4. Izrek o kineični in poencialni energiji Točkaso elo Izračunajo delo (A) rezulane zunanjih sil ( F ), ki deluje na očkaso elo z aso : A= F ds= F dr, () kjer je ds vekor preika ds = dr r r ( + d) ir Uporabio II. Newonov zakon za gibanje očkasega elesa: dv F= a=. () d Enačbo () vsavio v enačbo () in dobio: dv dv A= F dr = a dr = dr = vd= dv v= dv v d d, (3) kjer so uporabili definiciji dr zapišio skalarni produk v dv : dv = vd, dv = ad. V nadaljevanju najprej alo drugače dv ϕ v v ( + d) v v dv v= v= ( vv ) dv d( v ) = dv v dv= v dv cosϕ = vdv ali: dv (4a) 57
d v v = dv v + v dv = v dv, od koder sledi: v dv= d( vv ) = d( v ) = vv d (4b) Ob upoševanju enačbe (4a), oziroa (4b) iz enačbe (3) sledi: v A = v dv = vd v = v = v v. (5) v v v Definirao kineično energijo očkasega elesa: Wk = v, (6) orej: A= F ds = W k. (7) Relacijo (7) ienujeo izrek o kineični energiji za očkaso elo. V nadaljevanju rezulano vseh zunanji sil razdelio na rezulano vseh osalih zunanjih sil razen sile eže ( F os ) M z Fg = G r r in silo eže (graviacijsko silo) F g : r, (8) ir Zelja R h r r h R = poler Zelje h = nadorska višina 58
kjer je G graviacijska konsana, očkasega elesa z aso. Torej: M z asa Zelje in r razdalja od središča Zelje do F= F + F, (9) os g oziroa: A= F + F ds = F + F dr = W os g os g k. () Iz enačbe () sledi: A = F dr = W F dr. () os os k g Zadnji člen v enačbi () predsavlja negaivno delo sile eže. V nadaljevanju negaivno delo sile eže ob upoševanju enačbe (8) izrazio alce drugače: Mz r Fg dr= G dr= GM d z r r 3 r r = r r = GM rd r= GM = GM = r r dr z 3 z z r r r r r M z M z M z = G = G G. r r r r Če definirao graviacijsko poencialno energijo očkase ase ko: () M W G r z p =, (3) lahko zapišeo enačbo () v obliki: F dr = W W = W g p, p, p enačbo () pa ko:, (4) Aos = Wk + Wp. (5) Enačbo (5) ienujeo izrek o kineični in poencialni energiji za očkaso elo. 59
Pri izpeljavi enačbe () so upoševali: dr dr ϕ r r ( + d) r r dr d r r = dr r + r dr = r dr, od koder sledi: r dr = d( r r) = d( r ) = rdr. (6) Narišio odvisnos graviacijske poencialne energije očkasega elesa od razdalje od središča Zelje r = R + h, (7) kjer je R poler Zelje, h pa nadorska višina. W p R r li W = p r Graviacijsko poencialno energijo lahko za ajhne nadorske višine h razvijao v vrso: Mz Mz Mz M z h h Wp = G = G = G = G r ( R h) h + + R R R R + R. (8) 6
h Iz enačbe (8) vidio, da za zelo ajhne nadorske višine velja približno zveza: R Mz h Mz Mz Wp G = G + G h. (9) R R R R Pri konsanni vrednosi ase in upoševanju definicije graviacijskega pospeška pri orski gladini M z =, g G 9.8s R lahko zapišeo enačbo (9) v obliki: Wp = g h. () GMz Konsanni člen v enačbi (9) so izpusili, saj v enačbi (5) nasopa le razlika R poencialnih energij, asa elesa pa se ne spreinja. Togo elo Dienzije ogih eles, ki jih obravnavao, so veliko anjše od polera Zelje, zao je graviacijski pospešek znoraj elesa prakično konsanen v vseh delih elesa. Zao sa izraza za graviacijsko poencialno energijo (3) in (), ki so ju izpeljali za očkaso elo, dobra udi za oga elesa končnih razsežnosi. Drugače pa je s kineično energijo ogega elesa, ki je v splošne ne oreo opisai z izrazo v (razen, če se ogo elo giblje po preici). Narišio sheasko ogo elo v karezične koordinane siseu (, y, z). V ežišče ogega elesa (T) posavio izhodišče lokalnega koordinanega sisea (', y', z'), kjer predposavio, da so koordinane osi laboraorijskega inercialnega koordinanega sisea (, y, z) paroa vzporedne z osi lokalnega ežiščnega sisea (', y', z'). 6
y y' d r r T z' T r * ' r rt r * krajevni vekor do ajhnega dela ogega elesa z aso d erjeno v laboraorijske siseu (, y, z) krajevni vekor do ežišča ogega elesa erjeno v laboraorijske siseu (, y, z) krajevni vekor do ajhnega dela ogega elesa z aso d erjeno v lokalne (ežiščne) koordinane siseu (', y', z') T ežišče ogega elesa Iz zgornje slike vidio, da velja zveza z * r = r T + r. () Če enačbo () odvajao po času na obeh sraneh enačaja dobio: * v = v T + v, () kjer je v * T hiros ežišča ogega elesa, v pa hiros ase d v ežiščne siseu. Izračunajo sedaj kineično energijo ogega elesa, za kaero vzaeo, da je vsoa kineičnih energij vseh as d, ki sesavljajo ogo elo z aso : Wk = v d= v vd Izraz () vsavio v enačbo (3a):. (3a) * * * * Wk = ( vt + v ) ( vt + v ) d= vtd+ vt v d+ v d. (3b) Drugi člen v gornje izrazu je enak nič. Koordinae ežišča v ežiščne siseu so nareč enake nič: 6
