ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών. ΠΜΣ: «Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές» Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΜΣ: «Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές» Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών Διπλωματική Εργασία Η Θεωρία Αριθμών του Ευκλείδη και μια Ενδεχόμενη Αξιοποίησή της για την Εισαγωγή των Μαθητών στις Αποδεικτικές Διαδικασίες Επιβλέπων Καθηγητής: Παύλος Τζερμιάς Χρυσούλα-Μαρία Σ. Αναστασάκη Α.Μ: Μάρτιος 2018

2 2

3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΜΣ: «Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές» Κατεύθυνση: Διδακτική των Μαθηματικών Διπλωματική Εργασία Η Θεωρία Αριθμών του Ευκλείδη και μια Ενδεχόμενη Αξιοποίησή της για την Εισαγωγή των Μαθητών στις Αποδεικτικές Διαδικασίες Επιβλέπων Καθηγητής: Παύλος Τζερμιάς Τριμελής Εξεταστική Επιτροπή: Παύλος Τζερμιάς, Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστημίου Πατρών (επιβλέπων) Παναγής Καραζέρης, Αναπληρωτής Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστημίου Πατρών Αναστάσιος Πατρώνης, Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστημίου Πατρών Χρυσούλα-Μαρία Σ. Αναστασάκη Α.Μ: Μάρτιος 2018

4

5 Ο Παρθενώνας μου φάνηκε ένας αριθμός άρτιος, σαν το 2 και το 4, κι ο άρτιος αριθμός πάει ενάντια στην καρδιά μου, δεν τον θέλω περίσσια στέρεα στέκεται στα πόδια του, καλά ναι βολεμένος, δεν έχει καμιά λαχτάρα να μετακουνηθεί, συντηρητικός, ευχαριστημένος, χωρίς ανησυχία όλα τα προβλήματα τα χει λύσει, όλες του τις επιθυμίες τις έκαμε πραγματικότητα, ησύχασε. Ο περιττός αριθμός είναι ο ρυθμός της καρδίας μου καθόλου αυτός δε βολεύτηκε, ο κόσμος ετούτος όπως είναι δεν του αρέσει, θέλει να τον αλλάξει, να τον συμπληρώσει, να τον σπρώξει πιο πέρα στέκεται στο ένα πόδι, κι έχει απλωμένο το άλλο, έτοιμο, και θέλει να φύγει να πάει πού; Στον επόμενο άρτιο, να σταθεί μια στιγμή ν ανασάνει και να ξαναπάρει φόρα. Αναφορά στον Γκρέκο, Ν. Καζαντζάκης

6 4

7 Περίληψη Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να μελετηθούν τα τρία Βιβλία Θεωρίας Αριθμών του Ευκλείδη, και από την άποψη του περιεχομένου και από την άποψη της μορφής, και να διερευνηθεί μια ενδεχόμενη διδακτική αξιοποίησή της. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο εκτίθεται το περιεχόμενο των Βιβλίων. Διατυπώνονται όλοι οι Ορισμοί και όλες οι Προτάσεις, σε αρχαίο κείμενο, όπως και σε κατά λέξη μετάφραση. Επιπλέον σχολιάζονται μία προς μία οι Προτάσεις. Στο δεύτερο κεφάλαιο μελετάμε τον τρόπο με τον οποίο ο Ευκλείδης μιλούσε για τα μαθηματικά της εποχής του, καθώς αυτό θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε πώς σκέφτονταν τότε τα μαθηματικά αντικείμενα και τις μεταξύ τους σχέσεις. Έτσι μελετάμε τη λογικογλωσσική διάρθρωση και τις σημαντικές συντακτικές δομές του μαθηματικού λόγου στα τρία Βιβλία Θεωρίας Αριθμών. Στο τρίτο και τελευταίο κεφάλαιο θα εξετάσουμε τι διδάγματα μπορούμε ενδεχομένως να αντλήσουμε από τον Ευκλείδη, στο επίπεδο της διδακτικής μεθοδολογίας και πράξης. Παρουσιάζουμε μια πρόταση για μια ενδεχόμενη διδακτική αξιοποίηση της Θεωρίας Αριθμών. Επιλέξαμε μερικές απλές Προτάσεις, σχετικές με την πρώτη ταξινόμηση των φυσικών αριθμών σε άρτιους και περιττούς, από το 9ο Βιβλίο. Προτείνουμε ένα παιχνίδι μετάβασης από την επαλήθευση στην απόδειξη και εισαγωγής συμβολισμού. Δεν προτείνουμε δηλαδή κάποιο σχέδιο μαθήματος, αλλά μια διαδικασία ανοιχτή σε πολλές δυνατότητες. Λέξεις Κλειδιά Ευκλείδης, Στοιχεία, Θεωρία Αριθμών, διδακτική αξιοποίηση, άρτιοι αριθμοί, περιττοί αριθμοί 5

8 6

9 Abstract In this MSc thesis we study the three Books of Euclid on Number theory. We analyse their content and form, and examine the prospect of didactical exploitation. More specifically, in the first chapter we present the content of Euclid s Number Theory. All the Definitions and all the Propositions are stated in ancient Greek and we give a literal translation in modern Greek. In addition, we make special remarks on each proposition. In the second chapter we study the means Euclid used in order to express his mathematics. Through this we get to know how ancient Greeks perceived mathematical objects and their relations. We study the logical structure detected in Euclid s use of the mathematical language and the most important syntactic structures involved. Finally in the third chapter we study the conclusions we could possibly draw from Euclid, as far as didactical methodology and practice is concerned. We set forward a suggestion regarding a didactical exploitation of Euclid s Number Theory. We have chosen a couple of simple propositions from the ninth Book, concerning even and odd numbers. We suggest a game of transition from verification to proof and an opportunity to introduce notation. We do not set forward a course plan, instead we suggest a process open to many possibilities. Key Words Euclid, Elements, Number Theory, didactical exploitation, even numbers, odd numbers 7

10 8

11 Ευχαριστίες Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Μαθηματικά και Σύγχρονες Εφαρμογές», στην κατεύθυνση Διδακτική των Μαθηματικών, στο τμήμα Μαθηματικών, του Πανεπιστημίου Πατρών. Θα ήθελα αρχικά να ευχαριστήσω όλους τους διδάσκοντες που στήριξαν την κατεύθυνση αυτή και μας μετέφεραν τις γνώσεις τους μέσα από αυτό το πρόγραμμα: κ. Ι. Μαμωνά- Downs, κ. Κ. Δρόσο, κ. Π. Καραζέρη, κ. Ε. Παπαδοπετράκη, κ. Τ. Πατρώνη και κ. Ν. Τσάντα. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Παύλο Τζερμιά, ο οποίος με τίμησε με τη συμμετοχή του στην τριμελή επιτροπή, για τη συνεργασία μας καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης αυτής της εργασίας. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον κ. Ευτύχη Παπαδοπετράκη, ο οποίος μου εμφύσησε τον σεβασμό προς το έργο του Ευκλείδη. Τον ευχαριστώ που στήριξε την προσπάθειά μου, παρέχοντάς μου βιβλιογραφία, αλλά και χρήσιμες συμβουλές, καθώς επίσης και για τον χρόνο που αφιέρωσε για να διαβάσει την εργασία αυτή και να κάνει διορθώσεις και επισημάνσεις, ώστε να επιτευχθεί όσο το δυνατόν καλύτερο αποτέλεσμα. Να τον ευχαριστήσω επίσης θερμά για την επιμέλεια όλων των μεταφράσεων από αρχαίο κείμενο σε νέα ελληνικά που περιλαμβάνονται σε αυτή την εργασία. Τέλος, ευχαριστώ από καρδιάς την οικογένειά μου, που στήριξε την φοίτησή μου και στάθηκε δίπλα μου καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. Επίσης ευχαριστώ θερμά όλους τους καλούς φίλους και συγγενείς, που ενθάρρυναν την προσπάθειά μου και με ενέπνεαν να συνεχίσω. 9

