MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. 1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE

Transcript

1 MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE. Precizri si recomdri privid desfsurre ctivittilor l discipli MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Tip curs obligtoriu Mulul de curs recomdt R. Trdfir I. Dud A. Bciu R. Io Mtemtici petru ecoomisti Ed. Fudţiei Româi de Mâie Obiectivul pricipl l cursului Cursul de mtemtici ecoomice re c obiect bzele mtemticilor ecoomice. Cursul este predt î semestrul I l ului uiversitr cu eme l sfârşitul semestrului I. Acest curs este structurt î rport cu obiectivul dotării viitorilor ecoomişti şi specilişti cu istrumetele mtemtice de operre şi gâdire petru fi cpbil să fudmeteze deciziile decvte optime î domeiile lor de ctivitte. Aceste cpitole sut direct oriette spre plicre lor î ecoomie şi corelte cu discipliele de bză şi de specilitte pe cre le vor prcurge studeţii coform plului de îvăţămât. Îtregul cupris l progrmei litice urmăreşte formre uei gâdiri logice l studeţi şi depriderilor de clcul cu istrumetele operţiole ecesre lizei proceselor ecoomico-ficire fucţioării mecismelor ecoomico-ficire şi pe cestă bză fudmetării deciziilor optime.. Cotiutul temtic l cursului Elemete de lgebră superioră cu plicţii î ecoomie.spţii vectorile vectori liiri idepedeţi sistem de geertori bză uui spţiu vectoril dimesiue uui spţiu fiit dimesiol - Orgizre spţiilor ecoomice c spţii vectorile - Bz şi schimbre bzei: metod Guss Jord - Orgizre c spţii metrice şi spţii ormte. Forme liire - Forme biliire mtrice tştă formei biliire modificre mtricii uei fucţiole biliire l schimbre bzelor - Forme pătrtice form coică uei forme pătrtice metode de ducere uei forme pătrtice l form coică: Metod lui Guss Metod lui Jcobi. Opertori pe spţii vectorile - Proprietăţi. Vlori proprii şi vectori proprii - Coţiut ecoomic Fudmetre optimă deciziilor pri progrmre liiră. Formulre problemei de progrmre liiră PPL şi modelului mtemtic: form geerlă form coică form stdrd. Rezolvre: pri lgoritmul simple priml - Trecere de l o soluţie posibilă de bză l ltă soluţie posibilă de bză criteriul de ieşire di bză - Criteriul de itrre î bză

2 5. Trtre problemelor de P.L. cre u u form stdrd - Metod bzei rtificile 6. Form dulă PPL - Teorem de dulitte şi coţiutul ecoomic l vribilelor dule preţuri umbră - Algoritmul simple dul - Studii de cz î mgemetul ficir-cotbil Decizii optime de trsport 7. Formulre problemei trsporturilor şi modelului mtemtic - Soluţii de bză iiţile 8. Criteriile de optimizre - Studii de cz Elemete de liză mtemtică cu plicţii î fudmetre deciziei ecoomice optime 9. Serii umerice criterii de covergeţă. Şiruri de fucţii. Serii de puteri. Seri Tlor - Fucţii de mi multe vribile. Mulţimi şi pucte di R - Cotiuitte fucţiilor î spţiul R : limite limite iterte. Derivbilitte fucţiilor î R : derivte prţile de ordiul I şi de ordi superior - Difereţil de ordi I şi de ordi superior; coţiut ecoomic - Derivt fucţiilor compuse. Etremele fucţiilor de mi multe vribile puct de etrem locl; puct stţior; puct de miim locl; puct de mim locl - Etreme cu legături codiţiote. Coţiut ecoomic - Aplicţii şi studii de cz. Itegrle Modelul dimicii proceselor ecoomice. Dimic proceselor ecoomice: liz î timp cotiuu şi î timp discret. Tipuri priciple de ecuţii difereţile cu plicţii î ecoomie: - ecuţii cu vribile seprbile - ecuţii difereţile liire. Ecuţii omogee Ecuţii difereţile de tip Beroulli şi Riccti şi plicţiile lor BIBLIOGRAFIA MINIMALĂ. DUDA I. TRANDAFIR R. BACIU A. IOAN R. Mtemtici petru ecoomişti Ed. FRM Bucureşti. DUDA I. TRANDAFIR R. BACIU A. IOAN R. Elemete de mtemtici ecoomice Ed. FRM Bucureşti 5.. BACIU A. Mtemtici plicte î ecoomie şi fiţe Ed. FRM Bucureşti. DUDA I. Elemete de lgebră petru ecoomişti Ed. FRM Bucureşti OPRESCU GH. Mtemtici petru ecoomişti Ed. FRM Bucureşti 996.

3 BIBLIOGRAFIE SUPLIMENTARĂ. PURCARU I. Mtemtici ficire Vol I şi II Ed. Ecoomică 99.. POPESCU O. şi colb. Mtemtici plicte î ecoomie Vol. I şi II Ed. Didctică şi Pedgogică Bucureşti 99.. DANTZIGG. B. şi colb. Progrmre liiră sistemelor m. trd.vol. I II şi III Ed. Tehică Bucureşti 99.. LENNARTH. JALMARSON OPRESCU GH. şi colb. Mcroecoomie o bordre ctittivă Ed. Omi Bucureşti 995..Prezetre lectiilor cpitolelor Pri structur şi coţiutul progrmei studeţii vor ve bz mtemtică de îţelegere şi istrumetele - teorii operţiole şi lgoritmi - petru celellte disciplie: ecoomie iformtică mgemetul firmei sttistică micro şi mcroecoomică mcroecoomie fiţe cotbilitte etc. disciplie cre î codiţiile ivelului ctul l ştiiţelor ecoomice pe pl modil - sut puteric mtemtizte î scopul fudmetl l fudmetării rpide deciziilor optime pri istrumetele modere le iformticii. Astfel cpitolele studite î semestrul I vor fi: Algebră liiră Progrmre liiră şi Aliză mtemtică.. Algebră liiră Spţii vectorile. Orgizre spţiilor ecoomice c spţii vectorile. Bz şi schimbre bzei: metod Guss Jord. Orgizre c spţii metrice şi spţii ormte. Forme liire biliire pătrtice. Opertori pe spţii vectorile: vlori proprii şi vectori proprii. Coţiut ecoomic. vezi pg. - di Mtemtici petru ecoomisti I. Dud R. Trdfir A. Bciu R. Io S. Brz Ed. FRM 7 Cocepte cheie sptiu vectoril vectori liir idepedeti sistem de geertori bză dimesiue mtrice de trecere plictie liiră vlori proprii vectori proprii form liiră form biliiră formă ptrtică form coică uei forme pătrtice.. Spţii vectorile Fie V o mulţime evidă de elemete şi K u corp de sclri de regulă K este corpul umerelor rele R su corpul umerelor complee C. Pe mulţime V se defiesc două operţii: operţi de dure c lege de compoziţie iteră V vem V

4 operţi de îmulţire cu sclri c lege de compoziţie eteră; V α K vem α V Defiiţie: Mulţime evidă V se umeşte spţiu vectoril peste corpul K dcă V este grup beli dică verifică: V z z z V O V elemetul eutru stfel îcât O v O v V V elemet opus stfel îcât - - O v V si V verifică β α β petru α β K şi V α α α petru α K şi V α β α β petru α β K şi V. k petru K K umit elemet eutru V Defiiţie Fie V u spţiu vectoril peste corpul K. U vector v V se umeşte combitie liiră vectorilor v... v m V dcă eistă sclrii α α... α m K stfel îcât v α v α v... α m v m Defiiţie U sistem de vectori v v... v di V se umeşte sistem de geertori i spţiului vectoril V dcă orice vector v V se pote scrie c o combiţie liiră vectorilor v v... v. Defiiţie U sistem de vectori v v... v m di V se umeşte sistem liir idepedet dcă di α v α v... α m v m rezultă c sclrii α α... α m Observţie: dcă eistă sclri euli sistemul de vlori se umeşte sistem liir depedet. Propoziţie. Vectorii v v... v V sut liir depedeţi dcă şi umi dcă cel puţi u vector ditre ei este o combiţie liiră de ceillti. Defiiţie. Fie V u spţiu vectoril peste corpul K. U sistem de vectori B v v... v m se umeşte bză pe spţiul vectoril V dcă este formtă ditr-u umăr mim de vectori liiri idepedeţi. Numărul vectorilor di bză determiă dimesiue spţiului. Defiiţie. Coeficieţii α α... α i reprezetării vectorului v V î bz B se umesc coordotele vectorului v î bz B. Propoziţie Sistemul de vectori uitri b... b b... formeză o bză spţiului vectoril R umit bză coică su uitră Propozitie Trsformre coordotelor uui vector l schimbre bzei. Fie v R A {... } şi B {b b... b } două bze di R şi pri buz de ottie otăm cu A şi B mtricile cestor bze.

