CAPITOLUL 5 DINAMICA RIGIDULUI

CAPITOLUL 5 DINAMICA RIIDULUI Dinamica este diviziunea mecanicii care studiază mişcările corpurilor materiale, ţinându-se seama de interacţiunea lor reciprocă, de solicitările care intervin, stabilind relaţii între variaţiile parametrilor de poziţie şi sistemul solicitărilor care acţionează asupra corpurilor. Comportamentul dinamic al unui rigid în mişcare este condiţionat de trei categorii de mărimi mecanice, denumite caracteristici mecanice şi anume: caracteristicile inerţiale ale rigidului, care pun în evidenţă influenţa fenomenului de inerţie a substanţei în desfăşurarea proceselor mecanice; caracteristicile cinetice ale unui rigid, care caracterizează din punct de vedere dinamic mişcarea rigidului, prin influenţa asupra desfăşurării procesului mecanic, a capacităţii substanţei de a-şi transforma starea de mişcare, sau, în anumite condiţii de a-şi păstra starea de mişcare; caracteristicile dinamice ale unui rigid sunt mărimi mecanice care, caracterizează interacţiunile lui cu alte corpuri din mediul înconjurător, evidenţiind influenţa acestor interacţiuni asupra evoluţiei stării de mişcare a rigidului. 5.1. CARACTERISTICILE INERŢIALE ALE UNUI RIID Cercetările efectuate asupra proceselor mecanice au condus la concluzia că mişcarea unui rigid, aflat în interacţiune cu alte corpuri din mediul înconjurător, este influenţată atât de cantitatea de substanţă conţinută cât şi de modul de distribuţie a substanţei în volumul ocupat de rigid. Studiul eperimental al mişcărilor mecanice a scos în evidenţă fenomenul de inerţie a substanţei, prin care un rigid opune rezistenţă atunci când se încearcă să i se modifice, fie starea de mişcare rectilinie şi uniformă a centrului său de masă sau în

33 particular starea lui de repaus, fie starea de mişcare de rotaţie uniformă sau în particular starea de repaus relativ la rotaţie. Rezistenţa opusă de rigid la modificarea mişcării de translaţie depinde de cantitatea de substanţă conţinută de el, iar rezistenţa opusă la variaţia mişcării de rotaţie depinde de modul de distribuţie a substanţei în rigid. Caracteristicile inerţiale ale unui rigid, care caracterizează fenomenul de inerţie a substanţei, sunt reprezentate prin două categorii de mărimi mecanice: masa rigidului, care caracterizează cantitatea de substanţă conţinută de volumul ocupat de rigid; momentele de inerţie, care folosesc la caracterizarea modului de răspândire a substanţei într-un rigid, cu ajutorul lor eprimându-se inerţia unui corp aflat în mişcare de rotaţie. 5.1.1. MASA RIIDULUI 5.1.1.1. Centrul de masă al unui rigid Rigidul este un mediu continuu nedeformabil pentru care distanţa dintre două puncte arbitrare ale lui rămâne aceeaşi indiferent de sistemul de solicitări la care este supus rigidul, precum şi de mişcarea acestuia. Relaţia de definiţie a vectorului de poziţie r a centrului de masă al rigidului, faţă de reperul Oz, este de forma r r dm, (5.1) dm în care r este vectorul de poziţie al unui punct curent B al rigidului, sediul masei elementare dm, Fig. 5.1, iar este domeniul ocupat de rigid.

34 z r B r dm ( S) Fig. 5.1 Proiectând relaţia vectorială (5.1) pe aele reperului Oz, ţinând seama de epresiile analitice ale vectorilor r şi r în acest reper, adică r i + j + z k ; r i + j + z k, i, j, k fiind versorii aelor acestui reper, se obţin coordonatele centrului de masă dm dm zdm ; ; z. (5.) dm dm dm În aplicaţiile practice, masa unui rigid (masa este o mărime fizică scalară, constantă şi pozitivă care măsoară cantitatea de substanţă conţinută de rigid) poate fi repartizată spaţial sau pe volume, pe suprafeţe în cazul plăcilor, sau pe curbe în cazul barelor. a). Cazul rigidelor cu masa repartizată spaţial În acest caz se defineşte densitatea volumică ρ dm v, dv (5.3) dv fiind un volum elementar dintr-un punct B al rigidului, sediul masei elementare dm, Fig. 5..

35 z ( S) O r B dv Fig. 5. Masa elementară din punctul B are epresia dm dv. (5.4) ρ v Masa rigidului este dată de relaţia M dm ρ dv, (5.5) unde V reprezintă volumul domeniului ocupat de rigid. În cazul când densitatea ρ v are aceeaşi valoare în toate punctele unui rigid, acesta se numeşte omogen şi pentru astfel de corpuri omogene, relaţia (5.5) devine (V) v M 3 M ρv dv ρv V ρv (kg / m ). (5.6) V (V) Relaţia (5.1) are forma particulară r 1 r dv. (5.7) V (V) Proiectând relaţia vectorială (5.7) pe aele reperului Oz, ţinând seama de epresiile analitice ale vectorilor r şi r în acest

36 reper, adică r i + j z k ; r i + j + z k, i, j, k fiind + versorii aelor reperului, se obţin coordonatele centrului de masă 1 1 1 dv; dv; z zdv. (5.8) V V V (V) (V) (V) b). Cazul rigidelor cu masa repartizată pe suprafeţe Acest caz corespunde plăcilor, când grosimea este neglijabilă în raport cu celelalte două dimensiuni şi când placa se asimilează cu suprafaţa ei mediană de arie (A), în care este repartizată toată substanţa, Fig. 5.3. În acest caz se defineşte densitatea superficială ρ dm s, da (5.9) da fiind aria elementară dintr-un punct B al plăcii, sediul masei elementare dm. O z (A) r B da Fig. 5.3 Masa elementară din punctul B are epresia dm da. (5.10) ρ s

37 Masa plăcii este dată de relaţia M dm ρ da, (5.11) în care A reprezintă aria domeniului ocupat de placă. În cazul plăcilor omogene, ρ s const., rezultă (A) s M M ρs da ρs A ρs (kg / m ) (5.1) A (V) şi relaţiile (5.1) şi (5.) au următoarele forme particulare respectiv, r 1 r da, (5.13) A (A) 1 1 1 da; da; z zda. (5.14) A A A (A) (A) c). Cazul rigidelor cu masa repartizată pe curbe Această situaţie corespunde barelor, când două dintre dimensiuni sunt neglijabile în raport cu cea de-a treia care este lungimea L a barei şi când barele se asimilează cu curbele mediane ale lor, în care se admite că este repartizată întreaga substanţă. În Fig. 5.4 este repezentată o bară curba mediană a ei fiind (Γ) de lungime L şi un segment de arc din curba (Γ), de lungime elmentară ds, căruia îi corespunde un tronson de bară de aceeaşi lungime ds având masa dm. În acest caz se defineşte densitatea liniară (A) dm ρ l, (5.15) ds ds fiind lungimea elementară corespunzătoare unui punct B al barei.

