Συναρτήσεις, Ορια, Συνέχεια ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων, της µελέτης των ορίων τους και της έννοιας της συνέχειας. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1
Κ. Κυρίτσης 2 Συναρτήσεις Περιεχόµενα 1 Συναρτήσεις 3 1.1 Ορισµός.............................. 3 1.2 Ισότητα.............................. 3 1.3 Τύποι Συναρτήσεων........................ 3 1.3.1 Φραγµένες......................... 3 1.3.2 Μονοτονία......................... 4 1.3.3 Άρτιες Περιττές..................... 4 1.3.4 Περιοδικές......................... 4 1.4 Σύνθεση Συναρτήσεων...................... 4 1.5 Αντίστροφη συνάρτηση...................... 5 1.6 Γραφική Παράσταση....................... 5 1.7 Ακρότατα............................. 6 1.8 Κοίλες και Κυρτές Συναρτήσεις................. 6 2 Οριο Συνάρτησης 6 2.1 Ορισµός.............................. 6 2.2 Ιδιότητες ορίων.......................... 7 2.3 Άπειρο.............................. 7 2.4 Ειδικά όρια............................ 8 3 Συνέχεια Συνάρτησης 8 3.1 Ορισµός............................. 8 3.2 Θεωρήµατα............................ 9 3.3 Συνέχεια κατά διαστήµατα.................... 10
Κ. Κυρίτσης 3 Συναρτήσεις 1 Συναρτήσεις 1.1 Ορισµός Μια απεικόνιση ενός συνόλου αριθµών σε ένα άλλο σύνολο αριθµών, λέγεται συνάρτηση. Συµβολικά γράφουµε f : A B, (1) A, B R. Το σύνολο το οποίο απεικονίζεται ονοµάζεται πεδίο ορισµού και το σύνολο στο οποίο καταλήγει η απεικόνιση ονοµάζεται σύνολο τερµατισµού. Το σύνολο Im(f) = f(a) = {y B : x A, y = f(x)} λέγεται πεδίο τιµών ή εικόνα. Εν γένει είναι f(a) B. Εδώ ϑα µας απασχολήσει η περίπτωση όπου τα σύνολα A, B είναι υποσύνολα των πραγµατικών αριθµών. Θεωρώντας τους αριθµούς x A, y B, για την συνάρτηση f µπορούµε να γράψουµε f : x y. (2) Συνήθως η συνάρτηση δίνεται σαν ένας τύπος, οπότε γράφουµε 1.2 Ισότητα y = f(x). (3) ύο συναρτήσεις f(x), g(x) ϑα είναι ίσες αν ισχύει ότι A f = A g = A και f(x) = g(x), x A. 1.3 Τύποι Συναρτήσεων 1.3.1 Φραγµένες Αν f(x) M, x A άνω ϕραγµένη, (4) f(x) m, x A κάτω ϕραγµένη, (5) m f(x) M, x A ϕραγµένη, (6) f(x) P, x A απολύτως ϕραγµένη. (7)
Κ. Κυρίτσης 4 Συναρτήσεις 1.3.2 Μονοτονία Για x 1 x 2 είναι 1.3.3 Άρτιες Περιττές Συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει f(x 1 ) f(x 2 ) αύξουσα, (8) f(x 1 ) f(x 2 ) ϕθίνουσα, (9) f(x 1 ) > f(x 2 ) γνησίως αύξουσα, (10) f(x 1 ) < f(x 2 ) γνησίως ϕθίνουσα. (11) ϑα λέγονται άρτιες. Αντίστοιχα συναρτήσεις για τις οποίες ϑα λέγονται περιττές. 1.3.4 Περιοδικές Συναρτήσεις που έχουν την ιδιότητα f(x) = f( x), (12) f(x) = f( x) (13) f(x + T) = f(x) (14) λέγονται περιοδικές. Ο ελάχιστος αριθµός T για τον οποίο ισχύει η (14) λέγεται περίοδος. Στην πράξη η συνάρτηση επαναλαβµάνεται µετά από διάστηµα µήκους T. 1.4 Σύνθεση Συναρτήσεων Ας υποθέσουµε ότι εχουµε τις συναρτήσεις f : A B και g : B C µε τύπους y = f(x) και z = g(y) αντίστοιχα. Μπορούµε να ορίσουµε την σύνθεση συναρτήσεων, που ϑα την συµβολίσουµε g f να είναι g f : A C. (15) Ο τύπος της ϑα είναι (g f)(x) = z = g(f(x)). (16) Οταν οι f, g έχουν την ίδια µονοτονία τότε και οι f g, g f ϑα έχουν την ίδια µονοτονία. Εν γένει f g g f.
