Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
|
|
|
- Αἴσων Ἠσαῦ Αγγελόπουλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012
2 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno.
3 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p.
4 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p. Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost tačan, onda kažemo i da je iskaz p tačan (i analogno za istinitosnu vrednost netačan ).
5 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p. Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost tačan, onda kažemo i da je iskaz p tačan (i analogno za istinitosnu vrednost netačan ). Logički veznici služe da od polaznih iskaza dobijemo složenije iskaze.
6 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu vredost: tačno ili netačno. Iskaze ćemo obeležavati slovima, recimo p, q, r,.... Umesto iskaz koji je obeležen slovom p, mi ćemo kraće reći iskaz p. Ako iskaz p ima istinitosnu vrednost tačan, onda kažemo i da je iskaz p tačan (i analogno za istinitosnu vrednost netačan ). Logički veznici služe da od polaznih iskaza dobijemo složenije iskaze. Logički veznici koje ćemo ovde razmatrati su: i, ili, ako...onda, ako i samo ako (binarni veznici), i nije (unarni veznik):
7 Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q,
8 Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q,
9 Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q, implikacija iskaza p i q je iskaz : ako p onda q,
10 Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q, implikacija iskaza p i q je iskaz : ako p onda q, ekvivalencija iskaza p i q je iskaz : p ako i samo ako q,
11 Složeni iskazi konjunkcija iskaza p i q je iskaz p i q, disjunkcija iskaza p i q je iskaz : p ili q, implikacija iskaza p i q je iskaz : ako p onda q, ekvivalencija iskaza p i q je iskaz : p ako i samo ako q, negacija iskaza p je iskaz : nije p.
12 Istinitosna vrednost složenog iskaza Istinitosna vrednost složenog iskaza zavisi od istinitosnih vrednosti iskaza od kojih se taj iskaz sastoji, i to na sledeći način: iskaz p i q je tačan ako i samo ako su i p i q tačni, iskaz p ili q je netačan ako i samo ako su i p i q netačni, iskaz ako p onda q je netačan ako i samo ako je p tačan a q netačan, iskaz p ako i samo ako q je tačan ako i samo ako iskazi p i q imaju istu istinitosnu vrednost, iskaz nije p je tačan ako i samo ako je iskaz p netačan.
13 Sintaksa iskazne logike Azbuka iskazne logike se sastoji od sledećih simbola: skup iskaznih slova S, simboli logičkih operacija:,,,,, pomoćni znaci: (, ).
14 Sintaksa iskazne logike Azbuka iskazne logike se sastoji od sledećih simbola: skup iskaznih slova S, simboli logičkih operacija:,,,,, pomoćni znaci: (, ). Skup iskaznih formula je najmanji skup reči nad azbukom L tako da Sva iskazna slova su iskazne formule; Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A)
15 Indukcija po složenosti formula Teorema Neka je O neki podskup skupa svih iskaznih formula Form tako da važe sledeći uslovi S O, Ako formule A i B pripadaju skupu O, tada i formule A B, A B, A B, A B, A pripadaju skupu O. Tada je O = Form.
16 Iskazna algebra Iskazna algebra je algebra I = {, },,,,,, gde su operacije,,, binarne, a unarna operacija, definisane svojim Cayleyevim tablicama na sledeći način: p p
17 Interpretacija iskazne formule Valuacija u iskaznoj logici je svako preslikavanje τ : S {, }. Interpretacija iskaznih formula za datu valuaciju τ jeste preslikavanje v τ : Form {, } tako da ako je p S iskazno slovo, onda v τ (p) = τ(p), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ (A B) = v τ (A) v τ (B), v τ ( A) = v τ (A). Za v τ (A) kažemo da je vrednost formule u valuaciji τ (ili u interpretaciji v τ ). Ukoliko je v τ (A) =, kažemo da je formula A u toj valuaciji (interpretaciji) tačna, a ako je v τ (A) =, da je netačna.
18 Istinitosna funkcija Teorema Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo od vrednosti onih iskaznih slova koja figurišu u formuli A.
19 Istinitosna funkcija Teorema Vrednost iskazne formule A u nekoj valuaciji zavisi samo od vrednosti onih iskaznih slova koja figurišu u formuli A. Definicija Istinitosna funkcija je svaka funkcija f : {, } n {, }, gde n 1. Ako je A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka formula, onda istinitosna funkcija indukovana sa A jeste funkcija f A : {, } n {, } takva da za sve a 1, a 2,..., a n {, } važi f A (a 1, a 2,..., a n ) = v τ (A), gde je τ valuacija u kojoj je τ(p i ) = a i, za sve i {1, 2,..., n}. Primer... Test A...