5 Fie α α... α coordotele vectorului v î bz A şi β β... β coordotele vectorului v î bz B şi petru fiecre i i λ i λ i... λ i coordotele vectorului v i î bz B. Atuci: β αλ... α λ... cre scris mtricil devie: β αλ... α λ λ L λ β M α ude M M M M λ L λ su M se umeşte mtrice de trecere de l o bză l lt. Metod Guss-Jord elimirii complete Metod elimiării complete se pote folosi pritre ltele petru: - rezolvre uui sistem de ecuţii liire; - clculul iversei uei mtrice esigulre. Etpele plicării cestei metode sut:. Se lcătuieşte u tbel cre coţie mtrice sistemului ce trebuie rezolvt ottă A su mtrice ce trebuie iverstă A.. Se lege u elemet eul l mtricei A umit pivot.. Elemetele di tbel se modifică stfel: elemetele de pe lii pivotului se împrt l pivot; b colo pivotului se completeză cu zero; c restul elemetelor se clculeză după regul dreptughiului: - se formeză u dreptughi vâd elemetul ce trebuie îlocuit şi pivotul c vârfuri; - di produsul elemetelor de pe digol pivotului se scde produsul elemetelor celeillte digole ir rezulttul se împrte l pivot. Schemtic regul dreptughiului se prezită stfel:

6 : : b c ' ude: b b pivotul; : : b.... c elemetul ce trebuie îlocuit; ' ou vlore elemetului. d fculttiv Dcă pe lii pivotului eistă u elemet egl cu zero tuci colo celui elemet se copiză; log dcă pe colo pivotului eistă u elemet egl cu zero tuci lii celui elemet se copiză.. Se reiu pşii şi pâă câd de pe fiecre liie s- les câte u pivot... Aplicţii liire Defiiţie: Fie V V două spţii vectorile peste celşi corp de sclri K de dimesiui respectiv m. O plicţie T : V V se umeşte plicţie trsformre su opertor liiră dcă este ditiv şi omogeă deci dcă verifică: T T T V b Tα αt α K V. Teoremă Aplicţie T : V V este plicţie liiră dcă şi umi dcă: Tα β αt βt α β K V. Teoremă: Fie V V două spţii vectorile peste celşi corp de sclri K; B {... } bză spţiului vectoril V şi B {b b... b } bză spţiului V. Fie i u vector orecre di B tuci T i V şi pote fi reprezett î mod uic î fucţie de vectorii bzei B : T i α b α i b i... α i b. Mtrice formtă di coordotele vectorilor T T... T î bz B se v umi: mtrice socită plicţiei liire T î rport cu pereche de bze {B B }. α α K α α α K α M B B' T M M M M α α K α

7 .. Vlori proprii şi vectori proprii sociţi plicţiei liire. Defiiţie: Fie V spţiu vectoril dimesiol peste corpul de sclri K şi T : V V o plicţie liiră. U sclr λ K se umeşte vlore proprie petru plicţie liiră T dcă eistă cel puţi u vector eul v V stfel îcât: Tv λv. Defiiţie: Vectorul eul v V cre verifică relţi se umeşte vector propriu petru plicţi T socită vlorii proprii λ. Prezetăm î cotiure modul de determire l vlorilor şi vectorilor proprii petru o plicţie liiră. Fie T : V V o plicţie liiră cu mtrice plicţiei A T defiită î bze coice. Relţi se mi scrie: Tv λv su A λe v T v Relţi reprezită scriere mtricilă uui sistem omoge. Î cosecit coordotele vectorului propriu v eul sut soluţiile sistemului omoge. Soluţiile sistemului omoge u sut tote eule umi dcă determitul sistemului este ul: Pλ det A T - λe Poliomul Pλ se umeşte poliomul crcteristic socit plicţiei liire T şi ecuţi Pλ se umeşte ecuţi crcteristică plicţiei T. Teoremă: Fie T: V V λ K este o vlore proprie plicţiei liire T dcă şi umi dcă este rădăciă ecuţiei crcteristice... Reducere uei forme pătrtice l o formă coică. Defiiţie Fie V u spţiu vectoril peste corpul rel R de dimesiue. O plicţie f : V R este o formă trsformre su opertor liiră dcă este ditivă şi omogeă dică: f f f V b fα αf α R V. Defiiţie O plicţie f : V V R este o formă biliiră dcă este liiră î rport cu mbele rgumete deci:. f b f bf V b R. f b f bf V b R Petru formule biliire vom d o modlitte de scriere cestor sub form mtricilă: Observţie: O formă biliiră este determită dcă se cuoşte mtrice formei A.

8 Defiiţie O formă biliiră se umeşte form biliiră simetrică dcă mtrice T formei este o mtrice simetrică dică mtrice A este eglă cu trspus s: A f A f. Defiiţie Fie V u spţiu vectoril peste corpul de sclri R de dimesiue. O plicţie g: V R este o formă pătrtică dcă eistă o plicţie biliiră simetrică f: V V R stfel îcât g f T A V L Vlorile se umesc miorii mtricei A.... M Defiiţie Fie g : V R o formă pătrtică. g este pozitiv defiită dcă toţi miorii mtricei simetrice A sut strict pozitivi; g este semipozitiv defiită dcă miorii sut pozitivi su zero; g este egtiv defiită dcă miorii impri... < şi... > ; g este semiegtiv defiită dcă miorii impri... şi miorii pri... ; g petru cre u sut îdepliite ici u di codiţiile teriore este o formă pătrtică edefiită. Defiiţie: Fie g : V R o formă pătrtică. Îtr-o bză spţiului B V form pătrtică g re o formă coică dcă mtrice formei este o mtrice digolă. Metod lui Jcobi Fie o formă pătrtică g : V R g T A A mtrice simetrică. Dcă toţi miorii mtricei A sut euli tuci eistă o bză spţiului V stfel îcât form pătrtică să se trsforme î formă coică: g... ude... reprezită coordotele vectorului î bz B. Metod lui Guss costă î formre de pătrte perfecte câd coţi cel puţi u ii M K M Subiecte petru pregătire î vedere evluării file Test de utoevlure Fie vectori R şi tuci ; b ; c ; d. Rspus corect: Rezolvre:

9 Fie vectorii v v v R v şi v. Să se scrie vectorul v c o combiţie liiră vectorilor v şi v. v v v ; b v v v ; c v v v ; d v u se pote scrie c o combitie liir vectorilor v şi v Rspus corect: d Rezolvre: Coform defiiţiei trebuie să flăm sclrii α şi α stfel îcât v α v α v α α α α α α α α α α α α α su ltfel scris obţiem următorul sistem cu ecuoscutele α α. α α α α α sistem icomptibil su putem firm că vectorul α α α 7 v u se pote scrie c o combiţie liiră vectorilor v şi v. v ; v m ; v m ; m R Fie vectorii Determiţi prmetrul m R stfel îcât vectorii v v v să fie liir idepedeţi. m; b m -; c m R ; d m Rspus corect: c Rezolvre: Aplicâd defiiţi trebuie să puem codiţi c toţi sclrii α α α K să fie uli î eglitte: α v α v α v su trsformâd cestă eglitte îtr-u sistem de ecuţii liire omogee cu solutie ul uic tuci obligtoriu trebuie să puem coditi c determitul mtricii formtă di vectorii v v v să fie eul: m det A m m m m m m m R Aşdr vectorii sut liir idepedeţi petru m R. Fie vectorii v v v v v v R Vectorii v v v formeză o bză sptiului vectoril R? Rspus corect: A

