CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ

CAP VII ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂ MATEMATICĂ.Eveimet aleator. Frecveţa relativă a uui eveimet aleator. Probabilitatea uui eveimet. Obiectivul teoriei probabilităţilor. Noţiuea fudametală a teoriei probabilităţilor este aceea de eveimet aleator. Se umeşte eveimet aleator, u eveimet care î aumite codiţii poate fie să se realizeze, fie să u se realizeze. Eemplul. Apariţia uei feţe sau a alteia a uei moede arucate este u eveimet aleator. Eemplul. Lovirea obiectivului vizat î cursul uui tir este u eveimet aleator. Eemplul 3. La fabricarea uui cilidru cu u diametru de 6 cm, faptul comiterii uei avarii iferioare a 0, mm, cu mijloacele de producţie de care dispue este u feome aleator. Defiiţie. Se umeşte frecveţa relativă p a uui eveimet aleator A raportul umărului de realizare a acestui eveimet m şi umărul total de îcercări idetice * î care eveimetul dat ar fi putut sau u să se producă. Vom scrie : m P * (A) = p * = * * (VII ) Di observarea diferitelor feomee, rezultă că dacă umărul de îcercări (probe) di fiecare serie este practic, puţi ridicat, frecveţa relativă de apariţie a eveimetului A î fiecare serie poate diferi, apreciabil de la o serie la alta. Dacă î schimb, umărul de îcercări ditr-o serie este ridicat, atuci, de regula, frecveţa relativă de apariţie a eveimetului A î fiecare serie poate diferi puţi de la o serie la alta şi difereţa aceasta 56

este cu atât mai mică cu cât umărul de îcercări ditr-o serie este mai mare. Se spue deci că petru u umăr mare de îcercări ditr-o serie, frecveţa relativă prezită, di ce î ce mai puţi, u caracter aleator. Notăm de asemeea că eistă eveimete cu frecveţa istabilă, astfel îcât, valorile lor, chiar petru o foarte mare serie, pot foarte mult sa difere ua de alta. Eperieţa arată că î marea majoritate a cazurilor, eistă u umăr costat p astfel îcât frecveţa relativă a realizării eveimetului A petru u umăr mare de îcercări repetate diferă foarte puţi, câteva cazuri rare sut eceptate, de acest umăr p. Acest fapt empiric se scrie simbolic î felul următor : m * * * p (VII ) Numărul p se umeşte probabilitatea realizării eveimetului aleator A. Scrierea simbolică este următoarea : P(A) = p (VII 3) Probabilitatea p este o caracteristică obiectivă a şaselor de realizare a eveimetului A petru îcercările date, defiită de atura eveimetului A. Frecveţa relativă diferă puţi de probabilitatea petru u umăr mare de îcercări, ecepţie făcâd cazurile foarte rare pe care le putem eglija. Relaţia () este î mod obişuit formulată astfel: Câd umărul de îcercări (eperieţe repetate) * creşte idefiit, frecveţa relative a eveimetului A tide spre probabilitatea p de realizare a acestui eveimet. Remarcă: Î raţioametele precedete oi am postulat empiric relaţia (). Se pot de asemeea postula alte codiţii aturale ce decurg di eperieţă. Î acest caz se poate de asemeea deduce relaţia () care va fi atuci o teorema. Aceasta este teorema lui Beroulli. Probabilitatea fiid o caracteristică obiectivă a evetualităţii de realizare a uui eveimet, ea trebuie cuoscută petru a putea 57

prevedea atura derulării a umeroase procese pe care le cosiderăm î tehică, mediciă etc. Determiarea probabilităţii de realizare a uui eveimet cu ajutorul probabilităţilor eveimetelor aleatoare codiţioâd eveimetele complee cosiderate, studiul legilor de probabilitate care guverează diverse eveimete aleatoare, costituie obiectul teoriei probabilităţilor.. Defiiţia clasică a probabilităţilor şi calcul direct al probabilităţii. Î aumite cazuri aaliza îcercării probei corespuzătoare, permite calcularea probabilităţii elemetelor aleatoare cosiderate. Petru a eplica aceasta cosiderăm eemplele următoare. Eemplul : Arucarea uui zar (cub cu şase feţe) pe care sut otate cifrele de la la 6. Î virtutea simetriei celor 6 feţe, apariţia oricărui umăr cupris ître şi 6 are o probabilitate egală, deci se umesc echiprobabile. Frecveţa relativă este p = 6 şi probabilitatea de apariţie î acest caz este tot de 6. Deci probabilitatea poate fi calculata direct. Defiiţia : Se spue că eveimetele aleatoare sut icompatibile petru o îcercare cosiderată, dacă este eclus ca î cursul acestei îcercări ditre ele să aibă loc simulta. Defiiţia : Vom spue că eveimetele aleatoare formează u sistem ehaustiv (sau complet) dacă î cursul fiecărei probe fiecare ditre ele poate fi realizat, ecluzâd realizarea tuturor celorlalte icompatibile cu ele. Cosiderăm sistemul ehaustiv de eveimete aleatoare echiprobabile şi icompatibile. Numim aceste eveimete cazuri sau şase. U caz al acestui sistem se umeşte favorabil realizării eveimetului A dacă apariţia acestui caz implică realizarea eveimetului A. Eemplul. O ura coţie 8 bile umerotate de la la 8. Bilele,, 3 sut roşii, celelalte sut egre. Etragerea bilei umărul (sau 58

sau 3) este u eveimet favorabil apariţiei uei bile roşii. Deci putem da o defiiţie coceptului de probabilitate. Defiiţia 3: Se umeşte probabilitate p a eveimetului A raportul umărului cazurilor favorabile m şi umărul total de cazuri, costituid sistemul ehaustiv de eveimete echiprobabile icompatibile sau simbolic: P(A) = p = m (VII 4) Defiiţia 4: Dacă toate cele cazuri formâd u sistem ehaustiv de eveimete echiprobabile icompatibile sut favorabile realizării uui eveimet oarecare, u astfel de eveimet se umeşte sigur. Probabilitatea uui eveimet sigur este p =. U eveimet la care ici uul di cele cazuri formâd u sistem ehaustiv de eveimete echiprobabile icompatibile u este favorabil, se umeşte eveimet imposibil. Probabilitatea sa este p = 0. Remarcă: Afirmaţiile iverse sut de asemeea adevărate î acest caz. Î alte cazuri, de eemplu î cazul uei variabile aleatoare cotiue, după cum vom vedea î cele ce urmează, afirmaţiile iverse pot fi false, adică dacă probabilitatea uui eveimet este egală cu sau 0 u implică î mod ecesar că aceste eveimete sut sigure sau imposibile. Rezultă deci că probabilitatea verifică relaţia 0 p Eemplul 3: Fie o carte îtr-u joc de 36 de cărţi. Care este probabilitatea ca ea sa fie de pică? Soluţie: Avem aici schema cazurilor echiprobabile. Eveimetul A costa î apariţia uei cărţi de pică. Numărul total al acestui caz este = 36. Numărul de cazuri favorabile eveimetului A este m = 9. Avem deci î coseciţă: p = 36 9 = 4 59

