Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική και γεωμετρική ερμηνεία του Θ. Rolle. Γ. Ομάδες προβλημάτων στο Θ. Rolle. 0 o θεώρημα : Απροςδιοριςτία μορφήσ 0 Αν για τισ παραγωγίςιμεσ ςυναρτήςεισ f, g ιςχύουν: 0 f = 0 g = 0 και Υπάρχει το 0 f g, τότε: 0 f g = 0 f g 2o θεώρημα : Απροςδιοριςτία μορφήσ Αν για τισ παραγωγίςιμεσ ςυναρτήςεισ f, g ιςχύουν: 0 f = 0 g = + και Υπάρχει το 0 f g τότε: 0 f g = 0 f g Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ Είναι ςυνεχήσ ςτο κλειςτό διάςτημα α. β

. Ο αριθμόσ 0 R, +. 2. Το 2ο Θεώρημα ιςχύει και όταν έχουμε:, +, + 3. Τα παραπάνω θεωρήματα ιςχύουν και για τισ περιπτώςεισ που έχουμε πλευρικά όρια. 4. Πάντοτε ελέγχουμε τισ προώποθέςεισ των κανόνων όταν πρόκειται να τουσ εφαρμόςουμε. η Ομάδα Οι κανόνεσ De L Hospital ιςχύουν θετικά: Δηλαδή μόνο όταν υπάρχει το όριο: 0 f g. Να υπολογίςετε το όριο: 0 2 ημ ln + Ιςχύουν: 0 2 ημ = 0 με το κριτήριο παρεμβολήσ και 0 ln + = 0. Είναι δηλαδή περίπτωςη 0 0 0 2 ημ ln + = 2 ημ ςυν () 0 / + 2 Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ανάλυςη, αλλά έχουμε:

Δεν υπάρχει το όριο 0 ςυν, διότι: 0 =, αν < 0 +, αν > 0 Επομένωσ δεν υπολογίζεται το παραπάνω όριο με τον κανόνα De L Hospital, αλλά με τον εξήσ τρόπο: Διαιρούμε τουσ όρουσ του κλάςματοσ 2 ημ ln +, με 0 και παίρνουμε το κλάςμα: ημ ln + (2) Με το κριτήριο παρεμβολήσ είναι: 0 ημ = 0, και ln + 0 Επομένωσ είναι: 0 0 0 De ln + L Hospital = 0 = 0 + =. 2 ημ ln + = 0 = 0 2 η Ομάδα Οι κανόνεσ De L Hospital εφαρμόζονται περιςςότερεσ από μια φορέσ ςτο ίδιο όριο, αρκεί να πληρούνται οι υποθέςεισ. Να υπολογίςετε το όριο: 0 3 e + 0 3 e + 0 0 De 3 2 L = 0 e + 0 0 De L = = 0. e 0 6 Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ 3

3 η Ομάδα Δεν εφαρμόζουμε οι κανόνεσ ςε περιπτώςεισ που έχουμε ριζικά και ±, διότι με τη παραγώγιςη προκύπτουν πιο δύςκολα όρια. Εφαρμόζονται όταν έχουμε ριζικά και 0 με 0 R. Να υπολογίςετε το όριο: + 2 + + + 2 Αν επιχειρήςουμε με τον κανόνα De L Hospital, διαπιςτώνουμε τη δυςκολία με τη παράγωγο. Επομένωσ υπολογίζεται ωσ εξήσ: Διαιρούμε τουσ όρουσ του κλάςματοσ με τον 2 0, και έχουμε: + 2 + + + 2 + + + + = + = + 0 + =. + 2 0 + 2 Να υπολογίςετε το όριο: 0 + + + 4 3 2 + 0 = 0 + + + 4 3 2 + 2 + + 2 + 4 = 2 + + + + 4 3 = 0 2 + 2 + 4 = 3 4 = 4 Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ανάλυςη