12 10

13 Πρόλογος Η πρώτη ουσιαστική «γνωριμία» μου με τον Ευκλείδη έγινε στο τέταρτο έτος των προπτυχιακών μου σπουδών στο Τμήμα Μαθηματικών, του Πανεπιστημίου Πατρών, στο μάθημα «Ευκλείδεια Γεωμετρία και η Διδασκαλία της». Εκείνο το ακαδημαϊκό έτος το μάθημα διδασκόταν από τον κ.ευτύχη Παπαδοπετράκη. Τότε έμαθα ότι ο Ευκλείδης είχε γράψει 13 Βιβλία, για τα μαθηματικά της εποχής του, τα Στοιχεία. Σύμφωνα με τον Σταμάτης [1975] τα Στοιχεία διαιρούνται, από άποψη περιεχομένου και διάταξης της ύλης, σε τέσσερα κύρια μέρη. Στο πρώτο μέρος μελετώνται γεωμετρικά μεγέθη στο επίπεδο και οι μεταξύ τους σχέσεις (Βιβλία 1-6). Στο δεύτερο μέρος μελετώνται οι αριθμοί (Βιβλία 7-9). Στο τρίτο μέρος μελετώνται τα ασύμμετρα μεγέθη (Βιβλίο 10), ενώ στο τέταρτο και τελευταίο μέρος μελετώνται οι γεωμετρικές ιδιότητες των στερεών (Βιβλία 11-13). Αυτό που μου κέντρισε περισσότερο το ενδιαφέρον, μελετώντας Γεωμετρία από τον Ευκλείδη, ήταν ο τρόπος γραφής του στα Στοιχεία. Όπως είχε χαρακτηριστικά αναφέρει ο κ.παπαδοπετράκης, η γραφή του Ευκλείδη, ιδιαίτερα η ενότητα εκφώνηση-απόδειξη κάθε Πρότασης, διακρίνεται από μια παιδική αθωότητα. Κρατώντας στο μυαλό μου αυτή τη διαπίστωση, θέλησα να γνωρίσω και τη Θεωρία Αριθμών του Ευκλείδη και έτσι διάλεξα αυτήν για θέμα στη διπλωματική μου, οπότε απόκτησε υπόσταση αυτή η εργασία. Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να μελετηθεί η Θεωρία Αριθμών του Ευκλείδη, και από την άποψη του περιεχομένου και από την άποψη της μορφής, και να διερευνηθεί μια ενδεχόμενη διδακτική αξιοποίησή της. Για το σκοπό αυτό η εργασία διαρθρώνεται σε τρία Κεφάλαια. Στο πρώτο από αυτά θα γνωρίσουμε τι ακριβώς διαπραγματευόταν ο Ευκλείδης στην Αριθμοθεωρία του, ποιό δηλαδή είναι το μαθηματικό της περιεχόμενο, το οποίο δίνουμε και σε σύγχρονα εκφραστικά μέσα. Στο δεύτερο θα δούμε με ποιον τρόπο μιλούσε ο Ευκλείδης για όλα αυτά, γιατί αυτό θα μας βοηθήσει να καταλάβουμε πώς σκέφτονταν τότε τα μαθηματικά αντικείμενα και τις μεταξύ τους σχέσεις. Τέλος, στο τρίτο κεφάλαιο θα εξετάσουμε τι διδάγματα μπορούμε ενδεχομένως να αντλήσουμε από τον Ευκλείδη, στο επίπεδο της διδακτικής μεθοδολογίας και πράξης. Η σκέψη μας έχει ως αφετηρία το γεγονός ότι όσο πιο πίσω διερευνούμε την ιστορία των μαθηματικών τόσο το περιεχόμενο και τα εκφραστικά μέσα που συναντάμε, προσιδιάζουν καλύτερα, έχουν δηλαδή ομοιότητες, αντιστοιχίες και αναλογίες, με τη παιδική σκέψη. Έτσι με την ολοκλήρωση αυτής της εργασίας τίθενται δύο στόχοι προς πραγματοποίηση. Ο πρώτος στόχος είναι να αναδειχθεί η δομή που ενυπάρχει στη Θεωρία Αριθμών του Ευκλείδη και την καθιστά μια αυτοτελή, παραγωγική θεωρία. Κρίνουμε ότι ο ορθολογισμός στην εξέλιξη και η αλληλουχία στη δομή της Θεωρίας αυτής υποδεικνύουν ένα γόνιμο περιβάλλον για να οικειοποιείται γνώσεις ένα παιδί. Ο δεύτερος στόχος είναι να μελετηθεί σε βάθος ο τρόπος με τον οποίο εκφέρεται ο μαθηματικός λόγος στη Θεωρία αυτή και, πιο συγκεκριμένα, η δομή της ενότητας εκφώνηση-απόδειξη των Προτάσεων. Πιστεύουμε ότι η δομή αυτή προσιδιάζει στην παιδική σκέψη και παρέχει έναν ομαλό τρόπο για να μυηθεί ένα παιδί στη λογική που διέπει μια ορθή απόδειξη. 11

14 12

15 Περιεχόμενα 1 Το Περιεχόμενο των Βιβλίων VII-IX των Στοιχείων Το Βιβλίο VII Οι Ορισμοί Οι Προτάσεις Προτάσεις Πρόταση Προτάσεις Προτάσεις Προτάσεις Πρόταση Πρόταση Επαγωγική Δομή των Προτάσεων Προτάσεις Επαγωγική Δομή των Προτάσεων Προτάσεις Προτάσεις Πρόταση Επαγωγική Δομή της Απόδειξης της Πρότασης Προτάσεις Προτάσεις Συνολική Επαγωγική Δομή του Βιβλίου VII Το Βιβλίο VIII Οι Προτάσεις Προτάσεις Πρόταση Πρόταση Προτάσεις Προτάσεις Επαγωγική Δομή των Προτάσεων Πρόταση Προτάσεις Επαγωγική Δομή των Προτάσεων Προτάσεις Προτάσεις Συνολική Επαγωγική Δομή του Βιβλίου VIII Το Βιβλίο IX Οι Προτάσεις Προτάσεις Επαγωγική Δομή των Αποδείξεων των Προτάσεων Προτάσεις

16 14 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Επαγωγική Δομή των Προτάσεων Ε.VIII.3-Ε.IX Προτάσεις Πρόταση Προτάσεις Πρόταση Προτάσεις Επαγωγική Δομή των Προτάσεων Πρόταση Πρόταση Επαγωγική Δομή των Προτάσεων και Σχόλια επί των Βιβλίων VII-IX των Στοιχείων Περί Ορισμών Περί Αξιωμάτων Άρρητες Υποθέσεις Προσεγγίζοντας το Άπειρο Περί Προτάσεων Πρόταση Έκθεση Διορισμός Απόδειξη Προσυμπέρασμα και Συμπέρασμα Περί Αποδείξεων Περί των Επίπεδων Έκφρασης Οι Δεσμεύσεις των Μεταβλητών στο Μαθηματικό Επίπεδο Οι Δεσμεύσεις των Μεταβλητών στο Επιμαθηματικό Επίπεδο Πρόταση για Διδακτική Αξιοποίηση Η Θεωρία για τους Άρτιους και τους Περιττούς στο IX του Ευκλείδη Οι Ορισμοί Οι Προτάσεις Μια Διδασκαλία των Φυσικών Αριθμών Οι Ορισμοί Οι Προτάσεις Μια Διάκριση των Σύνθετων Θετικών Ακεραίων

17 Κεφάλαιο 1 Το Περιεχόμενο των Βιβλίων VII-IX των Στοιχείων Στο κεφάλαιο αυτό θα εκθέσουμε το περιεχόμενο των τριών Βιβλίων Θεωρίας Αριθμών του Ευκλείδη. Για κάθε Βιβλίο θα διατυπώνονται οι Προτάσεις που το απαρτίζουν σε αρχαίο κείμενο και σε κατά λέξη μετάφραση. Στη συνέχεια, έχοντας οργανώσει τις Προτάσεις αυτές σε ομάδες με συναφές περιεχόμενο, θα διατυπώνεται κάθε Πρόταση ξεχωριστά με σύγχρονα εκφραστικά μέσα. Επιπλέον, θα παρεμβάλλονται διαγράμματα επαγωγικής δομής, τα οποία θα φανερώνουν την αλληλεξάρτηση που παρουσιάζουν οι Προτάσεις μεταξύ τους. 1.1 Το Βιβλίο VII Το Βιβλίο VII των Στοιχείων συγκροτείται από 23 Ορισμούς και 39 Προτάσεις. Στην ενότητα αυτή θα παραθέσουμε τους Ορισμούς και τις εκφωνήσεις των Προτάσεων σε αρχαίο κείμενο και σε κατά λέξη μετάφραση. Στη συνέχεια θα σχολιάσουμε κάθε Πρόταση ξεχωριστά, προκειμένου να την κατανοήσουμε στα πλαίσια των σύγχρονων μαθηματικών Οι Ορισμοί Παραθέτουμε τους 23 Ορισμούς που περιλαμβάνονται στο Βιβλίο VII των Στοιχείων: Ε.VII.Ο.1 Ε.VII.Ο.2 Ε.VII.Ο.3 Ε.VII.Ο.4 Μονάς ἐστιν, καθ ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται. Μονάδα είναι αυτή, σύμφωνα με την οποία καθένα από τα υπαρκτά πράγματα (όντα) λέμε πως είναι ένα. Ἀριθμὸς δὲ τὸ ἐκ μονάδων συγκείμενον πλῆθος. Αριθμός δε, είναι ένα πεπερασμένο πλήθος από μονάδες που είναι τοποθετημένες μαζί. Μέρος ἐστὶν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος, ὅταν καταμετρῇ τὸν μείζονα. Ένας αριθμός είναι μέρος ενός αριθμού, ο μικρότερος του μεγαλύτερου, όταν καταμετρεί (χωρά ακέραιο αριθμό από φορές) τον μεγαλύτερο. Μέρη δέ, ὅταν μὴ καταμετρῇ. Μέρη δε, είναι όταν δεν τον καταμετρεί. 15

18 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ VII-IX ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Ε.VII.Ο.5 Ε.VII.Ο.6 Ε.VII.Ο.7 Ε.VII.Ο.8 Ε.VII.Ο.9 Πολλαπλάσιος δὲ ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος, ὅταν καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάσσονος. Ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιος ενός άλλου, ο μεγαλύτερος του μικρότερου, όταν καταμετρείται από τον μικρότερο. Ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ δίχα διαιρούμενος. Άρτιος αριθμός είναι αυτός που χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη. Περισσὸς δὲ ὁ μὴ διαιρούμενος δίχα ἢ [ὁ] μονάδι διαφέρων ἀρτίου ἀριθμοῦ. Περιττός δε είναι αυτός που δε χωρίζεται σε δύο ίσα μέρη, ή αυτός που διαφέρει κατά μια μονάδα από έναν άρτιο. Ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. Αρτιάκις άρτιος είναι ο αριθμός που διαιρείται από έναν άρτιο κατά άρτιο αριθμό. Ἀρτιάκις δὲ περισσός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν ἀριθμόν. Αρτιάκις δε περιττός είναι ο αριθμός που διαιρείται από έναν άρτιο κατά περιττό αριθμό. Ε.VII.Ο.10 [Περισσάκις ἀρτιός ἐστιν ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν.] [Περισσάκις άρτιος είναι ο αριθμός που διαιρείται από έναν περιττό κατά άρτιο αριθμό.] 1 Ε.VII.Ο.11 Περισσάκις δὲ περισσὸς ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρούμενος κατὰ περισσὸν ἀριθμόν. Περισσάκις δε περιττός είναι ο αριθμός που διαιρείται από έναν περιττό κατά περιττό αριθμό. Ε.VII.Ο.12 Πρῶτος ἀριθμός ἐστιν ὁ μονάδι μόνῃ μετρούμενος. Πρώτος αριθμός είναι αυτός που διαιρείται μόνο από τη μονάδα. Ε.VII.Ο.13 Πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ μονάδι μόνῃ μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ. Πρώτοι προς αλλήλους (ή μεταξύ τους) είναι οι αριθμοί οι οποίοι ως μοναδικό κοινό διαιρέτη έχουν τη μονάδα. Ε.VII.Ο.14 Σύνθετος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἀριθμῷ τινι μετρούμενος. Σύνθετος αριθμός είναι ο αριθμός που διαιρείται από κάποιον (που δεν είναι μονάδα). 1 Θεωρείται εμβόλιμος, δεν υπήρχε δηλαδή στο αρχικό κείμενο.