* * rt = r d=, zao je udi d * * r d = v d =. d (4) Iz enačb (3b) in (4) sledi: * Wk = vt + v d. (5) V splošne v vsake renuku obsaja neka os okoli kaere se s kono hirosjo ω vri obravnavano elo, ki je v izbrane renuku enaka za vse očkase ase d, ki sesavljajo ogo elo, zao velja (gleje sliko): v = R ω. (6) * * Ob upoševanju enačbe (6) lahko enačbo (5) zapišeo v obliki: * Wk = vt + J ω, (7) kjer so upoševali * * *, (8a) v d = ω R d = J ω * J = R * d. (8b) 63
Kineično energijo WT = vt ienujeo ranslacijska kineična energija ogega elesa, * Wr = J ω pa je roacijska kineična energija ogega elesa. Za izbrani ežiščni sise lahko v splošne zapišeo roacijsko kineično energijo ko: Wr = J αβ ω α ω β, (9) * * * * * * α=, y, z, β =, y, z, kjer so J * *, J * * in J * * vzrajnosni oeni okrog reh pravokonih osi *, y * in z *, yy zz J αβ ( α β) pa so deviacijski oeni (gleje še sr.47). Če so osi ežiščnega sisea hkrai udi glavne osi dobi izraz (9) obliko: Wr = J * ω + J * ω + J * ω y z 3. (3) Če pa se renuna os vrenja vedno ujea z eno ized glavnih osi, n.pr. z J *, je Wr = J * ω. (3) Nazorna ilusracija zadnjega priera je koaljenje hoogenega valja s polero R in aso po klancu navzdol brez podrsavanja. Če se valj koali brez podrsavanja sa hiros ežišča valja v T in kona hiros vrenja valja povezana z enačbo vt = Rω. (3) Trenuna os vrenja valja pri koaljenju brez podrsavanja se ujea z geoerijsko osjo valja, ki je hkrai udi ena ized glavnih osi. Vzrajnosni oen hoogenega valja okrog e osi je J= R, orej velja: 64
v 3 W v J v R v R 4 T k = T + ω = T + = T, (33) kjer so upoševali veljavnos enačbe (3). Če se valj po klancu ne bi koalil, apak bi sao drsel s hirosjo v T, bi bila usrezna kineična energija valja sao v T. Zgled: popolnoa prožen cenralni rk dveh vozičkov na zračni blazini Prožen rk dveh eles definirao ko rk pri kaere se ohranja skupna kineična energija. Ker * je rk cenralen, ne upoševao roacijske kineične energije vozičkov J ω (enačba (7)). Predposavio pa udi, da se pri rku graviacijska poencialna energija ne spreeni ( W p = ) in pa, da je delo vseh zunanjih sil enako nič (gleje še enačbo (5)). Velja orej ohraniev skupne kineične energije: ' ' v + v = v + v, (34) kjer sa in asi vozičkov, vozičkov po rku. ' v in ' v hirosi vozičkov pred rko er v in v hirosi pred rko: v ' v ' po rku: v v Ob predposavki, da je skupni sunek sil na oba vozička nič, se ohranja udi skupna gibalna količina obeh vozičkov: v + v = v + v. (35) ' ' 65
Iz enačb (34) in (35) lahko pri poznavanju,, vozičkov v in rko iruje, o je za ' v in v. Rešio enačbi (34) in (35) za poseben prier, ko drugi voziček pred ' v =. Tako preidea enačbi (34) in (35) v: ' v izračunao končni hirosi v= v+ v, (36) ' ' v = v + v, (37) od koder sledi: ' v = v+ v ' v = v + v (38) (39) Rešivi enačb (39) in (38) sa: v ' v =, (4) + ' v v = +. (4) Za poseben prier, ko sa asi obeh vozičkov enaki, sledi iz enačb (4) in (4): v =. ' v = v. 66
5. Haronično nedušeno nihanje Splošno: Poencialna energija ( D): Pogoj za iniu poencialne energije: dw d p = =, d W d = r r p > Izhodišče koordinanega sisea preakneo v iniu poencialne energije: W p parabola, ki se najbolje prilega krivulji v okolici iniua W p Za << razvijeo W p v Taylorjevo vrso: dw d W d W Wp = Wp( = ) + + +..., d d d p p p r = r = r = kjer so upoševali dw Wp = = in p = d = r (gleje sliko). Torej: W p k, () kjer je: 67
