1. Sisteme de ecuaţii liniare

Sistee de ecuţii liie Sistee de ecuţii liie Reiti că u siste de ecuţii lgebice liie cu ecuoscute este de fo: K b K b K b Dcă otă cu tice coeficieţilo cu vectoul coloă fot cu ecuoscutele sisteului şi cu b colo teeilo libei sisteul se scie sub foă ticelă : b ude: K b L b b K b etodele ueice de ezolve sisteelo lgebice de ecuţii liie sut de două tipui: etode diecte şi etode idiecte su itetive etodele diecte costu î tsfoe sisteului ît u siste tiughiul echivlet ce se ezolvă uşo Cele i cuoscute etode diecte sut: etod Guss etod Cholesky utiliztă petu sisteele î ce tice este sietică şi pozitiv defiită şi etod Householde etodele diecte peit deteie soluţiei ecte sisteului î czul idel câd u ve eoi de otujie Nuăul opeţiilo itetice efectute este de odiul Petu sistee cu u uă de ecuţii i e de etodele diecte devi iutilizbile dtoită cuulăii eoilo de otujie ce lteeză soluţi etodele idiecte su itetive costu î costucţi uui şi { k } de vectoi diesioli ce covege l soluţi ectă sisteului Se lege c

Bzele lizei Nueice soluţie poitivă sisteului u tee s l şiului l căui odi depide de pecizi ipusă O iteţie pesupue efectue uui uă de opeţii itetice de odiul etodele itetive sut utilizte l ezolve sisteelo i de ecuţii Cele i cuoscute etode itetive sut: Jcobi Guss Seidel etodele de ele etod Guss Fctoize LU Fie şi e eleetul di e se flă pe lii O tice de fo I e T ude e T se ueşte tice Fobeius O stfel de tice e uătoe stuctuă: L L L L L O L De eeplu dcă şi ve:

Sistee de ecuţii liie 5 Popoziţi Oice tice Fobeius este ivesbilă şi ives s este: I e T Deostţie I e T I e T I e T T e e T e T T Deoece e ezultă: I e T I şi deci I e T Teoe Fie o tice păttă de odiul ce stisfce codiţi: K * det petu oice K tuci eistă o tice ifeio tiughiulă R stfel îcât tice U este supeio tiughiulă Deostţie Deoece pute coside tice Fobeius K K K Dcă otă şi tuci ve K K K ude otâd cu ij ij petu i j ve: j j petu i j j ; ij ij petu oice i j Obsevă că Dcă otă

Bzele lizei Nueice tuci ude ij ij petu i j şi K K K K i j U clcul siplu e tă că K K K K i j Î geel şi se pote coside tice Fobeius: L O L L L L L Dcă otă cu tuci i j i j

Sistee de ecuţii liie 7 K K K K K K K K K K ude petu j i j i i j j i j i j i j i Î fil se obţie tice supeio tiughiulă U K K K Notă cu şi deostţi teoeei este copletă Eeplu 5 5 5 5 9 5 8 8 5 9 9 8 5 U 9 7 Cosideă sisteul 5 5

8 Bzele lizei Nueice căui soluţie este Sub foă ticelă sisteul se scie: b ude b cest siste este echivlet cu uătoul siste: b Efectuâd clculele obţie 5 8 9 7 Nuăul opeţiilo petu deteie ticei U şi vectoului b Petu o liie fită i se clculeză i poi se fc îulţiile cu j j şi se duă ij j L fel şi cu b i Sut opeţii eleete petu fiece liie i i şi petu fiece opeţii Î totl vo fi etpă vo fi [ ] 7 [ ] opeţii eleete Dcă dăugă şi cele opeţii petu ezolve sisteului tiughiul ezultă că uăul de 7 opeţii petu ezolve sisteului b este L Î cotiue otă cu Di Popoziţi ezultă că L este de fo: K K O K L L K K Dcă otă cu LL L L tuci L este o tice ifeio tiughiulă de tipul uăto

Sistee de ecuţii liie 9 l L l l l K K K Deoece U ezultă că: LU şd oice tice păttică ce îdeplieşte codiţi * di Teoe dite o descopuee uică de fo ude L este ifeio tiughiulă vâd eleetele de pe digol piciplă egle cu şi U este supeio tiughiulă Descopuee este cuoscută sub uele de fctoize LU lgoitul petu fctoize LU { Deteie ticelo U şi L cu păste ticei } Petu i: eecută Petu j: eecută u ij : ij ; dcă ij tuci l i i : ltfel l i j : ; sfâşit petu j ; sfâşit petu i ; Petu : eecută Petu i: eecută Petu j: eecută uiuj uij : uij ; u sfâşit petu j ; u l i i : ; u sfâşit petu i ; sfâşit petu ; Petu i: eecută Petu j:i eecută u ij : ; sfâşit petu j ; sfâşit petu i lgoitul se flă pogt î TLB şi pote fi pelt cu secveţ: [ L U ] lu { se fişeză cele două tice } Î eeplul pecedet ve:

Bzele lizei Nueice L L 9 5 LU 9 5 5 8 5 5 9 Obsevţi Dcă pivotul este fote ic dică << tuci îpăţiile l cest pivot poduc eoi de otujie fote i ce lteeză soluţi Î cest cz se ecodă schibe pivotului Se pote lege u ou pivot π i { ij ; j } su π { ; k l } j kl cest pesupue schibe îte ele două liii şi evetul şi două coloe lgoitul Guss petu ezolve sisteelo de ecuţii liie Petu : eecută Petu i: eecută Petu j: eecută găseşte pivotul cofo cu β ; schibă lii i cu lii pivotului şi colo j cu colo pivotului dcă este czul ; sfâşit petu j sfâşit petu i Petu i: eecută ib b i i bi Petu j: eecută ij ij ij ; ; sfâşit petu j ; sfâşit petu i ; sfâşit petu ; b : ;

Sistee de ecuţii liie Petu i: eecută s: ; Petu j:i eecută s:s ij j ; sfâşit petu j ; bi s i : ; ii sfâşit petu i tice sietice pozitiv defiite Reiti că o tice sietică se ueşte pozitiv defiită dcă fo păttică socită este pozitiv defiită i pecis dcă este o tice sietică tuci se ueşte pozitiv defiită dcă ϕ T > T petu oice ude Di lgeb Liiă se ştie că o tice sietică este pozitiv defiită dcă şi ui dcă > petu oice ude K det K Î pctică ceste codiţii sut geu de veifict petu tice de diesiui i De cee î cotiue vo pezet uele codiţii ecese espectiv şi suficiete petu c o tice sietică să fie pozitiv defiită Popoziţi Dcă este o tice sietică pozitiv defiită tuci: ii > petu oice i b ii jj > ij petu oice i j Deostţie ϕ Ţiâd se că ij ji î cotiue ve T

Bzele lizei Nueice ϕ ij i j i j Î pticul petu e i e i ezultă că ii ϕe i > dică Petu u uă el oece λ ve ve ϕei ii Cu ϕ este pozitiv defiită şi ϕλe i e j ii λ ij λ jj > Petu c ieglitte să fie devătă petu oice λ R tebuie c şd deostt că ij < < ii jj ij ii jj petu oice i j dică b Obsevţi Codiţiile ce p î Popoziţi sut do ecese u şi suficiete Eeplu tice pozitiv defiită Ît devă Dcă stisfce codiţiile di Popoziţi d u este ϕ tuci ϕ9 < deci ϕ u este pozitiv defiită Defiiţi Spue că tice este te digol doită dcă eleetele sle stisfc ieglităţile: ii > ij j i d j i