19 1.1. ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ VII 17 Ε.VII.Ο.15 Σύνθετοι δὲ πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀριθμῷ τινι μετρούμενοι κοινῷ μέτρῳ. Σύνθετοι προς αλλήλους (ή μεταξύ τους) είναι οι αριθμοί που διαθέτουν κοινό διαιρέτη (που δεν είναι μονάδα). Ε.VII.Ο.16 Ἀριθμὸς ἀριθμὸν πολλαπλασιάζειν λέγεται, ὅταν, ὅσαι εἰσὶν ἐν αὐτῷ μονάδες, τοσαυτάκις συντεθῇ ὁ πολλαπλασιαζόμενος, καὶ γένηταί τις. Λέμε πως ένας αριθμός πολλαπλασιάζει έναν άλλο, όταν όσες μονάδες έχει ο αριθμός αυτός τόσες φορές να προστεθεί στον εαυτό του ο πολλαπλασιαζόμενος, και να παράγεται κάποιος. Ε.VII.Ο.17 Ὅταν δὲ δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος ἐπίπεδος καλεῖται, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί. Όταν δύο αριθμοί αφού πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους παράγουν κάποιον, ο παραγόμενος καλείται επίπεδος και πλευρές αυτού καλούνται αυτοί που πολλαπλασιάστηκαν μεταξύ τους. Ε.VII.Ο.18 Ὅταν δὲ τρεῖς ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, ὁ γενόμενος στερεός ἐστιν, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ οἱ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ἀριθμοί. Όταν τρεις αριθμοί αφού πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους παράγουν κάποιον, ο παραγόμενος είναι στερεός και πλευρές αυτού καλούνται αυτοί που πολλαπλασιάστηκαν μεταξύ τους. Ε.VII.Ο.19 Τετράγωνος ἀριθμός ἐστιν ὁ ἰσάκις ἴσος ἢ [ὁ] ὑπὸ δύο ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος. Τετράγωνος αριθμός είναι αυτός που είναι «ισάκις ίσος» 2, ή ο περιεχόμενος από δύο ίσους αριθμούς. Ε.VII.Ο.20 Κύβος δὲ ὁ ἰσάκις ἴσος ἰσάκις ἢ [ὁ] ὑπὸ τριῶν ἴσων ἀριθμῶν περιεχόμενος. Κύβος αριθμός είναι αυτός που είναι «ισάκις ίσος ισάκις», ή ο περιεχόμενος από τρεις ίσους αριθμούς. Ε.VII.Ο.21 Ἀριθμοὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅταν ὁ πρῶτος τοῦ δευτέρου καὶ ὁ τρίτος τοῦ τετάρτου ἰσάκις ᾖ πολλαπλάσιος ἢ τὸ αὐτὸ μέρος ἢ τὰ αὐτὰ μέρη ὦσιν. Ανάλογοι αριθμοί λέγονται αυτοί που ο πρώτος του δευτέρου και ο τρίτος του τετάρτου είναι ισοπολλαπλάσιοι, ή το αυτό μέρος, ή τα αυτά μέρη. 2 Ο όρος «ισάκις ίσος» καθώς και ο όρος «ισάκις ίσος ισάκις», που συναντάμε στον επόμενο ορισμό, θα μπορούσαν να αποδοθούν στα νέα ελληνικά ως «ίσες φορές ίσος» και «ίσες φορές ίσος, κατά ίσες φορές» αντίστοιχα. Προτιμήσαμε να τους αφήσουμε ως έχουν για δύο λόγους. Πρώτον η κατάληξη «-άκις» είναι λειτουργική και στα νέα ελληνικά. Δεύτερον οι όροι αυτοί δεν ξαναχρησιμοποιούνται ούτε από τον ίδιο τον Ευκλείδη. Ο «ισάκις ίσος» επανεμφανίζεται σε μετέπειτα σχολιαστές ενώ ο «ισάκις ίσος ισάκις» σε κανένα από τα διασωθέντα μαθηματικά κείμενα.

20 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ VII-IX ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Ε.VII.Ο.22 Ὅμοιοι ἐπίπεδοι καὶ στερεοὶ ἀριθμοί εἰσιν οἱ ἀνάλογον ἔχοντες τὰς πλευράς. Όμοιοι επίπεδοι και στερεοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν τις πλευρές ανάλογες. Ε.VII.Ο.23 Τέλειος ἀριθμός ἐστιν ὁ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος ὤν. Τέλειος αριθμός είναι αυτός που ισούται με το άθροισμα των μερών (γνήσιων διαιρετών) του.

21 1.1. ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ VII Οι Προτάσεις Παραθέτουμε τις 39 Προτάσεις που περιλαμβάνονται στο Βιβλίο VII των Στοιχείων: Ε.VII.1 Ε.VII.2 Ε.VII.3 Ε.VII.4 Ε.VII.5 Ε.VII.6 Ε.VII.7 Ε.VII.8 Δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἀνθυφαιρουμένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐὰν ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς, οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. Δύο αριθμών άνισων δοθέντων, αν ο μικρότερος ανταφαιρείται συνεχώς από τον μεγαλύτερο και αν ο υπόλοιπος δεν καταμετρά ποτέ τον προηγούμενο, μέχρι να ληφθεί μονάδα, τότε οι αρχικοί αριθμοί είναι πρώτοι προς αλλήλους. Δύο ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Δοθέντων δύο αριθμών, μη πρώτων προς αλλήλους, να βρεθεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους. Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων μὴ πρώτων πρὸς ἀλλήλους τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον εὑρεῖν. Δοθέντων τριών αριθμών, μη πρώτων προς αλλήλους, να βρεθεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους. Ἅπας ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη. Κάθε αριθμός προς κάθε αριθμό, ο μικρότερος του μεγαλύτερου, ή είναι μέρος ή είναι μέρη. Ἐὰν ἀριθμός ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός. Εάν ένας είναι μέρος ενός άλλου, και ένας άλλος είναι το ίδιο μέρος κάποιου άλλου, τότε και οι δύο μαζί θα είναι το ίδιο μέρος των δύο άλλων μαζί, εκείνο το οποίο είναι ο ένας του άλλου. Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ συναμφότερος συναμφοτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ἅπερ ὁ εἷς τοῦ ἑνός. Εάν ένας είναι μέρη ενός άλλου, και ένας άλλος είναι τα ίδια μέρη κάποιου άλλου, τότε και οι δύο μαζί θα είναι τα ίδια μέρη των δύο άλλων μαζί, εκείνα τα οποία είναι ό ένας του άλλου. Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, ὅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται, ὅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου. Εάν ένας είναι μέρος ενός άλλου, το αυτό όπως ο αφαιρεθείς του αφαιρεθέντα, τότε και το υπόλοιπο θα είναι το ίδιο μέρος του υπολοίπου, εκείνο το οποίο είναι ο όλος του όλου. Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, ἅπερ ἀφαιρεθεὶς ἀφαιρεθέντος, καὶ ὁ λοιπὸς τοῦ λοιποῦ τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται, ἅπερ ὁ ὅλος τοῦ ὅλου. Εάν ένας είναι μέρη ενός άλλου, τα αυτά όπως ο αφαιρεθείς του αφαιρεθέντα, τότε και το υπόλοιπο θα είναι τα ίδια μέρη του υπολοίπου, εκείνα τα οποία είναι ο όλος του όλου.

