DRŽAVNO NATJECANJE IZ LOGIKE Crikvenica, 21. 22. svibnja 2004. UPUTE NATJECATELJIMA Pri rješavanju zadataka držite se uputa i samoga teksta zadatka. Ako se u zadatcima susretnete s nepoznatim sadržajima, oslonite se na umetnute naputke. Može se doći do rješenja zadatka i bez prethodnoga susreta s takvom vrstom zadataka. Ili shvatite uključno ako nije drukčije rečeno. Priroci (predikati) javljaju se u dvama oblicima, npr. P ax i P (a, x). BODOVI: POTPUNO ISPRAVNO rješenje: 3 boda, IZOSTANAK rješenja: 1 bod, KRIVO ILI NEPOTPUNO rješenje: 0 bodova. REZULTATI: Zadatak broj bodova i 1. ispravak i 2. ispravak i potpis potpis potpis 1. 2. 3. 4. 5. UKUPNO: 1
1. Promotrite sljedeći izričaj: ZADATCI I OVAJ JE ZADATAK RJESIV (Ne obzirite se na rjesiv umjesto rješiv to je zbog logičke abecede.) Neka vrijedi sljedeće tumačenje: predmetno područje: pojavci slova u gornjem izričaju (dakle u gornjem izričaju ima nekoliko pojavaka slova A, i svaki je taj pojavak jedan predmet), A 1 : je pojavak slova A; D 1 : je pojavak slova D; itd. za svako slovo, L 2 : je lijevo od (ne nužno neposredno lijevo), D 2 : je desno od (ne nužno neposredno desno), I 3 : je izmedu i (ne nužno neposredno izmedu). Upišite na praznu crtu desno od sljedećih iskaza DA ako je iskaz istinit, ili NE ako nije: (a) x(ox y(oy y = x)) (b) x y((ax Sy) Lxy) (c) x y z w(((((dz Ax) Jy) V w) Iwxy) Dzx) (d) x(ix y Lyx) (e) x y((ax Ay) x = y) (f) x y(((ix Iy) x = y) z(iz (z = x z = y))) (g) x y((ox V y) Lxy) z(v z Az) (h) x(zx y z((ay Az) Ixyz)) (i) x y( Lxy (Jx Jy)) (j) x((v x y(ay Lyx)) z Dzx) Upišite sve tročlane nizove slova koji ispunjavaju uvjete a) i d), a ne ispunjavaju uvjet i). 2
2. Zabavimo se sada malo suvremenim definicijama! (a) Definirajmo pojam formule u nekom (skraćenom) logičkom jeziku. (Riječ je o jednoj induktivnoj definiciji!) Definicija (Formula): i. W, X, Y i Z jesu formule, ii. ako je φ formula, φ je formula, iii. ako su φ i ψ formule, (φ ψ) je formula, iv. ako je φ formula, φ je formula, v. ništa nije formula ako nije tvoreno opetovanom primjenom pravila i. iv. Dokažite da je prema gornjoj definiciji sljedeći izraz formula: ( ((X Y ) Z) W ) Naputak: Postupno raščlanjujte formulu na sve njezine dijelove koji su formule, i svaki put navedite slučaj (i., ii., iii. ili iv.), prema kojem je dotični izraz formula! Formula Slučaj Dodajte redaka koliko je potrebno! 3
(b) Evo još dviju (pojednostavnjenih rekurzivnih) definicija operacija. Te su nam operacije (ovdje označene s f i g) inače već odavno dobro poznate! U njima s( ) znači neposredni sljedbenik od, a druga se definicije nadovezuje na prvu. Uz svaku definiciju upišite naziv definirane operacije. i. A. f(x, 0) = x, B. f(x, s(y)) = s(f(x, y)). ii. A. g(x, 0)=0, B. g(x, s(y))=f(g(x, y), x). 