d W k = d p r = >. () dwp Sila F = = k. (3) d Zapišio II. Newonov zakon za gibanje ase : a = k, (4) d Pospešek a =, orej: d d = k, od koder sledi: d d d = k. (5) Rešiev diferencialne enačbe (5) iščeo z nasavko: π = sin + δ. (6) Iz enačbe (6) sledi: d π π v = = cos + δ d (7) kjer je: v π (8) apliuda hirosi. Velja udi: dv d π sin d d π a= = = + δ. (9) Enačbi (6) in (9) vsavio v diferencialno enačbo (5) in dobio: π k sin π π δ sin + = + δ, () 68
od koder sledi: π k = oziroa, () = π. () k π Vidio orej, da nasavek = sin + δ reši diferencialno enačbo (5), kjer je nihajni čas določen z enačbo (), δ pa je fazni zaik. Gibanje, določeno z enačbo (6), ienujeo haronično ali sinusno nedušeno nihanje. π = sin + δ δ Na zgornji sliki vidio, da velja zveza ω = π ω = lasna krožna frekvenca Lasna frekvenca ν = ω = π ν π ω = 69
7 Energija haroničnega nihanja o Kineična energija ase (gleje še enačbo (7)):. cos + = = δ π π v W k (3) o Poencialna energija (gleje enačbi () in (6)):. sin + = = δ π k k W p (4) o Celona energija:. sin cos + + + = + = δ π δ π π k W W W p k (5) Ob upoševanju enačbe () preide enačba (5) v:. sin cos k k W = + + + = δ π δ π (6) Ob upoševanju enačbe (8) in () velja:. v k v k = = π (7) Torej:. v k W = = (8)
Prieri nihal, ki nihajo sinusno. Nihalo na vijačno vze A: HORIZONTALNO gibanje ase k k konsana vzei Newonov zakon za gibanje ase : d d = k, (9) kjer je k sila vzei. Rešiev enačbe (9) že poznao (gleje enačbe (5) ()): π = sin + δ, () kjer je = π nihajni čas. () k B: VERTIKALNO gibanje ase celoen razezek vzei r ravnovesni razezek odsopanje od ravnovesnega razezka 7
Velja: = r +. () V ravnovesju napišeo pogoj za saično ravnovesje ase v obliki: k r = g. (3) Newonov zakon za gibanje ase pa ko: a = g k, (4) kjer je d pospešek ase. Torej: d d = g k ( r + ), (5) d kjer so upoševali enačbo (). Ob upoševanju enačbe (3) iz enačbe (5) sledi: d d = k. (6) Rešiev enačbe (6) pa že poznao od prej.. Nihalo na polžaso vze (sučno sinusno nihanje) Navor polžase vzei: M = Dϕ (7) kjer jeϕ zasuk vzei in D konsana vzei. 7
Zapišeo enačbo za vrenje ogega elesa okrog fiksne osi: d ϕ M = J, (8) d J vzrajnosni oen nihala, d ϕ α = koni pospešek, (9) d dϕ ω = kona hiros. (3) d Vsavio enačbo (7) v enačbo (8) in dobio: d ϕ J = Dϕ, (3) d oziroa: d ϕ D = ϕ. (3) d J Rešiev diferencialne enačbe (3) iščeo z nasavko: π ϕ = ϕ sin + δ. (33) dφ π π Kona hiros ω = = φ cos + δ, d kjer je (34) π ω = ϕ, (35) apliuda kone hirosi. Koni pospešek d ϕ π π α = = ϕ sin, + d δ (36) oziroa 73
d ϕ π = d ϕ. (37) Vidio, da nasavek (33) reši enačbo (3). Iz prierjave enačb (37) in (3) sledi: π = D J, (38) oziroa J = π. (39) D 3. Maeaično nihalo Zaporedne foografije odklona nike (odela) aeaičnega nihala (foo: U. Anzeljc). Obravnavao nihanje očkase ase, ki visi na zelo lahki niki dolžine l. l ϕ ϕ = odik g Navor sile eže g je: 74
M = gl sinϕ (4) Ob predposavki, da so odiki ajhni (ϕ << ) velja sin ϕ ϕ, orej M glϕ (4) Opis vrenja ogega elesa okrog fiksne osi: M d ϕ d = J, (4) kjer je J = l vzrajnosni oen očkase ase. Če vsavio enačbo (4) v enačbo (4) dobio: d ϕ d glϕ = l, oziroa: d ϕ g = ϕ d l. (43) Rešiev diferencialne enačbe (43) iščeo z nasavko: π ϕ = ϕ sin + δ. (44) Če enačbo (44) dvakra odvajao dobio: d ϕ π π sin + d = ϕ δ oziroa, (45) d φ π = φ d. (46) Vidio orej da nasavek (44) reši enačbo (43). Iz prierjave enačb (43) in (46) dobio: π g =, l od koder sledi izraz za nihajni čas: 75
l = π (47) g 4. Fizično nihalo r T ϕ os vrenja T ežišče r ročica rezulane sile eže T T g Navor rezulane sile eže g je: M = gr T sinϕ. (48) Ob predposavki ( sin ϕ ϕ) za (ϕ << ) velja: M gr T ϕ (49) Opis vrenja ogega elesa okrog fiksne osi: M d ϕ d = J (5) kjer je J vzrajnosni oen ogega elesa okrog izbrane osi. Če vsavio enačbo (49) v enačbo (5) dobio: d ϕ g r T ϕ = J, (5) d Enačbo (5) zapišeo v obliki: d ϕ d = g r J T ϕ. (5) Rešiev enačbe (5) iščeo z nasavko: 76
77 + = δ π ϕ ϕ sin. (53) Enačbo (53) dvakra odvajao po času in dobio:, sin d d + = δ π π ϕ ϕ (54) oziroa ϕ π ϕ d d =. (55) Iz prierjave ed enačbaa (5) in (55) sledi:, J g r T = π (56) oziroa: g r T J π =. (57) V posebne prieru r T J = in l r T = preide enačba (57) v enačbo (47): g l π =, ki velja za aeaično nihalo.