38 Masa elementară din punctul B, sediul masei elementare dm, are epresia dm ds. (5.16) ρ l z O (Γ) r B ds Fig. 5.4 Masa barei este dată de relaţia M dm ρl ds, (5.17) unde L reprezintă lungimea barei. În cazul barelor omogene, ρ l const. şi rezultă (L) M M ρl ds ρ L ρ (kg / m) l l (5.18) L (L) şi relaţiile (5.1) şi (5.) au formele respectiv, r 1 r ds, (5.19) L (L)

39 1 1 1 ds; ds; z zds. (5.0) L L L (L) (L) (L) Proprietăţi ale centrelor de masă 1. Dacă un rigid admite un plan de simetrie în repartiţia masei, atunci centrul de masă este conţinut în acest plan de simetrie.. Dacă un rigid admite o aă de simetrie în repartiţia masei, atunci centrul de masă aparţine aei de simetrie. 3. Dacă un rigid admite un centru de simetrie în repartiţia masei, atunci centrul de masă coincide cu acest centru de simetrie. 4. Proprietatea privind compunerea centrelor de masă Dacă un rigid (S), de masă M, poate fi descompus intr-un număr finit n de porţiuni simple, de mase M i, (i 1,n ), cu centrele de masă i, (i 1,n ), determinate prin vectorii de poziţie r, (i 1,n ) i, în raport cu polul O al reperului Oz, atunci vectorul de poziţie al întregului rigid va fi dat de relaţia r n i 1 M r. n (5.1) M i 1 În cazul corpurilor omogene cu masa repartizată spaţial, pe suprafeţe sau pe curbe, epresia (5.1) are formele r n i 1 V r n i 1 A i r i i ; r ; r. (5.) n n n V A L i 1 i i i i 1 Relaţiile (5.) sunt valabile şi în cazul când anumite porţiuni se etrag din rigid, cu condiţia însă ca maselor etrase, respectiv a volumelor sau ariilor etrase să li se atribuie semnul minus. i i i n i 1 L i 1 i r i i

40 5.1.1.. Momente statice ale unui rigid Moment static al rigidului în raport cu polul O, originea reperului Oz. Din relaţia de definiţie (5.1) a centrului de masă al unui rigid, se obţine epresia momentului static, notat S, definit prin epresia S O r dm Mr. (5.3) O Momente statice faţă de planele de coordonate Proiecţiile momentului static (5.3) pe aele reperului Oz poartă numele de momente statice planare şi au epresiile S S S O O Oz S S S O O O i j k dm M dm M zdm Mz 5.1.1.3. Teoremele lui Pappus-uldin ; ;. (5.4) I). Aria generată prin rotaţia completă a unei curbe plane în jurul unei ae (Δ) situată în planul curbei şi care nu intersectează curba, este egală cu produsul dintre lungimea L a curbei şi lungimea cercului descris de centrul de masă al curbei, Fig. 5.5. A r L B (Δ) A πrl. (5.5) Fig. 5.5

41 II). Volumul generat prin rotaţia completă a unei suprafeţe plane în jurul unei ae (Δ) situată în planul suprafeţei şi care nu intersectează suprafaţa, este egală cu produsul dintre aria A a suprafeţei şi lungimea cercului descris de centrul de masă al curbei, Fig. 5.6. ( A) r Fig. 5.6 (Δ) V πr A. (5.6) 5.1.1.4. Poziţia centrelor de masă ale unor corpuri omogene simple 1). Rigidul omogen în formă de con circular drept Se consideră cunoscute raza R a cercului de bază şi înălţimea H a conului, Fig. 5.7. z H O H R 4 Fig. 5.7

4 Prin alegerea reperului Oz cu originea în centrul cercului de bază şi cu aa Oz coincizând cu aa de simetrie de revoluţie a conului, rezultă H 0; z O. (5.7) 4 ). Rigidul omogen în formă de segment sferic Se consideră cunoscute raza R a cercului mare al sferei şi înălţimea H a segmentului sferic, Fig. 5.8. z R H O z Fig. 5.8 Prin alegerea reperului Oz ca în figură, rezultă 3H R H 0, 0, z O. (5.8) 4 3R H

43 În cazul emisferei, H R, iar relaţia (5.8) devine de forma 3R 0, 0, z O. (5.9) 8 3). Placa omogenă în formă de triunghi Centrul de masă se află la intersecţia medianelor, Fig. 5.9 şi fiind cunoscute coordonatele vârfurilor A, B şi C faţă de reperul Oz, se pot scrie următoarele epresii ale coordonatelor lui A + B + C A + B + c z A + zb + zc ; ; z. (5.30) 3 3 3 z B( B, B,z B ) h h / 3 h O h / 3 A( A, A,z A ) C( C, C,z C ) Fig. 5.9 4). Placa omogenă în formă de sector circular de rază R şi unghiul la centru egal cu α radiani, Fig. 5.10. Se alege reperul O cu originea în centrul cercului şi cu aa O astfel încât să coincidă cu aa de simetrie a plăcii. Coordonatele centrului de masă sunt sinα O R ; 0. (5.31) 3 α

44 O α R α Fig. 5.10 În cazul unei plăci în formă de sfert de disc de rază R şi cu unghiul α π / 4 se obţine 4R O. (5.3) 3π Pentru o placă având formă de semidisc de rază R şi α π /, rezultă 4R O. (5.33) 3π 5). Bara omogenă în formă de arc de cerc de rază R şi unghi la centru α radiani, Fig. 5.11. Alegând reperul Oz ca în figură, ţinând seama că lungimea barei este L αr rezultă coordonatele centrului de masă al barei Rsinα O, 0. (5.34) α

45 O α α R Fig. 5. 11 În cazul unei bare în formă de sfert de cerc de rază R, cu α π / 4, rezultă R O. (5.35) π Pentru o bară având formă de semicerc de rază R şi α π / se obţine R O. (5.36) π Observaţie: Coordonatele centrului de masă al unui rigid pot fi scrise în raport cu orice reper, în particular, fată de reperul mobil z, invariabil legat de rigid.

46 5.1.. MOMENTE DE INERŢIE Momentele de inerţie, se folosesc la caracterizarea modului de răspândire a substanţei într-un rigid şi cu ajutorul lor se eprimă inerţia unui corp aflat în mişcare de rotaţie. În mecanică se întâlnesc două tipuri de momente de inerţie: momente de inerţie mecanice; momente de inerţie geometrice. 5.1..1. MOMENTE DE INERŢIE MECANICE Definirea momentelor de inerţie mecanice Fie un rigid (S), ce ocupă un domeniu, de care se ataşează invariabil ( R ) O z şi un element de volum în jurul punctului B, de masă dm, Fig. 5.1. Se notează cu ( P ) z, (P ) z, (Pz ) planele de coordonate şi cu δ, δ, δ z distanţele de la punctul B (,,z ), sediul masei elementare dm, la aele de coordonate,, z. Definiţie. Momentele de inerţie mecanice ale unui rigid ( S) sunt mărimile definite prin integrale de forma J dm, δ (5.37) unde δ reprezintă distanţa, de la punctul B al rigidului, sediul masei elementare dm, la un plan, la o aă sau la un pol. Momentele de inerţie mecanice pot fi clasificate astfel: - momente de inerţie planare; - momente de inerţie aiale; - momente de inerţie polare; - momente de inerţie centrifugale.