10 Rezolvre: Petru demostr că sistemul formt di trei vectori v v v umrul vectorilor di bz trebuie s fie egl cu dimesiue sptiului i cre se lucrez formeză bz este suficiet să demostrăm că este u sistem liir idepedet Vectorii v v v formeză o bză sptiului vectoril R 5 Fie vectorii v v v Eprimti coordotele vectorului v î bz v v v. v ; b v 5 ; c 5 v v v R v ; d lt Rspus corect:. Rspus corect: c Rezolvre: Vom fl coordotele vectorului v î bz B v v v plicâd metod Guss-Jord: B v Citim di ultimul tbel coordotele vectorului v î bz B v v v şi ume v 5. 6 Eprimti vectorul v î bz uitră. v e e e ; b v e e e ; c; v e e e d v e e e Rspus corect: b Rezolvre: Î spţiul R vectorii uitri sut e ; e ; e şi tuci putem scrie v -e e e. 7 Eprimti vectorul v î bz v v v ude

11 ; ; v v v v v v v ; b v v v v ; c v v v v ; d lt răspus. Rspus corect: b Rezolvre: Petru eprim v î bz v v v se rezolvă pri metod Guss Jord şi obţiem v v v v su se observă vâd î vedere că v v. 8 Fie următorele sisteme de vectori: ; - ; 5 şi A { } ude B {b b b } ude b 5 ; b - ; b -. Să se determie mtrice de trecere de l bz A l bz B M 5 7 ; b M ; c M d lt rspus. Rspus corect: Rezolvre: Fie M mtrice de trecere de l A l B ; 58 Di v A A - v v A v A v B B - v v B v B A v A B v B v A A - B v B deci M T A - B pe cre o vom determi plicâd metod Guss-Jord M T M A B

12 Aplicţi T : R R ude T este o plicţie liiră? Rspus corect: A Rezolvre: Coform teoremei vom răt că: Tα β αt βt α β R R Tα β α β αt βt α β α β α β α β α β α β A. Fie plicţi liiră T : R R T Să se determie mtrice socită plicţiei liire T î rport cu pereche de bze: B { } şi B {b b b } ude - ; 5 - b b b B B' ; b M B B ' T ; c; M B B ' T d lt Rspus corect:. M T Rspus corect: Rezolvre: T T T T. Coordotele cestor doi vectori î bz B sut: 98 8 şi respectiv Deci

13 M B B' T Fie plicţi liiră T : R R T Să se determie mtrice socită plicţiei liire T î rport cu bzele coice. M B B ' T ; b M B B' T ; c M B B ' T ; d lt rspus. Rspus corect: b Rezolvre: Bzele coice sut B {e e } e e şi ' ' ' ' ' ' { } B ' e e e e ; e ; e Te T Te T. Coordotele cestor doi vectori î bz B sut şi respectiv şi deci M B B' T Fie T : R R o plicţie liiră cărei mtrice socită î rport cu bz coică este: A T Să se fle vlorile proprii sociţi cestui opertor. λ λ şi λ ; b λ λ şi λ ; c λ λ şi λ ; d lt rspus. Rspus corect: b Rezolvre: Poliomul crcteristic λ det A λe crcteristică v fi: λ λ λ P λ şi tuci ecuţi λ

14 Vlorile proprii sut soluţiile cestei ecuţii: λ λ şi λ. Fie T : R R o plicţie liiră cărei mtrice socită î rport cu bz coică este: A T Să se fle vectorii proprii sociţi cestui opertor. v k h h ude k h R şi v p p ude p R eul ; b v k -h h ude k h R şi v p p ude p R eul; c v k -h -h ude k h R şi v p p ude p R eul; d lt Rspus corect:. Rspus corect: Rezolvre: Vectorii proprii sociţi vlorii proprii λ se flă rezolvâd ecuţi: Tv λv λ Cum poliomul crcteristic λ det A λe P λ tuci ecuţi λ crcteristică v fi: λ λ Vlorile proprii sut soluţiile cestei ecuţii: λ λ şi λ. Aşdr fie λ λ tuci vom rezolv ecuţi Tv v v R v v v v v R v v v v v v v R v v v Deci v k h h ude k h R şi u sut simult uli este vectorul propriu căutt socit vlorii λ. Fie λ tuci vom rezolv ecuţi Tv -v v R v v v v v v v v R v v v Deci v p p ude p R eul este vectorul propriu socit vlorii λ. Fie o formă biliiră f : R R R f. Cre este mtrice formei biliire î bz coică?

15 A f ;b A f ;c A f ; d lt Rspus corect:. Rspus corect: b Rezolvre: Fie: f Acestă formă o idetificăm cu form biliiră dtă şi se obţie mtrice formei î bz coică: A f 5 Să se ducă l form coică următore fucţiolă pătrtică: f : R R f 6 utilizţi metod lui Jcobi f ; b f ; c f d lt rspus. Rspus corect: Rezolvre: A Clculăm miorii ; ; f şi observăm că cestă formă pătrtică este edefiită. 6 Să se ducă l form coică următore formă pătrtică g : R R g utilizâd metod lui Guss. g ; b g ; c g Rspus corect: c Rezolvre: ; d lt Rspus corect:.

16 Mtrice formei este: A cu miorii Metod lui Jcobi u se pote plic deorece vem miori uli şi tuci vom plic cest eemplu metod lui Guss. Metod lui Guss costă î formre de pătrte perfecte câd coţi cel puţi u ii g g re tură edefiită. 7 U sistem de vectori v v... v m di V se umeşte sistem liir idepedet dcă di α v α v... α m v m rezultă că sclrii α α... α m. Rspus corect: A. 8 Fie V u spţiu vectoril peste corpul K. U sistem de vectori B v v... v m se umeşte bză pe spţiul vectoril V dcă este formtă ditr-u umăr mim de vectori liiri idepedeţi Rspus corect: A. 9 Aplicţie T : V V este plicţie... dcă şi umi dcă: Tα β αt βt α β K V. liiră; b eliiră; c biliiră; d lt răspus. Rspus corect: Fie T: V V λ K este o vlore... plicţiei liire T dcă şi umi dcă este rădăciă ecuţiei crcteristice proprie; b crcteristică; c lt răspus. Rspus corect:. Fudmetre optimă deciziilor pri progrmre liiră. Decizii optime de trsport Formulre problemei de progrmre liiră PPL şi modelului mtemtic: form geerlă form coică form stdrd. Rezolvre: pri lgoritmul simple priml.

17 Form dulă PPL. Teorem de dulitte şi coţiutul ecoomic l vribilelor dule preţuri umbră. Algoritmul simple dul. Studii de cz î mgemetul ficircotbil. Formulre problemei trsporturilor şi modelului mtemtic. Soluţii de bză iiţile. Criteriile de optimizre. Studii de cz. vezi pg Mtemtici petru ecoomisti I. Dud R. Trdfir A. Bciu R. Io S. Brz Ed. FRM 7 Cocepte cheie: solutie de bză solutie optim form stdrd pivot vribile ecrt vribile rtificile... Progrmre liiră Diverse probleme ecoomice şi socile l o serie de probleme de optimizre. De eemplu:. probleme de plificre ivestiţiilor probleme de utilizre oprimă uor resurse;. probleme de trsport;. probleme de plificre producţiei. Problem utilizării optime uor resurse O îtrepridere produce rticolele A A... A utilizâd mteriile prime resursele M M... M m dispoibil de forţă de mucă cpitl eergie. Resursele sut î ctităţi limitte di de eemplu M j dispuem de o ctitte mimă b j cuoscută. Se cuosc de semee: cosumurile tehologice ij ij ctitte di M j ce se cosumă petru fbric o i j m uitte di A i M M M M m A m A m L L L L A m beeficiile uitre c i c i > i reprezetâd sum reliztă pri vlorificre uei uităţi di produsul A i. Notăm cu i i ctitte de produs A i ce v fi fbrictă. Cuoştere lui i reprezetâd obiectivul fil îtr-o problemă de plificre producţiei. ci i i Îcsările totle fiid f K Î czul î cre uitte dispue de mterii prime se pue problem utilizării lor stfel îcât să obţiă îcsări totle cât mi mri.