4 η Ομάδα Όταν έχουμε τισ μορφέσ: 0. ± ή μετατρέπουμε ςτισ: 0 0 ή ± ± + +, τότε τισ, και μετά με τουσ κανόνεσ. Να υπολογίςετε τα όρια : α. ( ln ) + 0 β. ( + 2 e ) α. 0 + ln = 0 + β. + 2 e ln + 2 + +. 0 = + e + και με τον De L H παίρνουμε De L Hospital = + 2 e = 2 + + e + De L Hospital = + 2 e = 0. Να υπολογίςετε το όριο: ln Το όριο τησ διαφοράσ: ln, δίνει περίπτωςη 0 0. Επομένωσ μετατρέπουμε τη διαφορά ςε πηλίκο και έχουμε: ln = 2 ln ln () Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ 5

5 η Ομάδα Έςτω: f = α ν + β lnp ή f = α ν P + β e όπου α, β R, ν N και P πολυώνυμο. Αν το f παρουςιάζει απροςδιοριςτία, τότε: ± Διαιρούμε με ν ή e P και εφαρμόζουμε τουσ κανόνεσ De L Hospital, ςτα όρια που ικανοποιούν τισ υποθέςεισ. α. + e2 2 + β. + ln2 + 2 ημ α. Έχουμε περίπτωςη: +, οπότε παραγοντοποιούμε τον τύπο, διαιρώντασ με 2 και έχουμε: + e2 2 + = + 2 e 2 2 + () β. ln2 2 + + 2 ημ = ln2 + 2 + ημ + ln2 Ιςχύουν: + + +, De L = + ln2 = + = 0 και + + ημ ημ = + 6 Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ανάλυςη = u 0 = u 0 ημu u =, οπότε: ln2 + 2 ημ + = + 0 2 + + 0 =.

6 η Ομάδα Τα όρια τησ μορφήσ f g, παρουςιάζουν τισ 0 απροςδιοριςτίεσ: 0 0, ±, ± 0. Για τισ απροςδιοριςτίεσ αυτέσ εργαζόμαςτε ωσ εξήσ: Γράφουμε τη ςυνάρτηςη y f g ωσ εκθετική: y e g.lnf, με f > 0 Θέτουμε u = g. lnf και βρίςκουμε το όριο: u = κ R, +. 0 Το τελικό όριο τότε θα είναι: l = u κ e u. α. 0 + β. + + γ. + 2 + α. Έχουμε: 0 + περίπτωςη 0 0 = 0 +e ln () Όμωσ είναι: 0 + 2 0 + = 0 + ln ln 0. = 0 + +, De L = = 0, άρα από την : 0 + = e 0 =. Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ 7

Δίνεται μια ςυνάρτηςη f οριςμένη ςε δ ι ά ς τ η μ α Δ. Ονομάζουμε αρχική ςυνάρτηςη ή παράγουςα τησ f ςτο Δ, κάθε παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη F ςτο Δ, για την οποία ιςχύει: F = f, για κάθε Δ.. Η αρχική ςυνάρτηςη έχει νόημα ςε δ ι ά ς τ η μ α και όχι ςε ένωςη διαςτημάτων! 2. Η έκφραςη «η ςυνάρτηςη f έχει αρχική την F ςτο ςύνολο Α» έχει νόημα μόνο αν το Α είναι δ ι ά ς τ η μ α. Έςτω οι ςυναρτήςεισ f = 2 και F = που έχουν πεδίο οριςμού Α =, 0 0, + και ιςχύει F = f με A. Είναι λάθοσ να λέμε: Αφού ιςχύει ότι: F = f για κάθε A, η F είναι αρχική τησ f ςτο Α, γιατί το Α δεν είναι διάςτημα. Το ςωςτό είναι να λέμε: Η F είναι αρχική τησ f ςτο διάςτημα, 0 ή ςτο 0, +. 3. Αποδεικνύεται ότι: Αν μια ςυνάρτηςη f είναι ς υ ν ε χ ή σ ςε διάςτημα Δ, τότε πάντοτε έχει αρχική ςυνάρτηςη. 8 Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ανάλυςη