47 ( R ) z ( P ) ( P ) δ z B (dm) r δ (S) δ z ( P z ) Fig. 5.1 a). Momente de inerţie mecanice planare Momentele de inerţie ale rigidului faţă de planele de coordonate se numesc momente de inerţie planare şi ele sunt definite, în baza relaţiei (5.37), prin următoarele integrale J ( P ) dm; J (P ) dm; J (P ) z dm. (5.38) z b). Momentele de inerţie mecanice aiale Momentele de inerţie ale rigidului faţă de aele de coordonate poartă numele de momente de inerţie aiale şi în conformitate cu

48 relaţia de definiţie (5.37), ele sunt eprimate prin integralele J J J zz δ dm δ dm δ dm z ( ( ( + z + z + )dm; )dm; )dm. (5.39) c). Momentul de inerţie mecanic polar Momentul de inerţie al rigidului calculat în raport cu un pol se numeşte moment de inerţie polar şi este definit prin relaţia J r dm; J ( + + z )dm. (5.40) d) Momentele de inerţie centrifugale, care se calculează faţă de două plane, sunt definite prin relaţiile J dm; J z z dm; J z z dm. (5.41) Observaţii 1. Momentele de inerţie mecanice, planare, aiale şi polare, sunt mărimi mecanice diferite de zero şi totdeauna pozitive. Se vor putea considera egale cu zero următoarele momente de inerţie: momentele de inerţie ale plăcilor plane subţiri faţă de planele lor mediane; momentele de inerţie ale barelor subţiri şi rectilinii în raport cu aele lor mediane.. Momentele de inerţie mecanice pot fi definite şi în raport cu alte repere, cum ar fi Oz, caz în care toate relaţiile stabilite îşi

49 păstrează valabilitatea dar cu adaptarea notaţiilor la noul reper (de eemplu J J, J J, etc.). 3. Momentele de inerţie centrifugale sunt mărimi scalare, pozitive, negative sau chiar egale cu zero atunci când planele de coordonate ale reperului ( R ) sunt plane de simetrie în repartiţia masei. Relaţii între momentele de inerţie mecanice Între momentele de inerţie mecanice planare, aiale şi momentul de inerţie polar pot fi stabilite următoarele relaţii: Momentul de inerţie aial este egal cu suma momentelor de inerţie faţă de două plane perpendiculare între ele şi care conţin aa respectivă. Acest lucru rezultă din relaţiile (5.39), ţinându-se seama de definiţia momentelor de inerţie planare J J J zz ( + z )dm dm + z dm J (P ( M) ( M) ( + z )dm dm + z dm J (P ( M) ( M) ( + )dm dm + dm J (P ( M) ( M) ) ) ) + J + J + J (Pz ) (Pz ) ; ; (P ). (5.4) Momentul de inerţie polar este egal cu semisuma momentelor de inerţie în raport cu cele trei ae ale reperului ( R ), având originea în polul considerat. Dacă se însumează momentele de inerţie aiale eprimate prin relaţiile (5.39), se obţine J + J + J zz ( + + z )dm J, (5.43) J (J + J + J zz )/.

50 Momentul de inerţie polar este egal cu suma momentelor de inerţie în raport cu planele unui triedru ortogonal având originea în polul considerat. Din relaţia (5.40), rezultă J dm + dm + z dm J (P ) + J (P ) + J (P z ). (5.44) Momentul de inerţie polar este egal cu suma dintre momentul de inerţie în raport cu o aă ce trece prin polul considerat şi momentul de inerţie faţă de planul normal în polul respectiv, pe aă. Pentru a pune în evidenţă această relaţie se pleacă de la definiţia (5.40) a momentului de inerţie polar, ţinându-se seama de relaţiile (5.38) şi (5.39) şi se obţine J J J ( M) ( M) z + + + ( M) ( ( ( + z + z + )dm J )dm J )dm J (P ) (P ) (Pz ) + J + J + J zz ; ;. (5.45) O aă a reperului ( R ) z va fi numită aă principală de inerţie relativă la polul atunci când momentele de inerţie centrifugale care conţin indicele aei sunt egale cu zero. De eemplu, dacă sunt îndeplinite condiţiile J J 0 (5.46) z z atunci aa z este aă principală de inerţie relativă la polul. Momentul de inerţie aial al rigidului faţă de o aă principală de inerţie se va numi moment principal de inerţie. În cazul când aa principală de inerţie trece prin centrul de masă al rigidului, ea se numeşte aă principală centrală de inerţie,

51 iar momentul de inerţie aial faţă de această aă poartă numele de moment principal central de inerţie. Momentele principale centrale de inerţie vor fi notate cu un singur indice, pentru a le deosebi de cele corespunzătoare unei altfel de orientări a aelor reperului ( R ) ; de eemplu J J, etc. Proprietăţile momentelor de inerţie I). Dacă un rigid (S) admite un plan de simetrie în repartiţia masei, atunci orice aă normală într-un punct la acest plan este aă principală de inerţie relativă la polul, iar în cazul când polul coincide cu centrul de masă, ( ), aa este aă principală centrală de inerţie. II). Dacă un rigid (S) admite o aă de simetrie în repartiţia masei, atunci această aă este aă principală centrală de inerţie. III). Dacă un rigid admite simetrie materială de revoluţie în repartiţia masei, atunci aa de simetrie de revoluţie este aă principală centrală de inerţie şi orice pereche de alte două ae reciproc perpendiculare între ele şi normale la aa de simetrie sunt ae principale de inerţie. În cazul când polul este ales în centrul de masă al rigidului, atunci cele două ae sunt ae principale centrale de inerţie. Proprietatea privind compunerea momentelor de inerţie Dacă un rigid de masă M şi cu aele principale centrale de inerţie precizate şi alese ca ae ale reperului ( R ) z, poate fi descompus într-un număr determinat n de porţiuni simple, de mase M i (i 1,n), cărora li se cunosc momentele de inerţie J (i), J (i) şi J zz(i) în raport cu aele reperului ( R ), atunci momentele principale centrale de inerţie ale rigidului sunt date de relaţiile n n J J ; J J ; J J. (5.47) i 1 (i) i 1 (i) z n i 1 zz(i)

5 Această proprietate de compunere a momentelor de inerţie poate fi aplicată tuturor categoriilor de momente de inerţie, deci şi momentelor de inerţie centrifugale, precum şi în raport cu orice reper ataşat rigidului. Observaţii 1. Unitatea de măsură a momentului de inerţie mecanic în sistemul internaţional de unităţi este [kg m ].. Se recomandă materialul bibliografic [11] pentru a se urmări demonstraţiile proprietăţilor. Variaţia momentelor de inerţie mecanice aiale şi centrifugale la translaţia aelor Se consideră un rigid ( S), de masă M, căruia i se pot determina, în raport cu un reper ( R) Oz ales convenabil în rigid, atât momentele de inerţie mecanice aiale şi centrifugale J J J zz ( ( ( + z + z + )dm; )dm; )dm; J J J z z dm; zdm; zdm, (5.48) cât şi coordonatele,, z ale centrului de masă, Fig. 5.13. Cunoscând masa M a rigidului, momentele de inerţie aiale şi centrifugale ale rigidului (S) în raport cu reperul ( R) Oz, eprimate prin relaţiile (5.48), precum şi coordonatele centrului de masă faţă de reperul (R), se pune problema determinării momentelor de inerţie aiale şi centrifugale ale rigidului faţă de reperul ( R ) z, ales cu originea în şi cu aele paralele la aele reperului (R), deci a momentelor J,J,J,J,J, J. zz z z

53 (R) z ( R z ) (R ) z B (dm) (S) O r r r Fig. 5.13 Pentru a stabili epresiile momentelor de inerţie aiale, se pleacă de la relaţiile de definiţie (5.39) ale acestora, scrise însă, în concordanţă cu reperul (R ) adică J J J zz ( ( ( + z + z + )dm; )dm; )dm. (5.49)