6. Dušeno nihanje Obravnavao prier nihala na vijačno vze. asa k konsana vzei V dosedanji obravnavi nihala na vijačno vze so predposavili, da je sila vzei k edina sila. Zanearili pa so silo renja, ki je sorazerna asi elesa. Pa udi silo upora, ki je pri ajhnih hirosih sorazerna hirosi v. V nadaljevanju zao poleg sile vzei upoševao udi silo dušenja Fd, ki jo zapišeo v približne zapisu ko: F = β v, (58) d kjer je asa in β koeficien dušenja. Zapišio II. Newonov zakon za gibanje ežišča ase : = k β, (59) kjer so definirali: d d,. (6) d d Enačbo (59) na obeh sraneh enačaja delio z aso in dobio: + β + ω =, (6) kjer je π k ω = =, (6) lasna krožna frekvenca nedušenega nihanja, pa lasni nihajni čas nedušenega nihanja (gleje enačbo ()). Rešiev enačbe (6) iščeo z nasavko: ye β = (63) kjer je y( ) neznana funkcija časa. Funkcijo (63) dvakra odvajao: 78
= β, (63a) β β ye ye β β β, (63b) = ye βye + β ye in dobljena izraza za in vsavio v diferencialno enačbo (6). Tako dobio: ( ω β ) + =. (64) β e y y Ker e β ( ω β ) v splošne ni enak nič, ora bii y+ =. (65) y Rešiev enačbe (65) je sinusno nihanje: ( ω δ) y= cos +, (66) kjer je: ω = ω β (67) lasna krožna frekvenca dušenega nihanja. Na osnovi enačb (63) in (66) zapišeo rešiev enačbe (6) v obliki: β ( ω δ) = e cos + e β δ = π (68) Funkcija (68) reši enačbo (6) le v prieru, ko je β< ω (gleje enačbo (67)). Če je β > ω se enačba (65) lahko zapiše v obliki: ( β ω ) y = y, (69) kjer je β ω >. Zao je v e prieru rešiev enačbe (69) eksponenna funkcija, pa udi celona rešiev (gleje še enačbo (63)) je eksponenna funkcija: = e α, α >. (7) 79
7. Vsiljeno nihanje asa k konsana vzei F apliuda vsiljene sile ω vsiljena krožna frekvenca Sila, ki vsiljuje nihanje: sin Enačba gibanja: = k β + F sinω, oziroa F = F ω (7) F + β + ω = sinω, (7) kjer je ω = k (73) lasna krožna frekvenca nedušenega nihanja in β koeficien dušenja. Če je ω << ω :,, orej: F ω sinω, oziroa: F = sinω. (74) ω Splošno rešiev diferencialne enačbe (7) iščeo z nasavko: = +, (75) h p kjer je p parikularna rešiev nehoogene diferencialne enačbe, h hoogene diferencialne enačbe + β + ω = (gleje enačbo (68)): pa je rešiev = e sin ω, h β ω = ω β. Lasno nihanje z lasno krožno frekvenco. h ' ω se po zadosi velike času zaduši, ker 8
Parikularno rešiev nehoogene diferencialne enačbe (7) iščeo z nasavko: ( ω δ) sin p = +, (76) kjer je ω krožna frekvenca vsiljene sile. V nadaljevanju iščeo in δ. Izraz (76) predelao v: = sin ω+ δ = sinωcosδ + cosωsinδ, oziroa (77) p sinω = A + A cosω, (78) p kjer so vpeljali nove oznake: cosδ = A er sin δ = A, (79) Odvode: = A ω cosω Aω sin ω, p = A ω sinω Aω cos ω, p vsavio v diferencialno enačbo (7): A ω sinω Aω cosω+ β Aωcosω β A ωsinω+ F + ω Asinω+ ω Acos ω= sinω Enačba (8) ora veljai posebej za člene s sin ( ω ) in posebej za člene z cos ω : (8) F Aω β Aω+ ω A=, A ω + β A ω+ ω A =, oziroa: F ω ω A βωa=, (8) ω ω A + βωa =. (8) ( ) Iz enačbe (8) ob upoševanju enačbe (79) sledi: A A sinδ βω g δ, orej: (83) = = = cosδ ω ω 8
βω g δ =. ω ω Enačbi (8) in (8) kvadrirao er sešejeo: ( ω ω ) ( A A ) 4 β ω ( A A ) F + + + =. (84) Velja pa udi (gleje enačbo (79): A + A = cos δ + sin δ =. (85) Iz enačb (84) in (85) sledi: F ω ω + 4 βω =, od od pa: = F + 4 ω ω βω (86) Odvisnos apliude od vsiljene krožne frekvence ω: ( F ω ) β ω = ( F ) + 4 ω ω βω 4 3 β. ω = β.5 ω = β ω =.5.5 ω ω 8
Torej: β splošna rešiev enačbe (7) je: = e sin ( ω ) + sin ( ω+ δ) ( sin ) za zadosi velike čase niha nihalo sinusno ( ω δ ) h = se zaduši ( ω = ω β ) β lasno nihanje e sin ( ω ) F ω << ω : ω d : = je pri dω ω ω za β : ωa ω in ω ω >> : ω = ω = ω β a Odvisnos faznega zaika δ od vsiljene krožne frekvence ω: = + s frekvenco vsiljene sile δ π 3π 4 π π 4 β ω = β β. ω =.5 ω = β ω = βω g δ = ω ω.5.5 ω ω Torej: ω<< ω : δ F π ω ω: δ ( ) ω>> ω : δ π ω 83