Eemplul 4: Se joacă simulta cu moede. Care este probabilitatea ca să apară simulta aceeaşi faţă la ambele moede? Soluţie: Formăm tabelul: Prima moeda A doua moeda Primul caz faţa faţa Al doilea caz faţa faţa Al treilea caz faţa faţa Al patrulea caz faţa faţa Deci sut î total patru cazuri posibile di care u sigur caz este favorabil. Î coseciţă, probabilitatea de a ieşi faţa pe ambele piese este: p = 4 Eemplul 5: Probabilitatea de a lovi u obiectiv este de 8/0 câd tirul este eecutat cu o primă armă şi de 7/0 câd se eecută cu a doua armă. Să se găsească probabilitatea de a lovi obiectivul câd tirul se efectuează simulta cu cele arme. Soluţie: Se poate simula această problemă astfel: Două ure coţi fiecare 0 bile umerotate de la la 0. Prima ură coţie 8 bile roşii şi egre, a doua ură coţie 7 bile roşii şi 3 egre. Care este probabilitatea ca cel puţi bile etrase să fie roşii? Cum u are importaţă di ce ura provie bila atuci umărul de cazuri este 00 ( = 00) Să calculăm umărul de cazuri favorabile. Atuci câd se etrage fiecare di cele 8 bile roşii ale primei ure simulta cu o bilă oarecare ale celei de a doua ure, atuci pritre bilele ieşite va fi cel puţi o bilă roşie. Numărul de astfel de cazuri este 0*8 = 80. Atuci câd se etrage fiecare di cele bile egre di prima ură simulta cu cele 7 bile roşii di a doua ură găsim cel puţi o bilă roşie pritre bilele ieşite. Numărul de cazuri va fi acum de *7 = 4. Deci umărul total de cazuri favorabile este m = 80 + 4 = 94. 60

Probabilitatea de a eista pritre bilele ieşite, cel puţi o bila roşie este : m 94 p = = 00 -aceasta este precizia tirului. Remarca : Î acest caz oi am redus problema calculului probabilităţii tirului la problema de apariţie a ueia sau alteia di bile, câd se etrage ua sau alta ditre bilele uei ure. Se observă deci că problema etragerii bilelor ditr-o ură poate fi cosiderată problemă geeralizată. Eemplul 6: U lot de 00 de articole coţie 0 piese defectuoase. Care este probabilitatea petru ca pritre 4 piese alese îtâmplător trei să fie fără defecte? 4 Soluţie: Eistă = C 00 maiere de a alege 4 piese ditr-u lot de 00. Numărul de cazuri petru care 3 di piesele alese sa fie fără defecte este cazul 3 cu m = C 90 * C 0. Probabilitatea căutată va fi atuci: 3 C C0 m p = = 90 4 C 00 44 = 0,3 4753 3. Suma probabilităţilor. Eveimete aleatoare cotrare. Defiiţia : Se umeşte suma sau reuiuea a eveimete A şi A eveimetul C, costâd î realizarea cel puţi a uuia di cele eveimete. Vom cosidera probabilităţile a două eveimete icompatibile A şi A. Notăm suma acestor eveimete pri A + A ude, avem îcă: A sau A ; (î acest caz cuvâtul sau u are caracterul de ecluziue, aceasta îseamă că cel puţi uul di cele eveimete se va realiza coform defiiţiei.) Putem euţa astfel următoarea teoremă de aduare a probabilităţilor. (sau a probabilităţilor totale). 6

Teorema : Presupuem că î cursul uei probe (feome, eperieţă), pot fi realizate u eveimet aleatoriu A de probabilitate P(A ) şi u eveimet A de probabilitate P(A ). Dacă eveimetele A şi A sut icompatibile atuci probabilitatea apariţie sumei acestor doua eveimete, sau a uui eveimet costâd î realizarea eveimetului A sau a eveimetului A, se calculează cu formula: P(A sau A ) = P(A ) + P(A ) (VII 5) Demostraţie: Fie P(A sau A ) = A A P(A ) = m ; P(A ) = m Eveimetele A şi A fiid icompatibile petru u umăr de cazuri, umărul de cazuri favorabile realizării simultae a eveimetelor A şi A este egal cu 0 şi umărul de cazuri favorabile realizării fie eveimetului A fie eveimetului A este egal cu m + m. Î coseciţă: P(A sau A ) = m m + = m + m = P(A ) + P(A ) Î mod aalog se poate demostra teorema petru u umăr arbitrar de tiruri: P(A sau A sau sau A ) = P(A ) + P(A ) + + P(A ) (VII 6) Această ultimă egalitate se scrie: P( i= A i ) = i= P ( ) (VII 7) A i Eemplul : Se efectuează u tir asupra uui obiectiv format di 3 zoe disticte. Probabilitatea de a cădea î zoa a I a este 6

5 P(A ) = 00 0, de a cădea î zoa a II a este P(A ) = şi cea de 00 7 a cădea î zoa a III a este P(A 3 ) =. 00 Care este probabilitatea de a cădea î domeiul D? După formula (6) avem: P(A ) + P(A )+ P(A 3 ) = I II III 5 0 7 3 = + + =. 00 00 00 00 Defiiţia : Două eveimete sut cotrarii dacă sut icompatibile şi dacă costituie u sistem (ehaustiv). Dacă otăm cu A uul di aceste eveimete, atuci eveimetul cotrar va fi otat cu Ā. Presupuem că probabilitatea de realizare a uui eveimet A este p, atuci putem defii probabilitatea de a u fi realizat eveimetul A ca fiid probabilitatea de realizare a eveimetului Ā, pri P(Ā) = q. Cum î timpul eperieţei se va realiza î mod cert fie eveimetul A, fie eveimetul Ā, vom obţie î virtutea teoremei euţate: P(A) + P(Ā) = Altfel spus suma probabilităţilor eveimetelor cotrare este egală cu uitatea. p + q = (VII 8) Eemplul : Se efectuează o aumită măsură. Notăm pri A faptul obţierii uor erori iferioare sau egale cu λ. Fie P(A) = p. Eveimetul cotrar, adică faptul obţierii uor erori superioare sau egale cu λ, este eveimetul Ā. Probabilitatea acestui eveimet este: 63

P(Ā) = q = p Corolarul. Dacă eveimetele aleatoare A, A,, A costituie u sistem ehaustiv de eveimete icompatibile, atuci eistă egalitatea: P(A ) + P(A ) + + P(A ) = (VII 9) Demostraţie: Cum eveimetele A, A,, A costituie u sistem ehaustiv de eveimete, realizarea uuia sau altuia di aceste eveimete este u eveimet cert. Î coseciţă: P(A sau A sau. sau A ) = Ţiâd seama de (VII 6) obţiem egalitatea (VII 9) Defiiţie 3: Eveimetele aleatoare A şi B se umesc compatibile dacă î cursul uei măsurători date (probe date) cele eveimete pot avea loc simulta, altfel spus dacă eveimetul A şi B pot fi realizate simulta. Vom ota pri (A şi B) sau (AB) eveimetul costâd î realizarea simultaă a eveimetelor A şi B. Vom ota pri P(A şi B) probabilitatea realizării simultae a eveimetelor A şi B. Teorema : Probabilitatea a două eveimete compatibile este determiată de formula: P(A sau B) = P(A) + P(B) P(A şi B) (VII 0) Vom da o ilustrare geometrică a formulei (0). Vom itroduce mai îtâi următoarea defiiţie: Defiiţie 4: Fie dat u domeiu D a cărui arie este egală cu S. Cosiderăm domeiul d aparţiâd lui D şi a cărui arie este S. 64

Dacă faptul ca u puct să se găsească î D este u eveimet cert, probabilitatea ca puctul să se găsească î domeiul d va fi, pri S S defiiţie, egală cu, altfel spus p =. Această probabilitate se S S umeşte probabilitate geometrică. Vom avea atuci, estimâd petru u puct, că faptul de a se găsi î pătratul di figură este u eveimet cert. b c a e f A g B ( D) Rezultă deci egalitatea: aria abcga = aria abfga + aria bcgeb - aria gebfd (VII ) Putem calcula, î mod aalog, probabilitatea sumei uui umăr oarecare de eveimete aleatoare compatibile. 65