54 Din Fig. 5.13 rezultă ecuaţia vectorială r r + r, (5.50) care se proiectează pe aele reperului (R), obţinându-se + ; ; + ; ; z z z + z z z ;. (5.51) Înlocuind, în prima dintre relaţiile (5.49) şi (5.51) rezultă pentru momentul aial J + ( ( + z ) ) dm + dm (z z ( M) J, epresia ) dm ( M) dm z ( + z z dm, z cu cele din )dm + (5.5) care, ţinând seama de prima dintre relaţiile (5.48) precum şi de definiţia momentelor statice se poate scrie sub forma finală J J M( + z ) J Mδ, (5.53) δ fiind distanţa de la centrul de masă la aao. Procedând în mod analog, se pot stabili şi epresiile momentelor de inerţie aiale J,, ele rezultând de forma J zz J J zz J J zz M( M( + z + ) J ) J zz Mδ Mδ z ;, (5.54) δ şi δ z reprezentând distanţele de la centrul de masă la aele O respectiv Oz. Considerând într-un rigid (S) de masă M, două ae paralele (Δ) şi Δ ) ultima trecând prin centrul de masă al rigidului şi (

55 notând cu d distanţa dintre cele două ae, Fig. 5.14, relaţiilor (5.53) şi (5.54) li se poate da următoarea formă generală JΔ JΔ + Md. (5.55) ( Δ ) d (S) Fig. 5.14 Relaţia (5.55) eprimă teorema lui Hugens-Steiner pentru momente de inerţie mecanice, cu următoarea formulare: Momentul de inerţie mecanic al unui rigid în raport cu o aă oarecare (Δ) este egal cu momentul de inerţie al rigidului faţă de o aă ( Δ ) paralelă la aa (Δ) şi care trece prin adunat cu produsul dintre masa rigidului şi pătratul distanţei dintre cele două ae. În vederea stabilirii momentelor de inerţie centrifugale se foloseşte relaţia de definiţie a acestora, putându-se scrie J dm; J z dm; J z dm. (5.56) z Înlocuind în prima epresie din (5.56), mărimile valorile din (5.51), rezultă pentru momentul centrifugal J ( )( dm ( M) )dm dm z dm + şi J relaţia dm. cu (5.57)

56 Ţinându-se seama de semnificaţiile integralelor care apar, se obţine epresia finală a momentului de inerţie centrifugal J J J M. (5.58) În mod analog se deduc şi celelalte două momente centrifugale J z, J z, pentru care rezultă epresiile J z J z M z ; J z J z Mz. (5.59) Observaţie Cunoscându-se momentele de inerţie aiale şi centrifugale ale rigidului faţă de reperul ( R ) z, deci a momentelor, J, J, J, J, J, se pot determina momentele de inerţie J,J, zz zz z z z z J J,J,J, J în raport cu un reper ( R ) z, rotit faţă de reperul (R ), ales cu originea în centrul de masă al rigidului, Fig. 5.13, [1, 5,11]. 5.1... MOMENTE DE INERŢIE EOMETRICE Definirea momentelor de inerţie geometrice ale suprafeţelor materiale Fie o suprafaţă materială plană omogenă (Σ) de grosime neglijabilă, de arie A şi masă M, reperul ( R) z cu aa z perpendiculară pe planul suprafeţei ( z 0, grosimea fiind neglijabilă), Fig.5.15. Un punct B (,,0 ) al suprafeţei (Σ), sediul ariei elementare da, va fi determinat în raport cu reperul ( R ) prin vectorul de poziţie r i + j. (5.60)

57 ( R ) (Σ) B j r i Fig. 5.15 Se pot defini următoarele categorii de momente de inerţie geometrice: a). momente de inerţie geometrice aiale I da; I da; (5.61) (A) (A) b). momentul de inerţie geometric polar I r da; (5.6) (A) c). momentul de inerţie geometric centrifugal I da. (5.63) Pornind de la relaţia (5.6) şi descompunând integrala într-o sumă de două integrale, se poate stabili următoarea relaţie între (A)

58 momentul de inerţie geometric polar şi momentele de inerţie geometrice aiale I r da ( + )da da + da I + I. (5.64) (A) (A) Observaţii (A) 1. Momentele de inerţie geometrice aiale şi polare sunt mărimi pozitiv definite şi diferite de zero.. Momentul de inerţie geometric centrifugal este o mărime scalară, pozitivă, negativă sau chiar egală cu zero în cazul eistenţei unor simetrii în repartiţia masei. 3. Dacă este satisfăcută condiţia (A) I da 0, (5.65) (A) atunci aele reperului ( R ) se numesc ae principale de inerţie geometrice. Atunci când centrul de masă al suprafeţei (Σ) se află pe o aă principală de inerţie, aa respectivă va fi numită aa principală centrală geometrică de inerţie. 4. Momentele de inerţie mecanice se pot calcula cu ajutorul momentelor de inerţie geometrice. Se consideră ca eemplu momentul de inerţie mecanic aial J, definit prin integrala J ( + z )dm, care, ţinând seama că în cazul suprafeţelor materiale plane omogene sunt valabile relaţiile M dm ρs da; z 0; ρs, (5.66) A

59 se va putea scrie sub forma M J dm ρs da ρs I I. (5.67) A (A) Relaţia (5.67) stabileşte legătura dintre momentul de inerţie mecanic aial J şi momentul de inerţie geometric aial I. În mod similar se arată că M M J I ; J I. (5.68) A A 5. Unitatea de măsură în S.I. a momentului de inerţie geometric al unei suprafeţe materiale plane este ( m ). 4 Variaţia momentelor de inerţie geometrice la translaţia aelor Se consideră o suprafaţă materială plană (Σ) de arie A, căreia i se poate determina în raport cu un reper ( R) O, ales convenabil în rigid, atât momentul de inerţie geometric centrifugal şi momentele de inerţie geometrice aiale cu ajutorul integralelor I da; I da; I da, (5.69) (A) cât şi coordonatele centrului de masă (, ), Fig. 5.16. Cunoscându-se aceste mărimi, se pune problema determinării momentelor de inerţie geometrice aiale şi cel centrifugal, în raport cu un reper translat faţă de reperul O, notate I, I, I. Pentru a stabili epresiile momentelor de inerţie geometrice aiale I şi I se folosesc relaţiile de definiţie ale acestora (A) (A)

60 I da; I da. (5.70) (A) (A) ( R) (R ) (Σ) O r r r B da Fig. 5.16 Mărimile şi se înlocuiesc cu valorile obţinute prin proiectarea pe aele reperului (R) a relaţiei vectoriale r r + r, adică cu valorile ;. (5.71) Momentul de inerţie geometric aial I, dat de relaţia (5.70), ţinând seama de (5.71), se va putea scrie sub forma I I (A) (A) da da (A) A ( (A) + A ) da da + I (A) A da. (5.7)

61 Procedând analog, pentru momentul de inerţie geometric aial I se obţine următoarea epresie I I A. (5.73) Relaţiilor (5.7) şi (5.73) li se poate da o formă generală, prin considerarea în suprafaţa (Σ) a două ae paralele (Δ) şi ( Δ ), ultima trecând prin centrul de masă al suprafeţei, Fig. 5.17 IΔ IΔ + Ad, (5.74) unde d reprezintă distanţa dintre cele două ae paralele, iar A este aria suprafeţei materiale (Σ). (Δ) ( Δ ) (Σ) d Fig. 5.17 Relaţia (5.74) eprimă teorema lui Hughens-Steiner, care are următorul enunţ: Momentul de inerţie geometric al unei suprafeţe materiale (Σ) în raport cu o aă (Δ) situată în planul ei este egal cu momentul de inerţie al suprafeţei (Σ) calculat faţă de o aă ( Δ ) paralelă la aa (Δ) şi trecând prin centrul de masă al suprafeţei, la care se adună produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre aele (Δ) şi Δ ). (

6 Epresia momentului de inerţie centrifugal I se obţine înlocuind în relaţia de definiţie a acestuia mărimile şi I da, (5.75) (A) cu valorile (5.71), rezultând I I I (A) da I A + A (A) da. A + (A) da + A I (A) A da, (5.76) Momentul de inerţie geometric centrifugal al unei suprafeţe materiale (Σ), în raport cu reperul O, este egal cu momentul de inerţie al suprafeţei (Σ) calculat faţă de reperul ales cu originea în centrul de masă al secţiunii şi având aele paralele la aele reperului O, la care se adună produsul dintre aria suprafeţei şi coordonatele şi ale centrului de masă al suprafeţei (Σ). Variaţia momentelor de inerţie geometrice la rotaţia aelor Fiind determinate momentele de inerţie I,I, I ale secţiunii materiale (Σ) în raport cu reperul ( R ), se pune problema calculării momentelor de inerţie I, I şi I în raport cu un reper ( R ), Fig. 5.18, rotit faţă de reperul (R ) într-o poziţie determinată prin următorul tabel de cosinusuri directoare

63 i j i j k cos ϕ sin ϕ sin ϕ 0 cos ϕ 0 k 0 0 1 (5.77) ( R ) (Δ ) j O (Σ) j j r r B i i da ϕ ϕ Δ Fig. 5.18 În baza relaţiei de definiţie, pentru momentele de inerţie I şi I se vor putea scrie epresiile I da; I da. (5.78) (A) Un punct curent B al suprafeţei materiale (Σ), va fi determinat faţă de polul, prin vectorul de poziţie (A) r r. (5.79)

64 Relaţia (5.79) are epresia analitică de forma i + j i + j. (5.80) Prin proiectarea relaţiei (5.80) pe aele reperului ( R ), ţinând seama de tabelul de cosinusuri directoare (5.77), se obţine cos ϕ sin ϕ + + sin ϕ ; cos ϕ. (5.81) Înlocuind epresiile (5.81) în relaţiile (5.78) I I (A) da ( A) (A) da (A) ( sin ϕ + cos ϕ ) ( cos ϕ + sin ϕ ) da, da; după efectuarea calculelor, rezultă următoarele epresii ale momentelor de inerţie geometrice aiale I I sin cos ϕ ϕ (A) (A) da + cos da + sin ϕ ϕ (A) (A) da sin ϕ da + sin ϕ cos ϕ cos ϕ (A) (A) da ; da. (5.8) Ţinând seama de semnificaţiile integralelor care apar în relaţiile (5.8), se pot scrie epresiile finale ale momentelor de inerţie geometrice aiale sub forma I I I I cos sin ϕ ϕ + I + I sin cos ϕ ϕ I + I sinϕ sinϕ ;. (5.83)

65 Dacă se consideră în planul suprafeţei materiale (Σ), o aă (Δ ) ce trece prin şi care formează cu aa un unghi ϕ Δ, Fig. 5.18, se va putea scrie epresia momentului de inerţie geometric al suprafeţei în raport cu aa (Δ ), sub următoarea formă generală I I cos ϕ + I sin ϕ I sinϕ. (5.84) Δ Δ Pentru a deduce epresia momentului de inerţie centrifugal I, în raport cu reperul ( R ) rotit faţă de reperul (R ), se foloseşte relaţia de definiţie a acestuia, în care şi se înlocuiesc cu valorile (5.81) I (A) da ( ) ( cos ϕ + sin ϕ sin ϕ + cos ϕ ) (A) şi se obţine epresia Δ Δ da I sinϕ + cos ϕ cosϕ (A) da + sinϕ da sin ϕ ( A) (A) cosϕ da. (A) da + (5.85) Deoarece integralele din relaţia (5.85) reprezintă momentele de inerţie geometrice aiale I,, şi momentul de inerţie geometric I centrifugal I, ale suprafeţei (Σ) în raport cu reperul ( R ), se poate scrie epresia finală a momentului I sub forma I (I I I I )sin ϕ sin ϕ cos ϕ + I + I cos ϕ. cos ϕ (5.86)

66 Determinarea momentelor de inerţie ale unor corpuri omogene simple A). Placa omogenă având forma unui dreptunghi ADCE de masă M şi laturile b şi h, Fig. 5.19. 1). Să se calculeze I, I, I, J, J, J. ). Să se calculeze I, I, I, J, J, J. D da d d C h O A B b E Fig. 5.19 1). Pornind de la relaţiile de definiţie rezultă I I I (A) (A) (A) da da da b d 0 b 0 b 0 h bh d ; 3 0 h 3 b h d d ; 3 0 h b h d d. 4 0 3 (5.87)

67 Momentele de inerţie mecanice faţă de reperul O, adică mărimile J,J, J, au epresiile J J J M I A M I A M I A Mh 3 ; Mb ; 3 Mbh. 4 (5.88) ). Momentele de inerţie faţă de reperul, adică mărimile I, I, I, J, J, J, se calculează cu ajutorul relaţiilor stabilite în cadrul studiului variaţiei momentelor de inerţie geometrice la translaţia aelor, precum şi în baza relaţiilor M J I, A M J I, A M J I, A şi rezultă I I I I I 0, A A bh 3 3 3 h bh b h b bh 3 bh 1 3 3 ; b h ; 1 (5.89) respectiv, J J J M I A M I A 0. Mh ; 1 Mb ; 1 (5.90)

68 B). Placa omogenă în formă de triunghi dreptunghic, OAC, de masă M având catetele b şi h, Fig. 5.0. 1). Să se calculeze I, I, I, J, J, J. ). Să se calculeze I, I, I, J, J, J. h h / 3 C O B b / 3 da d ddd A b 1). Din ecuaţia dreptei AC Fig.5.0 rezultă + 1, b h (5.91) b h b sau h. h b (5.9) Folosind relaţiile de definiţie, precum şi relaţiile (5.9) se obţine h b b / h b bh I da d d b d ; h 1 (A) 0 0 h 0 3

69 I I (A) (A) da da b 0 b 0 d d h h / b 0 h h / b 0 d h 0 d h 1 b 0 h b h b h d ; 1 h b 3 h b d. 4 (5.93) Momentele de inerţie mecanice faţă de reperul O, adică mărimile J,J, J, au epresiile J M Mh M Mb M Mbh I ; J I ; J I. (5.94) A 6 A 6 A 1 ). În baza relaţiilor stabilite la variaţia momentelor de inerţie geometrice la translaţia aelor şi ştiind că b / 3, h / 3, A bh /, rezultă I I I I I I A A A bh 36 b h ; 36 3 3 ; b h 7. (5.95) valorile Folosind relaţiile M J I, A J J J M I A M I A M I A M J I, A Mh 18 ; Mb ; 18 Mbh. 36 J M I A, se obţin (5.96)

70 C). Placa omogenă având formă de sector circular de rază R, unghi la centru α (rad) şi masă M, Fig. 5.1. 1). Să se calculeze I, I, I, J, J, J. ). Să se calculeze I, I, I, J, J, J. ϕ sin α O R B α 3 α dϕ O ρ R α da ρdϕ dρ ρ cos ϕ ρ sin ϕ, Fig. 5.1 1). Plecând de la relaţiile de definiţie, rezultă I I I (A) (A) da da R 0 R 0 3 ρ dρ 3 ρ dρ sin cos 0 ( aa O este aa de simetrie). α α α α R ϕdϕ (α sinα); 8 4 4 R ϕdϕ (α + sinα); 8 (5.97)

71 Momentele de inerţie mecanice faţă de reperul O, adică mărimile J,J, J, au epresiile J J J M I A M I A 0. MR 4 MR 4 sinα 1 ; α sinα 1+ ; α (5.98) ). Momentele de inerţie geometrice faţă de reperul, Rsinα ţinând seama că la sectorul circular O, A R α, 3 α 0 şi că aa este aă centrală de inerţie, au epresiile I I I I I 0. A A 4 R I (α sin α); 8 4 R 3 sin sin 8 α + α 9α α ; (5.99) mărimile Momentele de inerţie mecanice faţă de reperul J, J, J, au forma, adică J J J M I A M I A M I A M I A MR 4 0. MR 4 sin α 1 ; α sin α 16 sin 1+ α 9α α ; (5.100)

7 5.. CARACTERISTICILE CINETICE ALE UNUI RIID Caracteristicile cinetice caracterizează din punct de vedere dinamic mişcarea unui rigid şi ele sunt reprezentate prin următoarele mărimi fizice: 1). Impulsul rigidului (mărime fizică vectorială). ). Momentul cinetic al rigidului (mărime fizică vectorială). 3). Energia cinetică a rigidului (mărime fizică scalară). Ansamblul format din vectorii impuls şi moment cinetic poartă numele de torsor cinetic. Torsorul cinetic al unui rigid Se consideră un rigid (S) care eecută o mişcare generală, determinată în polul prin parametrii cinematici de ordinul I, v şi ω, Fig. 5.. Fie B (r ) un punct curent al rigidului (S), sediul masei elementare dm, a cărui viteză are epresia v v + ω r. (5.101) Masei elementare dm din punctul B al rigidului (S) i se asociază vectorul elementar d H vdm, (5.10) numit impulsul masei elementare dm, coliniar cu viteza v a punctului respectiv, Fig. 5.. Momentul vectorului elementar d H, în raport cu polul, este dat de relaţia dk r' dh r' vdm, (5.103)

73 iar în raport cu polul O are epresia dk O r dh r vdm. (5.104) d K reprezintă momentul cinetic al masei elemen- Vectorul tare dm în raport cu polul, iar vectorul al masei elementare dm în raport cu polul O. d KO este momentul cinetic ( R) z z ( R ) B dm r dh ω v K (S) K O r r k i j v O Fig. 5. Sistemul tuturor vectorilor elementari d H, corespunzători tuturor punctelor rigidului (S) de masă M, va putea fi redus, fie în polul, fie în polul O, la un torsor al impulsurilor, numit şi torsor cinetic al rigidului în mişcare generală. Vectorul rezultant al torsorului cinetic se numeşte impulsul rigidului, iar momentul rezultant poartă denumirea de moment cinetic al rigidului, notat K dacă este determinat în raport cu polul, sau K O dacă este determinat în raport cu polul O.

74 Torsorul cinetic în polul T H {H} K dm v Torsorul cinetic în polul O dk H dm v TO {H} KO dk O. r dm v. r dm v (5.105) (5.106) 5..1. IMPULSUL UNUI RIID În baza relaţiei (5.10) de definiţie a impulsului masei elementare dm, pentru impulsul unui rigid aflat în mişcare generală, se poate scrie următoarea epresie în care viteza v are epresia v v + ω r. Relaţia (5.107) se scrie sub forma H dm v, (5.107) dm(v + ω r ) v + ω dm ( r H ) dm (5.108) ( M) ( M) şi deoarece parametrii cinematici de ordinul I ( v şi ω ) sunt aceeaşi pentru toate masele elementare dm, ei pot fi scoşi în faţa integralelor, astfel încât relaţia (5.108) devine H v dm + ω r dm. (5.109) ( M)

75 Ţinând seama de semnificaţiile integralelor M; r dm Mr dm, (5.110) se poate scrie epresia finală a impulsului unui rigid sub forma H M(v + ω r ), (5.111) care, în baza faptului că forma v + ω r v, se mai poate scrie şi sub H Mv, (5.11) care eprimă teorema lui Koenig relativă la impuls în dinamica rigidului, având următoarea formulare: Impulsul unui rigid în mişcare este egal cu impulsul centrului său de masă, în care se consideră concentrată întreaga masă a rigidului. 5... MOMENTUL CINETIC AL UNUI RIID a) Momentul cinetic al unui rigid în raport cu polul mobil Pornind de la relaţia de definiţie (5.103) a momentului cinetic elementar faţă de polul, pentru momentul cinetic al întregului rigid se poate scrie relaţia K r dm v. (5.113) Se înlocuieşte în relaţia (5.113) viteza v a punctului B al rigidului, cu epresia v v + ω r şi se obţine K ( M) r dm(v + ω r ) r v dm + r ( ω r )dm. (5.114)

76 În baza observaţiei că v şi ω au aceleaşi valori pentru toate masele elementare dm, deci viteza v poate fi scoasă din integrală, precum şi în baza relaţiei de definiţie a mometului static r dm Mr, prima integrală din (5.114) devine de forma Se notează cu r vdm r dm v Mr v. (5.115) K rot a doua integrală din (5.114) K rot r ( ω r )dm, (5.116) cu semnificaţia de moment cinetic corespunzător rotaţiei instantanee a rigidului în jurul polului Se înlocuiesc relaţiile (5.115) şi (5.116) în (5.114) şi rezultă următoarea formă a momentului cinetic faţă de polul K Mr v K. (5.117) + Pentru calculul momentului cinetic K, se descompune în rot relaţia (5.116) dublul produs vectorial şi se obţine rot K rot [r ω (r ω)r ]dm, (5.118) în care vectorul de poziţie r al punctului B, în raport cu polul este r i + j + z k, (5.119) iar viteza unghiulară ω în mişcarea generală a rigidului, în reperul ( R ) legat de rigid, are epresia ω ω i + ω j + ω k. (5.10) z

77 Se efectuează calculele din epresia (5.118) şi rezultă următoarea formă a vectorului K rot K rot ω + ω + ω ( + z dm + ω z dm ω )dm ω ( M) ( M) ( M) ( dm ω + z z dm +ω )dm ω z z ( z z dm i + z dm j + + )dm k. (5.11) Integralele care apar, în relaţia (5.11) reprezintă chiar momentele de inerţie mecanice aiale şi centrifugale ale rigidului în raport cu reperul ( R ), momente definite prin relaţiile (5.39) şi (5.41). După cum s-a menţionat anterior, viteza unghiulară ω, precum şi componentele ei pe ae, respectiv ω, ω, ω z, au aceleaşi valori pentru toate masele elementare dm, deci mărimile ω, ω şi ω z pot fi scoase în faţa integralelor. Ca urmare a acestor precizări, epresia (5.11) a momentului cinetic K devine rot K rot [ J + [ J + [ J z ω J ω + J ω J z ω J ω J ω + J z z zz ω z ] i + ω z ] j + ω ]k. z (5.1) Forme simplificate pentru epresia (5.1) Dacă aele reperului ( R ) coincid cu aele principale de inerţie relative la polul, atunci momentele de inerţie centrifugale devin egale cu zero J J J 0, (5.13) z z

78 iar momentele principale de inerţie, aşa cum s-a precizat în subparagraful 5.1..1, se notează cu un singur indice J J, J J, J J. (5.14) zz z În aceste condiţii, epresia (5.1) are forma particulară K J ω i + J ω j + J ω k. (5.15) rot z z În cazul când aa de rotaţie este de direcţie fiă în spaţiu, fără a fi aă principală de inerţie şi este luată ca direcţie comună a aelor Oz respectiv z, deci în condiţiile vectorul K are forma rot K ω ω ; ω ω ϕ&, (5.16) 0 z J ωi J ω j + J ω k. (5.17) rot z z zz Dacă aa de rotaţie z Oz este şi aă principală de inerţie, atunci momentele de inerţie centrifugale devin egale cu zero epresia (5.17) capătând forma J J 0, (5.18) z z K rot J ωk J ϕ& k J ω. (5.19) zz z z Atunci când polul coincide cu centrul de masă al rigidului,, rezultă r 0 şi relaţia (5.117) devine K K, (5.130) care arată că momentul cinetic al rigidului în raport cu centrul său de masă coincide chiar cu momentul cinetic corespunzător rotaţiei sale instantanee în jurul acestui centru. rot

79 b). Momentul cinetic în raport cu polul O În vederea stabilirii epresiei momentului cinetic al rigidului faţă de polul fi O, notat K O, se aplică o formulă din teoria vectorilor alunecători, de modificare a momentului rezultant al unui sistem de vectori alunecători la trecerea de la un pol la un alt pol O [3, 7, 11] M M + R, (5.131) O r cu R H, M K, M O KO, rezultând următoarea formă pentru momentul cinetic în polul fi O K K + r H. (5.13) O Prin considerarea relaţiei (5.117), rezultă forma finală K O Mr v + K + r H. (5.133) rot Dacă polul, atunci r r ; r 0; H Mv ; K K K, (5.134) rot rot iar momentul cinetic în polul fi O, va avea epresia K r Mv K, (5.135) O + care reprezintă teorema lui Koenig relativă la momentul cinetic cu următoarea formulare: Momentul cinetic, în polul fi O, al unui rigid este egal cu momentul cinetic în acelaşi pol al centrului de masă al rigidului în care se consideră concentrată întreaga masă a rigidului adunat cu momentul cinetic corespunzător rotaţiei instantanee a rigidului în jurul centrului său de masă. Torsorul cinetic în polul H M(v + ω r ) T {H}. (5.136) K Mr v + K rot

80 Torsorul cinetic în polul O T O H M(v + ω r ) {H}. (5.137) KO K + r H Dacă, atunci r 0 şi relaţiile (5.136) şi (5.137) au formele particulare respectiv, T H Mv {H}, (5.138) K K rot H Mv TO {H}. (5.139) KO K + r H K + r M v Unitatea de măsură a impulsului în S.I. este ( kg m s ) iar 1 unitatea de măsură a momentului cinetic în S.I. este ( m kg s ). 5..3. ENERIA CINETICĂ A UNUI RIID Fie (S) un rigid în mişcare generală şi B un punct curent al său, sediul masei elementare dm, care se deplasează în raport cu reperul fi ( R) Oz cu viteza v v + ω r, Fig. 5.. Pentru fiecare masă elementară se defineşte mărimea elementară 1 1 dec dmv, (5.140) numită energie cinetică a masei elementare dm, iar pentru rigidul (S), care ocupă un domeniu în spaţiu, se defineşte mărimea E c 1 dmv, (5.141) care poartă numele de energie cinetică a rigidului în mişcare.

81 Se înlocuieşte în relaţia (5.141) epresia vitezei punctului B, v v + ω r şi ţinând seama că v şi ω pot fi scoşi în faţa integralelor, se obţine E c 1 1 1 1 v dm + v ( ω r )dm + ( ω r ) dm v dm(v dm + v + ω r ) ( M) M ( M) ω r dm + 1 ( ω r ) dm. (5.14) Având în vedere semnificaţiile primelor două integrale din relaţia (5.14) dm M, r dm Mr şi notând ultimul termen din această relaţie cu 1 Ec ( ω r ) dm, (5.143) rot numit energie cinetică de rotaţie a rigidului în jurul polului, rezultă forma finală a epresiei energiei cinetice a unui rigid E c 1 Mv + Mv ( ω r ) + Ec. rot (5.144) Pentru stabilirea epresiei energiei cinetice de rotaţie foloseşte identitatea lui Lagrange E c rot, se ( ω r ) + ( ω r ) ω r, (5.145) pe baza căreia, relaţia (5.143) se va putea scrie sub forma

8 E 1 [ ω r ( ω r ) ]dm. (5.146) c rot Vectorul de poziţie r şi viteza unghiulară ω, în raport cu reperul mobil ( R ), au epresiile analitice r i + j + z k şi ω ω i + ω j + ω k, deci relaţia (5.146) devine z E crot 1 ( ω + ω + ω )( + + z ) ( ω + ω + z ω ) dm, z z care în urma efectuării calculelor capătă forma (5.147) E c rot 1 ω + ω z ω ω ( z ( + + z )dm + ω )dm ω ω z dm ω ω z ( ( M) + z dm z dm. )dm + (5.148) Observând că integralele care apar în relaţia (5.148) reprezintă momentele de inerţie mecanice aiale şi centrifugale ale rigidului în raport cu reperul ( R ) z, se poate scrie relaţia finală de calcul a energiei cinetice de rotaţie a rigidului 1 Ec (J ω + J ω + J zzω z J ω ω J zω ω z J zω ω z ). rot (5.149)

83 Forme simplificate ale epresiei energiei cinetice de rotaţie Când aele reperului ( R ) invariabil legat de rigid coincid cu aele principale de inerţie relative la polul, sunt îndeplinite condiţiile J J J 0; J J ; J J ; J J (5.150) z z şi relaţia (5.149) va avea forma particulară 1 Ec (J ω + J ω + J zω z ). (5.151) rot Dacă aa de rotaţie are direcţie fiă şi în rigid şi în spaţiu, şi este aleasă ca direcţie comună a aelor Oz şi z, atunci ω ω 0 ω ω ϕ& (5.15) ; şi în acest caz relaţia (5.149) are forma z zz z E crot În cazul în care polul 1 1 J zzω J zϕ&. (5.153), rezultă şi relaţia (5.144) va avea forma r 0; v v (5.154) E c 1 Mv Ec, + (5.155) rot care eprimă teorema lui Koenig relativă la energia cinetică în dinamica rigidului, cu următoarea formulare: Energia cinetică a unui rigid în mişcare este egală cu energia cinetică a centrului său de masă, în care se consideră concentrată întreaga masă a rigidului, adunată cu energia cinetică corespunzătoare rotaţiei rigidului în jurul centrului său de masă. Unitatea de măsură a energiei cinetice a unui rigid în Sistemul Internaţional de unităţi (S.I) este joul-ul, el reprezentând energia

84 cinetică a unui rigid cu masa de 1 kg, în mişcare de translaţie efectuată cu viteza de 1m/s. În aplicaţiile tehnice se întâlnesc situaţii când, în cazul unui rigid în mişcare, termenul E c rot datorat rotaţiei, din epresia (5.144) a energiei cinetice, poate fi neglijat în raport cu primul termen datorat translaţiei, adică se poate accepta aproimarea: 1 E c Mv (5.156) Aşa după cum rezultă din epresia (5.149), pentru ca c 0, ar trebui să fie îndeplinite condiţiile E rot şi J 0, J 0, J 0 (5.157) zz ω, ω 0, ω 0, (5.158) 0 z ceea ce implică faptul că rigidul ar trebui să aibă dimensiuni mici şi rotaţii proprii lente. În aceste condiţii, modelul de rigid poate fi aproimat cu modelul de punct material. 5.3. CARACTERISTICILE DINAMICE ALE UNUI RIID Caracteristicile dinamice ale unui rigid sunt mărimi care caracterizează interacţiunile mecanice dintre rigidul căruia i se studiază mişcarea şi alte corpuri din mediul înconjurător. Aceste mărimi mecanice se încadrează în următoarele două categorii: caracteristici dinamice scalare, reprezentate prin noţiunile de putere mecanică şi lucru mecanic al solicitărilor la care este supus un rigid; caracteristici dinamice vectoriale, reprezentate prin torsorii dinamici, sau torsorii solicitărilor aplicate rigidului.