Κ. Κυρίτσης 5 Συναρτήσεις 1.5 Αντίστροφη συνάρτηση Μια συνάρτηση ϑα λέγεται ένα-προς-ένα αν x 1, x 2 A f : f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Μια συνάρτηση ϑα λέγεται επί αν είναι f(a f ) = B. Μια συνάρτηση που είναι ένα-προς-ένα και επί λέγεται αµφιµονοσήµαντη. Σ αυτή την περίπτωση µπορούµε να ορίσουµε την αντίστροφη συνάρτηση την οποία την συµβολίζουµε σαν f 1 (y) και η οποία είναι τέτοια ώστε αν και Με άλλα λόγια f 1 : B A, (17) f : x y, (18) f 1 : y x. (19) f f 1 = id B f 1 f = id A. Η αντίστροφη συνάρτηση µας γυρνάει εκεί από όπου µας ξεκινάει η αρχική. id S είναι η ταυτοτική συνάρτηση στο σύνολο S, x S id S (x) = x. Στην περίπτωση που µια συνάρτηση δεν είναι ένα προς ένα, µπορούµε να παρακάµψουµε το πρόβληµα µη ορισµού της αντιστρόφου ως εξής. Χω- ϱίζουµε το πεδίο ορισµού σε υποσύνολα, έτσι ώστε η συνάρτηση να είναι ένα προς ένα και επί σε καθένα από αυτά. Ορίζουµε ένα πλήθος αντιστρόφων συναρτήσεων, µια για κάθε κοµµάτι που η αρχική είναι ένα προς ένα. Αυτές λέγονται κλάδοι. Στην πράξη είναι ϐολικό να διαλέξουµε µια από αυτές, στην οποία περίπτωση την ονοµάζουµε κύριο κλάδο και να την ϑεωρούµε σαν αντίστροφη συνάρτηση, πάντα µε τον περιορισµό η αρχική να παίρνει τιµές στο κατάλληλο, περιορισµένο κοµµάτι του αρχικού πεδίου ορισµού. 1.6 Γραφική Παράσταση Ορίζουµε το γράφηµα µιας συνάρτησης να είναι G = {(x, f(x)) : x A f }. (20) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι τότε η απεικόνιση του G στο επίπεδο Oxy, µε το x A f και το y = f(x) f(a). Συνήθως είναι µία καµπύλη.
Κ. Κυρίτσης 6 Συναρτήσεις 1.7 Ακρότατα Εστω το διάστηµα (a, b), c ένας αριθµός c (a, b), και ισχύει f(x) f(c) x (a, b). Τότε λέµε ότι η συνάρτηση έχει τοπικό µέγιστο στο x = c. Αντίστοιχα αν είναι f(x) f(c), λέµε ότι έχουµε τοπικό ελάχιστο. Ισοδύναµα αν η f(x) είναι αύξουσα για x < c και ϕθίνουσα για x > c τότε έχει τοπικό µέγιστο στο c. Αν η f(x) είναι ϕθίνουσα για x < c και αύξουσα για x > c τότε έχει τοπικό ελάχιστο στο c. Μια συνάρτηση µπορεί να έχει περισσότερα του ενός τοπικά µέγιστα ή και ελάχιστα. Αν c A και είναι f(x) f(c), x A, τότε έχουµε ολικό µέγιστο. Αντίστοιχα ορίζεται και το ολικό ελάχιστο. Τα µέγιστα και ελάχιστα µιας συνάρτησης λέγονται ακρότατα. 1.8 Κοίλες και Κυρτές Συναρτήσεις Αν x 1 x x 2 µοναδικό t R : x = (1 t)x 1 + tx 2. Μια συνάρτηση f : A R ϑα λέγεται κυρτή αν x, y A και t R f ((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y). (21) Γραφικά κάθε χορδή είναι πάνω από το αντίστοιχο τόξο. Μια συνάρτηση f : A R ϑα λέγεται κοίλη αν x, y I και t R f ((1 t)x + ty) (1 t)f(x) + tf(y). (22) Γραφικά κάθε χορδή είναι κάτω από το αντίστοιχο τόξο. 2 Οριο Συνάρτησης 2.1 Ορισµός Ορίζουµε το όριο της συνάρτησης f(x), όταν το x τείνει στο x 0 να είναι ο αριθµός L και γράφουµε f(x) = L, (23) x x 0 εάν για κάθε ǫ > 0 µπορούµε να ϐρούµε ένα δ > 0 που να εξαρτάται εν γένει από το ǫ και το x 0, τέτοιο ώστε να ισχύει f(x) L < ǫ όταν x x 0 < δ. Αντίστοιχα ορίζονται και τα όρια από δεξιά και αριστερά, για τα οποία γράφουµε f(x) (24) x x + 0