20 Vrste iskaznih formula Definicija Kažemo da je iskazna formula A zadovoljiva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule tačna, oboriva ako postoji valuacija u kojoj je vrednost te formule netačna, tautologija ili valjana formula je tačna za sve valuacije, kontradikcija ako je njena vrednost netačna za sve valuacije. Test A...
21 1. p p Zakon dvojne negacije 2. p p Tertium non datur 3. (p p) Zakon neprotivrečnosti 4. (p (p q)) q Modus Ponens 5. ((p q) q) p Modus Tollens 6. (p q) ( q p) Kontrapozicija 7. (p q) p q De Morganov zakon za 8. (p q) p q De Morganov zakon za 9. ((p q) (q r)) (p r) Zakon silogizma 10. ( p (q q)) p Reductio ad absurdum 11. p (p q) Ex falso quolibet 12. p (q p) Verum ex quolibet 13. ((p r) (q r)) ((p q) r) Zakon nabrajanja 14. (p q) ((q r) (p r)) Tranzitivnost za 15. ((p q) (q r)) (p r) Tranzitivnost za 16. ((p q) p) p Pierceov zakon
22 Zamena, logička ekvivalentnost Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ), i neka su B 1, B 2,..., B n neke formule. Sa A(B 1, B 2,..., B n ) označimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule B i umesto iskaznog slova p i (i {1, 2,..., n}).
23 Zamena, logička ekvivalentnost Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ), i neka su B 1, B 2,..., B n neke formule. Sa A(B 1, B 2,..., B n ) označimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule B i umesto iskaznog slova p i (i {1, 2,..., n}). Teorema Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka tautologija. Tada za proizvoljne formule B 1, B 2,..., B n važi da je A(B 1, B 2,..., B n ) takodje tautologija.
24 Zamena, logička ekvivalentnost Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ), i neka su B 1, B 2,..., B n neke formule. Sa A(B 1, B 2,..., B n ) označimo formulu koja nastaje simultanom zamenom formule B i umesto iskaznog slova p i (i {1, 2,..., n}). Teorema Neka je A = A = A(p 1, p 2,..., p n ) neka tautologija. Tada za proizvoljne formule B 1, B 2,..., B n važi da je A(B 1, B 2,..., B n ) takodje tautologija. Definicija Za dve formule A i B kažemo da su logički ekvivalentne ako je formula A B tautologija. U tom slučaju pišemo A B.
25 Najlakše tautologije 1. A A A Idempotentnost konjunkcije 2. A A A Idempotentnost disjunkcije 3. A B B A Komutativnost konjunkcije 4. A B B A Komutativnost disjunkcije 5. A B B A Komutativnost ekvivalencije 6. (A B) C A (B C) Asocijativnost konjunkcije 7. (A B) C A (B C) Asocijativnost disjunkcije 8. (A B) C A (B C) Asocijativnost ekvivalencije 9. A (A B) A Apsorpcija prema 10. A (A B) A Apsorpcija prema 11. A (B C) (A B) (A C) Distributivnost prema 12. A (B C) (A B) (A C) Distributivnost prema
26 Odnos medju veznicima A B A B A B (A B) A B A B A B (A B) A B ( A B) A B ( A B) A B (A B) (B A) A B ( A B) ( B A)
27 Potformule ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih formula...
28 Potformule ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih formula... Definicija Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definišemo kao najmanji skup formula koji zadovoljava sledeća dva uslova: svaka formula je sama sebi potformula; ako je F jednaka nekoj od formula A B, A B, A B, A B, onda je svaka od podformula formula A i svaka potformula formule B ujedno i potformula od F; ako je F = A, onda je svaka potformula formule A ujedno i potformula od F.
29 Potformule ekvivalencijska transformacija formula: postupak kada se od jedne formule konstruiše lanac ekvivalentnih formula... Definicija Neka je F neka formula. Skup potformula formule F definišemo kao najmanji skup formula koji zadovoljava sledeća dva uslova: svaka formula je sama sebi potformula; ako je F jednaka nekoj od formula A B, A B, A B, A B, onda je svaka od podformula formula A i svaka potformula formule B ujedno i potformula od F; ako je F = A, onda je svaka potformula formule A ujedno i potformula od F. Neka je A neka formula i C njena potformula. Ako je D neka formula tako da je C D tada je A A[C D].