4. Produsul probabilităţilor eveimetelor idepedete Defiiţia : Se spue că eveimetul A este idepedet de eveimetul B, dacă probabilitatea de realizare a eveimetului B u depide de faptul că eveimetul A este produs sau u. Teorema: Dacă eveimetele aleatoare A şi B sut idepedete, probabilitatea de realizare simultaă a eveimetelor A şi B este egală cu produsul probabilităţilor de realizare a eveimetelor A şi B. P(A şi B) = P(A) P(B) (VII ) Această teoremă se mai umeşte şi teorema de itersecţie a eveimetelor. Şi se otează: P(A B) = P(A) P(B) (VII ) Avem deci: A (B C) = (A B) (A C) şi P[A (B C)] = P(A B) + P(A C). Pâa aici u a fost defiită operaţia "U" Demostraţie: Vom utiliza petru demostraţia acestei teoreme, schema urelor. Fiecare ură coţie respectiv şi bile. Î prima ură sut m bile roşii şi restul egre, iar î a doua ură sut m bile roşii şi restul egre. Se etrage o bilă di fiecare ură. Care este probabilitatea ca cele două bile etrase sa fie roşii? Notăm cu A eveimetul etragerii uei bile roşii di prima ură şi cu B eveimetul etragerii uei bile roşii di a doua ură. Avem: P(A) = m ; P(B) = Probabilitatea de a etrage o bilă di fiecare ură este de ori. Numărul cazurilor favorabile de etragere a două bile roşii este m m. Probabilitatea de realizare simultaă a eveimetelor A şi B este: m P(A şi B) = m m = m m = P(A) P(B) (VII 3) 66

ceea ce trebuia demostrat. m m Figura de mai sus îcearcă să ofere o ilustrare a acestei demostraţii. Petru cazul a eveimete A, A A demostra î mod aalog egalitatea : se poate P(A şi A şi şi A ) = P(A ) P(A ) P(A ) (VII 4) Eemplul : Fucţioarea corectă a uui aparat depide de corectitudiea fucţioării fiecăruia di cele 3 elemete compoete. Probabilitatea de fucţioare corectă a celor 3 elemete î timpul uui ciclu să fie p = 0,6; p = 0,7 ; p 3 = 0,9. Să se găsească probabilitatea de fucţioare corectă aparatului î cursul uui ciclu de măsurători dat. Soluţie: După teorema produsului (itersecţiei) avem: p = p p p 3 = 0,6 0,7 0,9 = 0,376 Remarcă: teorema asupra sumei probabilităţilor eveimetelor compatibile se scrie: P(A sau B) = P(A) + P(B) P(A) P(B) Aceasta mai este şi teorema de reuiue a eveimetelor. 67

Eemplul : Probabilitatea de realizare a uui eveimet î cursul uei probe este egală cu p. Să se determie umărul de probe ecesare petru ca probabilitatea de realizare a eveimetului să fie mai mare sau egală cu Q. Soluţie: Vom putea scrie după teorema sumei şi produsului probabilităţilor Q ( - p) Rezolvâd această iegalitate î raport cu, vom obţie: l ( Q) l ( p) 5. Eveimete depedete. Probabilitate codiţioată. Probabilitate totală. Defiiţia : Se spue că eveimetul A depide de eveimetul B dacă probabilitatea realizării eveimetului A depide de faptul dacă eveimetul B este sau u realizat. Sau că B implică pe A se mai scrie: A B sau B A iar probabilitatea se otează cu P(A/B) şi se mai umeşte probabilitate codiţioată a eveimetului A ştiid că B este realizat. Eemplul : O ură coţie 3 bile albe şi bile egre. Se etrage o primă bilă di ură (prima etragere) apoi a doua (a doua etragere). Notăm cu B eveimetul ce actualizează apariţia uei bile albe la prima etragere şi A eveimetul care coduce la apariţia uei bile albe la a doua etragere. Soluţie: La etragerea uei bile albe rămâ bile albe şi egre, deci probabilitatea să se realizeze eveimetul A, eveimetul B realizâdu-se, este : P(A/B) = 4 = 68

Probabilitatea realizării lui A câd B u este realizat este: P(A / B ) = 3 3 Se vede că: P(A/B) P(A / B ) Teorema : Probabilitatea de realizare simultaă a două eveimete este egală cu produsul probabilităţii a uuia ditre ele pri probabilitatea codiţioată a celui de-al doilea, calculată cu codiţia ca primul eveimet să fie realizat, altfel spus: P(A şi B) = P(B) * P(A / B) (VII 5) Demostraţie: Vom da o demostraţie petru eveimete care se reduc la schema urelor (adică la care se poate aplica defiiţia clasică a probabilităţii). Presupuem că ura coţie bile, di care sut albe iar sut egre. Presupuem îsă că pritre cele bile albe u umăr de bile sut otate cu asterisc şi că celelalte sut albe simple: (Vezi figura.) ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο ο Etragem o bila di ură, care este probabilitatea ca bila etrasă să fie o bilă albă marcată cu asterisc? Fie B eveimetul etragerii uei bile albe şi A eveimetul etragerii uei bile albe marcate. Rezultă că: P(B) = iar probabilitatea apariţiei uei bile albe marcate este codiţioată de etragerea uei bile albe, deci: P(A / B) = * 69

Probabilitatea etragerii uei bile albe cu asterisc este P(A şi B). Rezultă: P(A şi B) = * Dar sau * = * * P(A şi B) = P(B) * P(A/B) (VII 6) şi teorema este demostrată. Dacă eveimetul cosiderat u este î cadrul schemei clasice, atuci formula defieşte probabilitatea codiţioată a eveimetului A dacă eveimetul B este realizat. Aceasta este defiită deci de formula: P(A/B) = P( A si B) P( B) (Dacă P(B) 0) (VII 7) Remarca : Aplicăm aceasta a doua formulă la epresia P(A şi B) Avem: P(B şi A) = P(A) * P(B / A) (VII 8) Î egalităţile 6 şi 8 primii termei sut egali. Astfel: P(A şi B) = P(B) * P(A/B) = P(A) * P(B / A) (VII 9) Eemplul : Petru cazul eemplului dat la îceputul acestui paragraf avem: 3 P(B) = ; P(A/B) = 5 70

Vom obţie cu formula () : P(A şi B)= 5 3 * = 0 3 Probabilitatea P(A şi B) poate de asemeea să se obţiă uşor pritr-u calcul direct. Eemplul 3: Probabilitatea de fabricaţie a uei piese de calitate coform ormelor este petru o mărime de 0,9. Probabilitatea de realizare a uei piese de calitate superioare ormei petru cele care o satisfac este de 0,8. Să se calculeze probabilitatea de realizare a uei piese de calitate superioară cu ajutorul uei maşii date. Soluţie: Fie B eveimetul fabricării uei piese ormale de maşiă şi A eveimetul realizării uei piese de calitate superioară. Aici P(B) = 0,9 ; P(A/B) = 0,8. Îlocuid aceste valori î (VII 6) obţiem: P(A şi B) = 0,9 * 0,8 = 0,7 Teorema : Dacă eveimetul A u poate fi realizat decât dacă uul di eveimetele B B B formâd u sistem ehaustiv de eveimete mutuale icompatibile este realizabilă, atuci probabilitatea eveimetului A este dată de formula: P(A) = P(B ) * P(A/B )+ P(B ) * P(A/B )+ + P(B ) * P(A/B ) (VII 0) Demostraţie: Eveimetul A poate avea loc dacă uul di toate eveimetele compatibile următoare este realizat. ( B şi A); ( B şi A),., ( B şi A). Vom obţie deci î virtutea teoremei de aduare a probabilităţilor: P(A) = P( B şi A) + P( B şi A) +.+ P( B şi A); (VII ) 7