18 [ m] f ci i i ij i b j j m i i i Mtricel problem se scrie [ m] f c A B Putem spue că l u model de progrmre liiră vem:. o fucţie obiectiv liiră î tote vribilele f c c... c. u sistem de restricţii formte di ecuţii şi iecuţii liire. codiţii de eegtivitte supr vribilelor. u criteriu de optim de mi su de mim FORMA STANDARD A PROBLEMEI DE PROGRAMARE LINIARĂ Cosiderâd o problemă de progrmre liiră vâd drept criteriu de optim mi de eemplu miimizre cheltuielilor cest se v scrie î formă stdrd stfel: [ mi] f M m c m c K K K K m K c b b b m m Su mtricel [ m] f c A B Defiiţie. U vector X ce verifică relţi AX B se umeşte soluţie posibilă modelului. Defiiţie. O soluţie posibilă X petru cre umărul de compoete eule r este mi mic su egl cu m ir vectorii ce corespud compoetelor eule sut liir idepedeţi se umeşte soluţie de bză. Î czul î cre r < m soluţi de bză se umeşte degeertă. Defiiţie. Soluţi posibilă X este optimă dcă petru orice soluţie posibilă X vem:

19 CX CX Teoremă. Dcă X este o soluţie optimă de bză problemei de progrmre liiră PL tuci vectorii ce corespud compoetelor eule le lui X sut liiri idepedeţi. Fie problem de progrmre liiră m [ mi] f CX X R C R AX B A M m R X m rg A m Petru Rezolvre: cestui procedăm stfel:. se îtocmeşte list cu vectorii corespuzători coloelor mtricii A:.... ditre vectorii... se lege o bză {... } T. i i im. Se clculeză compoetele B T le vectorilor B î bz T.. Se determiă compoetele vectorilor {... } î bz T şi se trec î tbelul SIMPLEX. C B coeficieţii bzici B bz C i C i C m im X B soluţi compoetel e lui B î bz T C j: C C C m Z j Z Z Z j C j Z j m Z C j i i j Z C B X B 5. Dcă j tuci bz T este optimă; soluţi de bză B T complettă cu zerourile ecuoscutelor este soluţie optimă de bză vlore optimă fucţiei obiectiv este Z şi Rezolvre: s- îcheit. Dcă β petru cre β < bz T u este optimă şi se trece l puctul 6 o. 6. Se v itroduce î bză vectorul β ude: idicele β este dt de ce mi mre difereţă egtivă î modul prcurgâd etpele următore:. se împrte colo B T l colo compoetelor lui β umi compoetele strict pozitive;

20 b. se lege rezulttul miim; c. vectorul α iese di bză şi itră î bză vectorul β ; d. elemetul flt pe lii α şi colo β se umeşte pivot. 7. Completre tbloului simple se v fce stfel: bz ouă se obţie pri scotere lui α di bză şi îlocuire cu β ; colo pivotului devie vector uitr; lii pivotului se împrte l pivot rezulttul trecâdu-se î totl pe lii α; se plică regul dreptughiului elemetul ce se clculeză este dt de produsul elemetelor de pe digol pivotului se completeză liiile eă; se revie l puctul 5 o. pivot produsul elemetelor de pe celltă digolă OBSERVAŢII L ieşire di bză dcă sut mi multe rporte miime egle pote ieşi oricre di vribilele corespuzătore. Dcă l căutre vribilei ce părăseşte bz pe colo ce itră î bză u vem ici u elemet strict pozitiv tote egtive su zero lgoritmul se v îchei cu cocluzi optim ifiit. Eemplu: Să se rezolve următore problemă de progrmre liiră: [ mi] i f i 5 Rezolvre: Scriem mtrice 8 6 A 5 Observăm că vem o bză B { }

21 C j C B B X B Z j j C j Z j Z j - j C j Z j soluţi u este optimă j < j soluţi este optimă Cocluziile sut următorele: B u este optimă deorece < 5 < ; bz { } corespuzător lui 5 celei mi mri difereţe egtive î modul legem vectorul 5 î scopul itroducerii î bză; împărţid colo soluţie l colo lui 5 găsim 8 6 ir mi corespuzător pivotului v fi 5 iese di bză 5 itră î bză. L Psul următor observăm că tote difereţele j soluţi este optimă bz { 5 } este optimă soluţi optimă de bză este 5 8 vlore miimă lui f este Z 9 Algoritmul SIMPLEX petru probleme cre u u soluţi iiţilă. Restricţiile pot fi puse su sut sub form A b b idiferet dcă problem este de m su de mi. Deorece î czul ieglităţii α β γ stfel îcât α γ β vom dăug l fiecre ieglitte problemei câte o vribilă pozitivă stfel îcât sistemul de ieglităţi l problemei devie sistem de eglităţi. Fiâd... vem soluţi b... m b m posibilă pri costrucţie. Î fucţi obiectiv vribilele sut itroduse şi umite vribile de compesre su de eglizre su vribile ecrt vor figur cu coeficiet Petru problem modifictă î cest fel şi dusă deci l form stdrd se plică lgoritmul simple c î czul precedet.

22 [ ] [ m] m f CX AX b b X f CX AX I m b X Y [ m] M m f CX m i j m m j m b b b m OBSERVAŢII L determire lgoritmului SIMPLEX soluţi optimă pote cupride vribile X cât şi vribile Y X Î czul î cre eistă compoete î soluţi optimă iterpretre lor ecoomică pote fi cee de ecoomie de resurse î sesul că petru compoet optimă k de eemplu diferită de zero tuci resurs b k u fost trsformtă î îtregime. Eemplu [ m] i f i [ m] 5 i f i 5 5 Rezolvre: Mtrice corespuzătore v fi:

23 B { } Îtocmim tbloul simple c j: - 5 C B B X B 5 5 mi 5 PIVOT z j j c j z j - 5 soluţi u este optimă j > mi 5 PIVOT z j j c j z j -8-5 soluţi u este optimă j > z j 6 j c j z j Soluţi este optimă j Soluţi este 5 9 f m METODA BAZEI ARTIFICIALE Costă î itroducere uui umăr de m vribile rtificile u i u i câte u l fiecre restricţie stfel îcât restricţiile modificte devi: AX I m u b u ir fucţi obiectiv [m]f CX Mu su [mi]f CX Mu ude M forte mre î rport cu cifrele ce pr î clcule. Scopul itroducerii vribilelor rtificile este cel de ve petru îceput o soluţie de bză costtâd că cest este dtă chir de vribilele rtificile.

24 L termire lgoritmului SIMPLEX petru o stfel de problemă putem ve următorele situţii:. soluţi optimă u coţie vribile rtificile. soluţi optimă coţie vribile rtificile dr de vlore zero. Î cest cz problem re soluţie optimă degeertă. soluţi optimă coţie vribile rtificile eule. Î cest cz problem u re soluţie petru că u fost corect formultă. Di puct de vedere ecoomic prezeţ vribilelor rtificile î fucţi obiectiv îsemă o dimiure vlorii mime su o creştere vlorii miime. Eemplu [ m] i f i 5 5 Rezolvre: Mtrice sistemului A : Problem se v rescrie [ m] i f i u u u u 5 5 Mtrice se rescrie corespuzător A B {u u } Mu Mu c j - 5 -M -M C B B X B u u -M u -M u 5 5 mi 5 PIVOT z j -M -M -M -M -M -M j c j z j -M M M- M5 soluţi u este optimă j >

25 -M u mi z j 5-5M - M 5- M 5 -M M5 5 5 PIV 5 j c j z j 5M M M M-5 soluţi u este optimă j > mi 5 5 z j PIV 5 j c j z j 5-5 -M- 5 -M-85 soluţi u este optimă j z j 8 6 j c j z j - - -M -M- soluţi este optimă tote difereţe j Soluţi m f 8 5 u u OBSERVAŢII Petru o problemă ce u re soluţie iiţilă procedăm stfel:. restricţiile de form α β devi eglităţi itroducâd vribilele de compesre;. petru restricţiile α β itroducem vribilele rtificile;. petru restricţiile α β itroducem vribilele de compesre şi rtificile. Forml putem scrie: α β α γ β α β α u β α β α γ u β

26 Î fucţi obiectiv sut itroduse vribilele de compesre c î czul şi vribilele rtificile c î czul. Eemplu [ mi] i f i 6 Rezolvre: Problem se v rescrie itroducâd vribilele de compesre şi rtificile corespuzătore [ mi] i f i ; 6 u u 5 8 u ; 6 6 u 8 Mu Mu Mtrice sistemului v fi: A : Observăm că B { u u } c j M M C B B X B 5 6 u u 8 M u M u 8 - z j M M M M M M -M M M j c j z j - M - M - M - M - M - M M soluţi u este optimă j < 5 8

27 M u M u z j 6-6M - M - M - M - M - M -M M M j c j z j 6M -5 M- M- M - M M - M soluţi este optimă degeertă Soluţi [mi]f u u Probleme de trsport Cocepte cheie surse destitii form echilibrtă soluţie relizbilă metod digolei metod colţului ord-vest metod costurilor miime Problemele de trsport sut o formă prticulră problemelor de progrmre liiră petru cre metod simple pote fi dpttă codiţiilor prticulre vâd c rezultt u procedeu de Rezolvre: î pricipiu idetic celui utilizt î czul geerl. Primele rezultte u fost obţiute de Hitchcock Ktorovici şi Koopms şi ulterior de Dtzig. Î prctică o semee problemă pote fi îtâlită de eemplu sub form următore: u umit produs se flă î ctităţile... m î puctele A A... Am umite şi surse. El trebuie trsportt î puctele B B... B umite destiţii î ctităţile b b... b urmărid miimizre cheltuielilor de trsport cuoscâd preţurile uitre de trsport c ij de l surs i către destiţi j. Formulre mtemtică problemei este ij j i... m i. m ij i b j j.....

28 i... m j..... ij m [ ] f mi c ij ij.. i j i... m i b j... j c i... j... m ij m i i b j j.5. ude m ott pri ij ctităţile trsportte de l surs i către destiţi j. Relţiile. sut impuse de fptul că totlul trsportt de l fiecre sursă să u depăşescă ctitte eistetă codiţiile. impu stisfcere cererii ir.5. pr turle î cotetul cocret l problemei. Pri trsformări elemetre cest tip de problemă pote fi dus l form echilibrtă ij j m ij i b i j i... m.'. j....'. i... m j....'. ij m [ ] f mi c ij ij.'. i j i... m i b j... j c i... j... m ij m i i b j j.5'. ultim eglitte.5 se pote reliz pri itroducere uei destiţii fictive cărei să-i fie destit surplusul de produs eistet pe smblul surselor. Dtele problemei se prezită sub form uui tbel: B B K B j K B Dispoibil A c c K c j K c A c c K c j K c M M M O M O M M c K c ij K c i M M M O M O M M m m c m K c mj K m A i c i i A c i c m

29 Necesr b b K b j K b Propoziţi. Orice problemă de trsport re totdeu o soluţie relizbilă de b m i j form ij s i b j. s i j ib j Demostrţie: ij stisfc restricţiile.'. şi.'. s ib j i ij b j i i... m j j s s j m m m ib j b j ij i b j j... i i s s i şi codiţiile de eegtivitte.9.'.. Î geerl cestă soluţie u este optimă dr ţiâd sem de fptul că u progrm liir su u re soluţii posibile su dmite soluţii posibile cu optim ifiit su re soluţie optimă fiită şi ţiâd sem de propoziţi terioră rezultă că orice problemă de trsport dmite o soluţie optimă fiită deorece ij b mi şi deci situţi optimului ifiit se eclude. Propoziţi. Rgul mtricii A coeficieţilor restricţiilor liire.. este m. Rezultă că o soluţie relizbilă de bză îtr-o problemă de trsport re cel mult m compoete eule; e este edegeertă dcă re ect m compoete eule şi degeertă dcă re mi puţi de m compoete eule. i j Form mtricelă problemei de trsport AX d T X [ mi] f CX ude A este mtrice de ordi m m A M E M E T este: ude este vectorul liie... cu compoete vectorul ul... compoete K K O K K M E cu E mtrice uitte de ordi d vectorul coloă de compoete

30 m b b b ; X vectorul coloă de compoete m m m.... Petru Rezolvre: problemelor de trsport c şi î czul problemelor geerle de progrmre liiră lgoritmul de Rezolvre: re două etpe: flre uei soluţii iiţile relizbile de bză; b îmbuătăţire soluţiei iiţile pâă l obţiere soluţiei optime. Vom d î cotiure două procedee de obţiere uei soluţii iiţile relizbile de bză. Metod digolei metod colţului ord-vest. Ctităţile dispoibile...m şi cererile corespuzătore b...b se dispu pe lturile uui tbel ir celulele di iteriorul tbelului se rezervă petru ecuoscutele ij i... m ; j... cre trebuie determite. b b K b j K b M i M s m Compoetele bzice ij le soluţiei se determiă pe râd îcepâd cu şi ume: Se lege mi b şi vor fi cosiderte ebzice deci vor fi egli cu zero tote vribilele de pe ceişi liie su coloă cu coform următorelor situţii: dcă < b tuci şi j j... ; b dcă > b tuci b şi i i... m ; c dcă b tuci b şi l legere su tote celellte compoete de pe lii şi colo fiid cosiderte ebzice deci ule. Cocomitet se modifică şi vlorile lui su b îlocuidu-se cu şi b b. Î psul următor procedeul se repetă petru celulele rămse ecomplette şi se termiă după m pşi î fiecre ps completâd o liie situţi su o coloă situţi b su o liie şi o coloă situţi c. De regulă compoetele bzice u se trec î tbel ci se hşureză căsuţ respectivă. Eemplu b b 5 b 5 b.

31 b b b b s Psul I mi b b m hşurt celulele corespuzătore vribilelor ebzice petru. Se reclculeză cre devie Psul II mi b 5 şi hşurăm celulele corespuzătore vribilelor ebzice petru. Se reclculeză b cre devie b 5 5. Psul III mi b b şi hşurăm celul corespuzătore lui cre e ul. Reclculăm cre devie 5 5. Psul IV mi b 5 hşurăm celul lui cre e ul şi reclculăm b b 5 5. Psul V mi b b şi este evidet că. Ţiâd sem de costurile trecute î colţurile de sus le celulelor vem petru f vlore f Am obţiut o soluţie de bză edegeertă 5 5. Metod costurilor miime Petru determire soluţiei de bză se iu î cosiderre costurile cre e idică ordie de legere compoetelor î fiecre ps. kh Î primul ps se determiă compoet b k h kh petru cre ckh mi cij şi se i mi cu cele trei ltertive c l metod digolei. Se repetă procedeul urmărid costurile miime petru celulele ecomplette. Eemplu. Reluăm dtele di eemplul. Psul I Pe prim liie tbloului cel mi mic cost este c deci luăm b 5 mi b ; se hşureză restul de celule di colo lui b şi se reclculeză cre devie ' b b b b

32 Psul II căutăm mi c c ij mi b 5 şi hşurăm celulele liiei doi. Reclculăm b cre devie b 5 5. Psul III mi c ij c deci mi b b 5. Hşurăm colo lui b şi vem 5 5. Psul IV mi c ij c c c mi b b 5 şi b devie b b 5. Este evidet cum că şi. Avem f 5 petru Metod costurile miime dă î geerl o soluţie iiţilă de bză mi buă decât metod digolei relizâd o vlore cheltuielilor de trsport mi mică. Acest lucru este util deorece umărul iterţiilor ecesre petru tigere optimului v fi mi mic. Petru determire soluţiei optime uei probleme de trsport se utilizeză lgoritmul bzt pe doptre metodei simple l codiţiile prticulre le problemei de trsport. Subiecte petru pregătire î vedere evluării file Test de utoevlure. Fie urmtore problem de trsport: B B B B Dispoibil A 8 A A Necesr ude costurile sut c c 6 c c c c c c c 6 c 8 c c Determiti o solutie iitil cu metod digolei su coltului de ord-vest. 5 Rezolvre:.