Sistee de ecuţii liie Dcă ieglităţile d devi eglităţi petu uiţi idici d u petu toţi tice se ueşte slb digol doită Teoe Fie o tice sietică cu uătoele popietăţi: i este te digol doită ii ii > petu i tuci este pozitiv defiită Deostţie Di codiţi i ezultă că dcă tuci: ϕ iii ij i j > ij i ij i i j i j i j j i j i j i i j j i ij Deoece ij ji ve şi ieglitte: i > ϕ ij j j i i j j i duâd cele două ieglităţi ezultă ϕ > ij i j i j j i şd ϕ > petu oice deci ϕ este pozitiv defiită i j i j Defiiţi Fie {} O tice se ueşte eductibilă dcă eistă două subulţii S T cu popietăţile: i S Φ T Φ ii S TΦ iii S T iv ij petu oice i S şi j T tice se ueşte ieductibilă dcă oice fi subulţiile S şi T le lui cu popietăţile i iii eistă i S şi j T stfel îcât i j Cel i siplu eeplu de tice eductibilă este tice digolă Teoe Fie o tice sietică vâd uătoele popietăţi: i este slb digol doită ii este ieductibilă iii ii > petu oice i

Bzele lizei Nueice tuci este pozitiv defiită Deostţie Pocedâd c î deostţi Teoeei ezultă: ϕ ij i j i j j i Vo ăt că situţi ϕ petu u pote ve loc Ît devă ϕ se uleză î uătoele czui: ij petu oice i j tuci tice e fo digolă şi este eductibilă α petu oice i şi j i j ii ij i i j j i α α ϕ Cu eistă cel puţi u idice i stfel îcât ϕ > petu i j i ii j j i ij j j i i < ezultă ij petu oice peeche de idici ij petu ce i j şi ij dcă i j Fie { } şi { i j ; i } Dcă S tuci sute î czul Dcă S Φ tuci S j i j j ii petu oice i şi j şi evidet ϕ > petu şd pute pesupue că Φ S icluziue stictă Dcă otă cu T \ S tuci S şi T stisfc codiţiile i iv di Defiiţi deci este eductibilă Eeplu Fie tice este sietică slb digol doită ieductibilă şi e eleetele de pe digol piciplă stict pozitive Di Teoe ezultă că este pozitiv defiită

Sistee de ecuţii liie 5 Osevţi Teoe este utilă l stbilie fptului că uite tice ce p î ezolve ueică ecuţiilo cu deivte pţile de tip eliptic sut pozitiv defiite etod Cholesky Fie o tice sietică pozitiv defiită şi T ϕ ij i j i j fo păttică socită Deoece > ve: j ϕ ij i j j i j j i j ij i j ude ij ij i j i j Dcă otă cu ϕ ij i j i j tuci ϕ este l âdul său o foă păttică pozitiv defiită z Ît devă să pesupue pi bsud că eistă z stfel îcât z ϕ z z j z Fie z z j şi z j z Î cotiue ve j ϕ z z z j ϕ z ϕ z j cee ce cotzice fptul că ϕ este pozitiv defiită şd deostt că ϕ este pozitiv defiită Î pticul ezultă că > i depte pocedă cu ϕ ş cu pocedt cu ϕ şi obţie

Bzele lizei Nueice j ϕ j ϕ j ude ϕ ij i j i j este pozitiv defiită Î fil ϕ se epezită c o suă de pătte i pecis ϕ dite uătoe sciee: i i ij ϕ ii i j i i j i ii ude p p p p pi pj ij ij şi ij ij p p pp Itoduce otţiile: ii i ii i ij ij ii ij i i < j j < i p p ij ij pipj p i j p Cu ceste otţii ve ϕ ij j i j i Dcă otă cu R uătoe tice supeio tiughiulă K K R K tuci ϕ T R T R T R T R Pe de ltă pte ϕ T Se obţie stfel uătoe descopuee ticei R T R

Sistee de ecuţii liie 7 ude R este o tice supeio tiughiulă Descopuee potă uele de fctoize Cholesky ticei şi e loc petu tice sietice pozitiv defiite Nuăul de opeţii petu deteie ticei R Petu clcul eleetele liiei i ticei R sut ecese ii i opeţii eleete şi o etgee de ădăciă păttă Petu tote liiile sut ecese 5 [ ii i ] i opeţii eleete plus etgei de ădăciă păttă Eeplu Să se deteie descopuee Cholesky ticei 5 7 7 5 5 5 R 5 7 5 Se veifică iedit că R T R Rezolve sisteului b cu etod Cholesky î czul câd tice este sietică şi pozitiv defiită evie l ezolve două sistee tiughiule şi ue R T y b R y 5 lgoitul Cholesky petu ezolve sisteelo de ecuţii liie Petu p: eecută 5 5

8 Bzele lizei Nueice pp: pp ; Petu k:p eecută pk pk : ; pp sfâşit petu k ; Petu i:p eecută Petu j:i eecută ij : ij pi pj ; sfâşit petu j ; sfâşit petu i ; sfâşit petu p ; { Rezolve sisteului R T yb } b y ; Petu i: eecută s: ; Petu j:i eecută s:s ij y j ; sfâşit petu j ; bi s yi : ; ii sfâşit petu i ; { Rezolve sisteului Ry } y ; Petu i: eecută s: ; Petu j:i eecută s:s ij j ; sfâşit petu j ; yi s i : ; ii sfâşit petu i lgoitul se flă pogt şi î TLB şi se peleză cu secveţ: Rchol; R\R'\b { petu fişe soluţiei }

Sistee de ecuţii liie 9 etod Householde Fctoize QR O tice Householde este o tice de fo H I hh T ude h T h i h şi h h i h Se obsevă iedit că o tice Householde este sietică şi e uătoe stuctuă: O H hi hi hi K hi h hhi hhi K h i ult costtă că H este otogolă Ît devă H I hh T I hh T I hh T hh T hh T hh T Cu h T h ezultă H I şd ve H H H T U clcul siplu e tă că hh T h T h petu oice T Î cotiue e pue uătoe pobleă: dt fiid u vecto coloă se pote detei o tice Householde H stfel îcât H să fie colie cu T e? ude e Cu lte cuvite se pote detei u vecto coloă h cu h şi u uă el σ stfel îcât H hh T σ e? Ţiâd se de obsevţi de i sus cest evie l h T hσ e de ude ezultă σ e h T h şd h tebuie să fie colie cu σ e Cu h ezultă σ e h σ e Pe de ltă pte H fiid otogolă ve H σ e σ lege σ sg şi fce coveţi sg dcă Î cotiue ve

Bzele lizei Nueice sg sg σ e şi σ e Îlocuid î obţie sg h Se obţie stfel uătoul lgoit petu deteie lui h şi deci ticei H: H I β u u T β u T sg sg dcă Teoe Petu oice tice R esigulă eistă o tice otogolă H stfel îcât tice R H este supeio tiughiulă Deostţie Fie pi coloă ticei Di cele ătte i îite ezultă că eistă o tice Householde H stfel îcât H σ e tice H se deteiă stfel: / T s j s s u s sg β j T sg dc H I βuu Dcă otă cu H tuci e uătoe foă: sg s K K K

Sistee de ecuţii liie Î cotiue cosideă vectoul otogolă ~ H R stfel îcât ~ H ude ~ T e R Notă cu σ e~ şi deteiă o tice H ~ R şi cu H tice v ăt stfel H K K ude j j j K K ~ Î cotiue se deteiă o tice Householde H R cu ~ popiette că H ~ σ e ude ~ T e R Vo ot cu I H ~ R şi cu H tice v ve tote eleetele de H sub digol piciplă di piele tei coloe zeo Pocedeul cotiuă ît-u od evidet Î fil obţie o tice supeio tiughiulă H H H H Dcă otă HH H H şi cu RH tuci H este otogolă şi R supeio tiughiulă Cool Petu oice tice esigulă R eistă o tice otogolă Q şi o tice supeio tiughiulă R stfel îcât QR lgoitul Householde petu ezolve sisteelo de ecuţii liie Fie sisteul b cu R Notă cu C bc ij R tice etisă Petu i: eecută s : c ji ; j i dcă s tuci este sigulă Stop! ltfel β : s c ii s ; dcă c ii tuci sgc ii : ; u : c ii s sgc ii c ii c i T ;