Îlocuid termeii di membrul drept al lui (VII ) pri (VII 6) obţiem (VII 0). Eemplul 4: Trei focuri de armă sut trase asupra uei ţite. Probabilitatea de a atige ţita este egală respectiv cu: p = 0,3 p = 0,6 p 3 = 0,8. Probabilitatea de distrugere a ţitei este λ = 0, câd ţita este lovită odată, λ = 0,7 câd e lovită de două ori, si λ 3 =,0 câd ea este lovită de trei ori. Să se determie probabilitatea de distrugere a ţitei după eecutarea celor trei focuri. (eveimetul A). Soluţie: Cosiderăm sistemul ehaustiv de eveimete mutuale icompatibile. B = o lovitură î pli (o atigere) B = lovituri î pli B 3 = 3 lovituri î pli B 4 = ici o lovitură Determiăm probabilitatea fiecărui eveimet. Ţita va fi lovită o dată dacă este atisă de primul foc şi u este lovită de cel de-al doilea foc şi de cel de al treilea, apoi dacă este lovită umai de al doilea şi de primul şi de al treilea u este lovită, şi dacă este lovită umai de al treilea iar u de primele două. Atuci coform teoremei produsului şi sumei probabilităţilor, avem: P(B ) = p (- p ) (- p 3 ) + (- p ) p (- p 3 ) + (- p ) (- p ) p 3 = 0,33 Pri acelaşi raţioamet, obţiem: P(B ) = p p (- p 3 ) + p (- p ) p 3 + (- p ) p p 3 = 0,468 7

P(B 3 ) = p p p 3 = 0,44 P(B4) = (- p ) (- p ) (- p 3 ) = 0,056 Scriem probabilităţile codiţioate de distrugere a ţitei, î cazul realizării fiecăruia di aceste eveimete: P(A/B ) = 0,4; P(A/B ) = 0,7; P(A/B 3 ) =,00; P(A/B 4 ) = 0. Îlocuid epresiile obţiute î (VII ), vom obţie probabilitatea de distrugere a ţitei: P(A) = P(B )P(A/B ) + P(B )P(A/B ) + P(B 3 )P(A/B 3 ) + P(B 4 )P(A/B 4 ) = = 0,33 * 0,4 + 0,468 * 0,7 + 0,44 *,00 + 0,056 * 0 = 0,6044. Remarca : Dacă eveimetul A u depide de eveimetul B, avem: P(A/B) = P(A) şi formula (6) are forma: P(A si B) = P(B)P(A) Adică formula (VII 3). 73

6. Probabilitatea cauzelor. Formula lui Bayes. Puerea problemei. Cosiderăm de asemeea u sistem ehaustiv de eveimete mutuale icompatibile B, B,., B ale căror probabilităţi corespuzătoare sut P(B ), P(B ),.., P(B ). Eveimetul A u poate avea loc decât împreuă cu uul di eveimetele B, B,., B, pe care le umim cauze (sau ipoteze). Î virtutea formulei (0) probabilitatea realizării eveimetului A va fi: P(A) = P(B )P(A/B ) + P(B )P(A/B ) +.. + P(B )P(A/B ) (VII ) Presupuem că eveimetul A va fi realizat. Actualizarea eveimetului A va atrea o modificare a probabilităţilor cauzelor P(B ), P(B ),.., P(B ). Determiâd probabilităţile codiţioate a acestor cauze şi presupuâd că eveimetul A este actualizat, î alţi termei, determiăm: P(B / A), P(B / A), P(B / A) Soluţia problemei: Cu ajutorul relaţiei (9) găsim: de ude vom găsi: P(A şi B) = P(B ) P(A/B ) = P(A) P(B /A) P(B /A) = P B ) P( A/ B ) ( P( A) Îlocuid pe P(A) cu epresia sa di () obţiem: P(B /A) = P( B ) P( A/ B ) i= P( B ) P( A/ i B i ) (VII 3) Î mod aalog, găsim: P(B /A) sau 74

P(B /A) = P( B ) P( A/ B ) i= P( B ) P( A/ B ) i i (VII 4) Formulele (VII 3) sau (VII 4) se umesc formulele lui Bayes, sau teorema cauzelor. Remarcă: Di formula (4) rezultă că î epresia probabilităţii P(B / A) (probabilitatea de realizare a cauzei B, după actualizarea eveimetului A) umitorul u depide de idicele. Eemplul : Presupuem că îaitea uei probe, eistă 4 cauze echiprobabile B, B, B 3, B 4. P(B ) = P(B ) = P(B 3 ) = P(B 4 ) = 0,5 Probabilităţile codiţioate ale realizării eveimetului A sut respectiv: P(A/B ) = 0,7 P(A/B ) = 0, P(A/B 3 ) = 0, P(A/B 4 ) = 0,0 Presupuem că după probă eveimetul A se realizează. Vom obţie, după formula (4) P(B /A) = 0,5* 0,7 0,5* 0,7 + 0,5* 0, + 0,5* 0, + 0,5* 0,0 = 0,75 0,3 0,76 P(B /A) = P(B 3 /A) = 0,5*0, 0,3 0,5*0, 0,3 = 0, = 0, P(B 4 /A) = 0,5*0,0 0,3 = 0,0 Avem aici P(B ) = 0,5 ; P(B /A) = 0,76 care este mai mare deoarece eveimetul A este realizat 75

P(A/B ) = 0,7 7. Variabile aleatoare discrete. Legea de distribuţie a uei variabile aleatoare Defiiţia : Variabila luâd î urma uei măsurători ua di valorile uei suite fiite sau ifiite,,,, se umeşte variabilă aleatoare discretă dacă la fiecare valoare corespude o probabilitate p petru ca variabila ia valoarea. Rezultă di defiiţie că la fiecare valoare îi este asociată o probabilitate p Relaţia fucţioală ce leagă probabilitatea p de este umită legea de distribuţie a probabilităţilor uei variabile aleatoare discrete, sau simplu legea de distribuţie.(vezi tabelul) Aceeaşi lege de distribuţie poate fi dată grafic, sub forma uui poligo de distribuţie câd se costruieşte îtr-u sistem de coordoate puctele de coordoate (, p ) pe care le reuim pritr-o liie frâtă.(vezi fig.) Legea de distribuţie poate de asemeea să fie dată sub formă aalitică. P = f ( ) Valori posibile ale variabilei aleatoare Probabilitatea acestor valori... p p... p (tabel ) 76

p (fig. ) 0 Faptul că variabila aleatoare va lua cu ecesitate ua di valorile sumei,,... este u eveimet cert astfel că avem îtotdeaua: N p i i= = (VII 5) petru o serie fiită, sau: = i p i = (VII 5 ) petru o serie ifiită. Eemplul : Probabilitatea ca să iasă uul di umerele de pe feţele uui zar este 6 3 4 5 6 p 6 6 6 6 6 6 Eemplul : Fie p probabilitatea de realizare a eveimetului A î cursul fiecărei probe î parte ditr-o serie ifiită de probe. Variabila aleatoare este umărul de ordie al eperieţei î cursul 77

căreia eveimetul A se realizează petru prima dată. Să se găsească legea de distribuţie a variabilei aleatoare. Soluţie: Variabila aleatoare poate să ia oricare valoare,,3 Probabilitatea p petru ca eveimetul A să fie realizat î cursul uei probe va fi: P = P(A) = p Probabilitatea p petru ca eveimetul A să u fie realizat î cursul primei probe şi să se realizeze î cea de-a doua este: P = P( A si A) = (-p) p Probabilitatea p 3 petru ca eveimetul A să u fie realizat ici î prima probă şi ici î cea de-a doua probă, ci umai î a treia va fi: P 3 = P( A si A si A) = (-p) (-p) p = (-p) p şi aşa mai departe: Tabloul de distribuţie va fi: p = (-p) - p (VII 6) 3.. p p (-p)p (-p) p.. (-p) - p.. Avem deci şi: = p = ( p) p = = p ( p) = deoarece = ( p) este o serie geometrică cu raţia (-p) Problema studiată mai sus se aplică problemei tirului pâă câd primul foc va lovi ţita. 78