Moč vsiljene sile sinω ωcos( ω δ) P = F v = F +. (87). Upoševali so: = sin ( ω+ δ) v= = ωcos ( ω+ δ) Ker cos( ω+ δ) = cos( ω) cosδ sin ( ω) sinδ : P = Fω ( ω) ( ω) δ ( ω) δ sin cos cos sin sin P= P d je: Povprečna oč cosδ P= Fω sin ( ω) d sinδ sin ( ω) d, orej: = = P F = ω δ. (88) sin V enačbo (88) vsavio: βω kjer je g δ =, ω ω in dobio: = ( F ) + 4 ω ω βω in sinδ = g δ, + g δ F F βω ω ω ω P = ( ω ω) + 4 βω 4βω + orej: ( ω ω ), P = F βω + 4 ω ω βω. (89) 84
dp Maksialna vrednos P je pri ωm ω dω = =. Sklep: za vse β je P največja pri ω P ωm = ω β. ω = β.5 ω = β ω =.5.5 ω ω 85
8. Sklopljeno nihanje I. odel: dve enaki fizični nihali sa sklopljeni z vzejo s konsano k b k ϕ ϕ bsin ϕ b k bsinϕ g g g g Enačbi gibanja (vrenje ogega elesa okoli fiksne osi): M = Jϕ, α= ϕ, zapišeo v obliki: J ϕ = g sinϕ + k b cos ϕ, (9a) J ϕ = g sinϕ k b cos ϕ, (9b) kjer so upoševali sin ( 9 ϕ) Ob upoševanju: 3 5 ϕ ϕ sin ϕ = ϕ +..., 3! 5! 4 ϕ ϕ cosϕ = +..., 3! 5! er ϕ << in ϕ << velja: (gleje še sliko): ± = cosϕ in = b sinϕ b sinϕ. sin ϕ ϕ, sin ϕ ϕ, cosϕ, cosϕ, in bsinϕ bsinϕ b( ϕ ϕ ) =. Enačbi (9a) in (9b) ako zapišeo v obliki: J ϕ g ϕ + k b ϕ ϕ, (9a) J ϕ g ϕ k b ϕ ϕ. (9a) 86
Definirao: ω = g J (lasna frekvenca fizičnega nihala) in kb D =. J Ob upoševanju gornjih definicij za ω in D prepišeo enačbi (9a) in (9a) v obliko: ϕ = ω ϕ + D ϕ ϕ, (9) ϕ = ω ϕ D ϕ ϕ. (9) Sešejeo enačbi (9) in (9): d d ( ϕ ϕ) ω ( ϕ ϕ) + = +. (93) Odšejeo enačbi (9) in (9): d d ( ϕ ϕ) ( ω D) ( ϕ ϕ) = +. (94) Rešivi enačb (93), (94) sa: ϕ + ϕ = ϕ cos ω, (93') ϕ ϕ = ϕ cosω, (94') kjer sa ω= ω in ω= ω + D dve lasni krožni frekvenci. Pri zapisu rešiev (93') in (94') so upoševali začena pogoja: ϕ =, ϕ ϕ = ob =, (95) oziroa (ob času = ): ϕ + ϕ = ϕ, ϕ ϕ = ϕ. (96) Torej: ϕ ϕ = ( cosω+ cos ω), (97') ϕ ϕ= ( cosω cosω). (98') Upoševao: 87
α β α+ β cosα+ cos β = cos cos, α β α+ β cosα cos β = sin sin. Dobio: ω ω ω + ω ϕ = ϕcos cos, (97) ω ω ω + ω ϕ = ϕ sin sin Definirao apliudo:. (98) ϕ ω ω ω + ω = ϕcos cos, apliuda ϕ ω ω ω + ω = ϕsin sin. Zaključek: apliuda ω+ ω nihali nihaa s frekvenco ω ω apliuda se spreinja s frekvenco ω = ω ω = + (99) ω D 88
Uripanje: u čas uripanja: ω ω u = π π u = ω ω Šibka sklopiev (D << ω ): D D D D ω= ( ω + D) = ω+ ω + ω = +, kjer ω ω ω ω <<. Uporabili so razvoj: + = + +... ; če << : + +. 8 ω+ ω D Torej: ω +. ω Nihali nihaa s frekvenco, ki je le alo večja od lasne frekvence ω. ω ω D Izračunajo še. ω 89
II. odel: nihanje dveh sklopljenih nihal na vijačno vze k k' k Zapišeo II. Newonov zakon za asi : = k k', () = k k'. () Sešejeo enačbi () in (): ( + ) = ( + ) k (). Odšejeo enačbi () in (): ( ) = ( ) '( ) = ( + ')( ) k k k k. (3) Izbereo začena pogoja: = in = (ob času = ) Ob času = ako velja: + =, (4) = (5). Ob upoševanju enačb (4) in (5) napišeo rešivi enačb () in (3) v obliki: + = cos ω, = cos ω, k k+ k' kjer sa lasni krožni frekvenci: ω = in ω =. Iz enačb (6) in (7) sledi: (6) (7) ω ω ω + ω = cosω+ cosω = cos cos, (8) 9
ω ω ω + ω = cosω cosω = sin sin. (9) Upoševali so: α β α+ β cosα+ cos β = cos cos, α β α+ β cosα cos β = sin sin. Dobili so uripanje: cos ω ω cos ω + ω =, () sin ω ω sin ω + ω =, () kjer sa dve lasni krožni frekvenci: k ω= ω=, () ω ' = ω + k k Šibka sklopiev: k' << k Če uporabio. (3) + + za << iz enačb () in (3) sledi: ω+ ω k ' ω + k, (4) ω k ' ω. (5) ω k 9
Sesavljanje dveh pravokonih nihanj ( ω ) sin ( ω δ) = sin y= y (9) y ω = ω : δ = π δ = 4 π δ = 3π δ = δ = π 4 ω ω = : π δ = δ = 4 ω ω = 3 : δ = π δ = 4 9
9. Deforacija rdnih snovi Mrežne očke (vozlišča) v krisalni reži rdne snovi definirajo sao povprečno lego posaeznih aoov, ki sesavljajo krisal rdne snovi. Tako ko v plinu, udi v krisalu aoi ne irujejo, apak se erično gibljejo okrog svoje ravnovesne lege. Apliude odika so večje pri večji absoluni eperauri T. Sila ed sosednjia aooa rdne snovi v krisalni reži je odvisna od razdalje ed njia. Spodnja slika sheasko prikazuje poencialno energijo ed dvea aooa in usrezno silo Wp Fa =. Celona sila je sesavljena iz privlačnega in odbojnega dela. Privlačna sila ed r aooa je lahko na prier Coulobska privlačna sila ed poziivni in negaivni aoo, ako ko je o v krisalu NaCl. Odbojna sila pa je posledica Pauli-jevega izključivenega načela. Ko se dva aoa približaa, gredo elekroni z enakii kvannii ševili na višje energijske nivoje. Posledično se ed približevanje dveh aoov njuna energija veča, sila pa posane odbojna (gleje sliko ). W p r r r odbojna sila r privlačna sila slika 93
Pri ajhnih odikih od ravnovesne lege ( r r ora bii zadosi ajhen) lahko poencialno energijo ed aooa v krisalni reži v okolici ravnovesne razdalje r aproksiirao s parabolo (gleje še sr. 67) : W p = k r r C, () kjer je r razdalja ed dvea sosednjia aooa v krisalni reži (gleje sliko ). Usrezna sila ed aooa v bližini ravnovesne razdalje je poe: W = = r p Fa k r r () Vidio, da je v okolici ravnovesne razdalje ed sosednjii aoi sila ed sosednjia aooa linearno odvisna od razdalje ed njia, zao lahko aoske sile ed sosednjii aoi krisalne reže rdne snovi ponazorio z vijačnii vzei, ki povezujejo aoe ed seboj (slika). slika Poencialno energijo ed dvea sosednjia aooa v krisalni reži pa vzporedio s prožnosno energijo vzei. Model vijačnih vzei ed aoi krisala pojasni udi Hook-ov zakon. Ko nareč na akroskopsko elo deluje zunanja sila, se elo deforira, ravnovesna (poprečna) razdalja ed sosednjii aoi v krisalni reži (r) pa se zao spreeni na vrednos r. V nove ravnovesju se zao sile ed aoi krisala spreenijo. Linearna spreeba sile ed aoi (enačba ()) a F = k r r () na ikroskopske nivoju se odraža udi na akroskopske nivoju v linearni zvezi ed naezno (kopresijsko) silo F in podaljško (skrčko) elesa : F σ = = E, (3) S 94
F kjer je ε = relaivni podaljšek (skrček), σ = naezna ali kopresijska napeos in S S površina preseka na kaerega v pravokoni seri deluje sila F. Sorazernosni koeficien E (Youngov odul) je sorazeren ikroskopski konsani k v enačbi (). Enačbo (3) po Newonove sodobniku Roberu Hooku ienujeo Hookov zakon. F S F slika 3 Obočje veljavnosi Hookovega zakona F S obočje prožnosi obočje plasičnosi obočje sorazernosi (Hookov zakon) eja prožnosi eja naezne rdnosi eja sorazernosi slika 4 V nadaljevanju, poleg zgoraj opisane naezne (kopresijske) vzdolžne deforacije, našejeo še nekaere druge karakerisične deforacije za kaere velja linearna zveza ed napeosjo in deforacijo. 95
Srižna deforacija ϑ S F F slika 5a V prieru srižne deforacije deluje sila F na zgornjo in spodnjo ploskev vzdolž ploskve, o je v seri pravokono na noralo ploskve: F τ = = G ϑ, (4) S kjer je τ srižna napeos, G srižni odul, poen deforacijskega koa ϑ in površine S pa je razviden iz zgornje slike. Vsesransko siskanje (razpenjanje) F F F F S S S F F slika 5b V F = χ, (5) V S F V kjer je p = spreeba laka, ki deluje na površino elesa, relaivna spreeba S V voluna in χ sisljivos. Obrano vrednos sisljivosi ienujeo sisljivosni odul. χ 96
Torzija r rϕ= aϑ ϑ= ϕ a r ϕ dr ds = π rdr r df ϑ a R slika 6 Torzija je poseben prier srižne deforacije (gleje sliko): df ds = G ϑ, (6) r kjer je ds= π rdr, ϑ= ϕ in G srižni odul, od koder sledi: a df r = Gϕ, (7) π rdr a oziroa: d πgϕ = a F r dr. (8) Izračunajo navor dm s kaeri deluje sila df na cevasi izrez palice s polero r: πg ϕ M = r F= r r a 3 d d d (9) Celoen navor je poe: R 3 M dm r dr a πgϕ πgϕ R = = = a 4 4. () Vidio orej, da je navor, ki je poreben za orzijski zasuk palice za ko ϕ, sorazeren kou zasuka: M = Dϕ, () 97
kjer je 4 π GR D =. () a Vrednosi elasičnih konsan za nekaere rdne snovi in kapljevine * : SNOV N N E(Young-ov odul) G (srižni odul) χ N aluinij 7.5 7 jeklo 8.4 6 voda - -. seklo 7 3 5 živo srebro - -.8 * kapljevine se razlikujejo od rdne snovi po e, da ne prenašajo srižnih napeosi Upogib nosilca Poznavanje deforacij in napeosi pri upogibu nosilcev je zelo poebno pri konsrukciji srojev in zgradb. Ravni nosilci (preklade) na vhodih, vraih in oknih so izposavljeni veliki upogibni napeosi, zao so že v aničnih časih preklado nadoesili z loko (oboko): preklada v Mikenah (sara Grčija) saro riski lok goski lok udorski lok slika 7 Pri čise upogibu nosilca obsaja ako ienovana nevralna ravnina, ki pri upogibni deforaciji ohrani svojo površino. Nad nevralno ravnino se nosilec razeguje, pod nevralno ravnino pa je izposavljen siskanju. Pojav lahko opazujeo udi pri upognjeni leskovi palici, kjer se na noranji srani loka lubje naguba, na zunanji srani pa napne. slika 8: Upogib palice. 98
Ko prier v nadaljevanju analizirao napeosi in deforacije v zelo lahke nosilcu s krožni preseko s polero a, ki je na leve koncu vpe v seno, na desne koncu nosilca pa je z lahko žico prirjena sveilka z aso (slika 9). slika 9 Izhodišče koordinanega sisea posavio v središče. Sila eže sveilke F s = g upogiba nosilec. Vpliv lasne eže nosilca na njegov upogib zaneario. Zaradi sile F s se nosilec upogne v ravnini, y izbranega koordinanega sisea. Slika Zao se različni deli nosilca vzdolž osi y različno razegujejo. Znoraj nosilca obsaja na os y pravokona plas, ki se ne razegne ali skrči. Ko so že oenili jo ienujeo nevralna plas (ravnina). Vzdolž e ravnine (plasi) erio od koordinae odvisno ukrivljenos (gleje sliko ): C =, (3) R kjer je R krivinski radij nevralne ravnine na esu. Nad nevralno plasjo se eleeni vzdolžne plasi zaradi navora sile F s razegnejo (ali skrčijo), pod o plasjo pa se skrčijo (ali razegnejo), odvisno pač od predznaka ukrivljenosi C( ) (gleje še sliko ): 99
( R ) ϑ R dϑ ds ds + d d dϑ r ε = =, (4) ds R R r orej: ε = d = C d, (5) kjer je d razdalja obravnavanega eleena nosilca od nevralne ravnine, ds r in ds dolžini ega eleena pred oziroa po upogibu nosilca, poen koovϑ in dϑ pa je razviden iz slike. Vrednos d na sliki je poziivna, če se ravnina nahaja pod nevralno ravnino in negaivna, če se obravnavana ravnina nahaja nad nevralno ravnino. Pri upogibu nosilca pod vplivo sile F so od nič različne udi nekaere srižne deforacije, ki pa jih boo v ej fazi napeosne analize nosilca zanearili. V nadaljnji analizi napeosi v nosilcu boo predposavili, da Hookov zakon v obliki enačbe (3) velja udi za posaezne zelo anke eleene vzdolžnih plasi v nosilcu na izbrani razdalji d od referenčne plasi. Torej, če vsavio ε iz enačbe (5) v Hookov zakon σ = E ε dobio: σ = Eε = EC d, (6) kjer je d poziiven za plasi, ki se pri upogibu razegnejo in negaiven za plasi, ki se pri upogibu skrčijo. ϑ R dϑ R R > poziivna ukrivljenos d < d > ϑ d ds d sr d dδ nevralna ravnina dsr = R dϑ dδ gϑ = d ( ds ) = ( d) + ( dδ ) r R R < negaivna ukrivljenos slika : Zaradi upogiba nosilca se eleen nosilca z dolžino ds r na razdalji d od nevralne ravnine razegne na dolžino ds. Sibol R označuje krivinski radij nevralne ravnine v izbrani očki, δ pa je verikalni odik izbrane očke v nevralni ravnini od sanja v kaere nosilec ni upognjen.
V ravnovesju se orajo sile zaradi noranjih napeosi uravnovesii z zunanjii silai v vsake delu nosilca. Ker v seri -osi na nosilec ne deluje nobena sila, ora bii vsoa vseh sil zaradi noranjih napeosi po prerezu nosilca enaka nič: σ d S =, (7) kjer je ds infiniezialni eleen površine preseka nosilca v ravnini y, z (gleje sliko ): a dy z z y ds zdy z = a y = slika Če vsavio izraz za σ iz enačbe (6) v enačbo (7) dobio: d EC d S =, (8) s kjer inegrirao po površini preseka nosilca v ravnini yz., Iz enačbe (8) pri izbrani vrednosi -a sledi: dds =. (9) S Ob upoševanju definicije d-ja in definicije predznaka krivinskega radija R (gleje sliko ), ako iz enačbe (9) sledi: d = y, () saj zaradi sierije velja (gleje sliki in ) yds =, () S pri čeer se nevralna ravnina ujea z,z ravnino (gleje sliko ), orej poeka po sredini nosilca, kjer je y =.
Elasične sile v prečne prerezu nosilca s površino S povzročajo navor, ki ia od nič različno koponeno sao v seri z-osi. Navor elasičnih sil nareč nasprouje zakrivljanju nosilca zaradi navora sile F S, ki ia udi sao z-koponeno različno od nič. Navor elasičnih sil M skuša nosilec izravnai, zao ga ienujejo udi upogibni navor elasičnih sil. S poočjo enačb (6) in () dobio: ds () σ d M = y S = y EC y = EC I S S kjer so upoševali enačbo (), C = kons. pri izbrane -u er I y ds S = (3) definirali ko upogibni vzrajnosni oen prereza nosilca s konsani preseko. Ker se ukrivljenos nosilca vzdolž osi spreinja, je udi elasični upogibni navor funkcija koordinae. Prečni presek nosilca ia obliko kroga z radije a, kaerega središče pravokono prebada -os izbranega koordinanega sisea (gleje še sliki in ). Torej: + a + a a I= y S = y z y= y a y y= π 4 4 d d d. (4) S a a Če iz enačbe () izraženo ukrivljenos M C =, (5) EI vsavio v enačbo (6), er upoševao idenieo () dobio: M σ = y. (6) I Poiščio še eksplicini izraz za ukrivljenos C( ). S slike je razvidno, da je ds = R dϑ, (7') r od koder sledi: dϑ C = =. (7) R s d r Ker je d δ = gϑ in ( ds ) r = d + dδ, iz enačbe (7) sledi d
d δ C = d. (8) 3 dδ + d Dokaz relacije (8) (gleje še sliko ): ( δ ) dδ dsr = d + d = d + d dδ dδ = = d d d gϑ d( g δ) (9a) V izraz d δ dϑ = d cos ϑ d d δ d dϑ = cos ϑ d d δ d δ d d d d dϑ = = + g ϑ dδ + d (9b) dϑ C = s d r vsavio enačbi (9a) in (9b) in dobio enačbo (8): d δ dϑ d C = = d sr dδ + d 3 (8) Ker je ukrivljenos nosilca zaradi navora sile F s pri vseh zelo ajhna približno velja d δ C = (9) d Če kobinirao enačbi (5) in (9) dobio: 3
d δ M =. (3) d EI Iz enačbe (3) izražen M z vsavio v enačbo (6). Tako dobio: d δ σ = Ey. (3) d Ker je elasični upogibni navor M funkcija koordinae, se v prerezu nosilca poleg naezne sile pojavi udi rezulanna srižna sila V, saj ora bii v ravnovesju vsoa navorov, ki delujejo na izbran eleen nosilca dolžine d, enak nič: M M + d + V d=, (3') d M M M + d+ V d=, (3) d dm M + = M + d. d kjer so upoševali ( d ) ( d ) V = V + = V = kons. slika 3 Tudi vsoa vseh sil v seri y osi ora bii enaka nič, orej V = kons. (33) Iz enačbe (3) dobio zvezo ed V in M, dm V = (34) d S poočjo enačb (3), (33) in (34) pa dobio 3 d δ V= EI (35) 3 d in 4 d EI δ =, (36) 4 d 4
kjer so upoševali d V d =, ker je V konsana. Diferencialno enačbo (36) rešujeo za prier predsavljen na slikah 9 in. Enačbo (36) širikra inegrirao na obeh sraneh enačaja: EI δ = α + α + α + α, (37) 3 3 4 kjer so α, α, α3 in α4 konsane, ki jih določio iz robnih pogojev. Iz robnih pogojev pri = : δ ( = ) =, dδ ( = ) =, d (38) sledi: α = = (39) 3 α4 Iz robnega pogoja pri =, V = + F s =, (4) sledi: F α s =. (4) 6 d δ Levi prirjeni del nosilca prek prereza deluje na desni del z navoro M= EI (gleje enačbo (3)) in ga skuša zavrei navzgor. Sila navoro ( ) Fs : F s d pa ga želi zavrei navzdol z + ( ) = M F s. (4) V enačbo (4) vsavio M slika 4 d δ = EI (gleje enačbo (3)) in dobio: d 5
d δ EI + ( ) F s = (43) d Vsavio δ iz enačbe (37) v enačbo (43): 6α α+ F s =, (44) F za α vsavio izraz α s = (enačba (4)) in dobio: 6 α + =, F s oziroa: α = F s (45) Sedaj ko poznao konsane α, α, α3 in α4 lahko zapišeo celono rešiev (enačba (37): δ Fs + F 6 = EI 3 s Od od lahko izračunao s poočjo enačbe (3): s. (46) M = F (47) in s poočjo enačbe (3): σ Fy s = I ( ), (48) kjer je 4 π a I =. 4 Slika 5: Naezne in kopresijske napeosi v pee nosilcu. 6