22 20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ VII-IX ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Ε.VII.9 Ε.VII.10 Ε.VII.11. Ε.VII.12 Ε.VII.13 Ε.VII.14 Ε.VII.15 Ε.VII.16 Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρος ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὸ αὐτὸ μέρος ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ὃ μέρος ἐστὶν ἢ μέρη ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου, τὸ αὐτὸ μέρος ἔσται ἢ τὰ αὐτὰ μέρη καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου. Εάν ένας αριθμός είναι μέρος ενός άλλου, και ένας άλλος είναι το ίδιο μέρος κάποιου άλλου, τότε και εναλλάξ, το μέρος, ή τα μέρη, που είναι ο πρώτος του τρίτου, το ίδιο μέρος θα είναι, ή τα ίδια μέρη, και ο δεύτερος του τέταρτου. Ἐὰν ἀριθμὸς ἀριθμοῦ μέρη ᾖ, καὶ ἕτερος ἑτέρου τὰ αὐτὰ μέρη ᾖ, καὶ ἐναλλάξ, ἃ μέρη ἐστὶν ὁ πρῶτος τοῦ τρίτου ἢ μέρος, τὰ αὐτὰ μέρη ἔσται καὶ ὁ δεύτερος τοῦ τετάρτου ἢ τὸ αὐτὸ μέρος. Εάν ένας είναι μέρη ενός άλλου, και ένας άλλος είναι τα ίδια μέρη κάποιου άλλου, τότε και εναλλάξ, τα μέρη που είναι ο πρώτος του τρίτου, ή μέρος, τα ίδια μέρη θα είναι, και ο δεύτερος του τέταρτου ή το ίδιο μέρος. Ἐὰν ᾖ ὡς ὅλος πρὸς ὅλον, οὕτως ἀφαιρεθεὶς πρὸς ἀφαιρεθέντα, καὶ ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν λοιπὸν ἔσται, ὡς ὅλος πρὸς ὅλον. Εάν, όπως είναι όλος ένας αριθμός προς έναν άλλο όλο, έτσι είναι και ένας αφαιρεθείς από έναν που έχει αφαιρεθεί, τότε και τα υπόλοιπα [αντίστοιχα] μεταξύ τους θα είναι όπως ο όλος προς τον όλο. Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλο-γον, ἔσται ὡς εἷς τῶν ἡγουμένων πρὸς ἕνα τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντες οἱ ἡγούμενοι πρὸς ἅπαντας τοὺς ἑπομένους. Εάν οσοιδήποτε αριθμοί έχουν ίσους λόγους, τότε όπως είναι ένας από τους ηγούμενους προς έναν από τους επόμενους, έτσι θα είναι και το άθροισμα των ηγουμένων προς το άθροισμα των επομένων. Ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, καὶ ἐναλλὰξ ἀνάλογον ἔσονται. Εάν τέσσερις αριθμοί έχουν ίσους λόγους, και εναλλάξ θα έχουν τους ίδιους λόγους. Ἐὰν ὦσιν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι καὶ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ, καὶ δι ἴσου ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἔσονται. Εάν οσοιδήποτε αριθμοί και άλλοι ίσοι στο πλήθος με αυτούς, έχουν ανά δύο τον ίδιο λόγο, τότε και οι άκροι θα έχουν τον ίδιο λόγο. Ἐὰν μονὰς ἀριθμόν τινα μετρῇ, ἰσάκις δὲ ἕτερος ἀριθμὸς ἄλλον τινὰ ἀριθμὸν μετρῇ, καὶ ἐναλλὰξ ἰσάκις ἡ μονὰς τὸν τρίτον ἀριθμὸν μετρήσει καὶ ὁ δεύτερος τὸν τέταρτον. Εάν μια μονάδα μετρά κάποιον αριθμό, ένας άλλος αριθμός δε, μετρά το ίδιο [ίσες φορές] έναν άλλο αριθμό, τότε και εναλλάξ η μονάδα θα μετρήσει το ίδιο τον τρίτο αριθμό όπως και ο δεύτερος τον τέταρτο. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν ἴσοι ἀλλήλοις ἔσονται.

23 1.1. ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ VII 21 Ε.VII.17 Ε.VII.18 Ε.VII.19 Ε.VII.20 Ε.VII.21 Ε.VII.22 Ε.VII.23 Ε.VII.24. Εάν δύο αριθμοί αφού πολλαπλασιαστούν μεταξύ τους παράγουν κάποια γινόμενα, αυτά θα είναι ίσα μεταξύ τους. Ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσας ποιῇ τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιασθεῖσιν. Εάν ένας αριθμός αφού πολλαπλασιάσει δύο άλλους παράγει κάποια γινόμενα, αυτά θα έχουν τον ίδιο λόγο με αυτούς που πολλαπλασιάστηκαν. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον τοῖς πολλαπλασιάσασιν. Εάν δύο αριθμοί αφού πολλαπλασιάσουν έναν άλλο παράγουν κάποια γινόμενα, αυτά θα έχουν τον ίδιο λόγο με αυτούς που πολλαπλασιάστηκαν. Ἐὰν τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ὦσιν, ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ἔσται τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου γενομένῳ ἀριθμῷ καὶ ἐὰν ὁ ἐκ πρώτου καὶ τετάρτου γενόμενος ἀριθμὸς ἴσος ᾖ τῷ ἐκ δευτέρου καὶ τρίτου, οἱ τέσσαρες ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔσονται. Εάν τέσσερις αριθμοί είναι ανάλογοι, το γινόμενο του πρώτου με τον τέταρτο είναι ίσο με το γινόμενο του δεύτερου με τον τρίτο. Και εάν το γινόμενο του πρώτου με τον τέταρτο είναι ίσο με το γινόμενο του δεύτερου με τον τρίτο, οι τέσσερις αριθμοί θα είναι ανάλογοι. Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς μετροῦσι τοὺς τὸν αὐτὸν λόγον ἔχοντας ἰσάκις ὅ τε μείζων τὸν μείζονα καὶ ὁ ἐλάσσων τὸν ἐλάσσονα. Οι ελάχιστοι αριθμοί από όλους που έχουν τον ίδιο λόγο με αυτούς, μετρούν τους ομολόγους του, ίσες φορές ο μεγαλύτερος το μεγαλύτερο και ο μικρότερος το μικρότερο. Οἱ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοὶ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. Οι πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί είναι οι ελάχιστοι από όλους που έχουν τον ίδιο λόγο με αυτούς. Οἱ ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν. Οι ελάχιστοι αριθμοί από όλους που έχουν τον ίδιο λόγο με αυτούς είναι πρώτοι μεταξύ τους. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ τὸν ἕνα αὐτῶν μετρῶν ἀριθμὸς πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται. Εάν δύο αριθμοί είναι πρώτοι προς αλλήλους, ένας αριθμός που διαιρεί τον ένα απ αυτούς είναι πρώτος προς τον άλλον. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρός τινα ἀριθμὸν πρῶτοι ὦσιν, καὶ ὁ ἐξ αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν αὐτὸν πρῶτος ἔσται. Εάν δύο αριθμοί είναι πρώτοι προς κάποιον άλλον, και το γινόμενό τους θα είναι πρώτος προς αυτόν.

24 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ VII-IX ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Ε.VII.25 Ε.VII.26 Ε.VII.27 Ε.VII.28 Ε.VII.29 Ε.VII.30 Ε.VII.31 Ε.VII.32 Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, ὁ ἐκ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν γενόμενος πρὸς τὸν λοιπὸν πρῶτος ἔσται. Εάν δύο αριθμοί είναι πρώτοι προς αλλήλους, το τετράγωνο του ενός και ο άλλος είναι πρώτοι προς αλλήλους. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρὸς δύο ἀριθμοὺς ἀμφότεροι πρὸς ἑκάτερον πρῶτοι ὦσιν, καὶ οἱ ἐξ αὐτῶν γενόμενοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. Εάν δύο αριθμοί είναι πρώτοι προς αλλήλους προς δύο άλλους, και τα γινόμενά τους θα είναι πρώτοι προς αλλήλους. (Τα γινόμενα πρώτων προς αλλήλους αριθμών είναι πρώτοι προς αλλήλους.) Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ πολλαπλασιάσας ἑκάτερος ἑαυτὸν ποιῇ τινα, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται, κἂν οἱ ἐξ ἀρχῆς τοὺς γενομένους πολλαπλασιάσαντες ποιῶσί τινας, κἀκεῖνοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται [καὶ ἀεὶ περὶ τοὺςἄκρους τοῦτο συμβαίνει]. Εάν δύο αριθμοί είναι πρώτοι προς αλλήλους, και υψωθούν στο ίδιο εκθέτη, οι παραγόμενοι θα είναι πρώτοι προς αλλήλους. Και αν οι αρχικοί αφού πολλαπλασιάσουν τα γινόμενα παράγουν κάποιους, και εκείνοι θα είναι πρώτοι προς αλλήλους [και έτσι συνεχώς γίνεται]. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὦσιν, καὶ συναμφότερος πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν πρῶτος ἔσται καὶ ἐὰν συναμφότερος πρὸς ἕνα τινὰ αὐτῶν πρῶτος ᾖ, καὶ οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. Εάν δύο αριθμοί είναι πρώτοι προς αλλήλους και το άθροισμά τους θα είναι πρώτος προς τον καθένα απ αυτούς. Και αν το άθροισμα δύο αριθμών είναι πρώτος προς ένας από του προσθετέους τότε αυτοί είναι πρώτοι προς αλλήλους. Ἅπας πρῶτος ἀριθμὸς πρὸς ἅπαντα ἀριθμόν, ὃν μὴ μετρεῖ, πρῶτός ἐστιν. Κάθε πρώτος αριθμός προς κάθε αριθμό που δεν διαιρεί είναι πρώτος προς αυτόν. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσί τινα, τὸν δὲ γενόμενον ἐξ αὐτῶν μετρῇ τις πρῶτος ἀριθμός, καὶ ἕνα τῶν ἐξ ἀρχῆς μετρήσει. Εάν ένας πρώτος αριθμός διαιρεί το γινόμενο δύο άλλων, τότε θα διαιρεί και τον ένα τουλάχιστον από αυτούς. Ἅπας σύνθετος ἀριθμὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. Κάθε σύνθετος αριθμός έχει έναν πρώτο διαιρέτη. Ἅπας ἀριθμὸς ἤτοι πρῶτός ἐστιν ἢ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθμοῦ μετρεῖται. Κάθε αριθμός ή είναι πρώτος ή διαιρείται από κάποιον πρώτο.

25 1.1. ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ VII 23 Ε.VII.33 Ε.VII.34 Ε.VII.35 Ε.VII.36 Ε.VII.37 Ε.VII.38 Ε.VII.39 Ἀριθμῶν δοθέντων ὁποσωνοῦν εὑρεῖν τοὺς ἐλαχίστους τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς. Δοθέντων οσωνδήποτε αριθμών να βρεθούν οι ελάχιστοι αριθμοί που έχουν τον ίδιο λόγο με τους αρχικούς. Δύο ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. Δοθέντων δύο αριθμών να βρεθεί το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο. Ἐὰν δύο ἀριθμοὶ ἀριθμόν τινα μετρῶσιν, καὶ ὁ ἐλάχιστος ὑπ αὐτῶν μετρούμενος τὸν αὐτὸν μετρήσει. Εάν δύο αριθμοί διαιρούν κάποιον άλλο, τότε τον διαιρεί και το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιό τους. Τριῶν ἀριθμῶν δοθέντων εὑρεῖν, ὃν ἐλάχιστον μετροῦσιν ἀριθμόν. Δοθέντων τριών αριθμών να βρεθεί το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο. Ἐὰν ἀριθμὸς ὑπό τινος ἀριθμοῦ μετρῆται, ὁ μετρούμενος ὁμώνυμον μέρος ἕξει τῷ μετροῦντι. Εάν ένας αριθμός μετρείται από κάποιον άλλο, ο μετρούμενος θα έχει ένα μέρος ομώνυμο με αυτόν τον άλλο. Ἐὰν ἀριθμὸς μέρος ἔχῃ ὁτιοῦν, ὑπὸ ὁμωνύμου ἀριθμοῦ μετρηθήσεται τῷ μέρει. Εάν ένας αριθμός έχει ένα οποιοδήποτε μέρος, θα μετρείται από κάποιον άλλο, ομώνυμο με το μέρος αυτό. Ἀριθμὸν εὑρεῖν, ὃς ἐλάχιστος ὢν ἕξει τὰ δοθέντα μέρη. Να βρεθεί ένας αριθμός ο οποίος να είναι ο ελάχιστος που έχει δοθέντα μέρη.

26 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ VII-IX ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Προτάσεις 1 3 Ε.VII.1: Πότε δύο αριθμοί είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους. Ε.VII.2: Να βρεθεί ο μκδ δύο αριθμών. Πόρισμα 3 : Χ Α και Χ Β Χ μκδ(α, Β) Ε.VII.3: Να βρεθεί ο μκδ τριών αριθμών. Δομική έννοια για τη συγκρότηση της Ευκλείδειας Θεωρίας Αριθμών είναι αυτή της μονάδας. Σύμφωνα με τον Ε.VII.Ο.1: Ε.VII.Ο.1: Μονάδα είναι αυτή, σύμφωνα με την οποία καθένα από τα υπαρκτά πράγματα (όντα) λέμε πως είναι ένα. Η έννοια της μονάδας προηγείται αυτής του αριθμού. Σύμφωνα με τον Ε.VII.Ο.2: Ε.VII.Ο.2: Αριθμός δε, είναι ένα πεπερασμένο πλήθος από μονάδες που είναι τοποθετημένες μαζί. Έτσι η μονάδα δεν αποτελεί αριθμό, κάτι που προσδίδει κάποιες ιδιαιτερότητες στην Eυκλείδεια Aριθμοθεωρία, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Από την αρχή κιόλας του Βιβλίου VII βλέπουμε τη διαίρεση των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών Προτάσεων σε Θεωρήματα και Προβλήματα 4. Οι Ε.VII.2, Ε.VII.3 είναι Προτάσεις-Προβλήματα. Η Ε.VII.1 εισάγει την μέθοδο της ανθυφαίρεσης στους αριθμούς και αποτελεί ένα θεώρημα-κριτήριο για το πότε δύο αριθμοί είναι πρώτοι μεταξύ τους. Η ανθυφαιρετική διαδικασία δεν είναι άλλη από αυτό που σήμερα καλούμε Αλγόριθμο του Ευκλείδη. Παραθέτουμε στη συνέχεια την απόδειξη της Ε.VII.1: Δύο ἀριθμῶν ἀνίσων ἐκκειμένων, ἀνθυφαιρουμένου δὲ ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος, ἐὰν ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρῇ τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς, οἱ ἐξ ἀρχῆς ἀριθμοὶ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἔσονται. Δύο γὰρ [ἀνίσων] ἀριθμῶν τῶν ΑΒ, ΓΔ ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος ὁ λειπόμενος μηδέποτε καταμετρείτω τὸν πρὸ ἑαυτοῦ, ἕως οὗ λειφθῇ μονάς λέγω, ὅτι οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν, τουτέστιν ὅτι τοὺς ΑΒ, ΓΔ μονὰς μόνη μετρεῖ. Δύο αριθμών άνισων δοθέντων, αν ο μικρότερος ανταφαιρείται συνεχώς από τον μεγαλύτερο και αν ο υπόλοιπος δεν καταμετρά τον προηγούμενο, μέχρι να ληφθεί μονάδα, τότε οι αρχικοί αριθμοί είναι πρώτοι προς αλλήλους. Καθότι αν δύο [άνισοι] αριθμοί οι ΑΒ, ΓΔ ανταφαιρούνται συνεχώς ο μικρότερος από τον μεγαλύτερο και ο υπόλοιπος να μην καταμετρεί τον προηγούμενο μέχρι να ληφθεί μονάδα. Λέγω ότι οι ΑΒ, ΓΔ είναι πρώτοι προς αλλήλους, δηλαδή ότι τους ΑΒ, ΓΔ μετρά μόνο η μονάδα. 3 Ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν ἀριθμὸς δύο ἀριθμοὺς μετρῇ, καὶ τὸ μέγιστον αὐτῶν κοινὸν μέτρον μετρήσει ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 4 βλ. υποενότητα

27 1.1. ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ VII 25 Εἰ γὰρ μή εἰσιν οἱ ΑΒ, ΓΔ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους, μετρήσει τις αὐτοὺς ἀριθμός. μετρείτω, καὶ ἔστω ὁ Ε καὶ ὁ μὲν ΓΔ τὸν ΒΖ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΖΑ, ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρῶν λειπέτω ἑαυτοῦ ἐλάσσονα τὸν ΗΓ, ὁ δὲ ΗΓ τὸν ΖΘ μετρῶν λειπέτω μονάδα τὴν ΘΑ. Ἐπεὶ οὖν ὁ Ε τὸν ΓΔ μετρεῖ, ὁ δὲ ΓΔ τὸν ΒΖ μετρεῖ καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΒΖ μετρεῖ μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΒΑ καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΑΖ μετρήσει. ὁ δὲ ΑΖ τὸν ΔΗ μετρεῖ καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΔΗ μετρεῖ μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΔΓ καὶ λοιπὸν ἄρα τὸν ΓΗ μετρήσει. ὁ δὲ ΓΗ τὸν ΖΘ μετρεῖ καὶ ὁ Ε ἄρα τὸν ΖΘ μετρεῖ μετρεῖ δὲ καὶ ὅλον τὸν ΖΑ καὶ λοιπὴν ἄρα τὴν ΑΘ μονάδα μετρήσει ἀριθμὸς ὤν ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα τοὺς ΑΒ, ΓΔ ἀριθμοὺς μετρήσει τις ἀριθμός οἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσίν ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Διότι αν δεν είναι οι ΑΒ, ΓΔ πρώτοι προς αλλήλους θα τους μετρά κάποιος αριθμός. Ας τους μετρά και ας είναι ο Ε. Και ο μεν ΓΔ μετρώντας τον ΒΖ ας αφήνει υπόλοιπο έναν μικρότερο από τον εαυτό του τον ΖΑ, ο δε ΑΖ μετρώντας τον ΔΗ ας αφήνει υπόλοιπο έναν μικρότερο από τον εαυτό του τον ΗΓ, ο δε ΗΓ μετρώντας τον ΖΘ ας αφήνει υπόλοιπο μονάδα την ΘΑ 5. Επειδή λοιπόν ο Ε μετρά τον ΓΔ, ο δε ΓΔ μετρά τον ΒΖ και ο Ε άρα μετρά τον ΒΖ. Μετρά λοιπόν όλον τον ΒΑ, άρα λοιπόν θα μετρήσει τον ΑΖ. Ο δε ΑΖ μετρά τον ΔΗ, οπότε και ο Ε μετρά τον ΔΗ. Μετρά δε και όλον τον ΔΓ, οπότε θα μετρήσει και τον ΓΗ. Ο ΓΗ δε, μετρά τον ΖΘ άρα και ο Ε μετρά τον ΖΘ, μετρά δε και όλον τον ΖΑ, οπότε και υπόλοιπη, την μονάδα ΑΘ θα μετρήσει αφού είναι αριθμός. Κάτι το οποίο είναι αδύνατον. Άρα λοιπόν τους αριθμούς ΑΒ, ΓΔ δεν θα τους μετρήσει κανείς αριθμός. Οι αριθμοί άρα ΑΒ, ΓΔ είναι πρώτοι προς αλλήλους. Το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί. Με σύγχρονα εκφραστικά μέσα η απόδειξη μπορεί να αποδοθεί ως εξής: Έστω δύο άνισοι αριθμοί, οι ΑΒ, ΓΔ για τους οποίους ισχύει ότι, ο μικρότερος αφαιρείται συνεχώς από τον μεγαλύτερο και ο υπόλοιπος δεν καταμετρά τον προηγούμενο, μέχρι να ληφθεί μονάδα. Θα δείξουμε ότι οι ΑΒ, ΓΔ είναι σχετικά πρώτοι, δηλαδή οι ΑΒ, ΓΔ έχουν ως μοναδικό κοινό διαιρέτη την μονάδα. Έστω ότι οι ΑΒ, ΓΔ δεν είναι σχετικά πρώτοι. Τότε κάποιος αριθμός θα είναι κοινός διαιρέτης τους, έστω ο Ε. Αφού ο μικρότερος αφαιρείται συνεχώς από τον μεγαλύτερο και ο υπόλοιπος δεν καταμετρά τον προηγούμενο, μέχρι να ληφθεί μονάδα, έστω ότι έχουμε την ακόλουθη διάταξη: ΑΒ = ΓΔ ρ 1 + ΖΑ = ΒΖ + ΖΑ, με ΒΖ = ΓΔ ρ 1 ΓΔ = ΖΑ ρ 2 + ΗΓ = ΔΗ + ΗΓ, με ΔΗ = ΖΑ ρ 2 ΖΑ = ΗΓ ρ 3 + ΘΑ = ΖΘ + 1, με ΖΘ = ΗΓ ρ 3 και ΘΑ = 1 Επειδή ο Ε μετρά τον ΓΔ και ο ΓΔ τον ΒΖ, έχουμε ότι ο Ε μετρά τον ΒΖ. Επίσης μετρά και τον ΑΒ. Άρα μετρά και το υπόλοιπο ΖΑ. Ο δε ΖΑ μετρά τον ΔΗ. Άρα και ο Ε μετρά τον ΔΗ. Επίσης ο Ε μετρά και τον ΓΔ. Άρα μετρά και το υπόλοιπο ΗΓ. Ο δε ΗΓ μετρά τον ΖΘ. Άρα και ο Ε μετρά τον ΖΘ. Επίσης ο Ε μετρά και τον ΖΑ. Άρα μετρά και το υπόλοιπο ΘΑ, την μονάδα, ενώ είναι αριθμός άτοπο. Άρα οι αριθμοί ΑΒ, ΓΔ δεν έχουν κάποιον κοινο διαιρέτη, οπότε είναι σχετικά πρώτοι ὅπερ ἔδει δεῖξαι. 5 Ο Ευκλείδης εδώ δεν λέει «την μονάδα ΘΑ» αλλά «μονάδα την ΘΑ». Απουσιάζει το άρθρο «την», το οποίο ήταν τότε αυστηρά οριστικό. Η απουσία άρθρου δηλώνει αοριστία, δηλαδή η μονάδα δεν είναι γνωστή και συγκεκριμένη αλλά τυχαία. Με άλλα λόγια εισάγεται μια μονάδα κάθε φορά που το κείμενο το απαιτεί.

