA ZA TEST IZ MATEMATIKE . 0.: 0.0 0. 0.0 je: 5000 0.0 5 0.00. Izračunajte 0.% od : 0. 4 0. 0.0 0.00 0.. Skratite razlomak a a a 4a + 4 + a a a a a a 0.77 4. Rješenje jednadžbe =. 5 je -
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE
DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola B kategorija Pula, 30. ožujka 009. Zadatak B-.. (0 bodova) Tomislav i ja, reče Krešimir, možemo završiti posao za 0 dana. No, ako bih radio s Ivanom
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
3. KRIVULJE DRUGOG REDA
3. KRIVULJE DRUGOG REDA U realnoj projektivnoj ravnini konike ili krivulje drugog reda definiraju se ovako: Definicija 3.1. Skup svih točaka projektivne ravnine čije koordinate zadovoljavaju algebarsku
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta
Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice
c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
![c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]](/thumbs/92/108578155.jpg "c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]")
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
1. Trigonometrijske funkcije realnog broja
1. Trigonometrijske funkcije realnog broja 1. Brojevna kružnica... 1 7.Adicijskeformule.... Definicija trigonometrijskih funkcija....... 8. Još neki identiteti.......... 9. Trigonometrijske funkcije kutova........
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Priprema za ispit znanja Vektori
Priprema za ispit znanja Vektori 1. Dan je pravilni šesterokut ABCDEF. Ako je =, = izrazi pomoću vektore,,. + + =0 = E D = + F S C + + =0 = = A B + + =0 = = =+ 2. Točke A, B, C, D, E i F vrhovi su pravilnog
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 5.1 (Dio treci)
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 5. Dio treci) Prije rijesavanja zadataka prisjetimo se bitnih stvari koje ce nas pratiti tijekom njihovog promatranja. Tvrdnja: Osnovni trigonometrijski identiteti) Tvrdnja:
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 2010.
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 4. veljače 010. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJEREN- STVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I
Skalarni umnozak vektora je skalar: a b = a b cos ϕ ; ϕ kut izmedju vektor a i b.
5. VEKTORI U PROSTORU 5. Opcenito o vektorima a Jedinicni vektor (ort) je vektor sa intenzitetom. a a a Zbroj dva vektora je vektor: a+ b c. Graficki, zbroj se dobije ulancavanjem dva vektora. Na kraj
Još neki dokazi leptirovog teorema
POUČAK 50 Još neki dokazi leptirovog teorema Šefket Arslanagić, Alija Muminagić U [] su dana četiri razna dokaza Leptirovog teorema (Butterfly s theorems), od kojih su dva čisto planimetrijska, jedan je
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače razred-rješenja
OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 4. veljače 00. 4. razred-rješenja. 00 + 00 + 00 3 + 00 4 + 00 = 00 ( + + 3 + 4 + ) = 00 = 300... UKUPNO 4 BODA. 96 8 : 4 + 0 ( 68 66 ) = 96 7 + 0 = 89 + 0 = 09...