Ο επόμενοσ πίνακασ των αρχικών ςυναρτήςεων είναι χρήςιμοσ ςτα επόμενα προβλήματα του διαφορικού λογιςμού. Οι ςυναρτήςεισ του πίνακα πρέπει να είναι καλώσ οριςμένεσ. 0 c 2 3 4 α 5 6 ln α+ α +, α f () f() f α f () 2, 0 f () f 2 2 f () 2 f () ln f() f α+ α + f () f () 7 ςυν ημ f ()ςυνf () ημf () 8 ημ ςυν f ()ημf () ςυνf () 9 0 ςυν 2 ημ 2 εφ ςφ f () ςυν 2 f () f () ημ 2 f () εφf ( ςφf () e e f ()e f () e f () 2 α α lnα f ()α f () lnα α f () lnα Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ 9

Το θεώρημα γεωμετρικά με τη βοήθεια του ςχήματοσ ςημαίνει ότι: Υπάρχει ένασ τουλάχιςτον αριθμόσ ξ α, β ώςτε η εφαπτομένη ευθεία ε τησ τησ C f ςτο ςημείο Μ(ξ, f ξ ) να είναι παράλληλη ςτον άξονα των τετμημένων. y O Μ(ξ,f(ξ)) (ε) C f Β(β,f(β)) Α(α,f(α)) (ε) α ξ ξ β Το θεώρημα Rolle αλγεβρικά ςημαίνει ότι η εξίςωςη: f = 0, έχει μια τουλάχιςτον ρίζα ςτο διάςτημα α, β. Η γραφική παράςταςη τησ παραγώγου, τέμνει τον άξονα ςε ένα τουλάχιςτον ςημείο με τετμημένη ξ α, β. Αν η γραφική παράςταςη τησ f τέμνει τον άξονα ςε δύο ςημεία, 2 < 2, τότε η γραφική παράςταςη τησ f τέμνει τον άξονα, τουλάχιςτον μια φορά ςε ςημείο ρ που βρίςκεται μεταξύ των ςημείων, 2. 0 Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ανάλυςη

Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών, 2 τησ εξίςωςησ f = 0, υπάρχει μια τουλάχιςτον ρίζα ρ τησ εξίςωςησ: f = 0. Μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών ρ, ρ 2, τησ f = 0, υπάρχει μια το πολύ ρίζα 0, τησ εξίςωςησ: f = 0. Αν η ςυνάρτηςη f είναι δύο φορέσ παραγωγίςιμη και η f έχει έχει τρείσ ρίζεσ, 2, 3, τότε η f έχει δύο τουλάχιςτον ρίζεσ ρ, ρ 2 και η f μια τουλάχιςτον ρίζα ρ. Γενίκευςη: Αν η ςυνάρτηςη f είναι κ φορέσ παραγωγίςιμη και έχει κ + ρίζεσ, τότε η f κ έχει μια τουλάχιςτον ρίζα ρ. Αν f 0, για κάθε R, τότε η f = 0, έχει μια το πολύ πραγματική ρίζα. Αν f 0 για κάθε R, τότε η ςυνάρτηςη f είναι. Με άτοπο και Rolle) Στισ λυμένεσ αςκήςεισ που ακολουθούν έγινε ομαδοποίηςη ςε αρκετά μεγάλο ποςοςτό. Δεν θα πρέπει όμωσ αυτό να επιδιώκεται ςτη τάξη, διότι τότε Αφαιρείται η πρωτοβουλία και η δημιουργικότητα του μαθητή. Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ

Λυμένα Θέματα ςτο θεώρημα του Rolle Έςτω η ςυνάρτηςη: f = α 2 + 3 + ημ +, 2 + β. ln + + γ, 0 > 0 Να βρείτε τα α, β, γ R, ώςτε να ιςχύει το θεώρημα του Rolle για την f, ςτο διάςτημα: D =,. Η ςυνάρτηςη f είναι ςυνεχήσ ςτα ςύνολα,0), (0,, διότι οι f = α 2 + 3 + ημ + και Εφαρμογή του Θ. Rolle για f 2 = 2 + β ln + + γ την εύρεςη των παραμέτρων είναι ςυνεχείσ, ωσ άθροιςμα ςυνεχών ςυναρτήςεων. Πρέπει η f να είναι ςυνεχήσ και ςτο ςημείο = 0, δηλαδή: 0 f = f = f 0 = γ. () + 0 Οι τιμέσ ςτα άκρα του διαςτήματοσ,, να είναι ίςεσ: f = f α + = + γ α = γ, οπότε είναι: α = γ = (2) Τέλοσ πρέπει να είναι παραγωγίςιμη ςτο διάςτημα,. Είναι: f = 2α + 3ημ + 3 + ςυν, για,0 και 2 Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ανάλυςη

f = 2 + β. ln + + β +, για 0,. Πρέπει να παραγωγίζεται και ςτο = 0, δηλαδή πρέπει: f f 0 0 0 = 0 + f f 0 0 f f = 0 0 + Είναι: 0 f α 2 + 3 + ημ = = 0 0 ημ α + 3 + = 0 α + 3 0 ημ + 0 = 3. Οπότε είναι: f = 3 (3) 0 Επίςησ είναι: f 2 + β ln + = 0 + 0 + = 0 + + β 0 + ln + 0 + = 0 + β.. = β (4) Tο όριο 0 + ln +, υπολογίςτηκε με τον κανόνα De L Hosp. ln + 0 + Περίπτωςη 0 0 = ln + = 0 + 0 + + =. Επομένωσ από τισ 3 και 4 έχουμε: β = 3 β = 3. Άρα είναι: α = γ = και β = 3. Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ 3

Έςτω η ςυνεχήσ ςυνάρτηςη: f: α, β R με α < β < 0 και α + β = 2. Αν υπάρχει η f ςτο α, β και f α = f β = 0, τότε: α. Να βρείτε την τιμή του λ R ώςτε η ςυνάρτηςη g με τύπο: g = f f λ 2, να ικανοποιεί τισ ςυνθήκεσ του θεωρήματοσ του Rolle ςτο α, β. β. Να δείξετε ότι υπάρχει ξ α, β τέτοιο ώςτε: f ξ = f β f α β α α. Η ςυνάρτηςη g είναι ςυνεχήσ ςτο διάςτημα α, β και είναι: g = f f f 2λ = g = f 2λ. () Πρέπει να ιςχύει: g α = g β από την οποία παίρνουμε: f α αf α λα 2 = f β βf β λβ 2 f α λα 2 = f β λβ 2 και από αυτή προκύπτει: λ = f β f α β 2 α 2 β. Από το α. με το Θ.R. υπάρχει ξ α, β ώςτε: g ξ = 0 ξ 0 f β f α ξf ξ 2λξ = 0 f ξ = 2λ = α + β. β 2 α 2 4 Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ανάλυςη f ξ = f β f α β α

Α' Oμάδα Ύπαρξη μιασ τουλάχιςτον ρίζασ τησ εξίςωςησ f()=0 Ανάλογα με το πρόβλημα, χρηςιμοποιείται μια από τισ μεθόδουσ: Με το θεώρημα του Bolzano ςε διάςτημα α, β Με το θεώρημα του Rolle για μια αρχική τησ f ςε α, β Με άτοπο απαγωγή και το θεώρημα του Rolle ςε α, β Έςτω f, g οι παραγωγίςιμεσ ςτο R ςυναρτήςεισ και, 2 με < 2, είναι οι ρίζεσ τησ εξίςωςησ f = 0. Να δείξετε ότι: Η εξίςωςη f + f g = 0, έχει μια τουλάχιςτον ρίζα ςτο διάςτημα, 2. Έχουμε: f = 0 και f 2 = 0. () Πολλαπλαςιάζουμε την εξίςωςη με e g και παίρνουμε: f e g + f g e g = 0 f e g = 0. Θεωρούμε τη ςυνάρτηςη: h = f e g, με, 2. Προφανώσ η h ικανοποιεί τισ προώποθέςεισ του Θ.R, άρα. Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ 5