28 26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ VII-IX ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Η βασική ιδέα της μεθόδου, με σύγχρονα εκφραστικά μέσα, είναι η ακόλουθη: Έστω δύο άνισοι αριθμοί, ο Α και ο Β, με Β < Α. Διαιρούμε τον Α με τον Β και έστω π 1 το πηλίκο και Υ 1 το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης, δηλαδή Α = π 1 Β + Υ 1 Στη συνέχεια διαιρούμε τον Β με το Υ 1, και έστω π 2 το πηλίκο και Υ 2 το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης, δηλαδή Β = π 2 Υ 1 + Υ 2 Ακολούθως, διαιρούμε το Υ 1 με το Υ 2 και έστω π 3 το πηλίκο και Υ 3 το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης, δηλαδή Συνεχίζουμε την ίδια διαδικασία, δηλαδή: Υ 1 = π 3 Υ 2 + Υ 3 Υ ν 2 = π ν Υ ν 1 + Υ ν Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί, όμως, δεν γνώριζαν την πράξη της διαίρεσης[vandoulakis, 1998], όπως πραγματοποιείται σήμερα στο ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης. Έτσι, αφαιρούσαν διαδοχικά τον αριθμό Β από τον αριθμό Α (ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος), μέχρις ότου να λάβουν έναν αριθμό μικρότερο από τον Β, τον Υ 1 σύμφωνα με τον παραπάνω συμβολισμό, δηλαδή: Α π 1 Β = Υ 1 όπου π 1 ο αριθμός των φορών που αφαιρέθηκε ο αριθμός Β από τον αριθμό Α. Στη συνέχεια εφάρμοζαν την ίδια διαδικασία στον Β. Αφαιρούσαν διαδοχικά τον αριθμό Υ 1 από τον αριθμό Β (ἀνθυφαιρουμένου ἀεὶ τοῦ ἐλάσσονος ἀπὸ τοῦ μείζονος), μέχρις ότου να λάβουν έναν αριθμό μικρότερο από τον Υ 1, τον Υ 2 σύμφωνα με τον παραπάνω συμβολισμό, δηλαδή: Β π 2 Υ 1 = Υ 2 όπου π 2 ο αριθμός των φορών που αφαιρέθηκε ο αριθμός Υ 1 από τον αριθμό Β. Η ίδια διαδικασία ακολουθούνταν και για τους Υ 1, Υ 2, δηλαδή: Υ 1 π 3 Υ 2 = Υ 3 όπου π 3 ο αριθμός των φορών που αφαιρέθηκε ο αριθμός Υ 2 από τον αριθμό Υ 1, και ουτω καθεξής: Υ ν 2 π ν Υ ν 1 = Υ ν Προσέχουμε ότι 6 στον παραπάνω συμβολισμό τα υπόλοιπα Υ ν συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα της αλφαβήτας, δηλαδή είναι αριθμοί, ενώ τα πηλίκα π ν συμβολίζονται με πεζά γράμματα της αλφαβήτας, δηλαδή είναι πλήθη. Κατά την εφαρμογή της μεθόδου της ανθυφαίρεσης, θα φτάσει κάποια στιγμή που θα λάβουμε Υ ν = 0. Τότε μκδ (Α, Β) = Υ ν 1. Η μονάδα όμως, όπως προαναφέρθηκε, δεν λαμβάνεται ως αριθμός. Ως εκ τούτου, η μονάδα δεν μπορεί να θεωρηθεί ο μκδ δύο σχετικά πρώτων αριθμών. Σύμφωνα με τον Ε.VII.Ο.13: 6 βλέπε ενότητα 2.1 σχετικά με τη διάκριση πεζών κεφαλαίων

29 1.1. ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ VII 27 Ε.VII.Ο.13: Πρώτοι προς αλλήλους (ή μεταξύ τους) είναι οι αριθμοί οι οποίοι ως μοναδικό κοινό διαιρέτη έχουν τη μονάδα. Έτσι ο Ευκλείδης διατυπώνει δύο ξεχωριστές Προτάσεις: Την Ε.VII.1, όπου με την μέθοδο της ανθυφαίρεσης καταλήγουμε σε υπόλοιπο ίσο με την μονάδα, οπότε αποδεικνύει ότι οι δύο αριθμοί είναι σχετικά πρώτοι. Την Ε.VII.2, όπου με την μέθοδο της ανθυφαίρεσης καταλήγουμε σε μηδενικό υπόλοιπο, οπόρε αποδεικνύει ότι ο μκδ των δύο αριθμών είναι το αμέσως προηγούμενο, μη μηδενικό υπόλοιπο. Έπειτα συνεχίζει με την εύρεση του μκδ τριών αριθμών. Αφού βρίσκει τον μκδ των δύο εξ αυτών, αποδεικνύει ότι ο μκδ των τριών αριθμών είναι ο μκδ του τρίτου αριθμού και του μκδ των άλλων δύο αριθμών. Με επαγωγή μπορεί να αποδειχθεί ότι, με όμοια διαδικασία με αυτή που ακολουθείται στην απόδειξη της Ε.VII.3, μπορούμε να βρούμε τον μκδ οσωνδήποτε αριθμών θελήσουμε. Όμως ο Ευκλείδης δεν προβαίνει σε τέτοια διερεύνηση Πρόταση 4 Ε.VII.4: Α Β(Α < Β) [Α μέρος Β Α μέρη Β] Πριν προχωρήσουμε στην επεξεργασία της Ε.VII.4, θα διατυπώσουμε τους Ε.VII.Ο.3 και Ε.VII.Ο.4. Ε.VII.Ο.3: Ένας αριθμός είναι μέρος ενός αριθμού, ο μικρότερος του μεγαλύτερου, όταν καταμετρεί τον μεγαλύτερο. Ε.VII.Ο.4: Μέρη δε, είναι όταν δεν τον καταμετρεί. Στους Ορισμούς αυτούς εντοπίζουμε μια λέξη λειτουργικής σημασίας για την κατανόηση της Ευκλείδειας Θεωρίας Αριθμών, την λέξη καταμετρεί, που σημαίνει χωρά ακέραιο αριθμό από φορές. Η λέξη αυτή μπορεί να ερμηνευθεί ως εξής [Vandoulakis, 1998]: ο Β καταμετρεί τον Α (Β < Α) (Α = νβ), Ο Ευκλείδης δε δείχνει να δίνει σημασία στο πόσες φορές χωράει ο αριθμός Β στον Α, δηλαδή δε δίνει σημασία στον αριθμό ν. Ο αριθμός ν δηλώνει πλήθος 7. Με τη σημερινή ορολογία, θα μπορούσαμε να ταυτίσουμε το ρήμα καταμετρώ με το ρήμα διαιρώ και το μέρος ενός αριθμού με έναν γνήσιο διαιρέτη του. Επίσης θα μπορούσαμε να δώσουμε τους εξής Ορισμούς για το μέρος και τα μέρη: Α μέρος Β Α = 1 Β, ν > 1 ν Α μέρη Β Α = μ Β, μ > 1, ν > 1, μ < ν ν Έτσι, ο Α είναι μέρος του Β, αν μπορούμε να χωρίσουμε τον Β σε ν μέρη, ίσα μεταξύ τους και ίσα με Α. Τότε μπορούμε να πούμε ότι ο Α είναι μέρος του Β, μιας και είναι πράγματι ένα από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχουμε χωρίσει τον Β. Αντίστοιχα, ο Α είναι μέρη του Β, αν μπορούμε να χωρίσουμε τον Β σε ν μέρη, ίσα μεταξύ τους, και τα μ από αυτά να μας δίνουν τον Α. Έτσι ο Α είναι μέρη του Β, μιας και, πράγματι, είναι ίσος με τα μ από τα ν ίσα μέρη στα οποία έχουμε χωρίσει τον Β. 7 βλέπε ενότητα 2.1.