33 mi b mi85 5 si. mi b mi5 b 5 si. mi b mi5 5 5 si. mi b mi55 5 b. mi b mi.. B B B B Dispoibil A 5 8 A A Necesr Fie urmtore problem de trsport: B B B B Dispoibil A 8 A A Necesr ude costurile sut c c 6 c c c c c c c 6 c 8 c c Optimizti urmtore soluti iitil: cu i rest. ij Rezolvre:: Asdr pud si costurile i tbel vem urmtore solutie iitil: Costul totl i cest momet este: f

34 Clculm d ij corespuztori csutelor ebzice hsurte. d c c c c 6 d c c c c c c 6 d d d d c c c c 6 5 c c c c c c c c c c c c c c 8 Criteriul de optim este: d? Rspus corect:: Nu. ij Avem c mi d ij 9 d. Asdr i ciclul lui corespuztor celulei puem i celul o vlore pozitiv t ir l celellte dugm si scdem ltertiv umrul t dic: t t 5 t 5 t t t I cest momet vom cut ce mi mre vlore t petru cre tote umerele di schem de mi sus s fie pozitive. Obtiem t 5 si vom ve soluti imbuttit: Costul totl i cest momet este: f Clculm d ij corespuztori csutelor ebzice hsurte. d c c c c 6 d c c c c 6 5 d c c c c c c 6 9 d d d c c c c 6 5 c c c c c c c c c c c c 8 6 Criteriul de optim este: d? Rspus corect:: D. Deci costul totl miim este f 5. ij. Aduceti l form stdrd urmtore problem de progrmre liir. [m] f 6 6.

35 7 9 Rezolvre:: Form stdrd problemei este: [m] 6 f 7 9. Scrieti mtrice corespuztore formei stdrd petru urmtore problem de progrmre liir si stbiliti dc problem re solutie iitil. [m] 6 f 7 9 Rezolvre: Mtrice corespuztore formei stdrd este: A si deci bz iitil este }. { B 5. Alctuiti tbelul simple l urmtorei probleme de progrmre liir si optimizti soluti cestei. [m] 6 f 7 9 Rezolvre: Tbelul simple este: 6 B C B X B i θ 9 : : 7 f i i 6.

36 Verificm criteriul de optim petru o problem de mim: j j? Observm c Rspus corect:ul este u si deci v trebui s schimbm bz. Itr i bz vectorul k corespuztor celei mi mri diferete j dic m 6 itr i bz. j Iese di bz vectorul k corespuztor celui mi mic rport θ i dic 7 mi{ 9 5 } iese di bz. Trecem l o ou itertie tbelului simple folosid lgoritmul Guss-Jord si vem: 6 B C B X C θ i : : f i 7 6 i. j? Rspus corect:: Nu. Schimbm bz: itr i bz iese di bz. 6 B C B X B θ i 6 f i j? Rspus corect:: D i 86 Atuci m f si se relizez petru Aduceti l form stdrd urmtore problem de progrmre liir. [m] f 5 6 Rezolvre: Aducem problem l form stdrd.

37 [m] 5 f 6 7. Scrieti mtrice socit urmtorei problem de progrmre liir si stbiliti o solutie iitil. [m] 5 f 6 Rezolvre:: Scriem mtrice sistemului de eglitti petru verific dc problem re solutie iitil de bz. Avem A si observ c u putem lege i cest momet bz iitil. Petru cest itroducem o vribil rtificil i ecuti dou cre v pre cu coeficietul > M M suficiet de mre si vem: [m] 5 M f. 6 Avem c 5 A si bz iitil rtificil v fi }. { 5 B 8. Scrieti tbelul simple petru urmtore problem de progrmre liir si optimizti soluti. [m] 5 f 6 Rezolvre: Tbelul simple este: 5 M B C B X B 5 i θ 6 : 6 5 M :

38 f i M M M M M i 5 M M M. Verificm criteriul de optim petru o problem de mim: j j? Obsevm c Rspus corect:ul este u si deci v trebui s schimbm bz. Itr i bz vectorul k corespuztor celei mi mri diferete j dic m 5 M itr i bz. j Iese di bz vectorul k corespuztor celui mi mic rport θ i dic mi{ } 5 iese di bz. Trecem l o ou itertie tbelului simple folosid lgoritmul Guss-Jord si vem: 5 M B C B X B 5 θ i : 5 u se fce f i M 5 i j? Rspus corect:: Nu. Schimbm bz: itr i bz iese di bz. 5 M B C B X B 5 θ i f i 5 5 i 5 M. j? Rspus corect:: D. Atuci m f 5 si se relizez petru. 9. Scrieti dul urmtorei probleme primle. [mi] f

39 P 8 6 Rezolvre: Dul problemei este: [m] g 8 6 D 6. Scrieti dul urmtorei probleme primle. [mi] f 5 P 7 Rezolvre: Dul problemei este: [m] g 7 D 5. Elemete de liză mtemtică cu plicţii î fudmetre deciziei ecoomice optime. Modelul dimicii proceselor ecoomice. Modelul dimicii proceselor ecoomice Serii umerice criterii de covergeţă. Şiruri de fucţii. Serii de puteri. Seri Tlor petru fucţii de o vribilă relă. Fucţii de mi multe vribile.cotiuitte fucţiilor î spţiul R : limite limite iterte. Derivbilitte fucţiilor î R : derivte prţile de ordiul I şi de ordi superior. Difereţil de ordi I şi de ordi superior; coţiut ecoomic. Derivt fucţiilor compuse. Etremele fucţiilor de mi multe vribile etreme cu legături. Coţiut ecoomic. Aplicţii şi studii de cz. Itegrle. Dimic proceselor ecoomice: liz î timp cotiuu şi î timp discret. Tipuri priciple de ecuţii difereţile cu plicţii î ecoomie: ecuţii cu vribile seprbile ecuţii omogee ecuţii difereţile liire ecuţii difereţile de tip Beroulli şi Riccti şi plicţiile lor.

40 vezi pg Mtemtici petru ecoomisti I. Dud R. Trdfir A. Bciu R. Io S. Brz Ed. FRM 7 Cocepte cheie: veciătte uui puct puct de cumulre limite iterte fucţie difereţibilă fucţie derivbilă prţil fucţie difereţibilă puct stţiorpuct de etrem puct de miim puct de mimpucte de etrem coditiot multiplictorul lui Lgrge. Fucţii de mi multe vribile Fucţiile de mi multe vribile sut îtâlite î modelre ctivităţilor ecoomice. De eemplu: o firmă eportă produse î ctităţile l preţul pieţii p p p. Să se scrie fucţi cre cutifică ivelul îcsărilor dcă: idiferet de ctităţile cumpărte preţurile rămâ p p p ; b se fce o reducere de preţ de % petru produsele şi şi de 5% petru produsul î rport cu ctităţile cumpărte. Avem î cele două czuri răspusurile: Y p p p Y p p p p p p. b 5 Î mbele czuri vem c fucţie de vribilele. Petru studiul cotiuităţii şi derivbilităţii fucţiilor de mi multe vribile sut ecesre câtev oţiui importte î spţiul R. Defiiţie. Se umeşte sferă su bilă deschisă cu cetrul î puctul R şi de rză r mulţime Br { R d < r} cu d distţ di R Dcă distţ d r bil este îchisă. Dcă bil este u cerc cu cetrul î puctul şi rză r. Dcă bil este o sferă cu cetrul î puctul şi de rză r. Defiiţie: Numim veciătte uui puct R orice mulţime cre coţie o bilă deschisă cu cetrul î şi o vom ot pri V r. su Defiiţie: Numim veciătte puctului R orice mulţime V cre coţie u itervl dimesiol I cre coţie puctul. Deci I V. Fie A R Defiiţie. Numim fucţie relă de o vribilă vectorilă o fucţie f: A R şi se oteză f A su f....

41 Observţie: Mulţime R e u spţiu vectoril fţă de operţiile de dure şi îmulţire cu sclri deci puctele di R le vom umi vectori ir... coordotele su compoetele vectorului. Î cotiure e vom ocup de fucţiile rele de două vribile rele. Î cest cz umim itervlul bidimesiol simetric deschis l puctului P b: I { R - < ε - b < η ε > η > } Limit uei fucţii îtr-u puct Defiiţie: Fie D R. U puct M b se umeşte puct de cumulre petru D dcă orice veciătte lui coţie cel puţi u puct di D diferit de M. Defiiţie.U şir de pucte di D : { } N* este coverget dcă şirurile de umere rele { } N* şi { } N* sut covergete. Fie f : D R D R şi M b puct de cumulre petru D. Defiiţie: Numărul m R fiit su u se umeşte limit fucţiei f î puctul M b dcă petru orice şir coverget de pucte di D \ M cu P î R î R M b rezultă f P m. Fie Limite iterte D R şi M b puct de cumulre petru D şi f: D R. Fiăm şi presupuem că eistă şi lim ϕ lim lim f b b lim f ϕ Î mod log dcă fiăm şi dcă eistă lim f ψ şi limψ lim lim f b b ceste se umesc limite iterte le lui f î M. Observţi : Eisteţ lor u iflueţeză eglitte lor eemplu: f. Î M vem lim lim şi lim lim. Observţi : Eisteţ şi eglitte lor u implică eisteţ limitei î cel puct Eemplu: f.

42 Avem: lim lim lim lim dr m demostrt terior că cestă fucţie u re limită î origie. Fie f D R D b D : R şi M Cotiuitte îtr-u puct Defiiţie Fucţi f este cotiuă î puctul M dcă petru { } P u şir de î D î R pucte di D cu P M să vem: f P M su Defiiţie: f este cotiuă î M dcă petru ε > δ ε > ş îcât petru P D cu dpm δ ε să vem d f P f M ε. Observţie: Propriette de cotiuitte se defieşte î rport cu smblul vribilelor şi î prticulr o fucţie cotiuă îtr-u puct e cotiuă î rport cu fiecre vribilă î prte. Reciproc NU. Derivte prţile Defiiţie: D R f : D R şi b u puct iterior lui D Fucţi f este derivbilă prţil î rport cu î puctul b dcă f b f b lim eistă şi este fiită Vom ot cestă limită cu f b f b şi o vom umi derivtă prţilă de ordiul fucţiei f î puctul b Defiiţie Fucţi f e derivbilă prţil î rport cu î puctul b iterior lui A dcă f f b lim şi este fiită b b Vom ot cestă limită cu f b f b Fie Defiiţie f : D R R derivbilă prţil î rport cu respectiv cu D

43 Dcă derivtele prţile f f defiite pe D sut l râdul lor derivbile prţil î rport cu tuci derivtele lor prţile sut derivte prţile de ordiul le lui f şi se oteză: f f f f f f f f f f f f f f Criteriul lui Schwrtz Dcă fucţi f: R R E re derivte prţile mite de ordiul îtr-o veciătte V lui b E şi dcă sut cotiue î b tuci: b f b f.. Difereţile Fie f o fucţtie relă de două vribile R R E f : şi fie u puct iterior lui E. Defiiţie. Fucţi f e difereţibilă î puctul dcă eistă două umere rele λ şi µ şi o fucţie R R E : ω cotiuă î şi ulă î cest puct: lim ω ω stfel îcât petru orice puct E tuci:. f f ω µ λ Proprietăţi: Dcă fucţi f e difereţibilă î puctul tuci e re derivte prţile î şi λ ' f şi µ ' f Eglitte de defiiţie difereţibilităţii se scrie: ' ' f f f f ω Dcă fucţi f este difereţibilă î tuci e este cotiuă î cest puct.

44 Dcă fucţi f re derivte prţile f f îtr-o veciătte V lui şi dcă ' ' ceste derivte prţile sut cotiue î tuci fucţi f este difereţibilă î. Defiiţie. Fucţi liiră de două vribile: ' ' df f f se umeşte difereţil fucţiei. f î puctul Difereţil fucţiei f se mi oteză ' ' df f d f d Defiiţie. Fucţi f dmite difereţilă de ordi î dcă tote derivtele prţile de ordiul îtâi eistă îtr-o veciătte puctului şi sut difereţibile î d f '' '' '' f d f dd f d. Eemplu Să se clculeze difereţilele de ordiul îtâi şi doi petru următorele fucţii: f cos defiită pe R b f defiită pe R c f l defiită pe R d f e defiită pe R. Rezolvre:: Deorece fucţi dmite derivte prţile de orice ordi. f f Avem: si Deci df - si [d d] Apoi si f d si cos f si cos f si cos pri urmre: d f - cos [ d dd d ] b Am văzut î eemplul precedet că î origie fucţi u este difereţibilă. Î orice lt put fucţi dmite derivte prţile cotiue:

45 f f şi deci este difereţibilă şi vem: df [ d d] f f f Deorece derivtele prţile de ordiul l doile sut cotiue î tot plul eceptâd origie rezultă că î orice puct diferit de origie difereţilă dou eistă şi este: d f [ d dd d ] c Pe domeiul dt fucţi dmite derivte prţile de orice ordi cotiue î tot plul deci fucţi dmite difereţile de orice ordi: f f l şi Aşdr df l d d f [ l ] f f d f d f d Deorece e Aşdr dd şi tuci df e [ d d] [ ] f e e e şi [ ] f e f e

46 [ ] f e e şi tuci d f e [ d dd d ].. Etremele fucţiilor de două vribile Defiiţie Fie f o fucţie relă de două vribile defiite pe o mulţime E R. U puct b E se umeşte puct de mim locl respectiv de miim locl l fucţiei f dcă eistă o veciătte V lui b stfel îcât petru orice V E să vem: f f b respectiv f f b. Teoremă Dcă fucţi f re derivte prţile îtr-u puct de etrem b di iteriorul mulţimii E tuci derivtele prţile le fucţiei se ulez î cest puct: f b şi f b Defiiţie U puct iterior b E se umeşte puct stţior l fucţiei f dcă fucţi f e difereţibilă î puctul b şi dcă difereţil s e ulă. Teoremă Dcă b este puct stţior l fucţiei f şi dcă fucţi f re derivte prţile de ordiul doi cotiue îtr-o veciătte V puctului b tuci: Dcă f '' b f '' '' b f b > tuci b e puct etrem locl l fucţiei f şi ume: dcă '' dcă '' f b > tuci b e puct de miim f b < tuci b e puct de mim. Dcă < tuci b u este puct de etrem Dcă tuci u se pote firm imic despre puctul b. Eemplu: Să se găsescă etremele următore fucţie: f 5 R Rezolvre: Coform teoriei geerle etremele fucţiei sut soluţii le sistemului: f f Puctul stţior dică soluţi sistemului este. Clculăm derivtele prţile î puctul :

47 f f şi f f > şi > şdr puctul este puctul de miim şi vlore fuctiei este f Etreme cu legături codiţiote Se cosideră fucţi cu două vribile f:e R R.. şi codiţi F.. ude F re celşi domeiu de defiiţie c şi fucţi f. Defiiţie: Etremele fucţiei.. cre stisfc şi codiţi.. se umesc etreme codiţiote le fucţiei.. de codiţi.. su etremele fucţiei.. supuse l legăturile... Defiiţie: Puctele stţiore le fucţiei.. câd prcurge mulţime soluţiilor codiţiei.. se umesc pucte stţiore legte su pucte stţiore codiţiote le fucţiei f. Dcă puctul M b este puctul de etrem căutt tuci cosiderăm fucţi: ϕ f λf ude λ se umeşte multiplictorul lui Lgrge. Petru flre coordotelor puctului Mb rezolvăm următorul sistem de derivte prţile: ϕ ϕ F Dcă d ϕb > tuci puctul Mb este puct de miim Dcă d ϕb < tuci puctul M b este puct de mim Altfel u putem preciz tur puctului M. Eemplu: Determiţi puctele de etrem petru: f cu codiţi defiit pe R \{

48 Rezolvre: Cosiderăm λ ϕ Rezolvăm sistemul λ κ λ ϕ Soluţi sistemului este petru λ P λ ϕ λ ϕ λ ϕ d d d ϕ P stfel 6 d d d ϕ e puct de miim. Subiecte petru pregătire î vedere evluării file Test de utoevlure Fucţi f este difereţibilă î puctul A. Rspus corect: A Rezolvre: V trebui să rătăm că re loc eglitte: f f f f ω cu lim ω.

49 f Deorece şi f şi f tuci eglitte devie: ω cu limω su ω ω De ici deducem ω şi. Este fucţi f Rspus corect: F lim difereţibilă î origie? Rezolvre: Dcă fucţi r fi difereţibilă î origie coform uei teoreme euţte l îceputul cpitolului Aliză MtemticăMtemtici petru ecoomişti R. Trdfir I. Dud A. Bciu R. Io r trebui să dmită derivte prţile î cest puct. Îsă f lim lim lim f lim lim lim. f Alog procedăm petru. Î origie fucţi u dmite derivte prţile deci u este difereţibilă.. Clculţi derivtele prţile de ordiul îtâi le fucţiei f ; f ; b f ; f ; c f ; f ; d lt răspus. Răspus corect: Rezolvre: f ; f f

50 . Clculţi derivtele prţile î puctul M le fucţiei f f f ; b f f ; c f f ; d lt răspus. Răspus corect: Rezolvre: Fie M ude tuci f f f f 5. Clculţi derivtele prţile de ordiul l doile le fucţiei f f 6 f 6 f ; b f 6 f 6 f ; c f 6 f 6 f ; d lt răspus. Răspus corect: c Rezolvre: f f f 6 f 6 f f 6.Clculţi derivtele prţile de ordiul l doile le fucţiei f e - f e f e

51 f. e b f e f e f. e c f e f e f. e d lt răspus. Răspus corect: b Rezolvre: f e e f e e f e e f e e f. e e f e e 7. Să se clculeze difereţil de ordiul îtâi petru următore fucţie: f e defiită pe R. df e d d [ ] b df e [ d d] c df e [ d d] d lt răspus. Răspus corect: b Rezolvre:: f e Deorece şi şi tuci df e [ d d] f e 8. Să se clculeze difereţil de ordiul l doile petru următore fucţie: f e defiită pe R.

52 d f e d dd d b d f e d dd d c d f e d dd d d lt răspus. Răspus corect: c Rezolvre: f e e f e e f e e şi tuci d f e d dd d 9. Să se găsescă etremele următorei fucţii: 5 f > M5 puct ş b M5 puct de miim c M5 puct de mim d lt răspus. Răspus corect: b Rezolvre:: Coform teoriei geerle etremele fucţiei sut soluţii le sistemului: 5 f f Soluţi sistemului este 5 şi. Atuci umim puctul M5 puct stţior: Avem f f şi f f f f 5 Deorece f 5 > Determiţi puctele de etrem petru: fucţi f dmite î puctul 5 u miim vâd vlore f5 f cu codiţi 5 defiită pe R

53 P este puct de miim P este puct de mim b P este puct de mim P este puct de mim c P este puct de miim P este puct de miim d lt răspus. Răspus corect: Rezolvre: Cosiderăm ϕ λ -5 ϕ λ ϕ λ 5 Soluţi sistemului este P şi P petru λ petru λ Clculăm derivtele prţile de ordiul II ϕ λ λ ϕ λ λ ϕ λ d ϕ d d > stfel cocluzi este că puctul P este puct de miim d ϕ d d < şi î cest cz P este puct de mim

54 . Modelul dimicii proceselor ecoomice Dimic proceselor ecoomice: liz î timp cotiuu şi î timp discret. Tipuri priciple de ecuţii difereţile cu plicţii î ecoomie: - ecuţii cu vribile seprbile - ecuţii difereţile liire Ecuţii omogee Ecuţii difereţile de tip Beroulli şi Riccti şi plicţiile lor.. Ecutii diferetile Cocepte cheie ecuţie difereţilă de ordi curbă itegrlă soluti geerlă su itegrl geerlă solutie prticulră problemă Cuch codiţie iiţilă Defiiţie Numim ecuţie difereţilă de ordi o ecuţie de form F... cu vribil idepedetă [ b] F [ b] Y Y R dcă se cere s se determie fucti [ b] iclusiv î orice puct di [ b] si cre verifică.5.. Defiiie Fuctiile se umesc solutii le ecutiei.5.. :.5. vâd derivte pâă l ordiul Grficul uei solutii le ecutiei.5. este o curbă î pl umită si curbă itegrlă. Î geerl o ecutie diferetilă se eprimă sub formă diferetilă-fie lege uui feome fizic determit fie o propriette comuă curbelor uei fmilii. Multime tuturor solutiilor uei ecutii diferetile dte costituie soluti geerlă su itegrl geerlă. E depide de u umăr de costte rbitrre egl cu ordiul ecutiei. Numim solutie prticulră soluti obtiută di soluti geerlă petru vlori prticulre dte costte. Eemplul Ecuti fudmetlă dimicii puctului mteril se scrie mγ F.5. ude γ este ccelerti puctului de msă m F este rezultt fortelor cre lucreză supr puctului. Dcă puctul mteril descrie o dreptă lută c ă O tuci ecuti de miscre.5. se scrie d d.5. m X t dt dt

55 Compoet X fortei F după O depizîd î geerl de pozisi mobilului de vitez lui si de timp. Dcă X u depide de poziti puctului vem d d m X t dt dt.5. d cre cu substituti v ecuti devie dt dv.5.5 X v t dt m o ecutie diferetilă de ordiul îtâi. De ici rezultă si reciproc orice ecutie diferetilă de ordiul îtâi reprezită o umită miscre uui puct mteril. Eemplul Fiid dtă fmili de curbe de ecutie F C... C.5.6 m cre depide de m prmetri costti puem form ecuti diferetilă cestei fmilii. Se elimiă cei m prmetrii C... C m ître ecuti dtă si primele m derivte î rport cu. Rezulttul elimiării este o ecutie diferetilă de ordi m. Deci s cum m spus l îceput o ecutie diferetilă eprimă o o propriette comuă curbelor uei fmilii. Eemplu Să se determie ecuti diferetilă cercurilor tgete ei O cu cetrul pe O C. Ecuti fmiliei de cercuri este.5.7 Derivăm î rport cu si găsim.5.8 de ude.5.9 ir ecuti diferetilă cercurilor devie.5. Defiiţie Se umeşte ecuţie difereţilă de ordiul îtâi o ecuţie de form su eplicit se pote scrie F f Coditii iitile. Problem lui Cuch petru ecuti f D R f cotiuă î.5..5.