3. SREDNJE VRIJEDNOSTI ( mjere centralne tendencje ) Jospa Perov, prof. pred.
2 Srednja vrjednost je onstanta ojom se predstavlja nz varjablnh podataa Sredšnja vrjednost oo oje se gomlaju podac mjera centralne tendencje Srednje vrjednost se djele na: POTPUNE (orste se sv podac): artmetča sredna, geometrjsa sredna harmonjsa sredna POLOŽAJNE (vrjednost je određena položajem u nzu): mod medjan Jospa Perov, prof. pred.
3 Prmjena određene srednje vrjednost uvjetovana je vrstom statstče varjable raspoložvh podataa Računaju se samo za varjablne podate ste vrste Jospa Perov, prof. pred.
3.. ARITMETIČKA SREDINA (AS) Najvažnja, najpoznatja najvše upotrebljavana srednja vrjednost čest nazv: prosje l prosječna vrjednost AS je omjer zbroja svh vrjednost broja vrjednost numerče varjable JEDNOSTAVNA AS Prmjenjuje se od negrupranh podataa Ao numerča varjabla X poprma vrjednost, 2,, N artmetča sredna dana je zrazom: N velčna u brojnu se nazva total = = Jospa Perov, prof. pred. N 4
PRIMJER. Za 20 zaposlenh poduzeća X prupljen su podac o godnama starost uređen po velčn. On su znosl: 5 9 9 20 20 20 2 22 24 24 25 25 25 28 30 36 36 4 45 53 60 Total znos: 9 + 9 + 20 + 20 + 20 +... + 60 = 593 godne (uupn broj navršenh godna starost svh 20 radna) AS, tj. prosječna starost radna znos 593 = = 29.65 godna 20 Jospa Perov, prof. pred.
VAGANA (PONDERIRANA) AS 6 Prmjenjuje se od grupranh podataa, tj. ada je formrana dstrbucja frevencja = = = f f frevencje f čne pondere ojma se mjer važnost svae pojedne vrjednost varjable X pojednačn produt f oj se zbrajaju u brojnu nazvaju se podtotal Korst se za računanje AS dstrbucje frevencja za ontnurana numerča oblježja u ojoj su dan razred vrjednost varjable X u razredu predstavlja razredna sredna Jospa Perov, prof. pred.
Do stog rezultata možemo doć orštenjem: 7 relatvnh frevencja ao pondera: = = p postotnh relatvnh frevencja ao pondera: = = P 00 Jospa Perov, prof. pred.
PRIMJER 2. Promatrano je 00 vozača oj su vozl automobl 5 godna. Proučavanjem učestalost prometnh nezgoda th vozača dobvena je sljedeća tabela: Broj prometnh nezgoda Broj vozača 8 Izračunajmo prosječan broj prometnh nezgoda po jednom vozaču. 0 2 3 4 (7) Jospa Perov, prof. pred. 20 40 25 9 6 Napomena: Postupa grupranja ombnranjem grupa razreda razred 4 (7) nazva se nterval, a procjenjena granca se stavlja u zagrade ()
Broj prometnh nezgoda 0 2 3 4 (7) Broj vozača f 20 40 25 9 6 9 Razredne sredne 0 2 3 5.5 f 0 40 50 27 33 Σ 00 50 Jospa Perov, prof. pred. 5 f = = = = 5 00 f = 50.5 Prosječan broj prometnh nezgoda po jednom vozaču znos.5
Ponead je moguće eonomčno zvorne vrjednost numerče varjable pojednostavnt smanjvanjem brojčanh vrjednost TRANSFORMACIJA (KODIRANJE) polaz od zraza: 0 a d =, b 0, =,2,..., N b gdje a občno predstavlja vrjednost varjable (razredne sredne) u ooln najvećh frevencja, a ada su razred jednah velčna za b 0 je prladna velčna razreda b = a + f d l = a + b p d N = = Jospa Perov, prof. pred.
PRIMJER 3. Trgovače radnje poduzeća X prema ostvarenom mjesečnom prometu, u 000 n Promet u 000 n 30 40 40 50 50 60 60 70 70 90 90 0 0 50 Broj radnj f 2 5 0 2 0 9 2 Razredne sredne a d f d 35 45 55 65 80 00 30-30 -20-0 0 5 35 65-3 - 2-0. 5 3. 5 6. 5-6 - 0-0 0 5 3. 5 Σ 50 33. 5 b = a + fd N = = + = Jospa Perov, prof. pred. 3 0 65 33.5 7.7 tsuća una 50 a = 65 razred nsu jednae velčne, uzmmo da je npr. b = 0
Jospa Perov, prof. pred. 2 Rašrenost prmjene AS potče z njeznh svojstava: () zbroj odstupanja vrjednost varjable X od njezne AS je jedna nul (2) zbroj vadrata odstupanja vrjednost varjable X od AS je mnmalan pojednačne vrjednost dstrbucja frevencja ( ) 0 = = N ( ) 0 = = f pojednačne vrjednost dstrbucja frevencja ( ) ( ) = = < N N 2 0 2 ( ) ( ) = = < f f 2 0 2
3 (3) AS uvje se nalaz zmeđu najmanje najveće vrjednost varjable: mn ma (4) Ao su vrjednost numerče varjable jednae onstant C, AS te varjable jednaa je toj onstant: = 2 =... = N = C, = C Jospa Perov, prof. pred.
4 Ao se raspolaže s artmetčm srednama podsupova u oje je raspoređeno N, =,2,, elemenata ao se podsupov međusobno ne prelapaju, zajednča sredna za sup, tj. artmetča sredna artmetčh sredna zračunava se pomoću zraza: = = = N N Jospa Perov, prof. pred.
PRIMJER 4. Prosječna vsna 50 studentca znos 72 cm, a prosječna vsna 80 studenata znos 78 cm. Tada je prosječna vsna svh 30 studenata: 2 = = 2 = N N = N N + + N N 2 2 2 50 72 + 80 78 = = 75. 7 50 + 80 Jospa Perov, prof. pred. 5
Vaganu AS orstmo od računanja prosjea relatvnh brojeva 6 Relatvn brojev oordnacje su omjern brojev - nastaju dobom dvju oordnrajućh velčna (velčne oje se uspoređuju) dohoda po stanovnu, gustoća stanovnštva,... Općento se označavaju zrazom: V R =, =,2,..., B V = velčna pojave oja se uspoređuje B = vrjednost pojave s ojom se uspoređuje pojava u brojnu Jospa Perov, prof. pred.
Tabela. BDP po stanovnu u 2005. u Hrvatsoj, Austrj Belgj Država 7 BDP po stanovnu, USD (R ) Broj stanovna u 000 (B ) Hrvatsa 8 675 4 443,9 Austrja 37 7 8 206,5 Belgja 35 72 0 445,9 Izvor: Statstče nformacje 2007, DZS, Zagreb 2007. Jospa Perov, prof. pred.
8 Relatvn brojev oordnacje prazuju se grafonom tao da se na os ordnata nanos artmetčo mjerlo za relatvne brojeve oordnacje, a na os apscsa dužne proporconalne bazama relatvnh brojeva BDP/st. 40000 35000 30000 25000 20000 5000 0000 5000 0 BDP po stanovnu, USD Hrvatsa Austrja Belgja broj stanovna Jospa Perov, prof. pred.
9 AS relatvnh brojeva oordnacje računa se zrazom: R = = = R B B Jospa Perov, prof. pred.
PRIMJER 5. Uvoz u RH 999. prema području podrjetla robe oefcjent porvenost uvoza zvozom (omjer zvoza uvoza) Zemlje EU Područje podrjetla Zemlje EFTA-e Ostale razvjene zemlje Zemlje u razvoju CEFTA-e Ostale europse zemlje u razvoju Ostale zemlje u razvoju 20 Uvoz u mljunma USD (B ) 4392 200 583 080 952 569 Porvenost uvoza zvozom (R ) 47.54 74.00 32.42 53.80 87.50 77.33 R B 208795.68 4800.00 8900.86 5804.00 83300.00 44000.77 Σ 7776-42790.3 R R B = = = = 7776 B = Jospa Perov, prof. pred. 42790.3 55.03 Na svah 00 dolara uvoza u prosjeu je 999. dolazlo 55 dolara zvoza
3.2. GEOMETRIJSKA SREDINA (GS) Prmjenjuje se u analz vremensh nzova GS AS 2 GS (jednostavna) vrjednost, 2,,,, n numerče varjable X dana je zrazom: G = N 2 K K N, f 0, za sva GS (vagana) grupranh podataa u dstrbucju frevencja dana je zrazom: N f f2 f G = 2 K, N = f Jospa Perov, prof. pred. =
3.3. HARMONIJSKA SREDINA (HS) 22 Prmjena u zračunavanju produtvnost rada mjerene utrošom vremena po jednc HS < GS AS pojednačne vrjednost dstrbucja frevencja H N, 0 = N = H = = = f f Jospa Perov, prof. pred.
3.4. MOD Mod je najčešć obl l modaltet oblježja (oznaa: M o ) određuje se za valtatvna za vanttatvna oblježja određen je položajem u nzu pa na njega ne djeluju zrazto male l vele vrjednost numerčog nza (za razlu od AS) ne može se odredt ao ne postoje bar dvje jednae vrjednost varjable Mod nza 2 2 2 2 2 2 3 3 3 je 2, tj. M o = 2 23 Jospa Perov, prof. pred.
PRIMJER 5. 24 Prupljajuć u jednom uzoru od 200 bračnh parova podate o broju djece u obtelj, dobl bsmo, npr.podata da je 200 obtelj malo uupno 640 djece, što daje artmetču srednu od 3.2 djeteta po obtelj. Puno bolj poazatelj (reprezentatvnja vrjednost) je najčešća vrjednost, tj. najčešć broj djece u obtelj Jospa Perov, prof. pred.
Kod dstrbucje frevencja dsretne numerče varjable M o je vrjednost numerče varjable s najvećom frevencjom PRIMJER 6. Tabela. Godšnj prosje zaposlenh u nepoljoprvrednoj djelatnost u RH 2006. 25 Vrsta djelatnost Rudarstvo vađenje Prerađvača ndustrja Opsrba ele. energjom, plnom vodom Građevnarstvo Broj zaposlenh 8.844 29.886 27.24 30.375 Izvor: Statstče nformacje 2007, str. 26 Masmalna frevencja je 29.886, pa je u ovom slučaju mod prerađvača ndustrja Jospa Perov, prof. pred.
Kod dstrbucje frevencja s razredma modalna se vrjednost aprosmra (zravno možemo dentfcrat samo razred u ojem se nalaz) na sljedeć načn: Prvo treba pronać modaln razred (razred s najvećom frevencjom) 26 Ao su razred nejednah velčna modaln razred je razred s najvećom orgranom frevencjom Oznae: b = najveća (orgrana) frevencja a = orgrana frevencja spred b c = orgrana frevencja za b L = donja granca modalnog razreda = velčna modalnog razreda Izraz za aprosmacju moda: b a M 0 = L + ( b a) + ( b c) Jospa Perov, prof. pred.
PRIMJER 7. 27 Razred Frevencje Velčna razreda b a M 0 = L + ( b a) + ( b c) 20 30 30 40 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90-00 2 4 8 4 9 7 5 a b c 0 0 0 0 0 0 0 0 M M 0 0 4 8 = 50 + 0 (4 8) + (4 9) = 55.45 Σ 50 - Jospa Perov, prof. pred.
3.5. MEDIJAN Medjan je vrjednost vanttatvne varjable oja uređen nz djel na dva jednaobrojna djela (oznaa: M e ) 28 X mn M e X ma 50% 50% prva polovna članova nza ma vrjednost varjable jednau l manju od medjana, a druga polovna članova nza ma vrjednost varjable veću od medjana Određen je položajem u nzu Jospa Perov, prof. pred.
29 Medjan M e pojednačnh N vanttatvnh vrjednost varjable X određuje se tao da se one prvo urede po velčn, od najmanje prema najvećoj. Ao je: N neparan broj: M e je vrjednost varjable sredšnjeg člana uređenog nza N paran broj: M e je poluzbroj vrjednost varjable sredšnjh dvaju članova uređenog nza Jospa Perov, prof. pred.
PRIMJER 8. 30 N paran broj N neparan broj Nz 4,5,6,7,8 4,5,6,7 M e 6 5.5 za dstrbucju frevencja s formranm grupama orst se umulatvn nz manje od občno se za M e uzma vrjednost varjable oblježja oje se nalaz na rednom broju N/2 Jospa Perov, prof. pred.
PRIMJER 9. Plaće zaposlena u trgovn X Zaposlenc 2 3 4 5 Plaće 3500 3550 3600 3650 2000 Kad bsmo prosje računal pomoću artmetče sredne dobl bsmo da je: = 3500 + 3550 + 3600 + 3650 + 2000 5 = 5260 što je daleo od stvarnog stanja. U tom slučaju najopravdanje je računat medjan što u ovom prmjeru znos 3600. Jospa Perov, prof. pred. 3
PRIMJER 0. Broj pogrešnh odgovora 80 studenata na testu z statste Jospa Perov, prof. pred. Broj pogrešnh odgovora 0 2 3 4 5 6 Broj studenata 32 5 7 5 9 20 0 4 Kumulatvn nz manje od Σ 80 - N = 80, pa je medjan oblježje elemenata s rednm brojevma 40 4. Prva umulatvna frevencja, jednaa l veća od 40, jest četvrta po redu (46). Toj grup prpadaju 40. 4. student s stm brojem pogrešnm odgovora pa je M e = 3 5 2 27 46 66 76 80
33 Da b se odredla vrjednost M e u dstrbucj frevencja s razredma pretpostavt će se da su članov nza u medjalnom razredu (razred oj sadrž član nza oj zadovoljava defncju medjana) jednao udaljen: m N f = + 2 = M e L fmed Oznae: L = donja granca medjalnog razreda N/2 = polovna članova nza m f = zbroj svh frevencja do = medjalnog razreda f med = frevencja medjalnog razreda = velčna medjalnog razreda Jospa Perov, prof. pred.
PRIMJER. Osobe prjavljene u Hrvatsom zavodu za zapošljavanje, stanje potraj 999. 34 Godne žvota Broj osoba Kumulatvn nz manje od Velčna razreda N 2 = M e = L + fmed m f 5 20 20 25 25 30 30 40 40 50 50 (65) 6770 48482 989 82263 0604 3392 6770 5652 23547 37734 328338 34730 5 5 5 0 0 (5) M M e e 34730 5652 = 25 + 2 5 989 = 27.3 27 Σ 34730 - Jospa Perov, prof. pred.
PITANJA ZA USMENI DIO ISPITA: 35. Defnrajte potpune srednje vrjednost 2. Defnrajte položajne srednje vrjednost 3. Defnrajte relatvne brojeve oordnacje opšte njhov grafč praz. Jospa Perov, prof. pred.