CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1 Derivata unei funcţii Interpretarea geometrică Fie f : I R, unde I este un interval şi fie a I Definim funcţia R : I {a} R prin f x) f a) R x) := Ne interesează problema existenţei itei acestei funcţii în punctul a având în vedere că a este, evident, punct de acumulare pentru mulţimea I {a}) Definiţia 1 Spunem că funcţia f : I R este derivabilă în punctul a I dacă raportul R x) are ită fx) fa) finită în punctul a adică dacă x a R) Limita se va numi derivata funcţiei f în punctul a şi se va nota cu f a) Deci f f x) f a) a) = x a Derivata se mai notează şi cu df dx a) Remarca Se vede imediat că dacă notăm cu h := obţinem că x a h 0 şi evident a + h este tot din I) Deci f f h + a) f a) a) = h 0 h Remarca 3 Putem nota şi în modul următor: deci obţinem egalităţile Ne interesează ita cantităţii Deci : =, f : = f x) f a), x = a +, f x) = f a) + f f f x) f a) f a + ) f a) = = f f a + ) f a) a) = Remarca 4 Dacă funcţia f admite derivată în punctul a, atunci graficul său admite tangentă în punctul M a, f a)) de pe grafic Dacă derivata f a) este finită atunci panta acestei drepte este egală cu f a); dacă derivata este inifintă, tangenta este paralelă cu axa Oy tangentă este verticală, adică panta este infinită) 1

Lect dr Remarca 5 Vezi şi desenul cu cele două puncte M a, f a)), P a +, f a + )) şi cu graficul curba) y = f x), secanta dreapta) y = s x) şi tangenta y = t x) Secanta este dată de ecuaţia y = s x) = f a) + f ), y = t x) = f a) + f a) ) Remarca 6 Dacă s t) reprezintă legea de mişcare rectilinie neuniformă a unui mobil, atunci derivata s t 0 ) reprezintă viteza v t 0 ) a mobilului la momentul t 0 Definiţia 7 Dacă ita raportului fx) fa) există dar este infinită adică ± ) atunci spunem că funcţia are derivată care este ita obţinută ± ) dar nu este derivabilă Remarca 8 Derivata f a) poate fi definită echivalent în următoarele forme vezi definirile echivalente ale itei unei funcţii): 1 x n ) n I cu x n a şi x n a, f a) = n f x n ) f a) x n a V V f a)), U V a) astfel încât x U I cu x a, fx) fa) V 3 cazul f a) finită) ε > 0, δ = δ ε) > 0 astfel încât x I cu x a şi < δ, f a) < ε fx) fa) Teorema 9 Dacă funcţia f : I R este derivabilă în punctul a I atunci f este continuă în a Demonstraţie Evident f x) = f a) + fx) fa) ), x I {a} Deci, având în vedere că există finită ita f a), deducem [ ] f x) f a) f x) = f a) + ) = f a) + f a) 0 = f a) x a x a Remarca 10 Nu toate funcţiile continue într-un punct sunt derivabile în acel punct De exemplu, f x) = x, x R Avem, pentru a = 0, f f x) f 0) = = x { +1, dacă x > 0, x 0 x = 1, dacă x < 0, f deci nu există ita x 0 adică nu există derivata funcţiei x în origine dar există derivatele laterale) Derivabilitatea este deci o proprietate mai tare dacât continuitatea Definiţia 11 Spunem că f admite derivată la stânga în punctul a dacă x a x<a Definiţia 1 Spunem că f admite derivată la dreapta în punctul a dacă x a x>a fx) fa) =: f s a) fx) fa) =: f d a) Teorema 13 O funcţie are derivată într-un punct interior a I dacă şi numai dacă are derivate laterale egale în punctul a În acest caz f s a) = f d a) = f a) Definiţia 14 Dacă funcţia f admite în punctul a derivate laterale care sunt diferite şi cel puţin una dintre ele este finită atunci punctul M a, f a)) de pe grafic se numeşte punct unghiular al graficului vezi desenul) Definiţia 15 Dacă una dintre derivatele laterale este + şi cealaltă este atunci punctul M a, f a)) de pe grafic se numeşte punct de întoarcere al graficului vezi desenul)