8. Frecveţa relativă si probabilitatea frecveţei relative î cursul uor măsurători (îcercări - probe) repetate. Să e imagiăm că se efectuează o serie de probe. Î cursul fiecărei probe u eveimet A poate să aibă loc cu probabilitatea p. Fie variabilă aleatoare ce defieşte frecveţa relativă de realizare a eveimetului A î cursul uei serii de probe. Se cere să se determie legea de distribuţie a variabilei aleatoare petru o serie de probe. Este evidet că variabila aleatoare va lua î cursul celor probe ua di valorile următoare: 0,,, Teorema : Probabilitatea P( = m ) petru ca variabila aleatoare să ia valoarea m, altfel spus, petru ca î cursul a probe, eveimetul A să se realizeze de m ori şi eveimetul cotra A (A u m m m m are) de (-m) ori este egală C p q ude C este umărul de combiaţii de elemete luate de m ori; p este probabilitatea eveimetului A; p = P(A); q este probabilitatea de erealizare a eveimetului A, altfel spus q = - p = P( A ). Demostraţie: Eveimetul A se produce de m ori î cursul a probe dacă de eemplu, eveimetele A şi A se succed după cum urmează: AA.A A A A -m Altfel spus, î cursul primelor m probe, eveimetul A apare şi î cursul ultimului (-m) următoare probe, eveimetul u apare adică se realizează eveimetul ( A ). 79

Dar coform teoremei: P(A) = p P( A ) = - p = q Î virtutea termeului produsului, probabilitatea uei astfel de succesiui de eveimete va fi: p m q - m Eveimetul A poate de asemeea să se producă de m ori î cursul celor probe cu o altă succesiue a eveimetelor A si A, de eemplu următoarea succesiue: A AA...A A A A m- -m Necesar este ca eveimetul A să se producă cu ecesitate de m ori si eveimetul A de -m ori. Probabilitatea uei astfel de succesiui este: P m- q -m p = p m q m Dar câte succesiui diferite ale eveimetelor A si A sut posibile petru probe dacă eveimetul A este realizat de m ori. Este evidet că umărul lor corespude umărul de combiaţii de elemete luate de m ori. m C = ( ) ( )...[ ( m )] * *3*...* Vom obţie, coform teoremei că: m C P( = m ) = p m q m + p m q m + + p m q - m 80

sau îcă: m P( = ) = m C p m q m (VII 7) şi teorema este demostrată. Demostraţia teoremei e permite să defiim legea de distribuţie a uei variabile aleatoare, pe care o puem sub formă de tablou: 0.. m. m P( = ) * q C pq - C p q m C p m q m.. p Legea de distribuţie astfel obţiută se umeşte lege biomială deoarece probabilitatea : P( = m ) sut egali cu termeii corespuzători dezvoltării epresiei: (q + p) după formula biomială: (q + p) m = m= 0 C m p m q m (VII 8) suma probabilităţilor tuturor valorilor posibile este după cum se poate vedea egală cu, deoarece: (p + q) m = = 8

Remarcă: Î studiul diferitelor probleme avem evoie de a determia probabilitatea petru ca eveimetul A să fie realizat cel puţi o sigură dată, astfel spus frecveţa relativă a eveimetului. Este evidet că probabilitatea plecâd de la egalitatea: (VII 9) P( P( ) este determiată 0 ) = p( = ) = - q Di tabloul de distribuţie rezultă că probabilitatea P( ), petru ca eveimetul să aibă loc de cel puţi ori va fi determiat de formula: sau îcă: P( ) = m m m C p q (VII 30) m= P( ) = - m= m C m m p q (VII 3) 0 Eemplul : Să se reprezite grafic legea de distribuţie a uei variabile aleatoare petru = 8, p = ; q = Soluţie: Determiăm toate valorile probabilităţilor di tablou: 0 8 P( =0) = C = 8 ) 8 q P( = ) = C8 ( ) 7 8 = 8 ( = 56 56 P( = ) = C 8 ( ) 8 = 8 7 8 8 3 8 3 P( = ) = 3 C 8 ( ) 8 = 8 7 6 8 = 3 7 = 64 7 = 3 8

3 4 4 P( = ) = 4 C 8 ( ) 8 = 8 7 6 5 8 3 = 8 5 P( = ) = 5 C 8 ( ) 8 = 8 6 P( = ) = 6 C 8 ( ) 8 = 8 7 P( = ) = 7 C 8 ( ) 8 = 8 8 P( = ) = 8 C 8 ( ) 8 = 8 7 3 7 64 3 56 Graficul acestei reprezetări este: p O 8 8 3 8 4 8 5 8 6 8 7 8 8 8 Eemplul : Care este probabilitatea petru ca eveimetul A să se producă de ori: a) î timpul a două probe b) î cursul a trei probe 83

Soluţie: c) î cursul a zece probe dacă probabilitatea de realizare are u eveimet î cursul fiecărei probe de 0,4.? a) Aici =; p=0,4 ; q=0,6 P( = ) = 0 p C q = (0, 4) = 0,6 b) Aici =3; p=0,4 ; q=0,6 P( = ) = p 3 3 C 3 q = (0,4) * 0,6 = 0,88 c) Aici =0; p=0,4 ; q=0,6 P( = ) = 8 p 0 0 9 C 0 q = (0, 4) (0,6) 8 = 0, Eemplul 3: Se efectuează 4 probe idepedete. Probabilitatea de realizare a eveimetului A este 0,5 petru fiecare probă. Să se determie probabilitatea petru ca eveimetul A să se realizeze de cel puţi ori. Soluţie: Aici = 4; p = 0,5 ; q = 0,5; sau P( 4 ) = P( = 4 ) + P( = 4 3 ) + P( = 4 4 ) P( 4 ) = - P( = 4 0 ) + P( = 4 ) Calculăm probabilitatea: 0,35 P( < 4 ) = P( = 4 0 ) + P( = 4 ) = q 4 + 4q 3 p = (0,5) 4 + 4(0,5) 4 = 84

Vom obţie î coseciţă utilizâd formula a doua: P( 4 ) = [(0,5) 4 + 4(0,5) 4 ] = 0,6875 0,69 Eemplul 4: Probabilitatea rebutului îtr-u lot de piese este p = 0,. Care este probabilitatea petru ca îtr-u lot de 3 piese să avem m = 0; m = ; m = ; m = 3 piese defecte? 0 P( = ) = C 0 3 = (0,9)3 = 0,79 3 3 q 3 0, (0,9) P( = ) = C3 p q = = 0,43 3 P( = ) = C3 p q 3.. = 3 (0,) * (0,9) = 0,07 3 P( = ) = 3 C3 p 3 =. (0,) 3 = 0,00 3 9. Speraţa matematică a uei variabile aleatoare discrete. Fie o variabilă aleatoare discretă a cărei lege de distribuţie este următoarea: 3.. P( = ) p p p 3.... p p Defiiţia : Se umeşte speraţa matematică a variabilei aleatoare discrete (pe care o otăm cu M[] sau m ) suma tuturor 85

valorilor posibile ale variabilei aleatoare pri probabilităţile respective ale acestor valori M[] = p + p +. + p (VII 3) sau mai simplu: M[] = = p (VII 33) Î acest caz avem, după cum am meţioat mai sus: p = = Dacă valorile variabilei aleatoare formează o serie ifiită de valori, atuci M = = p (VII 34) Noi u vom cosidera decât variabilele aleatoare petru care această serie coverge. Să stabilim acum relaţia ditre speraţa matematică a uei variabile aleatoare şi media aritmetică a valorilor variabilei aleatoare petru u umăr mare de probe ; mai eact să arătam că petru u umăr mare de probe, media aritmetică a valorilor observate este aproape de speraţa matematică sau î virtutea capitolului putem afirma că media aritmetică a valorilor observate a uei variabile aleatoare tide, câd umărul de probe creşte edefiit, spre speraţa matematică. Să e imagiăm că efectuăm N probe idepedete. Presupuem că: - valoarea se maifestă de ori - valoarea se maifestă de ori.. 86