30 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ VII-IX ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Όπως αναφέραμε προηγουμένως, ο Ευκλείδης δε δείχνει να δίνει σημασία στο πόσες φορές χωράει ο αριθμός Β στον Α, όταν αποφαίνεται ότι ο Β καταμετρή τον Α. Όμοια δε φαίνεται να προσδιορίζει επακριβώς τί μέρος ή τί μέρη είναι σε κάθε περίπτωση ένας αριθμός, ενός άλλου. Οπότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε με σιγουριά για τη φύση των μ, ν στον παραπάνω Ορισμό για τα μέρη, αν δηλαδή πρέπει ή όχι να ισχύει (μ, ν) = 1. Στρέφουμε τώρα την προσοχή μας στην Ε.VII.4. Η μαθηματική πληροφορία που εκφράζεται σε αυτή την Πρόταση φαντάζει προφανής στα μάτια κάποιου που διαπραγματεύεται τα σύγχρονα μαθηματικά. Πράγματι, σύμφωνα με όσα προαναφέραμε, ένας αριθμός ή θα είναι μέρος ή μέρη ενός άλλου (αποκλειστική διάζευξη). Ο Ευκλείδης παρόλα αυτά προβαίνει στην απόδειξη αυτού του ισχυρισμού. Παρακάτω θα αναπτύξουμε αναλυτικά την απόδειξη της Ε.VII.4, γιατί στην πορεία της απόδειξης αναδεικνύονται οι έννοιες μέρος και μέρη. Ἅπας ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α, ΒΓ, καὶ ἔστω ἐλάσσων ὁ ΒΓ λέγω, ὅτι ὁ ΒΓ τοῦ Α ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη. Κάθε αριθμός προς κάθε αριθμό, ο μικρότερος του μεγαλύτερου, ή είναι μέρος ή είναι μέρη. Έστω δύο αριθμοί οι Α, ΒΓ και έστω ότι είναι μικρότερος ο ΒΓ. Λέγω ότι ο ΒΓ ή είναι μέρος του Α ή μέρη. Οἱ Α, ΒΓ γὰρ ἤτοι πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἢ οὔ. ἔστωσαν πρότερον οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους. διαιρεθέντος δὴ τοῦ ΒΓ εἰς τὰς ἐν αὐτῷ μονάδας ἔσται ἑκάστη μονὰς τῶν ἐν τῷ ΒΓ μέρος τι τοῦ Α ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. Μὴ ἔστωσαν δὴ οἱ Α, ΒΓ πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ὁ δὴ ΒΓ τὸν Α ἤτοι μετρεῖ ἢ οὐ μετρεῖ. εἰ μὲν οὖν ὁ ΒΓ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. εἰ δὲ οὔ, εἰλήφθω τῶν Α, ΒΓ μέγιστον κοινὸν μέτρον ὁ Δ, καὶ διῃρήσθω ὁ ΒΓ εἰς τοὺς τῷ Δ ἴσους τοὺς ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ὁ Δ τὸν Α μετρεῖ, μέρος ἐστὶν ὁ Δ τοῦ Α ἴσος δὲ ὁ Δ ἑκάστῳ τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ καὶ ἕκαστος ἄρα τῶν ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ τοῦ Α μέρος ἐστίν ὥστε μέρη ἐστὶν ὁ ΒΓ τοῦ Α. Ἅπας ἄρα ἀριθμὸς παντὸς ἀριθμοῦ ὁ ἐλάσσων τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος ἐστὶν ἢ μέρη ὅπερ ἔδει δεῖξαι. Οι Α, ΒΓ ή είναι πρώτοι μεταξύ τους ή όχι. Έστω αρχικά ότι οι Α, ΒΓ είναι πρώτοι μεταξύ τους. Αν διαιρεθεί ο ΒΓ στις μονάδες που περιέχει, κάθε μονάδα από αυτές του ΒΓ θα είναι κάποιο μέρος του Α. Ώστε ο ΒΓ είναι μέρη του Α. Ας μην είναι οι Α, ΒΓ πρώτοι μεταξύ τους. Ο ΒΓ τώρα ή μετρά τον Α ή όχι. Αν μεν λοιπόν ο ΒΓ μετρά τον Α, ο ΒΓ είναι μέρος του Α, αν δε όχι, ας έχει ληφθεί ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ο Δ, και ας έχει διαιρεθεί ο ΒΓ εις τους ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ ίσους με τον Δ. Και επειδή ο Δ μετρά τον Α, ο Δ είναι μέρος του Α, και ίσος με καθένα από τους ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ, αρα και καθένας από τους ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ είναι μέρος του Α. Ώστε ο ΒΓ είναι μέρη του Α. Κάθε άρα αριθμός προς κάθε αριθμό, ο μικρότερος του μεγαλύτερου, ή είναι μέρος ή είναι μέρη. Το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί. Με σύγχρονα εκφραστικά μέσα η απόδειξη μπορεί να αποδωθεί ως εξής: Έστω δύο αριθμοί, οι Α, ΒΓ, και έστω ΒΓ < Α.

31 1.1. ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ VII 29 Θα δείξουμε ότι ο ΒΓ ή είναι μέρος του Α ή μέρη. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 1. Α, ΒΓ σχετικά πρώτοι Αν διαιρέσουμε τον ΒΓ στις μονάδες που τον συγκροτούν, τότε κάθε μονάδα θα είναι μέρος του Α. Οπότε ολόκληρος ο ΒΓ θα είναι μέρη του Α. 2. Α, ΒΓ όχι σχετικά πρώτοι Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: (αʹ) ΒΓ μετρά τον Α Τότε ο ΒΓ είναι μέρος του Α. (βʹ) ΒΓ δεν μετρά τον Α Βρίσκουμε, σύμφωνα με την Ε.VII.2, τον μκδ (Α, ΒΓ), τον Δ. Διαιρούμε τον ΒΓ στους ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ, καθένας από τους οποίους ισούται με Δ. Επειδή ο Δ μετρά τον Α, έπεται ότι ο Δ είναι μέρος του Α. Επίσης ο Δ είναι ίσος προς καθέναν από τους ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ. Άρα καθένας από τους ΒΕ, ΕΖ, ΖΓ είναι μέρος του Α. Οπότε ολόκληρος ο ΒΓ είναι μέρη του Α. Άρα κάθε μικρότερος αριθμός είναι ή μέρος ή μέρη κάθε μεγαλύτερου αριθμού ὅπερ ἔδει δε- ῖξαι. Σε αυτή την απόδειξη είναι ίσως η μοναδική φορά που γίνεται νύξη για το τί μέρη μιλάμε (για τον προσδιορισμό των μ, ν του Ορισμού). Ο ΒΓ διαιρείται σε τόσα ίσα μέρη, όσες φορές χρειάζεται να επαναληφθεί ο μκδ (Α, ΒΓ) = Δ ώστε να παραχθεί ο ΒΓ, δηλαδή μ = ΒΓ φορές. Άρα ο ΒΓ είναι Δ τα μ από τα ν μέρη του Α, όπου ν οι φορές που χρειάζεται να επαναληφθεί ο μκδ (Α, ΒΓ) = Δ ώστε να παραχθεί ο Α, δηλαδή ν = Α. Εύκολα συνάγουμε το συμπέρασμα ότι (μ, ν) = 1. Σε κάθε Δ άλλη απόδειξη έχουμε τη γενική αναφορά: «Έστω ο αριθμός Χ μέρη του αριθμού Υ και άλλος άλλου τα αυτά μέρη τα οποία είναι ο Χ του Υ. [ ] Όσα μέρη είναι ο Χ του Υ τα αυτά μέρη είναι και ο άλλος του άλλου.», χωρίς να γίνεται νύξη για το τι μέρη μιλάμε Προτάσεις 5 8 Ε.VII.5: 1 ν Α + 1 ν Β = 1 (Α + Β) ν Ε.VII.6: μ ν Α + μ ν Β = μ (Α + Β) ν Ε.VII.7: 1 ν Α 1 ν Β = 1 (Α Β) ν Ε.VII.8: μ ν Α μ ν Β = μ (Α Β) ν Οι αποδείξεις των Προτάσεων 5 8 στηρίζονται σε μια διαδικασία σύγκρισης πληθών και αριθμών Προτάσεις 9 10 Ε.VII.9: [Α = 1 ρ Β και Γ = 1 ρ Δ] [(Α = 1 σ Γ Β = 1 σ Δ) (Α = μ ν Γ Β = μ ν Δ)] 8 βλ. ενότητα 2.1.