Lect dr Operaţii cu funcţii derivabile Teorema 16 Presupunem că funcţiile f, g : I R admit derivatele f a) şi g a) în punctul a I şi că operaţia f a) + g a) are sens Atunci f + g are derivată în a şi are loc Demonstraţie Se trece la ită în fx) fa) f + g) a) = f a) + g a) + gx) ga) Remarca 17 În teorema precedentă nu s-a cerut ca funcţiile să fie derivabile, deci cantităţile f a) şi g a) sunt din R := R {± } Teorema 18 Presupunem că funcţia f : I R admite derivata f a) în punctul a I Atunci C R, funcţia C f are derivată în a şi are loc Demonstraţie Se trece la ită în C fx) fa) C f) a) = C f a) Proposiţia 19 Având în vedere cele două teoreme de mai sus deducem că operatorul de derivare este operator liniar definit pe mulţimea funcţiilor derivabile) Adică pentru orice α, β R are loc egalitatea αf + βg) a) = αf a) + βg a) Teorema 0 Presupunem că funcţiile f, g : I R sunt derivabile admite derivate care sunt finite) în punctul a I Atunci f g este derivabilă în a şi are loc Demonstraţie Se trece la ită în egalitatea f g) a) = f a) g a) + f a) g a) f x) g x) f a) g x) + f a) g x) f a) g a) f x) f a) g x) g a) = g x) + f a) Teorema 1 Presupunem că funcţiile f, g : I R sunt derivabile admite derivate care sunt finite) în punctul a I şi că g a) 0 Atunci f g este derivabilă în a şi are loc Demonstraţie Se trece la ită în f g x) f g a) = = ) f a) = f a) g a) f a) g a) g g a) 1 f x) g a) f a) g a) + f a) g a) f a) g x) g x) g a) [ ] 1 f x) f a) g x) g a) g a) f a) g x) g a) Teorema Presupunem că funcţia g : I R este derivabilă admite derivată care este finită) în punctul a I şi că f : J R este derivabilă în punctul g a) J Atunci funcţia compusă f g) x) := f g x)) este derivabilă în a şi are loc fără demonstraţie) f g) a) = f g a)) g a) 3

Lect dr Teorema 3 Fie f : I J o funcţie strict monotonă astfel încât J = f I) atunci f este bijecţie) Dacă f este derivabilă în punctul x 0 I astfel încât f x 0 ) 0, atunci funcţia sa inversă f 1 : J I este derivabilă în y 0 = f x 0 ) J şi f 1 ) 1 y0 ) = f x 0 ) fără demonstraţie) Remarca 4 Avem evident relaţia f 1 f ) x) = x = f f 1) x)) Derivăm acum această compunere în raport cu x folosind Teorema ) şi obţinem identitatea f 1 f ) x0 ) = f 1) f x0 )) f x 0 ) = 1 3 Derivatele funcţiilor elementare Vom da mai întâi demonstraţii ale derivatelor câtorva funcţii elementare Fie funcţiile afine f x) = ax + b, x R şi fie x 0 R arbitrar ales Atunci f x 0 ) = [a x 0 + ) + b] [ax 0 + b] = Fie f x) = x, x R şi fie x 0 R arbitrar ales Atunci f x 0 ) = x 0 + ) x 0 = Deci obţinem derivata x ) = x x 0 + ) Fie f x) = x n, x R cu n N, şi fie x 0 R arbitrar ales Atunci a = a = a = x 0 + ) = x 0 f x 0 + ) n x n 0 x 0 ) = x n 0 + C = nx 1 n 1 0 + Cnx n 0 ) + + Cn n 1 x 0 ) n 1 + ) n x n 0 = Cnx 1 n 1 0 + Cnx n 0 + + Cn n 1 x 0 ) n + ) n 1) = Cnx 1 0 n 1 = nx n 1 0 Deci obţinem derivata x n ) = nx n 1 Mai general, fie f x) = x α, x R + cu α R şi fie x 0 R + arbitrar ales Atunci f x 0 ) = x 0 + ) α x α 0 = x α 0 [ ) α ] 1 + x 0 1 = x α 1 0 1 + x 0 ) α 1 = notez y := ) = x α 1 1 + y) α 1 0 = folosesc ita fundamentală) x 0 y 0 y = x α 1 0 α Deci obţinem derivata x α ) = αx α 1 Deducem astfel că x) = 1 x, valabilă pentru orice x R + = 0, + ) dar de asemenea, 3 se poate demonstra că egalitatea x 5) ) = x 5/3 = 5 3 x/3 este valabilă pentru orice x R =, + ) x 0 4

Lect dr Temă) demonstraţi formula a x ) = a x ln a Putem astfel demonstra/deduce derivatele tuturor funcţiilor elementare: 1 fie f : R R, f x) = C Atunci, pentru orice x, există f x) = 0 fie f : R R, f x) = x Atunci, pentru orice x, există f x) = 1 3 fie f : R R, f x) = x n, cu n N Atunci, pentru orice x, există f x) = nx n 1 4 fie f : R + R, f x) = x Atunci, pentru orice x R +, există f x) = 1 5 fie f : R + R, f x) = n x, cu n N Atunci, pentru orice x R +, există f x) = 1 n n x n 1 6 fie f : R + R, f x) = 1 x Atunci, pentru orice x R +, există f x) = 1 7 fie f : R + R, f x) = x p, cu p R Atunci, pentru orice x R +, există f x) = px p 1 8 fie f : R R +, f x) = e x Atunci, pentru orice x R, există f x) = e x 9 fie f : R R +, f x) = a x, cu a > 0 Atunci, pentru orice x R, există f x) = a x ln a 10 fie f : R + R, f x) = ln x Atunci, pentru orice x R +, există f x) = 1 x x 11 fie f : R + R, f x) = log a x Atunci, pentru orice x R +, există f x) = 1 1 fie f : R R, f x) = sin x Atunci, pentru orice x R, există f x) = cos x 13 fie f : R R, f x) = cos x Atunci, pentru orice x R, există f x) = sin x x x ln a 14 fie f : R { } { } k + 1) π R, f x) = tgx Atunci, pentru orice x R k + 1) π, există f x) = 1 cos x 15 fie f : R {kπ} R, f x) = ctgx Atunci, pentru orice x R {kπ}, există f x) = 1 sin x 16 fie f : [ 1, 1] [ π, π ], f x) = arcsinx Atunci, pentru orice x 1, 1), există f x) = 1 1 x 17 fie f : [ 1, 1] [0, π], f x) = arccos x Atunci, pentru orice x 1, 1), există f x) = 1 1 x 18 fie f : R π, π ), f x) = arctgx Atunci, pentru orice x, există f x) = 1 19 fie f : R 0, π), f x) = arcctgx Atunci, pentru orice x, există f x) = 1 1+x 1+x Remarca 5 Toate formulele de mai sus se rescriu imediat adăugând u în dreapta) în cazul compunerii funcţiilor elementare cu o funcţie u x) De exemplu, arctg u) x) = 1 1+u x) u x) Exemplul 6 Derivata funcţiei polinomiale f x) = 3x 5 x 4 x 3 + 3x 5x + utilizează derivata lui x n precum şi liniaritatea operatorului de derivare Astfel: f x) = 3x 5 x 4 x 3 + 3x 5x + ) = 15x 4 8x 3 3x + 6x 5 + 0 Exemplul 7 Derivata funcţiei raţionale f x) = x 3x+1 x 1 utilizează derivata lui x n precum şi regula de derivare a câtului Astfel: x f ) 3x + 1 x 3x + 1 ) x 1) x 3x + 1 ) x 1) x) = = x 1 x 1) = x 3) x 1) x 3x + 1 ) x 1) = x x + 1 x 1) 5

Lect dr Exemplul 8 Derivata funcţiei f x) = x 3 sin x utilizează derivata lui x n şi sin x precum şi regula de derivare a produsului Astfel: f x) = x 3 sin x ) = x 3 ) sin x + x 3 sin x) = 3x sin x + x 3 cos x Exemplul 9 Derivata funcţiei f x) = tgx = sin x cos x utilizează derivata lui sin x şi cos x precum şi regula de derivare a câtului Astfel: ) sin x f x) = = sin x) cos x sin x cos x) cos x cos x) = cos x + sin x 1 cos x) = cos x) = sau) = 1 + tg x Exemplul 30 Derivata funcţiei f x) = 1 x utilizează derivata lui 1 x precum şi regula de derivare a compunerii de funcţii Astfel f x) = u x) unde u x) = 1 x ) f 1 x) = u x) = 1 u x) u x) = 1 x ) x = 1 x 1 x Exemplul 31 Derivata funcţiei f x) = e cos3x) utilizează regula de derivare a compunerii de funcţii Astfel f x) = e ux) unde u x) = cos 3x) iar u x) = cos v x), unde v x) = 3x Deci iar Prin urmare f x) = e ux)) = e ux) u x) u x) = cos v x)) = sin v x) v x) f x) = e cos3x) sin 3x)) 3 = 3 sin 3x) e cos3x) Exemplul 3 Derivata funcţiei g x) = ln f x) este imediată: ln f) = f 4 Proprietăţi ale funcţiilor derivabile Fie f : I R, unde I este un interval şi fie a I Definiţia 33 Spunem a este un punct de minim local al funcţiei f dacă U V a) astfel încât f x) f a), x U I Definiţia 34 Spunem a este un punct de maxim local al funcţiei f dacă U V a) astfel încât f x) f a), x U I Definiţia 35 Punctele de minim sau maxim local) se numesc puncte de extrem local) Teorema 36 lui Fermat) Dacă f are derivată într-un punct a din interiorul intervalului I care este punct de extrem local atunci derivata sa este nulă în acest punct f 6

Lect dr Demonstraţie Presupunem că a este punct de maxim local Atunci, există o vecinătate U a lui a U V a)) astfel încât f x) f a), x U I Pentru x < a avem că deci trecând la ită avem că Pentru x > a avem că deci trecând la ită avem că Dar derivata f a) există deci f f x) f a) = 0 f s f x) f a) a) = 0 x a x<a f f x) f a) = 0 f d f x) f a) a) = 0 x a x<a f a) = f s a) = f d a) ceea ce înseamnă că derivata f a) = 0 poz şi neg în acelaşi timp) Definiţia 37 Punctele în care funcţia este derivabilă şi pentru care derivata se anulează se numesc puncte critice; deci Th lui Fermat spune că punctele de extrem în care funcţia este derivabilă) sunt printre punctele critice Remarca 38 1 dacă punctul de extrem nu se află în interiorul intervalului ci la o extremitate a sa atunci este posibil ca derivata să nu se anuleze în acel punct funcţia f poate avea extrem într-un punct fără ca ea să admită derivată în acel punct de exemplu funcţia f x) = x ) 3 recoproca teoremei lui Fermat nu este adevărată; există deci punte în care derivata este nulă dar punctul nu este de extrem de exemplu funcţia f x) = x 3 care este strict crescătoare pe R iar 0 este punct critic) Teorema 39 lui Rolle) Fie a, b I cu a < b Presupunem că: 1 f este continuă pe [a, b], f este derivabilă pe a, b), 3 f a) = f b) Atunci există cel puţin un punct c a, b) astfel încât f c) = 0 Demonstraţie Conform teoremei lui Weierstrass avem că f [a, b]) este intervalul [mm] astfel încât valorile maxime sunt atinse de puncte din [a, b]; mai precis, există punctele de extrem global) x m, x M [a, b] astfel încât f x m ) = min x [a,b] f x M ) = max x [a,b] f x) := m, f x) := M Acum dacă m = M atunci f este constantă pe [a, b] deci f = 0 pe [a, b] Deci prespunem că m < M Deoarece f a) = f b) avem fie f a) = f b) < M 7

Lect dr fie f a) = f b) > m Dacă f a) = f b) < M atunci x M nu poate fi a sau b deci x M a, b) şi, având în vedere că f este derivabilă în punctul de maxim x M deducem din teorema lui Fermat) că x M este punct critic, adică f x M ) = 0 Dacă f a) = f b) > m atunci x m nu poate fi a sau b deci x m a, b) şi, având în vedere că f este derivabilă în punctul de minim x m deducem din teorema lui Fermat) că x m este punct critic, adică f x m ) = 0 Remarca 40 1 condiţia ca domeniul să fie interval este esenţială pentru valabilitatea teoremei lui Rolle se deduce imediat că între două rădăcini ale funcţiei f se află cel puţin o rădăcină a derivatei 3 deci, între două rădăcini consecutive ale derivatei se află cel mult o rădăcină a funcţiei 4 semnificaţia geometrică a teoremei lui Rolle) există cel puţin un punct c a, b) astfel încât tangenta la graficul lui f în punctul M c, f c)) este paralelă cu axa Ox vezi desenul) Exemplul 41 Fie f x) = x, x [ 1, 1] Atunci f este evident derivabilă şi continuă pe [ 1, 1] Ecuaţia f x) = 0 are exact o soluţie în intervalul [ 1, 1] punctul c = 0) ) Exemplul 4 Fie f x) = x sin π x, x 0, 1] Avem că f 1 n+1 = f 1 n), n N iar f este evident [ ] ) 1 derivabilă şi continuă pe Deci f 1 = 0 are cel puţin o soluţie x n în intervalul Deci n+1, 1 n ecuaţia f x) = 0 are o infinitate numărabilă de soluţii în intervalul 0, 1) Teorema 43 creşterilor finite a lui Lagrange) Fie a, b I cu a < b Presupunem că: 1 f este continuă pe [a, b], f este derivabilă pe a, b), Atunci există cel puţin un punct c a, b) astfel încât să avem f b) f a) = f c) b a n+1, 1 n Demonstraţie Definim funcţia g : I R, g x) := fb) fa) b a ) f x) Evident g este contiunuă pe [a, b] şi derivabilă pe a, b) datorită lui f) În plus, g a) = g b) = f a) Aplicând acum Teorema lui Rolle obţinem că c a, b) astfel încât g f b) f a) c) = 0 1 f f b) f a) c) = 0 = f c) b a b a Remarca 44 1 formula de mai sus se numeşte formula creşterilor finite dacă graficul funcţiei f admite tangentă în fiecare punct cu excepţia eventuală a extremităţilor) atunci există cel puţin un punct de pe grafic care nu coincide cu extremităţile) în care tangenta este paralelă cu coarda care uneşte extremităţile vezi desenul) 3 semnificaţia geometrică a teoremei lui Lagrange) există cel puţin un punct c a, b) astfel încât tangenta la graficul lui f în punctul M c, f c)) este paralelă cu dreapta care uneşte punctele A a, f a)) şi B b, f b)) vezi desenul) Exemplul 45 Fie f : R + R, f x) = ln x Evidedent f x) = 1 x, x R + Fie acum 0 < a < b < + Aplicând Teorema lui Lagrange obţinem că c a, b) astfel încât f b) f a) b a = f c) ln b ln a b a = 1 c b a ln b ln a = c 8

Lect dr Deoarece 1 b < 1 c < 1 a rezultă inegalitatea b a b < ln b ln a < b a, 0 < a < b < + a În particular pentru a = 1 şi b = x + 1 > 0 rezultă inegalitatea x < ln 1 + x) < x, x 1, + ) 1 + x În particular pentru a = x > 0 şi b = x + 1 > 0 rezultă inegalitatea 1 1 + x < ln 1 + x) ln x < 1, x 0, + ) x Teorema 46 prima consecinţă a Teoremei lui Lagrange) Fie f derivabilă pe un interval I Atunci f constantă pe I f = 0 pe I Demonstraţie Fie a I fixat şi x I oarecare x a Atunci, aplicând Teorema lui Lagrange, obţin că ξ a, x) sau în x, a)) astfel încât fx) fa) = f ξ) 0, deci f x) = f a) Remarca 47 Dacă f are derivata nulă nu pe un interval ci, spre exemplu, pe o reuniune de intervale) atunci f nu este constantă pe acea mulţime Teorema 48 a doua consecinţă a Teoremei lui Lagrange) Fie f derivabilă pe un interval I Atunci 1 f strict) crescătoare pe I f este strict) pozitivă pe I, f strict) descrescătoare pe I f este strict) negativă pe I Demonstraţie 1 Fie x 0 I din interiorul intervalului I Atunci fx) fx0) 0, x I cu x > x 0 Deci x x 0 f x 0 ) = f d f x) f x 0 ) x 0 ) = 0 x x 0 x x x>x 0 0 Presupunem că f 0 pe I şi fie x 1 < x din I arbitrari aleşi Atunci, aplicând Teorema lui Lagrange pe [x 1, x ] deducem că c x 1, x ) astfel încât Deoarece f c) 0 obţinem f x ) f x 1 ) 0 f x ) f x 1 ) = x x 1 ) f c) Corolarul 49 Dacă derivata f nu se anulează pe I atunci f este strict monotonă pe I Exemplul 50 Vom arăta inegalitatea e x > 1 + x, x R Să notăm cu f x) = e x x 1, x R Calculăm f x) = e x 1 care are semnul > 0, dacă x > 0, f x) = < 0, dacă x < 0, = 0, dacă x = 0, deci, aplicând consecinţa teoremei lui Lagrange, obţinem că { strict cresc pe 0, + ), f = strict descresc pe, 0) 9

Lect dr Atunci f x) > f 0) = 0, x > 0 şi f x) > f 0) = 0, x < 0, adică f x) > 0, x R şi atinge valoarea 0 doar în x = 0 Deci e x x 1 > 0, x R Exemplul 51 Vom arăta inegalitatea e x x e, x R + şi faptul că e este singurul număr care verifică egalitatea Să notăm cu f x) = ln x x, x R + Calculăm f x) = 1 ln x x care are semnul > 0, dacă x 0, e), f x) = < 0, dacă x e, + ), = 0, dacă x = 1, deci, aplicând consecinţa teoremei lui Lagrange, obţinem că { strict cresc pe 0, e), f = strict descresc pe e, + ) Atunci f x) < f e) = 1/e, x 0, e) şi f x) < f e) = 1/e, x e, + ), adică f x) < 1/e, x R + {e} şi atinge valoarea 1/e doar în x = e Deci x R + {e} ln x x < 1 e e ln x < x ln xe < x x e < e x Teorema 5 a treia consecinţă a Teoremei lui Lagrange) Fie f continuă pe un interval I şi derivabilă pe I {x 0 } Dacă există x x0 f x) atunci există şi f x 0 ) şi fără demonstraţie) Exemplul 53 Fie f x) = f x 0 ) = f x) x x 0 { a sin x) 4, dacă x < 0, b x 1) + e x, dacă x 0 Dacă dorim ca f să fie derivabilă în origine atunci trebuie mai întâi ca f să fie continuă în origine; calculez deci impun ca Acum calculez şi itele f 0 0) : = f x) = 4 x 0 x<0 f 0 + 0) : = f x) = b + 1 f x) = x 0 x>0 4 = b + 1 b = 5 { a cos x), dacă x < 0, 5 + e x, dacă x > 0 f s x) = f x) = a, x 0 x<0 f d x) = f x) = 6 x 0 x>0 10

Lect dr Impun acum ca să existe f x) = x 0 x 0 x<0 f s x) = x 0 x>0 f d x) adică a = 3 şi deci f x) = 6 În x 0 concluzie, pentru a = 3, b = 5 funcţia f este continuă şi derivabilă în 0 şi derivata este dată de { 6 cos x), dacă x < 0, f x) = 5 + e x, dacă x 0 Teorema 54 lui Cauchy) Fie f, g : I R şi a, b I cu a < b Presupunem că: 1 f, g sunt continue pe [a, b], f, g sunt derivabile pe a, b), 3 g x) 0, x a, b) Atunci există cel puţin un punct c a, b) astfel încât să avem f b) f a) g b) g a) = f c) g c) Demonstraţie Evident, din Teorema lui Rolle, g a) g b) altfel ar exista un punct în care derivata g se anulează) Definim funcţia h : I R, h x) := [f b) f a)] [g x) g a)] [g b) g a)] [f x) f a)] Evident h este contiunuă pe [a, b] şi derivabilă pe a, b) datorită lui f şi g) Aplicând acum Teorema lui Rolle obţinem că c a, b) astfel încât h c) = 0 [f b) f a)] g c) [g b) g a)] f f b) f a) c) = 0 g b) g a) = f c) g c) 5 Teorema lui l Hôpital Teorema 55 Fie f, g două funcţii definite pe o vecinătate a lui a exceptând eventual a) astfel încât f x) = g x) = l x a x a unde l este 0, sau + Dacă sunt derivabile în vecinătatea lui a exceptând eventual a) astfel încât g x) 0, x a, şi dacă f x) există ita x a g = L, finită sau infinită, x) fx) atunci există şi ita x a şi este egală tot cu L, adică fără demonstraţie) gx) f x) x a g x) = f x) x a g x) = L Remarca 56 1 Teorema lui l Hôpital se poate aplica de mai multe ori, de exemplu, f x) x a g x) = f x) x a g x) = f x) x a g x) = L Teorema lui l Hôpital se poate aplica şi în celelalte cazuri de nedeterminări Astfel, în cazul 0 se poate utiliza identitatea f g = f 1 g În cazul 0 0, 0, 1 se poate utiliza identitatea f g = e ln f g = e g ln f 11

Lect dr Exemplul 57 Pentru fracţia ex e x sin5x) observăm că suntem în condiţiile teoremei lui l Hôpital deci e x e x x 0 sin 5x) Exemplul 58 Pentru fracţia 1+3x 0 0 e x + e x = = e0 + e 0 = 4 x 0 5 cos 5x) 5 cos 0 5 1+x) 3 x sin x observăm că suntem în condiţiile teoremei lui l Hôpital deci 1 + 3x 1 + x) 3 0 3 3 3 0 1 + x) 1 1 + x) 3 3 1 + x) 1/ = = x 0 x sin x x 0 sin x + x cos x x 0 sin x + x cos x Acum aplicăm încă o dată teorema lui l Hôpital şi obţin 3 3 1 + x) 1/ 0 0 = x 0 sin x + x cos x deci x 0 3 1 1 1 + x) 1 1 + x) cos x + cos x + x sin x) = 3 1 + x) 1 x 0 cos x x sin x 1 + 3x 1 + x) 3 f x) = x 0 x sin x x 0 g x) = f x) x 0 g x) = f x) x 0 g x) = 3 Exemplul 59 Pentru a demonstra că 0 sin x 0 = 1 x 0 x suntem în condiţiile teoremei lui l Hôpital Dacă o aplicăm obţinem sin x x 0 x = sin x) cos x x 0 x = = cos 0 = 1 x 0 1 1 3 1 + 0) = cos 0 0 sin 0 = 3 Remarcăm că raţionamentul este greşit este un cerc vicios ) deoarece pentru a demonstra că derivata lui sin este cos se foloseşte această ită fundamentală x 0 sin x x ) Exemplul 60 Pentru a calcula ita x + x + sin x x + cos x nu putem aplica l Hôpital deoarece nu există x + sin x vezi capitolele precedente) Limita se va rezolva astfel x + sin x x + x + cos x = 1 + sin x x x + + cos x = 1 + 0 + 0 = 1, deoarece avem 0 x + Exemplul 61 Temă) Calculaţi sin x x x + x + x 1 x = 0 x + sin x x sin x Exemplul 6 Temă) Aplicaţi l Hôpital pentru a demonstra e x x + x α = +, x + ln x x + x α = 0, sin x x = 0 1

Lect dr 6 Derivate de ordin superior Formula lui Taylor Definiţia 63 Fie f o funcţie derivabilă într-o vecinătate a lui a astfel încât derivata f să fie definită pe o vecinătate a lui a Dacă f este derivabilă în a atunci spunem că f este de două ori derivabilă în a Vom nota cu f a) = f ) a) derivata secundă a lui f în a Remarca 64 Vom nota derivata secundă şi cu Derivata de ordin trei va fi definită ca f ) a) sau cu d f dx a) f 3) a) = f a) := f ) a) Definiţia 65 În general, fie f o funcţie derivabilă de k 1) ori într-o vecinătate a lui a astfel încât derivata f k 1) să fie definită pe o vecinătate a lui a Dacă f k 1) este derivabilă în a atunci spunem că f este de k ori derivabilă în a Vom nota cu f k) a) = f k 1)) a) derivata de ordin k a lui f în a Remarca 66 Vom nota derivata de ordin k şi cu d k f dx k a) Exemplul 67 Fie f : R R, f x) = x n cu n N fixat Atunci, pentru k n, Pentru k n + 1 obţinem că f x) = nx n 1 f x) = n n 1) x n f 3) x) = n n 1) n ) x n 3 f k) x) = n n 1) n ) n k + 1) x n k f k) x) = 0 Exemplul 68 Fie f : R R, f x) = sin x Atunci f x) = cos x = sin x + π ) f x) = sin x = sin x + π ) f 3) x) = cos x = sin x + 3 π ) f 4) x) = sin x = sin x + 4 π ) f k) x) = sin x + k π ) 13

Lect dr Exemplul 69 Temă) Fie f : R R, f x) = cos x Demonstraţi că f k) x) = cos x + k π ) Exemplul 70 Fie f : R R, f x) = e x Atunci f x) = e x f x) = e x f k) x) = e x Definiţia 71 Fie f : I R derivabilă de n ori şi cu derivatele continue pe I Presupunem că derivata de ordin n + 1) există în fiecare punct din I Polinomul T n x) = f a) + f a) ) + f a) ) + f a) ) 3 + + + f n) a) ) n 1!! 3! n! se numeşte polinomul Taylor de grad n, ataşat funcţiei f în punctul a Definiţia 7 Formula lui Taylor) Dacă f : I R este o funcţie de n + 1) ori derivabilă pe I atunci pentru oricare două puncte x, a I formula f x) = f a) + f a) ) + f a) ) + f a) ) 3 + 1!! 3! + f n) a) ) n + R n x) n! se numeşte formula lui Taylor de ordin n corespunzătoare funcţiei f în punctul a Cantitatea R n x) se numeşte restul de ordin n din formula Taylor şi are diverse forme de exprimare Teorema 73 Restul de ordin n din formula lui Taylor este dat de următoarele formule: a) b) unde ξ este un punct între a şi x 7 Diferenţiale Fie f : I R cu I interval şi a I ) x ξ)n R n x) = f n+1) ξ) n! )n+1 R n x) = f n+1) ξ) n + 1)! restul lui Cauchy) restul lui Lagrange), Definiţia 74 Spunem că f este diferenţiabilă în punctul a I dacă există numărul finit A R şi funcţia α : I R continuă în a astfel încât α a) = 0 şi, x I, f x) = f a) + A ) + α x) ) Teorema 75 Funcţia f este diferenţiabilă în a I dacă şi numai dacă f este derivabilă în a 14

Lect dr Demonstraţie Presupunem că f este diferenţiabilă în a Pentru x a, avem că deci, α fiind continuă în a, obţinem că f x) f a) = A + α x) f x) f a) = A + α x)) = A + α x) = A + α a) = A x a x a x a Presupunem că f este derivabilă în a Atunci şi definim funcţia α : I R astfel Deci α x) = f f x) f a) a) = x a { fx) fa) f a), dacă x a 0, dacă x = a ) f x) f a) α x) = f a) = 0 =: α a), x a x a adică funcţia α satisface coniţia de continuitate în a şi de anulare în a Conform definiţiei 1) a lui α avem egalitatea valabilă x a şi evidentă pentru x = a) f x) = f a) + A ) + α x) ) Remarca 76 Funcţia f este deci diferenţiabilă în a dacă şi numai dacă unde Remarca 77 Deoarece f x) = f a) + f a) ) + α x) ), α x) = α a) = 0 x a f x) f a) = [f a) + α x)] ) deducem că pentru valori ale lui x suficient de aproape de a, ţinem cont de continuitatea lui α şi de α a) = 0) Notând h :, obţinem aproximarea f x) f a) f a) ) f a + h) f a) f a) h Definiţia 78 Funcţia liniară h f a) h definită pentru h R, se numeşte diferenţiala funcţiei f în punctul a şi se va nota cu df a) Deci df a) h) := f a) h 1) 15

Lect dr Definiţia 79 Pentru un punct oarecare x I, df x) h) = f x) h Pe de altă parte, luând g x) = x identitatea) obţinem deci are loc dg x) h) = dx h) = h df x) h) = f x) dx h) Definiţia 80 Formula de calcul a diferenţialei unei funcţii într-un punct) Acum dacă nu îl mai scriem pe h, obţinem scrierea df x) = f x) dx Definiţia 81 În condiţiile în care există derivata secundă a lui f în a putem scrie dieferenţiala de ordinul doi notată d f a) := f a) dx În general Exemplul 8 Să calculăm diferenţiala )) d arctg 1 + x = = d k f a) := f k) a) dx k )) 1 ) arctg 1 + x dx = 1 + 1 + x ) 1 + x dx 1 1 1 + 1 + x 1 x x dx = 1 + x + x dx 1 + x 16