Μια εφαρμογή του παραπάνω θέματοσ έχουμε αν θεωρήςουμε: f = 2, g =. y Ιςχύει: f = 0 =, =. Η εξίςωςη f + f g = 0, παίρνει τη μορφή: 2 + 2 = 0 Η ςυνάρτηςη h = f e g είναι η h = 2 e. 2 f( ) y h'( ) 2 h( ) e ( ) ρ O Δίνεται η ςυνάρτηςη f η οποία είναι παραγωγίςιμη ςτο 0, π και ιςχύει: f συν f ημ () για κάθε 0, π. Να αποδείξετε ότι: α. f 0. f π 0 β. Η f έχει μια τουλάχιςτον ρίζα ςτο 0, π. α. Για = 0 από την παίρνουμε: f 0 ςυν0 f 0 ημ0, από την οποία έχουμε: f 0 0 και για = π είναι: f π 0 οπότε πράγματι ιςχύει: f 0. f π 0. β. Έςτω ότι η f δεν έχει ρίζα ςτο 0, π δηλαδή είναι: f 0 ςτο 0, π. Λόγω του α. έχουμε: f 0 για κάθε 0, π. () 6 Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ανάλυςη

Για κάθε 0, π από την υπόθεςη έχουμε: f ςυν f ημ 0 f ςυν f ημ f 2 0 f ( ημ) f ημ f 2 Αν g = ημ f 0 ημ f Β' Oμάδα Ύπαρξη μιασ το πολύ ρίζασ τησ εξίςωςησ f() 0 0 (2), 0, π τότε από τη 2 είναι: g 0. Για τη g ιςχύουν οι προώποθέςεισ του Θ. Rolle ςτο 0, π, διότι: Είναι ςυνεχήσ ωσ πηλίκο ςυνεχών ςυναρτήςεων. Είναι παραγωγίςιμη ςτο 0, π και g 0 = g π = 0. Άρα η εξίςωςη g = 0 έχει μια τουλάχιςτον ρίζα ςτο 0, π, πράγμα άτοπο λόγω τησ ςχέςησ (2). Αποδεικνύουμε δηλαδή ότι η εξίςωςη f = 0, έχει μια ή καμία ρίζα, πράγμα που ςημαίνει ότι η C f τέμνει τον άξονα ςε ένα ςημείο ή δεν τον τέμνει. Χρηςιμοποιείται μια από τισ μεθόδουσ: Αποδεικνύουμε ότι η f είναι γνηςίωσ μονότονη. Με άτοπο απαγωγή: Υποθέτουμε ότι η εξίςωςη f = 0 έχει δυο διαφορετικέσ ρίζεσ, 2 και εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle ςτο διάςτημα, 2 για < 2. Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ 7

Γ' Oμάδα Ύπαρξη μοναδικήσ ρίζασ τησ εξίςωςησ f() 0 Η ύπαρξη τησ ρίζασ : Ελέγχουμε αν η εξίςωςη έχει προφανή ρίζα. Εξετάζουμε αν εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano για την f. Εξετάζουμε αν ιςχύει το θεώρημα Rolle για την F, μια αρχική τησ f. Η μοναδικότητα τησ ρίζασ: Με τη μονοτονία τησ f. Με άτοπο απαγωγή και εφαρμογή του θεωρήματοσ Rolle. Δίνονται οι ςυναρτήςεισ : f = e και g = 2 + e +. Να αποδείξετε ότι: y α. Τα ςημεία Α 0,, Β, e ανήκουν ςτισ C f και C g. e B(, e) β. Τα Α, Β είναι τα μοναδικά κοινά ςημεία των C f, C g. C f Α(0,) O C g α. Ιςχύουν: f 0 = e 0 = και g 0 = 0 2 + e. 0 + =. Άρα το Α είναι κοινό ςημείο των C f, C g. Επίςησ είναι: f = e και g =. Άρα και το ςημείο Β είναι κοινό ςημείο των C f, C g. 8 Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ανάλυςη