3. Neki su se zaključci u tradicionalnoj logici smatrali ispravnima zbog prešutne pretpostavke o postajanju predmeta koji ulaze u opseg subjekta (podmeta) u smislu tradicionalne logike. Izdvojite medu dolje navedenim one zaključke koji nisu valjani ako spomenuta pretpostavka nije zadovoljena! Upišite NE u retku u kojem se javljaju takvi zaključci koji ovise o prešutnoj pretpostavci! Upišite DA ako je zaključak valjan bez ograničenja! (a) Nijedan A nije B. Dakle, nije slučaj da neki A jesu B. (b) Neki A su B. Dakle, nije slučaj da nijedan A nije B. (c) Nije slučaj da neki A jesu B. Dakle, neki A nisu B. (d) Neki A nisu B. Dakle, nije slučaj da svi A jesu B. (e) Nije slučaj da neki A nisu B. Dakle, neki A su B. (f) Neki A su B. Dakle, neki B su A. (g) Neki C su B. Svi B su A. Dakle, neki A su C. (h) Nijedan C nije B. Svi B su A. Dakle, neki A nisu C. 4
4. Zadane su nam sljedeće rečenice iskazane jezikom logike prvoga reda: (a) x y z [ (Supst(x) Supst(y) Supst(z)) (x = y x = z y = z) ] (b) x[u(x, x) y(x y U(x, y)] (c) x y x = y (d) x y x = y (e) x x = x (f) x y x = y A. Je li koja od zadanih rečenica logički istinita (valjana)? Ako jest, upišite njezinu ili njihove slovne oznake, ako nije, upišite NE: B. Neka predikat (prirok) Supst 1 stoji za je supstancija, U 2 za je u, a = 2 za je identično. Proučite dolje ponudene rečenice iskazane u prirodnom jeziku. Bi li se koja od njih mogla shvatiti kao prijevod nekoj od zadanih rečenica? Ako da, upišite slovnu oznaku odgovarajuće zadane rečenice, ako ne, upišite NE! ( R je prijevod za S shvatimo kao u svim okolnostima R se poklapa u istinitosnoj vrijednosti sa S!) (a) Postoje barem dvije supstancije. (b) Postoje najviše dvije supstancije. (c) Postoje točno dvije supstancije. (d) Postoje različite supstancije. (e) Sve što jest, jest u nečem drugome samo ako nije u sebi. (f) Sve što jest, jest u sebi ili u nečem drugome. (g) Ono što nije u sebi, jest u nečem drugome. (h) Sve je jedno. 5
5. Medu zadanim rečenicama pronadite logičke istine (valjane rečenice)! Kod logički istinitih rečenica upišite DA, kod ostalih upišite NE! (a) ( xf x xgx) x(f x Gx) (b) ( xf x xgx) x(f x Gx) (c) ( xf x xgx) x y(f x Gy) (d) ( xf x xgx) x(f x Gx) 6
BODOVI: RJEŠENJA POTPUNO ISPRAVNO rješenje: 3 boda, IZOSTANAK rješenja: 1 bod, KRIVO ILI NEPOTPUNO rješenje: 0 bodova 1. DA: a, b, d, e, f, g, h, j NE: c, i IOJ, IJO Najviše 12 3 bodova. 2. (a) F ormula Slučaj ( ((X Y ) Z) W ) ii. ( ((X Y ) Z) W ) iv. ( ((X Y ) Z) W ) iii. ((X Y ) Z) ii. ((X Y ) Z) iii. (X Y ) iii. X i. Y ii. Y i. Z i. W iv. W ii. W i. Redci mogu biti navedeni BILO KOJIM REDOM! Vanjske zagrade mogu biti ispuštene (npr. X Y ). Najviše 13 3 bodova. 3 boda za svaki POTPUNO ispravan redak. (b) i. Zbrajanje (+) ii. Množenje (, ) Najviše 2 3 boda. 1
3. DA: a, b, d, f, g NE: c, e, h Najviše 8 3 bodova. 4. A. d), e), f). Najviše 3 3 bodova B. (a) NE (b) a) (c) NE (d) NE (e) NE (f) b) (g) b) (h) c) Najviše 8 3 bodova. 5. (a) NE (b) DA (c) DA (d) DA Najviše 4 3 bodova. TEST IMA 150 BODOVA. 2