ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
|
|
- Φωτεινή Γκόφας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STROJNÍ, ANALÝZA MECHANICKÝCH VLASTNOSTÍ PEROVÉHO HRIADEĽOVÉHO SPOJA ANALYSIS OF MECHANICAL PROPERTIES OF A SHAFT TONGUE JOINT Bakalárska práca Študijný program: Študijný obor: B4 TEORETICKÝ ZÁKLAD STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ 01R000 Studijní program je bezoborový Vedúcí práce: Ing. Karel Vítek, CSc. Ján Dubiš Praha 015
2
3
4 Čestné prehlásenie Týmto prehlasujem, že som túto bakalársku prácu vypracoval samostatne, s využitím uvedenej literatúry a konzultácií, pod vedením pána Ing. Karla Vítka CSc. V Prahe dňa: Ján Dubiš
5 Poďakovanie Ďakujem môjmu vedúcemu bakalárskej práce Ing. Karlovi Vítkovi a môjmu konzultantovi bakalárskej práce Ing. Jaromírovi Fumferovi za cenné rady a pripomienky pri vypracovaní bakalárskej práce.
6 Anotační list meno autora: Názov BP: Anglický názov: Ján Dubiš Analýza mechanických vlastností perového hriadeľového spoja Analysis of mechanical properties of a shaft tongue joint Rok: 015 Študijní program: Obor štúdia: Ústav: Vedúci BP: Konzultant: B4 Teoretický základ strojního inženýrství 01R000 Studijní program je bezoborový, Ing. Karel Vítek CSc. Ing. Jaromír Fumfera Bibliografické údaje: počet strán 44 počet obrázkov 4 počet tabuliek 0 počet príloh 0 Klúčová slova: krútiaci moment, hrubo stenná nádoba, hriadeľ, náboj Keywords: torque, thick cylinder, shaft, hub Anotácie: Analyzovanie napätia v náboji a hriadeli pri prenose krútiaceho momentu. Porovnanie rôznych typov prevedenia prenosu. Zhodnotenie dosiahnutých výsledkov. Abstract Analyzing mises on the hub and the shaft in the transmission torque. Comparison of different types of transmission. Evalution of the reesults obtained.
7 Obsah 1 Úvod Náplň bakalárskej práce... 8 Hrubo stenné valcové nádoby Účel teórie hrubo stenných nádob Predpoklady pre riešenie hrubo stenných nádob Delenie hrubo stenných nádob Odvodenie základnej diferenciálnej rovnice riešenia napätostí hrubo stenných valcových tlakových nádob Výpočet osového napätia v hrubo stenných nádobách Deformácia plášťa hrubo stenných nádob Dimenzovanie hrubo stenných nádob pevnostné podmienky Otvorená nádoba s vnútorným pretlakom (p1 > p) zatvorená nádoba s vnútorným pretlakom (p1 > p) Otvorená nádoba s vonkajším pretlakom (p > p1) zatvorená nádoba s vonkajším pretlakom (p > p1) Zvláštne prípady hrubo stenných nádob Nádoba bez otvoru ( r1=0, p1=0 ) Nádoba s malým otvorom ( r1 0, p1=0 ) Nalisované hrubostenné nádoby Určenie presahu r u dvojvrstvovej nalisovanej nádoby... 1 Prenos krútiaceho momentu z náboja na hriadeľ....1 Prenos krútiaceho momentu pomocou trenia.... Prenos Krútiaceho momentu pomocou pera Obyčajné pero Pero s drážkou Pero so zrazenými hranami Záver Použitá litelatúra Zoznam použitých označení Zoznam obrázkov... 44
8 1 Úvod 1.1 Náplň bakalárskej práce Bakalárska práca sa zaoberá spôsobom prenosu krútiaceho momentu z hriadeľa na náboj. Porovnáva metódu nalisovania s metódou prenosu krútiaceho momentu cez pero a analyzuje namáhanie súčastí hriadeľového spoja pri rôznych prevedeniach prenosu. Hrubo stenné valcové nádoby.1 Účel teórie hrubo stenných nádob Pochopiť teóriu hrubo stenných nádob je dôležité pri analyzovaní namáhania hriadeľa a náboja, ktoré vzniká pri ich vzájomnom nalisovaniu za účelom prenosu krútiaceho momentu pomocou trenia.. Predpoklady pre riešenie hrubo stenných nádob. a.)platí Hookeov zákon všetky uvažované deformácie sú vratné. b.)napätia nesmú prekročiť medzu úmernosti σu, resp. medzu sklzu σk. c.)všetko platí v dostatočnej vzdialenosti od imperfekcií.. Delenie hrubo stenných nádob Otvorené -sú to nádoby pri ktorých nevzniká osové napätie σ o v plášti. tlakový priestor nádoby je uzavretý iným telesom ktoré s nádobou nie je pevne spojené. Uzavreté- sú nádoby pri ktorých vzniká osové napätie σ o v plášti dôsledkom rozdielu vnútorného tlaku p 1 a vonkajšieho tlaku p,respektíve vnútorného pretlaku p = p 1 p. Dno alebo veko je pevnou súčasťou nádoby. Obr. 1 Nádoba otvorená Obr. Nádoba zatvorená 8
9 .4 Odvodenie základnej diferenciálnej rovnice riešenia napätostí hrubo stenných valcových tlakových nádob Na začiatok sa pri odvodení budeme zaoberať hrubo stennou nádobou otvorenou. Zo steny valcovej nádoby vyberieme element dĺžky b, o vnútornom polomere x, pod uhlom dφ a hrúbke dx, ktorý je zobrazený na obr.. Pri otvorenej nádobe je osové napätie σ o = 0, preto na element pôsobí len rovinná napätosť kde je tangenciálne napätie σ t (x) a radiálne napätie sa mení z σ r (x) na σ r + dσ r. Obr. Zložky napätia pôsobiace na element Aby vyňatý element ostal v rovnováhe, musí sa výslednica síl pôsobiacich na element rovnať nule. Obr. 4 Rovnováha elementu Za týchto predpokladov zostavíme silovú rovnicu elementu podľa obr. 4. df t. dφ = df r (1) Sily df t a df r vyjadríme z obr.. Výsledná elementárna tangenciálna sila je df t = σ t (x). b. dx. () Výsledná elementárna radiálna sila je 9
10 F r = [(σ r (x) + dσ r ). b. (x + dx)dφ] [σ r (x). b. x. dφ] = σ r (x). dx. dφ. b + dσ r. x. dφ. b + dσ r. dx. dφ. b = (σ r (x). dx + dσ r. x + dσ r. dx ). dφ. b. () Dvojitú deriváciu môžeme považovať za rovnú nule a preto dσ r. dx = 0. Z toho vyplýva, že df r = (σ r (x). dx + dσ r. x ). dφ. b = [d(σ r (x). x)]. dφ. b. (4) Po dosadení () a (4) do rovnice (1) za predpokladu, že dφ 0 a b 0 dostávame výslednú rovnicu : d(σ r (x). x) σ t (x)dx = 0. (5) Táto diferenciálna rovnica má dve neznáme.úloha je staticky neurčitá a preto treba doplniť deformačnú podmienku. Deformačnú podmienku určíme z deformácie vyňatého elementu pred a po deformácií z obr. 5. Obr. 5 Deformácie elementu ε r (x) = dx dx = dx + [u(x) + du] [(u(x) + d(x)] dx ε t (x) = do do = u(x). dφ x. dφ = u(x) x = du dx = u (x) (6) Vzťahy (6) a (7) dosadíme do rozšíreného Hookeovho zákona, aby sme vyjadrili tangenciálne napätie σ t (x) a radiálne napätie σ r (x). 10 (7)