Bzele lizei Nueice sfâşit petu i ; H i : I βuu T ; C: H i C ; Eeplu Fie sisteul 5 5 Soluţi ectă este plică etod Householde 5 5 5 ; b C 5 ; Iteţi I 5 5 ; c 5 ; s 885; 85-9798 β ; u 5 ; 885 85 55755 55755 959 H 55755 75588 875879 959 875879 8997 88 57 5 H 588888 995 ; 55978 77 599 b Hb 758879 ; C H C [ b ] 8787 Iteţi II 588888 ; 559785 s c c 5 75578 ; c 588888 ; ; β587 ; u 559785 ;

Sistee de ecuţii liie H 975 7599 ; 7599 975-885 577 5 H 575578 588797 ; 95759 599 b Hb 95787 ; C H C [ b ] ; 58577 55755 55755 959 H H H 77587 88 5757 ; 57 9958 8878 885 577 5 R H 575578 588797 ; 95759 Soluţi sisteului iiţil este R Hb ude: 99 78558 757 R 789 5899 559975 Se obţie soluţi ; ; 5 Noe de tice Cele i utilizte oe vectoile pe R sut: { } / p p < i p p i ude T R Defiiţi Se ueşte oă de tice oice plicţie : R R cu popietăţile:

Bzele lizei Nueice i dcă şi ui dcă ii λ λ ; λ R R iii B B iv B B B R U eeplu de oă de tice este o euclidiă de tice ce se defieşte stfel / ij E i j Popietăţile i şi ii sut evidete Petu deost popietăţile iii şi iv se foloseşte ieglitte Cuchy Buikovski Schwz pe R Petu eeplifice deostă iv Fie C B tuci cij ikbkj ik bkj k k k Î cotiue ve B E cij ik b kj B E E i j i k j k de ude ezultă B B E E E Defiiţi O oă de tice vectoilă dcă p se ueşte coptibilă cu o petu oice p p Obsevţi E j E i j j Ît devă i i ij i Obsevţi Dcă λ este o vloe popie ticei tuci petu oice oă de tice coptibilă cu o oă vectoilă λ Ît devă fie v u vecto popiu l ticei ce coespude vloii popii λ tuci ve λ v λv v v

Sistee de ecuţii liie 5 λ deci După cu se ştie îte ulţie R ticelo păttice cu eleete di R şi ulţie LR plicţiilo liie şi cotiue U : R R eistă o coespodeţă bijectivă i pecis dcă este tice socită tsfoăii liie U tuci Ue T i i i i ude e T i R şi U T T Pe de ltă pte spţiul LR este u spţiu ot î pot cu o opetoilă: T T U sup{ U ; } o ude cu ott o oă oece pe R Se ştie de seee că: T T T { c > ; U c R } U if o Defiiţi Se ueşte o ticei subodotă oei vectoile uătoul uă: sup { ; } sup C şi î czul oei opetoile ve if c > ; c } 5 { Di elţi 5 ezultă î pticul că R deci o ticelă defiită de este coptibilă cu o vectoilă căei îi este subodotă Este evidet că plicţi defiită de stisfce popietăţile i iii di defiiţi De seee ve B B B de ude ezultă B B şd foul defieşte ît devă o oă de tice Defiiţi Dcă λ λ sut vloile popii le ticei tuci se oteză cu ρ λi şi ρ se ueşte z spectlă ticei î cestă i defiiţie λ pot fi ele su coplee i Teoe Petu R ve: ij i j

Bzele lizei Nueice ij j i ρ T ude cu ott o ticei subodotă oei vectoile p p Deostţie Rezultă stfel îcât ij j ij j i j i j ij i j ij Răâe să ătă că eistă ~ cu ~ i j ~ i j j i j ij Petu cest fie k stfel îcât să ve kj ij dcã kj şi fie ~ j kj dcã kj kj Evidet că ~ şi ~ kj ij şd deostt j i j Î cotiue ve i i i i i i ij j i de ude ezultă ij j i j i ij

Sistee de ecuţii liie 7 Pe de ltă pte dcă e T j tuci e j şi e j ij de ude ezultă i ij şi cu cest fiţi este dovedită Fie B T şi fie T µ sup{ B ; } Evidet µ sup i petu oice j şd T { ; } j i deci µ Deoece ulţie S { ; } este copctă ezultă că eistă v cu popietăţile: µ v T Bv şi v Vo ăt î cotiue că Bvµ v deci că v este u vecto popiu petu B şi coespude vloii popii µ T z z Ît-devă petu oice z ve: B µ z z şi deci T T z Bz µ z µ z z 8 Pe de ltă pte este evidet că elţi 8 este veifictă şi petu z Deci elţi 8 e loc petu oice z De seee ve: v T Bvµ v T v 9 Dcă otă cu CB µ I tuci ve: z T Cz z şi 8' v T Cv 9' Fie zvty ude t R este oece şi y este u vecto oece Di 8' şi di fptul că C este sietică ezultă v T Cvty T Cvt y T Cy Ţiâd se de 9' ve T T t y Cy ty Cv Petu c să fie devătă petu oice t R tebuie c y T Cv Cu y fost bit ezultă CvB µ I vbv µ v şd ve Bvµ v deci µ este vloe popie petu B şi î plus µ Pe de ltă pte fie µ o ltă vloe popie ticei B şi fie u u stfel îcât Buµu Î cotiue ve T T µ u u Bu u µ u µ şd µ este ce i e vloe popie ticei B deci deostt şi fiţi 7 ij

8 Bzele lizei Nueice Î pticul dcă pesupue că tice este sietică ezultă că B Fie λ λ λ vloile popii le ticei ce î cest cz sut ele Se ştie că λ λ λ λ j j pesupue că λ sut vloile popii le ticei Să Di Teoe ezultă că λ Dcă î plus este pozitiv defiită tuci λ i > petu oice i Să pesupue că: λ λ λ Di cele de i sus ezultă λ ude λ este ce i e vloe popie ticei sietice şi pozitiv defiite Petube sisteelo liie Nuăul de codiţioe l uei tice Cosideă uătoul siste de ecuţii liie 7 8 7 7 5 5 8 9 7 5 9 căui soluţie ectă este Să cosideă cu sisteul ' î ce odifict puţi teeii libei 7 8 7 7 5 5 9 ' 8 9 7 5 9 9 Soluţi sisteului ' este 9 ; ; 5 ; şd o eoe ică de odiul teeilo libei poduce o eoe e de odiul soluţiei sisteului Fie cu sisteul " î ce odifică puţi coeficieţii sisteului 7 8 7 78 5 5 " 8 598 989 9 99 99 9 998 Soluţi sisteului " este: 8 ; 7 ; ; Să liză cu efectul petubăii ebului dept sup soluţiei uui siste lii b î ce tice este esigulă

Sistee de ecuţii liie 9 Notă cu δ b petube ebului dept şi cu δ petube ce ezultă petu soluţie ve: δ b δ b de ude ezultă δ δ b şi deci δ δ b Petu oice oă de tice coptibilă ve: δ δb Pe de ltă pte Di elţiile şi obţie b b de ude ezultă: δ δb b Nuăul de codiţioe l uei tice se defieşte stfel cod şd îte eoe eltivă ebului dept şi eoe eltivă soluţiei sisteului ve uătoe ieglitte δ δb cod 5 b Obsevă că dcă uăul de codiţioe l ticei coeficieţilo sisteului este e tuci l eoi eltiv ici le teeilo libei pot pe eoi eltiv i petu soluţi sisteului Î czul eeplului ve 7 8 8 5 7 5 5 8 7 8 9 7 5 7 5 9 şi cod 98 S folosit o de tice După cu se vede uăul de codiţioe este destul de e cee ce eplică istbilitte soluţiei sisteului Nuăul de codiţioe e uătoele popietăţi: i codi ii codcod iii codαcod petu oice α iv cod µ µ ude µ µ µ > sut vloile popii le ticei B T

Bzele lizei Nueice λ i v Dcă este sietică tuci cod i λi ude λ λ sut vloile popii le ticei vi Dcă este otogolă tuci cod Petu evlu eoe soluţiei sisteului l o petube coeficieţilo sisteului ve evoie de uătoele două lee Le Dcă R şi < tuci: i I şi I sut esigule şi ± I ii Deostţie Pezetă deostţi petu I Pesupue pi bsud că I este sigulă tuci eistă stfel îcât I Î cotiue ve deci Rezultă cee ce cotzice ipotez < Petu deost ii obsevă că I I I I I I de ude ezultă Pe de ltă pte ve de ude ezultă şi i depte I I I I I I I I I Le petubăii Fie B R cu popietăţile: i α ii B k < α tuci B este esigulă şi B k Deostţie Di Le ezultă că I B B este esigulă

Sistee de ecuţii liie Cu det B det detb v ezult detb deci B este esigulă Tot di Le ezultă [ ] k B B I B i depte ve k B B B α Teoe Dcă petubă tice coeficieţilo sisteului b cu δ şi < δ tuci îte eoe eltivă soluţiei şi eoe eltivă ticei coeficieţilo e loc ieglitte δ δ δ cod cod Deostţie Di eglităţile b şi δδb ezultă δδδδ Î cotiue ve δ δ δ şi i depte δ δ δ Dcă lege î Le α şi Bδ tuci < B δ şi v ezult B δ δ δ 7 Di şi 7 obţie δ δ δ δ δ Ţiâd se de defiiţi uăului de codiţioe ulti ieglitte devie δ δ δ cod cod

Bzele lizei Nueice Obsevţi Dcă pesupue î plus că petubă şi ebul dept l sisteului cu δ b tuci ezultă δ cod δ δ cod δb b Obsevţi Rezolve sisteului b cu etod Guss evie l ezolve două sistee tiughiule Uyb şi Ly Rezolve fiecăui siste ecesită opeţii Dcă uul di ceste sistee este ău codiţiot cee ce se pote îtâpl chi dcă sisteul iiţil b este bie codiţiot etod Guss coduce l eoi i Cu totul ltfel stu lucuile î czul etodei Householde Deoece codq şi codqr codr ezultă că sisteul Qy b este bie codiţiot şi deci că sisteul b e ceeşi codiţioe c sisteul R y şd lgoitul Householde e popietăţi de stbilitte i bue decât lgoitul Guss Obsevţi Petu evlue uăului de codiţioe cod este suficiet să cuoşte u jot petu Clculul lui LU este i uşo decât clculul lui ivese ticelo tiughiule este uşoă Să pesupue că k LU α şi LU < α deoece α ude <k< tuci di Le ezultă k Ît devă să lege î Le tice LU î loc de şi tice î loc de B ve k LU LU α k < α α α tuci ezultă şi deci cod k k

Sistee de ecuţii liie 7 etode itetive de ezolve sisteelo de ecuţii liie etodele diecte de ezolve ueică sisteelo de ecuţii liie se utilizeză petu sistee ce u tice coeficieţilo desă pope toţi coeficieţii sut euli şi cu u uă de ecuţii odet pâă l de ecuţii Petu sistee i de ecuţii de odiul 5 şi ce u tice coeficieţilo ă cu ulte eleete ule se utilizeză etode itetive de ezolve ueică Să pesupue că sisteul b se pote pue sub fo echivletă B c Fo echivletă e sugeeză uătoul poces itetiv: B c ude este u vecto bit Dcă otă cu * soluţi ectă sisteului tuci ve * B * c Fie e * vectoul eoe * Di şi ezultă e Be N şi i depte e B e 5 Teoe Dcă B < tuci şiul Deostţie Este suficiet să ătă că Di 5 ve li e Deoece li B ezultă este coveget şi li e B e B e li e Teoe Codiţi ecesă şi suficietă c şiul defiit de să fie coveget este c ρ B < ude cu ρ B s ott z spectlă ticei B

Bzele lizei Nueice Deostţie Este suficiet să ătă că dcă şi ui dcă li B < B ρ Di lgeb liiă se ştie că tice B se pote duce l fo coică Jod deci că eistă o tice esigulă C stfel îcât p p p J J J J C B C λ λ λ L ude λ λ λ λ O L p J este o celulă Jod λ λ sut vloile popii le ticei B şi p p sut odiele de ultiplicitte le cesto vloi popii Deoece ezultă că dcă şi ui dcă Pe de ltă pte J D N ude J C B C li B li J D λ λ λ λ O O O este o tice digolă de odiul i N este o tice ilpotetă de odiul dică N Î cotiue ve Deoece N k k k k N D C J k petu k vo ve k k k k N D C J Obsevă că < B λ D i ρ Di ezultă: k k k k k k k B N k N D k k J <!! ρ

Sistee de ecuţii liie 5 Cu k k li ρ B ezultă că li J deci că li J Recipoc să pesupue că li B şi că ρ B tuci eistă u vecto popiu şi o vloe popie λ cu λ stfel îcât Bλ şi deci B λ Cu λ u covege l ezultă că B u covege l cee ce cotzice ipotez făcută U di cele i cuoscute etode itetive este etod Jcobi Să pesupue că tice sisteului b e popiette ii i Dcă otă cu D şi cu ED tuci obţie sisteul dig echivlet D E b şi i depte D - E D b 7 Cu - dig ij D ezultă că D E i j ii Obsevă că dcă tice este te digol doită tuci D < şi î vitute Teoeei şiul D E D b este coveget petu oice poiţie iiţilă costă î uătoele: Sisteul b se pue sub fo echivletă 7 Scis pe copoete sisteul 7 tă stfel i bi ij j i ii j j i Se obţie şiul ecuet ude { } j i E 8 şd etod Jcobi 7 b i i ij j i 8 ii j j i

Bzele lizei Nueice Dcă tice este te digol doită şiul soluţi ectă sisteului covege l Eeplu Fie sisteul 5 5 8 Soluţi ectă este 5 D 5 E D E 8 D - b D - E < Obţie uătoul poces itetiv: 8 Dcă lege poiţi iiţilă tuci după 5 iteţii obţie 5 5 98; 99; 98; 99 O ltă etodă itetivă cuoscută este etod Guss Seidel şi ce coespude uătoei spgei ticei coeficieţilo: DL U ude D dig L i U 5 5

Sistee de ecuţii liie 7 Sisteul devie DL U b şi i depte obţie uătoul poces itetiv: DL U b 9 Pe copoete obţie i- b i i ij j ij j ii j j i i Di lgoitul se obsevă că fiece ouă copoetă j este iedit utiliztă l clculul uătoei copoete Se pote ăt că pocesul itetiv Guss Seidel este coveget dcă tice este te digol doită Î czul eeplului pecedet obţie 5 5 8 su 5 8 5 Petu după 5 iteţii obţie 5 5 5 5 995 ; 998 ; 998 ; 999 8 etode de ele Picipiile de bză etodele de ele sut etode itetive şi sut utilizte petu ezolve ueică sisteelo liie ce u tice coeficieţilo sietică şi pozitiv defiită Fie sisteul lii b