.. - valoarea v se maifestă de v ori Variabila aleatoare ia valorile,, 3, v Să calculăm media aritmetică a valorilor obţiute de variabila (vom ota aceasta medie aritmetică pri M [] sau Avem deci: m ). m = + +... + v v = N N + N +.. + v v (VII 35) N Cum petru u umăr mare de probe N frecveţa relativă tide spre probabilitatea de realizare a valorii, avem: v = N v = p Rezultă deci imediat că: M [] M [] (VII 36) Remarca : Dacă am cosidera schema urelor cu N bile, di care bile marcate cu semul si marcate cu semul..etc, umărul sperat câd se etrage o bilă, va fi dat de forma (34) altfel spus este egal cu m. Soluţia: Variabila aleatoare poate să ia valorile : = 0; 3 = ; 3 = ; 4 = 3. 87

Vom pue îtr-u tablou distribuţia variabilei aleatoare date. Vom găsi probabilitatea acestor valori după teorema probelor repetate. (=3; p = 0,4; q = 0,6) 0 P( = 0) = C 3 (0,6) 3 = 0,6 P( =) = C 3 (0,4)(0,6) = 0,43 P( =) = C 3 (0,4) (0,6) = 0,88 3 P( =3) = C 3 (0,4) 3 = 0,064 Tabloul distribuţiei variabilei aleatoare va fi: 0 3 P( = ) 0,46 0,43 0,88 0,064 Vom calcula speraţa matematică după formula(34). m = 0*0,06 + *0,43 + *0,88 + 3*0,064 =, realizări Eemplul. Se efectuează o probă î cursul căreia eveimetul A poate sau u avea loc. Probabilitatea ca eveimetul să se realizeze este egală cu p. Să se determie speraţa matematică a variabilei aleatoare X eprimâd umărul de realizări al eveimetului. Formăm tabloul distribuţiei variabilei aleatoare: 0 p -p p Remarca. Se poate stabili î cotiuare că speraţa matematică M[] a umărului de realizare a eveimetului A î cursul a probe idepedete este egală cu produsul umărului de probe pri probabilitatea p de realizare a eveimetului A î fiecare probă. 88

Soluţia problemei de la eemplul va fi astfel: M[]= p (VII 37) M[]= *p = 3. 0,4 =, realizări Dacă î formula (37) se cuoaşte M[] şi p, se poate găsi care este umărul de probe care dau speraţa matematicii cerută de umărul de realizări a eveimetului. Eemplul 3. Să se determie speraţa matematică a variabilei aleatoare al cărui tablou de distribuţie este următorul: 3 p p (-p)p (-p) p (-p) - p Soluţie: Avem î virtutea relaţiei (34) otâd cu -p = q m = * p + q.p + 3q p +. + q - p + = = p( + q + 3q + + q - + ) = = p(q + q + q 3 +.. + q +.) = = p( Astfel: q q m = p q + q ( q) ) = p p ( q) = p = = p p Notăm ca m câd p m câd p 0 89

Se pot eplica aceste relaţii bazâdu-e pe sesul problemei. Dacă probabilitatea de realizare a eveimetului A este petru fiecare probă aproape (p ), se poate aştepta ca eveimetul A să aibă loc î cursul uei sigure probe (prima) (m ). Di cotră, dacă probabilitatea p este mică (p 0), se poate aştepta ca petru realizare să fie efectuat u umăr mare de probe (m ). Se umeşte cetrul de distribuţie a probabilităţilor variabilei aleatoare X speraţa matematică a variabilei aleatoare X. Remarca 3: Termeul cetru de distribuţie a probabilităţilor este itrodus pri aalogie cu cel al cetrului de greutate. Dacă pe aa 0 se atribuie puctele de abscise,,, ; masele p, p,,p se ştie de la mecaica teoretică că cetrul de greutate al acestor mase va fi determiată de formula. Dacă Atuci = c = p = = p p (VII 38) = c = = p (VII 39) Formula (39) coicide cu formula speraţei matematice (34). Am stabilit astfel că cetrul de greutate şi speraţa matematică se calculează cu ajutorul uor formule aaloage. Aceasta este motivul petru care am itrodus termeul cetru de distribuţie a probabilităţilor. Fie dată o variabilă aleatoare cu legea sa de distribuţie dată de figura alăturată: (fig ). Presupuem că speraţa sa matematică este m. 90

P 3 4 5 6 7 8 9 0 X 0 0 0 0 0 3 5 7 9 Cosiderăm difereţa ître variabilele aleatoare şi speraţa matematică - m. Vom umi această variabilă cetrală sau abatere şi o vom ota pri 0. Este evidet că legea de distribuţie a acestei variabile aleatoare 0 va fi (cf. fig. ) 0 0 = - 0 m = - m.. 0 = - m p p p.. p Vom găsi speraţa matematică a variabilei aleatoare cetrală: M [ - m ] = = ( m ) p - p = - = m p = 9

= m p = m = m m. = 0 (VII 40) Astfel speraţa matematică a uei variabile aleatoare cetrale este ulă. Remarca 4. Este util câteodată să se cosidere o variabilă ealeatoare (certă) costată ca o variabilă aleatoare, care ia la probabilitatea valoarea c şi la probabilitatea 0 altă valoare. Î acest ses se poate apoi să se vorbească de speraţa matematică a uei costate. 0. Variaţa (fluctuaţia) dispersă sau abaterea medie pătratică. Noţiuea de momete O altă caracteristică catitativă a variabilei aleatoare, care diferă de valoarea medie care determiă poziţia cetrului de distribuţie a probabilităţilor, este variaţa sau dispersia variabilei aleatoare. Vom ota variaţa pri D Variaţa este caracteristica umerică a împrăştierii, deviaţia valorilor variabilelor aleatoare î raport cu valoarea medie a acestei variabile. Defiiţia : Se umeşte variaţa variabilei aleatoare X speraţa matematică a pătratului difereţei ditre variabila aleatoare X si speraţa sa matematică (altfel spus speraţa matematică a pătratului variabilei aleatoare cetrată corespuzătoare.) sau D[] = M[(-m ) ] D[] = ( ) = m p Variaţa u posedă aceeaşi uitate de măsură ca şi variabila aleatoare. Ueori este comod petru a caracteriza dispersia valorilor, de a utiliza o mărime a cărei uitate de măsură coicide cu cea a variabilei aleatoare, pe care o umim abatere medie pătratica. Defiiţia : Se umeşte abatere stadard a variabilei aleatoare, rădăcia pătrată a variaţei. G[] = D [] 9

sau sub o formă mai eplicită G[] = = ( m ) p Aleatoarea stadard este ueori otată şi cu σ Remarca : Petru calcule este comod să se trasforme formula (VII 40) după cum urmează: D[] = ( m ) p = p = = = m p + = m p = = = p - m = p + = m p = = M[ ] - m + m * = m Astfel = M[ ] - m D[] = M[ ] - m Altfel spus variaţa este egală cu difereţa speraţei matematice a pătratului variabilei aleatoare şi pătratul speraţei matematice a variabilei aleatoare. Eemplul. Se efectuează o eperieţa î cursul căreia eveimetul A poate să se producă sau u. Probabilitatea de realizare a eveimetului A este egală cu p. Să se determie speraţa matematică, variaţa şi abaterea pătratică medie. 93

Soluţie: Aşezăm îtr-u tablou valorile umărului de realizare a eveimetului (q = - p): 0 p p q î coseciţă: M[] = * p + 0 * q = p D[] = (- p) + (0 - p) q = q * p G[] = p q Petru a elucida sesul oţiuilor variaţei şi abaterii pătratice medii precum şi caracteristicile dispersiei variabilei aleatoare cosiderăm câteva eemple: P 0,3 0,4 0,3 Fig 3 0 3 4 94

P 0,3 Fig 4 0 3 4 5 Eemplul : Variabila aleatoare dată de legea de distribuţie următoare (vezi Fig. 3) 3 4 p 0,3 0,4 0,3 Să se determie:. M[] = * 0,3 + 3 * 0,4 + 4 * 0,3 = 3. D[] = (-3) * 0,3 + (3-3) * 0,4 + (4-3) * 0,3 = 0,6 3. G[] = D [] = 0, 6 = 0,77 Eemplul 3. Variabila aleatoare este dată de legea de distribuţie următoare (Fig. 4) 3 5 p 0,3 0,4 0,3 95