11 A z toho: σ t (x) = σ r (x) = E 1 μ. [ε t(x) + μ. ε r (x)] = E 1 μ. [u(x) x + μ. u (x)] (8) E 1 μ. [ε r(x) + μ. ε t (x)] = E u(x). [u (x) + μ. 1 μ x ] (9) E u(x) d[σ r (x). x] = d {. [u (x) + μ. 1 μ x ]. x} = E. [u (x). dx. x + u (x)dx + μ. u (x)dx]. 1 μ (10) Členy (8) a (10) dosadíme do rovnice (5) z čoho dostávame: A pokiaľ sa vzťah: E u(x) [u (x). dx. x + u (x)dx + μ. u (x)dx dx μ. u (x)dx] = 0 1 μ x E 1 μ (11) E u(x) [u (x). dx. x + u (x)dx 1 μ x dx] = 0. 0 a diferenciál dx je nekonečne malý ale nenulový tak dostávame u (x). x + u (x) u(x) x = 0. (1) Získali sme diferenciálnu rovnicu druhého rádu s jednou neznámou u(x). Riešenie tejto rovnice je vždy v tvare u(x) = x n. Diferenciálne riešenie rovnice je: u (x) = n. x n 1 (1) u (x) = n. (n 1). x n. (14) (1) a (14) dosadíme do diferenciálnej rovnice (1) a dostávame: n. (n 1). x n. x + n. x n 1 u(x) x = 0 x n 1 [n. (n 1) + n 1)] = 0. (15) Za predpokladu že x n 1 0 musí platiť: n 1 = 0. (16) Z rovnice vyplýva že n = ±1 a jednotlivé riešenia sústavy sú x 1 a x 1. Výsledná hľadaná funkcia u(x) je lineárnou kombináciou týchto dvoch riešení. 11
12 u(x) = C 1. x + C x (17) Rovnicu (15) teraz upravíme pre dosadenie. u (x) = C 1 C x (18) u(x) x = C 1 + C x (19) (18) a (19) dosadíme do rovníc rozšíreného Hookeovho zákona (8),(9). σ t (x) = σ r (x) = E 1 μ. [u(x) E + μ. u (x)] = x 1 μ. [C 1. + C x + μ. C 1. μ. C (0) x ] E u(x). [u (x) + μ. 1 μ x ] = E 1 μ. [C 1. C x + μ. C 1. +μ. C (1) x ] Pre rovnaké vyskytujúce sa členy v oboch rovniciach zavádzame konštanty K a C. K = C = E 1 μ. (C 1 + μ. C 1 ) = E. C 1 1 μ E 1 μ. (C μ. C ) = E. C 1 + μ () () Výsledné tangenciálne σ t (x) a radiálne σ r (x) napätie zapíšeme v tvare : σ t (x) = K + C x (4) σ r (x) = K C x. (5) Čo sú rovnice polytrop, ktoré vyjadrujú napätia ako funkcie súradnice x. Konštanty K a C určíme z okrajových podmienok, ktoré nádoba musí splňovať na vnútornom polomere (x = r 1 ) a vonkajšom polomere (x = r ) podľa obr. 6. 1
13 σ r (r 1 ) = p 1 = K C r 1 (6) σ r (r ) = p = K C r (7) Potom konštanty K a C budú: Obr. 6 Rovnováha elementu K = p 1. r 1 p. r r r 1 (8) C = (p 1 p ) r 1. r r r. (9) 1 Rozmery týchto konštánt sú K[MPa] a C[N]. Priebeh tangenciálneho σ t (x) a radiálneho σ r (x) napätia je zobrazený na obr.7. Obr. 7 Rozloženie tečného a radiálneho napätia v stenách nádoby 1
14 .5 Výpočet osového napätia v hrubo stenných nádobách Tlaky p 1 a p pôsobia nie len na steny nádoby, ale aj na dno, čím vytvárajú osové napätie σ o v plášti nádoby, pri ktorom predpokladáme, že pôsobí konštantne po celej hrúbke steny. Pôsobenie tlakových síl na nádobu je zobrazené na obr. 8. Obr. 8 Pôsobenie tlakových síl na nádobu Silová rovnica rovnováhy do smeru osy nádoby je : F o F 1 + F = 0. (0) V rovnici za jednotlivé členy dosadíme : F o = σ o. A t, F 1 = p 1. A 1, F = p. A, A t =π. (r r 1 ), A 1 = π. r 1, A = π. r. Z čoho dostávame σ o. π. (r r 1 ) p 1. π. r 1 + p. π. r = 0 σ o = p 1. r 1 p. r r r 1. (1).6 Deformácia plášťa hrubo stenných nádob U hrubo stenných nádob vzniká obecná priestorová alebo rovinná napätosť, preto k výpočtu deformácií (k výpočtu zmeny polomerov r 1 a r, viz. Obr. 9), použijeme rozšírený Hookeov zákon. ε t (x) = 1 E. {σ t(x) μ. [σ r (x) + σ o (x)]} () Obr. 9 Radiálna deformácia nádoby Pretože u(x) je posunutie obecného miesta popísaného súradnicov x v smere tejto súradnice, musí platiť : 14
15 ε t (r 1 ) = r 1 r 1, ε t (r ) = r r r 1 = ε t (r 1 ). r 1, r = ε t (r ). r. Dosadenie do Hookovho zákona pre polomer r 1 je A obdobne pre polomer r je r 1 = r 1 E. {σ t(r 1 ) μ. [σ r (r 1 ) + σ o (r 1 )]}. r = r E. {σ t(r ) μ. [σ r (r ) + σ o (r )]}. Zmenu dĺžky l tiež počítame z Hookeovho zákona l = l E. {σ o μ. [σ t (x) + σ r (x)]}. () (4) (5).7 Dimenzovanie hrubo stenných nádob pevnostné podmienky Hrubo stenné nádoby z húževnatého materiálu dimenzujeme podľa teórie Trescovi, τ MAX. Z rovníc napätí vyplýva, že vždy najväčšie napätie je na vnútornom polomere nádoby. Máme 4 rôzne prípady namáhania hrubo stenných nádob a to sú : -otvorená nádoba s vnútorným pretlakom, -zatvorená nádoba s vnútorným pretlakom, -otvorená nádoba s vonkajším pretlakom, -zatvorená nádoba s vonkajším pretlakom..7.1 Otvorená nádoba s vnútorným pretlakom (p 1 > p ) Pre otvorenú nádobu s vnútorným pretlakom podľa obr.10 platí: σ D > σ red = σ t (r 1 ) σ r (r 1 ). Po dosadení σ r (r 1 ) = p 1 a σ t (r 1 ) =. K + p 1 dostávame výslednú rovnicu pre dimenzovanie otvorenej nádoby s pretlakom: (p 1 p ) < σ D [1 (r 1 ) ]. (6) r 15
16 Obr. 10 Priebeh napätia v otvorenej nádobe s vnútorným pretlakom.7. zatvorená nádoba s vnútorným pretlakom (p 1 > p ) Obr. 11 Priebeh napätia v zatvorenej nádobe s vnútorným pretlakom Pre zatvorenú nádobu s vnútorným pretlakom podľa obr.11 platí: 16
17 σ D > σ red = σ t (r 1 ) σ r (r 1 ). Po dosadení σ r (r 1 ) = p 1 a σ t (r 1 ) =. K + p 1 dostávame výslednú rovnicu pre dimenzovanie zatvorenej nádoby s pretlakom: (p 1 p ) < σ D [1 (r 1 ) ]. (7) r.7. Otvorená nádoba s vonkajším pretlakom (p > p 1 ) Obr. 1 Priebeh napätia v otvorenej nádobe s vonkajším pretlakom Pre otvorenú nádobu s vonkajším pretlakom podľa obr.1 platí: σ D > σ red = σ t (r 1 ). Po dosadení σ t (r 1 ) = K + p 1 = p 1. r 1 p. r r + p r 1 1 dostávame výslednú rovnicu pre dimenzovanie otvorenej nádoby s vonkajším pretlakom: 17
18 ( p 1. r 1 p. r r r 1 + p 1 ) < σ D. (8).7.4 zatvorená nádoba s vonkajším pretlakom (p > p 1 ) Obr. 1 Priebeh napätia v zatvorenej nádobe s vonkajším pretlakom Pre zatvorenú nádobu s vonkajším pretlakom podľa obr.1 platí σ D > σ red = σ r (r 1 ) σ t (r 1 ). Po dosadení σ r (r 1 ) = p 1 a σ t (r 1 ) = (K + p 1 ) dostávame výslednú rovnicu pre dimenzovanie zatvorenej nádoby s vonkajším pretlakom : (p p 1 ) < σ D [1 (r 1 ) ]. r (9) 18
19 .8 Zvláštne prípady hrubo stenných nádob.8.1 Nádoba bez otvoru ( r1=0, p1=0 ) S týmto prípadom namáhania sa môžeme v praxi stretnúť pri hriadeľoch, na ktoré lisujeme náboj. Priebeh napätia v danom prípade bude ako je zobrazený na obr.14. Obr. 14 Nádoba bez otvoru Pre tlaky v nádobe platia vzťahy (4), (5). K = p 1. r 1 p. r r = p. r (40) r 1 r C = (p 1 p ) r 1. r r r = 0. (41) 1 Po dosadení dostávame výsledné napätie pre nádobu bez otvoru. σ t (x) = p (4) σ r (x) = p (4) Vidíme že napätia σ t (x) a σ r (x) sú si rovné a zároveň sa rovnajú mínusovej hodnote tlaku p. Redukované napätie v nádobe bez otvoru je σ red = p. (44) 19
20 .8.1 Nádoba s malým otvorom ( r1 0, p1=0 ) V praxi sa s týmto prípadom môžeme stretnúť pri hriadeľoch s malým otvorom v ich ose, keď vnútorný polomer bude oproti polomeru vonkajšiemu zanedbateľný. Priebeh napätia v danom prípade je zobrazený na obr.15 Obr. 15 Priebeh napätia v nádobe s malým otvorom Pre tlaky v nádobe platia vzťahy(4), (5) kde: K = p 1. r 1 p. r r = p. r r 1 r (45) C = (p 1 p ) r 1. r r r = p r 1. r = p 1 r. r 1. (46) Tlaky v nádobe musíme posudzovať z pohľadu súradnice x. x r 1 x > r 1 C x = p. r 1 = p r σ t (x) =. p (47) 1 σ r (x) = 0 (48) C x = p. r 1 x 0 σ t (x) = p (49) σ r (x) = p (50) Z rovníc vychádza, že ak je polomer r 1 dostatočne malý, tak potom platí: 0
21 σ red = p. (51).9 Nalisované hrubostenné nádoby Účelom nalisovania je vniesť predpätie do nádoby a tým dosiahnuť zvýšenia dovoleného pretlaku pôsobiaceho na nádobu. Predpätie v nádobe vytvoríme pomocou presahu r na polomeri r. Priebeh výsledného napätia pri nalisovaní dvoch hrubo stenných nádob na seba je zobrazený na obr. 16. Obr. 16 Rozloženie napätia v stenách dvoch na seba nalisovaných nádob.9.1 Určenie presahu r u dvojvrstvovej nalisovanej nádoby Obr. 17 Presah pri nalisovaní dvoch nádob na seba Pri riešení presahu r uvažujeme, že sú nádoby vyrobene z rovnakého materiálu (E I = E II ), osové napätie nádob je nulové (σ O I = σ O II = 0), deformácie sú malé a r I r II r. 1
22 Hľadaný presah vyjadrime z obr.17 a rovnicu vydelíme r. r = r II r I II I r = r r = ε II r r r t (r ) ε I t (r ) (5) Tangenciálne deformácie vyjadríme pomocou rozšíreného Hookeovho zákona(6), (7). ε t I (r ) = 1 E [σ t I (r ) μ. σ r I (r )] = 1 E [σ t I (r ) μ. p ] (5) ε t II (r ) = 1 E [σ t II (r ) μ. σ r II (r )] = 1 E [σ t II (r ) μ. p ] (54) Rozdiel tečných deformácií je ε t II (r ) ε t I (r ) = 1 E {[σ t II (r ) μ. p ] [σ t I (r ) μ. p ]} = 1 E [σ t II (r ) σ t I (r )]. (55) Po dosadení σ t I (r ) =. K I + p a σ t II (r ) =. K II + p do vzťahov, dostávame ε t I (r ) ε t I (r ) = E [KII K I ]. (56) Teraz vyjadríme r a dostávame výsledný vzťah pre presah nalisovaných nádob. r = r E [σ t II (r ) σ t I (r )] = r E [KII K I ] (57) Prenos krútiaceho momentu z náboja na hriadeľ Ako sme už na začiatku práce spomínali, budeme sa zaoberať dvomi spôsobmi prenosu krútiaceho momentu z náboja na hriadeľ. Prvý spôsob bude pomocou trenia a druhý pomocou pera voľne uloženého v drážke. Na základe teórie hrubo stenných nádob a našej predstavy rozloženia tlaku v drážke pre pero porovnáme maximálne napätia vzniknuté v náboji a hriadeli a tým vyhodnotíme, ktoré riešenie je pre nás výhodnejšie.
23 .1 Prenos krútiaceho momentu pomocou trenia Aby sme zabezpečili prenos krútiaceho momentu, musíme v mieste styku vytvoriť dostatočný tlak, ktorý vzniká pri nalisovaní náboja na hriadeľ s určitým vzájomným presahom. Krútiaci moment, ktorý je schopný nalisovaný spoj preniesť vyjadríme : M k = F T. r. (58) r je polomer hriadeľu. Tangenciálna sila sa rovná F T = f. S. p. (59) f je súčinitel trenia medzi nábojom a hriadeľom, S je plocha na ktorej dochádza ku kontaktu a tlak p, je tlak, ktorý vznikne nalisovaním náboja na hriadeľ v mieste ich dotyku. Po dosadení dostávame vzťah, z ktorého si vyjadríme tlak p. M k = f. S. p. r = f. p. π. r. l M k p = f. π. r. l (60) Obr. 18 Nalisovaný spoj náboj na hriadeľ Rozmery pre náš prípad, ktorý je zobrazený na obr.18 som si zvolil M k = 4590 N. mm, l = 100mm, r = 0 mm, r 1 = 0mm, r = 40mm, f = 0,14. M k p = f. π. r. l = ,14.π. 0 = 0,1Mpa (61). 100 Keď už máme určený tlak p, môžeme pomocou teórie hrubo stenných nádob vypočítať maximálne napätie v hriadeli a v náboji. Nie je potrebné určovať presah nádob, pretože tlak p je tlak práve týmto presahom spôsobený. Ako prvé spočítame
24 redukované napätie v hriadeli. To spočítame podľa rovnice pre redukované napätie v nádobe bez otvoru (4). σ red H = p = 0,1 N. mm (6) Teraz pomocou rovnice pre nádobu otvorenú s vnútorným pretlakom (6) spočítame redukované napätie v náboji, kde p je tlak atmosférický, ktorý je podstatne menší ako tlaky, ktorými sa zaoberáme a preto ho zanedbávame. Teraz si môžeme vyjadriť σ red N v náboji: (p p ) = σ red [1 (r ) ] r σ red N =. p [1 ( r 1 r ) ] =.0,1 [1 ( 0 40 ) ] = 0,5N. mm. (6) Napätia σ red H a σ red N,ktoré sme vypočítali, sú napätia, ktoré vznikli v dôsledku nalisovania náboja na hriadeľ. Nemôžeme zabudnúť, že účelom nalisovania je prenos točivého momentu, ktorý napätia v hriadeli aj v náboji ešte určite zväčší.. Prenos Krútiaceho momentu pomocou pera Obr. 19 Polovičný pohlad na spoj hriadeľ, pero a náboj Pri prenose krútiaceho momentu pomocou pera sa nebudeme zaoberať analýzou napätia v pere, ale budeme skúmať redukované napätie v náboji a hriadeli na základe náhradných modelov simulácií, pri použití našej teórie rozloženia tlaku na stene drážky, ku ktorému dôjde po zaťažení náboja krútiacim momentom. Uvažujeme, že pri prenose krútiaceho momentu z hriadeľa na náboj dochádza k natočeniu pera, ktoré spôsobuje nerovnomerné zaťaženie drážky ako na hriadeli, tak aj na náboji. Predpokladáme, že tuhosť drážky sa po celej jej výške výrazne nemení a pero je 4
25 dokonale tuhé. Rozloženie tlaku na drážke by v takomto prípade mohlo byť lineárne. Pri našej analýze sa budeme tiež zaoberať úpravami pera za účelom zníženia namáhania hriadeľa a náboja. Pomocou jednoduchých úprav pera je možné zmeniť rozloženie tlaku na drážke a tým aj rozloženie napätia v danom telese. Budeme sa snažiť o zmenšenie maximálneho redukovaného napätia v telese a tým zvýšiť jeho schopnosť prenosu krútiaceho momentu. Spojenie hriadeľa a náboja pomocou pera je zobrazené na obr Obyčajné pero Prvý prípad,ktorým sa budeme zaoberať je obyčajné pero bez akýchkoľvek úprav, viz. obr. 0. Pero sa opiera celou plochou strán o drážku hriadeľa a náboja. Obr. 0 Pero bez úprav Pri analýze hriadeľa budeme postupovať nasledovne: Obr. 1 Rozloženie tlaku na drážke hriadeľa po kontakte s obyčajným perom Na obr.1 vidíme našu predstavu rozloženia tlaku na drážke hriadeľa po kontakte s perom. Ak je dĺžka pera l=100mm, priemer hriadeľa d=40mm, Výška drážky, na 5
26 ktorej dochádza ku kontaktu pera s hriadeľom H=,58 mm, vzdialenosť pera od stredu hriadeľa R = 16,5mm a vzdialenosť b=0,6mm, nám určuje približnú vzdialenosť výslednice síl na spolu zaberajúcom náboji, tak potom maximálny tlak p max1 a p max pri danom krútiacom momente M k = 4590N/mm na hriadeli vypočítame (vzdialenosť b sme dostali jednoduchou úvahou, že výslednica síl sa bude nachádzať približne v strede plochy dotyku spolu zaberajúceho telesa s perom. Vzdialenosť b, dostaneme v každom prípade z rovnakej úvahy): M k = F. b F = M k b F = ,6 =,8N (64) F. (b R) = l. 0 H ( p max1 H = l. p max1 H. x 1). x 1 dx 1 = l. p max1 H. [x 1 ] 0. H H (65) p max1 =. F. (b R).,8. (0,6 16,5) l. H = 100.,58 = 4,11 N. mm F. (b R H) = l. = l. p max1 H 0 H. H ( p max H. x ). x dx = l. p max H. [x ] 0. F. (b R H).,8. (0,6 16,5,58) p max = l. H = 100.,58 = 1,5 N. mm. H (66) Z obrázka 1. môžeme vyčítať, že ľavá strana drážky je zaťažená tlakom p 1 = f (x1) = p max1. x H 1 a pravá strana tlakom p = f (x) = p max. x H. Tlaky p 1 a p spoločne vytvoria Napätie v hriadeli ako je zobrazené na obr.. Môžeme vidieť že najväčšie napätie vzniká na povrchu telesa a práve preto má zmysel analyzovať len body, ktoré sa na povrchu nachádzajú. Hodnoty napätia pozdĺž celej dĺžky krivky l, ktorá je zobrazená na obrázku červenou, sú zobrazené v grafe. 6
27 σ[n.mm - ] ČVUT v Praze Obr. Rozloženie napätia v drážke hriadeľa po kontakte s perom bez úprav Rozloženie napätia v hriadeli pozdĺž krivky "l" pri použití pera bez úprav l [mm] Podľa grafu môžeme vidieť, že najviac zaťažené miesto hriadeľa je v ľavom dolnom rohu drážky, kde napätie dosahuje σ max = σ LD = 7,0 N. mm. V Ľavom hornom rohu dosahuje napätie σ LH = 5, N. mm, v pravom dolnom σ PD =,7N. mm a v pravom hornom σ PH = 0,11N. mm. 7
28 Teraz nám ešte ostáva analyzovať zaťaženie náboja : Obr. Rozloženie tlaku na drážke náboja po kontakte s obyčajným perom Na obr. vidíme našu predstavu rozloženia tlaku na drážke náboja po kontakte s perom. Ak je Dĺžka náboja l=100mm, vnútorný priemer náboja d=40mm, výška drážky, na ktorej dochádza ku kontaktu pera s nábojom H=,04 mm, vzdialenosť kde pero dochádza ku kontaktu s nábojom a stredu náboja R=19,08mm, vzdialenosť konca pera od stredu náboja C=,1 a vzdialenosť b=17,79mm, nám určuje približnú vzdialenosť výslednice síl na spolu zaberajúcom hriadeli, tak potom maximálny tlak p max1 a p max pri danom krútiacom momente M k = 4590N/mm na náboji vypočítame: (5)M k = F. b F = M k b F = ,79 = 58,01N (67) F. (C b) = l. 0 H ( p max1 H = l. p max1 H. H. x 1). x 1 dx 1 = l. p max1 H. [x 1 ] 0 H (68) p max1 =. F. (C b). 58,01. (,1 17,79) l. H = 100.,04 =,6 N. mm 8
29 σ[n.mm - ] ČVUT v Praze F. (R b) = l. 0 H ( p max H = l. p max1 H. H. x ). x dx = l. p max H. [x ] 0 H (69) p max =. F. (R b). 58,01. (19,08 17,79) l. H = 100.,04 = 1,08 N. mm. Pravá strana drážky je zaťažená tlakom p 1 = f (x1) = p max1. x H 1 a ľavá strana tlakom. x. Tlaky p 1 a p spoločne vytvoria Napätie v náboji ako je p = f (x) = p max H zobrazené na obr. 4. Môžeme vidieť, že najväčšie napätie vzniká opäť na povrchu telesa. Hodnoty napätia pozdĺž krivky l,ktorá je na obrázku zvýraznená červenou, sú zobrazené v grafe..,5,5 1,5 1 0,5 Obr. 4 Rozloženie napätia v drážke náboja po kontakte s perom bez úprav Rozloženie napätia v náboji pozdĺž krivky "l" pri použití pera bez úprav l [mm] 9
30 Na grafe môžeme vidieť, že najviac zaťažené miesto náboja je v pravom dolnom rohu drážky, kde napätie dosahuje σ max = σ PD =,88N. mm. V pravom hornom rohu dosahuje napätie taktiež pomerne vysokých hodnôt σ PH =,41 N. mm, v ľavom dolnom dosahuje napätie σ LD = 0,07N. mm a v ľavom hornom σ LH = 1,11N. mm... Pero s drážkou Vytvorením drážky na pere v mieste kontaktu medzi nábojom a hriadeľom obmedzíme kontakt pera s nábojom a hriadeľom, viz obr. 5. Obr. 5 Pero s drážkou Na obr.6 vidíme našu predstavu rozloženia tlaku na drážke hriadeľa po kontakte s perom s drážkou. Stanovili sme si, že po úprave pera, výška drážky, ktorá je v kontakte s perom, je /4H. Za rovnakých predpokladov ako v predošlom prípade, rozloženie tlaku po úprave pera na drážke hriadeľa bude vyzerať takto: Obr. 6 Rozloženie tlaku na drážke hriadeľa spôsobené kontaktom s perom s drážkou Dĺžka hriadeľa l=100mm,priemer hriadeľa d=40mm, Výška drážky H=,58 mm, vzdialenosť pera od stredu hriadeľa R = 16,5mm a vzdialenosť b=0,98mm, nám určuje približnú vzdialenosť výslednice síl na spolu zaberajúcom náboji, tak potom 0
31 maximálny tlak p max1 a p max pri danom krútiacom momente M k = 4590N/mm na hriadeli vypočítame: M k = F. b F = M k b F = ,98 = 18,78N (70) 4 H F. (b R) = l. ( p max1 p max1 x 1. x 1 ). x 1 dx 1 = l.. [ 4 H 4 H ] 4 H 0 0 = l. p ( max1. 4 H) 4 H (71) p max1 = 16. F. (b R) 16.18,78. (0,98 16,5). l. H =.100.,58 = 7,85 N. mm F. (b R H) = l. 4 (p 4 H 0 = l. p ( max. 4 H) 4 H p max = 16. F. (b R 4 H). l. H max p max x. x ). x dx = l.. [ 4 H 4 H ] 4 H 0 = 16.18,78. (0,98 16,5 4.,58).100.,58 (7) = 4,46 N. mm. Ľavá strana drážky je zaťažená tlakom p 1 = f (x1) = p max1. x H 1 a pravá strana tlakom p = f (x) = p max. x H. Na obr. 7 môžeme vidieť napätie v telese po úprave pera. Hodnoty pozdĺž krivky l, ktorá je zvýraznená červenou, sme zaznamenali do grafu. 1
32 σ[n.mm - ] ČVUT v Praze Obr. 7 Rozloženie napätia v drážke hriadeľa po kontakte s perom s drážkou. 1 Rozloženie napätia v hriadeli pozdĺž krivky "l" pri použití pera s drážkou l [mm] Podľa grafu môžeme vidieť, že napätia v horných rohoch σ PH a σ LH sú zanedbatelné. Najviac zaťažené miesto hriadeľa je opäť v ľavom dolnom rohu kde napätie dosahuje σ max = σ LD = 9,6 N. mm. V pravom dolnom rohu dosahuje napätie σ PD = 4,87N. mm. Podľa výsledkov môžeme povedať, že sa nám podarilo zredukovať napätie σ LH avšak napätie σ LD sa nám ešte zväčšilo a tým môžeme toto riešenie považovať za nevhodné. Teraz môžeme prejsť k analýze náboja: Na obr.8 vidíme našu predstavu rozloženia tlaku na drážke náboja po kontakte s perom s drážkou. Stanovili sme si, že po úprave pera, výška drážky, ktorá je v kontakte s perom, je /4H.
33 Obr. 8 Rozloženie tlaku na drážke náboja spôsobené kontaktom s perom s drážkou Ak je Dĺžka náboja l=100mm, vnútorný priemer náboja d=40mm, výška drážky H=,04 mm, vzdialenosť kde pero dochádza ku kontaktu s nábojom a stredu náboja R = 19,84 mm, vzdialenosť konca pera od stredu náboja C=,1 mm a vzdialenosť b=17,47mm, nám určuje približnú vzdialenosť výslednice síl na spolu zaberajúcom hriadeli, tak potom maximálny tlak p max1 a p max pri danom krútiacom momente M k = 4590N/mm na náboji vypočítame: M k = F. b F = M k b F = ,47 = 6,74N (7) F. (C b) = l. 4 H 0 ( p max1 p max1. x 1 ). x 1 dx 1 = l. 4 H H. [x 1 ] 0 4 H = l. p ( max1. 4 H) 4 H 16. F. (C b) 16.6,74. (,1 17,47) p max1 = =. l. H.100.,04 = 7,05 N. mm (74) F. (R b) = l. 4 H 0 ( p max p max. x ). x dx = l. 4 H H. [x ] 0 4 H = l. p ( max. 4 H) 4 H (75)
34 σ[n.mm - ] ČVUT v Praze p max = 16. F. (R b) 16.6,74. (19,84 17,47). l. H =.100.,04 =,59 N. mm. (75) Pravá strana drážky je zaťažená tlakom p 1 = f (x1) = p max1. x H 1 a ľavá strana tlakom p = f (x) = p max. x H. Tlaky p 1 a p spoločne vytvoria Napätie v náboji ako je zobrazené na obr. 9. Môžeme vidieť že najväčšie napätie vzniká na povrchu telesa. Hodnoty napätia pozdĺž krivky l, ktorá je na obrázku zvýraznená červenou, sú zobrazené v grafe. Obr. 9 Rozloženie napätia v drážke náboja po kontakte s perom s drážkou 4,5 Rozloženie napätia v náboji pozdĺž krivky "l" pri použití pera s drážkou,5 1,5 1 0, l [mm] Podľa grafu môžeme vidieť, že najviac zaťažené miesto už nie je pravý dolný, ale pravý horný roh kde napätie dosahuje σ max = σ PH =,6 N. mm. Ďalšie pre nás významné 4
35 zhromaždisko napätia vzniklo na pravej stene drážky kde napätie dosahuje hodnotu σ SP =,9 N. mm a v ľavom hornom rohu kde je napätie σ LH =,79N. mm. Napätie v ľavom dolnom rohu σ LD je zanedbateľné. Ako môžeme vidieť na výsledkoch, maximálne napätie nám v náboji ešte stúplo a týmto toto riešenie môžeme považovať za nevhodné... Pero so zrazenými hranami V predošlých prípadoch sme mohli vidieť, že napätie sa koncentruje vo vnútorných hranách nami analyzovaných elementov. Skúsime tomu zamedziť zrazením hrán pera. Obr. 0 Pero so zrazenými hranami Stanovili sme si, že po úprave pera výška drážky, ktorá je v kontakte s perom je /4H. Po úprave pera bude tlak na drážke hriadeľa vyzerať takto: Obr. 1 Rozloženie tlaku na drážke hriadeľa spôsobené kontaktom s perom so zrazenými hranami Našu predstavu rozloženia tlaku na drážke hriadeľa po kontakte s perom so zrazenými hranami vidíme na obr. 1. Dĺžka hriadeľa l=100mm,priemer hriadeľa d=40mm, Výška drážky H=,58 mm, vzdialenosť pera od stredu hriadeľa R = 17,15mm a vzdialenosť 5
36 b=0,mm, nám určuje približne vzdialenosť výslednice síl na spolu zaberajúcom náboji, tak potom maximálny tlak p max1 a p max pri danom krútiacom momente Mk= 4590N/mm na hriadeli vypočítame : M k = F. b F = M k b F = , = 7,00N (76) 4 H F. (b R) = l. ( p max1 p max1 x 1. x 1 ). x 1 dx 1 = l.. [ 4 H 4 H ] 4 H 0 0 = l. p ( max1. 4 H) 4 H (77) p max1 = 16. F. (b R) (0, 17,15). l. H =.100.,58 = 5,58 N. mm F. (b R H) = l. 4 (p 4 H 0 = l. p ( max. 4 H) 4 H max p max x. x ). x dx = l.. [ 4 H 4 H ] 4 H 0 (78) p max = 16. F. (b R 4 H) (0, 17,15. l. H = 4.,58).100.,58 =,06 N. mm. Ľavá strana drážky je zaťažená tlakom p 1 = f (x1) = p max1. x H 1 a pravá strana tlakom p = f (x) = p max. x H. Na obr.. môžeme vidieť napätie v telese po úprave pera. Hodnoty pozdĺž krivky l, ktorá je zvýraznená červenou, sme zaznamenali do grafu. 6
37 σ[n.mm ] ČVUT v Praze Obr. Rozloženie napätia v drážke hriadeľa po kontakte s perom so zrazenými hranami Rozloženie napätia v hriadeli pozdĺž krivky "l" pri použití pera so zrazenými hranami l [mm] Podľa grafu môžeme vidieť, že najviac zaťažené miesto hriadeľa je opäť v ľavom dolnom rohu kde napätie dosahuje σ max = σ LD = 8, N. mm. V pravom dolnom rohu dosahuje napätie σ PD =,61N. mm. V ľavom hornom rohu dosahuje napätie σ LH = 7,5 N. mm a v pravom hornom σ PH = 0,1N. mm. Maximálna hodnota napätia je opäť vyššia ako pri pere bez úprav, preto aj túto variantu považujeme za nevhodnú. Teraz môžeme prejsť k analýze náboja : Stanovili sme si, že po úprave pera výška drážky, ktorá je v kontakte s perom je /4H. Podľa obrázka obr. bude po úprave pera tlak na drážke náboja vyzerať takto: 7
38 Obr. Rozloženie tlaku na drážke náboja spôsobené kontaktom s perom so zrazenými hranami Ak je dĺžka náboja l=100mm, vnútorný priemer náboja d=40mm, výška drážky H=,04 mm, vzdialenosť kde pero prichádza ku kontaktu s nábojom a stredu náboja R = 19,08 mm, vzdialenosť konca pera od stredu náboja C= 1,6 mm a vzdialenosť b=18,11mm, nám určuje približne vzdialenosť výslednice síl na spolu zaberajúcom hriadeli, tak potom maximálny tlak p max1 a p max pri danom krútiacom momente M k = 4590N/mm na náboji vypočítame : (66) M k = F. b F = M k b F = ,11 = 5,45N (79) 4 H (67) F. (C b) = l. ( p max1. x 1 ). x 1 dx 1 = l. 0 4 H = l. p ( max1. 4 H) 4 H p max1 4 H H. [x 1 ] 0 (80) p max1 = 16. F. (C b). l. H = = 4,75 N. mm 16.5,45. (1,6 18,11).100.,04 8
39 4 H (68) F. (R b) = l. ( p max. x ). x dx = l. 0 4 H = l. p ( max. 4 H) 4 H p max 4 H H. [x ] 0 (81) p max = 16. F. (R b) 16.5,45. (19,08 18,11). l. H =.100.,04 = 1,4 N. mm. Pravá strana drážky je zaťažená tlakom p 1 = f (x1) = p max1. x H 1 a ľavá strana tlakom. x. Tlaky p 1 a p spoločne vytvoria Napätie v náboji ako je p = f (x) = p max H zobrazené na obr.4. Môžeme vidieť že najväčšie napätie vzniká opäť povrchu na telesa. Hodnoty napätia pozdĺž krivky l, ktorá je zvýraznená červenou sú zobrazené v grafe. Na grafe vidíme, že najviac zaťažené miesto je pravý dolný roh kde napätie dosahuje σ max = σ PD =,7 N. mm. v Pravom hornom rohu dosahuje napätie σ PH =,14 N. mm. V ľavom hornom rohu dosahuje napätie σ LH = 0,6 N. mm a v ľavom dolnom rohu dosahuje napätie zanedbateľné hodnoty. Aj v tomto prípade sú hodnoty maximálneho napätia väčšie ako pri použití pera bez úprav. 9
40 σ[n.mm ] ČVUT v Praze Obr. 4 Rozloženie napätia v drážke náboja po kontakte s perom so zrazenými hranami 4,5,5 1,5 1 0,5 Rozloženie napätia v náboji pozdĺž krivky "l" pri použití pera so zrazenými hranami l [mm] 4 Záver Náplňou mojej bakalárskej práce bolo analyzovať rôzne varianty prenosu krútiaceho momentu z náboja na hriadeľ. Pre porovnanie som podľa teórie hrubo stenných nádob ako prvé určil napätie, ktoré vzniká pri nalisovaní náboja na hriadeľ, za účelom preniesť mnou zvolený krútiaci moment trením M k = 4590Nmm. Maximálne redukované napätie, ktoré vznikalo v hriadeli, bolo σ T H = 0,1mm a maximálne redukované napätie, vznikajúce v náboji, bolo σ T N = 0,4N. mm. V ďalších prípadoch som sa zaoberal analýzou napätia v náboji a hriadeli pri prenose rovnako veľkého krútiaceho momentu za využitia náhradného modela hriadeľového spoja, ale tentokrát pomocou 40
41 pera. Vyskúšal som tri rôzne varianty a boli to pero bez úprav, pero s drážkou a pero so zrazenými hranami. Ako najvhodnejšia varianta pre prenos krútiaceho momentu perom sa ukázala prvá, a tou je pero bez úprav, ktorá najvhodnejšie vplývala na rozloženie napätia v hriadeli aj v náboji. Pri prenose krútiaceho momentu bolo v hriadeli maximálne redukované napätie σ H P = 7,0 N. mm a v náboji bolo maximálne redukované napätie σ N P =,88N. mm. Pri porovnávaní napätí vzniknutými prenosom trením a perom nemôžeme zabudnúť, že pri zaťažení náboja krútiacim momentom by sa u prenosu trením maximálne hodnoty napätia mohli ešte podstatne zväčšiť, zatiaľ čo pri prenose perom sme dostali finálne hodnoty zaťaženia súčastí. Výrazne vyššie hodnoty napätia pri prenose krútiaceho momenta perom taktiež ovplyvňuje výška drážky a pri zmene jej veľkosti by sme mohli dosiahnuť priaznivejších výsledkov. 41
42 5 Použitá litelatúra [1] Michalec,J. a kolektiv: Pružnost a pevnost I. skripta ČVUT v Praze, 006 [] Michalec,J. a kolektiv: Pružnost a pevnost II. skripta ČVUT v Praze, 006 [] Řežníček,j. : Pružnost u nás, Stránky podpory výuky pružnosti a pevnosti na FS ČVUT v Praze [online]. Dostupný z WWW: < 4
43 6 Zoznam použitých označení Symbol Jednotka Popis σ u [N mm - ] medza úmernosti σ k [N mm - ] medza sklzu σ t [N mm - ] Napätie tangenciálne σ r [N mm - ] Napätie radiálne σ o [N mm - ] Napätie osové F r [N] Radiálna sila F t [N] Tangenciálna sila ε r [-] pomerné predĺženie radiálne ε t [-] pomerné predĺženie tangenciálne E MPa modul pružnosti v ťahu μ [-] Poissonovo číslo F o [N] Osová sila σ D [N mm - ] Dovolené napätie σ red [N mm - ] Redukované napätie p Mpa Tlak M k N.mm Krútiaci moment F T [N] Sila trecia f [-] Súčiniteľ trenia S [mm - ] Styková plocha F [N] Sila 4
44 7 Zoznam obrázkov Obr. 1 Nádoba otvorená... 8 Obr. Nádoba zatvorená... 8 Obr. Zložky napätia pôsobiace na element... 9 Obr. 4 Rovnováha elementu... 9 Obr. 5 Deformácie elementu Obr. 6 Rovnováha elementu... 1 Obr. 7 Rozloženie tečného a radiálneho napätia v stenách nádoby... 1 Obr. 8 Pôsobenie tlakových síl na nádobu Obr. 9 Radiálna deformácia nádoby Obr. 10 Priebeh napätia v otvorenej nádobe s vnútorným pretlakom Obr. 11 Priebeh napätia v zatvorenej nádobe s vnútorným pretlakom Obr. 1 Priebeh napätia v otvorenej nádobe s vonkajším pretlakom Obr. 1 Priebeh napätia v zatvorenej nádobe s vonkajším pretlakom Obr. 14 Nádoba bez otvoru Obr. 15 Priebeh napätia v nádobe s malým otvorom... 0 Obr. 16 Rozloženie napätia v stenách dvoch na seba nalisovaných nádob... 1 Obr. 17 Presah pri nalisovaní dvoch nádob na seba... 1 Obr. 18 Nalisovaný spoj náboj na hriadeľ... Obr. 19 Polovičný pohlad na spoj hriadeľ, pero a náboj... 4 Obr. 0 Pero bez úprav... 5 Obr. 1 Rozloženie tlaku na drážke hriadeľa po kontakte s obyčajným perom... 5 Obr. Rozloženie napätia v drážke hriadeľa po kontakte s perom bez úprav... 7 Obr. Rozloženie tlaku na drážke náboja po kontakte s obyčajným perom... 8 Obr. 4 Rozloženie napätia v drážke náboja po kontakte s perom bez úprav... 9 Obr. 5 Pero s drážkou... 0 Obr. 6 Rozloženie tlaku na drážke hriadeľa spôsobené kontaktom s perom s drážkou... 0 Obr. 7 Rozloženie napätia v drážke hriadeľa po kontakte s perom s drážkou.... Obr. 8 Rozloženie tlaku na drážke náboja spôsobené kontaktom s perom s drážkou... Obr. 9 Rozloženie napätia v drážke náboja po kontakte s perom s drážkou... 4 Obr. 0 Pero so zrazenými hranami... 5 Obr. 1 Rozloženie tlaku na drážke hriadeľa spôsobené kontaktom s perom so zrazenými hranami... 5 Obr. Rozloženie napätia v drážke hriadeľa po kontakte s perom so zrazenými hranami... 7 Obr. Rozloženie tlaku na drážke náboja spôsobené kontaktom s perom so zrazenými hranami... 8 Obr. 4 Rozloženie napätia v drážke náboja po kontakte s perom so zrazenými hranami
45 .. 45
46 46
47 47
48 48
49 49
50 50
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Διαβάστε περισσότεραM6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Διαβάστε περισσότεραModerné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
Διαβάστε περισσότερα7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
Διαβάστε περισσότερα6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu
6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis
Διαβάστε περισσότεραPRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm
PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda
Διαβάστε περισσότεραCvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
Διαβάστε περισσότεραObvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Διαβάστε περισσότεραEkvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Διαβάστε περισσότεραMatematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
Διαβάστε περισσότεραPevné ložiská. Voľné ložiská
SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu
Διαβάστε περισσότεραZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
Διαβάστε περισσότερα1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραHASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S
PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv
Διαβάστε περισσότεραÚvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky
Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc
Διαβάστε περισσότεραSKRUTKOVÉ SPOJE SILOVÉ POMERY PRI MONTÁŽI
25 SKRUTKOVÉ SPOJE Podstatou skrutkového spoja je zovretie spojovaných súčiastok medzi hlavou skrutky a maticou. Potrebná sila sa vytvorí uťahovaním skrutky, respektíve matice, príslušným uťahovacím momentom.
Διαβάστε περισσότεραELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.
ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,
Διαβάστε περισσότεραStart. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Διαβάστε περισσότερα7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
Διαβάστε περισσότεραMotivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Διαβάστε περισσότερα3. Striedavé prúdy. Sínusoida
. Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa
Διαβάστε περισσότερα1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Διαβάστε περισσότεραPilota600mmrez1. N Rd = N Rd = M Rd = V Ed = N Rd = M y M Rd = M y. M Rd = N 0.
Bc. Martin Vozár Návrh výstuže do pilót Diplomová práca 8x24.00 kr. 50.0 Pilota600mmrez1 Typ prvku: nosník Prostředí: X0 Beton:C20/25 f ck = 20.0 MPa; f ct = 2.2 MPa; E cm = 30000.0 MPa Ocelpodélná:B500
Διαβάστε περισσότεραModul pružnosti betónu
f cm tan α = E cm 0,4f cm ε cl E = σ ε ε cul Modul pružnosti betónu α Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Modul pružnosti betónu Autori: Stanislav Unčík Patrik Ševčík Trnava 2008 Obsah 1 Úvod...7 2 Deformácie
Διαβάστε περισσότεραNávrh vzduchotesnosti pre detaily napojení
Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová
Διαβάστε περισσότεραMIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
Διαβάστε περισσότεραSTATIKA STAVEBNÝCH KONŠTRUKCIÍ I Doc. Ing. Daniela Kuchárová, PhD. Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov
Priebeh vnútorných síl na prostom nosníku a na konzole od jednotlivých typov zaťaženia Prostý nosník Konzola 31 Príklad č.14.1 Vypočítajte a vykreslite priebehy vnútorných síl na nosníku s previslými koncami,
Διαβάστε περισσότεραOdporníky. 1. Príklad1. TESLA TR
Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
Διαβάστε περισσότεραPriamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
Διαβάστε περισσότεραPrechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Διαβάστε περισσότεραARMA modely čast 2: moving average modely (MA)
ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2011/2012 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/25 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely
Διαβάστε περισσότεραCieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie,
Kapitola Riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie Cieľom cvičenia je zvládnuť riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej tranformácie, keď charakteritická rovnica má rôzne
Διαβάστε περισσότεραJednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy
Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18
Διαβάστε περισσότεραÚvod. Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...
Úvod Na čo nám je numerická matematika? Poskytuje nástroje na matematické riešenie problémov reálneho sveta (fyzika, biológia, ekonómia,...) Postup pri riešení problémov: 1. formulácia problému 2. formulácia
Διαβάστε περισσότεραη = 1,0-(f ck -50)/200 pre 50 < f ck 90 MPa
1.4.1. Návrh priečneho rezu a pozĺžnej výstuže prierezu ateriálové charakteristiky: - betón: napr. C 0/5 f ck [Pa]; f ctm [Pa]; fck f α [Pa]; γ cc C pričom: α cc 1,00; γ C 1,50; η 1,0 pre f ck 50 Pa η
Διαβάστε περισσότεραRIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA
SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor
Διαβάστε περισσότεραMotivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
Διαβάστε περισσότεραKontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
Διαβάστε περισσότερα24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Διαβάστε περισσότεραC. Kontaktný fasádny zatepľovací systém
C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový
Διαβάστε περισσότεραKomplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1
Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené
Διαβάστε περισσότεραMetodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
Διαβάστε περισσότεραEinsteinove rovnice. obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity. Pavol Ševera. Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky
Einsteinove rovnice obrázkový úvod do Všeobecnej teórie relativity Pavol Ševera Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky (Pseudo)historický úvod Gravitácia / Elektromagnetizmus (Pseudo)historický
Διαβάστε περισσότεραTermodynamika. Doplnkové materiály k prednáškam z Fyziky I pre SjF Dušan PUDIŠ (2008)
ermodynamika nútorná energia lynov,. veta termodynamická, Izochorický dej, Izotermický dej, Izobarický dej, diabatický dej, Práca lynu ri termodynamických rocesoch, arnotov cyklus, Entroia Dolnkové materiály
Διαβάστε περισσότεραSúradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Διαβάστε περισσότεραPRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO
ŽILINSKÁ UNIVERZITA V ŽILINE Fakulta špeciálneho inžinierstva Doc. Ing. Jozef KOVAČIK, CSc. Ing. Martin BENIAČ, PhD. PRUŽNOSŤ A PEVNOSŤ PRE ŠPECIÁLNE INŽINIERSTVO Druhé doplnené a upravené vydanie Určené
Διαβάστε περισσότεραTREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT. k predmetu Matematika pre
TREDNÁ ODBORNÁ ŠKOLA STRÁŽSKE PRACOVNÝ ZOŠIT k predmetu Matematika pre 2. ročník SOŠ v Strážskom, študijný odbor 3760 6 00 prevádzka a ekonomika dopravy Operačný program: Vzdelávanie Programové obdobie:
Διαβάστε περισσότεραRiešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody
Zadanie č.1 Riešenie rovníc s aplikáciou na elektrické obvody Nasledujúce uvedené poznatky z oblasti riešenia elektrických obvodov pomocou metódy slučkových prúdov a uzlových napätí je potrebné využiť
Διαβάστε περισσότεραx x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
Διαβάστε περισσότεραPovrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Διαβάστε περισσότεραFunkcie - základné pojmy
Funkcie - základné pojmy DEFINÍCIA FUNKCIE Nech A, B sú dve neprázdne číselné množiny. Ak každému prvku x A je priradený najviac jeden prvok y B, tak hovoríme, že je daná funkcia z množiny A do množiny
Διαβάστε περισσότεραREZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických
REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu
Διαβάστε περισσότεραPríručka pre dimenzovanie drevených tenkostenných nosníkov PALIS. (Stena z OSB/3 Kronoply)
Palis s.r.o. Kokořov 24, 330 11 Třemošná, Česká republika e- mail: palis@palis.cz Príručka pre dimenzovanie drevených tenkostenných nosníkov PALIS. (Stena z OSB/3 Kronoply) Vypracoval: Ing. Roman Soyka
Διαβάστε περισσότεραKATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
Διαβάστε περισσότερα1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2
1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že
Διαβάστε περισσότεραRozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla
Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523
Διαβάστε περισσότεραSúčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.
Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Διαβάστε περισσότεραZáklady technických vied 1
Fakulta bezpečnostného inžinierstva Žilinskej univerzity v Žiline Katedra technických vied a informatiky Základy technických vied 1 Zhrnutie: ZÁKLADY MECHANIKY PODDAJNÝCH TELIES Téma 6: ÚVOD DO MECHANIKY
Διαβάστε περισσότερα,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,
Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť
Διαβάστε περισσότεραUČEBNÉ TEXTY. Odborné predmety. Časti strojov. Druhý. Hriadele, čapy. Ing. Romana Trnková
Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Vzdelávacia oblasť: Predmet:
Διαβάστε περισσότεραTechnická univerzita v Košiciach. ROČNÍKOVÁ PRÁCA č. 3 PRIBLIŽNÝ VÝPOČET TEPELNÉHO OBEHU LTKM
Technická univerzita Letecká fakulta Katedra leteckého inžinierstva ROČNÍKOVÁ PRÁCA č. 3 PRIBLIŽNÝ VÝPOČET TEPELNÉHO OBEHU LTKM Študent: Cvičiaci učiteľ: Peter Majoroš Ing. Marián HOCKO, PhD. Košice 6
Διαβάστε περισσότεραZateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu
Zateplite fasádu! Zabezpečte, aby Vám neuniklo teplo cez fasádu Austrotherm GrPS 70 F Austrotherm GrPS 70 F Reflex Austrotherm Resolution Fasáda Austrotherm XPS TOP P Austrotherm XPS Premium 30 SF Austrotherm
Διαβάστε περισσότεραAerobTec Altis Micro
AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp
Διαβάστε περισσότεραPREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
Διαβάστε περισσότεραStaromlynská 29, Bratislava tel: , fax: http: //www.ecssluzby.sk SLUŽBY s. r. o.
SLUŽBY s. r. o. Staromlynská 9, 81 06 Bratislava tel: 0 456 431 49 7, fax: 0 45 596 06 http: //www.ecssluzby.sk e-mail: ecs@ecssluzby.sk Asynchrónne elektromotory TECHNICKÁ CHARAKTERISTIKA. Nominálne výkony
Διαβάστε περισσότεραKAGEDA AUTORIZOVANÝ DISTRIBÚTOR PRE SLOVENSKÚ REPUBLIKU
DVOJEXCENTRICKÁ KLAPKA je uzatváracia alebo regulačná armatúra pre rozvody vody, horúcej vody, plynov a pary. Všetky klapky vyhovujú smernici PED 97/ 23/EY a sú tiež vyrábané pre výbušné prostredie podľa
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy matematiky I
Prednáška č. 7 Numerické metódy matematiky I Riešenie sústav lineárnych rovníc ( pokračovanie ) Prednáška č. 7 OBSAH 1. Metóda singulárneho rozkladu (SVD) Úvod SVD štvorcovej matice SVD pre menej rovníc
Διαβάστε περισσότεραRiadenie zásobníkov kvapaliny
Kapitola 9 Riadenie zásobníkov kvapaliny Cieľom cvičenia je zvládnuť návrh (syntézu) regulátorov výpočtovými (analytickými) metódami Naslinovou metódou a metódou umiestnenia pólov. Navrhnuté regulátory
Διαβάστε περισσότεραRozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003
Rozsah akreditácie 1/5 Názov akreditovaného subjektu: U. S. Steel Košice, s.r.o. Oddelenie Metrológia a, Vstupný areál U. S. Steel, 044 54 Košice Rozsah akreditácie Oddelenia Metrológia a : Laboratórium
Διαβάστε περισσότεραSTRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
Διαβάστε περισσότεραNumerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium
Imrich Pokorný Numerické metódy Učebný text pre bakalárske štúdium Strana 1 z 48 1 Nepresnosť numerického riešenia úloh 4 1.1 Zdroje chýb a ich klasifikácia................... 4 1.2 Základné pojmy odhadu
Διαβάστε περισσότεραHarmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť
Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky
Διαβάστε περισσότεραTomáš Madaras Prvočísla
Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,
Διαβάστε περισσότεραDiferenciálne rovnice
Diferenciálne rovnice Juraj Tekel Katedra teoretickej fyziky a didaktiky fyziky FMFI UK Mlynska Dolina 842 48 Bratislava juraj(a)tekel(b)gmail(c)com http://fks.sk/~juro/phys_teaching.html Aktualizované
Διαβάστε περισσότεραGramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Διαβάστε περισσότερα1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
1. Rovnice, nerovnice a ich sústavy Osah Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin,
Διαβάστε περισσότερα1 ZÁKLADNÉ POJMY. dv=dx.dy.dz. dx hmotný bod
1 ZÁKLADNÉ POJMY Predmet Pružnosť a pevnosť patrí k základným predmetom odborov strojného inžinierstva. Náplň tohto predmetu možno zaradiť do širšieho kontextu mechaniky telies. Mechanika je odbor fyziky,
Διαβάστε περισσότεραMeranie na jednofázovom transformátore
Fakulta elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach Katedra elektrotechniky a mechatroniky Meranie na jednofázovom transformátore Návod na cvičenia z predmetu Elektrotechnika Meno a priezvisko :..........................
Διαβάστε περισσότεραKs/paleta Hmotnosť Spotreba tehál v murive. [kg] PENA DRYsystem. Orientačná výdatnosť (l) 5 m 2 /dóza ml m 2 /dóza 2.
SUPRA SUPRA PLUS ABSOLÚTNA NOVINKA NA STAVEBNOM TRHU! PENA DRYsystem / Lepiaca malta zadarmo! Rozmery dxšxv [mm] Ks/paleta Hmotnosť Spotreba tehál v murive ks [kg] paleta [kg] Pevnosť v tlaku P [N/mm²]
Διαβάστε περισσότεραViliam Laurinc, Oľga Holá, Vladimír Lukeš, Soňa Halusková
FYZIKA II Viliam Laurinc, Oľga Holá, Vladimír Lukeš, Soňa Halusková SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE FAKULTA CHEMICKEJ A POTRAVINÁRSKEJ TECHNOLÓGIE PREDSLOV Skriptá sú určené študentom všetkých
Διαβάστε περισσότερα2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania
2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné
Διαβάστε περισσότεραKATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE
H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom
Διαβάστε περισσότερα18. kapitola. Ako navariť z vody
18. kapitola Ako navariť z vody Slovným spojením navariť z vody sa zvyknú myslieť dve rôzne veci. Buď to, že niekto niečo tvrdí, ale nevie to poriadne vyargumentovať, alebo to, že niekto začal s málom
Διαβάστε περισσότεραMatematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom
Matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom Demonštračný modul Úlohy. Zostavte matematický model robota s diferenciálnym kolesovým podvozkom 2. Vytvorte simulačný model robota v simulačnom
Διαβάστε περισσότεραZákladné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky
Základné poznatky molekulovej fyziky a termodynamiky Opakovanie učiva II. ročníka, Téma 1. A. Príprava na maturity z fyziky, 2008 Outline Molekulová fyzika 1 Molekulová fyzika Predmet Molekulovej fyziky
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Διαβάστε περισσότεραOddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II Úloha č.:...xviii... Název: Prechodové javy v RLC obvode Vypracoval:... Viktor Babjak... stud. sk... F.. dne... 6.. 005
Διαβάστε περισσότερα23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
Διαβάστε περισσότεραRiešenie lineárnych elektrických obvodov s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave
iešenie lineárnych elektrických obvodov s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave Lineárne elektrické obvody s jednosmernými zdrojmi a rezistormi v ustálenom stave riešime (určujeme prúdy
Διαβάστε περισσότεραOhmov zákon pre uzavretý elektrický obvod
Ohmov zákon pre uzavretý elektrický obvod Fyzikálny princíp: Každý reálny zdroj napätia (batéria, akumulátor) môžeme považova za sériovú kombináciu ideálneho zdroja s elektromotorickým napätím U e a vnútorným
Διαβάστε περισσότεραOddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I Úloha č.:...viii... Název: Meranie momentu zotrvačnosti kolesa Vypracoval:... Viktor Babjak... stud. sk... F 11.. dne...
Διαβάστε περισσότεραZákladné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií
Ma-Go-2-T List Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií RNDr. Marián Macko U: Predstav si, že ti zadám hodnotu jednej z goniometrických funkcií. Napríklad sin x = 0,6. Vedel by si určiť
Διαβάστε περισσότεραŽivot vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R
Život vedca krajší od vysnívaného... s prírodou na hladine α R-P-R Ako nadprirodzené stretnutie s murárikom červenokrídlym naformátovalo môj profesijný i súkromný život... Osudové stretnutie s murárikom
Διαβάστε περισσότεραObsah. 1.1 Základné pojmy a vzťahy Základné neurčité integrály Cvičenia Výsledky... 11
Obsah Neurčitý integrál 7. Základné pojmy a vzťahy.................................. 7.. Základné neurčité integrály............................. 9.. Cvičenia..........................................3
Διαβάστε περισσότεραGoniometrické rovnice riešené substitúciou
Ma-Go-10-T List 1 Goniometrické rovnice riešené substitúciou RNDr. Marián Macko U: Okrem základných goniometrických rovníc, ktorým sme sa už venovali, existujú aj zložitejšie goniometrické rovnice. Metódy
Διαβάστε περισσότεραVlastnosti regulátorov pri spätnoväzbovom riadení procesov
Kapitola 8 Vlastnosti regulátorov pri spätnoväzbovom riadení procesov Cieľom cvičenia je sledovať vplyv P, I a D zložky PID regulátora na dynamické vlastnosti uzavretého regulačného obvodu (URO). 8. Prehľad
Διαβάστε περισσότεραIntegrovanie racionálnych funkcií
Integrovanie racionálnych funkcií Tomáš Madaras 2009-20 Z teórie funkcií už vieme, že každá racionálna funkcia (t.j. podiel dvoch polynomických funkcií) sa dá zapísať ako súčet polynomickej funkcie a funkcie
Διαβάστε περισσότερα