30 Logičke konstante Proširena azbuka iskazne logike L se dobija dodavanjem dva simbola logičkih konstanti i standardnoj azbuci L. Skup iskaznih formula Form je najmanji skup reči nad azbukom L tako da važi.1 Sva iskazna slova i simboli logičkih konstanti i su iskazne formule;.2 Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A)
31 Logičke konstante Proširena azbuka iskazne logike L se dobija dodavanjem dva simbola logičkih konstanti i standardnoj azbuci L. Skup iskaznih formula Form je najmanji skup reči nad azbukom L tako da važi.1 Sva iskazna slova i simboli logičkih konstanti i su iskazne formule;.2 Ako su A i B iskazne formule, onda su to i sledeći izrazi: (A B), (A B), (A B), (A B), ( A) Valuacija τ odnosno odgovarajuća interpretacija v τ iskaznih formula na proširenoj azbuci se definiše na isti način kao na standardnoj azbuci, s tim da za svaku valuaciju τ važi da je v τ ( ) = i v τ ( ) =.
32 Tautologije sa konstantama A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A
33 Jedan primer p q r f
34 Disjunktivna normalna forma Neka istinitosna funkcija f : {, } n {, } nije kontradikcija (tj. nema stalno vrednost ). Tada za sve x 1,..., x n {, } važi: f (x 1,..., x n ) = = {x 1 a 1 x n a n : a 1,..., a n {, } n, f (a 1,..., a n ) = } gde je x i znači x i, a x i znači x i.
35 Konjunktivna normalna forma Neka istinitosna funkcija f : {, } n {, } nije tautologija (tj. nema stalno vrednost ). Tada za sve x 1,..., x n {, } važi: f (x 1,..., x n ) = = {x 1 a 1 x n a n : a 1,..., a n {, } n, f (a 1,..., a n ) = } gde je x i znači x i, a x i znači x i.
36 Baze iskazne algebre Kao posledicu dobijamo: Za svaku iskaznu formulu A postoji njoj ekvivalentna iskazna formula B, koja od logičkih veznika ima samo,, ili, ili, ili,.
37 Baze iskazne algebre Kao posledicu dobijamo: Za svaku iskaznu formulu A postoji njoj ekvivalentna iskazna formula B, koja od logičkih veznika ima samo,, ili, ili, ili,. Definicija Neka je F neki skup istinitosnih funkcija. Kažemo da je F baza iskazne algebre I ako se svaka istinitosna funkcija može dobiti kompozicijom funkcija iz skupa F.
38 Jednoelementne baze Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q).
39 Jednoelementne baze Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q). Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q).
40 Jednoelementne baze Shefferova operacija (ili operacija nand), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q). Lukasiewiczeva operacija (ili operacija nor), u oznaci je binarna operacija skupa {, } koja se definiše sa p q := (p q). Teorema Jedine binarne operacije skupa {, } koje, svaka za sebe, čine jednoelementnu bazu iskazne algebre jesu Shefferova operacije odnosno Lukasiewiczeva operacija.
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Iskazna logika. October 26, Počeci logike i matematičke logike
Iskazna logika October 26, 2011 1 Počeci logike i matematičke logike Prvi narod u istoriji koji se bavio problemima ispravnog zaključivanja bili su Stari Grci. Zahvaljujući svom društvenom ured enju, koje
Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan.
Iskazna algebra Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Da bi se pravila za odred ivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi se sledeća matematička struktura.
Matematička logika. novembar 2012
Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog
Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić
Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne
ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Matematička logika. Madarász Sz. Rozália. Departman za matematiku i informatiku Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Novom Sadu
Departman za matematiku i informatiku Prirodno-matematički fakultet Univerzitet u Novom Sadu Matematička logika Madarász Sz. Rozália Novi Sad, novembar 2012. Predgovor Ovaj tekst je pomoćni materijal koji
Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.
Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
1.1 Iskazni (propozicioni) račun
1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 3 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 1.1 Iskazni (propozicioni) račun Osnovni elementi iskaznog računa su iskazi (rečenice) i veznici. Iskaz ili
Diskretna Matematika
Diskretna Matematika Iskazni Račun Žarko Mijajlović Zoran Petrović Maja Roslavcev........................... Matematički fakultet Beograd 2011 2 Glava 1 Iskazni račun Matematička logika najčešće se definiše
Predikatska logika - III deo. Jelena Ignjatović
Predikatska logika - III deo Jelena Ignjatović Termi i formule Matematički izrazi i formule Matematičke izraze i formule gradimo od raznorodnih elemenata. Osnovni elementi matematičkih izraza i formula
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju.
Predikatske formule rekapitulacija Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obradili na prethodnom predavanju. Izraz je proizvoljan niz simbola. Naravno, većina izraza nema nikakav
1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...
Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................
Bulove jednačine i metodi za njihovo
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Bulove jednačine i metodi za njihovo rešavanje Master rad Mentor: Slavko Moconja Student: Nevena Dordević Beograd, 2017. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Bulova algebra 3
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
8 Predikatski račun kao deduktivni sistem
26 8 Predikatski račun kao deduktivni sistem Neka je L neki jezik prvog reda. Da bismo odredili predikatski račun K L tipa L, prvo ćemo se dogovoriti šta će biti azbuka nad kojom radimo. Znamo da se svaka
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
[1] Formalni jezik iskazne logike
![[1] Formalni jezik iskazne logike](/thumbs/75/71587214.jpg "[1] Formalni jezik iskazne logike")
[1] Formalni jezik iskazne logike Svaka formalna teorija (formalni sistem) sastoji se iz tri komponente: formalnog jezika, aksioma i pravila izvođenja (zaključivanja) Formalni jezik [4] sastoji se iz osnovnih
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku
10 Iskazni račun - deduktivni sistem za iskaznu logiku Definicija 20 Iskazni račun je deduktivni sistem H = X, F orm, Ax, R, gde je X = S {,, (, )}, gde S = {p 1, p 2,..., p n,... }, F orm je skup iskaznih
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Sintaksa i semantika u logici
Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
LEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE
LEKCIJE IZ DISKRETNE MATEMATIKE Igor Ž. Milovanović Ružica M. Stanković Emina I. Milovanović Branislav M. Randjelović Sadržaj 1 Elementi matematičke logike 5 1.1 Iskaz i predikat.............................
SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Biblioteka Prirodno - matematičkih nauka
Uvod u logiku Biblioteka Prirodno - matematičkih nauka Prof. dr Žana Kovijanić Vukićević Prof. dr Slobodan Vujošević UVOD U LOGIKU Drugo izdanje Glavni urednik Prof. dr Ilija Vujošević Recenzenti Prof.
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
2. Tautologije; Bulove funkcije (SDNF, SKNF)
III dvoqas veжbi Vladimir Balti 2. Tautologije; Bulove funkcije SDNF, SKNF) Tautologije Teorijski uvod Navedimo neke tautologije zajedno sa Ƭihovim nazivima) koje se qesto koriste. naziv formula zakon
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Predikatska logika. January 8, 2012
Predikatska logika January 8, 2012 1 O predikatskoj logici Pre nego što počnemo razmatranje predikatske logike, zadržimo se na nekoliko napomena koje će, nadamo se, pomoći da se rasčiste pre svega terminološke
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda
Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda Filip Marić Milan Banković Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu Proletnji semestar 2018. Uvod Pregled 1 Uvod 2 Sintaksa
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Rezolucija u predikatskoj logici
Rezolucija u predikatskoj logici April 18, 2012 1 Uvod Kao što smo rekli u Sekciji 13 (Rezolucija u iskaznoj logici), metod rezolucije je postupak za dokazivanje da je neka (iskazna ili predikatska) formula
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.
Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od
MATEMATIKA 1 skripta za studente fizike
PDFaid.Com #1 Pdf Solutions MATEMATIKA 1 skripta za studente fizike Nebojša Č. Dinčić, Departman za Matematiku, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija e-mail: ndincic@hotmail.com Novembar
Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda
Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Rezonovanje u logici prvog reda Filip Marić Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu Proletnji semestar 2011. Uvod. Pregled 1 Uvod. 2 3 Normalne forme 4
KURS IZ MATEMATIKE I
UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Arhitektura računara
Arhitektura računara vežbe - čas 1 i 2: Minimizacija logičkih funkcija Mladen Nikolić URL: http://www.matf.bg.ac.yu/~nikolic e-mail: nikolic@matf.bg.ac.yu 1 Bulova algebra Klod Šenon je 1938. uočio da
Vremenske i prostorne klase složenosti
Vremenske i prostorne klase složenosti N. Ikodinović ikodinovic@matf.bg.ac.rs 26. 12. 2017. (Matematički fakultet, Beograd) 26. 12. 2017. 1 / 21 Pregled predavanja (Matematički fakultet, Beograd) 26. 12.
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori
Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Skupovi, relacije, funkcije
Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Šta je to relacija? U raznim oblastima se često javlja potreba da se izmed u izvesnih objekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije. Na primer, često se javlja potreba da se izvesni objekti uporede
6 Preneksna forma i skolemizacija
20 6 Preneksna forma i skolemizacija Dve korisne tehnike koje možemo koristiti prilikom rešavanja različitih problema u predikatskoj logici jesu konstrukcija preneksne forme date formule, kao i tzv. skolemizacija.
Arhitektura računara. Bulova algebra. Elementi logike. Logičke funkcije. Potpuni sistemi logičkih funkcija. Uvod u organizaciju računara 1.
Bulova algebra Arhitektura računara vežbe - čas i 2: Minimizacija logičkih funkcija Klod Šenon je 938. uočio da se Bulova algebra može koristiti u rešavanju problema digitalne elektronike. Bulova algebra
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE
SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo
Tautologije i valjane formule kao principi
UNIVERZITET U TUZLI PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET Nermin Okičić Tautologije i valjane formule kao principi zaključivanja - Radni materijal - Lukavac, 2015. Sadržaj 1 Logički veznici 1 2 Logičke operacije
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Iskazna logika. 1 Semantika iskazne logike
Iskazna logika 1 Semantika iskazne logike Iskazna formula je niz simbola odredjenog alfabeta (skupa simbola). Postoje razni alfabeti u kojima se definišu iskazne formula, a razlikuju ih simboli logički
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
Zadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Iskazno rezonovanje
Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Iskazno rezonovanje Filip Marić Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu Proletnji semestar 2018. Uvod Pregled 1 Uvod 2 Sintaksa i semantika iskazne logike.
Predikatska logika - II deo. Jelena Ignjatović
Predikatska logika - II deo Jelena Ignjatović Logika i teorija skupva Ugnježdeni kvantifikatori Ugnježdeni kvantifikatori U matematici i informatici se često sreću kvantifikatori koji se javljaju u oblasti
Elementi matematičke logike
Glava 1 Elementi matematičke logike 1.1 Pojam iskaza Neka je zadan neprazan skup I takav da se za svaki element skupa I može utvrditi da li posjeduje odredeno svojstvo ili ga ne posjeduje. Elementi skupa
Relacije poretka ure denja
Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja. Uvod. Filip Marić. Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu. Proletnji semestar 2011.
Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Uvod Automatsko rezonovanje beleške sa predavanja Uvod Filip Marić Matematički fakultet, Univerzitet u Beogradu Proletnji semestar 2011. Automatsko rezonovanje
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Funkcije. Predstavljanje funkcija
Funkcije narna relacija f je funkcionalna relacija ako važi: ( ) za svaki a postoji jedinstven element b takav da (a, b) f. Definicija. Funkcija 1 je uredjena trojka (,, f) gde f zadovoljava uslov: Činjenicu
1 Algebarske operacije i algebraske strukture
1 Algebarske operacije i algebraske strukture Defnicija 1.1 Neka su I i A skupovi. I-familija elemenata skupa A, ili familija elemenata iz A indeksirana skupom I, je funkcija a : I A koju radije zapisujemo
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
DISKRETNA MATEMATIKA
Univerzitet singidunum Ivana Kovačević DISKRETNA MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje Beograd, 013. DISKRETNA MATEMATIKA SA ZBIRKOM ZADATAKA Autor: dr Ivana Kovačević Recezenti:
Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
ν nu ξ xi π pi σ, ς sigma τ tau υ upsilon φ, ϕ phi ψ psi ω omega
Grčka slova α alpha β beta γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon ζ zeta η eta θ, ϑ theta ι iota κ kappa λ lambda o o µ mu ν nu ξ xi π pi ρ, ϱ rho σ, ς sigma τ tau υ upsilon φ, ϕ phi ψ psi ω omega Γ Gama Delta Θ
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Ово дело је заштићено лиценцом Креативне заједнице Ауторство некомерцијално без прерадa 1.
Ово дело је заштићено лиценцом Креативне заједнице Ауторство некомерцијално без прерадa 1. This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License.
APROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
MATEMATIKA 1 za studente tehničkih smerova. dr Snežana Matić Kekić
1954 1954 MATEMATIKA 1 za studente tehničkih smerova dr Snežana Matić Kekić MATEMATIKA 1 1 dr Snežana Matić-Kekić MATEMATIKA 1 smerovi: Poljoprivredna tehnika, Ured enje, zaštita i korišćenje voda i Agroindustrijsko
Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa. f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}
Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f} nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f. A f B A f 1 B
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).
![PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).](/thumbs/74/70316766.jpg "PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).")
0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo