Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă reală): f(a lim 1a a i 1 ia i+1a n) f(a 1a a i 1a ia i+1a n) i a i i a i f i (a))( R) not i (a) (sau În acest caz i (a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila i în punctul a ii) funcţia f este parţial derivabilă în punctul a în raport cu variabila i dacă i (a) R iii) funcţia f este parţial derivabilă în raport cu variabila i pe D dacă f este parţial derivabilă în raport cu variabila i în orice punct din D În acest caz se obţine o funcţie i arbitrar fiat) : D R a D i (a) R (i 1 n iv) funcţia f este parţial derivabilă pe D dacă f este parţial derivabilă în raport cu toate variabilele în orice punct din D În acest caz se pot defini n funcţii parţiale ale lui f pe D i : D R i 1 n numite derivatele Observaţie i) Spre deosebire de cazul funcţiilor reale de o singură variabilă reală o funcţie poate să nu fie continuă într-un punct dar să fie derivabilă parţial în raport cu toate variabilele în acel punct: 1 şi y Funcţia f : R R f( y) nu este continuă în sau y origine dar admite derivate parţiale în origine: f nu este continuă în ( ) deoarece nici nu eistă lim f( y) : (y) () ( 1 n ) ( ) ( 1 n 1 n ) ( ) f( 1 n ) f( 1 n 1 n ) 1 1 f() f() y lim ceea ce arată că f este parţial derivabilă în ( ) ii) Dacă n atunci ( y ) f( y ) f( y ) iii) Dacă n 3 atunci ( y z ) f(y z ) f( y z ) z ( f( y z ) y z) f( y z ) z z z z Eemplu Fie f : R R f( y) f(y) f() y ( f( y) f( y ) y ) y y y y ( f( y z ) yz ) f( y z ) y y y y y +y ( y) ( ) 1
Avem: f() f() lim iar ( y) ( ) ( y) f(y) f() 3 y 3 ( +y ) ( y) y 3 3 ( +y ) Derivate parţiale de ordin superior Definiţie Fie D R n o mulţime deschisă şi f : D R o funcţie derivabilă parţial pe D Fie i : D R i 1 n cele n derivate parţiale ale lui f Dacă eistă derivata parţială în a D (respectiv în orice a D) în raport cu variabila j (j 1 n) a funcţiei i (i 1 n) atunci aceasta se numeşte derivata parţială de ordin a funcţiei f în punctul a (respectiv pe D) Se notează prin: j ( i ) f j i ( (f i ) j f i j ) dacă i j şi i ( i ) f ( (f i ) i f ) dacă i j i i j i cu i j se numesc derivate parţiale mite de ordin Observaţie 1) Pentru n avem derivatele parţiale de ordin : f f Pentru n 3 avem derivatele parţiale de ordin : f f z f f z f z f z f z ) Nu este obligatoriu ca derivatele parţiale mite ale unei funcţii într-un punct să fie egale: y( Fie f : R y ) R f( y) +y ( y) ( ) Atunci f ( ) ( )( ) g g() g() }} deci not g f(y) f() 1 Analog ( ) ( }} y deci not h )( ) h f() f() y 1 y( y ) f(y) f() ( ) +y h(y) h() () () () () y y( y ) f(y) f(y) ( y) +y
aşadar f ( ) f ( ) Eemplu Fie f : R R f( y) cos(+3y) Atunci sin(+ 3y) 3 sin( + 3y) ( ) 6 sin( + 3y) ( ) 6 sin( + 3y) f 4 sin( + 3y) f 9 sin( + 3y) Pentru definirea derivatelor parţiale de ordin superior se procedează recurent în aceeaşi manieră: de eemplu 3 f j i k j ( f i k ) etc Derivata pă o direcţie (vector) Fie D R n o mulţime deschisă f : D R a D Eistă S(a r) D Dreapta care trece prin punctul a şi are direcţia u R n este dreapta care trece prin punctele a şi a + u adică mulţimea a + tu; t R} Definiţie i) Spunem că funcţia f are derivată în punctul a pă direcţia (vectorul) u (numită şi derivată Gâteau) dacă eistă limita lim t t R notată prin f (a; u) sau u (a) sau (a) ii) Dacă (a) R spunem că f este derivabilă în punctul a pă direcţia (vectorul) u Observaţie 1) Dacă n 1 se obţine definiţia eistenţei derivatei (respectiv a derivabilităţii) pentru funcţii reale de o variabilă reală ) Presupunem u i) (a) t t a atu f() f(a) t deci practic limita acestui raport de creşteri se realizează doar pe un drum particular şi anume pe dreapta care trece prin a şi are direcţia u ii) Fie funcţia ϕ : ( r u r r u ) R ϕ(t) f(a + tu) t ( u r u ) Funcţia ϕ este bine definită deoarece t ( r ) a+tu S(a r) D Avem: (a) t t u ϕ(t) ϕ() t t r u ϕ () deci f este derivabilă în punctul a pă direcţia u dacă şi numai dacă ϕ este derivabilă în (în sens obişnuit ca funcţie reală de o variabilă reală) Probleme propuse 1 Calculaţi derivatele parţiale pentru următoarele funcţii (atât funcţiile cât şi derivatele acestora se vor considera pe domeniile maime de eistenţă): i) f( y) ( + y )arctg y ; ii) f( y) y ; +y 3
iii) f( y) ln(y); iv) f( y z) e +y sin z; v) f( y z) e y z ln z ; vi) f( y z) y + y z + z ; vii) f( y z) 1 y + 1 z + 1 y 3 z ; viii) f( y z) +y z arcsin y z Arătaţi că funcţiile următoare verifică ecuaţiile indicate: i) f : R R f( y) e cos y : f f + f (ecuaţia lui Laplace); ii) f : R R f( y) e sin y : f f + f ; iii) f : R 3 \( )} R f( y z) 1 ( y z) ( ) : f f + f + f z 3 Fie f : R R f( y) Arătaţi că f ( ) f ( ) +y +z 3 y +y ( y) ( ) 4 Studiaţi dacă derivatele parţiale mite de ordin în ( ) coincid pentru 3 funcţia f : R ( y ) R f( y) ( +y ) ( y) ( ) 5 Fie funcţia f : R 3 \( )} R f( y z) e y + y z + z Verificaţi dacă + y + z z (a) 6 Arătaţi că z + y z dacă z ln( + y + y ) 7 Fie f : R 3 R f( y z) yz a (1 1 ) u (1 3) Calculaţi 8 Cercetaţi derivabilitatea pă un vector u R n într-un punct a R n pentru funcţiile următoare: i) : R n R + ; ii) : R n R + 9 Fie funcţia f : R R f( y) y +y ( y) ( ) Cercetaţi dacă f are derivată în ( ) pă orice versor v (cos θ sin θ) θ [ π) dt 1 Calculaţi (a) unde T : Rk R este un operator liniar iar a R k u R k u sunt oarecare 11 Arătaţi că funcţia f : R y R f( y) 6 +y ( y) ( ) nu este continuă în ( ) dar admite derivată în ( ) pă orice vector u R u 4
1 Fie funcţia f : R R f( y) 5 (y ) + 8 ( y) ( ) a) Cercetaţi continuitatea lui f în ( ); b) Studiaţi derivabilitatea în ( ) a lui f pă un versor v (cos θ sin θ) θ [ π) 13 Fie f( y z) e y sin z Arătaţi că 3 f z 3 f z 14 Calculaţi derivatele parţiale de ordin II pentru f( y) ln(1 y) 15 Fie f( y z) ln( 3 +y 3 +z 3 3yz) Arătaţi că + + z 3 +y+z 5