85 5.3.1. PRINCIPIILE FUNDAMENTALE ALE DINAMICII SISTEMELOR MATERIALE Un sistem material, notat (s), este definit ca o mulţime de elemente care se influenţează reciproc din punct de vedere mecanic, asupra cărora se eercită acţiuni mecanice eterioare şi care, la rândul lor, pot eercita acţiuni mecanice asupra altor sisteme mecanice. Orice parte a lui (s) este de asemenea sistem material. Dacă, la un moment dat, un sistem material (s) umple complet un domeniu D al spaţiului euclidian tridimensional E 3, el este numit mediu continuu. Rigidul este un astfel de mediu continuu, care, prezintă în plus proprietatea că distanţa dintre două puncte arbitrare ale sale nu se modifică în timpul procesului mecanic eaminat. 1. Principiul conservării masei Masa unui sistem material este invariabilă pe toată durata procesului mecanic.. Principiul eistenţei forţelor Pentru orice mişcare a unui sistem material (s) eistă un sistem de vectori localizaţi în puncte ale domeniului D ocupat de sistem, reprezentând măsuri ale interacţiunilor sistemului material cu alte sisteme materiale din mediul înconjurător, numit sistem de forţe. Consecinţe ale principiului eistenţei forţelor a). Principiul eistenţei forţelor postulează posibilitatea de aplicare a teoriei vectorilor alunecători şi legaţi la reducerea sistemelor de forţe aplicate unui rigid, permiţând definirea torsorilor forţelor aplicate unui rigid (S), în polii şi O originile reperelor ( R ) z şi ( R) Oz de forma T { F, M }; T {F} { F, M }, {F} (5.159) unde F reprezintă rezultanta tuturor forţelor aplicate unui rigid, iar O O

86 M şi M O sunt momentele rezultante ale forţelor în polii şi O. Torsorii de forma (5.159) sunt numiţi torsorii solicitărilor aplicate rigidului, sau torsorii dinamici, întrucât componentelor torsorilor forţelor li se vor da denumirea de solicitări. b). Interacţiunile unui rigid cu alte corpuri din mediul înconjurător se manifestă sub două forme, cărora le corespund două categorii de distribuţii de forţe elementare de interacţiune: - interacţiune la distanţă, căreia îi corespund distribuţii de forţe elementare repartizate pe întreaga masă a rigidului respectiv, numite distribuţii de forţe masice; - interacţiune de contact, care se produce în cazul contactului direct al unui rigid cu alte corpuri din mediul înconjurător şi ele se realizează pe porţiuni de arii în contact; forţele elementare de interacţiune sunt repartizate pe porţiunile respective de suprafeţe în contact şi din acest motiv poartă numele de distribuţii superficiale. c). Principiul eistenţei forţelor permite să se facă următoarea clasificare a forţelor care pot acţiona asupra unui sistem material: - forţe eterioare, eercitate asupra sistemului (s) de alte sisteme materiale din mediul înconjurător; - forţe interioare, reprezentate prin forţele de interacţiune dintre orice subdomeniu al domeniului ocupat de un sistem material (s) şi restul domeniului; în cazul unui solid rigid eistă numai forţe eterioare. 3. Principiul forţelor interioare Sistemul forţelor interioare corespunzătoare unui sistem material (s), formează un sistem echivalent cu zero. Cu ajutorul principiului forţelor interioare şi a principiului eistenţei forţelor se poate demonstra teorema acţiunii şi reacţiunii [11]. Considerând sistemul material ca fiind format din două rigide (S) şi (S ) în interacţiune, pe baza concluziilor anterioare, se poate enunţa teorema acţiunii şi reacţiunii în dinamica rigidului: Torsorului, într-un pol oarecare, al acţiunilor eercitate de un

87 rigid (S) asupra unui alt rigid (S ) din mediul înconjurător îi corespunde un torsor în acelaşi pol, al reacţiunilor eercitate de rigidul (S ) asupra rigidului (S), cei doi torsori având componentele de mărimi egale şi de sensuri contrarii. Notând cu F, M }, componentele torsorului într-un pol O al { O acţiunilor eercitate de rigidul (S) asupra rigidului (S ), şi cu { F, M O }, componentele torsorului în acelaşi pol O al reacţiunilor eercitate de rigidul (S ) asupra rigidului (S), Fig. 5.3, se pot scrie relaţiile F F F + F ; 0; M M O O M + M O O, 0, (5.160) respectiv, T O {F} T {F }. (5.161) O M O M O Fig. 5.3

88 Forţele de interacţiune din distribuţiile (Δ) şi (Δ*) sunt constituite în perechi de vectori, situaţi pe acelaşi suport, de mărimi egale şi de sensuri contrarii, dar aplicaţi unor domenii disjuncte. 4. Principiul acţiunii forţelor Eistă cel puţin un reper inerţial şi o manieră de a măsura timpul, numită cronologie absolută, astfel că pentru orice subsistem al unui sistem material (s), care ocupă un subdomeniu D 1 D al spaţiului sunt valabile condiţiile respectiv & H( D ) Fet + F 1 (D1) int(d1), (5.16) & K M + M O( D 1 ) Oet (D O 1) int (D 1), (5.163) O fiind originea reperului inerţial. Aşa după cum rezultă din relaţiile (5.16) şi (5.163) eistă cel puţin un reper ( R) Oz în care mişcarea se efectuează astfel încât derivata în raport cu timpul a torsorului cinetic în raport cu originea reperului este egală cu torsorul dinamic, în acelaşi pol, al tuturor acţiunilor (solicitărilor) eterioare eercitate asupra rigidului Consecinţe ale principiului acţiunii forţelor a). În cazul în care se consideră un sistem material reprezentat printr-un rigid, ce ocupă un domeniu D în spaţiu, în baza principiului forţelor interioare, relaţiile (5.16) şi (5.163) capătă forma respectiv unde & H Fet F, K & M M O, O Oet (5.164) (5.165)

89 H este impulsul rigidului; F et F este rezultanta tuturor forţelor eterioare; K O este momentul cinetic al rigidului faţă de polul O; M O et M O este momentul rezultant în raport cu polul O, al forţelor eterioare. După cum se observă din relaţiile (5.164) şi (5.165), acest principiu face legătura între caracteristicile cinetice ale rigidului şi caracteristicile dinamice ale lui. Relaţia (5.164) eprimă principiul impulsului în dinamica rigidului căruia i se poate da următoarea formulare: Derivata în raport cu timpul a impulsului unui rigid în mişcare este egală cu rezultanta tuturor forţelor eterioare la care este supus rigidul. Relaţia (5.165) eprimă principiul momentului cinetic în dinamica rigidului, cu formularea: Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic, într-un pol fi O, al unui rigid în mişcare este egală cu momentul rezultant, în acelaşi pol fi, al forţelor eterioare la care este supus rigidul considerat. Relaţiile (5.164) şi (5.165) reprezintă ecuaţiile vectoriale de mişcare ale rigidelor H & F. (5.166) K & O M O Aceste ecuaţii pot fi scrise şi în raport cu centrul de masă al rigidului, ele rezultând de forma [1, 7, 11] & H F & K M. (5.167) Principiul acţiunii forţelor permite demonstrarea, în condiţii determinate, a legii de conservare a torsorului impulsurilor, respectiv eistenţa unor integrale ale torsorului impulsurilor. Dacă, într-un anumit interval de timp sunt satisfăcute condiţiile F 0; M 0, (5.168) et O et