32 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ VII-IX ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Ε.VII.10: [Α = μ ν Β και Γ = μ ν Δ] [(Α = 1 σ Γ Β = 1 σ Δ) (Α = κ λ Γ Β = κ λ Δ)] Προτάσεις Πριν προχωρήσουμε στη διατύπωση των Ε.VII.11, Ε.VII.12, θα διατυπώσουμε τον Ε.VII.Ο.21: Ε.VII.Ο.21: Ανάλογοι αριθμοί λέγονται αυτοί που ο πρώτος του δευτέρου και ο τρίτος του τετάρτου είναι ισοπολλαπλάσιοι, ή το αυτό μέρος, ή τα αυτά μέρη. Η πρώτη αναφορά του Ευκλείδη σε ανάλογους αριθμούς είναι στην Ε.VII.12. Η απόδειξη της Πρότασης αυτής ξεκινά ως εξής: Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ ἀνάλογον οἱ Α, Β, Γ, Δ, ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Γ πρὸς τὸν Δ (Έστωσαν οσοιδήποτε αριθμοί εν αναλογία οι Α, Β, Γ, Δ, ως ο Α προς τον Β, ούτως ο Γ προς τον Δ ) Αργότερα, στην απόδειξη της Ε.VII.14 γίνεται και η εξής αναφορά: Ἔστωσαν ὁποσοιοῦν ἀριθμοὶ οἱ Α, Β, Γ καὶ ἄλλοι αὐτοῖς ἴσοι τὸ πλῆθος σύνδυο λαμβανόμενοι ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ οἱ Δ, Ε, Ζ, ὡς μὲν ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Δ πρὸς τὸν Ε, ὡς δὲ ὁ Β πρὸς τὸν Γ, οὕτως ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ. (Έστωσαν οσοιδήποτε αριθμοί οι Α, Β, Γ και άλλοι ίσοι κατά το πλήθος προς αυτούς λαμβανόμενοι δε ανά δύο έχοντες τον αυτόν λόγο οι Δ, Ε, Ζ, ως μεν ο Α προς τον Β, ούτως ο Δ προς τον Ε, ως δε ο Β προς τον Γ, ούτως ο Ε προς τον Ζ.) Βλέπουμε δηλαδή ότι ο Ευκλείδης αναφέρεται σε λόγους. Σύμφωνα με τον Mueller [1981] όμως, δεν μιλάει για λόγο δύο αριθμών, ούτε για ισότητα λόγων. Γενικά ένας λόγος δεν είναι ένα αντικείμενο ή ένα ζεύγος αντικειμένων, όπως στον μοντέρνο Ορισμό των κλασμάτων ως ζεύγη ακεραίων. Αντίθετα είναι μια σχέση ανάμεσα σε δύο αντικείμενα. Φυσικά οι Προτάσεις για τις αριθμητικές αναλογίες μπορούν να μεταφραστούν σε Θεωρήματα για κλάσματα, όμως μια τέτοια μετάφραση δε θα ήταν ιστορικά ορθή σε σχέση με τη λογική που διέπει τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Στα πλαίσια της παρούσας εργασίας, για να δηλώσουμε ότι Α, Β, Γ, Δ ανάλογοι, θα γράφουμε Α Β = Γ Δ. Θα πρέπει όμως να θυμόμαστε ότι η έκφραση Α Β = Γ εκφράζει μια τετραμελή σχέση Δ ανάμεσα σε θετικούς ακέραιους και όχι μια ισότητα κλασμάτων ή λόγων. Έτσι αναδιατυπώνουμε τον Ε.VII.Ο.21 ως εξής: Α Β = Γ Δ Α = ρβ και Γ = ρδ Α = 1 ρ Β και Γ = 1 ρ Δ Α = μ ν Β και Γ = μ ν Δ Στην πρώτη περίπτωση συναντάμε την έννοια του πολλαπλάσιου αριθμού. Σύμφωνα με τον Ε.VII.Ο.5: Ε.VII.Ο.5: Ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιος ενός άλλου, ο μεγαλύτερος του μικρότερου, όταν καταμετρείται από τον μικρότερο. Παρατηρούμε ότι για να υπάρξει μια απόλυτη συμμετρία, λείπει μια τέταρτη περίπτωση κατά την οποία: Β = σ ρ Α και Δ = σ ρ Γ όμως δε γίνεται τέτοια αναφορά από τον Ευκλείδη. Βέβαια, αν θεωρήσουμε δεδομένο ότι:

33 1.1. ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ VII 31 Α Β = Γ Δ Β Α = Δ Γ τότε τόσο η πρώτη περίπτωση, όσο και η τέταρτη, δείχνουν περιττές. Αν τώρα θυμηθούμε τις εκφωνήσεις των Ε.VII.7, Ε.VII.8: Ε.VII.7: (Α = 1 ν Β και Γ = 1 ν Δ) (Α Γ = 1 (Β Δ)) ν Ε.VII.8: (Α = μ ν Β και Γ = μ ν Δ) (Α Γ = μ (Β Δ)) ν τότε, λαμβάνοντα υπόψην τον Ε.VII.Ο.21, μπορούμε να πούμε ότι η Ε.VII.11 είναι μια αναδιατύπωση των Ε.VII.7, Ε.VII.8 μέσω αναλογιών: Ε.VII.11: ( Α Β = Γ Δ ) ( Α Γ Β Δ = Α Β ) Όμοια, αν θυμηθούμε τις εκφωνήσεις των Ε.VII.5, Ε.VII.6: Ε.VII.5: (Α = 1 ν Β και Γ = 1 ν Δ) (Α + Γ = 1 (Β + Δ)) ν Ε.VII.6: (Α = μ ν Β και Γ = μ ν Δ) (Α + Γ = μ (Β + Δ)) ν τότε μπορούμε επίσης να πούμε ότι η Ε.VII.12 είναι μια αναδιατύπωση των Ε.VII.5, Ε.VII.6 μέσω αναλογιών: Ε.VII.12: ( Α Β = Γ Δ ) ( Α + Γ Β + Δ = Α Β ) Η E.VII.12 μπορεί εύκολα να γενικευτεί: Ε.VII.12: ( Α 1 Β 1 = Α 2 Β 2 =... = Α ν Β ν ) ( Α 1 + Α Α ν Β 1 + Β Β ν = Α 1 Β 1 ) Πρόταση 13 Ε.VII.13: ( Α Β = Γ Δ ) (Α Γ = Β Δ ) Με αντίστοιχους συλλογισμούς με τους προηγούμενους, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η E.VII.13 είναι μια αναδιατύπωση των Ε.VII.9, Ε.VII.10 μέσω αναλογιών Πρόταση 14 Ε.VII.14: ( Α 1 Α 2 = Β 1 Β 2 και A 2 A 3 = B 2 B 3 ) ( Α 1 Α 3 = Β 1 Β 3 ) (Λήψη των Άκρων Kαθ Υπεξαίρεση των Μέσων) Η Ε.VII.14 μπορεί εύκολα να γενικευτεί: Ε.VII.14: ( Α 1 Α 2 = Β 1 Β 2 και A 2 A 3 = B 2 B 3 και... και Α ν Α ν+1 = Β ν Β ν+1 ) ( Α 1 Α ν+1 = Β 1 Β ν+1 )

34 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΤΟ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ VII-IX ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Επαγωγική Δομή των Προτάσεων 5 14 Για να συνοψίσουμε, οι Προτάσεις 4 10 αποτελούν ένα τμήμα της Θεωρίας Μερών (Μέρος και Μέρη) και οι Προτάσεις αποτελούν ένα τμήμα της Θεωρίας Αναλογιών. Η Επαγωγική Δομή των Προτάσεων 5 14 φαίνεται στο ακόλουθο σχεδιάγραμμα [Mueller, 1981]: Σχήμα 1.1: Επαγωγική Δομή των Προτάσεων Προτάσεις Ε.VII.15: Έστω Α η μονάδα. (Β = να και Δ = νγ) (Γ = μα Δ = μβ) Ε.VII.16: (Α Β = Γ και Β Α = Δ) (Γ = Δ) (αντιμεταθετική ιδιότητα πολλαπλασιασμού) Ε.VII.17: Α Β Α Γ = Β Γ Ε.VII.18: Β Α Γ Α = Β Γ Ε.VII.19: ( Α Β = Γ ) (Α Δ = Β Γ) Δ Οι παραπάνω Προτάσεις προσδιορίζουν κάποιες ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Παρατηρούμε ότι η Ε.VII.15 είναι όμοια με την Ε.VII.9, με τη διαφορά ότι στην Ε.VII.15 εμπλέκεται η μονάδα στην εκφώνηση [Mueller, 1981]. Αν μπορούσαμε να γενικεύσουμε τον Ε.VII.Ο.3, ώστε να περιλαμβάνει και την μονάδα, τότε η μονάδα δε θα μπορούσε να είναι μέρη ενός αριθμού, παρά μόνο μέρος. Για τον λόγο αυτό δεν εμφανίζεται στην Ε.VII.15 το δεύτερο σκέλος της διάζευξης που υπάρχει στην Ε.VII.9. Οι αποδείξεις των δύο Προτάσεων εξελίσσονται όμοια, με τη διαφορά ότι στην Ε.VII.15, δε χρησιμοποιούνται Προτάσεις σχετικές με μέρος και μέρη (Ε.VII.5, Ε.VII.6), αλλά η αντίστοιχη Πρόταση με αναλογίες (Ε.VII.12). Επίσης παρατηρούμε ότι η Ε.VII.17 δεν είναι παρά μια ειδική περίπτωση της γενικευμένης έκφρασης της Ε.VII.12 [Mueller, 1981]. Πιο συγκεκριμένα: