ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Ας υποθέσουμε ότι f ( ) f ( ) Τότε θα ισχύει f ( ) f ( ) Έστω g() f (), [, ] Παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] και g( )g( ), αφού g( ) f ( ) και g( ) f ( ) Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε g( ) f ( ), οπότε f ( ) Α Έστω μια συνάρτηση f και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο, όταν lim f () f ( ) Α Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει, τέτοιο ώστε f () f ( ) για κάθε A (, ) Α Λ Σ Λ Σ Σ ΘΕΜΑ Β Β z z z z z z z z z z z 6 z z z z z z Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ= β τρόπος Έστω z yi,, y, τότε z z yi yi y y 8 6 y y 8 y y 6 y 8 y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ= Β α) z z zz z Όμοια z z z 8 8 z z z z 8 z 8 w z z z z z z w w z z z z z
β τρόπος: z z z z w w w z z z z z z z z z z z z z z z z ισχύει z z z z z z β) w w w z z z z z z ος τρόπος Αν z yi, z yi,, y,, y με αντίστοιχες εικόνες (z ), Bz ( ) έχουμε z z y i y i y y y y i z z z w z z z zz zz R zz y y z z z z z z z OAOB OA OB ˆ ˆ y y ˆ w ˆ ˆ w w z z Β w z z zz z z z z z z Άρα A z B z ( ),, (iz ) και z z z z z z z z z iz z i z i z ( ) z iz z i z i z Άρα οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές β τρόπος Αν z yi,, y τότε A(, y), B(, y), ( y, ) ( ) y y y y ( ) y y y y Άρα (ΑΓ)=(ΒΓ) οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές y y y y y y Γ, A f ΘΕΜΑ Γ f f( ) για επομένως η f m στο αφού η f είναι συνεχής στο Το σύνολο τιμών της f είναι το f A lim f ( ), lim f ( ),
αφού lim f ( ) lim lim και lim f( ) lim lim lim D L H D L H f m f f () Γ f () Ο αριθμός f A άρα υπάρχει Το μοναδικό αφού η f είναι - β τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση τέτοιο ώστε f h f, Είναι h f f για κάθε και επειδή η h είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα ( ) στο s, Είναι Έστω s για κάθε και επειδή η s είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα ( ) στο Είναι lim s lim (από το Γ) και (από το Γ), άρα sa, lim s lim lim lim DLH DLH Είναι f, lim f, lim f, φθίνουσα, το είναι μοναδικό Επειδή,, υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f m Γ Για κάθε t, είναι t f t f f ( t) () f t,, έχουμε: ος τρόπος και επειδή η h είναι γνησίως και επειδή η ισότητα δεν ισχύει για κάθε f ( t) f () f ( t) f () t f ( t) f () Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) f ( t),, Για την h ισχύει το ΘΜΤ στο,,οπότε υπάρχει, τέτοιο ώστε
h( ) h( ) f ( t) f ( t) f ( t) f ( t) h( ) f( ) f [ f () t f ( ) f ( ) f ( ) f ( t) f ( ) Γ Η g συνεχής στο, αφού η f συνεχής f () t f ( t) f ( t) lim g ( ) lim lim f f lim f f g() D L H Η g είναι παραγωγίσιμη στο, με: g Είναι Άρα η g συνεχής στο ( ), f ( ) f ( ) f ( t) f ( t) f () f ( t) f () και για κάθε f ( ) f( ) f m f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Άρα g( ) g( ) και επειδή η g είναι συνεχής στο, είναι γνησίως αύξουσα στο, ΘΕΜΑ Δ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Δ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f f f f c, c () ( ) ( ) ( ) () () c οπότε f ( ) Η συνάρτηση a( ) είναι συνεχής στο και a ( ) οπότε η α διατηρεί σταθερό πρόσημο Επειδή a() η α()> οπότε ( ) ( ) () f f Είναι () () Η () γίνεται f ln β τρόπος f ( ) f ( ) Θέτω, Από τη σχέση () είναι f ( ), τότε Είναι, και επειδή ( ) f f ln f ( ), είναι f ( ) f ( ) f ( ), άρα
Δ α) f( ) f( ) f ( ) Για κάθε είναι κοίλη στο β) είναι f, άρα η f είναι κυρτή στο,, Παρουσιάζει σημείο καμπής το, () E f ( ) d Η εφαπτομένη της f στο είναι η y Επειδή η f είναι κοίλη στο [, ) είναι f ( ) f ( ) Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι: f ( ) + f ΣΚ και για κάθε f άρα η f είναι f δηλαδή την αρχή των αξόνων E f ( ) d d f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) d f () d ln( ) ln( ) ln( ) f [ Δ f ( ) f () ( ) ( ) lim f t ln f f t ( ) lim ln f ( ) f () t lim f ( )ln f ( ) f( ) f ( t) f ( t) ( ) f lim lim ( ) D L H f f ( ) u f ( ) ln u u lim ln f ( ) f ( ) lim lnuu lim lim u D L H u u β τρόπος: u lim f () f t f () ln lim ln lim f t f f lim lim f DLH ( ) f t ( ) f t f f f () t f () t
f () t f lim f γιατί f f () t f ( t) ( ) ( ) f t f t f lim f DLH f f Δ Θεωρούμε h( ) ( ) f ( t ) ( ) 8 f ( t) Η f συνεχής στο [,] σαν πράξεις συνεχών () 8 ( ) h f t αφού f ( t) t,, f t t f t t t f t t f t f t f t 8 8 f t () ( ) h f t αφού f (),, f t t f t t t f t f t f t f t, τέτοιο ώστε Άρα ισχύει το θεώρημα Bolzano δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον :( )( ) h( ) ( ) f ( t ) ( ) 8 f ( t) ( ) 8 ( ) f t f t Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς 6