Să se determie:. Speraţa matematică. Variaţa 3. Abaterea pătratică medie Soluţie:. M[] = * 0,3 + 3 * 0,4 + 5 * 0,3 = 3. D[] = (-3) * 0,3 + (3-3) * 0,4 + (5-3) * 0,3 =,6 3. G[] =, 6 =,55 Dispersia, deviaţia variabilei aleatoare, este î eemplul iferioară dispersiei variabilei aleatoare di cel de al doilea eemplu. Variabilele (fluctuaţiile) acestor mărimi sut respectiv egale cu 0,6 şi,4. Eemplul 4. Variabila aleatoare este dată de legea de distribuţie următoare: 3 p P Să se determie: 0 3. speraţa matematică. variaţa (fluctuaţia) 3. abaterea pătratică medie Soluţie:. M[] = 3 * = 3. D[] = (3-3) * = 0 3. G[] = 0 dispersia acestei variabile aleatoare este ulă. 96

Remarca. Dacă cosiderăm o catitate costată ca o variabilă aleatoare, care ia valoarea c cu o probabilitate l, se demostrează uşor că D(c)= 0. Demostraţie. Am arătat deja că M(c)= c. Cu ajutorul formulei (VII 40) avem: D[c] = M [(c-c) ] = M[0] = 0 Remarca 3. Pri aalogie cu termiologia utilizată î mecaică se umesc momete cetrale de primul sau al doilea ordi al variabilei aleatoare speraţa matematică a catităţilor (- m ); (- m ). Se cosideră de asemeea mometul cetrat de ordiul trei: = ( m ) p Dacă variabila aleatoare este distribuită simetric î raport cu cetrul distribuţiei probabilităţilor (Fig ), este evidet că mometul său cetral de ordiul 3 va fi ul. Dacă mometul cetral de ordiul trei este ul, variabila aleatoare u posedă o distribuţie simetrică.. Fucţii de variabile aleatoare Presupuem că legea de distribuţie a variabilei aleatoare să fie dată sub forma tabloului următor.... p p p. p.. p Cosiderăm o fucţie de variabilă aleatoare. y = f() 97

Valorile fucţiei y = f( ) vor fi valori ale variabilei aleatoare y. Dacă toate valorile y = f( ) sut diferite, legea de distribuţie a variabilei aleatoare y va fi dată pri tabloul: y = f() y = f( ) y = f( ). y = f( ) p p p p Dacă petru valorile y = f( ) uele sut egale ître ele, coloaele corespuzătoare vor fi reuite îtr-ua sigură îsumâd probabilităţile corespuzătoare. Speraţa matematică a fucţiei y = f() a variabilei aleatoare va fi determiată cu ajutorul uei formule cuoscută. M[f()] = = f ( ) p Se defieşte de asemeea variaţa fucţiei: D[f()] = M[(f() M[f()]) ] = = ( f ( ) m f ( ) ) p Eemplul. Legea de distribuţie ϕ a uei variabile aleatoare este dată de următorul tablou: ϕ π π 0 π π p 0, 0, 0, 0,3 0,3 98

Se cosideră fucţia: y= A siϕ a acestei variabile aleatoare. Dispuem î tablou distribuţia variabilei aleatoare y: y - A A 0 A A p 0, 0, 0, 0,3 0,3 Să calculăm speraţa matematică a fucţiei: A M[A siϕ ] = -A* 0, - 0, A + 0,0 + 0, 3 + A * 0,3 = = A (0, + 0, ) = A(0, + 0,4) = 0,34 * A Tipuri de aceste probleme se îtâlesc î studiul proceselor vibratoare.. Variabile aleatoare cotiue. Desitatea de probabilitate a uei variabile aleatoare cotiue. Probabilitatea petru ca o variabilă aleatoare să aparţiă uui iterval dat. Petru a îţelege problema cosiderăm u eemplu. Eemplu: Se măsoară uzura uui cilidru după o aumită perioadă de eploatare. Această mărime este determiată de valoarea de creştere a diametrului cilidrului. O otăm cu. Di atura problemei rezultă că această catitate poate să ia toate valorile îtr-u aumit iterval (a, b) al valorilor posibile. O catitate de acest ge se umeşte variabila aleatoare cotiuă. Cosiderăm deci o variabilă aleatoare cotiuă dată î itervalul (a, b) care poate fi iterval ifiit (, + ). Împărţim acest iterval cu ajutorul puctelor arbitrare 0,, î itervale mici, arbitrare de lugime 99

A i- = i i- Presupuem că, cuoaştem probabilitatea de aparteeţă a variabilei aleatoare la itervalul ( i-, i ). Vom ota această probabilitate î felul următor: P ( i- < < i ) ) Şi o vom reprezeta sub forma ariei rectagulare de baza i. (vezi fig. y y 0 i- i + Petru fiecare iterval ( i-, i ) se determiă probabilitatea ca variabila aleatoare să aparţiă de acest iterval şi î coseciţă se poate costrui liia poligoală sau scara. Defiiţia. Dacă eistă o fucţie y = f(), astfel îcât: lim P ( < < + ) = f () (VII 46) această fucţie f() este umită desitate de distribuţie a probabilităţilor variabilei aleatoare, sau legea de distribuţie (sau îcă desitatea de probabilitate ). Vom ota pri variabila aleatoare cotiuă, pri sau valoarea acestei variabile aleatoare. Curba y = f() este umită curba de distribuţie a 300

probabilităţilor, sau curba de desitate (fig.). Utilizâd oţiuea de limită, se obţie plecâd de la egalitatea (VII 45). P ( < < + ) f() (VII 47) Teorema. Fie f() desitatea de probabilitate a variabilei aleatoare. Atuci probabilitatea petru ca valoarea variabilei aleatoare să se găsească îtr-u aumit iterval (α, β) este egală cu itegrala defiită de fucţia f() ître limitele α şi β, altfel spus avem egalitatea: β P (α< < β) = α f ) d ( (VII 48) Demostraţie. Împărţim itervalul (α, β) cu ajutorul puctelor (α =,,, + = β) î mici itervale (fig. 3). Aplicăm fiecărui iterval formula (47): P ( < < ) f( ) P ( < < 3 ) f( ). P ( < < + ) f( ) Aduăm membrii di partea stâgă şi pe cei di parte dreaptă. Este evidet că î stâga obţiem P (α< < β). Astfel: P (α< < β) i= f ( i ) i Am obţiut o egalitate aproimativă. 30

+ = β 0 α = M M α β Trecâd la limită î membrul doi câd i 0 vom obţie, î virtutea proprietăţilor sumelor itegrale, că egalitatea eista: P (α< < β) = lim ma i 0 i= f ( i ) i (vom presupue că fucţia f() este astfel ca limita la dreapta eistă 00+). Dar limita membrului secud u este alta decât itegrala defiită a fucţiei f() ître limitele α şi β. Noi avem astfel: β P (α< < β) = α Teorema este demostrată. f ( ) d Vom putea deci, cuoscâd desitatea de probabilitate a uei variabile aleatoare, să determiăm probabilitatea petru ca această variabilă aleatoare să ia valoarea sa î itervalul cosiderat. Geometric vorbid această probabilitate este egală cu trapezul curbiliiu. (Fig.4). Remarcă. Î cursul uei variabile aleatoare cotiuă, probabilitatea actualizării eveimetului, costâd î aceea că = 0, va fi ulă. Îtr-adevăr, puâd egalitatea (VII 47) = 0 vom obţie: 30

de ude sau îcă P ( 0 < < 0 + ) f( 0 ) lim P ( P( = 0 ) = 0 0 < < 0 + ) = 0 0 Aceasta deoarece î egalitatea (VII 48), ca şi î egalităţile precedete putem scrie u umai: P (α< < β), dar si P (α β), Fiid dată ca: P (α β) = P ( =α ) + P (α< < β) + P ( = β) = P (α< < β) Dacă toate valorile posibile ale variabilei aleatoare se găsesc î itervalul (a, b), atuci: b f ) d = a ( (VII 49) deoarece se ştie cu certitudie că variabila aleatoare aparţie itervalului (a, b). Dacă itervalul valorilor posibile este (-, + ), atuci: f ( ) d = (VII 50) Notăm că dacă di desfăşurarea probei rezultă că fucţia F() este determiată pe itervalul fiit (a, b) se poate estima că ea este determiată pe tot itervalul ifiit (-, + ), dar că: f() = 0 î eteriorul itervalului (a, b). Î acest caz avem de asemeea egalităţile (VII 49) şi (VII 50). 303