8 Bzele lizei Nueice v v ude tice este sietică şi pozitiv defiită Dcă v este u vecto de v pobă oece tuci otă cu v b Vectoul se ueşte vectoul ezidul Scopul oicăei etode de ele este c pi schibe sistetică vectoului v vectoul ezidul coespuzăto să se icşoeze evetul să se uleze Î cele ce ueză petu oice doi vectoi u v u v u şi v u v vo ot podusul lo scl cu uv v T u u v uv u v socie sisteului fucţi păttică F v ijviv j bivi vv bv i j i Deoece este pozitiv defiită ezultă Qv> petu oice v ude Q v vv Obsevă de seee că petu oice i ve F ijv j bi vi j deci vectoul ezidul gdf 5 Teoe Poble deteiăii soluţiei sisteului este echivletă cu poble deteiăii puctului de ii l fucţiei păttice Deostţie Fie v soluţi sisteului tuci v b Cu F gdfv ezultă v şd vv este puct citic petu F Pe vi de ltă pte d F v ijdvi dvj > i j Rezultă că vv este u puct de ii globl petu F

Sistee de ecuţii liie 9 Recipoc dcă vv este puct de ii petu F tuci F v i vi Rezultă ijv j bi i deci vv este soluţie petu j Î cotiue pezetă picipiul de bză l etodei elăii Fie v u vecto de pobă oece p o diecţie dtă şi D { v v tp; t R } dept ce tece pi v şi este plelă cu p Ne popue să deteiă v D stfel îcât F v i F v ; v D Ţiâd se de ezultă { } F v v tp v tp bv tp t t t vv bv vp pp pv t bp t t F v pp t vp t bp F v pp t v bp t F v pp t p Folosi otţi t f t F v F v tp F v pp t p Deteiă pe t stfel îcât f t F v să fie iiă Petu cest tebuie să ve f t de ude ezultă t pp p şd obţie: t p i 7 pp Cu f t pp > ezultă că vectoul v v t p este u puct de ii petu F v Î cotiue ve de ude ezultă f ti F v F v p pp p F Fv Fv pp Petu c F< tebuie c p Rezultă că diecţi p se lege stfel îcât p să u fie pepediculă pe i

5 Bzele lizei Nueice Obsevţi Dcă v b este vectoul ezidul coespuzăto vectoului v v ti p tuci p Ît devă p p v-bp ti pp p pp pp Petu itepete geoetică picipiului elăii să cosideă czul pticul Ecuţiile Fv costt epezită ecuţiile uo elipse cocetice l căo cetu cou coicide cu puctul de ii l fucţiei F Ît devă ecuţi Fv c evie l v vv v bv bv c 8 Deoece este pozitiv defiită ezultă că δ > deci 8 epezită o elipsă Fie v u vecto de pobă oece şi c Fv Ecuţi Fvc epezită o elipsă şi vv pţie cestei elipse Deoece gdfv ezultă că este pepedicul pe tget î vv l elipsă Diecţi p o lege stfel îcât să u fie pepediculă pe Fie v v t i p şi fie c Fv Puctul vv pţie elipsei Fvc şi de seee pţie deptei ce tece pi v şi e diecţi p Fie v b Di Obsevţi ezultă că este pepedicul v pe diecţi p Pe de ltă pte v gdfv este pepedicul pe tget î vv l elips Fvc Rezultă că vv este puctul de tgeţă l elips p Fvc l deptei ce tece pi v şi e diecţi p 9 etod elăii siple Este o etodă specifică clculelo de âă vâd i les o seificţie istoică Fie v u vecto de pobă oece şi fie v b vectoul ezidul coespuzăto

Sistee de ecuţii liie 5 Dcă i j i T e j Rezultă ti p j pp jj şi j v v ti p v e j jj Pe copoete ve: vi dc i j v i j v i j j dc jj De seee vo ve j v b jj e j şi i depte tuci lege pe j ude j j jj j j j jj j F F v F v < jj cee ce siguă covegeţ etodei Deşi covegeţ este sigută epeieţele ueice tă că cest este fote letă Covegeţ este îbuătăţită dcă tice este te digol doită Eeplu Dcă lege v tuci 5

5 Bzele lizei Nueice 5 şi şd p e v v e şi e Pe copoete ve v v v 5 Rezultă p e v v e şi e ; v v v Î cotiue p e v v e şi e v 58 v 88 etc v

Sistee de ecuţii liie 5 etod deplsăilo succesive Guss - Seidel Î etod deplsăilo succesive diecţi de ele ueză ciclic diecţiile e e e idifeet de eziduuile espective după ce ciclul se ei Petu siplifice să pesupue că ve sisteul b b b Fie v vectoul de pobă iiţil şi fie Cofo foulei di 9 ezultă e p e v v i pe copoete v v v v b v v v v v Î cotiue lege diecţi de ele e p şi obţie vectoul de copoete v v b v v v v v v v v Î sfâşit petu diecţi de ele e p

5 Bzele lizei Nueice obţie vectoul v de copoete v v v v v v v v v b După îcheiee cestui ciclu vectoul găsit v fi ott cu v şi v ve copoetele: b v v v v b v v v v b v v v v Efectuâd clculele obţie: v v v b v v v b v v v b Î geel petu u siste de ecuţii după ciclui se obţie vectoul v ce veifică ecuţiile: v v v v b v v v v b v v v v b Obsevţi Foulele coicid cu foulele di 7 Dcă otă cu L E T L F E şi D L

Sistee de ecuţii liie 55 tuci tice dite descopuee EDF şi şiul de vectoi veifică elţi ticilă v DEv Fv b de ude ezultă v DE Fv DE b Î sfâşit otâd DE F şi CDE b 5 obţie pocesul itetiv v v C Eeplu Să se găsescă soluţi poitivă obţiută după 5 iteţii cu etod deplsăilo succesive luâd vectoul iiţil petu sisteul b ude: b Rezolve 8 8 - - - F DE - 8 F E D 9 det λ λ I λ λ Vloile popii le ticei sut ; λ ; λ 77 9 λ ; λ 9 < ρ deci pocesul este coveget Pe copoete lgoitul coduce l:

Bzele lizei Nueice 5 Iteţi I b b b b ezultă 75 5 5 5 Iteţi II b b b b ezultă 97 8 75 75 Iteţi III b b b b ezultă 999 998 978 875 Iteţi IV b b b b ezultă 9889 97788 97 959 Iteţi V

Sistee de ecuţii liie 57 5 5 5 5 b b b b 5 5 5 5 5 5 9887 5 9858 ezultă 998 9959 Teoe Dcă tice este sietică şi pozitiv defiită pocesul itetiv Guss Seidel este coveget Deostţi ezultă di liz desceşteii fucţiei păttice F pi tecee de l o iteţie l lt O ltă deostţie se bzeză pe fptul că se pote ăt că dcă este sietică şi pozitiv defiită tuci ρ < şi cofo Teoeei di 7 pocesul itetiv este coveget etod supelăii Petu sistee i de ecuţii pocesul itetiv Guss Seidel covege let deoece z spectlă ρ este î veciătte lui etod supelăii este o geelize etodei Guss Seidel ce costă î itoducee uui petu ω î vedee cceleăii covegeţei C şi î etod Guss Seidel diecţi de ele ueză ciclic diecţiile e e e d se îlocuieşte ti cu tω t i Eeplifică etod pe czul pticul l uui siste de tei ecuţii Fie v vectoul de pobă iiţil După u ciclu î ce diecţi de ele ueză succesiv diecţiile e e e obţie vectoul v de copoete: ω v v v v v b ω v v v v v b ω v v v v v b Dcă ω obţie di ou foulele di După efectue clculelo ezultă:

58 Bzele lizei Nueice - ω v ω v v v b - v ω v ω v v b - v v ω v ω v b Dcă itoduce otţiile E D T şi FE elţiile cpătă fo ticilă Eω Dv [F ω D]v b Î geel petu u siste de ecuţii şiul de vectoi v stisfce elţi: Eω D v [F ω D] v b Î cotiue ve v Eω D [F ω D] v Eω D b Notă cu ω E ω D [ F ω D] C ω [ E ω D] b 5 Obţie stfel pocesul itetiv v ω v Cω Petu ω obţie lgoitul Guss Seidel vezi 5 di Petul opti ω opt v fi cel petu ce z spectlă ticei ω v fi iiă Evidet petu cest petu se obţie ce i pidă covegeţă Se pote deost uătoe teoeă Teoe Dcă tice este sietică şi pozitiv defiită etod supelăii este covegetă petu oice < ω < Î pticul ezultă că etod Guss Seidel este covegetă dcă este sietică şi pozitiv defiită deoece coespude czului pticul ω Deteie petului opti ω opt este posibilă î czul ticelo bloc tidigole Defiiţi O tice se ueşte bloc tidigolă dcă e uătoe stuctuă:

Sistee de ecuţii liie 59 D E F D E F D E F D E F D L L O L L L ude D i sut tice păttice de difeite odie E k şi F k sut î geel tice deptughiule F k e celşi uă de liii c tice D k şi celşi uă de coloe c tice D k E k e celşi uă de liii cu D k şi celşi uă de coloe cu D k Î f ticelo ce ită î bdă tote eleetele sut ule Dcă î plus ticele D i sut digole se ueşte digol bloc tidigolă Pezetă de seee făă deostţie uătoe teoeă Teoe Fie o tice sietică pozitiv defiită şi digol tidigolă tuci petul opti de ele este dt de elţi opt λ ω ude λ este ce i e vloe popie ticei D EF Eeplu Fie sisteul b di eeplul di pgful pecedet ce e tice digol bloc tidigolă E F D F E D Ecuţi ccteistică este

Bzele lizei Nueice ce este echivletă cu λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ± 7 Rezultă λ i ± şi λ 7 8 Petul opti de ele ω opt 9 λ Pocedeul itetiv ω Cω ude 9 557 557 9 75 5785 ω 58 7 75 Cω 5857 888 9 9 88 coduce l uătoele vloi le vectoului soluţiilo petu piele cici iteţii: 557 859 9 99 5785 8 99 99595 5857 9988 988 9985 88 9797 9955 9995 9987 5 999 99978 9999

Sistee de ecuţii liie etod gdieţilo cojugţi Fie sisteul b ude este sietică şi pozitiv defiită Defiiţi Spue că diecţiile p şi q sut diecţii cojugte î pot cu tice dcă pq pq Fie v u vecto de pobă şi v b vectoul ezidul coespuzăto Î etod gdieţilo cojugţi petu ezolve sisteului b pi diecţie de ele se lege p Î cotiue ve: p ti p p p p ude v v q p q t p i p p Vloe iiă fucţiei FFv pi v şi e diecţi p este v câd v pcuge dept ce tece Fie gdfv v b Di Obsevţi di 8 ezultă că p Uătoe diecţie de ele p se lege de fo p c p şi î plus să fie cojugtă diecţiei p î pot cu şd ve: de ude ezultă p p p p p c p p p c 5 p p ve de seee

Bzele lizei Nueice v p v ti p v p p p Î geel petu oice k obţie k k p c k- 7 k k p p k k k p ck p k k qk 8 p 9 k k p p k k v k v qk p etod gdieţilo cojugţi este defiită de foulele 7 Î cotiue pezetă uele siplificăi şi popietăţi supliete k Deoece este otogol pe diecţi p k ezultă k k k k k k k p ck p şi deci k k q k > 9 k k p p Pe de ltă pte di ve k k k k k k v b v qk p b qk p Obţie deci uătoe elţi de ecueţă k k k qk p Obsevă că k k Ît devă di ezultă k k k k qk k k p Pe de ltă pte ţiâd se de 8 de 9 şi de fptul că p k şi p k sut cojugte ezultă k k p k k k k k k qk p k k k p ck p Di şi ezultă cu

Sistee de ecuţii liie Deoece p k oicu tebuie clcult ezultă că vectoul ezidul k se v clcul di elţi de ecueţă şi u pi îlocuie diectă lui v k î epesi vb Î cotiue vo stbili o ltă foulă petu coeficietul c k Di şi ezultă k k k k k k k k p q q k Ţiâd se de 7 şi de 9 obţie k k k k p ck k k k k p p lgoit petu ezolve sisteelo de ecuţii liie cu etod gdieţilo cojugţi Clculeză v b ; p ; q ; v v q p ; q p p p Petu k: clculeză k k ck k k k k ; p c k p k ; ; k k k k k k k k qk ; v v qk p ; qk p k k p p sfâşit petu k Î thcd lgoitul de i sus este plict uui eepu ;

Bzele lizei Nueice etod gdietilo cojugti Folosid etod gdietilo cojugti s se gsesc soluti sisteului de ecutii liie b 5 7 8 b 7 9 8 Vectoul de pob lgoitul etodei gdietilo cojugti GCo b < > b p < > q < > < > p p q p < > < > q p fo k c < > < k > k < > < k > k p < k > cp q < > < k > k q p p p < k> < k > q p pele pogului si fise ezulttelo GCo b

Sistee de ecuţii liie 5 Teoe Î etod gdieţilo cojugţi diecţiile de ele p k k sut cojugte două câte două î pot cu tice i vectoii eziduli k k sut otogoli doi câte doi Deostţie Deostţi se fce pi iducţie eltiv l k Petu k ve di i petu pi fiţie u ve ce ăt Ipotez de iducţie este: i j petu i j i j k 5 i j p p petu i j i j k V tebui să ătă că k j petu j k 7 Fie jk tuci k j p p petu j k 8 k k k k p p p p deoece p k şi p k sut cojugte Fie j<k tuci k j p p k k j - c p p k p j k p j deoece p cofo ipotezei Pe de ltă pte k p j k j p q j şi di 5 ezultă şd deostt 8 Petu jk 7 este devătă di Fie j<k Di şi 5 ezultă: k j j j- - k k j k j qk p q k p k j j qk p -p c j p Ţiâd se de 8 şi de fptul că este sietică ezultă şi cu cest teoe este deosttă k j Di Teoe ezultă că vectoii eziduli k sut otogoli doi câte doi şi deci sut lii idepedeţi dcă sut euli şd u pot eist vectoi eziduli euli Rezultă că î etod gdieţilo cojugţi soluţi ectă

Bzele lizei Nueice se găseşte î cel ult pşi Teoetic tebui c vectoul ezidul să fie zeo şi deci vv să fie soluţi ectă sisteului Î pctică cest lucu u se îtâplă deoece î deteie vectoilo k itevi eoi de clcul ce fc c ceşti să u foeze u siste otogol Deoece î geel cotiuă să clculă k k> pâă obţie u vecto ezidul ul su fote ic k << cestă titudie se justifică pi fptul că etod gdieţilo cojugţi este o etodă de ele pi ce vloe fucţiei păttice FFv se icşoeză l fiece ps etod gdieţilo cojugţi se dovedeşte fote utilă petu sisteele î ce tice e ulte zeoui şi fiece ecuţie e o uită egulitte iteă stfel de sistee p î pocesul de discetize pobleei l liită ecuţiilo cu deivte pţile de tip eliptic etod celo i ici pătte Î pocesul de peluce şi juste dtelo p sistee de ecuţii liie supdiesiote su subdiesiote bodă petu îceput poble sisteelo supdiesiote Fie sisteul b > b Evidet u seee siste pote să u ibă soluţie Fie T b vectoul ezidul ude i i i bi i Cosideă fucţi păttică f f Defiiţi Se ueşte soluţie î sesul celo i ici pătte sisteului cel vecto * petu ce fucţi e vloe iiă * Dcă: i f f tuci i * petu oice i Rezultă că R sisteul este coptibil şi * este soluţi ectă s

Sistee de ecuţii liie 7 * Î geel sisteul u este coptibil şi i f f > i * R este u substitut petu soluţi sisteului şi ue soluţi î sesul celo i ici pătte Fucţi f se pote pue sub fo f -b-b b bb şi i depte T f T b bb Teoe Dcă g tuci sisteul dite o siguă soluţie î sesul celo i ici pătte şi cest este soluţi uică sisteului T T b 5 Sisteul 5 se ueşte sisteul ol l lui Guss Deostţie Puctele de ete le fucţiei păttice f dtă de se cută pite puctele sle citice i ceste se flă ezolvâd sisteul: gd f Cu gd f T T b obţie sisteul T T b Pe d e ltă pte se ştie că: T T T g g g g tice B T este o tice păttică de odiul şi gb cofo celo de i sus Rezultă că sisteul 5 dite o soluţie uică * ce este puct citic petu f tice B este evidet sietică şi seipozitiv defiită i ult î ipotez ostă tice B este pozitiv defiită Ît devă dcă pesupue că B tuci ezultă şi deci Cu g< ezultă Pe de ltă pte ve d f bijdid j > i j de ude ezultă că * este puct de ii petu f şi cu cest teoe este deosttă şd î ipotez g soluţi sisteului î sesul celo i ici pătte este uică şi se flă ezolvâd sisteul 5 cest siste este sietic pozitiv defiit Rezolve s se pote fce pi etod Cholesky su u di etodele de ele Obsevţi Teoetic soluţi sisteului 5 este * T T b tice P T T se ueşte pseudoives ticei deptughiu le

8 Bzele lizei Nueice Se obsevă că dcă este păttică tuci P T T deci oţiue de tice pseudoivesă geelizeză oţiue de tice ivesă petu tice deptughiule Rezolve pctică sisteului 5 idică poblee di cuz fptului că uăul de codiţioe l ticei B T este e Fie λ λ λ > vloile popii le ticei B tuci: λ cod B λ Cu B B λ sup Be iei bii şi λ if i Be iei ibii i i i i ezultă b cod B ii 7 ibii Eeplul Dept de egesie Să pesupue că ve să găsi o deptă y ce să tecă pi puctele: ; ; 5 ; 85 ; Se obţie stfel sisteul 5 8 8 5 Evidet sisteul 8 este supdiesiot şi icoptibil ve: T 9 5 T 7 5 ; b ; B ; b 5 5 5 8 5 Ecuţiile ole le lui Guss sut 9 5 7 5 5 5 Soluţi ectă este i vloile popii sut λ 9 8 şi λ 7 Rezultă cod B Dcă folosi estie 7 obţie

Sistee de ecuţii liie 9 bii 9 8 ibii 5 Dept de egesie î cest cz este: y cestă deptă u tece pi puctele i d este ce deptă di pl ce tece cel i pope de ceste pucte Să pesupue că ve să deteiă dept de egesie coespuzătoe puctelo i iyi i ticele T şi B coduc l bii > ibii Petu codb> deci sisteul ol l lui Guss este post codiţiot Sisteele subdiesiote p î poblee legte de juste dtelo Să pesupue că ăsuâd ctităţi găsi vloile l l l Pe de ltă pte ecuoscutele stisfc uite ecuţii şi ue b b < 9 Dtoită lipsei de cuteţe ăsuătoilo se pue codiţi c su păttelo coecţiilo l i i i să fie iiă Se obţie stfel o pobleă de ete cu legătui Eeplul Să pesupue că ăsuâd ughiuile le uui tiughi găsi vloile l l l Evidet ve legătu 8 Ipue codiţi c bteile dtote ipeciziei ăsuătoilo să fie cât i ici deci c epesi să fie iiă l l l

7 Bzele lizei Nueice Reveid l czul geel se pue poble să deteiă ecuoscute ce stisfc legătuile 9 şi ce iiizeză fucţi: Cosideă fucţi uiliă l l f Φ λ λ l l λ b λ b Puctele citice le fucţiei φ sut dte de sisteul l λ λ l λ λ b b T Dcă otă cu l l l şi cu λ λ λ tuci sisteul se scie sub fo ticilă T λ l b Îlocuid î obţie sisteul T λ b l Dcă g tuci g T şi sisteul e soluţie uică i T ult tice este păttică sietică şi pozitiv defiită deci ezolve sisteului se pote fce cu etod Cholesky su u di etodele de ele Rezolvâd sisteul găsi ultiplictoii lui Lgge λ λ i di T elţi λ l deteiă puctul de ii codiţiot l fucţiei f Cu d φ d d > ezultă că ve ît devă u puct de ii T Eeciţii

Sistee de ecuţii liie 7 Folosid etod Guss să se ezolve uătoele sistee de ecuţii liie: 5 9 8 7 R tice tiughiulă 5 77 7 7 7 7 ~ vectoul teeilo libei tsfot 785 95 ~ b Soluţi sisteului 7 7 8 R tice tiughiulă 5 98 5 5 5 ~ vectoul teeilo libei tsfot 7789 87 5 ~ b Soluţi sisteului

Bzele lizei Nueice 7 5 7 8 5 R tice tiughiulă 558 8 ~ vectoul teeilo libei tsfot 7 8 ~ b Soluţi sisteului Să se ezolve uătoele sistee de ecuţii liie folosid etod Cholesky: 7 8 8 9 9 R Soluţi sisteului R 777 8 7 89 87 98 T R T yb este i ce sisteului Ry şi deci soluţi sisteului iiţil este 777 97 9 8 y

Sistee de ecuţii liie 7 5 9 8 7 7 8 R 85 57 7757 555 5975 555 8 555 88 T R Soluţi sisteului R T yb este i ce sisteului Ry şi deci soluţi sisteului iiţil este 85 77 8 787 y 8 5 5 9 R 88878 95 795 85 58 8 85 988 85 99 T R Soluţi sisteului R T yb este i ce sisteului Ry şi deci soluţi sisteului iiţil este 88878 5 585 7757 y

7 Bzele lizei Nueice Folosid etod Householde să se ezolve sisteele: 7 5 7 8 9 8 7 R det ; descopuee QR este dtă de 7 88 7877 58 78 55 57 Q 85 5787 78 9 7 77 987 95 8 89 89 59 955 R 588 58889 Soluţi sisteului Qyb este 995 8 y 598 5888 i ce sisteului Ry este 8 5 7 8 9 8 7 R det 88; descopuee QR este dtă 97 75 788 58 58 759 9 79 Q 85 557 85 5 7 99 598 577 95 885 987 5 7 7 879 R 7997 59

Sistee de ecuţii liie 75 Soluţi sisteului Qyb este 9 998 5 9 y i ce sisteului Ry este 9 7 8 9 R det 8 ; descopuee QR este dtă de 98 7 5 7 595 8 95 9 98 9 5 97 9 857 Q 59 59 55 55 58 5 5997 99987 R Soluţi sisteului Qyb este 59 7 79 8 y i ce sisteului Ry este

Bzele lizei Nueice 7 Petu tice să se clculeze: det det ; b ; ; c cod cod cod R det 5 5 5 5 7 7 det 7; b 88 7 ; 57 c cod 8 cod 75 cod 8 Să se clculeze: det det ; b ; ; c cod cod cod petu tice 5 R det8 det 75 5 5 875 5 5 5 ; b 88 7 ; 57 c cod 85 cod 8855 cod 775 Folosid etod Icobi să se găsescă soluţi poitivă petu uătoele sistee de ecuţii liie :

Sistee de ecuţii liie 77 9 7 5 5 R Sisteul se pote pue sub fo Bc ude B D D i D E D 7 5 857 7 B c D 8 8 7 7 b B 997 ρb 977 Soluţi l fiece iteţie poid cu este: 857 7 7 7 8 9755 857 9959 9959 9899 Soluţi ectă fiid eoe ce se fce dcă se eţie c soluţie poitivă * este 8 * să se scie soluţi obţiută după ptu iteţii 8 9 8 7 R Se pote pue sisteul sub fo Bc ude B D E i D E D 9 8 7

Bzele lizei Nueice 78 B 5 5 5 8 8 8 7 7 cd b 88889 75 57 B 5989 ρb 79 Soluţi petu piele iteţii poid cu este: 88889 75 57 9577 9 857 8987 995 9758 95 957 9957 9989 9888 988 Soluţi ectă fiid eoe ce se fce dcă se eţie c soluţie poitivă * este 8 * 8 9 7 R Se pote pue sisteul sub fo Bc ude BD E i D E D 9 7

Sistee de ecuţii liie 79 B 7 7 7 8 8 8 5 5 5 cd b 5 75 B 75 ρb 758 Petu piele iteţii poid cu soluţi este: 5 75 97 99 9 99 999 9855 7 998 9978 9988 99 Soluţi ectă fiid eoe ce se fce dcă se eţie c soluţie poitivă * este 7 * Să se ezolve cu etod Guss Seidel uătoele sistee: 5 8 5 R Se obsevă că tice coeficieţilo sisteului este te digol doită şi tuci lgoitul Guss Seidel este coveget 5 Sisteul se pote pue sub fo DL U b ude: L U 5 D tuci

Bzele lizei Nueice 8 5 5 75 7 L D DL U 75 5 7 DL b Se obţi poid cu vectoii: 5 5 87 79 8585 89 75 9 9587 89795 8 8 R Se obsevă că tice coeficieţilo sisteului 8 este te digol doită şi lgoitul Guss Seidel este coveget Sisteul se pote pue sub fo DL U b ude: L U

Sistee de ecuţii liie 8 8 D tuci 5 5 579 778 5 5 7 555 7 L D DL U 99 85 778 875 5 555 555 7 7 DL b 89 75 legâd obţie: 8598 975 5 988 997 778 9557 9997 9959 9997 9959 999 9998 8 998 9999 9998 9997 5 7 7 R Se obsevă că tice coeficieţilo sisteului este te digol doită şi lgoitul Guss Seidel este coveget

Bzele lizei Nueice 8 Sisteul se pote pue sub fo DL U b ude: L U D tuci 79 758 758 8 758 758 99 99 L D DL U 55 758 8 55 758 88 99 DL b 95 8 977 7 legâd obţie: 95 8 977 7 997 997 9 98 99999 99958 9979 99999 99998 9999 5

Sistee de ecuţii liie 8 Folosid etod elăii siple să se scie soluţi poitivă petu uătoele sistee: 8 8 9 8 R tice sisteului este 9 8 Luâd vectoul de pobă se obţie deci pi diecţie de ele este Rezultă 8 e p log : 88889 ; ; e p 88 88 7959 e p 88 997 87 997 e p 999 997 ş d 9 8 9 9 R tice sisteului este 8 9

Bzele lizei Nueice 8 legâd se obţie 9 Deci e p 5 i depte obţie : e p ; 99 99 999 899 e p 99 87879 ; ; e p 99 87879 9997 5 55 888 9997 5 5 e p 99 9895 9997 5 5 9 R tice este sietică te digol doită: 5 5 > > > 9 deci pozitv defiită şi se pote plic etod Luâd vectoul de pobă

Sistee de ecuţii liie 85 se obţi: ; este ; ; e p 5 7 7 58 5 5 9 5 75 95 e p 58 5 e p 7 e p 7 58 775 Să se scie soluţi poitivă petu uătoele sistee de ecuţii liie obţiută cu etod supelăii: 5 5 R tice coeficieţilo sisteului este bloc tidigolă sietică şi pozitiv defiită deci etod supelăii este covegetă Sisteul se pote pue sub fo: C ude: D F D E ω ω b E C ω FE E D T λ ω λ fiid ce i e vloe popie ticei D EF λ 5 ω 78 şi cosideâd vectoul iiţil b ezultă

Bzele lizei Nueice 8 957 88 879 857 5 98 85 9985 7 5 5 5 R tice coeficieţilo sisteului este bloc tidigolă sietică şi pozitiv defiită deci etod supelăii este covegetă Sisteul se pote pue sub fo C ude D F D E ω ω b E C ω FE E 5 5 D T λ ω λ fiid ce i e vloe popie ticei D EF λ 75 ω9 şi cosideâd vectoul iiţil b ezultă: 758 578 7979 9 9 9 795 5 9988 9988 98 99997 99987 99985 99999 99999 5 Să se găsescă soluţi poitivă obţiută cu etod Guss Seidel petu sisteele de ecuţii liie uătoe:

Sistee de ecuţii liie 87 5 5 5 7 Să se pecizeze uăul de iteţii ecese petu c eoe să se icşoeze de oi R tice fiid sietică şi pozitiv defiită pocedeul itetiv Guss Seidel este coveget Sisteul se pote pue sub fo C ude DE F C DE b E F E T 5 D 5 7 9857 9 7857 Deci 9 8 C 755 57 57 9898 Dcă se poeşte cu v b obţi vectoii: 8 995 8857 999 9899 v 9 v 959 v 9977 75 9 9998 9999 999 5 9999 v 9997 v 99998 Rz spectlă este ρ78 t de covegeţă este R lgρ9 şi uăul de iteţii după ce eoe scde de oi este K 888 dică l fiece iteţie eoe scde de oi R

88 Bzele lizei Nueice 5 5 8 5 5 Să se pecizeze uăul de iteţii ecese petu c eoe să se icşoeze de oi R tice fiid sietică şi pozitiv defiită pocedeul itetiv Guss Seidel este coveget Sisteul se pote pue sub fo C ude 5 DE F C DE b E F E D 8 5 Deci C 9 7 7 Dcă se poeşte cu v b obţi vectoii: 7 595 5 v - 7 v 7 v 7898 v 79 8 798 8 5 v 798 7 Rz spectlă este ρ t de covegeţă este R lgρ şi uăul de iteţii după ce eoe scde de oi este K 88 dică l fiece iteţie eoe scde de oi R Să se scie soluţi poitivă obţiută cu etod gdieţilo cojugţi plictă sisteelo de ecuţii liie: 5 8 8

Sistee de ecuţii liie 89 R tice coeficieţilo sisteului este sietică şi pozitiv defiită şi deci se pote plic etod Luâd c vecto de pobă se obţi ezulttele Iteţi I b 8 pi diecţie de ele p p 797 q q p 8 p p 595 Iteţi II- 98 q p 998 c 9 5787 5 p p c p 987 q 79 87 p p 9887 q p 85 9958 Iteţi III- 9 qp 5 c 8 9 98 p p c p q p p q p

9 Bzele lizei Nueice Să se deteie tseul opti petu o coductă de gze tule ce să tecă pi "popiee" loclităţilo L i i ce potte l u siste ctezi de efeiţă u coodotele uătoe: L L L 5 L 7 L 5 L L 7 5 L 8 5 L 9 8 L R Luâd tseul după o deptă se obţie sisteul: b b 5 b 7 b b b 5 b b 5 8 b b ce este supdiesiot Se foeză sisteul ol l lui Guss Buc ude B T c T 55 5 b dică: B căui soluţie este 5 c u u 78 Rpott l cel siste de coodote tseul coductei tebuie să ueze dept y 78