β. Από το α. ερώτημα έχουμε: f 0 = g 0 και f = g που ςημαίνει ότι η εξίςωςη: f = g f g = 0, έχει δύο ρίζεσ τουσ αριθμούσ 0 και. Θα αποδείξουμε ότι η εξίςωςη: h = f g = 0, δεν έχει άλλεσ πραγματικέσ ρίζεσ. Άτοποσ απαγωγή: Έςτω ότι η ςυνάρτηςη: h = f g = e + 2 e, έχεικαι άλλη ρίζα ρ 0, ρ, π. χ. 0 < < ρ. Στα διαςτήματα 0,,, ρ, η h ικανοποιεί τισ προώποθέςεισ του θεωρήματοσ Rolle, άρα υπάρχει ένασ τουλάχιςτον αριθμόσ α 0, ώςτε: h α = 0 και ένασ τουλάχιςτον αριθμόσ β, ρ ώςτε: h β = 0. Για την h = e + 2 e, ιςχύει το θεώρημα Rolle ςτο α, β : Είναι ςυνεχήσ ςτο α, β. h = e + 2, για κάθε α, β και h α = h β. Άρα υπάρχει ένασ τουλάχιςτον αριθμόσ ξ α, β, ώςτε: h ξ = 0 δηλαδή ότι: e ξ + 2 = 0, πράγμα αδύνατο. Άρα η h έχει δύο μόνο ρίζεσ που ςημαίνει ότι οι γραφικέσ παραςτάςεισ των f και g έχουν μοναδικά κοινά ςημεία τα Α και Β. Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ 9

Δ' Oμάδα Ύπαρξη ςημείου ξ α,β ώςτε η εφαπτομένη ε τησ ςτο Μ ξ,f(ξ, να διέρχεται από ένα ςημείο Α. C f Έςτω η παραγωγίςιμη ςυνάρτηςη f ςτο διάςτημα, 2, με f = 2 και f 2 = 4. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιςτον ξ, 2 ώςτε η εφαπτομένη ε τησ C f ςτο ςημείο Μ ξ, f(ξ) να διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει ξ,2 ώςτε η εφαπτομένη ε: y f ξ = f ξ ξ ςτο Μ ξ, f(ξ) να διέρχεται από το Ο 0,0. Αυτό ςημαίνει ότι θα υπάρχει ξ ώςτε: 0 f ξ = f ξ 0 ξ f ξ = ξ f ξ y y f( ) ε ξ f ξ f ξ = 0 ξf ξ f ξ ξ 2 = 0. 2 Μ y g( ) Άρα η εξίςωςη: f f f 2 = 0, ή = 0, να έχει ρίζα ξ,2. O ξ 2 H ςυνάρτηςη: g = f,,2 ικανοποιεί τισ υποθέςεισ του του θεωρήματοσ Rolle, ςτο διάςτημα,2, διότι είναι ςυνεχήσ ςτο 20 Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ανάλυςη

,2, παραγωγίςιμη ςτο,2, και g = 2 = g 2. Άρα η εξίςωςη g = 0 έχει μία τουλάχιςτον ρίζα ςτο,2. Έςτω ςυνάρτηςη f που είναι δύο φορέσ παραγωγίςιμη ςτο R και μια ευθεία ε. Να αποδείξετε ότι: α. Αν η ε τέμνει τη C f ςε τρία διαφορετικά ςημεία, τότε η εξίςωςη: f = 0 έχει μια τουλάχιςτον ρίζα ςτο R. β. Αν f = e 2 4 + 7, τότε η C f δεν έχει 3 κοινά ςημεία με ευθεία ε. α. Έςτω Α α, f α, Β β, f β και Γ γ, f γ τα τρία κοινά ςημεία των C f και ε και έςτω ότι είναι: α < β < γ. Η ςυνάρτηςη f ικανοποιεί y ςτα διαςτήματα α, β, β, γ, τισ προώποθέςεισ του Θ.Μ.Τ. Α(α,f(α)) Β(β,f(β)) C f (ε) Γ(γ,f(γ)) Επομένωσ υπάρχουν αριθμοί ξ α, β, ξ 2 β, γ ώςτε: O α β γ f ξ = f β f α β α = λ ΑΒ και f ξ 2 = f γ f β γ β = λ ΒΓ Επειδή τα τρία ςημεία Α, Β, Γ είναι ςυνευθειακά, ιςχύει: λ ΑΒ = λ ΒΓ Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ 2