Κ. Κυρίτσης 7 Συναρτήσεις και x x 0 f(x), (25) µε την µόνη διαφορά ότι τώρα το x περιορίζεται να είναι x > x 0 και x < x 0 αντίστοιχα. Ισχύει ότι f(x) = L, (26) x x 0 αν και µόνο αν x x + 0 f(x) = x x 0 Το όριο µιας συνάρτησης, αν υπάρχει, είναι µοναδικό. 2.2 Ιδιότητες ορίων f(x) = L. (27) Για τα όρια συναρτήσεων έχουµε τις ακόλουθες ιδιότητες. x x0 f(x) = A και x x0 g(x) = B. Είναι Θεωρούµε ότι (f(x) ± g(x)) = f(x) ± g(x) = A ± B, (28) x x 0 x x0 x x0 ( ) ( ) (f(x) g(x)) = f(x) g(x) = A B, (29) x x 0 x x 0 x x 0 µε την προϋπόθεση ότι B 0. 2.3 Απειρο f(x) x x 0 g(x) = x x 0 f(x) x x0 g(x) = A B, (30) Αν για κάθε ϑετικό αριθµό M µπορούµε να ϐρούµε ένα ϑετικό αριθµό δ που να εξαρτάται από το M τέτοιον ώστε f(x) > M όταν x x 0 < δ, τότε το όριο της συνάρτησης είναι άπειρο. Γράφουµε f(x) =. (31) x x 0 Αντίστοιχα ορίζεται και το µείον (αρνητικό) άπειρο. Ο ορισµός µπορεί να γενικευτεί και την περίπτωση που µελετάµε την συµπεριφορά της συνάρτησης όταν το x γίνει ανεξέλεγκτα µεγάλο ή µικρό. Σ αυτή την περίπτωση µιλάµε για το όριο f(x). (32) x ±
Κ. Κυρίτσης 8 Συναρτήσεις 2.4 Ειδικά όρια Μερικά χαρακτηριστικά όρια είναι 1. sin x = 1. (33) x 0 x 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Ποιό γενικά, x ( 1 + x) 1 x = e. (34) ( 1 + α x = e x) α. (35) x 0 e x 1 = 1. (36) x 0 x = 1 cos x = 0. (37) x 0 x (1 + x)1/x = e. (38) x 0 + x ax = x ax = = x 1 = 1. (39) x 1 ln x { +, a > 1, 0, 0 < a < 1. { 0, a > 1 3 Συνέχεια Συνάρτησης +, 0 < a < 1. (40) (41) 3.1 Ορισµός Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο σηµείο x 0, όταν
Κ. Κυρίτσης 9 Συναρτήσεις 1. Το όριο υπάρχει. x x 0 f(x) = L (42) 2. Η συνάρτηση ορίζεται στο σηµείο x 0, υπάρχει δηλαδή το f(x 0 ). 3. Είναι f(x 0 ) = L. (43) Η συνάρτηση ϑα λέγεται συνεχής αν είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισµού της. Σηµεία στα οποία η συνάρτηση δεν είναι συνεχής λέγονται σηµεία ασυνέχειας. Μπορούµε να ορίσουµε την συνέχεια από αριστέρά ή από δεξιά αν στον ορισµό τροποποιήσουµε το όριο κατάλληλα. 3.2 Θεωρήµατα Θεώρηµα 1 Υποθέτουµε ότι έχουµε δύο συνεχείς συναρτήσεις f(x), g(x) στο x 0. Τότε οι συναρτήσεις f(x) ± g(x), f(x) g(x), (f g)(x), (g f)(x) και f(x)/g(x) 1 είναι συνεχείς. Θεώρηµα 2 Οι πολυωνυµικές συναρτήσεις, οι τριγωνοµετρικές, εκθετικές, λογάριθµοι, δυνάµεις είναι συνεχείς συναρτήσεις. Θεώρηµα 3 Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο κλειστό διάστηµα, τότε είναι και ϕραγµένη, m f(x) M. Επιπλέον η f(x) παίρνει όλες τις δυνατές τιµές µεταξύ m και M. Θεώρηµα 4 Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστηµα και γνησίως µονότονη, τότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση η οποία επιπλέον είναι συνεχής και έχει τον ίδιο τύπο µονοτονίας. Θεώρηµα 5 (Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής) Αν µια συνάρτηση είναι συνεχής στο [a, b] µε f(a) = A και f(b) = B, τότε για κάθε C µεταξύ των A και B, υπάρχει κάποιο c [a, b] τέτοιο ώστε f(c) = C. Θεώρηµα 6 (Θεώρηµα Bolzano) Αν η f(x) είναι συνεχής στο [a, b] και τα f(a), f(b) έχουν αντίθετο πρόσηµο, f(a)f(b) < 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα c [a, b] τέτοιο ώστε f(c) = 0. Θεώρηµα 7 (Θεώρηµα Weierstrass) Κάθε συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστηµα [a, b] έχει τουλάχιστον ένα σηµείο ολικού µεγίστου και τουλάχιστον ένα σηµείο ολικού ελαχίστου. 1 Με την προϋπόθεση ότι η g(x) δεν µηδενίζεται.
Κ. Κυρίτσης 10 Συναρτήσεις 3.3 Συνέχεια κατά διαστήµατα Σ αυτή την περίπτωση η συνάρτηση είναι συνεχής παντού εκτός από πεπε- ϱασµένο πλήθος αποµονωµένων σηµείων.
Κ. Κυρίτσης 11 Συναρτήσεις ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.
Κ. Κυρίτσης 12 Συναρτήσεις Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )
Κ. Κυρίτσης 13 Συναρτήσεις Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