Desitatea de probabilitate a variabilei aleatoare defieşte î îtregime variabila aleatoare. 3. Fucţia de repartiţie sau legea itegrală de distribuţie. Legea de distribuţie uiformă. Defiiţia. Fie f() desitatea de probabilitate a uei aumite variabile aleatoare (- < < + ), atuci fucţia F() = f ) d ( (VII 5) se umeşte fucţie de repartiţie sau lege itegrală de distribuţie a probabilităţilor. y Fig. 5 F() f() F() F() Fig. 6 0 304

Petru o variabilă aleatore discretă, fucţia de repartiţie este egală cu suma probabilităţilor tuturor valorilor sale iferioare la. F() = < p deci (48) rezultă că fucţia de repartiţie este probabilitatea petru ca variabila aleatoare să ia o valoare iferioara lui (fig. 6) F() = P(- < < ) (VII 5) Se vede pe fig. 5 că petru o valoare de la valoarea fucţiei de repartiţie este umeric egală cu aria limitată de curba de desitate, situată la stâga ordoatei puctului. Graficul fucţiei F() este umit curba itegrală a distribuţiei (fig.6). Trecâd la limită î egalitatea (VII 5) şi ţiâd seama de (VII 50) obţiem: lim F( ) lim f ( ) d + = = f ) d ( = Dăm acum demostraţia următoarei teoreme: Teorema. Probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare aparţiâd itervalului (α, β) este egală cu creşterea fucţiei de repartiţie pe acest iterval. P (α< < β) = F(β) F(α) Demostraţie. Eprimăm probabilitatea petru ca variabila aleatoare să se găsească î itervalul (α, β). Petru aceasta scriem formula (VII 48) sub forma: β P (α< < β) = α ( = f ) d β f ) d α ( - f ( ) d (coform fig. 7). De asemeea, utilizâd egalitatea (VII 5) 305

y Fig. 7 α β P (α<< β) = F(β) F(α) F(α) F(β) putem să scriem pe (VII 53) şi astfel: 0 Fig.8 P (α< < β) = F(β) F(α) ceea ce trebuia demostrat, (cof. fig 8) 306

Notăm că desitatea de probabilitate f() şi fucţia de repartiţie corespuzătoare F() sut legate pri relaţia: F () = f() (VII 54) Aceasta decurge di egalitatea (5) şi di teorema de derivare a uei itegrale defiite î raport cu limita superioară. Cosiderăm acum o variabilă aleatoare corespuzâd uei legi de distribuţie uiforme. Legea de distribuţie sau desitatea de probabilitate f() a uei astfel de variabile este dată î felul următor: f() = 0 f() = c f() = 0 petru < a petru a < < b petru > b Desitatea f() admite pe itervalul (a, b) o valoare costată c. (fig.9). Ea este ulă î afara acestui iterval. f() F() Fig 9 Fig. 0 c 0 a α β b 0 a b o astfel de distribuţie se umeşte legea de distribuţie uiformă. Valoarea lui c se găseşte utilizâd codiţia: f ( ) d = astfel: 307

( = c d = c(b-a) = f ) d b a şi î coseciţă: c = b a ; b - a = c Di ultima egalitate rezultă că itervalul (a, b) pe care este defiită distribuţia uiformă este ecesar fiit. Determiăm probabilitatea petru ca variabila aleatoare să ia o valoare aparţiâd itervalului (α, β): β P (α< < β) = α ( = f ) d β α d b a = β α b a Probabilitatea astfel căutată este: P (α< < β) = β α b a (aceasta relaţie este aaloagă defiiţiei probabilităţii geometrice petru cazul bidimesioal pe care l-am studiat). Determiăm legea itegrală de distribuţie: F() = f ( ) d - dacă < a, atuci f() = 0 şi î coseciţă F() =0 - dacă a < < b, atuci f() = b a şi î coseciţă F() = a d b a = a b a - dacă b<, atuci f() = 0 şi f ( ) d = 0 şi î coseciţă: b 308

F() = cf. fig 0. f ) d b ( = a d b a = b a b a = Să dăm eemple cocrete de variabile aleatoare distribuite după o lege uiformă. Eemplul. La măsurarea uei mărimi se efectuează o aumită rotujire pâă la diviziuea cea mai apropiată a scării. Eroarea comisă î cursul acestei rotujiri este o variabilă aleatoare distribuită după o lege uiformă. Dacă l reprezită umărul de uităţi îtr-o diviziue a scării, desitatea de probabilitate a acestei variabile aleatoare va fi: f() = 0 dacă < -l f() = l dacă -l < < l f() = 0 dacă l < Aici a = -l ; b = l ; c = l Eemplul. O roată simetrică î rotaţie se opreşte pri frecare. Ughiul θ format de o rază mobilă a roţii cu o rază imobilă după oprirea roţii este o variabilă aleatoare a cărei desitate de probabilitate este: F(θ) = 0 dacă θ < 0 F(θ) = π dacă 0< θ < π F(θ) = 0 dacă π < θ. 309

4. Caracteristicile umerice ale uei variabile aleatoare cotiue. Cosiderăm ca şi î cazul uei variabile aleatoare discretă, caracteristicile umerice ale uei variabile aleatoare cotiui de desitate de probabilitate f(). Defiiţia. Se umeşte speraţa matematică o variabilă aleatoare cotiuă de desitate de probabilitate f() epresia: M[] = f ) d ( (VII 55) Dacă variabila aleatoare u poate să ia valori decât î itervalul fiit [a, b], speraţa matematică M[] este dată de formula: b M[] = a ( (VII 55 ) f ) d Se poate cosidera formula (VII 55 ) ca o geeralizare a formulei cuoscută deja M[] = = p (VII 56) Îtr-adevăr descompuem segmetul [a, b] î itervalele ( -, ). Alegem u puct ξ î fiecare di aceste itervale. Cosiderăm variabila aleatoare discretă auiliară ξ, care poate să ia valorile: ξ, ξ,.., ξ, ξ Presupuem că probabilitatea valorilor corespuzătoare ale variabilei aleatoare discrete să fie: p, p,, p,.. p 30

p = f( ξ ) ; p = f( ξ ),, p = f( ξ ),.., p = f( ξ ) ( f( ξ ) este probabilitatea ca variabila aleatoare cotiuă să ia o valoare aparţiâd itervalului ( -, ). Speraţa matematică a variabilei aleatoare discrete ξ, va fi: sau:.. M[ ξ ] = ξ = p M[ ξ ] = ξ f( ξ ) + ξ f( ξ ) +.+ ξ f( ξ ) +.+ ξ f( ξ ) = ξ f ( ξ ) Trecem la limită câd otam 0 vom obţie: = lim ma 0 = ξ f ( ξ ) = b a f ( ) d Epresia membrului doi este speraţa matematică a variabilei aleatoare cotiue, care poate să ia orice valoare aparţiâd segmetului [a, b]. Raţioametul poate fi reluat î mod aalog petru itervalul ifiit, adică petru epresia (VII 55). Adică formulele (VII 55) şi (VII 55 ) sut aaloage lui (VII 56 ). Petru speraţa matematica vom utiliza de asemeea otaţia m. Se umeşte speraţa matematica cetrul de distribuţie a probabilităţilor variabilei aleatoare, (Fig.). 3