οπότε ιςχύει: f ξ = f ξ 2. () Για τη ςυνάρτηςη f ιςχύει το θεώρημα του Rolle ςτο διάςτημα ξ, ξ 2 επειδή υπάρχει η f και από την είναι f ξ = f ξ 2. Άρα υπάρχει ένασ τουλάχιςτον ξ ξ, ξ 2 ώςτε: f ξ = 0. Έςτω η ςυνεχήσ ςυνάρτηςη f ςτο διάςτημα 0, 2, που είναι δύο φορέσ παραγωγίςιμη ςτο 0, 2 για την οποία: f 0 = 0, f 2 = 2. α. Να δείξετε ότι υπάρχει ένασ τουλάχιςτον ξ 0, 2, τέτοιοσ ώςτε: ξ. f ξ = 2 ξ β. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο αριθμοί κ, λ 0, 2 ώςτε: f κ. f λ = 3ξ 2 ξ 3 γ. Να βρείτε την τιμή του ξ 0, 2, ώςτε να ιςχύει για την f το θεώρημα του Rolle ςτο διάςτημα κ, λ. α. Αρκεί να δείξουμε ότι το ξ να είναι ρίζα τησ f + 2 = 0. Θεωρούμε τη ςυνάρτηςη: g = f + 2, 0,2. Είναι ςυνεχήσ ςτο 0,2, ωσ διαφορά ςυνεχών ςυναρτήςεων. Ιςχύουν: g 0 = f 0 2 = 2 < 0 και g 2 = 2f 2 = 4 > 0. Επομένωσ είναι: g 0. g 2 < 0, οπότε ςύμφωνα με το θεώρημα 22 Μαθηματικά Γ Λυκείου - Ανάλυςη

του Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιςτον ξ 0,2, ώςτε: g ξ = 0, ή ξ f ξ + ξ 2 = 0 f ξ = 2 ξ ξ 0 κ ξ λ 2 β. Για τη ςυνάρτηςη f ιςχύει το Θ.Μ.Τ. ςτα διαςτήματα 0, ξ και ξ, 2. Επομένωσ υπάρχουν αριθμοί: κ 0, ξ και λ ξ, 2 ώςτε: f κ = f ξ f 0 ξ 0 = 2 ξ ξ ξ = 2 ξ ξ 2 () f λ = f 2 f ξ 2 ξ = 2 2 ξ ξ 2 ξ = 3ξ 2 ξ 2 ξ (2) Άρα από τισ, 2 εχουμε: f κ. f λ = 2 ξ ξ 2 3ξ 2 ξ 2 ξ = 3ξ 2 ξ 3 γ. Η ςυνάρτηςη f είναι ςυνεχήσ διότι υπάρχει η f. Άρα για να ιςχύει το θεώρημα Rolle για την f ςτο διάςτημα κ, λ, πρέπει: f κ = f λ 2 ξ ξ 2 = 3ξ 2 ξ 2 ξ ξ 0,2 2 ξ 2 = ξ 3ξ 2 ξ 2 4ξ + 4 = 3ξ 2 2ξ 2ξ 2 + 2ξ 4 = 0 ξ 2 + ξ 2 = 0. Έχει Δ = 9 και ρίζεσ: ξ,2 = ± 3 2 = 2 Δεκτή είναι η τιμή ξ =, διότι: ξ 0,2. Θεώρημα Rolle εφαρμογέσ 23