UNIVERSITATEA AL.I.CUZA IAŞI FACULTATEA de INFORMATICĂ CALCUL NUMERIC. Anca Ignat

Σχετικά έγγραφα
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,

Curs 3. Spaţii vectoriale

2. Metoda celor mai mici pătrate

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

ECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D

Evaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.

Pentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:

2. Sisteme de ecuaţii neliniare

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Sondajul statistic- II

Procese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =

9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL

Sisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NELINIARE. 0 Norma unui vector şi norma unei matrici. n n cu elemente scalare (reale, complexe).

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

PROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)

Ax = b. 7x = 21. x = 21 7 = 3.

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât

Sub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca:

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

aşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Curs 4 Serii de numere reale

FUNDAMENTE DE MATEMATICĂ

CAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor

LEC IA 1: INTRODUCERE

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Integrala nedefinită (primitive)

sistemelor de algebrice liniarel

METODE NUMERICE Obiective curs Conţinut curs

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

METODE NUMERICE APLICAŢII

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

Sisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic

! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.

cele mai ok referate

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

CURS 4 METODE NUMERICE PENTRU PROBLEMA DE VALORI PROPRII. Partea I

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE

5.1 Realizarea filtrelor cu răspuns finit la impuls (RFI) Filtrul caracterizat prin: 5. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE. 5.1.

... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

riptografie şi Securitate

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

Answers - Worksheet A ALGEBRA PMT. 1 a = 7 b = 11 c = 1 3. e = 0.1 f = 0.3 g = 2 h = 10 i = 3 j = d = k = 3 1. = 1 or 0.5 l =

IV. Rezolvarea sistemelor liniare

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

METODE DE OPTIMIZARE. Lucrarea 8 1. SCOPUL LUCRĂRII 2. PREZENTAREA TEORETICĂ 2.1. METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE 2.2. COEFICIENTUL DE CORELAŢIE

Elemente de teoria probabilitatilor

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

P P Ó P. r r t r r r s 1. r r ó t t ó rr r rr r rí st s t s. Pr s t P r s rr. r t r s s s é 3 ñ

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Το άτομο του Υδρογόνου

Formula lui Taylor Extremele funcţiilor de mai multe variabile Serii de numere cu termeni oarecare Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergenţă

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Curs 1 Şiruri de numere reale

C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,

Jeux d inondation dans les graphes

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

Transcript:

UNIVERSIAEA AL.I.CUZA IAŞI FACULAEA de INFORMAICĂ CALCUL NUMERIC Aca Igat

CUPRINS Prelmar 3 Calcul matrcal 5 pur de matrc 8 Norme 9 Norme matrcale 0 Valor ş vector propr 4 Surse de eror î calculule umerce 9 Rezolvarea sstemelor lare Evalaurea eror î rezolvarea sstemelor lare Algortmul de elmare Gauss 7 Descompuer LU 33 Factorzarea Cholesk 37 Algortmul Gauss-Jorda de versare a ue matrc 40 Descompuer QR 43 Algortmul lu Gves 43 Algortmul lu Householder 48 Metode teratve petru rezolvarea sstemelor de ecuaţ lare 57 Schema geerală de deducere a ue metode teratve 57 Metoda Jacob petru rezolvarea sstemelor lare 60 Metoda Gauss-Sedel petru rezolvarea sstemelor lare 63 Metode teratve petru matrc smetrce ş poztv defte 67 Metodele relaxăr 68 Valor ş vector propr 73 Metoda lu Jacob petru aproxmarea valorlor propr ale ue matrc smetrce 75 Forma superoară Hesseberg 8 Algortmul QR de aproxmare a valorlor propr ale ue matrc oarecare 87 Vector propr 9

Descompuerea după valor sgulare 94 Rezolvarea ecuaţlor elare 96 Metoda bsecţe (a îjumătăţr tervalulu) 96 Metoda tagete (Newto-Raphso) 97 Metoda false pozţ (a coarde) 00 Metoda secate 0 Metoda Barstow de aproxmare a rădăclor complexe ale poloamelor 03 Metoda lu Laguerre 06 Iterpolare umercă 08 Polomul de terpolare Lagrage 08 Forma Newto a polomulu de terpolare Lagrage Schema lu Atke de calcul a dfereţelor dvzate 5 Polomul de terpolare Hermte 6 Fucţ sple lare cotue 8 Fucţ sple cubce de clasă C 9 Itegrare umercă 4 Formule de cuadratură NEWON-CÔES 6 Formula trapezulu 9 Formula de cuadratură a lu SIMPSON 30 Formula de cuadratură a lu SIMPSON (3/8) 3 Formule terate 3 Bblotec de calcul umerc 33 Bblografe 57 eme de laborator 58

Prelmar Fe K u corp ( - corpul umerelor reale sau - corpul umerelor complexe). Defe X se umete spau vectoral peste corpul K dac sut defte dou opera + : X X X : K X X, astfel îcât ( X, + ) este u grup comutatv : a + b = b + a, a,b X comutatvtate, (a + b) + c = a + (b + c), a,b,c X asocatvtate, 0 X astfel îcât a + 0 = 0 + a = a, a X - exstea elemetulu eutru, a X, -a X astfel ca a + (-a) = (-a) + a = 0 - exstea elemetulu opus. ar petru operaa de îmulre cu scalar au loc relale: (a+b) = a + b, K, a,b X, ( + ) a = a + a,, K, a X, ( a ) = ( )a,, K, a X, K astfel îcât.a = a, a X. Exemple: este spau vectoral peste. Fe x, y,. Se defesc vector x, y operale de aduare îmulre cu scalar astfel: x y x y x x y x y x x, y, x y, x x y x y x. 3

Smlar se defete spau vectoral peste corpul. Fe vectorul z : z z z cu z, z,..., z. z Petru z utlzm otale: z = a + b, Re z = a, Im z = b, za b, z a b Notm cu coloae m spaul matrclor cu elemete reale cu m l a a A, aj,,, m, j,, am a m este spaul matrclor cu elemete umere complexe cu m l coloae: a a A, aj,,, m, j,, am a m Defe Fe X u spau vectoral peste corpul K. Vector x, x,,x p X spuem c sut lar depede dac: x x.. x 0... 0 K p p p Spaul vectoral X este ft dmesoal dac exst vector x, x,,x p X, lar depede orce mulme de q elemete d X cu q > p este lar depedet. Î acest caz dmesuea spaulu X este p (dmx = p). 4

Fe spaul vectoral X ft dmesoal cu dm X = p. Orce sstem de p vector lar depede d X se umete baz a spaulu X. Fe x, x,,x p X o baz petru spaul X. Atuc petru x X, uce costatele,,, p K astfel îcât x x x x.. p p este u spau vectoral ft dmesoal, dm = cu baza caoc: 0 0 0 0 0 0 e, e,, ek,, e - pozak 0 0 0 Calcul matrcal Fe matrcea patratc A : a a A, A a a a j, j Se defete matrcea traspus: Petru matrcea: a a A, A a a a se defete matrcea adjuct A H : j A A a, m j j, j 5

H A A aj j m a a a a m H A, A a a a a m m m Petru A m matrcea adjuct cocde cu traspusa, A H = A. Fe vectorul x, acesta este cosderat vector coloa, x x x x x x x x x : Dac facem îmulrea matrcal Ae j obem coloaa j a matrc A: Ae j 0 a j a a a j poza j a a 0 m m a mj Ae j este coloaa j a matrc A, j=,...,, ar e A este la a matrc A =,...,m. Fe vector x, y, cu ajutorul lor defm produsele scalare î : x y x y x, y x y H x, y xy y xyy y x x x 6

x y x y x, y x y x, y x y y xyy y x x x Propretle matrc A H Propret ale matrc A. (A + B) H = A H + B H (A + B) = A + B. (A H ) H = A (A ) = A 3. (AB) H = B H A H (AB) = B A 4. (A - ) H = (A H ) - (A - ) = (A ) - Propoze x Fe A, x, y m m Petru cazul real avem: atuc: H Ax y m x A y,,. m m m A x, x y Ax, y x, A y Demostrae. (Ax, y) = y H (Ax) = y H A x = y H (A H ) H x = (A H y) H x = (x, A H y). 7

pur de matrc Def O matrce A se umete smetrc dac A = A. O matrce A se umete autoadjuct dac A = A H. O matrce A se umete utar dac A H A = A A H = I. O matrce A se umete ortogoal dac A A = A A = I. O matrce A, A=(a j ) se umete matrce trughular feror (sau feror trughular dac a j = 0 petru j >. a0...0 aa...0 A a aa O matrce A, A=(a j ) se umete matrce trughular superor (sau superor trughular dac a j = 0 petru j <. a a a... a 0a a a A 00a a 000... a 3 3 33 3 Notm cu I matrcea utate: I 0 0 00 0 0 00, I 00 0 00 0 8

Norme Defe Fe X u spau vectoral peste corpul K. Se umete orm aplcaa:. :X care îdeplete codle () x 0; x0x0; () x y x y, x, y X; (3) x x, x X, K. Vom um orme vectorale ormele defte pe spale X sau Exemple Fe spale vectorale sut orme vectorale: sau. Pe aceste spa urmtoarele aplca x x x ; x ; x max{ x.. }. Defe Se umete produs scalar î spaul vectoral X aplcaa:, :X X K care satsface codle : ( a) x, x 0, x X, x, x 0x 0; ( b) ( x, y) y, x, x, y X, () c x, y xy, x, y X, K, ( d) x y, z x, z y, z x, y, z X. Este adevrat urmtoarea egaltate, umt egaltatea lu Cauchy- Buakovsk-Schwarz: x, y x, x y, y x, y X 9

Demostrae. Fe c xy, xx, x0, yx y0, : K. Observm y xy, x y, yx, y y, y0 yy, 0 x yx, yxyx, xyy, xy, xx, yx, xx, yx,, yy, âd seama de faptul c (, x y) y, x (, x y) x, y x, y xx, yy, xy, yy, Schwartz. rezult 0 dec avem egaltatea Cauchy-Buakovsk- Îtr-u spau vectoral dotat cu produs scalar se poate duce o orm umt euclda: x : xx,. Reamtm defa produselor scalare pe pe troduse ateror:,,, x y x y x y x y Obem orma euclda (valabl î ambele spa x x. ): Norme matrcale Defe Aplcaa : se umete orm matrcal dac: () A 0 A ; A0A0. () A A A. (3) AB A B, A, B. (4) A* B A B, A, B. 0

Exemple Norma Frobeus deft de relaa A F j aj este o orm matrcal. Vom arta c aceast orm satsface codle d defa orme matrcale. Itroducem otale: L L A CC C îcare Lm a j a j m L ( a aa),,, m ; C j, j,,. a mj Cu aceste ota vom avea: D defe rezult c: () A 0, A F F m m j j j j A a L C m A 0,, m, j,,, aj 0 A 0. F () Fe A( L, L, L ) B( L, L, L ) A A A m B B B m m m m m m A B A B A B A A B B, Re(, ) F m (, ) F F AB L L L L L L L L L L m m A A B B A A B B A L L L L L L L L A B L Cosderm vector: A A A m B B B m a L, L, L, b L, L, L. Atuc produsul scalar î m m m A B (a, b) = ( L, L ) a b A B F F. D aceste rela rezult: ( ) F F F F F F F AB A A B B A B.. L B

Dec A B A B. F F F m (3) Fe A.Avem: F m m A a a A j j j p (4) Fe matrcle A, B A L A L A Aa j m, L, -la amatrca j A L m B b C, C C, C coloaajamatrcb B B B B j p j j p p Matrcea produs M A* B are elemetele A B j k kj, j k m a b L C. j F m p m p m p A B A B A B M, F L Cj L C j L Cj j j j A F B F. Am artat c aplcaa Frobeus este o orm matrcal. Aplcaa A max{ a ;,,, j,, } u este o orm max j matrcal. Petru = fe: A, B A A* BI, A B. max max A* B A B. max max max

Norme matrcale aturale Fe : v o orm vectoral. Pord de la aceast orm vectoral defm o orm matrcal, umt orm matrcal atural sau dus. Ax v A max{ ; x, x 0} x v max{ Ax ; x, x } v max{ Ax ; x, x } v A se umete orm matrcal atural sau orm dus de orma vectoral Avem urmtoarea relae: Norma Frobeus orm vectoral v, Ax A x A, x. v v u este o orm atural. Î adevr, petru orce F, orma matrcal dus a matrc utate este : v ar î cazul orme Frobeus avem: I Ix v max{ ; x 0}, x I ( ) petru. F v v v Petru x x orma matrcal dus este: A max{ a ; j,,, } Petru x max{ x,, } orma matrcal dus este: j j A max{ aj ;,,, }. 3

Dac este o orm vectoral v P este o matrce esgular atuc aplcaa :, x Px P P v este de asemeea o orm vectoral. Cosderm ormele matrcale duse de respectv,p - v P. Legtura dtre cele dou orme matrcale este dat de relaa A.,P PAP Valor vector propr Fe Def A. Se umete valoare propre (autovaloare) a matrc A u umr complex petru care exst u vector eul x, x0 petru care: Ax x. Vectorul x se umete vector propru (autovector) asocat valor propr. Observm c: Ax x( I A) x 0, x 0det( I A) 0 adc matrcea I A este sgular. Polomul: p ( ) det( I A) a a... a a A se umete polom caracterstc asocat matrc A. Polomul p A de grad are rdc care sut valorle propr ale matrc A. Se umete raz spectral a matrc A umrul ( A) : A max{,,,, valorle propr ale matrc Norma matrcal dus de orma vectoral euclda x x este A Fe orma matrcal dus de orma euclda: ( AA ) se umete orma spectral. 4

A sup{ Ax ; x X, x } Cosderm u vector oarecare x cu orma euclda egal cu : Ax Ax, Ax ( ). a jxjak xkxj a jak xk j k j k âd seama de defa matrc A H : H H A aj, A a j A A alpalq. pq l H Ax Ax, Ax) ( A Ax, x). Se observ c (A H A) H =A H A. Fe,,.. valorle propr x, x,, x vector propr corespuztor petru matrcea A H A. D: 0 (Ax, Ax ) = (A H Ax,xe ) =( x, x ) = ( x, x ) rezult c 0. Fe raza spectral a matrc A H A, (A H A) = max{ I, =.. } 0. Sa observm ca vector propr a matrc A H A corespuztor uor valor propr dstcte sut ortogoal: (Ax, Ax j ) = (A H A x,x j ) = ( x, x j ); Ax,, H Axj AxjAx A Axj, x jxj, xjxj, xjx, xj d aceste rela rezult: ( - j ) ( x, x j )=0 ( x, x j )=0. Presupuem c vector propr x a matrc A H A au orma egal cu. Fe: x X, x x; ; H j j j j j j H A A H A Ax, x A Ax, x x, x dec H A A A Fe x vectorul propru al matrc A H A corespuztor valor propr H ( A A). Atuc ( Ax, Ax ) = (A H A x, x ) = rezultâd: A H A A 5

Propoze Fe o orm matrcal atural. Atuc ( A) A, A. Demostrae. Fe max ( A) x max vectorul propru corespuztor lu max. Avem: Atuc: Ax x. max max max A x x ( A) x A x ( A) A max max max max max k Fe A,{ A }u r de matrc. Spuem c rul A k coverge la matrcea 0 dac uma dac rul de umere poztve { A k } coverge la 0. k k A 0, k A 0, k. Fe Propoza A. Atuc: k A 0, k ( A) Dac exst o orm matrcal atural petru care A < atuc: k A 0petru k. Observae. Î cazul =, avem k a a 0petru k a. Demostrae. Vom demostra doar mplcaa. Avem: k k A 0, k A 0, k. k k k A A A 0, k. k A A lm 0. k 6

Fe A. Spuem c sera k A este coverget dac rul de k0 matrc al sumelor parale {S }, umt suma sere. S k A coverge la o matrce S, k0 Propoza Fe A. Sera matrc A este subutar: k A coverge dac uma dac raza spectrala a k0 k k A S A. Dac exsta o orm a matrc A astfel îcât A < atuc sera coverge. Î cazul covergee avem k0 k A S ( I A). Demostrae. Presupuem c sera este coverget. Deducem c: S S S S 0S S A A 0 A. Pr. Presupuem c ( A). Atuc u este valoare propre petru matrcea A dec: Avem: det( I A) 0 ( I A). ( I AS ) ( I A)( I A A.. A) I A S I A I A ( ) ( ). âd seama c am presupus ( A) d Propoza rezult: A 0petruI A I petru S ( I A). A A A A ( I A). k Avem mplcale: k0 7

Fe A Propoza 3 petru care exst o orm matrcal atural astfel ca A. Atuc exst matrcle ( I ) A avem evalurle: A A ( I A). Demostrae. D coda A < rezult c ( A). Dec u sut valor propr ale matrc A, det(i -A) 0 adc exst matrcle ( I ) A. D relale: ( ) ( ) I ( ) A I A I I I A I A I A ( A ) obem: A ( I A). Folosd relaa: ( I A) ( I A) ( I A) ( I A) A I deducem: ( I A) I ( I A) A ( I A) ( I A) A ( A) ( I A) dec: ( I A). A 8

Surse de eror î calculule umerce. Eror î datele de trare: - msurtor afectate de eror sstematce sau perturba temporare, - eror de rotujre: /3,, /7,... Eror de rotujre î tmpul calculelor: - datorate capact lmtate de memorare a datelor, - operale u sut efectuate exact. 3. Eror de truchere: - lmta uu r, suma ue ser, fuc elare aproxmate de fuc lare, aproxmarea dervate ue fuc 4. Smplfcr î modelul matematc - dealzr, gorarea uor parametr. 5. Eror umae eror ale ma. Eroare absolut, eroare relatv Fe a valoarea exact, ã valoarea aproxmatva. Eroare absolut : a- ã sau a - ã sau a ã a = ã a, a - ã a a ã aã aã Eroare relatv: a 0 sau sau a a a a ã a a a se exprm de regul î %. Î aproxmrle kg 5g, 50g5g erorle absolute sut egale dar petru prma eroarea relatv este 0,5% ar petru a doua eroarea relatv este 0%. 9

Fe a ã, a ã, a a a a ( ã ã ) a a a a. a a Fe a cu eroare relatv a a cu eroare relatv, petru a rezult a a a a a = a * a sau a 0

Rezolvarea sstemelor lare Evalaurea eror î rezolvarea sstemelor lare Fe A, b, x sstemul de ecua algebrce lare: Ax b Dac matrcea A este esgular exst este uc solua exact: x A b Petru erorle î datele de trare facem otale: - A eroarea absolut petrua ; - b eroarea absolut petrub Î realtate se rezolv sstemul: A Ax bb solua fd x : x x x Î mod atural se rdc urmatoarele probleme :. Î poteza c matrcea A este esgular ce cod trebue s îdepleasc A petru ca matrcea A+ A s fe esgular?. Presupuâd c matrcle A A+ A sut esgulare care sut A b relale ître erorle relatve ale datelor de trare, A b x ale datelor de ere? x Petru prma problem î cele ce urmeaz presupuem c matrcea A este esgular. D egaltatea: A AAI A A rezult c A+A este esgular dac uma dac I +A - A este esgular. Propoze Fe A esgular A. Atuc I+A - A este esgular avem: Demostrae. Avem: A I A A A A

A A A A A I A A A de ude obem: I A A. A A A A Pr.3 Petru a doua problem presupuem c A este esgular A. Au loc urmtoarele mplca: A AA xx bb AA xax A xbb x I A A A b A x A I A A xb A xx I A A A b A x x x A b A () A A x A D Ax =b obem b A x x b âd seam de acest rezultat, d () deducem: x A A b A. x A A b A Notm cu k(a)= A - A umrul de codoare al matrc A. Propoze Dac matrcea A este esgular A atuc: ka A x b A. x A b A k A A âd seama c I =A A - rezult I A A ka. Asfel umrul de codoare al matrc A, k(a), depde de orma matrcal atural utlzat. O matrce A petru care umrul de codoare este mare se umete matrce prost codoat. Petru matrcle prost codtoate eroarea

x relatv a solue sstemulu Ax=b, poate f mare char dac erorle x b A relatve sut mc. b A Fe A o matrce smetrc A A, esgular. Utlzâd orma matrcal subordoat orme vectorale eucldee: A AA A k A A A Observm c matrcea smetrc A are valorle propr reale,, A are valorle propr, ar A - are valorle propr,,...,. Presupuâd c:... A A obem petru matrcea smetrc A: A A, A A, ka se umete umr de codoare spectral. Petru o matrce ortogoal A A A AA IA A umrul de codoare spectral ka A A, deoarece: A AA I A. 3

Metode umerce de rezolvarea sstemelor lare Fe matrcea esgular A b. Rezolvarea sstemulu de ecua lare Ax b se poate face folosd regula lu Cramer: det A ( b) x,,,, det A î care A (b) se obe d matrcea A pr îlocurea coloae cu vectorul b. Acest algortm este foarte coststor d puct de vedere al resurselor este stabl umerc (perturbr mc î datele de trare pot coduce la perturbr mar î datele de ere). D aceste motve s-au cutat alte metode de aproxmare a solue x. Uul d cele ma folos algortm este algortmul de elmare Gauss. Algortmul cost î trasformarea sstemulu Ax b îtr-u sstem echvalet Ax b cua matrce trughular superor: x A b A b(otm Ax b Ax b) Vom cosdera ma îtâ rezolvarea sstemelor lare cu matrc trughulare. Metoda substtue Fe sstemul lar Ax = b ude matrcea sstemulu A este trughular. Petru a gs solua uc a sstemulu, trebue ca matrcea s fe esgular. Determatul matrclor trughulare este dat de formula: det A = aaa Pr urmare petru rezolvarea sstemulu vom presupuem c: det A 0, a 0 =,,, Vom cosdera îtâ cazul câd matrcea A este feror trughular. Sstemul are forma: ax = b a x a x = b () ax ax ax = b a xaxax ax = b Necuoscutele x, x,..., x se deduc folosd ecuale sstemulu de la prma ctre ultma. D prma ecuae se deduce x : 4

x b () a D a doua ecuae, utlzâd valoarea x d (), obem x : = b x a x a Câd ajugem la ecuaa : ax ax a x ax = b folosd varablele x, x,..., x calculate ateror, avem: b ax a x x = a D ultma ecuae se deduce x astfel: b a xa x a x x = a Algortmul de calcul a solue sstemelor () cu matrce feror trughular este urmtorul: bajxj j x,,,,, a Acest algortm poart umele de metoda substtue drecte. Vom cosdera, î cotuare sstemul () cu matrce superor trughular : ax a x a x a x = b ax a x ax = b a x a x = b ax = b Necuoscutele x, x,..., x se deduc pe râd, folosd ecuale sstemulu, de la ultma ctre prma. D ultma ecuae gsm x : b x (4) a Folosd valoarea lu x dedus ma sus, d peultma ecuae obem: b = a x x a 5

Câd ajugem la ecuaa : ax a x ax = b se cuosc deja x, x,..., x deducem: b a x ax x = a D prma ecuae gsm valoarea lu x : bax a x x = a Procedeul descrs ma sus poart umele de metoda substtue verse petru rezolvarea sstemelor lare cu matrce superor trughular: b ajxj x j a,,,,,. (5) Petru a evalua efortul de calcul petru metoda substtue verse vom ota cu M umrul de opera *, / (îmulr/împrr) efectuate A umrul operalor (adur/scder) efectuate. Atuc petru calculul compoete x se efectueaz M=-+, A=- î total: M k, Ak k k Efortul de calcul petru metoda substtue drecte este deasemeea M=(+)/, A=(-)/. 6

Algortmul de elmare Gauss Algortmul se realzeaz î - pa pr trasformarea sstemulu dat îtr-u sstem echvalet cu matrce trughular superor. Pas : la acest pas se obe sstemul : A xb Axb, udea are prma coloa î form superor trughular. Pas : se costruete sstemul A xb Axb, udea are prmele doucoloae î form superor trughular. r r r Pasul r: se obe sstemul A xb Axb,ude A are prmele r coloae î form superor trughular. Pasul - : se obe sstemul A xb Axb, udea are prmele - coloae î form superor trughular. r Dac la u aumt pas matrcea A u poate f costrut aceasta e va arta c matrcea A este sgular. Î realzarea acestor pa se utlzeaz urmtoarele opera elemetare: îmulrea ue ecua cu u factor aduarea la alt ecuae; terschmbarea a dou l /sau dou coloae î matrcea A; Pas : Itrare : sstemul Ax b Iere : sstemul A xb Axb, udematrceaa are prma coloa î form superor trughular. Fe ecuaa, cu =,, E : ax ax ax b. Presupuem a 0. Operale efectuate au ca obectv aularea coefcelor lu x d ecuale de la la sut descrse î cotuare: a E E E a0 a a E E E a 0 a a E E E a 0 a 7

Sstemul obut pr aceste opera are forma: sau a x a x a x b a x a x b a x a x b a x a x b aj aj, j,,, b b. a aj aj a j,,, ; j,,. a a 0,,,. a b b b,,,. a Pas : Itrare : A x b Iere : A xb Axb, A are prmele dou coloae î form superor trughular. Se presupue a se urmrete aularea elemetelor 0 a3, a4,, a (trasformarea coloae î form superor trughular). Operale efectuate asupra ecualor E, 3,, sut urmtoarele : a 3 E E3 E3 a3 0; a a E E E a 0; a a E E E a 0; a 8

Obem petru matrcea A () vectorul b () relale: aj aj, j,, a j a j, j,, a aj aj a j, 3,, ; j 3,, a a 0,,, a 0, 3,, b b, b b a () b b b, 3,,. a Se observ c u se schmb forma superor trughular a prme coloae. r r Pas r: Itrare : A x b r r r Iere : A xb Axb, A are prmele r coloae î form superor trughular. Sstemul are forma urmtoare: r r r r a x a r xr a x b r r r arr xr ar x br r r r arr xr ar x br r r r ar xr a x b r r r ar xr a x b Presupuem r r r rr rr r a 0. Vom urmr aularea elemetelor r rr a, a,, a. Operale efectuate sut: 9

r a rr r r a r r r a r r r r r r Er Er Er arr 0; arr r r r r Er E E ar 0; arr r r r r Er E E ar 0; arr Obem petru matrcea A (r) vectorul b (r) formulele: r aj aj, j,,, r k akj akj, k, r, j k,,, r r r a r r aj aj a,,, ;,,. r rj r j r arr r aj 0, j,, r, j,,. r b b, r j bj bj, j,, r, r r r ar ( r b b b ) r, r,,. arr Se observ c u se schmb forma superor trughular a prmelor r- coloae. r La fecare pas s-a fcut poteza a rr 0. Elemetul a r rr poart umele de pvot. Î cazul î care elemetul pvot este ul se pot aplca urmtoarele strateg umte de pvotare: 0.Fr pvotare Se caut prmul dce r 0 r, r,, astfelîcâta r 0. Se terschmb lle 0 0 r. S observm c î procesul de calcul la pasul r terve factorul astfel c valor mc ale lu r a rr r a rr coduc la amplfcarea erorlor de 30

calcul. Petru a asgura stabltatea umerc a procesulu de calcul este r de dort ca a s fe mare. rr 0. Pvotare paral: Se determ dcele 0 : r r a max a ; r,, se terschmb lle 0, rdac 0 r. r 0 3 0.Pvotare total: Se determ dc 0 j 0 : r r a max a ; r,,, j r,, j 0 0 j r se terschmb lle 0, rdac 0 r coloaele j 0, rdac j 0 r. Schmbarea coloaelor mplc schmbarea ord varablelor astfel îcât î fal va trebu refcut ordea al a varablelor. r Dac dup pvotare elemetul pvot rmâe ul, a rr 0, atuc putem deduce c matrcea A (r-) este sgular. r Î adevr, dac î procesul de pvotare paral a rr 0, atuc aaa 0ar a ( ) rr a r r r r r r 0 A det A a a ar r det 0 0a a Deoarece operale efectuate (cele de etrschmbare de l /sua coloae) u au schmbat decât semul determatulu avem: r det A det A 0 det A0 pr urmare matrcea A al este sgular. r î cazul procesulu de pvotare total dac a rr 0, atuc: aaa 00 ( r) arr 0 r r r r 00 A det A a a ar r det 0 00 0 Avem det A det A r 0 A este matrce sgular. 3

Putem suma algortmul descrs ma sus astfel: r ; pvotare( r); whle ( r - a > ) // Pas r for r,, f ar - ; a for j r,, rr a a f * a ; a r 0; rr j j rj b b f * b ; r r; pvotare( r); r f ( a ) 'MARICE SINGULARA' rr else { AA, bb ( ) ( ) serezolv sstemul trughular superor Ax b} Numrul de opera efectuate la pasul r î total este: ( r) M raraam 5 M: r r, 6 r r r r r r A:, 3 3 3 M: ; : 3 3 3

Descompuer LU Dac avem petru matrcea A o descompuere de tpul A=LU, cu L matrce trughular feror U matrce trughular superor atuc rezolvarea sstemul lar Ax=b se reduce la rezolvarea a dou ssteme lare cu matrc trughulare: Ly = bsoluay Ax= blux= b, x A b Ux = y soluax Se rezolv îtâ sstemul feror trughular Ly = b. Apo se rezolv sstemul superor trughular Ux = y ude y este solua obut d rezolvarea sstemulu precedet Ly = b. Vectorul x rezultat d rezolvarea sstemulu Ux = y este solua sstemulu al Ax= b. Fe morul prcpal prcpal al matrc A: aa a p a a a p p A p, p,, apap app eorem (descompuere LU) Fe A o matrce real ptratc de dmesue astfel îcât det Ap 0, p =,,. Atuc exst o uc matrce feror trughular L=( l j), j=,..., cu l =, =,, o uc matrce superor trughular U =( u j), j=,..., astfel îcât A = L U () Demostrae. Exstea. Algortmul Doolttle de calcul al descompuer LU (demostraa se face pr duce dup dmesuea matrc A) Fe A o matrce real ptratc de dmesue care satsface potezele teoreme de ma sus. Algortmul de calcul al matrclor L U are etape. La fecare pas se determ câte o le d matrcea U câte o coloa d matrcea L. Descrem î cotuare, u pas oarecare. Pasul p ( p =,,, ) Se determ elemetele le p ale matrc U, up, = p,,, elemetele coloae p ale matrc L, l, =,, p p l pp = (u p = l p =0, =,,p-). 33

Sut cuoscute d pa ateror elemetele prmelor p l d U (elemete u kj cu k =,, p, j) elemetele prmelor p coloae d L (elemete l k cu k =,, p, j). Calculul elemetelor le p d matrcea U, up = p,, se face folosd elemetul a p (LU) p. Avem: a =( LU) l u ( l =0, k = p,, )= l u = l u l u p p pk k pk pk k pp p pk k k= k= k= Petru = p,, avem: p u a l u, p,, () p p pk k k ( l pp =, l pk, u k k =,, p l d U calculate la pa ateror) p p sut elemete de pe coloae d L Calculul elemetelor coloae p d matrcea L : lp, = p,, ( l =0, =,, p, l =) se face aalog: p pp a =( LU) l u ( u =0, k = p,, )= l u = l u l u p p k kp kp k kp p pp k kp k= k= k= Dac pp 0 matrcea L astfel: p p u putem calcula elemetele eule ale coloae p d p lp ( ap lpkuk)/ upp, p,, (3) k (elemetele l pk, u k k =,, p sut cuoscute deja la pasul p fd calculate ateror) Dac u pp = 0, calculele se opresc, descompuerea LU u poate f calculat - matrcea A are u mor A p cu determatul 0. Uctatea. Demostrae pr reducere la absurd. Facem observaa c versa ue matrc esgulare trughular feror (superor) este o matrce de acela tp. Presupuem c A LU LU (4) D poteza A esgular rezult exstea verselor matrclor L, L, U, U. Îmuld egaltatea (4) la stâga cu L cu U ladreaptaobem UU L L. MatrceaUU estetrughularsuperorarmatrceal L estetrughularferor cuelemeteledagoaleegalecu. Rezult UU L L I, dec L L, U U. 34

Observa: Petru memorarea matrclor L U se poate folos matrcea A al. Vom folos partea superor trughular a matrc A petru a memora elemetele u j ale matrc U petru =,,, j =,, partea strct feror trughular a matrc A petru a memora elemetele l j ale matrc L, =,3,, j =,,. Se observ c u am memorat cer elemetele l = =,,. Vom e cot de acest lucru î calculele ulteroare. Calculele () (3) se pot face drect î matrcea A. Algortmul de elmare Gauss fr schmbare de l descompuere LU Presupuem c la fecare pas al algortmulu de elmare Gauss pvotul ( r ) este eul ( a rr 0 ), dec u e evoe de schmbare de l. Algortmul se poate scre astfel: forr,, for r,, ar f ; arr // E E f Er for j r,, aj aj f arj; a r 0; b b f br; Fe: 0 0 ( r) ( r) t ( r), r : I t er tr ( r) t 35

t e ( r) r col r 0 0000 0 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 r tr ( r) 00tr 0lr) ( r) t ( r) 00 t 0 Matrcea r este matrce trughular feror cu pe dagoala prcpal: colr 000 0 00 r 00 ( r) tr ( r) t ( r) Iversa matrc r este r I t er. Î adevr: ( r) ( r) ( r) ( r) ( r) ( r) r r ( I t er )( I t er ) I t er t er t et r er ( r) ( r) ( r) ( r) I t tr eri(0 tr ert ) Dac A este o matrce oarecare, vrem s vedem cum se poate costru matrcea B= r A fr a face îmulre matrcal. Vom studa legtura ître lle matrclor A B. ( r) ( r) ( r) e Be ( ra) e ( I t er ) Ae Ae t er Ae At ( er A) La a o matrc B se obe d la a matrc A la care se adaug la r a matrc A îmult cu factorul t ( r). ( r),, ( 0) e A r t eb. ( r) e A t ( er A) r,, Operaa r A descre Pasul r al algortmulu de elmare Gauss dac: ( r) ( r) ( r) ( r) ar r ( r) ar ( r) ar tr,, t,, ( r) t ( r). ( r) arr arr arr Algortmul de elmare Gauss fr schmbare de l poate f descrs astfel: ( r) AU I t e, cu r r 36

( r) ( r) ( r) ( r) ar r ar a r t 00 ( ) ( ) ( ) ( r) ( r) ( r). arr arr arr Avem: A ULU, L: () () () () () () ( I t e )( I t e) I t e t e t et e () () () () () () () I t e t e t t e I t e t e( t 0) Pr duce se arat c: () () ( ) L I t e t e t e 000 a 00 a () a3 a3 00 () a a () L a r a r 0 () a a () ( r) ar ar ar r 0 () ( r) a a arr () ( r) a a a r () ( r) a a a rr Am artat c algortmul de elmare Gauss fr schmbare de l produce o descompuere LU petru matrcea A. Factorzarea Cholesk Defe Matrcea A se umete poztv semdeft dac: Ax, x0x. Matrcea A se umete poztv deft dac: Ax, x 0 x, x 0. Propoze Dac matrcea A esgular. este poztv deft atuc matrcea A este 37

Demostrae: Presupuem pr reducere la absurd c matrcea A este poztv deft sgular. Atuc, sstemul de ecua lare Ax=0 are pe lâg solua baal x=0 o solue x 0 0. Avem: 0 0 0 0 x 0 0 Ax, x 0, x 0cotradce! Dac matrcea A este poztv deft rezult c mor prcpal A p p p sut poztv def î dec det A p 0. Avem urmtorul rezultat: Propoze Presupuem c matrcea A este smetrc (A=A ) poztv deft. Atuc exst o matrce trughular feror L astfel ca: A LL (factorzareacholeskamatrc A) Algortmul de determare a matrc L se desfoar î etape, la fecare etap se determ câte o coloa a matrc L. La pasul p se cuosc d pa ateror coloaele,,...,p- ale matrc L: lr, r,,, p,,, cuoscute La acest pas se determ elemetele coloae p ale matrc L: 0 0 lpp, lp?, p,,. lp p l p Se determ îtâ elemetul dagoal l pp : lp lp app LL ( l pp plp lpp lpp 38

p pp p p pp pp pp pj j a l l l l a l Se arat c d faptul c matrcea A este smetrc poztv deft expresa de sub radcal este eegatv î plus l pp 0. Se determ î cotuare celelalte elemete ale coloae p, l p, =p+,...,: lp lp ap LL ( l p lp l lpp a l l l l l l l l l l l l, p,, p p p p p pp p pp j pj p pp j Elemetele l j, l pj, j=,...,p- sut determate la pa ateror dec sut cuoscute. Avem: p a l l,,,, 0,,,. p j pj j lp p lp p lpp 39

Algortmul Gauss-Jorda de versare a ue matrc Fe A o matrce real ptratc de dmesue. = Gauss Jorda Ax y x= A y y = ax a x(e) y = ax ax(e) y = a x ax(e ) Î algortmul Gauss-Jorda se procedeaz astfel: se scoate x dtr-ua d relale de la (E) la (E) se îlocuete î toate celelalte. Relaa d care s-a scos x se aduce pe prma poze. Se scoate x d ua d relale de la (E) la (E), se aduce aceast relae pe poza a doua se îlocuete x î toate celelate rela.... Se repet aceste opera pâ s- au îlocut toate varablele x. Se ajuge la u sstem de forma: x Byudey Py A BP () ( P este o matrce de permutr care reflect schmbrle de l efectuate) Pasul p ( p =,,, ) Vectorul reflect schmbrle de l fcute pâ la acest pas. Ial ( p = ) =, =,,. La acest pas sstemul are urmtoarea form: p x = a y a x a x, =,, p j j p p j j j= j= p p y = a y a x a x p pj j pp p pj j j= j= p p y = a y a x a x, = p,, j j p p j j j= j= p La acest pas se scoate x p dtr-ua d rela se îlocuete î toate celelate. Petru stabltatea algortmulu, se caut 0 { p,, } astfel îcât: a =max{ a ; = p,, } Dac 0 p 0 p a =0 ( a ) atuc matrcea A este sgular, versa u p p 0 poate f calculat. Dac ap 0 ( ap > ), se terschmb la p cu la 0 0 0 se 40

actualzeaz vectorul ( 0 aceea form ca ma sus. Avem: p ). Sstemul rmâe î cotuare î p x =( a y y a x )/ a p pj j p pj j pp j= j= p Îlocud x p î celelalte (-) rela obem: x( =,, p)sau y ( = p,, ) p p = ay axa( a y y a x)/ a = j j j j p pj j p pj j pp j= j= p j= j= p p = ( a a a / a ) y ( a / a ) y ( a a a / a ) x j p pj pp j p pp p j p pj pp j j= j= p Sstemul a devet : p a p ap ap x = ( aj apj) y y ( aj apj) xj, =,, p a j a p a j= pp pp j= p pp a a x = y y x p p pj pj j p j= app a pp j= p app a a a y = ( a a ) y y ( a a ) x, = p,, p p p p j pj j p j pj j j= app a pp j= p app j La pasul p matrcea A se trasform î matrcea A astfel: Petru =,,, p ap a j = aj apj, j =,,, j p app ap a p = a pp Petru = p apj apj =, j =,,, j p app app = app Calculele se pot face la fecare pas p î matrcea A, fr a ma folos matrcea auxlar A. Î fal (dup efectuarea pasulu ) î matrcea A vom avea matrcea B d formula (). Matrcea P are forma: 4

e e P = =( e e e ) e ude e =(00 0) ( este pe poza ). Permutarea ce apare î formula de ma sus este versa permutr, =. Petru a obe matrcea A trebue sfacem operaa BP. Nu este evoe s se fac o îmulre matrcal c petru a obe matrcea se 'amestec' coloaele matrc B coform cu permutarea. A = BP =( Be Be Be ) ude Be este coloaa a matrc B î acela tmp coloaa a matrc A. A 4

Descompuer QR Defe x Se umete matrce ortogoal, o matrce Q care satsface relaa: QQ= QQ I( Q Q). Matrcle ortogoale au urmtoarele propret: ) Dac Q este matrce ortogoal atuc matrcea traspusq este ortogoal. QQ= Q ( Q) QQ ( Q) Q I ) Dac Q Qsut matrc ortogoale atuc produsul lor, QQ, este tot matrce ortogoal. ( QQ ) ( QQ )= QQQQ QIQI ( QQ )( QQ ) QQQ Q Q IQI 3) Dac Q este matrce ortogoal x atuc Qx = x. Qx Qx, Qx x, Q Qx x, x x, 0 Qx x Fe A o matrce real ptratc de dmesue. Presupuem c petru matrcea A avem o descompuere de forma: AQR ude Q este o matrce ortogoal ar R este o matrce superor trughular. Avâd o asemeea descompuere, rezolvarea sstemulu Ax= b se reduce la rezolvarea sstemulu superor trughular Rx= Q b astfel: Ax = b QRx = b Q QRx = Q b Rx = Q b Algortmul lu Gves Î cazul algortmulu Gves, petru a aduce sstemul Ax= b la forma Rx= Q b se folosesc matrcle de rotae. O matrce de rotae R ( )=( r ) are urmtoarea form: pq j, j=, 43

pq R pq 000 0 0 0 0 0 0 0 c s 0 p ( )= 00 s ) c0 q 00 0 0 petru = j, p, q c petru = j, = p, = q rj = s petru = p, j = q s petru = q, j = p 0 îrest ude p, q{,, } ar c s sut dou umere reale care satsfac relaa c s =. Costatele c s pot f alese astfel îcât c= cos, s= s. Se arat uor, folosd relaa c s =, c matrcea R ( ) pq este ortogoal: R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) I pq pq pq pq Dac îmulm la stâga o matrce oarecare A cu o matrce de rotae, B = R ( ) A, matrcea B se obe d matrcea A modfcâd pq doar lle p q. Notm cu A e A, B eb - la a matrc A respectv a matrc B. Matrcea B are urmatoarele l: B = A=,,, p, q B = ca sa p p q B = sa ca q p q b ca sa, j,, pj pj qj b sa ca, j,, qj pj qj b îrest j aj Dac îmulm la dreapta o matrce oarecare A cu traspusa ue matrc de rotae, D= AR ( ), matrcea D se obe d matrcea A pq modfcâd doar coloaele p q ca î schema de ma sus. Notm cu Ae, De - coloaa j a matrc A respectv a matrc D. Matrcea j j 44

D are urmatoarele coloae: Dj = Aj j,,, j p, j q Dep = caep saeq Deq = saep caeq dp ca p sa q,,, dq sa p ca q,,, d îrest j aj Algortmul lu Gves se desfoar î ( ) pa - la pasul r se trasform coloaa r a matrc A î form superor trughular fr a modfca prmele ( r ) coloae. Pasul Itrare: matrcea A, vectorul b () Iere: matrcea A (cu prma coloa î form superor () trughular), b Se efectueaz urmatoarele opera de îmulre cu matrc de rotae: () R ( ) R3( 3) R( ) AA () R ( ) R3( 3) R( ) bb Ughurle (costatele c s ) se aleg astfel ca elemetul de pe pozta (,) d matrcea rezultat s dev 0. Pasul r Itrare: matrcea A ( r ) (are prmele ( r ) coloae î form ( r ) superor trughular), b Iere: matrcea A ( r) (cu prmele r coloae î form superor ( r) trughular), b ( r ) La acest pas matrcea A ( r ) vectorul b se trasform astfel: ( r) ( r) Rr ( r ) Rr ( r ) Rrr ( rr ) A A ( r) ( r) Rr ( r ) Rr ( r ) Rrr ( rr ) b b ude elemetele c= c r s = s r d matrcle de rotae se aleg astfel ca dup îmulrea cu Rr ( r ), = r,, elemetul ( r, ) s dev 0. Cosderm operaa B = Rr ( r ) A, ude r se allege astfel ca br 0: brj ca rj sa j, bj sa rj ca j, j,, bkl akl îrest) b sa ca r rr r 45

Cea ma smpl alegere petru c s astfel ca s obem br 0 este: c= arr s= ar, alesastfelca c s arr ar arr ar c= s= a a a a rr r rr r Dac a rr ar =0 acest lucru mplc faptul c arr = a r =0, dec elemetul a r este deja ul. Î acest caz putem lua c=, s = 0, matrcea de rotae cocde cu matrcea utate I, Rr( r) I, matrcea A u se schmb. Câd se efectueaz operaa B = Rr ( r ) A, matrcea A are prmele ( r ) coloae î form superor trughular ( akl 0, k,, l, l,, r) elemetele ar r a r 0. Î matrcea B aceste elemete vor cotua s fe ule. brj ca rj sa j, bj sa rj ca j, j,, r Îmulrea B = Rr ( r ) A u schmb decât lle r ale matrc B, pr urmare vom avea br r ar r b r a r 0. Î cocluze, operaa B = Rr ( r ) A u schmb elemetele ule deja obute, c doar face ca elemetul de pe poza ( r, ) s dev 0. Algortmul lu Gves poate f descrs astfel: R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) R ( ) AR r r r r r r R ( ) Rr( r) Rr r ( r r ) R ( ) R( ) bbq b Notm cu Q urmtoarea matrce: Q R ( ) Rr( r) Rr r( r r) R ( ) R( ) Matrcea Q este matrce ortogoal ca produs de matrc ortogoale. Descompuearea QR a matrc A este urmtoarea: QA R( Q Q ) AQ RQR ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) QQ R R R R R r r rr rr ( ) ( ) rr ( rr ) r( r) ( ) R R R R R _ 46

Pe scurt, algortmul lu Gves este urmtorul: Q I; forr,, for r,, ARr( r)* A; brr( r)* b; Q R ( )* r r Q; Detalat avem: Q I; forr,, for r,, costrucamatrc R ( ) costatelec s arr ar ; f ( ){ c ; s 0;}// Rr ( r) I else{ c arr / ; s ar / ;} ARr( r)* A for j r,, arjc arjs aj; vech aj s arj c aj; ar0; arr brr( r)* b br cbrs b; vech b sbr c b; Q R r( r)* Q for j,, qrjc qrjs qj; vech q j s qrj c qj; La sfârtul acestu algortm, î matrcea A vom avea matrcea superor trughular R, î vectorul b vom avea t Qb ( b t - vectorul termelor lber al), ar matrcea Q va coe matrcea Q d factorzerea QR a matrc A. r r 47

Numrâd operale efectuate (exceptâd calculul matrc Q ) obem: ( ) ( )(4 7) 3 radcal, O( ) adur/scder 6 3 ( )(5) 4 3 O( ) îmulr/împrr. 3 3 Algortmul lu Householder Defe Se umete matrce de reflexe o matrce P de forma: =,, = j = j= P I vv v v v v vvv vv v vv v vv vv = ( v, v,, v)=. v vv vv v Matrcle de reflexe sut smetrce ( P= P ) ortogoale ( PP P PP I ). P =( I vv ) = I ( vv ) = I ( v ) v = I vv = P P I vv I vv I vv vv vv vv =( )( )= 4( )( )= I 4vv 4 v( v v) v = I 4vv 4 v v v = I 4vv 4 vv = I( v =) Dac lum î cosderae cazul: 0 0 =, v=, P= ( 0 0 0 0 x, ypx: 0 = x, = y x y = x x x y 0 x x Vectorul y= Px este reflectatul vectorulu x î raport cu axa Ox. Algortmul ce folosete matrcle de reflexe petru a obe o descompuere QR petru o matrce A a fost descrs de Alsto S. 48

Householder î artcolul "Utary tragularzato of a osymmetrc matrx," aprut î Joural of the Assocato of Computg Machery 5 (958), 339-34. rasformarea matrc A îtr-ua superor trughular se face î ( ) pa, la fecare pas folosdu-se o matrce de reflexe. () Pas : A = PA (matrcea P se alege astfel ca coloaa s fe trasformat î form superor trughular) () () Pas : A = PA P( PA )( P trasform coloaa î form superor trughular fr s schmbe coloaa ) ( r) ( r) Pas r : A PA r Pr( Pr PA ) (se trasform coloaa r î form superor trughular fr s schmbe prmele ( r ) coloae) Descompuerea QR costrut cu algortmul Householder este urmtoarea: P PrPPA = QA = R ude Q P PPP = r Q este matrce ortogoal ca produs de matrc ortogoale. Avem: QA = R Q QA = Q R A = Q R = QR Q= Q =( P PrPP ) = PP PrP Pasul r La trarea î pasul r matrcea A are forma: aa a ra 0aara 00arrar A= 00ar r a r 00ar a 00ar a Pasul r cost î: A:= PA r r r r r Pr = I v ( v ), v R, v = ude vectorul v r se aleg astfel ca matrcea A s ab coloaa r î form superor trughular: 49

a a a a 0 a a a 0 0 arr a A= 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 0 a r Calculul matrc P r r Petru smpltate vom ota P = P, v = v. r r r r+ a r r a = a r r r a a = ar ar r ar r = a r r a rr Ae = ( ) = arr k r PA er = Ae = r ar+ r 0 a r 0 a r 0 Aplcâd propretatea matrclor ortogoale çç ( Q ç R, x R, Qx = x ) petru matrcea Q= P ş vectorul x Ae avem: = r PAe = a + a + + a + k = r r r r r Ae = a + a + + a + a + a + + a + + a D relaţa de ma sus rezultă: r r r r r rr r+ r r r σ rr r+ r r r r = r k = = a + a + + a + + a = a k = ± Determarea vectorulu v ce defeşte matrcea P ( PA) e =( I vv )( Ae )= Ae ( vv )( Ae )= Ae v( v ( Ae ))= r r r r r r = Ae ( α) v = Ae u r r σ 50

ude cu α ş u am otat: ar v ar v α := v ( Aer) = (( Aer), v) ç = (, ) R ar v a r v = a v + a v + + a v + + a v r r r r R ç = ar ar 0 a 0 r ar ar r a 0 r r a a rr k rr k u := ( α) v = Aer ( PA) er = = ar r 0 a + r+ r ar 0 ar a r 0 a r Cu aceste otaţ matrcea P deve: P= I ( ) u( ) u = I ( ) uu = I cu : uu β = α α α α β Petru a cuoaşte matrcea P trebue să ma determăm costata β. D codţa: v = = = u 4 u β α α = u avem: 5

0 0 0 a rr k u = = ( arr k) ar r ar ar = arr ar a r a a a a ka k = ka =( ka ) rr rr r r rr rr rr de ude obem: = karr Vom alege semul costate k astfel îcât s fe cât ma mare posbl deoarce costata apare î operaa de împrre. Avem: " mare" = karr ( 0) sem k = semarr Ce îseam =0? = u =0 u =0 u=0 arr = k, ar r =0,, ar =0,, ar =0 Cum arr k sem k = sema rr obem: ar =0, = r,, adc avem coloaa r deja î form superor trughular, se poate trece la pasul urmtor. Î acest caz matrcea A este sgular. Ne tereseaz cum se efectueaz operaa A:= PA r fr a face îmulre matrcal. Vom pue î evde schmbrle î raport cu coloaele. ( PA) e j = ouacoloajamatrc A = ( I uu )( Ae j) = Ae j ( uu )( Ae j) = ( ( ))= j Ae j u u Ae j Ae j u ude 5

a j 0 a j 0 j := u ( Aej ) = ( a rj, arr k) = arj ( arr k) ajar ajar = a a r j rr a a j r ua = ua ( u =0, =,, r u a k, u = a, = r,, ) j j r rr r = = r Noua coloa j se obe d vechea coloa j d care scdem vectorul u îmult cu costata j. Ne tereseaz ca prmelor ( r ) coloae s u l se schmbe forma superor trughular deja obut. Petru j =,, r avem: a j a 0 j 0 a jj 0 j := u ( Aej)=( aj j =0, ) = arr k arr arj =0 a r aj =0 a 0a 00( a k) 0a 0 a =0 j jj rr r r D faptul c j =0, j =,, r rezul c prmele r coloae ale matrc A u se schmb câd facem operaa A:= PA, r rmâ î form superor trughular. Algortmul de trecere de la matrcea A la matrcea PA r este urmtorul: 53

cu Ae jpetru j =,, r ( PAe r ) j = ( a r, ar,, ar r, k,0,,0) petru j= r j Aej upetru j = r,, =( Ae, u) = j j j = r ua u =0, =,, r, u = a k, u = a, = r,, r rr r Operaa de trasformare a vectorulu termelor lber b:= Pbse r face astfel: Pb r =( I ( uu )) b= b ( uu ) b= b u( u b)= b u ude = u b=( b, u) = ub Algortmul lu Householder Q I; forr,, calculeazmatrcea Pr (costatavectorul u) A Pr * A; b Pr * b; Q P * r Q; La sfârtul acestu algortm, î matrcea A vom avea matrcea superor trughular R, î vectorul b vom avea t Qb ( b t - vectorul termelor lber al), ar matrcea Q va coe matrcea Q d factorzerea QR a matrc A. = r 54

Algortmul QR - Householder detalat Q I ; forr,, costrucamatrcpcostatavectorulu = ar; = r r f ( ) break ; // r r P I ( Amatrcesgular) k = ; f ( a 0 ) k k; ka rr u a k; u a, r,, ; AP * A rr r rr r r ; trasformareacoloaelorj r,, for j r,, =( / ) ( Ae, u)/ =( u a )/ ; for r,, a a u; j j j = r r trasformareacoloaeramatrca a k; a r,, ; rr bp * b r r j j =( / ) (,)/ bu =( ub)/ ; for r,, b b u; Q P * Q for j,, =( Qe, u)/ =( r j for r,, q q u; j j = r = r uq )/ ; j 55

Numrul de opera efectuate: A (adur, scder): ( )() ( )( )(3) 3 ( ) ( ) = O( ) 3 3 3 M (îmulr, împrr ): ( )( ) O 6 3 R (radcal ): ( ) 3 4( ) 3 ( ) = ( ) 56

Metode teratve petru rezolvarea sstemelor de ecua lare Ax = b, A, b se presupue cuoscut c A este esgular, det A 0; * solua exact a sstemulu () se oteaz cu x : * x = A b - dmesuea sstemulu este "mare"; A este matrce rar - cu "pue" elemete aj 0; petru a aproxma solua * x matrcea A u se schmb (trasform) c doar se folosesc elemetele eule ale matrc ; ( k ) se costruete u r de vector { x }, r care î * aumte cazur, coverge la x : ( k ) * x x petru k () () Schema geeral de deducere a ue metode teratve Fe descompuerea: A= BC, B, CR, B"uor" versabla (3) Ce îseam B "uor" versabl? Sstemul lar, avâd ca matrce a sstemulu matrcea B : Bx= f se rezolv uor (adc repede) - ca î cazul sstemelor cu matrc dagoale sau trughulare, de exemplu. * * * Ax = b Bx Cx = b = = = (4) * * * * * Bx Cx b x B Cx B b Mx d ude ( k ) rul { x } se costruete astfel: M := B C, d:= B b ( k) ( k) (0) x := Mx d, k = 0,,, x alesarbtrar (6) ( k ) Vectorul x poate f prvt ca solua sstemulu lar: ( k ) Bx= fcu f := Cx b (7) ( k ) ( k ) Cuoscâd vectorul x, urmtorul elemet d r, x, se poate costru fe utlzâd relaa (6) (dac putem costru matrcea M explct), fe rezolvâd sstemul lar (7). Matrcea M poart umele de matrcea terae ar vectorul (5) 57

(0) x se umete teraa al. ( k ) Ne puem problema covergee rulu x : ( k ) x x *, k Se te c aceast coverge u are loc petru orce matrce B. Avem urmtorul rezultat geeral de coverge. eorema de coverge Fe A o matrce esgular BC,,detB0, astfel (0) ca A=B-C. Fe x ( k ) u vector oarecare { x } rul de vector dat de (6) cu M d da de (5). Atuc: ( k ) * (0) x x, k, x ( M)< (8) ude ( M ) = max ; valoarepropreamatrc M este raza spectral a matrc M. Dac exst o orm matrcal atural astfel ca M atuc rul k x coverge la solua x * a sstemulu (). k 0 M x x, k, x. (9) Demostrae: Sczâd relale (6) (4) obem: ( k) * ( k) * x x = M( x x ), k =0,,, Avem: ( p) * ( p ) * ( p ) * p (0) * x x = M( x x )= M ( x x )= = M ( x x ) Pr urmare: Dac: ( p) * p (0) * x x = M ( x x ), p ( p ) * p x x, p M 0, p p M 0, p ( M)< p M < M 0, px x, px ( p) * (0) ( k ) * Evaluarea eror absolute x x ( k ) * Presupuem M < ( rul { x } coverge la x ). Avem d (6): l l x Mx d l l x Mx d ( l) ( l) ( l) ( l) x x = M( x x ) l Petru orce k,j, avem folosd relatle de ma sus: ( k j ) ( k j) ( k j) ( k j ) j ( k ) ( k) x x = M( x x )= = M ( x x ) k, j Aplcâd succesv relaa precedet obem: 58

( kp) ( k) ( kp) ( kp) ( kp) ( kp) x x = x x x x x x x x ( k) ( k) ( k) ( k) = Fcâd p ( kj) ( kj) = ( x x ) j=0 p p ( kp) ( k) ( kj) ( kj) j ( k) ( k) x x = ( x x )=( M )( x x ) p obem: j=0 j=0 * ( k) j ( k) ( k) x x =( M ) M( x x ) j=0 M < M j = ( I M) Ma avem evaluarea: M < ( I M) M M Pr urmare: * ( k) M ( k) ( k) x x x x M Aceast relae e spue c d puct de vedere practc putem opr algortmul atuc câd dferea dtre dou tera succesve deve sufcet de mc acest lucru asgurâd aproperea de solue. Î cotuare vom partcularza matrcea B. j=0 59

Metoda Jacob petru rezolvarea sstemelor lare cu Fe sstemul: Alegem: Ax = b, A, b det A 0, a 0, =,,, Avem: a 0 0 0 a 0 B=dag[ a, a,, a]= 0 0 a det B= a a a 0 0 0 a 0 0 B =dag[,,, ]= a a a a 0 0 a Matrcea C este: 0 a a3 a a 0 a3 a C = B A= a3 a3 0 a 3 a a a3 0 aj daca j C =( cj) cj = 0 daca = j Matrcea terae se poate calcula are forma: 60

a a3 a 0 a a a a a3 a 0 a a a M := B C = a3 a3 a 3 0 a33 a33 a33 a a a 3 0 a a a aj ( ) daca j M =( mj ) mj = a 0 daca = j Costrum vectorul g: ( k) ( k) g: Mx, Mx =( g) Compoetele vectorulu g sut: a ( k) j ( k) ( k) g = mjxj = xj = ( ajxj )/ a,,, a Vectorul d este: j= j= j= j j b d B b d d = =( ), =,,, a ( k ) rul { x } se costruete folosd formula: ( k ) ( ) ( ) = k k x Mx dx = g d, =,, ( k) ( k) j j j= j ( k) ( k) ( k) j j j j j= j= x =( b a x )/ a, =,, (9) x =( b a x a x )/ a, =,, Formula () descre metoda lu Jacob de aproxmare a solue uu sstem lar. 6

Propoza Cod sufcete de coverge ( k ) * <, M x x k. Demostrae.Fe x solua sstemulu D A=B-C rezult * * Bx Cx bsau * * ( ) ( ) x Mx d. Procesul teratv k k x Mx dcoduce la relaa: k x x M x x M x x M x x * k * k * k * 0 Î cotuare vom aplca aceast propoze petru dverse orme. D M = ( ) F mj < deducem: = j= = a x x k (0) j ( k ) * ( ) <, j= a j D M = max{ mj ; j =,, } < deducem: = a j x x k () j ( k ) * ( )< =,,, = a j (Crterul domae dagoale pe l) D M = max{ m ; =,, } < deducem: j= a j j ( k ) * ( )< =,,, j= a j j= x x k a < a =,, x = x j j (Crterul domae dagoale pe coloae) lm ( k ) * () k ( k ) * aj < ajj j =,, M =. lmx x = k (3) j 6

Metoda Gauss-Sedel petru rezolvarea sstemelor lare Cosderm d ou sstemul lar: Ax = b, A, b cu det A 0, a 0, =,,, Putem deduce metoda Gauss-Sedel d metoda lu Jacob astfel: ( k) ( k) ( k) j j j j j= j= x = ( b a x a x ) / a, =,, metodajacob ( k) ( k) ( k) j j j j j= j= x = ( b a x a x ) / a, =,, metodagauss-sedel Câd calculm x ( k) cuoatem deja ( k x ) ( k ),.., x putem folos aceste valor î prma sum. Deducerea metode Gauss-Sedel d schema geeral se face luâd: a 0 0 0 a a 0 0 B= a3 a3 a33 0 a a a3 a aj daca j B=( bj ) bj = 0 daca j > Matrcea B este esgularâd cot de presupuerea a 0, : det B= aaa 0 Matrcea C este: 0 a a3 a 0 0 a3 a 0 0 0 a 3 C = B A= 0 0 0 a 0 0 0 0 aj daca < j C =( cj ) cj = 0 daca j Î cazul metode Gauss-Sedel, vectorul x ( k) se obe d x ( k ) rezolvâd sstemul feror trughular (7) d schema geeral: 63

( k ) Bx= Cx b= f Solua sstemulu (6) este dat de formula: Vectorul f este: ude j j j j j= j= (4) (5) x =( f b x )/ b =( f a x )/ a, =,,, f Cx b (6) ( ) =( k ), =,,, ( k) ( k) ( k) ( ) = j j = j j, =,, j= j= (7) Cx c x a x Folosd formula de rezolvare a sstemelor feror trughulare (8), relale (6) (7) avem: ( k) ( k) ( k) j j j j j= j= x =( b a x a x )/ a, =,,, Cod sufcete de coverge petru metoda Gauss-Sedel Propoza Dac matrcea A este astfel îcât: = a j ( ) < j= a j atuc are loc covergea rulu costrut cu metoda Gauss-Sedel la solua sstemulu Ax=b: ( k ) * (0) x x, k x Propoza (Crterul domae dagoale pe l) Dac matrcea A este astfel îcât: aj < a =,, (0) atuc: j= j ( k ) * (0) x x, k x Demostrae. Î procedeul teratv Gauss-Sedel, otâd solua cu ( k) ( k) x A b x x vectorul eroare, sczâd relale: 64

obem: Notm j j j j j j j j ax ax ax b ( k) ( k) ( k) j j j j j j ax ax ax b a a ( k) j ( k) j ( k) j j j a ja j aj cmax{, }. Î vrtutea poteze (0) avem c <. a Observm c: a ( k) j ( k) ( k) j c. j a ( k) ( k) Presupuem c j c, j,,, cosderm: a a a a ( k) j ( k) j ( k) ( k) j ( k) j ( k) j j c c j a j a j a j a ( k ) Rezult c vectorul eroare coverge la 0: ( k) ( k) k (0) c c 0petruk. Propoza 3 (Crterul domae dagoale pe coloae) Dac matrcea A este astfel îcât: aj < ajj j =,, () = j atuc metoda Gauss-Sedel coverge: 0 lm x k x x k Demostrae. D sstemul dat cosderm sstemul echvalet Ay b î care a j Ax b AD y b, y Dx, A AD aj a D poteza () rezult Ay b avem aj, j,,. Petru solua sstemulu j 65

y ay ay b,,,, j j j j j j ar petru metoda Gauss-Sedel: ( k) ( k) ( k) z a z a z b,,, j j j j j j Notâd ( k) y z ( k) obem: ( k ) ( k ) ( k) j j j j j j a a m ( k) ( k) ( k) aj j aj j j j Schmbâd ordea de sumare obem: Itroducem otale: ( k) ( k) ( k) j aj j aj. () j j j j j a, a, 0, 0. j j j j j D poteza () rezult c c j j j Reved la egaltatea () obem: max. ( k) ( k) j ( j) j j j. âd seam c j c cc c( ) rezult: j j j ( k) ( k) k (0) j j j j j j j j adc ( ) c ( ) c ( ) 0, k ( k ) (0) lm 0,. k Matrcea de terae petru metoda Gauss-Sedel aplcat sstemulu Ay b, otat M este dat de M ( I L ) U î care L LD, U UD ( A DL U ). k D k k 0 M M lm k k k 0rezultlm M 0.. k Matrcea de terae petru sstemul Ax beste: M ( DL) U ( DLD D) U [( I LD ) D] UD D D ( I L) UD D MD astfel c: k k M D M D0petru k. 66

Metode teratve petru matrc smetrce poztv defte Cosderm cazul sstemelor lare cu matrcea sstemulu smetrc poztv deft: A = A matrce smetrca a = a, j =,, a a a3 a a a a3 a a a a3 a a a a3 a A = a3 a3 a33 a 3 = A = a3 a3 a33 a 3 a a a3 a a a a3 a Dac matrcea A este smetrc o putem scre astfel: = A A A= L D L ude a 0 0 0 a 0 D=dag[ a, a,, a]= 0 0 a 0 a a3 a 0 0 0 0 0 0 a3 a a 0 0 0 0 0 0 a 3 L= a3 a3 0 0 L = 0 0 0 a a a a3 0 0 0 0 0 Matrcea A fd poztv deft (( Ax, x) >0 x R, x 0) este esgular î plus: a Ae, e 0,, Avem urmtorul rezultat. j R j Lem Fe A o matrce smetrc B o matrce esgular astfel îcât matrcea P= BB A este poztv deft. Fe matrcea M = I B A. Atuc raza spectral a matrc M este strct subutar dac uma dac matrcea A este poztv deft: ( M)< A>0 67

Folosd aceast lem deducem urmtorul rezultat de coverge petru metoda Gauss-Sedel petru ssteme cu matrc smetrce poztv defte. eorem Fe A o matrce smetrc, esgular, cu a > 0, petru to =,, b vectorul termelor lber. Atuc metoda lu Gauss- Sedel geereaz rur covergete la solua * x = A b petru orce (0) terae al x dac uma dac matrcea A este poztv deft. Demostrae: D teorema de coverge avem: ( k ) x x *, k ( M)< Dac matrcea A se scre sub forma: A = LDL matrcle B C sut date de: B = LD, C = B A= L Matrcea terae M este: M = B C = B ( B A)= I B A Îcercm s aplcm Lema de ma sus. Petru aceasta verfcm dac matrcea P este poztv deft: P= BB A= LD( LD) LDL = D R R R = R ( Px, x) =( Dx, x) =(( a x ),( x ) ) = a x a >0 ( Px, x) >0 x R, x 0 P>0 Putem aplca Lema de ude deducem covergea rulu costrut cu metoda Gauss-Sedel doar î cazul î care matrcea A este poztv deft: ( k ) x x *, k ( M) <Apoztvdeft Metodele relaxr Fe A o matrce real ptratc de dmesue, smetrc, AA poztv deft, A0 b u vector real. Cosderm sstemul de ecua lare: Ax= b Deoarece matrcea A este poztv deft sstemul de ma sus are solue uc, x A b. Vom cosdera fuca f : : 68

f( y) A( x y), x y, y D faptul c matrcea A este poztv deft avem: f ( y) 0, y f( y) f( x ), y x Pr urmare x este uca solue a probleme de mmzare: m f ( y) ; y 0 f( x ) Vom cuta solua sstemulu Ax= b, x A b ca fd solua probleme de mmzare de ma sus folosd o metod de tp relaxare de forma: (0) ( k) ( k) y dat, y y cke, kk 0,, ( k) ( k) ( k) ( k) yj yj, j, y y ck ( k) ( k) Costata c k se determ astfel îcât f ( y ) f( y ) î speraa c ( k ) rul y astfel costrut coverge la x. Notm cu r ( k) b Ay ( k) vectorul rezduu. Avem: ( k) ( k) ( k) ( k) r b Ay Ax Ay A( x y ) ( k) ( k) ( k) f( y ) A( x y c e ), x y c e k l k l. f y c A x y e c Ae x y c Ae e Avem: ( k) Ax ( y ), e ( k) r, e ( k) r ( k) ( k) ( k) ( ) k ( ), l k l, k l, l l l l,, ( ), ( ), Ae x y e A x y e A x y e r r ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) l l l l l Ae, e a 0 ( 0) l l ll ( k) ( k) ( k) f( y ) f( y ) ck rl ckall ( k) ( k) Petru ca f ( y ) f( y ) este ecesar sufcet s alegem c k astfel ca: ( k) ( k) ( k ) r l r l ca k ll ckrl ( all0) ck 0, sau,0 all all ( k ) rl ckk, cuk 0, all Metoda de relaxare obut este urmtoarea: ( k ) (0) ( k) ( k) rl y dat, y y k elk 0,,, k 0, all Petru a aproxma x se deduce o clas de metode umte metodele relaxr successve. Aceste metode se ob aplcâd metodele de 69

relaxare de ma sus. Vom cosdera costata k, k, eschmbat ( k ) de la u pas la altul. Vom costru u r x astfel: (0) (0) x y uvectord dat (0) () (0) r l y y e a () () () r l y y e a ( ) ( ) ( ) r l y y e a () ( ) x y recerea de la teraa k la teraa urmtoare se face asrfel: ( k) ( k) x y ( k) ( k) ( k) r l y y e a ( k) ( k) ( k) r l y y e a ( k) ( k) ( k) r l y y e a ( k) (( k) ) x y k, 0,,, ( ) Compoeta x l se calculeaz petru l î algortmul de ma sus: ( k ) ( k) ( k) ( k) r x y y e,,,, a ( k ) Vectorul y ( k ) sut da î cotuare: r 70

( k) x ( k) x y x r b Ay b a y ( k ) ( k) ( k ) ( k ) ( k ), j j ( k ) j x x ( k ) ( k ) ( k) ( k ) j j j j j j r b ax ax Acum putem scre depedea compoetelor vectorulu ( k ) x de ( k ) compoetele vectorulu x : (0) x 0, date, ( k) ( k) ( k) ( k) x x b ajxj ajxj,,,,, k 0,,, a j j ( k) ( k) ( k) ( k) x ) x b ajxj ajxj,,,, k, 0,,, a j j Metodele de ma sus poart umele de metodele relaxr successve. Se observ c petru obem metoda Gauss-Sedel. Rearajâd formulele de ma sus avem: ( k) a ( k) ( k) ( ) ( k) ( k) ( k) ax x Bx ax ax b Cx b j j j j j j Matrcea A, fd smetrc poate f scrs sub forma: 00 0 a 0 0 A L D L cu L, Ddag a, a,, a aaa 0 Cu aceste ota, matrcle B C de ma sus pot f scrse astfel: BL D, C DL Vom verfc dac metodele relaxr succesve se îscru î clasa geeral de metode teratve, adc vom verfca dac AB C: 7

B CL D DL LD L A ( k ) Ne tereseaz î ce cod rul x costrut cu o metod de relaxare succesv coverge la solua x A b cutat. Avem urmtoarea teorem de coverge: eorem Fe o matrce A, a 0,,, smetrc, A cu deta 0, ( k ) A 0,, b u vector real. Atuc rul costrut cu o metoda de relaxr successve coverge la solua x a (0) sstemulu lar Ax= borcare ar f teraa al x dac uma dac matrcea A este poztv deft. ( k ) (0) x x, k x Ax, x) 0 x, x 0 Demostrae: Vom verfca dac raza spectral a matrc terae este subutar folosd Lema. Avem: M B CB B AI B A B L D,det B aaa0 ( a0, ) Matrcea A este smetrc ar matrcea B este esgular. Petru a f îdeplte potezele Leme trebue s verfcm c matrcea P este poztv deft: P B B A L DL DLD L D ( ) ( ) Px, x ax 0x 0 0avema 0, ) 0, oate potezele leme sut îdeplte, pr urmare avem covergea dort. x 7

Valor vector propr Defe Fe A. se umete valoare propre a matrc A dac exst u vector x, x0 astfel ca Ax x. Vectorul x se umete vector propru corespuztor valor propr. Petru exstea vectorulu x 0 este ecesar sufcet ca matrcea A I s fe sgular, adc det( A I ) = 0. Polomul de grad : padeti A se umete polom caracterstc al matrc A. Propoza Fe rdcle polomulu caracterstc,,, dstcte j petru j x, x,, x vector propr corespuztor. Atuc vector x, x,, x sut lar depede. Demostraa se face pr duce. Petru = fe combaa xx0. () Aplcâd A obem: A( xx) AxAx xx 0. () Pr potez. Cosderm valoarea propre eul, fe aceasta. D () îmult cu sczut d () obem: x 0 0, ar d () rezult 0. Dec x, x sut lar depede. Cosderm propoza adevarat petru k >, adc k x 0 j 0, j,, k. (3) Petru k+ cosderm combaa lar: Aplcâd A obem: D (4),(5), petru 0 k k x 0. (4) k x 0. (5), rezult: 73

k 74 x 0 k Î vrtutea poteze ductve rezult: k 0,,, k. âd seam c,,,, k k rezult 0,,, k, ar d (4) âd seama c xk 0avem k 0. Dec d (4) rezult 0,,, k, dec vector propr x, x,, xk sut lar depede. Propoza Fe valorle propr ale matrc A dstcte. Atuc exst o matrce esgular astfel ca: A dag{,,, }. Demostrae. Fe x, x, x vector propr a matrc A. Cosderm matrcea ale cre coloae sut vector propr x, xx x. Deoarece vector propr sut lar depede coform propoze rezult c matrcea este esgular. Vom avea: A AxAxAxx xx.dag. Îmuld cu obem cocluza propoze. Defe Matrcle A B sut asemeea otaea B dac uma dac exst o matrce esgular (det 0) astfel ca A B. Propoza 3 A B pa pb. Demostrae. p det( I A) det I B det B A I B I B pb det det( )det det Propoza 3 e spue c matrcle asemeea au acelea valor propr. eorema lu Gershgor Fe A o valoare propre oarecare a matrc A. Atuc: 0 a r 00 r 0 a 0 0j j j,,, astfel îcât. (Valoarea propre se afl î cercul d plaul complex de cetru a raz r.) 00 0 0

Demostrae. Fe o valoare propre a matrc A x 0u vector propru corespuztor valor propr, Ax x. Avem: Fe 0 x ax ax( a) x ax,,,. j j j j j j j j astfel ca k x x max x ; k,, 0x0). 0 Vom avea x x x a a a r, âdseamac. j j j 00 0j 0j 0 j x j x x j 0 0 0 0 j0 Observae. Presupuem c matrcea A are vector propr lar depede x, x,, x asoca valorlor propr,,. Fe U x x x. Datort depedee vectorlor x k rezult c matrcea U este esgular avem: dag,,, U AU. Cosderm matrcea perturbat A AB. Notâd cu C U BU vom avea: U A U U BU C. âd seama c matrcle A U A U sut asemeea rezult c vor avea acelea valor propr. Aplcm teorema lu Gershgor obem: c c. j j j Metoda lu Jacob petru aproxmarea valorlor propr ale ue matrc smetrce Propoze Fe A, A A. Atuc toate valorle propr ale matrc A sut umere reale. Demostrae. Fe x, x0 Axx. Cosderm produsul Ax, x xx, x. scalar: Dar Ax, x x, A x x, Ax Ax, x Ax, x astfel c: Ax, x. x 75

Algortmul lu Jacob Se cosder matrcea A, smetrc A A. Matrcea A are valorle propr reale,,,,. Pr algortmul lu Jacob se k costruete u r de matrc A, smetrce, asemeea cu matrcea A, astfel ca: k k ( k ) k k A A, A AA dag,,,. Î costruca matrclor A k se vor utlza matrc de rotae pla Rpq astfel: 0 A A, Matrcle k A Presupuem c A R A R, k 0,, k k pq k pq k k k k k sut asemeea cu matrcea A. Procedm pr duce: ( ) A R AR R ( ) AR k Notâd k,det 0, pq pq pq pq A A V V VAV A. Atuc: A R A R R VAV R. k k pq k pq k pq k pq k pq k k k k k k k k k k W R Vvom avea k k k A WAW dec A A. Vom demostra de asemeea pr duce c matrcle A k sut smetrce. Petru k=0 avem 0 A A A 0 A coform poteze ale. k k k A Rpq k k k A Rpq k k k Rpq k k k A Rpq k k k k k Rpq k k k A Rpq k k k A. Detemarea la fecare pas a dreclor p,q se face cutâd elemetul edagoal de modul maxm : k a max k a ;, j,,, j pq k sau, âd seama de smetra matrc A : k max k a a ;,,, j,,. pq Determarea parametrulu k rezult d coda: k k a a 0. Notm elemetele matrc Rpq k rj j pq k k j qp 76

r j j, j,,, pk, qk; j pk, qk. cos k j pk, j qk s k pk, j qk, s k qk, j pk. k k a r a r j l lm jm l m Petru smplfcarea calculelor vom ota p pk, qqk, ccos k, ss k, vom obe: k k a j aj,, j,, p, q j p, q, k k k a ca sa, j,,, j p, q, pj pj qj k k k a sa ca, j,,, j p, q, qj pj qj k k k a ca sa, j,,, j p, q, jp jp jq k k k a sa ca, j,,, j p, q, jq jp jq k k k k a c a csa s a, pp pp pq qq k k k k a s a csa c a, qq pp pq qq k k k k k apq aqp cs aqq a pp c s apq. k D coda a pq 0 rezult: k k app aqq cos s ctg. k a scos pq Î relaa de ma sus am presupus k îdeplt, âd seam de defa lu: k k a 0. Dac aceast poteza u ar f a max a ;,,, j,, pq j pq ar rezulta c toate elemetele edagoale ale matrc A k sut ule adc aceast matrce ar f dagoal valorle propr sut determate: k a j,,, ceeace îchee algortmul. k k Dac app aqq atuc k /4, sc /. j jj 77

Notm: a k pp a a k qq t tg k k pq,. c s t D ecuaa t t 0 avem rdcle: cs t t,. Dtre cele dou rdc, cu produsul tt, o vom alege pe aceea cu modulul subutar adc: t sg k / 4. k k Calculele petru oberea valorlor a, a se pot smplfca: pp qq k k k k k pp pp pp qq pq k k k s c k k qq pp pq pq pq a a c a s a csa s a a csa s a a cs 3 ks sc c s k apq tapq. c Obem astfel: k k k k k k a a ta a a ta. pp pp pq qq qq pq Propoze rul de matrc costrute cu algortmul lu Jacob coverge la o matrce dagoal dag[,, ]. Demostrae. Notm: k k k k k k a j S a j, D a. j j j k Datort faptulu c matrcea A se obe d matrcea A pr k k îmulre cu matrc ortogoale vom avea, k 0,, D relale: k 78

rezult: k k k k k k a pp a qq app ta pq aqq ta pq k k k k k k a pp a qq t a pq ta. pq app a qq k k k k pp qq pq. pq a a t a a t k k a pp a qq k a pq. k k a a,,, p, q, k k k D D a pq k k. k D defa elemetulu a pq rezult: k k k k S a pq k k ( ) ar d relale: k k k k k k k k S D D a pq S a k k pq k k rezult: sau k k k 0 S S S k k S 0. 79

Algortmul Jacob petru valor propr: k=0, k_max umrul maxm de tera adms; apq max aj ;,,, j,, ; whle apq k k_max app aqq ; a pq t sg ; c ; s c* t; t forj,, j p, q u apj; apj capj saqj; aqj su caqj; ajp apj; ajq aqj; a a ta ; a a ta pp pp pq qq qq pq a a 0; pq qp a max a ;,, j, pq j ; ; 80

Forma superoar Hesseberg Defe Spuem c o matrce H este î form suproar Hesseberg dac: h 0,,,, j,, j O matrce î form Hesseberg arat astfel: hhh3 h h hhh3 h h h3h33 h3 h 3 H 0h43 h4 h4 0 h h Ne tereseaz u algortm care s trasforme o matrce ptratc A oarecare îtr-o matrce Hesseberg superoar H care s ab acelea valor propr: AHa.î. H PAP, P matrceesgular. Algortmul este o adaptare a algortmulu lu Housholder se desfoar î (-) pa, folosd matrcle de reflexe petru a trasforma matrcea. Pas : se efectueaz operale A PAP (matrcea P se alege astfel ca coloaa s fe trasformat î form superor Hesseberg) t Pas : A = PAP P( PA ) P( P trasform coloaa î form superor Hesseberg fr s schmbe coloaa ) Pas r : A PAP ( t r r Pr Pr PA P Pr ) Pr (se trasform coloaa r î form superor Hesseberg fr s schmbe prmele ( r ) coloae) Pasul r (r=,,,-) La trarea î pasul r matrcea A are prmele (r-) coloae î form superor Hesseberg. La erea d pasul r matrcea A va avea prmele r coloae î form superor Hesseberg: AesPr AtrPr, Aes Atr r r r r Pr = I v ( v ), v R, v = r Vectorul v se alege astfel ca matrcea A es s ab coloaa r î form superor Hesseberg s u schmbe prmele r- coloae ale matrc A. tr 8

Calculul matrc Pr Petru smpltate vom ota P =, r r P v = v. Coloaa r a matrc A oua coloa r au urmtoarea form: ar a r ar ar ar ar arr a a rr rr Ae = ( ) = ar r k r a r r PA er Ae r 0 a r 0 a r 0 Aplcâd propretatea matrclor ortogoale ( Q, x Qx x ) petru matrcea Q= P vectorul x Ae avem: = r PAe = a a a k = r r r rr Ae = a a a a a a D relaa de ma sus rezult: r r r rr rr r r rr r r r = r k = = a a a = a k = Determarea vectorulu v ce defete matrcea P se face astfel: ( PA) e =( I vv )( Ae )= Ae ( vv )( Ae )= Ae v( v ( Ae ))= r r r r r r Aer ( ) v = Aer u ude cu u am otat: := v ( Ae ) ( Ae ), v a v a v a v a v r r r r r r 8

ar ar 0 a rr a 0 rr ar r k arr k u := ( ) v = Aer ( PA) er = = ar 0 ar a r 0 a r Cu aceste ota matrcea P deve: P= I ( ) u( ) u = I ( ) uu I cu : uu Petru a cuoate matrcea P trebue s ma determm costata. D coda: v = u = u = u 4 avem: u ( ar r k) ar ar = ar r ar ar kar r k = kar r =( kar r) de ude obem: = kar r Vom alege semul costate k astfel îcât s fe cât ma mare posbl deoarce costata apare î operaa de împrre. Avem: " mare" = ka ( 0) sem k = sema Ce îseam =0? = u =0 u =0 u=0 ar r k,, ar 0,, ar =0 r r r r Cum ar r k sem k = sema r r obem: ar =0, = r,, adc avem coloaa r î form superor trughular, caz î care se trece la pasul urmtor. Descrem ma jos cum se efectueaz operaa A:= PA r fr a face îmulre matrcal. Vom pue î evde schmbrle î raport cu coloaele. 83

ude ( PA) e j ( I uu )( Ae j) Ae j ( uu )( Ae j) ( ( ))= j Ae j u u Ae j Ae j u j 0 a j 0 j := u ( Aej) = (, ) = ar j ar r k a a j r a ( a k) a a a a = rj rr j r j r ua = ua a j j = = r ( u =0, =,, rur ar r k, u = ar, = r,, ) Noua coloa j se obe d vechea coloa j d care scdem vectorul u îmult cu costata j. Ne tereseaz ca prmelor ( r ) coloae s u l se schmbe forma superor Hesseberg deja obut. Petru j =,, r avem: a j 0 0 a j j a j j =0 0 j : u ( Aej) (, ) ar r k ar j =0 a rr aj =0 a r a 0a 00( a k) 0a 0 a =0 j jj rr r r D faptul c j =0, j =,, rrezul c prmele r coloae ale matrc A u se schmb ca urmare a î mulr A:= PA, r rmâ î form superor Hesseberg. Algortmul de trecere de la matrcea A la matrcea PA r este urmtorul: 84

cu Ae jpetru j =,, r ( PAe r ) j = ( a r, ar,, arr, k,0,,0) petru j= r j Aej upetru j = r,, =( Ae, u) = j j j = r ua u =0, =,, r, ur = ar r k, u = ar, = r,, Vom descre î cotuare cum se efectueaz operaa A: APr fr a face îmulre matrcal (matrcea A este cea obut ma sus avâd prmele r coloae î form superor Hesseberg). Vom arata c aceast operae u schmb forma superor Hesseberg obut. Vom pue î evde trasformrle llor matrc A. Petru,, avem: e ( AP) ouale amatrc APe A)( I uu ) ( ) e A e A uu e A u ude ( e A) u ar ur au Elemetele le se schmb astfel: aj aj uj, j r,,,,, D aceast relae deducem c operaa A: APr u modfc prmele r coloae ale matrc A, ele rmââd î form superor Hesseberg. 85

Algortmul de obere a forme superor Hesseberg forr,, costrucamatrcpcostatavectorulu = ar; = r r f ( ) break ; // r r Pr I k = ; f ( ar r0 ) k k; ka rr; ur ar r k; u ar, r,, ; APr A trasformareacoloaelor j r,, for j r,, ( j/ ) ( Ae j, u)/ =( uaj)/ ; = r for r,, aj aj u; trasformareacoloaeramatrca ar rk; ar r,, ; AA Pr trasformareallor,, for,, ( / ) (( e A) u)/ =( ujaj)/ ; j= r for j r,, aj aj uj; 86

Algortmul QR de aproxmare a valorlor propr ale ue matrc oarecare Prezetm î cotuarecel ma folost algortm de aproxmare a valorlor propr petru matrc ptratce oarecare. Spuem c o matrce S este î form Schur real dac matrcea S este î form superor Hesseberg î plus este bloc-dagoal: SS S p S S p S 0 S pp blocurle S sut astfel ca: - S - este valoare propre real - S - este bloc corespuztor valorlor propr complexe Valorle propr corespuztoare bloculu: ab -a b S sut rdcle ecuae -a)( -d)-bc= c d -c-d Se presupue c aceast ecuae de gardul are rdc complexe. Algortmul QR de aproxmare a valorlor propr costruete u r de ( k ) matrc A ( k ), matrc asemeea cu matrcea A, A A, k, r ( k ) care coverge la o matrce î form Schur real, A S, k. Matrcea lmt S este asemeea cu matrcea A, valorle pror ale matrc S fd uor de ( k ) calculat. rul A se costruete astfel: (0) (0) (0) A : A, A Q0R0(descompuereaQRcalculatpetrumatrcea A ) () () () A : RQ 0 0, A QR (descompuereaqrcalculatpetrumatrcea A ) () A : RQ ( k ) calculatpetrumatrcea A ), ( k ) A QkRk (descompuerea QR ( k) A : RkQk, k 0,,, Matrcle Q k sut matrc ortogoale ( Q k Qk ) ar matrcle R k sut superor trughulare. ( k ) ( k ) Matrcle A A sut asemeea: 87

( k) ( k) Qk A QkRk Rk Qk A ( k) ( k) ( k) ( k) A RQ k k Qk A Qk A A, k Matrcle rulu costrut sut toate asemeea pr urmare au acelea (0) valor propr aume cele ale matrc ale A A : (0) () ( k ) A A A A S ( k ) Dac matrcea A este î form superoar Hesseberg, atuc descompuerea QR realzat cu algortmul lu Gves se smplfc. Reamtm algortmul lu Gves: R ( ) Rp( p) Rpp ( pp ) R ( ) R( ) AR Dac matrcea A este î form Hesseberg î algortmul lu Gves, d cele (-)/ îmulr cu matrc de rotae rmâ doar (-): R ( ) Rpp ( pp ) R3( 3) R( ) AR. Problema care se pue este dac pord cu o matrce î form Hesseberg, toate matrcle rulu rmâ î form Hesseberg: ( k ) A (îformhesseberg) H QR(cuGves)? ( k) ( k) A H RQ Q A Q Q HQestetotîformHesseberg Avem: H Q HQRR ( ) Rrr ( rr ) R ( ) Notm cu: RRR ( ) petru care avem: r cr sr, r 0,,, r 0, 3,, r sr, r 0, 3,, cr r 0, 3,, dec coloaa se trasform î form Hesseberg ar coloaa rmâe form supror trughular. La pasul p avem: RR ( ) R ( ) R ( ) RR ( ) R, pp pp pp pp pp pp R RR ( ) Rp p( p p) matrcea R are prmele (p-) coloae î form Hesseberg ar restul coloaelor sut î form superor trughular. Vom arata c la acest pas matrcea R va avea prmele p coloae î form Hesseberg ar restul coloaelor î form superor trughular. Operaa R RRpp ( pp) presupue doar schmbarea elemetelor coloaelor p p+: 88

rp crp srp, rp 0, p,, rp srp crp, r p 0, p,,. rp 0, p,, rp 0, p,, Observm d relaa de ma sus c î matrcea R coloaa p are form Hesseberg ar coloaa p+ rmâe î form superor trughular (celelalte elemete d matrce u se modfc). ( k ) Pr urmare dup pasul - matrcea H A este î form superoar Hesseberg. Algortmul QR de aproxmare a valorlor propr folosd descompuerea Gves pstreaz forma Hesseberg. Algortmul QR petru valor propr seaducematrceaala formahesseberg QAQ ; k 0; whle ( AformaSchurreal ) AQR;//seca lculeazcualgortmulgves A RQ sau Q AQ; k k ; Î practc se presupue c matrcea A este î form Hesseberg eredus, adc: a 0,, Dac matrcea u este î form eredus, problema se decupleaz: AA p A, p sau A A p p p 89

Varata algortmulu QR cu deplasare ( shft ) smpl Algortmul cu deplasare smpl este urmtorul: QAQ ; aducerealaformahessebergeredus k 0; whle ( AformaSchurreal ) A dki QR; // secalculeazcualgortmulgves A: RQ dk I; k k ; ( k ) dk sut costatele de deplasare. Dac A di QR( A ) ( k ) ARQdI ( A ) se pue problema dac cele dou matrc sut asemeea ( A A) (rul de matrc costrut cu pasul QR cu deplasare smpl au acelea valor propr). A Q QRQ dq QQ ( QR di ) QQ AQA A Varata cu deplasare se efectueaz petru a accelera covergea algortmulu. Dac,,, sut valorle propr ale matrc A ordoate astfel ca: d d d ( k ) Rapdtatea cu care ap p 0, k este dat de rata de covergea a k p d exprese ( k ). Dac se alege d covergea a 0este p d rapd. Avem urmtoarul rezultat: eorem Fe d o valoare propre a ue matrc Hesseberg ereduse H. Dac H RQ d I, ude matrcle Q R sut prov d descompuerea QR a matrc H di QR. Atuc: h 0, h d (algortmul QR cu deplasare smpl gsete valoarea propre d îtr-u sgur pas). Eurstc s-a costatat c la fecare pas, cea ma bu aproxmare a ue ( ) valor propr este a k. 90

Algortmul QR cu deplasare smpl QAQ ; aducerealaformahessebergeredus k 0; whle ( AformaSchurreal ) A ai QR; // secalculeazcualgortmulgves A: RQ a I; k k ; Varata algortmulu QR cu deplasare ( shft ) dubl Î cazul câd valorle propr a, a corespuztoare bloculu: ammam G, m am a sut complexe, a, a, abordarea cu deplasare smpl u ma asgur accelerarea covergee. Avem: det( I G) ( a )( a ) ( a )( a ) a a ( a a ) aa ( a a ) a a a a a a a a, aa a a a a mm mm m m mm m m mm mm m m Algortmul QR cu deplasare dubl cost î trecerea de la matrcea ( k ) ( k ) A A la matrcea A A realzâd do pa cu deplasare smpl, A A (deplasare smpl a ), A A (deplasare smpl a ): AaI QR A RQ ai A a I Q R ARQ ai Fe matrcea: M : QQ R R Q Q R R Q A a I RQ Q AQ a I R QQ AQR aqr a IQR a I a I ( ) M QQ R R a I ai A a a Aaa I Avem urmtoarele rela de asemare: A A Q AQ A Q AQ Q Q AQQ QQ A QQ A QQ A QQ Q AQ, Q: QQ 9

Matrcea Q care asgur trecerea de la matrcea A la matrcea A este matrcea ortogoal d descompuerea QR a matrc M ai a I. Pasul QR cu deplasare dubl se face urmâd etapele: (a) se calculeaz matrcea M A s pi cu s=a +a =a mm +a, p=a a =a mm a -a m a m ; (b) se calculeaz descompuerea QR a matrc M; (c) A :=Q AQ. Vector propr Cosderm dou matrc asemeea A B: A BA PBP, Pmatrceesgular tm c cele dou matrc au acela polom caracterstc, pa( ) pb( ), dec au acelea valor propr. Ne tereseaz care este legtura ître vector propr asoca acelea valor propr. Fe x vector propru asocat valor propr petru matrcea A w vector propru asocat valor propr petru matrcea B. Care este relaa ître x w? Ax x, Bw w, A PBP PBP x xbp x P x w P x, x Pw Metoda lu Jacob de aproxmare a valorlor propr ale ue matrc smetrce poate f descrs astfel: R ( ) R ( ) AR ( ) R ( ) () p q p q pq pq pq pq p q p q k k k k k k k k ude dc ( p, q ) sut ale la pasul k la care s-a ats precza dort: k k dag,,, () Notm cu U urmtoarea matrce ortogoal: U Rpq ( ) ( ) ( ), pq R pq pq R p q p q U U UU I k k k k D relaa () avem: U AUUU AU UAU U Puem î evde coloaele matrc U, U x, x,, x. D relaa AU=U relaa () obem: A x, x,, x x, x,, x dag,,, Ax x,,, Pr urmare coloaele matrc U, vector x, sut aproxmr ale vectorlor propr petru matrcea A. Petru a calcula valorle vector propr cu metoda Jacob se procedeaz astfel: 9

U I; k 0; whle ( A matrcedagoal) A: Rpq( pq) ARpq( pq); U : URpq( pq); k k ; La sfârtul acestu algortm, î matrcea A vom avea matrcea care aproxmeaz valorle propr ale matrc A, ar î U se va gs matrcea ce aproxmeaz vector propr, R ( ) R ( ). pq pq p q p q k k k k 93

Descompuerea dup valor sgulare (Sgular Value Decomposto) eorem m Fe A. Atuc exst o matrce ortogoal ptratc de dmesue mm m, U, o matrce ortogoal ptratc de dmesue, V costatele poztve r >0, r m{m,} astfel ca: D m r( r) A UV,,, 0 ( mr) rmr) ( r) () rr D, Ddag,, r Costata r este char ragul matrc A, r=rag(a). Costatele,,, r poart umele de valor sgulare ale matrc A. Folosd relaa () avem: A UV V U, AA UV V U U U U U, m D r( mr) mm m 0( mr) r0( mr) ( mr), AA V UU V V V V V D 0 r( r) 0 ( r) r0 ( r ) ( r ) âd cot de ortogoaltatea matrclor U V, putem rescre relale de ma sus astfel: mm ( AA ) U U m, mdag,,, r,0,,0 ( AAV ) V, dag,,, r,0,,0 D aceste rela deducem c,,, r sut valorle propr strct poztve ale matrclor AA /sau A A ar matrcle U V sut matrc ale cror coloae sut vector propr asoca. Matrcle AA A A sut matrc smetrce: AA A A AA, A A A A A A au toate valorle propr eegatve: AuAu,, Au AA uuaauu, uu, 0 uu, u Petru a gs matrcle U, V valorle sgulare,,, r putem folos metoda lu Jacob de aproxmare a valorlor vectorlor propr petru 94

matrc smetrce. Putem folos descompuerea dup valor sgulare petru a def pseudo-versa ue matrc oarecare (m). Lucrâd formal, avem: A U V, A U V V U V U???? m Rmâe de deft matrcea. Urmâd acest raoamet se defete pseudoversa Moore-Perose a ue matrc A astfel: D I I I m I r( mr) m A V U, A,, 0 ( r) rr) ( mr) rr D, D dag,,. r Pseudoversa deft ma sus satsface urmtoarele propret: I I m I I m A A, A ; A A, A Exst o propretate care u ma este satsfcut de psudovers de este respectat de versa clasc: A, Ba.î. AB B A. Descompuerea dup valor sgulare poate f utlzat petru rezolvarea sstemelor lare cu matrc oarecare (umrul llor umrul coloaelor):, m I Ax b A, b, x : A b I I I. 95

Rezolvarea ecualor elare Fe f : a, b o fuce cotu pe tervalul, f ( a) f( b) 0. Î aceste cod tm c exst x ab, ab astfel ca astfel ca f( x ) 0. Î cele ce urmeaz e propuem s aproxmm solua x a ecuae elare f ( x) 0. Metoda bsece (a îjumtr tervalulu) Petru a aproxma solua x cutat, vom costru u r de tervale ak, b k ce satsfac: x a, b k k a, b a, b k k k k bk ak bk ak Petru prmul terval vom cosdera: a0a, b0 b, k 0. Cosderm puctul c d mjloc al tervalulu ak, b k: ak bk c Avem urmtoarele 3 varate:. f () c 0- caz î care am gst solua cutat, x c, algortmul de oprete;. f( ak ) f( c) 0 ceea ce îseam c solua se gsete î tervalul ak, c vom cotua procedeul cu tervalul ak ak, bk c; 3. f( bk ) f( c) 0 - solua se gsete î tervalul x cb, k procedeul cotu cu tervalul ak c, bk ak. Dat 0 exst u terval a, b k k astfel ca x a, b k k b a k k ( log b k a ). Petru sufcet de mc atât a k cât b pot f k cosderate aproxmr ale solue x ( a k x pr lps ar b k x pr adaos). 96

Metoda tagete (Newto-Raphso) ab cu dervata cotu î acest terval c satsface relaa f ( a) f( b) 0. Petru a aproxma solua x a ecuae f ( x) 0 vom costru u r Vom presupue c fuca f C a, b este dfereabl pe, k x care s covearg la x, xk x, petruk. Prmul elemet d r, x 0, cosderm c este dat. Urmtorul elemet d r se costruete ca fd terseca tagete la grafcul fuce f î puctul x0, f( x0) cu axa abscselor. Procedeul se repet cu x petru a-l obe pe x,.a.m.d. x Oxtagetalagrafculfuce fîpuctul x0, f( x0) x Oxtagetalagrafculfuce fîpuctul x, f( x ) x Oxtagetalagrafculfuce fîpuctul x, f( x ), k 0,,, k k k Ecuaa tagete la grafcul fuce f îtr-u puct a, f( a) este urmtoarea: y f( a) f '( a)( x a) Petru a calcula xk d xk vom cosdera ecuaa tagete: y f( xk) f '( xk)( x xk) ude lum y 0. Avem: f( xk ) xk xk, k 0,,,, x0 dat f '( xk ) Formula de ma sus poate f folost doar dac la fecare pas f '( xk ) 0. Dac la u pas avem f '( x ) 0 putem calcula câteva tera x k k (k k) folosd f '( x ) k. 97

eorem de coverge Fe f C a, b, cu f ( a) f( b) 0, f '( x) 0 f ''( x) 0 x a, b. Dac alegem apetru f( a) f ''( a) 0 x0 b petru f( b) f ''( b) 0 atuc rul x ; 0 k k costrut cu metoda tagete este mooto, mrgt coverget la uca solue x a ecuae f ( x) 0. Ordul de coverge este ma mare decât. Demostrae: D faptul c f '( x) 0, f ''( x) 0 x a, b cotutatea fuclor f ' f '' rezult c cele dou fuc au sem costat pe tervalul ab., Pr urmare fuca f u- schmb mootoa curbura (covextatea/cocavtatea) î tervalul ab., D codle f '( x) 0 f( a) f( b) 0 rezult uctatea solue x. Dac pr absurd am presupue c ma exst alt solue x x. Coform teoreme lu Rolle, d faptul c f( x ) f( x ) 0rezult c exst u puct cx, x a, b astfel ca f '( c) 0(absurd). Vom presupue c f ( a) f ''( a) 0( f ( a) are acela sem cu fuca f '' ), x0 a. Vom arta crul x k este mooto cresctor margt. Artm pr duce c xk x, k 0. Petru k 0 avem x 0 a x. Presupuem c x k x artm c xk x. Avem: f( xk) f '( zk) ( xk xk x xk ) 0 f '( xk) f '( xk) f ( xk) f '( xk)( xk x ) f( xk) xk x xk x f '( xk) f '( xk) Folosd dezvoltarea î sere aylor avem: ( x xk ) 0 f ( x ) f( xk) f '( xk)( x xk) f ''( yk), cu ykxk, x ( x xk ) f( xk) f '( xk)( xk x ) f ''( yk) Îlocud î relaa de ma sus obem: ( xk x ) f ''( yk) xk x (.) f '( xk ) Dac ma cosderm o ou dezvoltare î sere aylor: 98

0 f ( x ) f( x ) f '( z )( x x ),cu z x, x (.) k k k k k obem: f ( xk ) xk x (.3) f '( zk ) Dac îlocum (.) î (.3) avem: f( xk) f ''( yk) xk x xk x ) f '( xk ) f '( zk ) D faptul c x0 ax, k x rezult c f ( a) f ( xk ) au acela sem. D f ( a) f ''( a) 0 faptul c f '' u- schmb semul pe ab, rezult c f ( a) f '' au acela sem. Vom avea c f ( xk ) f '' au acela sem: f( xk) f ''( yk) 0 Fuca f ' eschmbâdu- semul pe ab, rezult c: f '( x ) f '( z ) k x Folosd poteza ductv, xk obem: xk x xk x dec rul x k este mrgt superor. Folosd formula (.) relaa x k x avem: f( xk) f '( zk) ( xk xk x xk ) 0, k f '( xk) f '( xk) dec rul x k este mooto cresctor. D mrgrea mootoa rulu rezult c rul cosderat este coverget: l a, ba.î. xk l, k recâd la lmt î relaa de defe a rulu: f( xk ) f( l) xk xk, k l l f( l) 0 l x f '( xk ) f '( l) xk x k Dac f ( b) f ''( b) 0, se alege x0 b se arat aalog c xk x xk xk, k. Dac otm: M max f ''( x) ; xa, b, m m f '( x) ; xa, b folosd relaa (.) obem: xk x xk x m de ude deducem c ordul de coverge este cel pu. k 99

Metoda false poz (a coarde) Presupuem c fuca f este cotu, f Cab, satsface relaa f ( a) f( b) 0. Vom costru u r x k care s covearg la solua cutat x, xk x, petruk. Cosderm date prmul elemet d r, x0 u lat puct x. Procedeul de costrure a rulu este urmtorul: x Oxdreapta ceuetepuctele x, f( x ) x, f( x ) 0 0 x Oxdreapta ceuetepuctele x, f( x) x, f( x ) x k Oxdreapta ceuetepuctele x, f( x) xk, f( xk), k 0,,, Ecuaa drepte ce trece pr puctele a, f( a) cu b, f( b) este: y f( a) xa f ( a) f( b) a b. Petru a-l obe pe xk d x k avem: y f( xk) xxk cuy 0 f( xk) f( x) xk x f( x )( ) ( ) ( k xk x xf xk xk f x) xk x k, k 0,,,, x dat f( x ) f( x) f( x ) f( x) 0 k k eorem de coverge Fe f C a, b, cu f ( a) f( b) 0, f '( x) 0 f ''( x) 0 x a, b. Dac alegem x a x0 bpetru f( a) f ''( a) 0 atuc rul xk x b x0 a petru f( b) f ''( b) 0 ; k 0 costrut cu metoda false poz este mooto, mrgt dec coverget la uca solue x a ecuae f ( x) 0. 00

Metoda secate Presupuem c fuca f este cotu, f Cab, satsface relaa f ( a) f( b) 0. Vom costru u r x k care s covearg la solua cutat x, xk x, petruk. Cosderm date prmele dou elemete d r, x0 x. Procedeul de costrure a rulu este urmtorul: x Oxdreapta ceuetepuctele x0, f( x0), x, f( x) x Oxdreapta ceuetepuctele x, f( x ), x, f( x ) 3 x Ox dreapta ceuetepuctele x, f( x ) x, f( x ), k,, k k k k k Obem elemetul xk d xk xk astfel: y f( xk) xxk cuy 0 f( xk) f( xk ) xk xk f( xk)( xk xk ) xk f( xk) xk f( xk ) xk xk, k,,, x0, xda f( x ) f( x ) f( x ) f( x ) k k k k eorem de coverge Fe x o solue a ecue f ( x) 0. Presupuem c f C x r, x r, f '( x ) 0 f ''( x ) 0 x x r, x r. Atuc exst 0 r0 r petru care, dac x0, x[ x r0, x r0] atuc x [ x r, x r ], k x x, petruk. Ordul de k 0 0 coverge este 5 q.6803. k 0

Ssteme de ecua elare Cosder sstemul elar: f( x, x,, x) 0 f x f( x, x,, x) 0 f x F( X) 0 F, X f( x, x,, x) 0 f x Fe matrcea jacoba asocat fuce F (presupuem c fucle f sut dfereable): f f f x x x f f f F( X) x x x ( x, x,, x) f f f x x x Petru a gs solua X a sstemulu de ecua elare F( X) 0 se ( k ) costruete u r de vector X astfel: (0) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) ( k) X dat, X X F( X ) F( X ) X, k 0,, ( k) ( k) ( k) F( X ) F( X ) ( k ) Vectorul de corece poate f calculat ca solue a sstemulu lar: ( k) ( k) F( X ) F( X ) ude matrcea sstemulu este char matrcea jacoba calculat î ( k ) ( k ) puctul F( X ). Metoda X ar vectorul termelor lber este descrs ma sus poart umele de metoda Newto. Petru = metoda Newto este char metoda tagete descrs ateror. 0

Metoda Barstow de aproxmare a rdclor complexe ale poloamelor Fe polomul cu coefce real: k Px ( ) ax ax ax a xa, a 0, a,, 4 0 k 0 Vom presupue c polomul P are doar rdc complexe. Vom detfca factor de gradul d P corespuztor perechlor de rdc complex cojugate. Avem: 3 P( x) ( x pxq)( b0x bx b3xbr0xr () Dorm s detfcm varablele p q petru care r 0 r 0. Avem urmtorul sstem elar : r0 r0( p, q) 0 r0 p F( X) 0cu, F, X r r( p, q) 0 r q Petru a gs fucle r 0 ( p, q) r ( p, q) vom gs coefce ecuoscu k de ecuaa () pr detfcarea coefcelor lu x d membrul stâg membrul drept: x : a0 b0 x : a b pb0 x : a b pb qb,,3,, x : a r0 pb qb3 0 x : a r qb Rearajâd relale de ma sus avem: b0 a0, b a pb0 b a pb qb,,3,, b a pb qb3( ), ba pb qb( ) () r0a pb qb3b r a qb a pb qb pb b pb Petru sstemul elar de ma sus jacobaul este: b b r0 b ( p, q) p q F r b( p, q) pb ( p, q) b b b b b p p p p q q 03

Vom aplca metoda lu Newto: p ( ) ( ) ( ) (0) k+ pk y k k k k X X, X dat, p0, q0da qk+ qk zk ( k ) yk Corecle se gsesc ca solue a sstemulu: zk y F( pk, qk) F( pk, qk). z (3) b b Petru a obe dervatele parale vom derva î relale (): p q b0 b b0 0, b0 p p p p b b b b p q,,, p p p b0 b b0 0, p q q q b b b b p q,,, q q q Notm cu: b b : ( pk, qk), : ( pk, qk), 0,, p q petru care avem urmtoarele rela de recure: 0 0, b0 pk0, b pk qk,, 0 0, 0, b pk qk Se poate arta c aceste ultme dou recuree se reduc la ua sgur: c b, c b pc, c b pc qc,,, 0 0 k 0 k k c, c Petru aceasta se verfc: c0, c faptul c ( c ) satsfac aceea relae de recure (aalog petru : c0, 3 c, ( c ) satsfac aceea relae de recure). Cu aceste ota avem: c c 3 F( pk, qk) c b pkc c pkc 3 Sstemul (3) deve: cyc3z b ( c b pc ) y ( c pc ) z b pb k k 3 k 04

Acest sstem se smplfc pr îmulrea prme ecua cu ( p k ) se adu cu ecuaa a doua: cyc3zb ( c b ) yczb Solua sstemulu este: b c bc3 bc b ( c b) yk, z k c c3( c b) c c3( c b) Algortmul se oprete atuc câd dferea dtre dou tera succesve ( k) ( k) deve sufcet de mc - X X - de exemplu, dac folosm orma euclda avem: p ( ) ( ) k p k k k X X yk zk qk qk Metoda lu Barstow poate f descrs astfel: pq0; k 0; do b0 a0; b a pb0; b a pb qb,,, ; c0 b0; c b pc0; c b pc qc,,, ; det c c3( c b ) ; b c bc 3 y det bc b ( c b) z ; det p p y; q q z; k k ; ( - precza de calcul dort, efectuate) whle ( y z k kmax ) k max - umr maxm de tera ce pot f 05

Metoda lu Laguerre Fe polomul: Px ( ) a0( xx)( xx) ( xx), a0 0 Metoda lu Laguerre propue costrurea uu r de umere care s covearg la ua d rdcle polomulu P. Cosderm dervata polomulu P: P'( x) P( x) x x xx xx Avem: l Px ( ) l a0 l x x l x x l x x d P'( x) l Px ( ) Gx ( ) dx xx xx xx P( x) d l Px ( ) dx ( xx ) ( xx ) ( xx ) P'( x) P( x) P''( x) H( x) Px ( ) Fe x rdca pe care vrem s-o aproxmm y k valoarea aproxmatv curet. Notm cu a yk x facem presupuerea c y k se afl la acceea dsta de toate celelalte rdc, adc, byk x,,. Pr urmare avem: P'( yk ) Gy ( k ) Py ( k ) a b P'( yk) P( yk) P''( yk) H( yk ) Py ( ) a b k Rezolvm acest sstem î raport cu a obem: a max Gy ( k) ( ) Hy ( k) G( yk) Semul la umtor este ales astfle ca expresa s ab magtude maxm. Dac em cot de expresle petru G H obem petru a urmtoarea exprese: P ( yk ) a max P'( y ) ( ) '( ) k P yk ( ) P( yk) P''( yk) Urmtorul elemet d r va f: 06

yk ykayk max Gy ( k) ( ) Hy ( k) G( y) k P ( yk ) yk yk max P'( yk) ( ) P'( yk) ( ) P( yk) P''( yk) Procedeul se oprete câd a deve sufcet de mc. Metoda lu Laguerre se poate aplca petru gsrea rdclor complexe ale poloamelor de asemeea petru poloame cu coefce complec. 07

Iterpolare umerc Presupuem c despre o fuce f cuoatem doar valorle îtr-u umr ft de pucte. Pord de la aceste date, dorm s aproxmm fuca f îtr-u alt puct. x x 0 x x... x - x f y 0 y y... y - y Î tabelul de ma sus f(x )=y, =0,,, x x j petru j. Dat u puct x x, =0,,, dorm s aproxmm f(x) cuoscâd cele (+) perech (x,y ),=0,,. Puctele x se umesc odur de terpolare. Polomul de terpolare Lagrage Notm cu mulmea poloamelor de grad cel mult. Dmesuea acestu spau este +, baza uzual fd dat de poloamele, x, x,, x. Vom cosdera o alt baz î acest spau. Se cosder poloamele p : 0petru j p astfelca p( xj) j 0,,, 0,, petru j D relaa p (x j )=0, j faptul c p este polom de gard rezult c x 0, x,,x -, x +,,x sut cele rdc ale polomulu p. Avem: p( x) c( xx0) ( xx )( xx ) ( xx), c, 0,, Costata c se determ d faptul c p (x )=: p( x) c( x x0) ( x x )( x x ) ( x x) c ( x x0) ( x x )( x x ) ( x x) Poloamele p au forma: ( xx0) ( xx )( ) ( ) x x xx xx j p ( x) ( ), 0,, ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) x x 0 j0 j j Propoze Poloamele p 0, p,, p formeaz o baz î. Demostrae: Vom arta c cele + poloame sut lar depedete: qx ( ) ap 0 0( x) ap ( x) ap ( x) 0, xa0 a a 0 Vom face pe râd x=x 0, x=x,, x=x î polomul q: qx ( ) ap( x) ap( x) ap( x) a a0 a0 a 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 08

x xq( x a 0 qx ( k) ap 0 0( xk) ap k k( xk) ap ( xk) a00 ak a0 ak 0 ak 0 x xq( x a 0 oate costatele a sut ule dec poloamele p; 0,, formeaz o baz î. Petru a aproxma fuca f prod de la tabelul de ma sus, vom costru u polom l astfel ca s îdepleasc codle de terpolare: l, l( x) y, 0,, () Odat costrut acest polom, vom aproxma f(x) pr l (x). Vom scre polomul l î raport cu oua baz p; 0,,, dec exst costatele reale a 0, a,,a astfel ca: l( x) ap( x) 0 Costatele a k se determ astfel: yk l( xk) a0p0( xk) akpk( xk) ap( xk) a0 0 ak a0 akak yk Pr urmare u polom de grad care îdeplesc codle de terpolare () este: ( xx0) ( xx )( xx ) ( xx) l( x) yp( x) y 0 0 ( x x 0) ( x x )( x x ) ( x x ) x x () j y ( ) x x 0 j0 j j Polomul d formula () se umete Lagrage. polomul de terpolare Propoze Polomul l dat de formula () este ucul polom de grad care îdeplete codle de terpolare (). Demostrae: Presupuem c ma exst u polom q care îdeplete codle (): q, q( x) y, 0,, Fe polomul p(x)=l (x)-q(x). Acest polom are propretatea c: p( x ) l ( x ) q( x ) y y 0, k 0,, k k k k k 09

Polomul p are ca rdc toate odurle de terpolare. Polomul p este polom de grad cel mult are (+) rdc dstcte (x x j, j). Acest polom u poate f decât polomul detc ul: p( x) l( x) q( x) 0 x, l( x) q( x) x Polomul l este ucul care satsface (). Fe w + polomul de grad (+) care are ca rdc odurle de terpolare: w ( x) ( xx0)( xx) ( xx) Avem: w ( x) ( x x ) ; w ( x ) ( x x ) j k k j 0 j0 j0 j jk Putem rescre polomul l astfel: w ( x) l( x) [ y ] x x ( w ( x ))' 0 Fe a=m{x 0, x,, x }, b=max{x 0, x,, x }. eorema restulu Fe f C a, b xab,, xx, 0,,. Atuc exst u puct ya, b, y y( x0, x,, x, x) (puctul y depde de odurle de terpolare x de puctul x ) astfel c eroarea la terpolarea umerc este dat de: ( ) f ( y) f ( x) l( x) w ( x) (3) ( )! Demostrae: Cosderm fuca F: F( x): f( x) l ( x) cw ( x) Costata real c este aleas astfel ca F( x) 0 adc: f( x) l( x) c, x xw ( x ) 0) (4) w ( x) Fuca f fd de clas C + pe tervalul [a,b] rezult c fuca F este d C + [a,b]. Avem: F( x ) f( x ) l ( x ) cw ( x ) y y c00, 0,, Fuca F are (+) zerour, x 0, x,, x, x. Aplcâd succesv eorema lu Rolle rezult c F are (+) zerour, F are zerour,, F (+) are zero î tervalul [a,b]. Vom ota aceast rdc a lu F (+) cu y. 0

Puctul y depde de zerourle ale x 0, x,, x, x : ( ) y y( x0, x,, x, x) a, b a.î. F ( y) 0. (5) Dervata de ordul (+) a fuce F se calculeaz astfel: ( ) ( ) ( ) ( ) F ( x) f ( x) l ( x) cw ( x) (6) ( ) ( ) f ( x) 0 c ( )! f ( x) c ( )! (dervata de ord (+) a polomulu de grad l este 0). D relale (4), (5) (6) rezult c: ( ) ( ) f ( y) f( x) l( x) f ( y) c f( x) l( x) w ( x) ( )! w ( x) ( )! adc am obut relaa (3). Forma Newto a polomulu de terpolare Lagrage Fe l k (x,x 0,x,,x k,f) polomul de terpolare Lagrage petru fuca f pe sstemul de odur {x 0,x,,x k } (x x j petru j). Propoze Fe l k- (x,x 0,x,,x k-,f), l k- (x,x,x,,x k,f) k- poloamele de terpolare Lagrage petru fuca f pe sstemele de odur {x 0,x,,x k- } respectv {x,x,,x k }. Atuc: lk( x, x0, x,, xk, f) ( x xk) lk ( xx, 0, x,, xk, f) ( xx0) lk ( xx,, x,, xk, f) (7) x0 xk Demostrae: Exercu. Cosderm urmtoarele probleme de terpolare petru fuca f: ( x, y ),( x, y ),,( x, y ) l ( x, x, x,, x, f) 0 0 k k k 0 k ( x, y ),( x, y ),,( x, y ) l ( x, x, x,, x, f) 0 0 k k k 0 k Ne tereseaz s gsm o formul de trecere rapd de la polomul de terpolare pe k odur la cel care are u od î plus. Deoarece polomul de grad cel mult k: qx ( ) lk( xx, 0, x,, xk, f) lk ( xx, 0, x,, xk, f) k are drept rdc puctele x 0,x,,x k- (q(x )=y -y =0, =0,,k-) avem relaa: l ( x, x, x,, x, f) l ( x, x, x,, x, f) A ( x x ) (8) k k 0 k k 0 k j j0 î care A este dat de relaa:

lk( xk, x0, x,, xk, f) lk ( xk, x0, x,, xk, f) A k ( x x ) j0 k j (9) x x k k k j y ( ) 0 j0 x xj k yk j yk y k k k k 0 xk xj xk xj xk xj xk x x xj j0 j0 j0 j0 j A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A y k (0) k 0 ( x x j) j0 j Dac cosderm problemele de terpolare petru fuca f: ( x, y ),( x, y ),,( x, y ) l ( x, x, x,, x, f) k k k k ( x0, y0),( x, y),,( xk, yk) lk( x, x0, x,, xk, f) vom avea, aalog ca ma sus: k 0 k k k j j l ( x, x, x,, x, f) l ( x, x, x,, x, f) B ( x x ) () Dac îmulm relaa (8) cu (x-x k ) ar relaa () cu (x-x 0 ) scdem aceste rela obem: ( x x ) l ( x, x, x,, x, f) ( xx ) l ( x, x, x,, x, f) k 0 k k 0 k k k 0 k ( x x ) l ( x, x, x,, x, f) ( A B) ( x x ) âd seama de relaa (7) rezult c: 0 k k j j0 k ( A B) ( xx ) 0adcA B j0 j Vom ota î cele ce urmeaz: A x0, x,, xk f umt dfere dvzat de ord k a fuce f pe odurle x0, x,, xk. Vom îlocu î formula (8) l k- (x,x 0,,x k-,f) cu: l ( x, x,, x, f) l ( x, x,, x, f) x, x,, x ( xx ) k 0 k k k 0 k f j j ar î formula () l k- (x,x,,x k,f) cu: k k

l ( x, x,, x, f) l ( x, x,, x, f) x, x,, x ( xx ) k k k k k f l l apo scdem membru cu memebru cele dou rela. Obem: Putem scre: k k 0 0 f x,, x ( xx ) x,, x ( xx ) k j k f j j j0 k k 0 f k l k f l l l l x,, x ( x x ) x,, x ( x x ) 0 k j relae d care obem: ( xx ) x,, x x,, x j 0 k f k k x0,, xk ( x xj) x x0 x x f j0 x, x,, x x, x,, x f 0 k f f x0, x,, xk () f x0 xk Relaa () justfc deumrea de dfere dvzat. Se troduce ouea de dfere dvzat de ordul 0: x y f x k (3) ( ), k f k k Dfereele dvzate se pot obe folosd defa drect (0) sau folosd defa recursv (3), (). Cele dou def sut echvalete: Propoze y y x0, x,, xk (4) f ( ) ' k k k 0 0 w x k ( x xj) j0 j petru orce sstem de odur x0, x,, xk orce k. Demostrae: Se face pr duce. Petru k= avem: y 0 y x 0 x f f x0, x f x0 x xx0 x0 x Presupuem c relaa (4) este valabl petru orce k petru orce sstem de odur x0, x,, xk. Petru k+ folosm relaa de recure apo aplcm poteza ductv: k 3

x, x,, x 0 k f x, x,, x x, x,, x 0 k f k x x 0 k y y ( ) x0 xk ( ) ( ) k k k k 0 x xj x xj j0 j j j y0 yk k k x0 xk ( x x ) ( x x ) f 0 j k j j0 j j0 jk y [ ( )]} k k ( x xj) x xk x x0 j j y y y ( ) ( ) ( ) Iduca este complet. k 0 k k k k x0 xj xk xj x xj j0 j0 j0 j0 jk j k k 0 j0 j y ( x x ) j D aceast Propoze se observ c dferea dvzat x0, x,, xk u f depde de ordea odurlor x0, x,, xk. Vom ota î cotuare cu l k (x) polomul de terpolare Lagrage pe odurle x0, x,, xk petru fuca f. Avem: l ( x) l ( x) l ( x) l ( x)] l ( x) l ( x)] l ( x) l ( x)] 0 0 k k f k,,, ( ) ( ) y x, x ( x x ) x, x,, x ( x x ) ( x x ) 0 0 0 0 f 0 k x x x x x x x 0 f 0 Am obut astfel forma Newto a polomulu de terpolare Lagrage: l ( x) y x, x ( x x ) x, x, x ( x x )( x x ) 0 0 f 0 0 f 0 x, x,, x ( x x ) ( x x ) 0 f 0 4

Schema lu Atke de calcul a dfereelor dvzate Ne propuem s calculm dfereele dvzate 0, f x x x,,x x x x x, 0,, f 0,,, ecesare costrur polomulu de f terpolare Lagrage î forma Newto. Procedeul folosete defa recursv a dfereelor dvzate se desfoar î pa. La pasul se calculeaz uma dferee dvzate de ordul : x x, x x,, 0, f, f x, x. Î geeral, la pasul k se calculeaz dferee dvzate de ord f k: x0, x,, xk, x f, x,, xk,, x, f k x k,, x. f La pasul se calculeaz o sgur dfere dvzat de ord aume x0, x,, x. f Pas PaskPas x0y0 xy x, x 0 x y x, x f x y x, x k k k k f f x, x,, x 0,,, f f, x k,, x x0, x, x f x, x,, x x y x x x x k k f xy x x f f Notm dd[k,]= dferee dvzate de ord k, =0,,k, k=,,, cu dd[0,]=y, =0,,. Schema lu Atke se mplemeteaz astfel: dd[0, ] y, 0,, ; fork,, for 0,, k dd[ k, ] dd[ k, ] dd[ k, ] x x k Putem face acelea calcule folosd u sgur vector, de exemplu rescrd vectorul y astfel: k f 5

fork,, for,, k y y y xk x La falul aceste secvee de program vectorul y va coe elemetele: y 0, x0, x, x f 0, x, x,,x f 0, x,, x f ( y x, x,, x, k 0,,. k 0 k f Polomul de terpolare Hermte Presupuem c despre o fuce f cuoatem pe lâg valorle fuce ale prme dervate îtr-u umr ft de pucte. Pord de la aceste date, dorm s aproxmm fuca f îtr-u alt puct. Cuoatem: x x 0 x x... x - x f y 0 y y... y - y F z 0 z z... z - z Î tabelul de ma sus f(x )=y, f (x )=z, =0,,, cu x x j petru j. Dat u puct x x, =0,,, dorm s aproxmm f( x ) cuoscâd valorle (x,y,z ),=0,,. Fe poloamele: x xj q( x) ( ), 0,, x x j0 j j r( x) ( x x) q'( x) q ( x), 0,, r( x) ( x x) q ( x), 0,, eorem Fe polomul de grad cel mult +: H ( x) yr( x) zr ( x) 0 0. (5) H + este ucul polom de gard cel mult + care satsface relale de terpolare: ' H ( x) y, H ( x) z 0,, (6) Dac x x, 0,, fc + [a,b] atuc: () f ( y) f ( x) H ( x) w ( x) (7) ( )! 6

ude y y( x,, x, x) a, b ( am{ x}, bmax{ x}). 0 Polomul H + se umete polomul de terpolare Hermte. Demostare: Se arat c (exercu!): 0petru j r( xj),, j 0,, petru j ' r x r ( x ) 0, j 0,, j j ' 0petru j r ( xj),, j 0,, petru j Folosd aceste rela rezult (6). Petru a arta uctatea polomulu (5) vom presupue c ma exst u polom P + care satsface relale (6): Px ( j) yj, P'( xj) zjj 0,,. Fe Q(x)=H + (x)-p(x) +. Petru acest polom avem: Qx ( j) Q'( xj) 0j0,, xj; j0,, } rdcdublepetruq Polomul Q u poate f decât polomul detc ul (polom de grad + cu + rdc!!!). Petru a demostra formula restulu (7) se adapteaz demostraa de la teorema restulu petru polomul de terpolare Lagrage. Vom cosdera î cotuare u ou tp de abordare a probleme de terpolare aume terpolarea polomal pe poru folosd fucle sple 7

Fuc sple x ab,, 0,,,, a x x x x x b. Se cosder fuca cotu fragmetar polomal: Fe odurle 0 P0( x), x[ x0, x], P( x), x[ x, x], P( x), x[ x, x3], S( x) P( x), x[ x, x ], P ( x), x[ x, x]. î care P x0,, sutpoloame. O asemeea fuce poart umele de fuce sple. Fuc sple lare cotue Defe Fuca S(x) se umete fuce sple lar cotu dac poloamele P x, 0,, sut poloame de gradul S( x) C[ a, b],adc lmsx ( ) lmsx ( ),,. xx xx xx xx Fe fuca f :[ ab, ] petru care se cuosc valorle: y f x, 0,,. Fuca sple lar de terpolare S petru fuca f îdeplete codle de terpolare: Sx ( ) y, 0,,. âd seam c poloamele P (x) sut poloame de gradul S(x) este cotu vom avea codle : P( x) y, P( x ) y 0,,, P ( x) polom de gradul. 8

D aceste cod rezult: xx x x P( x) y y, 0,, x x x x k k k k k k S( x ) P x P x y, k,,, S x P( x ) y, S x P x y. 0 0 0 0 Fuc sple cubce de clas C Se cosder sstemul de odur dstcte d tervalul [a,b]: { ax0x x x b} Fuca S(x) asocat dvzr care îdeplete codle : S( x) C [ a, b], poloamele P ( x) au gradul 0,,, se umete fuce sple cubc. Dat fd o fuce f :[ ab, ] cu valorle y f x, 0,,, se cosder fuca sple cubc S(x) de terpolare ce satsface S( x) y, 0,,. Petru determarea fuce sple cubce de terpolare observm c poloamele: 3 P( x) ax bx cx d, x[ x, x ], 0,,, mplc determarea a 4 ecuoscute { a, b, c, d : 0,, } petru care se mpu: coddrelaledeterpolare S( x) y, 0,,, ' '' 3( ) coddecotutatepetru S( x), S ( x) S ( x) îodurle x,,,, î total 4- cod. Se pot avea î vedere petru adugarea a dou cod suplmetarea urmtoarele abordr : fxarea patelor î extremtle tervalulu [a,b]. Se presupue c fuca f este dervabl se cuosc valorle f ' ( a), f ' ( b) Se mpu codle: ' ' ' ' ' ' S ( x0) P0( x0) f ( a), S ( x) P ( x) f ( b); perodctatea prmelor dou dervate: ' ' ' ' " " " " S ( x ) P( x ) P ( x ) S ( x ), S ( x ) P ( x ) P ( x ) S ( x ); 0 0 0 0 0 0 9

aularea dervate secude î capetele tervalulu: " " " " S x0p0 x00, S xp x0. Fucle sple care îdeplesc aceste cod se umesc fuc sple cubce ormale. dervata de ordul al trelea ale fuce S este cotu î puctele x x - Aceasta îseam c poloamele P0, P respectv P, P cocd. Acest tp de sple se umete ot a kot este utlzat î MALAB. Ne vom ocupa î cotuare de determarea fuce sple de terpolare î cazul î care sut cuoscute valorle dervate fuce f ( x)î a b. Recaptulâd vom avea urmtoarele cod : P( x) y, 0,,, P ( x) yterpolare, P ( x) P( x),,,, cotutatea fuce S, ' ' P ( x) P( x),,,, cotutateaprmedervate, " " P ( x) P ( x),,,, cotutateadervatesecude, ' ' P0( x0) f '( a), P ( x) f ' b. Vom ota S''( x) A, 0,. âd seama de faptul c fuca S'' Ca, b este o fuce lar pe fecare d tervalele x, x rezult c, otâd cu h x x, 0,, vom avea: " xx x x S ( x) A A, x[ x, x ],,, h h ' " ' ar d S ( x) S ( x) dx, S( x) S ( x) dx rezult: xx x x ' h h S ( x) A A, x[ x, x ],, 0,, xx x x 3 3 h S( x) A A x, x[ x, x ],,, 0,, 6h 6 xx x x 3 3 6h 6h P( x) A A x,,, 0,, Impuâd codle de terpolare de cotutate vom obe: 0

h P( x) A x y, 6 h P( x ) A xy0,. 6 D aceste rela determm îfuce de A, A, y, y : y y h A A, h 6 D coda: x y x y h x A x A, 0,. h 6 x x x x ' ' ' 0 0( 0) ( ),âd seamde 0( ) 0 0 h0 h0 P x f a P x A A rezult 0 ' 0 0 0 6 y y ha ha f( a) (8) h0 D coda de cotutate a prme dervate a fuce sple cubce ' ' P ( ) x P x âd seama de: xx x x ' h h ' xx x x P( x) A A, h h P ( x) A A, rezult, utlzâd valorle petru deduse ma sus: ' h y y h P ( x) A A A h 6 sau h y y h P( x) A A A ' h 6 h A h h A ha y y y y,,. Î fal, d coda: ( ) 6, h h xx x x (9) S ( b) P ( x ) f ( b) d P ( x) A A ' ' ' ' h h

obem: sau h y y h P x A A A f b ' ' ( ) ( ), h 6 ' y y h AhA 6f b (0) h Sstemul lar (8), (9), (0) cu ecuoscutele A0, A,, A are forma: ( ) ( ) HA f,cu H, f H h0h00 0 h0( h0 h) h0 hh hh h h h h h h y y0 ' 6 f ( a) h0 y y y y f 6,, h h ' y y 6 f ( b) h Observâd c matrcea H este dagoal domat atât pe l cât pe coloae rezult c putem utlza metoda Gauss-Sedel petru rezolvarea sstemulu HA=f. âd seam c matrcea H este smetrc poztv deft rezult de asemeea covergea metode relaxr. Î cazul fuce sple aturale avem A0 A 0 ar petru determarea valorlor A, A terv uma codle (9). Sstemul lar petru aceste valor are forma: A ( ) ( ) HA f,, f, A A

î care matrcea H se obe d matrcea H d care se suprm prma ultma le respectv prma ultma coloa, ar f se obe d vectorul f elmâd prmul ultmul elemet. Matrcea H are acelea propret ca matrcea H. 3

Itegrare umerc Fe f : [a,b], tegrabl p : [a,b] o fuce podere: b px ( ) 0, x ab,, pxdx 0,. Ne propuem s aproxmm pxf x dx. Relaa b b a a p( x) f( x) dx cf x R( f) x a, b,,, () a se umete formul de cuadratur / tegrare umerc. Puctele x sut odurle formule de cuadratur, c sut coefce sau poderle formule. Ordul de exacttate al formule () Fe m mulmea poloamelor de grad cel mult m. Se umete ord de exacttate al formule de cuadratur () umrul atural mn petru care: R ( P) 0, P Q astfelî câ t R ( Q) 0. m m pur de formule de cuadratur Fe o clas de fuc tegrable pe tervalul [a,b]. Se determ c x astfel ca: R ( ) 0,. f f Alegerea clase de refer coduce la oberea dverselor tpur de formule de cuadratur. Formule terpolatve Se cosder terpolarea Lagrage pe odurle x, x,, x : f ( x) L ( x) r( x). Itegrâd de la a la b î amb membr obem: âd seam de: b b b p( x) f( xdx ) pxl ( ) ( xdx ) pxr ( ) ( xdx ). a a a 4

rezult c: w ( x) L ( x) f x, w ( x) ( x x ), ' j ( x x) w( x) j c ( ) ( j), p x xx dx ( x x ) a j j b R ( f) p( x) r ( x) dx a j b Observae. Dac f P, P, âd seam de restul î terpolarea ( P ) ( ) Lagrage petru fuc de clas C [ a, b ], r( x) w( x) 0! rezult R ( P) 0. Rezult c petru formulele de cuadratur de tp terpolatv ordul de exacttate este cel pu -. Î formulele de tp terpolatv x, c se aleg asfel îcât ordul de exacttate s fe maxm. O alt clasfcare a formulelor de cuadratur se face î raport cu dspuerea odurlor xx îtervalul[ a, b]. formule de tp îchs : x a, x b, formule de tp deschs : x a, x b, formule de tp îchs deschs : x a, x b, formule de tp deschs îchs : x a, x b. Formule terate Se cosder o dvzare a X X XN b descompuerea: b X X j j f ( xdx ) f( xdx ) f( xdx ) f( xdx ). a X X X Petru fecare tegral cuadratur. 0 N X k f ( xdx ) se utlzeaz o formul smpl de X k X N 5

Formule de cuadratur NEWON-CÔES Se cosder fuca podere p( x), x [ a, b] odurle a x x x b b fxate. Petru calculul tegrale f ( xdx ), f :[ ab, ], tegrabl a ab ba pe tervalul [a,b], vom face schmbarea de varabl x t astfel ca: b ba ab ba ba f ( xdx ) f( tdt ) gtdt ( ). a Costrum polomul de terpolare Lagrage petru fuca gt () L () t r() tî care: t t j ab ba L ( t) g( t), x t, g( t) f( x). j t t j j I poteza f C [ a, b], restul î terpolarea Lagrage este: ( ) g r t w t,,, cu w t ttj,! d ab ba ba g f t f, a, b. dt t Rezult: b ba t t j ba f t f xdx fx dt w tdt j t t j! a Notm: j j t t w t I dt dt j ' j t t j wt t t j. t b a f R f w t dt! Am obut formula de cuadratur Newto-Côtes : b f x dx I f x R( f) () a 6

Observa.Coefce I u depd de fuca f, pr urmare pot f calcula tabela petru o reparte dat a odurlor x.. Dac utlzm formula () petru f, î formula de terpolare vom avea care rezult : d r ( x) 0 R () 0, astfelcba dx( ba) I. a I 3.Petru restul î formula de cuadratur, î poteza f C [ a, b], se poate obe majorarea: b a R f c f, îcare c w t dt! f sup f x ; x[ a, b] 4. Presupuem c odurle x sut smetrce dou câte dou fa de mjlocul tevalulu [a,b]. Aceata mplc t t,,,,. Avem: w t tt tt tt w ( t) ' ' w( t) w t. Î tegrala pr care se determ I facem schmbarea de varabl t obem: w t w I ' ' dt d ttwt twt îlocud î ultma tegral tcu t obem: w I d I ' ( t ) w t b Dec î poteza smetre odurlor fa de mjlocul tervalulu avem: I I,,. 7

Avem urmtorul tabel cu coefce: Gradul => 3 4 5 6 7 8 9 0 K 3 8 45 88 40 780 475 89600 99376 I 3 4 95 4 557 3956 573 80335 I 4 9 64 375 6 5039 355 4669 53500 I 3 9 4 50 7 96-37 970-465 I 4 3 64 50 7 093 4984 74096 36000 I 5 4 375 7 093-860 500-30750 I 6 95 6 96 4984 500 36840 I 7 4 5039-37 74096-30750 I 8 557 355 970 36000 I 9 3956 4669-465 I 0 573 53500 I 80335 Formula de cuadratur Newto Cotes se obe utlzâd tabelul de ma sus astfel: b ( b a) f( x) dx If( x) R( f), K a b a h, x a ( ) h,,, Remarcm faptul c petru =8 =0 apar coefce egatv. Petru > 0 vor exsta îtotdeaua coefce egatv. Observae Petru = 0 prtre poderle metode Newto Cotes 4 sut egatve. Petru tervalul [-,] odurle de cuadratur sut xk 0. k, k 0,,0 ar poderle: 0 0 6067 0 0 6575 0 0-675 I0 I0, I I9 I I8 99376 74844 9979 0 0 5675 0 0-485 0 7807 I3 I7, I4 I6, I5 637 5544 474 f :, fragmetar lar: Cosderm fuca 8

0 sg( I ), x x 0,,0, f( x) 0 0 ( x x)sg( I ) x x sg( I ), xx, x, 0,,9. cu grafcul: 0.5 - -0.5 0.5-0.5 Avem f x dx 0,4. - Aplcâd metoda Newto Cotes petru aproxmarea tegrale vom obe: cu eroarea absolut: 0 0 0 0 I j f xj I j 6.59 j0 j0 0 f x dx I f x 5.759. j0 0 j j D acest exemplu rezult c mrrea ordulu de exacttate polomal u coduce î orce stuae la îmbutrea aproxmr tegrale defte. Formulele NEWON CÔES pe odur echdstate de tp îchs Formula trapezulu Petru = vom avea x a, x b, t, t. D relale: I I, I I rezult: I I, 9

obâd formula de cuadratur a trapezulu: î care petru f C a, b b b a f xdx f a f br f (3) a avem: b f '' x b a R f xaxb dx f '', a, b. a Iterpretarea geometrc: 3 Ara cuprs ître axa X segmetul [a,b], segmetele AA, BB grafcul curbe y=f(x) a cre valoare este dat de f ( xdx ) este b a f a f b care reprezt ara trapezulu aproxmat pr AA B B. b a Formula de cuadratur a lu SIMPSON Î metoda Newto Côtes petru =3 petru odurle: a b x a, x, x3 b, t, t 0, t3, folosd relale: 30

rezult I 3 3 3 3 I I I3, 3 3 I I3 3 tt 3 I dt I3 0 6. 3 f C 4 a, b se obe formula de cuadratur a lu Smpso: Î poteza b 5 ba ab ba f 4 ( ) f x dx f a 4 f f b 6 90 (4) a Formula de cuadratur a lu SIMPSON (3/8) Petru =4 odurle echdstate sut: ab ab x a, x, x3 x4 b, t, t, t3 t4, 3 3 3 3 b a Notm cu h obem astfel formula lu Smpso (3/8) petru 3 f C a, b : 4 b 3 5 4 f xdx hf a 3f x 3f x3 f b h f (5) 8 a Formula de cuadratur a lu BOOLE Petru =5 cosderâd odurle: b a x a ( ) h,,,5cuh, 4 f C 6 a, b obem formula de cuadratur a lu Boole : î poteza b a h f xdx 7f a3f xf x33f x47f b 45 7 h f 6 3

Formule terate Se cosder o dvzare a tervalulu [a,b] î N subtervale de lugme b a H pr odurle x ah, 0,,, N. Î relaa: N petru fecare d tegralele b a N x 4 H 4 b a f. 80 Formula (6) poart umele de formula lu Smpso terat. 3 0 f x dx f x dx x x x f x dx aplcm formula trapezulu: b N N 3 x x x x " f xdx f x f x f 0 0 a N 3 N H H f a f x f b f 0 " Se obe asfel formula trapezelor sau formula terat a trapezulu: b a N H b a " f x dx f a f x f b H f Cosderm dvzarea tervalulu [a,b] î N subtervale de lugme b a H pr odurle x ah, 0,,, N. Î relaa: N b a N x f xdx f xdx 0 petru fecare d tegralele d sum aplcm formula lu Smpso obâd: b N x x f xdx f x4 f x f x 6 sau a 0 N 5 x x 90 0 b N N a x f 4 H f xdx 4 ( ) 3 f a f x f x f b 0 (6)

Bblotec de calcul umerc ASA Advaced Scetfc Applcatos Bbloteca de programe ScMath V.7. este realzată de ASA, Ic. ScMath se preztă sub forma de fşer.lb astfel îcât petru utlzare este ecesară legarea aplcaţe scrse î C sau C++ cu fşerul bblotecă ScMath. Algebră lară mtlsbs: Rezolvarea sstemelor lare gjmtxl: Rezolvarea sstemelor lare utlzâd metoda Gauss-Jorda mtudec: Factorzarea LU a ue matrc badă esmetrce mtvmul: Produs matrce vector lbacks: Rezolvarea sstemelor lare cu metoda substtuţe verse mtcod: Estmarea umărulu de codţoare petru factorzarea LDL lchol: Factorzarea Cholesky Rădăcle poloamelor. Rezolvarea stemelor de ecuaţ elare czerop: Zerourle poloamelor complexe rsreal: Determarea ue rădăc reale rzerl: Rezolvarea sstemelor elare rzrlj: Rezolvarea sstemelor elare utlzâd Jacobaul rtller: Calculul rădăclor reale/complexe ale ue fucţ rterop: Calculul zerourlor poloamelor cu coefceţ real. Cuadratur qsjacw: Cuadratura Gauss-Jacob qgausq: Coefceţ ş odurle î cuadratura Gauss qsexaw: Cuadratura Gauss-Hermte quslog: Cuadratura Gauss 33

Aproxmare /Iterpolare /Extrapolare ctsqls: Ecuaţ lare complexe. Soluţe î sesul celor ma mc patrate tplt: Iterpolarea polomală bdmesoală tpol: Iterpolarea polomală steg: Itegrare cu fucţ sple csplt: Aproxmare cu fucţ sple cubce chbft: Aproxmare Lagrage chbt: Itegrarea ue fucţ aproxmate Lagrage. Sstemul autovalorlor mtge: Vector ş valor propr petru matrc reale eghes: Valorle propr ale ue matrc Hesseberg mtgec: Rezolvarea probleme geerale a valorlor propr egsmt: Calculul valorlor ş vectorlor propr ale ue matrc smetrce 34

NUMERICAL ALGORIHM GROUP(NAG) Colece de fuc C (NAGC.DLL) D categora algortmlor petru algebra lar: f0 Factorzarea Matrclor Numele rute f0bc f0mcc f0qcc f0qdc f0rcc f0rdc Realzeaz ag_complex_cholesky Factorzarea UU H a ue matrc complexe Hermtee poztv defte ag_real_cholesky_skyle Factorzarea LDL a ue matrc reale smetrce poztv defte, bad ag_real_qr Factorzarea QR a ue matrc reale m (m ) ag_real_apply_q Calculeaz QB sau Q B dup factorzarea realzat cu f0qcc ag_complex_qr Factorzarea QR a ue matrc complexe m (m ) ag_complex_apply_q Calculeaz QB sau Q H f0rcc B dup factorzarea realzat cu f0 Valor vector propr Numele rute f0aac f0abc Realzeaz ag_real_symm_egevalues oate valorle propr ale ue matrc reale smetrce. ag_real_symm_egesystem oate valorle propr to vector propr petru matrc reale smetrce. 35

f0afc f0agc f0awc f0axc f0ecc f0gcc f0wec f0xec ag_real_egevalues oate valorle propr ale ue matrc reale. ag_real_egesystem oate valorle propr to vector propr petru matrc reale ag_hermta_egevalues oate valorle propr ale ue matrc complexe hermtee. ag_hermta_egesystem oate valorle propr to vector propr petru matrc complexe hermtee ag_real_egesystem_sel Calculul uor valor propr selectate a vectorlor propr petru o matrce real geeral. ag_complex_egesystem_sel Calculul uor valor propr selectate a vectorlor propr petru o matrce complex geeral. ag_real_svd SVD petru matrc reale (Descompuerea dup valorle sgulare) ag_complex_svd SVD petru matrc complexe f03 Determa Numele rute f03aec f03afc f03ahc Realzeaz ag_real_cholesky Factorzare LL determatul ue matrc reale, smetrce, poztv defte. ag_real_lu Factorzare LU determatul ue matrc reale ag_complex_lu Factorzare LU determatul ue matrc complexe 36

f04 Ssteme de ecua lare Numele rute f04adc f04agc f04ajc f04akc f04arc f04awc f04mcc Realzeaz ag_complex_l_eq_mult_rhs Solua aproxmatv a sstemelor lare complexe cu membr drep multpl. ag_real_cholesky_solve_mult_rhs Solua uu sstem cu matrce real, smetrc, poztv deft. ag_real_lu_solve_mult_rhs Solua uu sstem real de ecua lare ag_complex_lu_solve_mult_rhs Solua uu sstem complex de ecua lare. ag_real_l_eq Solua uu sstem real de ecua lare. ag_hermta_l_eq_mult_rhs Solua uu sstem de ecua lare cu matrce complex hermta, poztv deft ag_real_cholesky_skyle_solve Solua uu sstem cu matrce real, smetrc, poztv deft. Matrcea coefcelor factorzat î prelabl cu f0mcc. f07 Ecua Lare (LAPACK) Numele rute f07adc f07aec Realzeaz ag_dgetrf Factorzarea LU a ue matrc reale de tp (m,) ag_dgetrs Rezolvarea uu sstem lar de ecua reale cu membr drep multpl utlzâd factorzarea f07adc 37

f Algebra Lar ag real lu (f03afc). Obectv ag real lu (f03afc) calculeaz factorzarea LU a ue matrc reale, cu pvotare paral evaluarea determatulu. Specfcare #clude <ag.h> #clude <agf03.h> vod ag_real_lu(iteger, double a[], Iteger tda, Iteger pvot[], double *detf, Iteger *dete, NagError *fal) 3. Descrere Aceast fuce calculeaz factorzarea LU a ue matrc reale A cu pvotare paral PA = LU, î care P este o matrce de permutare, L este feror trughular ar U este superor trughular cu pe dagoal. Determatul lu A este produsul elemetelor de pe dagoala lu P cu semul determat de schmbarle de l. 4. Parametr Itrare :, ordul matrc A. Restrce:. a[][tda] Itrare matrcea A de tp. Iere : A coe î partea trughular feror matrcea L, î partea strct trughular superor matrcea U fr elemetele de pe dagoala acestea care sut =.. tda Itrare: dmesuea domat a matrc aa cum a fost declarat î fuca care apeleaz ag real lu Restrce : tda. pvot[] Iere : pvot[ ] coe dcele de le al pvotlu. detf, dete Iere determatul lu A este dat de detf.0 dete utlzeaz aceast form petru a evta deprle feroare/superoare... Se 38

fal Parametru de eroare NAG 5. Mesaje de eroare avertzare NE SINGULAR Matrcea A este sgular evetual datort erorlor de rotujre. Factorzarea u poate f realzat, detf = dete = 0. NE IN ARG L <value> I trare u poate f ma mc dect : = value NE IN ARG L <value> I trare tda trebue s fe tda. : = value NE ALLOC FAIL Alocarea memore euat 6. mpul de execue este aproxmatv proporal cu 3 7 Refere Wlkso J H ad Resch C (97) Hadbook for Automatc Computato (Vol II, Lear Algebra) Sprger-Verlag pp 93 0.. 8. Exemplu Se cosder matrcea 33 6 7 4 0 57 8 4 7 39

8.. extul programulu /* ag_real_lu(f03afc) Exemplu * */ #clude <ag.h> #clude <math.h> #clude <stdo.h> #clude <ag_stdlb.h> #clude <agf03.h> #defe NMAX 8 #defe DA NMAX ma() { double detf, two=.0; Iteger, dete, j, ; statc NagError fal; double a[nmax][da]; Iteger pvot[nmax]; Vprtf("f03afc Example Program Results\"); /* Skp headg data fle */ Vscaf("%*[^\]"); Vscaf("%ld",&); f (>0 && <=NMAX) { for (=0; <; ++) for (j=0; j<; j++) Vscaf("%lf",&a[][j]); fal.prt = RUE; f03afc(,(double *)a,(iteger)da,pvot,&detf,&dete,&fal); f (fal.code!=ne_noerror) ext(exi_failure); else { Vprtf("Matrcea A dupa factorzare\"); for (=0; <; ++) for (j=0; j<; j++) Vprtf("%9.4f%s",a[][j],(j%8==7 j==-)? "\" : " "); 40

Vprtf("\Permutare P\"); for (=0; <; ++) Vprtf("%3ld%s",pvot[],(%8==7 ==-)? "\" : " "); Vprtf("\detf = %9.4f dete = %ld\", detf, dete); detf = detf * pow(two, (double)dete); Vprtf("\Valoarea determatulu = %9.4f\", detf); } } ext(exi_success); } 8.. Date de trare f03afc Example Program Data 3 8.3. Rezultate f03afc Example Program Results Matrcea A dup factorzare Permutare P 33 33 6 7-4 -0-57 -8-4 -7-8.0000 0.5000.50-4.0000.0000-3.0000 33.0000-0.5000 0.3750 detf = 0.3750 dete = 4 Valoarea determatulu = 6.0000 4

f Algebra lar ag real symm egevalues (f0aac). Obectv ag real symm egevalues (f0aac) calculeaz toate valorle propr ale ue matrc reale smetrce.. Specfcare #clude <ag.h> #clude <agf0.h> vod ag_real_symm_egevalues(iteger, double a[], Iteger tda, double r[], NagError *fal) 3. Descrere Fuca reduce matrcea real smetrc A la o matrce real smetrc trdagoal pr metoda lu Householder. Valorle propr ale matrc trdagoale sut determate pr algortmul QL. 4. Parametr Itrare :, ordul matrc A. Restrce:. a[][tda] Itrare: partea feror trughular a matrc smetrce A. Elemetele stuate deasupra dagoale u sut alzate. Iere : elemetele lu A stuate sub dagoal sut modfcate restul matrc rmâe eschmbat.. tda Itrare: a doua dmesue a matrc aa cum a fost declarat î fuca care apeleaz ag real symm egevalues Restrce : tda. r[] Iere : valorle propr î orde cresctoare. 4

fal Parametru de eroare NAG 5. Mesaje de eroare avertzare NE OO MANY IERAIONS <value> Sut ecesare ma mult de value tera petru a zola toate valorle propr. NE IN ARG L <value> I trare u poate f ma mc dect : = value NE IN ARG L <value> I trare tda trebue s fe tda. : = value NE ALLOC FAIL Alocarea memore euat 6. mpul de execue este aproxmatv proporal cu 3 7 Refere Wlkso J H ad Resch C (97) Hadbook for Automatc Computato (Vol II, Lear Algebra) Sprger-Verlag pp 6 ad 7 40. 8. Exemplu Se cosder matrcea smetrc 0.5 0.0.3.6 0.0 0.5.4 0.7.3.4 0.5 0.0.6 0.7 0.0 0.5 43

8.. Program /* ag_real_symm_egevalues(f0aac) Exemplu * */ #clude <ag.h> #clude <stdo.h> #clude <ag_stdlb.h> #clude <agf0.h> #defe NMAX 8 #defe DA NMAX ma() { Iteger, j, ; double a[nmax][da], r[nmax]; Vprtf("f0aac Resultate \"); /* Skp headg data fle */ Vscaf("%*[^\]"); Vscaf("%ld",&); f (< >NMAX) { Vfprtf(stderr, "N este afara domeulu: N = %5ld\", ); ext(exi_failure); } for (=0; <; ++) for (j=0; j<; j++) Vscaf("%lf",&a[][j]); f0aac(, (double *)a, (Iteger)DA, r, NAGERR_DEFAUL); Vprtf("Valor propr\"); for (=0; <; ++) Vprtf("%9.4f%s",r[],(%8==7 ==-)? "\": " "); ext(exi_success); } 44

8.. Date de trare f0aac Date 4 0.5 0.0.3 -.6 0.0 0.5 -.4-0.7.3 -.4 0.5 0.0 -.6-0.7 0.0 0.5 8.3. Rezultate Valor propr -3.0000 -.0000.0000 4.0000 c0 Zerourle Poloamelor Numele fuce Scop c0afc c0agc c0akc c0alc ag_zeros_complex_poly Zerourle uu polom cu coefce complec ag_zeros_real_poly Zerourle uu polom cu coefce real ag_cubc_roots Zerourle uu polom de gradul 3 cu coefce real ag_quartc_roots Zerourle uu polom de gradul 4 cu coefce real 45

IMSL Vsual Numercs Iteratoal Mathematcal ad Statstcal Lbrary Coe programe d urmtoarele dome: valor vector propr, ssteme algebrce lare, terpolare, tegrare dervare umerc, ecua dfereale ordare cu dervate parale, trasformr, ecua elare, optmzr, statstc. LSARG/DLSARG (Sgle/Double precso) Rezolvarea uu sstem de ecua algebrce lare reale. Utlzare (FORRAN) CALL LSARG (N, A, LDA, B, IPAH, X) Argumete N Numrul ecualor (Itrare) A Matrce N N coâd coefce sstemulu lar (Itrare) LDA Dmesuea domat prevzut î declaraa de dmesue d programul apelat (Itrare) B Vector N-dmesoal coâd terme lber (Itrare) IPAH (Itrare) IPAH = se rezolv sstemul AX = B. IPAH = se rezolv sstemul A X = B. X Vector N-dmesoal coâd solua sstemulu lar (Iere) Commetar. Utlzarea spaulu de lucru LSARG N + N ut, DLSARG N + 3N ut. Spaul de lucru poate f stablt explct pr utlzarea subprogramelor LARG/DLARG. Apelul este de forma: CALL LARG (N, A, LDA, B, IPAH, X, FAC, IPV, WK) Î care argumetele adoale sut : 46

FAC vector de lucru de dmesue N coâd factorzarea LU a matrc A (Iere) IPV vector de îtreg de dmesue N coâd forma prvd pvotarea î factorzarea LU (Iere) WK vector de lucru de dmesue N. LFCRG/DLFCRG (Sgle/Double precso) Calculeaz factorzarea LU a ue matrc reale estmeaz umrul de codoare Utlzare CALL LFCRG (N, A, LDA, FAC, LDFAC, IPV, RCOND) LFDRG/DLFDRG (Sgle/Double precso) Calculeaz determatul ue matrc dat fd factorzarea LU a matrc. Utlzare CALL LFDRG (N, FAC, LDFAC, IPV, DE, DE) det(a) = DE * 0^DE. LINRG/DLINRG (Sgle/Double precso) Calculeaz versa ue matrc reale. Utlzare CALL LINRG (N, A, LDA, AINV, LDAINV) AINV versa LSLR/DLSLR (Sgle/Double precso) Rezolvarea uu sstem trughular de ecua lare. Utlzare CALL LSLR (N, A, LDA, B, IPAH, X) LFCDS/DLFCDS (Sgle/Double precso) Calculeaz factorzarea Cholesky R R a ue matrc reale, smetrce poztv defte estmeaz umrul de codoare. 47

Utlzare CALL LFCDS (N, A, LDA, FAC, LDFAC, RCOND) IMSL Aproxmare sple CSCON/DCSCON (Smpla/Dubla precze) Calculeaz terpolatul sple cubc cosstet cu cocavtatea datelor. Utlzare CALL CSCON (NDAA, XDAA, FDAA, IBREAK, BREAK, CSCOEF) Argumete NDAA Numrul datelor de trare. (Itrare) (NDAA este cel pu 3) XDAA Vector de lugme NDAA coâd valorle odurlor. (Itrare) (Nodurle sut dstcte ) FDAA Vector de lugme NDAA coâd valorle fuce. (Itrare) IBREAK Numrul puctelor de racord petru fuca fragmetar cubc. (Iesre) IBREAK < * NDAA. BREAK Vector de lugme IBREAK coâd pt. de racord ale reprezetr fragmetar cubce (Iesre) (Dmesuea lu BREAK este cel pu * NDAA.) CSCOEF Matrce de dmesue (4,N ) î care N este dmesuea lu BREAK. (Iesre) (Coe, pe coloae, coefce fuclor cubce pe subtervale.) Cometar. Utlzarea automat a spaulu de lucru este CSCON * NDAA 4 ut, sau DCSCON * NDAA 8 ut. Spaul de lucru poate f preczat explct pr utlzarea subprogramelor CCON/DCCON. Apelarea este de forma CALL CCON (NDAA, XDAA, FDAA, IBREAK, BREAK,CSCOEF, IMAX, XSR, FSR, A, Y, DIVD,ID, WK) I care argumetele suplmetarea au urmtoarea semfcae: IMAX - Numrul maxm de tera petru metoda lu Newto (Itrare) XSR- Vector de lucru de lugme NDAA î care se pstreaz valorle XDAA sortate. 48

FSR Vector de lucru de lugme NDAA î care se pstreaz valorle FDAA sortate. A Vector de lucru de lugme NDAA. Y Vector de lucru de lugme NDAA. DIVD Vector de lucru de lugme NDAA. ID Vector de îtreg de lugme NDAA. WK Vector de lucru de lugme 5 * (NDAA ). CSVAL/DCSVAL (Smpla/Dubla precze) Evaluarea uu sple cubc. Utlzare CSVAL(X, NINV, BREAK, CSCOEF) Argumete X Puctul î care fuca sple se evalueaz. (Itrare) NINV Numrul tervalelor. (Itrare) BREAK Vector de lugme NINV + coâd puctele de racord î reprezetarea fragmetar cubc a fuce sple. (Itrare) Elemetele d BREAK trebue s fe î orde strct cresctoare CSCOEF Matrce de dmesue (4, NINV + ) care coe, pe coloae, coefce fuclor cubce pe subtervale. (Itrare) CSVAL Valoarea fuce sple î X. (Iesre) CSIN/DCSIN (Smpla/Dubla precze) Calculeaz terpolatul sple cubc Utlzare CALL CSIN (NDAA, XDAA, FDAA, BREAK, CSCOEF) Argumete NDAA Numrul datelor de trare. (Itrare) NDAA este cel pu. XDAA Vector de lugme NDAA coâd valorle abscselor. (Itrare) Abscsele sut dstcte. FDAA Vector de lugme NDAA coâd valorle ordoatele. (Itrare) BREAK Vector de lugme NDAA coâd puctele de racord ale reprezetr fragmetar cubce. (Iesre) Dmesuea lu BREAK este cel pu * NDAA. CSCOEF Matrce de dmesue (4,NDAA ). (Iesre) Coe, pe coloae, coefce fuclor cubce pe subtervale. 49

MALAB produs al compae he MathWorks Ic. Iterpolare polomal Fuca terp utlzeaz tehc de aproxmare polomal petru aproxmarea valorlor ue fuc y = terp(x,y,x,metoda) x vector coâd odurle de terpolare; y vector coâd valorle fuce î odur; x vector coâd puctele î care se terpoleaz fuca metoda r de ltere pr care se preczeaz metoda de terpolare: `earest se atrbue valoarea fuce corespuztoare celu ma apropat od de terpolare `lear pe odurle de terpolare se costruete o fuce sple lar petru care se calculeaz valorle y corespuztor puctelor de trare x (metoda mplct); `sple se utlzeaz aproxmarea sple cubc pe odurle x, y Dac u elemet x se afl î afara tervalulu odurlor de terpolare x se aplc metoda specfcat petru extrapolare sau se utlzeaza fuca terpl sub forma: y = terp(x,y,x,method,extrapval) î care y petru x d afara tervalulu de terpolare se atrbue valoarea extrapval. Exemplu. Metoda mplcta : `lear x = 0:0; y = s(x); x = 0:.5:0; y = terp(x,y,x); plot(x,y,'o',x,y) 50

Exemplu. Metoda `sple x = 0:0; y = cos(x); x = 0:.:0; y = terp(x,y,x, sple ); plot(x,y,'o',x,y) 5

Cuadratur umerce Petru aproxmarea tegrale defte b a f ( xdx ) se utlzeaz fuca quad ; q = quad(fu,a,b) aproxmeaz tegrala fuce fu de la a la b cu o eroare de ordul lu 0-6 utlzâd metoda de cuadratura a lu Smpso adaptv. Exemplu >> P = quad('cos(x)',0,p/4); P = 0.707 Sub forma q = quad(fu,a,b,tol) se utlzeaz eroarea de aproxmare tol î locul cele mplcte care este.0e-6. 5

2025 © DocPlayer.gr Πολιτική Απορρήτου | Όροι Χρήσης | Σχόλια